MATEMÀTIQUES-II per a Multimèdia - PAC1
PAC1: CODIFICACIÓ A. PREGUNTES TEST
Nom i cognoms Jaume Villarreal Quintana
Pregunta Resposta
1 B
2 C
3 B
4 A
5 B
6 C
7 B
8 B
1- Una de les següents afirmacions és FALSA: a) 53 en binari és 110101 b) El nombre que falta en el NIF 43.629._36 F és el 3. c) El codi Morse de 5 es . . . . . La resposta falsa és la B Al dividir 43.629.336 entre 23 el residu resultant és 15. Això no és congruent amb
43.629.336 ! 15(mòd23)
la lletra F, que segons el codi establert es
15 = S
correspon amb 7(mòd23). Tot i que l'activitat no ho requereix hem intentat trobar quin seria el dígit necessari perquè el DNI fos correcte amb aquesta lletra. Per fer-ho hem seguit el següent procediment: 1. Establim la incògnita i l'aïllem.
43.629.X36 = 43.629.036 + 100X
2. Establim una igualtat a partir dels mòduls.
43.629.036 + 100X = 7(mòd23)
3. Trobem la congruència amb mòdul23 de
43.629.036 ! 14(mòd23)
cadascun dels termes situats a l'esquerra de la igualtat.
100 ! 8(mòd23) 14 + 8X = 7
4. Tornem a establir la igualtat. 5. Aïllem la variable.
X=
6. Com que aquests valors no ens permeten
7(mòd23) és equivalent a 30(mòd23)
resoldre la igualtat, busquem un mòdul
X=
equivalent a 7(mòd23) que ens permeti operar. 7. El dígit que falta és el 2 perquè és l'únic
7 !14 8 30 !14 =2 8
43.629.236 ! 7(mòd23)
que compleix la condició.
-1-
MATEMÀTIQUES-II per a Multimèdia - PAC1
2- El nombre d'errors que podem corregir amb el codi C és: C = {011011, 111101, 100011, 100000} a) 3 b) 1 c) 0 La resposta correcta és la C
Establim una taula de diferències per a identificar d (distància mínima), obviant sempre els zeros.
Un cop identificada la distància mínima
d
011011
011011
0
111101
100011
111101
3
0
100011
3
4
0
100000
4
4
2
100000
0
" d !1$ " 2 !1$ e =" = = "#0'5$% = 0 # 2 $% "# 2
%$trobem e (nombre d'errors).
3- Si tenim H matriu de comprovació de paritat:
! 1 0 0 1 1 $ # & H =# 0 1 0 0 0 & # 0 0 1 0 1 & " % Quina de les següents paraules pertanyen al codi?
! # # a =# # # # "
1 0 0 0 1
$ & & & & & & %
! # # b=# # # # "
0 0 1 1 1
$ & & & & & & %
! # # c =# # # # "
0 1 1 0 0
$ & & & & & & %
La resposta correcta és la B Comprovem una per una les paraules multiplicant-les per la matriu de paritat. Per ser pertanyents al codi hauran de donar com a resultat un vector 0. PARAULA a
! ! 1 0 0 1 1 $# # &# # 0 1 0 0 0 &·# # 0 0 1 0 1 &# " %# # "
-2-
1 0 0 0 1
$ & ! $ & # 0 & &=# 0 & & # 1 & % & " & %
MATEMÀTIQUES-II per a Multimèdia - PAC1
PARAULA b
! ! 1 0 0 1 1 $# # &# 0 1 0 0 0 # &·# # 0 0 1 0 1 &# " %# # "
0 0 1 1 1
$ & ! $ & # 0 & &=# 0 & & # 0 & % & " & %
PARAULA c
! ! 1 0 0 1 1 $# # &# # 0 1 0 0 0 &·# # 0 0 1 0 1 &# " %# # "
0 1 1 0 0
$ & ! $ & # 0 & &=# 1 & & # 1 & % & " & %
