Mec´ anica anica de Fluidos - 2007 Problemas resueltos
Cinem´ atica 1. Se tiene el siguiente campo de velocidades: x , x2 + y 2
vx =
vy =
y , x2 + y2
vz = 0
a ) Encuentre las l´ıneas de corriente, las trayectorias y las l´ıneas de humo. b ) Encuentre Encuentre una expresi´ expresion o´n para el campo Lagrangiano de velocidades (tome
como referencia el tiempo t = 0). Si a t = 0 se tiene una mancha contaminante de la forma: −
C (x,y,z) x,y,z ) = C 0 e
x2 +y 2 σ2
y se sabe que el contaminante es un is´otopo otopo radiactivo que decae seg´ un un la ley: t/λ C = C i e , −
c ) ¿Cu´ al al ser´a la concentraci´ on on de contaminante que medir´ medir´ıa un sensor ubi-
cado en el punto (σ, (σ, 0, 0) a tiempo t = 0? d ) Encuentre la tasa de cambio de la concentraci´ on on que medir´ medir´ıa el mismo
sensor, en el mismo punto, en el mismo intante t = 0. Respuesta: a ) Como se trata de un campo estacionario, estacionario, las l´ l´ıneas de corriente, corriente, las tra-
yectorias y las l´ıneas de humo ser´ an coincidentes. La velocidad en todo an punto es paralela al vector posici´ on (proyectado sobre el plano x y), de on manera que toda to da p part art´´ıcula del fluido se mueve siempre alej´ andose andose del eje z , describiendo rectas radiales. Para obtener una expresi´ expresion o´n formal de la ecuaci´ on on de estas l´ıneas se puede partir de la ecuaci´ on on de las l´ıneas de corriente: corr iente:
−
dx x = vx = 2 , ds x + y2
dy y = vy = 2 , ds x + y2
dz = vz = 0 ds
eliminando el par´ametro ametro s e integrando desde un punto en particular (x0, y0 , z0 ) se tiene: dy y = , dx x
y
y0
dy = y
x
x0
dx y x , log = log x y0 x0
⇒
y x = , z = z0 y0 x0
b ) Sabemos que el campo Lagrangiano de velocidades (V (V )) evaluado en (x, (x, t)
debe ser igual al campo Euleriano (v (v) evaluado en (Φ(x, (Φ(x, t), t), donde Φ(x, Φ(x, t) es la posici´on, o n, a tiempo t, de la part´ part´ıcula que en cierto tiempo
de referencia estaba en la posici´ on on x. Adem´as, as, el campo Lagrangiano de velocidades se puede obtener de la funci´ on on Φ(x, Φ(x, t), tomando su derivada parcial respecto del tiempo: V ( V (x, t) = v (Φ(x, (Φ(x, t), t) =
∂ Φ(x, Φ(x, t) ∂t
para nuestro nuestro caso particular, particular, todas las l´ıneas son radiales y equivalenequivalentes, en el sentido en que la velocidad cambia s´ olo con el radio, podemos olo simplificar el c´alculo alculo restringi´ rest ringi´endonos endon os al eje x: ∂ Φ(x, Φ(x, t) 1 = V ( (Φ(x, t), t) = V (x, t) = v (Φ(x, ∂t Φ de donde, considerando que al tiempo de referencia t = 0, 0 , la part´ıcula ıcula se encuentra en Φ0 = Φ(x, Φ(x, 0) = x: Φ
Φ0
wdw =
t
0
dt
Φ(x, Φ(x, t) =
√
derivando: V ( V (x, t) =
2
2 0
⇒Φ −Φ
= 2t
x2 + 2t 2t
√x 1+ 2t 2t 2
Si quisi´ qu isi´eramos eramo s generaliz gen eralizar ar este e ste resultado resul tado -obtenido -obte nido para una part´ıcula ıcula en el eje x- a todo el espacio, “x “x” debe ser interpretado como el radio, y “V “V ”” como la velocidad radial: x y V x = , V = , V z = 0 y x2 + y 2 x2 + y2 + 2t 2t x2 + y 2 x2 + y2 + 2t 2t
√
√
√
√
c ) Sustitu Sustituendo endo en la expresi expresi´ on o´n de C (x,y,z), x,y,z ), a t = 0: σ 2 /σ2
−
C (σ, 0, 0) = C 0 e
=
C 0 e
d ) La ley de decaimi decaimien ento to radiactiv radiactivoo es v´ alida para cada punto material, de alida
manera que derivando la expresi´ on on C = C i e t/λ se obtiene la derivada material de la concentraci´ on del contaminante. La tasa de variaci´ on on on medida por el sensor fijo al espacio representa la derivada parcial con respecto al tiempo del campo Euleriano de concentraciones. Usando la expresi´ on on de la derivada material: −
DC =v Dt
∂C C + · C + ∂t
se conocen la derivada material, el campo de velocidades, y el gradiente del campo euleriano en el instante t = 0. Despejando ∂C : ∂t ∂C DC = ∂t Dt
− v · C = −λC e i
2
t/λ
−
− σ1 ∂C ∂x
donde C i es la concentraci´ on inicial de contaminante en el punto en cueson ti´on on (C i = C 0 /e): /e): ∂C C 0 = e ∂t eλ
−
0
−
1 + C 0 e σ
−
x2 +y2 σ2
2x C 0 1 = + C 0 e σ2 eλ σ
−
12
−
σ
=
C 0 2 ( e σ2
− λ1 )
2. Si la intensidad de iluminaci´on on de una part´ part´ıcula fluida en (x,y,z) x,y,z ) al tiempo t est´a dada por: e 3t I = A 2 x + y2 + z 2 y el campo de velocidades del fluido est´ a dado por: −
vx = B (y + 2z 2z )
vy = B (y + 3z 3z )
vz = B (2x (2x + 3y 3y + 2z 2z )
donde A y B son constantes conocidas, determine la velocidad velocidad de variaci´ on de la iluminaci´on on experimentada al tiempo t por la part´ part´ıcula fluida que est´ a en el punto punto (1, 2, -2) -2) al tiempo tiempo t. Respuesta: Lo que se pide es exactamente el concepto de Derivada material , en
este caso de la iluminaci´ on on recibida rec ibida por p or una un a part´ıcula ıcula fluida. Dados el campo Euleriano de iluminaci´on on y el campo de velocidades con que se mueve el fluido, la expresi´on on de la derivada material es: DI ∂I = + ( (v Dt ∂t
· ) I
Siendo las derivadas parciales: ∂I = ∂t ∂I = ∂y
e 3t 3A 2 , x + y2 + z2
e 3t 2xA 2 (x + y 2 + z 2 )2
∂I = ∂x
−
−
e 3t , 2 + y 2 + z 2 )2
−
−
∂I = ∂z
−
−2yA (x
e 3t 2 + y 2 + z 2 )2 −
−2zA (x
La expresi´ on on final resulta: DI = Dt
e 3t 2B A 2 3 + yx + 4zx 4zx + y 2 + 6zy 6zy + 2z 2z 2 2 2 2 2 2 x +y +z x +y +z −
−
Evaluando en el punto (1, (1, 2, 2) resulta:
−
DI e 3t =A (4B (4B Dt 9 −
− 3)
3. Sean las componen componentes tes del campo de velocidade velocidadess de un fluido: vx =
x 1+t
vy = 3
2y 1+t
vz =
3z 1+t
Calcule las trayectorias. Respuesta: Si Φ(x, t) es la trayectoria seguida por una part´ıcula fluida que en
un cierto tiempo de referencia estaba en x, el campo de velocidades Euleriano dato se puede expresar como: v(Φ(x, t), t) = V (x, t) =
∂ Φ(x, t) = Φ˙ ∂t
donde V (x, t) es el campo Lagrangiano de velocidades. Escribiendo en componentes: Φx 2Φy 3Φz Φ˙x , Φ˙y , Φ˙z = , , 1+t 1+t 1+t
Dado que la ecuaci´ on diferencial: entonces:
du dt
=
au 1+t
tiene como soluci´on a: u = u0 (1+t)a ,
Φx = A(1 + t) Φy = B(1 + t)2 Φz = C (1 + t)3 Aplicando la condici´ on inicial: Φ(x, 0) = x resulta la expresi´on final para las trayectorias, donde t es el par´a metro y (x,y,z) la posici´o n inicial de la part´ıcula: Φx = x(1 + t) Φy = y(1 + t)2 Φz = z(1 + t)3
4. En las proximidades de un punto de remanso (o punto de estancamiento) bidimensional, la velocidad est´a dada por: x u = U 0 , v = L
−U Ly , 0
w=0
a ) Calcular el vector aceleraci´ on y verificar que es puramente radial. b ) Hallar las l´ıneas de corriente, las trayectorias y las l´ıneas de humo, dibu-
jarlas esquem´aticamente. c ) En particular dibuje la trayectoria de la part´ıcula que a t = 0 estaba en
el punto (0, 2L, 0), la l´ınea de corriente que, a tiempo L/U 0, pasa por el punto (2L,L, 0) y la l´ınea de humo del punto (2L, 0, 0), en en instante t = L/U 0 . Respuesta: a ) Para calcular la aceleraci´ on a partir del campo euleriano de velocidades,
se calcula la derivada material de la velocidad: Dv ∂v = + (v Dt ∂t 4
· ) v
∂u ∂u ∂u ∂u U 0 +u +v +w = 0+u +0+0 ∂t ∂x ∂y ∂z L ∂v ∂v ∂v ∂v U 0 = +u +v +w =0+0+v +0 ∂t ∂x ∂y ∂z L ∂w ∂w ∂w ∂w = +u +v +w =0 ∂t ∂x ∂y ∂z
ax = ay az
−
U 02 ax = 2 x, L
U 02 ay = 2 y, L
Siendo la aceleraci´ o n un m´ ultiplo
U 02 L2
az = 0
del vector posici´on.
