MATEMAT MATEMATICA ICA I. Ejercicios Ejerci cios propuestos. propuesto s.
MATRICES.
CAPÍTULO
4.
Dondequiera que haya un número está la belleza. Proclo.
MATRICES. 4.1.- OPERACIONES CON MATRICES.
Efectúe las operaciones indicadas y simplifique.
" 1. − 1
&.
1 %
1 % 1 −" ' & − " ' − & − " − 1 − % ". # − 1 " − & " 1
# − 1 " + − ! $ 1 " &
1" − 1& &% "& − "× " 1 + %× ' 1 & % ( − " # #] × 1 &
'. [ " 1
"
− 1 #
1 11. # 1".
" '
# 1
− 1 × " ( # &
1
1 (. "
#
% × ' # ( #
%
" − 1 − 1 1 & + "× × 1 # & − & "
1
" %
" !. 1 − &
− 1 " " 1 # − "× # − 1 × & − 1 1 " &
& − 1 % × − " 1 &
1 1#. # &
#
" 1 1 − " + & × " $. # " × 1 " − 1 & − 1
1 ). %
& %. "
#
# "
" # # − 1 − 1 " 1 " 1 1 & × − + × + & " # 1 # #
&
" 1
" − 1 # − 1 × 1 # × & # # & "
− 1 × # # 1
1 #
− " 1
"
1
& +1 − x* " +" x + &* % +" x − 1* − + x + "* % +" − & x* − & + x + %* − − " +1 − x* − " +" − x*
&$
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
x − " 1&. " " x + 1 % x − 1 1%. % x − & "
& − x
x + " & − " " x − & x + & " % − " x + 1 & & + x − 1 x − % % & x
"
1
1'. Sea A = &
'
MATRICES.
& x − 1
& − " x + ' "
−1 " x + & & x
, determine-
a* A" − $ A + $ I
* A" + " A − & I
c* A" − I
d* A" − ' A + " I
" − 1 y B = , encuentre% − & %
1
"
1(. /adas A = & a* + A + B * "
* A " + " A B + B "
c* + A + B* × + A − B *
d* A" − B "
1 − 1 y B = , determine p y q para que− 1 " − 1
p
1
1$. /adas A = q
a* + A + B * " = A" + B "
" " * + A + B* × + A − B* = A − B
/etermine los 0alores de las 0ariales para las cuales las ecuaciones matriciales siuientes son 02lidas.
& − 1 y + " = % #
t − 1
x + "
& = %
1!. x
1). %
x + 1 "#. % u
z
'
y − &
t + 1
" y − '
z − (
$
"
z − 1
"
y − 1
−1
x + 1 − " 1 "1. % − 1 y
" x − 1 ' = v +1 z + " − % &
t + 1
−& w −1
' " z − 1 &
& − 1 " ( z + " + " × 1 − & = v + 1 " % − 1 # $ " &
u+" ' #
− $ w $
&!
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
1 "". " × # z
x + 1
−" 1
MATRICES.
−1 v+" −&
u y − 1 − & × 1 # " #
x 1 − 1 − " "&. & × # − " & + " × z 1 y u "
t 1 "
! & = u + y 1 %
$
" v − " z
−$ w + 11
1 − $ z
"
w − % − 1 = % v − 1 #
1 "u
x + $
t
−v " v + y 1"
4.2.- SISTEMAS DE ECUACIONES.
Resuel0a el sistema dado +si la soluci3n e4iste* usando el m5todo de reducci3n de renlones.
x + " y = 1 & y + " x = &
& p + " q = ' p − & q + " = #
"%.
"'.
x + " y − z = −& "(. & y + % z = ' " x − y + & z = )
" u − & v + % w = 1& u+v+w = ( "$. − & u + " v + w + 1 = # p − q − r = % q − r − s = −' "). q − s − p = −! p + " q + " r + s = −'
b = &− a "!. c = % − a − b & a + " b + c = !
x + y + z = 1 " x + & y − w = & &#. − x + " z + & w = & " y − z + w = ' 4.3.- MATRIZ INVERSA.
En los prolemas siuientes encuentre la in0ersa de la matri6 dada. " &". 1 #
1 − & &1. − " ( & &%. % (
−% −& −!
