Material Dere Ferenc i a Algebra

UNIDAD DE ÁLGEBRA EL PODER GENERALIZADOR DE LOS SÍMBOLOS

Fidel Oteíza Morra Mauricio Moya Márquez

CONTENIDO

9 Presentación

10 Expresiones algebraicas ¿Qué es una expresión algebraica?

10

¿Qué representa una expresión algebraica?

10

Expresiones algebraicas con sentido

11

Expresiones algebraicas en la Ciencia

12

Cuocientes de expresiones algebraicas

13

Indeterminación de expresiones algebraicas racionales

13

Simplificación de expresiones algebraicas

14

Factorización de expresiones algebraicas

15

Método visual para factorizar y desarrollar expresiones algebraicas

18

Resumen de productos notables

20

Operatoria de expresiones algebraicas

21

Propiedades de las potencias de exponente entero

26

28 Introducción a los Números Reales La aparición de los números irracionales en la Historia

29

La naturaleza irracional de la raíz cuadrada de 2

30

Valores aproximados de números irracionales

32

La recta numérica real

36

Definición formal de número real

38

Axiomas que definen propiedades de los números reales

38

Teoremas que definen propiedades de los números reales

40

Demostraciones de algunos teoremas

42

45 Referencias bibliográficas

8

Unidad de Álgebra

PRESENTACIÓN

Para abordar esta unidad, se propone focalizar el trabajo en una comprensión más profunda de la relación que existe entre la representación algebraica y los números, intentando darle un sentido numérico a las expresiones representadas a través de letras y símbolos. Esto ha sido pensado así, debido a que una de las dificultades que tiene la comprensión del Álgebra es que las personas no logran “ver” qué hay realmente detrás de esos símbolos, razón por la cual no logran visualizar las transformaciones posibles que son muy importantes al momento de aplicar la operatoria algebraica. Por otra parte, cuando se aborda esta unidad, en distintos textos se suele caer en un abuso de lenguaje matemático y referirse al trabajo con cuocientes de expresiones algebraicas como “fracciones en lenguaje algebraico” o simplemente “fracciones algebraicas”. En realidad, si se mira la forma (el dibujo) de los cuocientes de expresiones algebraicas, esta tiene una similitud con las fracciones. Incluso se habla del numerador y el denominador de la expresión algebraica, lo que aumenta más la confusión. Sin embargo, hablar de fracciones algebraicas implica restringir el uso del Álgebra sólo al ámbito numérico de los números racionales (IQ), con lo cual se le resta fuerza como herramienta generalizadora del concepto de número y de otros objetos matemáticos más abstractos, tales como funciones, conjuntos, transformaciones, matrices, vectores, etc. Por esta razón, desde un punto de vista estrictamente matemático, es importante ampliar el ámbito de aplicación del Álgebra para representar también números reales y, por lo tanto, por la definición matemática de fracción, no puede hablarse de fracciones algebraicas, sino de expresiones algebraicas en general. Esta distinción tiene consecuencias importantes, pues por ello se ha considerado un tratamiento más formal y profundo del conjunto de los números reales. Este tema es parte de los contenidos de Primero Medio, pero en este texto se los introduce de una manera un poco más profunda y sistemática, mostrando la axiomática y abordando algunos de sus teoremas fundamentales. Esto puede ser interesante particularmente para aquellos estudiantes orientados hacia la Matemática, dado que los números reales seguirán apareciendo de aquí en delante de manera permanente, ya que son fundamentales en la construcción de conceptos claves como el de función y en la generalización de algunos resultados, como por ejemplo el Teorema de Thales. Dado a lo expresado anteriormente, la unidad se llama “El poder generalizador de los símbolos” y el núcleo fundamental es la operatoria de cuocientes de expresiones algebraicas.

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS

¿Qué es una expresión algebraica? Para definir el concepto de expresión algebraica, en primer lugar es necesario primero entender lo que es una variable. Una variable es una letra que se usa para representar cualquier elemento de un conjunto, en particular un conjunto numérico. Por ejemplo, cuando se escribe a ∈ IR significa que a es un número real, aunque no especifica qué número real es en particular, sino que se refiere a cualquier número real. Como convención, las últimas letras del alfabeto, tales como x, y, z, w..., son las que se emplean más a menudo como variables. De este modo, se puede pensar en la variable como una suerte de “contenedor” que recibe valores seleccionados de un conjunto determinado, en particular de un conjunto numérico como, por ejemplo, los números reales. A partir de lo anterior, se define una expresión algebraica como la representación simbólica del resultado que se obtiene al aplicar a una colección de variables y números, una cantidad finita de operaciones definidas en el conjunto que se está trabajando (adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, potencias, extracción de raíces, etc.). A continuación se presentan algunos ejemplos de expresiones algebraicas: a b+c 3m2 – 4n x2+ 4x – 3 2xy + 3x y–1 1 3

p – 2p +

39 2p

¿Qué representa una expresión algebraica? Una expresión algebraica que se ha formado a partir de variables numéricas (por ejemplo, variables que representan números reales), no es otra cosa que la representación general de un número cualquiera. Esto queda más claro aun cuando una expresión es “evaluada” dándole ciertos valores numéricos concretos a las variables de la expresión. Lo que queda entonces es un conjunto de operaciones numéricas, resultando finalmente un número.

10

Unidad de Álgebra

1. 2. 3.

La expresión 3xy – 2 representa al número 3 , cuando x = 1 e y = 2. Al evaluar 3 • 1 • 2 – 2 = 6–2=3 Una expresión interesante es 2n. Si esta es evaluada, por ejemplo con los números enteros positivos 1, 2, 3, ... el resultado será 2, 4, 6, ...., es decir, los números enteros pares. La expresión 2p – 1 representa a los números enteros impares, cuando p es un número entero.

Expresiones algebraicas con sentido De acuerdo al contexto dado, las expresiones algebraicas pueden adquirir un significado más concreto en el mundo cotidiano. Por ejemplo, en el siguiente cuadro se presenta una serie de variables expresadas mediante un símbolo, un significado y un valor numérico específico asignado para cada una de ellas1. Símbolo de la variable

A

Significado

Valor

D EM

Número de asignaturas que tiene cada estudiante en Segundo Medio. Número de alumnas en Primero Medio. Número de alumnos en Primero Medio. Número de alumnas en Segundo Medio. Número de alumnos en Segundo Medio. Número de minutos que cada alumno emplea en su tarea de Matemática cada noche. Número de minutos que cada alumno emplea en su tarea que no sea de Matemática cada noche. Número de días de clases por año. Número de horas por semana que cada alumna escucha música.

EH

Número de horas por semana que cada alumno escucha música.

M1 H1 M2 H2 Tm To


Ejemplos

7 230 246 215 213 27 52 180 18 15

En este cuadro cada variable tiene un significado específico en el contexto de un colegio. Con ellas se pueden formar expresiones algebraicas como las siguientes:

1

M1 + H1

“Número total de alumnos (hombres y mujeres) en Primero Medio”.

Tm + To

“Número total de minutos que cada estudiante utiliza en hacer sus tareas”.

D • EM

“Número de días de clases por año” multiplicado por el “Número de horas por semana que cada alumna escucha música”.

Tomado y adaptado de “Interactive Mathematics Program. Year 1” de Dan Fendel, Diane Resek, Lynne Alper y Sherry Fraser. Key Curriculum Press, 2000.

Expresiones algebraicas

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Usando las operaciones básicas es posible escribir muchas expresiones algebraicas diferentes. Sin embargo, no todas las expresiones tienen sentido en el mundo cotidiano. Por ejemplo, la última expresión “D • EM” cuyo valor es 18 • 180 = 3.240, no tiene ninguna interpretación lógica en el contexto dado. Sin embargo, las otras sí tienen una interpretación y esta es una de las ventajas de trabajar con expresiones algebraicas, pues con unos pocos símbolos y operaciones, se pueden representar modelos matemáticos muy complejos.

