Matrices

MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERÍA

MATRICES DEFINICIÓN Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en filas fil as o columnas. Por ejemplo: π  2 1  3a  0 − 1 10  − c  [ 3 − 6 0]     1   4b  2 − 5 Notación: Las matrices matrices se denotan denotan con letras mayúsculas, mayúsculas, tal como A, A, B, C, …etc. El conjunto conjunto de elementos o componentes de una matriz se encierra entre paréntesis o corchetes y en los casos en que no se use números reales específicos, se denotan con letras minúsculas subindicadas: a ij , bij , c ij , es decir:

En general el elemento a ij ocupa la intersección de la i – ésima fila y la j – ésima columna

ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz esta dado por el producto indicado m × n , donde m indica el número de filas y n el número de columnas. Ejemplo: 1 2

− 9

0 4

− 1

A = 

 es una matriz de orden 2 × 3

4 − 6 B =  7  0

4 0 2 2 1 2 es una matriz de orden 4 × 4 0 5 5  1 1 9 La forma mas frecuente de designar una matriz es A = aij m×n ó A = aij

m×n

TIPOS DE MATRICES 1. Matriz Rectangular. La matriz de orden m × n , con m ≠ n recibe el nombre de matriz rectangular. Ejemplo:  1 1 4 A =    − 1 2 0 _______________________ __________________________________ _______________________ _______________________ _______________________ __________________ ______ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA

MATEMÁTICA BÁSICA – 2011 - I

1

2. Matriz Fila. La matriz de orden 1 × n se denomina matriz fila. Ejemplo: A = [0

2

−1

5]

3. Matriz Columna. La matriz de m filas y una columna recibe el nombre de matriz columna de orden m ×1 . Ejemplo: 0    A = 5   1 4. Matriz Nula. Es la matriz cuyos elementos son todos ceros. Ejemplo: 0 0 0 0    A = 0 0 0 0   0 0 0 0

5. Matriz Cuadrada. Si tiene el mismo número de filas y columnas. Una matriz cuadrada con n filas y n columnas se llama también una matriz de orden n. Ejemplo:  2 1 0   A = − 4 1 − 1    7 5 0  Dada una matriz cuadrada de orden n, A = aij m×n , llamaremos diagonal principal de A a los elementos aii , donde 1 ≤ i ≤ n 2 1  A = − 4 1   7 5

0  − 1 es la diagonal  0  principal

6. Matriz Triangular. Una matriz cuadrada es una matriz triangular superior si todos los elementos por

debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: 9 6  A = 0 5  0 0

5  −2  − 1 

Diremos que A es una matriz triangular inferior si todos los elementos por encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: 7 0 0    A = 11 5 0    1 4 − 1

7. Matriz Diagonal . Una matriz es diagonal si es triangular inferior y superior a la vez, es decir, todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal.  − 1 0 0   A = 0 3 0    0 0 9 8. Matriz Escalar. Es una matriz diagonal en la que todos sus elementos de la diagonal principal son todos cero. Ejemplo: 6 0 0    A = 0 6 0   0 0 6 9. Matriz Identidad. Una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son todos uno y los otros elementos son todos cero, reciben el nombre de matriz identidad. Se denota generalmente con I n . Ejemplo: 1 0 0    I 3 = 0 1 0   0 0 1

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2

10. Matriz Transpuesta. Dada una matriz A de orden m × n , se llama matriz transpuesta de A a la matriz de orden n × m cuyos elementos se obtienen intercambiando las filas por columnas. Se denota por A t Ejemplo: 2 1 Si A =  3 2

 2 3 , la transpuesta es A t =  1 2  5 − 4 5

− 4

Propiedades:

( A )

t t

=

( A + B ) = At + B t ( AB )t = B t A t

A

(λ A)t = λ A t

IGUALDAD DE MATRICES Se dice que dos matrices A y B son iguales si son del mismo orden y sus componentes correspondientes son iguales, es decir a ij

m×n

=

bij

m×n

aij

⇔

=

bij ,

∀i, j

3 1   x − y 1 Ejemplo: Dadas las matrices A =  B y =  3 x − y 3 , hallar los valores de x e y de 5 3     modo que A = B . 3 1  x − y 1  = 3 x − y 3 entonces x − y 5 3    

Si A = 

=3

∧

3 x − y = 5 . Resolviendo el sistema

obtenemos x = 1 , y = −2 .

