MECANICA DE FLUIDOS I Juan Chamorro González Departamento de Metalurgia Universidad de Atacama
PRESIÓN Y MANOMETRÍA
La Presión El término presión se usa para indicar la fuerza normal por unidad de área en un punto dado que actúa sobre un plano específico dentro de la masa de fluido de interés.
La presión en un punto Considere el diagrama de cuerpo libre obtenido al eliminar una cuña triangular de fluido de alguna ubicación dentro de una masa de fluido.
La presión en un punto Como no hay esfuerzos cortantes, las únicas fuerzas externas que actúan sobre la cuña se deben a la presión y al peso. Las ecuaciones de movimiento (Segunda Ley de Newton, F = m a) en las direcciones Y y Z son, respectivamente:
δX ⋅ δY ⋅ δZ ∑ FY = pY ⋅ δX ⋅ δZ − pS ⋅ δX ⋅ δS ⋅ senθ = ρ 2 ⋅ aY δX ⋅ δY ⋅ δZ δX ⋅ δY ⋅ δZ F = p ⋅ δ ⋅ δ − p ⋅ δ ⋅ δ ⋅ cos θ − γ ⋅ = ρ ⋅ aZ ∑Z Z X Y S X S 2 2 Donde pS, pY y pZ son las presiones medias sobre las caras, γ y ρ el peso específico y la densidad del fluido, respectivamente y aY, aZ son las aceleraciones.
La presión en un punto Para obtener la fuerza generada por la presión es necesario multiplicar la presión por un área adecuada. Según la geometría de la cuña, se tiene:
δY = δS ⋅ cos θ
δZ = δS ⋅ senθ
Por lo q que las ecuaciones de movimiento se p pueden escribir como:
pY − pS = ρ ⋅ aY ⋅
δY 2
pZ − pS = ( ρ ⋅ aZ + γ) ⋅
δZ 2
Como interesa lo que sucede en un punto, se considera el límite cuando δX, δY y δZ tienden a cero, se concluye que:
pY = pS
PZ = pS
La presión en un punto Es decir:
pS = pY = pZ
Según lo anterior se concluye que:
LEY DE PASCAL : La presión en un punto de un fluido en reposo, o en movimiento, es independiente p de la dirección en tanto no haya y esfuerzos cortantes
Este instrumento consta de una esfera hueca de vidrio provista de pequeños orificios abiertos en varios puntos de su superficie. superficie Empujando por medio de un émbolo el agua contenida en el interior de esta esfera se aprecia su salida a través de los orificios con velocidad uniforme (pequeños chorritos de igual intensidad), lo que evidencia el principio de Pascal, es decir, que "la presión
ejercida j id a un líquido lí id encerrado d dentro d t d de un recipiente i i t se ttransmite it por iiguall a todos los puntos del fluido y a las propias paredes del mismo".
Propiedades p de la presión p • La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas direcciones. • La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma. • En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior, una p parte del fluido con la otra contigua g el mismo tiene la dirección normal a la superficie de contacto. • La fuerza de presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior el fluido, es decir, es una compresión, no una tracción. horizontal a menos que • La superficie libre de un líquido siempre es horizontal, existan fuerzas externas que influyan.
Presión absoluta y manométrica La presión de referencia es la atmósfera y la presión resultante que se mide se conoce como presión manométrica. La presión que se mide en relación con el vacío perfecto se conoce como presión absoluta. La relación entre la presión absoluta, presión atmosférica y presión manométrica é i ((o presión ió relativa) l i ) es:
pabsoluta = pmanométrica + patmosférica
La p presión atmosférica La presión atmosférica se lleva a cabo con un barómetro de mercurio (Exp i n i de (Experiencia d Evangelista E n list T Torricelli i lli en 1644)
patmosférica = h + pvapor La presión de vapor del mercurio por ser muy pequeña (0,000023 psi absolutos a 68 ºF º ) puede ignorarse, por lo que:
patmosféric =h t fé i a
Evangelista Torricelli (1608 -1647)
En 1643 realizó el descubrimiento del principio del barómetro, por el que pasó a la posteridad, que demostraba la existencia de la presión atmosférica atmosférica, principio posteriormente confirmado por Pascal realizando mediciones a distinta altura. La unidad de presión torr (presión ejercida por una columna de un milímetro de mercurio, es decir 1/760 atmósferas ) se nombró en su memoria. Enunció, además, el teorema de Torricelli, de importancia fundamental en hidráulica.
