Kalkukus 1 BAB 0 Persiapan 0.1 Bilangan Real, Estimasi dan Logika
semuanya adalah Bilangan Bulat dan Rasional bilangan paling sederhana di antara semuanya bilangan asli (natural number) 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....... Jika kita menyertakan negatif dari bilangan asli dan nol, kita memperoleh bilangan bulat (integer) -1, 0 1, 2, 3, .... Untuk mengukur panjang, berat atau volume bilangan bulat saja tidaklah cukup. Jarak antar bilangan bulat terlampau renggang sehingga ketelitiannya (precision) kurang. Oleh karena itu kita perlu meninjau hasil bagi (rasio atau kuosien) bilangan bulat, yaiyu bilangan seperti :
, , ,
Ingat selalu bahwa pembagian oleh 0 tidak ernah di perbolehkan. Bilangan yang dapat di tuliskan dalam bentuk m/n, m/n, dengan m dan n bilangan bulat serta n ≠ 0, di sebut bilangan rasional
Bilangan Real Tinjaulah semua bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur panjang, beserta negatif dari bilangan bilangan tersebut dan nol. Bilangan ini di sebut juga bilangan real
Desimal Berulang dan Takberulang setiap bilangan rasional dapat di tuliskan sebagai desimal, karena sesuai definisi bilangan rasional selalu dapat di nyatakan sebagai hasil-hasil dua bilangan bulat , jika kita membagi pembilang dan penyebut, kita memperoleh desimal, sebagai contoh :
=0,5 =0,375 =0,42857142857142857142 8571... =0,428571428571428571428571...
Bilangan irasional juga dapat di yatakan sebagai desimal . Sebagai contoh :
1,4142135623.... = 3.1415926535... 3.1415926535... √ = 1,4142135623....
Contoh 1 (Desimal berulang adalag bilangan rasional ) Perhatikan bahwa x =0.136136136.... x =0.136136136.... adalah bilangan rasional Penyelesaian : kita kurangkan x dari 1000x, dan kemudian menghitung x. x.
999 x = x = 136 =
Kepadatan di antara dua bilangan real sebarang a dan b, betapapun dekat jarak
= ( a b )/2 adalah bilangan real di tengah-tengah a dan b. Karena ada sebuah bilangan real lain, , di antara a dan , dan sebuah bilangan real lain lagi di antara dan dan karena argumen ini dapat di ulang terus ad infinitum ( tanpa ada habisnya ), antara keduanya, terdapat suatu bilangan real lain. Secara khusus, bilangan
+
kita simpulkan simpulkan bahwa bahwa di antara a dan b terdapat takterhingga takterhingga banyaknya bilangan real. Jadi, apa yang di sebut sebagai “bilangan rea l tepat lebih besar dari pada 3” itu it u sebenarnya tidak ada
Kalkulator dan Komputer saat ini banyak kalkulator yang mampu melaksanakan operasi dengan angka (numerik), grafik, simbol.
Berikut ini adalah saran berkenaan dengan penggunaan kalkukator : 1. Ketahuilah kapan kalkulator atau komputer anda memberikan jawaban aksak dan kapan jawaban aproksimasi. Misalnya jika anda mencari sin kalkulator bisa
atau bisa juga aproksimasi desimal, 0,8660254 0,8660254 Dalam kebanyakan kasus, jawaban eksak lebih di sukai. Misalnya anda ingin mengkuadratkan lagi hasil dari sin 60 , maka akan lebih mudah dan akurat untuk =3/4) ketimbang menghitung menghitung ( memberikan jawaban eksak,
2.
3. Dalam soal aplikasi , berikan jawaban eksak , jika mungkin dan juga aproksimasi. Anda sering kali bisa memeriksa apakah jawaban anda masuk akal,jika di hubungkan hubungkan dengan deskripsi soal, dengan melihat aproksimasi numerik anda untuk penyelesaian soal tersebut
hitunga yang rumit, mahasiswa yang ceroboh Estimasi Ketika menghadapi soal hitunga mungkin akan menekan dengan cepat tombol kalkulator tanpa men yadari tanda kurung hilang hilang atau salah tekan dan bisa memberikan hasil yan salah. Kita juga harus tahu bagaimana melakukan estimasi di luar kepala.
