Matematika Dengan Pemrograman Logika Menggunakan Matlab

Totok Ari Wibowo 0751001

TEKNIK ELEKTRO UMBY

Matematika Dengan Pemrograman Logika Menggunakan Matlab 1. PENDAHULUAN

Ilmu komputer secara umum diartikan sebagai ilmu yang mempelajari baik tentang komputasi, perangkat keras ( hardware ) maupun perangkat lunak ( software ). Ilmu komputer mencakup beragam topik yang berkaitan dengan komputer, mulai dari analisa abstrak algoritma sampai subyek yang lebih konkret seperti bahasa pemrograman, perangkat lunak, termasuk perangkat keras. Sebagai suatu disiplin ilmu, Ilmu Komputer lebih menekankan pada pemrograman komputer, dan rekayasa perangkat lunak (software ), sementara teknik komputer lebih cenderung berkaitan dengan hal-hal seperti perangkat keras komputer (hardware). Namun demikian, kedua istilah tersebut sering disalah-artikan oleh banyak orang. Ilmu Komputer mempelajari apa yang bisa dilakukan oleh beberapa program, dan apa yang tidak (komputabilitas dan intelegensia buatan) buatan), bagaimana program itu harus mengevaluasi mengevaluasi suatu hasil (algoritma) (algoritma), bagaimana program harus menyimpan dan mengambil bit tertentu dari suatu informasi (struktur data), data), dan bagaimana program dan pengguna berkomunikasi (antarmuka pengguna dan bahasa pemrograman) pemrograman ). Ilmu komputer berakar dari elektronika, matematika dan linguistik. Dalam tiga dekade terakhir dari abad 20, ilmu komputer telah menjadi suatu disiplin ilmu baru dan telah mengembangkan metode dan istilah sendiri. Dalam matematika dan komputasi, algoritma merupakan kumpulan perintah untuk menyelesaikan suatu masalah. Perintah-perintah ini dapat diterjemahkan secara bertahap dari awal hingga akhir. Masalah tersebut dapat berupa apa saja, dengan catatan untuk setiap masalah, ada kriteria kondisi awal yang harus dipenuhi sebelum menjalankan algoritma. Algoritma akan dapat selalu berakhir untuk semua kondisi awal yang memenuhi kriteria, dalam hal ini berbeda dengan heuristik. Algoritma sering mempunyai langkah pengulangan (iterasi) (iterasi) atau memerlukan keputusan (logika Boolean dan perbandingan ) sampai tugasnya selesai. Desain dan analisis algoritma adalah suatu cabang khusus dalam ilmu komputer yang mempelajari karakteristik dan performa dari suatu algoritma dalam menyelesaikan masalah, terlepas dari implementasi algoritma tersebut. Dalam cabang disiplin ini algoritma dipelajari secara abstrak, terlepas dari sistem komputer atau bahasa pemrograman yang digunakan. Algoritma yang berbeda dapat diterapkan pada suatu masalah dengan kriteria yang sama. Kompleksitas dari suatu algoritma merupakan ukuran seberapa banyak komputasi yang dibutuhkan algoritma tersebut untuk menyelesaikan masalah. Secara informal, algoritma

Makalah Matematika Teknik

1


TEKNIK ELEKTRO UMBY

yang dapat menyelesaikan suatu permasalahan dalam waktu yang singkat memiliki kompleksitas yang rendah, sementara algoritma yang membutuhkan waktu lama untuk menyelesaikan menyelesaikan masalahnya mempunyai kompleksitas yang tinggi. Jenis-jenis Algoritma Terdapat beragam klasifikasi algoritma dan setiap klasifikasi mempunyai alasan tersendiri. Salah satu cara untuk melakukan klasifikasi jenis-jenis algoritma adalah dengan memperhatikan paradigma dan metode yang digunakan untuk mendesain algoritma tersebut. Beberapa paradigma yang digunakan dalam menyusun suatu algoritma akan dipaparkan dibagian ini. Masing-masing paradigma dapat digunakan dalam banyak algoritma yang berbeda. a. Divide and Conquer ,

paradigma untuk membagi suatu permasalahan besar menjadi

permasalahan-permasalahan permasalahan-permasalahan yang lebih kecil. Pembagian masalah ini dilakukan terus menerus sampai ditemukan bagian masalah kecil yang mudah untuk dipecahkan . Singkatnya menyelesaikan keseluruhan masalah dengan membagi masalah besar dan kemudian memecahkan permasalahan-permasalahan permasalahan-permasalahan kecil yang terbentuk. b. Dynamic

, paradigma pemrograman dinamik akan sesuai jika programming

digunakan pada suatu masalah yang mengandung sub-struktur yang optimal (, dan mengandung beberapa bagian permasalahan yang tumpang tindih . Paradigma ini sekilas terlihat mirip dengan paradigma Divide and Conquer, sama-sama mencoba untuk membagi permasalahan menjadi sub permasalahan yang lebih kecil, tapi secara intrinsik ada perbedaan dari karakter permasalahan yang dihadapi. c. Metode serakah.

