Oleh
Ir. Nur Nur Rokhati, Rokh ati, MT
DEPARTEM DEPARTEMEN EN TEKNIK TEKNIK KIMIA FAK ULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIPONEGORO
1
Daftar isi Kata pengantar
.......................... .................................. ........
Daftar isi
.......................... ......................................... .................... .....
I. Dasar-dasar Analisis Dimensi 1.1. Besaran Fisik .............................. .......................................... .......................... ................... ..... 1.2. Satuan
............................. .......................................... ........................... ..................... .......
1.3. Dimensi
............................ .......................................... ............................ .................... ......
1.4. Perubahan Satuan (Konversi) .............................. ........................................... ............... .. 1.5. Sistem Pengukuran
........................... ........................................ .............
II. Analisa Dimensi 2.1. Tujuan Analisa Dimensi
............................ ......................................... ................. ....
2.2. Homogenitas Dimensi
......................... ..................................... .................... ........
2.3. Cara-Cara Analisa Dimensi ......................... ..................................... ................. ..... 2.4. Teori Aljabar Untuk Analisa Dimensi 2.5. Sistematika Perhitungan
......................... .........................
......................... .......................................... ..................... ....
2.6. Contoh Analisa Dimensi Untuk Aliran Fluida
...................... ......................
III. Similaritas IV. Teori model
2
Daftar isi Kata pengantar
.......................... .................................. ........
Daftar isi
.......................... ......................................... .................... .....
I. Dasar-dasar Analisis Dimensi 1.1. Besaran Fisik .............................. .......................................... .......................... ................... ..... 1.2. Satuan
............................. .......................................... ........................... ..................... .......
1.3. Dimensi
............................ .......................................... ............................ .................... ......
1.4. Perubahan Satuan (Konversi) .............................. ........................................... ............... .. 1.5. Sistem Pengukuran
........................... ........................................ .............
II. Analisa Dimensi 2.1. Tujuan Analisa Dimensi
............................ ......................................... ................. ....
2.2. Homogenitas Dimensi
......................... ..................................... .................... ........
2.3. Cara-Cara Analisa Dimensi ......................... ..................................... ................. ..... 2.4. Teori Aljabar Untuk Analisa Dimensi 2.5. Sistematika Perhitungan
......................... .........................
......................... .......................................... ..................... ....
2.6. Contoh Analisa Dimensi Untuk Aliran Fluida
...................... ......................
III. Similaritas IV. Teori model
2
DAFTAR PUSTAKA 1.
Langhaar, H.L., 1951, “Dimensional Analysis and Theory of Models”, John Wiley & Sons, Inc., New York
2.
Johnstone, R.E., Thring, M.W., 1957, “Pilot Plants, Models, and Scale -Up Methods in Chemical Engineering”, Mc Graw Hill Book Company, Inc., New York
3.
Perry, RH., Chilton, C.H., “Chemical Engineers’ Hand Book”, Mac Graw - Hill Kogakusha.
4.
David M. Himmelblau, 1989. “Basic Principles and Calculations in Chemical Engineering”, Prentice, Hall of India, New Delhi.
3
PENGANTAR Tujuan : menyelesaikan permasalahan tentang scale-up dari beberapa peralatan yang terdapat pada proses teknik kimia, seperti: aliran fluida, proses pencampuran, perpindahan panas, rekasi kimia, dll.
Pengetahuan yang diperlukan : konsep besaran fisik, satuan, analisa dimensi, similaritas, pilot plant, dan teori model
ANAL ISA DIMENSI: -
Penentuan variabel yang berpengaruh terhadap proses,
-
Penentuan kelompok bilangan tak berdimensi.
-
Scale-up pada peralatan proses
SIMILARITAS SIMILARITAS : Di dalam ilmu ukur (geometri), dua buah gambar dikatakan sebangun (similar) bila sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan antara sisi-sisi yang bersesuaian konstant. Misal: B Q
A
C
P
R
Δ ABC sebangun dengan Δ PQR < ABC
= ,< PQR
< CAB
=
< RPQ
< ACB
=
< PRQ
AB : PQ = BC : QR = CA : RP Kedua gambar tersebut mempunyai bentuk yang sama, tapi ukuran dan posisinya berbeda
4
Similarita dalam suatu sistem tidak hanya kesebangunan bentuk fisik saja tetapi juga ada massa, kecepatan, temperatur, tekanan, konsentrasi, dll. dll.
PILOT PLANT -
sebagai tiruan dari pabrik atau peralatan yang belum dibuat
Fungsi : untuk memperoleh data desain yang diperlukan untuk desain pabrik atau peralatan yang sebenarnya (pengembangan proses) Data yang diperlukan untuk desain peralatan :
• Neraca massa dan panas • Sifat kimia, fisika, dan termodinamika bahan • Kecepatan reaksi • Koefisien perpindahan panas dan massa • Kebutuhan daya • Kecepatan koros i, dll MODEL
-
untuk mempelajari perilaku dari pabrik atau peralatan yang sudah ada
Fungsi : untuk mengetahui pengaruh perubahan bentuk atau kondisi operasi dengan lebih cepat dan ekonomis daripada melakukan percobaan pada peralatan berukuran besar
Pilot plant
untuk pengembangan proses
Model untuk studi proses
Peralatan / replika kecil
model
Peralatan besar prototipe
5
6
BAB I DASA-DASAR ANALISIS DIMENSI
I.1.
BESARAN FISIK
Besaran fisik dinyatakan dalam 2 kelompok lambang: Misal:
-
Panjang
: 20 cm
-
Temperature : 50 0C
-
Kecepatan
: 30 cm/sec
Lambang angka
: menyatakan nilai dari suatu besaran
Lambang huruf
: menyatakan satuan dari besaran tersebut
Besaran fisik dibagi menjadi 2 kelompok 1. Besaran primer 2. Besaran sekunder Pemilihan besaran primer adalah sebarang, baik jumlah maupun jenis besaran tersebut. Dasar pemilihan besaran adalah kebiasaan dalam pemakaian. Besaran yang biasa dipilih sebagai besaran primer: - Panjang - Massa - Waktu - Temperature -
Muatan listrik
- Gaya - Panas
Besaran yang diturunkan dari besaran primer disebut besaran sekunder, seperti: volume, berat jenis, tekanan dll. I.2.
SATUAN
Satuan adalah sesuatu yang menyatakan ukuran besaran. Satuan untuk panjang : meter, foot Massa : gram, pound Sistim satuan yang umum dijumpai didasarkan pada konsep: -
Absolute (dynamic) system.
7
Yang menganut konsep ini: cgs
MKS
-
FPS (feet-pound-sec) = english Absolute
SI (System Internationalle)
Gravitasional system:
British Enginering
American Engineering
Yang umum digunakan dalam Teknik Kimia adalah SI, American Engineering & cgs. SI (System Internationalle) Unit Berasal dari sistem meter-kilogram-sekon (mks). Pada tahun 1960 oleh general Conference of Weight and Meassures, diakui sebagai sistim satuan internasional secara resmi, untuk komunikasi ilmiah dan dunia keteknikan, dunia profesional. Panjang
: meter (m)
Waktu
: sekon (s)
Massa
: kilogram (kg)
Temperatur : kelvin (K) Volume
: m3
Gaya
: kg.m/s2 (N)
Tekanan
: N/m2 (=Pa)
Energi
: newton meter = joule
American Engineering System Digunakan dalam bidang Teknik Kimia dan Perminyakan Panjang
: foot (ft)
Waktu
: sekon (s)
Massa
: pound mass (lbm)
Temperatur : fahrenheid (0F) Volume
: ft3
8
Gaya
: pound force (lbf)
Tekanan
: lbf/ft2 ; lbf/in2
Energi
: ft.lbf ; Btu
(Btu : British thermal unit)
Untuk merefisi hukum Newton dan pernyataan lain yang berkaitan dengan massa dan gaya diperlukan konstanta yang disebut gc = 32,174 ft.lbm/sec 2.lbf F = c.m.a F = 1 lbf m = 1 lbm a = g F = c (1 lbm)(g . ft/sec 2)
= 1 lbf
1/c = gc (grafitasi pada laut, sudut inklinasi 450 ) Sedang gravitasi (g) dibeberapa tempat harganya berbeda-beda dengan selisih dari 0,1 – 1%. Untuk beberapa tempat : F = c.m.g c = 1/gc = 1/32,174 F = g/gc . m Jika g/gc = 1
maka 1 lbf = 1 lbm
Biasanya g setempat tidak sama dengan g standart.