b ) Como se trata de un campo estacionario, las l´ıneas de corriente, las tra-
yectorias, y las l´ıneas de humo ser´ an coincidentes. Calculemos las l´ıneas de corriente: dx dy = , u v
L dx = U 0 x
− LU dyy ,
ln x =
0
− ln y + c,
x=
k y
Entonces las l´ıneas de corriente tienen la forma: y = kx , como se indica en la figura.
c ) La trayectoria de la part´ıcula que a t = 0 estaba en el punto (0, 2L, 0) es
la semirrecta: (x = 0, y > 0). La l´ınea de corriente que, a tiempo L/U 0 , 2 pasa por el punto (2L,L, 0) es la curva: (y = 2Lx ). Y la l´ınea de humo del punto (2L, 0, 0), en en instante t = L/U 0 es la semirrecta (x > 0, y = 0)
5
Hidrost´ atica 1. La figura muestra un cilindro invertido cerrado herm´eticamente por un pist´ on con una superficie de 0,1m2 y un peso de 500kg que se desliza sin fricci´on. El peso y el volumen del cilindro pueden ser despreciados. Inicialmente, el cilindro y el pist´on son sostenidos por la barra en el aire a una presi´ on de 1kg/cm2 y la longitud l = 2m cuando el pist´ on est´a en estado de equilibrio. Luego el cilindro y el pist´on son introducidos en el l´ıquido hasta una posici´ on en la que no hay tracci´on ni compresi´ on en la barra. En dicha posici´on h/l = 2. Asumiendo que el gas en el cilindro permanece a una temperatura constante y que su peso es despreciable: a ) Calcular la tensi´ on inicial en la barra
en kgf .
Guía sin fricción Aire Barra sin peso
b ) Calcular la presi´ on final en el cilindro
en kgf/cm2 .
Líquido
c ) Calcular el peso espec´ıfico del l´ıquido
h
l
3 cm
(relativo al agua). d ) Determinar si la posici´ o n final es de
equilibrio estable, inestable o neutro.
Respuesta
a ) Si consideramos despreciable el peso del aire, la tensi´ on inicial de la ba-
rra es igual al peso del pist´on: 500kgf . Si deseamos tener en cuenta la densidad finita del aire, se puede calcular la masa de aire contenida en el interior del cilindro utilizando la aproximaci´ on de gas ideal: P V = nRT . La presi´on interna debe ser tal que su diferencia con la presi´ on atmosf´erica multiplicada por el a´rea del pist’on se iguale al peso del mismo: (P atm P i )A = 500kgf , de donde: P i = 1kgf/cm2 500kgf = 0,5kgf/cm2 0,1m2 . Calculamos el n´ umero de moles de aire:
−
−
n=
P i V 50009,8kgm 0,1m2 1,97m = = 4,25mol Nm RT m 2 s2 8,314 molK 273,15K
y tomando la masa molecular del aire en 28,9g/mol, llegamos a 122,8g de aire en el interior del cilindro. A la misma temperatura, pero a presi´on atmosf´erica, habr´ıa una cierta cantidad de aire ocupando el espacio del cilindro con el pist´on: P atm V 100009,8kgm 0,1m2 2m n= = = 8,63mol Nm RT m2 s2 8,314 molK 273,15K
En gramos: 8,63mol28,9g/mol = 249,4g. La tensi´on de la barra ser´ a igual al peso del pist´on m´as el peso del aire en el interior del cilndro, menos el empuje del aire desplazado: m T = (500 + 0,123 0,249)kgf = 499,87kg9,8 2 = 4899N s
−
6
Como se ve, despreciar el peso del aire conduce a un error menor al 0,03%. b ) Siguiendo con la aproximaci´ on de gas ideal y considerando que la tempe-
ratura no cambiar´ a, el producto P V se mantiene: P f =
P i V i kgf A 1,97m 96530P a m = 0,5 2 = V f cm A (l 0,03m) l 0,03m
−
−
(1)
donde l es la longitud indicada en la figura, en el estado de equilibrio. Adem´as sabemos que en equilibrio, la diferencia de presiones entre las caras del pist´on es igual a su peso: P h
500kgf = 49000P a 0,1m2
− P
f =
(2)
y que las presiones en la cara inferior del pist´on y en la cara superior del cilindro pueden calcularse como: P h = P atm + ρgh P f = P atm + ρg(h
(3) (4)
− l)
y finalmente que en la condici´ on de equilibrio: h = 2l
(5)
Estamos en condiciones de calcular, usando las ecuaciones 1 a 5, las 5 inc´ognitas: l, P f , P h , ρ y h. Reemplazando (3) en (2) eliminamos P h : P atm + ρgh
− P
f
= 49000P a
(6)
Despejando ρg de (4), reemplazando en (6) y operando se llega a: P f
− P
atm
=
h
− l 49000P a
(7)
l
reemplazando h por lo indicado en (5): P f = P atm + 49000P a = 147000P a = 1,5
kgf cm2
c ) De la ecuaci´ on (1) se puede despejar l:
l = 0,03m +
96530P a m = 0,687m 147000P a
de (6) y (5): 49000P a + P f ρ= g2l
− P
O sea, un peso espec´ıfico de
atm
∼ 7,3. 7
98000 skg2 mm2 kg = = 7278 3 m 9,8 s2 2 0,687m m
d ) Dado que el u ´nico grado de libertad es la posici´ on vertical del cilindro,
analizaremos la estabilidad ante una perturbaci´ on en la posici´on de equilibrio: h l. Si se sumerge el sistema un poco m´as all´a de la posici´on de equilibrio, la presi´on en su interior aumentar´ a, y, aplicando la ecuaci´on de estado del gas en su interior, su volumen decrecer´ a. Este menor volumen har´a que el empuje ejercido por el fluido sobre el sistema cilindro-pist´ on se haga menor, y el sistema tender´a a bajar a´ un m´as por efecto del peso que no cambi´o. Por lo tanto el equilibrio del sistema es inestable. (Tambi´ en se puede plantear la hip´ otesis opuesta: una menor profundidad conduce a menor presi´on en el interior del cilindro, que conduce a mayor volumen y por lo tanto mayor empuje que supera al peso del sistema y tiende a hacer flotar a´ un m´as al dispositivo)
−
2. Un man´ometro de tres fluidos como el que se muestra en la figura se utiliza para medir diferencias de presi´on (P 1 P 2) muy peque˜ nas. Sabiendo que se utiliza la misma cantidad de l´ıquido en ambos reservorios obtenga:
−
P 1
P 2
b
a ) La ecuaci´ on que relaciona la diferencia de al-
A
tura h medida en las ramas con la diferencia de presi´on P 1 P 2 como funci´ on de las densidades de los fluidos utilizados (ρ1 , ρ2 , ρ3 ) y las ´areas de los reservorios y las ramas (A y a respectivamente).