Sebuah algoritma serakah mirip dengan sebuah Pemrograman

dinamik, bedanya jawaban dari submasalah tidak perlu diketahui dalam setiap tahap; dan menggunakan menggunakan pilihan "serakah" apa yang dilihat terbaik pada saat itu.

2. PEMROGRAMAN MENGGUNAKAN MATLAB

Matlab dikembangkan dikembangkan

sebagai bahasa pemrogrman pemrogrman sekaligus sekaligus alat visualisasi visualisasi yang

menawarkan banyak kemampuan untuk menyelesaikan berbagai kasus yang berhubungan langsung dengan matematika, rekayasa teknik, fisika, statistika, komputasi dan modeling. Matlab dibangun dari bahasa induknya yaitu bahasa C, namun tidak dapat dikatakan sebagai varian dari C, karena dalam sintak maupun cara kerjanya sama sekali berbeda dengan C. Namun dengan hubungan langsungnya terhadap C, Matlab memiliki kelebihan-kelebihan bahasa C bahkan mampu berjalan pada semua platform Sistem


2


TEKNIK ELEKTRO UMBY

Operasi tanpa mengalami perubahan sintak sama sekali. sekali. Matlab merupakan singkatan dari Matric Laboratory, yakni merupakan bahasa pemrograman haig perpomace, bahasa pemrograman level tinggi yang khususnya untuk komputasi teknis. Bahasa ini mengintegrasikan kemampuan komputasi, visualisasi dan pemrograman dalam sebuah lingkungan yang tunggal dan mudah digunakan.

2.1. Konsep 2.1. Konsep Algoritma Algoritma merupakan merupakan pondasi pondasi yang harus dikuasai dikuasai oleh setiap mahasiswa yang

ingin

menyelesaikan suatu masalah secara berstruktur, efektif, dan efisien, teristimewa lagi bagi mahasiswa yang ingin menyusun program komputer untuk menyelesaikan suatu persoalan. Konsep dan dasar-dasar penyusunan algoritma akan dibahas di bawah ini. Definisi Algoritma: 1. Teknik penyusunan langkah-langkah penyelesaian masalah dalam bentuk kalimat dengan jumlah kata terbatas, tetapi tersusun secara logis dan sistematis. 2. Suatu

prosedur

yang

jelas

untuk

menyelesaikan

suatu persoalan

dengan

menggunakan menggunakan langkah-langkah tertentu dan terbatas jumlahnya. 3. Algoritma adalah sekelompok aturan untuk menyelesaikan perhitungan yang dilakukan oleh tangan atau mesin. 4. Algoritma

adalah

langkah

demi

langkah

sebuh

prosedur

berhingga

yang

dibutuhkan untuk menghasilkan sebuh penyelesaian 5. Algoritma adalah langkah – langkah langkah perhitungan yang mentransformasikan dari nilai masukan menjadi keluaran 6. Algoritma adalah urutan operasi yang dilakukan terhadap data yang terorganisir dalam struktur data 7. Algoritma adalah sebuah program abstrak yang dapat dieksekusi secara fisik oleh mesin 8. Algoritma adalah sebuah model perhitungan yang dilakukan oleh computer

2.2. Ciri Algoritma Donald E. Knuth, seorang penulis beberapa buku algoritma abad XX, menyatakan bahwa ada beberapa ciri algoritma, yaitu:


3


TEKNIK ELEKTRO UMBY

a. Algoritma mempunyai awal dan akhir. Suatu algoritma harus berhenti setelah mengerjakan serangkaian tugas atau dengan kata lain suatu algoritma memiliki langkah yang terbatas. b. Setiap langkah harus didefinisikan dengan tepat sehingga tidak memiliki arti ganda (not ambiguous). c. Memiliki masukan (input) atau kondisi awal. d. Memiliki keluaran (output) atau kondisi akhir. e. Algoritma harus efektif; bila diikuti benar-benar akan menyelesaikan persoalan. persoalan. Algoritma bisa ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya sebagai berikut:

2.3. Sifat Algoritma Berdasarkan ciri algoritma yang dipaparkan oleh Donald Knuth dan definisi Algoritma maka dapat disimpulkan sifat utama suatu algoritma, yaitu sebagai berikut: a. input: Suatu algoritma memiliki input atau kondisi awal sebelum algoritma dilaksanakan dan bisa berupa nilai-nilai pengubah yang diambil dari himpunan khusus. b. output: Suatu algoritma akan menghasilkan menghasilkan output setelah dilaksanakan, atau algoritma akan mengubah kondisi awal menjadi kondisi akhir, di mana nilai output diperoleh dari nilai input yang telah diproses melalui algoritma. c. definiteness: Langkah-langkah Langkah-langkah yang dituliskan dalam algoritma terdefinisidengan jelas sehingga mudah dilaksanakan oleh pengguna algoritma. d. finiteness: Suatu algoritma harus memberi kondisi akhir atau output setelah melakukan sejumlah langkah yang terbatas jumlahnya untuk setiap kondisi awal awal atau atau input yang diberikan. e. effectiveness: Setiap langkah dalam algoritma bisa dilaksanakan dalam suatu selang waktu tertentu sehingga pada akhimya memberi solusi sesuai yang diharapkan.