Contoh 2 Hitung (
√
+
72
+
)/2,75
Penyelesaian : mahasiswa yang bijak akan mengaproksimasikan in sebagai (20 (20
72
+
2)/3
+
dan mengatakan bahwa jawaban seharusnya berada di sekitar 30. Jadi jika kalkulator nya memberika jawaban 93,448 dia curiga dan yang dia hitung ternyata adalah (
)/2,75
√
+
72
+
Setelah menghitung ulang dia mendapat jawaban yang benar : 34,43
Sedikit tentang logika hasil hasil penting dalam matematika di teorema , dan anda akan menjumpai banyak banyak teorema nantinya. Banyak teorema yang akan di nyatakan dalam bentuk bentuk “jika P maka Q” atau dapat di nyatakan ulang dalam bentuk ini. Seringkali kita menyingkat pernyataan “jika P maka Q” dengan P juga di baca P mengimplikasikan Q. Kita menyebut menyebut P hipotesis, dan Q sebagai kesimpulan dari teorema .
Negasi dari pernyataan P di tulis , misalnya jika P pernyataan “hari hujan” maka adalah pernyataan “hari tidak hujan” .
Urutan bilangan real bukan-nol di pisahkan sama besar menjadi dua dua himpunan terpisah-bilangan real positif dan bilangan real negatif. Fakta ini memungkinkan kita mengenal relasi urutan (di baca “lebih kecil dari pada”) yaitu
Kita setuju bahwa
dan memiliki arti yang sama. Sehingga 3˂4 , 4˃3
-3˂-2 3˂-2 , -2˃ -2˃-3 -3
(di baca “lebih kecil sama dengan “) relasi ini di definisikan oleh Sifat-sifat urutan 2,3 dan 4 dalam kotak sembir berlaku ketika lambang-lambang di gantikan oleh Relasi turun
Pengukur banyak pernyataan matematis melibatkan variabel x, dan kebenaran
pernyataannya tergantung pada nilai x. Sebagai Sebagai contoh, pernyataan “ bilangan rasional”
√ adalah
0.2 Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Menyelesaikan suatu persamaan misalnya (3 ) adalah salah satu tugas lazim dalam matematika; hal ini penting dalam kuliah . tet api hal yang sama pentingnya dalam kalkukus adalah gagasan mengenai penyelesaian pertidaksamaan . menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semuah himpunan real yang membuat pertidaksamaan tersebut berlaku. Berbeda dengan persamaan yang himpunan pemecahnya umumnya terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah bilangan berhingga himpunan himpunan pemecah dan pertidaksamaan biasanya terdiri dari suatu kesuluruhan interval bilangan atau dalam beberapa kasus gabungan dari interval interval yang demikian
Interval beberapa jenis interval ,istilah dan cata penulisan khusus . pertidaksamaan yang sebenarnya adalah dua pertidaksamaan yang menunjukan interval terbukayang terdiri dari sebua bilangan di antara a dan b. Sebaliknya pertidaksamaan beratri interval tertutup yang beratri berkorespondensi Menyelesaikan pertidaksamaan seperti halnya dengan persamaan, prosedur untuk mengerjakan pertidaksamaan adalah menguba pertidaksamaan satu langkah tiap kali sampai himpunan pemecahannya jelas
Contoh
Selesaikan pertidaksamaan 2x-7 2x-7 ˂ 4x – 2 2 Penyelesaian : 2x-7 2x-7 ˂ 4x – 2 2 2x ˂ 4x 4x + 5
(tambahkan 7)
-2x ˂ 5
(tambahkan 4x )
x˃
(dikalikan -1/2)
Nilai Mulak nilai mutlak suatu bilangan x, di nyatakan oleh sebagai
|| di definisikan
|| = x jika x 0 || = -x jika x ˂ 0 Misalnya || = 6, || = 0, dan || = - (-5) =5 ≥
Sifat-sifat nilai mutlak tidak menimbulkan masalah dalam proses perkalian dan pembagian, tetapi tidak begitu dalam proses penembahan dan dan pengurangan Sifat-sifat nilai mutlak
1. 2. 3. 4.
