Mecanica Racional II

3

 

INTRODUCCION

Los movimientos mecánicos de los cuerpos rígidos pueden ser determinados a través de la segunda ley de la mecánica. Incluso para los movimientos viracionales el concepto de conservaci!n de la energía puede resultar "til si se #uiere estimar los camios involucrados durante la trayectoria del cuerpo rígido. $eneralmente los cálculos se asan en la determinaci!n de las velocidades lineales y angulares% #ue a su ve& conllevan el cálculo de las aceleraciones correspondientes. correspondientes. 'n ase a los conceptos de velocidad angular% velocidad lineal% centro de giro% período% (recuencia% momento de inercia y la ley de la conservaci!n de la energía mecánica m ecánica se reali&aran los cálculos correspondientes a dos prolemas #ue involucran la determinaci!n tanto de velocidades como el período de pe#ue)as oscilaciones de un sistema rígido en movimiento

O*+'TI,O'l presente traao práctico tiene como oetivos emplear la teoría cinemática y cinética de los cuerpos rígidos y viraciones en sistemas mecánicos simples para

4

calcular las ecuaciones de movimiento en el plano de un cuerpo rígido y la viraci!n de un sistema mecánico dados% con un solo grado de liertad. /dicional a ello se utili&ará la ley de la Conservaci!n de la 'nergía para el cálculo de los períodos mínimos de oscilaci!n de un sistema mecánico viracional tomando en cuenta desde luego las energías cinética y potencial involucrados así como los momentos de inercia asociados.

T'ORI/ Los di(erentes tipos de movimiento de un cuerpo rígido pueden agruparse en los siguientes0 1. Traslaci!n0 -e a(irma #ue un movimiento será de traslaci!n si toda la línea recta dentro del cuerpo mantiene la misma direcci!n durante el movimiento. Tamién puede oservarse #ue en la traslaci!n% todas las partículas #ue

5

2.

3.

7.

8.

constituyen el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. -i estas trayectorias son líneas rectas % se a(irma #ue el movimiento es una traslaci!n rectilínea% en camio si durante la trayectoria se descrien líneas curvas% el movimiento en una traslaci!n curvilínea. Rotaci!n alrededor de un ee (io0 'n este movimiento las partículas #ue (orman al cuerpo rígido se mueven en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sore el mismo ee (io. -i este ee llamado ee de rotaci!n interseca al cuerpo rígido% las partículas locali&adas sore el ee tienen velocidad cero y aceleraci!n cero. 4ovimiento plano general0 5ay muc6os otros tipos de movimiento plano% esto es% movimientos en los cuales todas las partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos. Cual#uier movimiento plano #ue no es ni una rotaci!n ni una traslaci!n se conoce como movimiento plano general. 4ovimiento alrededor de un punto (io0 'l movimiento tridimensional de un cuerpo rígido unido a un punto (io O% por eemplo% el movimiento de un trompo sore un piso rugoso se conoce como movimiento alrededor de un punto (io. 4ovimiento general0 Cual#uier movimiento de un cuerpo rígido #ue no entra en ninguna de las categorías anteriores se conoce como movimiento general. 's de oservarse #ue en un movimiento de traslaci!n% todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleraci!n en cual#uier instante dado. /sí mismo en la rotaci!n de un cuerpo rígido alrededor de un ee (io% se de(ine su posici!n a través de un ángulo 9. La velocidad de cual#uier partícula : del cuerpo rígido se de(ine como0 v;

ds dt 

 ; r  θ´  sen < = ec. 1>

donde θ´  es la derivada respecto al tiempo de 9. La velocidad de dic6a partícula : tamién se de(ine como0 v;

dr dt 

 ; ? @ r =ec. 2>

donde el vector ? ; ?A ; θ´ A% = ec. 3> se dirige a lo largo de un ee de rotaci!n (io y representa la velocidad angular  del cuerpo. -i se denota por B la derivada d?dt de la velocidad angular% la aceleraci!n de : se e@presa como0 a; B @ r  ? @ =? @ r>. = ec.7>  /l di(erenciar la ecuaci!n 3 y recordar #ue A es una constante en magnitud y direcci!n% se encuentra #ue0

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B; BA ;

ω ´

A ; θ´ A = ec. 8>

'l vector B representa la aceleraci!n angular del cuerpo y está dirigida a lo largo del ee de rotaci!n (io.

