EJERCICIOS 1. La fuerza de una hélice, completamente sumergida en agua, se ha visto que depende de: D (diámetro de la hélice), V (velocidad de desplazamiento), ρ (densidad del fluido), (Velocidad de !otaci"n), g (aceleraci"n de la gravedad) # $ (viscosidad dinámica del %uido)& a) 'alcular los parámetros parámetros adimensionale adimensionales, s, eligiendo eligiendo como como variales repetidas, las indicadas en los primeros lugares, siempre que sea posile&
SOLUCIÓN: 'omo se indica en el enunciado se sae por la e*periencia que la fuerza a*ial + de una hélice depende de una serie de variales, es decir:
F = f (D, V, ρ, N, g, µ) ntervienen en el proceso - variales de las cuales . son independientes& Las entidades o variales f/sicas fundamentales son 0 : M, L, T. 1or tanto en n2mero de parámetros adimensionales es: 7 – 3 =
Lo fundamental primeramente es estaleces la ecuaci"n de dimensiones correcta de cada variale del proceso: F
D
V
ρ
N
g
µ
M
3
4
4
3
4
4
3
L
3
3
3
40
4
3
43
T 45
4
43
4
43
45
43
Las variales repetidas para otener los parámetros son: D, V, ρ& 'on todo definido, se calculará los parámetros : x
y
z
0
0
0
0
0
π 1= F . D .V . ρ = M L T
x 1
x 2
x 3
0
π 2= N . D . V . ρ = M L T
y1
y 2
z 1
z 2
y 3
0
0
0
π 3= g . D . V . ρ = M L T
z 3
0
0
0
π 4= μ . D . V . ρ = M L T
6ustitu#endo las variales por su ecuaci"n de dimensiones: −2
x
y
− y
z
π 1= M . L .T . L . L . T . M . L
−3 z
0
0
0
= M L T
7staleciendo # resolviendo las ecuaciones de igualdad de e*ponentes: En M : 1+ z =0 → z =−1 En L : 1 + x + y −3 z =0 → x =−2
EnT : −2 − y =0 → y =−2
6ustitu#endo:
−2
−2
F
−1
π 1= F . D . V . ρ =¿
2
2
D . V . ρ
De la misma forma se resuelven los restantes parámetros, resultando: ND π 2= V
g. D
π 3=
π 4=
2
V
1
, el inverso a
2
: froude : F r
=¿
V 1
(g.D)
2
μ ρ . V . D , tomando el inverso: 8 !e#nolds9
ℜ=¿
ρ. V . D μ
De la funci"n inicial con las variales f/sicas, se pasa a una funci"n con parámetros adimensionales: F 2
2
D . V . ρ
=∅
(
N.D V ,Fr , ℜ
)
!. 6e desea estudiar una presa mediante un modelo a escala 3:;, en donde se mide la velocidad del agua (modelo) # resulta ser <, m=s& 7l caudal má*imo desaguado (prototipo) por la presa es de ><< m0=s& 7n el modelo se midi" la fuerza e?ercida sore la presa resultado ser de 5&> @g& 6e pide calcular: a) 7scala de velocidades, caudales # fuerzas en funci"n de la ) c) d) e)
escala de longitud A 'audal que tiene que circular en el modelo en l=s& Velocidad del agua en la presa en m=s& +uerza e?ercida sore la presa en & BCué condiciones tiene que satisfacer el %uido para que la seme?anza sea completa
SOLUCIÓN: 7stamos en caso de %u?o en la superEcie lire, para que se veriEque la seme?anza completa es necesario además de la seme?anza geométrica, la igualdad de n2meros de !e#nolds # de n2meros de +roude&
'omo #a se han impuesto la escala geométrica, el %uido a utilizar (agua en modelo # prototipo), # se traa?a en el campo gravitatorio terrestre, ha# que recurrir a la seme?anza restringida, es decir la igualdad de n2meros de +roude, además de la seme?anza geométrica, #a que es un caso de "#$% &' #&*+-&
-/*&. D0%:
Fodelo (G)
1rototipo
L ' 1 λ = = L 49
L
V =
'
V =0.4 m / s
a) 8 +roude:
'
Q=500 m / s
'
F =
3
Q = F =2.5 kg
'
2
2
V V ' = gD gD'
1
1
V ' D 2 =( ) = λ 2 V D '
1
2
5
Q ' V ' D = ∗( ) = λ 2∗ λ 2= λ 2 Q V D 2
'
2
2
'
2
F ' ρ∗V ' ∗ D' V D = =( ) ∗( ) = λ 1∗ λ2 = λ3 2 2 F V D ρ∗V ∗ D 5
)
c)
d)
'
Q =Q∗ λ = V =
2
V 1
∗(
500
1 49
5 3
) =0.02975 m / s 2
=0.4∗7 =2.8 m / s