System CGS Satuan massa adalah gram. Satuan gaya didefinisikan sebagai gaya yang menyebabkan timbulnya percepatan sebesar 1 cm/ sec2 kepada satu gram massa . Satuan gaya adalah dyne. Harga standard dari g = 980,665 cm / sec 2. Dari persamaan W = m.g dapat disimpulkan bahwa berat dari 1 gram massa
adalah ≈ 981 dyne. Satuan kerja adalah dyne cm atau erg.
9
System MKS (mass a). Satuan massa adalah kilogram. Satuan gaya adalah Newton , yaitu gaya yang menimbulkan percepatan sebesar 1 m / sec 2 pada 1 kg massa. Satuan berat adalah 9,81 newton. Satuan kerja adalah Newton meter. System MKS (gaya) Satuan gaya adalah kilogram. Kilogram gaya didefinisikan sebagai : Berat dari 1 kilogram massa gaya x gaya tarik gravitasi standard. Jadi 1 kgf = 981 dyne. Menurut Hukum Newton : F= m .a
m=F/a
Jadi satuan massa untuk system MKS gaya adalah (kgf )(sec) 2/m. Berat dari 1 (kgf )(sec) 2/m adalah 9,81 kgf . System Briti sh (massa) Satuan massa adalah (pound). Satuan gaya adalah poundal. Definisi dari 1 poundal : Gaya yang menimbulkan percepatan ft/sec2 pada 1 lb massa. Harga percepatan gravitasi standar = 32,2 ft/sec2 , maka berat 1 pound mass adalah 32,2 poundal. Sistem (Lt MF) Menggunakan sistem pengukuran dengan 4 satuan pokok yaitu :
Pound force (lbf)
Pound mass (lbm)
Panjang (ft)
Waktu (sec)
10
Pound force didefinisikan sebagai gaya yang akan menimbulkan percepatan 32,174 ft/ sec2 pada 1 pound mass. Dalam system ini , hukum Newton menjadi: F = m . a / gc Dimana gc = 32,174 ft.lbm/sec2.lbf
11
12
13
14
TABEL SATUAN UNTUK BEBERAPA SISTEM PENGUKURAN Unit dari system
CGS
MKS (massa)
MKS (Gaya)
Panjang
Centimeter (cm)
Meter (m)
Meter (m)
Brit ish (massa) Foot (ft)
Waktu
Second (sec)
Second (sec)
Second (sec)
Secons (sec)
Amer ic an Engineering Foot (ft)
Foot (ft)
Second
Second (sec)
LtMF
(sec) Massa
Gram (g)
Kilogram (kg)
kgf sec2/m
Pound (lbm)
(F = ma)
Pound mass Pound massa (lbm)
Gaya
Dyne
Newton
(F = ma)
(g cm/sec2)
(kg m/sec2)
Berat
981 dyne
9,81 Newton
Kilogram (kgf)
9,81 kgf
(lbm)
Poundal
Pound force Pound
(lbm ft/sec2)
(lbf)
(lbf)
32,2 poundal
32,2 lbf
Pound
(w = mg)
force
force
(lbf)
Kerja
Erg (dyne cm)
(W=Fd)
Joule
Kilogram meter
(Newton.m)
(kgf . m)
Foot poundal
Foot pound
Foot pound
(ft lbf) BTU
(ft lbf)
15
Contoh : Hitung energi kinetik (ft.lbf) dari 100 lbm air yang mengalir pada pipa dengan laju 10ft/sec ? (g = 32,174) Penyelesaian : Ek = ½ mv2 = ½ (100 lbm)(10 ft/sec) 2 (1/(32,174 ft.lbm/sec 2.lbf) = 155 ft.lbf.
I. 3.
DIMENSI Besaran primer dapat dituliskan
dengan symbol huruf , yang dinyatakan
sebagai dimensi. Dimensi mewakili semua satuan yang digunakan untuk mengukur besaran tersebut.
Contoh : Hitung energi kinetik (ft.lbf) dari 100 lbm air yang mengalir pada pipa dengan laju 10ft/sec ? (g = 32,174) Penyelesaian : Ek = ½ mv2 = ½ (100 lbm)(10 ft/sec) 2 (1/(32,174 ft.lbm/sec 2.lbf) = 155 ft.lbf.
I. 3.
DIMENSI Besaran primer dapat dituliskan
dengan symbol huruf , yang dinyatakan
sebagai dimensi. Dimensi mewakili semua satuan yang digunakan untuk mengukur besaran tersebut. Misal : [L]
= =
dimensi untuk panjang {foot, inchi, meter}
Dimensi untuk besaran primer yang lain : Massa
=
[M]
Waktu
=
[t]
Temperature =
[T]
Panas
=
[H]
Gaya
=
[F]
Dimensi untuk besaran sekunder : Sesuai dengan definisi besaran tersebut, atau berdasarkan hukum fisik yang berlaku dan menghubungkan besaran sekunder tersebut dengan besaran primer. Misal : Kecepatan ( v ) yang merupakan derifative dari jarak terhadap waktu , v = dx / dt. Dimana dx = pertambahan panjang dt = pertambahan waktu Maka dimensi dari kecepatan adalah : [L / t] atau [ L t
-1].
Dengan cara yang sama dapat ditentukan dimensi dari percepatan , dv / dt , yaitu : [L / t 2 ] atau [ L t -2 ]
16
Dimensi ini menunjukkan bahwa : - Kecepatan dapat dinyatakan dalam ft / sec , mil / jam, dll - Percepatan dapat dinyatakan dalam : ft / sec2, cm / sec 2, dll. Dalam sistem gaya, dimensi untuk gaya adalah [ F ] dan percepatan adalah [ L. t
-2 ].
Berdasarkan hukum Newton II, F = m.a, maka dimensi untuk massa
adalah [ F.t 2.L-1 ]. Sedang dalam sistem massa, dimensi untuk massa adalah [ M ], percepatan [ L.t -2 ] sehingga dimensi untuk gaya adalah [ M.L.t -2 ] Secara umum dimensi dari suatu besaran G dapat dinyatakan sebagai : G = [L ] α [M]β [t]γ [F]δ [T]ε [H]∂ Dimana :
[ L] , [ M ] , … : dimensi α, β, γ, δ, ε, ∂
: eksponen / konstanta.
