Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia
EXERCICIS CORRESPONENTS AL MÒDUL 3 1. Es pot construir un fractal que rep el nom de “hexafloc” (de Sierpinski) començant per un hexàgon i canviant a cada pas cada hexàgon per un floc de 7 hexàgons. Mostrem la llavor i el resultat en aplicar la primera iteració:
a) Realitzeu un programa en Flash tipus zoòtrop que mostri la llavor i les 4 primeres iteracions de la construcció d’aquest fractal. Els dibuixos han d’estar fets en el mateix Flash, podeu crear còpies d’objectes i modificarne les mides. (1 punt) b) Trobeu quants hexàgons té la cinquena iteració. Com es calcularia el nombre d’hexàgons de la iteració 40? (0,5 punt) iteracions
operació
nombre d'hexàgons
1ª iteració
70 = 1
1 hexàgon
2ª iteració
71 = 7
7 hexàgons
3ª iteració
72 = 49
49 hexàgons
4ª iteració
73 = 343
343 hexàgons
5ª iteració
74 = 2401
2.401 hexàgons
6ª iteració
75 = 16807
16.807hexàgons
El nombre d'hexàgons de la iteració 40 es calcularia resolent la potència
740 .
Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia
c) Calculeu l’àrea de la figura en els cinc primers passos si l’àrea inicial és 1. Trobeu la superfície total de l’hexafloc. (0,75 punt) Per calcular l'àrea dels hexàgons en les cinc primeres iteracions primer hem calculat la relació existent entre l'àrea d'un hexàgon i l'àrea de l'hexàgon de la iteració anterior. Per fer-ho ens hem basat en un procediment de triangulació. Hem descomposat l'àrea de llavor en triangles equilàters tal i com s'observa en la següent figura.
Al descomposar l'hexàgon inicial en triangles equilàters en surten 54. D'aquest 54 en necessitem 6 per contruir els hexàgons petits, així que cada hexàgon té àrea
6 que és igual a 54
1 . 9
iteracions
operació
2ª iteració
1 7 x7 = = 0' 77 9 9
3ª iteració
!1$ 49 2 = 0'6 # & x7 = "9% 81
4ª iteració
!1$ 343 3 = 0' 47 # & x7 = "9% 729
5ª iteració
!1$ 49 4 = 0'36 # & x7 = "9% 81
6ª iteració
!1$ 16807 5 = 0'28 # & x7 = "9% 59049
àrea 0'77
2
0'6
3
0'47
4
0'36
5
0'28
Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia
d) Calculeu la suma dels perímetres dels hexàgons en els cinc primers passos. Quina és la suma dels perímetres de tots els hexàgons? (0,75 punt) iteracions
operació
2ª iteració
1 x6x7 = 14 3
3ª iteració
!1$ 2 # & x6x7 = 32'66 " 3%
4ª iteració
!1$ 3 # & x6x7 = 76'22 " 3%
5ª iteració
!1$ 4 # & x6x7 = 177'85 " 3%
6ª iteració
!1$ 5 # & x6x7 = 414'98 " 3%
perímetre 14
2
32'66
3
76'22
4
177'85
5
suma del perímetre dels hexàgons de les 5 iteracions.
414'98
715'71
e) Defineix dimensió fractal i posa un exemple (el pots cercar a Internet)(0,5 punt). La dimensió fractal és un nombre que ens ajudarà a descriure la rugositat o la fragmentació que experimenta un objecte fractal, intentant explicar en quina mesura l'objecte fractal omple l'espai a mesura que les seves línies es van fent més fines. Podem trobar diferents tipus de dimensions, com la d'homotècia, la de correlació, la de Renyi o la de Hausdorff-Besicovitch. Una de les maneres de calcular la dimensió fractal és considerar els següents valors: ·
n ! nombre d'objectes idèntics que es creen en cada iteració a partir de l'original.
·
k ! factor d'ampliació al que se sotmet l'objecte.
·
D ! dimensió.
D'aquesta manera, es pot concloure que
n = kD
Un exemple de dimensió fractal seria la del triangle de Sierpinski. El triangle de Sierpinski genera en cada iteració tres rèpliques de l'original mentre que el factor d'ampliació és de dos, ja que cada línia queda dividida en dues parts iguals. Així doncs:
Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia
n = k D ! 3 = 2D ! D =
ln 3 = 1'58 ln 2
f) Calculeu la dimensió de l’hexafloc (0,5 punt). Tenint en compte l'explicat fins ara, per calcular la dimensió del nostre hexofloc haurem de determinar quin és el valor de cadascun dels paràmetres. · n = 7 ! Cada cop que es produeix una iteració l'objecte original es replica 7 cops. · k = 3 ! Cada cop que es produeix una iteració l'objecte conté
1 l'anterior, de manera 3
que experimenta un factor d'ampliació de 3, igual que passa, per exemple, amb la corba de Koch.
