CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA Tema : Matrices y Sistemas de ecuaciones
EJERCICIOS PROPUESTOS 7 4 9 3 1 5 , Calcule a13 5 2 6
1.
Sea la matriz:
2.
Halle la traza de A aij , para la cuál aij 3 3
3.
Construya la matriz, usando la ley de formación indicada:
A
a)
A aij , 2 2
aij 2i 3 j
b)
A aij , 2 2
aij 2 3
c) B bij
33
,
i
a32 a22 a23
i
j
f)
j
y la transpuesta de A.
2.
i j
C cij , 3 4
i j ; cij 0 ; 2i j ;
;
i j
C cij , 33
i j cij i j i j
;
i j
;
i j
i j i j
bij 3 j i 2
d) B bij 4 4 ,
bij 3i ij 2
e) B bij , 4 4
bij 1
i j
i
2
g) j2
1 3 8 4. Sean las matrices: A 2 0 1 y 5 7 6
2 B 5 4
8
1
7
3
6
. Calcule (si es posible): 0
A+ B, A- B,
2 A+ B, 3 A-5 B, AB, BA.
1 3 3 0 1 , C 5. Sean las matrices A 4 0 , B 1 4 3 0 1 T
2
3
1
5
T
A+C , BC , CB, AC , CA, C B.
6.
Determine u, x, y e z a partir de las ecuaciones matriciales:
. Calcule (si es posible):
A+ B,
2 x 2 3 4 a) 2 2 z 3
7.
y
2 2 1 y 1 4 u 2 0 1 2 b) 3 4 3 1 x 1 4 2 z 1 4 4
2
2
5
Halle el valor del polinomio f ( A, B) de las matrices
a) f ( x, y )
x2
xy
b)
x2
y 2 , además:
f ( x, y)
c)
8.
3 u 2 2 4 2 4 3 2
Si
f ( x, y)
2
A
B
2
x
3
2
x y
2y , además:
2 0 , 0 4
xy
2
AB
A
A
A y B
3 5 , 1 4
1 1 , 2 3
B
B
.
2 0 7 8
3 1 0 1
1 0 3 y , además: A 2 5 0 , 0 4 6 3
4 2 , 0 3
BA
2 8 1 B 5 7 3 4 6 0
2 1 . 1 0
2 Halle ( A B) y ( A B)( A B)
9.
Dadas las matrices
10.
A
1 3 , 1 4
B
3 0 T . Halle X en: BA 1 5
Sean las matrices A a i j , B [ bi j ]3 x3 , 3 x 3
X
T
B
2 A.
C [ ci j ]3 x3 cuyos elementos se definen
por la siguientes reglas de formación:
ai j
Halle:
11.
M
i j, i j i j , i j i j , bij 2i j , i j , cij 2 3 i j 0, 2 i ij , i j
AB BC CA .
Calcule el determinante de cada una de las siguientes matrices:
a)
3 4
12 b) A 1 4 2 c) A 3 1
3 d) A 4 5
2
A
5 1 5 1 3
4 2 1
1 2 5
3 1 e) A 1 1
2 0
2
0
5 3 1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1 3
a b f) A a b
c b c b
a a c c
1 1 1 1 1 1 1 1 g) A 1 1 1 1 1 1 1 1
12.
Reduzca las siguientes matrices a una matriz triangular superior, utilizando transformaciones elementales por fila:
3 a) A 4 5
2 5 3
2 0 0
4 1 b) A 2 1
1
3
2
3
1
3
4
3
2
5 6 4
c)
3 3 3 2 3 4 4 2 A 3 4 5 3 2 2 3 2 Resolver los siguientes problemas sobre operaciones con matrices
13.
La siguiente información corresponde a la cantidad de libros de la editorial A y B ordenados por género y condición, que una librería tiene a la venta.
EDITORIAL A GÉNERO: CONDICIÓN: Empastado No Empastado
Terror
Acción
Cómicas
Ficción
240 450
600 300
300 500
600 300
EDITORIAL B GÉNERO: CONDICIÓN: Empastado No Empastado
Terror
Acción
Cómicas
Ficción
200 400
500 700
300 120
500 700
a) Represente esta información utilizando matrices. b) Escriba la matriz que representa el total de libros que la librería tiene por género y condición en ambas editoriales.
14.
La primera tabla, representa las ventas (en miles de dólares) para la WalbashCompany en el año 2008 en varias ciudades, y la segunda representa las ventas (en miles de dólares) para la misma compañía en el año 2009 en las mismas ciudades.