4- Encriptem una paraula m amb el mètode de Verman. La clau privada utilitzada és: k = 00110011 00010001 01001100 11110000 00001111 01010010 01010101 i el missatge rebut és: c = 01111110 01010000 01011000 10111000 01001010 00011111 00010100 Quina era la paraula que havíem enviat ? a) m = MATHEMA b) m = CIENCIA c) m = PHISICA La resposta correcta és la A Per desencriptar el missatge haurem de restar la clau al missatge encriptat (m = c - k). Es dóna la conincidència que en Z2 la suma i la resta ofereixen el mateix resultat. c 01111110 01010000 00011000 10111000 01001010 00011111 00010100 k 00110011 00010001 01001100 11110000 00001111 01010010 01010101 ------------------------------------------------------------------------------------------------------m 01001101 01000001 01010100 01001000 01000101 01001101 01000001 Seguint el codi ASCII, m=MATHEMA 5- Per p=23 i q=17, quina de les següents opcions és pot considerar una clau pública? a) (2, 391) b) (3, 391) c) (11, 391) La resposta correcta és la B La clau pública i privada es basen en la relació factorial de dos nombres primers a partir dels quals extreiem les claus. Per fer-ho procedim de la següent manera:
-3-
MATEMÀTIQUES-II per a Multimèdia - PAC1
Trobem el valor de n.
n = p·q = 23·17 = 391 n = 391
Trobem la quantitat de nombres
! (n) .
! (n) = ( p !1)·(q !1) ! (n) = (23!1)·(17 !1) ! (n) = 22·16 ! (n) = 352
El nombre e (clau pública) ha de
L´únic nombre que compleix aquesta condició és 3.
inversos que hi ha a Z391. Per fer-ho trobarem el valor de
ser un relatiu primer de
! (n) ,
El 2 i l'11 comparteixen divisors amb
! (n) .
és a dir, e no pot compartir cap divisor amb
! (n) .
6- Beatriu (e = 677, d = 4413, n = 6319) coneix la clau pública de David (e = 13, d = 997, n = 1517) i li vol enviar un missatge (m = 131723) de manera que s'asseguri la màxima autenticitat i confidencialitat possible. El missatge enviat serà: a) 1214 b) 6047 c) 632 La resposta correcta és la C Una de les premisses que ha de seguir la nostra encriptació de clau pública és que asseguri la màxima autenticitat i confidencialitat. D'aquesta manera obviem la simple encriptació del missatge. Tot i que a l'aplicar al missatge la clau pública d'en David (EeDavid) ens dóna 1214 (resposta A), aquesta opció d'entrada es descarta perquè no segueix cap dels procediments sobre autenticitat i confidencialitat. Per fer-ho hem de seguir el procediment enunciat a continuació. Cal fer constar aquí que la manera correcta de procedir ens obligaria a trencar el missatge en cadenes més petites que (n) però en aquest cas concret no és així. Així doncs, l'explicació presenta el desenvolupament metodològic teòric tot i que les operacions s'han fet sense trencar el missatge. LA SIGNATURA DIGITAL
s = DdBea (m)
1. Dividim el missatge en dues cadenes que tinguin una
s = 1317234413 = 5406
longitud de n-1. Com que la signatura l'encriptem partir de la funció de clau privada de l'emissor DdBea, la longitud de les cadenes en què trencaríemm m serà nBea-1. En el nostre cas nBea és 6319, de tal manera que m quedaria dividit en dues cadenes de tres dígits (131 723). 2. Apliquem a cada fragment de codi la clau privada de la Bea. Les dues cadenes resultants encriptaran el codi un primer cop, generant la signatura digital (s). -4-
MATEMÀTIQUES-II per a Multimèdia - PAC1
ENCRIPTAR EL MISSATGE
c = EeDavid (s)
1. Ara caldrà encriptar (s) mitjançant la funció de clau pública
d'en
David
(EeDavid).
