?78
{$,
E}ICRANAJES'CONICOS; HELICOIDAi-ES Y DE CUS''\NO
\
puede usar pera I7:463¡nm.'determine el diárnetro'más peiqueño para-el gusano:que se
Capítulo Siete'
r'.fril. ::::'ji'
.calcule el paso,axial riél gusano y lo3.diámetros,de paso de los,dos-engranes''.: '1{jñit-':;i: 6:41m-.,LJn güsanó.ilé.tres,buerdas mueve.un_e-4gra¡e-de 35'.dientet T'111:T.t'd" perpendicülarss'; püo dé ZO;-'g *,n y.ün:ángulb,de hélice de.2ll08"; Si las,flechas son
Trenes'de engranajes
"*
'":jr' i:'- "'-i
calcuteel avanee¡lel diámJtrode'paso'det gusano:":" :-'i"i' velocidadeq 6.42m;.:Un gu!áno de cuatro cuerdas.mueve uri,enlrane'conrunarelacién ¿s dE-18:651.: es del'gusano axial de.90e.,Elpaso arigulares de-8*J yun ángulo entrefléchas gu-sano i el engra¡C-. del depaso lOs diánetros .22e-,Cdlcule ce de27 de.avan mm.y el ángulO 6.43m- Un gusano de seis cuerdas mueve un engñtne de 4l dientes con rúl angulci énri; de 26:981; flechas de 90o. La distancia entre centros es.de 8890 mm'y e I ángulo de ava¡rce g¡s3nodel axial y "¡i,i:'.iii Calóule los diámetros.de paso,..elrávance el'paso iiei76r20; 6.44rri.- Un fuSand;y.un engraná con'f,lechas d 909 y una disancia enrre eent¡os de avance db; ángulo un 7tl .,Ernpleando de velocidades retació-nide un" t*". mm deben para losiq-; 28,88"; derermineios diámetros,de paso..seleccione los números de dientes
de paso.
7.1
'
-. -
.;
INTRODUCCIÓN A LOS TRENES DE ENGRANAJES
Con frecuencia eS necesario combinar varios engranes y obtener de esta forma lo que se conoce comg tren dé engranes- Dada la velocidad angular de entrada de un
...
;
,r¡:;;.':
tren de engranes, es importante poder determinar fácilmente la velocidad angular del engrane de salida y su dirección de rotación. La relación de la velocidad angular de entrada con respecto a la velocidad angular de salida Se conoce como relación de velocidades angulares y se expresa como o"r,/torn,-
La figura 7.1 muestra un piñón que mueve un engrane recto externo y un piñón que mueve un engrane recto interno. En ambos casos, la relación de velo..'::: ,J:j
cidades angulares es inversamente proporcional al número de dientes. 9n
ii'i{!í'
3'
u".r @r
A!
@sd
N'
ol
FIGURA 7.I !:.i
¡
t"n,- 0t -Qs¡t @r
A': Nr
la for-
LO\t
gIY tJ J(.é\/\AJ E5
TR¡NES DE FNGR.{NAjES pLANET-{Rrcs
ma indicada- Los engranes externos giran en direccio¡es opueshs y los engr.anes rnternos giran en la misma direccióñ que su piñón. i. ir¿¡"á mediante -Esro u¡ signo negaiivo en ia ie,ac¡ón o. ueiá"¡iJ.ri;r nrilner ,,,"llunre un signo , positivo en er segundo caso. Hasra "*o .r"""ru¡o asignar er momenro no ha sido srgno algebraico a la reración de un las vetocidades an€urares de un par de engtanes. Sin embargo, cuando s1 com.biLa,n dar un .,en. es imponanre considerar el signo debido a que indiba :.t;;;"* ra ái.¿"c¡án de rotación- drró te cieno en el análisis de rrenes.de ""'!"p"cialmen*g*"*. pfunetarios. En ocasiones es necesario camb-iar ra áirección
ii
iin:#i':'"" L?"T:fi:1:;;
o'
--
ac i ó
:
(,rM tD2
t.l¡
Pz --ai-.
Pero
s
:! ü)4
'N"-'
; - *M.:
ú)1 _ ".:..X
de rotación de un engranesin cambiar su velocidad anguiar. rrto f uro" i,acerse colocunao un roco , entre el engmne motriz y et Jngranen'oui¿o. "ngrune cuando r" )rgrare toió, la dirección de rotación cambiá pero ","pi;;;perrnianece iguar:, la reraciin de. verocidades . se puede demostrar que la relación de verocidades angulares de un rren de l engranes en el que todos ros engxanes rienen
Y
Nr
n'
:.
p u e de d em o
:- _ t'','
Not
s
¡rar
rá
c'
m en ¡e
¡/o
iy',
;
N3
_
. Por
e
-;i;.
lo tanto,
:ili-:. Li.
eies fijos de.oü"¡* .Jg";;ü; i",,"a", 1", movidos dividido enrre er, producto 3.:.j:".,:,r:lTi,l"-*jr:lirdet número de dientes ¿" r"á".1á,"iig.un",
prescnh en forma de ecuación medianrc @.n.
@moriz
?roducto Producto _ = @müda l.n, (¡) rr¡ D sat
-- "ie.;;r;".#;.tHffilff,'Ji. ---o'-"vv "'vq¡ver' EIE
...r:I
de los dientes de los engranes
Producto ¿"
movidos
,,..:i' I
(7.1)l
Para ilustrarer uso de ra ecuación 7.1, considere el ren d" a"'irl en er que los engranes 2 y "ogr*". 3 esrrín monados en ra misma flecha. La relación de velocidad". .----
figun 7 '2,
-
"ng-,llur",,.í¿¿"Jipo, @"n, {,)t N"xN. +-' Osat &rr N,xN. -=_=
.,i_
'
Omovido,
.
.
@moriz
:i.
.
(7-2) "rodu"ao
-= i;:1"."T'#l,.rriJ"",,T,j"*r.r,*.*lry,"ssereducendemar¡eraqueesre ¡nuestra ;i[;iT""]fl en la figura s;11*3:,*:"1",*.;,ñ,il"::?i,::.*il:?,f :.":,,,: 7.3 ilustra un nen ¿e enfr*", tipico. 7.2 TF.ENES DE ENGRANAJES Para
PLANETARIOS
'f.
ob¡cner una relación de engranes deseada, con frecuencia conviene diseñar
f:¿ff :i.fffiT*:#ilffi'l:H,i?H1*sranestensamovimienropranede manera queno sóio gire p-pi" f; ,to al mismo ,r"_.1{*" ou" ""rroo centro. Las ñg** fr
sobre su
t oo y zloJ*"",# ffiTHl,T:::;ff"1l:1liL.:;::: l con-frecue";;;;;"-;inombre d,e cántrar á el en_ ei nombre a" *S*"p¡"liri "oury brazo o'"*¿l¡,e. En ta ftgwa7.4a,et rfl.1l-.::t," mueve al ens¡ane 2 alrededor d"r .rr-eran. i .l .. ,rn *lruia exrerno frjo. uomo puede verse, ros
FIGURA
7.2
que el en-q¡ane
er en-qrane 2
-eira
alieciedo, d. "rur ,u propio centro B, en knto que
231
\ 2E2
TRENES DE Ei-ICRANAiES PL.{NETARIOS
TREIIES DE E11GP--'\NAJES
J¡i.J
qtle ei engTane 2 iueda sobre ia cenrro gira alrededor del centro.4..A medida genera una epicicloide. i a iuperficie punto de su un i., engrane r^rrrió, del .*. un\,r^¡.+U mllestfa ei caso en el que ei engn-arre I es r:¡ engrane interno. E¡l esle caen la superñcie deJ engrane.2. liri.'_n.n"*r" una hipocicloide meriianre un punro pianstariOs colr Jiecuencia Se eng¡anes de lren un generadas, Debido a las curvas epicíc:li¿o o engranes de tren íñ"" -cíclico' """- E,"o-o nás dificil determinar la relación de velocidaCes angulares de Lrn tren de que la de un tren ordinario deilicio a la doble rCraciÓn de¡ engranes planetarios obtenerse ,n!*n" planeta o satélite. La relación de las velor:icizrdes an-eularespuedeo el método el clérodo de la fórmula instantáneos, centros de método ei nráion," je,rab"luc;0". El método de las centros instantáneos se.presentafá en el capítulo orot dos métodos se verán a cóntinuación. Prilneramente se esrudiará el esre
'
-
''Á.,.r:
' .-:i:i
:i
i', ib.
"- 'rr¡r'iii ', .'¡
i; '¡i,J.::.|::.!-
.i.-.
.
_r'r
:i.
:
';::il FIGURA 7.3 Reductor de velocidád'dé triple reducción. (Cortesia de Jones Machinery, Diüsión de llelitt-Robins, Inc.)
E¡e móvil de
rotación del engrane 2
:it
de la fórmula. método ':.. . En la figura 7:4, cogsidere que sefequiere determinar.o.r", da,Ja or,. Se debe velocidad a'gularrdel tng*le 2 con relació. norar que r,r;,istá definiüá como la la veiocidad anguiar ciel brazo 3'con relacomo definida ,ir"gt*" i y *r, está p.u;¿o esta fijo, eSto es lo *ismo gue la eirgrane.l el que a il *"gtur" ,iOnár 2,y del.brazo 3 con relación ai piso o base: En ia del
v"lo"i¿ua.á"gular ".rgtuná juega un papel imponante' SóluciOn del problema. c,.r"r/t.r',, manera ,i Considlre que se médifióa.et..tren de engranes de la .frgura 7 -4a deconvierte se 3 brazo El 1. en-Qrane del que el brazo 3 ei estacionario enilugar un tren de engranes ordinaJntOnces en el piso O base y de esta FOrma se obtiene como-Jy'//N?. S¡ el mecaevalual puede por se oz¡/r¡¡ lo tantá, la relación rio. con el brazo 3 rnóvil y el decir. es original. .oñ"¿i"ióo a su ahora regresa nismo se esto es que ,rgrun" 1 ff o, la relación ,z¡l- r¡ seguirá siend o -N /N./ Larazón de no eslabones los entre cuindo un mecanismo se in-v-ierté. el movimiento relativo (t)rt las cantidade función para en canrbia. Ahora se puede obtener una solución para t,lzt y dividiendo entre des conocidas trrl ¡ Y ur"-./t:,, escribiendo una ecuación (l)3l como se muestra a contlnuacron: (l)2¡:@3¡*td23 ú)tr 0¡r
Eie fiio de
-
G)3
0¡l
braio 3
(r)l3
?or lo tanto,
.
Para Eje móvil de
rotaclón del engrane 2 7.4
(r)rr
rotación del
'r,=tr'(r-tr)
FicuRL
l--
la frguraT.4a. (ü
al
(r)ll
N:
(7.3)
I F(-l.i\iES
DE ENCR_AN.!-ES
-r,:.,rr(t-ü)
TR¡NES-DE ENCRANAJES PLANETAR.TOS
: i:_l
(7.3a)
Para la ftgura 7-4b,
r
'=, = (fJ0r3, o23
u¡¿r(t
2.q5
- ;)
Pero
o13
N2
g
= _i/, N.
{d34
,o = trr(, Al
comparar ras ecuacion es 7 '3a sigao atgebraico correcto
y
Q.3b)
"9 7-3bse ve pgr
qrlrs
',' = (-#J.,3 -F ,a¡(t - #J
imporrante ,uíi¡n ii .r ,
d".::J;; :ír" z.:. "J,lur,on ?aso ;-;i q,r" todos. ,o,,.," 3rolj"*tiijllli"*ciói"el ros enñ,ñFa _,-^_ -, como er brazo. Esto se lus,rra en u n-óñ;:;::"tff"0"."::ff"::Tres siran así
' Al obtener ras ecuaciones
:,
."rol*r".EJJoiáf,"-
a"l*
,..i" rclación clav3¡Y{ra¡,yse-
;":t:#:li*'
""r""i¿JJ"'J ¿" lor.¿os engranes Ricitñe;;:;;;;"" escribir ecuacioner
,l}1rí.i?f,¡i#e
de man era
qu"
up"r"." @2¿
i
iJiet
aci ¿n
@
zql @ j
o.trr" r.i,11f"?1',1
'
:ffi
;rü*", ,ráíñ;"#::,T:;:
;;";, d;;"t;;;o;;;".'#Jlt -fi ta gura is f Lr.
" "urqlilr Considere nuevamenre
""uaciones
02q=@2r-0¡¡
úJtt
trl3o
Dividiendo la primera ecuación enre la segund4 @2¿ .
ú)3a -=JL
Q)rr Q)3I -
',
ú)
.'j,
ljl
ú)q¡
@2c ,
[
(-t, - rr¡or) = 02¡ -
7.4
para conrener JJ::::"":::*""it1..:_":l"ilT"l"ro"iaudreradvaysecombinaban esra reración- Aunque este mérodo desarrollar una nueva ecuación puru ""au-ri"tema pranetario que se encuen*e. ..Para evitar esra repeticion, fJritl, ecuación general que pueda ", apricarse rr",
t¡21 _ t¡¡t
,0)3¿ = (l)ll -
y
7-3
(7.4)
se vio que en cada caso primero se obtenía ra reración de ras verociaaaes angulares de los engiranes con reración al
,
requiere encontar u,^...fr debido a gue es ra retái;on brazo y se puede waruar
lo tanto,
Pór
ú)¡r
- rlr, -
02¡
@21
ü).¡
(l)-¡l
ro*,
- ü):, -
Si en la figura 7.5 se c-1n_sldera.que engraí¡e 2 es el último engrane,
ú)¡¡
el engrane 3. es el primer la ecuaciói anrenor puede escribirse "nOun"
Eje móvit de rolación ctel engrane 2
en
,
qu,
el
como
@LA
ü)r -
üJ,
h)FA
(,)r
@¿
-
(7.s)
donde @t"
reración de ras verocidades ;=r'1 ro. der úrtimo engrane con rgspgct "--¡¡v e¡rg,d¡lc respecr' aiprime_ Eie fi¡o de rotac¡ón
del engrane 3 y del brazo 4
FIGIJRA 7.5
ambas con reración al brazo = \'elocidad an-gurar der último engrane en er tren con reración a, esra_ bón fljo t'1., = r'eiociciaci angular cier brazo con reiación ar esrabón f,ijo c'rr = verocidad angurar ciel primer engrane en er ren con uv¡¡ ¡úraLJ( reiacion a, esia_ bón úr¿
_
frio
1.,:i':::;
i.;ii--j:ijj
iiiili-g
I
2gó
;TRENES DE ENORA]{AJÉS'..] :,.,:
TRENES DE ENC;IANA.IES PLANETARIOS
.1"I
3 (3oO)
que el primer engrane y el ú' Cuancio se usa la ecuqqió $ 7-5 se debe enfali¡ar .el eilgrane deben ser engiai:"S qüe sé acopleii, 9.qñ engrane 9,-:"gt"1Y:: 'l engrane. deberi-i *áir.riur,,o planetario. Asinrismo. el primei engrane y el último no se pueden ¡¡ii angulares velocidades que las a paralelas debido estar en flechas estas gue representan tar algebraicamente a menos que ,los vecto,ffs sean paralelos. ecuación 7.5 pata escribir la ecuaciÓn para el tren
Alrora se utilizará la
engranes de la figura 7.44- Considere que el engrane el en-erane 2 es el último engrane:
i
es ei
primer
t
,:
Brazo
6
28i
Eie móvil de rotación de
losengEnes3v4 Eje fiio de
rotación del engrane 2 y del brazo 6
\
"ngtl,T:
5 (20D) -.1
i
r"¡:'
";i. r',-r-,,.,.: ' i '|:
' ,:;tri .::r '--' r'l'2!3 t'l:¡i: ,'.1::'j :'r" 'Li.' ': :' riii :jii - '' : -'i.:':fl'-1 :i'¡tr:i:a lit@A.=.¡p¡rii'';;;"'r'i :..:.
,"
:'bi ' " -*'i'1 ;;::¡: "'; ' illi'=l:ütil -:.',,i. ;" ;.1 ¡'. i;:,;i ' j :i' "tr:;
Sustiruyendo estos valores se obtiene
.
.i.
.:
@2¡
Nz
'' "ir;r:"' : :'l
0)tl
td¡6
0)5¡ -
ú)t¡
@r* -::(¡)$
N, x N., N. x N,
?5 20x30 €.-21 2S"18
: :'
..r.,i
.' Iy', ,,-" ciz¡ --J:
tili
0.1:l -
0r^ :=-
3-5
(,r¡l
2t
0-.¡¡
r¡:r 50
-
150 150
1-'f Í en la misnra direcciónel signo de ur., es i-eual que el de <'r5¡.Y 06t'olt está derechc,e[ ex'emo visto desde retoj det ,.nrT,lo de lai'manicillas que no se puede planetarios engranes de tren un anslizar E" ocasiones es necesario el ejernplo 7'1hizo lÉi't.,., medianre una sola aplicación de Ia ecuación ?.5 como se _enpara af¡of'l¿rse 7'ó ta figura de 7 Íe! al inte$o frjo :Débido a que
A;;;il;; ,ii-
': .ii
:11 .i ;^!
se da una ap! que concuerda con la ecuación 7 !3i. En éi siguierite ejemplo ., de ta ecuación 7.-5 a un tren más
compiejo'
Ejerylpta 2.1,,, siet
brazo.6.y el
;r';¿;í;, ...jil; ü,[, es
¿¡
¿,fu¿.
engele
€l primeringr:rne )' gué el engrarre'3 es el úlrinio engratre: (ur,r
@1. -
0.¡
U)Fr
S¡ -
0.r
is ¡r¡qv.:r¡s
e¡r re ¡¡e-"-
_
_r -
problema. La prinrera aplicación usar d(rs veces la ecuación 7.5 para resolver sl apiicación y i.i.o"tia.'"rá tos engranes 2- l. 4 -5 1' el brazo 6; ^¡la .segunda l-..i^,,r- eien:nlo -i.-ñrñl^ ..'; e! en siguier:re ilustra se Esrrr ibnsiderará los engranes 3- 3' 4 y 7 l'cl t'r¿zo 6'
f;h..;;;
ii1sr¡ra.t;tj:: ".]-:.i11 "l--'] .t:::ii:_Y,T: :Ejempto -Je;-ecÉr,). a ts0 y 50 rad/s, r¿sr:,ec{i';ame¡te,
5 de la
"l-Iii."mo
*'
r¿l¡lc + Lgr¡ru
(r'i5te 'jesdc i! e'ctieSi,:r., gira en el senrid{r úe las rnanebiltras del rel'.ri T.?). ro¡acio' lírgura dc mo Oeiectro) a ó0 ¡.¿rC/s. der:nniire @
7.2.
ul¡ @r -
6r (ü..r
288
TRENES DE ENCRANAJES
TRENES DE ENCRANACESJ.PLANETAR.JOS
!'-
3
(30O)
::
Brazo
.?39
pi;:ia ecuación (a),
-
21 ,. E.rcU
I
on,)
:
&).¡¡
-
@¡¡
Eie fijo de
I0.86):t¡s,-10.8ó
rotac¡Ón de¡ engfane 5
,
Eje fijq €te ..,;. ro¡acton de¡ :_,;, engrane 2 y :i.*i det brazo 6
i
.:
FICUR,{
r./¡! iii.,_r
-:;-3}:..¡.i
7.7
.r,;.ti Q):o
UJr (rl2l -
{d¡
ü)¡r 0J0
e¡_N:xN. 18x2g
2l
o¡ó N.x¡/, =--30x20-25 Por lo ranto.
2l
@s¡
-
t¡Jr¡
25
-
ü)Sr -
{¡,r:¡
ü)r¡
60
-
iDr¡ r,rn,
,,,
sin embargo' la ecuación ra) no se puede resorver ya que conriene dos incógnitai. rrru,. Por lo tanro, es necesario los engranes Z, ay
@:r
-
0:l -
7 y él brazo 6. To " '-':: ,il,¡río;r;;,*' "i
3,
"onsid"ra,
,'no
'3
(¡l¡r
0rr=_ff:xN._ 18x28 @:n - -At, x N, = -30 . ?ó ¡¡r, - t¡n, 0 -2] 95-rrr¡,-r"-60=;
:
Zl
-95
:
orr.i
,
.-i.:
o¡¡r.T
Eietüode ':! ro¡ación de )i losengranes3y4 .. y de¡ brazó I
a^,
Resolwiendo la ecuación (á) para ou,,
lr
-t(60 ?l x :9
t¡u) = 0 15
-
o¡¡
+ 10.8ó radls
* = ZOOO x ?9
,
i:,r: "-'rl. :ll
r{¡.X
. . . . ,:;:l^i..ir f:. .i,1. ,,,; .i.i::....-"..., ,,.,1i,. .jjr'! ' r.' ,= + ¡ q00 re{s y misma:djécciónqui t,, . r
.
Eie fiio cre rotación del engrane ?
FICURA 7.8
Eie móvjt de. ro¡ación de toi engianei s y.6. ir:/ ¡!"t,-¡1..-. .:,
s'
TRENES DE ENCL\NA.IES PI.,INETARJOS ?91
r't:
iiii
.290
TREI{ES DE ENGRANAJES
r;:i
::i
¡fi
TABLAT.'?i,
l-,!:
@Bt
.:.i!j
=
0l
= 350
&ng¡ane
rad,is
+l
Eiectuando las sustituciones.
2 ,..
Engrane 3 +,
Brazó.4
I
'
.+J
5
1
8
..il' t+-
NI
.N, 1-
+1
..,¡¡ ili!0 i; ii:
ertrazo
$rÉ
*,.1l::lilo:.::li- .lo:
ae ta neul],?.g'T en magnitud y diiécción. Ver la tabla 7.2.
¡.Ejempto..l.4.. .co.n¡id11que { .ir'lul mun"c;Uas del reloj a 50 radls. Determine <,r,
to, 1+(N'lNr) -=7 1
*:'(i,.'ü)"= .,
= + 150 rad y misma dirección Qrle o¿l
3.
fr;
-Una-ventaja clara del método de tabulació"."t'_qY: t"-PY-9d. obtener más de
:iÉüiit rel¿rcióñ a pártir iJe una dolución. Eir el eiemplo 7'4; si hubiera sido necesario paftir de H¿ete.m¡nar el valor de o.,,, esto se podria haber realizado fácilmente a la tabla. de Llos datos
ejemplos para ilustrar el emPleo
' .i { ::i L-_. r':a
Movimiento con el brazo relativo al
del'
.'.ii
-
Engiane l.
Engrane
+l
+l
2
BrazoS''
'r
E¡e frio de rotación del engrane 2 y del brazo 4
dú+ I
basúdor (paso 2)
Movimiento relativo al brazo (paso 3)
Eie móvil de
rotación de¡ engrane 3 t{'j
iitl ;:lf
0
r!:
Movimiento total relativo al bastidor
i': I
+l
FIGURA 7.9 ils :jl ii r, I
.t. I
1i¡i
TR€NEs DE ENCR,A.NAJES
/')'
Elemplo El ejemplo 7.r y ra figura 7.6 se van a desar¡oilar a continuacióni¡ll dianre ei mé¡odo de taburación. Debido a que rodos ros eñgránes dé es¡e trén glián,}rml¡
;. , .,,
ü ,"y," ;^^::r:'r'""ffi:"#,J:,*:T:T"::'J:,:'^",5t;fj.9"';;-J.n o"úi¿o q*.rüiJ"n";j .e-:-y.e.ads .n'Lul!", éste debe ser er número de vuertas qr"-"r,á ' sujero todo o o". É,? *;tü,,,l*i,, " r de ra rabra 7.3; nore ;;::'3i;#: :':1?",,':.:::;::":,"r:Tl'.i1:*#::it "";ná;;; !.#ii. ", en ra rínea z pu,uá*-"1,;J""-*ü,Ji:, +50i;;"1::'"i:?:j:':::::,'^t:r':-"i'lc*":5 Con el brazo 6 estacionario en la Iinea ? y el engrane 5 girando ,""
. _.
"',
-'0.(#*+) =,r;- ;;[ry)
=,.150.
¡
/. +i)e5\ :60 x\l
= + 30.9 radls y misma dirección que wJl y wól 1-- r,rrt J oól
..
Ejemplo 7-6- ¡nonse resorverá er ejempro 7.2yrañgura7.7 .sre pro
:: :t,,i 3? .1_1) _u I por ello i: se ::li, requiere una :variante en
bI
ema, t a
ue
t
oci áad a,igu rar oel
ra solución .on ,-"ip""ri
ii,
_
=
r". ..;
empreando
brlo-s";;;"i'ir¿to# ; ;ü'
-
TABLA
7.3
Movimiento bon
Engrane 2
Engrane.3
+ 150
+
e¡
brazo reladvo al
bas¡idor Movimiento relativo al brazo Movimiento toral reladvo al basridor
T1.BLA
N.XNt
úo
-
loo/N' t-N,) \¡¿.
150
+ 150
+rooff
+loo
S &
-
r00
+50
x M/
7.4 Engrane 2
Movimiento
'.Erigrane 3 :Engrane 4 Engrane 5 Engrane 7-
con el brazo
rela¿ivo al bastidor
MoYimiento rolailvo al brazo
Movimienro reiadvo al
x +,1N., Nr) \N, x N"/
roral
basridor
60
;
-..i.
i"a;l*btirls;i'-::1"
-::n.
+xl :l
_r
ENcRANAIES PLANETARTOS
'*'(r+#) - eo'': ,t ,..,i. li ,(t-H#) =60":
,
:,ro
DE.
2g3
En la figura 7.7, con los daros del ejempio 7.2, .;-r,= 60 rad,/s con ciirección en el relo.,' visader¿, iliJ*,r.'no derecho. Se requiere dererminar "r:*,r:,]::^T^"::.t,,T-o:l y sl d¡recclon, ou, se desconoce y &rirj:0j ;s, Considere eue: ='iu, = ast:,,.lj ,, ,
conocida, la roación de los engranes 2. 3 y 4 se puede "n"*O*¡.¡.r.üg'. """a'to*;t dereqr.riqa¡ fágiln"nrq
,.,
ApLtcActoNES DE LOS TRENES
r
+ 10.8ó radls
?q(
APLICACIONES DE LOS TRENES DE ENGR,ANAJES PLANETARIOS
TRENES DE ENGRANA"iES:
Z)4
(r).,
,
+t se
Oel motor
A la hél¡ce
o3t 'alj 4l
FIGURA 7.I()
.tJ:r I €i:l
i
:ii l:i
I
,1:,
i:
f:: !ll
.:."1
:-r.i
-f i:.
¡ii i.:.
-::5a'-.-:J..
-:;'.': : '' FIÓüRiti7"-llliunidad'planetária de }rétice'.de un:avión;'(Gortesia de
Corp.)
En
la:
,.i
.,1
,'
,.
..:,
de:reducción para una iransmisión Foote Brothers Gear & Machinery,' i
2 sé figura 7.10; ei motor mueve al enqrane interno 3. El ensrane
que tiene un movimienácoola óon el:ángrane frj o'1 y con el enqrane 3 de manera al engrane 2, conectacio que está r0:planetano. El.brazo í, o ionuao. pl-anetario, la relación ecuación'para La mueve ia hélice u rrnu,r"ío"idad menér que ei motor.
¡*:¿:t
.
FIGURA 7.12
296
rR¡NES, DE ENCRAN{TES ENSAIVIBLE DE LOS TRENES DE ENGR,,{NAJES:PLANETARIOS
{IGURAT.laa Diferencial de en-
FIGURA 7-13 Diferencial
granes cónicos.
de un automóvil. (Cortesia de Gle¿son Works.)
n9,2
ir¡i¡f1i$.:,.41iU1',#ür¡'é ai.¡qgooi z.,sl'ei,iarro áuinru "ririnrrfl grrp óómo unaunidad,cón-él poná.ilol -e¡tu¡ .ovimieñtq rélarivó éntre elloi. Los engranes 5 y 6 hdcen
lnue;ve
ar
ad.gfantq,lós édgaggi:4; 5 y 6 _."_.:",nu"u
I,1o,.TJ Sin embargo,
cü'ándo-el
r'"eita
rOS
éígran",
firar,a'tos
S
fO ñ;"igrran a l¿,iiüs¡i. ¡t pidt;;é, ui *iim,
^,rto'duü.ráque m-a velocidad y el engran:.f girar alredldo¡ dé s" tlempo que movidg no.,ef'ngrlacpt, e¡ i'r"."ruot"'n"r*
!eI:
,
ñ;Í
ülá li¿'r"i'*.-
!s das se mantierie esracionari? éj.-aefi qúe gir. r;ur"*"*é;,ñ;gü#j-. t b.i"c-"¡la rueda girará a una veiócidad ápi y"I"_r_*lddiü'q;;if¿"1 ¡¿¿áJr. e stu."*á¿tér, ri¡tj9a^e9 una désv;r-r.taj". -9i-A;;€ú';ds*ü;;.ü",#;;1¿;"*1iiii"1T*' Lomo se menc¡onó ";"ng; anterioifrente dn er cápÍrulo 2 lseééioñ z: t 6; Eremenróf de cálculo), los sisremas de cálculo electrónicosi*i,""rirpi*"-áo ¿rá"" , mecánicos..No o.b¡tgte, exisren aplicaciones U, prefiese "r"01ü 1P: ren los elementos mecánicos debido á cfue no iequieren energia "n eiécrica. Las figuras 7.14ay 7.14á rnuestran un dife¡enciarde.ngrun., un diferen-cial de engranes rectos, respecrivamentei Las uñ¡¿uais de engranes disponlbles en varios tamaños comerciaresy se urilizan extensamenr" -.-.' - --- ,r, requiere un sistema de control ",rurr¿o Existen muchos diseños,¿é'trétiés'aétfu""s pranetarios y urra ampriJ .rectos. En esre diferencial el engrane 5 gama. de re-laciones posibles. Las apricaóiones mencionadas son sójo dos de unai,: :, :', {48D)y el 6 (69D)-son amplia variedad. En muchos c_as-os es posibr. u] -gportador 7 se fija a la flecha "o;p"urior-v ', poa";_,,, t" mayor con una transmisión empreando un tren planetario fluVe que del cufn: engrane ry1¡neeu.eña 2 (48D) at piaiieta-, ¡i1 db se emplea un ffen de engianes ordinario_^ 3 (I8D) al engrane 5 y fina¡menre a¡ en_
j1::ii
,
li"
"d;;t Jó;;;;;iÁt' o.tálculo,melúhjbo. out¿""r-r";;;;;;;lJJ""ii""
grane 6.
