Lks Matriks Fena Huryani Rizka

Lembar Kerja Siswa

KT P#N!NT$  Berdasarkan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan 2006 Pu"i Pu"i S%uku %ukurr Penu Penuli liss kehad ehadir irat at llah llah S&t' S&t' atas atas rahma raMATRIKS hmatt %ang %ang di(e di(eri rika kan n se sehin hingg gga a  (ahan a"ar )KS ini da*at kami *ers *erseem( m(a ahkan hkan untu untuk k duni dunia a *end *endid idik ikan an tanah air.Bahan a"ar )KS ini kami hadirkan se(agai (uku *endukung (ela"ar sis&a'untuk mem(antu sis&a menadi +erdas.

Untuk kelas XII SM IP  Semester!an"il

Nama Kelas Sekolah

Buku ini (erisi Materi serta Soal )atihan %ang (erisi )atihan dan Peker"aan $umah' se(agai (ahan u"i sis&a memahami materi materi %ang %ang dia"ar dia"arkan kan guru.T guru.Tu"u u"uan an utama utama kami kami me men nghad ghadir irk kan )KS ini ini adala dalah h iku ikut  (er*eran serta dalam men+erdaskan kehidu*an (angsa dan mem(entuk  ke*ri(adian : .............anak .........(angsa'sehingga .............................memiliki .. karakter %ang unggul sesuai dengan : .............dan .......(uda%a .............(angsa. .................... ke*ri(adian

:Tidak ..........lu*a .........kami ..........u+a*kan ...............terima ......... kasih ke*ada Ba*ak dan I(u guru serta sis&a,sis&i  %ang setia menggunakan )KS ini se(agai sara saran na (e (ela la""ar. ar. Untu Untuk k sis&a is&a,,sis& sis&i' i'k kami ami FENA HURYANI HURYANI RIZKA u+a*kan selamat (ela"ar dan raihlah masa de*an %ang gemilang.

  e r  t  e    d  n   a  g   n   e    d   l  e  b   a   i  r  a  v  a  g   i   t  r  a   e  n   i   l  n   a   a     m   a   s   r  e  p     m   e   t  s   i  s  n   a   i  a   s  e   l  e  y   n   e  p  n   a    k   u   t  n   e  n   e     M  .  3   x   3   i  g   e   s   r  e  p  s    k   i  r   t  a     m   n   a  n   i     m   r  e   t  e    d  n   a    k   u   t  n   e  n   e     M   a  n   i     m   r  e   t  e    d  n   a  g   n   e    d   l  e  b   a   i  r  a  v  a  u    d  r  a   e  n   i   l  n   a   a     m   a   s   r  e  p     m   e   t  s   i  s  n   a   i  a   s  e   l  e  y   n   e  p  n   a    k   u   t  n   e  n   e     M   t  a     m   s   r  e  v   n   i  n   a  g   n   e    d   l  e  b   a   i  r  a  v  a  u    d  r  a   e  n   i   l  n   a   a     m   a   s   r  e  p     m   e   t  s   i  s  n   a   i  a   s  e   l  e  y   n   e  p  n   a    k   u   t  n   e  n   e     M  :  r  o   t  a    k   i    d    n   I   r  a   e  n   i   l  n   a   a     m   a   s   r  e  p     m   e   t  s   i  s  n   a   i  a   s  e   l  e  y   n   e  p     m   a   l  a    d  s   r  e  v   n   i  n   a    d  n   a  n   i     m   r  e   t  e    d  n   a    k   a  n   u   g   g   n   e     M  :  r  a   s  a    D   i  s    n   e   t  e    p     m   o     K  .  h   a   l  a   s  a     m   n   a  h   a   c   e     m   e  p     m   a   l  a    d   i  s  a     m   r  o   f  s  n   a   r   t  s    k   i  r   t  a     m   n   a    k   a  n   u   g   g   n   e     M  :   i  s    n   e   t  e    p     m   o     K   r  a    d    n   a   t    S i