||| =||| | || = || | | || + || (pertidaksamaan segi tiga ) | | | | | | ≤ ≥
| |
˂ 3 maka jarak antara x Pertidaksamaan Pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak jika dan titik asal harus lebih kecil dari 3. Dengan perkataan ini x haruslah secara simultan ˂ 3 dan ˃-3 ˃-3 yaitu -3 -3 ˂ x ˂ 3. 1. ˂a↔-a˂x˂a
| | || ˃ a ↔ x ˂ - a atau x ˃ a
Rumua abc hampir semua mahasiswa akan mengingat rumus abc (quadratic formula) penyelesaian untuk persamaan kuadrat ax² + bx +c = 0
Bilangan d = b² -4ac di sebut diskriminan dari persamaan kuadrat. Persam aan ax² + bx + c = 0 mempunyai mempunyai 2 penyelesaian real jika d˂ 0 satu penyelesaian real jika d=0 dan tidak memiliki penyelesaian real jika d˂ 0.
Kuadrat beralih ke kuadrat, kita perhatikan bahwa
||² = x² dan || = |||= |||. Ini berasal dari safat ||| 0.3 Sistem Koordinat Rektanguler
Rumus jarak rumus ini berdasarkan pada teoreme pythagoras yang mengatakan jika a dan b adalah panjang dari kedua kaki sebua segi tiga siku-siku dan c d an c adalah sisi miringnya maka :
a² + b² = c²
Contoh Carilah jarak antara P(-2,3) dan Q(4,-1) Penyelesaian d(P,Q) =
) ) = √ = √ ≈ 7,21 = ≈ 7,21
Persamaan Persamaan Lingkaran lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) (jari-jar i) dan suatu titik tetap (pusat) . secara lebih umum, lingkaran berjari-jari r dan pusat (h,k) mempunyai persamaan (x-h)² + (y-k)² = r²
Rumus Titik Tengah
Titik tengah ruas garis garis yang menghubungkan menghubungkan P (x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah adalah
,)
(
Garis Lurus
m=
=
Kemiringan m adalah ukuran kecuraman suatu garis
Bentuk Kemiringan Titik garis yang melalui titik tetap dengan dengan kemiringan m mempunyai persamaan
y-y1 = m (x-x1) Ini di sebut kemiringan titik dari persamaan sebuah garis.
(x1,y1) dan Bentuk Kemiringan Perpotongan Perpotongan dengan memilih (0,b) sebagai (x1,y1) menerapkan bentuk kemiringan titik di peroleh y = mx + b
Persamaan Garis Tegak bentuk kemiringan titik : y – y1 y1 = m (x-x1)
bentuk kemiringan perpotongan perpotongan : y = mx + b persamaan linear umum : Ax + By + C = 0
Garis-garis Sejajar dua garis tidak mempunyai titik potong di sebut sejejar . misalnya garis-garis dengan persamaan y= 2x+ 2dan y= 2x + 5 adalah sej ajarkarena untuk tiap nilai x garis kedua adalah 3 satuan . secara ringkas kita menyatakan bahwa dua garis tak tegak adalah sejajar jika dan hanya jika keduanya keduanya mempunyai mempunyai kemiringan yang sama dan perpotongan y berlainan. Dua garis tegek sejajar jika dan ahnya jika keduanya adalah garis garis yang berbeda.
Garis Garis Tegak Lurus dua garis tak tegak saling tegak lurus jika dan hanya jika kemiringan keduanya saling berkebalikan negatif.