7.4 ENSAMBLE DE LOS TRENES DE ENGR*{NAJES PLANETARICS
cuando
se. diseña un rren de engranes- pianetarios se debe consid.erar el problema ciel ensamble ciel tren con planetas isuaimehre espaciacios. Con el rren-iiusrrado en
(b)
figura 7' I 5 puede suceder que para un número dado de dientes en los engranes l' 2 v 3 quizás no sea posibi. i",'e-r la
rlnr^
Para ciererminar
¡
oj.,"l.s
pl;;;,; i-*;".#;spaciacios. j elnumero 03"-r--ü;;;r pianetas que se puecien usar para un número
en Ios ensranes
1,2y 3, e's necesario determina¡eláneulolOB en ;"::."_. Lcu-9ur-3,'.lo¡.oueresul¡aiecueeiengrans3ha,,,esiciogirado,-¡'nriú¡n"roar.r,__
297
298
ENSAMBLE DE LOS TRENES DE ENCRANAJES PLANETARIOS
TRENES DE EN-GRANAJES
l.ii ourtit ciel análisis de velocidades i-iJj;ti"o al que se está estudiando,
del rren planetario de la frgura 7.10. gue es
ú)¿r :: "
;-p6¡
N,
'@Jr
.1-..... _
299
:F ^¿3.
^/r'
lo t8nto,
''1 Ar, Z y Nr.'N¡+Nr
¡+;;
.
1
N¡+Nt
..4.:i¡
reVOlUCfOneS
--: brazo 4 cuando d esel ángulo que gira AOB 9-l ¡Íi¿ngulo - un espacio de diente, el ángulo 3 mrii?" "f engrane i. 5; et éngrán" se mueve entre los engranes planetas si posible ángulo el m--enor igual i'00,. Ést" "s gra un n¡r.r-rero entero c de el engrane.3 Si pr.m¡i" q"q éitos,sq.traslaperi-
Try:i":-l"l-"i11
ios de diente, entonces, '
.',
i
:LAOB
c(0¿¡),
=
(7.6\
ffi'*voluciones
l:: tP:'-:l :i: :::13 ; | ?*: u-"orrtin,ración ét caso de la figura 7.16b en donde el engrane I ii'-''ó;-;;i;"r" 'ie estacionario y se requiere engrane 3 estacionari" airedn un rrn espacio esnacio de rle diente con el e.ngran: ';-to ha girado I :"-1111t:t:
...i'"oy *.3.
e
I ángul o enl.:
ü;ñ;;i
a,"glá,aon,.si.0i, es igr:al at r¡iovimie¡to angular movimiento dediente u¡v¡¡lv Y 0.ol espácio uv ur¡ srPov¡v que gllauu uñ q,rr"h" na sluo sido girado ¿" :tlesllues og táilptr* "" entonces 3)' engrane al respecto con (ambos 4 :rr*1,*rt ¿el brazo
l*ll:t
1",""fT:-l
*.
1
etr=M ":il'
-j_
' 0¿¡:0t¡X, .. se puede rJeducir fácilmente
/f3. si 0lr girado un
0¡r
: i
Nl
Nr oo: -G)r3 'i/r + A/: revoluciones
1
=
03¡
(rr3
due ..
o"=[ 0a¡
(¡)¡e
*"' N,+N¡
1
N, +
N''
X
'iil l,iir
i::::i,,:j
3OO
TR.ENES
ENSAMBLE DE LOs TR_ENES DE ENGRANAJES PLANETARTOS ,301
DE ENCR-dNAJES
:'. ! .,,.:. ,..'
.- .....:r1/.{
j --.-.' ,OA.:=- R, +.R" .,,.'.
.
. .';;
,.',
..,t,
Ror: R,
Comparando las ecuacion-cs
?:6 y 7.7 se puede que el brazo 4 giru mismo ángu_lo independienr"-".rt" rll .ver d" iu"r o et engrane I giren u¡s, o más espacios de dienre. "t. "ngr"rr"
;::::i::1""ÍÍ#,::"':ri:j:l:"-:"i^:"l"iuciónenrreprarredi;;;¿ialr
ji"-*iáJ,i"#i;iil:l.$
::;::igi:""ffi l:i;ig:"1"#^*"f
:r:::l*i:, ;:::il"'¿il"'.T:H?Tl.e¿?,p-*.r"G!,J;;ñ#;",d;,ilil3!li1l;1 r.'s; iépi"s*ü J ;.i,ii;.";,$lli#T:xlt":::::l¡
dos arrededor der engranó
"
F
valor de.i.xr! *
fr :f fi H*il.,ij¡:H:3'r";_;;;;;;;;;:üujT;ll[iJ ff *ffi Jluffi11,i;ll**::*"i:*:[1Tp1ü;i.i111.ff#aillü pLa C. De la figura,
dos engranes planetas casi toc¿n?ose
n-.max
en donde
"" "i
360, = LAOB
LAOC
' LA7C = ,"n-,€ .oA
R¡
:' ¡ *' *' '2R, '.:
. .-
;
'I
r :.
,.':]
¡?>R,
:
'r;Y
fi:::!:
I5, er ensrañe l;I;""*"n:::: :f:l=fne¡aiibs i,i.!¡.."p""i"J;G;ñAT##1n;;T::H;::::ffi:,:ilj: i:;1.;'j,*ij,lll:l::*:j;;;o";-,"';;:;-",H:::,.ilL."ll?iTJ;lj;:j"""1"","T: similar ar de Ia ngura
¡¿,=.N,-N' _90--50_.^ f
FIGURA 7.I?
2
7.
_"fiz
PCTENCI^. Ci RCI.¡LANTE EN
TRENES DE ENGR-{NAJES 180
180
n:mu
sen-r(N:+zy(N,+N:).
= sen-r(20 +2)t(50+20)
Elemento
S
ISTEM.{S CONTRCL.'\DC
-... :.i,¡¡,r:::r...: ,i¡...;.
_.¡u:.,
90 -F 50
a,
7 (90)
.;
140'..-.
J,¡.i
9.8 planehs
no puede ser mayor de.9' Por io tantO..el número de planetas-en el tren de engtranes .t1.
N' -F N, ccc
S
Elemento c
Brazo 10
I (140)
al divi( Ei valor de c debe ser un número entero de espacios de diente e¡re planetas ¡ 70' 28 ó 20. 140. 35' igual a ser c.puede 140, dará un núrire¡o entero n. Paia este'caso, lo tanto, n = i,2,4,5 ó 7 planetas igualmente .
esPaciados.
EN SISTEMAS s P LAN E TARr cRlq.NArE c o ¡$:tR o LAD O s D-E'iiN
B
Pr"l. - |
hP
|
7.5 POTENCIA CIRCILAA{TE Como se
üo
O S'
=5hp
en el esnrdio,ante4or,,l4l,Fpn dq,9nryq9,..plel-e-El9$ 9ft"l,"9,o,gqTl aé'"és eléineiiioi'liiaiorídi,in ¿on¿e id i,élti
iii.'"*i"l'";;;;";i;JáAi¿
cidad de cualquiei elemento depend-e. de las velocidades de los otros,dól todós los diseños considerado".lltll:¿1.--lmento'ha h?.p,'d: d:^t:lTdf]lli pendientes. Sin emUargo,:ds pts;Ute:a;sé1a¡.uir difer"ttciál planetario en aold;
engr.qnes 9919"i,i1deJ' velocidad vvluuluqs de un elemento está controlada f¡pgl,- 11.,.!rr , j .:.. :., r¡.¡ -.:¡ir¡lJai $¡. .t ¡j._. -, . cuaiquiera de los otros elementos- Esta adiéióñ ie cónoCe-cotno circuito de coi' trot áe ramificación y puede contener.,un-trpn de engranes de velocidad ftjao. velocidad variable. anlqlares para -u'n'sisteaa pJ111gEgi - : Aunoue las r.elaciones:: de velocidades fá^ilmente la cargadtr -'-^:".i:-'-^'^^-*^r fácilm'ente,-es,djfigi\$eterminar caicula ^^i^.,r" éé 9,a-r¡L$ ún c¡rüi'ro di'cbntrol "" ¡;ncil detenilinar lq á^r Fc nrrrr ;mnñrfenfe orre se cons¡dgfela qYt,t' "on importante -.-^ muy Es ^:.+--. del sistema. dentro potencia circulante cantidad de potencia circulante'en el diseño d9 unidad, pues de lo contrano
de potencia en un diferencial planetario es necesarrc básicos. giratijrios del sistema.como elemento a los tres elementos ignar a
Al analizar el flujo
que Ileva a ,{üirrinto á y elemento c. Uno de estos elementos es siempre un brazo:^^:-,{---dnan tenerse eficiencias bajasindepenen ejes engfanes elementos son y dos los di planetarios otros allá más engranes está $lós EI diseño de'un,,tren de engranes en:base a la resistenciá 'f¿¡rnt"i. que proyecta desde el difese miembro aquel será a siempre elemento circula¡t=e EI la.potencia -ul"un* ¿",ta Sin embargo- el sálcul.o'de ial hacia el exterior del sistema y se conecta al elemento ó a través del circui' directam"nr, ¿ diseñó einemático que ié:consider(¡convenie¡.f .on..,"¿o tan"¡n"-¿ti"* -r-i; iJe control de ramificación. El elemento ó siempre será aguel miembro que incluir un breve rratamiento del tema según-lo Presentan Laughlin, Hol potencia hacia o desde el diferencial al circuito de control de ramificaSransmite Hallr y)¿ J4¡¡5v¡. Sanger.2 potencia direcamente hacia o desde el exterior dl sit,.p"rr'""1;;;;r" pl"i"titl:t ,?lr^ engranes de tren un de dibujo La ng;¡ra 7.18a muestra un 41..1: El elemento c siempre será aquel miembro que se proyecta desde el diferenun circuitJde conrrol de ramificaciónfoimado Plr-los engranes 2' 3, al exterior del sistema pero que no tiene conexión con el circuiial direcramente éngrañé' al irtrpu{sa q". transmiie potéritiare flecha I es la flecha d" lá figura 7.18a, el brazo l0 es él elemento a ya que tonla poten"itruáu de: üé bontrol. Eñ circuito ravés del I a flLcha por la brazo 10. El engrane O ñ"lrudo iiiá'desde "s el exterior del diferencial y se'conecta al engrane 6 a través del circuito trol. La flecha ñ, qu" es impülsada por el engrane 9, es la flecha de salida. -..'- it, -. ^^-^-- ---:t^iy -^no -:--^ tiene conexión directa \i 'ltt"i: ,tle control. EI engrane 6 es el elemento controlado transengrane 9 por elemento El y tanto. el ó. :hacia lo el exterior del sistema es. , ¡¡.¡1. .¡ire con y tiene conexión no del sistem¿ exterior hacia el potencia directamente '@enkoyA.S.Hall,¿.HowtoDetermineCircularingPowerinconi¡{fiid. que Se debe mencionar elemento c. Se el tanto. por lo y Epicyclic Cear Systems" . Machine Design,28 (6t.' eS, control .el clrcuito de rD. J. Sanger. "The Derermination of Power Florv in N4ultiple-Path Tr¿nsmission Systems"' Machanitttt aoiicaria la misma notación si la entrada de potencia fue¡-a a través de la flecha B ¿:1i....:i.
.!
anci
l4achine Theon.T II).
304
Tq.EryEs DE ENGRANAJES
;:flfi
POTENcjA CIRCULANTE EN SISTEMAS CONTROLADOS
a,ra a traves v es oel d e, brazo yí ia ii flecha,{.l¡Por b raz 6 il lo tanto, iaai ffi:'.,, tú¡ ou.l.-"Ill,"o","r'o-ot'ta'ruera i':: :, :"" :,, : :il :1:3.* ,olr,n.n,. d.¡ :onfisr¡ración ¿ei ¿¡feJet¡l¿;: "o"'-*ü':¡;,:L:.ji:f*:.,llf?yr'.Í:H :i:::,::r",.j,":.1?:ld.
i;ilÍlJ
rlro
_..i"_;il;iüi:iTü:Tlinj:il. j:i¡j:*,ll"i!,';".1",,,",11J".,,."¡¡ ?;ü:T:t:::f a""a ::Hi,i*_X], "¿,',i#lij::FX::,K, l''f I : : :;,, " ." i"-a ;itr il: l;iijt"'j:üi::?,^ffi í;:,';,*,i,:ii::i:il:l['.T:x,rj*:1 "!".:["¡;:f #;l".xfi :'"".'f lf
í:l'.::::"j:,:::,*fói
'
=
R) r
en donde
-t I
üJ¡ -
primer
.,
ü) tryl
r¡,' = -i l (10,800) + .(7.17)
,
.
. Por
t.=
''f0o !=+:
'
t'¡sl
1900
üJ,,
¡(=-{¡J.
Ejenplo 7'8'
considerequeener ciiferens-.ial mosr¡acioenlafiguraT.Jga,co,=i600 r?nr en ra dirección nrosrrada y ra enrrada i. es de 5 hp. b.*.rr¡". ra.porencia f.,.".r" que circula en el circuiro de conrrol
1'=<-
4lr _ ,-q
ru_lnJ.""'.n
Po:
' ,ft
rPm
j
l,
r(1 - Rl l-r
or, ,/.=-- ot¡rr
'J'1'ü:i":,'',1?i;:#
3ó00
lo anro,
Susrituyendo en la ecuación 7. I
. (rc
l
i
= 900 rpm (misma dirección de roración que or¡¡y¡)
..
"rí
O.
ta velocidad ángular det engrane 9 como sigue:
NnXN* 30xZq NzXN, 60x4g r,¡r' - 360i) 14,40(,t - 3600
@ryru
0)wn
que ta porencia fluye hacia adenrro o rru";" q' r, -y es negaltva, la potencig "rÍ"j, / rlt¡vehacia er diferenciar u¡ s a¡ravés r¡eys¡ o" (rs uno qe esros e lemcnros rno á" (ó o cJ y hacia afucla a¡ rravés del orro
oro.
lll, (t¡
ecuación:
@rytr
@ol
Í:'":'i::::"Jili.'::nf :.*'":i;i:;;;;';;:sfi
-
er
....
i"lJj":1,";'::]3:i'Í]rl,_.-l
N,
(¡lwru'(¡!ut-ettwl
,.
R
lJJt lt)ts -
"t:
'' .,a..-'-;
(¡)6
x
f o;'"i-"nrrun" e es er,úrrimo !-es "ngon" erof a-'i" i"' ¿. "!ln;,:::^.i^":g1: ?"* :; llTT;n:' ;: :T: 9e ffi; :#::"; la siguiente ::: ::l:1.1T l1m . i' ob¡icnc
ar-rr¡¿(o.-rr¡o) ' t.l.(üro - r¡¡)
r(I +.j t-
40 Z0
Or1::1r,:"itrar
Resolviendo ras ecuaciones anieriores en forma simurtánea se obtiene
ar'
x
20.x
360040
t.l))tt Ut
"
If:.To+To+4:t IP= To,;,o+T6,;,o+ 4o.=0
i,i :.i :.i
3ó00 fpm
Empleando la relación (ecuación 7.5)
(7.10)
Además, considerando al diferencial como una unidad aislada, i
=
.,¡.
:,::l::*q., relacié¡ , una
"n=& ' p" -Totu T"@"
=
@¡:@¡r=-.,.&*N. '-N,
,:'::*;:a*#"{j:#:ü:i:i"",il:'T"*-t"TJ 5:i"q:iil'j"i:'"ffi""ii:ffi jÁ:;:ji;;ffi ?1"i'ffi :?lH,'* *'.m#^"*:'ir"iü;?ffi ;;;*Tffil::ffi""l Í:i'j::::::.'r-"^"i*.'.0::ut*,eiJ"il¡;;;;:';.";::l#"1",j#F-:,fi
.y de esras potencias
=
(dr'r
ai.:;
"
.:
30s
1
_=
)4,400
_
3600
ot,r¡ 36OU üJ,rr=__A 900 - ' 1) , -
.
T+
io lanro. cie Ia ecuación 7.10.
A
'
i
306
porENc.rA ciRcULANTE gN SÍSTEMAS CONTROLADOS 30?
- TRENES DE ENGRANAJES'
P"o= lP. =4x5=20hp
7-
iie los elementos á y"i en lá El valor positivo de 1 indica que la potencia fluye a través Debido a que el flujo.dc. diferenciat)misma dirccción (hacia an¡cra o hacia adcntro del fluye potencia.ci¡.cul1n1e la c. gilemerto de.l través a diferencial potcncia se dio desde.el flujo del y d¡ direcciones desde el diferencial a través del elemenro ¿. t6ima¿h¡tudes poteicia se muestran en la figura 7.18á.
I
6 (64D) 3 (30D)
(3oD)
Ps =20hP Elemenlo
C
wr¡ü¡us -; EjemploT.g-Considerceldiferencialmostradoenl"^t-t::t:.t^t:,:"-",:::::J"T.,I L)JÉtt.P.v /./.. -""----. ñ__-_:__ l_ potencta qui ^^,la la ¿ir,ecciOn niostra¿a y una entrada de potencia de 20 hp' Determine
circula cn el circuito de conüol de r¿mificación' Apartirde los datos dados.
.,.-,
..9e¡
= l$,¡prr,
!-í'i
' i¡
.' j ;, -ñ(f)'
=
=
@!t
oo,
-
100 rpm
r
':ii
"'*(fJ'=.li¡¡-i¡ 'p'
- -133'33
ü)¡r
"
rPm
'i..,,
0)ZltO &)tt - ü)lrYl út¡rto ú)¡r - ü)rYt
frii:"'[
*'
en donde ü)r¡o
edro Por
x N. " ?! = -1.145 - -N. A/t x A/s = -64 38 x 36
lo tanto,
-1.i4-5 =
-200
-
-166.67
-
0rr¡,.r
,\
4t"
*,"=r-J
82.2
pn .,' .,iai.'ee9¡ qn,áp ué¡3,,.1 e*, )
p¿1¡¡ ¿at *i¡¡gg;preséntado'anteiibr.riiente;ilas
m!¡ims'¿, á.)t'¿ mostrados en la figúra 7: lgalresultan ¡:'. ¡irt '! r¡¡ ¡ riüí,¡ :. -;.'; ;:. ' '; ¡.r . , ' . -':';:'(J)u,=
uor
=.- 166-67'rpn '-., '' ' ;
0¡ =
='- 200 rPm
. 0.=
oru.¡ =
-
& loi ele, ' "'
üelocidailes angtilarés
ser'l
l"Q2-2 mm
Ahora se puede cleterminar la ¡otcncia circuiante a rarti¡ de la ecuación f- i l:
:
309
TRENES DE ENCR,A.NAJES ENCRANAJE vfoTRrz ARMONTCO
en donde
Q)á @" .
F:-=
_200 _166.67
=+1.199
EleDanto estdado chcu¡a¡ un éñqrañe ¡n¡erno
ro -l 66.67 o_ +0.915 t,l(. TjB2.2 =
Ga¡endor de ondas
Por Io tanto,
cpdiunto é,ipti@ de fodamienlo de bolas : Un
t.r99(r - 0.915) -.--J=]llbb-: '
lii,
-o--sl3 Elemoñto egri¿(ro (Fbxp¡¡nel un ongane enamo
,i:
'-i
' '.,i:
P
"¡,
i:
,!:
l¡(:O)
lP,.=_-O.S
=
-l
0.3 hp
ti
i.:.:li.
t:
f ii:Ifi""Í
' 'i':11
I
:.: li l:
7-6 ENGRANAJE
;.
. , '
i
:..
ta entraoa itet generaádl dá
desviaar :L11_g'ir,* ftexible
....'-'d¡sntes .€snado
á¡ d eie
MqTRTZ ARMóNrcos
El engranaje moriz armónico es un principio patentado que se basa en la mecánica de cuerpos no rígidos- Emprea roa tr!, concéntricos que se mues¡ran en las figuras 7,.20a.y.1 .2-0b para "o*ponenres producir unu ,r"nru¡
reducción de verocidad elevadái- Et empteo-Je -".ani"u y un, Ia mecánica de cuerpos ne nsidos o: fr¡x .iupi i y con ti n ua n . n*.ini-"ifjii; lón no rigido, proporcionando de_oeesra ror-" "" "n, lr, nuo coD un engrane interno rígido. "";;r#;""J""r"0"i,."ro conrr.. Debido a que ros dienteJder eremento estriado (Flexsprine) no rígido y dcr la estría circuiar rigida esrán en acodrarileit-o conrinuo y debido a que e I erémento estnadó flexible tiene dos dientei *noi qu, ra esria circu)ar, una revorución movimi ento re rativi- enrre. er el emenro esriado fl exible
'll
r.:
ffi i::f :i:,f f ;?:;:'t"
complelamente dgsacootados. mayor pane d6l mov¡m¡enro relaüvo ocurrg aqu¡
0" i¡
.l
!;,
El etgmenlo eslr¡ado cj¡culá, r¡g¡oo esá fiio con resoecro a ,a rotacjón
r:¿:3'#i*ffiH#F#"jf"jdff:t'ff,g'"fif""ff".m,:::,,:l"fj"#,lil,iTT*ffiff;H**,."J: 0o
.r;i;;;;ffi?:iiltJ;
?_
lEl
,;r.
fnavoi--*
L¿ sal¡da det e¡emento estnado I¡exlore g¡ra eñ di¡ee¡ón opues¡a a tr entrada
i:]::: :" esrria circurar v:: laI ::Ti:i. iguar a dos dientes. De estalbrmr, t4a roucionaimenre, er elernenro esriado ñeritre gi.*í .n u*iir.i.ion. opuota a la entrada a una reración oe reouicién iguir ur número uL de urstrtcs dienres der elemen. ro de-esra sección esÉ adapÉdo direcra¡¡enre ,marenaj OEmhan Machinery Group, wakeñelá. ¡r*... .l_*;::í:il:fi::,:::::'i,:.,:r":.:.Mat:uatdt
etemen¡o para acopt4tos
'''
::T;; ::::::::.1,::::
es¡riado flexible dividido entre
fl or¡btg
oo .ig¡do
EI valor negiaiivo de 1 indica q_ue er flujo de porencia a ¡ravés de ros erementos c será en direcciones opuestas con relación óy al diferencial. Es deci¡: puesro que el flujo de porencia se dio desde er diferenciar a.ravés der eremento c. Ia potencia circuranre fluyea Las áagnitud"' v ai'"".io*,'l"l n';" o. p* i::::: i:Tñ1d;ri;e;cia¡'
, ii¡
I
=
.igido
FIGURA.7.2O
30g
31'S
PR.OELEMAS 511
TRENES DE EI\¡GRANAJES 1(16D)
Esta rotación re I ati.r¡.ase.pue{g-.ver. ex aminándo e i m owim i ento de un con revolución luci ón de entrada, como i€xiUlá sobié med i a revo diente del elemento esú.iftiÜTfléÍibl!.s.9.-U?éq""dia .t,i.t-,.:.i-¡1i+-,ÉÉ¡Fj.:..
muestra ¿a
.-'¿
se
S¡nfin de
áó;crranoo el eje principal de Ia en¡¡;i S.liCuando .el ej e p¡lncipal del gene..
¿eiEÉ€iáu&li
iáirat El reengranantientg cómplerg ia circular cuando el eje prin.. forme el eje principalgir¡; dos avances de dient
ruaói'a-e ofiaffgíi ocurre én el e cip-al se gira g¡
.
l-
563 mm de diámetro
11.'
(50D) . l'
¡-:-'-
'
;"';?':.
la transmrsron Pueoe
¡unciG-r
]
8. 392 mm de diámet¡o
el engrane se emplee pa¡l o para la operación de un dife. 5 (42D1
FIGURA 7.22 !é,fP r.r_r j ..Fi+r' rpm- Determinil¡' Oos rodillos de corte A y B para el corte de l¡irnina de metal se mueven mediante el 240 rpm. l.L|uL''lg.-.rJ.v¡.E.-..--o--:remalleraiü'] án ia dirección mosfiada a 24U engr¡rnes mostrado en la figura 7.22. Las rodillos deben operar en la dirección la c y de de dirección *.tren por minuto) (pies velocidad vg¡9!¡Uss\¡y¡¡ (rpi¡) del piñón 9 y la velocidad-w---f i:', i:::1:i i:_i: ., a una velocidad periférica de ¡-150 mm/s. (a) Determine la relación de velocida7.2. lJna gnia.se opera medianre un moto!.que mueve a un gusS{ro,.de.1¡.guerd-as- {.,jug,$r :I.mosrada li.rlo'rpara mover los rodillos a la velocidad requerida. EI €ngrane I gira a angulares ;i¿es .!
;ffe
acopta,i i.ri
U
enffigde
l00 dientes.El qngrané:.t'á."njl: piñón se acrjplá con uii-pirgranc Oiqóf¡trcpió dle 20 dientes. El
il1'-Tl-T1:I1-".:.]iI*'
úl'"*U¡¿1"-;;üá.""
rprn. (ó) Diteimine la dirección de rotación del enlrane producir la rotación requerida de los rodillos. f-jliLra áJSOO
I y el sentido
del gusano 6
,ii,¿. Enel dibujodelaprensamostradaenlafiguraT-23,loselementos5y6sontornillos
unidad y calcule la velocidad dé-izb¡¡ientt ' ¿é:iZ ñriigy el dirimetro diámetro del tambor es dé:12 ñü
una sola cuerda de sentido opuesto, con el elemento 6 enroscándose dentro del 5 se$ún El engrane 4 está fijo al tornillo 5. Una ranura en la placa evita que ésta gire al pulg, lencajarse en et bastidor. Si el paso del tomillo 5 es de * pulg y el del tomillo 6 es de * -,,de
Lse indica.
; determine la dirección y el número de vueltas una d¡stancia de i pulg.
I
delaflechaá que se requieren
para bajar la
;: placa B
4 (120D1
!:..
' ¡,*t.,,. i:;(48D) .':v\'_,,.,,,-
7 \8
'Sinfín ,:3 (80o)
FIGURA 7.21
.T
(80o)
1
izquierdo :;"
..i.
,.7.5. EI tren de engranes de la figura 7.24 muestra las cairacterísticas esenciales de la ::.transmisión del husillo de trabajo para una máquina fresadora de engranes. El disco del i. l-L^-. deben -:-girar flecha y misma Á--L:.engrane I- y el engrane 9 del ggsano están montados en la --:---.. juntos. (a) Si el disco para el engrane B se va a mover en el sentido de las mapecillas del .- rcloj, derermine el sentido de Ia fresal. (á) Determine la relación de velocidades angula..,rcs r¡y'r'¡s para cortar 72 dientes en el disco para el engrane B. ,:7.6. Un tren de engranes contiene una flecha7 a la.cual están unidos mediante cuñas los I y 2. una flecha intermedia B con un engrane compuesto deslizante 3, y 5, y '.-engranes una flecha Ca la cual están unidos mediante cuñas los engranes 6 y 7. Los engranes están numerados de izquierda a derecha; todos los engranes son rectos, con distancias entre centros de las fiechas de 12 pulg y un paso diameral de 5. El engrane compuesto .se puede desplazar hacia la izquierda para dar una relación de velocidades de 5:l mediante los engnnes 1, 4, 3 y 6, o hacia la derecha para dar una relación de velocidades de 25:9 mediante los engranes 2, 4, ,< -v 7. Elabore un ciibujo de la unidad y calcule los números cie . dien¡es en cada éngrane si N, = Nr.
31?
TRENES DE ENCFL{NAJES
PROBT,EMAS
1 (18O)
i.
