Ruang Hasil kali Dalam (INNER PRODUCT SPACE)
Hasil
kali dalam
Defnisi : adalah ungsi ungsi yang mengkaitkan mengkaitkan setiap pasangan pasangan vektor di ruang vektor V ( ( misalkan vektor u dan v dengan notasi
)dengan bilangan riel, dan memenuhi 4 aksioma berikut ini : ,u> 1 !imetris : " ,w> # $ditivitas : " > % u,v > " k , k : & 'omogenitas : * + atau < u,u > * + dan ( " + atau < u,u > "+ ika dan hanya -ika v " + atau u " + .uang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam disebut : Ruang hasil kali dalam yang disingkat RHD
Hasil
kali dalam
Defnisi : adalah ungsi ungsi yang mengkaitkan mengkaitkan setiap pasangan pasangan vektor di ruang vektor V ( ( misalkan vektor u dan v dengan notasi )dengan bilangan riel, dan memenuhi 4 aksioma berikut ini : ,u> 1 !imetris : " ,w> # $ditivitas : " > % u,v > " k , k : & 'omogenitas : * + atau < u,u > * + dan ( " + atau < u,u > "+ ika dan hanya -ika v " + atau u " + .uang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam disebut : Ruang hasil kali dalam yang disingkat RHD
Defnisi Hasil ali dalam Eu!lidean
C"n#"h s"al $ 1 /un-ukkan bah0a operasi perkalian titik standar di R& merupakan hasil kali dalam a0ab : 2isalkan : a(a1, a#, a&), b(b1, b#, b&) dan c(c1, c#, c&) berada dalam R&
$kan ditun-ukkan bah0a perkalian titik standar memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam yaitu : 1 !imetri : " (ab) " (a1b1 % a#b# % a&b&) " (b1a1 % b#a# % b&a&) " (terpenuhi)
# $ditivitas : " ((a % b) c) " ((a1%b1, a# % b#, a& % b&) (c1, c#, c&)) " ((a1c1 % b1c1) % (a#c# % b#c#) % (a&c& % b&c&)) " (a1c1 % a#c# % a&c&) % (b1c1 % b#c# % b&c&) " % (terpenuhi) & 'omogenitas : " (ka.b) " (ka1b1 % ka#b# % ka&b&) " k (a1b1 % a#b# % a&b&) " k (a.b) " k < a,b >(terpenuhi)
4 ositivitas : " (a.a) " (a1# % a## % a&#)* + dan " (a1# % a## % a&#)" + (terpenuhi)
terpenuhi) u "(+,+,+) " 0
# Diketahui " ad % cf dengan u " (a,b,c) dan v " (d,e,f ) $pakah tersebut merupakan hasil kali dalam a0ab : $kan ditun-ukkan apakah < u,v > memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam berikut ini :
1 !imetri " ad % cf " da % fc "
(terpenuhi)
# $ditivitas 2isalkan w " (g,h,i) " ((a % d, b % e, c % f ), (g,h,i)) " (a % d)g % (c % f )i " (ag % ci) % (dg % ) " %
(terpenuhi)
& 'omogenitas " (kad + kcf ) " k (ad % cf ) " k (terpenuhi) 4 ositivitas " (u.u) " (a# % c#) *+ (terpenuhi) dan " (a# % c#) " + tidak selalu u "(+,+,+), karena nilai u "(+,b,+) dengan b 5+, maka nilai < u,u> " 0 tidak terpenuhi 6arena aksioma positivitas tidak terpenuhi, maka < u,v > " ad+ cf dengan dengan u " (a,b,c) dan v " (d,e,f ) %ukan me&u'akan hasil kali dalam
'asilkali7dalam dibangkitkan oleh matriks
Panang
dan
vek#"&, a&ak an#a& vek#"& %esa& sudu# dalam RHD