ρ
1
x
ρ
2
−
c
a
h
b ) ¿C´ omo elegir´ıa estos par´ a metros para au-
mentar la sensibilidad del instrumento? ρ
d
3
P f
Respuesta: a ) Dadas las distancias b,c,d marcadas en la figura, la presi´ on P f se puede
calcular de dos maneras, integrando ρg en cada una de las ramas: P f = P 1 +ρ1 g(b+x)+ρ2 g(c+h)+ρ3 gd = P 2 +ρ1 gb+ρ2 g(x+c)+ ρ3 g(h+d) Simplificando, se eliminan b,c,d: P 1
− P = (ρ − ρ ) gx + (ρ − ρ ) gh 2
2
1
3
2
Usando adem´ as que, por continuidad: Ax = ah se obtiene: P 1
− P = 2
(ρ2 8
−
a ρ1 ) + (ρ3 A
−ρ ) 2
gh
b ) La sensibilidad ser´ a mayor cuanto menor sea la expresi´ on:
(ρ2
−
a ρ1 ) + (ρ3 A
−ρ ) 2
Suponiendo que no se puede cambiar la densidad ρ1 del l´ıquido donde queremos medir la diferencia de presi´ on, se puede hacer m´ınima la relaci´on de a´reas a/A y la diferencia de densidades ρ3 ρ2 entre los l´ıquidos del man´ometro.
−
P 1
P 2
b
A
ρ1 x
ρ2
c a
h
d
ρ
3
P f
3. Considere la compuerta en forma de L que se muestra en la figura. Dicha compuerta tiene un ancho H (B-C) y puede rotar libremente (sin fricci´on) alrededor de un eje (perpendicular a la hoja) que pasa por el punto B. A
Aire
Despreciando el peso de la puerta, ¿Cu´a l es el valor de la altura h para el cual la compuerta se abre autom´aticamente?
Eje
ρ
h g C
B
H
Respuesta: Planteamos equilibrio de momentos con respecto al punto de giro
de la compuerta. Las fuerzas actuantes son las de presi´ o n actuando en la parte horizontal de la compuerta (F v porque act´ ua en direcci´on vertical) y la integral de la presi´on actuando en la parte vertical, que llamaremos F h. La l´ınea de acci´on de F v estar´a centrada en la parte horizontal de la compuerta, con un brazo de palanca H/2, porque en esa secci´ on la presi´on es uniforme. Para hallar la l´ınea de acci´ o n de F h podemos integrar el momento producido 9
por las presiones, o podemos recurrir a la f´ ormula para calcular el “centro de ρg sin θI xx presiones”: xcp = Apcg , donde θ es el a´ngulo de inclinaci´on, en este caso π . A es el ´area de la superficie, en nuestro caso h (suponiendo profundidad 2 unitaria). pcg es la presi´on en el centro geom´etrico de la superficie, en este caso
pcg = patm + ρg h2 . El momento de inercia de un segmento es Resultando: 3 ρg h12 xcp = h patm + ρg h2
h
2
−
h
x2 dx =
2
h3 . 12
El brazo de palanca de F h ser´a h2 xcp. Las magnitudes de F h y F v se calculan como el producto de la presi´ on en los centros geom´ etricos de las superficies respectivas por sus a´reas:
−
h F h = patm + ρg h 2
F v = ( patm + ρgh) H,
S´olo resta tener en cuenta las fuerzas de presi´ on en el exterior de la compuerta, que estar´ a dada por la presi´on atmosf´erica (aproximadamente constante):
H M = F v 2
− F
h
h 2
−x
cp
+ patm h
h 2
− p
H =0 2
atm H
Reemplazando y operando: ...
h=
√
3H
Observaci´ on: N´ otese que si bien algunos valores intermedios (por ejemplo la
ubicaci´on del centro de presiones) dependen de la presi´ on atmosf´erica, el resultado final no. Esto es porque sumar una constante a la presi´on -a ambos lados de la compuerta - no altera el equilibrio de fuerzas. Teniendo esto en cuenta se podr´ıa haber considerado patm = 0 para simplificar los c´alculos.
10
Ecuaciones diferenciales 1. Dos fluidos inmiscibles e incompresibles de propiedades ρ1 , µ1 y ρ2 , µ2 respectivamente, circulan debido a un gradiente de presi´ on dp en un estrecho canal dz horizontal de ancho B (en la direcci´on y) como se indica en la figura. Los caudales de cada fluido se ajustan de forma tal que B1 = B2 = B/2.
y
B2
Q2
µ2
B
z B1
Q1
µ1
Suponiendo flujo laminar completamente desarrollado calcular: a ) La distribuci´ on de velocidades V z (y) en ese sistema y esquematice. b ) Determine la relaci´ on precisa entre el gradiente de presi´ on y caudal total. Respuesta: a ) Dada la simetr´ıa del problema, proponemos un perfil de velocidades dado
por:
−→ V = (0, 0, V )
(8)
z
adem´as, teniendo en cuenta que buscamos la soluci´ on estacionaria, todas las derivadas parciales con respecto al tiempo ser´ an cero. Plantendo la conservaci´ on de masa para un fluido incompresible obtenemos: ∂V V = · −→ ∂x
x
+
∂V y ∂V z ∂V z + = =0 ∂y ∂z ∂z
(9)
De aqu´ı obtenemos que V z ser´a s´olo funci´on de la coordenada y. Planteamos ahora la ecuaci´ on de conservaci´ on de momento en la direcci´ on z (Ecuaci´on de Navier-Stokes para fluido Newtoniano incompresible): dV z ∂P ∂ 2 V z ∂ 2V z ∂ 2 V z ρ + = f z + µ + + dt ∂z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(10)
donde f z son las fuerzas por unidad de volumen en la direcci´on z, que en este caso son nulas. Utilizando el perfil de velocidades 8 y teniendo en cuenta lo dicho hasta ahora, la ecuaci´ on 10 se reduce a ∂P ∂ 2 V z =µ 2 ∂z ∂y
(11)
debido a que la viscosidad toma valores diferentes para cada fluido, dividimos la regi´on en dos partes de forma tal que 11
∂P = ∂z
2
µ1 ∂ ∂yV 2z
B 2
− ≤y≤0
2
µ2 ∂ ∂yV 2z
≤y≤
0
(12)
B 2
Al plantear la ecuaci´ on de conservaci´ on de momento en la direcci´on x e y obtenemos respectivamente: ∂P = 0, ∂x
∂P = ∂y
(13)
−ρg
de esta manera, integrando las ecuaciones 12 obtenemos una expresi´ on para el perfil de velocidades dado por: V z (y) =
1 ∂P 2 y 2µ1 ∂z 1 ∂P 2 y 2µ2 ∂z
B 2
+ b1 y + c1
− ≤y≤0 0≤y≤
(14)
B 2
+ b2 y + c2
donde b1, b2 , c1 , c2 son constantes que debemos determinar a partir de las condiciones de borde. Las condiciones de borde del problema son: 1) La condici´ on de no deslizamiento en las paredes i.e. V z
B 2
−
V z
= 0,
B 2
=0
(15)
2) Continuidad de la velocidad en y = 0 z 3) Continuidad de la tensi´ o n en y = 0, es decir, µ ∂V es continuo en ∂y y = 0. De la segunda condici´on obtenemos c1 = c2 = C . De la u ´ ltima condici´on obtenemos: µ1 b1 = µ2 b2 Si llamamos β =
µ1 µ2
yD= D 2
1 ∂P µ1 ∂z
B 2
las ecuaciones 15 se transforman en
2
+ b1
B + C = 0 2
D B 2 B + βb 1 + C = 0 β 2 2 2 Multipicando 16 por β y sum´andola a 17 obtenemos C =
−
β DB 2 β + 1 4
Asi mismo, multipicando 16 por β y rest´andole 17 obtenemos b1 =
C β 1 = B β
−
12
− β β +− 11 DB 4
(16) (17)
De esta manera reemplazando en las ecuaciones 14 los valores de las constantes obtenemos para el perfil de velocidades:
− − − − D 2
β −1 B y β +1 2
y2
V z (y) =
βD 2
y
2
−
β −1 B y β +1 2
β B 2 β +1 2
−
V z (y) =
y
1 ∂p 2µ2 ∂z
2
y2
µ1 −µ2 B y µ1 +µ2 2 µ1 −µ2 B y µ2 +µ1 2
B 2
− ≤y≤0
1 B2 β +1 2
O, en variables originales: 1 ∂p 2µ1 ∂z
− −
0
µ1 B 2 µ1 +µ2 2 2
µ2 B µ1 +µ2 2
≤y≤
(18)
B 2
B 2
− ≤y≤0 ≤y≤
0
(19)
B 2
En la siguiente figura se muestra esquem´ aticamente el perfil de velocidades para el caso µ2 < µ1 y
<
µ 2
z
B
µ 1
µ 1
En cada secci´ o n el perfil es parab´ olico y en la interface las pendientes guardan una relaci´ on igual a β . b ) Para calcular el caudal total debemos integrar el campo de velocidades
entre las placas: HD 2
β 1 B β B 2 y dy+ β + 1 2 β + 1 2 β 1 B 1 B2 y dy β + 1 2 β + 1 2
− − − − 0
−
y2
B 2
B 2
β
0
y2
−
−
(20)
Donde H representa el ancho del canal en la direcci´ on x. Realizando la integral obtenemos para la expresi´ on del caudal: Q=
−
HDB 3 12
−
β + 1 3 (β 1)2 3β + + 4 8 β + 1 β + 1
−
(21)
O, en variables originales: Q=
−
HB 3 ∂p 12 ∂z
1 µ1 + µ2 3 1 + 8 µ1 µ2 2 µ1 + µ2
(22)
donde quda expll´ıcita la “simetr´ıa” entre µ1 y µ2 . N´otese que si las viscosidades de los dos fluidos son iguales (β = 1) el caudal se reduce al caudal para un solo fluido entre dos placas: Q= 13
−
HB 3 1 ∂P 12 µ ∂z
Adem´a s, si, por ejemplo µ1 tiende a un valor muy grande, el primer t´ermino del par´entesis tiende a 8µ12 , mientras que el segundo t´ermino se hace despreciable. El caudal resultante tiende al que se obtendr´ıa con el fluido de viscosidad menor, circulando en un canal de la mitad de tama˜ no.