La presión manométrica La presión manométrica se mide con respecto a la presión atmosférica local. Una p presión manométrica de cero corresponde p a una presión p que q es i igual l a lla presión ió atmosférica fé i local. l l Los dispositivos para medir presión se denominan manómetros (de tubo en U y de Bourdon)
El manómetro de tubo en U
Una técnica U té i normall para medir di lla presión ió hace h uso de d columnas l de d líquido en tubos verticales o inclinados.
Medida de la presión arterial: Un manómetro conocido es el que utilizan los médicos para presión arterial. determinar la p Consiste en un cojín que se coloca alrededor del brazo, y que se infla hasta ejercer una presión superior a la presión arterial del brazo. Luego se desinfla lentamente. El manómetro de mercurio entrega dos valores en mm mm-Hg: Hg: la presión más alta o sistólica y la presión más baja o diastólica.
El manómetro de Bourdon Un dispositivo para medir presión que se utiliza ampliamente p es el medidor de p presión de tubo de Bourdon.
Transductores de presión
Di Dispositivo iti que convierte i t la l presión ió en una salida lid eléctrica. lé t i Por ejemplo: j p cuando se requiere q controlar continuamente una presión ó que cambia con ell tiempo.
Algunos conceptos básicos • Un vacío perfecto es la presión más baja posible. Es decir, una presión absoluta siempre será positiva. • Una presión manométrica que esté por encima de la presión atmosférica es positiva. • Una presión manométrica que esté por debajo de la presión atmosférica es negativa g (presión p de vacío). • La magnitud real de la presión atmosférica varía con el lugar y con las condiciones climatológicas. • A nivel del mar, la presión atmosférica estándar es de 101.325 pascales (absoluta) = 14 14,69 69 psi (absoluta). (absoluta)
Presión absoluta y manométrica La p presión p se define f como la f fuerza F q que se ejerce j sobre un área unitaria A de una sustancia. Se calcula a partir de:
F p= A
En ell Sistema S.I. se expresa en pascales E l (= ( N/m / 2) , mientras que en el Sistema Inglés se expresa en lb/pulg2 = p psi ((del inglés: g pound p u per p square qu inches))
Variación de la presión en un fluido en reposo Superficie del fluido
∑F
H
=0
Variación de la presión en un fluido en reposo Superficie del fluido F2 = p2A
A
(p1+dp) = p2
z2
w
p1
dz, dp
z1
F1 = p1A
Peso esp. fluido = γ
∑F
v
= F1 - F2 - w = 0
p1 × A - (p1 + dp) × A - γ × A × dz
=
0
dp = - γ dz Ecuación fundamental para fluidos en reposo (se puede utilizar para determinar la forma en que la presión cambia con la elevación). presión disminuye y a medida que q se efectúa un desplazamiento p La p ascendente en un fluido en reposo. p el gradiente de presión p en la dirección Para líquidos y gases en reposo, vertical en cualquier punto del fluido depende sólo del peso específico del fluido en dicho punto.
Fluido Incompresible Para líquidos suele ser insignificante la variación de la densidad, inclusive sobre grandes distancias verticales, de modo que cuando se trata con líquido es aceptable la suposición de que el peso específico es constante. t t P Por lo l que la l ecuación ió anterior t i puede d integrarse i t como: p2
Z2
p1
Z1
dZ ∫dp = -γ ∫
p2 − p1 = − γ ⋅ ( Z2 − Z1 ) p1 = p2 + γ ⋅ ( Z2 − Z1 )
p1 = p2 + γ ⋅ h En un fluido incompresible en reposo la presión varía linealmente con la profundidad.
Dentro de un fluido dos puntos A y B tienen la misma presión si: 1) El fluido se encuentra en reposo 2) Los puntos A y B se encuentran al mismo nivel 3) Los puntos A y B están dentro de la misma masa contínua de fluido.