ika V merupakan ruang hasil kali dalam, u,v dalam V , maka : a an-ang u " 18# b arak u dan v : d(u,v ) " 18# 2isalkan sudut dibentuk antara u dan v dalam .'D, maka :
cos θ =
< u, v >
u v -ika u dan v saling tegak lurus, maka 2
u+v
=
u
2
+v
2
;ukti :
2
u + v =< u + v, u + v >
=< u + v, u > + < u + v, v > =< u, u > + < v, v > +2 < u, v > 2
=u + v
2
C"n#"h s"al $ Diketahui V adalah .'D dengan hasil kali dalam " (u1v 1 % # u#v# % u&v&) dengan u "(u1,u#,u&), v "(v 1,v #,v &) ika vektor7vektor a, b dalam V dengan a " (1,#,&) dan b " ( 1,#,#), tentukan :
a ;esar os dengan adalah sudut antara a dan b b arak antara a dan b
a0ab : a cos θ =
=
< a, b > a b
=
15 18 13
1.1 + 2.(2.2) + 2.3
(
=
12 + 2.22 + 32
)(
12 + 2.22 + 22
)
15 234
b arak a dan b : d(a,b) " 18# (a – b ) " (+,+,1) d (a , b) =< a − b , a − b >
1 2
= 0.0 + 2.(0.0) + 1.1 = 1
asis
"&#"n"&mal
Diketahui V ruang hasil kali dalam dan v 1, v 2 ……., v n adalah vektor7vektor dalam V e%e&a'a defnisi 'en#ing a.H " =v 1, v 2 ……., v n disebut himpunan ortonora! bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus, yaitu " + untuk i 5 " dan i," " 1,#,?,n b @ " =v 1, v 2 ……., v n disebut himpunan ortonormal bila : 7 @ himpunan ortogonal 7 Aorm dari v i " 1, i " 1,#,? n atau "1
P&"*eksi "&#"g"nal vek#"& #e&hada' &uang *ang di%angun "leh him'unan vek#"&+ H " =v 1, v #, ?, v n adalah himpunan vektor bebas linier dari ruang vektor dengan dim*n dan ! " = w1, w#, ?, wn merupakan himpunan yang ortonormal
ika # adalah ruang yang dibangun oleh w1, w#, ?, wn, maka untuk setiap vektor $ 1 dalam w1 dapat dituliskan sebagai :
$ 1 " k 1w1 % k 2w2 % ? wn k n :skalar , k k dengan k 1% 2,n….,
ika u adalah sembarang vektor dalam V , maka dapat dinyatakan sebagai -umlah dari # vektor yang saling tegak lurus :
u % $ 1 + $ 2 # , maka $ 1 merupakan proyeksi 6arena $ 1 dalam ortogonal u terhadap # !edangkan $ 2 merupakan komponen u yang tegak lurus terhadap # adi untuk menentukan $ 1 perlu ditentukan nilai k 1 yang merupakan pan-ang u terhadap w1 royeksi ortogonal u terhadap 0 1 adalah :
proy 01(u) " 01, 0#, ??, 0n merupakan vektor7vektor ortonormal
adi penulisan proyeksi ortogonal u terhadap # adalah : royw (u) " $ 1 " w1 % w# % ?? % wn (w1, w#, ??, wn merupakan himpunan vektor ortonormal) 6omponen u yang tegak lurus terhadap # B# " u 9sebagai B1 dituliskan : " u 9 01 % 0# % ?? % 0n
e#"de -&amm . S!hmid# 2engubah suatu himpunan vektor yang bebas linier men-adi himpunan yang ortonormal
S*a&a# : 'impunan yang ditransormasikan ke himpunan ortonormal adalah yang bebas linier ika
yang ditransormasikan adalah himpunan
vektor yang merupakan basis dari ruang vektor V , maka metode &ra – 'chidt akan
menghasilkan basis ortonormal untuk V
ika diketahui 6 " =v 1, v #, ?,v n merupakan himpunan yang bebas linier, maka 6 dapat diubah men-adi himpunan ! " =w1, w#, ?,wn yang ortonormal dengan menggunakan metode @ramm 9 !himdt yaitu : 1