14
Aplicaciones de la Ecuaci´ on de Bernoulli 1. Considerar el flujo incompresible, bidimensional, estacionario y sin fricci´on cerca de la garganta del pasaje de un Venturi. El flujo es irrotacional y los efectos gravitacionales son despreciables. La constante de Bernoulli del flujo es p0 (medida como una presi´ on). Cerca de la garganta el contorno de la pared es un arco circular de radio a. Como una aproximaci´ on, se acuerda en suponer que en el plano de la garganta 1-3 la curvatura de las l´ıneas de corriente var´ıa linealmente desde a1 en el punto 1 hasta 0 en el punto 2 (y a1 en el punto 3). Se desea analizar la distribuci´ on de velocidades en los alrededores de la garganta.
−
a ) ¿Es la velocidad del fluido mayor en el pun-
to 1 o en el punto 2? b ) ¿Es la velocidad del fluido mayor en el pun-
to 2 o en el punto 4? 3
c ) Hacer un esquema cualitativo de la distri-
2b
2
buci´on de presiones (l´ıneas de presi´on constante).
4
1
d ) Calcular la distribuci´ o n de presiones en el
plano de la garganta. Verifique que pp00
p p
− 2 − 1
=
a
b
e a , donde p1 y p2 son las presiones est´aticas en los puntos 1 y 2, respectivamente. −
e ) ¿C´ omo calcular´ıa el perfil de velocidades? Respuesta: a ) Dadas las aproximaciones del enunciado (flujo incompresible, estaciona-
rio, irrotacional y sin fricci´on, con efectos gravitacionales despreciables), se puede aplicar la ecuaci´ on de Bernoulli en todo punto del flujo, y por eso tiene sentido hablar de la constante de Bernoulli “del flujo”. Entre el punto 1 y el 2 podemos utilizar las ecuaciones en “coordenadas naturales”, en particular en la direcci´ on transversal al flujo: ∂p v2 =ρ ∂n R Esta ecuaci´ on, seg´ un la convenci´ on utilizada para definir el versor n, nos indica que la presi´on debe aumentar alej´ andose del centro de curvatura de la l´ınea. En particular la presi´ o n en el punto 2 ser´a mayor que en el punto 1. Como se cumple Bernoulli en todo el espacio ( p + 12 ρv 2 = cte), la velocidad en 2 ser´ a menor que en 1. b ) Por conservaci´ on de la masa, dado que la densidad es constante, se con-
serva el caudal volum´ etrico. Puesto que el a´rea de paso es m´ınima en la garganta, all´ı la velocidad ser´a m´axima, entonces v2 > v4 . 15
c ) Por el resultado del item a, la presi´ on sobre corte vertical en la garganta
deber´ıa mostrar un m´ aximo de la presi´on en el punto medio, y m´ınimos en los puntos 1 y 3. Por el resultado de b, un corte horizontal por el centro de la garganta deber´ıa mostrar un m´ınimo de presiones en el punto central (considerando que la velocidad es m´ axima, y aplicando Bernoulli). Por lo tanto, el punto central es un punto de ensilladura de la funci´ on presi´on. En la figura se muestran las l´ıneas de nivel del m´odulo de velocidad, obtenidas mediante la resoluci´ on num´ erica del flujo en la geometr´ıa dada. Estas l´ıneas de m´ odulo de velocidad constante se corresponden (aplicando la ecuaci´ on de Bernoulli) con l´ıneas de presi´on constante. N´ otese sin embargo que el espaciamiento de las l´ıneas se corresponde con diferencias del m´odulo de la velocidad y no diferencias de presi´ on. d ) Para calcular la distribuci´ on de presiones en la l´ınea central se puede integrar la ecuaci´ on de arriba, teniendo en cuenta la variaci´ on del radio de curvatura de las l´ıneas de corriente. Tomando el origen de coordenadas en el punto central, y llamando x a la coordenada vertical, la curvatura x puede expresarse como: R1 = ab , y utilizando la ecuaci´on de Bernoulli: 1 2 p0 = p + 2 ρv , la ecuaci´on en la direcci´ on transversal al flujo queda:
−
∂p ∂p x 2 = =ρ v = ∂n ∂x ab
−
0
− ∂ ( p∂x− p) = − 2( p ab− p) x d( p − p) = 2 x dx p − p ab 1 − p)| = ab x − b , pp −− p p 0
p
p1
ln( p0
−ρ abx 2( p ρ− p) 0
x
0
b
0
−
p p1
Evaluando en x = 0: pp00
p − p1 − 2
2
2
0
0
=e
−
=e
x2 −b2 ab
1
b a
e ) Una vez calculada la presi´ on, la velocidad se deduce de la ecuaci´o n de
Bernoulli: v =
2 ( p ρ 0
− p).