iv

Daftar Isi

Kata Pengantar......................................................................................i Daftar Isi............................................................................................. ii Cara Penggunaan K!........................................................................iii !tandar Kompetensi " Kompetensi Dasar..........................................iv Penerapan Matriks dalam !istem Persamaan inear............................# a$ Invers Invers matriks..... matriks............. ............... .............. ............... ............... ......................................% ...............................%  b$ Determinan matriks................................... ......................... ..... 3 Matriks ordo 3x3..................................................................................& Persamaan inear 'iga (ariabel (ariabel dengan determinan ....................... ....) atihan.................................................................................................*

 .  n   a    k   a   i    d   e   s   i    d  h   a   l  e   t  g   n   a  y  r  a  b   l   s  a   t  r  e    kPeker+aan   n   a  g   n   e    d,umah...............................................................................#  h   a  b     m   a   t   i    d  a   s   i  b   i  p   u    k   u   c  n   e     m    k   a    d   i   t  n   a    k   a   i    d   e   s   i    d  g   n   a  y   t  a  p     m   e   t  a   l   i  b   a  p   a   n   a    k   a   i    d   e   s   i    d  .  u   r  u   g  a    d   a  p   e ormat Penilaian................................................................................##  .   i  r  a +  a   l  e  p   i    d  n   a    k   a  g   n   a  y   i  r  e   t  a     m   i     m   a  h   a     m   e     m   s  u   r  a  h  a    1   s   i  s  n   a    d  u   r  u   g  u   l  u   h   a    d  h   i  b   e   l  r  e   t   h   a     m Daftar Pustaka....................................................................................#% /iodata Penulis..................................................................................#3

 .  n   a   r  a +  a   l  e  b     m   e  p     m   a   l  a    d  u   t  n   a  b     m   e     m

  s   !     n   a   a   n   u   g   g   n   e   p  a   r  a    C

ii

iii

MATRIKS PETA KONSEP MATRIKS

 A.Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear 'enerapan

Ma"ri!s #r

%$S'L)(

S'LT(

IN(ERS )ETERMINAN

AL#KASI

6 jam (3 x pertemuan)

/entuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah ax5by6p................0#$ cx5dy67................0%$ Persamaan 0#$ dan 0%$ di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di  ba1ah ini. ax by  p = cx dy q

[

][]

'u+uan 'u+ua n pen penyel yelesai esaian an sist sistem em per persam samaan aan line li near ar du duaa va varia riabe bell ad adala alah h me mene nent ntuk ukan an nil ilai ai x da dan n y yan ang g me mem men enu uhi si sist stem em  persamaan itu.

KATA M#TI(ASI+

1. Menyelesaikan Invers Matriks

,-i!a !au "a! mengambi resi!%. Kau "a! $apa" men/ip"a!an sua"u masa $epan01

SPLDV

dengan

Persa Persama maan an matri matriks ks ini ini dapa dapatt deng dengan an mudah diselesaikan dengan menggunakan sifat berikut 8 #.

9ika AX  !" maka X  A#1!" dengan $A % &$

%.

9ika XA  !" maka X  !A #1" dengan $A % &$

[ ] [] []

a =  A Misalkan 8 c

b  x  p , X = , B= d  y q

6

dapat ditulis :;6/ sehingga persamaan linear dapat diselesaikan dalam bentuk  :;6/ 6< ;6:=#6/.

