BANCO DE PREGUNTAS DE MECÁNICA II Problema 1 11.1
El 4
movimiento
de
una
2
x=t −10 t + 8 t+12 , donde
partícula
x y t
se
está
definido
expresan
en
por
metros
la y
relación segundos,
respectivamente. Determine la posición y la velocidad cuando la aceleración de la partícula es igual a cero.
Problema 2 11.2.El
movimiento 3
2
x=2 t −9 t +12 t+10
de
una
donde
partícula
x y
t
está
definido
por
la
se expresan en pulgadas y segundos
respectivamente. Determine la posición, la velocidad, y la aceleración cuando
Problema 3
relación
v =0.
11.8
El 3
movimiento 2
de
x=t −6 t −36 t−40 , donde
una
x
partícula y
t
está
definido
por
la
relación
se expresan en pies y segundos,
respectivamente. Determine a) cuando la velocidad, la aceleración y la distancia total viajada cuando
x=0.
Problema 4 11.39. Cuando un corredor de relevos A ingresa a la zona de intercambio, de 20 m de largo, con una rapidez de 12.9 m/s empieza a desacelerar. Entrega la estafeta al corredor B 1.82 s después, y su compañero deja la zona de intercambio con la misma velocidad. Determine a) la aceleración uniforme de cada uno de los corredores, b) el momento en el que el corredor B debe empezar a correr.
Problema 5 11.41. Los automóviles A y B viajan en carriles adyacentes de una carretera y en t0 tienen las posiciones y velocidades que se muestran en la figura. Si se sabe que el automóvil A tiene una aceleración constante de 1.8 ft/s 2 y que B tiene una desaceleración constante de 1.2 ft/s2, determine a) cuándo y dónde A alcanzará a B, b) la rapidez de cada automóvil en ese momento.
Problema 6
11.40. En una carrera de lanchas, la lancha A se adelanta a la lancha B por 120 ft y ambos botes viajan a una rapidez constante de 105 mi/h. En t =0, las lanchas aceleran a tasas constantes. Si se sabe que cuando B rebasa a A, t = 8 s y vA = 135 mi/h, determine a) la aceleración de A, b) la aceleración de B.
Problema 7 11.89. El movimiento de una partícula se define mediante las ecuaciones x =4t3 – 5t2+5t y y =5t2 – 15t, donde x y y se expresan en milímetros y t en segundos. Determine la velocidad y la aceleración cuando a) t =1 s; b) t =2 s. Problema 8 11.90. El movimiento de una partícula se define mediante las ecuaciones x = 2 cos πt y y =1 – 4 cos 2πt, donde x y y se expresan en metros y t en segundos. Muestre que la trayectoria de la partícula es parte de la parábola que se muestra en la figura y determine la velocidad y la aceleración cuando a) t = 0, b) t =1.5 s.
Problema 9 Un rinoceronte está en el origen de las coordenadas en t 1=0. Para el intervalo t1=0 a t2=12 s, la velocidad media del animal tiene componente x de -3.8 m/s y componente y de 4.9 m/s. En t=12 s. a) ¿Qué coordenadas x y y tiene el rinoceronte? b)¿Qué tán lejos está del origen ?
Problema 10 10.Dada la trayectoria
r ( t ) =( 4 cos ,7 sin t ) ,t ∈ [ 0, 2 π ] . Encuentre:
a)su vector posición b)su vector velocidad instantanea. c)Su vector aceleración instantanea. d)Su velocidad media entre t=0 s y t=2 e)Su aceleración media entre t=0s y t=2s. f)Encuentra su representación como curva en coordenadas cartesianas.
t t 7 sin ¿ ^j ¿ ^ 4 cos ¿ i+¿ r⃗ ( t )=¿
^ ⃗v ( t )=−( 4 sin t ) i+(7 cos t) i^ ^ ⃗a ( t )=−( 4 cos t ) i−(7 sin t ) i^
(
⃗v med = −2.8323
m m , 3.1825 s s
)
(
⃗amed = −1.8186
m m ,−4.9565 2 2 s s
)
x2 y2 + =1 16 49
6
4
2
Problema 11 4
2
2
4
2
11.Dada
la
curva
cartesiana
f ( x )=4 x 3+1 ,
da
su
representación como curva paramétrica y esboza al menos, su gráfica.
4
6
( x ( t ) , y (t) )=( t , 4 t 3 +1 )
a)
200
100
4
2
2
4
100
200
Problema 12
12. Dados los puntos
⃗ P1=(5,2,7)
y
⃗ P2=(−2, 3,4)
recta en su forma vectorial, paramétrica y simétrica. a)Vectorial
⃗ı ( t )=( 5,2,7 ) +t (−7,1,−3 ) b)Paramétrica
x ( t )=5−7 t , y (t )=2+t , z ( t )=7−3 t c)Simétrica
x−5 y −2 z−3 = = =t −7 1 −3
Problema 13
. Encuentra la ecuación de la
Dados los puntos
⃗ P1=( 6,2,7)
y
⃗ P2=(−2, 3,4)
. Encuentre un vector ortogonal (o
perpendicular) a ambos puntos.