'
1# (
− & &'. " 1
1 # "
" 1 − " 1 &&. − & − %
#
& 1 "
1
−1 −&
&
"
" 1 &(. − 1 &
& %
1
1
&
1
1
1
−1
#
1
− 1 # " %
Para la matri6 M que se indica, encontrar M −1 y mostrar que M × M −1 = I . Si la in0ersa no e4iste, escriirlo. &)
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
1 &$. M = # #
& " 1
1
" #
1 # − 1 %#. M = " − 1 # 1 1 1
MATRICES.
1 &!. M = " #
#
#
&
1
1
1
" 1 1 %1. M = 1 − 1 − 1
1
# #
1 − 1 &). M = " − 1 # 1
#
1 %". M = # − 1
1
#
"
1
#
1 1
1
Resuel0a los siuientes sistemas de ecuaciones determinando la in0ersa de la matri6 de coeficientes.
& x1 + " x" = 1 %&. " x1 − x" = &
%%.
& y − " z = −% ' z + % y = −1&
%'.
x + y − z = 1 %(. " z − & x = " & y + " z = '
p + " q − & r = 1 %$. q − " p + r = & " r + p − " = #
%!.
" u − ' v = 11 &u + % v = '
& p − " q + % r = 1& p + q − " r = 1 " p − & q + ' r = 11 4.4.- DETERMINANTES.
Calcule los determinantes siuientes. & %). %
− 1 $
' ! − "
'#. &
a +1 '". " a + &
"−a
' − " a
x + " '&. &
& 1 ''. # − " " #
#
' '(. ! 1
1 '
' " − & 1 # # & # '!. 1 − 1 " − " " % − 1 1
1# ' %
& − 1 % ( '). $ − 1 # 1
1 − " # '%. % ( #
x − 1 x
1
$ '$. ! #
% " " # # #
'
'1. − a
%
&
'
$
)
&
"
#
'
a
%
#
' 1 1
/etermine x en cada caso. %#
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
x (#. "
x + & (1. x
&
=) '
x + 1 (&. x #
"
x
"
1
MATRICES.
1 " '". x x
=& x + 1 "
#
#
=& x
x − "
&
x + 1
x
=1 # "
Por medio de la rela de Cramer resuel0a los sistemas de ecuaciones siuientes.
" y − ' z = ! & y + $ x = −1&
(%.
($.
+ u+
= 1& v = 1)
" u &
& v %
' "
1 &
"v + ' w = & $#. % u − & w = ' & u − % v + " w = 1"
('.
" + x − y * = ' % +1 − y * = & x
" x − y + z = " (!. & x + y − " z = ) − x + " y + ' z = −'
((.
& x = " +" + y * % y = $ + ( x
x + & y − z = # (). & x − y + " z = # " x − ' y + z = '
" p − r = ' $1. p + & q = ) & p − q + ' r = 1"
a* Encuentre la matri6 de cofactores para cada una de las siuientes matrices. * Encuentre los determinantes de las matrices siuientes empleando el m5todo del desarrollo de cofactores.
& − ' $". − " ( % $'. # "
"
%
1
#
1
" 1 & $%. # % − '
& − " $&. − % '
1
"
#
"
/etermine la in0ersa de las siuientes matrices, usando el m5todo de la matri6 de cofactores.
& $(. "
$
'
− ' ( − $ $). 1# − 11 1& − 1 1 − 1
& $!. % − )
& − 1' $$. ' "' 1 !#. 1 − 1
" # &
#
− 1 "
' 1 1'
1 !1. # "
"
− ( #
# &
−1
"
#
1
%1
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
− 1 !". " &
"
−1 1
MATRICES.
− & 1 "
4.5.- APLICACIONES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES.
!&. +Costos de suministros* 7n contratista calcula que los costos +en ol80ares* de adquirir y transportar unidades determinadas de concreto, madera y acero desde tres diferentes localidades est2n dados por las matrices siuientes +una matri6 por cada localidad*. Concreto
Madera
Acero
"#
&'
"'
Costos de material
!
1#
(
Costos de transportaci3n
Concreto
Madera
Acero
""
&(
"%
Costos de material
)
)
!
Costos de transportaci3n
Concreto
Madera
Acero
1!
&"
"(
Costos de material
11
!
'
Costos de transportaci3n
A9
:9
C9
Escria la matri6 que representa los costos totales de material y de transportaci3n por unidades de concreto, madera y acero desde cada una de las tres localidades. !%. El in0entario +en alones* de una peque;a tienda de pinturas al inicio de una semana est2 dado por la matri6 A.
