MECÁNICA RACIONAL 1.- INTRODUCCIÓN 1.1.- Mecánica. La Mecánica es la parte de la Ciencia Física que estudia el estado de movimiento o reposo de los cuerpos rígidos bajo la acción de las fuerzas. En los estudios de Ingeniería no existe ninguna materia que juegue un papel más importante que la mecánica. Puede decirse que los primeros estudios de esta materia constituyen los primeros trabajos de ingeniería. La investigación y desarrollo de modernos del campo de las vibraciones, de la estabilidad, de la resistencia de las estructuras y máquinas, del funcionamiento de máquinas motrices, de la circulación de fluidos, de los aparatos y máquinas eléctricas, del comportamiento de molecular, atómico y subatómico, así mismo de planetas satélites, astros, galaxias, etc. dependen en gran parte de los principios fundamentales de la Mecánica. El conocimiento completo de éstos es requisito previo absoluto para trabajar en éstos y muchos campos. La Mecánica se divide lógicamente en dos partes, la estática, que trata del equilibrio de los cuerpos bajo la acción de fuerzas (en la cual la suma de estas fuerzas es igual a cero), y la dinámica que trata del movimiento de los cuerpos. La dinámica incluye, a su vez, a la cinemática, que estudia el movimiento de los cuerpos independientemente de las fuerzas que lo originan, y la cinética, que relaciona las fuerzas con los movimientos resultantes. La Mecánica teórica concierne principalmente al físico, mientras que la Mecánica aplicada atañe al ingeniero.
1.2.- Conceptos fundamentales. Existen ciertas definiciones y conceptos que son fundamentales para el estudio de este curso y deben entenderse desde un principio. E s p a c i o . El espacio es la región geométrica en la cual tienen lugar los sucesos.
Utilizaremos la palabra espacio para hacer referencia a una región tridimensional. Sin embargo, no es raro hacer referencia a un movimiento en una recta o en un plano, diciendo que tiene lugar en un espacio de una o dos dimensiones respectivamente. El concepto de espacio de n-dimensiones constituye un ingenio abstracto para describir la dependencia de n cantidades independientes. Sistemas de referencia. La posición en el espacio se determina con relación a un cierto sistema geométrico de referencia mediante medidas lineales y/o angulares. El sistema de referencia básico para las leyes de la Mecánica de Newton es el sistema inercial primario o sistema astronómico de referencia , que es un sistema imaginario de ejes rectangulares que se supone no tienen traslación ni rotación en 1
el espacio. Las mediciones enseñan que las leyes de la Mecánica de Newton son válidas para este sistema de referencia mientras que las velocidades que intervengan sean despreciables frente a la de la luz (300.000 Km/s), ya que al aproximarse a esta hay que aplicar la Teoría de la Relatividad. Las mediciones realizadas respecto de este sistema de referencia reciben el nombre de absolutas y a este sistema de referencia se le considera “fijo” en el espacio. Un sistema de referencia solidario a la superficie terrestre tiene un movimiento complicado respecto al sistema primario, y habrá que aplicar las correcciones a las ecuaciones fundamentales de la Mecánica para las medidas realizadas respecto al sistema de referencia de la Tierra. En el cálculo de trayectorias de cohetes y astronaves, por ejemplo, el movimiento absoluto de la Tierra constituye un parámetro importante. En la mayoría de los problemas técnicos de máquinas y estructuras que permaneces sobre la superficie terrestre, las correcciones son pequeñísimas y pueden despreciarse. Para estos problemas se pueden aplicar directamente las leyes de la Mecánica con las medidas realizadas relativas a la Tierra y, desde el punto de vista práctico, dichas medidas pueden considerarse absolutas. Un Intervalo de Tiempo es una medida de la sucesión de Tiempo (Intervalo de).- acontecimientos y en la Mecánica Clásica o de Newton, se le considera una cantidad absoluta, y es una variable independiente. En la Teoría de la Relatividad (Einstein), es una variable dependiente. Si bien es cierto, existen distintas medidas para cuantificar un intervalo, como la semana, el año, el siglo, la hora, el mes, etc., el Sistema Internacional (SI) adopta como medida el segundo [s], que es una fracción conveniente del período de rotación de la Tierra. Fuerza.- La fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro. Una fuerza puede
desplazar un objeto en la dirección de su acción sobre dicho cuerpo. Materia.- La materia es la sustancia que ocupa el espacio. Un cuerpo es materia
limitada por una superficie cerrada. Inercia. La inercia es una propiedad de la materia por la cual se resiste a cambiar
su estado de movimiento. Una versión más moderna surgida del desarrollo de la Mecánica Cuántica dice que la inercia es una cuantificación de la masa. Masa.- La masa es una medida cuantitativa de la inercia. La masa es, también
una propiedad de todo cuerpo que siempre va acompañada por la atracción mutua con los demás cuerpos. Pa r tíc u la .- Se llama partícula a un cuerpo de dimensiones despreciables. Cuando
las dimensiones de un cuerpo no influyen en la descripción de su movimiento, puede tratarse un cuerpo como si fuera una partícula. En otros casos, una partícula podrá considerarse como un elemento diferencial de un cuerpo. Cu erp o R í g id o .- Se conoce por cuerpo rígido al que no tiene deformación relativa
entre sus partes. Esta es una condición ideal, ya que todos los cuerpos reales cambian de forma hasta cierto punto cuando se les somete a fuerzas. Cuando son 2
despreciables estos cambios de forma frente a los cambios de posición del cuerpo en su conjunto, es permisible la hipótesis de rigidez. Un cuerpo se considera deformable cuando las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las deformaciones resultantes constituyen al tema de estudio.