´ 1× ⃗ P P 2=(−13,−38,22)
Problema 14 11.94 El movimiento amortiguado de una partícula que vibra se define mediante el vector de posición r =x1(1 – 1/(t +1))i +(y1e-πt/2 cos 2t)j, donde t se expresa en segundos. Para x1 = 30 mm y y1 =20 mm, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando a) t = 0, b)t =1.5 s.
Problema 15 11.95.El movimiento tridimensional de una partícula se define mediante el vector de posición r = (Rt cos ωnt)i + ctj +(Rt sen ωnt)k. Determine las magnitudes de la velocidad y de la aceleración de la partícula.(La curva espacial que describe la partícula es una hélice cónica.)
Problema 16 11.106. Una jugadora de basquetbol lanza un tiro cuando se encuentra a 16 ft del tablero. Si la pelota tiene una velocidad inicial v0 a un ángulo de 30° con la horizontal, determine el valor de v0 cuando d es igual a a) 9 in., b) 17 in.
Problema 17
11.112. La velocidad inicial v0 de un disco de hockey es de 105 mi/h. Determine a) el valor máximo (menor que 45°) del ángulo α para el cual el disco entra en la portería, b) el tiempo correspondiente que se requiere para que el disco llegue a la portería.
Problema 18 11.113.El lanzador en un juego de softbol lanza una pelota con una velocidad v0 de 72 km/h a un ángulo α con la horizontal. Si la altura de la pelota en el punto B es de 0.68 m, determine a) el ángulo α, b) el ángulo θ que forma la velocidad de la pelota en el punto B con la horizontal.
Problema 19 11.115. Un rociador de jardín que descarga agua con una velocidad inicial v0 de 8 m/s se usa para regar un jardín de vegetales. Determine la distancia d al punto B más lejano que será rociado y el ángulo
α
correspondiente cuando a) los vegetales
apenas comienzan a crecer, b) la altura h de la planta de maíz es de 1.8 m.
Problema 20 11.161 La trayectoria de una partícula P es un caracol. El movimiento de la partícula está definido por las relaciones r = b(2 cos ωt) y θ=
ω t, donde t y θ se expresan en
segundos y radianes, respectivamente. Determine a) la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t = 2 s, b) los valores de θ para los cuales la velocidad es máxima.
Problema 21 11.163 La rotación de la varilla OA alrededor de O se define por medio de la relación θ=π(4t2 – 8t), donde θ y t se expresan en radianes y segundos, respectivamente. El collarín B se desliza a lo largo de la varilla de manera que su distancia desde O es r = 10 + 6 sen
π t, donde r y t se expresan en pulgadas y segundos, respectivamente.
Cuando t = 1 s, determine a) la velocidad del collarín, b) la aceleración total del collarín, c) la aceleración del collarín relativa a la varilla.
Problema 22 11.164.La oscilación de la varilla OA alrededor de O se define promedio de la relación
θ=t 3−4 t , donde θ y t se expresan en radianes y segundos, respectivamente. El collarín B se desliza a lo largo de la varilla de manera que su distancia desde O es
r=2.5 t 3−5 t 2 , donde r y t se expresan en pulgadas y segundos, respectivamente. Cuando t =1 s, determine a) la velocidad del collarín, b) la aceleración total del collarín, c) la aceleración del collarín relativa a la varilla.
Problema 23
La rotación de la varilla OA alrededor de O se define por medio de la relación
θ=
3 senπt π
y
t
se expresan en radianes y
segundos, respectivamente. El collarín B se destilza a lo largo de la varilla de manera que su distancia desde O es donde
r y
t
r=6 ( 1−e−2 t )
se expresan en pulgadas y segundos, respectivamente.
Cuando t=1 s, determine a)la velocidad del collarín, b)la aceleración total del collarín.
Problema 24 11.165 El movimiento de la partícula P es la elipse definida por las relaciones r =2/(2 – cos πt) y θ=πt, donde r se expresa en metros, θ en radianes y t en segundos. Determine la velocidad y la aceleración de la partícula cuando a) t =0, b) t = 0.5 s.
Problema 25, 26 11.173 y 11.174 Una partícula se mueve a lo largo de la espiral que se muestra en las figuras; determine la magnitud de la velocidad de la partícula en términos de b,
θ
y
θ´ .
Problema 27,28 11.175 y 11.176 Una partícula se mueve a lo largo de la espiral que se muestra en la figura. Si se sabe que
θ´
es constante y se denota dicha constante mediante
determine la magnitud de la aceleración de la partícula en términos de b,
θ
y
ω , ω .
Problema 29 11.178 El movimiento de una partícula sobre la superficie de un cilindro circular se define por medio de las relaciones r= A,
θ=2 πt
y
A t2 z= 4 , donde A es una
constante. Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier tiempo t.