λ 2
V 3 F = 3 =2.5∗49 =294 122.5 kg λ
e) 1ara que la seme?anza sea completa, se tiene que veriEcae, además de la seme?anza geométrica, la igualda de n2meros de
+roude # !e#nolds, como #a se ha indicado antes& 7s decir falta la igualdad de 2meros de !e#nolds: '
'
( )( )
V . D V . D V V D ℜ= = ' = ' = ' = λ−1 /2 . λ−1= λ ' ! ! V V D
−3 2
V 3 /2 9 V ' = 49 =343
7s decir para que se veriEque la seme?anza completa, la relaci"n de viscosidades cinemáticas del %uido de la presa (agua) # del utilizado en los ensa#os en el modo tendr/a que ser: ! =343 ! ' '
! ( mode"o )=
! ( #gu# ) 343
3. +uerza de arrastre: n2meros de !e#nolds # de 7uler& La fuerza de arrastre sore un dirigile dee determinarse mediante ensa#os con un modelo a escala reducida& Los ensa#os se realizan en un t2nel de agua, en donde el modelo de dirigile se E?a a un soporte instrumentado con un sensor de fuerzaH la velocidad del %u?o a agua que incide sore el modelo, se controla con una oma de velocidad variale que es la que origina el %u?o hacia el modelo& Determine: a) 'ualitativamente los n2meros adimensionales controlantes& ) IustiEque porque se tiene que ensa#ar el modelo en un t2nel de agua& 0& Velocidad a la que se dee ensa#ar el dirigile modelo en el t2nel de agua& & 1otencia de arrastre del dirigile prototipo& DJK6:
Dirigile:
L $=20 m %
& $=36 km /
()re # 25 * + y 1 ¯¿
!)s,os)d#d =
dens)d#d =1.2 kg / m
−6 2 15.58 10 m
∗
seg
3
2
Fodelo:
Lm=20 m %
−6
agua, !)sos)d#d =10
m seg
3
dens)d#d =1000 kg / m
Fuerz# de #rr#s-re # "# !e"o,)d#d de ens#yo=1649 N
0) 1arámetros adimensionales controlantes: Los n2meros adimensionales más importantes en un proceso de %u?o son: !e, 7u, Fa # +r& Deido a la a?a velocidad del sumarino con respecto a la velocidad del sonido, los efectos de compresiilidad no son importantes, # en n2mero de FJ'M no es controlanteH por no haer superEcies lire, el n2mero de +roude tampoco es controlanteH con lo que los n2meros adimensionales que se tienen en cuenta para la similitud dinámica son e*clusivamente el n2mero de !7NLD6 # el n2mero de 7OL7!& 6e puede llegar anal/ticamente a esta conclusi"n, partiendo de que la fuerza de arrastre depende de las siguientes variales: +D9f(O,L,ρ,P), # aplicando el teorema de QO'RSMJF, se otienen dos parámetros adimensionales, que están relacionados, respectivamente, con los n2meros de !7NLD6 # de 7OL7!&
/) 7nsa#o en un t2nel de agua: 1ara la seme?anza dinámica entre modelo # prototipo, sus n2meros de !e#nolds deen ser iguales:
ℜm =
& $=36
! $ =
( )= 1000 3600
−6 m 10
10 m
& m . Lm !m
=ℜ $=
& $ . L $ ! $
Lm =1 m
L $=20 m
/s
2
−6
2
! m ( #gu#) =15.58∗10 m / s
s
7n un dirigile la longitud caracter/stica en su 76'JLJ& 'on lo que la velocidad a la que se dee mover el modelo es: & m= & $
L $ ! m . Lm ! $
6i el ensa#o se realiza en un t2nel de viento, la velocidad del aire en el t2nel deer/a ser de:
∗
10 20
& m= & $
L $ ! m . = Lm ! $
1
∗15.58∗10− ∗10−
15.58
6
6
=200 m / s
7sta velocidad tiene dos prolemas: uno el e*perimental, porque se tiene que traa?ar con grandes velocidades de %u?o de aire # sore todo porque se tiene n2meros de Fach relativamente altos (FaT<,0), # se deer/an considerar los efectos de la compresiilidad& 1ara evitar estos dos prolemas, se ensa#a en un t2nel de agua, deido a la que la viscosidad cinemática del agua es unas 3> veces menor que la del aire, # con ello la velocidad de ensa#o en agua a?a en la misma proporci"n&
) VELOCID2D DEL FLUJO UE INCIDE SO4RE EL MODELO: La
