MATRICES
Los comienzos de las matrices, como tablas de números, números, datan del siglo II AC, aunque aunque hay indicios desde IV siglos AC. AC. Sin embargo, fue a fines del siglo XVII cuando se defini el conce!to de matriz y sus o!eraciones. Los comienzos de las matrices y los determinantes surgen a tra"#s del estudio estudio de sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales. $a en la antigua %abilonia se estudiaron !roblemas que in"olucraban a ecuaciones lineales simult&neas y algunos de estos son conser"ados en tabletas de arcilla que !ermanecieron en el tiem!o. 'or e(em!lo, una tableta que data alrededor de )** a+os AC contiene el siguiente !roblema "Hay dos terrenos cuya área total es de 1800 metros cuadrados. Uno produce granos en una proporción de 2/3 de una medida por yarda cuadrada mientras el otro produce granos en una proporción de 1/2 de una medida por metro cuadrado. Si la producción total es 1100 medidas, !uál es el tamao de cada terreno#"
Las matrices a!arecen !or !rimera "ez hacia el a+o -/*, introducidas !or 0.0. Syl"ester 1l desa desarr rrol ollo lo inic inicia iall de la teor teor2a 2a se debe debe al mate matem& m&ti tico co 3.4. 3.4. 5ami 5amilt lton on en -/) -/) 1n -/, A. Cayley introduce la notacin matricial como una forma abre"iada de escribir un sistema de m ecuaciones ecuaciones lineales con n incgnitas. incgnitas. Las matrices se utilizan en el c&lculo num#rico, en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las deri"adas !arciales. Adem&s de su utilidad !ara el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices a!arecen de forma natural en geometr2a, estad2stica, econom2a, inform&tica, f2sica, etc... La utiliz utilizaci acin n de matric matrices es 6array 6arrays7 s7 consti constituy tuyee actual actualmen mente te una !arte !arte esenci esencial al dn los lengua(es de !rogramacin, ya que la mayor2a de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas ho(as de c&lculo, bases de datos,... Se llama matriz de orden "m × n" a un con$unto rectangular de elementos a i$ dispuestos en m %ilas y en n columnas. columnas. &l orde orden n de una matri' tam(i)n tam(i)n se denomina denomina dimensión dimensión o tamao, tamao, siendo m y n n*meros naturales.
ALGUNOS TIPOS DE MATRICES +ipo de matri' FILA
e%inición -uella matri' ue tiene una sola %ila ,
siendo su orden
1×n
COLUMNA
-uella matri' ue tiene una sola columna , siendo su orden orden m×1
RECTANGULAR
-uella matri' ue tiene distinto n*mero de %ilas ue de columna s, siendo su orden mn ,
&$emplo
TRASPUESTA
ada una matri' A , se llama traspuesta de A a la matri' ue se o(tiene cam(iando ordenadamente las %ilas por las columnas. Se representa por At ó AT
OPUESTA
a matri' opuesta de una dada es la ue resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. a opuesta de A es -A.
NULA
Si todos sus elementos son cero. +am(i)n se denomina matri' cero y se denota por 0mn
CUADRADA
-uella matri' ue tiene igual n*mero de %ilas ue de columnas, m n, dici)ndose ue la matri' es de orden n. Diagonal pin!ipal " son los elementos a11 , a## , ..., ann Diagonal $%!&n'aia " son los elementos ai( con i)( * n)1 Ta+a '% &na mati+ !&a'a'a " es la suma de los elementos de la diagonal principal
Diagonal pin!ipal "
t A.