Expresiones algebraicas en la Ciencia Una aplicación concreta de las expresiones algebraicas se registra en la representación de fórmulas en la Ciencia, donde cobran gran relevancia, ya que los resultados importantes, descubrimientos o leyes físicas quedan, generalmente, expresados a través de fórmulas matemáticas o ecuaciones. En este contexto, una fórmula es una expresión algebraica con significado, donde sus variables representan determinadas magnitudes. Evaluar una fórmula significa encontrar el valor numérico de una variable específica, reemplazando y operando los valores numéricos de las otras variables conocidas.

Ejemplos: F=m•a dn =

(Segunda ley de Newton que relaciona la masa de un cuerpo con su aceleración.)

n • (n – 3) (Número total total de diagonales que se pueden trazar en un polígono convexo 2a de n lados.)

P = RnT 1 V

(Ley de los Gases Ideales que relaciona la temperatura con el volumen de un gas.)

Tomando la segunda fórmula, es posible determinar el número total de diagonales que se pueden trazar en un heptágono (polígono de 7 lados). Así:

d7 =

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Unidad de Álgebra

7 (7 – 3) 28 = = 14 2 2

Existen algunas expresiones algebraicas especiales importantes de conocer y recordar: Un monomio en ciertas variables es una expresión algebraica que puede escribirse como el producto de un número real y potencias enteras no negativas de las variables. Este trabalenguas es más simple de lo que parece y se puede traducir así. Por ejemplo, un monomio en la variable x es una expresión algebraica de la forma axn, donde a ∈ IR y n es un entero no negativo. Un polinomio es cualquier suma de monomios. Por ejemplo, un polinomio en la variable x es una expresión algebraica de la forma a1x + a2x2 + a3x3 + .... + anxn , donde ai ∈ IR y n es un entero no negativo.


Cuocientes de expresiones algebraicas

Una expresión algebraica racional corresponde al cuociente entre dos polinomios. Por ejemplo, las siguientes expresiones corresponden a expresiones algebraicas racionales: x2 – 5x + 1 , z2x4 – 3yz , 1 , etc 5z 4xy x3 + 7

Indeterminación de expresiones algebraicas racionales Un punto importante, a la hora de enfrentar cuocientes de expresiones algebraicas, es analizar aquellos valores para los que el denominador se hace cero, ya que en estos casos la expresión se indefine, pues la división por 0 no existe. 2 Por ejemplo, la expresión: x – 2x – 3 se indefine cuando x = 3, pues el denominador toma el x– 3 valor 0. Luego, la condición para que esta expresión sea válida es que la variable x no puede adoptar el valor 3, lo que se escribe formalmente como: x ≠ 3. De este modo, la forma correcta de escribir esta expresión es: x2 – 2x – 3 x– 3

x≠3

Esta consideración es muy importante al realizar la simplificación de las expresiones de este tipo, tema que es abordado a continuación.


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Simplificación de expresiones algebraicas A menudo, es muy útil en el trabajo matemático el reemplazar una expresión compleja por otra equivalente pero más simple. Un aspecto importante de este proceso es la simplificación de expresiones algebraicas, donde se trabaja de un modo similar a cuando se simplifican fracciones. Por ejemplo, para simplificar la fracción 6 , se debe escribir 3 • 2 y entonces “cancelar” el 10 5•2 factor 2 en el numerador y el denominador. Este proceso generalmente se escribe así: 3•2 3 6 = = 5•2 5 10 Más formalmente, en vez de “cancelar”, se puede escribir: 3•2 6 3 2 = = • 5•2 10 5 2

(aplicando propiedades de la multiplicación de fracciones)

2 = 1 (consecuencia directa de la existencia del elemento neutro multiplicativo 2 en IR, donde a • 1 = 1 • a = a para todo a en IR). y usar el hecho que

Similarmente, se puede considerar ahora la expresión algebraica

12xy 20x

Esta expresión se puede simplificar buscando un factor común en el numerador y el denominador y entonces proceder a “cancelarlo”. Este proceso se puede escribir de la manera siguiente: 12xy 3 • 4xy 3y • 4x 3y 4x 3y 3y = = = • = •1= 20x 5 • 4x 5 • 4x 5 4x 5 5

x≠0

Así, se ha llegado a una expresión más simple, pero equivalente. La explicación más formal de la operación utilizada aquí es que, aplicando adecuadamente las propiedades de los números reales, se puede reescribir la expresión anterior de la manera en que fue realizada y usar el hecho que: 4x =1 4x

x≠0

De este modo, si el numerador y el denominador de una expresión tienen un factor común distinto de cero, estos factores se “cancelarán” uno con otro por la propiedad de IR que establece la existencia de elemento inverso multiplicativo y usando también el hecho que el 1 es el elemento neutro multiplicativo en IR. Simbólicamente, el principio general puede describirse de la manera siguiente: a•c a c a a = • = •1= b•c b c b b

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Unidad de Álgebra

b ≠ 0, c ≠ 0

x2 + 4x x + 5x + 4 2

Puede ser simplificada escribiendo el numerador como x(x + 4) y el denominador como (x + 1)(x + 4). De este modo, la expresión se puede trabajar como: x(x + 4) x (x + 4) x x = • = •1= (x + 1)(x + 4) (x + 1) (x + 1) (x + 1) (x + 1) resultando finalmente en:

x x+1

x ≠ –4,

x ≠ –1

x ≠ –4, x ≠ –1


Para poder aplicar este principio, se requiere tener los factores apropiados en el numerador y en el denominador. Por ejemplo, si se tiene la expresión:

Factorización de expresiones algebraicas Sin duda, un tema fundamental al momento de simplificar expresiones algebraicas es la factorización. Es tan fundamental que simplemente si no se sabe cómo factorizar, en muchos casos será imposible simplificar expresiones algebraicas cuyos numeradores y/o denominadores no estén factorizados. Por ello, vale la pena volver a revisar las distintas técnicas y procedimientos de factorización de expresiones y conocer en qué casos se aplican. Factorizar una expresión algebraica es transformarla en el producto de dos o más factores, los cuales a su vez son también expresiones algebraicas. Ejemplo: La expresión ab + 5a puede factorizarse como: a•b +5•a

Descomponiendo en factores.

a(b + 5)

Aplicando la propiedad distributiva.

Existen diferentes técnicas para factorizar una expresión algebraica, las que dependen fundamentalmente del tipo (forma) de expresión con la que se esté trabajando. Algunas técnicas importantes son las siguientes: factor común, trinomios cuadráticos, productos notables. A continuación se revisan con más detalles cada una de ellas. Técnica del factor común Generalmente, se utiliza para factorizar expresiones simples y consiste en descomponer cada término de la expresión en factores de una manera conveniente, para luego identificar aquellos que son comunes. Finalmente, la expresión se factoriza aplicando la propiedad distributiva de los números reales.


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Ejemplo Factorizar ab • c – 3 • ba =

Descomponiendo en factores.

ab • c – 3 • ba =

Reconociendo el factor común. Notar que ab = ba por la propiedad conmutativa de la multiplicación en IR.

ab(c – 3)

Aplicando la propiedad distributiva, se obtiene la factorización buscada.

Técnica para trinomios cuadráticos de la forma x2 + bx + c Una expresión algebraica de la forma x2 + bx + c puede ser factorizada como el producto de dos binomios (x + p)(x + q). Para ello es necesario encontrar dos números p y q tales que cumplan las siguientes condiciones: p•q=c

Al multiplicarlos se obtiene el término libre de la expresión.

p+q=b

Al sumarlos se obtiene el coeficiente que acompaña a x.