0.4 Grafik Persamaan
Prosedur Penggambaran Grafik untuk menggambar suatu persamaan misalnya
y = 2x ² - x + 19 kita dapat mengikuti prosedur 3 langkah sederhana Langkah 1 : dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan. Langkah 2 : plotlah titik-titik tersebut pada bidang. Langkah 3 ; hubungkanlah titik-titik terebut dengan sebuaah kurva mulus. Contoh :
Keistimewaan Gravik dalam bentuk persamaan, kita memiliki tiga pengujian sederhana. Gravik suatu persamaan adalah : 1. Simetri terhadap sumbu – y jika penggantian penggantian x oleh – oleh – x menghasilkan persamaan yang setara (contoh y = x²) 2. Simetri terhadap sumbu – sumbu – x jika penggantian y oleh – oleh – y menghasilkan persamaan yang setara (contoh x = y² + 1) 3. Simerti terhadap titik asal jika penggantian x aleh – aleh – x dn yoleh – yoleh – y menghasilkan persamaan yang setara (contoh y = x³)
Perpotongan titik-titik tempet gravik suatu persamaan memotong sebuah sumbu koordinat memainkan peranan penting dalam banyak hal, mi salnya :
y = x³ - 2x² - 5x + 6 = (x + 2) (x-1)(x-3) perhatikan bahwa y=0 jika x=-2,1,3 bilangan-bilangan bilangan-bilangan -2,1 dan 3 di sebut sebut perpotongan -x
Perpotongan Gravik kerap kali kita perlu mengetahui titik-titik potong antara 2 gravik.titik-titik ini di peroleh dengan memecahkan kedua persamaan untuk grafik tersebut secara simultan
0.5Fungsi 0.5 Fungsi dan Grafiknya fungsi f suatu aturan korespondensi yang menghubungkan tiap Definisi sebuah fungsi f obyek x obyek x dalam suatu himpunan yang di sebut daerah asal(domain) dengan sebuah nilai tunggal f(x) tunggal f(x) dri dri suatu himpunan kedua.
memberi nama suatu fungsi di beri nama suatu huruf tunggal Notasi Fungsi untuk memberi seperti f seperti f . maka f(x) maka f(x) di di baca f baca f dari x dari x menunjukan menunjukan nilai yang di berikan oleh f oleh f kepada x kepada x.. Jadi jika f(x) jika f(x) = x³ - 4 maka f(2) = 2³-4 = 4 f(a) = f(a) = a³ -4 -4 f(a + h) = (a + h)³ -4 -4 =a³ =a³ +3a²h + 3ah² +h³-4
fungsi derah asal tidak di Daerah Asal dan Daerah Hasil jika untuk sebuah fungsi sebutkan, kita menganggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar sehingga aturan fungsi ada maknanya. Ini di sebut daerah as al alami (natural domain)
Grafik Fungsi jika daerah asal dan daerah hasil adalah bilangan real kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggaambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat dn grafikfingsi f grafikfingsi f adalah grafik grafik dari persamaan y=f(x) persamaan y=f(x)
Fungsi Genap dan Ganjil jika f(-x) jika f(-x) = = f(x)untuk f(x)untuk semua x semua x maka grafik simetri terhadap sumbu – sumbu – y, di sebut fungsi genap. Jika f(-x)=-f(x) Jika f(-x)=-f(x) untuk semua x semua x grafik simetri terhadap titik asal , di sebut fungsi ganjil
Dua Fungsi Khusus di antara fungsi-fungsi yang sering di gunakan terdapatdua fungsi khusus yaitu Fungsi nilai mutlak dan Fungsi bilangan bulat terbesar Fungsi-fungsi ini di definisikan oleh :
| |
[| |].