Diagonal $%!&n'aia "
SIM,TRICA
&s una matri' cuadrada ue es igual a su traspuesta. A * At ai( * a (i
ANTISIM,TRICA
&s una matri' cuadrada ue es igual a la opuesta de su traspuesta. A * -At ai( * a (i ecesariamente a ii
DIAGONAL
&s una matri' cuadrada ue tiene todos sus elementos nulos e4cepto los de la diagonal principal
ESCALAR
&s una matri' cuadrada ue tiene todos sus elementos nulos e4cepto los de la diagonal principal ue son iguales
IDENTIDAD
&s una matri' cuadrada ue tiene todos sus elementos nulos e4cepto los de la diagonal principal ue son iguales a 1. +am(ien se denomina matri' unidad.
TRIANGULAR
&s una matri' cuadrada ue tiene todos los elementos por encima 5por de(a$o6 de la diagonal principal nulos.
Una matri' ortogonal es necesariamente cuadrada e in7erti(le A-1 * AT
ORTOGONAL
NORMAL
IN0ERSA
La in/%$a '% &na mati+ otogonal %$ &na mati+ otogonal. El po'&!to '% 'o$ mati!%$ otogonal%$ %$ &na mati+ otogonal. El '%t%minant% '% &na mati+ otogonal /al% )1 ó -1. Una matri' es normal si conmuta con su traspuesta. as matrices sim)tricas, antisim)tricas u ortogonales son necesariamente normales. ecimos ue una matri' cuadrada A tiene in7ersa, A-1 si se 7eri%ica ue
AA-1 * A-1A * I
OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES La $&ma '% 'o$ mati!%$ A * 2ai(3m×n 4 5 * 26i(3 p× de la misma dimensión 5euidimensionales6 m p y n es otra matri' C * A)5 * 2! i(3m×n 2ai()6i(3
&s una ley de composición interna con las siguientes
PROPIEDADES:
A$o!iati/a" A)25)C3 * 2A)53)C Conm&tati/a " A)5 * 5)A El%m%nto n%&to " 2 mati+ !%o m×n 3 )A * A) * A El%m%nto Sim7ti!o " 2 mati+ op&%$ta -A 3 A ) 2-A3 * 2-A3 ) A * Al !on(&nto '% la$ mati!%$ '% 'im%n$ión m×n !&4o$ %l%m%nto$ $on n8m%o$ %al%$ lo /amo$ a %p%$%nta po Mm×n 4 !omo 9%mo$ /i$to po !&mpli la$ popi%'a'%$ ant%io%$ 2 M ) 3 %$ &n grupo a(eliano. :: a suma y di%erencia de dos matrices 9 está de%inida si sus dimensiones son distintas. ;;
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Paa m<ipli!a &n %$!ala po &na mati+ $% m<ipli!a %l %$!ala po to'o$ lo$ %l%m%nto$ '% la mati+ o6t%ni7n'o$% ota mati+ '%l mi$mo o'%n.
&s una ley de composición e4terna con las siguientes
PROPIEDADES :
Po t%n% %$ta$ 'o$ op%a!ion%$ /%i
( : + ⋅) m4n
- -
!on$tit&4% &n %$pa!io /%!toial
PRODUCTO DE MATRICES adas dos matrices - 5ai$ 6mn y ; 5(i$ 6 p= 'on'% n * p %$ '%!i %l n8m%o '% !ol&mna$ '% la pim%a mati+ - %$ ig&al al n8m%o '%
$ig&i%nt% n 4 5 'im%n$ión n > p la mati+ P $%? '% o'%n m > p. Ca'a %l%m%nto '% la mati+ po'&!to t%n'? la
Propiedades de prod!"to de matri"es 1. #. @. .
A25C3 * 2A53C El po'&!to '% mati!%$ %n g%n%al no %$ !onm&tati/o. Si A %$ &na mati+ !&a'a'a '% o'%n n $% ti%n% AIn * InA * A. Da'a &na mati+ !&a'a'a A '% o'%n n no $i%mp% %>i$t% ota mati+ 5 tal =&% A#$ % $#A % I n. Si %>i$t% 'i!9a mati+ 5 $% 'i!% =&% %$ la mati+ in/%$a '% A 4 $% %p%$%nta po A B1 .
