Mecanica de Solidos II

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

6.5.Deflexiones por el Método de Vereschaguin El método de Vereschaguin o método de multiplicación de los gráficos es un procedimiento importante y muy rápido para calcular deflexiones en puntos libres de sistemas elásticos lineales. El método se basa en una propiedad de la integral definida del producto de dos funciones y en el Segundo Teorema de Castigliano. b

6.5.1) Propiedad de

 f (x) g(x) dx. a

Sean f y g dos funciones integrables en , una de las cuales es función lineal. Requerimos b

calcular I =

 f (x) g(x) dx. a

Escogemos g para definir la función lineal: g(x) = Ax+B.

y

Sea g(x)=Ax+B (función lineal). x

y=f(x) f(x)

a

b

x

Requerimos calcular: I=

y I=

.

y=g(x) a

MECANICA DE SOLIDOS II

b

x

La primera integral significa el Momento Estático del área limitada or la ráfica de f

Ing. José Manuel Vilchez Jara


El segundo sumando integral (B por coeficiente) significa el área bajo la gráfica de f en el intervalo
b>:

A f

.

Luego I  A Q f y



B A f . Pero Q f y

I



A A f ( x )  B A f , expresión que puede escribirse

I



A f  A x  B   A f g(x ) .



A f ( x ) .

Por

lo

tanto

obtenemos

Con lo cual ha sido posible evaluar la integral I, definida en (*). y

b



I= f (x ) g(x) dx .Por la propiedad establecida: a

f

Af CG

I= A f g( x ) . Donde Af es el área de la región del

x

plano x,y limitada por la gráfica de f en el intervalo .

y

es la abscisa del Centro de Gravedad de la región cuya área es Af .

g

x

x Nota

Si ambas funciones son lineales, la propiedad es conmutativa: A f g( x ) = Ag f( x ).

6.5.2) Cálculo de Deflexiones

Consideremos una viga simplemente apoyada, de longitud L=a+b, cuya rigidez flexional es constante EIZ, sometida a flexión por acción de la carga vertical P. P A

Determinamos la energía de deformación por momento flector.

B

a

C

b

Momentos: Pab/L M  MECANICA DE SOLIDOS II

x

Tramo AC

M=Pbx/L 0
(1)



a

ab

1  P 2b2 x 2 U dx  2EIZ  0 L2





 a

2   Pbx    L  P( x  a) dx  . Aplicando el Segundo Teorema de Castigliano,   

encontraremos la flecha en el punto C, Δ C V

C Δ V



U P

. Reemplazando U,

a L 1  Pb2 x 2 dx  Pbx   bx         P ( x a ) ( x a )    dx  . Expresión que puede ser re L  L EIZ  0 L2     0 





escrita de la manera siguiente: a C Δ V



 0

El término

El término

L

Pbx 1 bx L

dx 

EIZ L

 Pbx

  a

L

 1  bx   Px  a  x  a dx   EIZ  L 

Pbx 1 se denomina Momento Flector Reducido en el tramo AC. L EIZ bx L

es la derivada parcial

M P

en el tramo AC.

 Pbx  El término   P x  a se denomina Momento Flector Reducido en el tramo CB.  L   bx  El término   x  a es la derivada parcial L 

M P

en el tramo CB.

Nótese que las derivadas parciales del momento flector con respecto a la fuerza P, en cada caso pueden encontrarse a partir de las ecuaciones de momento flector (ecuaciones (1) y (2)) haciendo en ellas P=1. En consecuencia, éstas derivadas parciales pueden ser determinadas geométricamente, construyendo un diagrama de momento flector por carga unitaria (aplicada en el punto de interés y en la dirección de la deflexión buscada).

1

A a m=bx/L

C ab/L

B

b m= m=

Debido a que los momentos flectores por carga unitaria, en todos los casos definen funciones lineales, siempre podrá ser aplicada la propiedad establecida en la sección anterior para evaluar las integrales que determinan la deflexión buscada.

x MECANICA DE SOLIDOS II



6.5.3) Metodología para Cálculo de Deflexiones 1)

Definición del problema A

Δ V

A

Δ V

P

U  ??? P M M  dx EI  P Z (L ) 



(*)

A

L; EIZ

Los términos del tipo M/EI Z significan los momentos flectores reducidos en los diferentes tramos típicos.

Los términos

M

P

significan los momentos flectores por carga unitaria en cada uno de los

diferentes tramos típicos.

2)

Momentos flectores reales, reducidos y por carga unitaria 1

P A

A

Momento Flector Real

M

m

Momento Flector por Carga Unitaria

Momentos Reducidos


M/EIZ



En todos estos diagramas debe respetarse el signo correspondiente, de acuerdo al convenio de signo para momento flector.

De acuerdo con (*) la deflexión buscada es

A

Δ V



M

  EI (L )

m dx , siendo m una función lineal

Z

(que hace las veces de la función g en la propiedad establecida anteriormente).

3) A

Δ V

Por la propiedad establecida, el cálculo de la deflexión se transforma en 

A 1m(x1 )  A 2 m(x 2 ) , en la cual A1 y A2 están con su respectivo signo.

CG1

CG2

A1

A2

A

Momentos Flectores Reducidos Momentos Flectores por Carga Unitaria

En general, el cálculo de las deflexiones tiene la forma

Δ 

 A im(xi ) , siendo el número de

sumandos igual al número de regiones apropiadas en las que se han dividido ambos diagramas: Momentos flectores reducidos y Momentos flectores por carga unitaria.