El fundamento de lo anterior es que al desarrollar el producto (x + p)(x + q) esto queda: (x + p)(x + q) = x • x + x • q + p • x + p • q =

Multiplicando término a término

x2 + (p + q)x + pq

Reduciendo y factorizando

x2 + bx + c

Sustituyendo los valores p + q = c y p • q = c

Ejemplo Factorizar la expresión y2 + 7y – 30 (y + p)(y + q)

Transformando la expresión en un producto de binomios

p • q = –30 y p + q = 7 Se buscan dos números que multiplicados den -30 y sumados den 7

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p = 10 y q = –3

Los valores 10 y -3 son los que cumplen la condición

(y + 10)(y – 3)

Reemplazando, se obtiene la factorización buscada

Unidad de Álgebra

Anteriormente ya se ha trabajado con productos notables (cuadrado de binomio, suma por diferencia), que corresponde a factorizaciones especiales, en que por medio de una fórmula, es posible obtener rápidamente su resultado. Basado en esto, una tercera técnica para factorizar expresiones cuadráticas es justamente reconocer que se trata de algún producto notable conocido. Si la forma de un trinomio cuadrático corresponde a x2 + 2ax + a2 o bien x2 – 2ax + a2, en la cual se distinguen las siguientes características: Dos de sus términos son cuadrados perfectos (potencias de exponente 2) ÷ x2 y a2. El tercer término corresponde al doble del producto de las bases de los cuadrados anteriores: 2ax o bien – 2ax.


Técnica para factorizar productos notables

Entonces su factorización corresponde al cuadrado de binomio (x + a)2 o bien (x – a )2, dependiendo del signo del doble producto en el trinomio original. Esta factorización se justifica por lo siguiente: (x + a )2 = (x + a )(x + a ) =

Desarrollando el cuadrado de binomio.

x2 + x • a + a • x + a2 =

Multiplicando término a término.

2

2

x + 2ax + a

Reduciendo los términos semejantes.

De igual forma se desarrolla (x – a )2 para obtener x2 – 2ax + a2. Si una expresión corresponde a la diferencia de dos cuadrados, es decir, tiene la forma x2 – a2, entonces su factorización corresponde al producto de una suma por diferencia. Esto se justifica de la siguiente manera: (x + a)(x – a) = 2

Suma por diferencia 2

x –x•a+a•x+a =

Multiplicando término a término

x2 – a2 =

Reduciendo términos semejantes

Ejemplo Factorizar la expresión x2 – 4x + 4 x2 y 4 Son cuadrados perfectos. Notar que 4 = 22 x y 2 Son las bases de los cuadrados anteriores 2 • x • 2 = 4x Es el doble producto de las bases y el cual se corresponde con el término central del trinomio original. En este caso el signo es negativo. (x – 2)2 ó (x – 2)(x – 2) Es la factorización buscada, la que corresponde a un cuadrado de binomio. Expresiones algebraicas

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Ejemplo Factorizar la expresión p2 – 144 p2 – 144 Corresponde a una diferencia de cuadrados p2 y 144 Son cuadrados perfectos. Notar que 144=122 p y 12 Son las bases de los cuadrados anteriores ( p +12) ( p – 12)

Es la factorización buscada, la que corresponde a una suma por diferencia

Método visual para factorizar y desarrollar expresiones algebraicas Este método está basado en la relación que se puede establecer entre las expresiones algebraicas y las áreas de rectángulos. En la práctica, lo que se necesita es un puzzle con piezas bien determinadas y en dos colores para hacer notar la diferencia de los signos. Esta distinción puede ser, por ejemplo, el color rojo para positivo y el azul para el negativo. Las piezas se describen en el siguiente cuadro: Pieza

Dibujo

Un cuadrado rojo de lado x.

Rectángulos rojos y azules de lados 1 y x.

Cuadrados rojos y azules de lado 1.

Notar que “x” representa una magnitud variable. Ejemplo Desarrollar la expresión (x + 5)(x – 3). x+5

x–3

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Unidad de Álgebra

x2

2x

–15

De esta forma, la expresión (x + 5)(x - 3) al ser desarrollada queda x2 + 2x – 15. Este proceso es simple de resolver usando la representación del puzzle, pero lo interesante surge cuando se trata de hacer el proceso recíproco, es decir, de una expresión desarrollada pasar a la expresión factorizada.


Dado que hay tres rectángulos azules, estos se cancelarán con tres rojos, es decir, las áreas que quedan son:

Ejemplo Factorizar la expresión x2 + 2x – 8. En esta situación se tienen las siguientes piezas:

x2

2x

–8

La idea es formar un rectángulo con todas las piezas. En el caso de que falten rectángulos, se pueden agregar más, siempre que esto sea hecho de pares de distinto color. Es decir, si se agregan dos rectángulos rojos, deben agregarse necesariamente dos azules. Este último hecho de que “falten piezas”, es una forma de visualizar la reducción de términos semejantes que está implícita en una expresión desarrollada. En este caso, para formar el rectángulo final es necesario agregar dos rectángulos rojos y dos azules.

+

x2

+ 2x

–8

+2x

–2x


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Con este paso intermedio se puede ahora formar el rectángulo final: x+4

x–2

Por lo tanto, la factorización correspondiente (los lados) del rectángulo final es (x + 4) (x – 2), la cual corresponde exactamente a la expresión algebraica x2 + 2x – 8.

Resumen de productos notables A continuación se presenta un cuadro resumen con los productos notables más significativos.

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Producto Notable

Forma

Desarrollo

Ejemplo

Cuadrado de binomio

(a ± b)2

a2 ± 2ab + b2

(p – 2)2 = p2 – 2 • p • 2 + 22 = p2 – 4p + 4

Suma por diferencia

(a + b)(a – b)

a2 – b2

(m + 5)(m – 5) = m2 – 25

Binomios con un termino en común

(x + a)(x + b)

x2 + (a + b)x + ab

(x – 3)(x + 5) = x2 + (–3 + 5)x – 3 • 5 = x2 + 2x – 15

Cubo de binomio

(a ± b)3

a3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3

(y – 3)3 = y 3 – 3y 2 • 3 + 3y • 32 – 33 = y 3 – 9y 2 + 27y – 27

Suma de cubos

(a + b)(a2 – ab + b2)

a3 + b3

(x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 8

Resta de cubos

(a – b)(a2 + ab + b2)

a3 – b3

(y – 3 )(y 2 + 3y + 9) = y 3 – 27

Unidad de Álgebra

Suma y resta con igual denominador Para sumar o restar cuocientes de expresiones algebraicas, se procede de manera similar a como se operan las fracciones numéricas. En este caso, donde el denominador es igual, el procedimiento consiste en conservar el denominador y sumar o restar los numeradores en forma algebraica. Esto último quiere decir que si existen términos semejantes, estos deben reducirse. Ejemplo 4x + 5x – 2 = 4x + 5x – 2 Se conserva el denominador y se suman “algebraicamente” 2x – 1 2x – 1 2x – 1 los numeradores.

=

9x – 2 2x – 1


Operatoria de expresiones algebraicas

Se reducen términos semejantes

Mínimo común múltiplo Cuando se requiere sumar o restar cuocientes de expresiones algebraicas con distinto denominador, la operatoria se complica un poco y se requiere conocer otro procedimiento para operar. La idea de fondo es buscar una forma de lograr transformar los cuocientes originales en otros equivalentes, pero de igual denominador, con lo cual la operatoria se reduce al caso anterior. Una forma es conocer el mínimo común multiplo de los denominadores y transformar los cuocientes en otros equivalentes, cuyo denominador común sea el mínimo común múltiplo encontrado anteriormente. Una expresión algebraica, llamémosla M, es el mínimo común múltiplo (mcm) de un conjunto de dos o más expresiones E1, E2, E3, …, si M es la expresión de menor grado divisible por cada una de las expresiones de dicho conjunto y se anota de la siguiente forma: M = mcm (E1, E2, E3, …) A continuación un ejemplo para desentrañar el trabalenguas anterior. El mínimo común múltiplo entre las expresiones 5m2nr y 25mn3 es la expresión 25m2n3r que corresponde a la expresión de menor grado (menor potencia), que es divisible por ambas expresiones. Esto quiere decir que no existe otra expresión de menor grado que sea divisible tanto por 5m2nr como por 25mn3. En caso que la hubiera, significa que la expresión anterior no era el mínimo común múltiplo, pero en este caso no existe otra. Luego, es el mínimo común múltiplo. Encontrar el mcm de un conjunto de expresiones algebraicas consiste en encontrar una única expresión de modo que sea divisible por todas las expresiones del conjunto. Para ello, existe una primera técnica que es similar a la usada con números enteros, sólo que en vez de números se trabaja con las expresiones algebraicas a la cuales se requiere calcular el mcm. Una segunda Expresiones algebraicas

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técnica consiste en descomponer cada expresión algebraica en sus factores constituyentes, sean estos números o factores literales. Lo siguiente es analizar el mcm por factores del mismo tipo, es decir, números con números y letras con letras. Al momento de calcular el mcm, es necesario tener en cuenta lo siguiente: 1.