Untuk besaran yang tak berdimensi eksponen eksponen tersebut sama dengan nol, sehingga dimensi ditulis sebagai [1]. DIMENSI BESARAN DALAM SISTEM MASSA DAN SISTEM GAYA BESARAN
SISTEM MASSA
SISTEM GAYA
Panjang
[L]
[L]
Waktu
[t]
[t]
Temperature
[T]
[T]
Gaya
[MLt-2]
[F]
Massa
[M]
[FL-1 t2]
[ML-2 t-2]
[FL-3]
[ML-3]
[FL-4 t2]
[1]
[1]
[M L-1 t-2]
[FL-2]
Kecepatan
[L t-1]
[L t-1]
percepatan
[L t-2]
[L t-2]
Berat spesifik Densitas Sudut Tekanan dan stress
17
I.4. PERUBAHAN (KONVERSI) SATUAN Dengan melihat dimensi dari suatu besaran, maka satuan dapat diubah dengan mudah dari satu sistem ke sistem yang lain. - Konvers i Harga Satuan Dilakukan untuk mengubah harga/nilai besaran dari sistem satuan satu ke sistem satuan yang lain. Caranya adalah sistem satuan yang satu dikalikan dengan faktor konversi (multiplying factor ) yang tidak berdimensi dan merupakan ekivalensi nilai satuan tersebut. Biasanya untuk mempermudah ekivalensi dapat ditulis sebagai perbandingan yang nilainya = 1. Contoh : 1,0 lbm = 453,6 gr Faktor konversi 1,0 lbm
453,6 gr 1,0 m
1 Btu
1
100 cm
252 cal
1,0 m
1
100 cm
1 Btu 252 cal
1
Ubahlah nilai 1 Btu/lb menjadi cal/gr Penyelesaian :
1 Btu 252 cal 1 lb 0,556 cal 1 Btu 453,6 gr lb gr
TABEL KONVERSI SATUAN DIMENSI Panjang
Am.Eng
SI
c.g.s
1,00 ft
0,3048 m
30,48 cm
3,28 ft
1,0 m
100 cm
1,00 lbm
0,4536 kg
453,6 gr
2,205 lbm
1 kg
1000 gr
Waktu
1,0 sekon
1,0 sekon
1,0 sekon
Volume
1,0 ft3
0,0283 m3
2,83.104 cm3
Massa
18
Tekanan
Gaya
Energi
-
35,31 ft3
1 m3
1,0.106 cm3
1,00 lbf/ft2
47,88 N/m2
478,8 dyne/cm2
0,020886 lbf/ft2
1 N/m2
10 dyne/cm2
1,00 lbf
4,448 N
4,448.105 dyne
0,2248 lbf
1,0 N
1.105 dyne
1,00 ft.lbf
1,356 Joule
1,356.107 erg
0,73746 ft.lbf
1,0 Joule
1. 107 erg
Konversi Persamaan
Biasanya
dilakukan
untuk
menyesuaikan
persamaan
dengan
satuan
variabel/besaran, terutama pada persamaan empiris. Contoh 1. : Suatu koefisien perpindahan panas udara dinyatakan dalam persamaan: h
0,0128 G
0, 8
= koefisien perpindahan panas (Btu/jam.ft2.0F)
h
G = laju alir udara (lb/jam.ft2) Ubahlah persamaan tersebut, jika G diubah dalam satuan kg/jam.m 2 Penyelesaian:
h
,
lb 0,4536 kg 0,0128 . G . 2 1 lb jam . ft
0,0128 . 4,88 . G . kg 2 jam . m
0,0455 . G
3,28 ft . 1 m
2
0 ,8
0 ,8
0 ,8
Contoh 2. : Gaya gesek rata – rata
(lb/ft2) antara cairan yang mengalir dengan dinding
dapat dianggap memenuhi persamaan empiris :
= 0,0021 ρ ν2 R -1/3
Dimana : ρ : adalah densitas cairan ( slug/ft3 )
19
ν : adalah kecepatan rata-rata cairan ( ft/sec ) R : adalah perbandingan antara luas penampang dengan diameter
yang
basah/(hydraulic radius) dalam (ft) Diinginkan untuk mengubah atau memodifikasi persamaan tersebut sehingga akan didapatkan hasil yang sama, apabila
dinyatakan dalam (kg/m 2), ρ
dalam ( kg sec2 / m4 ) , ν dalam (m/sec ), dan R dalam (m). JAWAB : Persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk : Dimensi untuk K adalah : [L K = 0,0021 ft
= K ρ ν2 R
-1/3
1/3]
1/3
Karena 1 ft = 0,3048 meter, maka : K = 0,0021 x (0,3048 m) 1/3 = 0,00141 m 1/3 Jadi persamaan empiris tersebut dapat ditulis sebagai :
= 0,00141 ρ ν2 R -1/3
Latihan : - Ubahlah satuan dari: gr/cm3
menjadi
lb/ft3
Btu/lb
menjadi joule/kg
ft.lbf/jam
menjadi cal/jam
- Ubahlah konstanta persamaan: h
0,026 G
D
0, 4
0, 6
dengan
h (Btu/jam.ft2.0F) G (lbm/jam.ft 2) D (ft)
Jika D dan G dalam satuan SI - Berapa BTU energi potensial dari 100 lb drum yang terletak di 10 ft diatas permukaan bumi, bila diketahui percepatan gravitasi bumi = 32,2 ft/sec 2
20
21
Satuan Mole Dalam SI, 1 mol mengandung sejumlah molekul atom, elektron atau partikel tertentu. Satu mol mempunyai 6,023.10 23 molekul dan biasanya disebut grmol. 1 pound mole = 6,023.1023 x 453,6 molecules. Berikut definisi satuan mol : gram mol
berat molekul
pound mole
mole SI
berat dalam gram
berat dalam pound
berat molekul
berat dalam gram
berat molekul
berat dalam ki log ram 1 1000 berat molekul
Contoh : -
diketahui berat NaOH 5 lb. Hitung berapa lb mol; gr mol ; kg mol
-
diketahui KOH 10 gr mol. Hitung berapa lbmol, lbm, kg
I.5. SISTEM PENGUKURAN -
Density (kerapatan)
Kerapatan adalah berat persatuan volume, dan satuannya adalah gr/cm 3; lb/cuft; dsb. Kerapatan air adalah 1,00 gr/cm3 pada suhu 4 0C atau 62,4 lb/cuft. Kerapatan bahan padat dan cair tidak terlalu banyak dipengaruhi oleh tekanan, tetapi untuk gas pengaruh temperatur dan tekanan terhadap kerapatan cukup berarti.
22
-
Specific Gravity
Specific gravity cairan atau bahan padat adalah perbandingan kerapatan bahan terhadap kerapatan air pada temperatur tertentu. Pernyataan temperatur ditulis sebagai fraksi. Sebagai numerator adalah temperatur bahan yang dinyatakan dan pembagi adalah temperatur air pada reference tertentu. sp . gr .
-
60
0
F 60
0
F
0
temp. bahan pada 60 F
0
temp. air pada 60 F
Derajad Baume (0Be)
Digunakan untuk mengukur kerapatan cairan. Perhitungan derajad baume dibagi menjadi dua macam yaitu: -
Untuk cairan yang ringan : 0
Be
-
140
s. g
130
Untuk cairan berat 0
Be
145
145
s.g
s. g. : Specific Gravity 60 0F/600F
23
Contoh : Cairan dengan
-
s.g = 0,6
dgn rms pertama 0Be = 103
s.g = 1,0
dgn rms kedua
s.g = 1,8
dgn rms kedua
0Be 0Be
=0
= 64,44
Derajat API
Oleh American Petroleum Institute digunakan untuk menyatakan berat jenis produk minyak Dearajad API
-
141,5
s. g
131,5
Specific volume.
Adalah kebalikan dari kerapatan (density) Satuan : ft3/lbm, ft3/lbmol, cm3/g, m3/kg
- Konsentrasi
Adalah jumlah solute (terlarut) di dalam sejumlah solvent (pelarut) tertentu atau larutan tertentu atau dua/tiga/lebih komponen. miligram / liter `= ppm mol / liter = molaritas mol / kg solven = molalitas ekivalen / liter = normalitas
TEMPERATUR Ukuran temperatur digunakan karena adanya panas dan dingin. Temperatur merupakan ukuran derajat panas dengan termometer sebagai alat pengukurnya. Ada beberapa alat termometer yang digunakan : thermocuple, thermometer glass, bimetal, radiasi termometer, termistor dsb. Beberapa satuan temperatur yang digunakan: derajat Fahrenheit, derajat Celcius, derajat Rankin, dan Kelvin.