A9
:lanco
Rojo
!#
$"
%'
'#
'!
(#
Sus 0entas durante la semana est2n dadas por la matri6 :.
:lanco
Rojo %"
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
:9
MATRICES.
('
$#
&)
"$
%$
&'
Escria el in0entario al t5rmino de la semana. !'. +Comercio internacional* El comercio entre tres pa8ses I, II y III durante 1)!( +en millones de d3lares estadounidenses* est2 dado por la matri6 A = >ai = , en donde
ai
representa las e4portaciones del pa8s i al pa8s .
# A = 1$ "1
1(
"#
#
1!
1%
#
El comercio entre estos tres pa8ses durante el a;o 1)!$ +en millones de d3lares estadounidenses* est2 dado por la matri6 :.
# B = 1! "%
1$
1)
#
"#
1(
#
a* Escria una matri6 que represente el comercio total entre los tres pa8ses en el periodo de dos a;os, 1)!( y 1)!$. * si en 1)!( y 1)!$, 1 d3lar estadounidense equi0al8a a ' d3lares de ?on @on, escria la matri6 que representa el comercio total durante los " a;os en d3lares de ?on @on. !(. +Matri6 de producci3n* 7na empresa produce dos tipos de caf5 en tres tama;os distintos. a producci3n +en miles de unidades* en su planta de la localidad A est2 dado porTama;o 1
Tama;o "
Tama;o &
Tipo 1
"#
"!
&#
Tipo "
1(
""
"#
Mientras que la producci3n +en miles* en su planta de la localidad : est2 dada porTama;o 1
Tama;o "
Tama;o &
Tipo 1
&#
%#
&(
Tipo "
"%
"#
"!
a* Escria la matri6 que represente la producc i3n total de amas plantas. %&
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
MATRICES.
* El erente de la empresa planea arir una tercera planta en una localidad C, la cual tendr8a una capacidad de "#B m2s que la locali6ada en :. Escria una matri6 que represente la producci3n en la localidad C. c* Cu2l ser2 la producci3n total en las tres localidadesD !$. +Matrices
de producci3n*
7na empresa
produce
tres tama;os de cintas
manetof3nicass en dos calidades diferentes. a producci3n +en miles* en su planta de alencia est2 dada por la matri6 siuienteTama;o 1
Tama;o "
Tama;o &
Calidad 1
"$
&(
&#
Calidad "
1!
"(
"1
a producci3n +en miles* en su planta de Maracay est2 dada por la matri6 siuienteTama;o 1
Tama;o "
Tama;o &
Calidad 1
&"
%#
&'
Calidad "
"'
&!
%#
a* Escria una matri6 que represente la producci3n total de cintas en amas plantas. * El due;o de la empresa planea arir una tercera planta en Caracas, la cual tendr2 una 0e6 y media la capacidad de la planta en 0alencia. Escria la matri6 que representa la producci3n en la planta de Caracas. c* Cu2l ser2 la producci3n total de las tres plantasD !!. Cer0ecer8a FRG posee una planta uicada en :arquisimeto, la cual posee la producci3n siuiente:otellas
Tipo Pilsen- &#
Tipo iHt- "#
atas
Tipo Pilsen- %#
Tipo iHt- &#
Sif3n
Tipo Pilsen- 1#
Tipo iHt- "#
a producci3n est2 e4presada en miles de litros. a /irecti0a planea arir una nue0a planta en Matur8n, con una producci3n que e4ceda a la de :arquisimeto en un &'B. Calculara* a capacidad por rei3n de la planta de Matur8n. * a capacidad total de las dos plantas. %%
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
MATRICES.
!). +Matrices de producci3n* 7n faricante de 6apatos los produce de color nero, lanco y caf5 para ni;os, damas y caalleros. a capacidad de producci3n +en miles de pares* en la planta de Ciudad :ol80ar est2 dada por la matri6 siuiente?omre
Mujeres
&#
&%
"#
Caf5
%'
"#
1(
:lanco
1%
"(
"'
a producci3n en la planta de San 5li4 est2 dada por?omre
Mujeres
&'
&#
"(
Caf5
'"
"'
1!