313
.
ij¡:
:i. ¡-.
l
:.1
íJ;rjLÍ"Hl:li;:ffi:"
de ra ngura
7.2s.los,.:i,]'"r
5
y 6 son de una sora cuerda y
Bfg;j;H:;,""Tlg*::ffi ,,:::il11i,1,,:,T*:.itml:*ffi ;-d;-,;;"-**ffi::il'J#:?i1.ij:::il,"1:##::ill:*1fr
I#
**:".T
7'8' La figura enrrada de
7 '26 muesha pane de un ..en de engranes par¿r una fresadora venical. La potencia es a úavés'¿. ¡" por* ñ.ilo'" l" oor"rcia a ravés der engrane 12. Los Po,ea
$' :
I l.l,t
ll.:..
4 (36D)
FIGURA 7.]4
r2
(41D)
10 {460)
EIGURá 7.26
3111
PROBL:MAS
TREi\|ES DE ENCRANAJES
ll
puedendeslizarse. como semuestra Paradar engranes compuestos 1y2,3 y4,y 10y fodos los valores posibles del tren e¡¡¡. engranaje: Determine ciiversas combinaciones de la poiea
y el engrane
12.
7.9- Lafigura7.27 muesti¿ parte de un
;.
;
3l
O¡entes de¡.
emofague 1 (15D)
;
üren de englaries para una
fresadora venical.
Lo¡ con el
A les ruedas
Al motor
: engranes compuestos.,l y 2 se pueden deslizar,de manerq qu9 el engrane I se acople 5, o blen el engrane 2 se acople con el engtane 3. D¿ la misma manera- el engranc'i "ng*n" 13 se acopla con el.engrane .15 o el engrane'14 se acopla con el engrane I 6. (a) Con el engrane 2 acopiado con el engrane 3, determine las dos velbcidades posibles del husillo,
:;.
.
cuando la velocidad del moror es de 1800 rpm. Indique
!i
el husillo girani en la mis¡n¡
I y 5 si los engranes 1 , 2, 3 y.5 son estándar y tienen bi mismo paso diamerral7.10. En la figura 7.28 sé muesEa esquémáticamente.r.rna:,transnüsión automotrrz con__.. vencional. La transmisión de po.tencia es_como sigue: Primera: el engrane 3 se desplaza; para acoplarse con el engrane 6 y ia trinsmisiónse efectua a través de los engranes l,4,6,; 3. Segunda: el engrane 2 se desplazá iara acoplarse con él engnrne 5 y Ia transmisión se 5,'2- Téiceni:. EI e¡grane 2 se desplaza de manera que los dientes del embrague én.el extrerio del engrane 2 se.acoplair con los dientes del e¡nbrague en el extremo del engrane l. Se obtiene una transmisión directaReversa: el engrane 3 se desplaza para acoplarse con el engmne 8, y la Eansmisión se efecn¡a a ¡avés dc los efecn¡a a través de los engranes
engranes
'-1:
itt¡l ''i '
i.'*.,sij.
I , 4,-
i. +, Z, 8, 3. Ún auto equipado con esn transmisión tiene una relación
en
. 16
el
,.::lr ,;t3;:
.
(102D)
.--.ii
'
6 (1sq)
4 (30D)*
};.rtt.', ''
FIGU.RA 7.28
-¡rr:
.
,i,
üferenciA de 2-g:l y un diámggo exterior.en las ruedas de.J6 pulg. Determing ,3,":,o.ll 9Lüá"1.-oror del aútomóvil baiq las siguientes condiciónes: (a) primera velocidad y el l.;'iüió uiáj-ao a30 mph; (á) tércera velocidad y el auto viajando a 60 mph: (c) reversa I i,el auto viajando a 4 mph. , ?.11. En el.embfague planetario mosrado en la figura 7-29, el tope 6 puede estar t?badc ó'dejtrabado. Cua¡¡dq está trabado. se tiene un tren de engranes planetario. y cuando esté reiultado -9F un tren de er:granes ordinario ya que el brazo 5 permanecerá
{fsffUfao,
il
.:'i¡nl Polea.da 4 Pulg de d¡ámetro
15 ' is.D)
.
Engrane intBmo
i,¡¡ :..¡
8 t40D)
FIGI.¡RA 7.27
5 (24D1
FIGURA 7.29
FIGURA 7.30
3]ó
TRINES DE ENCRANAJES
esracionario'
si
PRCBLEMAS 317
2 gira en ia dirección mostrada a 300 rpir, derermine (¿, veiocidad del engrane anular 4 ,u cuando rop" .su destrabado como se la veiocidad del brazo 5 cuancio er tope "t y (ó) 6 esÉ'trabado con e,,engran" unurul;.tsttu 7'12' Considerando un diferencial deengranes como los=que a",rr"n en ias transmisiones auromo¡rices. demuesre q;.;;;;;] "*',"?, d" lu" *"d., *l"*.-iJ"uro se ievanta mediante un garo, ésra girará oo. r"""r ,iirag qu* .r poi"aár-i.]l¡rur.n.iar. 7'r3' si un camión roma una curva a la derecha u rs *pi,; il""",;;',;;.iociaad del ponador en ér engrane
-i
5
(7rD) 4 (70D)
3 (69D)
.
rp,¡ det diferencial. El radio ¿" de la.curvg ;; iü pl", ut ."ntro ort camión y la rodada de ésre es ,ce ". 6 pies. ""*",r'r* Er di¡ámerro exrerior de ras rued¡as es de . 36 pulg.. 7'74' Para la tra'nsmisión pranearia de engranes cón.icos. mosrada en ra figura 7.30,6.- :
;.T'T]:::':|'.1il.,.,cuando.n.ng*i.i.,,l",,""iondo-' t.t, ;;,;;;i"n*
7'15' Para er rodamiento mosrradb en ra figura la pista exterior 2 gira con una flecha ruuiar a r enre las bolas y las pistas, derermine !o! rnm. Ia velocidad
'"
r{ i , ,rr¿ "ro.¡on"t si ." ,upon. ,odamienro puá .l_ cter retén 4 de r¿u boras. -.t ;
. it.:
,..:': j,i
, .,,i ':.i
"i'
!
¡:ii i,
¡¡
7'16' En Ia figura 7-32 se muesúa un mecanismo conocido como paradoja a" r".gur* ,f.r,, del brazo en la Oirecciii rnostrada, encuenúe el núm
Pa¡a una revolución ciones de tos
v sus airecc¡ones áe roración. Los "16;;,en4ray dirección "ng"un".;;tii"t!.tilllf mosrradá
7'17' LaflecliaA gira debe girar a 8
5
rpm en ra direcció"
ñgtra..33a 640 rpm. si ra frecháB r :l r lui"ru"¡on or.,r"ioí¡¿"aes angril¿{ü .f ,:
en-ra
',or*¿u, "u¡Jut"
,
.yr. fuÉ quJiu n""nu B gire:aü; ; la dirección l';l?;jrt"t I er engran e 2 gtra a 60 rpm en rá direciión ll|;"i: "j"T:,T:,1:...*^Llfl.r.34, vcrocidi y ¿i,.""i* o"'i"ü",¿n ili#;Tü."n," :"::.¡ "lr:, ffi ::¡:ine,la debe ser la retación
FIGURA 732
l;?;.*í'::x,1"' j:n:::::"^T::T-";;;;;;;;;;;--;.deHuiniagé orlor. Encuenrre la relación de rrelocidades angulares
7,^
E_ _r
-
,
l:11,"?1,"1^,::ii:.::T"".,pranetarioslor;i;í;
nJ::::::j,:'flT,,I:_::,:¡ !"in.-,
ngura 7.36.,derermine ra reración
J""ij; "i"; ;;',";" J,llffill "'1 :;T#; ,"-o-,i;"'T;r""";;;;,"¿; ;:
4 se conecrara direc¡amenri a ía ".1 flect¡a a. ru¡¡¿"1
S¡nfín ¡zquierdo
de doble cuerda
10 (400)
FICURA
7-ll. FIGURA 7.3I
7.33
En el rren de engranes del probiema 7.20. el ensrane 2 gira a 600 rpm en la direcrpm en la dirección opues¡a.
:::#;j'::,11;Í.TT#:.1.Í,iJ,ll;11J".
jl,:fi .:",.,i
:i.,.i
i:lt,
318
PROBLEM,A.S 319
TRENES DE ENCRANAJES
FIGURA 7J6 3
(54D)
Engrane inlemo
s (60)
FIGURA 7J4
FIGURA 7J7
con
FIGURA ?.35 '4í
:.1
i
dientcs, caicuie
I I
j:r-.
y Ia fie8ia
del
vclocidades angulares os rl ct t. 7.24. La figura ?.39 muestra un rren de engrane-s planetarios para una rcclucción elevarja dr velrrcidad. (a) Si la flecha .4 se conecta al ¡notor. detennine la reiación de I'eloci,jades angulares t:../c-r". (á) lndique si lct.s cngraneS 2.3 ¡'1, ¡- lo-i engraneS 5. ó 1" 7 serán estándar ono eStá¡dar. ¿,Pr:r oue'.t (C) Sí ei núme(r de dienres clei engi'ane se canrbia de -il a -l-'
.
ransmisión de dos veloci
i: -1:
la misma relación de engranes que se utilizó entre el engrane 2
supercargador. Si el supercargador opera a 24000 rpm a ¿lta velocidad. calcule el valor cuando la operación es a baja velocidad. ?J3. La figura 7.38 muestra el conjunto de engranes planenrios y flecha de iransmisión para cl servl de un avión. Si la flecha',1 se conecta a,l motor, de¡ennine la'relación de
I I
la relación cie velociciades anguiares
r,.l.r,'turf.
32e
TRENES DE ENCRANAJES
T.
rr
F,RO8LEMA.S ,3-2 _¡,
,:
1 (142D) 7
Engrane interno
(73D)
Engranes ¡nle¡nos
En la unidad planetaria,para reducción,mosr¿da.en Ja.figura 7.41, el engrane d;..1.ion ;nol"uo.. 2-gir.a to veiocidad,y vutuL:lo?o:) o¡recciÓn.de dirección de roución del :;rrl',J!] lo ,.r,.r .-,,.,, ..''.engnn?.-5....,,,,.,:,,... 11.2ó-,
,
.f
:
J
(60D) 5
(12D) 2
(22D) 5 (49D)
,
o.]i;;;,;;;
*:* j*;:g,n;;li*:xil.,:-qü11,_-",tudi.."_ qrrecc¡on opues¡a. Calcule lo ,¡"loc¡á"J
.direccíón d-q,roracr'ónIder "rgá""1. .r,;;',;,.. :']" 7.2g. En el rren de engranes.plan"tu.ios,r¡ost
"jí:::i|:x?"ffi
jujü"*
ao",
e or,
Z g¡;; a "" o...u'-i".i.i^-,,.*ir;;;;:;;;;J'1.,i'" ;bftzo 6 si et .engr.-ane 5,sj¡a a ¡so,pi e",jii*rrñ";;;,;;á;;;.il;;.#,,-n,o";¿n.¿"r ,i ¡ : j?":i ', ", ,"ne.ons, 3 ;ii i -l ó0, ,,n, e,, :,o lJl'*ffi iÍ!;i:i"J,"#;:il',ru;::: ramisma¿;."cc¡oné,iirineá,ü';liff ;:T';:il'ii!;i,rqÍÍl.X,u.'ff j.¡j; .-,i: | ::- .....: j ;r.. "= ,1J.::ffi i: ilr¡... !lr ." r,.,rr...1r-.,-, ,600 rp¡n
en ra direcciói_,_"d::g.
:
.u ¡'
:-
'
..;¡,..:....,j:.. '.: , . ,,.i,; i,,,. .. ;, ,...,. ,, ... - , ..,1 ,?:
.r_;"..
,,.,...
i: t¡ír_.:i..
.,.
¡nlefno
4(UD)
6
{12D) 7
Atornillar a la caia clel sefvo
rl
FIGURA ?..]8
F¡CURA 7J9
7'25' La figura 7.40 muesra
esquemáricamenre ra transmisión para la reducción en ra hélice de un avión- Derermine Ia verocidal aela¡¿r;ce en magnirud y dirección sier moror gira a 2450 rpm en ta dirección ¡n¿¡cuOa
FICURA 7.4I ii
4 (124Dt Engrane
5 (50D)
FICU&4
7.40
;r.;gr;ne
y
FIGURA
7.42
.: 2 (12sO)
Engrane interno
'';
.;r,
.
.
322
PROBLEMAS 3?3
TRENES DE ENGRANAJES 7 l4ZD)
sedebedaralengrane5parahacerqueelbrazo6permanezca'inmÓvilsielengrane'2 ti:i continúa girando IOOO tp.. " 7.30. Parael trendeengranesdelafigural.43,laflecha,4giraa300rpmylaflecha:N¿ .ssradas. D.t"rminela velocidad'v dirección de rotacióñ
;il*J;;l;, la flecha
iir"""¡oío
...
C.'
?.31. En la figura 7-44.taflecha I gira a
IOO
,
:
'
ta
'l:: :
''
--
5
dc .r:.1i..
rpm en la dirccción'mostrad¿i' Calcule
I y'dé su dirección de'ronción' ¡ :
lo
''
(25D)
: I
i '
velocidad de la flecha la flecha l gira,a 450 7.32. Enel tren de engranei:planetarios mostrado en la figura 7.45' la vclociddd'dila'l calcule las direcciorr", en a -o.trad*600,rpm rpm y la fldéha:g i': ;:' . "' ' . .. tt:. t'ieci¡a C e in¿ique su dirccción'de rotación' 400 rpm cn las direcciir- "z.ij. gi, r. figura 7.¿6i.É flechaA gira á 350rpm ydela flecha8:a tt' ' rotación de'la flecha dirección velociáad y Determine la vstuG¡u¿s ¡JeteÍn¡ne J srteve¡v'¡. nes mostfacas. 9-. _ '_ "¡,¡ -ar,-¿u"] la flecha "". lii en la figura 7 '47 ' 7 34. Eo el tren de engranes planetarios cónicos mosrado la dirección rnostrada'; fl1h1s lq r¡Jiiso rnot*¿u v dirccción gira en la y iÍo9,T']."" óet"rrnine la velocidad de ia flecha c en magnirud dirección.
FIGURA 7.45
6 (42D)
4l42Dl
5 (18D)
5
FIGURA 7.46 FICURA 7.43
v
(340l.
t32D)
fí
I
9 (70D)
FIGURA 7.44
''
.: :
''i .'; Ei.r
F¡CURA 7.47
t24D)
324
TRENES DE ENCRANAJES
7.3fr.Para
ff ::1f
eJ
ni
rren de engranes planetarios de la figura 7.37. calcule el nrá. tásrape J'' o'on"'o' i gua I nr en re ..o"lifll,"iilT:¡
:J::T"'i:
7'3ó' En un ren pranetario similarar
figura.7. 15, ei engrane r tiene 4r ¿ientes,.i engrane 2 riene r g diente! y er engrane 3 tienelg dienres. Los Jngon"r'i son esrándar n¿ máx i mo d. i g"-: *r n, en r. .spi
#f
nTJ
:.t;il: ::';;';'.
PROBLEVA.S
;;; ;;;;
o"-"'l
7'37' calcule el número máximo
li; ln¡emo' el engrane cenrral.¡r
p;";;;
sarída
,
-:_..
,
:.-
il:*';,:l:'j:1"-""::::,1:,:y1les.y
ff*]:--f|,
¿s ra
""r''li
-.
,'ff;""Jr",Tf 'ÍT::.f"t"t*TJa Haciendo referencll aJ trende
.,:..7.43.
7'41' Enelrrendcengranespraneariosmostrado.enrafiguraT.¡rg,er
;;-¡;;;; 'j-ilT[';o
tres engranes có..n;óspl.rretarios de la figura 7.-se, 'l encu"nre el diseño más conservadoi para ,eáuci, una..'e¡*í¿". Jr'"rr*o a d,e 125 ipma a. a'áno'
ñ'j"j;;],","."J1,.
l
de verocidad de
,t
¿iip"",u*,-
d;;;;;;;'.i""ü-i.: .rñ3|#;::#il"r:flgo
:Yl:l*"
iéiloü;iü
"."i'¿"L"il' rJ;il;;
no-:T:
.
ñ;;;"-
ra de
-t
:'
Para el tren de engranes planetarios mbsirado en ia'figura_7.41, calcule el núms¡'r, máxi¡no de planeras qu... pu"á.i-u"u.. .. .
"oripu"rro, En el tren de engÉnes planetarios mosrado,en la figura 7.4g. er ponador l r"r¡"u¿n 4) es-el miembro motriz y el engnne central (eslabón ) S:_;l _¡"--C- ,lo"ido. El engra, **cionario.'Et engrane cenrratI debe girar a 2.5 véces ta .elocidad ::,'::.:::_" " ponador- T,"i:i",r" del El diámero de paso der englne ¡nr"-o derermine númerc,s d" tnterno' el engrane central y los planetas usanrJo dienres de eng.unes,..I", *,¿r.ñrJl ; el ctiámetro de na¡gr. tan próxímo como sea posible q mm. -ov ¡rr¡Ir' (ó) De¡ermine si se pueden usar tres pranetas,igüarnre",.';r;;;;;r.e Pvr¡v¡e a 280 de engranes planeuribs mssirapo cn.ta figrra 7.48el ponarlor {eslabón l;a^O:^11,"'jl* 4) es cl miembro morriz y el.engrane centraFlbstlüOn 3) es el mie¡lbro mo.rido. El engral ne intemo se mantiene estacionário. Et eng"anecenrral debe girar a ?.5 vcces la vclo'dad del ponador. El diár¡e¡ro de paso der engáne irltemo',iebi ;;;.11.ó pi,i! up*,*r-uarmente' (rr) Diseñe el tren de engra{¡eg y deierminc ros numeros a" ai"nrl p"u* er engranc intemo' el engrane central y los lt4neias usanao die¡¡res de engr¿¡nes rccrosiJ.:faso oiamc'at igual a I0 y ?0" de profundidad roar. Manrenga ei diámcño de paso ánl**inro s.ea posible a I l "nro '0 pulg' (á) Determine si se pueáen usar rres planeras igualrrrenrc' cspaciados en esm rransmisión.
a verocidad de emrada iguaria'r,s,,.oi rá neci¡a que
én ra misma dírección uu,i"" ra o".t. rrgr- 7.49 e indique cuár flecha de en¡rada' Sereccione de enreros tamaños dispbnibres ros engranes posibles: más ¿.o¡-en,.rüi"l'áijo" ;'pequeños n*,i. 100]y números de dientes de 'r 60' E"cüen"é de praneras '
figura,7,36.
7'39'
dial¡erar
n
..
de prané.us compuesros iguarrnenre espaciados qus5,,:: . pueden usar en el tren de engranes de la
7'38'
::7'44' Diseñe un ffen
.
o.::tr",r
;r ;,,,',oo"J.'"0,"n,., 0,",u
pranenrios gu" r"ngJ una reración de verocidad de sari-
n"Ir," d"r¡á¡r,;;.;;;lo"en ¿i,ecc¡¿n #,:#,ff;i".r"*,T.i*;:i1¡^!-;2. de enrada. utirice rur.onr,g-u.l;;;;;";;", """'lu ;";",""":r?ff?.:LTriil"ri fisun .50 o et tren básic1 de .*n" .iñ"., oj""ron* il ;;;;ln ra figuo z.s Los tamaños disponibles opuesra a ra 7
p^ara engranes
ros de
dien¡es desde l2
]!.v
r
" 1¡it"r."r_o"J¡.ir."p"r"s desde +0 hasra r 80. Dibuje er ren engranes seleccionado e indique ¡" n""¡" J" Iri¡..¿.. 7'45' Diseñe er uen de cuaro engranes prurr",*io. pequeño posibre con un engrane anurar fijo como en ra figura z.sz pr,' *a""r r-" "ILo¿"¿ de er¡trada de 265 rpm a r 5 rpm. de
-ll
por¡adorlesrabén
morriz y er engrane cenrrar (esrabón 3l es el ¡níelrrbro nrovi¡Jo. Er cngrase mantiene es¡acionarir¡. El engrzne central rlebe girar a 2.5 vecc.s la velocid¿d del ponador. El diámero de paso cter engáne inrern. debe ser dc I2.-5 purg aproxirnada. mente. (a) Diseñe el rren de engranes y dirermine ros números de dienres para er cngranc
ü"
Engrane in¡erno
{i
FICURA
.
,"aro, y cónicos son como sigue: rodos los núme_
1] _::-:'ltr-oro ne ¡nremc
I
325
j,:,:'?lT:r.^i3_t1r,vunr"ls" .l ii¿nr",,o de paso ran próximo como sea (ó ) De¡ermi e,r,. ,., :::'Ji]il, p uJi* u;;; ;;; ffi i;:lfi il:;Tillffi : :;:,o,;. ;::,:,!ili: '7'42' Díseñe un rren o"-ri:,*.*1"' prun"turios que renga una relación
cre ra
;i;;#;
ios planetas usando dientes de engranes rectos de paso
7.48
FlcuR4
7.4e
.,1.i;i -
!
i;.
i
':. l.r,!t.;
lrEJi,i,
326
PROBLEM.c.S
TRENES DE ENCR.ANAJES
32j
!ijll:¡
ft¡¿i¡.
2
l.a ilr '' ¡l :iil tj;i;i::i
Engrane cónico inlerno
i:;:i:,i !1in _i
*iiii !1..i. " !!,.t-j:i
i
il:I:r¡.f :: EAi¡l
:45.i .
*#iii "*
:-:
'
i¡
r''
.'-
i.i'..1i: :
:' FIGURA 7.50 FIGURA 752 7 (190)
!.:,i¡i
3 (42D)
FIGURA 7.53
,$ FIGURA 7.57 que se selecciona comg la de entrada. Las especificaciones requieren el engrane 2 tenga 150 ciientes. Los mmaios ciisponibles son como sigue: números Pares de d.ienres desde I 2 hasta 40. números de dientes de cuatro en cuatro desde 40 hasta I 001
indique cuál flecha
:números de dientes de cinco en cinco desde 100 hasta 150. Determine también si es posible tener dos engranes planetas como se muestra.
7.46. Enlafigura7.33,laf7echaAeiraa640¡pmenladirecciónmosrradal'transmíre10 engrane 2. Calcule la potencia que circula en el circuito de control de ramificación
hp al
3?3
TRENES rJE ENC;i.{NA.tE.s
)' elabore un di¡gr¿ma esduemá¡ico der flujo de potencia. La flecha B que esra conecra_ l2 es la flecha tie saiida. EI:en_eran-J riene 20 dienres y el sngrane 4 riene
da al brazo -10 dicnres.
", capítulq.ocho
cuar gira a ó0 rpm en ra direc. l;jl;,,fi,Ii:H,l*i::,,l"j"lll:l l lo:11 .1sLne:,;' ;er;;::' :: :, :J, ?J#' ..: i'.:ffi un diagrama i' lil#'lÍ';,T:: H i:esquemático :: :: :: :l; i "*'d;{';' or,1t ;;;'1"; ;9'..j,iü';, ,i1:ffi:: íj:1"" "l l;Í.|.,H i-:":_t;i:::.:iffi,ll1"e3ie aer¡Le'ru n""hu a gíra a r00 rpnr en ¡¡¡r¡¡s la po¡.encta ,:lT':j",:Jl que ¿,
lt:tlr:: j,:1 t: . : .. :.
tli
ri¡
..:
.::
ere¡ $:'',::11J""':::,:,'T::a',"-ionplil"*"¿;;.b:',u'''';:-:ff et circuiro de con¡rol be ramificaciil y, e¡ ;il;;"-;;:;"dlragrama e-sqúemático delclrcula fluio flujo ¡porencia El brazo I0 es la flechatde,uii¿... i de ,, ¡; 7,49. En el diferencial de eir la_figürá 7.53. ta flecha,4 gira f50 mm en ta direeci¿" ,-llÍ-31"1 iT11r*rTf|o a p.alcule -- t'vv'LaQ ss ra rrecna oesalida¿:?.ff:""3"1':,":"::: la potencia que circula o*,jiio,;;;'' de ra¡níficación y elabore un "r diaerama
;::
i
'j,'!¡:i¡ -' . t': .
;;:'. ' ;;;
rli: ¡r
ia
il,'
I
r. .:
::::Í,:':-',t;i;,iiJiñ; t"'"iili';li;'iii"J""ií'Ílff
esdrremári¡a ¿rar sr,.:^
¡^ -^-.. "l
,-
o
-tuntrol
i:t ia;;¡'t
.i iJ
'iii-r
!
:.:j;ii; j r':ili . ¡{!.i
"
:,
i:r : lii:.'-. ; .:..:i ,
';.:.::¡j'-.. : : .,t:, ..1:. '¡;;
'.:.i::.:'
.
:'.
:;
¡':i'o'rNTRoDuCclów
,
..:,;; l!:,1
¡
Daúioo a que er m'óvimiénto es inlrerente a ras como la velocidad v Iu acereracJ¡
-. .i;.r'
:!i;
,¡:.r
máquinas, ras cantidádis cinemhdcas
r"" á.:i*portancia
para Ia ingenieria en er y dise¡o"de ]os componen". jg U.'_¿quinas: Los rialorei cinémátiibsr nari as; Las vet oci daiies de *r,::.T "asihan "l se considerar-on altas a". un ""aidi vatbr il1lli",.qT:gy:r de l0 000 rpm, ahor#se. apr'xrman a I'00 000 mm. L,os grandbs rofor", a. a'nálisis
lfl
"ut;;; -;;iir¿i"
b;i;;;,".n"#'"'i*iff#
velolidades'dé
I0 000 -- rJe rurbinas pequeñas giran 11g99 *., , iX *"0"s 30 000I a 60 000'aoál .: . {y,u3.ia^a-de -"" EI ramaño de ros rorores y sü verocidad de romción se reracionan
-"y;i ;# Ifr : jy; :"Tr"::l :lTil" cantidad'inásrbásica en tos rorores., iu
velbcidad de'ictación v_11 r3mano.f n ruroomáquinas están rregando
j;-;-é;;i
dad de roraci ón peini
a '
en tar
d da. una ,,"io"i¿'u'¿'üñt":T;:l"i:;;::Jl;
=
;nl.i^s
velocidades periféncas en
las a varóres o. ío ooó cidadé!; periféricas veloLas en la^s armaduras eréctricas (ro "lóó'ü;;,5;il,"". ooo pies/min) y.en los cigüe_ nales automorices 13 ooO.pi".¡,niniron-,ii;;;". que en Ios rorores aeronáuricos. Aunque las verocidades dL ros ,o-á] maniveras de ros mecanismos de eslabones arricurados son bajas.
do a
;.t # i;;;td;a,
h demánda áe mayores iasas
hacia mayores verocidades debí_ de producrividad en las máquina-s ous s3 enr-
tii..,.
330
ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
MovrMrENTo LTNEAL DE uNA
pentÍcula
plean para impresión, fabricación de papel, hilado,,computación auromárica. empaque' embote'ado' maquinado autómático.y muchas otras aplicacrones.