El mcm entre los coeficientes numéricos de las expresiones algebraicas, se determina de la misma forma que para los números enteros. Ejemplo: El mcm entre 6 y 4 es:

6 3 3 1

4 2 1

2 2 3

El mcm (6,4) = 2 • 2 • 3 = 12 2.

Si en alguna expresión no aparece explícitamente una variable o letra, significa que ella está elevada a cero y su valor es uno (a0 = 1). Ejemplo: Sean las expresiones 5a y 3a2b. En la primera expresión no aparece la letra b, lo cual significa que está elevada a cero, es decir, 5ab0 que al descomponerlo queda como 5 • a • 1.

3.

El mcm entre una variable (letra) cualquiera y 1 es la misma variable. Ejemplo: mcm (1, m3) = m3

4.

El mcm entre dos potencias de la misma base, corresponde a la potencia de mayor exponente. Ejemplo: mcm (b4, b7) = b7

A través de un mismo ejemplo, se revisan a continuación las dos técnicas antes descritas para obtener el mcm entre dos expresiones algebraicas. Ejemplo Determinar el mcm entre 5m2nr y 25mn3. Técnica de la división sucesiva 5m2nr 1 • m2nr 1 • m2nr m2n m2 m2 m 1

25mn3 5 • mn3 1 • mn3 mn3 mn2 m 1 1

5 5 r n n2 m m

mcm (5m2nr, 25mn3) = 5 • 5 • r • n • n2m • m = 25m2n3r

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Unidad de Álgebra

Expresiones 5m2nr 25mn3 mcm por factor

Descomposición en factores 5 m2 n r 3 25 m n 1 2 3 25 m n r

mcm (5m2nr, 25mn3) = 25 • m2 • n3 • r = 25m2n3r

Suma y resta con distinto denominador Para sumar o restar cuocientes de expresiones algebraicas con distinto denominador, al igual que en las fracciones numéricas, una forma es encontrar previamente el mínimo común múltiplo (mcm) entre los denominadores. El mcm pasa a ser el nuevo denominador para ambas expresiones, y los numeradores se amplifican respectivamente por los factores que resultan de la división entre el mcm y el denominador original correspondiente. Hecho esto, como ahora se trata de fracciones de igual denominador, sólo se procede a sumar algebraicamente los numeradores. El resultado obtenido debe simplificarse cuando sea posible.


Técnica de la descomposición en factores

Ejemplo: 3 – 4 = mcm (5a, 2a) = 10a 5a 2a 3 – 4 = 3 • 2 – 4 • 5 = El mcm es el denominador común 2a 10a 5a Se amplifican los numeradores convenientemente. Notar que el factor 2 multiplica a 3, ya que 10a = 5a • 2; el factor 5 multiplica a – 4 porque 10a = 2a • 5 6 – 20 = –16 = –8 5a 10a 10a

Resolviendo y simplificando por 2, se obtiene el resultado

Multiplicación de expresiones algebraicas Para multiplicar cuocientes de expresiones algebraicas se procede igual que en el caso de las fracciones numéricas, es decir, se multiplican primero los numeradores entre sí y luego los denominadores. El resultado final se debe simplificar cuando sea posible.


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Ejemplo b –3 • = 2 a b • –3 –3b = 2•a 2a

Se multiplican numeradores y denominadores, respetando la regla de los signos. Más (+) por menos (–) igual menos (–).

División de expresiones algebraicas Para dividir dos cuocientes de expresiones algebraicas, se procede igual que en el caso de las fracciones numéricas. Es decir, la división se transforma a una multiplicación, en la cual se considera el inverso multiplicativo de una de las expresiones originales (por lo general, de la segunda). Luego de la transformación, se multiplica tal como se muestra anteriormente. El resultado final se debe simplificar cuando sea posible. Ejemplo 3x2y ÷ xy = 5b2 2b

Transformando a multiplicación, donde el inverso 2 multiplicativo de xy2 es 5b . cb xy

3x2y • 5b2 = xy 2b 3x2y • 5b2 15b2x2y = 2bxy 2b • xy =

=

Se multiplican los numeradores y denominadores.

15 • b • b • x • x • y Descomponiendo y simplificando, se obtiene el resultado. 2•b•x•y 15bx 2

Operatoria combinada de expresiones algebraicas Cuando se trata de resolver ejercicios que involucran las cuatro operaciones básicas y paréntesis, lo importante es resolver ordenadamente y no olvidar las prioridades de operación: 1º Desarrollo de paréntesis. 2º Multiplicaciones y divisiones. 3º Sumas y restas.

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Unidad de Álgebra

Resolver

2 1 + – x+3 x–5

2x – 2 . x – 2x – 15 2

1 2 2x – 2 + – = x–5 x+3 (x + 3)(x – 5)

Factorizando la expresión cuadrática

2 • (x – 5) + 1 • (x + 3) – (2x – 2) = (x + 3)(x – 5)

Encontrando el mínimo común múltiplo

2x – 10 + x + 3 – 2x + 2 = (x + 3)(x – 5)

Resolviendo productos en el numerador

x–5 = (x + 3)(x – 5)

Reduciendo términos semejantes

x–5 (x + 3)(x – 5) =

Simplificando


Ejemplo

1 x–5 = Ejemplo Resolver

(

(

)(

)( )(

2 1 m n + • + m – n 2(m – n) 5 4

(

)

2 1 m n + • + . m – n 2m – 2n 5 4

2•2+1•1 2(m – n)

•

4m + 5n 20

) )

=

Factorizando expresiones

=

Resolviendo las sumas de los paréntesis

4m + 5n 5 = 20 2(m – n) • 5(4m + 5n) 40 (m – n) = 5 • (4m + 5n) = 5 • 8 • (m – n) 4m + 5n 8m – 8n)

Desarrollando

Multiplicando numeradores y denominadores

Simplificando

Multiplicando término a término en el denominador Expresiones algebraicas

25


Propiedades de las potencias de exponente entero Para realizar operaciones con expresiones literales que involucran potencias de exponente entero, se utilizan las mismas reglas de la potenciación numérica. A continuación se entrega un resumen de las propiedades fundamentales: Propiedad 1 an

A

1 = an a–n

A

A a ∈ IR; m,n ∈ Z; a ≠ 0

A

A a ∈ IR; m,n ∈ Z

A

A a ∈ IR; n ∈ Z; a,b ≠ 0

1. a–n = 2.

Condiciones

3. am • an = am+n am = am–n an

4.

5.

–n

( ) ( ) () a b

=

b a

n

m

6. an = am • n

(

)

n

7. a • b = an • bn 8. a0 = 1

a ∈ IR; An ∈ Z; a ≠ 0

A a,b ∈ IR; a,b ≠ 0 A A a ∈ IR; m,n ∈ Z

Ejemplo 1 1 = 0,125 3 = 2 8

2–3 =

1 = 32 = 9 3–2 4–1 • 42 = 4–1 + 2 = 41 = 4 55 = 55–3 = 52 = 25 53 –2

4 5

=

b–2–(–3–m) = b1 + m

26

Unidad de Álgebra

=

25 16

= 22 • – 3 = 2–6 =

1 1 = 26 64

A

A a∈; n∈Z

103 = (5 • 2)3 = 53 • 23 = 125 • 8 = 1000

A

a ∈ IR

(3,42)0 = 1

Simplificar la expresión b–2 = b–3–m

5 4

–3

22

Ejemplos 1.