4


TEKNIK ELEKTRO UMBY

f. generality: Langkah-langkah Langkah-langkah algoritma berlaku untuk setiap himpunan input yang sesuai dengan

persoalan

yang akan diberikan, dib erikan,

tidak hanya han ya untuk himpunan

tertentu.

Agar bentuk algoritma dan proses penyusunannya dapat mulai dipahami maka berikut ini akan diuraikan proses pembuatan algoritma mulai bentuk yang menggunakan bahasa sehari-hari, disusul penjelasan format algoritma yang dapat dijadikan acuan, dan beberapa contoh pembuatan algoritma yang mengikuti format tersebut. Contoh : Susun algoritma untuk mencari angka terbesar (maksimum) dari suatu Kumpulan bilangan bulat yang terbatas jumlahnya .

Solusi: 1. Anggaplah angka pertama dalam kumpulan tersebut adalah yang terbesar (maksimum). 2. Bandingkan angka maksimum ini dengan angka berikutnya dalam kumpulan. Bila angka berikut tersebut lebih besar maka jadikanlah maksimum. 3. Ulangi langkah 2 ini sehingga tidak ada lagi l agi angka yang tersisa dalam himpunan. 4. Hentikan pembandingan setelah semua angka selesai dibandingkan sehingga angka terbesar dalam himpunan tersebut adalah angka maksimum m aksimum terakhir. Solusi tersebut dalam bentuk simbol instruksi adalah sebagai berikut : andaikan N = banyaknya angka dalam himpunan 

index = 1



maksimum = angka(index)



selama index < N , lakukan:

oindex = index + 1 obila angka(index) > maksimum maka maksimum = angka (index) oulangi lagi untuk index berikutnya 

angka terbesar dalam himpunan adalah maksimum terakhir.

Struktur Algoritma

2.4. Struktur Algoritma Agar algoritma dapat ditulis lebih teratur maka sebaiknya dibagi ke dalam beberapa bagian. Salah satu struktur yang sering dijadikan patokan adalah berikut:


5


TEKNIK ELEKTRO UMBY



Bagian Kepala (Header): memuat nama algoritma serta informasi atau keterangan tentang algoritma yang ditulis.



Bagian Deklarasi/Definisi Variabel: memuat definisi tentang nama variabel, nama tetapan, nama prosedur, nama fungsi, tipe data yang akan digunakan dalam algoritma.

oBagian

Deskripsi /Rincian

Langkah: memuat

langkah-langkah penyelesaian

masalah, termasuk beberapa perintah seperti baca data, tampilkan, ulangi, yang mengubah data input menjadi output, dan sebagainya

3. KONSEP DASAR MATLAB

3.1. Fungsi Matematika Umum Fungsi matematika umum dalam MATLAB terdiri atas fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, fungsi berkait bilangan kompleks serta fungsi pembulatan dan sisa. Pada sub bagian berikut akan diuraikan fungsi-fungsi tersebut lengkap dengan syntax-nya dalam MATLAB. (note: tanda “

“ menunjukkan syntaxnya dan “x” adalah bilangan

konstan ).

3.1.1. Fungsi Trigonometri

Fungsi dasar trigonometri terdiri atas sinus, cosinus dan tangen. Fungsi tersebut dikembangkan dikembangkan

menjadi

trigonometri dapat

secan,

cosecan dan

dikembangkan dikembangkan

menjadi

cotangen. Lebih

lanjut fungsi-fungsi

bentuk hiperbolik. Operasi yang dapat

dilakukan pada fungsi tersebut adalah pencarian nilai dan invers (Arcus disingkatArc). Dalam MATLAB, setiap fungsi trigonometri mempunyai mempunyai syntax tersendiri. Fungsi trigonometri lengkap dengan syntaxnya akan diperlihatkan pads uraian berikut: 

Fungsi sinus Sinus x sin (x) : Arc sinus x asin (x) Sinus hiperbolik x sinh (x) : Arc sinus hiperbolik x asinh (x)



Fungsi cosinus Cosinus x cos (x) : Arc cosinus x acos (x) Cosinus hiperbolik x cosh (x) : Arc cosinus hiperbollk x acosh (x)



Fungsi Tangen Tangen x tan (x): rc tangen x atan (x) Tangen hiperbolik hiperbolik x tanh (x): Arc tangen hiperbolik x atanh (x)