16
Vol´ umenes de control 1. Un jet de un l´ıquido de densidad ρ, caudal volum´etrico Q y velocidad V incide sobre una placa de largo L y masa M que esta sostenida en uno de sus extremos por un pivote que le permite rotar libremente como lo muestra la figura. Si el jet se ubica una distancia H por debajo del pivote calcular: Pivote 0
0
0
0
0
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0
0
0
0
0
L
H
ρ V Q
a ) El a ´ngulo θ que formar´ a la placa con la horizontal en el estado esta-
cionario en funci´ on de estos par´ ametros. Considerar los efectos viscosos despreciables. b ) ¿C´ omo cambia este resultado si se tiene en cuenta el efecto de la viscosidad
del fluido? Respuesta: a ) Si realizamos conservaci´ on de momento angular respecto del pivote ve-
mos que los dos jet de salida no poseen momento angular debido a que poseen una direcci´ on radial respecto del pivote. De esta manera el momento entrante del jet deber´ a ser compensado por el torque ejercido por la gravedad sobre la placa resultando: QρV H =
·
Mg L cos(θ) 2
·
De aqu´ı obtenemos finalmente
2ρQV H θ = arccos M gL
b ) En el an´ alisis anterior s´olo fue necesario hacer suposiciones sobre la vis-
cosidad del fluido, s´ olo es necesario que se cumpla la aproximaci´ on de que los jet de salida son radiales respecto del pivote. De esta manera, el resultado anterior no depende de la viscosidad del l´ıquido (ni de la rugosidad de la placa por ejemplo)mientras esta condici´ on se siga cumpliendo. 2. El esquema muestra un dispositivo que posee dos paletas con una curvatura suave que termina con un a´ngulo β . Las paletas est´ an montadas sobre una cinta que se mueve a velocidad constante U . Adem´as, las paletas reciben un chorro de agua proveniente de una tobera fija a una velocidad V . 17
a ) Calcule la fuerza que realiza la paleta sobre la cinta en funci´ o n de la
velocidad U . b ) Calcule para qu´ e valor de U el trabajo realizado contra esta fuerza es
m´aximo
β
Tobera V
U
Respuesta: a ) Planteamos inicialmente el problema utilizando un sistema de referencia
fijo a la paleta y en este sistema de referencia proponemos un volumen de control fijo como lo muestra la siguiente figura:
2
β V-U
1 VC
De esta manera la velocidad de ingreso al volumen de control (VC) es V U . Suponiendo los esfuerzos viscosos despreciables en la paleta podemos plantear Bernoulli entre los puntos 1 y 2 indicados en la figura. De esta forma obtenemos:
−
1 2 1 ρV 1 + ρgz1 + P 1 = ρV 22 + ρgz2 + P 2 2 2 Debido a que ambos puntos se encuentran a presi´ on atmosf´erica y despreciando los efectos gravitatorios (i.e. g(z2 z1) << V 12) obtenemos:
− | V |=| V |= V − U 1
2
Planteamos la conservaci´ on de masa en el VC : dM = dt 18
∂ Ω
−→ · −→n dΓ
ρ V
Teniendo en cuenta que estamos considerando el caso estacionario (d/dt = 0) y dividiendo la superficie de control en dos partes obtenemos:
S 1
ρ (V
− U ) ds =
S 2
−→ · −→
ρV 2 n ds = ρ (V
− U ) A
1
=m ˙ in
(23)
donde A1 es un ´area equivalente de entrada del jet proveniente de la tobera y m ˙ in representa el caudal m´ asico de entrada. Planteamos la conservaci´ on de momento en el VC :
−→
d K = F ρ V V n dΓ dt ∂ Ω Porcediendo de la misma manera que en el caso de la conservaci´o n de masa y teniendo en cuenta que la normal apunta hacia afuera del VC, esta expresi´ on se reduce a:
−→
−
F =
2
− U ) ds + −→ →n ds ρ ((V − U )cos β ˆ x + (V − U ) sin β ˆ y) V · −
S 1
S 2
−→ − −→ −→ · −→
ρ (V
2
(24)
La sumatoria de la izquierda incluye las fuerzas volum´etricas y de superficie aplicadas al VC. Teniendo en cuenta que sobre todas sus superficies actua la presi´on atmosf´erica y despreciando tanto los efectos viscosos como los gravitatorios esta sumatoria se reduce a la fuerza que realiza la paleta sobre el fluido (y a su vez la cinta sobre la paleta). De esta forma, reemplazando lo hallado en 23 obtenemos:
−→ F
paleta
=
−m˙
in
(V
− U ) xˆ + m˙
((V
in
− U ) cos β ˆx + (V − U )sin β ˆy)
(25)
o bien, reagrupando t´erminos y usando la definici´ on de m ˙ in :
−→ F
paleta
= A1 ρ (V
2
− U )
((cos β
− 1) xˆ + sin β ˆy)
(26)
b ) El trabajo realizado por la fuerza calculada en 26 por unidad de tiempo
sobre la cinta se puede calcular a partir de:
−→
W = F paleta U ˆ x = A1 ρ(cos β
·
− 1) (V − U )
2
U
(27)
Para obtener el valor de U que produce la mayor potencia calculamos la derivada con respecto a U de W e igualamos a cero. De esta manera obtenemos la condici´ on para la velocidad: (V
2
− U ) − 2U (V − U ) = 0
(28)
De aqui podemos ver que V = U es soluci´on de 28, aunque en este caso la potencia calculada por 27 es cero. Eliminando esta soluci´ on de la ecuaci´ on 28 obtenemos: V (V U ) 2U = 0 i.e. U = (29) 3 Y esta es la soluci´on que buscamos.
− −
19
3. Un flujo en un resalto hidr´aulico puede esquematizarse como se muestra en la figura. Un flujo de altura h1 y velocidad media V 1 , en un canal, se transforma espont´aneamente en un flujo de altura h2 y velocidad media V 2 . Se considera un canal muy ancho, y tal que no hay variaciones significativas en la direcci´on perpendicular al plano del dibujo. Se ha observado que a una peque˜ na distancia del salto la distribuci´on de velocidades es razonablemente uniforme. a ) Mostrar, discutiendo las suposiciones necesarias, que la relaci´ on entre h2
y h1 cumple:
h2 1 1 = + 1 + 8F r12 h1 2 2 donde F r1 es el n´ umero de Froude del estado 1, F r1 =
−
V 1 g ·h1
√
b ) Calcular la disipaci´ on de energ´ıa mec´anica entre las secciones 1 y 2. c ) Pueden existir resaltos hidr´ aulicos con h2 < h1 ? ¿Por qu´e? V2
h2 V1
h1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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0
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0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Respuesta: a ) Planteando conservaci´ on de la masa, en un volumen de control como el
de la figura, se obtiene que: V 1 h1 = V 2h2 V2
h2 V1
h1
Planteando conservaci´ on de la cantidad de movimiento en el mismo volumen de control se tiene:
∂V C
ρu (u n ˘ ) dS =
·
V C
+ f
∂V C
− p n˘ dS
en la direcci´ on horizontal queda:
−
ρV 12 h1 b
+
ρV 22 h2 b
=
1
pdS
− 2
pdS
donde b es el ancho del canal (normal al dibujo). Si restamos la presi´on atmosf´erica, la presi´ on hidrost´ atica en cada pared vertical se puede expresar como: p = ρgy, con la coordenada y medida en cada caso desde la superficie:
−ρb
V 12 h1
2 2 2
− V h
=b
20
h1
0
ρgy dy
h2
− 0
ρgy dy
Usando la conservaci´ on de la masa y simplificando: (h2 h1 )(h2 + h1 ) h1 V 1 h1V 12 h2 h21 (V 1 V 2 ) = (h2 h1 ) = 2 = g gh 2 2 2 2 Una posible soluci´on de esta ecuaci´ on es, como es natural: h2 = h1, o sea que el fluido siga circulando a la misma velocidad. Pero tambi´en existe otra soluci´ on que conserva tanto la masa como el momento cin´etico y es la que cumple: 2h1 V 12 h2 + h1 = gh 2 Despejando se obtiene la cuadr´ atica: h22 + h1 h2 2g h1 V 12 , cuya soluci´on es:
−
−
−
−
−
h2 = Definiendo F r =
V , gh
√
−h ± 1
h21 + 8
h1 V 12 g
2 dividiendo todo por h1 , y considerando que la
soluci´on f´ısicamente posible es aquella para la cual h2 es positivo, se obtiene: h2 1 = + 1 + 8F r12 h1 2 b ) Planteando la conservaci´ on de la energ´ıa en el mismo volumen de control se tiene: dE 1 ˙ = Q˙ W ρ u2 + e + V u n ˘ dS dt 2 ∂V C esta expresi´ on se anula porque estamos en estado estacionario. Haciendo ˙ e = 0 y con un potencial V = gz llamaremos a: W Q˙ la disipaci´on de energ´ıa mec´anica: 1 Φ = ρ u2 + gz u n ˘ dS 2 ∂V C h1 h2 V 2 V 2 = ρ 1 bh1 + gb z dz ( V 1 ) ρ 2 bh2 + gb z dz V 2 2 2 0 0
−
−
−
·
−
− · −
−
resolviendo las integrales, y llamando Q = V 1 h1 = V 2 h2 se llega a: ρbQ Φ = V 12 + gh1 V 22 gh 2 2 usando conservaci´ o n de la masa: h1 h2 (V 1 + V 2 ) = Q(h1 + h2 ), adem´as, por la conservaci´ o n del impulso: 2Q(V 1 V 2 ) = g(h1 + h2 )(h2 h1 ), reemplazando en la expresi´ o n de Φ: ρbQ Φ = [(V 1 V 2 )(V 1 + V 2 ) g(h2 h1 )] 2 ρbQ (h1 + h2 )(h2 h1 )g Q(h1 + h2 ) = g(h2 h1 ) 2 2Q h1 h2 ρbQg(h2 h1 ) (h1 + h2 )2 = 1 2 2h1h2 h21 + h22 Φ = ρbQg(h2 h1) 4h1 h2
− −
−
−
−
−
−
−
−
−
21
−
−
−
c ) De la expresi´ o n de Φ, surge que la disipaci´ o n ser´a positiva s´o lo en el
caso que h2 > h1 , de otra manera en lugar de disipar energ´ıa mec´ anica se estar´ıa absorbiendo, contradiciendo el segundo principio de la termodin´amica. Puede adem´ as verse (operando a partir de la expresi´ on del punto a)) que la condici´on h2 > h1 es equivalente a pedir que el n´ umero de Froude en la entrada sea mayor que 1: h2 > h1
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
h2 >1 h1 1 1 1< + 1 + 8F r12 2 2 3 < 1 + 8F r12 8 < 8F r12 V 12 2 F r1 = >1 gh 1
−
⇒
4. Un chorro de agua fluye verticalmente desde la salida de una canilla cuyo orificio de salida es circular y de radio R. El orificio de salida se encuentra a una altura H medido desde el nivel del suelo. El agua a la salida del orificio tiene velocidad U y el perfil es plano.