La aceleración cenrrípeta
de la velocidad de rotación y del "n
.oto.;;;;á;';"r ¡^;;;:;';)" = _rR). Ei-l"u-..rir-.ü,nu..cuadrado o¡"r,u_ r 3 ;iri;;; a?ii"rzrr, o "ui".".^¿" r.u OOOá, vir:i:: " pueden compararse con 0""
ra pe.-i-driu oé ur,
aceleraciones se esrán aproximando u aproximadamente de 30 0009 a fOO
iffi::1ii*::,:?íiff:poiun
331
r"' pl;?;'
;;
aviones' o de r 0009 que sopo*anla
La aceleración se relaciona con la fuerza.(MA),por el principio de Newron. se relaciona a su vez con el esfuerzo y la,defo;;.1;;, Ir"lr"o." o no críticos en una pieza de.una máquina, ser oeienoienoo ¿e ros lrráteriares emprcados. La vel'cidad de una máquina ri-r,"á" en última.instancia por ras propiedades de ros materiales de que "ri¿ ro.Áu¿u y las condiciorr""lu!-innuyen en l¿5 propiedades de ros mareriare-q".t¿ i."r que se dan por la compresión de los.gases y la "*pr"uáár. "ri^'[-offiH: coübusrión de ror,""',u"iiiul"J,l""r" las que se dan como resultado.de la fricción, .;;;;" condición que influye en con la resisren_ cia de los materiales d-e tas maquinás á" fot"n"iu de alü que se ereva la remperarura. también ""rá"iáuo. Er grado en oepende ¿e la, m"¿¡á". ;;; ; romen para ra transferencia de calor,mediante refrigáu'r", aire, aceite, agua . F.re.n. El buen diseñc¡
y
"
i;;;;i.,*;;
g" y."i,r,aqui"Jaef";J."o..ro ;" l?r en los campos de la dinámica, el anilisis "nno"i,,,i.n_ a" transmisión de caror y las propiedades "sruerzo-fiá',"ñoo¡n¿mica, la de ios materiares. Sin ernbargo, er propó_ sito de este capitulo es estudiár solamente ras relaciones
t.
quinas. En subsecuentes capíturos se estudian
cinemáticas en ras
má_
ras acereraciones y las füerzas con relación a la determinlclon rur r*.,^ ltre actúan en ros esrabones individua_ {e les de un mecanismo y en relación üálun"eo de las máquinas. para los cuerpos que "or., "l giran ulr"¿"áo, ¿" caso de tos rotores' Ios valores cinemáticos se 1n eje i,j.,-;;-;;l
determinan rápidamente a partir de formulas elementales bastanre conocidas g = ;i'-;; = -)R,1, : *nl.Tin emba.go, Ios mecanismos como la biela-manivelu-"oo"i".u y sus inversiones son combina_ ciones de eslabones que constan no solamente de un rotor sino también de bros oscilarorios y reciprocantes. o"u¡J" i", velocidades y acereraciones miem_ rerari_ vas entre los diversos miembros, junto" c;n las muchas posiciones relativas geométricas que se pueden ¿ar, el án¿tisi. bones articulados es relativament" "ir,"-¿ti"o de un mecanismo de esra_ principios y métodos que se ilustran".-pl";; comparado con er de un rotor. Los son principalmente aquellos que se emplean para el anárisis "n "JJ"uprturo de mecanismos de eslabones articurados comde rorores, b";;;, correderas, levas, engranes y ete_ i"::L"J,ff;r':.:inaciones En las exposiciones siguientes se supone que Ios eslabones in¿ivio}átes ¿e un mecanismo son cuerpo. iigidor q,.r"'ru ii.i""";;;;;;;;i"puiii"uru, auou, de^un eslabón móvil perrnanece "" fija. Lós eslabones que sufren grandes deformacrones durante er movimiento, coÁo ror ..ro.t"., caen dentro dé otra categoría y se analizan corno miembros vibratorior. ürr'r"-u de investigación actual y de
FIGURA 8.I
importancia considerable que también se debe mencionar es el estudio de los
mecanisrnos que tienen eslabones que sufren deformaciones erásticas pequeñas.r La mayoría de los mecanisrr¡os elementales se encuentran en movimiento
plano o se pueden analizar como tales. Los mecanismos en los las vtmte es un rnecani'-o ¿ 5jli:::':?."::r l) compuesto 1: 8. de: ".'r:: dos balancines y una biela" Este u.."jro l""u"r."iu." conoce como un mecanismo de doble balancín. "án El movimiento de un eslabón se expresa en términos de los desplazamientos lineales y las aceleraciones lineales de las partículas individuales que constituyen el eslabón. Sin embargo, el movimiento de un eslabón también puede ex_ presarse en términos de los desplazamientos angulares, las velocidades angulares y las aceleraciones angrll-Tes de líneas que se mueven con el eslabó" ;rñ; E";; figura 8.1, la velocidad lineal y.ny la áceleración lineal A, de la parricula r se muestran mediante los vectores-fijos en r. Debido ar peÁo conáctor de..t, la particul.a A, en_el eslabón 2 y la partícula A, en el eslábón 3 tienen el mismo movimiento' y los vectores mortrado. en l representan los movimientos de ambas particulas. Los movimientos angulares de los eslabones z v ¡ ,o" diferentes según están dados por las verocidadés angulares u,2, 03 y las aclleraciones angulares ctr, ctr. Generalmente, el movimientá angular de un eslabón motriz se conoce' o se supone' tal como a2y aL2de la figura g.l, y se debe determinsi los movimientos del eslabón conectór v él movidá.
8.2 MOVIMIENTO LINEAI, DE UNA PARTÍCULA En los
mergryss
crrcuros y ras
úIilcs, las.partícu ,, *r'r"hu. de l,a, como los "uul"J!iliEñas lineas rectas. En la figura g. r, las partícuras de los eslabo nes 2 y 4
ra
Midha, A. G. Erdrnan v D. A. Frohrib, "Finite Eremenr Approach ro Marherna,,.u, High-Speed Elastic Linkage s,', Mechanism and Machine Theory, 13,pp. ó03_61g.
;üiFrr@*;-;$frr;'*r:mir
rsT!:r?riirfr-rgna+i&
*"*,*
,
$ ir.,,ii'
332
aNÁrrsls DE vElocrDoo
"
I.:l
l '#
e^sfán
o.rauReclóN MovrMrENTo LTNEAL DE uNA pen_ricur_e
restringidas a moverse €fl rrqr¡a¡r^-:^_
:i'-ti:#,*'f¡":?!11üfi::Ti:**t'd,l"lll3i."::11.-o¡n..,i movlmiento '::ft sobre unu i.on""Jü tro"trYu! l:.,::í*Tnztr;z::#;:iti,"=:,ft eütd en
dice.que t¡.n,
V¡:Rto,p *ff,
.
r:T"H¡"?#i:::,:,::::7;,í::"r:;_56ii*:ilf "fill+li*iff',:.":yr f x#lilli
:6,
p i:,La aceleración de
f il'"'r,:;ff ffií"":t:fi tirk:,t","'""ri'
_
,.rjo-
endondepyrsonvec
:
as: RAop + a^r
,nenrer-,"t","ji";;::liJJ::[::r."J;:g'ff
,\
d0 --
(8.1)
está dada por
clR
dt 2a,
t
o,p * Ró,p - Rcolr + d2R + dR ¿¡r
T-'P
dR
d2R drP+Ró,p*Rr,rlr * ¿r, r
(8.2)
Por lo tanto, la acereración de p coñsta de dos componentes, una de magrtitud 2a,(dR/dt¡ + Ró. en ra dirección crer p y ü ;;;g" itud (d2R/ all - nrol en ra áirección der """i* ,rrr¡turio ...r-u ecuación para Artambién se "."*-";i;;lio puede expresar empleando el producto
:T:::,:ffi,,;i:.":*;-:iJl"l,"_
v": ll* (f, : (i3e. . l,s
(¡).
* dR ¿r'
Ar: #,'(o-'n * 4!
Jf"Í"fl #f ;LT"il:";:;x{*"#vadesde'¡"p"ii';i[,i,Jf xH cesplazamiento angular ff ¡*J::##"fiJi,'*',-jü.",ni::i,:T'i{i:?::}11*,ru..,i,./ ot J" üir""lili;ü#:i De la figura
'dt:
endonde
empleando el producto vectorial
V":
;iüll#filr*ít*;ndt É,íxift
iliE:ilf
r""iJ.iul
fI
dR
",rrrr.,
A¿: ^"-,ap +cr,xR+
*¡*ff,
(8.2a1
d,.= ó,.p. Cuan{9 el origen del sistema de coordenadas coincide con el centro de son iguares a cero d" _un",u q," dR/dt y d2R/dt2
en donde
ii;i,Ly?:!i!!,:!:!/*:
;:i;;;:ffi;i puede simplificarse
para dar
Vp=ro,.xR
,$rf
(fr.3)
v
Y, = Roo,. De la ecuaci ón 8.2a,
FIGURA 8.2
333
lo tanto,
Ap:rrr,x(ro,xR)+c,xR
(S.4)
El término
"o_jorr"nt.
334
ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN MOVTMTENI-O
:il:?;1',::: 3::Xru':Jñ".''" a ra curva en er punro p por ro ranro,
RELATTvo 335
Ap:Ail+A! en donde
AÉ:o¡,x(
R
v
:fir[::lr Ai:a,xR lAil : Rct,
ff;;;;;
J
ii
A"
gl, ::
i:.ff
,3' ff :
es ra
,r-u u""L,
t:h.';'j¡Í:Jf
aparecen repeti damen re en e r de sarro
:i."il,,;T:?;I:;,".:.,.,
q
""
;l
r
r
iar .
de Aly Á;.o-,,
J o,.ro
I'l&
.ll o' áe ilj;:l:"i['Jj j;
;ü;;"d;
1,,,"_ u ¿
"
iJ,j
i
L
r
i"xT
"T:, !
""*á"ffi
se muesrra.
u,
::
co
i
- g,,ii,. u
f#* e
ncid
c
on
8.3 MOVIMIENTO ANGULAR La velocidad angular y oas, respeoivamenre. ,:i
it":'^",:]*::q'l"t
son .".] y
o, del eslabón, en donde el subíndice indica el número
jjl,.Tf
;r".:"r","1*:?,:T."1i"13Ji"1"1*,iát.q*l¡###:Xll::::ffi f :
i:
;THT:H?,;:","i[.,i:-?..gL L].obyi" que ",r v ". á" l;;.;ffi.;:,,ffi""11H J-" l" i á Ii o" ffiJ fJ T: i; [:,::# :Hlff ::::"-' ":*:::l: : l:',' i i ey 1 " " "' *, 0;i; -ñ# ; :1 ffi ::lH,ilil,fl J" :, j? l T:"i: 1'J ,xl'J ?. ::-' :¡ i1;1 "¡1,,"
j:
r
i
il
j'::rTi:"j:i ln';"i-,ffi ,i;';:::"li:*::,:lq;"r.áJ"¿"*;;ilH;;'i, ra trayectJriu o"
::o::^0"#:'"i:lT_d"" 0¡ y 0.¡ del eslabón 3.
rguales "rurqri"."o"",J,]l""".?,jl,l'j"r;l,,l,li
;il;Tf ,T:;:"":il"""J"T:ll:'Tl:,1,*!?iil,ffi #"];".#H"Iffi il::
,1'TJ'tr':,:1;: ;ilij"Jfi ::il;"f ::":T::,i:,:'.T::,rFF^,;;;;,;:';::'i;ffi n il; ; " ; ó."u2' filEiil"'l f : í :;,:L:,fr i,; J:,::*: :i :i * I I I :::, pa,r : I f , "l ",1; j' u a-e n ; i ..'lil " i : :..,:: l? i.J [1T : il :i:::lii 1,., :,:: lyj :i " ""i*,':""ilf,::';":lll;*Í.l"llii -2. ;,,,111i:,tz,":::i::rj'::it-.:: angur ar de r es rabón j a pártíc ur; á. ;;; ; ;;:,:";01ü1,:: ::i :l;;il] "'," i
I
r
l::;J*,-;;'#;
r
',1":x'""ff
Í:'ilT:Tx":,:'*;;n:*',':',ili.1,:ü;;:,"';.';::'lff :Í,,*i::; ;';:X ff f :i31l{1', ; #i ";;rr;;'l;;ffi;;'i"ri#.1".un ;;!::::i:.::; i:: :i:*::i iljil;H: ü ;'
#. ; i;l T"" :T expresa mediante esrabón ff : g se : 1,,: :eri' *: : movimien; se represente como fr ja mentalmqnte . al eslabón. e"j"-i-,]-e 1 ,^ i ;1 i' s ; Hi;: ; :? ff # ,T : ill : ": BC y AC sufren los J.;;;;;; -i.,rio, ri a r ti. - po ;TZ :.i. 3 n.o .¿ a á " ü ;a"";;;.ii;,? I :.:: :: :, ::jt "" T J ":,X'fr ,T'j I i;s m o o,, er i i:: l/"".; : I I i,:: i ". m
.';#n'-'":,
r
;'É;1'¿',X?ijÍ:;"':1"*:*::::-l'r;,i;;;;iil::?Íí;:ffi :1J';il;;; ::;ll' ,il;l ffi ?il "a; ;; **;ffi Í;ff lr:: Li,io ;?;iff ; ;; ; H.. ?ff n J il nÍ"T : lfl;,1;, ", f :::i: ,
a
Un concepto importante en la mecá¡ica,es que una partícula que tiene el '."rounil,ilo..:lu@. nrovttnrenlo uu '''-'-','""¡¡'lv de traslación: lrdsracron: no puede puede !irir.'El girar. Er ¡.novirniento rnovitn iento aE;/nno,,ln¡. es a. er ar rn(l'i_ ,__...: ¡nienro.d.e una línea y ¿eui¿o;q;;;;;;;.r,.ul^ partícula es es,n n'nr^ y!, no h^ una ....^ ,j,un punto, línea, no
r
son Ia primera v lq,segunda deriva-
del
los de las partí-
(8.4ó)
Si se presenta ra condición en que er origen der sistema de coordenadas está sobre la normal a ra curva por er punio , aniao y p-", rc rÁriJiiüserán iguares cero, y las ecuaciones g.l y a s.z"'..p"Lál;,modjficar La figura 8.2á muesrra ra ori".,tacrán'arr"""ionár según corresponda. la langenre y rrormal u ra traye"ü;*'0"." o'r.:tor de verociorJ con respe*o a componenres de la y vecrores a,,;y'ir, radío de.ur"u,,,* J" vl, {os te' Es imporranre norar "":,-.:1:1.,1 rrupo4" consran_ gue ra ¿i.écc¡'on de.A,,r", nor,ru,"J i.oy".r.erio y .,, senrido es hacia er centro de curvaruraóoi'tu í.uy""rorJll tange're a la travecroria y su..nriá" ñ*"",0" de Aj, es Irr"ü dire.cc¡on en gue crece ra verocicrad. La aceleración iesulranre ",
:::
FICURA 8.3
R
Jairl :
8.4 MOVTMIENTO RELATIVO Como se demostrará en una sección posterior, el
culas es
ntovimiento relativo qntre partíIo,,rr"*r;;;, En la figucon relación a rrn plano f-rjo de
rnuy irr.rportante en el anárisis .in",r,¿ri"o a" ra 8'4o' P y
Q so. ¡rartículu.
qr. ,.
-;;;;'r ;:l:::::f ;,ffJ,"i":""d.. ..,p".ti*,'J; t,, ¡,. vu r ,. *;;J: á"r".,r,ino. r" ¡.."ná0".',"'ffi1."""á,#iirii,,1?:'d;*ii:';Li".r,T;:'iHii¡g,#Ílii1l .elati'a de las dos nanícuras. p"rT.i"rr", si ranto a p corno a velocidad iguar y r,,,, ra pa,.ric.ii;; tuo v P adc¡uiere una "0u.,]1-1 corrrponbnte acricionar-¿" tJad
da una * ;;;,;..#;ff#" e seres en er prarro u.ro"iÁ;l;;i;;,va ar prano
l.l
336
ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACION
jl
ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 337
rioy la nueva velocidad absoluta del eslabón2 (a" -orr) se convierte por lo en la velocidad angular relativa o, debido a que el eslabón 3 está fijo.
t¿nto
,i
ii
j
Por lo tanto, (JJ21
: rJ.)2- 03
(8.7)
De manera similar, d23 = a2
FIGURA 8.4
lrjo' Por lo tanro'
8.5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y
.
ra nueva velocidad absorura
d" I f=rjJcon Lyr- Vn) se convierte en esrá a;"ra ráru"¡on ar prano de referencia. Esto se derñuestra ";;; mediante! diagrama,rÉ"toiiul-i" " "'" ü figura g.4á. de doncle la ecuación parayrn."r;1,;' velocidad relativa
vi'
(8.8)
ct3
debido
ra
Ype=Yr-Ye
(B.s)
De manera simirar' vqe pled_e obtenerse mediante la adición de tícula' Esto se mu"rt.á'"n tu ngrr.u -vn a cada pars.+ Y
er=
" ,'i y
nrestá dada mediante Ia ecuación
e-y,
La ecuación vectoriar pararaaceleración de ra par-tícura p con reración partícula e es sirnilar en forina lu A.S,
" "*u"¡án Ape: Ar- Ae
a
ra
(s.6)
El movimiento angular de una rínea puede darse con relación a otra Iínea en movimiento' En la figura g.5, lur r,"lo"l¿J¿"s angurares azy a-tde ras ríneas los eslabones 2 y 3, iespectivam"rt", ." t-an con relacién a ii rínea a-a en erier eslabón Si se sulra --{D3 a los eslabone.r2 y 3, er eslabón 3 se vuerve estacio_ 'jo'
ACELERACIÓN
De entre los muchos métodos para determinar las velocidades y aceleraciones en los mecanismos, hay tres que se emplean ampliamente. Éstos, que se presentan en las siguientes secciones, son (a) análisis mediante el empleo de matemáticas vectoriales para expresar la velocidad y aceleración de un punto con respectó a
un sistema rnóvil y a un sistema hjo de coordenadas: (á) análisis mediantc el empleo de ecuaciones de movimiento relativo que se resuelven ya sea analítica o gráficamente por medio de polígonos'de velocidad y aceleración; y (c) análisis mediante ecuaciones vectoriales de cierre del circuito escritas en fbrma comple-
ja. Adicionalménte, se considerarán las velocidades por centros instantáneos al igual que la diferenciación gráfica o por computadora de las curvas de desplazamiento-tiempo y velocidad-tiempo para la obtención de velocidades y aceleraciones, respectivamente. De los métodos de velocidad y aceleración mencionados en el párrafo anterior, el uso de cualquiera de los primeros dos mantiene el concepto físico del problema. Sin embargo, el tercer método, que hace uso de véctores en forma compleja, tiende a hacerse demasiado mecánico en su operación a tal grado que los aspectos físicos del problema se pierden rápidamente. También se débe mencionar que el primer método y el tercero se presentan para soluóiones por compu* tadora, lo cual es una ventaja decisiva si un mecanismo se va a analiz4r durante un ciclo
completo.
'P"
8.6 ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN MEDIANTE MATEMÁTICAS VBCTORIALES Eslabón fijo
FIGURA 8.5
En la figura 8.6 se conoce el movimiento del punto P con respecto al sistema de coordenadas xyz el cual, a su vez, se rnueve con relación al sistema fijo de coordenadas XYZ. La posición del punto P con relación al sistema XYZ se puecle expresar como
R"=Ro+R
(8.e) it ii tt
338
,lil
ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANALTSIS DE VTJLOCIDAD Y ACHLERACTON y usando
la relación expresada en la ecr_ración
xi + yj + z* :
8_
rr¡
339 fi
10.
x
R
t8.14)
¡4 ecuoción 8. I 2 se convierte entonccs cn
]lril
n:V*
La
z
(8.r.s)
I ahora puede reescribirse como sigue haciendo V., = R., y susti_ l5:
tuyendo el valor de R ¿e la ecuación g-
FIGURA 8.ó
Yt,=Yt¡+V+
e-ies x,
y y z, respectivamente.
R:¡i+yj+zk
en
Vr: R¡:
'"'-'
Ro + n
(8.11)
Diferenciando la ecuación 8.10 con respecto ar tiempo se obtiene
R: (ti + ij + zk) + (xi + yj + zr¡ *i+ii+2k:v
(8.13)
considere a continuación los términos en el segundo paréntesis de la ecuación 8.12. Del hecho de que se puede demostrar qué ra velocidad de ra punta de un vectorR que pasa por un punto base fijo y gira alrededor de este punto base con una velocidad angl¡lar to, es igual a o¡ x R, las velocidacles de las puntas de los vectorés unitarios i, j v i. se pueden expresar como ¡
i:toxi j:-xj ú:roxk
:
1*i +
ij + rk) + (*i + ¡j
El.término (ii + .¡¡ + ik) es la aceleración del punto móvil de coordenadas xyz. Consid,ere que
fiiit
flffi
+ 3k)
(E.r8)
p con relación al
consiclerando los términos del segundo paréntesis cle la ecuación g. l
sisterma itilf
(s.r9)
g,
.$'
ii +¡j + zt: i(or xi) + ¡(eo x j) + 2(ax k): - x (r¡ + ii +
zk)
la ecuación 8. 13, till
.ti+ii+2k:V
en donde <¡ es la velocidad angular del sistema móvil de coordenadas xvz con respecto al sistema fijo xyZ. Efectuando las sustituciones anteriores,
Por
l{
lo tanto,
*i+¡j+¿[:
zk) La
ilH
(E.17)
r¡+ij+zk:A
'
xi + yj + z*: x(o x i) + y(ro x j)+ z(ax k): - x (xi + yj +
il{l
evaluar V. es necesario diferenciar la ecuación g. l3:
V
Pero
lil
tffi
Ar:V":Vo+V+AxR*¡oxR Para
;iL
'illl
La aceleración del punto p con relación al sistema XyZ puedeahora obtenerse diferenciando la ecuación 8.16:
(8.12)
El término (ii + 9¡ + 2k) es la velocidad del punto P con relación al sistema móvil de coordenadas xyz. Por conveniencia, considere que
(ft. r ó)
Vo = velocidad del punto p en el sistema XyZ v,, = velocidad del origen del sistema xyz con respecto ar sístema XyZ V: velocidad del punto p con relación al sistema xyz
La velocidad absoluta del punto p con relació n al sístema .xyZ,vo, pue
diferenciando la ecuación 8.9 con respecto al tiempo puru du.
R
donde
(8.10)
ii
ecuación 8. I 8 se convierte entonces en
ill
(E.20) ,il ,iI rl{
tiil :ill
R t?l
¡ll
Iii
ilj
I
trir
iir
l il
34O
ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACION
ANALrsrs DE vELocrDeo
V:¡.*o¡xV
ecvacton Para la velocidad del punto B puede escribirse apartir de la ect¡ación g. ló li.iiomo sigue:
toxR:orxV*rox(roxR)
len
(s.22j
donde
Vu = dirección perpendicul ar a OoB, magnitud desconocida V, = lV nl= (OrA)lL,= + x 24 = 6.0 pies/s, dirección perpendicular a OrA V = 0 debido a que B es un punto fijo en el sistema xy
Sustituyendo el valor de ú de la ecuación g.2l y to x R de la ecuación g.22 enla ecuación Ll7 y haciendo Ao = üo, la pu.u la aceleración del punto p con relación al sistema XyZíe..,,í,ui.rt..n ""uu"iOn
dr
xR+
t^r
x
(ro
x
R)
en donde
dirección de ro x R puede determinarse conociendo que el vector que representa a ú) perpendicular al plano -ry. cuando
ii iii ilfi lrií
;,i
La
ser'á
-' 2a x V= ra componente ae cerioris de la aceleración aceleración aet punto F !i f, == aceleración Aj "i ,i.t",. a XyZ
der origen del sistema xyz con respecto
-
j,i
i.i
Yu=Yr¡*V+
: Ao + A + 2a xY +
iii li'
::l',a
También, de la ecuación g.15,
A¿
y ÁcsleRaclóN 341
ar sistema,l7Z A = aceleración del punto p con relación uf .i.i"ilu,1r, (', = verocidad angurar del sistema xyz conrespecto ar V = velocid¿d del punto p con relaJión ,l .ir;;;;;;; ' sistema xyZ
R = distancia desde el origen del sistema x-yz
f**á
éf
pr.," f.
8. I. considere er mecanismo mostrado en Ia figura g.7. Er esrabón 2 gira en la dirección mostrada a una velocidud u.rgrrr., por lo fa'to, la verocidad y la aceleración der punto l "onstante. i...qui.re encontrar tu.r"ro.¡¿u¿ y ra acerera_ ¡¡11nocidor..y ción del punto -8. Seleccrone e.¡es coordenados se el puntn t), como,er origen dár .i';;;" t;er punto,4 corno
Ejemplo
"r
a
los ejes
:
5.2i
v:0 \ O,,4 = 3 putg
,4d = Oaa =
I
I
tffi
XL
YB:Yo+V+o¡xR V3 : 7r(cos'3"i',+ sen3"j) : O.9986Vei + O.OsZ3Vui V, : Vn : Y,(cos 30'i :Qlj) : 6(0.8660i - 0.s000j)
"ri*"ÍHi:,lffii':r:""
f;il
&¡x R--(-
-
3.0j
¡en , ,i.,,
n t- -
l,¿. ,
,,r
'r,
ffi
1
tffi
X R)J ilffi
Sustituyendo las relaciones anteriores en la ecuación para Vs.
putg
pulg
O.9986VBi
+
O.O523VB|
: 5.2i - 3.0j +
(to
x R)j
f'
tilili
<¡rXR
iffi toz= 24 rad/s
iil;
FIGURA 8.7
iili
iill
2Sedebe.señalarqueparaespeoificarlascomponente,";m'"** trayectoria del punto p con respecto al sistema xyz.
arxR FIGURA 8.8
'ltll '1,ll i
;lll
iiirl lllrl
iilli illl*
342
y
ANAL¡S|S DE VELOCTDAD
ACELERACTóN
ANALISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 343
Sumando las componentes i.
: VR :
0.9986Vui
úrx R
5.2i
5.21 pies/s
Por lo tanto,
vs :
ox(oxR)
+
(0.9986X5.21)i
(0.0523X.5.21)i -_ s.2i
+
o.z.71i
j,
Sumando las componentes
O.Osz3VRi:
-3.0j + (
FIGURA 8.9 La dirección del d¡ x R se.puede determinar a partir del hecho de que ra dirección der vector que representa ó será perpendicurar ar plano xy. cuando se cruza
Por lo tanto,
roxR:3.271jpies/s
La ecuación para A u se resuelve mediante vectores unitarios en la siguiente forma, usando nuevamente el sistema de coordenadas xy.
3.27I : 3.271
0:0)¡:
ft
R
(r¡¡:
'
5.21
VB
OoB
_L Í'
-
maneciilas ael reiojj
: 7.82 rad/s
(sentido contrario al de las manecillas del reloj)
-
La ecuación para la aceleración del punto 8.23 como sigue:
-- "
.B
A¿
: Ao + A +
2
x V + ó x R * to x
(
x
R)
en donde
Ah:
puede escribirse a partir de. la ecuación
Ab(-sen3"i + cos3J):40.4(-0.0s23i + 0.9986i) 40.3-j
: Af(cos 3oi + sen3T) : 0.9986A'Bi + 0.OS23A,Bi Ao : Ae : A\(-cos 60"i - sen 60li) : 144(-0.500¡ - 0.8660j) : -7zi - tz4.Br A:0 2r¡¡xV=0 óxR:(óxRX or x (ro x R) : -16.1i pies/s2 A'u
Aa: Ao + A + en donde
^n ^'b
x,V + ó x R +
2
vL _ = OrB :
5.21)
+
a¡
x
(
x
R)
= 40.4 pies/s2, dirección desde B
hacia Oo
Af, = dirección perpendicular a O4B, magnitud desoonocida
Ao = lAnl= l{nAl= QrA)ruo,lr=$ x
242 = 144 pies/s2,dirección hacia O, (Al = 0) A = 0 debido a que B es un punto fijo en el sistema x1, 2ro x V.= 0 debido a que V = 0 ól R = dirección perpendicular a AB, magnitud desconocida ro x (ro x R) = -¡,¡2¡, dirección desde B hacia A ro = 4.91k radls de la solución de la velocidad desde
1li.2P=(4.91\
I
x¡t=
16.
I
pies/s2
Sustituyendo las relaciones anteriores en la ecuación para A",
-2.1i + 40.3j + O.99g6A'Bi + + (ó x RX _ 16.1i
O.0523A,8t
Sumando las componentes i,
-2.1i +
0.9986A,8i
: -72i -
16.1i
: _72i _
124.8j
r
:
_2.1i +
344
ANÁLlSrs DE VELOCTDAD
y
ACELERACToN
A,U
-86.1
Por Io tanto,
A'":
(0.9986X-86.1)i
Sumando las componentes
Y ACELERACTON 345
* 86.0i
0.9986A,Ri
pies/s2
+ (0.0s23X-86.1X: _86.0i _4.sj
a).é;i'
j,
40.3j + O.O523A,B¡: -I24.Si 40.3j - 4.sj: -124.8i
(ó x R) :
+ (ó x RX + (ó x R)j
160.5 pies/s2
Por Io tanto,
_@2
FIGURA 8.IO
óxR:t60.5jpies/s2
o : cr¡ :
160.5 : R
160.5
*
: 241 rad/s2
(sentido contrario al de las
A¡ : Ao + A + 2a xy+ ó x R +. ro x
.,: #: Y :
tze rart/s2 (sentido;:::":"::H:t"' del reloj) Aa: Ai + A,8: *2.1i+ 40.3j _ 86.0i _ 4.5j: _88.1i + .4, : lAul : v€-8lt+ 3-ss, : 95.1 pies/s2
en
se presentará una sorución gráfica de las ecuaciones vectoriales para una mejor comprensión de los vecto€rlÁpll"áo, análisis de velocidad y aceleración del mecanismo ",-, ¿e eslabones del"l ejemplo 8' 1. Frecuentemente es útil eraborar ",ii""r"¿". porígonos aiu"¡" vectoriales como un auxiliarpara,imaginarse "n "p.;;;;;;JJ'ro, y verificar la sorución analítica. Por esta razón, er mecanismo ¿^e esraboñe, urti"ituao" áil}L;;; 8.7 se vuelve a dibujar en la figura 8.10a y se muestran l,os polígono, q"" ¿"ii", magnitudes y direcciones de los vectores que se determinaron previamente en forma anarítica. La figura 8. r0á muestra la representacion !ran"á ¿" i"
"""""ü.*
verocicrad
en donde
Yo=Vn
é":
V=O
AB:AÉ+Ab Ao: d, :4i A:0 2
. '
- x (ro x R) : -to2R
que da por resultado
x
R)
(Ai :
o)
[-í,r f,¡tJ. (-- lr..¡
Ah + L;:
)i - - " AA + ó x R - o2R
La adición de estos vectores se puede ver f,ícilmente"en el
8. I
(eo
donde
35.8j
A continuación
Yu=Vo+V+toxR
La adiciónde los vectoi"^. % y .o x R para darV, se puede ver fácilmente en el polígono de la figura 8.10á. La ftgura 8. 1 0c muestra la representación gráfica de la ecuación de aceleración
0c.
'y'
polígono de la figura
Al comparar la sorución analitica con la solución gráfrca,es obvio que esta última es mucho más nípida pero menos exacta. Si sólo'se ."qúi"." er análisis de
posición, indudablemente se elegirá la solución gráfrca.'4il;;rgq ;;;; requiere el análisis de varias posiciones o de un ciclo iompleto, entonces se pre_
una
ferirá la solución analítica, pásiblemente con la asistencia de una computadora.