Seguint
el
mateix
c = 540613 = 632
procediment, dividirem el codi en cadenes de longitud n-1, en el nostre cas nDavid té una longitud de 4, així doncs (s) s'agruparà en blocs de 3. 2. Apliquem a les cadenes de codi la funció de clau pública d'en David (EeDavid) i obtindrem (c). Tot i que aquí no es demana, en David podrà revertir el procés aplicant sobre c primer la seva clau privada i després la clau pública de la Bea, de tal manera que en un sol enviament obtindrà el missatge i l'autencitat de l'emissor.
7- La taxa de compressió quan s’aplica el mètode Huffman a la paraula PATATAS és: a) 0% b) Entre 1% i 15% c) Més de 15% La resposta correcta és la B Partim de la premissa que la codificació de la paraula PATATAS es basa codi binari. Aquesta paraula consta de 4 caràcters diferents, fet que ens permet adjudicar 2 bits a cada lletra. El total de bits per a tota la paraula codificada serà de 14. 1.
Establim la freqüència d'aparició de
1 = 0'142 !14'2% 7 3 A ! = 0' 428 ! 42'8% 7 2 T ! = 0'285 ! 28'5% 7 1 S ! = 0'142 !14'2% 7 P!
cadascuna de les lletres.
2. A partir d'aquest càlcul tracem un arbre de freqüencies que ens permetrà adjudicar a cada lletra un codi binari.
A=0 T = 10 P = 110 S = 111
3. Segons aquesta nova codificació la paraula
110 0 10 0 10 0 111
PATATAS es transformaria en la següent paraula. 4. Ara ja podem calcular la taxa de compressió, que resulta de la diferència entre el total de bits sense comprimir el total de bits comprimits entre els total de bits sense comprimir. -5-
14 !13 1 = = 0'071 " 7'1% 14 14
MATEMÀTIQUES-II per a Multimèdia - PAC1
8- Hem d'emmagatzemar una imatge monocromàtica de 320x280 píxels en una escala de 256 tons de grisos, aplicant una compressió diferencial obtenint com a diferència una sèrie de nombres compresos entre el -32 i el 31. Quina és la taxa de compressió? a) Entre 10 i 15% b) Entre 15% i 25% c) Més de 25% La resposta correcta és la B Calculem el nombre de px de la imatge.
320·280 = 8960 px
Calculem el nombre total de bits que tindrà la
8960·8 = 71680bits
imatge sense comprimir. Com que el document està predeterminat sobre una escala de 256 tons de grisos, cada píxel tindrà una profunditat de 8 bits. Ens movem en un rang de -32 a 31, fet que
8 + 8959·6 = 53762bits
implica que tenim 64 nombres que es poden 6
codificar en dígits de 6 bits (64 = 2 ). Així doncs, podem arribar a la següent conclusió. Ara ja podem calcular la taxa de compressió, que resulta de la diferència entre el total de bits sense comprimir el total de bits comprimits entre els total de bits sense comprimir.
-6-
71680 ! 53762 = 0'2499 " 24'99% 71680
MATEMÀTIQUES-II per a Multimèdia - PAC1
B. EXERCICI
1 - ESTABLIM UN SISTEMA DE CODIFICACIÓ. Aquest sistema de codificació inclou tots els caràcters necessaris per codificar el missatge, incloent majúscules, minúscules, símbols i nombres. Treballem sobre (mòd65). A
00
a
26
0
52
B
01
b
27
1
53
C
02
c
28
2
54
D
03
d
29
3
55
E
04
e
30
4
56
F
05
f
31
5
57
G
06
g
32
6
58
H
07
h
33
7
59
I
08
i
34
8
60
J
09
j
35
9
61
K
10
k
36
_
62
L
11
l
37
@
63
M
12
m
38
.