Dimana8 1

[

d : 6 det A −c =#

−b

a

]

Dan det : ≠ O

   a   %   S  7   %   "  n   %    C

#.Diketahui matriks=matriks sebagai berikut 8  A =

[ ] [ ] 9

7

5

4

, B=

a. :;6/

1

2

3

4

.'entukan .'entukan matriks berordo %x% yang memenuhi persamaan berikut8

b. ;:6/

 -awab

| |= 9

det :6

7

5

4

36

−35 =1

=#

: 6

[

4

−7

−5

9

]

a. :; 6 /

=#

; 6 : /6

[

[

4

−7

−5

9

][ ] 1

2

3

4

][

−21 −17 −20 8−28 = 6 −5 + 27 −10 + 36 22 26 4

] [

]

−17 −20 . 9adi pada persamaan :;6/ diperoleh matriks ;6 22 26

8

=#

 b. ;:6/ 6< ;6/: 6

6

[ ][ 1

2

3

4 −5

[

4

4 −10 12 −20

−7 9

] ][

−7 + 18 − = 6 −21 + 36 −8

9adi pada persamaan ;:6/ diperoleh matriks ; 6

11 15

[

]

−6 −8

11 15

]

.

'.Menyelesaikan SPLDV dengan Determinan Matriks

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut8 ax 5 by 6 p cx 5 dy 6 7 Dapat diselesaikandengan cara berikut8 a. Determinan >tama a b D 6 c d  6 ad ? bc 0Determinan koefisien x dan y dengan elemen=elemen matriks

[ ]

:$  b. Determinan (ariabel (ariabel x.  p b Dx 6 q d  6 pd ? b7 04anti kolom ke=# dengan elemen=elemen matriks /$

[ ]

c. Determinan Deter minan (ariabel (ariabel y. a p Dy 6 c q  6 a7 ? cp 04anti kolom ke=% dengan elemen=elemen matriks /$

[ ]

 @ilai x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut.  Dx  Dy , y= x6  D  D

   a   %   S  7   %   "  n   %    C #.'entukan #.'entukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode determinan.

%x 5 y 6& x ? %y 6 ?3  -awab

!ist !istem em pers persam amaa aan n line linear ar di atas atas dapa dapatt disu disusu sun n dala dalam m bent bentuk uk matr matrik ikss beri beriku kut. t. 2 1  x = 4 −3 1 −2  y

[

][ ] [ ]

Kita tentukan nilai D D x Dy .

D6

[

2

1

[− ] 4

Dx 6

]

−2  6 ? & ? # 6 ? A

1

3

1

2

 6 ? B ? 0?3$ 6 ? A

&

Dy 6

[

2 4

9adi x 6

1

]

−3  6 ? 2 ? & 6 ? #-

−5  Dy −5  6 # dan y 6  D  6

 Dx  D  6

10 5

 6 %.

B.Matriks berordo 3x3 sebelum mempela+ari cara mencari matriks ordo 3x3 terlebih dahulu harus mempela+ari tentang minor,kofaktor,dan adjoint.

minor  +ika pada ordo matriks 3x3 element e lement baris ke=i ke=i dan kolom ke= j di  j di hilangkan maka akan di dapat matriks yang baru dengan ordo %x%determinan matrik ordo %x% itulah yang yang disebut minor ditulisdengansimbol. agar lebih +elas perhatikan gambar berikut 9ika diketahui matriks matr iks : berordo berordo 3x3

:6

a11 a12 a21 a22

a13 a23

a31 a32

a33

Maka minor=minor dari matriks matr iks : adalah hilangkan baris ke=# dan kolom ke # matriks : diatas maka sisanya adalah elemen elemen di dalam kotak merah di ba1ah ini.

:6

[

a11 a12 a21 a22

a13 a23

a31 a32

a33

]

sehingga minor dari adalah hilangkan baris ke # dan kolom ke % matriks : maka 8 a a | M 11| 6 a22 a23 32 33    :

|

|

| M  | 32

|

a 21 a23 a33 31

| M  |= a 12

|

 hilangkan baris ke 3 dan kolom ke % matr matriks iks : diatas maka

   N    I    T    N    E    '    #    F    N    I

9

|

|

a11 a13 a23 21

| M  |= a 32

Ar"7ur Ca3e3 26;86< 6;=>5 A$aa7 A$aa 7 se%ran se%rang g imuan imuan Inggris 3ang memper!ena memper!ena!an !an ma"ri!s per"am per"ama a !ai !ai $aam $aam s"u$i s"u$i pers ersamaan aan ine inear $an "rans?%r"asi inear1 inear1