6


TEKNIK ELEKTRO UMBY

Fungsi Secan



Secan x sec (x): Arc secan x asec (x) Secan hiperbolik x sech (x) : Arc secan hiperbolik asech (x) Fungsi Cosecan



Cosecan x csc (x) : Arc cosecan x acsc (x) Cosecan hiperbolik x csch (x) :Arc cosecan hiperbolik x acsch (x) Fungsi Cotangen



Cotangen x cot (x) : Arc Cotangen x acot (x) Cotangen hiperbolik x coth (x) : Arc cotan hiperbolik x acoth (x)

3.1.2. Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial secara matematis mempunyai beberapa bentuk. Pada uraian berikut akan diperlihatkan beberapa fungsi eksponensial lengkap dengan syntax-nya. 

Eksponensial :

exp (x) , fungsi ini digunakan untuk mencari nilai e x ,

dengan e adalah bilangan natural (e=2,718281824459... (e=2,718281824459... ). 

Logari Logaritma tma berba berbasis sis bilang bilangan an natura naturall (e)

log x atau atau In x log (x), fungsi fungsi ini

digunakan untuk mencari nilai logaritma berbasis e x 

Logaritma berbasis bilangan konstan, misal y

log x’

1ogy (x) , fungsi ini digunakan untuk mencari mencari nilai logaritma logaritma berbasis y. y. Jadi, logaritma berbasis 10 tidak seperti biasanya yaitu ditulis dengan log x saja, tetapi diangg dianggap ap sebag sebagai ai bilang bilangan an y. Jadi, Jadi, dalam dalam MATLAB MATLAB 

Akar pangkat dua:

1og x di di tul tul is log10 log10 (x). (x).

sqrt (x), fungsi ini berguna untuk mencari akar pangkat

dua dari x.

3.1.3. Fungsi yang berkait bilangan kompleks

Fungsi yang berkait bilangan kompleks, dalam MATLAB dituliskan dengan penambahan

"i"

atau"j"

dibelakang

bilangan

pokok.

Bilangan

kompleks

dapat

dinyatakan dalam bentuk real atau sebaliknya. Pada uraian berikut diperlihatkan beberapa fungsi eksponensial lengkap dengan syntax-nya. 

Nilai mutlak:

, digunakan untuk mencari nilai mutlak bilangan x

atau -x


7


TEKNIK ELEKTRO UMBY



Nilai riff

, digunakan

untuk

mengambil

nilai

real

dari bilangan

kompleks 

Nilai

imajiner

, digunakan untuk mengambil nilai

imajiner dari ix atau jx bilangan kompleks. Fungsi pembulatan dan sisa menuliskan bilangan rill dalam bentuk bilangan bulat positif atau negatif.

3.1.4. Pembulatan menuju integer terdekat: round (x), fungsi ini digunakan

Fungsi pembulatan dan sisa dalam MATLAB, digunakan untuk 

untuk membulatkan x ke nilai integer terdekat. Misal : round (3.84) menghasilkan 4 dan round (-3.84) menghasilkan -4 round (0.52) menghasilkan 1 dan round (-0.52) menghasilkan -1



Pendekatan menuju nol : → fix (x), fungsi ini digunakan untuk membulatkan x ke nilai yang lebih dekat 0. Misal: fix (3.84) menghasilkan 3 dan fix (-3. 84) menghasilkan -3 fix (5.32) menghasilkan 5 dan fix (-5.32) menghasilkan – menghasilkan – 5 5 fix (0.52) menghasilkan 0 dan fix (-0.52) menghasilkan 0



Pembulatan menuju -∞ -∞ : → flor (x), fungsi ini digunakan untuk membulatkan x ke nilai yang lebih mendekati -∞. -∞. Misal: flor (3.84) menghasilkan 3 dan f lor(-3.84) menghasilkan -4 flor (5.32) menghasilkan 5 dan flor (-5.32) menghasilkan -5 flor (0.52) menghasilkan 0 dan f lor (-0.52) menghasilkan -1



Pembulatan menuju +∞ : → ceil (x), fungsi ini digunakan untuk membulatkan x ke nilai yang lebih dekat +∞. Misal: ceil (3.84) menghasilkan 4 clan ceil (-3.84) ( -3.84) menghasilkan -4 ceil (5.32) menghasilkan 5 clan ceil (-5.32)menghasilka ( -5.32)menghasilkan n -5 ceil (0.52) menghasilkan 4 clan ceil (-0.52) ( -0.52) menghasilkan 0


8


TEKNIK ELEKTRO UMBY

Sisa setelah pembagian: → rem (x, y), fungsi ini digunakan untuk mengambil sisa



dari x/y dengan tanda yang sama dengan x. Misal: rem (15.2) menghasilkan 1 clan rem (-15.2)menghasilkan -1 rem (-13.5) menghasilkan - 3 dan rem (13.5) menghasilkan 3

3.2. Operator Logika dan Relasional Pengaturan alur program memungkinkan pengguna untuk mengulangi perhitungan secara

berulang-ulang

ataupun

memilih

serta

memutuskan

kondisi-kondisi

yang

sesuai/diinginkan. 

