“Año de la Promoción de la Industria Responsable y del Compromiso Climático” FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y URBANISMO
Escuela Profesional de Ingeniería Civil TRABAJO
:
Movimiento plano de los fluidos.
ASIGNATURA
:
Mecánica de Fluidos I
PROFESOR
:
Mg. Carlos Adolfo Loayza Rivas
CICLO
:
IV
SECCIÓN
:
“C”
INTEGRANTES
: GÓMEZ CÓRDOVA, MIGUEL ANTHONY GUEVARA DÍAZ, VICTOR DANIEL SALAZAR TELLO, ANGHELO ALEXIS TANTARICO VÁSQUEZ, MARIO LILIAN. TERRONES RIVASPLATA, ERICK JEISON VASQUEZ RAMIREZ, WILY
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1. EJERCICIOS 1.1.
EJERCICIO N° 1
Un flujo potencial está definido por la función ∅ = y2 – x2. Determinar la función de corriente y obtener la magnitud del caudal circulante entre los puntos P 1 = (8,1) y P2 = (4,4). Solución Para determinar la función de corriente se aplican las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por lo tanto, utilizando una de las expresiones presentadas en la ecuación resulta que 𝜕ψ 𝜕y
=-
𝜕∅
𝜕
= − [y2 – x2] = - (- 2x)= 2x
𝜕x
𝜕x
Por lo tanto, al realizarla integración se obtiene que la función de corriente es igual que Ψ = 2xy + f(x) De igual forma, haciendo uso de la segunda expresión de las ecuaciones de Cauchy-Riemann se obtiene que −
𝜕ψ 𝜕x
=-
𝜕∅ 𝜕y
El primer término de esta igualdad produce lo siguiente: −
𝜕ψ 𝜕x
𝜕
= − [2xy + f(x)] = - 2y + f ’(x) ….. (a) 𝜕x
El segundo término genera la relación: -
𝜕∅ 𝜕y
=−
𝜕 𝜕y
[y2 – x2] = -2y ……. (b)
Por lo tanto, al igualar las expresiones (a) y (b) se obtiene que f ‘(x) = 0 f (x) = C Así, la función de corriente queda definida por la expresión Ψ = 2xy + C Para calcular la constante C, supóngase que para el punto de origen x = y = 0 la función es cero por lo que C = 0. También, para el punto 1 donde x = 8 e y = 1, la función de corriente es igual que 16 unidades de caudal por unidad de longitud en z mientras que para el punto 2 (x=4, y=4) la función de corriente es igual que 32 unidades El caudal circulante entre los punto p1 y p2 Q = Ψ2 - Ψ1 = 32 – 16 = 16[
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
]
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1.2.
EJERCICIO N° 2
Un flujo de dos dimensiones estable cuyo campo de velocidades está dada por: A=x (1+2T), V=y encuentre la variación del tiempo de las líneas de flujo del cual circulan cuyo punto de referencia es (𝑿𝟎 , 𝒀𝟎 ). SOLUCIÓN: DATOS: A=x (1+2T) V=y P (𝑋0 , 𝑌0 ). 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑢 𝑉 Reemplazando “u” y “V”
𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥 (1 + 2𝑇) 𝑦 𝑑𝑥
∫ 𝑥 (1+2𝑇 ) = ∫
𝑑𝑦 𝑦
1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ∫𝑥 = ∫𝑦 1 + 2𝑇 1 log 𝑥 = log 𝑦 + 𝑐 1 + 2𝑇 1 log 𝑥 = log 𝑦 + log 𝑐 1 + 2𝑇
log 𝑥
1 ( 1+2𝑇 )
𝑥
= log 𝑐𝑦
1 = 𝑐𝑦 ( 1+2𝑇 )
y=
1 𝑐
𝑥
y=c 𝑥
1 ( 1+2𝑇 ) 1 ( 1+2𝑇 )
Haciendo:
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y = 𝑦0 X = 𝑥0
𝐶𝑥0
𝑦0 =
1 ( 1+2𝑇 )
𝑦0 𝑥0
1 ( 1+2𝑇 )
𝑦0
Y= 𝑥0
1 ( 1+2𝑇 )
Y = 𝑦0 =
=C
∗ 𝑥0 𝑥0 𝑥0
1 ( 1+2𝑇 )
1 ( 1+2𝑇 ) 1 ( 1+2𝑇 )
Respuesta
Y = 𝑦0 * (𝑥𝑥0 )
1 ( 1+2𝑇 )
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1.3.