24
0 C
0 F
100
212
373,15
672
0
32
273,15
492
- 273,15
T R
T K
T F
0R
K
- 460
F
0
T F
460
T C
0 C K
273
T C
1,8 0 F 32 0 C
0
0
0
R
25
. TEKANAN Tekanan didefinisikan sebagai gaya persatuan luas
Contoh
26
Kesimpulan : Tekanan dip engaruhi oleh tingg i flu ida.
27
1 bar = 105 Pa = 100 kPa (= N/m2) 1 atm = 29,92 in Hg = 14,7 psia = 1,013.10 5 Pa = 33,01 ft H2O = 76 cm Hg = 1,01325.10 6 dyne/cm2 = 1,01325 bar
gage
absolut Kondisi Standart (1 atm)
vakum Absolut vakum
Absolut ( 0 atm)
Tekanan gauge + tekanan barometer = tekanan absolut
28
29
Contoh tekanan:
30
II. ANALISA DIMENSI
II.1. TUJUAN ANALISA DIMENSI Analisa dimensi adalah suatu alat matematis atau suatu metoda yang digunakan untuk menjelaskan suatu fenomena berdasarkan suatu dalil bahwa fenomena tersebut dapat dinyatakan dalam suatu persamaan dalam variabelvariabel tertentu. Variabel-variabel tersebut tentunya adalah varibel-varibel yang berpengaruh terhadap fenomena tersebut. Hasil dari analisa dimensi yakni dapat menyelesaikan permasalahan dengan mengurangi jumlah variabel yang tidak berpengaruh terhadap proses. Untuk mengetahui suatu variabel berpengaruh atau tidak terhadap proses harus dilakukan penelitian atau pembuktian dengan menggunakan percobaan. Penggunaan analisa dimensi sangat luas, yaitu hampir di semua bidang engineering, terutama dalam mekanika fluida dan teori perpindahan panas. Dalam bidang penelitian, analisa dimensi penting untuk: -
Mendapatkan suatu persamaan
-
Mengatur
pengumpulan
data
secara
sistematis
dengan
membentuk group-group tak berdimensi sehingga mengurangi jumlah variabel yang harus diteliti. Analisa dimensi juga sangat penting digunakan pada perancangan model, operasi, dan interprestasinya. Dalam bidang engineering banyak sekali dijumpai group-group tak berdimensi,seperti terlihat pada tabel 2.1.
Tabel 2.1. group tak berdimensi dalam sistem engineering no
Group tak
simbol
rumus
Keterangan
berdimensi 1
Bilangan biot
NBi
h.L/k
2
Bilangan kondensasi
NCo
(h/k)(μ2/ρ2 g)1/3
Untuk perhitungan transfer panas non steady state ≤ 0,1 distribusi suhu seragam used in heat transfer in general in condensation calculations
31
3
Bilangan euler
NEu
gc (- dp) / ρ V 2
- Aliran fluida. - Perbedaan tek thd energi kinetik. - friksi
4
Bilangan Fourier
NFo
k t / ρ C p L2
Transfer kalor
5
Bilangan froude
NFr
V2 / L g
Perilaku gelombang dan permukaan. Gaya inersia thd gy gravitasi
6
Bilangan graetz
NGz
W Cp / k L
Aliran panas
7
Bilangan grashof
NGr
L3 ρ2 β g Δ T /μ2
Konveksi bebas
8
Bilangan mach
NMa
V / Va
Kec objek thd kec suara < 1 sub sonik 1 sonik 1,2 – 5 supersonik
9
Bilangan nusselt
NNu
hD/k
transfer kalor dengan konveksi yang dipaksa
10
Bilangan paclet
NPe
D V ρ Cp / k
Transport phenomena dlm aliran fluida
(NPr .NRe) 11
Bilangan prandtl
NPr
Cp μ / k
12
Bilangan reynold
NRe
DVρ/μ
13
Bilangan schmidt
NSc
μ/ρ
14
Bilangan Stanton
NSt
h / Cp V ρ
15
Bilangan Weber
NWe
L V2 ρ /
transfer kalor Konveksi (ketebalan termal dan momentum batas lapisan) (viscous difffusi/thermal diff) Perilaku aliran (inersia terhadap viskositas). < 2000 laminer > 5000 turbulen
Dinamika fluida (transfer massa dan difusi) Transfer panas pada konveksi yang dipaksa
gc
Aliran multifase dengan permukaan bergelombang yang kuat = tegangan permukaan
I.2. HOMOGENITAS DIMENSI Penggunan analisa dimensi dalam praktek adalah berdasarkan suatu hepotesa bahwa suatu fenomena dapat dinyatakan dalam satu persamaan dalam variabel-variabel tertentu yang homogen dimensinya. Hepotesa ini sesuai dengan kenyataan bahwa persamaan-persamaan dasar dari peristiwa fisik adalah
32
homogen dimensinya, dan persamaan-persamaan lain yang dapat diturunkan dari persamaan-persamaan tersebut juga homogen dimensinya. Suatu persamaan dikatakan homogen dimensinya bila bentuk persamaan tersebut tidak tergantung pada sistem satuan yang dipakai. Misalnya, persamaan untuk waktu ayun dari ayunan sederhana adalah : T =2
√L/g
Persamaan ini berlaku baik panjangnya diukur dalam feet, meter maupum mil, dan baik waktunya dalam detik, menit, maupun hari. Jadi persamaan tersebut adalah homogen dimensinya. Bila harga g = 32,2 ft/det2, maka persamaan diatas menjadi: T = 1,11 √ L Persamaan ini tidak lagi homogen dimensinya karena faktor 1,11 ini hanya berlaku bila panjang diukur dalam feet dan waktu dalam detik. Dari uraian diatas dapat diambil kesimpulan bahwa suatu persamaan x = a + b + c + d + ….. adalah homogen dimensinya jika hanya jika variabel-variabel x, a, b, c, …… mempunyai dimensi yang sama
II.3. CARA-CARA ANALISA DIMENSI Langkah pertama dalam analisa dimensi terhadap suatu permasalahan adalah menentukan variable – variable yang berpengaruh terhadap permasalahan tersebut. Jika variable – variable yang tidak berpengaruh juga diikutsertakan maka
dalam persamaan akhir akan muncul banyak “term”. Tetapi jika variable – variable yang berpengaruh tidak diikutsertakan maka akan diperoleh persamaan akhir yang salah. Meskipun terdapat beberapa variable yang secara praktis konstan seperti percepatan gravitasi , tetapi variable-variabel tersebut penting, karena akan bergabung dengan variable – variable lain membentuk kelompok – kelompok tak berdimensi.
Selanjutnya
timbul
pertanyaan
:
Bagaimana
caranya
untuk
mengetahui bahwa variable – variable tertentu berpengaruh terhadap suatu fenomena? Untuk menyelesaikan masalah tersebut, seseorang harus mempunyai pengetahuan yang cukup tentang phenomena tersebut.