Digunakan untuk menjawab pertanyaan dengan jawaban benar atau salah



Untuk mengontrol urutan eksekusi



Hasilnya memuat 1 (benar) atau 0 (salah) ( salah)

Relasi

Deskripsi

&

AND (dan)

|

OR (atau)

~

NOT (negasi)

Relasi

Deskripsi

<

Kurang dari

>

Lebih dari

<=

Kurang dari atau sama dengan

>=

Lebih dari atau sama dengan

==

Sama dengan

~=

Tidak sama dengan


9


TEKNIK ELEKTRO UMBY

Beberapa penggunaan operator aritmatika antara dua operand (A dan B) ditunjukkan pada tabel berikut ini :

Beberapa fungsi matematika lainnya yang dapat kita gunakan untuk operasi matematika antara lain sebagai berikut: abs(x)

: fungsi untuk menghasilkan nilai absolut dari x

sign(x)

: fungsi untuk menghasilkan nilai -1 jika x<0, 0 jika x=0 dan 1 jika x>1

exp(x) : untuk menghasilkan menghasilkan nilai eksponensian natural, natural, log(x) : untuk menghasilkan menghasilkan nilai logaritma natural natural x, ln x log10(x)

: untuk menghasilkan menghasilkan nilai logaritma dengan basis 10, x

sqrt(x)

: untuk menghasilkan menghasilkan akar dari nilai x,

rem(x,y)

: untuk menghasilkan menghasilkan nilai modulus (sisa pembagian) x terhadap y

3.3. Statement if Statement if akan mengeksekusi mengeksekusi sekumpulan instruksi apabila suatu kondisi yang diisyaratkan bemilai benar. Statement if diakhiri dengan end. Jika ada kondisi yang berlawanan ( false), statement if dapat diikuti dengan statement else atau elseif . Contoh : x=input('Masukan bilangan bulat x=') if rem(x,2)==0 x='

== GENAP==’

else x='

== GANJIL =='

end

Contoh ini akan mengidentifikasi sifat bilangan X, apakah termasuk bilangan ganjil atau genap.


10


TEKNIK ELEKTRO UMBY

3.4. Statement switch Statement switch akan mengeksekusi mengeksekusi sekumpulan instruksi didasarkan pada nilai dari suatu ekspresi atau variabel. Statement switch diikuti dengan case dan otherwise untuk menunjukan suatu group dalam looping. Statement ini diakhiri dengan end. Contoh : c l e a r ; X= input ('masukkan bilangan bulat X='); Y= input (‘masukkan pembagi

Y=' ) ;

Sisa = rem(X,Y) swi tch Si sa case 1 0 Nilai Sisa = 'A' case 11 Nilai sisa = 'B' Case 12 Nilai sisa = 'C ' case 13 Nilai sisa ='D' case 14 Nilai sisa ='E' Other wise

Nilai Sisa = int2str ( s i s a ) % konversi integer ke string end; Contoh ini mengambil sisa pembagi dari X/Y kemudian dikelompokkan dalam bentuk abjad. Jika program tersebut dijalankan, pada Command Window akan tampil 6 kemungkinan, kemungkinan, yaitu: Jika Sisa=10, maka Nilaisisa=A Jika Sisa=11, maka Nilaisisa=B Jika Sisa=12, maka Nilaisisa=C Jika Sisa=13, maka Nilaisisa=D Jika Sisa=14, maka Nilaisisa=E Jika Sisa=bilangan lain, Nilaisisa=Sisa


11


TEKNIK ELEKTRO UMBY

3.5.

Statement for

Statement for digunakan untuk mengulang sekumpulan instruksi hingga n kali (notasi n adalah bilangan integer yang telah diidentifikasi sebelumnya). Statement for diakhiri dengan end. Contoh : X=rand(50,1) Xmax=realmin for i=1:50 if X(i)>Xmax Xmax=X(i) end; end;

Contoh ini memperagakan memperagakan cara mencad nilai terbesar dari array x. Nilai Nilai tersebut akan disimpan dalam variabel x

3.6.

Statement while Statement while mengerjakan sekelompok perintah yang diulang secara tidak

terbatas. Statement while diakhiri dengan end. Perintah antara loop while dan end dieksekusi berulang kali selama semua elemen dalam ekspresi bernilai benar. Contoh : hitungan=0; x =1: while (1+ x)>l x = x/2 hitungan=hitungan+l end

Contoh ini memperagakan memperagakan cara menghitung nilai

terkecil yang yang dapat ditambah pada 1

sedemikian hingga hasilnya lebih besar dari dengan menggunakan presisi hingga. Selama (1 +X) > 1 benar, perintah perintah yang terdapat dalam dalam loop while while akan dikerjakan terus menerus. Karena X terus menerus dibagi 2, maka X semakin kecil hingga didapat suatu kondisi yang unik, yaitu penambahan X pada 1 tidak mendapatkan hasil yang lebih besar dari 1 menurut hitungan komputasi. Jika kondisi tersebut terpenuhi, maka loop while while berhenti berhenti bekerja atau kondisi (1+X)> 1 bernilai salah. Kondisi tersebut dicapai pada hitungan ke53.