 +adi minor dari matriks : adalah

Kofaktor

Kofaktor dituliskan dengan simbol :i+ dibaca  dibaca kofaktor kofaktor baris ke=i ke=i dan kolom ke= j dan  j dan rumusnnya adalah

:i+6 0=#$ i5 +

| Mij|

 +ika diketahui matriks : adalah

:6

a11 a12 a21 a22

a13 a23

a31 a32

a33

dari rumus diatas maka kofaktor=kofaktor dari matriks : diatas adalah8  M   M  :##6 0=#$ #5 # | | 6 | | 11

11

 M  =−  M  :#%6 0=#$ #5 % | | | | 12

12

 M  =  M  :#36 0=#$ #5 3 | | | | 13

13

 M  =−  M  :#&6 0=#$ #5 & | | | | 14

14

9adi kofaktor dari matriks : adalah8

K6

[

 A 11  A 21  A 31

A 12 A 22 A 32

A13 A23 A33

]

Ad(oint

:d+oin :d+ointt suatu suatu matrik matrikss dipero diperoleh leh dari dari transpo transpose se matriks matriks kofakt kofaktorn ornya. ya.pem pemahm ahman an tentang ad+ointminordeterminandan kofaktor sangat dibutuhkan dalam menentukan invers matriks invers 3x3. >ntuk menentukan determinan matriks ordo 3x3 menggunakan metode sarrus.perhatikan contoh di ba1ah ini 8 9ika matriks / diketahui seperti di ba1ah ini

[ ] a d g

:6

b e h

c f  i

Maka determinan matriks / dapat di tentukan dengan metode sarrus yaitu 8

| | |

a |B|= d g

b e h

c a f  d i g

b e h

6 a.e.i 5 b.f.g 5 c.d.h = c.e.g = a.f.h ?b.d.i. ?b.d.i.

   a   %   S  7   %   "  n   %    C

#. 'entukan 'entukan determinan matriks di ba1ah ini

[

1

/6 −4 7

−2

3

5

6

−8

9

]

 jawab

Dengan menggunakan metode sarrus maka determinan matriks / adalah

|

1

|B|= −4 7

−2 5

−8

|

3

1

6 −4 9

7

−2 6

−8

>

¿ 1.5.9 + (−2 ) .6.7 + 3. (−4 ) . (−8 )−3.5 3.5 .7− 1.6 . (−8 ) — 2. (−4 ) .9 ¿ 45 −84 + 96−105 + 48 −72

¿−72

@

C.Menyelesaikan SPLTV dengan determinan Kalian tentu tahu bah1a untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan beberapa cara misalnya misalnya eliminasi eliminasi substitusi substitusi gabungan antara eliminasi dan substitusi operasi baris elementer serta menggunakan invers matriks. Kalian dapat menggunakan cara=cara tersebut dengan bebas yang menurut kalian paling efisien dan  palingmudah. Misalkan diberikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut. a#x 5 b#y 5 c# 6 d# a%x 5 b%y 5 c% 6 d% a3x 5 b3y 5 c3 6 d3 !istem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti berikut.

Misalkan : 6

[

a1 b 1 c 1 a2 b 2 c 2 a3 b 3 c 3

] [] ;6

 x  y  z

  dan / 6

[] d1 d2 d3

/entuk di atas dapat kita tuliskan sebagai :; 6 /. Penyelesaian sistem persamaan :; 6 / adalah ; 6 :=# /. Dalam hal ini 1

=#

:  6

det A

 adj

0:$

leh karena itu diperoleh8 1

; 6E

det A

 adj ( A )} B

asalkan det : F -.