OPERACIONES CON MATRICES SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES Dos matrices se pueden sumar o restas si tienen la misma dimensión. Si la dimensión no es la misma, su suma o diferencia no esta definida. Las matrices se pueden sumar o restar, sumando o restando sus elementos correspondientes. Es decir; Si A = aij y B = bij son matrices de dimensión n × m la suma A + B y la diferencia A – B también tiene dimensión n × m y A + B

=

aij

+ bij

A − B

=

aij

− bij

Ejemplo: 2 Sean A = 0 7

−3

  1 0 5  y B =  − 3 1  entonces:  2 2 − 1 / 2 



3

2  A + B = 0  7 2  A − B = 0  7

−3

  1 0  3 − 3  5  + − 3 1  = − 3 6  − 1 / 2   2 2  9 3 / 2 −3

  1 0 1 5  −  − 3 1 = 3 − 1 / 2   2 2 5

−3

 4  − 5 / 2 

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Para multiplicar una matriz por un número, se multiplica cada elemento de la matriz por ese número. Es decir, Si A = aij es una matriz de dimensión n × m y k ∈ R , entonces la matriz kA también tiene dimensión n × m y se define como kA = kaij

Ejemplo: 2 Sean A = 0 7

−3

 5  , para k = 3 , la matriz 3 A es − 1 / 2 

2 3 A = 3 0 7

−3

 6 5  =  0 − 1 / 2  21

−9

 15  − 3 / 2 

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES El producto de dos matrices A y B es AB o A.B y sólo está definido cuando la cantidad de columnas en A es igual a la cantidad de filas en B. Esto es ⇒

Ejemplo: 1

3 − 1 5 2 B = y   0 4 7  . Calcule, de ser posible, los productos AB y BA. − 1 0    

Sean A = 

Solución Ya que la dimensión de A es de 2x2 y la de B es de 2x3, el producto AB está definido, y su dimensión es 2x3. Por consiguiente, podemos escribir C = AB

=

 1 3  − 1 5 2   − 1 0  0 4 7    2×2   2×3

=

? ? ? ? ? ?   2×3

Los elementos de la matriz AB se calculan de la siguiente manera ___________________________________________________________________________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA


4

Elemento cij

Producto de la fila i por columna j

Valor

Matriz producto

c11

 1 3 − 1 5 2  − 1 0  0 4 7     

1(−1) + 3(0) = −1

 −1 ? ?   ? ? ?   

c12

 1 3  − 1 5 2  − 1 0   0 4 7     

1(5) + 3(4) = 17

− 1 17 ?  ? ? ?  

c13

 1 3 − 1 5 2  − 1 0  0 4 7     

1(2) + 3(7) = 23

− 1 17 23 ? ? ?  

c 21

 1 3  − 1 5 2   − 1 0  0 4 7     

− 1( −1) + 0(0) = 1

− 1 17 23 1 ? ?  

c 22

 1 3  − 1 5 2  − 1 0   0 4 7     

− 1(5) + 0( 4) = −5

− 1 17 23  1 −5 ?   

c 23

 1 3  − 1 5 2  − 1 0   0 4 7     

− 1( 2) + 0(7) = −2

− 1 17  1 −5 

23   − 2

Entonces llegamos a C = AB

=

− 1 17 1 5 

23   − 2

Sin embargo el producto BA no está definido porque las dimensiones son 2 ×3 y 2 × 2

Propiedades de la multiplicación de matrices Sean A, B, C y D matrices para las cuales están definidos los siguientes productos. Entonces A( BC ) = ( AB)C A( B + C ) = AB + AC ( B + C ) D = BD + CD



5

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Las matrices A, B, C, D, E, F y G se definen como sigue: 2

A = 

− 5

0

D = [7

B

7  3]

1    E = 2   0

=

3 1 / 2 5 1 − 1 3  

2

− 5/ 2

0

2

C = 

1 0 0    F = 0 1 0   0 0 1 

5  G= 6  − 5

−3

1 2

0  − 3 10 0  2 

Efectúe la operación algebraica indicada, o explique porque no se puede hacer a) b) c) d)

2. 3. 4.