2

( ) ( ) ()

b–2 . b–3 • b–m

Aplicando la propiedad 3 en el denominador Aplicando la propiedad 4 Reduciendo términos semejantes en el exponente

Simplificar la expresión


2.

3–2 + 3–1 3

1 + 1 32 3 = Aplicando la propiedad 1 3 1 + 1 9 3 = Resolviendo potencias 3 1+3 9 3 4 9 3

= Resolviendo la suma en el numerador

= División de fracciones

4 1 • = Transformando a multiplicación 9 3 4 = Multiplicando numeradores y denominadores 27


27

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES2

Tal como se señaló al comienzo, se creyó necesario hacer una exposición más completa de los números reales, dada su importancia en la Matemática moderna y el hecho de que, para el desarrollo del Álgebra, ha sido muy crucial el descubrimiento de este conjunto numérico tan especial y los hallazgos en torno a sus propiedades. Varios siglos de pensamiento han transcurrido para llegar al actual concepto de número real. Una construcción formal y satisfactoria de ellos sólo se logró después de la segunda mitad del siglo XIX. En los siglos VI y V a.C. en Grecia, cuando la Matemática ya se había iniciado como ciencia, fueron evidentes las dificultades de aquellos matemáticos ante la idea de representar una magnitud que varía continuamente. Con claridad esto puede apreciarse en hechos como el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables por la Escuela Pitagórica y las paradojas de Zenón. Los griegos salvaron muchos obstáculos, no obstante, fallaron al no considerar como número relaciones tales como cuocientes o proporciones. Los pueblos orientales, en cambio, al parecer no tuvieron problemas en concebir los números como cuocientes de magnitudes, quizás por el hecho de no contar con una lógica tan rigurosa como la occidental. Sin duda, esto les permitió avanzar tanto en Aritmética como en Álgebra. El concepto general de número real, ya intuido por los matemáticos griegos cuando descubrieron los números irracionales, fue formulado por primera vez como un concepto independiente por Isaac Newton en el s. XVII. En su Arithmetica Universalis, escribió: “Por número real se entiende no tanto el conjunto de varias unidades, como la relación abstracta entre una magnitud cualquiera y otra magnitud homogénea a la primera y adoptada por unidad.” Este número (cuociente) puede ser entero, racional o irracional (cuando la magnitud dada es inconmensurable con la unidad). Haciendo abstracción de su naturaleza concreta, un número real no es otra cosa que el cuociente entre magnitudes, donde una de ellas es tomada como la unidad. El sistema de los números reales es la imagen abstracta de todos los valores posibles de una magnitud que varía continuamente. Teorías estrictas de los números reales fueron construidas a fines del s. XIX por George Cantor, Richard Dedekind y Karl Weierstrass.

2

28

Adaptado de la obra de Bobadilla y Billeke (1997).

Unidad de Álgebra

La primera aproximación histórica de que se tiene conocimiento acerca de la aparición de estos números extraños, que no podían tener una unidad de medida común con otros (cantidades inconmensurables), surge con los griegos. Ellos, al extremar las consecuencias del teorema de Pitágoras y aplicarlo para medir la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, pronto se dan cuenta de que el resultado es un número extraño que no tiene nada que ver con los que ellos conocen y consideran hasta ese momento. La perplejidad de los griegos queda de manifiesto según este relato escrito por el matemático español Pedro Miguel González Urbaneja, en su libro “Pitágoras: el filósofo del número”: La grandeza sublime del teorema de Pitágoras y la mágica belleza del pentagrama místico fueron dos caballos de Troya para la Geometría griega, porque llevaban en su interior el propio germen de la profunda crisis de la secta pitagórica. Los “Diálogos de Platón” nos informan que la comunidad matemática griega se vio gravemente alterada por un descubrimiento que prácticamente demolía la base de la fe pitagórica en los números enteros. Los pitagóricos que, como filósofos presocráticos, consideraban como núcleo dogmático de su filosofía que “los números son la esencia del universo”, encuentran que las consecuencias del teorema atentan contra los fundamentos de su doctrina, que les había llevado a establecer un paralelismo entre el concepto numérico y la representación geométrica. En efecto, el cuadrado, una de las figuras geométricas más simples, tiene un segmento, la diagonal, que no es conmensurable con el lado: No hay un submúltiplo de ambos que pueda tomarse como unidad para medirlos.

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES

La aparición de los números irracionales en la Historia3

La creencia de que los números podían medirlo todo era una simple ilusión. Quedaba así eliminada de la Geometría la posibilidad de medir siempre con exactitud. Se había descubierto la magnitud inconmensurable, lo irracional (no expresado mediante razones), provocaría una crisis sin precedentes en la historia de la Matemática. La sacudida que la aparición del nuevo concepto provocó en la Matemática griega puede calibrarse por la leyenda que relata una nota, atribuida a Proclo, al libro X de los Elementos de Euclides:

3

Extractado del libro “Pitágoras: el filósofo del número” de Pedro Miguel González Urbaneja (Págs. 205-208).

Introducción a los números reales

29


“Es fama que el primero en dar al dominio público la teoría de los irracionales, perecería en un naufragio, y ello porque lo inexpresable e inimaginable debería siempre haber permanecido oculto. En consecuencia, el culpable, que fortuitamente tocó y reveló este aspecto de las cosas vivientes, fue trasladado a su lugar de origen, donde es flagelado a perpetuidad por las olas”. La lectura de este pasaje produce un escalofrío: “Ni un ápice de piedad ni un átomo de conmiseración para quien ha cometido un delito de lesa geometría, pecando contra lo más sagrado. Desvelando el secreto de lo inexpresable, se ha hecho acreedor al más terrible castigo divino, ser transportado a su lugar de origen, es decir, a la nada, de donde vino, ser desposeído del ser.” El descubrimiento de la inconmensurabilidad marca un hito en la historia de la Geometría, porque no es algo empírico, sino puramente teórico. Marcó el momento más dramático no sólo de la Geometría pitagórica, sino de toda la Geometría griega y fue con gran probabilidad lo que imprimió a la Matemática griega un cambio de rumbo que la convertiría en la obra de ingeniería geométrico-deductiva plasmada en los Elementos de Euclides. En efecto, la imposibilidad de calcular exactamente la diagonal del cuadrado en función del lado, es decir la imposibilidad empírica y numérica de resolver el problema de la duplicación del cuadrado, implicaría la búsqueda de algo distinto. El espíritu griego no se arredrará ante la dificultad y pasará al ataque. Renunciando a la exactitud aritmética y trascendiendo lo empírico, replanteará el problema soslayando la presencia temible e inexorable del infinito mediante la construcción geométrica. De esta forma, la imposibilidad de hallar con exactitud ciertas medidas, pronto de la casi generalidad de las medidas ya que los inconmensurables aparecían en otros muchos campos de la Geometría (por ejemplo en la relación entre lado y altura del triángulo equilátero o entre la diagonal y el lado en el pentágono regular, emblemático para los pitagóricos) fue asimismo la cuna de la Geometría griega y uno de los factores del milagro griego en Matemática. Desconocemos tanto las circunstancias concretas que rodearon el descubrimiento de los inconmensurables como la fecha en que tuvo lugar. Aunque Proclo lo atribuye al propio Pitágoras, suele admitirse que fue hacia el 480 a.C. por Hipasos de Metaponto. Este descubrimiento oculto bajo el halo del misticismo esotérico de la Escuela Pitagórica, vendría a ser develado sólo veintitrés siglos más tarde, por la genialidad de grandes matemáticos de la talla de Newton, Cantor, Dedekind y Weisstrass.

La naturaleza irracional de la raíz cuadrada de 2 Antes de seguir adentrándose en este misterioso y fascinante mundo de números que no se pueden medir ni tocar, conviene profundizar y conocer más de cerca los números irracionales. Los números irracionales son aquellos que no se pueden representar como números racionales, es decir, no se pueden representar como el cuociente de dos números enteros.