[| [||] = {
0.6Operasi 0.6 Operasi Pada Fungsi
Jumlah, Selisih, Hasil-kali, Hasil-bagi dan Pangkat perhatikan fungsi-fungsi f dan g dengan rumus-rumus
f(x) =
g(x)= √
Komposisi fungsi komposisi g komposisi g dengan f di nyatakan oleh g oleh g ° f jadi,
g ° f ) ( x) = x) = g(f(x)) g(f(x)) ( g Kita dapat mengkoposisikannya dalam dua cara : g ° f = g(f(x)) = g(
)=
√ √
f ° g = f(g(x)) = f( ) = komposisi tidak komutatif .
√
Fungsi Aljabar Eksplisit fungsi yang dapat di peroleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas melalui lima operasi : penambahan, perkalian, penguruangan, pembagian dan penarikan akar . contohnya contohnya adalah :
f(x) = 3x²´³ = 3
0.7Fungsi 0.7 Fungsi Trigonometri Secara lebih umum kita mendefinisikan fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan. Lingkaran satuan, yang kita nyatakan C, adalah lingkaran dengan jari-jari 1dan pusat di titik asal dia mempunyai persamaan x² persamaan x² + y² = 1.
Sifat-sifat Dasar Sinus dan Kosinus karena lingkaran satuan mempunyai keliling 2π, nilai t nilai t dan t + 2π menentukan titik P( x,y) yang sama, jadi :
Sin ( t + 2π) = sin t dan cos(t + 2π) = cos t Titik-titik P1 dan P2 yang berkorespondesi dengan t dan – dan – t masing-masing simetri terhadap sumbu – sumbu – x. x. Jadi koordinat – koordinat – x dan P1 dan P2 adalah sama dan koordinat – koordinat – y hanya berbeda tanda, akibatnya
sin (-t) = -sin t dan cos (-t) = -cos t
dengan perkataan lain sinus adalah fungsi ganjil dan kosinus adalah fungsi genap.
Grafik Sinis dan Kosinus untuk menggambarkan grafik y= sin t dan y= cos t kita ikuti prosedur baku, buat lebel nilai, gambar titik-titik yang berkorespondensi dan hubumgkan titik-titik ini dengan kurva mulus. Theoreme pythagoras dapat di gunakan untuk memberikan
1= x2 +x2 = cos 2 + cos2
fungsi f di kaakan kaakan periodik jika Periode dan Amplitudo Fungsi trigonometri fungsi f terdapat suatu bilangan p bilangan p sedemikian sedemikian rupa sehingga f(x + P) = f(x) fungsi sinus adalah periodik karena sin ( x+2π) = sin x untuk semua x juga benar bahwa : sin (x + 4π) = sin (x(x -2π)= sin (x + 12π) = sin x
Empat Fungsi Trigonomerti Lainnya tangen, cotangen, secan dan cosecan
sec =
tan =
cosec =
cot =
Hubungan Terhadap Trigonomerti Sudut sudut yang berkorespondensi dengan 1 putaran penuh berukuran 360° 360° tetapi hanya 2π radian secarasetara sudut lurus berukuran 180° atau π radian
180° = π radian ≈ 3,1415927 radian
Daftar Identitas-identitas penting Identitas ganjil genap
sin(-x) = -sin x cos (-x) = cos x cos (-x) = -tan x
identitas ko-fungsi
cos - x = sin x x = cot x tan – x sin - x = cos x
identitas pythagoras
identitas penambahan
sin 2 x + cos 2 x = 1
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
1+ tan 2 x = sec2 x
cos(x + y) = cos x cos y – sin sin x sin y
1 + cot 2 x = csc2 x
tan(x + Y) =
BAB 1 Limit 1.1 Pendahuluan Limit
Masalah yang mengarah ke konsep limit konsep limit adalah pusat dalam banyak dalam masalah di fisika, rekayasa dan ilmu sosial. s osial. Kita dapat menggunakan rumus :
Kecepatan =
(untuk laju perubahan posisi)
Kita sebut ini kecepatan rata-rata pada interval tersebut karena, brtapapun kecilnya jarak interval kita tidak pernah mengetahui apakah kecepatannya konstan konstan pada interval ini.