33
Ada beberapa cara analisa dimensi yang bisa digunakan, yaitu: a). ANAL ISA DIMENSI DENGAN CARA RAYLEIGH Cara Rayleigh berdasarkan anggapan bahwa bila sejumlah n variable , yaitu variable Q1, Q 2, Q 3, …. Q n berpengaruh terhadap fenomena fisik, maka hubungan antara vraiabel – variable teresbut dapat dinyatakan menurut persamaan sebagai berikut : Q1 = K Q 2 k2 Q3 k3 Q4 k4 …..Qn
kn
(2.1)
Dimana : K = konstanta tak berdimensi. Q = meliputi semua variable yang berpengaruh dan semua konstanta dimensional yang diperlukan oleh system dimensi yang dipakai. Bila sejumlah n variable dan konstanta dimensional tersebut mengandung x dimensi primer maka maksimum terdapat x kondisi atau persamaan yang dipenuhi oleh persamaan (2.1). Kata maksimum dipakai karena kemungkinan terdapat dua atau lebih kondisi yang ternyata identik sehingga jumlah kondisinya menjadi kurang dari x. Dari persamaan (2.1) dapat dilihat bahwa : jumlah konstanta tak berdimensi (eksponen) adalah (n-1). Jadi maksimum dapat dibentuk x persamaan dengan (n –1) bilangan anu. Penyelesaian dari x persamaam tersebut menghasilkan minimum (n-1-x) “unrestricted constans “ (konstanta bebas) . Kelompok tak berdimensi yang dihasilkan minimal sebanyak (n-x). Catatan Q : variable yang berpengaruh n : jumlah variable K : konstanta tak berdimensi x : dimensi primer. CONTOH SOAL Bila suatu fluida mengalir dalam sebuah pipa lurus sepanjang dL dan diameternya D, maka akan terjadi penurunan tekanan – ∆Pf karena adanya friksi. Variabel – variable yang berpengaruh beserta dimensinya adalah : Penurunan tekanan ( - ∆Pf) : [F / L2 ] Diameter dalam pipa ( D )
: [L ] 34
Panjang pipa
( dL )
: [L]
Kekasaran pipa ( ε )
: [L]
Kecepatan linier fluida (v)
: [L / t ]
Viskositas absolute
: [M/Lt]
(µ)
Density fluida ( ρ )
: [ M / L3 ]
Konstanta dimensional
( gc ) : [ M L / F t2 ]
Tentukan group tak berdimensi yang brepengaruh terhadap phenomena di atas. JAWAB: Dari soal di atas terdapat :
8 buah besaran ( n = 8 ) 4 buah dimensi primer ( x = 4 )
Sehingga minimal ada n - x - 1 = 3 eksponen bebas dan group tak berdimensi yang dapat dibentuk minimal adalah : n – x = 4 ( - ∆Pf ) = K D a (dL)b ε c vd ρe µh gc j
(a)
Persamaan dimensinya adalah :
[F/L2] = K [L] a [L]b [L]c [L/t]d [M/L3]e [M/Lt]h [ML/Ft2] j
(b)
Apabila syarat kondisi homogenitas dimensi diterapkan maka diperoleh persamaan :
Σ F =0
: 1 = -j
ΣM= 0
:0=e+h+j
ΣL= 0
: -2 = a + b + c + d – 3e – h + j
Σt= 0
: 0 = -d - h - 2j
Dari keempat persamaan tersebut tidak ada yang identik dan tidak ada satupun yang merupakan gabungan dari 2 persamaan lainnya. Apabila yang dipilih sebagai eksponen bebas adalah b,c, dan h, maka penyelesaian dari keempat persamaan di atas adalah : a = - b - c – h d = 2 – h e = 1 – h j = -1 Apabila hasil tersebut dimasukkan ke persamaan (a), maka diperoleh :
35
( - ∆Pf )
= K Da (dL)b ε c vd ρe µh gc j
( - ∆Pf )
= K D(- b - c – h) (dL)b ε c v (2-h) ρ (1-h) µh gc-1 (c)
gc ( - ∆Pf ) / ρ v2= K (dL/D)b (ε/D)c (Dv ρ/µ)-h Group tak berdimensi yang diperoleh : gc ( - ∆Pf ) / ρ v2 = Bilangan Euler (NEu) dL/D
= perbandingan panjang dan diameter pipa
ε/D
= factor kekasaran
Dv ρ/µ
= Bilangan Reynold (NRe)
Menurut teori mekanika fluida, penurunan tekanan ( - ∆Pf ) berbanding langsung dengan panjang pipa dL. Jadi eksponen b pada persamaan (c) mestinya = 1 ( - ∆Pf ) / ρ = (v2/gc) (dL/D) Ф ( Nre , ε /D )
(d)
Bila fungsi Ф ( Nre , ε /D ) diberi simbul f/2,maka persamaan (d) menjadi: ( - ∆Pf ) / ρ = f
(v2/2gc) (dL/D)
Fungsi dari bilangan Reynold dan faktor kekasaran yang diberi simbol f tersebut disebut faktor friksi.
b). CARA BUCKINGHAM Suatu persamaan antara bilangan – bilangan tak berdimensi adalah homogen dimensinya. Atau dinyatakan dengan : syarat yang cukup agar suatu persamaan homogen dimensinya adalah bahwa persamaan tersebut dapat dipersingkat menjadi persamaan antara group – group tak berdimensi. Buckingham menyatakan bahwa :
“Apabila suatu persamaan homogen dimensinya, maka persamaan tersebut dapat dipersingkat menjadi persamaan yang menyatakan hubungan antar
satu himpunan lengkap produk tak berdimensi.” Suatu himpunan produk tak berdimensi yang diperoleh dari beberapa variable dikatakan lengkap apabila produk dalam himpunan tersebut tidak tergantung satu dengan lainnya, dan tiap produk tak berdimensi lain yang mungkin dapat dibentuk adalah merupakan produk yang tidak bebas, dan merupakan hasil kali pangkat dari produk – produk tak berdimensi dalam himpunan tersebut.
36
Misal : dari serangkaian variable dapat dibentuk 2 produk tak berdimensi, yaitu bilangan Reynold { Dv ρ/µ } dan bilangan Prandtl { cp µ / k} dalam satu himpunan lengkap. Produk tak berdimensi { Dv cp ρ/ k } tidak termasuk dalam himpunan lengkap, karena produk tersebut merupakan hasil kali antara NRe dan NPr. Apabila terdapat sejumlah variable yang dihubungkan oleh persamaan : f(Q1, Q2,…………………., Qn) = 0 dimana Q = variable n = jumlah variable Maka himpunan lengkap produk tak berdimensi adalah : g [ Π1, Π2, ………………………… Πp] = 0 Dimana :
Πi = Q1 k1, Q2 k2,…………,Qm km ,……….., Qn kn i = 1, 2, ………………………, p Dalam metode Rayleigh, jumlah minimum group tak berdimensi yang dapat dibentuk dari n buah variable yang mengandung x dimensi primer adalah n – x. Dalam metoda Buckingham, jumlah group tak berdimensi yang dapat membentuk himpunan lengkap perlu diketahui terlebih dahulu. Untuk itu perlu dimasukkan factor baru m, yaitu jumlah batasan dari persamaan tersebut untuk memenuhi syarat kesamaan dimensi, dan
m mempunyai harga
maksimum yaitu sama dengan x. Apabila dari harga – harga k1, k2, ,,,,,,,,,,,,,,k n terdapat m batasan, maka terdapat n – m eksponen bebas. Group tak berdimensi yang dihasilkan adalah = n – m. Apabila diberi notasi p, maka p = n – m. Kesulitan metode Buckingham adalah penentuan m.
Menurut “van Driest” , m dapat dianggap sebagai jumlah maksimum variable yang dapat digabung tanpa membentuk group tak berdimensi. Karena terdapat m buah batasan terhadap harga k1, k2, ,,,,,,,,,,,,,,k n maka dimisalkan konstanta k1, k2, ,,,,,,,,,,,,,,k m sebagai konstanta terbatas (tak bebas).