30

Unidad de Álgebra

Demostración Supongamos que existen dos números enteros p y q primos relativos y que divididos son iguales a 2. Esto, matemáticamente, sería: p = q

2

Que dos números enteros p y q sean primos relativos quiere decir que la fracp ción q es irreducible o sea que no se puede simplificar.

Si reescribimos esta ecuación despejando p y elevando al cuadrado tendremos: p = ( 2 )q

/( )2

p2 = ( 2 )2q2


En particular 2, que corresponde a la medida de la diagonal del cuadrado de lado 1, no se puede representar como un número racional. A continuación se hace una demostración formal de la naturaleza irracional de 2, usando una técnica de demostración llamada el principio de contradicción. Al respecto, el matemático Joseph Kitchen Jr. señala que “la demostración de este hecho es tan bella como antigua”.

p2 = 2 • q2 De aquí tenemos que p2 es igual a una cantidad entera (q2 ) multiplicada por 2 y, por lo tanto, podemos deducir que p2 es un número par. También, por lo visto en el razonamiento previo, tenemos que si p2 es un número par entonces p obligatoriamente es par.

1ª conclusión:

p q = 2 entonces de los números enteros p y q, p es un número par y q es impar, ya que partimos suponiendo que p y q son primos relativos. Si

Como p es par entonces significa que se puede escribir como 2n, con n entero. Es decir: p=2•n Si ahora reemplazamos p en la ecuación p2 = 2 • q2 tendremos: p2 = 2 • q2 (2 • n)2 = 2 • q2 4 • n2 = 2 • q2 2 • n2 = q2 Introducción a los números reales

31


O sea, lo que obtuvimos fue que q2 es también un número par, ya que es igual a una cantidad entera (n2 ) multiplicada por 2. También por el razonamiento previo, si q2 es un número par entonces q es par.

2ª conclusión:

p q = 2 entonces, de los números enteros p y q, p es un número par y q es par. Si

Pero, atención. De la primera conclusión se sabe que q es un número impar, mientras que de la segunda se sabe que q es un número par, lo cual, es claramente una contradicción (⇒⇐). Con esto se demuestra que “no existe un número racional cuyo cuadrado sea 2”, o dicho de otro modo “ 2 no puede ser expresado como un número racional”, luego se concluye que necesariamente debe ser irracional.

Valores aproximados de números irracionales Una de las características más notables que tienen los números irracionales, es que no se puede calcular su valor exacto. No importa la cantidad de decimales que lleguemos a calcular, siempre va a existir una aproximación mejor. A continuación se muestran dos métodos para calcular números irracionales en forma aproximada: un método visual y otro método más formal llamado de intervalos encajados. Método visual4 Este método visual considera el trabajo con piezas cuadradas de área igual a 1. Como se trata de raíces cuadradas, la idea es armar un cuadrado mayor con las piezas disponibles para finalmente medir su lado. Esto está basado en el hecho de que si se tiene un cuadrado de área a2, su lado mide a2 = a. a2

a

a En el caso de las raíces exactas el método es directo, ya que el número de piezas coincide perfectamente. Ejemplo: Determinar el valor de

4

32

4, usando las piezas

Basada en una idea de Roberto Araya, propuesta en el libro “Inteligencia matemática”. Editorial Universitaria. Santiago-Chile. 2000.

Unidad de Álgebra

Armando el cuadrado:

2.

Este cuadrado tiene área 4 (cada cuadrado pequeño tiene área 1) y su lado mide 2, luego 4 = 2.

De la misma forma se pueden obtener 9, 16, 25, etc. Para el caso de las raíces inexactas (irracionales) la idea es la misma, sólo que el número de piezas cuadradas ya no coincide perfectamente. En este caso se procede a particionar el o los cuadrados que sobran, de modo que las partes se agreguen adecuadamente hasta formar el mejor cuadrado. Ejemplo: Determinar el valor de

5, usando las piezas

.

1.

Armando el cuadrado:

+

2.

Dado que sobra una pieza, esta debe particionarse para completar la figura. Por ejemplo, puede dividirse en cuatro partes iguales:


1.

= 3.

Cada parte debe agregarse al cuadrado ya formado, de modo que siga siendo cuadrado aunque sea aproximado:

4.

Al sumar las áreas (5 cuadrados) tenemos que el área total es 5. Dado que el ancho de cada 1 trozo pequeño es 4 = 0,25; el lado del nuevo cuadrado es aproximadamente 2 + 0,25 = 2,25. Es decir, 5 ≈ 2,25. Este último valor es una buena aproximación de 5, cuyo valor es 2,236067977... Del mismo modo se pueden calcular: 6, 7, 8, 10, etc.


33


Intervalos encajados Un método numérico más formal para encontrar valores aproximados de algunos números irracionales, es el método de los intervalos encajados. Antes de describir el método, es necesario definir el concepto de intervalos encajados. Los matemáticos Bartle y Sherbert los definen de la siguiente manera: Una secuencia de intervalos In n ∈ IN es encajada si se cumple que: I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇ ... ⊇ In ⊇ In +1 ⊇ ... Gráficamente, esto se puede ilustrar de la siguiente forma: I1 I3 I5

I4 I2 El método de los intervalos encajados consiste en acotar un cierto número P (racional periódico o también un irracional), cuyo valor se desea aproximar, por otros dos números conocidos. Para ilustrar el método, conviene analizar el caso concreto de 2. Lo que se busca es un número cuyo valor multiplicado por sí mismo debe ser igual a 2 o, en este caso, lo más aproximado posible. Se puede establecer, sin mucho esfuerzo, que 2 está entre 1 y 2, ya que 1 < 2 < 2, ya que si multiplicamos 1 por sí mismo da 1 que es menor que 2 y si multiplicamos 2 por sí mismo da 4 que es mayor que 2. El error cometido en este caso es menor que una unidad, pues al restar los extremos del intervalo donde está contenido 2 el resultado es 1: 2–1=1 Se toma ahora 1,1; 1,2; ... y se va elevando al cuadrado, hasta que dé un número mayor que 2. Se obtiene así el 1,5, por lo tanto: 1,4 < 2 < 1,5. El error cometido ahora es menor que una décima, pues al restar los extremos del intervalo donde está contenido 2 el resultado es 0,1: 1,5 – 1,4 = 0,1 Se toma ahora 1,41; 1,42; ... etc. y se eleva al cuadrado, hasta que dé nuevamente un número mayor que 2. Se obtiene 1,42, por lo tanto 1,41 < 2 < 1,42. El error cometido en esta ocasión es menor que una centésima, pues al restar los extremos del intervalo donde está contenido 2 el resultado es 0,01: 1,42 – 1,41 = 0,01

34

Unidad de Álgebra

1.

Cada paso en el proceso, determina un intervalo dentro del cual está contenido 2. [1 2] [1,4 1,5] [1,41 1,42] [1,414 1,415]...

2.

Cada intervalo está contenido (encajado) en el anterior.

3.

La diferencia entre los extremos de cada intervalo tiende a 0. Gráficamente, al representar este proceso en la recta numérica se ve así:


Si se observa atentamente, el proceso de aproximación al valor de 2 descrito anteriormente tiene las siguientes características:

Una sucesión de números que tiene las características enunciadas en los tres puntos anteriores, es una sucesión de intervalos encajados y puede determinar un número irracional. De hecho, ésta es una de las primeras definiciones formales que aparece en la historia de la Matemática acerca de los números irracionales en el año 1872, veinticinco siglos después que Pitágoras descubriera la existencia de los números irracionales. En este caso la sucesión de intervalos que contienen a 2 es: Ii

Intervalo

Precisión (Error) Diferencia

Decimal

Potencia

I1

[1,2]

2 –1

1

100

I2

[1,4; 1,5]

1,5 – 1,4

0,1

10 – 1

I3

[1,41; 1,42]

1,42 – 1,41

0,01

10 – 2

I4

[1,414; 1,415]

1,415 – 1,414

0,001

10 – 3

I5

[1,4142; 1,4143]

1,4142 – 1,4143

0,0001

10 – 4

...