1.3.- Escalares y vectores. Las cantidades de las que se ocupa la Mecánica son de tres tipos: escalares, vectoriales y tensoriales, estas últimas no se abordarán en este curso. Una cantidad escalar es la que tiene asociada solamente una magnitud. Son ejemplos de escalares el tiempo, el volumen, la densidad, la rapidez, etc. y cualquier magnitud en la que su orientación espacial no tenga ninguna importancia, por ejemplo la edad de una persona no tiene que ver con norte ni sur, ni con arriba o abajo. Una cantidad vectorial es la que tiene asociadas además de una magnitud, una dirección (línea recta en la que actúa) y un sentido (hacia qué parte de la recta actúa). Son ejemplos de cantidades vectoriales el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el momento, la cantidad de movimiento, etc. y en general todas aquellas en las que la orientación espacial tiene importancia.
4. Leyes de Newton. Sir Isaac Newton fue el primero en enunciar correctamente los principios fundamentales que rigen el movimiento de una partícula y en demostrar su validez. Primera. Una partícula sobre la cual no actúe ninguna fuerza y/o que no esté equilibrada, o permanece en reposo o sigue un movimiento rectilíneo uniforme. Segunda. La aceleración de una partícula es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre ella, y tiene la dirección y el sentido de dicha fuerza. Tercera. Cuando un cuerpo ejerce una fuerza llamada acción, sobre otro, este a su vez, ejerce sobre el primero una fuerza llamada reacción, de igual módulo y dirección, pero de sentido contrario.
1.5.- Unidades. 1.6.- Precisión límites y aproximaciones.- El número de cifras significativas que se consiguen en un resultado no debe ser mayor que el que corresponde al mínimo número de cifras significativas de los datos. Así, el área de la sección recta de un eje cuyo diámetro es 0,25 cm se midió con la aproximación de una centésima de centímetro, deberá escribirse igual a 0,049 cm 2 y no 0,0491 cm 2 como resultaría al multiplicar los números. Cuando los cálculos conduzcan a pequeñas diferencias entre las cantidades grandes, deberá lograrse una precisión lo mayor posible. Así, será necesario conocer los números 4,2503 y 4,2391 con una precisión de cinco cifras 3
significativas. En algunos cálculos largos suele ser difícil saber al principio el número de cifras significativas que deben tener los datos originales para asegurar una cierta precisión en la respuesta. El orden de las cantidades infinitesimales suele generar confusión a los estudiantes que aplican por primera vez el cálculo diferencial, los infinitésimos de orden superior se pueden siempre despreciar ante los de orden inferior. Por ejemplo, el elemento de volumen V de un cono recto de revolución de altura h y con radio r en la base pueden considerarse como una rebanada circular situada a una distancia x del vértice y de espesor x. puede verificarse que la expresión completa del volumen del elemento se puede escribir de la forma: 2
V
r
h
2
1 2 2 3 x x x x x 3
Puede verse que al pasar al límite de ∆V a dV y de ∆x a dx , los términos en los que figuran (∆x)2 y (∆x)3 desaparecen, quedando simplemente 2
d V
r
h
2
2
x dx
que es una expresión exacta. Al emplear funciones trigonométricas de cantidades infinitesimales conviene llamar la atención acerca de las siguientes relaciones que son ciertas en el límite sen d θ = tg d θ = d θ cos d θ = 1 El ángulo d θ se supone medido en radianes. Al tratarse de ángulos pequeños aunque finitos suele ser conveniente sustituir el seno por la tangente o una de , dichas funciones por el propio ángulo. Estas aproximaciones, sen θ = θ y tg θ = θ equivalen a conservar solamente el primer término del desarrollo de la serie del seno y de la tangente. Si se desea una aproximación mayor habrá que conservar los dos primeros términos de la serie del seno y de la tangente, con lo que se tendrá s en = y tg = . Como ejemplo de primera aproximación para el ángulo, en el caso de 1°, es solamente 0,005%. Para 5° el error es de 0,13%, y para 10° el error es solamente del 0,51%. Análogamente, para ángulos pequeños el coseno podrá expresarse aproximadamente por los dos primeros términos de su desarrollo en serie, lo que nos da cos θ = θ – θ 2/2.