5)
velocidad del %u?o uniforme que se hace incidir sore el modelo, viene determinada por la igualdad de n2meros de !e#nolds entre modelo # prototipo:
∗
10 20
& m= & $
L $ ! m . = Lm ! $
1
∗15.58∗10− ∗10−
15.58
6
6
=12.84 m / s
&) 6OTENCI2 DE 2RR2STRE: La potencia de arrastre, viene determinada por: 1D 9 +D O& 7l ensa#o suministra el valor de la fuerza de arrastre sore el modelo& La fuerza de arrastre sore el prototipo se determina por análisis dimensional, que estalece que para la seme?anza dinámica los n2meros de 7OL7!, deer ser iguales: uméricamente con los datos:
FDm=1649 N
F Dm
2
Eu=
F / L 1 2
2
ρ &
Eum=
H
2
2
2
ρm .& m . L $
F D$ 1 2
2
2
ρ $ .& $ . L $
( )( ) 2
1
= Eu $=
ρ $ & $ L $ F D$= F Dm = . . ρ m & m Lm
2
3
ρ $=1.2 kg / m
ρm= 1.2 kg / m
& $=10 m / s
& m= 10 m/ s
L $=20 m
D$=¿ 1649 N
3
Lm=20 m 1.2 1000
(
∗
10 12.84
) ∗( ) = 2
20 1
2
480.10 N
F ¿ 'on lo que la potencia de arrastre, estimada para el prototipo del dirigile es: m D$=¿ F D$=& $=480.1 N ∗10 = 4.8 k s F ¿ La potencia de arrastre involucrada en el modelo a escala reducida es:
m Dm=¿ F D m=& m =1649 N ∗12.84 = 21.17 k s F ¿ o dee e*traUar, que tanto la fuerza de arrastre, como la potencia de arrastre, sean ma#ores en el modelo a escala reducida, que en el prototipo, deido a que el modelo se ensa#a en agua # el prototipo se mueve en aire&
. 6e desea estudiar una presa mediante un modelo a escala 3:;, en donde se mide la velocidad del agua (modelo) # resulta ser <, m=s& 7l caudal má*imo desaguado (prototipo) por la presa es de ><< m0=s,& 7n el modelo se midi" la fuerza e?ercida sore la presa resultando ser de 5,> @g& 6e pide calcular: a) 7scalas de velocidades, caudales # fuerzas en funci"n de la escala de longitud A& ) 'audal que tiene que circular en el modelo en l=s& c) Velocidad del agua en la presa en m=s d) +uerza e?ercida sore la presa en & e) BCué condiciones tiene que satisfacer el %uido para que la seme?anza sea completa&
S%#-': 7stamos en un caso de %u?o en superEcie lire, para que se veriEque la seme?anza completa es necesario además de la seme?anza geométrica, la igualdad de n2meros de !e#nolds, # de n2meros de +roude& 'omo #a se han impuesto la escala geométrica, el %uido a utilizar (agua en modelo # prototipo), # se traa?a en el campo gravitatorio terrestre, ha# que recurrir a la seme?anza restringida (como luego se verá) es decir la igualdad de n2meros de +roude, además de la se?anza geométrica #a que es un caso de %u?o en superEcie lire &
Datos:
Fodelo (): '
L 1 λ= = L 49
L'
'
V =0.4 m / s
Q/
F / =2.5 kg
1rototipo: L
3
Q=500 m / s
V 2
( )
2
V = V ' g. D g. D '
a) 8 +roude:
F V ' D ' = V D
4T
( )( )
1 /2
= λ
1/ 2
2
Q ' V ' D ' = =¿ Q V D
2
1 /2
λ
2
. λ = λ
5/ 2
( ) ( )
2
2
2
F ' ρ. V ' . D ' V ' D ' = = . = λ . λ2= λ 3 2 2 F V D ρ .V . D
)
'
Q =Q . λ
/ =500 G ( 1 / 49 ) = 0.02975 m / s
5/ 2
5 2
3
'
c)
V =
V
1
=0.4∗7 =2.8 m / s
λ 2 '
d)
F 3 F = 3 = 2.5∗ 49 =294 122.5 kg λ
e) 1ara que la seme?anza sea completa, se tiene que veriEcar, además de la seme?anza geométrica, la igualdad de n2 meros de +roude # !e#nolds, como #a se ha indicado antes& 7s decir falta la igualdad de 2meros de !e#nolds: '
'
( )( )
V . D V . D ! V D ℜ= = ' → ' = ' = λ ' ! ! ! V D V '
V
= 49 / =343 3 2
−1 2
−1
. λ = λ
−3 2
7s decir para que se veriEque la seme?anza completa, la relaci"n de viscosidades cinemáticas del %uido de la presa (agua) # del utilizado en los ensa#os en el modelo tendr/a que ser: V '
V
=343 →V ' ( mode"o )=
V ( #gu# ) 343