:lanco
"&
"%
&"
a* /etermine la representaci3n matricial de la producci3n total de cada tipo de 6apato en amas plantas. * Si la producci3n en Ciudad :ol80ar se incrementa en un '#B y la de San 5li4 en un "'B, encuentre la matri6 que representa la nue0a producci3n total de cada tipo de cal6ado. c* Cu2l es la producci3n total de 6apatos lancos para mujeresD )#. 7na f2rica de 6apatos uicada en Caracas posee la siuiente matri6 de producci3n +paresJmes*Marr3n
Kris
Sandalias
1###
1'##
11##
Lapatos
1'##
"###
&###
:otas
'##
1##
!##
Se piensa arir dos nue0as plantas, una uicada en Maracaio con una producci3n que e4ceda en 1'.'B a la de Caracas, y otra en :arcelona con una capacidad del $'B de la de Caracas. Calculara* as matrices de producci3n de Maracaio y :arcelona. * a matri6 producci3n total de las & plantas. %'
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
MATRICES.
)1. 7n comerciante de tele0isores a color tiene cinco tele0isores de "( puladas, cuatro de 1! puladas y die6 de 1" puladas. os tele0isores de "( puladas se 0enden en :s ('# cada uno, los de "# puladas en :s ''# cada uno, los tele0isores de 1! puladas en :s &## cada uno. E4prese el precio de 0enta total de su e4istencia de tele0isores como el producto de dos matrices. )". +Costos de materias primas* 7na empresa usa cuatro diferentes materias primas M 1, M", M & y M% en la elaoraci3n de su producto. El número de unidades de M1, M ", M & y M% usadas por unidad del producto son %, &, " y ' respecti0amente. El costo por unidad de las cuatro materias primas es de :s ', :s $, :s ( y :s &, respecti0amente. E4prese el costo total de las materias primas por unidad del producto como el producto de dos matrices. )&. +Costo de adquisiciones* 7na empresa de consultor8a tiene oficinas en :arcelona y Caracas. a primera tiene ' sillas, $ escritorios y % m2quinas de escriir. a oficina en Caracas posee 1" sillas, 1( escritorios y ! m2quinas de escriir. Si las sillas tienen un costo de :s 1# cada una, las mesas de :s 1' y las m2quinas de escriir :s "## cada una, e4prese las cantidades totales astadas en estos art8culos en las dos oficinas en t5rminos de productos de matrices. )%. +Tarifas de contratistas* 7na peque;a empresa constructora cora :s ( la Hora por un cami3n sin conductor, a :s "# la Hora por un tractor sin conductor y a :s &# la Hora por cada conductor. a empresa utili6a la matri6 A para di0ersos tipos de traajo.
A9
I
II
III
I
1
1
1
"
Cami3n
"
#
1
1
Tractor
&
1
&
%
Conductor
a* Si P es la matri6 de precios que fija la empresa, con ! = [ (
"#
1#] , determine el
producto ! × A e interprete sus elementos. * Supona que en un peque;o proyecto la empresa utili63 "# Horas del tipo I y &# Horas del traajo del tipo II. Si S denota la matri6 de oferta-
%(
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
MATRICES.
"# &# " = # # /etermine e interprete los elementos de A × " . )'. +Costos de suministros* 7n contratista puede adquirir las cantidades requeridas de madera, ladrillos, concreto, 0idrio y pintura de cualesquiera tres pro0eedores. os precios que cada pro0eedor fija a cada unidad de estos cinco materiales est2n dados en la matri6 A.
! A = ) )
'
$
"
%
'
"
'
(
1
%
' '
En esta matri6, cada renl3n se refiere a un pro0eedor y las columnas a los materiales. El contratista tiene la pol8tica de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier ora particular al mismo pro0eedor a fin de minimi6ar los costos de transportaci3n. ?ay tres oras en construcci3n actualmente- la ora I requiere "# unidades de madera, % de ladrillo, ' de concreto, & de 0idrio y & de pintura, la ora II requiere 1', #, !, ! y " unidades respecti0amente y la ora III requiere &#, 1#, "#, 1# y 1" unidades, respecti0amente. /ispona de esta informaci3n en una matri6 : 'N& y forme la matri6 producto A × B . Interprete los elementos de este producto y úselos con el prop3sito de decidir cu2l pro0eedor deer8a usar en cada ora. )(. 7na compa;8a elaora tres productos, cada uno de los cuales requiere de determinada cantidad de materia prima y mano de ora. En la matri6 R se resumen las necesidades por unidad de cada producto. Materia prima 1
R9
Materia prima "
Materia prima &
Mano de ora
"
%
'
'
Producto A
&
"
&
!