B+C B+F C–B 5A

1 Si A = 5 1

e) f) g) h) 2 0 −1

3B + 2C C – 5A 2C – 6B DA

i) AD j) BC k) BF l) GF

m)(DA)B n) GE o) DB + DC p) BF + FE

− 3

 3 1 − 2 2  y B =  0 1 4  . Encuentre la matriz C tal que A + 2C = B . − 2 0 − 1 1  a b  2 3 1 0 A Encuentre una matriz A =  tal que  1 2  = 0 1  . c d       2 6   x  b = Sea A =  encuentre un vector no nulo   y  tal que A.b = 6.b − 8 6    

5. Resuelva la ecuación matricial para la matriz incógnita X o explique por qué esa ecuación no tiene solución. Sean  2 3 10 20 4 6 2 5         A =  B =  C = 1 0 D = 30 20       1 3  3 7 0 2 10 0  a) 2 X − A = B

b) 3 X + B = C

c) 5( X − C ) = D

d) A + D = 3 X

6. Un fabricante de joyería de diseño tiene órdenes por dos anillos, tres pares de aretes, cinco prendedores y un collar. El fabricante estima que le llevará 1 hora de mano de obra hacer un anillo, 1 ½ horas hacer un par de aretes, ½ hora para un prendedor y 2 horas para un collar. a) Exprese las órdenes del fabricante como una matriz fila. b) Exprese los requerimientos en horas para los distintos tipos de joyas como un vector columna. c) Calcule el número total de horas que requerirá para terminar las órdenes. 7. Una pequeña cadena tiene restaurantes de comida rápida en Santa Mónica, Long Beach y Anaheim. Sólo vende hot dogs, hamburguesas y malteadas. Cierto día, las ventas se distribuyeron de acuerdo a la siguiente matriz ___________________________________________________________________________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA


6

El precio de cada artículo se expresa con la siguiente matriz.

a) Calcule el producto BA b) Interprete los elementos de la matriz producto BA 8. Un fabricante de muebles produce tres modelos de escritorios que llevan tiradores de metal y chapas especificadas por la siguiente tabla: Nº tiradores Nº chapas

A 8 3

B 6 2

C 4 1

Si el fabricante recibe pedidos en el mes de Agosto, 15 del modelo A, 24 del modelo B y 17 del modelo C; y en el mes de Setiembre, 25 del modelo A, 32 del modelo B y 27 del modelo C. ¿Cuántos tiradores y chapas debe disponer cada mes para poder atender a los pedidos? 9. Una compañía tiene 4 fabricas, cada una emplea administradores, supervisores y trabajadores calificados en la forma siguiente: Administradores Supervisores Trabajadores

Fábrica 1 1 4 80

Fábrica 2 2 6 96

Fábrica 3 1 3 67

Fábrica 4 1 4 75

Si los administradores ganan $350 a la semana, los supervisores $275 y los trabajadores $200, ¿cuál es la nómina de cada fábrica? 10. Una industria fabrica dos tipos de bombillas: Transparentes (T) y Opacas (O), de cada tipo se hacen cuatro modelos M1, M2, M3, M4. La siguiente tabla muestra la producción semanal de bombillas de cada tipo y modelo



7

El porcentaje de bombillas defectuosas es del 2% en el modelo M1, el 5% en el modelo M2, el 8% en el modelo M3 y el 10% en el modelo M4. Calcula la matriz que expresa el número de bombillas transparentes y opacas, buenas y defectuosas, que se producen. 11. Las cantidades compradas, en litros, de tres clases de vino, se reflejan en la matriz fila:

Donde B=Blanco, T=Tinto, R=Rosado, y los precios pagados por cada litro en la matriz columna:

Halla los productos L·P y P·L dando una interpretación de los resultados obtenidos. 12. Un constructor hace una urbanización con tres tipos de viviendas: S (sencillas), N (normales) y L (lujo). Cada vivienda de tipo S tiene 1 ventana grande, 7 medianas y1 pequeña. Cada vivienda de tipo N tiene 2 ventanas grandes, 9 medianas y2 pequeñas. Y cada vivienda de tipo L tiene 4 ventanas grandes, 10 medianas y3 pequeñas. Cada ventana grande tiene 4 cristales y8 bisagras; cada ventana mediana tiene 2 cristales y 4 bisagras; y cada ventana pequeña tiene 1 cristal y2 bisagras. a) Escribir una matriz que describa el número y tamaño de ventanas en cada tipo de vivienda y otra matriz que exprese el número de cristales y el número de bisagras de cada tipo de ventana. b) Calcular una matriz, a partir de la anteriores, que exprese el número de cristales y bisagras necesarios en cada tipo de vivienda. 13. Una fábrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios A, B y C, a cuatro países de África, P 1 , P 2 , P 3 y P 4, según se describe en la matriz M 1 (cantidades en toneladas). Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a los países de destino, como indica la matriz M 2 (en $ por tonelada).

Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones: a) .Qué representa a11 de la matriz producto? b) .Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto C con la empresa E 2 c) Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decir cuál es la empresa que más barato transporta el producto B a todos los países.



8

DETERMINANTES TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Dada una matriz de cualquier orden, se puede desarrollar algunas operaciones simples con las filas y columnas. El propósito fundamental es el desarrollo de matrices para simplificar algunos cálculos y también alcanzar resultados teóricos significativos para un mejor estudio de las matrices. Transformación elemental fila (columna) α F . i Multiplicación de la fila (columna) i por un escalar • F i ↔ F j Intercambio de la fila (columna) i por la fila (columna) j. • α F . i + F j Suma de una fila (columna) i multiplicada por un escalar α a otra. El resultado • se ubica en la fila (columna) j. DEFINICIÓN

Determinante es un número real asociado a una matriz cuadrada A, que se denota por | A| o det( A) . El determinante de una matriz es un solo número real y su cálculo depende del orden de la matriz cuadrada en particular. CALCULO DEL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Matriz de orden 2: Para una matriz cuadrada de orden 2, este número se define como: | A |=

a11

a12

a 21

a 22

=

a11 .a 22

− a 21 .a12

Matriz de orden 3: Para una matriz de orden 3 su valor se define como: a11

a12

a13

| A |= a 21 a 22 a 23 a31

a32

=

a11 .a 22 .a33

+ a12 .a 23 .a 31 +

a 21 .a32 .a13

− a31 .a 22 .a13 − a 32 .a 23 .a11 − a 21 .a12 .a 33

a33

Matriz de orden n: Calculo del determinante mediante la reducción a la forma escalonada El calculo de determinantes de ciertas matrices se puede efectuar haciendo uso de la matriz escalonada, para lo cual se tiene en consideración lo siguiente: Si A es una matriz triangular (superior o inferior) de orden n, entonces el | A | es igual al producto de las componentes que pertenecen a la diagonal principal. Ejemplo: 2 Si A = 0 0

2 123 −1 8  entonces | A |= (2)(−1)(3) = −6 . 0 3 



9

Si una matriz no es escalonada, se utilizan las transformaciones elementales para encontrar su determinante. Ejemplo: 1 0 1 0

2 0 1 0

1 1 0 1

2 1 2 ( 1) F 1 F 3 0     → 0 0 1 0

2 0 −1 0

1 1 −1 1

2 1 2 F 2 F 2 0    → − 0 −2 1 0

1 0 ( 1) F 3 F 4     → − 0 0

2 −1 0 0

1 −1 1 0

2 −2 2 −1

−

−

+

+

↔

2 −1 0 0

1 −1 1 1

2 −2 2 1

= (−)(1)( −1)(1)( −1) = −1

Observe que en la segunda transformación el determinante se multiplicó por - . Siempre que se utilice transformaciones elementales por fila o columna debe considerarse lo siguiente:

Propiedades de los determinantes • Si en un determinante se cambian entre sí, dos filas o columnas, el determinante cambia de signo pero no en valor. Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un número, el valor del • determinante queda multiplicado por la inversa de dicho número. Si todos los elementos de una fila o columna son cero, el determinante es cero. • • Si dos filas o columnas son iguales el determinante es cero • Si dos filas o columnas son proporcionales el determinante es cero • Si una fila o columna se le suma un múltiplo cualquiera de otra fila o columna, el determinante no varía. EJERCICIOS PROPUESTOS Calcular los siguientes determinantes: 0 4 −5 2 1 1. 8 0 − 2 5. 0 3 2 −1 8 4 1 2.