12


TEKNIK ELEKTRO UMBY

4. APLIKASI LOGIKA MATEMATIKA MATLAB

4.1. Window-window pada MATLAB Ada beberapa macam window yang tersedia dalam MATLAB, yang dapat dijelaskan sebagai berikut: 4.1.1.

MATLAB Command window/editor

MATLAB Command window/editor merupakan window yang dibuka pertama kali setiap kali MATLAB dijalankan

pada window di atas dapat dilakukan akses-akses ke command- command MATLAB dengan cara mengetikkan mengetikkan barisan-barisan barisan-barisan ekpresi MATLAB, seperti seperti mengakses mengakses help window dan lain-lainnya. Jika perintah-perintah perintah-perintah yang yang sudah diketikkan dan hasil hasil yang ditampilkan pada pada layar layar command window window akan disimpan disimpan maka dapat dilakukan dilakukan dengan menggunkan menggunkan command diary. Sebagai Sebagai contoh jika ingin disimpan output m = 1

2

3

5

2

1

direktori c:\backup c:\backup dengan nama file mydata.txt, maka maka dapat dilakukan dilakukan dengan dengan mengetikan : » m=[1 2 3;5 2 1] m = 1

2

3

5

2

1

» diary 'c:\backup\mydata.txt'

dan jika ingin menutup file ini maka ketikkan Makalah Matematika Teknik

13


TEKNIK ELEKTRO UMBY

» diary off

4.1.2. MATLAB 4.1.2. MATLAB Editor/Debugger (Editor M-File/Pencarian Kesalahan)

Window ini merupakan tool yang yang disediakan oleh Matlab 5 keatas. Berfungsi Berfungsi sebagai editor script Matlab Matlab (M-file). Walaupun sebenarnya script ini untuk pemrograman Matlab dapat saja menggunakan editor yang lain seperi notepad, wordpad bahkan word. Untuk mengakses window m-file ini dapat dilakukan dengan cara : 1. Memilih File kemudian pilih New 2. Pilih m-file, maka MATLAB akan menampilkan editor window :

selain dengan cara di atas untuk menampilkan editor M File ini dapat juga dilakukan dengan : >> edit

Bahasan tentang m-file akan dibahas pada bab selanjutnya.

4.1.3. Figure Windows

Window ini adalah hasil visualisasi dari script Matlab. Namun Matlab memberi kemudahan bagi programer untuk mengedit window ini sekaligus memberikan program khusus untuk itu. Sehingga Sehingga window ini selain berfungsi sebagai sebagai visualisasi output dapat dapat juga sekaligus menjadi media input yang interaktif. Contoh : >> x=0:2:360; >> y=sin(x*pi/180); >> plot(x,y)


14


TEKNIK ELEKTRO UMBY

hasil yang diperoleh adalah :

4.2. Pengaturan alur program 4.2.1. Loop for

Loop for memungkinkan sekelompok perintah diulang sebanyak suatu jumlah yang tetap. Bentuk umum: for loopvariable = loopexpression perintah-perintah end

Loopvariable merpakan nama variabel variabel yang yang diberikan, diberikan, sedangkan sedangkan loopexpression biasanya memiliki bentuk n:m atau n:i:m. Perintah-perintah di antara baris for dan end dikerjakan berulang-ulang dari nilai awal n sampai sampai nilai akhir m, dengan dengan increment (langkah) sebesar i. Perhitungan bilangan kuadrat dari himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 5 >> for n = 1:5 x(n) = n^2 end

x =


15


TEKNIK ELEKTRO UMBY

1

x = 1

4

1

4

9

1

4

9

x =

x = 16

x = 4

9

16

25

Perhatikanlah hasil keluaran yang terbentuk bila tanda ditambahkan tanda (;) pada perintah di antara for-end Bandingkan bila penulisan perintah perhitungan x(n) = n^2 ditulis x = n^2. Operasi perkalian 2 buah vector >> x = [1 2 3]; >> y = [4 5 6]; >> sum = 0; >> for i = 1:3 sum = sum + x(i)*y(i) end

sum = 4 sum = 14

sum = 32


16


TEKNIK ELEKTRO UMBY

4.2.2. Loop while

Bentuk umum: while

while_expression perintah-perintah

end

While_expression merupakan bentuk hubungan hubungan e1•e2 e1•e2 dimana e1 dan e2 merupakan ekspresi aritmatika biasa dan • merupakan operator relasi yang didefinisikan sebagai berikut: > lebih besar