ROT/CION D' :L/C/- R':R'-'NT/TI,/'l movimiento de una placa representativa en un plano perpendicular al ee de rotaci!n del cuerpo de(ine #ue la velocidad angular es perpendicular a la placa y la velocidad de un punto : de la placa se e@presa como0 v; ?A @ r % = ec. E> donde v está contenida en el plano de la placa. /l sustituir ? ; ?A y B; BA en la ecuaci!n 7 se encuentra #ue #ue la aceleraci!n puede descomponerse en las componentes tangencial y normal iguales respectivamente a0 at ; BA @ r =ec. F> at ; rB =ec. G> an ; H ω r =ec. > an ; r  ω  =ec. 1J> 2

2

'n resumen se visuali&an las siguientes e@presiones para la velocidad angular y la aceleraci!n angular de la platca0 ?; B; o tamién

dω dt 

dθ dt 

=ec. 11>

 ; d29dt2 =ec. 12>

B; ?

dω dθ

 =ec. 13>

Dos casos particulares de rotaci!n se encuentran con (recuencia0 rotaci!n uni(orme o rotaci!n uni(ormemente acelerada. Los prolemas en los #ue interviene cual#uiera de estos dos movimientos se pueden resolver utili&ando ecuaciones similares a las #ue se emplean para el movimiento rectilíneo uni(orme y uni(ormemente acelerado de una partícula% pero donde @% v y a se sustituyen por 9% ? y B.

,'LOCID/D'- 'N 4O,I4I'NTO :L/NO

7

'l movimiento plano más general de una placa rígida puede considerarse como la suma de una traslaci!n y una rotaci!n. :or eemplo% es posile suponer #ue una placa 6omogénea se traslada con un punto / de dic6a placa y #ue al mismo tiempo gira alrededor de ese punto. De esa manera la velocidad de cual#uier punto * de dic6a placa se puede otener así0 v* ; v /  v*/ =ec. 17> donde v / es la velocidad de / y v */ es la velocidad relativa de * con respecto a / o% de manera más precisa% con respecto a los ees coordenados #ue se trasladan con el punto /. Denotando mediante r */ el vector de posici!n de * relativo a /% se encuentra #ue0 v*/ ; ?A @ r */ =ec. 18>

v*/ ; r? = ec. 1E>

C'NTRO D' ROT/CION IN-T/NT/N'O Otro planteamiento para la soluci!n de prolemas en los #ue intervienen las velocidades de los puntos de una placa rígida en un movimiento plano está asado en la determinaci!n del centro instantáneo de rotaci!n #ue no es mas #ue el ee perpendicular al plano de rotaci!n de una placa alrededor de la cual todas las partículas de la placa tienen velocidades iguales. 's posile considerar a cual#uier movimiento de una placa rígida como la suma de una traslaci!n de la placa con un punto de re(erencia y una rotaci!n alrededor de dic6o punto de re(erencia% de a#uí se deduce entonces #ue0 a* ; a /  a*/ = ec. 1F> donde a*/ consiste en una componente normal =a */ >n de magnitud r? 2 dirigida 6acia el punto /% y una componente tangencial =a */ >t de magnitud rB perpendicular a la línea #ue une / con * = línea /*>. 'CU/CION'- KUND/4'NT/L'- D' 4O,I4I'NTO D' UN CU'R:O RI$IDO La primera ecuaci!n #ue de(ine el movimiento del centro de masa de un sistema de partículas es0 K ; mM = ec. 1G> donde m es la masa del cuerpo y M es la celeraci!n del centro de gravedad =$>. La segunda ecuaci!n se relaciona con el movimiento relativo al sistema de re(erencia centroidal se escrie ´ $ =ec. 1> 4$ ;  H 