La diferencia f de p presión entre dos p puntos puede p especificarse mediante la distancia h, es decir:
p1 − p2 h= γ En este caso h se denomina cabeza o carga de presión y se iinterpreta como la l altura l que debe d b medir di una columna l de fluido de peso específico γ para obtener una diferencia de p presión p1-p p2 . Por ejemplo, una diferencia de presión de 10 psi se puede especificar en términos de la carga de presión como 23,1 pies de agua (γ (γ= 62,4 lb/pie3) o como 518 mm-Hg (γ=133 kN/m3)
La paradoja de Pascal Cuando se trabaja con líquidos a menudo hay una superficie libre (que es conveniente usar como plano de referencia). referencia) La presión de referencia po corresponde a la presión que actúa sobre la superficie libre (que suele ser la presión atmosférica).
El cambio de presión depende solamente del cambio de elevación y del tipo de fluido, no del tamaño ni de la forma del contenedor donde se encuentra el fluido. La presión es la misma en todos los puntos a lo largo de la recta A-B
La paradoja de Pascal
El requisito de igualdad de presiones a elevaciones iguales se aplica en prensas hidráulicas, hidráulicas en controles hidráulicos de aviones y en ciertos tipos de maquinaria pesada.
El efecto de los cambios de elevación suele ser insignificante para éste tipo de dispositivo hidráulico, por lo que resulta F2=(A2/A1)F1.
Fluidos Compresibles Los gases son fluidos compresibles (aire, oxígeno, nitrógeno, etc) cuya densidad varía de manera significativa con cambios de presión y de temperatura. temperatura L pesos Los p específicos p f de gases g comunes mu son pequeños p qu en comparación con los de los líquidos. Por ejemplo, a nivel del mar y a 60 ºF el peso específico del aire es de 0,0763 lb/pie3 mientras que el del agua agua, en las mismas condiciones, condiciones es de 62,4 lb/pie3. El gradiente de presión en la dirección vertical es pequeño por lo que es posible ignorar el efecto de los cambios de elevación sobre la presión en gases contenidos en depósitos, depósitos balones de gas, tuberías, etc.
Fluidos Compresibles En el caso en que la variación de altura es grande, del orden de miles de pies, es necesario considerar el peso específico del gas. La ecuación de estado de los gases ideales establece que:
p⋅V = n⋅R⋅ T m p⋅V = ⋅R⋅ T PM p=
m R ⋅ ⋅T V PM
p = ρ ⋅ R∗ ⋅ T
La ecuación fundamental de fluidos en reposo (dp=-γdZ) puede combinarse con la ecuación anterior:
dp g⋅p = −γ = − * dZ R ⋅T
Al separar variables se tiene:
dp g ⋅ dZ =− * p R ⋅T p2
⎛ p2 ⎞ dp g ⎜ ⎟ = ln = − * ∫p p ⎜p ⎟ R 1 ⎝ ⎠ 1
Z2
dZ ∫Z T 1
Si la temperatura p se considera constante T = T0 ((condiciones isotérmicas) se concluye que:
⎡ g ⋅ ( Z2 − Z1 ) ⎤ p2 = p1 ⋅ exp ⎢− ⎥ * R ⋅ T 0 ⎣ ⎦
Manometría Piezómetro Consiste en un tubo vertical, abierto en la parte superior, conectado al recipiente en que se desea medir la presión. Como A y 1 están al mismo nivel, PA= P1 Por lo que: PA= γ h1 Se utiliza solo si la presión en el recipiente es mayor que la presión atmosférica (en caso contrario aspiraría aire). La presión a medir debe ser relativamente pequeña (de modo que la altura de la columna de fluido sea razonable). Se aplica solo a los líquidos.
Manómetro simple de tubo en U El fluido del manómetro se llama fluido manométrico (puede ser Hg CCl4, aceite Hg, aceite, agua agua, etc etc.)) En la configuración mostrada se cumple que: pA = p1 y p2 = p3. Además, p2 = p1 + γA h1 y p3 = p0 +γmanómetro h2
Es decir: pA = γmanómetro h2 – γ1 h1
Manómetro simple de tubo en U La ventaja del tubo en U es que el fluido manométrico puede ser distinto al fluido que se quiere med r. medir. Se aplica en líquidos y en gases. Si el fluido en A fuera un gas, se tiene que pA = p2, por lo que: pA = γmanómetro h2 Si la presión en A es grande, se debe usar un fluido manométrico pesado (por ejemplo Hg) para tener una columna de fuido no demasiado grande. presión en A es pequeña, p q se debe Si la p usar un líquido manométrico más ligero, para tener una columna de fluido que se pueda leer.