Pemahaman secara instuisi tinjau fungsi yang di tentukan oleh rumus
f(x) = f(x) =
perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada x pada x = = 1karena di titik ini f(x ini f(x))
berbentuk yang tanpa makna. Dengan menjadi seorang pakar aljabar kita dapat menguraikan fakta-fakta yang lebih banyak dan lebih baik.
) ) = = x = (x + x + 1)= 1 1)= 1 3
2
Perhatikan bahwa (x-1)/(x-1) (x-1)/(x-1) = 1 selama x≠1
2
+1+1=3
Definisi makna limit secara Intuisi perhatijan bahwa berarti bahwa ketika x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.
)
Contoh : Carilah
(4x – (4x – 5) 5)
penyelesaian : ketika x dekat 3 maka 4x – 4x – 5 5 dekat terhadap 4 ∙ 3 – 5 5 = 7 kita tuliskan
)
Limit-limit satu sisi Definisi limit kiri dan limit kanan untuk mengatakan bahwa berarti ketika x dekat tetapi pada sebelah kanan c maka f(x) dekat ke L. Demikian pula untuk mengatakan bahwa
)
)
berarti bahwa ketika x dekat tetapi pada sebelah kiri c maka f(x) adalah dekat ke L
Teorema A
) jika dan hanya jika ) dan )
1.2 Pengkajian Mendalam tentang Limit
Membuat Definisi yang presisi kita ikuti tradisi dalam menggunakan rumus yunani (epsilon) dan (delta) untuk menggantikan bilangan positif (biasanya kecil)
Definisi pengertian presisi limit
) | ) | | | 0 ˂ | | ˂ → | ) | ˂
Mengatakan bahwa berarti untuk tiap ˃ 0 yang di berikan (betapapun kecilnya) terdapat ˃ 0 yang berpadanan sedemikian rupa sehingga s ehingga ˃ asalkan bahwa 0 ˂ ˂ yakni
Limit satu sisi kita tidak memerlukan banyak imajinasi untukmemberikan definisi aturan limit kanan dan limit kiri
Definisi limit kanan Mengatakan berarti bahwa untuk setiap berpadanan sedemikiantupa sehingga : 0 ˂ x – c – c ˂ → ˂
) | ) |
˃ 0 terdapat ˃ 0 yang
1.3 Teorema Limit Dengan teorema ini kita dapat menangani hampir semua masalah limi t yang akan di hadapi nanti. Teorema Limit Utama
Teorema A
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
= k = k x = c kf(x) = k (x) | ) ) )| = g(x) = f(x) – f(x) – g(x) g(x) f(x) g(x) f(x) ∙ g(x) = f(x) ∙ g(x) ) ) = ) ≠ 0 )asalkan ) | ) )| = [ )] ) ) f(x) ˃ 0 kerika n = ) asalkan n
genap
n
2x Penyelesaian : 2x = 2 x 4
Contoh : Carilah
4
4
=2
[ ] = 2[3] = 162 4
4
Teorema B Teorema subtitusi
Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional maka :
f(x) = f(c) Asalkan f(c) terdefinisi. Dalam kasus fungsi rasional ini bermakna bahwa nilai penyebut pada c tidak nol.
Teorema C
Jika f(x) = g(x) untuk semua x di dalam interval t erbuka yang mengandung bilangan c, terkecuali mungkin padabilangan padabilangan c sendiri dan jika g(x) ada maka
f(x) adadan f(x) = g(x) Teorema D Teorema apit (squeeze Theorem)
= g(x) ≤ h(x) untuk semua h(x) = L maka g(x)
Misalkan f, g, dan h, adalah fungsi yang memenuhi f(x) x dekat c terkecuali mungkin pada c jika f(x) =
1.4 Limit Melibatkan Fungsi Trigonometri Teorema A Limit Fungsi Trigonometri
Untuk setiap bilangan real c di dalam daerah asal fungsi 1. 2.