37
Konstanta k m+1, k m+2, ,,,,,,,,,,,,,,k n dapat ditentukan harganya dengan sebarang. Untuk menentukan Π1 , harga km+1 diambil sama dengan 1, sedang harga k m+2, km+3, ,,,,,,,,,,,,,,k n = 0 Dengan cara yang sama, untuk menentukan Π2, maka : k m+2 = 1 dan harga k m+1, k m+3, .........., k n = 0 dan dan seterusnya
Π1 = Q1 k1, Q2k2, Q3 k3…………, Qm km, Qm+1 km+1 Π2 = Q1 k1, Q2k2, Q3 k3…………, Qm km, Qm+2 km+2 Πp = Q1 k1, Q2k2, Q3 k3…………Qm km, Q nn CONTOH SOAL Variabel - variable yang berpengaruh terhadap koefisien perpindahan panas antara dinding pipa lurus dan fluida yang mengalir di dalamnya adalah sebagai berikut : Koefisien perpindahan panas film (h)
= F / LtT
Diameter dalam pipa (D)
=L
Kecepatan linier fluida (v)
=L/t
Density fluida (ρ)
= M/L3
Viskositas absolute fluida (µ)
= M/Lt
Kondukvitas thermal fluida (k)
= F/tT
Kapasitas panas fluida (cp)
= FL/MT
Konstanta dimensional (gc)
= ML/Ft2
Π = Da vb µd ke gcf hg cph ρi Jumlah dimensi primer = 5 Sehingga jumlah maksimum harga m = 5 Dengan beberapa trial ternyata ada beberap macam rangkaian yang tediri dari 5 variabel yang tidak membentuk group tak berdimensi. Jadi m = 5. Jumlah produk tak berdimensi dalam himpunan lengkap : p = n-m = 8 – 5 = 3 Misal variable berulang adalah : D, v, µ, k, dan g c, maka dapat dibentuk persamaan sebagai berikut :
Π1 = Da vb µd ke gcf h……………..(a) 38
Π2 = Da vb µd ke gcf cp……………( b) Π3 = Da vb µd ke gcf ρ……………..(c) Persamaan dimensi untuk persamaan (a): F0 M0 L0 t0 T0 = (L)a (L/t)b (M/Lt)d (F/tT)e (ML/Ft2)f (F/LtT) Agar terpenuhi syarat kesamaan dimensi :
Σ F =0
: 0 = e – f + 1
ΣM= 0
:0=d+f
ΣL= 0
: 0 = a + b - d + f – 1
Σt= 0
: 0 = -b-d-e -2f-1
ΣT= 0
…………………….
(d)
0 = -e -1
Penyelesaian untuk persamaan (d) adalah : a = 1, b = 0, d = 0, e = -1, dan f = 0 Apabila harga tersebut dimasukkan dalam persamaan (a), maka ;
Π1 = D1 v0 µ0 k-1 gc0 h
=
hD / k
Dengan cara yang sama, maka persamaan (b) dan (c) akan diperoleh :
Π2 = cp µ / k dan
Π3 = Dv ρ/µ
Group tak berdimensi yang diperoleh : hD / k
= bilangan Nusselt ( N Nu)
cp µ / k = bilangan Prandtl ( N Dv ρ/µ
Pr )
= bilangan Reynold ( N Re)
Hubungan antara ketiga bilangan tersebut : f(N Nu, N Pr , N atau
Re )
=0
NNu = f 1 (N Pr ,N Re)
II.4. TEORI ALJ ABAR UNTUK ANALISA DIMENSI Menurut “Van Driest”, jumlah group tak berdimensi dalam satu himpunan lengkap sama dengan : jumlah variable dikurangi jumlah maksimum variable yang dapat digabung tanpa membentuk group tak berdimensi (= m).
39
Penentuan m ini sebenarnya dapat dilkukan, hanya saja waktunya lama dan kadang-kadang membosankan. Tetapi ada aturan lain yang sejenis dengan aturan Van Driest. a) Determinan Untuk matriks persegi empat, determinan dapat dihitung dengan mudah. Determinan order n adalah determinan dari matriks persegi empat, nxn. Misal : Determinan order 2 adalah : a1
a2
b1
= a1 b2 - a2 b1
b2
b) Matriks Dimensi Matriks Dimensi adalah : matriks yang disusun dengan cara menulis variable
– variable sebagai judul kolom dan dimensi primer sebagai judul baris dan mengisi matriks tersebut dengan pangkat dari dimensi masing – masing variable. Contoh : Terdapat beberapa variable : Kecepatan linier
(v)
Panjang
(L)
Gaya
(F)
Density
(ρ)
Viskositas
(µ)
Percepatan gravitasi
(g)
Matriks Dimensinya adalah : v
L
F
ρ
µ
g
M
0
0
1
1
1
0
L
1
1
1
-3
-1
1
t
-1
0
-2
0
-1
-2
40
Beberapa buah matriks bujur sangkar dapat dibentuk dengan cara menghilangkan baris – baris atau kolom – kolom tertentu di dalam matriks tersebut. Determinan dari matriks bujur sangkar tersebut dinamakan ”determinan
dari matriks aslinya’ Bila suatu matriks mengandung determinan order r yang harganya ≠ 0. dan jika determinan untuk order > r = 0, maka rank dari matriks tersebut = r. Misal : Determinan dari 3 kolom terakhir dari matriks dimensi di atas adalah : 1
1
0
-3
-1
1
0
-1
-2
= -3
(Tidak sama dengan 0)
Maka rank matriks tersebut sama dengan 3
c). Ketergantungan l inier Misal terdapat matriks ; 2
1
3
5
6
1
-2
4
7
0
5
10
0
-1
24
Apabila baris I dikalikan 4, dan baris ke II dikalikan -3, kemudian dijumlahkan, maka hasilnya sama dengan baris III. Jadi baris III ini merupakan kombinasi linier dari 2 baris lainnya. Baris – baris dari suatu matriks dikatakan dependen secara linier apabila sekurang – kurangnya ada satu baris yang merupakan kombinasi linier dari baris – baris lainnya. (d). Teori Persamaan Aljabar Linier Homogen Misal akan dilakukan analisa dimensi terhadap serangkaian variable yang matriks dimensinya adalah sebagai berikut :
41
k1
k2
k3
kn
Q1
Q2
Q3
---
---
---
---
Qn
M
a1
a2
a3
---
---
---
---
an
L
b1
b2
b3
---
---
---
---
bn
T
c1
c2
c3
---
---
---
---
cn
F
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
П = Q1 k1 Q2 k2 ………………Qn kn Persamaan untuk eksponen dimensinya : a1 k1 + a2 k2 + --------- + a n kn
= 0
b1 k1 + b2 k2 + --------- + bn kn
= 0
---
+
---
+ ---------
+ -----
= 0
---
+
---
+ ---------
+ -----
= 0
…………… (A)
Disini terdapat m buah persamaan dengan n bilangan yang tidak diketahui (k1, k2, …..kn) maka terdapat (n – m) bilangan atau konstanta bebas. Harga untuk ke (n-m) bilangan tersebut dapat ditentukan sebarang, sehingga ke m bilangan yang tidak diketahui dapat dihitung. Karena penentuan (n-m) bilangan yang tidak diketahui adalah sebarang, maka penyelesaian untuk persamaan (A) banyak sek ali.
Pertanyaannya adalah …??? Berapa jumlah maksimum penyelesaian di atas yang independent secara linier ? Jawab : Untuk persamaan (A) akan diperoleh penyelesaian yang independent secara linier sebanyak (n-r), dimana r = rank dari matriks koefisien untuk persamaan (A). Himpunan penyelesaian yang independent secara linier sebanyak (n-r) tersebut dinamakan system fundamental dari penyelesaian.