1

 6

det A

 adj  adj A B

   a   %   S  7   %   "  n   %    C 'entukan 'entukan himpunan penyelesaian dari sistem siste m persamaan berikut. %x 5 y ?  6 # x5y562 x ? %y 5  6 -

 jawab !istem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks sebagai berikut.  x 2 1 1 −1 1 6 Misalkan : 6 1 1  ; 6  y   dan / 6 1 −2 1 0  z

[

[]

]

[]

Dengan menggunakan minor=kofaktor diperoleh 8 K ## ##6 0=#$

#5 #

K #% #%6 0=#$

#5 %

M## 6

M#% 6

| | | | 1

1

−2

1

1

1

1

1

6# ? 0=%$ 6 3

6=0#=#$ 6 -

| |

6=% 0=#$ 6 =3

| |

6#?0# =%$ 6 #

1 det : 6 %03$ ? #0-$ 51 0?#$0?3$ 6* #5 3

K #3 #36 0=#$

M#3 6

#5 # K ## M## 6 ##6 0=#$

1

−2

1

1

−2

1

Dengan menggunakan minor=kofaktor diperoleh 8 Dengan cara yang sama kalian akan memperoleh K 3# 3# 6 % K 3% 3% 6 ?3 dan K 33 33 6 # 0coba tun+ukkan$. 1

9adi ; 6 det A

Adj ( A ) B

9adi diperoleh x 6 # y 6 % dan  6 3. Dengan demikian himpunan penyelesaian sistem  persamaan di atas adalah E0# % 3$G.



La"i7an+ ;

#. Penyelesaian dari 3x ? %y6#% dan Ax 5 y6 ) x 6 p dan y6 7. 'entukan nilai &p 5 376........ ............................................ ................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. ............................... ........ %. Himpunan penyelesaian dari !PD( x ? %y6 #- dan 3x 5 %y6 =%....................................... ............................................ ................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. ............................... ........ 3. Himpunan penyelesaian dari %y ? x 6#- dan 3x 5 %y6%* dengan cara determinan............... ............................................ ................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. ............................... ........ &. 'entukan 'entukan Himpunan Penyelesaian dari 3x=%y56#x6%y6#........................................... 3x=%y56#x6%y6#................................................ ..... ............................................ ................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. ............................... ........ A.2x=#3y6B dan 3x=)y6=B tentukan nilai %x=Ay6........................................ %x=Ay6............................................................... ................................ ......... ............................................ ................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. ............................... ........ 2.%x53y6# 3x5y6A 'entukan 'entukan nilai x dan y dengan menggunakan invers matriks..................................................... matriks..................................................... ............................................ ................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. ............................... ........

).'entukan ).'entukan determinan matriks dari

[

3

5

1

2

−2

6

7

4

1

]

!

................................................................

.............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. ................................................ ......................... ........

B. 'entukan 'entukan :d+oin matriks dari

[

1

5

3

6

2

3

]

−2 −4 ! ...................................................................... 1

.............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. ................................................ ......................... ........ *. !elesaikan persamaan a5b6& dan %a5%b62 dan dengan metode invers................................. .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. ................................................ ......................... ........

#-. Ker+akan !oal no. * dengan metode determinan.................................................................. determinan..................................................................

'e!erjaan Ruma7 #. Harg Hargaa dela delapa pan n buah buah mang manggi giss dan dan dua dua seman semangk gkaa adala adalah h ,p #).#).------ - sedangkan harga enam buah manggis dan empat buah semangka adalah ,p #*.-----. 9ika :ndi ingin membeli enam buah manggis dan enam buah semangkamaka ia harus membayarJ........................................................ membayarJ............................................................. ..... .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ %. Pada Pada suatu suatu toko toko kue kue Ibu Ibu :ni :ni memb membel elii B buah buah kue kue : dan #- buah buah kue kue /dengan harga ,p. &-.----- dan Ibu Marni membeli #% buah kue : dan B  buah kue / dengan harga ,p &2.-----.Maka &2.-----.Maka tentukan berapa harga sebuah kue : dan / J.......................................... J................................................................. .............................................. ................................. .......... .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ 3. Himpun Himpunan an Penyel Penyelesai esaian an dari dari %y ? x 6 #- dan 3x 5 %y 6 %* dengan dengan inver inverss matriks............................................. matriks.................................................................... .............................................. ....................................... .................. .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ &. 3x5y6) dan Ax5%y6#% maka tentukan nilai %x53y dengan menggunakan invers matriks............................................. matriks.................................................................... ................................................ ......................... .... .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ A.Diketahui matriks : dan / seperti diba1ah ini. 9ika determinan matriks :6=B maka determinan matriks /

