21-5-2013
Mg.Tc.Ing Carlos Adolfo Loayza Rivas
Chirinos Ñañez, Enrique Abraham Gonzales Martínez, Adriana Del Rocío Paredes Tenorio, Jonatán Edgardo Saavedra Vela, Irwin Paúl Santisteban Santisteban Tepo, Harold Anthony Santisteban Santisteban Tepo, Marco Raúl
Mecánica de Fluidos I
pág. 1
Hasta ahora se ha considerado, para el cálculo de superficies de nivel y de presión en un punto interior de un fluido, que éste se encontraba en reposo, o bien, que podría estar en movimiento uniforme, sin ninguna aceleración. Sin embargo, cuando el fluido se encuentra en el interior de un recipiente, sin ocuparlo en su totalidad, y por lo tanto, con completa libertad de movimiento para desplazarse por el interior del mismo, y el recipiente se mueve con un movimiento acelerado o retardado, se observa que el líquido va tomando una cierta inclinación que depende de la aceleración a que se halla sometido el sistema. Para su estudio supondremos un deposito prismático con una cierta cantidad de líquido; una partícula del mismo estará sometida a tres tipos de fuerzas, es decir, la fuerza debido a la aceleración del movimiento ,la fuerza debida a la aceleración de la gravedad y fuerza que hacer girar a los líquidos en su eje vertical
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El principio de D’Alembert, enunciado por Jean D’Alembert en su obra maestra Tratado de dinámica de 1743, establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinámico. Esta relación se puede expresar matemáticamente mediante la ecuación diferencial,
Es un recurso muy conveniente en problemas de dinámica estructural porque permite expresar las ecuaciones del movimiento como ecuaciones de equilibrio dinámico. La fuerza dinámica p (t) puede representar muchos tipos de fuerzas actuando sobre la masa: apoyos elásticos que se oponen a los desplazamientos, fuerzas viscosas que resisten velocidades y fuerzas externas definidas independientemente. En el presenta tema este principio es fundamental ya que nos permitirá establecer un equilibrio de los fluidos y estudiar su comportamiento.
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Considérese un líquido contenido en un recipiente y que este recipiente se desplaza con una aceleración horizontal constante. En tales circunstancias la superficie libre se inclina; una partícula líquida continua en reposo con respecto a otra
y
con respecto
a las paredes del recipiente, de modo que no hay rozamiento entre ellas y el estudio de la repartición de presiones puede hacerse con los principios hidrostáticos.
Se presentan tres casos do interés: a) aceleración horizontal constante; b) aceleración vertical constante; c) rotación alrededor de un eje vertical, a velocidad angular constante.
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I
∫ ∫ ∫
4
() Para un punto cualquiera
∫ ∫ ∫ Si por un punto trazamos una paralela a la superficie liquida vamos a tener una superficie de nivel o presión constante.
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II
Sobre una partícula M de la superficie libre inclinada actúan fuerzas
las
dos
siguientes:
* El peso W, vertical; * La fuerza F ejercida por las partículas adyacentes, perpendicular a la superficie libre desde que no hay fricción; puesto que la resultante de estas dos fuerzas debe ser horizontal se forma un triángulo rectángulo:
a La inclinación es pues constante y su valor en un lugar sólo depende de la aceleración que se da al recipiente. En cuanto a la distribución de presiones, el prisma elemental líquido sombreado está en equilibrio:
∑ 6
Es decir, las superficies de igual presión son paralelas a la superficie libre cono en la hidrostática. La superficie libre inclinada representa el diagrama de presiones en el fondo del recipiente y las caras frontal y posterior sufren fuerzas diferentes.
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I
̅ x0
y
-z P
Aceleración efectiva del movimiento, pero cambiada de signo. (D´Alembert)
∫ ∫
8
Cuando
Entonces,
Cuando sea acelerado y hacia abajo.
Presión Total (relativa)
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II
La aceleración vertical puede ser ascendente o descendente. En un prisma elemental vertical cualquiera en el interior del líquido se verifica:
Es decir, por efecto del movimiento ascendente del recipiente la presión en todos los puntos del líquido aumenta con relación a la presión con el recipiente en reposo. Este efecto es el mismo que experimenta el pasajero de un ascensor durante la subida. Para la aceleración vertical descendente se obtiene:
Es decir, si se deja caer el recipiente no hay variación en la presión: P2 = P1. En ambos casos de aceleración vertical las superficies de igual presión resultan horizontales y por eso paralelas entre sí.