64
N
13
n
39
O
14
o
40
P
15
p
41
Q
16
q
42
R
17
r
43
S
18
s
44
T
19
t
45
U
20
u
46
V
21
v
47
W
22
w
48
X
23
x
49
Y
24
y
50
Z
25
z
51
2 - OBTENIM EL NOSTRE MISSATGE. m =
[email protected]_targeta_24
-7-
MATEMÀTIQUES-II per a Multimèdia - PAC1
3- CODIFIQUEM EL NOSTRE MISSATGE. m=21 34 37 37 26 43 43 30 26 37 16 46 34 39 45 26 39 26 62 09 26 46 38 30 62 35 47 34 37 37 26 43 43 30 26 37 42 63 46 40 28 64 30 29 46 62 45 26 43 32 30 45 26 62 54 56
3 - ESTABLIM EL VALOR DE LES QUATRE CLAUS. k1 = 04
k2 = 12
k3 = 05
k4 = 08
4 - ENCRIPTEM EL NOSTRE MISSATGE. Per fer-ho emprem un sistema de clau privada basat en el mètode de Vigènere a partir de les quatre claus establertes en el pas anterior. De manera consecutiva anem sumant les quatre claus (04120508) a m. Per raons d'espai presentem el procés de codificació en un document a part. Aquí tan sols mostrem el codi ja encriptat.
c=25 46 42 45 30 55 48 38 30 49 21 54 39 51 50 34 43 38 02 17 30 58 43 38 01 47 52 42 41 49 31 51 47 42 31 45 46 10 51 48 32 11 35 37 50 09 50 34 47 44 35 53 30 09 59 64 L'encriptació resultant està formada, a l'igual que m, per 56 paraules. 5 - COMPRIMIM EL NOSTRE MISSATGE. Tal i com s'especifica en l'enunciat, un cop hem aconseguit la nostra cadena encriptada a partir del mètode Vigènere de quatre claus, hem de procedir a la seva compressió mitjançat el mètode Huffman. Per fer-ho el primer que fem és traçar un arbre de freqüències, on els dígits s'ordenaran per nivells de freqüència d'aparició, dels menys freqüents a la part superior als més freqüents a la part inferior.
-8-
MATEMÀTIQUES-II per a Multimèdia - PAC1
El resultat que obtenim és el següent:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
paraula 30 42 38 51 50 47 45 46 48 35 34 43 31 45 09 25 55 21 54 39 02 17 58 01 52 41 10 32 11 37 44 53 59 64
freqüència 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
codifació binària 0000 0001 0101 0100 0011 0010 01100 10010 10011 10100 10101 10110 10111 01100 10000 01101 01110 01111 110000 110001 110010 110011 110111 110101 110110 110111 111000 111001 111010 111011 111100 111101 111110 111111
Així doncs, el nostre missatge comprimit quedarà format per un total de 277 dígits: 0110110010000101100000001110100110101000010001011111100001100010100001110101 1011001011100101100110000110100101100101110101001011011000011101111000110111 0100001000011011101100100101110000100100111110011110101010011101100111000000 1110101001011110010100111101000010000111110111111
6- CALCULEM LA TAXA DE COMPRESSIÓ. Per calcular la taxa de compressió hem d'obtenir dues dades: 1. en primer lloc el nombre dígits en codificació binària que obtenim amb el missatge encriptat. 2. en un segon lloc el nombre de dígits en codificació binària que obtenim amb el missatge comprimit. -9-
MATEMÀTIQUES-II per a Multimèdia - PAC1
En el nostre cas, aquestes dades es concreten de la següent manera: •
el nostre missatge encriptat consta de 34 caràcters que presenten diferents freqüències d'aparició, obtenint un total de 56 caràcters. Una codificació binària amb paraules de 5 5
dígits no ens resultaria vàlida perquè 2 =32, fet que tan sols ens permetria codificar fins a 32 caràcters diferents. Això vol dir que cada caràcter estarà format per una paraula 6
de 6 dígits (2 =64). [56*6 = 336 dígits] •
el nostre missatge comprimit consta de 277 dígits.
Ara ja podem calcular la nostra taxa de compressió:
taxa de compressió =
336 ! 277 59 = " 0'175 #17'5% 336 336
- 10 -