>= lebih besar atau sama dengan

< lebih kecil

<= lebih kecil atau sama dengan

== sama

-= tidak sama

Perintah-perintah di antara baris while dan end dikerjakan berulang kali selama hubungan e1•e2 dalam ekspresi ekspresi terpenuhi. >> n = 1; >> x = 0; >> while x < 20 x(n) = n^2; n = n+1; end >> x x = 1

4

9

16

2

4.2.3. If-Statement

Bentuk umum: if if_ekspresi perintah-perintah end

If_ekspresi juga mengikuti bentuk hubungan e1•e2. Perintah -perintah di antara baris if dan end dikerjakan jika semua elemen di dalam ekspresi benar. Contoh permasalahan permasalahan Sebuah toko yang menjual buah-buahan menetapkan akan memberikan potongan harga sebesar 20% bila pelanggannya membeli apel lebih dari 10. clc Makalah Matematika Teknik

17


TEKNIK ELEKTRO UMBY

apel

= input('Apel yang dibeli = ');

bayar = apel * 1000;

if apel > 5 bayar = (1-20/100)*bayar; end disp(['Jumlah yang harus dibayar = Rp ', num2str(bayar)])

Running Program: Apel yang dibeli = 5 Jumlah yang harus dibayar = Rp 5000

Apel yang dibeli = 10 Jumlah yang harus dibayar = Rp 8000

if-else-end

Pada kasus dengan dua pilihan, konstruksi if-else-end adalah: if if_ekspresi perintah dikerjakan jika benar else perintah dikerjakan jika salah end

Contoh permasalahan permasalahan Penentuan kelulusan seorang siswa berdasarkan dua buah ujian yang diikutinya. Ditetapkan bahwa siswa yang lulus harus memiliki nilai rata-rata minimal 60. clc nama = input('Nama Siswa

= ', 's');

N1

= input('Nilai Ujian 1 = ');

N2

= input('Nilai Ujian 2 = ');

NR = (N1+N2)/2;

if NR > 60 ket = 'lulus'; else ket = 'gagal'; end disp(' ') disp(['Nama


= ', nama])

18


TEKNIK ELEKTRO UMBY

disp(['Nilai rata-rata = ', num2str(NR)]) disp(['Hasil akhir

= ', ket])

Running Program Nama Siswa

= A

Nilai Ujian 1 = 60 Nilai Ujian 2 = 70

Nama

= A

Nilai rata-rata = 65 Hasil akhir

= lulus

Jika terdapat 3 atau lebih pilihan, konstruksi if-else-end mengambil bentuk: if if_ekspresi1 perintah dikerjakan jika if_ekspresi1 benar elseif

if_ekspresi2

perintah dikerjakan jika if_ekspresi2 benar elseif

if_ekspresi3

perintah dikerjakan jika if_ekspresi3 benar elseif

if_ekspresi4

perintah dikerjakan jika if_ekspresi4 benar elseif ……

. . else perintah dikerjakan jika tidak ada if_ekspresi yang benar end

4.2.4. Switch-case-otherwise

Bentuk umum:

switch ekspresi case ekspresi1 perintah-perintah case

ekspresi2

perintah-perintah case ….

.


19


TEKNIK ELEKTRO UMBY

otherwise perintah-perintah end

contoh aplikasi clc disp('1. Metoda Substitusi Berurut') disp('2. Metoda Newton-Raphson') disp('3. Metoda Tali Busur')

n = input('Metoda yang dipilih = '); switch n case (1), disp('Metoda Substitusi Berurut') case (2), disp('Metoda Newton-Raphson') case (3), disp('Metoda Tali Busur') otherwise disp('Metoda tidak termasuk dalam daftar') end

4.3. Berpikir 4.3. Berpikir secara matrix Banyak hal bisa diselesaikan secara lebih sederhana bila penyelesaian yang dibuat didasarkan kepada bentuk matriks. Dapat diasumsikan bahwa didalam matlab setiap data akan disimpan dalam bentuk matriks. Dalam membuat suatu data matriks pada matlab, setiap isi data harus dimulai dari kurung siku ‘[‘ dan diakhiri dengan kurung siku tutup ‘]’. Untuk membuat variabel dengan data yang terdiri beberapa baris, gunakan tanda ‘titik koma’ (;) untuk memisahkan data tiap barisnya. Contoh pembuatan data matriks pada matlab: >> DataMatriks = [1 2 3;4 5 6] DataMatriks = 1

2

3

4

5

6

Matlab menyediakan beberapa fungsi yang dapat kita gunakan untuk menghasilkan bentukbentuk matriks yang diinginkan. Fungsi-fungsi tersebut antara lain: • zeros : untuk untuk membuat matriks yang yang semua datanya bernilai 0 • ones