...

...

...

...


35


Gráficamente, tenemos: I1 I3

I5 1,4142 1

1,4142 1,415 1,42 1,5

1,4 1,41 1,414

2

I4 I2

La recta numérica real Anteriormente ya se demostró que “no existe ningún número racional igual a 2”. De este argumento resulta que, mediante una construcción geométrica muy sencilla, se puede obtener un segmento inconmensurable con el segmento unidad. Si con un compás llevamos dicho segmento sobre la recta numérica, en la forma indicada en la figura, el punto obtenido no puede coincidir con ninguno de los puntos racionales. De aquí se concluye que el sistema de los números racionales, aunque es denso (entre dos números racionales cualquiera, siempre puedo meter un tercero), no cubre toda la recta numérica, quedando “huecos” en ella que no corresponden a números racionales. El hecho de que hubiera más puntos en la recta que números racionales, fue justamente la idea que dejó perplejos a los pitagóricos.

Es fácil construir tantos segmentos inconmensurables con la unidad como se desee. Los extremos de tales segmentos llevados a partir del 0 de la recta numérica, son los llamados puntos irracionales. Para comprobar cada resultado basta usar el teorema de Pitágoras con los triángulos rectángulos formados. En la figura de la página siguiente se muestra el proceso de construcción:

36

Unidad de Álgebra

Catetos

Cálculo de la hipotenusa usando Pitágoras

x2 = 12 + 12x2 = 2x = 2

1

1y1

2

1y 2

x2 = 12 + ( 2 )2 x2 = 1 + 2 = 3x = 3

3

1y 3

x2 = 12 + ( 3 )2 x2 = 1 + 3 = 4x = 4 = 2

4

1y 4

x2 = 12 + 22x2 = 1 + 4 = 5x = 5

...

...


Triángulo

...

Nos encontramos así ante un nuevo conjunto numérico, que surge de la unión entre el conjunto de los números racionales (IQ) y el conjunto de los irracionales (I). A este nuevo conjunto se le llama los números reales y se denota por IR, el cual efectivamente cubre toda la recta numérica: IR = Q I UI Esto significa que a cada elemento del conjunto de los números reales se le puede hacer corresponder un único punto de la recta numérica, sin dejar ningún “hueco” libre. Por ello se dice que los reales son un conjunto completo y aparece la idea del continuo numérico. Esta correspondencia exacta (biunívoca) entre los números reales y la recta numérica es muy útil al momento de estudiar el concepto de función lineal.


37


Definición formal de número real En primer término podría establecerse que los números racionales corresponden a los decimales periódicos, mientras que los irracionales corresponden a aquellos decimales no periódicos. Sin embargo, esta definición no es plenamente satisfactoria, ya que el sistema decimal no se diferencia de otras bases por propiedades intrínsecas del sistema de números. Es decir, es deseable una definición más general del continuo numérico, independiente de especiales referencias al sistema de base diez. Talvez la definición general más sencilla, expuesta por Courant y Robbins (1964), sea la siguiente: Consideremos una sucesión de intervalos encajados I1, I2, I3, ..., In , ... En este caso se cumple que la longitud del intervalo n-ésimo In tiende a cero al crecer n. En el caso de intervalos decimales, la longitud es 10–n, pero en el caso general puede ser muy bien 2– n o estar simplemente sujetos a la restricción de ser menores que 1/n. En estas condiciones se puede formular un postulado fundamental en Geometría: “En correspondencia con cada sucesión de intervalos encajados, existe precisamente un punto de la recta numérica que está contenido en todos los intervalos.” Se ve directamente que no puede haber más de un punto común a todos los intervalos, puesto que las longitudes de estos tienden a cero, y dos puntos no pueden estar contenidos en un intervalo de longitud menor que su distancia. El punto a que se refiere el postulado es por definición un número real. Si no es un punto racional, entonces se trata de un punto irracional. Mediante esta definición se establece una correspondencia perfecta entre puntos y números. Otra manera de definir los números irracionales fue dada por Richard Dedekind (1831-1916), uno de los grandes iniciadores del análisis lógico y filosófico de los fundamentos de la Matemática. Dedekind prefería operar con ideas generales abstractas a hacerlo con sucesiones determinadas de encajes de intervalos. Su método está basado en la definición de cortadura, la cual es explicada detalladamente por Courant y Robbins (1964, p. 80).

Axiomas que definen propiedades de los números reales5 Una de las características más importantes del conjunto de los números reales, es que con las operaciones binarias de suma y multiplicación se comporta como un cuerpo ordenado y completo, esto es, cumple con los axiomas de cuerpo que enuncian a continuación y además cumple con los axiomas de orden. Aritmética de los reales: axiomas de cuerpo Se acepta la existencia de un conjunto no vacío IR, que llamaremos conjunto de los números reales, sobre el cual se ha definido una relación de igualdad y dos operaciones algebraicas 5

38

El desarrollo de esta sección está basado, fundamentalmente, en el texto “Cálculo I” de los profesores de la Universidad de Santiago Gladys Bobadilla y Jorge Billeke.

Unidad de Álgebra

Reflexividad: a = a Simetría: Si a = b, entonces b = a Transitividad: Si a = b y b = c, entonces a = c Las dos operaciones binarias definidas en el conjunto IR corresponden a la suma (+) y a la multiplicación (•). Formalmente, esto se expresa así: + : IR • IR → (a, b) →

IR a+b

· : IR • IR (a, b)

→ IR → a•b

Estas operaciones satisfacen los llamados axiomas de cuerpo que se enuncian a continuación. Para la suma: (A1) Ley asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c (A2) Existencia de un elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a (A3) Existencia de un elemento inverso: a + (– a) = (– a) + a = 0 (A4) Ley conmutativa: a + b = b + a


binarias (esto es, entre dos elementos del conjunto). La relación de igualdad “=” satisface las propiedades␣ de:

Para la multiplicación: (A5) Ley asociativa: a • (b • c) = (a • b) • c (A6) Existencia de un elemento neutro: a • 1 = 1 • a = a; a ≠ 0 (A7) Existencia de un elemento inverso: a • a – 1 = a – 1 • a = 1; a ≠ 0 (A8) Ley conmutativa : a • b = b • a (A9) Ley distributiva con respecto a la suma: a • (b + c) = a • b + a • c La operaciones de suma y multiplicación son compatibles con la relación de igualdad, es decir: Si a = b, entonces se cumple también que a + c = b + c y a • b = b • c A continuación, se enuncian algunos teoremas que caracterizan propiedades algebraicas importantes en el conjunto de los números reales y que, de hecho, son la justificación formal para todas las operaciones algebraicas que permiten, por ejemplo, la simplificación, la resolución algebraica de ecuaciones, las potencias y otras que es largo de enumerar.


39


Teoremas que definen propiedades de los números reales Teorema 1 En IR existe un único elemento neutro para la suma y para la multiplicación. Teorema 2 En IR existe un único elemento inverso para la suma y para la multiplicación. Teorema 3 i. El cero es el inverso aditivo de sí mismo, es decir, –0 = 0 ii. El 1 es el inverso multiplicativo de sí mismo, es decir, 1–1 = 1. Teorema 4 Para todo a ∈ IR; 0 • a = 0. Teorema 5 Para todo a, b ∈ IR, se cumple: i. – (–a) = a ii. (–a) • b = – (ab) iii. a • (–b) = – (ab) iv. (–a)(–b) = ab Teorema 6 Para todo a, b ∈ IR, a ≠ 0, b ≠ 0, se cumple lo siguiente: i. (a–1)–1 = a ii. a–1 • b = (a • b–1)–1 iii. a • b–1 • b = (a–1 • b)–1 iv. a–1 • b–1 = (a • b)–1 Teorema 7 Leyes de cancelación i. a + b = a + c ⇔ b = c ii. ab = ac, a ≠ 0 ⇔ b = c Teorema 8 i. Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d ii. Si a = b y c = d, entonces a • c = b • d Teorema 9 ab = 0 ⇔ (a = 0) ∨ (b = 0)

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Unidad de Álgebra

Definición Dados a, b ∈ IR, se escribe a – b para simbolizar el número a + (– b); a tal número se le llamará diferencia de a y b. Teorema 11 Dados a, b, c ∈ IR se cumple: i. a – (–b) = a + b ii. a – b = 0 ⇔ a = b iii. a – (b + c) = a – b – c Definición a Dados a, b, b1, b2 ∈ IR, se escribe ó a : b para simbolizar el número a • b–1 que se llamará b el cuociente entre a y b ó a dividido por b.


