Matemáticas IV Con Enfoque Por Competencias Ibáñez Issuu

S IV TICAS EMÁTICA MATEMÁ con enfoque por competenc competencias ias Cuarto semestre

Patricia Ibáñez Carrasco

Con enfoque por competencias

O

C U A R T

E M ESTR E E S

Patricia Ibáñez Carrasco

Revisión técnica:

María Isabel Flores Reyes

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Matemáticas IV con enfoque por competencias

Patricia Ibáñez Carrasco Presidente de Cengage Learning Latinoamérica:

© D.R. 2016 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F.

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Rafael Pérez González

Datos para catalogación bibliográfica: Ibáñez Carrasco, Patricia

Editoras:

Matemáticas IV con enfoque por competencias ISBN: 978-607-522-848-8

Ivonne Arciniega Torres Sonia Ibarra Martínez Diseño de portada:

Gloria Ivonne Álvarez López Imágenes de portada:

Shutterstock.com Composición tipográfica: Baktun 13 Comunicación Integral

Gerardo Larios García Fotografías de interiores:

Shutterstock

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 18 17 16 15

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CONTENIDO GENERAL

Presentación institucional del fondo editorial Cengage Learning para el estudiante ........

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Presentación para el docente ..........................................................................................................

xiii

Acerca de la autora ............................................................................................................................

xiv

Agradecimientos ..............................................................................................................................

xv

¿Cuáles son los componentes del libro? .......................................................................................

xvi

Bloque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones .......................................................................

2

Apertura de bloque .........................................................................................

4

Relación y función ..........................................................................................

7

Relación ........................................................................................................................................................................

7

Función .........................................................................................................................................................................

9

Dominio, contradominio e imagen ..............................................................

10

Regla de asociación o correspondencia ....................................................... 11 Formas de representación de una función .....................................................................................................

16

Prueba de la línea vertical .....................................................................................................................................

18

Dominio, contradominio o rango: casos especiales

.................................. 20

Operaciones con funciones ..................................................................................................................................

Evidencia de producto

27

................................................................................. 34

Lista de cotejo para evidencia de producto ................................................

34

Evidencia de conocimiento ...........................................................................

35

Evidencia de desempeño ............................................................................... 37 Lista de cotejo para evidencia de desempeño ............................................ 37 Actividades de metacognición ...................................................................... 38

vi

Matemáticas IV

Bloque II

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas .......................................................................... 40 Apertura de bloque .........................................................................................

42

Clasificación de funciones

44

............................................................................

Función inversa .............................................................................................. 50 Función escalonada

.......................................................................................

55

Función valor absoluto .................................................................................. 56 Función identidad

..........................................................................................

57

Función constante ..........................................................................................

58

Propiedades y características de las transformaciones gráficas (traslaciones y reflexiones) .................................................................... 61 Traslación vertical de funciones .........................................................................................................................

61

Reflexión de funciones ...........................................................................................................................................

62

Traslación horizontal de funciones ....................................................................................................................

63

Funciones pares e impares ...................................................................................................................................

64


................................................................................. 68

Lista de cotejo para evidencia de producto ................................................

68

Evidencia de conocimiento ...........................................................................

69

Evidencia de desempeño ............................................................................... 69 Lista de cotejo para evidencia de desempeño ............................................ 70 Actividades de metacognición ...................................................................... 71

Bloque III

Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos ............................................................................. 72 Apertura de bloque .........................................................................................

74

Modelo general de las funciones polinomiales .......................................... 77 Forma polinomial, representación gráfica, características y parámetros de las funciones de grado cero ......................................

81

Contenido general

Representación gráfica de funciones de gráfica cero

vii

............................... 82

Forma polinomial, representación gráfica, características y parámetros de las funciones de grado uno ......................................

83

Modelos lineales ............................................................................................. 87 Forma polinomial, representación gráfica, características y parámetros de las funciones de grado dos ....................................... 93 Método de solución de cuadráticas puras ......................................................................................................

96

Método por factorización .....................................................................................................................................

96

Método de fórmula general ................................................................................................................................