, ini proses normalisasi yang paling sederhana
v karena melibatkan hanya 1 vektor sa-a 1 w
1
=
v
embagian1 dengan
bertu-uan agar w1 memiliki
pan-ang " 1, pada akhir langkah ini diperoleh bah0a w1 ortonormal
v1
v2 − < v2 , w1
> w1 # w2 = v2 − < v2 , w1 > w1 ada akhir langkah ini diperoleh dua vektor 01 dan 0# yang ortonormal v3 − < v3 , w1 > w1 − < v3 , w2
> w2 & w3 = v3 − < v3 , w1 > w1 − < v3 , w2 > w2 n
w
n
=
v −
n
, w1 > w1 − < v , w2
> w2 −
.... < v , w
1
> wn −1
v −
n
, w1 > w1 − < v , w2
> w2 −
.... < v , w
1
> wn −1
n
n
n
n
n
n
n−
n−
!eara umum :
wi =
vi − proy w (vi ) vi − proy w (vi )
C merupakan ruang yang dibangun oleh w1, ?, wi(1 ada metode ini, pemilihan v 1, v#, ?, vn tidak harus mengikuti urutan vektor karena basis suatu ruang vektor tidak tunggal adi dengan mengubah urutan v1, v#, ?, vn sangat memungkinkan diperoleh -a0aban yang berbeda7beda emilihan urutan dari v 1, v#, ?, vn yang disarankan adalah yang mengandung hasil kali dalam yang bernilai + yaitu " + Dalam kasus ini bisa diambil v 1 " vi dan v# " v - dan seterusnya
C"n#"h s"al $ Diketahui ' " =a, b, c dengan a " (1, 1, 1), b " ( 1, #, 1) dan c (7 1, 1, +) a) $pakah ' basis . & b) ika ya, transormasikan ' men-adi basis ortonormal dengan menggunakan hasil kali dalam ulides /a0a% $ a) 6arena dim (.&) " & dan -umlah vektor dalam ' " &, maka untuk menentukan apakah ' merupakan basis .& atau bukan yaitu dengan ara menghitung determinan matrik koefsien dari !E )* % b dengan b adalah sembarang vektor dalam . & ika det " + berarti ' bukan merupakan basis . &, sedangkan -ika det 5 +, maka vektor7vektor di ' bebas linier dan membangun . &, sehingga ' merupakan basis . &
2atrik koefsien dari !E adalah :
1 1 -1 1 2 1 1ketiga, 1 0 didapatkan : Dengan ekspansi koaktor sepan-ang baris
6arena det " 1,1berarti 1 -1 ' merupakan basis dari . &
1 2 1
=
1 -1
−
1 -1
= 3− 2 =1
b) 'asil kali dalam antara a2 , b dan 1 1c 1 1 < 1 b,c 0> " 1 "4, +, Fntuk memilih basis yang perhitungannya lebih sederhana dapat diambil : v 1 % a, v 2 % b, v % c
1. w1 =
a a
=
(1,1,1) 3
− < c, w1 > w1 2. w2 = = c − < c, w1 > w1 c
c c
=
=6arena " + b − < b, w1
(−1,1, 0) 2 < c, a > < a, c > 0 = <,0 = 1> = maka
> w1 − < b, w2 > w2 3. w3 = b − < b, w1 > w1 − < b, w2 > w2 b − 13 < b, a > a − 12 < b, c > c = b − 13 < b, a > a − 12 < b, c > c
a
a
1 1 4 1 1 b − 3 < b, a > a − 2 < b, c > c = 2 − 1 3 1 1
− 1 2
b − < b, a > a − < b, c > c = 1 3
1 1 Jadi w3 = 6 1 -2
1 2
s
−1 1 = 0
6 6
=
1 6 1 = 1 6 6 -1 3 1 6
1 1 -2
N"&malisasi him'unan "&#h"g"nal ke him'unan "&#"n"&mal Diketahui V .'D dan ' " = v 1, v 2, …., v n dalam V merupakan ortogonal dengan v 15 +, maka bisa diperoleh himpunan ortonormal yang didefnisikan sebagai : ! " = s 1, s#, ?, sn dengan
si =
vi