√
1 v =A 4 π 2+ t 2 , 4
√
a=A 16 π 4 +
1 2
Problema 30
Demuestra que las siguientes matrices son la inversa a una de la otra:
(
)
cosθ −senθ 0 A= senθ cosθ 0 , 0 0 1 SOLUCIÓN 1 0 0 AB = 0 1 0 0 0 1
( )
y
(
cosθ senθ 0 B= −senθ cosθ 0 0 0 1
)
( )
1 0 0 BA= 0 1 0 0 0 1
Problema 31 9.2. Una hélice de avión gira a 1900 rpm (rev/min). a) Calcule su velocidad angular en rad/s. b) ¿Cuántos segundos tarda la hélice en girar 35°?
Problema 32 9.13. Una tornamesa gira con aceleración angular constante de 2.25 rad/s2. Después de 4.00 s gira con un ángulo de 60.00 rad. ¿Cuál era la velocidad angular de la rueda al empezar el intervalo de 4.00 s?
Problema 33
Convierte en las siguientes coordenadas cartesianas a polares, empleando las fórmulas de cambio de coordenadas.
( 4,−4 )
7 a) r=4 √ 2 ,θ= 4 π
rad
Problema 34
Convierte en las siguientes coordenadas cartesianas a polares,
( 3,5 )
empleando las fórmulas de cambio de coordenadas a) r= √ 34 ,θ=1.0303 rad
Problema 35
Un grupo de estudiantes lanza un cohete a en dirección vertical. Con base en los datos registrados, determinan que la altitud del cohete fue de 89.6 pies en la parte del vuelo en la que el cohete aún tenía impulso, y que el cohete aterriza 16 s después. Si se sabe que el paracaídas de descenso no pudo abrir y que el cohete descendió en caida libre hasta el suelo después de alcanzar la altura máxima, y suponiendo que pies g=32.2 2 , determine a) la rapidez v 1 del cohete final del vuelo s con impulso, b)la altura máxima alcanzada por el cohete.
En los siguientes problemas compruebe que la función indicada es una solución explicita de la ecuación diferencial. Suponga un intervalo apropiado I de definición para cada solución. Problema 36
a) 2 y' + y =0 ; y=e
−x 2
Problema 37 b)
dy 6 6 +20 y=24 ; y= − e−20 t dt 5 5
Problema 38
c)
y '' −6 y ' +13 y=0; y=e 3 x cos ( 2 x )
Problema 39
y=4−x2 ,
y=0
( 58 )
( ´x , ´y )= 0,
Problema 40 3 x+2 y=6, y=0, x=0
( ´x , ´y )=
( 23 , 1)
Problema 41 y=e x , y=0, x=0, x=1 1 −1+ ⅇ2 ( ´x , ´y )= , −1+ⅇ 4(−1+ⅇ)
(
Problema 42 1 y= , y=0, x=1, x =2 x
( ´x , ´y )=
1 1 , ( log[2] 4 log[2] )
Problema 43.
y=x 2 , x= y 2
)
( ´x , ´y )=
( 209 , 209 )
Problema 44
y=x +2, y=x 2
( ´x , ´y )=
( 12 , 85 )
Problema 45
y=sin x , y =cos ( x ) , x=0, x=
( ´x , ´y )=
(
π 4
−4 + √ 2 π 1 , 4 (−1+ √ 2) 4(−1+ √ 2)
)
Problema 46
y=x 3 , x + y=2, y =0
( ´x , ´y )=
92 ( 2875 , 105 )
Problema 47
x=5− y 2 , x=0
( ´x , ´y )=( 0,2 ) Problema 48 2
y=x , y =x
( ´x , ´y )=
( 12 , 25 )
Encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región y tiene la función de densidad dada:
Problema 49.
D= { ( x , y )∨0 ≤ x ≤ 2,−1 ≤ y ≤1 } 4 4 m= , ( ´x , ´y ) , 0 3 3
( )
;
ρ ( x , y )=x y 2
Problema 50. D es la región acotada por
1 m= (−1+ⅇ2 ) ; 4
y=e x , y=0, x=0, x=1
( ´x , ´y )=
(
3
4 (−1+ⅇ ) 1+ⅇ2 , 2 2 2(−1+ ⅇ ) 9(−1+ ⅇ )
,
ρ ( x , y )= y
)
Problema 51.
Ix ,I y y I0
Encuentre los momentos de inercia
de la lámina que ocupa la región y tiene la
función de densidad dada por:
D= { ( x , y )∨0 ≤ x ≤ 2,−1 ≤ y ≤1 } I x=
1 (−1+ⅇ 4 ) , I y = 1 (−1+ⅇ2 ) 16 8
ρ ( x , y )=x y
; ,
2
1 1 2 4 I 0 = (−1+ⅇ )+ (−1+ⅇ ) 8 16
Problema 52. Encuentre la masa y el centro de masa del solido E con la función de densidad
ρ(x , y , z)
dada:
E es el cubo dado por
0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤a ,0 ≤ z ≤ a
;
2
2
ρ ( x , y , z )=x + y + z
2