42
e. Himpunan lengkap produk tak berdimensi Misal dalam suatu fenomena fisik ada n variable yang membentuk grup – group tak berdimensi, maka :
П1 = Q1 k1’
Q2 k2’
Q3 k3’
Q4 k4’ ……………. Qn kn’
П2 = Q1 k1’’
Q2 k2’’
Q3 k3’’
Q4 k4’’ ……………. Qn kn’’
П3 = Q1 k1’’’ Q2 k2’’’
Q3 k3’’’
Q4 k4’’’ ……………. Qn kn’’’
Пp = Q1 k1p Q2 k2p
Q3 k3p
Q4 k4p ……………. Qn knp
Eksponen dari Q dapat disusun dalam bentuk matriks : Q1
Q2
Q3
---
---
---
---
Qn
П1
k ’ 1
k ’ 2
k ’ 3
---
---
---
---
k ’ n
П2
k ’’ 1
k ’’ 2
k ’’ 3
---
---
---
---
k ’’ n
П3
k ’’’ 1
k ’’’ 2
k ’’’ 3
---
---
---
---
k ’’’ n
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
---
Пp
k p 1
k p 2
k p 3
---
---
---
---
k p n
Produk tak berdimensi П 1, П2, П3,……….. Пp dikatakan independent secara linier apabila tidak ada satu konstanta, h 1, h2, h3,……., hp
yang
menyebabkan :
П1 h1,П2 h2, П3 h3,……….. Пp hp = 1 Kecuali untuk : П 1 = П2 = П3 =…………………. = Пp
= 0
Syarat yang perlu dan cukup agar group tak berdimensi : П 1 , П2 , П3…………………. Пp independent secara linier adalah bahwa baris – baris matriks konstanta di atas independent secara linier. Hal tersebut dapat dibuktikan sbb: - Bukti bahwa syarat tersebut adalah perlu Misal
produk
tersebut
independent
dan
dianggap
bahwa
matriks
eksponennya dependen secara linier. Menurut definisi ketergantungan linier, ada konstanta h 1, h2, h3,……., hp (tidak semua sama dengan 0) sehingga :
43
h1 ki’ + h2 ki’’ + ……..+ hp kip = 0
П1 h1,П2 h2, П3 h3…….. Пp hp = h k
' ........ 1 1
Q
p
h p k 1
1
Q
h k
' .......... 1 2
p
... h p k 2
i = 1,2,…..,n
........
2
= Q10 Q20 Q30……Qn0 = 1
Hal ini membuktikan bahwa apabila produknya independent maka baris- baris dalam matriks eksponen independent secara linier. -
Bukti bahwa syarat tersebut adalah cukup Bila baris-baris dalam matriks eksponen independen secara linier dan dianggap bahwa produk tak berdimensinya dependen, berarti ada konstanta-konstanta h1, h2, ........., h p (tidak semua = 0) sehingga
П1 h1,П2 h2, П3 h3…….. Пp hp = 1 Maka :
Q
h k
1 1
........
p
h p k 1
1
Atau h1 k i
Q
h2 k i
h k 1
2
.......... ...
p
h p k 2
2
..........
x ........ x Q
p
h p k i
h k 1
p n ..........
n
h p k n p
1
0
Ini berarti bahwa baris-baris dalam matriks eksponen adalah independen, dan hal ini tidak sesuai dengan pemisalan di atas. Jelas hal ini membuktikan bahwa bila baris dalam matriks eksponen independen secara linier, maka produk tak berdimensi juga independen. Untuk menghitung produk-produk tak berdimensi, maka suatu produk akan tak berdimensi, jika dan hanya jika eksponen k i adalah merupakan penyelesaian dari persamaan : a1k1 + a2k2 + ............... + a nkn = 0 b1k1 + b2k2 + ............... + b nkn = 0
…………….. (B)
c1k1 + c2k2 + ............... + c nkn = 0 Penyelesaian dari persamaan tersebut mempunyai (n-r) set eksponen yang independen secara linier k1, k 2, .....ki (n-r) dimana i = 1, 2, ......., n dan r adalah rank dari matriks dimensi. Kalau eksponen-eksponen tersebut independen secara linier, maka akan menghasilkan produk tak berdimensi yang independen. Kemudian karena jumlah penyelesaian dari persamaan (B) yang independen secara linier
44
maksimum (n-r) maka produk tak berdimensi yang independen juga maksimum = n-r. Jadi dapat diambil kesimpulan bahwa : Dari variabel-variabel Q1, Q2, . . . . , Q n dapat dibentuk satu himpunan lengkap dari produk-produk tak berdimensi yang berjumlah n-r dimana r adalah rank dari matriks dimensi variabel-variabel tersebut.
f. Matrik s Dimensi Singular Apabila rank dari matriks dimensi lebih kecil dari pada jumlah baris dalam matriks tersebut, maka matriks dimensi tersebut dinamakan matriks dimensi singular.
k1
k2
k3
k4
P
Q
R
S
M
2
1
3
4
L
-1
6
-3
0
t
1
20
-3
8
Semua determinan orde 3 dalam matriks ini sama dengan 0 2
1
3
-1
6
-3
1
20
-3
=
2
1
4
-1
6
0
1
20
8
=
1
3
4
6
-3
0
20
-3
8
=
0
Determinan orde 2 : 3
4
-3
0
= 12
Jadi rank dari matriks tersebut sama dengan 2 . Jumlah produk tak berdimensi dalam himpunan lengkap = n – r = 4 – 2 = 2 Apabila rank matriks lebih kecil dari jumlah baris, maka biasanya tidak perlu diperhatikan semua baris di dalam matriks tersebut. Tetapi yang harus diperhatikan adalah r buah baris yang telah dihitung determinannya tidak sama dengan 0.
45
Pada persamaan di atas harga rank matrik = 2 ( untuk 2 baris pertama). Baris yang ketiga dapat diabaikan. Jadi persamaan aljabar linier homogen yang diperlukan adalah : 2 k1 + k2 -k1
+ 3k3 + 4k4 = 0
+ 6k2 - 3k3
= 0
Persamaan di atas dapat diselesaikan lebih lanjut sehingga dapat dibentuk suatu himpunan lengkap produk tak berdimensi. g.
Penyusunan Variabel Dari serangkaian variable dapat dibentuk himpunan group tak berdimensi
yang jumlahnya tak terbatas. Susunan yang berlainan dari variabel dalam matriks dimensi akan menghasilkan himpunan lengkap produk tak berdimensi yang berlainan pula. Dengan beberapa contoh, buckingham telah menunjukkan bahwa ada beberapa himpunan lengkap produk tak berdimensi yang lebih berguna dalam praktek dari pada himpunan-himpunan yang lain. Dalam penelitian diharapkan tiap variabel independent tak berdimensi
independen π 1, π 2, .... , π p dapat diubah – ubah harganya, sementara yang lain dipertahankan konstan. Tetapi hal ini sulit dicapai, karena kadang – kadang hanya terdapat beberapa variable asli yang dapat diatur dalam percobaan. Agar tercapai kondisi tersebut terdapat aturan sebagai berikut : Dalam matriks dimensi, variable I : adalah variable dependen. Variabel II adalah variable yang paling independen. Variabel III : adalah variable yang mudah diatur, demikian seterusnya.
h. Pengubahan Group Tak berdi mensi Setelah dilakukan analisa dimensi terhadap suatu masalah, ternyata kemudian terdapat satu variabel yang pengaruhnya dapat diabaikan. Bila variabel tersebut hanya ada dalam satu variabel tak berdimensi independen, maka variabel tak berdimensi tersebut dapat diabaikan.
46
Tetapi bila variabel tersebut tidak hanya ada dalam satu group tak berdimensi, maka himpunan lengkap produk tak berdimensi yang sudah ada perlu diubah ke bentuk lain. MISAL : Pada analisa dimensi terhadap gaya gesek pada kapal, variabel – variabel yang berpengaruh adalah F, v, L , ρ, μ dan g. Himpunan lengkap produk tak berdimensi adalah : f ( П1, П2, П3 ) = 0, dimana : 1
F
;
2
2
v
3
g
;
3
L 3
2
g 2
Bila viskositas μ akan diabaikan, tentunya produk – produk tak berdimensi yang mengandung μ tidak mungkin diabaikan, karena μ ada dalam semua produk tak berdimensi. Himpunan produk tak berdimensi di atas dapat diubah menjadi himpunan lengkap lainnya, yaitu :
P
1
2 2
2 3
F 2
R 2 3 2
F
2 2
3
2
v L
V L
2
v L g
P = Bilangan Prandlt R = Bilangan Reynold F = Bilangan Froude Persamaan diatas juga dapat dituliskan f (P,R,F) = 0 atau P = f (R,F) Apabila R diabaikan, maka P = f (F)
“Perlu diingat bahwa jumlah produk tak berdimensi dalam himpunan yang baru harus sama dengan jumlah produk tak berdimensi mula – mula. Selain
itu produk tak berdimensi yang baru harus saling independen” .