Por lo tanto,
Yn=Y,q+
xR
Ejemplo 8.2. como segundo ejempro, considere er mecanismo mostrado en Ia figura 8' I l, en donde la velocidad angulár ¿át esta¡¿n 2 es constante y se requiere encontrar la velocidad angular y la aceleración angular der esrabón 3. El sistema áe coordenadas
xy
346
ANÁLrsrs DE vELocrDAD
y ecBL¡RecróN
i
ANALISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 347
Y
Vo:
V^r:
-Vorj
V:Vi
O2A2O3á3
5O.8 mm
462.6i
= Jf,.6 ¡¡¡'t
-
209.9i
: -VA,i + Vi
Sumando las componentes i,
: vi V : 462.6 mm/s
462.6i
Por
lo tanto,
V:
462.6i mm/s
Suntando las componentes
j,
: -V^,i Vo, : 209'9 mm/s
-2O9.9J FIGURA 8.1I está
fijo
en el eslabón 3 según se muestra con su rigen en el punto ,4.r. El sistema X¡, tiene prrnio
Por lo tanto,
q
su origen
iil
"., "l La ecuación para-ra velocidad del puntor, no se puede evaruar directamente a partir de la ecuación 8' l6 va q,re, ar colo"ai d"l r¿;;;;Jrr-J p,rnro A,y "i-.rigÉ" una identidad.-p". io tu"tJ, ues J. n"""rurio escribir ra ecuación 8. r 6 para
Y",
--
-2O9.9j mm/s
(¡'" : ¿U, : 2oe.e : OtAt 33.0 -
,:j,"1.i"*#?rllo
Ynr=yo+ V + rr¡, x R
6.36
rad/s
(sentido contrario al de las manecillas del reloj)
La ecuación para la aceleración A7, se puede escribir a partir de la ecuación g.23
corno slgue:
en donde
vn, = (of )<,r, = 50.g x l0 = 50g mm./s, dirección perpendicu
rar a orA Vo = Y.q, = dirección perpendicular a O'A3,magnitud desconocida V = dirección paralela a orA3,_ugnitud ü"r"";;"iJ-É:"""'
o:xR=0debidoaqueR=0.
La ecuación paray se resuerve mediante vectores unitarios, con todas las compo#€ntes "" tomadas con relaciéñ a los ejes xy; ,, ," partir de lVrrl. "ui*-lu"a
Y^,:Yo+V+o¡xR
Y^,
: :
V^,(cos24.4i 462.6i
-
-
209.9j
sen24.4!): 508(0.9107i _ 0.4131j)
tr
&r:Ao + A + 2ruDxY + ó x R + ¡,r x (ro x R) en
lil
donde
A?, = (Ol)o2z = 50.8 x A,,t, = Ar¡ = Ao, ¡"
et
vi, : 209.92 ñ""^,
102
= 5080 mm/s2, dirección desde Arhacia O,
illi
= 1335 mm/s2, dirección
desde
l,
fllr
i,lj ;ilii
hacia O,
Arr. = dirección perpendicular
iilt
lIt
a OrA3, magnitud ,tesconocida
348
ANALISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
ANALISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
A', = 0 debido a que el radio de curvafura es infinito (la trayectoria p.unto a, con reración ar sistema xy es una línea recta a Iá rargo
der
ii
349
Sumardo las componentes i,
ce-ü
A/ 2a xy
línea de centros de la ranura) = dirección paralela a OrAr, magnitud desconocida =2x 6.36x 462.6 = 5 gg4mnr,/s2, dirección a ro largo der ejeyposi_
rivo (ver figura g.l2)
,
A':
La ecuación para Au. se resuelve mediante vectores unitarios y Ato, de la siguiente fbrma.
d,
xR+
x
(or
x
c(3 se
calcura a partirde
* 4626j : Ai,i +
cos
Ai. :
24.4j) = 5080(0.4131i _ o.et07j) = _20eei _
Ao = A,t, = 1335i mm/s2
A\ri =0
A'o. ür: '' -----: orA.
(se supone positiva)
At
2
= Ati x V= 5gg4.i mm/s2
-:3lgrad/s,
Sustituyendo las relaciones anteriores en la ecuación para
1335i
33.0
(sentido contrario al de las manecillas del reloj)
Se debe lnencionar que el origen del sistema xy se tomó en el punto A, con punto Arcomo P debido a que la trayectoria del punto,4, con relación al punto 1., (y por lo tanto al sistema x,,) es una línea recta. Si el origen del sistema x_y se hubiera tomado en el punto A, con el punto l. como P, la solución habría sido más difícil debido a que la trayectoria de l, con relación A, no se conoce fácil-
óxR=0
- 4626j:
10.-510
ef
*2O99i
10,510j mm/s,
: Al, + A:n. : 1335i * 10,510j lA^.1 : Vt33F + toJtü : 10,590 mm/s2
A|,
A¿
10'510j mm/s'z
An.
A\,=o A2.' =
:
j, 5884j
Por lo tanto,
en donde
42, = 4L+llen 24.4i- 4626i
-3434imm/sz
Sumando la,s componentes
1'o. R)
mmlsz
lo tanto,
R) = 0 debido aqueR = 0.
. Ao, : Ao + A * 2a x V +
-- I335i + A'i
A' : -3434
Por
óxR =0debidoaqueR=0
rrr x (err x
-2O99i
+ Ai,j) + á,i +
Ao,
mente. Para presentar la solución gráfica del ejemplo 8.2, el mecanismo de eslabones articulados en la figura 8.ll se dibujó nuevamente en la figura 8.13a. La
5884j
figura
8.
l31r muestra la representación gráfica de la ecuación de velocidad
Ynr*Yu+V+o¡xR en
fl
donde Y
o=Y't.
rDxQ=Q .q
Por lo tanto,
A2=V A1+ V y v para dar v7, se puede ver fácilmente en el polígono de la figura 8.13b. El valor de co., se calcula de la misma fonna que en la solución analítica. es decir, V
-t
FIGURA 8.12
La adición de los vectores v.¿,
1ll
Ít
Íi
350
aNÁr_lsls DE vELocrDAD
y
ACELERACToN
DETERMINACION DE LA VELOCIDAD EN MECANISMOS
,llJ
-' : #,:
6'35 rad/s
$J
A^,: Ao+A *Zruox V+óxR+rox(oxR)
$i $r
en donde
#r
Aez il
Ao
l:I
F
r il
ü
A óXR
- 42, (Ai, : O) = A¡, : AlA, + A!. :A' (A':0) :0 :0
Por lo tanto,
AA,:AA,fA!,+A,+2roxV I I
La adición de los otros vecrores para dar A.r. se puede ver fácirrnente en er polígono de la figura 8- :latro r 3.c. Er varor de o., se carcüia ¿e Ia misma i.rr-u que en ra solución analitica, es decit
t' : #,:
318 rad/s2
DETERMINACIÓN DE LA VELOCIDAD BN MECANISMOS MEDIANTE POLÍGONOS VECTORIALES
(sentido_contrario al de las manecrllas del reloi)
La figura 8' l3c muestra la representación gráfica de la ecuación de aceleración
,i.l
po.lígonos vectoriales son una herramienta conveniente para determinar la velocidad en mecanismos. Estos polígonos se pueden resolver gráfica, analitica_ o mediante a.lguna combinacién de estas dos formas. Lós métodos gráfiflenre, pueden emplear para determinar en forma rápida y con relati,ramente se p,bs cálculos las velocidades lineales de todas las paficulas de un mecanismo, pocos rlustra se en varios de los ejemplos que se presentan más adelante. Sin 5egún ombargo, se requiere una comprensión fundámentai del movimiento relativo de hs partículas en el mecanismo. En la figura 8.14 se muestran tres tipos de mecanismos de eslabones articuhdos en los que el eslabón motriz (eslabón 2) es el mecanismo, pero el movi¡niento transmitidcl al eslabón movido depende de un tipo difereñte de restric_ pión. En Ia figura 8.14a, la restricción del movimiento se obtiene mediante coiexiones de pernos; en la figura 8.l4b.la restricción se obtiene mediante el deslizamiento en una guia; y en la figura 8.l4c. mediante contacto de rodamientcl. La velocidad absoluta de cualquier partícula en el eslabón 2 se determina rápi<1a¡os
Pasadores
(sentido contrario al de las manecillas del reloj)
{i" Aar= {o,
FIGUR,A 8.I3
35I
FIGIJRA 8.I4
352
ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIóN
VBLOCIDAD REI,ATIVA Og P¿N'.'CC.LAS EN U¡V .SIANÓN COMUN 353
menle si se conoce la velocidad angular
ejempro,
'"
pu"á.
"ur"uu,lplñ;á'5i;"J.il:i:i?.,r"1"
magnitud de V¡ , po
iv, I : R-.
rlz--\<¡:r vQ
.--+
circu,ar rle A, y :T::;';*r",1"..," a *:-,vr;^: partir del sentido ül:"e:Tj:J::,"i::i g" .r, Si" lu u.ru"i¿uj í,";"",ii."" i serequiere,;";;;;y:,1?J;:¡;T'"",1"1.il*li?T "Álrlü
A/ et
j;ru;¿n,:_,ly:
8.8 vELocrDAD
.
RELATTVA_ _-. DE EN LOS MECANISMOS
illli:Ji:i:*lii'J; vectoriál ¿t lut
pARTÍcuras
:"iil,"#;':1"';'"'";"';,ns absolutas
ura B 4.ra verocjdad rerariva V,^ ar a parti'r ¿" r" á¡r"*tJf
ú- t;o:1:Tl
' ff ; á##ilyJ; ír"":Tt"?::r,ililil:: " " "" üü']i:x1,".n::Xn"iil:3:J:;:.",,"r:S:"."u,",.iüi;;;;',"debereterpartir de lu s.5 de Ia siguiente ,o#;l"t "j"mplo, se pu"a" a"t".minu, ""uu"¡on vp= Ye+ Y pe $.24) Aunque se Duede c.rnñ.ar r/ .i¿"4,"i,,jJ""#;;.iü;:::Xs;.;:,"1!""T;ffi::Tf; c
a¡'
Sin em
""iá"idades bargo. i ár "
;i;il
u
lfi
los de las patricúñs P y no r;t; están restringidos rerativá-"nt" _e
:ill::Hli*:;fl "i;;;#;;'ü;;l'"
:"il,:il:il:Jffi#:
i;;;;.rdrenres como en ra figura ti.4 !iál',oan-era que ,u mo,ui-i"nto sino que "nrr" rerativo ra siguienie *""i¿"'sle"esrudian ros ripos básicos de resrricpara mostrar la deterninación de l" -ierr"*á. ra dirección y
frayecforia de g con respecto a p
(c)
(d)
F'IGUIIA 8.I5
con respecto a e, cualquier otra partícurader esrabón como p está restringida a moverse en una trayectoria cirátarcomo se muestra en ra figura g.l5c,, debido a que el esrabón es un.cuerpo rígido y la distancia pe
es fija.La verocidad relativa v,,,, dc p con rclaci:" a b la trayecloriu .áiutir,, según se ? ".?ongJ,.'r" muestra' oéu¡¿o a que el radio deiur"",uiu n dc ra trayecr"¡" Jrl¡"" es iguar a PQ y la velocidad anprrar,el radio ¿" es iguar a o,. ra magnitud de V"g _tr, puede determinar a partir cle la "r*utr* g.l ecuació n acomo sigue: ""
lYnol
8.9 vBLocrDAD RELATTvA DE pnRtÍculas EN uN rsranóru CóM'i;ñ^ Si se considera el cuerpo rígido (eslabón
Trayector¡a dé p
:
(PQ)-.
Debido-aque lalray..ectoria rerativa es circular, dR/dt esiguar a cero.
r!
3
) de la figura g.
l5a, cualquier
j:|",:,ll vn r "T " J u#;"# a partícula oeidad ¿l f :";;1:: i;ili"?,il"i" En la figura t t con respecto a está ¿*"t,f, d" \r, es rangenre a ta trayeffiia circular en reposo enroncÉs p e, *;;;.;;; en la relativa y se muestra 1::.li figura 8'.15á. sin "o-f ":',:?:::,::tl":-tt partícula e no tiene;:.::::t1" corno un vecror r,jo'elp. Er sentido a que de vo., se determina "-iá.g;,*a"ui¿o ie, de giro ul,e¿e¿cir ¿e sea el n ; ;' ; ;";'ül Q f -ir-o qu" áfl."nt¡¿o de arr. " a la velocida¿fi i:l "ffi : ik lX l:?:j:". ;::i¡: H Iif nXT T Iffi"t#:";l;;x,:.. eue.denota_la vetocidad de e cin á"e"i".'"i';;il;, b., " p' p. respecro a respecto Sr¡ puede ,,,,.r|"T,1?tT.:'^t^":T],t"q arrededor de como Se ver que con ."rpJto p, ::i*?fl-
jU:
u
un
ve
r
ra
a
c ió
T
e
si
e
fuera
un
eslabón 3 es ra misma en magnitud y
u"*ioo
a
ra verocidad
que con respecto a
"iñtxii"aT porlo tanto, Q.
354
aNÁ¡_rs¡s DE vEr_ocrDAD
y
j'.X"q
üHi
il
4 .ii
Ac.ELERAC:IoN
VELOC--IDAD RELATIVA OE PANTíCULAS EN UN ESLABON CTIIT¡ÚN
?ü
i g ,'#;--' Y' :,T i:: üil u'¡¡ Lr¡¡r'dr!l(r. el iT : I u o. opueslo sentldo l,?: ;: dc al d" V.,.,r, Vunes ".ffi L omo se irüstra cn er siguienlc cjcmpro. e' er anárisis cinc¡'ático nismos es necesario corrar con dc rneca_ ras .".iu"¡on", g.zs v;;;;".. ra dirección v et sentido de ra verocid*¿ ."rui¡uuJJlls'pu.ti"uru; r.2! v
"kr,"l,'fi
Ejemplo 8.-L El eslabón 2 del mecanisnro d csrabón motrizy,¡"n" unu verocídad da' dibuje er porígono de ve.rocidader
u
il:: ll
",.,
""*;i;;;;;:,{J:i::,i: ;;;;;r;;
;,,'";rul;;
i
355
.f,oresolver para dos incógnitas escalares. Las ecuaciones de velocidacl se pueden cscri bi r . .Como
slgue'
ii j
t;l l. VB : VA +
VBÁ rl ii
dererninado.
I
{:^ff,liiiflfJ;;Íffil
r dadcs angurares .', v rL-r., ]i "-"]*io"o vo der punto B. ras verociv rls bión tas irná*qnes áá vejogi4cd ""lo"i.r'uJ""lr*uL.*, .",u,ivas ,,rr. y r,r.r,. r)crcrrrinc rar¡r_ d" ,o¿". il, po.o n,or,iái cóiil., p,,cd. narse Ia velocidad lirteai trercr¡ri_ de óualquier 0r",., ".j]ü.,n". J.,r".on¡r-". ,rr.;;;; tier¡e una rnagnitud n y una cada vsq¡6¡ "t, dirección ¿ l*"á"."r;;;;;;.,,ír;.i)iu"il"ogniru. ecuaclon vectorial se pueclen ,r" ru tabular "onrr"ni"nr".aente. LJna ".uua-ión ,n""t.-rriul sc puc,e
en
;;r"
donde Vr, = dirección perpendicular a OoB, nragnitud dcscr¡nocida YA : (OrA)o:, = (102)30:3060 mnr/s, dirección perpcndicular a ().A Vo, = dirección pcrpendicular a BA, magnitud desconc¡cida_
Mcdidas cn el polígono, Va= 1800 mrn/s
y Vn,t= 3180 nln/s.
vrn : 3190 : t' : Ei (sentido contrario al de las 15'7 rad/s zo3manecillas del reloj) v,, : l g00 -+: O,A 762 = 23.6 rad/s L::ijid" cr:ntrario al de las manecillas del relcj) o)32: ú)i - orz: 1s.7 - (-30) : 45.7 radts f:::ff;:,:,Jil:1;!0"'". 0¡r : 0¡ - (Dr : 23.6 - 15.7 : 7.9 rarJ/s (scntido contrario al de las
1O2 mm 2O3 mm 76.2 mm 102 mm 152 rnm
ll
jil
lit
IH
¡nanecillas dcl relo-j)
Il.,V<.=Yt+Vr.¿ lll. \'( =Ytr+Yr.t;
f*----.--.-
-zzg
/
"/
l
en
1il
donde
V.. = dirección desconocida, magnitud clcsconocicla
ill
V.,
= dirección perpcndicular a CA, magnitucl
!
Vct¡= 2390 rnmi¡,r
La ccuación I expresa a v, en ténrin.s cle V, y vrr. Según se indica, sólo se conoce la dirccci
(b)
FIGt-fRA 8.I6
vn-desdc Q,, La intcrscccióndeladirecciórrde v,yclelaclirección dev,rocomplet:rcl polígono. A c.ntinuación s., agregan puntas dc fleóha a los vbctores y y I o.n dc maner¿r quc la adición dr: los vectores ctel polígorro ct¡ncucrcla con la ¿rdición u dé'los termirros tlc la ccuación I. I-a punta de I vectc¡r V, se designa cor.no ..8,'.
iit
il[
t$
iif
ii iit i
'll
il i1
lii
356
ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACEI-ERACION Las magrrifudes v senr;rt^" de A^
,, respecrivamcnte. 2",
vELocrDAD RELATTvA oe
,"il;.ff ilhT:i:;:egúnse_;;;:#.":ffi,T#l.i:,1;,,3*l"i,x[ ""y^.llntt¿"t j,ií.,¿l v(..v,,
.::11e vecrores'
; ;;' .,":''i:"T;'#';"'ül
a.i,,áo"fáuá uoy V, dtagrarna más claro. Ut
punto Aen ra nsura
,
,l'.1"i
las
*ecuaciones .un
rr v ur que dr
las relacioneo
n.u"tu"nrui;I.., "onolid;ri;;1" rtrdica' Lo" lu-"'u"iJn'r] , .il?l- 'i,r' l" ü;;;;:;;:" " se
ll.'::fi,k,.'n::,::ú,fr U::iífil'J::ffi i?i:il, "'Ji.;;,' ;; ; , r:,
ffi :.,:;
panrÍculAs corNcrDENTES 357
iilil*.ffi * hH*ffi
;';i::::T
ru *
LUr¡ ta oe las ecuaciortcs
"-":''"""'
El trjin_,,t^ ^-
.ro"o.5fi?ili,#"":Toi::o^" !^!.1 o,la rigura 8. r6c se conoce como ,*^: ra imagen de .uolqri". f,,-,."tJ;':#-":T" ral tiene la misrna a;" que vetoel eslabón .]' ,r.'"i".'r;;T: i" t' tl'tttu"o-i". po.srción correspondiá,| '" 1'"tttu ;;;;;'"nna "" "i
Trayectoria de p^ en el eslabón 2o
i*ffi i1f ;:"#gy.Tyiiiü:?triid*i::::rüitrrri:'"'"'"'ir"'r'i j
ccro Las i.¿*.,
;: ff:: r; f ry;,","l,{;jilffü ",'¿", "*'*;;'J;:il:::i,::Íii,
+t
".J;
,;:
';:#: dil#
:;:TtrtiTíÍx,*1fri:l.:.,ii:il::
-r:YSe debe menciolrar
¿"r esra¡Jn
pIcúna g.lz tal¡
dcspués de haF i:il;,f;i::e" ."^1que pu"a"
la irnagen
"'nllr,,il;L::TJletado
verocidades
8.10 VELOCIDAD RELATIVA DE PARTÍCUTAS CoINCIDBNTEs nÑ
ae resrricción
"ifrTxTos
BSLA BoNEs
como el de Ia fieura^8.,|-ab,,ra resrriccíón der rnovimie'ro una partíc ut a A et eslabón a lo lar$ o" ," irri..l e.süui,r ;;-.;:t ""
," 1", rranrvera_r^ naA^-^ "n"u"l.otro _,nf:u
.l
l*"íi'*',jJ?"1""::-r:::ll1.r-"
er¡". E.l.1ip"
.eC"g"",t"."4;ü .targo
r¡-_^-+^ ¿ ¿ _. ,,
p. con respecto al eslabón
2 se, muesra rrrusDLr a con L;uI1
* rticuta e, el
:#rYi'rlj; j,"^i1'r"]-":!;!;4;'ü:ltllil'?iJ. ;".::"j;:::ffi"[l"t:T';l'j,T."::: l"'j"T.,1".i"":':??f"?I-rt]?j1iul,"1'¡i1s", i." J",, e,,í u"r -;i,"i;;;;;;,;""",i,""?,J,:Íli; il"* i"' :1"^1:-.jl 11Tj:1 1ii, " haber una:. velocidalélativa "li " í ,?-), ;,,# ; ,'x:: de las" dos ñi;;i;r;'".,;:"#:: :lT"¡?:1L1-l" ::?';:.:":*:,":,yr,:^"'1i :l'l"riu"""á"r"p"ñ;;{;#;ilU"i:;['j; la dirección rangencial ,_, y á"tialr.;^;ril;;;i##; ::,:.1::T"r" "-pZll relativ¿ sóló se puede :
En olras palabras, fo
r" gr;os ;'elativo "ur¡"". toria pr escri; ;;i;,il;Too
ra
l1lli,*o"Jj"i# l1n:*,:;:-:"-T3i*'-:" i; ,c"*id"*'1'" re :i ",:Pi"^l,i g:^',"-1 : : 1," gen e n p o s.i c i ón "li u pl,i [, ; Há':]'
..:.&z:V.u-Von CA CB- DÁ
En muchos mecanisln
guía en el eslabón 2. L¿r trayectoria de
En la figura-ll 7.,,a partícula p, enel estah¡- , ^ -, en de una trayector¡a lnovirnierro a lo curyilíne a ftaáada."l:lub:n 3 está )bre el eslabón 2
debido, l" .á"rru
¿
trrq,
En loihecanismos en
"J
dar en lu ¿Ir"""i¿ ron tangencial de la guía.
guía, el se en
de
Ejemplo 8-4- ra levade,d,isco
de la figura g.lga mueve un seguidoroscilatorio de carretilla y un seguidor radial de puntu ti*itán"u-ente. La leva gira en el sentido contrario al de las manecitas der reloj a angurar constanre co, de r0 radls. para mantener el contacto de ros seguidores ""r;;;;i;; con l. i"", se ernprean u.ro, .á.ort", (que no se muesrran). Para la fase mostrada, determine Ia velocidad i"ra"ll""r" iren er seguidor oscilatorio y la verocidag, Ja, aer punto Bs' en .t ,eguidor de punta. Las ecuaciones de velocidad se pueden escribír?omo'rigu",
''
-
i
Yta=vnr+vnoA,
fli
'Yí
359
ANALtsrs
r{iJ'
.t,
DE
{
\l
Az,At
Trayectoria de A4 en el eslabón z
ill
VELOCIDAD Y ACELERACiÓN on
vELocrDAD RELATTvA nB peRrÍcuLAS coTNCIDENTES 3S9
i,'-
lígono de velociciades para la determinación de la velocidad vr- del scguiclor de se puede dibujar de una manera similar a partir de la ecuación ll. Lbs purrtos Bry B, coincidentes y, según se indica, se conoce la dirección de las componentes Vu. y V u.u. ¡anlo que de Vr, se conoce su magnitud, dirección y sentr'do. La figura 8.l8l¡ rrruestra eÍ que se dibuló desde el misrro punto polo O, como se hizo con el poligono para determinación de V/¿
,-- t
,-\ v^.^, 41
v
A2
8.18
FICURA en
Yr.o-/"'Bs
donde lr,u = \(^ 4" .,0.,r..
oú
\,¡"
Voo
.ü.11
ii
i rl
Vro = dirección perpendicular a OoAo,magnitud desconocida = (2.5)10 = 25 purg/s,dirección perpendicurar a ().A, Y noot = dirección paralela al lado recto .e Ia leva, magnitud desconocicla. Medidas en el polígono de la figura g.tgb, yA4= 12.3 pulgTs y Vurnr= 26.3 pulg lI. \rr, = Vr., * \,a"t¡,
VBLOCIDAD RELATIVA DE PARTICULAS COINCIDENTES EN EL PUNTO DE CONTACTO DE LOS BLEMENTOS RODANTES
s.
cero. El cjenrplo 8.5 iluStra
.---';---,_.
desco_
y
-
= (orB2)
Í:lT;
ili::
ltitlxl;',i"ilÍ,?iti h¡;:;;nT
3'{ffü:*#J""iJ,
v
,,e..
*iiJ.nr,,.
-'.-a*
,/
w
\./ \2,/ -\
en,an o
La construcción det polígono de velocíduo"" ¿" la figura g.l gó se empieza con el lado derecho de la ecuación I V-el u"",or-ü,'1" dibuja deslde *A punta como á, designandoes, o.i. ". Acontinuación se agrega Iá'oirec.¡on ", d" lr' Debido u qr1" imposible en er punfo .ynuacomenzándo ". considera el"o..,pl""ru."lu Joiu"¡¿n usanoo sára*ént" nentes, entonces se dos comporado izquieroo oe ta ecuación y "rtu" se dibuja v.r.o.desde o,.La inrersección ra dirección de ¿e ¡a direccü" o"v_," i";];;¿¿;;irr4.{2 f porrgono' Ahora se asregan puntas comprera er de flecha a ros vbttores v adición de ros vectorJs der ptrigono n" v vn)rdé -un"ru qu" lu Ia adición ¿e ros'i¿ím¡nos de ción I. La punra del vectori)oi" ra ecua_ "";;;;;:;n ¿"rigr"
ilt
ill llli
ilil
iiH
til$
"-_.-_-.-_-..-\= dirección a lo largo de la línea de centros seguidor 5, J! magnitud - del --' evesruvr nocida
t;
cl cmpleo de'este principio.
en donde
Vt.
ili
illi
r"."". tipo de restricció"r
en los mecanismos es el que ocurre debido a que uno .,de los eslabones se restringe a que ruede sobre otro eslabón sin deslizamiento en ;,el punto de contacto. En la figura 8.19 se muestran los círculos de paso de rodalmiento de un par de engranes acoplados con las partículas coincidentes en el punifo de contacto. P. en el eslabón 3 y Pz en el eslabón 2. Debido a que los círculos . fienen contacto de rodamiento puro, estas partículas tienen vetocidades idénticas de manera que vn. = Y r, y la velocidad relativa entre las dos partículas es igual a Jün
ve,= (orAr¡
l,l
ili
(b)
' l,l, t '"/g'r-' 'J 4,. ,,,,t
lti
-/-
\\
1fifi
(r3
"'--w
flil I xlfl
rV.=V-
\'".-'& t"r"r=o \.r \----\¿
/ g,,/'
.Í'
,--'
FIGURA 8.I9
tlfi
iill
illi
Eiemplo 8.5. nn la figura 8.20¿ se muestra un mecanismo formado por tres barras, dos engranes y una cremallera. La velocidad v, del punto I es de 122 m,/s en la dirección mostrada. Determine las velocidades angulares
I. Vr=u#*Uru en
donde
it
rll t! lr
iirl
ti lrl
il
rltr
360
ANÁI-ISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
CENTROS INSTANTÁNEOS DE
V, = dirección pararera a la rínea de paso de ra crema'era, magnitud Yt = 122 m/s (dada), dirección perpendicular a OrA Vr, = dirección perpendicular a BA, magnitud desconocida Medidas en el poligono de la figura g.2Ob,V
IL
Vc
B=
104 m/s y y n,q=l
l6
desconocida
m/s.
V
= dirección perpendicul ar a OuC, magnitud desconocida = dirección perpendicular a C'b,.rrugrritr.rd desconocida.
ro4
BP
rl+fr
V.u.
.CM
(D<:*-
207
r**d
rad/s
(sentido de las manecillas del reloj)
4060
rad/s
(sentido contrario al de las manecillas del reloj)
Debido a que la velocidad Vp, del punto
Debido a que la distancia BC entre los centros de los dos engranes es constante en todas las fases del mecanismo. se puede visualizar un esrabón eq"uivarente qu" ur* a ros dos centros Por lo tanto' prirneramente se analiza un rnecanisrno de cinco Üarras paru determinar las velocidades V, y va de los centros de los engra'es. Er porígono de verocidades de la figura 8'20á muelra la-determinación de v, yys.¿apartirde ra ecuaciórr I. De rnanera similar, Y y y c ca se determinan a partir de la ecuación II. En la figura 8'20c se dibujan nuevamente los vectores de velociclad vo y V. de ra frgura lo'2ob para ra construcción d.e ras imágenes de velocidad de l.s engranes 4 y 5.
mm_=_-
_
AB
727 mm
de 102 mm de
lQQ,
¡¡n
diám_ r/ ,.
;1,
ll
Engrane de 204 mm de diám. 'I
urru, { 1' FIGURA B.2o (continúo Ji)o rigur"ote página)
Cremallera
!