El Método de Vereschaguin es también conocido como el método de la Multiplicación de los Diagramas de Momento. Puede generalizarse para ell cálculo de deflexiones por otros efectos como carga axial, cargas de torsión, etc.






EJEMPLO 01: Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en l/2

Aplicación Nº 01: Calcular la flecha en el punto C y el ángulo de giro en el punto B , si EI es

Constante.

SOLUCION

 = ∑   P Pa A

C

B a

a 2a/3

C.G.

(-)

C.G.

Pa / EI

Pa / EI A

(-)

P=1 C

B 3 /

(-) 3

a 2

/ a 5

M=1

A (-)


C

B 1



2 ) + 1 − − 5 ] ∆ = [12 (−  )(−  3 2  3 2 ) + 1 − − 5 ] ∆ = [12 (−  )(−  3 2  3  7  ∆ = 6  ∅ = 0 − 12 (  )1   ∅ = −  

EJERCICIO 02: Calcular el desplazamiento d e l punto B de la siguiente estructura sometida

a una carga distribuida q.




SOLUCION:

METODO DE INTERPRETACION GRAFICA O METODO DE VERESCHAGUIN




Es un método muy similar al método del área de momentos. En este caso, en lugar de la posición del centro de gravedad se utiliza el valor del momento virtual (ante una carga unidad aplicada en B) en dicho centro de gravedad.






EJEMPLO 3: Para calcular el giro en un apoyo de una viga biapoyada, de longitud L, y

sometida a una carga P en el centro de vano, el momento flector M y el momento flector m debido a un par unitario en el extremo se dibujan en la figura 1 y tienen expresiones:

Solución:






EJEMPLO 4. Por el método de Vereschaguin, calcúlese el desplazamiento del punto A para el

caso de la viga de la figura - Construimos el diagrama de los momentos flectores correspondientes a las fuerzas dadas P (figura 199, b). Retiramos después las fuerzas exteriores, aplicamos en el punto A una fuerza unitaria y construimos el diagrama correspondiente

-

(Figura 199, c y d). Hallaremos ahora el producto de los diagramas. En el tramo BC, el área del diagrama de los momentos de las fuerzas dadas es,

-

La ordenada del diagrama unitario, bajo el centro de gravedad del diagrama de los momentos de las fuerzas dadas, será en este tramo,

-

Multiplicando estas magnitudes, hallaremos,




-

El tramo BD no se puede considerar enteramente puesto que, en el diagrama de los momentos de la fuerza unitaria está constituido por una línea quebrada. Tomamos solamente la mitad del tramo, es decir, el segmento AB. Aquí,

Sumando los resultados de las multiplicaciones

obtendremos.

En los tramos situados ala derecha del punto A, de la condición de simetría, se obtiene el mismo resultado. Duplicamos pues la expresión hallada y, una vez dividida por obtendremos el desplazamiento que se busca,



EJEMPLO5. Calcular la flecha en el punto C del sistema mostrado, se considera que

64×10 − .


 =



SOLUCIÓN Primero calcularemos el diagrama del momento flector del sistema. a) Primero calcularemos las reacciones del sistema:

∑ = 0  = 12 + 40 + 12  = 64 ∑ = 0  = 123 +407+ 1211  = 448  − b) Cálculo del gráfico de momento flector: 

0 ≤  ≤ 6 ∑ = 0

Tramo A-B (

 + 448 − 64 +  = 0  = −448+ 64 − = 0 

6 ≤  ≤ 7

Tramo B-C(

∑ = 0  + 448 − 64 +12 −3 = 0  = 64 − 448−12 −3






7 ≤  ≤ 8

Tramo C-D(

∑ = 0  +448 − 64 +12 − 3+ 40 −7 = 0  = 64 − 448 − 12 − 3 −40 −7 

8 ≤  ≤ 14

Tramo D-E(

∑ = 0  +448 −64 +12 − 3+ 40 − 7+  − 8 = 0  = 64 − 448 −12 − 3 −40 − 7−  − 8 Entonces el grafico de momentos nos quedaría:




1. Ahora calcularemos el diagrama de momento flector para una fuerza unitaria en el punto que se analizará la deflexión. a) En este punto solo colocaremos el gráfico, pues la solución de esta es rápida.

2. Para los momentos flectores reducidos tenemos:




3. Calcularemos el Área y los centroides de la gráfica de momentos reducidos.

 64 − 448 −12 − 3 1 = ∫  

1 = 1610 2 1 = 0.02515625  64 −448−12 − 3 −40 − 7 − − 8 2 = ∫   2 = 0.0157859 4. Calcularemos los centroides: a) Para centroide 1:

 64  − 448 − 12 − 3 ∫  = 0.057375 

1 = 2.281




b) Para Centroide 2

 64  − 448 −12 − 3 ∫  = 0.191215 

2 = 12.134 5. Hallaremos los valores de los momentos por carga unitaria:

1 = −0.0048  − 2 = −0.0000544  − 6. Finalmente, el desplazamiento en ese punto será:

∆= 0.002515−0.0048+0.01578−0.0000544 ∆= −0.000121 

EJEMPLO 6. En el sistema de la figura 200, a determinar la separación de los puntos A

originada por la fuerza P.




-

Construimos los diagramas de los momentos de las fuerzas dadas P y de las fuerzas unitarias las aplicadas en los puntos A (figura 200, b y c). Está claro que el producto de los diagramas en los tramos verticales será igual a cero. En el tramo horizontal hallaremos,

-

Y por lo tanto,



Mecanica de Solidos II

Recommend Documents