n = k D ! 7 = 3D ! D =
ln 7 " 1' 77 ln 3
2. Construïu en Flash un paisatge que contingui un fractal autosemblant aleatori i un camí aleatori. Expliqueu com els heu construït. (1 punt)
Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia
EXERCICIS CORRESPONENTS AL MÒDUL 6 3. A partir del programa en Flash contingut a l’arxiu circum.fla que adjuntem, feu les modificacions necessàries per a obtenir aquestes corbes: a) La cardioide (a partir de les seves coordenades polars, fixant un valor de “a”) (0,75 punts) b) La gràfica de la funció y = cos x en l’interval [-6π,6 π] (0,75 punts)
4. A partir del programa en Flash contingut a l’arxiu esfera.fla que adjuntem, feu les modificacions necessàries en la funció definirVertexs per a obtenir aquestes superfícies: a) El semiel·lipsoide de semieixos de longituds 40, 70 i 100. (0,75 punts) b) El tor de radis 90 i 20. (0,75 punts)
Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia
5. Si tallem l’esfera de radi 5 i centre l’origen de coordenades amb el pla x = 3... a) Quina és l’equació de la figura que obtenim? Com la descriuries? (0,5 punts) L'equació de l'esfera és
x 2 + y 2 + z 2 = R 2 . El nostre cas, si el centre es correspon amb
l'origen de coordenades i amb el pla
x = 3 , l'equació serà la següent:
32 + y 2 + z 2 = 52 ! y 2 + z 2 = 52 " 32 ! y 2 + z 2 = 4 2 , on x = 3 i R = 4 . Podem observar que quan es divideix l'esfera just pel mig la parametrització sempre es basarà en el radi màxim. En el nostre cas el centre queda desplaçat de l'origen de coordenades, fet que provoca que el radi sigui menor.
b) Dóna’n una parametrització. (0,5 punts) Per definició, aquesta és la parametrització de la nostra esfera. Prenent aquesta parametrització com a referència, podem demostrar que:
!x = 3 # " y = 4·cost % 0 & t & 2! # z = 4·sin t $
y 2 + z 2 = 16 2
( 4·cost ) + ( 4·sin t )
2
= 16
4 2 ·cos2 t + 4 2 ·sin 2 t = 16 4 2 ·( cos2 t + sin 2 t ) = 16 16·1 = 16 16 = 16
Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia
6. El cilindre circular d’eix l’eix de coordenades z i de radi 3 es pot transformar en un cilindre el·líptic del mateix eix i radis 6 i 9. a) Escriu les equacions de les dues figures. (0,5 punt) El nostre cilindre circular és una circumferència de
R = 3 sobre el pla XY que s'eleva
! x = 3·cost # " y = 3·sin t % 0 & t & 2! % 0 & s & h #z = s $
s sobre l'eix Z, sent
h la seva alçada total. Així doncs, la parametrització serà la següent: De manera anàloga, el nostre cilindre el·líptic tindrà aquesta parametrització: Demostrem que aquesta parametrització és correcta perquè es compleix la igualtat
x 2 y2 + = 1: a2 b2
! x = 6·cost # " y = 9·sin t % 0 & t & 2! % 0 & s & h #z = s $
x 2 y2 + =1 a2 b2
(6·cost )
2
(9·sin t ) +
2
=1 62 92 6 2 ·cos2 t 9 2 ·sin 2 t + =1 62 92 cos2 t + sin 2 t = 1 1=1
Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia
b) Quina és la transformació necessària? Quina és la matriu d’aquesta
transformació? (0,5 punt) La transformació caldrà fer-la a partir d'una matriu de transformació que multiplicada pels paràmetres del cilindre circular generi el cilindre el·líptic. Així doncs:
! 3cost $ ! 6 cost # & # M ·# 3sin t & = # 9sin t # & # s s " % "
$ & & & %
! 3cost $ ! 6 cost $ # & # & M ·# 3sin t & = # 9sin t & # & # & s s " % " % ! $! $ ! $ # a b c & # 3cost & # 6 cost & # d e f &·# 3sin t & = # 9sin t & # g h i & # & s s % " % " %" (3a cost + 3bsin t + cs = 6 cost ' b = 0, c = 0, a = 2 * )3d cost + 3esin t + fs = 9sin t ' d = 0, f = 0, e = 3 *3g cost + 3hsin t + is = s ' g = 0, h = 0, i = 1 + ! 2 0 0 $ # & M =# 0 3 0 & # 0 0 1 & " %