a ) Encuentre una expresi´ o n para la variaci´ on
del radio del chorro en funci´ on de la altura. R
b ) Calcule la fuerza que ejerce el chorro de agua
sobre el piso, si el caudal es de 5 litros por minuto, R vale 1/4 de pulgada y H = 50cm. c ) Grafique en forma cualitativa la presi´ o n en
el piso en funci´on de la distancia al centro del chorro. Explicite los valores extremos de la presi´on.
H
Respuesta: a ) Considerando despreciables los efectos viscosos (el perfil inicial es plano,
la viscosidad del aire es muy peque˜na y por lo tanto la tensi´ on de corte no es significativa), podemos aplicar la ecuaci´ on de Bernoulli entre el punto de salida y una posici´ on gen´erica, a una distancia z de la canilla: 1 2 1 ρU + p0 = ρu(z)2 + p(z) + ρg( z) 2 2 Donde se ha hecho la aproximaci´on de que la curvatura de las l´ıneas de corriente es despreciable, y por lo tanto la presi´ on no depende del radio,
−
22
siendo s´olo funci´on de la altura. Considerando adem´as que la presi´on en la superficie del es la presi´ on atmosf´erica (constante), la expresi´ on para la velocidad en funci´on de la altura se reduce a: u(z) =
U 2 + 2gz
Por conservaci´ on de la masa, el caudal (velocidad por a´rea) a cualquier altura es el mismo: Q = u(z)A(z) = u(z)πr(z)2 = UπR 2 Eliminando u(z) se obtiene: 1 U R2 2gz 4 r= = R 1+ 2 U U 2 + 2gz
√
−
b ) Al llegar a una distancia H de la canilla, el l´ıquido se mover´ a a una
√
velocidad u(H ) = U 2 + 2gH , y el ´area del chorro ser´ a: A(z) = Tomando el volumen de control de la figura y calculando el balance de momento en la direcci´ on vertical (y), se tiene que: 0=
−
SC
Uπ R2 . u(H )
ρuy (u n ˘ )dS + F = 0
·
donde F es la fuerza ejercida por el piso sobre el chorro para frenarlo. De la integral s´olo queda la parte de la superficie superior por donde ingresa el fluido (el flujo de momento que escapa por los costados consideramos que no tiene componente vertical). En esa parte: uy = u(H ), u n ˘ = u(H ):
−
−
2
πR 2 U = ρπR 2 U U 2 + 2gH 2 U + 2gH
√
2
·
F = ρu(H ) A(H ) = ρ U + 2gH Usando:
ρ = 1000kg/m3 R = 1/4 = 0,00635m Q 5 10 3 m3 /60s U = = = 0,658m/s πR 2 π0,006352 m2 H = 0,5m
×
−
Se obtiene: u(H ) = 3,2m/s A(H ) = 26,05 10 6 m2 F = 1000kg/m3 3,22 m2 /s2 26,05
×
−
× 10
6
−
m2 = 0,267N = 27,2g
c ) Las part´ıculas que descienden por el eje de simetr´ıa se van frenando
asint´ oticamente. Nunca llegan al piso, porque la velocidad tiende a cero. 23
Se tiene en la intersecci´ on del eje de simetr´ıa con el piso un punto de estancamiento. All´ı la presi´on ser´ a m´axima, e igual a: 1 1 p0 = patm + ρu(H )2 = patm + ρU 2 + ρgH 2 2 Suficientemente lejos de este punto, la presi´ on tender´ a a ser nuevamente la presi´on atmosf´erica, como se muestra en la figura. p(r,H) p
0
p
atm
r
5. Un bloque rectangular de masa M , con caras verticales, rueda sobre una superficie horizontal entre dos chorros opuestos, como se muestra en la Figura. En t = 0, el bloque se pone en movimiento a una velocidad U 0 . Subsecuentemente se mueve sin fricci´on, paralelo a los ejes del chorro, con velocidad U (t). Desprecie la masa de cualquier l´ıquido que se adhiera al bloque, comparada con M . Obtenga expresiones generales para la aceleraci´ on a(t) y la velocidad U (t) del bloque. Justifique la elecci´on del sistema de referencia y del recinto de integraci´ on. ρ
V
ρ
M U(t)
A
V A
Respuesta:
Consideremos un volumen de control no deformable que encierra al bloque y se mueve junto con ´el, tal como se muestra en la Figura que sigue.
V 1 =V−U
M
24
V 2 =V+U
El sistema de referencia elegido est´ a fijo al volumen de control, por lo que se trata de un sistema de referencia no inercial ya que el bloque se est´a frenando, movi´endose con velocidad variable U (t) y aceleraci´on a(t) respecto a un sistema de referencia inercial. Despreciando los efectos viscosos podemos aplicar Bernoulli a lo largo de una l´ınea de corriente en los chorros que inciden sobre el bloque para obtener: V 1in = V 1out = V
− U
Y, del mismo modo: V 2in = V 2out = V + U Planteando conservaci´ on de la cantidad de movimiento en la direcci´ on x en el VC elegido y teniendo en cuenta que en nuestro sistema de referencia la velocidad de los chorros de salida no tiene componente horizontal, resulta:
−M · a(t) −M · dU dt −M · dU dt −M · dU dt
= = =
−m˙ (V − U ) + m˙ (V + U ) −ρA(V − U ) + ρA(V + U ) ρA · [−(V − U ) + (V + U ) ] 1
2
2
2
2
2
= 4ρAV U
dU = dt
−
4ρAV M
·
U
La soluci´on de esta ecuaci´ on, recordando que U (t = 0) = U 0 , viene dada por: 4ρAV U (t) = U 0 e ( M )t
·
−
·
De donde se sigue que: dU dt 4ρAV 4ρAV a(t) = U 0 e ( M )t M a(t) =
−
· ·
25
−
·
1.