Año 2008
Año 2009
CIUDAD: CIUDAD: Chicago Atlanta Memphis Chicago Atlanta Memphis TIPO: TIPO: 375 300 710 Mayoreo 450 280 850 Mayoreo 410 300 200 Menudeo 400 350 150 Menudeo a) Represente esta información utilizando matrices. b) Escriba la matriz que representa el total de ventas por tipo y ciudad para ambos años. c) Escriba la matriz que representa el cambio en ventas por tipo y por ciudad de 2008 a 2009.
15.
16.
Una empresa usa cuatro diferentes materias primas M 1, M 2, M 3 y M 4 en la elaboración de su producto. El número de unidades de M 1, M 2, M 3 y M 4 usadas por unidad del producto son 4, 3, 2 y 5, respectivamente. El costo por unidad de las cuatro materias primas es de 5, 7, 6 y 3 nuevos soles, respectivamente. Exprese el costo total de las materias primas por unidad del producto. La compañía Wish produce cuatro tipos distintos de altavoces en tres plantas diferentes. La producción del mes de mayo fue: En la planta I, 320 del modelo A, 280 del modelo B, 460 de modelo C y 280 del modelo D; en la planta II, 480 del modelo A, 360 del modelo B, 580 de modelo C y ninguno del modelo D; en la planta III, 540 del modelo A, 420 del modelo B, 200 de modelo C y 880 del modelo D. La producción del mes de junio fue: En la planta I, 210 del modelo A, 180 del modelo B, 330 de modelo C y 180 del modelo D; en la planta II, 400 del modelo A, 300 del modelo B, 450 de modelo C y 40 del modelo D; en la planta III, 420 del modelo A, 280 del modelo B, 180 de modelo C y 740 del modelo D. Exprese estos datos en forma matricial y determine la producción total en mayo y junio.
17.
Los tres locales de Burger Barn venden hamburguesas, papas fritas y refrescos. Barn I vende 900 hamburguesas, 600 órdenes de papas fritas y 750 refrescos diariamente. Barn II vende 1500 hamburguesas diarias y Barn III vende 1150. Las ventas de refrescos son de 900 al día en Barn II y de 825 al día en Barn III. Barn II vende 950 y Barn III vende 800 órdenes de papas fritas al día. a) Escriba una matriz S de 3x3 que muestre las ventas diarias de los tres locales. b) Las hamburguesas cuestan $ 1,5 cada una, la papas fritas $0,90 por orden y los refrescos $0,60 cada uno. c) ¿Qué producto muestra los ingresos diarios en cada uno de los tres locales?
18.
Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1 000 estanterías grandes y 8 000 pequeñas de tipo A, 8 000 grandes y 6 000 pequeñas de tipo B, y 4 000 grandes y 6 000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. a) Representar esta información en dos matrices. b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los modelos de estantería.
19.
Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. a) Representar la información en dos matrices. b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.
20.
La economía de una nación en vías de desarrollo se basa en productos agrícolas, acero y carbón. Una producción de una tonelada de productos agrícolas requiere un consumo de 0.01 toneladas de productos agrícolas; 0,02 toneladas de acero y 0,05 toneladas de carbón. Una producción de una tonelada de acero requiere un consumo de 0,01 toneladas de producción agrícola; 0,13 toneladas de acero y 0,18 toneladas de carbón. Una producción de una tonelada
de carbón requiere de 0,01 toneladas de productos agrícolas; 0,20 toneladas de acero y 0,05 toneladas de carbón. Escriba la matriz tecnológica para esta economía.
Resolver los siguientes lineales sistemas usando el método de Cramer
21.
3 x y 5 4 x y 9
Resolver
22. Resolver
3 x 5 y 3 4
x y
12 3
2 x y 11 23. Resolver x y 18 16 1
24.
0.2 x 0.1y 1.1 x 3 y 18
Resolver
7 x y 25. Resolver 3 3 5 x 15 y 35
2 x 3 y 2 z 1 14 26. Resolver x 2 y x 5 z 11
Resolver los siguientes lineales sistemas usando el método de Eliminación Gaussiana x 2 y z 5 27. Resolver 2 x y 2z 8 3 x 3y 4 z 5
0.6 x 0.4 y 0.2z 2.2 31. Resolver 0.1 x 0.2 y 0.3z 0.9 0.2 x 0.1y 0.3z 1.2
3 x 2 y z 4 28. Resolver 2 x 3 y 2z 7 x 4 y z 10
3 x 5 y z 3 32. Resolver 6 x 10 y 2 z 1 7 x 4 y 11z 6
2 x 3 y 2 z 1 29. Resolver x 2 y 14 x 5 z 11
x y z 1 33. Resolver x 2 y z 1 x 4 y 3z 1
x y z 4 2 2 2 x y z 30. Resolver 2 2 3 4 x y z 2 2 4 1
x 3 y 2 z 15 000 34. Resolver x 4 y z 10 000 2 x 5 y 5z 35 000
Resolver los siguientes problemas usando la regla de Cramer
35.