3.

4.

1 2 2 1 −1 1

1 − 1 R. 6 0

6.

1 1 2 0 1 1 R.2 −1 0 1 2 1 0

1 0 −1

−1

2 R. 1 4

1 3 2 2 −1

7.

0 0 3

2 − 1 R. -20 1

−2

3 1 7 −1 2 −3 8 1 3 4 1

2 2 1 5

1 3 3 4 0 1 R. 45 2 7

−1

2 1 1 2 4 8. 2 0 −1 3 2 −1 R. -128 1 4 2 0 9. 4 −1 1 0 R. 275

2 1 3 0

−3

1 6 3 2 5 −2 4



10

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales tiene la siguiente representación general: a11 x1

+ a12 x 2 + a13 x 3 + K + a1n x n = b1

a 21 x1

+ a 22 x 2 +

a 23 x 3 + K + a 2 n x n

=

b2

M

a m1 x1

+

a m 2 x 2

+ a m 3 x 3 + K + a mn x n =

(1)

bm

Donde las constantes reales de las ecuaciones (1) se pueden establecer en el siguiente arreglo de mxn  a11 a 21 A =   M  a m1

a12

K

a 22

K

M

O

am2

K

a1n 

  M   a mn  a2n

al que llamaremos matriz de coeficientes del sistema (1) . A los vectores:  x1   x  2 x =   M    x n 

 b1  b  2 b=  M   bm 

y

Llamaremos respectivamente, vector columna de las incógnitas o vector solución y vector columna de los términos independientes . Por lo que el sistema (1) puede representarse de la forma Ax

=

b

CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS LINEALES

Según el número de soluciones, los sistemas se clasifican en: •

Sistema compatible determinado , si tiene única solución.

•

Sistema compatible indeterminado , si tiene infinitas soluciones.

•

Sistema incompatible, si no tiene soluciones.



11

METODOS DE SOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.

MÉTODO DE CRAMER

Se utiliza para resolver sistemas cuadrados del tipo: a11 x1

+ a12 x 2 + a13 x 3 + K + a1n x n = b1

a 21 x1

+ a 22 x 2 +

a 23 x 3 + K + a 2 n x n

=

b2

=

bn

M

a n1 x1 + a n 2 x 2

+

a n 3 x 3 + K + a nn x n

| Ai | , donde | Ai | es el determinante de | A | la matriz A en la cual ha sido sustituido la columna i-ésima por el vector columna de los términos independientes b del sistema Ax = b para cada i. Las incógnitas xi , i = 1, 2, …, n se obtienen como: xi

Ejemplo: Resolver

=

 x + y + z = 1   x − 2 y + 3 z = 2  x + z = 5 

Solución:

= [(1)(-2)(1)+(1)(3)(1)+(1)(1)(0)]-[(1)(-2)(1)+(0)(3)(1)+(1)(1)(1)] =2

Luego:

x

=

| A1 | 21 = | A | 2

y

=

| A2 | 21 = | A | 2

z =

| A3 | − 11 = | A | 2

EJERCICIOS PROPUESTOS Desarrollar por el método de Cramer los siguientes sistemas de ecuaciones 2 x + y − 3 z = −2  1.  x − 2 y − 4 z = 4 3 x + 4 y − 5 z = −1 

3 x − y − 2 z = 4  2. 2 x + y + 4 z = 2 7 x − 2 y − z = 4 

2 x − 5 y + 2 z = −2  3. 4 x + 6 y − z = 23 2 x + 7 y + 4 z = 24 



12

3 x − 4 y − 6 z = −16  4. 4 x − y − z = 5  x − 3 y − 2 z = −2   x + y − z = 0  7. 2 x + 3 y − 5 z = 7 3 x − 2 y + z = −.2 

2.