Y
p,=
Y
p,
(Vr,r, : 0),
la
Bconrocentroyqonradio BPo.La imagendelpunto Moenel circulosedeterminadibu^B en el polígono perpendicular a la línea MoB en el diagrama configuración. l-a imagen del punto M, es la misma que la del punto Mo debido a que
jando una linea a través de de
Y ,,= Y ,o Por lo tanto, la irnagen del engrane 5 se dibuja con C corno centro y con radio CMr. La imagen del punto D selocaliza en un diámetro del círculo opuesto al punto M, A continuación se pueden determinar las magnitudes y sentidos de
Y
deY
"roy
cu+ respectivamente, como se muestra.
INSTANTANBOS DE VELOCIDAD
En los párrafos y ejemplos anteriores, los análisis de velocidad de los lnecanismos articulados se hicieron a partir del conocimiento y óomprensión de lq"velocidad relativa y la influencia de la restricción del movimiento de dicha vetocida
152 mm
¡.!
P, es igual a cero y
imagcn de arnbos punfos Pt P¿ se encuentra en el punto polo Ortomo se müestra. Con el punto Polocalizado en el polígono, la imagen de velocidad del engrane 4 se dibuja con
8.I2 CENTROS
02á - 50.8 mm
= O6C =
i,
lmagen del engrane 5
FIGURA 8.2O (conclusión)
lO2O
330
lmagen del engrane 4
(b)
Medidas en el polígono 11 fieura g .2ob,v c= 36.6 nrls y y cs= 112 m/s.Medidas en el {e polígono de la figura 8.2oc,y V¡ = l0a'm/s, y cn,,='207'ln/":;;::v ,oor^= 206 rys, Y o =,215 rnls, y V ur'
Ms,Ms
";Y?r
=Va+Yca
en donde
V. V.*
VELOCIDAD 36I
A continuación se utiliza otro concepto para detenninar la velocidad lineal de pafiículas en mecanismos, a saber, el concepto del centro insl.antáneo de velocidad. Este concepto se basa en el hecho de que un par de puntos coincidentes en dos eslabones en movimiento en un instante dado tendrán velocidades iclénticas con relación a un eslabón fijo y, en consecuencia, tendrán una velocidad igual a cero entre sí. En este instante cualquier eslabón tendrá rotación pura con respecto ál otro eslabón alrededor de los puntos coincidentes.'un caso especial de esta situación es cuando un eslabón se mueve y el otro está fijo. un par de puntos coincidentes en estos dos eslabones tendrán entonces una velocidad absoluta igual a cero y el eslabón móvil estará girando en este instante con respecto al eslabón hjo alrededor de los puntos coincidentes. En ambos casos el conjunto coinciden-
iiI i
li ii
rl H
il1
fl,
lrl
362
eNÁrrsrs
DE vELocrDAD
y
r
ACELERACToN
CENTROS TNSTANTANEOS DE VELOCTDAD
,ijj
;:"*#:'""j;:nli::,;?l:,2:::"::.:x,,::::.*,vetc¡,cidac/(oavecessir¡
Ii
:.:T:i:H'n":"?:,,:;:3'::,:í:;r::::*"--ili.i:,:::íJ:.x;::;'": ': ---"'-" '"'" y (, ) uf^ [+{r,"Jl !?, $,e ,os drr O"a r" a
fl
"a"r,d"r".
jl,J
,
i*i ,
tri ilid
[tr ffif
fif ffi
ffi
t $
I $
I I i
ffifJ"Ty;;13;;;'.t$ffilr: H;#"Jil"'ii,li""i,ij,'11,ff
. S.
363
'*
Debido a que A y el centro instantáneo O, son partículas en un eslabón común, la magnitud de Vu puede detenninarse a partir de Vo= oor(Ol). (nanera similar, V u : lor(OuB). La magnitud de la velocidad de cualquier parDe el eslabón 3 se puede determinar a partir del producto de <,r, y la distanen {cula gia radial desde el centro instantáneo a la partícr.ll a, y la dirección del vector de ¡¡gido
en rnovirnie¡16¡¡ Ij sea ambos velocidad es norrnal a la línea radial. ffi il;J::lif r, También se puede ver que el centro instantáneo del eslabón 3 con respecto ¿:Ti": ::""T.1***:i"4ffi j?:*:-1'g':r."';;""rffi ;'ffiH'J:: jllt"¿#xT;"::: fl eslabón I cambia de posición con respecto al tiempo debido a los cambios en la
:ffi:1ffi:;:ffi nff "":*1i::*1: ;"."f ii#i,'¿r ,"ji::?n:;¿?"'.?iTl,:;,:l'::,:::::iylffi T"":; ;x*',*??:Tlr*1nT::l':':::;F6üiii"3l'l-ll;l:::ff da I -' i''" o ; i¿,;ffi # ;;:1: ;T;::#l? tJff; i'Xll' #¿ 3'""" srgutente " sección, $"""""' na
de
u
n
u
Fn er mecanismo de cuatro barras articulaclas de ra figura g.2 r, es obvio con reración ar esrabónfJo, tos puntos o, f o. ,on posiciones de particuras que esfabones 2 y 4, respectivamenie, en ros que tie'r,en una velocidad iguar a cero. por otra parte, es menos obvio que en el eslabón 3,-que tieue movimizna iunu, cre trasra_ ción como angurar, una partícula también tenga verocidad cer. c.n reració'ar eslabón fijo' Haciendo 1eie.ryn9i1"i o",tt""g ¿á ,u"rociauáes -".rruoo en ra figuraB'21. Ia imagen de verocidad ¿"i"!üü?".i aparece";;;;ir; AB y ninguna de las partícuras en esta línea tiene concibe suficientemente grande ""1""¡¿"a cero. sin embargo, si er esrabón 3 se en extensió;
áiig-áno,entonc",,"in"r,vJ,:'i.fi,il[trJ.:i:t"*"T::il"J!i;
1:]""uo,a"if rmagen' Para deterninar en el mecanismo raubicació n de ou,que es er centro instantáneo der esrabón 3 con relación ul ..luu¿n r , se construyÉ en er rnecanismo un triángulo similar a o rBA del porígono ¿"}run".u que los lados ¿e los dos trián_ gulos similaies sean mútuamenie pJrpendiculu."r. p_, i-poiii"üotu. que para las partículas det eslabón 1..2n y ;;^;, ;;;;;*ores.trjos y y y i son normares a las líneas dibujaáas o uen et eslabón 3 ¿eÁ¿e er centro rnstantáneo o,hasta A y B.
del polígono de velocidades a medida que el mecanismo pasa por un ciclo de fases. Sin embargo, para eslabones en rotación pura, los centros instantáneos son centros fijos, como el caso de 02y Oo de los eslabones 2 y 4, rqspectivamenfe, de la figura 8.21. La determinación de velocidades mediante centros instantáneos no requiepolígono de velocidades de vectores libres y es considerado por muchos el re somo el método más rápido. Con el método de centros instantáneos, los vectores de velocidad se muestran directamente como vectores fijos. En la solución de un problema. como el de la figura 8.22, generalmente se deÍerminan primero las posiciones de los centros instantáneos de los eslabones móviles con relación al eslabón fijo. Para los eslabones2y 4,Ory Oo son puntos obvios con velocidad cero. Iara-egllb-ones tales como el 3. sólo se requieren cqnocer las direcciones de las velocidades de dos partícula$ en el eslabón ya que la de velocidad tletermina el intersecciór de las no .forma
centro instantáneo.
os vectores de velocidad fija se pueden determinar casi totalmente por medio de la construcción gráfica. En la figura 8.22, suponiendo que or, es la única información dada, Vn se puede calcular a partir de a.(OrA) y V, puede dibujarse
#'
I
Centro instantáneo del eslabón 2 con respecto al eslabón 1 Centro instantáneo del eslabón 4 con respebto al eslabón 1
FIGURA 8.21 FIGURA 8,22
364
aNÁrrsls DE vELocrDAD r, ACELEnacróN
TEOREMA DE
nofrnar a o'A empreando er centro instantáneo der esrabón 2 conr.^-
*trt,nffi
r+ffi :*É;i::*'J##¿,ti*T"r;#f hf ",
,",{:
-
j#,ffi
-.i"
tra', trayectoria de
traslación
B.r3 l¡oracróN
DE
duun' en una dirección normal a la
Los cENTRos rxsraxrÁNnos
En.la sección anterior, los centros instantáneos je veln-i.t_.r velocidad se ^_.,, cada cada uno de determinaron para ¿"1""""'rrrüones los eslaúones móviles para móv'e. ;;;";;l"l1"e ,.","].t,fj ::t:_:1*g ¿r eslabón esraDon muestra muestra el sistema t1.io. La r¡g*u rirt"-u de "or, ;;;"'"" figura b.z: áJ notación notacjón ¿" iJj de esr^. ,fijo. "l :¡ con relaci¿;_;;;bó;iir.rr:r"., en d_onde donde el cenrro i"lu"t¿¡li ^,,-t-::"^1 det del eslabón ".ü,¡;^ initunt¿nJo [iu"¡ón al eslabó,., ;: "or, ",lo].^en como movimiento ..3 j::fy 3 I para con respe"r" ¡ndicar ¿i ."ro" cto ; a l,,.El ::"'Tj:L,: """ co¡¡etación "*1,1,¿-'i, trene et mismo instanráneo ""ni.o "l "rlrtJnil"""¿. e¡talo¡ eslabón rI aparece f1io, fijq, upu.""" en cuyo caso el como si gi.uru sirara * en or o.-,;¡l-dii] !l ¡9l-auon opuesto(er, al eslabón 3. Debido "áino ú¡ = "i-r;ffi1"::1:'lg.lrub'otl qu" r"lu"i¿¡ r"lu"i¿n u qrr" ío, -<, i, )I con lo, p;;;;;'ü;':tro Dlrnt..,s r l ., , .olP'uesto(r,,¡,, 1]^:,"1.9."" ""n signación es aceptable, aceptable. aunque aunoue se prefieré nrenp.o ,^'-::l 9l -jt--" puntói .uutq.ri". al-
il;ü;,.tL"i i ií.ll:H:
KENNEDY 365
instantáneo del eslabón 2 con relación al eslabón 1 se designa como 2l ó 4I ó 14, según se
el del eslabón 4 con relacién al eslabón 1 se designa como
También es interesante el centro instantáneo de un eslabón con relación a cuando ambos se mueven con respecto al eslabón fijo. En la figura 8.23 se 't$ho ,,. uestra uno de estos centros en A en donde tanto A2como A, tienen una velociperno de manera que las $1id absoluta común V, debido a la unión mediante relativas Y Y son iguales a cero. ,,r¿.elocidades ar¿ry ¿rtr, .pg.obvio que el punto I es gira alrededor instantáneo 32 del cual el eslabón 3 con respecto al eslac_qqtro tl b{n 2 a una velocidad angular o.r. El punto A es también el centro instantáneo .SJlDe manera similar, el punto B es el centro instantáneo 43 ó 34. El centro ,lnstantáneo 42 ó24 tarnbién se muestra en la figura 8.23. Sin embargo, el método ,para determinar su ubicación no se presentará sino hasta la siguiente sección.
S,I4 TEOREMA DE KENNEDY rEl teorema de Kennedy establece que para tres cuemos independientes en movi:miento plano gener4l, los tres centros insta ea i:recta comúq. En la figura 8.24 se muestran tres eslabones independientes ( I, 2 y '3) en movimiento relativo entre sí. Hay.tres centros instantáneos (12, 13 y 23), c_uy_as posiciones instantáneas se deben determinar. Si el eslabón 1 se considera como un eslabón fijo, o eslabón dato, las velocidades de las particulas Ary Bren el eslabón 2y las velocidades de D3y E, en el eslabór-r 3 se pueden considerar como velocidades absolutas con respecto al eslabón l. El centro instantáneo 12 se puede localizar desde la intersección de las normales a las lineas de dirección de velocidad dibujadas desde l, y Br- De rnta-
,r'":H.:¿Iiri?jll l;lrrlÍJiil.É;
#'
"'Íái\= _¿____\s
3
v")/s, ___
42,24
FIGURA
_o2 41,
S.23
t4 FIGURA 8.24
-
I
366
ANÁLISIS DE VELoCIDAD Y ACELERACIÓN
I
DETERMINACION DE LOS CENTROS
nera similar, er centro l3 se localiza de ras normales dibujadas desd.e paftículas D, y E,. Los cenrros rnrru'r¿n"o, il tt son rerativÁ ;J;;"" ras I. TodavÍa se puede determinar er centro instantáneá )2. gnuna rínea"itrazadti los cenrros r2 v r3, exisre una puiira'lór'.n er eslabón 2 a una;:,:nffr"rr::: lura V.. que riene la mis'a luJ?u.r"ln"i¿ua 11r9cciOn cula. Cr'en el eslabón 3.. Debido 1Ur.1r" V..., de una parrí_ u quJV."", proporcional a la d desde i.2, ra magnitud o. r" oli"Áfta a partir de ra constr.il'li:'" o:^a, mostrada y v.- se determinaFe ep"rri. las Iíneas de c'énstrucción en * se "r;;;;;;;'simirar. ¿eiermi',iu ,nu rocarización común de y c,. tal que las velocidao":,:o^::]111. son idenricas. Esra posición esei centro instantáneo 23' ya que las u.l'ói¿aoLs absolutas de las pariículas coinci_ dentes son comunes v Las velocidades y rrc, y c.crson iguales a cero.
en el €
\34 \l
\.
I
\r
241'. 6enela
o"i"lffi:Jrj,:lj;: c
3J i,::',1 i,: I
:H
*:.:T3," "
ffi;;
;;;; " "
"
| á' i
i -ytp!#
qu
"
r
u,
'\l4
d i re c c i on es
El teo-rema de Kennedy es sumamente útir para detenninar las posiciones de los centros instantáneos
en el a
l3\
I
en.mecanismos que tienen un gran número de esrabones, muchos de los cuales están en movimiento plano general.
8.I5
DETERMINACTÓN DE LOS CENTROS INSTANTÁIVBOS MEDIANTE EI- TEOREMA DE KENNEDY
En un meca'ismo fo¡ma.d9 Ro_r n eslabones, hay n - l centros instantáneos rerati_ vos a cualquier esrabón da
centros instantáneos. Sin embargo, debido a que por cada posición de centros instantáneos hay dos centros, er ñúmero totar ñde ubi"u"¡ori". anioo pn,
n(n * t)
D¡agramas de círculos
"ria
2
El núrnero de ubicaciorres de centros aumenta rápidamente con er número eslabones, como se muestra a continuación.
n ESI-ABONES N 46
5 6
7zl Ejemplo 8'6'
de
Pat'acl mecanismo whitworrh
l5 ubicacioncs dc los centros instantáncos de mosrrado en la figura ¡1.25. ,leter,r,,in['las velocidad cero.
Solución'
Debido al gran núlnero cle ubicaciones que sc deben ¿etern-rinar, es dcseable usar Lln sistcma cle contabiliclad para Ios centr()s a nletlida clue sc clclenri¡lan. I:l cliagrarna de circulo trostratlo cn Ia flgura 8.25 es u,-,n .l" las lirrrna.: r¡ás :;e¡lcilias cle contabilitiari.
b------
FIGtJttA
1t.25
Fi
CENTROS
to rs
i
i
v,
"r,,.üi, ;;;;;",
lr.¡sreNrÁNeos 367
Los númertls de los eslabones se designa¡r en
l¿¡ ¡reriferia del círcr.rlo y la cuercla q¡e une núlncros cualcsgr-ricra rcpresenta un centro inst¿rntaneo. En el crrctrlo superr()r.srj nluestran c¡cho centros que pueden detcnninarse nle<.tiante inspeccitin. Cinco dc los centros ( I ), l4' 2-l' 45 y 56) se encuentran en conexiones r-rnidas por pernos, según se nruL-stra. l)os .tjnlras { ló v.3f),igfr.,t.njlpt1 .q el infltrir,r. vg q,,. .tlobón 6 *n tru.laei,i "l res.¡lecto al cslabén I v el.e'slabi¡n 3 está "rtá cn t.urlo.ióii.',,nterpr.r,rlft6ón 4. D.t,i¡oT que se conocen las clirecciot*ffipr"t.t B y I'clel eslabórr 5. la i¡rersección clc l¿rs norlltales loca liza al ce-ntrt¡ 1 5. De esta fonna, oclro cL'ntros se localizan rnecliante inspección' scgirn se muestra pttr nredio de las lÍneas sóliclas en erl diagrar.¡a ile círculc¡. EI teorema de K.enncdy se pttede us¿ir p¿ira los centx¡s qlre no se cjctenlin¿rn tan
dos
obVialnclrtc. L,n *1 círcr;lo st:¡rerior. ¡iara locrliz.ilr cl cent¡-o
I
j
s.: cJíbrr.ja r¡na líne¿r
p.ntea-
368
,!\db
ANALISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
(\v Otd DETERMTNAcIóN oE LA
16enel¡
I
J.
ls'
*zq
vELocrDAD 369
iL rc pu"d" determinar a partir de la velocidad conocida del eslabón motriz 2 sin
ii
.,
t.net que determinar primeramente las velocidades de los puntos en los eslabo-
,nes
conectores 3, 4 y 5.
Ejemplo 8-7-
Para.el mecanismo Whitworth mostrado en la figura 8.27, determine-la
, velocidad absoluta V. del portaherramienta cuando el eslabón moiriz 2 gira a una velqcióad tal que Y , = 30 pies/s como se muestra. ' s9tuciy2.- En la fisura 8.27 se muestran dos soluciones para v". En la primera de éstas (figura 8.27a)' los eslabones
l,
3 y 5 están involucrados en taiforma que se usan
, $,r'
¡l5' / ^'5" t' .n"6t'"
manera similai ,.ia"grT"'i-il también están en una linea recta. "r La iniersección representa ro, "".,tror' r3. 34 y r4, que de ias dos lirr"u, rocaliza al cenrro r 3, que debe esrar r;;;t;;;; ..La rineapunteada"nse"llrreeanismo puede hacer conrinua para indicar que el centro desconocido "r ha sido localizado. gl el siguiente paso en el que er centro "J."ri"..lnr"rior muestra 24r" ro"uilr. usanao.ros triángulos 2-34 y r_24. Se puede ver que er 24 és er cenrro rógi; en lugar del 25 o er 26,ros cuares no pueden dibu-iarse como comunes ";;;;r,"inar a dos triángulos h"rr"-;r;;;iian
8.16 DtrTERMINACIÓN DB I-A VEI-OCIDAD LOS CENTROS INSTANTÁ¡.INOS
NT'EDIANTE
Pt,P,
l:*:rj:,
am
n
qu
te ü
::]: : :: :1, en T,u1, " " : :, 1.i como se :^i:j," requiere el rnétodo clel polí
nismowhi;;o;,;;;3"rTff
e
"
;;;;l; ;"I ;; J;;;,;
ll
il
4Y", =
v".
V¡
(30 pies/s)
(11 pies/s)
u;'
\------_l_J
l--=:7 -*
ui, $r'
--'.:"V'y (b)
emptear ventajosamenre para deternrinar di%c_ l",i:::rfj",,::l::l .*,5:y:g,:",pT"d." dad ar sol uta de ual ier ;;;ft c
'35
lr
It
tl tl
FIGURA 8,2ó da de manera que cierre dos triángulos. Er y 13) de los eslabolr.l I y :]que ."g,intriángulo l-2-3 representa r's rres centros ( r2, de Kennedy se encuentran en una :-2 línea recra. De "i'i"o."ma
{"
ii
^qu!).'
'-¡Q" t'
23
z'
lc¡s
Vá (30 p¡es/s)
il ,;::#ill;':; ;;,:; ü:T['#:";'J:
=V@6 (11 ples/s)
$lTi?il:,ff ."::l"J:lftTjtriljl;il"ijn:T, (eslabón 6)
ii,
ii il
FICURA 8.27
,il
li 'li rll
¡k=9.rr%#;aur-
,ii ill
I
370
ANÁLIS¡S DE VELOCIDAD Y ACIjLERACION
RcELgnaclrjN RELATTvA nB panr.ict,tt-As EN Los MECANISMOs 371
:i::i:;i:'l"JiiilllJ"l,,ii,i j,J;;:3;:"T:ü,.",,".-,i'il,i":.*i:;J:,::li::11;: debe determinar la u.
paraunaparfículaen-el respectoaI eslabón,'lg"itjudabsolutaV, cslabón5tarnbiú,ncon rnvolucrado de esta forrna a ros eslabones s i.tsegrn k.nnJvlj;;;;
¿" m
u c.s
r
ra
ro n g, .u
al
;::'ü,'il:;:
:r;,,.:"i,ii
n
I
""
er rcorcnra
*:hn *: ;llii
; particula "1 p rocalizada .lX ;t en er csrabón -l ," pr"J" r d"r"r-in", g.;il;;; gulos simitares sirando a parrir tje triin_ uo ü n"rlrJ üj ir,,,,rancJo , 3 el cenrro t.l co El,punro 35 represenra r, punro pivorc ,íü¡","¡l¿",",,¡¿iJJlLl::Ír"":::"":,':_,:1:"T: eslabón 5, cuyas ,r.io"¡ou¿", P.l en el eslabón : É. t absolutas ,un .o,j,"-:'-ncidentes es ra m bién ra veroc idad ".,lt ¿b."r u,.1" "," { corno c son punros en er csrabón s. lu uil,.i¿utr V. sc puctrc dcrenuina¡ a v,l )"ü'oo,'.,0lusglyra *¡.u"J. n vh, yy uririzando cr ccn,ro :#1[ffi:ffi9JJ:';'1""1"' .¡ r5
(l3Xl4)(34)
;*ffi :ilJH'jl"ti"ffijrl.J.i:Jj: .imil,
.
n,,',",
li"r,,'J,l
!:tffil't
r;l j:.;*,
"",.r, pivotey el punto35deros"r,"¡r"r*,rru"rl,"r'.",.,
Xi
:l*Í:l n;il,",#
can c()rrccrirmenre csros punros, ra dcrcrrninac-" ¡tunr.crerran.slér.nti¿tSiscidentifi_ ¿" r". ,"i.;i.,;il_:.-j,',acc sisre¡'arica. La segunda sotuc'f1i{ngy ra 8.27;\ p;;'¿"t,. sinritar a la ¡rrirnera. en ra que so utilizan los puttt.s piv.rc 12, y io.a.uio., o';;ir, ", reprcscnra parf ícula en el eslabón ra vc,rt¡cidad absorura dc una 2 y Y.esl" t"1""¡a"'J"bsoluta de una partícr¡la en cr esrabíin 6. ccntro 2ó es cl ¡rttnto dc Er t.an;l'ercnci" q,*Ln*I.nra ra uhicacion trc ras particurirs trerrtes p' ! coinci_ encn ros csr1.!3nc1 , ,", comunes' vc)' s., delermina gráficamenr. "ol '1"," u fJii-. de v., usantlo;;;;;;'r2v,(,, v v(,r, s(,n punr. pivote ¡r',".n"u.,ntra en er innnito. ercsrabon 6 cstá cn que V. rienc, ra rnisrna r,rasn,rud y
l"l0,"
;;;;il;;-:;i,il,
c.r''
fli'ill;,flllll:#::::,''"to ¿¡'"..iJ,'í#;;,;Til:jlJ;*:'J,'",1;:""""*
FIGUTIA 8.28
bones
2 y 3 que tienen una velocidad absoluta conrúrn, trltt se puecle calcular
partir de V7,,,.
{B.tB DETERMTNACIóN GRÁFICA DE LA ACELERACÍÓN EN MECANTSMOS MEDIANTE POI,ÍGONOS VECTORIALES como en la determinación
'Así aceteraciones rineares de
EI método de centros insfantáneos con s
d
e
ere
m
8'28)' como se
;; ;; ;"#:ff :".,::.,:?Jff demostró unt".¡or-Jnt".'iu
e
n to
s rocr an te s
il: : il :.T."i',ffi i
:
"X u"ro"¡aad ierativa coincidentes en er punto ie ras parrícuras de contacto J" Jou roc.rantes es igual a cero. consecuencia, un centro instan¡áneo;;r* ".ruuones cn el punto de contactoF'n la ligura g-2* se ,nu.*i.olrl-'i.]r,,.r. 'n ¡'nstanráneos parerbra rransrrrisiórr de reducción mosr'aaaI-" *r".i¿r ¿"'.ir.",u" de verocidai -.1/-r, ( ra vcr.ci_ dad del engrane i¡rte::no con respecto a ra ve'rcicrao
ab
so r u
ra <,rn,
de
r po.,
u o.o
|
ü,
;
;""l:H.XLffi :Tffi
fi
.li vré"rÁÁüiJ" rl "'.:lT'j,"1,ffi absoluta el eslabón 2; por lo tanto, de una parricura en ".r""idad ué'ando i), ta veroc¡¿a. el eslabón 2 se puede ¿o"""r""."l ""*.o absoluta vp., de p, en e;#;;;"" a parrir de rriángLrros ii¡nirai.es. Debido a que el ce'tro 23 es la ,ui"*iir'l" parrícura,s coirciaentes en r's esra_ particula en er esrabón q
verocidades de partículas en un mecanismo, ras
,"
111tr¡c1ion rmportante
l-rer i
cre
partícurar to-üi¿n
mediante ra gráñca de polígonos de aceleración ;il;;;;;;;#, e irnágenes de aceleraciones. trJ Es comprender ra acereración rerativa de pareíde p""¡""i"".""¡t"¡v-'
8.T7 ELEMENTOS RODANTES p ue s ro
a
8.r9 ACELERACTóN MECANISMOS
RELATTVA DE pARTÍCUL.ls EN
una partícura Q, ra acereración A,. de orra par-f J" rva Anrcomo se
tícul:r ffi"":l;,".:.1:,::::j::.1:11 |rl^1: puede dcterminars" surián,i,,
mu*ijira en !a siguienle ecuacii¡n:
pos
;""..
ñ;;;;;;;;i;J;
Ar:A.¿¡Aro
(8.2ó)
como se estudió en Ias secciones sobre verocidaci relativa, está demostrado que la velocidad relativa de.un par ¿- p"tii*1"*
o"p""a.-a"ii*;" resr.icción utilizada en un r'ecanismo crado. n" ra acereración relativa Aon en los mecani.*or J*f.na. a"rtif,, -on".a-rinriraq á.1árri¡.",0, incorporacra.
372
ANÁLIsIS DE VELoCIDAD Y ACELERACIÓN
8.20 ACELERACIÓN RELATIVA EN UN BSLABÓN COMÚN
ecelp.RecróN REr_ATrvA
DE PARTiCUTAS
der miento lineal absoluto de p..l" i"r'ü¿"¡iñ" iniepñ¿i"nt"ñ"nt" e. ;qI; i;.,-*y"ctoria de pmovi_ respecto a e es circular, el vector de aceie¡aci ón A)npu"a"'r"p."sentarse ss¡ medio de por
las componenres perpendicurares de ra. acerefación A,ioy A,uoLrorr¡¿l tangente, respectivamente. a rá trayectoriare.rativa en p. Indepe=ndientélnente y la aceleración absoruta rinear di de e,-io, ,rio"i,r,;"nto, unguru;J ¿Ll respecto a p son iguales a ros moiimientos con respecto al esrabón fijo ".rubon "on debido a que una particura como p no tiene nrovimiento angular. pata ratrayectoria lar circu_ P con respecto 'de ? e,luveroci
Ái,;;;;". ra acelera_ ¿"" il.:,;irt:'r"ffi,"Í,'i#f.¡o ",,*utu.J'Jrl, -i**u que ra acercración ungriu,. magnitud de la aceleración relativ¿I . I,a nonnal Ain se puede detenxinar partir de l" "?"^"ioi"s.+r, a
iAirol
: (pe)-1:Yip - PO
EN uN
gslesóN
r,,
.i''bservada en P. se debe s,eñalar w.e !be= negalivo indica "en sentido opuesto'..o'
-Áhoy tnr::ñro,
8.8. cuando el mecanismo está en ra fase mostrada en Ia figura g.30a, er gira con la velocidad angurar or, de 3 0 rad,/s y una. acereración ung,rru. a, de 240 en las direcciones indicadás. DetÉrmine Ia aceleración A, del p"ri'" r, la acerera-
eslabón ¡ad/s2
ciónA.clel puntoc,raace]e¡1,cr.!nangularorder esrabón z,u{."¡.ríJJn-angurar.,.der eslabón 4 y la aceleración relativa otro. Las'ecuaciones cle verocidaá f-aceleracilon se pueden escribir como sigue:
Yu=Yr+Vru Yr=Y,+Vru Vr.=Y"+V.n en
donde
Va = dirección perpendicul ar a OoB, magnitud clesconocida Yn : ()rA)otr= (lO2)30 = 3060 rnm./s, dirección perpendic ular a OrA
(8.27)
¡.+¿,
:
(pe)o,
= lQ) ¡n¡¡ AB =2O3 mm
O2A
AC = 7O2 mm CB
(8.28)
Debido,a que la trayectoria relativa es circurar, dR/ dtes iguar a cero. observe que ra dirección o. u lu t.uy"EtJu Á'rutiuu y que su sentido es hacia el centro ¿" áJ -un".a que er vector se dirige desde P hacia Q como se mu€stra en ^L;.r'nJ",,ur ".r*u-t.rílé, ra figurlg ióo. rudirección de Atones rangente a la travectoria rerariva (normar y er sentido der veJtbr deperrde der "1;n;';;ó, Trayectoria de con respebto a
,¡)
?
lmagen, eslabón 3
A""t C Ac.dtr
A.X
(a)
FIGURA 8.29
"llo'a" el signo
Ejemplo
La,magnitud de la aceleración relativa tanoi¡.ncirl Afn tangencial ¡,r se puecle determinar a partir ¿" lJ""uu"¡i-r,
lA,"ol
couún 373
? la figura 8.29á se'muestran ros vectores de aceleración rerativa las magnirudes y senticlos de r,r.. y o, *ql#,t*.^yj:-Ti:::j:j los mismos que en la figura f,.":d:lde .ion 8.29a. La trayectori a reraúvímostrada es l; á.4 lrr1tia19"
como se muestra en la frgura g.2go,cuando se.col¡id*e1an cros particuras py que están en er mísmo p tígid;,-r;;;"ranci3.frj.a eg ."riri,r'g. a ra parrícura P a moverse en un arco".lobón circular;;;"rp;;," a g
or peRtÍcuLAS
(d)
FIGURA 8.30
=
152
^^
374
ANÁLrsts
Dbt
vELoctrDAD
y
ACELERACTóN
ACELARACIÓN RELATIVA DE PARTiCI,JLAS V¿,r = dirección perpendicular a BA, magnitud desconocida
Medida en el polígono de la figura 8.30d,
V. = dirección desconocida, magnitud desconocida V., = dirección perpendicular a CA, magnitud desconocida V.u : dirección perpendic ular a CB. magnitud desconocida.