El día del estreno de una película se vendieron 1 200 entradas y se recaudó S/. 16 000. Si los adultos pagaron S/. 15 y los niños S/. 10. ¿Cuál es el número de adultos y niños que asistieron al estreno de la película?
36.
El perímetro de un terreno rectangular es de 72 m. La longitud del terreno es 9 m. más larga que su anchura. ¿Cuál es la longitud y anchura del terreno?
37.
Se dispone de dos mezclas diferentes de combustibles. Una de ellas contiene 4% de alcohol y la otra 12%. ¿Qué cantidad de cada mezcla tendría que usarse para obtener 20,000 litros de combustible que contenga 9% de alcohol?
38.
La edad de un padre es el doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de sus hijos), la edad del padre era el triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de las edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre al momento de nacer sus hijos?
39.
El dueño de un bar a comprado gaseosa, cerveza y vino por un importe total de S/. 500 (sin impuestos). El valor del vino es S/.60 menos que el de la gaseosa y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que las gaseosas deben pagar un impuesto del 6%, por la cerveza 12% y por el vino 30%, lo que hace que la factura total con impuesto resulte en S/. 592,40; calcula la cantidad invertida en cada bebida.
40.
Una agencia que alquila autos, cobra una tarifa diaria más una tarifa por distancia en kilómetros. El señor Leyva pagó $ 85 por dos días y 100 km, y al señor Guzmán le cobraron $165 por 3 días y 400 km. ¿Cuál es la tarifa diaria de la agencia y cuál es su tarifa por kilómetro?
Resolver los siguientes problemas usando el método de Eliminación Gaussiana
41.
Se tiene tres denominaciones de billetes de dólar. Un paquete de 4 del primero, 1 del segundo y 2 del tercero hacen un total de $ 70. Otro paquete de 2 del primero, 4 del segundo y 3 del tercero hacen un total de $ 110 y un tercer grupo de 6 del primero, 8 del segundo y uno del tercero hacen un total de $ 130. ¿Cuál es el valor de cada billete?
42.
El dueño de un bar a comprado gaseosa, cerveza y vino por un importe total de S/. 500 (sin impuestos). El valor del vino es S/. 60 menos que el de la gaseosa y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que por la gaseosa se debe pagar un impuesto del 6%, por la cerveza el 12% y por el vino el 30%, lo que hace que la factura total con impuesto resulte S/. 592,40; calcula la cantidad invertida en cada bebida.
43.
Un fabricante produce tres artículos, A, B y C. la utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es $1, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de $17 000 por año y los costos de producción por cada unidad son $4, $5 y $7, respectivamente. El año siguiente se producirán y venderán un total de 11 000 unidades entre los tres productos, y se obtendrá una utilidad total de $25 000. Si el costo total será de $80 000. ¿Cuántas unidades de cada producto deberán producirse el año siguiente?
44.
Una empresa minera tiene tres campamentos mineros con la siguiente información:
Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%) Campamento A Campamento B Campamento C
1 2 3 2 5 7 1 3 1 ¿Cuántas toneladas de cada campamento deben utilizar para obtener 7 toneladas de níquel, 18 toneladas de cobre y 16 toneladas de hierro?
45.
20V
4Ω
Para determinar las intensidades de corriente Ampere) en el circuito mostrado en la figura
eléctrica (en se utilizan
2Ω
2Ω
4Ω
I3
10V
I
I2 4Ω
las leyes de Kirchoff. Al aplicar dichas leyes se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones. Determine los valores de intensidades I 1, I2, I3.
I I I 0 4 I 10 6 I 6 I 4 I 20 1
2
1
3
2
46.
3
3
Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y alpiste. Cada kilo de trigo se vende por S/. 4, El de cebada por S/. 2 y el de alpiste por S/. 0.50. Si se vende 100 kilos en total y el número de kilos de alpiste excede en 36 kilos al trigo y la cebada juntos, obteniendo por la venta S/. 100, ¿Cuántos kilos de cada cereal se venden?