Producto :
1
&
'
%
Producto C
as necesidades de materia prima se estalecen en liras por unidad, y las necesidades de mano de ora, en Horas por unidad. os costos de los tres tipos de materias son ", & y 1.'
%$
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
MATRICES.
ol80ares por lira respecti0amente. os costos por mano de ora, son de ' ol80ares por Hora. Sup3nase que se 0an a producir '##, 1### y %## unidades de los productos A, : y C. a* Efectúe una multiplicaci3n matricial con la que se calculen las cantidades totales de los cuatro recursos que se requieran para elaorar los productos A, : y C. * Calcule el costo total cominado de producci3n. Sistemas e e!"a!i#$es.
7tilice el m5todo- a* Reducci3n de renlones * Cramer y c* In0ersa de matri6 de coeficientes para resol0er los prolemas siuientes. )$. +Punto de equilirio del mercado* a ecuaci3n de demanda de cierto producto es p + " x
= "' y la ecuaci3n de la oferta es
p − & x = ' ,
en donde p es el precio y x es la
cantidad demandada o suministrada seún sea el caso. Calcule los 0alores de x y p en el punto de equilirio del mercado. )!. +Punto de equilirio del mercado* as ecuaciones de la demanda y la oferta de cierto art8culo son & p + ' x = "## y
$ p − & x = '( ,
respecti0amente. /etermine los 0alores de x
y p en el punto de equilirio del mercado. )). as ecuaciones de demanda y oferta de cierto art8culo son " p + x = ' y & p − " x = 11 respecti0amente. /etermine los 0alores de x y p en el punto de equilirio del mercado. 1##. +Asinaci3n de maquinarias* 7na empresa produce tres productos A, : y C los que procesa en tres m2quinas. El tiempo +en Horas* requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres m2quinas est2 dado porA
:
C
M2quina I
&
1
"
M2quina II
1
"
%
M2quina III
"
1
1
Se dispone de la m2quina I por !'# Horas, la II por 1"## Horas y la III por ''# Horas. Cu2ntas unidades de cada producto deer8an producirse con ojeto de emplear todo el tiempo disponile de las m2quinasD M#e%# I$s"m# & P'#"!t#.
1#1. a tala siuiente da la interacci3n entre dos sectores de una econom8a Hipot5tica %!
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
MATRICES.
Industria I
Industria II
/emandas finales
Producci3n total
Industria I
"#
'(
"%
1##
Industria II
'#
!
""
!#
Insumos primarios
&#
1(
a* Encuentre la matri6 insumo O producto A. * Si en ' a;os las demandas finales camian a $% ene l caso de la industria I y a &$ para la industria II, cu2nto deer2 producir cada industria a fin de satisfacer esta demanda proyectadaD 1#". a interacci3n entre los dos sectores de una econom8a Hipot5tica est2n dados en la tala Aricultura
:ienes manufacturados
/emandas finales
Producci3n total
Aricultura
"%#
"$#
)#
(##
:ienes manufacturados
&##
)#
(#
%'#
Mano de ora
(#
)#
a* Encuentre la matri6 de insumo O producto A. * Supona que en & a;os la demanda de productos ar8colas decrece a (& unidades y se incrementa a 1#' unidades para ienes manufacturados. /etermine el nue0o 0ector de producci3n que satisfaa estas nue0as demandas. c* Cu2les son los nue0os requerimientos de mano de ora para cada sectorD 1#&. a tala da la interacci3n entre dos sectores de una econom8a Hipot5tica. P
/emandas finales
Producci3n total
P
(#
$'
('
"##
!#
&#
%#
1'#
Mano de ora
(#
%'
%)
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
MATRICES.
a* /etermine la matri6 de insumo O producto A. * Encuentre la matri6 de producci3n si las demandas finales camian a 1#% en el caso de P y a 1$" para . c* Cu2les son los nue0os requerimientos de mano de oraD 1#%. a interacci3n entre dos industrias P y que interan una econom8a Hipot5tica est2n dadas en la tala (. Industria P
Industria
/emanda del consumidor
Industria P
%(
&%"
$"
%(#
Industria
&""
11%
1&%
'$#
Mano de ora
)"
11%
Producci3n total
a* Encuentre la matri6 insumo O producto A. * /etermine la matri6 de producci3n si las demandas de los consumidores camian a 1") en el caso de P y a "1% por lo que respecta a . c* Cu2les ser2n los nue0os requerimientos de mano de ora para las dos industriasD 1#'. En la tala aparece la interacci3n entre los di0ersos sectores de una econom8a Hipot5tica. Industria I
Industria II
/emandas finales
Producci3n total
Industria I
!