Manómetro diferencial de tubo en U Se usa para medir la diferencia de presión que hay entre dos recipientes o dos puntos de un ssistema stema dado.
Dos líquidos manométricos comunes son agua y mercurio. Ambos poseen un m menisco nisc bi bien nd definido finid y propiedades bien conocidas. El fluido manométrico debe ser inmiscible con los demás fluidos con los que esté en contacto. Para obtener mediciones exactas es necesario medir la temperatura, ya que los diversos pesos específicos de los fluidos manométrica varían con ella.
Manómetro de tubo inclinado
Manómetro de tubo inclinado
Se usa para medir pequeños cambios de presión. presión
Una rama del manómetro está inclinada en un ángulo Θ y la lectura diferencial l2 se mide a lo largo del tubo inclinado La diferencia de presión entre los puntos A y B está dada por: pA - pB = γ2 l2 senθ + γ 3 h3 - γ1h1
Para ángulos relativamente pequeños, la lectura diferencial a lo largo del tubo inclinado se puede hacer grande incluso para pequeñas diferencias de presión. El manómetro de tubo inclinado se usa para medir pequeñas diferencias de presión en gases, así si los tubos A y B contienen un gas, entonces: pA – pB = γ2 l2 senθ
Es decir :
l2 =
p A - pB γ2 senθ
La lectura diferencial del manómetro de tubo inclinado se puede incrementar por un factor f t d de 1/ 1/senθ θ sobre b la l que se obtiene bti con un manómetro ó t de d ttubo b en U convencional.
Medidores de presión de aire Constan de un cilindro en cuyo extremo se ubica la válvula de entrada del aire, mientras que el otro extremo está sellado. En el interior del cilindro existe una regla móvil que sale hacia el exterior del extremo sellado por la acción de la presión donde esta regla es graduada y se observa la medición por lectura directa. Una de las aplicaciones prácticas es la medición de la presión de aire en los neumáticos y compresores de aire.
Ejercicios
Ejercicio 1) El lago de una montaña tiene una temperatura media de 10 ºC y una profundidad p máxima de 40 m. Para una presión p barométrica de 598 mm-Hg, determinar la presión absoluta (en pascales) en la parte más profunda del lago. 3 y γ Datos: a 10 ºC C, γHg 9 804 kN/m3 H = 133 kN/m agua = 9,804
Respuesta: 472 kPa (absoluta)
Ejercicio 2) Un depósito cerrado contiene aire comprimido y aceite (GEaceite=0,90). Al depósito se conecta un manómetro de tubo en U con mercurio (GEHg=13,6). =13 6) Para las alturas de columna h1=36 pulgadas, pulgadas h2 = 6 pulgadas y h3 = 9 pulgadas, determine la lectura de presión en el manómetro (en psi). Datos: γagua,4ºC = 62,4 libras/pie3 Respuesta: pmanométrica = 3,06 psi
Ejercicio 3) Un depósito se construye con una serie de cilindros que ti n n diám tienen diámetros t sd de 0 0.30 30 , 0 0.25 25 y 0 0.15 15 m m. El d depósito pósit contiene nti n aceite, it agua y glicerina, y en el fondo se conecta con un manómetro de mercurio. Calcular la lectura h del manómetro.
Respuesta: 0,0327 0 0327 m
Ejercicio 4) El caudal que pasa por una tubería se puede determinar por medio de una tobera situada en la tubería. La tobera crea una caída de presión, p , pA-pB, a lo largo de la tubería que está relacionada con el flujo a través de la ecuación Q = K √(pA-pB), donde k es una constante que depende de la tubería y del tamaño de la tobera. (a) Determinar una ecuación para pA-p pB, en términos de los pesos específicos del fluido y del manómetro y de las diversas alturas indicadas. (b) Para γ1 = 9,80 kN/m3, γ2=15,6 kN/m3, h1= 1,0 m y h2= 0,5 m. ¿cuál es el valor de la caída de presión pA-pB ?
Respuesta:: Respuest (a) pA-pB = h2(γ2-γ1) (b) 2,90 kPa
Ejercicio 5) Un manómetro de tubo en U se conecta a un depósito cerrado d que contiene i aire i y agua. E En ell extremo cerrado d del d l manómetro ó la l presión de aire es de 16 psia. Determinar la lectura en el indicador de presión para una lecura diferencial de 4 pies en el manómetro. Expresar la respuesta en psig. Suponer la presión atmosférica normal e ignorar el peso de las columnas de aire en el manómetro.