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Cuando se le somete a una velocidad angular, la superficie del líquido va cambiando. Cuando constante; entonces la superficie toma una forma parabólica.
Fuerza centrípeta.
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∫∫ ∫∫ En el caso de considerar presiones relativas
Considerando de la presión en la superficie
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Ejercicio Nº1:
Un tanque de sección transversal rectangular (6 x 1 m) está lleno de agua hasta los 4m de altura y está unido a un peso Q= 60000 kg por medio de una cuerda flexible y inextensible que pasa por una polea. El coeficiente de rozamiento entre el tanque y la superficie horizontal es f=0.6 y todos los demás rozamientos son despreciables. Hallar la presión en un punto del tanque situado a 1m sobre el punto A de la figura. Despreciar el peso propio del tanque.
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SOLUCION:
Como
; y llamando T la tensión de la cuerda, se tendrá por el diagrama de
cuerpo libre que corresponde al peso Q:
En el diagrama del tanque:
Teniendo en cuenta que la NORMAL (N) es igual al peso del tanque (24000 kg ) entonces podremos hallar la fuerza que se opone al movimiento del Tanque ( Fr ) entonces:
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Ahora tenemos que:
Sumando (1) con (2).
Despejando:
Por Euler se tiene:
Donde:
⁄ Reemplazando en (3) e integrando para los puntos (B-0)
∫ ∫ ∫
Sobre elevación del nivel de agua en la vertical levantada en A.
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Luego la presión en M será:
Tendremos 4.635 de columna de agua, entonces la presión será:
⁄ ⁄
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Ejercicio Nº2:
¿Cómo varían las presiones en el seno de la masa liquida contenida en el recipiente que se mueve verticalmente para los siguientes datos?: a. b. c. d. e.
Cuando sube con una aceleración a=4.9 m/seg2 Cuando baja con una aceleración a=4.9 m/seg2 Cuando el depósito cae. Cuando el depósito suba con una retardación igual a la gravedad. Cuando el depósito suba con una aceleración igual a la gravedad.
Solución Resolviendo el problema de una manera general: Por la ecuación de Euler se tiene:
Donde: ax = 0 ay = 0 az = -g – (± a) 18
Reemplazando estos datos en la ecuación de Euler e integrando:
∫ ∫ Dividiendo ambos miembros entre g:
Como
= peso específico = , se tiene despejando la presión: ( )
Reemplazando (1) en la expresión general para todos los casos: Caso a:
( ) Caso b:
( ) Caso c: Cuando el depósito cae a= -g
Caso d: Cuando el depósito suba con retardación a= -g
Caso e: Cuando el depósito suba con aceleración igual a la gravedad a= g 19
( ) ( ) () Ejercicio Nº3:
Un vaso cilíndrico de 2.50m es llenado con agua hasta los dos metros. El diámetro del vaso es 1.40. Hallar la velocidad angular y las revoluciones por minuto (R.P.M) que harán elevar el agua hasta los bordes del vaso.
SOLUCION DATOS:
Como el agua no se ha perdido:
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Ejercicio Nº4:
Determinar el ángulo que forma la superficie del líquido contenido en un tanque “A” con la horizontal, si el tanque desciende por razón de su propio peso, por un plano inclinado a 30º con la horizontal. El descenso del tanque “A” que pesa 600 Kg.f, produce el ascenso de otro menor, cuyo peso es de 200 Kg.f. El coeficiente de fricción entre el fondo de ambos tanques y la superficie del plano inclinado es u=0.25 z
β
0
x A (x1,-z1)
200 Kg
600 Kg
30º
30º
Solución: N’
N
T T
β x
u.N
200 sen30
600 sen30
200 sen30 600 cos30
u.N’ 200 Kg
600 Kg
30º
ax 30º
Az
Como
a
, tengo para el tanque “A” de 600 Kg:
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Para el tanque de 200 Kg:
Sumando (1) y (2):
Que de acuerdo con el teorema de D’ Alambert , debe ser considerada con signo contrario; las proyecciones de la aceleración sobre los ejes X, Y, Z son:
Reemplazando estas aceleraciones con la ecuación de Euler, o integrando:
∫ ∫ ∫ De donde:
) ( 23