, i = 1, 2,......n
vi 6alau diermati, sebenarnya ini adalah rumusan @ramm 9 !himdt yang telah direduksi yaitu untuk nilai proy 0(vi) " +, akibat dari v1, v#, ? vn yang saling orthogonal roses untuk mendapatkan vektor yang ortonormal disebut men"&malisasikan vek#"&+ ika dim (G) " n, maka ! -uga merupakan basis ortonormal dari G
C"n#"h s"al $ Diketahui a, b, dalam . & dengan a " (#,71,1), b " (#, H, 1) dan "(71,+,#) ika . & merupakan .'D ulides, transor7masikan a, b, ke basis ortonormal a0ab : " +, " +, " + a
=
2
c
=
(−1) 2 + 02 + 22
2
+ (−1) + 1 = 2
2
=
6
b
=
2
2
+ 5 +1 = 2
2
30
5
2isalkan ' " =a,b, maka ' merupakan himpunan ortonormal Dim (. &) " & -adi dapat ditentukan basis ortonormal untuk . &
2isalkan :
=
a
s3 =
c
s1
a
c
=
1 6
(2, −1,1)
=
1 5
(−1, 0, 2)
s2
=
b b
=
1 30
(2,5,1)
;asis ortonormal untuk . & adalah :
{
1 6
(2, −1,1),
1 30
(2, 5,1),
1 5
}
( −1, 0, 2)
Pe&u%ahan
%asis
!uatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis ika terdapat sembarang vektor * dalam ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor ) dan sebagai basisnya, maka * tentunya merupakan kombinasi linier dari vektor ) dan
y
y
u1 v 2 x x
u2
6v 1
v 1 -v 2
x
3u2
(a )
(b )
@ambar di atas menun-ukkan # sistem koordinat dalam .# yang berbeda yaitu : basis " =u1, u# dan basis - " =v 1, v #
-1 Dengan : u1 = 2
,
2 u2 = -1
,
v1 =
1
0
,v1 =
1
1
x
Fntuk vektor * yang sama pada setiap sistem koodinat, maka penulisan koordinat vektor * yang sesuai dengan dan - adalah :
1 [ x ] B = dan [ x ] C = 3
6 -1
Fntuk menghitung * dengan mengunakan [ x ] B diperoleh
-1 * " u1 % & u#" 2
2 +3 = -1
:
5 -1
Dengan menuliskan bentuk u 1 dan u# ke v1 dan v# diperoleh :
-1 1 u1 = = −3 2 0
+2
1
= −3v1 + 2v2
2 dan u2 = -1
1 I " (7&v1 % #v#) % &(&v1 9v#) " Jv1 9 v#
1 = 3 − 0 6 [ x ] C = -1
1 1
= 3v1 − v2
ika V ruang vektor, '%/1, /2, ….,/n merupakan basis V , maka untuk sembarang * dalam *V%dituliskan: k / + k / +…… 1 1
2 2
+ k * /n
dengan k 1, k 2, ….k n skalar yang -uga disebut koordinat k * relati terhadap basis '
1 k 2 x = [ ] s k n
disebut matrik * relati terhadap basis '
ika ' merupakan basis ortonormal, maka :
< x, s1 > < x, s > 2 [ x ] s = < x, sn > ika ) %* 1,* 2 dan % 1, 2 berturut7turut merupakan basis dari V , maka untuk sembarang $ dalam V didapatkan :
[ z ]
A
dan [ z ] B
;agaimana hubungan
[ z ] A dan [ z ] B
a 2isalkan :[ x1 ] B = b
c dan [ x2 ] B = d
a didapatkan x1 = ay1 + by2 1 ] B = Dari[ x(1) b c didapatkan x2 = cy1 + dy2 2 ] B = Dari[ x(#) d
k 1 Fntuk[ z ] A =(&) k didapatkan z = k1 x1 + k2 x2 2
Dengan mensubstitusikan persamaan (1) dan (#) ke (&) diperoleh : z = k1 ( ay1 + by2 ) + k2 (cy1 + dy2 ) = (k1a + k2c) y1 + (k1b + k2 d ) y2
Kni berarti :
k1a + k2c a c k1 = = P [ z ] A [ z ] B = k1b + k2 d b d k2
disebut matrik transisi dari basis ) ke basis .