8 3ob' vB= 3660 mm/s, vuu
il:ffffifr"H':-Hr*#J"'* IV.
: An * A¿, Añ + Ai : Aii +
+
Aho
+
.i
=
23o0 mm/s, 2.,
A,,"n
en donde
n= -
^'Á
A!
vL :
O"B
3660':
,*
= dirección de B hacia Oo
= dirección perpendicular a Afi, magnitud desconocida
An - vi : 3060, ^i = Oh ffi = 9l,800 rnmls2, dirección de A hacia O, A) = (Ol)a, = (lO2)240 = 24500 mm/s, = dirección perpendicular AD - VL" 2300'? = 26,100 mm/s2, dirección de B hacía A óA BA 2o3
A|n = dirección
a
A'," BA
perpendicular a Afin, rnagnitud desconocida_
I29-O(n
2O3
Ai 24.700 ", = ó"8 : ,n = 122 rad/s2 Q¡¡: o'¡ - cr¿:635 - (-122): V.A.:Aá+A¿r+Atx VI. A. : AB + A¿B + At.,
rnanecillas del relo.i) (sentido de las manecillas del reloj)
757
rad/s2
poligono de velocidades de la figura 8.30ó muestra la determinación de vu y y a I. De manera similar, yr,yrn y v., se determinan a partrr dea,,tlas ecuacjones II y III. El triángulo sombreado IBC dei poligóÁo de velocidades es la image'
=
partir.de laccuación
; ¿s velocidad del eslabón 3. i La ecuación IV expresa a Ao en términos de Aov Au, y como se indica, todas la5 eornponentes de esta ecuación se conocen en magnitud, senti¿o y dirección o sólo en dirección Al construir cl poligono de aceleraciones de la figura f3.30c comenzando con el lado derecho de la ecuación IV, el vecror A] se dibuja desde el po\o o,,al que se agrega Al.Esro da punta se designa como"A". A continuaéión ," ug."!u el vector Af,, , el vector \n en ""y? : comenzando el punto I y a éste se le agrega la dirección de Alr. cJ*J r" puede ver, es I imposible completar la solución usando sólo las componentes dei'iado derecho de la ecuación IV. Por lo tanto, se considera el lado izquierdo de la ecuación y se dibuja el vector A[ descle O,, y a éste se le agregala djrección de A!. La intersección de la direcció n de A,6a i la dirección de A! completa el polígono. A continuación se agregan purrtas de flecha a los vegtgfs f!; y A! de manera que la adición de los vectores del polígono concuerda <',on Ia
adición de los términos de la ecuación IV. La resultante de loslr"ótor". A,,r! At" da Au "8". La resultante de Afro y ALA también se muesria en ei polígono. Las magnitudes y sentidos de ct3 y oto $e pueden determinar ahora a parfir de A;^ y A!, respectivamente, según se muestra. Para determinar Aa es necesario usar las ecuaciones V y VI que dan las relaciones entre Aa Y AoY As. Como se indica, las componentes de estas ecuaciones son conocidas" Para mayor claridad, los vectores de aceleración A1 y A, se dibujan nuevamente en la figura 8.30d a partir de la figura 8.30c sin sus componenteJnormal y tangencial. Se utiliza la ecuación V y se dibuja el vector Ai, desde el punro A enla figura g.iod y se le agrega la dirección de afn. A continuación se considera la ecuación vl y se dibuja el vectoi a¿u desde el punto.B y se le agrega la_dirección de AfU La intersección de la direcciOn Ae Aij y la dirección de A!, completa el polígono. E,sta intersección es el punto c, que da a..X continuación se agregan puntas de flecha a los vectores Atan y A,ru de manera que la ádición de vectores concuerde con las ecuaciones V y VI. El tii'ángu)ó sombreado ABC de la figura 8.30d es la imagen de la aceleración del 3. "rluUOn La aceleración de cualquier punto D como se muestra en el eslabón 3 ouede 'e determinar localizando su posición correspondiente en la imagen de aceleraciórrr¿ei "rtubón 3. El vector de Ooa D es A, como se muestra en la figurá g.30d. cuya punta se designa como
Ajl
Medidasenelpolígonodelafigura 8.3Oc,Au=704o}mnr,/s2, A'a=24.iOOmm/s2,,4,ro 129 OOO mnr,/s2, y &,:'
lO4 000 mm,/s2
;r El
AB
L,o
Ar.=
375
(sentido contrario al de las manecillas det reloj)
en donde
Aa = dirección desconocida, magnitud desconocida
An A/_/
vL" - CA -
113G IÜ2
=
125O0 mrn/sz, dirección de C hacia A
Af,
= dirección perpendicular a Afn,magnitud desconocida
A7o
= k : ly CB 152
= 20100 mm./s2, dirección de C hacia B
Alu = dirección perpendiculat
a
A[", magninrd desconocida.
8.21 d¡
ACELERACIÓN RELATIVA DE PARTÍCUTAS COINCIDBNTES EN ESLABONES DISTINTOS. COMPONBNTE CORIOLIS DE LAACELERACIÓN
El siguiente mecanismo que se va a considerar es uno en el que se presenta deslizamiento relativo entre dos eslabones, como entre los eslabones i y 4 según se muestra en la figura 8.3 l, y se requiere determinar .o4 y c4 dadas ol, y .rr. rn este mecanismo, los puntos A.ry Az son el mismo punto,'y el-punto lo es su proyec-
376
ANÁLrsrs DE VELOCIDAD
y
ACELERACTóN
acsr-aR¡.cróN RELATTvA op
pRnrÍcules 377
t. La magnitud de A)o4 se puede calcular a partir
lAA"o,l
:
vonn'
R
(8.32)
donde R es el radio de curvatura de la trayectoria del punto Ao con respecto al A, Esta componente se dirige desde los puntos coincidentes a lo largo del el centro de curvatura. La cotnponente tangencial Alo,a, se conoce en hacia 'vnto ¿dio
ción en el eslabón
o
encontrar..u4 y
se deben analizar la verocidad y la ",4 de los dosl?:" puntos coincidJntes'Ary Ao,"u¿u,r,ro á;rl
*
ffi::"J.?"tu" La ecuación para ra velocidad del punto
r. se puede escribir VA4 : Vnr'"+ yono,
"rluuor.,"s
como sigue: (S.29)
En esta ecuación se con_oce la magnitud, sentido y dirección de v ory la dirección deY ¡oy de v a^a.- El polígono de ierocidades se puede dibujar f,áciÍmente y deter_ minar-Yao. a-pariir de la cual se puede "ul"rriu.<,ro. La aceleración del punto Áose puede deterñrinar de ra siguiente ecuación:
A4
An,
*
An.n,
(8.30)
dirección y es tangente a la trayectoria de A. con relación a A" en los puntos coincidentes. La magnitud de la componente Coriolis 2a, x Y AoAz se calcula fá¡ilmente debido a que
En la ecuación 8.31, todas las componentes se pueden determinar fácilmenmagnitud, sentido y dirección, o sólo en dirección, excepto A)*r. Esta comiionente calculada a partir de f)*r/A sólo se puede determinar si sé conoce el ndio instantáneo de curvatura R de la trayectoria de A o con respecto a A ,. Desafortunadamente, debido a que esta trayectbria no se puede detemlinar fácilmente para el mecanismo mostrado en la figura 8.31, es necesario reescribir la ecuación 8.3 I en la siguiente forma: te
en
AA.+ Ai,: AA,+ At. + AA,on* A\,oo*Zro'axYo,an
la cual puede ampliarse como sigue: AAo
* Ai. :
y'l;,
i'"Ar,'+ n;.o, i''
n;,n,
*
2ro2
x Ytn.c,
Con
(S.31)
Al pasar de la ecuación g.30 a la ecuación g.3l se hizorasiguiente sustitución: Atn¿,
:
AAnn.
*
Alooo,
* 2a, X yoon,
Para detenrrinar la aceleración relativa entre dos puntos móvires coincidentes es necesario agregar una tercera componente como se Íluestra. Esta componente se conoce ccrmo la componente corioris,la cuar ," ¿"."..o11á matemáti_ cas vectoriales en la sección g.6. Asimismo, "-plJ*¿" debido q"" lá, s Aoy A, son i"ñl coincidentes, los término " las componentes usuares Ahoar.ro ."p."s"ntan " \Lonry normal y tangencial de los doi púnt"r""í er mrsmo cuerpo rígido como se consi_ deró anteriormente. Es por esta razón d;;;; frecuencia aparecen;;;i*#iü; 3El punto 13 se puede haber utilizado en lugar del punto l, como el purro sin se prefiere et puntJAr¿"uiáo , que está "oirr"id*" "orr,lo. en un eslabón conectado :ll::is"?,^g::"^.ll:"" direcramente al piso o liase y su rnovimiento se puedá
t_";;;H;##
(8.33)
la ecuación 8.13 escrita en esta fonna, A\rnnse puede evaluar fácilmente
cero debido a que la trayectoria de Arcon relación al eslabón 4 (que contieal punto Ao) es una línea recta y R es infinito. El polígono de aceleraciones ahora se puede dibujar y determinar Nuu de donde se calcula cro. Aunque es f?ícil ver en la figura 8.31 que la trayectoria del punto Arcon respecto al punto lo es una línea recta invirtiendo el mecanismo y haciendo que el eslabón 4 sea el eslabón fijo, es mrry dificil imaginarse la trayectoria de Ao con como he
respecto a Ar. Para poder determinar esta trayectoria, considere la figura S:32 en donde el eslabón 2 es ahora el eslabón fijo. En esta figura, el eslabón I se coloca
varias posiciones angulares con respecto al eslabón 2 y la posición relativa de se determina para cada posición del eslabón l. Se puede ver que la posición del eslabón 4 siempre está en una dirección desde Oo pasando por Ary que Ao está a una distancia fija de Oo. Según se muestra, la trayectoria de Ao en el eslabón 2 es curvilínea y tangente al eslabón 4 en el punto Ar. Desafortunadamente, la trayectoria no es circular de manera que es dificil determinar el radio de curvatura. Considere a continuación el caso en el que el eslabón 4 dela figura 8.31 se en
lo
reemplazado por un eslabón curvo de forma circular como se muestra en la A, con respecto a Ao es un arco : circular de radio y centro de curvatura conocidos.-Por lo tanto, la magnitud de ha
figura 8.33. En este mecanismo, la trayectoria de
,i
ftrÍfi trl #
379
aNÁusls DE vELocrDAD y
,$li ,dil' a1t
#$
Trayecloria de Aa en el eslabón 2
ACELERACToN
\
t//
\\
/ /
ecEI-eR¡ctóN
RLTLATTvA
oe p¿.RTicur-e.s 379
y sentido correctos. esJdvector 9O" sobre su origen en el mismo sentido que to4. Esto dará la y el sentido de la componente Coriolis como se muestra en la figura 4. Como se puede ver, los términos A2z¿oy 2
,ttl)
te A!).oo sea cero.
8.9.
p.n el mecanismo de cepillo mostrado en la figura 8.35a el eslabón 2 gira angular constante ro2 de l0 rad/s. Determine la aceleración Aro del punto 4 y la aceleración angular cto cuando el mecanismo está en la fase mostraLas ecuaciones de velocidad y aceleración se pueden escribir como sigue:
ii una velocidad en el eslabó n ?o
: i t. o". cn
Yo, + Y^on,
donde
Vro = dirección perpendicular a OoAo, magnitud desconocida Yu.-
:
(OrA2)
Y A*4, =
Of,
Medidas en el poligono de la figura 8.35ó, VA4= 13 pulg/s, Vto¡2= 38 pulg/s, y
14 ooAo
-
&rr =
FIGURA 8.32
A
II.
Aán
III.
44,
: : *
-
13
10
1.3
rad/s
(sentido contrario al de las manecillas del reloj)
A.^,
+
A.oo^,
A,n;
+
A.n,oo
Á|lez
-- Ai¡ + Ai4 * &roo * A\r^n 1. 2t0'n x Y^,^,
Yo,o.
----l\ 02
\ l-o"
ü' I F'IGURA 8.33
A2
2ua
x Y4t,
A3 Aa
4
/
,:lX*;::;?J"i1J."i,",::lHfi
pqls
@)
'l
Trayectoria ds,{2 en el eslabón.4
Ao, =
"¿:nraaestacomponenresedirigirá¿",af,,r
La componente coriolis -i"-ii en la misma dirección que n?nt? A2ro* si existe, pero ra compo"rt¿ o no su sentido puede ser er mismo. Considerando er Ierrnrno coriotis 2a . i v4uo puru sentido se pueden a,l."rmiill'r¿"ir-""i"iTra "t;";;;;r_o. de la geü-8.ii,lu dirección y
siguiente-for-u. oiuu;" er vecror
OzOq
=
12
FIGURA 8.35
Ío,
A+
" 'iltii
;i
ANÁLISIS DE VELOCIDAD V ACELERACIÓN
380
ecsr¡RacróN RELATIvA o¡ peRrÍcules 3gl
en donde
8. I0. En el mecanismo mostrado en la figura g.36a, er eslabón 2 mueve ar bón 3 mediante un perno en el punro B. Er eslabón 2 gira a una angurar tot de 50 radls y el radio cle curvatura ¡? de la ranura en ""il.i¿.¿ el eslabón 3 es de 30-5 en er esrabón 3.y ra acereraciJn onguru, rri la p_osición mosrrada. Las ecuaciones de verocidad y acereració, , para ,?"j::T:::':i::l:i"1":^L11"1ryI.,", ,.;;;;;il;;i
Vi'
40' '^^ pulg/s2, dirección = 4oO ^¿= On : de Arhacia (), A)r=O (oz=0) !1, 13, A,', = '-"0 - dÁ: l0 = 16.9pulg/s2.dirección deAohaciaoo
A2,
Alo = dirección perpendicu lar a A)o,magnitud
:
A;,no
vAron
R
:o
,llrcorrro
,lr I. Vr, : Vr. +
i
desconocida
Vr.n,
i'en doncle
(R:-)
, '
2-orYnroo = 2(1.3.)3g = 9g.g pulg/s2, dirección perpendicular ayzr1o A,,tr..to
sigue:
il'
= dirección perpendicular a 2ri'o x V z2to, magnitud desconocida
Vr.
= dirección perpendicular a O.Br, magnitud desconocida = (OrBr)li'2= (50.8)50 = 2540 mm/s, dirección perpendic ular a OrB, Y staz : dirección perpendicular a R, magnitud desconocida. Y nz
li
Medidas en el polígono de la figura g.35c, A.ao= 475 pulgft2, A)o= 474pulgls2, y
'
0,:-:-
Ai, OoAo
474 10
: 47.4 rad/s2
,"r@Z
(sentido de las manecillas del reloj)
El eslabón 4 es un eslabón guía que restringe a los l y A, a seguir una trayectoria de linea recta sobre el eslañón eslabón a];;|jiffi 4. se n,,..t-- ^^_^,,,p,rnro.r 2 ! A', pares ya sea Ary! A w de- puntos uuilrcroentes. j*l1l9os o /t y A, -,,' A Ao. r'ara r A. Paraesra esla ilustració" o ilustración ";;;,:l'nt"t'2 ^4 se r "4' :*,1,:l,..," "oi't"l¿"nr"r, "- elipiern. laguíaeitatiay-cto.iJrelariva r '4 !¡4Jeult'rra ^" recta de deA^en.,-.,^"*lgl"TnAryao,ylatrayectoriarccladel Aren el eslabón 4. ne eJ' fu:"i, los ynrnoy vectores tu )nente Ar r.ta l" ^^
kl;"'l'ilJ?ti3o"' t "o'pon'"nif';;,:;,";;;^:;;'ll,:"Jl;;i:ff;':;:,k,#,: ^ de la figura 8.35ó ,. muestra a
de term n ac ó n d e v,. y *, Yl.]::.::.le,velocidades ;,; ;.i :i i :ff H:,ü, l:La^, ecrración -. :.T::;:.;lII lexpresa :: F: a Ano enr",r"iJn;;;;:;"'" Sin embargo, debido a que ectoria del punto'A^;;;respecto al n,¡nrn o ':: !!r]r. :T.[,I,?T:.Í;:llll,..í:ii.,"::h::li:lirI;aIlJ4:;.ff *X.,_;:*llff i
",
i
I OzOs O2B2 O3Bs
-
229 mm
= $Q.g ¡¡¡1 = lQg ¡¡¡-n
n!,
:"H: j.,:.';,1iT#li'?:ltT:;1ilil1 Anroo como se estudió anteriormente l],],'iji':'::'HJ'?:il:ff.nlij;;ffi;3 Según se indica, to,as las componentes de.la ecuación
III
r
Yarr,
se conocen en rnagnitud,
;:iÍi,',í,*Hlffi"?*:'j::r"lin*n*ir"¡"¡*".';il;;#:"u"er.,o-cio,,".
\\
vector A24. seguido por ta airecció; ;;;;..';:l'j 3i,'*:::":.' t_l]. nri4lero se dibuja et ,nomenro con er rado derc_c.ho ¿" ru.",ru.láon izquierdo de ra ecuación rrr se v dtb;;;;';;:i ou,,a y 2@q * de manera que su punta "r",r."""ián iJo,or;, er vec(pr ," 'r'to "n",.r"nt " "on iu p,rrrtu J"i;;;.-;r, DibujeA)r),, vec
r
A
o
un
u
(c)
i
I
m
a
g n i,
u
(_
^'rj
[Hi,:Xl""i\]il:Tffi;:[:;:i[:f*;;:i"*Á;o'.I;j*;*de,vec,orque i ores i,, ii Ji' ; _ ".J I J u';.ffi;':': ff iffi.;: ::lTJ,H.i : :: ll.J.il ;;'" ; ; T ff Í;'i.,¿ i",' n:"tr T: li: :m "H; :: J#:'",,, a :: :l,#;; o
nz= Naz
A3"t"
ñ;.;;;i:"1".5#; lJ:o;rliH:i,::,; i,
r
iÍ
Bz, Bs
-.---.--
B";IV,i
a,t
Abtn^
AEr""+2@sxYszas 2ua
d
FIGURA 8.36
x
úsz¿t llú llillil rltiil
llrlil ti I
itffi
lll
,
'lll 382
RNÁr_rsls DE vELocrDAD
y
ACELERACTON
ACELAp.ACTON RELATTVA DE PARTÍCTJLAS
il{ Medidas en el polígono de la figura g.36b, Vt t
iift j1
lt
li$:i
lr
ii, i
=
1650 mnr./s,
ii
II.
-' :
v", o,B,
:
1650
:
Ao,
+
Au,,,,
A/r.
l,r
208 =
lII. As, : Ar, * A¿,r, Ab, + A'8, - 4i, +
iff
l&r
iffi ;W1
7'e3rad/s
A'8,
+
Vart..=2540 mmrs, y
f:HjÍ;:l'Jil:i.:10.,..
Ab.R,.r A,uru,
¡ )a, x
ya2rt
en donde
'{,22
=
= # #,: Ab.=O (or=0) A'Á,
=
#.:
f#_
127()o0rnm/s2. dirección de B. hacia ().
:
ry :
= t3t00 nnr¡sr.
?-;# =
2^, * Y r,,, , '= ?(7 '93 )25¿rr
Ahtt il g
o. =
I
I
120.000
,0,i
dir.ección de,g, tracra
o,
t' ,lii.
ACELBRACIÓN RELATIVA DE PARTICUTAS COINCIDENTES EN EL PUNTO DE CONTACTO DE ELEMENTOS RODANT'BS
los círculos de paso de rodamiento de un par de engranes acoplados con partículas P, en el eslabón 3 y Pzen el eslabón 2 coincidentes en posición en igf punto de contacto de los círculos de rodaimiento. Corno se concluyó en un pánafo anterior, la vclocidad relativa Vo."- de particulas coincidentes cs rgual a cero y las velocidades absolutas V¡,, y Vu. sorr rdénticas. I' La aceleración relativa Ap,p,"de las ¡larticulas coincidentes se puede reprelgntar trediante las componentes de la aceleración. una componente A/",o" en Ia ,{irección l-- I de la tangente común a las superficies en el punto de contacto y una t{onrponente Ap.", en una dirección normal a las superficies en el punto de conthcto. La componente tangencial de la aceleración relativa A!.o, es la clif-erencia muestran [as
2t2()0 lnn/s2. dirección de B" hacia.C
= 40300 mm/sr, dirección perpendicurar a
-_ 577
!
tipo irnportante de restricción en los mepanismos es el que ocurre debido a un eslabón está restringido a rodar sobre otro eslabón sin que haya deslizafriento relativo en la superficie en el punto de contacto. En la figura 8.37 se
lat a A,[,, magnitr.rr.l desconocida
= dirección pr:rpendiculal. a
A'u, : ó,8,
l'
fl4e
2.-. .t
V
v
¡¡;¡r.
nr,r., rnagnitu
Medidaseuel polígonoclelafigura l4.36c.,A,r.=l22O1¡lrrm/s2, A1r.:l20000rnnr/s2,y
il
ttt'I::
,l)n
Af,. = dirección perpen<1icu A'l¡.n.
A!,. Esto es todo lo que
se puede hacer en este momento con el lado se co¡siderl rado izquierdo de ra ecuacitln $lr'T 1,:':,::::.:'-ui :.:::,n"^': el vector As,. Los vectores Ahzat 2t$, x Y¡rsrs. fienen un sentido opucsto. fi¡e dibuja -¿erermine la resultante de estos dos vectores y agréguela al polígono de manera qlte su toqu" la punta del vector Ar". Dibuje A!,¿, perpendicular a A'jrr, hasta que inrersequc frrnra ji,dirección del vector que representa a At6.: esto completa el poligono. A continuació¡r se p,rntut de flecha a los vectores A'a.y Abra.de rnanera que la adición de los vectores Stggun tilpolígono concuerde con la adición de los términos de la ecuación IIL Ahora se pue
lii:
A'á'
rad/s,
i:;Tilji"
tas mancciilas
---l-.-.-__--_---_\-\ \
lil
cslabón 3 es un esrabó¡r guía que restringe ar punto R, en el csrabón 2 a seguir una rrayectoriacircularsobre.er eslabón3. Losp,-to, bry Br-;;i y la trayectoria circular de Ia guía es la trayectorio."luti.,n ";i;;irnn.urn"id"nt.,, d. B, 3. por kr tanto, los vectores ysra.y Ar.n. están invc¡lucrad.s *l unJli# ";;i;;labón El p.lígono cte velocidádes de ra figura g.36á"nnluestra ra tJerenninación dc V3, y v
l1'll'': .'" :: u: " i:n I. Tirm bi en t"'","""",r"-"1';;,il Ja ecr-ración II da Ar, en funci.n de A6, y Asrtrz. Debiio u l-i-. r" conoce qutff-a lrayectoria dc _- --2 R, ctrn resDecto a uJ B- es,,..,i^ s5,. ¿1rco "".,, rvrt,vL.v arco clrcutar circútar ^t"^,,'^- y que la trayectoria tüy""to.i" de Bacon a, con ln l^,.jp,".,111 1,u-r:s. t] B, no sf.n19de determinár fácilmente, lu e.i¡aclón II se vuJlve a escribir en la flsncctl' forma de la écuación III para urilizar la component e Aaút. B ] t] 2
1
LI
393
1!
fi¡
ffi
¿¡la dirección de
---;----r =-->
d3
@2
\
'#"
ó.,,.t\ -\ i
+sF-xl // //Y///.
;;:;
Según se indica, todas las componentes de ra."uu.íón rII se conr;cen en magnitud, senfidc¡ y dirección, o en dilección solarnente. E! porígonn cje a<,eleraci,in cre ra figura 3 3óc se conlienza con el laclo derecho de ir ecuacion lll clibLrja*nrio el vector Af- seguicio
a3
I
!
1
A%
\
\n!." F'l(;URA
tJ.J7
=
o
i1 :.)
I t ili ll,
384
ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACION
aceLaRacróN RELATJVA op
vectorial de las acel
lt*,$:i;.fu
q.F,""í.,lf :Ílil:i1ff "ilT5:"""fl i;ffi
ilñ,üli::,r
;"'-;'
cero. En un mecanismo com^
r
@l're'aclon relarirlueexisteuna ir2 -"-'ise rs u""l"rución relativa tangencial
I
pulg
Pz, Pe
ü
aceleración relativa nórmal
ooB =
6 putg I
i
I
jffi ,liil':$"x: ff #fffi{iiñT'"l,liflu.T"i*"f f a6r"r-r*q;.'lu
sea
2 pulg
i:
ngrmal de ra
áceteración retariv a Ahtpzes_la :""TiJ;"T¡e direrencia ;#Í:ííi, r a d i .e c c inji !? ;y I ::,;:T,i ?¿,1,¿il: .i '", hacia o., y la de t'. ¡-y ". rrulia li, ;'r,:r'.;; i.::,o,"r,0*ral"l"r, ;.Xil,:"ffiftoT .,,muo.u, i
O2B =
D¡ámetro de 5 putg
(a)
(b)
Al.,
.
ét
lrg I
¡i," B l, ,,f^ A7, o,
ilXlfJi:*.,*""Jjil:;:l: ""g"r"" ", ." puáe determ¡nur?",l,r,.nte a pailir
J'r,"J. de que Af,, = Ai,. se pueden ::1po""1,";;ir; a"r".."g."";,""#""fl ';,ifl:lf,::...,1,''.,i1i.,"ff da que ras soruciones se il1T1",:j:L.J;::i:ii**i reven .;il;;;;;un¿o ,u-."nr;i#;;;;';. porígonos.
fi:',i":",:X'il1::l::
catcutar y combinar pan
Ejemplo
8.
II.
En el
'"á¡"3"'t#'n;;""". encontrado cv, *.'l:
mec,-i.
lmagen, eslabón 2 lmagen, eslabón 3
t,
:e:llros^sonr'j"',;;;:';;:3:,:.d;:;,l.',ff mrnar Ao' y o"' La acele.ración r*
uririzando
I
v
"
aó,a.-o,.1"';;,;:,;:ff :T_ffi ffiTtXi;.*:,;"U:í."1,.L*.1T.",,f,:ilJ;Í;
;:il::1;".T:::-T'J;,ii""";;;;;"";,:';'ii;:",. p, en er"ng.un"I y ras irnágenesde 2 v 3' Las ecuácionet ¿J r"i"";ár¿ y acereración L*.iui. ".-.iiJl:.*t*"es
se pueden
I. VB:ya*yan
tr. Vr: : yn + yrrn Vs = dirección O:T::1"-"1"I. a.OoB, magnirrud desconocidao = @l¡l"o2= e)10 = 2o putg/!,áo""i -!e o"*endicutar a orA v¡; = diÁccióí perpendicurar a ra jlll ,,rru une a los puntos B y A, lue desconociáa Vp, = clirección perpendicu Y pr.,t
lar a
= dirección perpendicular a
Orpr,magnitud desconocida
prA,
(O" Pz) FIGURA 8.38
lII. A, : A^ + ARA Ah + A,B : Ax + Ai +
en donde
en
magnitud
w
rnagnitud desconocida_
Medidas en el polígono . v" t(, pulg/s, ñtttn/. vun t/ = l6 pulg/s, - V^= = 16 vp, = 47 pulg/s, l,oro 25 pulgls ! pp.a =4 I puigusl =
3g5
AB = 4 putg
i:ri:1f,xT,;i:il[ff Jli;:',Tffi**:1,."";"-;";"#;"LTl;mi[ :ifJ:::L"r,5f l":,:i9:.li#ü#';l'":::",:'#'J;*",'X:',":'pu*i",iu,,"i raace jeJaclóndep,:;[.fJ,llA:li j j."J'';,i;;;'";il#:,:l[-""ffi ,:l ,..rJ;,
penricur-as
Dimens¡ones:.