Respuesta: 4,68 psig
Ejercicio 6) Para el manómetro de tubo inclinado de la figura, la presión en el tubo A es de 0 0,8 8 psi psi. El fluido en ambos tubos A y B es agua agua, y el fluido en el manómetro tiene tiene une densidad relativa de 2,6. ¿Cuál es la presión en el tubo B correspondiente a la lectura diferencial que se muestra?
Respuesta: p 0,424 psi p
Ejercicio 7) Pequeñas diferencias de presión en un gas suelen medirse con un
micromanómetro (como el que se muestra en la figura). Este dispositivo consta de dos grandes depósitos, cada uno de los cuales tiene un área de sección transversal Ar, que están llenos de un líquido de peso específico γ1 y conectados por un tubo en U de área de sección transversal At, que contiene un líquido de peso específico γ2. Cuando al gas se le aplica una diferencia de presión p1 – p2, se obtiene una lectura diferencial h. Se desea que esta lectura sea suficientemente grande (a fin de poder leerla fácilmente) para pequeñas diferencias de presión. Determinar la relación que hay entre h y p1 – p2 cuando la razón de áreas At/Ar es pequeña, y demostrar que la lectura diferencial h se puede ampliar haciendo pequeña la diferencia de pesos específicos γ2 – γ1. Suponer que inicialmente (con p1 = p2) los niveles del fluido en ambos depósitos son iguales.
Respuesta: h =
p1 − p2 γ2 − γ1
Ejercicio 8) Determinar la razón de las áreas A1/A2 de las dos ramas del manómetro si con un cambio de presión de 0 0,5 5 psi en el tubo B se obtiene un cambio correspondiente de 1 pulgada en el nivel del mercurio en la rama derecha. La presión en el tubo A no cambia.
Respuesta: 11,7
Ejercicio 9) Determinar la nueva lectura diferencial a lo largo de la rama inclinada del manómetro de mercurio si la presión en el tubo A disminuye 12 kPa y la presión en el tubo B permanece sin cambio. La densidad del fluido en el tubo A es de 0,9 y el fluido en el tubo B es agua.
Respuesta: 0,244 m
Ejercicio 10) Determinar el ángulo θ del tubo inclinado que se muestra en la figura si la presión en A es de 2 psi mayor que en B.
Respuesta: 34,2 º
Ejercicio 11) Un manómetro de mercurio se usa para medir la diferencia de p presión en las dos tuberías mostradas m en la figura. fg Por A fluye f y aceite combustible (peso específico = 53,0 lb/pie3), y por B fluye aceite lubricante SAE 30 (peso específico = 57,0 lb/pie3). Una bolsa de aire queda atrapada en el aceite lubricante, como se indica. Determine la presión en el tubo B si la presión en A es de 15,3 15 3 psi. psi (γHg = 847 lb/pie3)
Respuesta: 18,2 psi
Niels Henrik David Bohr (1885-1962) Premio Nobel de Física de 1922
Ejercicio 12) La presión arterial comúnmente se expresa como la relación de la presión máxima (presión sistólica) a la presión mínima (presión diastólica). diastólica) Por ejemplo, un valor representativo de ésta relación para un ser humano es de 120/70 mm-Hg. ¿No sería más simple y más barato usar un manómetro de agua en vez de uno de mercurio?. Explique su respuesta apoyándose en los cálculos necesarios.
Respuesta: Si se usa un manómetro de agua, la columna sería muy grande 1.63 grande, 1 63 m. m (manómetro impráctico)
Ejercicio 14) El manómetro de mercurio de la figura indica una lectura diferencial de 0,30 m cuando la presión de vacío en el tubo A es de 25 mm-Hg. Determine la l presión ó en ell tubo B. γHg= 133 kN/m3 , γaceite= 8,95 kN/m3, γagua= 9,80 kN/m3
Respuesta: p 33,4 kPa
Ejercicio 13) Obtener una expresión para la variación de presión en un líquido en que el peso específico aumenta con la profundidad, profundidad h, h según la relación γ = kh + γ0, donde k es una constante y γ0 es el peso específico en la superficie libre.
Respuesta:
k ⋅ h2 p= + γ0 ⋅ h 2