3.
sin t = sin c cos t = cos c tan t = tan c
Teorema B Limit Trigonometri Khusus
1. 2.
= 1 = 0
1.5 Limit di Tak-hingga , Limit Tak-Berhingga Masalah terdalam yang paling paradoks dari matematika ser ingkali adalah keracunan dalam penggunaan dari konsep tak berhingga.
Limit di tak hingga ketika kita menuliskan x → kita tidak menyatakan secara langsung , jauh ke kanan pada sumbu x terdapat sebuah bilangan yang di dekati oleh x Percobaan dengan bilangan negativ besar akan mengarahkan kita untuk menuliskan
= 0
dalam analogi dengan definisi Definisi Presisi Limit ketika x→ limit biasa, kita membuat definisi berikut
kita untuk
Definisi limit ketika x→ Misalkan f terdefinisi pada [c, ] untuk semua bilangan c. Kita katakan bahwa
f(x) = L jika untuk masing-masing terdapat bilangan M yang
berpandan sedemikian rupa sehingga : x˃M→ ˂
| ) |
Limit Barisan daerah asal untuk beberapa fungsi adalah himpunan bilangan asli dalam situasi ini kita biasanya menuliska a n untuk menyatakan suku ke-n. Definisi Limit Barisan
Misalkan an terdefinisi untuk semua bilangan asli yang lebih besar dari pada atau sama dengan suatu bilangan c . n˃M→
| |˂
Limit Tak-Hingga ketika x menjadi dekat ke 2 dari kiri fungsi membesar tanpa batas Definisi Limit Tak-Hingga = jika untuk masing-masing bilangan positif M berpadanan
rupa sehingga :
˂ 0 sedemikian
→f(x) ˃ M
0˂ x – c – c ˂
1.6 Kontinuitas Fungsi Dalam matematika kita memaki kontinu untuk menyatakan sebua proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. mendadak. Di bawah ini adalah definisi formalnya . Definisi Kontinuitas di satu titik
Misalkan f terdefinisi dari suatu interfal terbuka yang mengandung c. Kita katakan bahwa f kontinu di c jika
f(x) = f(c) Dengan definisi ini kita bermaksud mensyarankan 3 hal : 1.
f(x) ada
2. f(c) ada (yakni c berada dalam daerah asal f asal f ) 3. = f(c)
Kontinuitas fungsi yang di kenal
Fungsi Polonomial dan Rasional Teorema A Kontinuitas Fungsi Fungsi polinomial kontinu di setiap bilangan real c dalam daerah asalnya yaitu kecuali di mana penyebutnya nol
ke- n Teorema B Kontinuitas Fungsi Nilai Mutlak dan Fungsi akar ke-n Fungsi nilai mutlak adalah kontinu di setiap bilangan bilangan real c . jika n ganjul fungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real c jikan genap fungsi akar ke-n kontinu di seti ap bilangan real positif c.
Teorema C Kontinuitas di dalam operasi fungsi
Jika f Jika f dan g dan g kontinu kontinu di c maka demikian juga kf , f + g , f – f – g g , f∙g/g asalkan g(c) ≠ 0, f n dan
asalkan f(c) ˃ 0 jika n genap. asalkan f(c)
Teorema D Kontinuitas Fungsi-Fungsi Trigonometri
Fungsi sunus dan kosinus kontinu di setiap bilangan real c , fungsi tan x ,cot ,cot x, x, sec x sec x dan dan csc x kontinu x kontinu di setiap bilangan real c dalam daerah asalnya.
Kontinuitas pada interval Teorema E teorema nilai antara
Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan misalkan W bilangan antara f(a) antara f(a) dan f(b) dan f(b) . jika jika f kontinu . jika f jika f kontinu [a,b]. Maka terdapat paling sedikit sebuah bilangan c di antara a dan b sedemikian rupa sehingga f(c) sehingga f(c) = W
Post by : claudiakatamona.blogspot.com claudiakatamona.blogspot.com