'"
"#
!#
Industria II
'(
"(
%!
1&#
Insumos primarios
1(
'"
a* /etermine la matri6 insumo O producto A. * Supona que en " a;os las demandas finales camian a '! unidades en el caso de la industria I y a $) para la industria II. Cu2nto deer8a producir cada industria a fin de satisfacer estas demandas proyectadasD
'#
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
MATRICES.
c* Cu2les ser2n los nue0os requerimientos de insumos primarios de las dos industrias en " a;osD 1#(. a interacci3n en di0ersos factores de una econom8a Hipot5tica est2 dada en la tala siuiente. Industria I
Industria II
/emandas finales
Producci3n total
Industria I
1"#
&!%
)(
(##
Industria II
%"#
"!!
"'"
)(#
Insumos primarios
(#
"!!
a* Qtena la matri6 insumo producto A. * Supona que en ' a;os las demandas finales camian a 1%# unidades en el caso de la industria I y a "!$ para la industria II. Cu2nto deer2 producir cada industria con ojeto de satisfacer las demandas proyectadasD c* Cu2les ser2n los nue0os requerimientos de insumos primarios de las dos industrias en ' a;osD 1#$. a tala da la interacci3n entre tres sectores de una econo m8a Hipot5tica. Industria I
Industria II
Industria III
/emandas finales
Producci3n total
Industria I
"#
%#
&#
1#
1##
Industria II
&#
"#
)#
(#
"##
Industria III
%#
1##
(#
1##
&##
Insumos primarios
1#
%#
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a* /etermine la matri6 insumo O producto. * Supona que en ' a;os las demandas finales camian a 1'#, "!# y %"# para las industrias I, II y III respecti0amente. Cu2nto deer2 producir cada industria a fin de satisfacer las demandas proyectadasD c* Cu2les ser2n los nue0os requerimientos de insumos primarios para las tres industrias en ' a;osD '1
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
MATRICES.
1#!. a interacci3n entre tres industrias que interan una econom8a Hipot5tica est2n dadas en la siuiente tala. Industria I
Industria II
Industria III
/emandas del consumidor
Industria I
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Industria II
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Industria III
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Insumos de mano de ora
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Producci3n total
a* Cu2l es la matri6 insumo O producto AD * Supona que en & a;os el consumo de la demanda cami3 a "# unidades en el caso de la industria I, a '# para la industria II y a $# en el caso de la industria III, cu2nto deer8a producir cada industria dentro de & a;os a fin de satisfacer esta demanda proyectadaD c* Cu2les son los nue0os requerimientos de insumos en mano de ora para las tres industrias en el lapso de & a;osD 1#). a interacci3n entre tres industrias A, : y C est2 dada por la tala siuiente. Industria A
Industria :
Industria C
/emandas finales
Producci3n total
Industria A
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Industria :
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Industria C
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Insumos primarios
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a* /etermine la matri6 insumo O producto A. * Si las demandas finales camian a '#, (# y !# unidades para los productos A, : y C respecti0amente, cu2les ser2n los ni0eles de producci3n requeridos con ojeto de satisfacer estas nue0as demandasD 11#. a interacci3n entre los tres sectores de una econom8a son las siuientes. '"
MATEMATICA I. Ejercicios propuestos.
MATRICES.
Industria Primaria
Industria Secundaria
Aricultura
/emandas finales
Producci3n total
Industria Primari
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Industria Secundari
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Aricultura
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Insumos primarios
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a* /etermine la matri6 insumo O producto. * Si las demandas finales con respecto a los productos industriales secundarios se incrementan a 1# unidades, determine los nue0os ni0eles de producci3n para los & sectores. c* Si la demanda final en el caso de los productos industriales primarios cae a cero, calcule los nue0os ni0eles de producci3n de los tres sectores.
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