. El po'&!to '% mati!%$ %$ 'i$ti6&ti/o %$p%!to '% la $&ma '% mati!%$ %$ '%!i" A#&$ ' C( % A#$ ' A#C Conse"!en"ias de as propiedades 1. Si A5* no impli!a =&% A* ó 5*. #. Si A5*AC no impli!a =&% 5 * C. @. En g%n%al 2A)53# A# ) 5# )#A54a =&% A5 5A. . En g%n%al 2A)532AB53 A# B5# 4a =&% A5 5A.
MATRIZ IN)ERSA S% llama mati+ in/%$a '% &na mati+ !&a'a'a An 4 la %p%$%ntamo$ po A-1 a la mati+ =&% /%i
Propiedades de a in*ersi+n de matri"es 1. La mati+ in/%$a $i %>i$t% %$ 8ni!a. #. A-1A*AA-1*I @.
∃ -
−1
⇔
-
≠
.
. 2A53 -1*5-1A-1 . 2A-13 -1*A . 2A3 -1*21A-1 H. 2At3 B1*2A-13 t . -
−1
=
1 -
⋅ 2 -d$ 2 -33
t
O6$%/a!ion%$ •
• •
Po'%mo$ %n!onta mati!%$ =&% !&mpl%n A5 * I p%o =&% 5A I %n tal !a$o po'%mo$ '%!i =&% A %$ la in/%$a '% 5 Jpo la i+=&i%'aJ o =&% 5 %$ la in/%$a '% A Jpo la '%%!9aJ. Sólo %>i$t% mati+ in/%$a '% &na mati+ !&a'a'a $i 7$ta %$ regular. La mati+ in/%$a '% &na mati+ !&a'a'a $i %>i$t% %$ 8ni!a.
•
Ent% mati!%$ NO %>i$t% la op%a!ión '% 'i/i$ión la mati+ in/%$a %ali+a <&n!ion%$ an?loga$.
M,TODOS PARA -ALLAR LA MATRIZ IN)ERSA : 1. Aplicando la definición 2. Por el método de Gauss
El m7to'o '% Ga&$$-Ko'an paa !al!&la la mati+ in/%$a '% &na 'a'a $% 6a$a %n &na tiang&lai+a!ión $&p%io 4 l&%go ota in<%io '% la mati+ a la !&al $% l% =&i%% !al!&la la in/%$a. Paa apli!a %l m7to'o $% n%!%$ita &na mati+ !&a'a'a '% ango m?>imo. Sa6%mo$ =&% no $i%mp% &na mati+ ti%n% in/%$a po lo !&al !ompo6a%mo$ =&% la mati+ t%nga ango m?>imo al apli!a %l m7to'o '% Ga&$$ paa %ali+a la tiang&lai+a!ión $&p%io. Si al apli!a %l m7to'o '% Ga&$$ 2tiang&lai+a!ión in<%io3 $% o6ti%n% &na ln%a '% !%o$ la mati+ no ti%n% in/%$a. 3. Por determinantes
Da'a &na mati+ !&a'a'a A $% llama mati+ a'(&nta '% A 4 $% %p%$%nta po A'(2A3 a la mati+ '% lo$ a'(&nto$ A'(2A3 * 2Ai(3. Si t%n%mo$ &na mati+ tal =&% '%t 2A3 $% /%i
E$to %$
TRASPOSICI.N DE MATRICES La transposi"i+n '% &na mati+ A %$ &na op%a!ión =&% !on$i$t% %n !olo!a la$ 1 %$ ig&al a $& ta$p&%$ta • •
•
•
La ta$p&%$ta '% &na $&ma %$ la $&ma '% la$ ta$p&%$ta$" & A ' $ ( t % At ' $t La ta$p&%$ta '%l po'&!to '% &n %$!ala po !&al=&i% mati+ %$ ig&al al po'&!to '%l %$!ala po la ta$p&%$ta '% la mati+" & / 0/A (t % / 0/At La ta$p&%$ta '% &n po'&!to '% mati!%$ %$ ig&al al po'&!to '% la$ ta$p&%$ta$ %n o'%n p%m&ta'o" & A 1 $ ( t % $t 1 At La ta$po$i!ión /%i
En alg&na$ o!a$ion%$ la ta$po$i!ión po'&!% %$<a'o$ %$p%!ial%$ a t%n% %n !&%nta. E$ %l !a$o '% lo =&% $% '%nomina mati+ sim2tri"a 4 mati+ antisim2tri"a.
