Matematika Keuangan Dan Ekonomi Indra Maipita
ANUITAS BIASA
Pendahuluan Sebagai penabung setia Anda keluar sebagai pemenang hadiah undian, dan dapat memilih salah satu hadiah berikut: Menerima uang sejumlah Rp 50.000.000 sekali saja pada hari ini Menerima Rp 1.000.000 setiap 3 bulan seumur hidup mulai 3 bulan lagi Pilihan mana yang akan dipilih?
Definisi Anuitas Anuitas adalah suatu rangkaian pembayaran/penerimaan sejumlah uang, umumnya sama besar, dengan periode waktu yang sama untuk setiap pembayaran. Jenis-jenis anuitas
Anuitas biasa (ordinary annuity) Æ pembayaran dilakukan setiap akhir periode atau satu periode lagi Anuitas di muka (annuity due) Æ pembayaran dilakukan setiap awal periode atau mulai hari ini Anuitas ditunda (deferred annuity) Æ pembayaran dimulai setelah beberapa periode.
Persamaan Anuitas Nilai Sekarang −n
(1 − (1 + i) ) PV = A i dengan PV = i n A periode
(1 − (1 + i)−n ) i
= = =
present value atau nilai di awal periode atau nilai sekarang tingkat bunga per periode jumlah periode anuitas atau pembayaran per disebut faktor anuitas nilai sekarang dan dinotasikan dengan
Contoh 1 Hitunglah nilai sekarang dari uang Rp 1.000.000 yang diterima setiap tahun selama lima tahun mulai satu tahun lagi jika tingkat bunga yang relevan adalah 15% p.a. Jawab: i = 0,15 A = Rp 1.000.000 n = 5 tahun (1 − (1 + i) − n ) A PV = i (1 − (1 + 0 ,15 ) −5 ) Rp 1 .000 .000 PV = 0 ,15 PV = Rp 3 .352 .155 ,10
Menghitung Besar Cicilan
A=
PV
PV A= −n (1 − (1 + i) ) i
Contoh 2 Rina meminjam uang sebesar Rp 10.000.000 dengan bunga 12% p.a. Jika pinjaman tersebut harus ia lunasi dalam 24x cicilan bulanan, berapakah besarnya cicilan yang harus ia bayar setiap bulannya?
Jawab: PV n (PV )i1 n− A = − +
,734 72 i.4 A Rp = 70
i
= Rp 10.000.000 = 24 =
12% = 1% = 0,01 12
A=
PV
=
PV
Rp 10 .000 .000 PV = (1 − (1 + i) −n ) (1 − (1 + 0 ,01 ) −24 ) i 0 ,01 A = Rp 470 .734 ,72
A=
Menghitung Jumlah Periode
⎛ PV × i ⎞ log ⎜1 − ⎟ A ⎠ ⎝ n=− log (1 + i)
Contoh 3 KPR sebesar Rp 210.000.000 dikenakan bunga 18% p.a. Jika besarnya angsuran per bulan adalah Rp 3.783.889,18, dalam berapa lama KPR tersebut akan lunas? Jawab: PV = Rp 210.000.000 A = Rp 3.783.889,18 i
18% = 1,5% = 0,015 = 12
⎛ PV × i ⎞ log ⎜1 − ⎟ A ⎠ ⎝ n=− log (1 + i ) ⎛ Rp 210.000.000 × 0,015 ⎞ ⎟⎟ log ⎜⎜1 − Rp 3.783.889,18 ⎝ ⎠ n=− log (1 + 0,015) log 0,167523188 n=− log 1,015 n = 120 bulan atau 10 tahun Jadi, KPR tersebut akan lunas dalam 120 bulan atau 10 tahun.
Menghitung Tingkat Bunga
Pencarian nilai i dilakukan dengan metode trial and error jika menggunakan scientific calculator. Contoh 4 Sebuah perhiasan bernilai Rp 30.000.000 tunai dapat dibeli dengan 12 kali angsuran bulanan masing-masing sebesar Rp 2.758.973,49. Berapakah tingkat bunga yang dikenakan?