An´ alisis dimensional
1. Considere una serie de pasajes geom´ etricamente similares de secci´ on circular como se muestra en la figura. Un cambio en cualquier dimensi´ on de longitud produce cambios proporcionales en todas las dem´ as longitudes. V1
D2
D1
En el caso I , un fluido de baja viscosidad fluye a trav´es de un pasaje de manera tal que las tensiones viscosas sobre cualquier part´ıcula son despreciables comparadas con las tensiones de inercia. Son considerados pasajes de diferente tama˜ no, todos con el mismo fluido incompresible entrando al conducto con la misma velocidad V 1. Para el caso I (fluido no viscoso) cuando D1 aumenta, indicar qu´e ocurre con las siguientes magnitudes (aumenta, permanece igual, disminuye): a ) V 2 b ) El caudal volum´etrico. c ) El valor de
p1 − p2 ρV 12
d ) El valor de p1
− p
2
e ) El caudal m´ asico por unidad de secci´ on transversal en la secci´on 2. Respuesta: a ) Puesto que el fluido es incompresible, su densidad es constante. Por con-
servaci´on de la masa, y considerando estado estacionario, el caudal entrante debe ser igual al caudal saliente: ρV 1 π4 D12 = ρV 2 π4 D22 , de donde 1 V 2 = D V . Si la relaci´o n de di´ametros permanece constante y V 1 tamD2 1 bi´en, entonces V 2 no cambiar´ a. b ) El caudal volum´ etrico es: Q = V 1 π4 D12 , con V 1 constante, un aumento de
D1 lleva a un aumento en Q.
c ) Dado el di´ ametro D1 de entrada, la geometr´ıa del pasaje queda completa-
mente definida. Sabiendo adem´ as las caracter´ısticas del fluido (densidad ρ, viscosidad µ) y la velocidad de entrada V 1 , debe ser posible calcular la ca´ıda de presi´on p1 p2 . Esto se puede expresar como: “debe existir una relaci´on funcional g(D1 ,ρ,µ,V 1 , p1 p2 ) = 0”. Si adem´as las tensiones viscosas son despreciables, la viscosidad no influye en el resultado, podemos escribir gˆ(D1 , ρ , V1 , p1 p2) = 0 Utilizando el Teorema π de Buckingham para simplificar, se puede obtener un u´nico n´ umero adimensional, por p1 p2 ejemplo: ρV 2 que debe ser constante.
−
−
−
−
1
26
d ) Si adem´ as V 1 permanece constante, el valor de p1
tante.
− p
2
permanecer´ a cons-
e ) El caudal m´ asico por unidad de secci´ on transversal en la secci´o n 2 se
puede escribir como: m ˙ ρV 2 A2 = = ρV 2 A2 A2 Ya vimos que V 2 se manten´ıa constante, y ρ tambi´en, entonces mantendr´ a constante.
m ˙ A2
se
En el caso II , un fluido de alta viscosidad fluye a trav´es del pasaje tan lentamente que las tensiones de inercia sobre cualquier part´ıcula de fluido son despreciables comparadas con las tensiones viscosas. Son considerados pasajes de diferentes tama˜ nos, todos con el mismo fluido incompresible entrando al conducto con la misma velocidad V 1 . Para el caso II (fluido altamente viscoso) cuando D1 aumenta, indicar qu´ e ocurre con las siguientes magnitudes (aumenta, permanece igual, disminuye): a ) V 2 b ) El caudal m´ asico. c ) El valor de
p1 − p2 ρV 12
d ) El valor de p1
− p e ) El valor de ( p − p )D 2
1
2
1
f ) El Re en la secci´ on 2.
g ) la tensi´ on de corte en la pared, a medio camino entre la secci´ o n 1 y la 2 h ) la fuerza total ejercida por el fluido sobre las paredes en la direcci´ on del
flujo. Respuesta: a ) V 2 , por las mismas consideraciones que en el caso anterior, permane-
cer´a constante. b ) El caudal m´ a sico m ˙ es el caudal volum´etrico Q multiplicado por la densi-
dad, que permanece constante. Por lo tanto m˙ se comportar´ a de la misma forma que Q, es decir: aumentar´ a, por las mismas consideraciones que en el caso I . c ) Repitiendo el razonamiento del caso anterior, obtenemos la expresi´ on
g(D1 ,ρ,µ,V 1 , p1 p2 ) = 0. Pero ahora, en lugar de despreciar el efecto de la viscosidad, lo que sucede es que el t´ermino de las fuerzas de inercia en las ecuaciones de Navier-Stokes se hace despreciable frente al resto, y es la densidad ρ la que no tendr´ a influencia en el resultado. Se puede plantear entonces que existe una relaci´ on que permite obtener p1 p2 a partir s´olo de D1 , µ y V 1 : gˆ(D1 , µ , V1 , p1 p2 ) = 0. Usando nuevamente
−
−
27
−
el teorema π de Buckingham, aparece un s´ o lo n´ umero adimensional que debe ser una constante, por ejemplo: ( p1
− p )D 2
µV 1
operando:
1
= cte.
p1 p2 µ = cte. 2 ρV 1 D1 ρV 1 De donde resulta que al mantener constantes µ, ρ y V 1 , un aumento en 1 p2 D1 produce una disminuci´ on de pρV 2 .
−
−
1
d ) Operando sobre la f´ ormula anterior se obtiene que tambi´en el valor de
p1
− p
2
disminuye al aumentar D1 y mantener constantes ρ, µ y V 1 .
e ) En cambio el producto ( p1
− p )D se puede expresar como: ( p − p )D = cte. µV 2
1
1
2
1
1
y permanece constante. f ) El Re en la secci´ o n 2 es:
ρV 2 D2 µ Lo u´nico que var´ıa en la expresi´ on es D2 que aumenta proporcionalmente con D1 . Re2 =
g ) La tensi´ o n de corte en la pared, en cualquier punto, podr´a ser obte-
nida a partir de los datos del problema, es decir, habr´a una relaci´on: g(D1 ,ρ,µ,V 1, τ ) = 0. Despreciando el efecto de la densidad y aplicando an´alisis dimensional aparece el n´ umero: τ D1 = cte. µV 1 (Observaci´ on: la tensi´on tiene las mismas unidades que la ca´ıda de pre1 si´on, entonces podemos usar la fracci´ on µV para “medirla”). Por lo tanto, D1 al aumentar D1 y mantener µ y V 1 , la tensi´on de corte en cualquier punto va a disminuir. h ) Llamemos F a la fuerza total ejercida por el fluido sobre las paredes en la
direcci´on del flujo. Esta fuerza tambi´en deber´ a poder obtenerse a partir de D1 , µ y V 1 . El n´umero adimensional que aparece es: F = cte. µV 1 D1 Entonces, si µ y V 1 permanecen constantes, F aumenta proporcionalmente con D1. 2. Se pretende estudiar un sistema formado por un canal abierto que posee un pilote vertical apoyado en el fondo del canal como lo indica la figura. Para esto se decide realizar un experimento de laboratorio utilizando una escala 1:10. 28
D
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a ) Si se desea respetar la semejanza dimensional del problema, indique las
condiciones que se deben cumplir para la elecci´on de los par´ametros utilizados en el experimento. En este caso: ¿C´omo relacionar´ıa una frecuencia caracter´ıstica medida en el experimento con la que aparecer´ıa en el sistema real? b ) Debido a que la relaci´ on
h D
es muy grande en el canal real, resulta muy dif´ıcil respetar esta condici´ on en el experimento. En particular, en el caso h real D = 30, mientras que en el experimento esta relaci´ on se tom´ o igual a 20. Si se desea obtener una estimaci´on de la fuerza de arrastre ejercida sobre el pilote en el caso real, qu´e par´ ametros eligir´ıa y c´ omo utilizar´ıa los datos obtenidos en el experimento para realizar esta estimaci´ on?