1.7.- Descripción de los problemas de Estática. El estudio de la Estática está dirigido a la descripción cuantitativa de las fuerzas que se ejercen sobre las estructuras de ingeniería. Las matemáticas establecen las relaciones entre las diversas cantidades que intervienen y permiten predecir, a partir de estas relaciones, los efectos que se producen. El estudiante debe reconocer la necesidad de un proceso dual de pensamiento. Debe pensar con arreglo a la situación física y también de acuerdo con la descripción matemática correspondiente. El estudio de todo problema requerirá la transición repetida del
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punto de vista físico al punto de vista matemático. Esta es una gran dificultad para el estudiante, la de vincular los dos procesos mentales. Al construir el modelo matemático idealizado para un problema técnico dado, siempre se harán ciertas aproximaciones. Algunas de estas serán de índole matemática y otras de índole física. Por ejemplo será necesario, a veces, despreciar distancias, ángulos o fuerzas pequeñas comparadas con distancias, ángulos o fuerzas mucho mayores. El estudiante deberá estar constantemente atento a las diversas hipótesis que se hagan para la formulación de los problemas reales, según un modelo matemático. La habilidad de comprender y utilizar las hipótesis apropiadas en la formulación y solución de problemas técnicos es, ciertamente, una de las características más importantes de un buen ingeniero. Las gráficas constituyen también un medio importante de descripción en Mecánica y son útiles en tres aspectos. Primero, permite la representación de un sistema físico sobre un papel mediante un esquema o diagrama. La representación geométrica es vital para la interpretación física y ayuda en gran manera a visualizar los aspectos tridimensionales de muchos problemas. Segundo, las gráficas ofrecen a menudo un medio para resolver relaciones físicas sin recurrir a una solución algebraica. Las soluciones gráficas no solo proporcionan medios prácticos para obtener los resultados, sino que ayudan mucho a realizar la transición del pensamiento entre la situación física y la expresión matemática, pues ambas están representadas simultáneamente. Un tercer empleo de las gráficas es la representación de los resultados sobre diagramas o curvas que constituyen una ayuda incalculable para la interpretación. Como ocurre con todos los problemas técnicos, es esencial un método de ataque eficaz para los problemas. Cada solución deberá seguir un orden lógico de pasos que llevarán de la hipótesis a la conclusión y su representación deberá incluir una exposición clara de las partes siguientes, identificando cada una sin dejar dudas: 1. 2. 3. 4. 5.
Datos conocidos Resultados buscados Diagramas necesarios Cálculos Respuestas y conclusiones.
Además conviene incorporar en el proceso de solución los cálculos intermedios necesarios y suficientes para la comprensión del desarrollo. Debe observarse constantemente la precisión, la homogeneidad dimensional y si son o no razonables las cantidades numéricos en cada término. También es importante que la distribución y el trabajo sean limpios y ordenados. Los desarrollos y soluciones que no puedan ser leídas fácilmente, carecen de valor o poseen muy poco. A veces, los problemas que aparenten ser muy difíciles, con un buen gráfico y orden se simplifican mucho.
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La Estática en particular está basada en una cantidad muy mínima de conceptos básicos, pero implica la aplicación de estos a una enorme diversidad de situaciones. Al aplicar los en un gráfico las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es esencial que el cuerpo esté aislado de los demás cuerpos con los que interactúa, con lo que se podrá construir una relación precisa de todas las fuerzas que actúan sobre este cuerpo. Este diagrama que debe estar en el papel o en la pantalla del ordenador, y en la mente, se llama Diagrama de cuerpo libre (DCL) . Este método es clave para la comprensión de la situación o problema que se está estudiando. El aislamiento del cuerpo separa claramente la causa del efecto. La solución simbólica tiene ventajas por sobre la solución numérica directa de los problemas. La utilización de símbolos permite una comprobación dimensional que puede hacerse paso a paso y permite en los casos de grupos de valores diversos para un mismo problema, y en caso de variantes de un problema realizar los cálculos con muy poca dificultad. Se recomienda, en general, resolver los problemas desde un comienzo en forma simbólica y reemplazar los valores numéricos sólo al final.
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