!eara umum, -ika $ " =I 1, I#, ?In dan ; " =y1, y#, ?yn berturut7turut merupakana basis dari ruang vektor G, maka matrik transisi basis $ ke basis ; adalah :
P = [ x1 ] B
[ x2 ] B
[ xn ] B
ika dapat dibalik, maka (1 merupakan matrik transisi dari basis ke basis )
C"n#"h s"al $ Diketahui : $ " = v, 0 dan ; " =I, y berturut7turut merupakan basis .# dengan v "(#,#), 0 " (&,71), I " (1,&) dan y " (71,71) /entukan : a2atrik transisi dari basis $ ke basis ;
-1 b'itung ÷ 3 'itung -1 3÷ hasil dari b
A
dengan menggunakan B
d2atrik transisi dari basis ; ke basis $
a a 2isalkan[ v ] = b B
c Dan untuk[ w] = d B
,
2 1 -1 maka = 2 3 -1
,
3 1 -1 maka = -1 3 -1
a b c d
didapatkan didapatkan
a b c d
adi matrik transisi dari basis $ ke basis ; adalah : 0 -2 P =
-2 -5
-1 k1 3÷ = k A 2 b 2isalkan
k 1 1 maka didapatkan = k 2 -1
= =
0 -2 -2 -5
0 -2 Dari (a) dan (b) didapatkan P = -2 -5
-1 dan ÷ 3
-1 -1 0 -2 1 sehingga ÷ = P = = ÷ 3 B 3 A -2 -5 -1
1 = -1
A
2 3
d 2atrik transisi dari basis ; ke basis $ adalah 71 dengan merupakan matrik transisi terhadap basis $ ke basis ; −1
adi P = -
1 4
-5 2 merupakan matrik transisi 2 0
dari basis ; ke basis $
Pe&hi#ungan 'e&u%ahan %asis sua#u ma#&ik dengan me#"de -auss1/"&dan $nggap ; " =u1?, un dan L " =v1?, vn merupakan basis dari ruang vektor G dan adalah matrik transisi basis ; ke L 6olom ke i dari adalah :
P 1 [u ] = P i
i C
ni
!ehingga : ui " 31i v 1 % ? % 3ni v n ika M adalah sembarang ui ] = [ p1i v1 + ..... + pni vn ] = p1i [ v1 ] + ...... + pni [ vn ] basis di[ G, maka : ε
ε
ε
ε
Dapat ditulis dalam bentuk matrik sebagai berikut : p1i
[ v1 ] ...... [ vn ] = [ ui ] pni ε
ε
ε
ersamaan ini dapat diselesaikan dengan eliminasi @auss 9 ordan dari matrik [ v1 ] ε ......[ vn :] ε [ ui ] ε ......[ un ] ε = [ C B ] augmented C [ Diperoleh hasil :
B]
[I
P]
Lontoh soal : Dalam 2## diketahui basis ; " =11, #1, 1#, ## dan basis L " =$, ;, L, D dengan :
1 0 A = 0 0
,
1 1 B= 0 0
,
1 C = 1
1 0
, D =
1 1 1 1
/entukan matrik transisi dari basis ; ke basis L a0ab : ika M adalah basis sembarang untuk 2## merupakan basis standar, maka dapat diperoleh :
P B →ε
1 0 = 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 1
dan
P C →ε
=
1 1 11
0 1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 1
Dengan metode @auss 9 ordan diperoleh :
[C
1 0 B] = 0 0
1 1 1
1 0 0 0
1 1 1
0 0 1 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 1
1 0 0 0
0 0 0
1 0 -1 0
1 0 0
0 -1 1 0
0 1 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
-1 1
adi matrik transisi diperoleh :
1 0 P = 0 0
0 -1 0
-1 1 0 1 0 -1 0 0 1