: matriks yang semua datanya bernilai 1

• rand

: matriks dengan data random dengan menggunakan distribusi uniform


20


TEKNIK ELEKTRO UMBY

• randn : matris dengan data random random dengan menggunakan distribusi normal • eye

: untuk menghasilkan matriks identitas

contoh penggunaan fungsi-fungsi diatas: >> a = zeros(2,3)

a =

0

0 0

0 0

0

>> b = ones(1,3)

b =

1

1

1

>> c = rand(2,2)

c =

0.9501

0.6068

0.2311

0.4860

>> d = rand (1,4)

d =

0.8214

0.4447

0.6154

0.7919

>> e = eye(3,3)

e =

1

0

0

0

1

0

0

0

1


21


TEKNIK ELEKTRO UMBY

Untuk memanggil isi dari suatu data matriks, mat riks, gunakan tanda kurung ‘()’ dengan isi indeks dari data yang akan dipanggil. Contoh penggunaan : >> c(2,2)

ans =

0.4860

Untuk pemanggilan data berurutan seperti a(1,2,3) dapat disingkat dengan menggunakan tanda titik dua ‘:’ sehingga menjadi a(1:2). Penggunaan tanda titik dua ‘:’ juga dapat digunakan untuk memanggil data matriks perbaris atau perkolom. Contoh penggunaan: c(2:5) = memanggil memanggil data data matrik baris 2 sampai baris 5 a(1,:)

= memanggil data matriks pada baris pertama

b(:,3)

= memanggil data matris pada kolom ketiga

Contoh aplikasi pembagian pada matlab menggunaka m enggunakan n logika. . Pada Matlab dibentuk empat m-file sebagai berikut:

evalgint.m

function y=evalgint(A) y = A(1)^2 + A(2)^2;

%dengan A : matriks ukuran 1 x 2

multgint.m

function [a,b]=multgint(A,B) a1 = A(1)+A(2)*i; a2 = B(1)+B(2)*i; a = real(a1*a2); b = imag(a1*a2);

%dengan A dan B : matriks ukuran 1 x 2


22


TEKNIK ELEKTRO UMBY

subrat.m

function [x1,x2]=subrat(a,b) c = ceil(abs(a)/b);

if ((c*b-abs(a))/b <= 1/2) x1 = c; x2 = abs(a)-c*b; else x1 = c-1; x2 = abs(a)-x1*b; end;

if (a < 0) x1 = -x1; x2 = -x2; end;

%dengan a dan b : bilangan bulat, b tidak 0, b positif

divalggint.m

function [P,R]=divalggint(A,B) P = zeros(1,2); R = zeros(1,2);

v1 = evalgint(A); v2 = evalgint(B); if (v1 < v2) P(1)

= 0;

P(2)

= 0;

R(1)

= A(1);

R(2)

= A(2);

else d = evalgint(B); c1 = A(1)*B(1) + A(2)*B(2);


23


TEKNIK ELEKTRO UMBY

c2 = A(2)*B(1) - A(1)*B(2);

[e1 e2] = subrat(c1,d); [e3 e4] = subrat(c2,d);

P(1) = e1; P(2) = e3;

[r1 r2] = multgint(B,[e2 e4]);

R(1) = r1/d; R(2) = r2/d; end;

%dengan A dan B : matriks ukuran 1 x 2

Pada program ini, Gaussian Integer dinyatakan sebagai matriks berukuran 1 x 2, misalkan a + bi ϵ Z [i] maka matriks yang yang dimaksud adalah [ a b ] .

Fungsi evalgint digunakan digunakan sebagai sebagai fungsi evaluasi v , yaitu evalgint ([a b]) = a2 + b2 Fungsi multgint digunakan sebagai fungsi untuk menghitung perkalian x,y dengan x,y ∈ Z[i], yaitu multgint ([a b], [c d]) = [(ac – [(ac – bd) bd) (bc + ad)]. Fungsi divalggint digunakan untuk mencari nilai p,r ∈ Z [i] yang memenuhi a = bp + r dengan r = 0

atau v ( r ) < v ( y ) .

Contoh penggunaan program >> evalgint([3 -1])

ans =

10

Artinya, mencari nilai

>> [m1,m2]=multgint([-4 2],[3 -1])

m1 =


24


TEKNIK ELEKTRO UMBY

-10

m2 =

10

Artinya, menghtung perkalian ( -4 + 2i ) dengan ( 3 – 1 – 1 ), yaitu (-4 + 2i ) ( 3 – 3 – II ) =

>> [a,b]=subrat(3,4)

a =

1

b =

-1

Artinya,

>> [P, R] = divalggint([-5 -1],[3 -1])

P =

-2

-1

2

0

R =

Artinya, (-5 + I ) = ( 3 – i ) ( -2 – i ) + 2


25

Matematika Dengan Pemrograman Logika Menggunakan Matlab

Recommend Documents