Jawab: A PV n
= Rp 2.758.973,49 = Rp 30.000.000 = 12
(1 − (1 + i)−n ) PV A = i (1 − (1 + i)−12 ) Rp 30.000 .000 = Rp 2.758.973,49 i Rp 30.000.000 (1 − (1 + i)−12 ) = Rp 2.758.973,49 i 10,8736
(1 − (1 + i)−12 ) = i
Dengan metode trial and error, kita memperoleh i = 1,55% per bulan atau 18,6% p.a.
Anuitas Tak Terhingga (Perpetual Annuity)
A PV = i Contoh : pertanyaan pada bagian awal presentasi dapat dijawab dengan membandingkan nilai sekarang dari kedua alternatif. Jika tingkat bunga relevan adalah 12% p.a., nilai sekarang dari Rp 1.000.000 setiap 3 bulan seumur hidup mulai 3 bulan lagi adalah: PV =
Rp 1.000.000 Rp 1.000.000 = = Rp 33.333.333,33 3% ⎛ 12% ⎞ ⎟ ⎜ ⎝ 4 ⎠
Jadi, hadiah yang harus dipilih adalah hadiah Rp 50.000.000 sekali saja pada hari ini karena nilai sekarangnya lebih besar.
Persamaan Anuitas Nilai Akan Datang
((1 + i)n − 1) FV = A i dengan FV = future value atau nilai pada akhir periode atau nilai akan datang n ((1 + i) − 1) i disebut faktor anuitas nilai akan datang dan dinotasikan dengan n i
Contoh 5 Hitunglah nilai akan datang (FV) dari tabungan Rp 1.000.000 yang disetorkan setiap tahun selama 5 tahun, mulai tahun depan, apabila tingkat bunga adalah 10% p.a. diperhitungkan tahunan. Jawab: n = 5 i = 10% = 0,1 A = Rp 1.000.000 ((1 + i)n − 1) FV = A i ((1 + 0,1)5 − 1) FV = Rp 1.000.000 0,1 FV = Rp 6.105.100
Menghitung Besar Tabungan Periodik
FV A= ((1 + i)n − 1) i
atau
A=
FV
Contoh 6 Ibu Aisyah ingin memiliki uang sebesar Rp 500.000.000 pada saat ia pensiun nanti, tepatnya 20 tahun lagi. Untuk tujuan tersebut, ia menyisihkan gajinya setiap bulan untuk ditabung di Bank Pasti Jaya. Berapakah besarnya gaji bulanan yang harus Ibu Aisyah sisihkan untuk ia tabung apabila tingkat bunga tabungan 9% p.a. perhitungan bunga bulanan?
Jawab: FV n i
= Rp 500.000.000 = 20 x 12 = 240 periode FV 9% A= = 0,75% = 0,0075 = ((1 + i)n − 1) 12
i Rp 500.000.000 A= ((1 + 0,0075 )240 − 1) 0,0075 A = Rp 748.629,78
Menghitung Jumlah Periode Tabungan
⎛ FV × i ⎞ log ⎜1 + ⎟ A ⎠ ⎝ n=− log (1 + i)
Contoh 7 Seorang pedagang kecil berencana untuk menabung Rp 1.000.000 setiap bulan agar dapat memperoleh uang sebesar Rp 200.000.000. Jika tingkat bunga tabungan yang ditawarkan adalah 6% p.a., berapa lama dia harus menabung?
Jawab: FV A i
= Rp 200.000.000 = Rp 1.000.000 6% = 0,5% = 0,005 log ⎛⎜1 + FV × i ⎞⎟ = 12 A ⎠ ⎝ n=− log (1 + i)
⎛ Rp 200.000.000 × 0,005 ⎞ ⎟⎟ log ⎜⎜1 + Rp 1.000.000 ⎝ ⎠ n=− log (1 + 0,005 ) log 2 n=− log 1,005 n = 138,976 bulan atau 139 bulan
Menghitung Tingkat Bunga Tabungan
Pencarian nilai i dilakukan dengan metode trial and error jika menggunakan scientific calculator, atau dengan tabel anuitas.