3 x + 4 y − z = 1  5. 4 x + 6 y + 2 z = −3 2 x − 2 y − 5 z = −2 

2 x − y + z = 4  6.  y − z = −2  x − y − z = −5 

3 x + 4 y + z + 2w = −3 3 x + 5 y + 3 z + 5w = −6  8.  6 x + 8 y + z + 5w = −8 3 x + 5 y + 3 z + 7 w = −8

2 x + 2 y − 5 z = 9  9. 2 x − y + z = 3 − x − y + 2 z = −5 

MÉTODO DE GAUSS

Al adjuntar el vector columna b a la matriz A, se determina una matriz de orden m x (n+1) a la cual llamaremos matriz ampliada del sistema (1) y se escribirá del siguiente modo  a11  a 21 M =   M  a m1

b1 

a12

K

a1n

a 22

K

a 2 n b2 

M

O

M

am 2

K

a mn



  bm  M

Teniendo en consideración que las filas de una matriz aumentada corresponden a las ecuaciones del sistema asociado, el método para resolver el sistema, empleando matrices, se sustenta en la idea básica de reducir la matriz ampliada a la forma escalonada o reducida por filas como para poder alcanzar la solución del sistema por simple inspección o en su defecto, luego de posteriores etapas que simplifiquen el problema. Una matriz escalonada o reducida por filas de A se obtiene a partir de A mediante operaciones elementales por filas en la cual el primer elemento no nulo de cada fila se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior, y por encima de él todos los elementos son nulos.  x − y + z = 4  Ejemplo 1: Resolver el sistema 2 x + y − z = −1  x + 2 y − z = −3 

Solución: 1  2 1

−1

1 2

1 −1 −1

4  −1  − 3 

1  0 0

−1

3 3

1 −3 −2

4  −9  − 7 

1  0 0

−1

1 0

1 4  −1 − 3  1 2 

Y se resuelve, por sustitución hacia atrás, el sistema equivalente es



13

 x − y + z = 4   y − z = −3  z = 2 

⇒

 x = 1   y = −1 . El sistema tiene única solución (Compatible determinado)  z = 2 

 x + 2 y − 3 z − 4 w = 6  Ejemplo 2: Resolver  x + 3 y − z − 2w = 4 2 x + 5 y − 2 z − 5w = 10 

Solución: La matriz aumentada del sistema es 1 2  1 3 2 5

6  1 −2 4 − 2 − 3 10  −3

−4

1 2  0 1 0 1

−3

−4

4 4

2 3

6  −2  − 2 

1 2  0 1 0 0

−3

−4

4 0

2 1

6  −2  0 

El sistema equivalente a esta última matriz es  x + 2 y − 3 z − 4w = 6  y + 4 z + 2w = −2   w=0 

Resolviendo estas ecuaciones para las variables principales ( x, y, w) se tiene:  x = 10 + 11 z   y = −2 − 4 z w = 0 

Finalmente asignamos un valor arbitrario t para la variable no principal z, esto es z = t , se tiene:  x = 10 + 11t  y = −2 − 4t    z = t  w = 0

Decimos entonces que el sistema tiene un número infinito de soluciones. (compatible indeterminado).  x − 2 y + z − 4w = 1  Ejemplo 3: Resolver  x + 3 y + 7 z + 2 w = 2  x − 12 y − 11 z − 16w = 5  ___________________________________________________________________________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA


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Solución: La matriz aumentada del sistema es 1  1 1

−2

1 3 7 − 12 − 11 1  0 0

−4

2 − 16 −2

5 0

1  2 5 1 6 0

1  0 0 −4

6 0

−2

1 5 6 − 10 − 12

−4

6 − 12

1  1 4

1  1 6

La última fila correspondiente a la ecuación es

0. x + 0. y + 0. z + 0.w = 6

↔

0 = 6

Lo que es absurdo, por tanto, el sistema no tiene solución. (Incompatible)

EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver los sistemas siguientes por el método de Gauss

1.

 x − y + z = 4  2 x + y − 3 z = 0  x + y + z = 2 

2.