8

donde  H  $ es la ra&!n de camio de la cantidad de movimiento angular 5 $ del cuerpo alrededor de su centro de masa $. +untas estas dos ultimas ecuaciones e@presan #ue el sistema de (uer&as e@ternas es e#uipolente al ´ $. sistema compuesto por el vector mM en $ y el par de momento  H  ´

's demostrale #ue la cantidad de movimiento angular se puede e@presar  como ´ ? = ec. 2J> 5$ ;  I 

Donde  I    es el momento de inercia del cuerpo alrededor del ee central perpendicular al plano de re(erencia y ? es la velocidad angular del cuerpo. /l di(erenciar amos miemros de la ec. 2J se otiene0 ´

´  H 

´ω ´ B = ec. 21> ´  ;  I   ;  I 

$

#ue muestra la ra&!n de camio de la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido y #ue puede representarse mediante un vector de la misma direcci!n #ue B =esto es% perpendicular al plano de re(erencia i con magnitud ´ B  I  -e concluye de lo anterior #ue el movimiento plano de una placa rígida o de un cuerpo rígido simétrico con respecto al plano de re(erencia se de(ine mediante las tres ecuaciones escalares

 I  ´

K @ ; m B = ec. 27>

a ´

@

=ec. 22>

K y ; m

a ´

y

=ec. 23>

4 $ ;

 /:LIC/CIN D'L :RINCI:IO D' CON-'R,/CION D' L/ 'N'R$I/ :/R/ L/ D'T'R4IN/CION D' L/- 'CU/CION'- D' 4O,I4I'NTO 'N ,I*R/CION'- 4'C/NIC/Cuando una partícula de masa m está en movimiento arm!nico simple% la resultante K de las (uer&as eercidas sore la partícula tiene una magnitud #ue es proporcional al despla&amiento @% medido desde la posici!n de e#uilirio O% y está dirigida 6acia dic6a posici!n O se escrie K; HA@. -e tiene además #ue K es una (uer&a conservativa y #ue la energía potencial es ' p ;

1 2

A@2 %

donde 'p se supone igual a cero en la posici!n de e#uilirio @; J. :uesto #ue la velocidad de la partícula es igual a 2

 x ´

% su energía cinética es ' c ;

1 2

 A

 y es posile e@presar #ue la energía total de la partícula se conserva al escriir0  x ´

9

1

'c  'p ; constante = ec. 28>

2

A

 x ´

2



1 2

A@2 ;

constante =ec. 2E>  /l dividir entre m2 y tener presente #ue Am ; ? 2n , donde ?n  es la (recuencia circular natural de la viraci!n% se tiene0   ?2n @2 ; constante = ec. 2F> La ecuaci!n anterior es característica de un movimiento arm!nico simple% puesto #ue puede otenerse a partir de la ecuaci!n di(erencial  x  ? 2n @2 ; J al multiplicar amos términos por 2  x  e integrar. 'l principio de conservaci!n de la energía proporciona una (orma conveniente de determinar el período de viraci!n de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos rígidos #ue poseen un solo grado de liertad% una ve& #ue se 6a estalecido #ue el movimiento del sistema es u movimiento arm!nico simple o #ue puede apro@imarse mediante un movimiento arm!nico simple. /l elegir  una variale apropiada% como la distancia @ o el ángulo 9% se consideran dos posiciones particulares del sistema0  x

2

´

´

´

1. 'l despla&amiento del sistema es má@imo% se tiene #ue ' c1 ; J y ' p1 puede e@presarse en términos de la amplitud @ m o 9m = al elegir 'p ; J en la posici!n de e#ilirio>. 2. 'l sistema pasa por su posici!n de e#uilirio se tiene ' p2 ; J y 'c2 puede e@presarse en términos de la velocidad angular má@ima θ´ m. -e e@presa entonces #ue la energía total del sistema se conserva y se escrie0 'c1  'p1 ; 'p1  'p2 =ec. 2G>  /l tener #ue las ecuaciones v m ; @m ?m y a m ; @m ?2n e@presan los valores má@imos de velocidad y aceleraci!n en un movimiento arm!nico% se encuentra #ue la ec. 2G puede resolverse para ? n. Como eemplo osérvese el siguiente diagrama0 $1 9m nlm 9 99