47
II.5. SISTEMATIKA PERHITUNGAN
Diinginkan menghitung produk – produk tak berdimensi dari variabel – variabel yang matriks dimensinya sebagai berikut :
P
Q
R
S
T
U
V
M
2
-1
3
0
0
-2
1
L
1
0
-1
0
2
1
2
t
0
1
0
3
1
-1
2
Langkah – langkah perhitungannya adalah sebagai berikut : 1. Menghitung rank dari matriks dimensi Misal diambil 3 kolom terakhir, maka determinannya adalah : 0
-2
1
2
1
2
1
-1
2
= 1
, tidak sama dengan 0
Jadi rank matriks tersebut = 3 2. Menghitung jumlah produk tak berdimensi dalam himpunan lengkap p= n - r
= 7 - 3
3. Menulis persamaan aljabar linier homogen dengan koefisiennya adalah angka – angka pada baris dalam matriks dimensi K1
k2
k3
k4
k5
k6
k7
P
Q
R
S
T
U
V
M
2
-1
3
0
0
-2
1
L
1
0
-1
0
2
1
2
t
0
1
0
3
1
-1
2
2 k1 - k2 + 3k3 - 2k6 + k7 = 0 k1 - k3 + 2k5 + k6 + 2k7 = 0 ............... (a) 1 k2 + 3k4 + k5 - k6 +
2k7 = 0
4. Menyelesaikan persamaan aljabar linier homogen
48
Terdapat 3 persamaan dengan 7 bilangan yang tidak diketahui. Sehingga empat ( 4) bilangan harganya dapat ditentukan sebarang, kemudian tiga (3) bilangan yang lain dapat dihitung. Persamaan (a) diselesaikan untuk k5, k6, dan k7 k5 = -11k1 + 9 k2 - 9 k3 + 15k4 k6 =
5k1 - 4k2 + 5k3 - 6k4
k7 =
8k1 - 7k2 + 7k3 - 12k4
............................... (b)
Persamaan (b) dapat diselesaikan sebagai berikut : Ditentukan
k1 = 1
dan
Maka : k5 = -11, Ditentukan
k2 = 1
k6 = 5, dan
Maka : k5 = 9
k2 = k3 = k4 = 0 k7 = 8 k1 = k3 = k4 = 0
k6 = -4,
k7 = -7
Dan seterusnya sehingga dibentuk suatu matriks :
k1
k2
k3
k4
k5
k6
k7
P
Q
R
S
T
U
V
П1
1
0
0
0
-11
5
8
П2
0
1
0
0
9
-4
-7
П3
0
0
1
0
-9
5
7
П4
0
0
0
1
15
-6
-12
Ternyata angka-angka dalam kolom ke 5,6, dan 7 dari matriks penyelesaian tersebut adalah merupakan koefisien-koefisien dalam persamaan (b). Empat kolom di depan berisi bilangan nol kecuali untuk yang terletak pada kedudukan diagonal, yaitu berupa bialngan 1 (satu). Jadi matriks penyelesaian ini dapat ditulis dengan mudah, yaitu hanya dengan melihat koefisien-koefisien pada persamaan (b). 5. Mengecek apakah produk – produk tak berdimensi tersebut independen Dihitung determinan dari 4 kolom terakhir. Determinan tidak sama dengan 0 berarti rank dari matriks tersebut adalah 4, atau sama dengan jumlah baris.
49
Baris – baris dalam matriks tersebut independen secara linier sehingga produk tak berdimensi yang dihasilkan juga independen. 6. Menulis masing - masing produk tak berdimensi Masing – masing baris dalam matris penyelesaian tersebut merupakan eksponen – eksponen dalam produk tak berdimensi. Jadi :
П1
= P T-11 U5 V8
П2
= Q T9 U4 V-7
П3
= R T-9 U5 V7
П4
= S T15 U-6 V-12
Terlihat bahwa variabel pertama P hanya ada dalam П1, variabel Q dalam П2, variabel R dalam П3, dan variabel S dalam П4.
CONTOH PENYELESAIAN DENGAN SISTEM MATRIKS APLIKASI UNTUK ALIRAN FLUIDA. Sistem aliran fluida dapat dibedakan menjadi dua, yaitu : 1. Aliran linier (rectilinier flow) 2. Aliran rotasi (rotating flow)
- ALIRAN LINIER Contoh aliran linier adalah aliran fluida dalam pipa lurus. Dalam sistem ini gaya (F) tergantung pada :
Kecepatan aliran (v)
=
[ Lt-1]
Density fluida (ρ)
=
[ML -3]
Viskositas Fluida (μ)
=
[ML -1t-1 ]
Pressure head (Δ P)
=
[ML -1t-2 ]
Percepatan gravitasi (g)
=
[ Lt-2]
Tegangan permukaan (σ)
=
[ Mt-2]
Kompresibilitas
(K)
=
[ ML-1t-2]
Panjang pipa
(L)
=
[ L]
Diameter pipa
(D)
=
[ L]
Kekasaran pipa
(ε)
=
[ L]
50
Matriks dimensi untuk variabel – variabel tersebut : k1
k2
k3
k4
k5
k6
k7
k8
k9
k10
k11
F
μ
ΔP
σ
ε
g
k
D
L
v
ρ
M
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
L
1
-1
-1
0
1
1
-1
1
1
1
-3
t
-2
-1
-2
-2
0
-2
-2
0
0
-1
0
Determinan dari 3 kolom terakhir : 0
0
1
1
1
-3
0
-1
0
= -1
tidak sama dengan 0
Jadi rank dari matriks tersebut sama dengan 3 Jumlah produk tak berdimensi adalah 11-3 = 8 Persamaan konstanta pangkat : k1 + k2 + k3 + k4 + k7 + k11 = 0 k1 - k2 - k3 + k5 + k6 - k7 + k8 + k9 + k10 - 3k11= 0 -2k1 - k2 - 2k3 - 2k4 - 2k6 - 2k7 - k10 = 0
Ketiga persamaan tersebut dapat di selesaikan menjadi : k9 = -2k1 - k2 - k4 - k5 + k6 - k8 k10 = -2k1 - k2 - 2k3 - 2k4 - 2k6 - 2k7
.......................
(c)
k11 = -k1 - k2 - k3 - k4 - k7
Matriks penyelesaiannya adalah :
51
k1
k2
k3
k4
k5
k6
k7
k8
k9
k10
k11
F
μ
ΔP
σ
ε
g
k
D
L
v
ρ
П1
1
0
0
0
0
0
0
0
-2
-2
-1
П2
0
1
0
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
П3
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-2
-1
П4
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
-2
-1
П5
0
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
П6
0
0
0
0
0
1
0
0
1
-2
0
П7
0
0
0
0
0
0
1
0
0
-2
-1
П8
0
0
0
0
0
0
0
1
-1
0
0
Produk pro duk tak berdimensi nya adalah ;
П1 = П2 = П3 = П4 = П5 = 6
F v
2
P v
1/ 2
L
(Bil Reynold)
(koeffisien tekanan/bil euler)
2
Lv
2
atau
1 4
L
2
(Bil Weber)
L
L g
2
2
atau
1
atau
1
6
K v
2
7
(Bil Froude)
L g
2
(Bil. Mach)
K
D
П8 = 5
atau
Lv
П7 =
2
L
L
5 x 8
x
L
L D
D
Bentuk fungsi umum untuk produk-produk tak berdimensi
F f 2 2 , L
L
,
P
2
,
L
2
,
D
,
2
L g
,
K
2
,
L
0
D
52