Modul karya Mahasiswi Pendidikan Matematika UHAMKA dalam memenuhi tugas mata kuliah Pengantar Dasar MatematikaFull description
Full description
Deskripsi lengkap
Logika MatematikaFull description
Full description
RPP Matematika Logika untuk SMA Kelas X Semester Genap
Full description
cek
Full description
Deskripsi lengkap
RPP Matematika Logika untuk SMA Kelas X Semester GenapDeskripsi lengkap
Deskripsi lengkap
Modul logika matematika tingkat universitasDeskripsi lengkap
8.
Aturan Bukti Bersyarat
Pada kegiatan belajar sebelumnya telah dibahas bagaimana cara membuktikan keabsahan argumen dengan bukti formal. Salah satu cara yang digunakan dikenal dengan bukti formal dengan cara langsung dan disingkat dengan Bukti Langsung. Akan tetapi tidak semua argumen dapat dibuktikan dengan bukti langsung. Cara lain untuk membuktikan keabsahan argumen dengan bukti formal yaitu dengan Aturan Bukti Bersyarat (ABB). Catatan: Yang perlu diingat bahwa ABB dapat digunakan apabila konklusi argumen
tersebut merupakan implikasi. Adapun langkah-langkah pembuktian Aturan Bukti Bersyarat yaitu sebagai berikut. 1) Menulis premis-premis yang diketahui. 2) Menarik anteseden dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan) dan konsekuennya merupakan konklusi dari argument (konklusi baru). 3) Menggunakan
aturan
penyirnpulan
dan
hukum
penggantian
untuk
menemukan konlusi sesuai dengan konklusi baru. Prosedur ABB dapat dilakukan karena didasarkan pada prinsip eksportasi bahwa ⇒ ( ⇒ ) ≡ ( ∧ ) ⇒ . Kita ingat bahwa ada hubungan yang erat antara argumen sah/valid dengan implikasi logis sehingga kebenaran prosedur ABB mudah kita terima dengan penjelasan berikut. Langkah 1
Implikasi Logis
Argumen
⇒ ( ⇒ )
∴⇒
2
( ∧ ) ) ⇒
A
∴
24
Penjelasan di atas menunjukkan bahwa karena ⇒ ( ⇒ ) ≡ ( ∧ ) ⇒ maka argumen
/∴ ⇒ sah/valid dan argumen , /∴ juga sah/valid.
Keterangan di atas akan lebih mudah diterima dengan memperhatikan contoh berikut. Contoh: Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Aturan Bukti Bersyarat.
( ∨ ) ⇒ ( ∧ ) ( ∨ ) ⇒ ∴ ⇒ Penyelesaian: Perhatikan bahwa konklusinya berbentuk implikasi ⇒ dengan anteseden dan konsekuen sehingga Aturan Bukti Bersyarat dapat digunakan. 1.
( ∨ ) ⇒ ( ∧ )
(premis 1)
2.
( ∨ ) ⇒
(premis 2)
3.
/ ∴
(premis tambahan dan konklusi baru)
4.
∨
(3 Aturan Penambahan )
5.
∧
(1,4 Modus Ponens)
6.
(5 Aturan Penyederhanaan )
7.
∨
(6 Aturan Penambahan)
8.
(2,7 Modus Ponens)
9.
⇒
(3 s.d. 8 Aturan Bukti Bersyarat)
(Terbukti).
25
9.
R eductio Ad Absordum (Bukti Tak Langsung)
Selain dengan cara Aturan Bukti Bersyarat masih ada cara lain untuk membuktikan keabsahan argumen yaitu dengan Bukti Tak Langsung. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut. 1)
Menulis premis-premis yang diketahui.
2)
Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan).
3)
Dengan
menggunakan
aturan
penyirnpulan
dan
hukum
penggantian
ditunjukkan adanya kontradiksi. 4)
Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan prinsip Adisi dan Silogisme Disjungtif .
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh berikut ini. Contoh: Buktikan keabsahan argumen berikut dengan Reductio Ad Absordum (Bukti Tak Langsung).
⇒ ( ∧ ) ( ∨ ) ⇒
∨ ∴ Bukti: 1.
⇒ ( ∧ )
(premis 1)
2.
( ∨ ) ⇒
(premis 2)
3.
∨
(premis 3)
4.
~e
(premis tambahan)
5.
~(b ∨ d)
(2,4 Modus Tollens)
26
6.
~ ∧ ~
(5 Hukum DeMorgan)
7.
~
(6 Aturan Penyederhanaan)
8.
~
(6 Aturan Penyederhanaan)
9.
~ ⇒
(3 Hukum Implikasi)
10.
(9,8 Modus Ponens)
11.
∧
(1,10 Modus Ponens)
12.
(11 Aturan Penyederhanaan)
13.
∧ ~
(7,12 Hukum Konjungsi)
14.
∨
(12 Aturan Penambahan)
15.
~
(14 Hukum Implikasi)
16.
(14,7 Silogisme Disjungtif)
(Terbukti) Catatan: 1) Langkah ke-13 menunjukkan adanya kontradiksi sebab ∧ ~ (menurut hukum komplemen) bernilai salah ( False). 2) Setelah ditemukan adanya kontradiksi, langkah berikutnya menggunakan aturan penambahan dan silogisme disjungtif untuk membuktikan konklusi.