cos9 m



POSICION DE DESPLAZAMIENTO MAXIMO

Nivel de re(erencia

10

P 9m POSICION DE EQUILIBRIO

 $2 

P

Nivel de re(erencia

Osérvese #ue en la posici!n de despla&amiento má@imo se tiene0 'c1; J

'p1 ; P =  Q cos9 m> ; P = 1 Q cos9m >

o puesto #ue 1 Q cos9 m ; 2 sen2 = 9m 2> ≈ 2= 9m2>2 ; 92m2 para oscilaciones de pe#ue)a amplitud% 'c ; J

1

'p ;

2

 P92m = ecuaciones 2>

Cuando la placa pasa a través de su posici!n de e#uilirio su velocidad es má@ima y se tiene0 'c2 ;

1 2

1

m v´ 2 

2

´  I 

1

?2m ;

m2 θ´

2

2 m

 

1  ´ ´θ  I  2

2

m

'p2 ;

J ´  ; o al recordar #ue  I 

'c2 ;

1 2

 =

5 3

2 3

 m2% se tiene #ue 0

 m2> θ´

2 m

'p2 ; J = ecuaciones 3J>

 /l sustituir las ecuaciones 2 y 3J en 'c1  'p1 ; 'p1  'p2 % y al oservar #ue la velocidad má@ima θ´ m es a producto 9 m?n se escrie0 1 2

la cual produce ? 2n ; 3g8 y

P92m ;

1 2

=

5 3

m2>92m?2n = ec. 3J>

11

 ; 2 ?n ; 2 √ 5 b / 3 g  = ec. 31>

τn

la cual es la ecuaci!n para determinar el período de pe#ue)as oscilaciones de un sistema viracional

12

:L/NT'/4I'NTO D'L :RO*L'4/ N J 1 :RO*L'4/ N 1. Dos arras uni(ormes cada una de masa m y longitud L% se conectan para (ormar el mecanismo mostrado en la (igura 1. 'l e@tremo D de la arra *D puede desli&arse con liertad en la ranura 6ori&ontal% en tanto en el e@tremo / de la arra /* se sostiene mediante un pasador y una ménsula. -i el e@tremo D se mueve ligeramente 6acia la i&#uierda y luego se suelta. Determine0 a. La velocidad cuando el e@tremo D se encuentra directamente aao del punto  /. . La velocidad cuando la arra /* se encuentra completamente en posici!n vertical. L /

* D

L

'ste prolema plantea el uso del momento de inercia y el principio de conservaci!n de la energía mecánica. 'n un es#uema simple se puede oservar #ue el sistema #ueda representado luego de desli&arse con liertad% de la siguiente manera0 :O-ICION 1  /

* L2

D 'l momento de inercia para el conunto es0  I   /* ´

 ;

 ;

 I  *D ´

1 12

 mL2

La energía potencial de este sistema viene dada por0 ':1 ; mg6 /*  mg6*D ; J  mg= H L2 > ; H12mgL. :O-ICION 2

/

I / ;

1 3

 mL2

13

EJJ D

*

$

a> De la posici!n 2 se tiene #ue el centro instantáneo de rotaci!n es el punto / el cual es com"n a amas arras. Deido a #ue * es el punto com"n de amos segmentos de arra% se puede escriir0 ? /* ; ?*D ; ?2

,D ; I?2

donde ? es la velocidad angular y , la velocidad lineal del sistema. 'n el centro de giro $ % se tiene #ue 0 ,$ ; I?cos 3JJ La energía cinética del sistema es0 ´ ?22 'C2 ; 12I /?2  12m,2$  12  I  'C2 ;

7 12

mL2?22

La energía potencial es0 ':2 ; mg6 /*  mg6*D ':2 ; mg= HL2sen 3J J >  mg= H3L2sen 3J J > ':2 ; HmgL  /plicando el principio de la conservaci!n de la energía% se tiene0 'C1  ':1 ; 'C2  ':2 J Q 12mgL ;