RANGO DE UNA MATRIZ RANGO '% &na mati+ %$ %l n8m%o '% ln%a$ '% %$a mati+ 2
1. Int%!am6ia 'o$ ln%a$ %nt% $. #. S&pimi &na ln%a =&% t%nga to'o$ $&$ %l%m%nto$ n&lo$. @. S&pimi &na ln%a =&% $%a popo!ional a ota. . S&pimi &na ln%a =&% $%a !om6ina!ión lin%al '% ota$ . M<ipli!a o 'i/i'i &na ln%a po &n n8m%o 'i$tinto '% !%o. . S&$tit&i &na ln%a i '% %$t% mo'o " Li * aLi ) 6L ( H. S&$tit&i &na ln%a i '% %$t% mo'o " Li * Li ) aL ( La$ popi%'a'%$ ant%io%$ NO p&%'%n $% apli!a'a$ %n %l !?l!&lo '% '%t%minant%$ p&%$ alt%aan %l /alo '% lo$ mi$mo$ %>!%pto %n %l !a$o H. Sin %m6ago to'a$ %lla$ p&%'%n &tili+a$% paa a/%ig&a %l ango '% &na mati+ $in =&% $% mo'i
Como mnimo %l ango '% &na mati+ $i%mp% $%? 1 $al/o paa la mati+ n&la !&4o ango %$ !%o. Paa po'% !al!&la %l ango '% &na mati+ 7$ta no ti%n% po =&% $% n%!%$aiam%nt% !&a'a'a. Una mati+ !&a'a'a '% o'%n JnJ !omo m?>imo $& ango %$ n. Una mati+ !&a'a'a '% o'%n JnJ %$ in/%$i6l% 2%g&la3 $i %l ango %$ n. E$ '%!i !&an'o la$
M2todo '% Ga&$$ S% &tili+a !on <%!&%n!ia %n la %$ol&!ión '% $i$t%ma$ '% %!&a!ion%$ lin%al%$. 0amo$ a '%$!i6i %l m7to'o po
El m7to'o !on$ta '% m-1 %tapa$ $i%n'o m %l n8m%o '%
Si %l %l%m%nto aii %$ ig&al a !%o %$ p%!i$o int%!am6ia p%/iam%nt% %$a
Finalm%nt% el rango es el n*mero de %ilas distintas de cero =&% apa%!%n %n la mati+. De4ini"i+n 561 RANGO 2o !aa!t%$ti!a3 '% &na mati+ %$ %l o'%n '%l ma4o '% lo$ m%no%$ 'i$tinto$ '% !%o. Po tanto %l ango no p&%'% $% ma4o al n8m%o '%
M2todo 7asado en e "8"!o de menores1
Com%n+an'o po %l o'%n >2 $% %ali+a %l po!%$o $ig&i%nt% 2paa &na %tapa > !&al=&i%a3 S% 6&$!a &n m%no '% o'%n > %nton!%$ %l ango $%? > S% aa'% a 'i!9o m%no &na ?1. Si to'o$ %$to$ m%no%$ $on n&lo$ $igni . Si alg&no '% lo$ m%no%$ >?1 %$ 'i$tinto '% !%o %l ango %$ po!%$o paa oto o'%n > $&p%io.
>?1 4 %p%timo$ %l