Respuesta: a ) En este caso aparecen seis par´ ametros que definen nuestro problema,
a saber: ρ, µ, g, V , h y D. Utilizando an´alisis dimensional para estos par´ametros resultan tres n´ umeros adimensionales que pueden elegirse de la siguiente manera: Re =
V ρD µ
Fr =
V gh
√
Form =
D h
Estos n´ umeros deber´ıan respetarse en el experimento. El tercero de ellos se mantiene puesto que se trata de un modelo a escala . La igualdad de Fr impone: V p V m Fr p = = Frm = gh m gh p
√
Teniendo en cuenta que g es la misma en ambos casos y que 10hm = h p , resulta V p = 10V m. Para conservar el n´ umero de Reynolds:
√
Rem =
V m Dm V p D p = Re p = ν m ν p
Teniendo en cuenta que, 10Dm = D p , y utilizando el resultado anterior para la velocidad del modelo, obtenemos: ν p 3 = 10 2 ν m 29
(la relaci´on µ/ρ deber´ıa ser unas 30 veces menor en el modelo que en el caso real). Para obtener el valor de una frecuencia caracter´ıstica en el caso real a partir de la frecuencia medida en el modelo, se deben igualar las frecuencias adimensionales. Utilicemos como escala de frecuencias la relaci´on V/D: F =
F mDm F p D p = V m V p
⇒ F = F p
m
Dm V p F m = D p V m 10
√
b ) Podemos suponer que en la fuerza de arrastre sobre el pilote influyen
dos efectos: el arrastre por presi´ on y fricci´on debido a la corriente en que est´a inmerso, y el efecto de la superficie libre. Este u´ltimo efecto se supone que estar´ a restringido a una zona de tama˜ no proporcional al di´ametro del pilote. Por otra parte, el primero ser´ a proporcional a la dimensi´on h, de modo que cuando h D el efecto de la superficie se vuelve poco significativo. En estas condiciones, cuando el efecto predominante es el arrastre de la corriente, el n´ umero adimensional a conservar es el Re:
Re =
V p D p V m Dm = ν p ν m
Y la escala de fuerzas apropiada en este caso es: F = ρV 2 Dhf (Re) Suponiendo que se mantiene la escala 1:10 en el di´ametro, tenemos las relaciones: D p h p 20 Dm = , hm = 10 10 30 y suponiendo que usamos el mismo l´ıquido, para conservar el Re debemos hacer: V m = D p V p /Dm = 10V p La fuerza en el pilote real puede obtenerse de la medida en el modelo utilizando la relaci´on: F p ρV p2 Dp hp
F P =
V p 2 Dp hp F V m Dm hm m
=
F m 2D h ρV m m m
= 0,01
× 10 × 15F
m
= 1,5F m
3. Se pretende estudiar el funcionamiento de una v´alvula de retenci´on ubicada al final de una tuber´ıa que se encuentra completamente sumergida (como se muestra en la figura). Para esto se decide realizar un experimento de laboratorio utilizando una escala 1:10. 30
D
ρ liq μ liq
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a ) Si se desea respetar la semejanza di-
ρ metal
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mensional del problema completo, indique que condiciones se deben cumplir para la elecci´on de las variables utilizadas en el experimento. En este caso: ¿C´ omo relacionar´ıa un tiempo de cerrado de la v´alvula medido en el experimento con el que aparecer´ıa en el sistema real?
b ) En este punto s´ olo estamos interesados en averiguar el caudal de succi´ on para el cual la clapeta comienza a cerrarse, es decir, el caudal para el
cual la clapeta se encuentra completamiente abierta pero la fuerza sobre el soporte que sostiene la clapeta es cero. En este caso, para conservar la semejanza dimensional en el modelo la cantidad de numeros adimensionales a ser conservados disminuye y por lo tanto puede utilizarse el mismo fluido que en el prototipo. Explique porqu´e esto es cierto, e indique como se relaciona el caudal medido en el modelo para este punto con el caudal que se obtendr´ a en el prototipo. Considerar las superficies de la tuber´ıa y de la clapeta como perfectamente lisas en todos los casos. Respuesta a ) Los par´ ametros del problema completo son: ρLiq , µLiq , D, Q, ρMetal y g.
Haciendo uso del an´ alisis dimensional encontramos que podemos formar tres grupos adimensionales. Una forma posible de agrupar estos par´ ametros en tres n´ umeros adimensionales es como sigue: ρLiq
Q2 D5 g
ρMetal
Q· ρLiq D · µLiq
La conservaci´ on del primer numero adimensional requiere utilizar una relaci´on de densidades entre el metal de la tuberia y el l´ıquido que sea la misma en el modelo y en el prototipo. A partir del segundo n´ umero adimensional y teniendo en cuenta que Dp Dm = 10 , obtenemos la siguiente relaci´on para los caudales (utilizando un mismo valor de g): Q p Qm = 5 10 2 Por u ´ ltimo, autilizando el tercer n´ umero adimensional y las condiciones para Dm y Qm obtenemos para ν = µρ : ν m = 31
ν p 3 10 2
Por lo tanto debemos utilizar un fluido que posea una viscosidad cinem´ atica unas 31 veces menor que el utilizado en el prototipo. Para relacionar un tiempo medido en el modelo con el esperado en el prototipo usamos el hecho de que si mantenemos la semejanza din´amica y geom´etrica, los tiempos adimensionalizados ser´ an iguales. Podemos adimensionalizar el tiempo con Q y D de la siguiente manera: T mQm T p Q p = 3 Dm D p3 Utilizando las relaciones
Qm Qp
y
Dm Dp
que obtubimos antes, resulta:
√
T p = T m 10 b ) Si s´ olo estamos interesados en el caudal para el cual la la clapeta comienza
a levantarse, vemos que la din´amica de la clapeta no es importante (se encuentra siempre en reposo) y por lo tanto la densidad del material con el cual est´a construida no es un par´ametro independiente. En este caso la densidad de la clapeta y la gravedad no ser´ an par´ ametros independientes. El par´ametro importante aqui ser´ a el peso de la clapeta que se puede calcular a partir de (ρmetal ρLiquido )g = ∆ρ g. De esta manera los n´ umeros adimensionales se reducen a dos que pueden elegirse de la siguiente manera:
−
·
Q2 ·ρLiq D5 ∆ρ·g
Q· ρLiq D · µLiq
Utilizando el segundo n´ umero adimensional y conservando el mismo l´ıquido en el modelo y en el prototipo, obtenemos: Qm =
Q p 10
Usando el primer n´ umero adimensional (utilizando el mismo fluido) obtenemos: Q p2 Q2m = 5 5 ∆ρ Dm D p ∆ρ p g m g
·
·
Y utilizando las condiciones ahalladas para Q y la relaci´on de escala para D obtenemos: 5 ∆ρm = ∆ρ p 10 2
·
De esta manera se puede encontrar una semejanza din´ amica sin cambiar de fluido pero autilizando una diferencia de densidades diferentes. Por u´ltimo, el caudal medido en el modelo para esta condici´on ser´a diez veces menor que el que se obtendr´ıa en el prototipo. 4. El torque τ de una turbina de flujo axial es una funci´o n de la densidad del fluido ρ, el di´ametro del rotor D, la velocidad angular de rotaci´ on Ω y el caudal 32
volum´etrico Q (en el r´egimen de trabajo usual la viscosidad del fluido no tiene una influencia significativa). En un experimento con una turbina de di´ametro D = 0,5m en agua kg (ρ = 1000 m 3 ), con una velocidad de rotaci´on Ω = 100 rpm constante, se midi´o el torque en el eje en funci´on del caudal Q, resultando el gr´afico de la figura.
τ
[Nm]
10
5
Q [m 3/s] 0.5
1.0
1.5
2.0
a ) En base a los resultados del experimento, escriba una expresi´ o n para
calcular el torque en funci´ on de los par´ametros relevantes del problema. b ) Calcular cu´ al ser´ıa el torque en una turbina geom´etricamente semejante
a la del experimento, en agua, si el d´ıametro del rotor es 1m, y el caudal 3 es de 3 ms cuando la velocidad angular es de 30 rpm. c ) Manteniendo el caudal, la velocidad angular y el tama˜ no de la turbina,
¿c´omo cambia la diferencia de presiones entre la entrada y la salida, al variar la densidad del fluido circulante? Respuesta: a ) Dada la expresi´ on dimensional: f (τ,ρ,D, Ω, Q), planteamos la matriz di-
mensional: τ M 1 L 2 T -2
ρ D 1 0 -3 1 0 0
Ω Q 0 0 0 3 -1 -1
Eligiendo las columnas de ρ, D y Ω, que son linealmente independientes y seg´ un el teorema π de Buckingham, vamos a poder escribir dos n´ umeros adimensionales. Nos conviene que en uno de ellos aparezca τ y en el otro Q. Escribi´endolos como: π1 = τ ρaD b Ωc y π2 = Qρd De Ωf , los valores de a,b,c,d,e,f que hacen adimensionales a π1 y π2 son: a = 1, b = 5, c = 2, d = 0, e = 3 y f = 1, y los n´umeros son:
−
−
−
π1 =
−
−
τ Q , π = 2 ρD5 Ω2 D3 Ω
En el gr´ afico se observa que la relaci´on entre τ y Q se puede escribir Kg -aproximadamente- como: τ = 5 m Q. Entonces la funci´on adimensional s que relaciona π1 y π2 debe ser tambi´en lineal: π1 = O sea:
τ Q = kπ = 2 ρD5 Ω2 D3Ω
ρD5 Ω2 τ = k 3 Q = kρD 2ΩQ D Ω 33