Teorema 10 i. La ecuación a + x = b tiene una única solución: x = b + (–a). ii. Si a ≠ 0, entonces la ecuación a • x = b tiene una única solución: x = a–1b.

Teorema 12 Dados a, a1, a2, b, b1, b2 ∈ IR se tienen las siguientes propiedades: i.

a =a 1

ii.

Si a ≠ 0, entonces

iii. Si a ≠ 0, entonces

1 = a–1 a a =1 a

iv. Si a2 ≠ 0, b2 ≠ 0, entonces v.

Si a2 ≠ 0, b2 ≠ 0, entonces

a1 b = 1 ⇔ a1 • b2 = b1 • a2 a2 b2 a1 = a2

a1 • b a2 • b

vi. Si a2 ≠ 0, b2 ≠ 0, entonces

a1 a •b b • 1 = 1 1 a2 b2 b1 • b2

vii. Si a2 ≠ 0, b2 ≠ 0, entonces

a •b ±b •a a1 b ± 1 = 1 2 1 2 a2 • b2 a2 b2

viii. Si a2 ≠ 0, b2 ≠ 0, entonces

a •b a1 b ÷ 1 = 1 2 a2 • b1 a2 b2 Introducción a los números reales

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Demostraciones de algunos teoremas Teorema 1 En IR existe un único elemento neutro para la suma y para la multiplicación. Demostración Usando el método de reducción al absurdo, supongamos que existe otro elemento neutro para la suma, distinto de 0, y que denotaremos como 0’. Aplicando el axioma A2 se tiene que: 0’ + 0 = 0 y además 0 + 0’ = 0’ Por el axioma A4 se tiene que 0’ + 0 = 0 + 0’. Pero, por la transitividad de la igualdad se tiene que 0 = 0’, lo que contradice la suposición de que los elementos neutros son distintos. Por lo tanto, se concluye que “existe un único elemento neutro para la suma”. De igual forma, se demuestra la unicidad del elemento neutro para la multiplicación (1) usando el axioma A8 y la propiedad de transitividad de la igualdad. Teorema 5 i) Para todo a ∈ IR, se cumple – (–a) = a Hipótesis: a ∈ IR Tesis: – (–a) = a Demostración – (–a) debe leerse como el “inverso aditivo de (– a)”. Es decir, se debe demostrar que a es el inverso aditivo de (–a). Del axioma A3 se tiene que a + (–a) = 0, es decir, a también es el inverso de (–a). Pero como el inverso aditivo es único, necesariamente debe tenerse que – (–a) = a. Teorema 6 i) Para todo a ∈ IR, a ≠ 0, se cumple que (a–1 )–1 = a Hipótesis: a ∈ IR, a ≠ 0 Tesis: (a–1 )–1 = a Demostración Sea a ∈ IR. (a–1)–1 debe leerse como el “inverso multiplicativo de (a–1 )”. Del axioma A7 se tiene que a • a –1 = 1, es decir, a también es el inverso multiplicativo de (a –1 ). Pero como el inverso multiplicativo es único, necesariamente debe tenerse que (a –1) –1 = a. Teorema 8 i) Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d Hipótesis: a = b y c = d Tesis: a + c = b + d

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Teorema 8 ii) Si a = b y c = d, entonces a • c = b • d Hipótesis: a = b y c = d Tesis: a • c = b • d • • •

• • •


Demostración • Sean a, b, c y d números reales tales que: a = b y c = d. • Hay que demostrar que: a + c = b + d. • Si la igualdad anterior se cumple, entonces necesariamente se tiene que: (a + c) – (b + d) = 0, por la existencia del elemento neutro aditivo en IR (A2). Luego, bastaría demostrar esto para tener demostrado el teorema. • Analicemos qué ocurre si se opera (a + c) – (b + d). (1) • Lo anterior se puede escribir como: a + c – b – d, por la propiedad asociativa (A1). • Si se aplica la propiedad conmutativa (A4), se tiene: a – b + c – d • Aplicando la propiedad asociativa (A1), lo anterior se puede escribir: (a – b) + (c – d) • Pero, por hipótesis se tiene que a = b y c = d, luego a – b = 0 y c – d = 0, por la existencia del elemento neutro aditivo (2). • De (1) y de (2) se tiene entonces que (a + c) – (b + d) = 0, de donde se concluye que a + c = b + d, que es lo que se quería demostrar.

Sean a, b, c y d números reales tales que: a = b y c = d Se tiene que demostrar que: a • c = b • d Si la igualdad anterior se cumple, entonces se tiene que: (a • c) – (b • d) = 0 (1), por la existencia del elemento neutro aditivo en IR. Por lo tanto bastaría demostrar esto para tener demostrado el teorema. Por hipótesis, se tiene que a = b y c = d. Luego, si se reemplaza b y d, respectivamente en el segundo término de la igualdad (1), se tiene que: (a • c) – (b • d) = (a • c) – (a • c) Luego, por la existencia de elemento neutro aditivo en R, se tiene que: (a • c) – (b • d) = 0 De donde se puede concluir que a • c = b • d, que es lo que se quería demostrar.

Teorema 10 i) La ecuación a + x = b tiene una única solución x = b + (–a). Hipótesis: a + x = b Tesis: x = b + (–a) y es único Demostración Primero, se demostrará la existencia de la solución. Sean a, b, x en IR tales que a + x = b. Luego, se tiene que existe (–a) en IR tal que: (–a ) + (a + x) = (–a ) + b ((–a) + a) + x = b + (–a ) por axiomas A1 y A4 0 + x = b + (–a ) por axioma A3 x = b + (–a ) por axioma A2, que es lo que se quería demostrar


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A continuación, se demostrará la unicidad. Supongamos que se tiene otra solución x’ para la ecuación. Dado que ambas son soluciones de la ecuación, entonces se cumple que: a + x = b y también a + x’ = b Por transitividad de la igualdad, se tiene que a + x’ = a + x. Finalmente, usando la ley de cancelación para la suma (teorema 7i) se tiene que: x’ = x, con lo cual queda demostrada la unicidad. Teorema 10 ii) Si a ≠ 0, entonces la ecuación a • x = b tiene una única solución x = a– 1b Hipótesis: a ≠ 0, a • x = b Tesis: x = a–1 b y es único Demostración Primero, se demostrará la existencia de la solución. Sean a, b, x en IR tales que a • x = b. Como por hipótesis a ≠ 0, entonces existe a–1 tal que: a–1 • (a • x) = a–1 • b (a–1 • a) • x = a–1b por axioma A5 1 • x = a–1b por axioma A7 –1 x=a b por axioma A6, que es lo que se quería demostrar. Para demostrar la unicidad, supongamos que se tiene otra solución x’. Dado que ambas son soluciones, se cumple que: a • x = b y también a • x’ = b Por transitividad se tiene que: a • x’ = a • x. Finalmente, usando la ley de cancelación para la multiplicación (teorema 7) se tiene que: x’ = x con lo cual queda demostrada la unicidad. Con esta exposición resumida de los principales teoremas que caracterizan al conjunto de los números reales y la demostración de algunos de ellos, finaliza este capítulo. Queda entonces abierta la posibilidad de seguir investigando y profundizando en el conocimiento de este fascinante conjunto de números, que dejó tan perplejos a los griegos y que aun, hoy en día, sigue siendo un espacio fértil para la búsqueda de nuevo conocimiento matemático.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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El poder generalizador de los símbolos

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Material Dere Ferenc i a Algebra

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