$'"
Ah^
+
Ab^
donde
* vL 4,'^= ^ o OrB :_16' = 32 pulg/s2, dirección d,e B hacia Oo ti A! = dirección perpenclicul ar a Aft,magnitud desconocida A",
"
v'n : = OrA
Ai=O
ry
=
(*z=0)
2OO
pulg/s2.dirección
A
hacia O,
il,1{ iíJ i
386
i#i¡ ri
,$r I )yiI
ACELERacTóN
¡,¡,.=VL" : - 6/ _16' = 64 pulg/s2, dirección de B haciaA ^a.t 4_
il$
lii l!i
y
soLUCroN vEcroRrAL
ritlJ
i*r
eNÁr_ls¡s DE vELocrDAD
Atu.,,
A,i,A
+
3A7
para determinar A", es necesario usar las ecuaciones v y VI. El polígono muestra tor Ap2 al cual se agrega la dirección de Anpr1, de la ecuaciónV ¡Á|rr, = 0). A ración, de la ecuación vI, el vector A'p$y la dlrécción de A!.s se agregJn'al ,ector intersección de la dirección de Anprpry la dirección de Atrr""i".ru pJígono y de"J y el punto Pr. La imagen del eslabón 3 es un círculo con B corno centro
= dirección perpenclic ular a Afio,magnitud desconocida
Iv. A/', : An *
eNelÍtlcn
A,r,,.l
uniadio Bp,
en donde
Ap, = dirección desconocida, magnitud desconocida
tr ffi
4u=H :
pi
i* ffi ffi ffi H ffi
tr
Abr.t = 0
v.
APr
- ¡ri
252
;=
SOLUCION VECTORIAL ANALÍTICA DE LAS ECUACIONES DE VELOCIDAD RELATIVA Y DE LA ACELERACIÓN
= 250 pulg/s2, dirección prhacia A
(c.z = 0)
+ A,i.r.
*
,iiftro método de análisis de la velocidad y la aceleración consiste en emplear las i¡puaciones de movimiento relativo, pero eipresando las componentes de estas ecua'úiones en fc 'n' ¿s vectores unitarios. Haciendo esto, se puede desarrollar una liolución analítica en lugar de una solución gráfica que emplea polígonos de velocidades y aceleraciones. Considere el mecan'ismo de cuatro barras articuladas de ';;lafrgvra 8.39. Las ecuaciones de velocidad y aceleración para los puntosl y.B se iiueden expresar como sigue:
Ah,.
en donde
Ap, = dirección desconocida, rnagnitud desconocida Ahrp, = dirección parareia t ia rínei AB, rnagnitud desconocicra
H
A'bsp. =
O
ii fl
I
VI. Ar, : An +
Af,B
+
Va:Y¡ *V¿¡ Aa:A¡*Aa¿ Ah + AtB: Ai + Li 1- AhA *
,,
A,p.R
en donde
Ar. = dirección desconocicla,
magnitud desconocida
41' A,...=Vl¡ ^psB - prB :- j = I l2O pulg/s2, direccíón I Abra = dirección perpe'dicurar
de p., hacia
I las
a Ahra,magnitud desconocida.
Medida en el polígono, Ap3= 965 pulg/s2. movimientos de los centros de ros engranes en A y Bson los rnisnos que los de penros de ros puntos a" o, .!, a v oo de un mecanismo barras equivarente. ae cuarro 'os ""nJái a" Er porigono ¿" u.ro"¡¿o¿"", Iu ngu.o b.ig¿ ,nuestra ra defcrminac¡ón de Y ay y ro de la ecuación I. De _un"ru .;_¡lu ,,".u n., v",; ;;;;"ninan a parrir de la ecuación lL El nunto p. también ," .ono". debido á que ú^ = y p.. Laimagen velocidad der esrabón'.., de yi. circuro er prnto z Apr. v',i,i*oi" La o" velocidad del eslabón : ",rn "o,r,o'".n,,rt un con er punro B coio ,,"nt.o y un ra"r
;ff;E
"i.JJo
;jff i: 11_::"*tu: ffi f iil'"T";-i"" rrr cuyas componenres 3 *:::,:,.y^ ," ::.:: la l":: j: tener un diagrama más claro para la ";;;;::ül"JJffi;; d3te'r
'l:',:Xff
i
n a-e i ó
n deAuy Au ¿
ñ
dr de Ap, uc AP y! Ap., en la figu" Í: ra8.38dsevuelvenadibrüerlos""",o."J¿"u"!,J,''-11""'"rurr ra 8.38dse rr.r"lrr"n u á?ürriar ros wenrn" . .,^ figu-aclon Al y -^^,^:^t:Tinación As a una escala polígono
diferente. El de ,""1""o^i^;-" *,,^^,-^ r" , . jJfJ,:T f**.T:",1"^""."]:T",:l:, i::,:," ' d";;;;;;;;illi:.^",;;li:'Jif # ;;""Ji;:l1"JiJ":: punto I el iilll',lT""l*I!!::!!?::_=91:'".,p"*"";";;;;,ffÉ,:,ffi centio yl,n rudio Zf "
H
r.
Las ecuaciones básicas a partir de las cuales se pueden calcular fácilmente magnitudes de las componentes anteriores son
V= ra
(8.34)
=Ya
(8.3s)
At = rcr
(8"3ó)
An
Se puede ver que ros
Es
A'oo
obvio que estas ecuaciones no pueden dar la dirección o el sentido. Sin epbaral escribirlas como productos cruzados se pueden calcutar fácilmente'tanto
go,
388
ANÁLISIS DE VELoCIDAD Y ACELERACION
las direcciones como las magnitudes. Las ect
reescribir
""-"
p."J"ctos cruzados
V:
cre ra
r
t
"
"tuffiT,:T"H1;
v 8'36
sot-uclóN vECToRTAL ANALÍTrcA 3g9 se pueden
(8.r4
A':roxú:roX(rrrxr)
(8.3s)
A':cx¡:
(g.Sl¡
ilustrar este método en términos generales, considere la ecuación g.l7 nurlu'u
Del estudio anterioq irustrado con las ecuaciones g.37 y g.3g, se puede ver muy sencillo expresar las componentes de las ecuacio-nes dei movimiento tivo en forma de vectores unitarios. A continuación se obtiene una sorución :ltompleta sustituyendo en las ecuaciones de movimiento relativo y sumand'o i:las componentes.i y i- En el siguiente ejemplo se ilustra una solución completa, ,rien donde se analiza el mismo mecanismo qr-r" el ejemplo g.2. es
= <¡k
r=xni+1,oj
".
,'¡Ejemp.lo 8- 12- consi
,. Vn, : Yn, *
Recordando que
donde
ixi:jxj:kxk:0 _jxi:k ixj: j x t : -k x ¡ : ¡ k x i : -¡ x t : j La ecuación 8.37 se puede desarrollar para dar :
a partir de ra cuar se nueden carcular f,ácirmente la magnitud, dirección y sentido de la velocidad der ounto en cuestión. No obstante, es más fácir resorver ra ción 8.37 si ésra se escribe ecua_
V:
yn, :
ú)z X rz
%.:
ú)¡ X
Y tztt
V=
""r"" "lá","".áirranre;
Yn,n.
|.¡
ú)z :
*
ú)¡ fz:
rD:k
:
- @!.q
@xe
II:
0.64g4VA2A3i +
r,( -sen25.1i + cos2.5.lj)
:
50.8(-0.4242i + 0.9056j)
:
_21.55i +
:
33.0(-0.6494i
:
_21.43i _
46.00j
l¡:
r"(-sen40.5l 25.0ei
cos40.5j)
-
-a!¿i +
-
0.76\4il
,t:
r..i.x¿j ()'¡ ra
i -
= 33.0 mm 40.5"
;l
$
Az, A:t
oz
=
10 radls
rz
*
:
+
asi,
x(
O.7604j)
Vn,n,(O.6494i
10k radls
considere a continuación la ecuación g.3g escrita como un d&enninante: AZ
+ cos40.5j) :
-- Vn.o.(sen4l.5i o.7604 VA|A.i
= 508 mm
a-f al FIGURA 8.40
390
ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN de ro,'
i:'i[:[111,'"X:"u'"'""
soLUCrÓN VECTORTAL ANALITTCA 391
r, v (o3' 13 en las ecuaciones
para v n,v vn,,
AA,
Yn.:-,"",:l á
ü o = 46.m --rrl
l_21.5s ¡ j ¡.1 c 6 .".1 : - 2t .43 - zs.oe o
460.0i
+
215.5j
''et!,1
V..:-.X13:
: l¡ I o
tii 25.09or3i
-
Sustituyendo los valores anteriores para v ,4., v n, n¿' ar J!
460.0i
VA2A,|
+
0.7604
obt¡.n.
r^,^,i
Ai. : o¡.
jrü
:
'l
25.09ro,
+
0.6494 V^,a,
46O.O
-21.43ll3
+
0.7604
Z\5.5
V^r^,
:
462.5 mm/s
462.5(0.6494i
se ob-
" II.
-
x.r3)
6.361
ol
:
ro: X
l
j
0
0
-2t.43
-25.O9
r¡ :
+ O.76O4j): 300.3i +
Ai"'
I
_ :
6.36 rad/s
: An, + A^rn, Air+ Ai, * Ai, + Ar3+ AA', * 2,.d,rxvarer* A',n,
8ó6.9i
+
+
4474i
25.09ó3i
Sumando las componenles
AÁ,
-46ooj Por lo tanto,
:
1015j
21.43<úri
_ 4474i+3820j
II
en su forma de componentes se
1015j
+
+
3820j
-
4474i
25.09ó3i
-
21,.43ú,\i
+ O.&94A|,AJ + 0.7604A\,A;
Sumando las componenÍes i,
:
-
|
866.9i
2155i
25.09ó¡i
#
351 .7j
(sentido contrario al de las manecillas del reloj)
ol
: i ;Jii)"i,' i l l#1,,^,
2155i - 4600j :
{
j,l :
AA,o,:0 (n: -¡ j kl l¡ 2r,r,xv,,,,- | o ó n.iol : 300.3 3s1.7 0
Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación
(0.6494\G62.s\ 25.09
0
obtiene
v 460.0
(trr3
Ai,:866.9i+1015¡
Por lo tanto,
Yo,n,:
I
j i kl 0 0 6.361 -2r.43 -2s.O9 0 j kl
0
Multiplicando la segunda'ecuación por 25.09/21.43 y sumando las dos ecuaciones 712.3
x
ro3
159.6 - 136.3
A1o,
:
kl
-lol
I
Por lo tanto,
L.540 VA24
;ttl
46.00
zts.s o
Vr, :
6.36k x
25.09ro3i
: V^rn, :
"
i
+ 0.6494 VA,A.| Sumando las componentes j, 215.5j : -2l.43a,j + 0.7604 VA2A,j 460.0i
kl
(or:0)
Ai,:0
li
i,
Sumando las componentes
:
y 42AJ v¡¡ ¡s la vlu4u¡u ecuación l, ,. nrnren
2I5.Si :25.09to.i _ 2l.43o,rj + 0.6494
+
rr)
!.2',:2155i-4600j
I
siguiente:
j o
l+eo.o
27.43<4j
x (o, x
ij 00 -2t.55
: -10k x
'!i*
I
: -r" Vr, :
+
O.6494Aiz^]
j,
- 2r.43qi + 3820j + O.76o4Ai,Aj
392
ANÁLISTS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 25.09do"
+
O.64g4Aizh
:
ANALISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACION
*21.43ú + 0.76044;,4. : _9435
Xl,jf",'"""0o
Ia segunda ecuación.por 25.0g/2t.43 y sumando Ias dos ecuaciones
1.54OA;2A.: AAt
ar¡t
-52gg
: -
3434 mm /s2
Por lo tanto,
A|,n,:
-3434(O.64g4t
+ O.76O4j): *ZZIO¡ _ 26tti
v
:
¿,.-
A\, :
lZ91
1o:!aet-3434) : 2.5.09_
25.O9<;ri
:
-
319 radls?
(sentido contrario al de las
t¡anecillas del reloi)
21.43<\j
319(2s.09i _ 21.43i) Ai.:8004i*6836j
lAi.l = V€o0ArT 68:rl- Ai,:866.9¡+1015j lAi,l : \,€469t + rot5, :
se
.Unavez que se conoce la curva de desplazamiento, se puede usar iera de estos métodos independientes del tipo o complejidad del mecanisque se está analizando. Las técnicas gráficas. corno la que se va a demostrar esta sección, con frecuencia son inexactas, especialmente al obtener las curvas jeaceleración Afortunadamente, la diferenciación numérica basada en los mé' mdos de diferencias finitas se adapta perfectamente para programarse en una ilf¡nputadora digital y es posible obtener resultados muy exactos. Todos los mé,lodos gráficos y nutnéricos utilizan uno o más puntos de una. curva para aproxig.frdr la derivada. En el método gráfico, la pendiente se encuentra dibujando la ,:idhgente a la curva en el punto especificado. En la figura 8.41 se ilustra gráfrca.Í1gnte el método para un mecanismo de eslabones articulados en el que el eslabón motriz 2 gira a una velocidad angular constante y el eslabón movido 4 oscila ,,,bbmo se muestra. En Ia figura se muestran doce fases del mecanismo a una escala fr" pura incrementos iguales de tiempo según se dan por los desplazamientos 'árigulares iguales del eslabón 2. Se desea obtener la velocidad y la aceleración riiel punto B. Se muestran las curvas para los desplazarnientos de coordenadasXy ifdel punto B conforme éste recorre su trayectoria curvilínea. Ver la figura 8 .41 b. ";:r' La abscisa de la curva de desplazamiento es una línea de longitud arbitraria .l "/ dividida en 2 partes iguales para representar intervalos iguales de tiempo en üna revolución del eslabón 2. Debido a que el tiempo para una revolución del i€slabón 2 es l/n min, o 6O/n. ség(r, = tp..r), la escala de tiempo paralaabscisa es K,= 6O/nL s/pulg. Los desplazamientos X, Y del punto B se muestran en la ordeqn" se empleó en el nada de la curva de desplazamiento a la misma escala
10,530 mm/s?
{,
diagrama del mecanismo. 1335 mm/s,
A/r:Aij+Al. lAn,l =, \,/i33f + m$o=t
:
10,610 mm/s2
se ve que ros resurtaros de este ejempro, desarrorado mediante ecuaciones de movii"rlir"i,lá* der.ejempro g.2, errascual pleando métodos vectoriales """ se desarroró em_ """ ri.,Lrr}ñTo'ordenadas fijos y móviles.
miento relarivo, concuerdan
8.24 ANÁLrsrs DE vELocrDAD yAcnrnnaJórv
K3;f#E
DTrERn¡vcraórbñiüüi-firü
Un método cinemático oue no se ¿tah^ .;^-^--
grá
fi c
a
s
h;;
; ; ; ir:,HHi,'.." ;
" curva de velocidad, y luego
ff il :iflx;
se hace la
393
5762
"
;'BIF
q
lf
'lg ll
; Í;,
;;ff
;; l:.;:i"";ff$:.i,
; ¿rÁ.en"iación de ésta para ott"rr", la curva 1,
v FIGURA 8.41
394
aNÁl¡sls DE vELocrDAD y ACELERacIóN
. La dileren cia grá{tca
se
eNÁllsls
realiza trazandouna tangente a la cu;
(QR)K" (PQ)K,
.ti:
1s.40)
;iH,i#:,*::^?i,'f F;:ff ::i:"*=ii::T,:i.i,-fi unidades tle velocidad ..;e.;;;le"lu.
o"'*"f
,ri
5
,¿"xi.f,f
oo,. putgada y K.
tulsudl'.nru pendiente'a
"rtu ;i,T"#.""'rfJ***::l::¿:,:::x*iíÉ,,ra j:::" j:::; en la figura g'4rc' raspendíentes
lo, p',into, in..",',.,,io,Jr-.1-t r" ta curvade "n r""uuiúun;;;i;;;l."rT ,o-u-"oi.,r-rr-_,.,r.,u rongitud r. ¿iür¡"" r"rá.::t^.^Tt* "g." ra pendiente, entonces distancia pR es ra v-ariabre q;;r;;; lJ, i,u.iu"¡ones en verocid ad. eRse pue_ de transferir desde er triánguro ¿" lá cidad como ra ordenada. ci-r de vero"*t" ¿" a"rptarami";;;;i;r."a r"ñJ;;;" ru r,g"ru á.+i;; ;;"" de velocidad para las velociaades las curvas "".r¿"i"'". yry yrdel punto B_ sin embar_ está en purea¿ui's-"-á!1. desptazamiettro para rodos ros friánsuror qué
ra
¿"í"i-¡i".-t,
?l'rX",.?'fl:ili"rl^
V: Ku:
"r."]a
de verocidad
(QR)K,
v aR
Sustituyendo V de la ecuación g.40
K,,'
_
K.: "
y ACELEnacró¡{ 395
Para determinar las aceleraciones coordenadas A¡y A, de -8, las curvas de idad se pueden diferenciar gráficamente de una manera similar y se pueden úostrar las curvas de la aceleración contra el tiempo. La escala de la aceleración partir de la siguiente expresióni se puede calcular a
tr,?.,;rui*[Hff .ijf i,"li".'j,rl i:il:iiJ"?;r#,:?:i:'"',""#;;I,fi ta la velocidad o ra derivada ü il;";"#ánto con ."r0".,á"i'#lrj;*.ü" ,, *
DE vELocrDAD
(QR)K" (QR)(PQ)K,
K
(PQ)K,
(8.41)
la escala oe de la velocitfad veloci&ad en func las otras escalas y lalongitud función de 1" qi;;;;;""t'u ?a, e es.una longitud elegicla ., mente en arbiitrariaoulsadi" es ta *i.*^ _^_-^ - , -""r:r"^".,:llg*:,r,,:.]"Tir_ffi
f"".'J:,fifl:,,?j-::ijt::r:1,
"i"aár";"r;#;Jil:: ?""::HlXi í¿ li Ellli'* :::: li,: : i j+15: "r: ad s o o rd n a,r hii"'ji"ll#xr*';,::T:-*.T::.r-T:iT;;f :T,T:,#ifi e
c
e
y y a s r
:lr,Yrl
#:rux;üiHiihTili,ü,ruTn::f,::Ht":i,Í¿dJtl,li,ffi1i* j;3i:Tff ffi*:l; 1,J,""1,?f -?"-t'""::,'"',xlij;i::1,::;ilk'::1T'"í, ;j:il3xlffi :,ilÍ"1:l¡J:::""-i{::*,;;,#;;::ff ,n,:H,ff"S:J;?1X1*J: las ill;lLl"i.l'.1'#ñ"f posiciones 5 y 10, l",Éiá"li"j;ffi;"j::: *y:":::::":lt;;;:ff;[:3::i:1.ffi ."';*..i#i;
"
A,--
itil:
Ku
(P'Q')K,
(8.42\
donde K" es la escala de aceleración y P'Q' es una longitud arbitraria similar ¡ aPQ. ,; La exactitud de la diferenciación gráftca depende del cuidado que se tenga ' altrazar las tangentes y del número de incrementos en que se divida la abscisa de
:i. en
.
la curva de desplazamiento.
La exactitud mejora a medida que se aumenta
el
número de incrementos y a medida que los incrementos individuales se hacen más pequeños. Como se acaba de demostrar, la diferenciación gráfica es un método muy s¿ncillo para determinar las curyas de velocidad y aceleración a partir de la curva de desplazamiento-tiempo cuando se va a analizar un ciclo completo de un mecanismo. Este método es rápido para graficar una curva a partir de otra, pero, desafortunadamente, su exactitud es limitada. Es obvio que en los casos en que se cuente sin dificultad con las ecuaciones para el desplazamiento, velocidad y aceleración, como en el mecanismo biela-manivela-corredera, es más fácil calcular los valores y grafrcar las curvas, si se desea, que recurrir a la diferenciación gráfica. Sin embargo, en otros mecanismos, como el mostrado en la figura 8.41, la diferenciación gráfrca es mucho más rápida que los métodos analíticos con la condición de que se pueda obtener suficiente exactitud. La exactitud de este método se puede mejorar grandemente empleando una computadora digital para realizar la diferenciación en vez de hacerlo gráficamente. Esto puede hacerse fácilmente si se cuenta con los valores de desplazamientotiempo o con la ecuación a partir de la cual se pueden calcular. El ejemplo que se presenta a continuación muestra una comparación de los valores de la velocidad para el pistón de un mecanismo biela-manivela-corredera determinadgl mediante diferenciación por computadora y los obtenidos mediante la fórmufb.
Ejemplo 8.13. Un mecanismo biela-manivela-corredefa
con una manivela de 2 pulg y una biela de 8 pulg opera a una velocidad de la manivela de 3300 rpm. Determine mediante los siguientes métodos, la velocidad del pistón (pies/s) para una rotación de 90o de la manivela comenzando desde el punto muerto superior en incrementos de l":
1.
Dif,erenciación numérica de los valores de desplazamiento-tiempo calculados a partir de la ecuación
¡
:
R(l
-
cos
o)
+ ffr.n,o
396
ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN del capitulo
2-
RNÁusts DE vELocIDAD y ACELEnacróN 3g7
2 emnleandométodos de diferencias finitas. di la velocidad a partir de la
Cálculo directo
ABLA
ecuación
¡z: n'G.n u *
0
#,"e,rze)
Muestre ra meiora en ra s¡¿s¡úud en er método dee diferenciación numéric dllerenciación bién incrementos de numérica tomando 0. I o y 0.01 o.
i!' grados
(d:+
60
2
,1 r4
& -¡.: " (PQ)K, : 0¡0OOS5 La escala de esn
"i;;;.";:i'i"t" óespuésd.*;T:"jiT;,:,H::H#,""#:#::;:,T,Hi,J"",::,#.,ffi
angular' se determina el.cambio
d;;ü;;ienro ar.rr."
de ax es proporcionar
¡o,
-"ruv..,á,,,-t;¿¿""ff :[T"ff ;:::;T,..'"i:il."':,:SilTf;,:q:#i:.?J,f,fJ:
sanfe notarcuán aproximad.r^r ron Ior cracrón
con incrementosde 0.01" Aunque no se in,
rr"-r"i* i"'1. verocidad obt.n¡¿o",_.diante
tl";;;ü.s
por Ia fiórmula.
¿"t..,',¡*.i.*;;;"'1,"#L"?l,iijiJ,l]il?;"',L;::*ljl*s . l. debe mencionar más a ros
que los valores
valores obtenidls
p.;
z (pulg)
FIGURA 8,42
a. i..
diferen_
der pisrón se pueden
i;'n'ñ;;"'JH,Tffm:",:'"[""?iT;1TlT",*
3.77
2.5t
3.14 4.39
3.70 4.96
5.01
5.65
6.21 7.45
9.38
11,.23
1o.62 11.85 23.76 34.53 43.70 50.91 5s.92 58.67
:
i-nlrl_.n,or. Er varor "" "l i y ""r,""r!.qa;i;í;r:1" parricurar que ," "r,J"""r¡aerando y er l;x*T.i'#J"f;Í: jn;,".'"'jif:J':,fl:l)1,',uponi"na",;' ;;;;;sranre de a¿ La En Ia tabla g. I se
10
t2.46
20 30 40 50 60 70 80 90
24.33
6.89
35.03
44..
.
51.21 56.
tt
58.75
59.18 s7.59
8.r4
3.76 6.26 7.49 8.76 10.01
12.45 24.31
44.O7
44.tt
1I.23
35.O4
51. 18
51.22
56.09 58.74
56.O2
57.72
57.67
58.69 59.17 57.59
0.5", 1.5",2.s" y así sucesivamente. Esto
primeros
continuación.
t.25
17.17 12.40 24.27 34.98
59. 19
puede.ver en la tabulación para los
rra
8.70 9.94
59.2t
intermedios de los intervalos, es decir, a :
de 0.01"
r.19 2'4s
10.00
1650.1 pies/s/pulg
"
0.63 1.88
7
t9
O. I
1.26 2.51
8
se toma a ramaño natural y,se convierre a pies/putgEl ténnino
(p")K, ;,
Incremento de
i$t
t:,
la manivela = 0.0000505 s
+¿
Incremento de I "
:'.i.
5
s
V,
5.O2 6
fi
V,pies/s Incremento
pies/s
V,pies/s
6.27 7.52 8.76
345.40 rad/s
Tiempo para la carrera ( g0"¡ | = 0.00909 Tiempo para i " de rohción de
Análisis de velocidad mediante diferenciación numérica.
V,pies/s Fórmula
I
tam_
SoIución.
2tn :
8-l
IO
se
incrementos de un grud-o q,re se muestran
0
V
GRADOS
FóRMULA
0.5
PIES/S
0.628
l.-s
1.883
2.5'
3.t38
3.5
4.39t
4.5
5.642
5.5 6.5 7.5 8.5 9.5
6.890
{
.8. I 35
9.376 t
0.613
IL844
La.tazón de esto es que el valor de Zmediante diferenciación numérica se aproxima más a la velocidad en el punto intermedio que en el extremo del intervalo. A medida que los
398
ANÁLISIS DE VELOCIDAD Y ACELERACION
ANALISTS crNEMATrco MEDTANTE
incrementos se hagan más pequeños, esta diferencia urbrrllnulra t¿¡sta '¡¡u¡a disminuirá r¿¡sta ser s€ colno en el caso de los incrernentos despreciable. cle 0.01o.
8.25 ANÁLTSIS
r"_se puede expresar mediante un número complejo en cr.ralquiera de las ¡¡t tttu, ;íuuientes ftrrlnas '; rttir ¡!errtc:'
rr':a*ib rp : rp(cos 02 + i sen 02)
CIN;UJVIÁTTCO BIEDIANTE NIUMEROS
COMPLEJOS
Además de los métodos de análisis de verocidad y aceleración presentados, s6¡ gffi:j:: se utilizan t"l""ion"t'ut¿lli"^ con vecrores expresacros en for¡¡q En la figura g.43a se muestra un caso cinemático sencilro en er que er esra_ bón 2 gira aircdedor ae un^e¡e,r,¡-o-ár. ;;;;r"" dercrminar lo, ü"ro.", cidad y aceleración v y Arae"ta de velo_ p párticuñ p .i en ra fase "uun¿o "ri"ü0" "stá á",á a,,guru;;;;i","ción
*XiiüftJ:n'.:X'üfffi:"¡¿á'
"?r""iaaa
fp :
Aunque todas las formas del número complejo son útiles, la forma más
sencilla es la exponencial en la cual ro es representa un vector de longitud unitaria
la magnitud del vector de posición y e102 en una posición angular 0, en el sentido pontrario al de las manecillas del reloj. La diferenciación de la écuación g.43 ptoduce el vector de velocidad Vo.
real e
imagir#:,::fr"t::
V¿:i¿:rrflz(ieih') Yp : rt,6¡,(i¿iot)
;ifj
endonde
lmag¡nar¡o
(8.43)
y,,gi6t
angu-
La posición de lápartícula p se puede representar mediante el se muesrra en la figura 8.43b. el
"rá¡1""". to, "¡",
Núv¡nos coMpLEJos 39g
ir= drr/dty
(n.44)
6z= dT,/dt = or. El término dentro del paréntesis en la multiplicado por i y es equivalente a i (cos g, +
ecuación 8.44 es el vector unitario
lmaginario
isen
0rr. Empleando relaciones trigonométricas, se puede demostrar que i (cos-O,
+sen0r)esigualacos(0, +¡¡/2\ Por
+i
lo tanto, Yp :
sen
(02+ntZ) dernanera queie'9:-
e4o1 +Ti2\'.
rlú2€i(82+t/2\
(E.4s)
como se muestra en la figura 8.43c,|a dirección del vector de velocidad v" dad¿ por_el ángulo (0, + n/2) y resulta estar a un ángulo 90" mayor qu" "l ángulo de ro. Por lo tanto, la multiplicación der vector unitário por i girá al vector 90o en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Asimismo, cada multiplicación subsecuente del vector unitario por I gira al vector un incremento aclicional de 90" en el sentido co'trario al de las manecillas crel reloj. eStá
(b)
ción
La diferenciación de la ecuación de velocid ad 8.44 da el vector cle acelera-
A, como
sigue:
s
Ar : ip : rpaT(izeit,) * rpór(ieio,) : rpto|(i2eio') * rpar(ieio,) q
clón
Apo
FIGURA 8.43
(8.46)
dar/df = ór. El primero dc los términos de la derecha de Ia ecua8.46 representa la componente normal de la aceleración A,i. en el que r.ro] es la magnitud e i2 indica que la dirección es l g0" mayor que 0, to*o ," muestra en la figura 8.43d. El segundo término es la componente tangeñcial de la aceleración.A!- de la r7ct" y la dirección 90" mayor que el según se indica por 'ragnitucl medio de i.Para desi,'¡r.rarlai clirecciones de l,¡s cornDorienres'deJa aceleración, la etuai.:iólr )i...'!;. ,;¡ ,..Ll*Je reescrllrr conro sigue: en.donde o-r=