EJERCICIO N° 3
Para un flujo en el plano (x, y) la componente “y” de la velocidad es v = 𝑦 2 – 2x + 2y determinar una posible componente en “x” para un flujo estable en compresión 1. Teniendo la componente “Y” de la velocidad : v = 𝑦 2 – 2x + 2y 2. Se deriva la velocidad dada : 𝑑𝑣 = 2𝑦 + 2 𝑑𝑦 3. Derivamos con respecto a “x , y” e igualamos a “0” 𝑑𝑢 𝑑𝑣 + =0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 4. Remplazamos la derivada de la velocidad 𝑑𝑢 𝑑𝑣 =− 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = −(2𝑦 + 2) 𝑑𝑥 5. Integramos 𝑑𝑢 = −(2𝑦 + 2) 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑢= ∫ − (2𝑦 + 2)𝑑𝑥
𝑢 = − (2𝑦 + 2)𝑥 + 𝑐 Para condiciones iníciales, considerando que el origen entonces X= 0, Y = 0 por lo tanto c = 0
𝑢 = − (2𝑦 + 2)𝑥 𝑢 = −2𝑥𝑦 − 2𝑥
Componente «x» para un flujo estable en compresión 6. como ya determinamos una nueva componente, determinamos una velocidad en el plano (x, y)en términos de vectores unitarios «𝑖̅ , 𝑗̅» V (x, y) = (- 2xy – 2x) 𝑖̅+ (𝑦 2 – 2x + 2y) 𝑗̅ 𝑚⁄𝑠
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1.4.
EJERCICIO N° 4
Se tiene el siguiente campo de velocidades; V 6x 2 yzi 8xy 2 z j W k Hallar el componente W, sabiendo que para Z = 0; se tiene W = 0 y que la divergencia de dicho campo es 40 xyz. Solución
V 40 xyz
j k iVx j Vy k Vz i y z x
Vx Vy Vz 40 xyz x y z
V 6x 2 yz 8xy 2 z z 40 xyz x y z
12xyz 16xyz
Vz 40xyz z
Vz 12xyz z
Vz 12xyz z
Vz
0
z
Vz 12xy zz 0
z2 Vz 12xy 2
Vz 6 xyz2
W 6 xyz 2
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EJERCICIO N° 5
1.5.
La función corriente de un flujo en dos dimensiones esta dado por 𝜓= 9+6𝑥 − 4𝑦+7𝑥𝑦 .Encuentre la función de potencial de la velocidad para este flujo solución 𝜙: Función potencial en el plano (𝑥𝑦). 𝜙1: Función potencial en el plano"𝑦". 𝜙2: Función potencial en el plano"𝑥". ∴ 𝜙 = 𝜙1+ 𝜙2 De las ecuaciones de Cauchy - Rieman en coordenadas rectangulares: Vx =
𝜕𝜓 𝜕𝑦
𝜕𝜙
= − 𝜕𝑥
𝜕𝜓
𝜕𝜙
Vy = − 𝜕𝑥 = − 𝜕𝑦 Luego:
Vx =
𝜕𝜓 𝜕𝑦
𝜕𝜙
= − 𝜕𝑥 = −4 + 7𝑥
Vx = −4 + 7𝑥 = −
𝜕𝜙 𝜕𝑥
− ∫ 𝜕𝜙 = ∫(−4 + 7𝑥) 𝜕𝑥 𝑦2
𝜙1 = 4𝑥 − 7( 2 ) + C1 Función potencial para el eje "𝑦"(la constante es con respecto al eje "𝑥") y C1=C1(𝑥). 𝜕𝜓
𝜕𝜙
Vy = − 𝜕𝑥 = − 𝜕𝑦 = −6 − 7y 𝜕𝜙
Vy = −6 − 7y = − 𝜕𝑦
∫ 𝜕𝜙 = ∫(6 + 7𝑦) 𝜕𝑦 𝑥2 2
𝜙2 = 6𝑦 + 7( ) + C2 Funcion potencia para el eje "𝑥" (la constante es con respecto al eje "𝑦" ) y C2 = C2(𝑦) 1
∴ 𝜙 = 𝜙 1+𝜙2 = 4𝑥 + 6𝑦 + 2 (𝑦 2 −𝑥 2 ) + C 1
1
𝜙 = 2 4𝑥 + 6𝑦 + 2 (𝑦 2 −𝑥 2 ) ……Ecuación genérica de potencia.
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1.6.
EJERCICIO N°6
Dado un campo de flujo, cuyo potencial () está dado por = axy, para un flujo plano
Hallar la función corriente para esta función Solución
De las ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenada rectangulares:
Función corriente para el eje “y” (la constante es con respecto al eje “x”) y C1 = C1(x)
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Función corriente para el eje “x” (la constante es con respecto al eje “y”) y
𝛹 = 𝛹1 + 𝛹2 𝑦2 𝑥2 𝛹 = −𝑎 + 𝐶 1 + 𝑎 + 𝐶2 2 2 1 𝛹= 𝑎 (𝑥 2 − 𝑦 2 ) + 𝐶 2 1 𝛹= 𝑎 (𝑥 2 − 𝑦 2 ) 2
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