7 12

mL2?22 Q mgL%

ω2 = 0.926 √ g / L

,D ; L?2 ; J.2E √ gL ,D ; J.2E √ gL > 'n la posici!n 3% la arra /* está en traslaci!n0  /

?22 ;

6 7

gL

14

,D ; ,* ; L? /* ; L?3 'nergía cinética0 ' C3 ; S I /?23  S mv2* D

* 'C3 ; S = 13mL2 >?23  S m =L?3>2 ; 23mL2?23

'nergía :otencial0 ':3 ; mg=HL2>  mg=HL> ; H32mgL Conservaci!n de la energía0 'C1  ':1 ; 'C3  'C3 J Q S mgL ; 23mL 2?23 H 32mgL ?23 ;

3 2

 gL

?3 ; 1.228 √ g / L ,D ; L?3 ; 1.228 √ gL VD = 1.225 √ gL

:L/NT'/4I'NTO D'L :RO*L'4/ N J 2 :RO*L'4/ N 2. Una es(era / de J%F Ag y una es(era C de J%8 Ag se conectan a los e@tremos de una arra /C de masa insigni(icante #ue puede girar en un plano vertical alrededor de un ee en *. Determine el período de pe#ue)as oscilaciones de la arra.  /  / 5 /   :O-ICION 2 J.1 m P / * * :O-ICION 1

J.1E m C 5C

C PC

POSICION 1

'C1 ; J ':1 ; PC5C H P /5 /

15

5C ; *C= 1H cos9 m > 5 / ; */= 1 Q cos9 m > :ara ángulos pe#ue)os se tiene0 1 Q cos9 m ≈ 92m 2% entonces la energía potencial es0 ':1 ;  = PC>=*C> Q = P />=*/>  92m 2 ':1 ;  = J.8 Ag @ .G1 m s2 >= J.1E m > Q = J.F Ag @ .G1 m s 2>=J.1 m>  92m 2 ; = J.FG8 Q J.EGF > 9 2m 2 ; J.JG 92m 2 POSICION 2

':2 ; J 'C2 ; S mC= ,C>2m  S m /=, />2m = ,C >m ; = J.1E> θ´ ´ 'C2 ; S mC=J.1E>2 θ ¿

m

´  >2  S m /=J.1>2 θ

m

= , / >m ; = J.1> θ´

¿

 >2

m

m

'C2 ; S  = J.8 Ag>=J.1E>2  =J.FAg>=J.1>2  ?2n92m θ´ ¿

 >2 ; ?n9m

m

'C2 ; S  J.J12G  J.JJF  ?2n92m ; S = J.J1G > ?2n92m  /plicando el principio de conservaci!n de la energía% se tiene0 'C1  ':1 ; 'C2  ':2 J  J.JG 92m 2 ; J.JG 2  ?2n92m ?2n ; J.JGJ.J1G ; 7.8 s H2

'l período de pe#ue)as oscilaciones es 0 τn

; 2?n %

 ; 2 √ 4.95

τn

 = 2.82 

n

16

*I*LIO$R/KI/ *eer% K. % Russell +o6ston '% +r y Clausen Pilliam. M!"#n$"% V!"&'($%) *%(% In+!n$!('. Gva.

17

'dici!n. 4é@ico% D.K. 4é@ico. 2JJF .

18

 

CONCLU-ION'-

Del desarrollo del traao se e@traen dos conclusiones importantes0 1. 'l movimiento de una partícula o de una serie de partículas% ya sea en el plano o en el espacio puede ser visto como la composici!n de dos movimientos simultáneos0 uno de traslaci!n respecto a un punto de re(erencia% por lo #ue se dice #ue el movimiento es relativo% y otro de rotaci!n respecto a un ee. 2. 'l principio de la conservaci!n de la energía mecánica es la 6erramienta más "til y la #ue rinda mayor in(ormaci!n con respecto al movimiento de una serie de partículas% siendo un método válido para el cálculo de movimientos viracionales en un conunto de partículas.