=

[ ][ a d g

:6

b e h

c 3a 3b 3c f  B = −d −e −f  4 g 4h 4i i

]

adalah......................................................

.............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................ .............................................. ..................................................................... .............................................. ................................................... ............................

F#RMAT F#RMAT 'ENILAIAN 'ENIL AIAN #. @orma penilaian8 >raian8 tidak di+a1ab skor - di+a1ab salah sal ah skor # di+a1ab setengah benar skor % di+a1ab  benar skor A. %. !tandar kelulusan8 65 !is1a dinyatakan tuntas +ika memperoleh nilai ≥  dari skor total. 3. embar penilaian8 embar Penilaian Ketuntasan !kor  'otal

Persen  @ilai

'untas

'idak  'untas

'indak an+ut ,emedi

Ca"a"an :uru+

Melan+utkan

Pengayaan

 @ilai Pengetahuan dan Pemahaman Konsep

 @ilai  @ilai Praktek  !ikap

6B

)a?"ar pus"a!a ,osyidah Hanik dan Pu+i Hastuti. Program Ilmu :lam Matematika !M:LM: Kelas ;II !emester 4asal.%-#&. Klaten9a1a 'engah8 'engah8 (iva (iva Pakarindo. K! 'untas Matematika Program !tudi IP: Kelas ;II.%-#&. !ugatno !.!i. 'aklukkan >+ian 3- Detik 9>9I'!> 09urus 9itu 'aklukkan !oal >+ian$Matematika !M:. %-#-. 9akarta8Media Pusindo.

66

i%$a"a 'enuis 68 Nama

+ Fena Hur3ani RiD!a

 Tempa".T  Tempa".Tangga angga La7ir Nama ama #ra #rang ng"u "ua a

+ S%%!. 6& Februari Februari 6==;

+Z Z11 --an anur ur! !a1 1A 1A 22a am5 m5  )an Res$awa"i1

Riwa3a" 'en$i$i!an 'en$i$i!an + S) N 6@ Tana7 Tana7 :aram.K%"a S%%! 28BB& < 8BB5 S) N 6= Kam Kampu pung ng -aw -awa. a. K%" K%"a a S%%! 28BB<8BB;5 S) N 6@ 6@ Nanba Nanbaim% im%.. K%"a K%"a S%%! S%%! 28BB;<8BB=5 SM' N &. K%"a K%"a S%%! 28BB=<8B685 SMA N 8. K%"a K%"a S%%! 28B68<8B6>5 28B68<8B6>5 UMMY S#L#K 28B6>
+ *a!i Ke"ua #SIS 8. 'eri%$e

Angg%" Angg %"a a 'ramu 'ramu!a !a SM' SM' N & K%"a %"a S%%!1 Angg%"a #sis $i SMA 8B6&<8B691 Angg%" Angg %"a a Mar/ Mar/7in 7ingb gban an$ $ SM' SM' N& $an SMA N 8. K%"a S%%!1 )ewan Ambaan 'ramu!a SMA N 8 K%"a S%%!1 'res"asi

+

-uara I 'I#NERIN:.Sesuma"era ara" $i 'N' 2'%i"e!ni! Negeri 'a$ang5.8 B691 -uara -uara II #im #impi pia$ a$e e E!%n E!%n%m %mii A!u"ansi 2#SK5 "ing!a" K%"a S%%! 8B6&1

6&