2 x + 3 y − z = 9  3 x + 4 y + 2 z = 5  x − 6 y − 5 z = −9 

3.

2 x + y − z = 5   x − y + 2 z = −10  x − 2 y − 4 z = −3 

4.

5 x − 2 y + z = 3  6 x + y − 4 z = 62  x + 2 y + z = 15 

5.

 x − 2 y + z − 4w = 1   x + 3 y + 7 z + 2w = 2  x − 12 y − 11 z − 16 w = 5 

 x + 5 y + 4 z + 3w = 1  2 x − y + 2 z − w = 0 5 z + 3 y + 8 z + w = 1 

9.

6.

9 x − 3 y + 5 z + 6w = 4  6 x − 2 y + 3 z + 4 w = 5 3 x − y + +3 z + 14 w = −8 

 x − 2 y + 3 z + w = 0  10. 3 x − 5 y + 4 z + 2w = 0 4 x − 9 y + 17 z + 5w = 0 

7.

 x − 2 y + 2 z − w = −14 3 x + 2 y − z + 2w = 17   2 x + 3 y − z − w = 18 2 x − 5 y + 3 z + 3w = −26

 x + 2 y + 3 z = −1  11.  x − 3 y − 2 z = 3 2 x − y + z = −2 

8.

 x + y + z + w = 2 2 x + y − z − 3w = 14    x − 3 y − 2 z − w = −3 3 x − 5 y + 2 z + 2w = −15

PROBLEMAS 1. Una fábrica posee tres máquinas A, B, y C, las cuales trabajan en un día, durante 15, 22 y 23 horas, respectivamente. Se producen tres artículos X, Y y Z en estas máquinas, en un día, ___________________________________________________________________________ 15 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA


como sigue: una unidad de X está en A durante 1 hora, en B durante 2 horas, en C durante 1 hora; una unidad de Y está en A durante 2 horas, en B durante 2 horas, en C durante 3 horas; una unidad de Z está en A durante una hora, en B durante 2 horas, en C durante 2 horas. Si las máquinas se utilizan a su máxima capacidad, durante un día, hallar el número de unidades de cada artículo que es posible producir. ( Rpta. X = 3, Y = 4, Z = 4). 2. Tres personas A, B y C le van hacer un regalo a un amigo en común. El regalo les cuesta 86 soles. Como no todos disponen del mismo dinero deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 que paga B, C paga 3. Se pide Plantear un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona. 3. Por 9 entradas de Butaca de Patio, 6 de Anfiteatro I y 9 de Anfiteatro II una persona a pagado $ 480. A otra persona le han cobrado $ 140 por 4 de Anfiteatro I y 6 de Anfiteatro II, y una tercera persona paga $ 160 por 3 de butaca de patio, 2 de Anfiteatro I y 3 de Anfiteatro II. Determina solo con estos datos, el precio de las butacas de patio. ¿Puede hallarse el precio de las entradas de Anfiteatro I y II? 4. Una ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de plátanos, manzanas y naranjas a un precio de 1, 1.20 y 1.50 soles/kg, respectivamente. El importe total de la compra fue de 11.60 soles. Si el peso total de la misma es de 9 kg y, además, compró 1 kg más de naranjas que de manzanas: plantea un sistema de ecuaciones para determinar la cantidad adquirida de cada producto y resuelve el sistema. 5. En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 g.) que de tamaño mediano (500 g.). sabiendo que el precio del kilogramo de bombones es 40 soles y que el importe total de los bombones envasados asciende a 1 250 soles, determina cuántas cajas se han envasado. 6. Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de cada uno de estos muebles se necesitaron unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla siguiente. La compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1 500 unidades de aluminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó?

Sillas Mecedoras Sofás

Madera 1 unidad 1 unidad 1 unidad

Plástico 1 unidad 1 unidad 2 unidades

Aluminio 2 unidades 3 unidades 5 unidades

7. Tres componentes se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible? ___________________________________________________________________________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA


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Matrices

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