Contoh 8 Delapan kali setoran masing-masing Rp 350.000 menjadi Rp 3.342.500, berapa tingkat bunga per periode?
Jawab:
FV Rp 3 .342 .500 = = A Rp 350 .000 = 9,55
Langkah selanjutnya kita lihat pada tabel anuitas nilai akan datang, pada baris n = 8 yang angkanya mendekati 9,55. Ternyata yang mendekati adalah 9,54910888 yaitu jika i = 5% per periode. Bila kita melakukan trial and error, hasil yang diperoleh akan sama.
Pengaruh Pajak Tabungan
Jika ada pajak tabungan, maka tingkat bunga yang digunakan adalah tingkat bunga setelah pajak.
dengan
i = iat = (1 – t) ibt iat = tingkat bunga sebelum pajak ibt
= tingkat bunga sesudah pajak
Contoh 9 Hitunglah nilai akan datang (FV) dari tabungan Rp 1.000.000 yang disetorkan setiap tahun selama 5 tahun, mulai tahun depan, apabila tingkat bunga adalah 10% p.a. diperhitungkan tahunan dan terdapat pajak atas bunga tabungan sebesar 20%.
Jawab: n A i i
= = = =
5 Rp 1.000.000 iat = (1 – t) ibt (1 – 20%) 10% = 8% = 0,08
((1 + i)n − 1) FV = A i ((1 + 0,08 )5 − 1) FV = Rp 1.000.000 0,08 FV = 5,8666 × Rp 1.000.000 FV = Rp 5.866.600
Tingkat Bunga Flat Vs Tingkat Bunga Efektif
Kepada pemegang kartu kredit Visanya yang setia dan membayar tepat waktu, Bank Mandiri mulai akhir tahun 2004 menawarkan pinjaman sebesar Rp 60.000.000 (untuk mereka yang mempunyai credit limit di atas Rp 60.000.000) yang harus dilunasi dengan 12 angsuran bulanan sebesar Rp 5.300.000 dimulai satu bulan setelah pinjaman diterima, dengan perincian Rp 5.000.000 untuk pelunasan pokok (Rp 60.000.000 / 12) dan Rp 300.000 untuk pembayaran bunga bulanan (0,5% x Rp 60.000.000). Dalam promosinya, mereka menyebutkan tingkat bunga pinjaman hanya 0,5% flat per bulan.
Benarkah tingkat bunga pinjaman di Indonesia sudah sedemikian rendah? Apakah Bank Mandiri masih memperoleh laba (sedangkan bunga deposito juga sekitar 6%)?
Tingkat Bunga Flat Vs Tingkat Bunga Efektif
Tingkat bunga flat adalah tingkat bunga yang dihitung berdasarkan saldo pinjaman awal. Persamaan untuk mendapatkan tingkat bunga efektif namun kurang akurat:
2nr i= n +1
dengan
i r n
= = =
tingkat bunga efektif tingkat bunga flat lamanya periode angsuran
Untuk kasus Bank Mandiri di atas : 2 (12)(6%) i= = 11,077% 12 + 1
Sebenarnya, kita bisa mendapatkan tingkat bunga efektif yang lebih akurat dengan melakukan trial and error melalui persamaan anuitas nilai sekarang. PV
=
Rp 60.000.000 = Rp 60.000.000 = Rp 5.300.000 11,3208
=
(1 − (1 + i)−n ) A i (1 − (1 + i)−12 ) Rp 5.300.000 i (1 − (1 + i)−12 ) i (1 − (1 + i)−12 ) i
Dengan trial and error, kita akan mendapatkan i = 0,908% per bulan atau i = 10,896% p.a. ≈ 10,9% p.a.
Thank you for your attention
14