97


................................................................................. 106

Lista de cotejo para evidencia de producto ................................................ 107 Evidencia de conocimiento ........................................................................... 107 Evidencia de desempeño ............................................................................... 108 Lista de cotejo para evidencia de desempeño ............................................ 108 Actividades de metacognición ...................................................................... 109

Bloque IV

Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro ..... 110 Apertura de bloque ......................................................................................... 112 Modelos matemáticos, propiedades geométricas, métodos de solución, comportamiento de la gráfica de las funciones polinomiales de grado tres ..................................................................... 114 Modelos matemáticos, propiedades geométricas, métodos de solución, comportamiento de la gráfica de las funciones polinomiales de grado cuatro ................................................................ 119 Solución de ecuaciones factorizables .......................................................... 123 Evidencia de producto

................................................................................. 127

Lista de cotejo para evidencia de producto ................................................ 127 Evidencia de conocimiento ........................................................................... 128 Evidencia de desempeño ............................................................................... 129

viii

Matemáticas IV

Lista de cotejo para evidencia de desempeño ............................................ 129 Actividades de metacognición ...................................................................... 130

Bloque V

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas ..................................................................... 132 Apertura de bloque ......................................................................................... 134 Ceros o raíces de la función polinomial ...................................................... 136 Teoremas del factor y del residuo ................................................................ 137 División sintética ............................................................................................ 140 Teorema fundamental del álgebra ............................................................... 143 Ceros racionales y cotas superior e inferior ....................................................................................................

143

Teorema de factorización lineal ................................................................... 145 Gráficas de funciones polinomiales factorizables ..................................... 147 Evidencia de producto

................................................................................. 149


Bloque VI

Aplicas funciones racionales ................................................ 152 Apertura de bloque ......................................................................................... 154 Función racional ............................................................................................. 157 Dominio de definición de una función racional

........................................ 157

Asíntotas horizontales ................................................................................... 160 Asíntotas verticales ........................................................................................ 161 Asíntotas oblicuas .......................................................................................... 161

Contenido general

ix

Criterios de existencias de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas .................................................................................................. 161 Graficación de las funciones racionales ..........................................................................................................


162

................................................................................. 169


Bloque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas ............... 174 Apertura de bloque ......................................................................................... 176 Función exponencial ...................................................................................... 179 Función logarítmica ....................................................................................... 182 Gráfica de la función exponencial y ecuaciones logarítmicas ................. 187 Propiedades de los exponentes y ecuaciones exponenciales .................. 191 Usos de la función exponencial ..........................................................................................................................

193

Tasa y factor de crecimiento ................................................................................................................................

193

Propiedades de los logaritmos y ecuaciones logarítmicas .............................................................................................. 195 Cambio de una expresión exponencial a una logarítmica y viceversa ............................................................................................... 197 Evidencia de producto

................................................................................. 199


x

Matemáticas IV

Bloque VIII

Aplicas funciones periódicas ................................................ 202 Apertura de bloque ......................................................................................... 204 Funciones trigonométricas

........................................................................... 207

Función seno .............................................................................................................................................................

207

Función coseno .........................................................................................................................................................

208

Funciones circulares ...................................................................................... 209 Función seno .............................................................................................................................................................

209

Función coseno .........................................................................................................................................................

210

Formas senoidales .......................................................................................... 212 Define la amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase de una función senoidal ..................................................................................................... 215 Representación gráfica de funciones trigonométricas .............................. 221 Evidencia de producto

................................................................................. 224

Lista de cotejo para evidencia de producto ................................................ 224 Evidencia de conocimiento ........................................................................... 225 Evidencia de desempeño ............................................................................... 227 Lista de cotejo para evidencia de desempeño ............................................ 227 Actividades de metacognición ...................................................................... 228 Bibliografía ........................................................................................................................................ 229

xi

Presentación institucional del fondo editorial Cengage Learning para el estudiante Estimada(o) estudiante: El libro que tienes en tus manos constituye un compromiso que Cengage Learning Editores ha establecido con la educación de los jóvenes en México. Las condiciones sociales, económicas y culturales de la actualidad exigen la formación de ciudadanos con capacidades intelectuales y acitudinales que les permitan contribuir al desarrollo constante y sostenible de su entorno; que sean personas reflexivas que posean opiniones personales, así como la habilidad para interaccionar en contextos plurales; que asuman un papel propositivo como integrantes de la sociedad a la que pertenecen, disciernan sobre lo que es relevante y lo que no lo es, establezcan objetivos precisos con base en la información verificable y tengan la inquietud de actualizarse continuamente. Por ello, Cengage Learning Editores se dio a la tarea de renovar y mejorar las propuestas educativas que hasta la fecha ha ofrecido a jóvenes que estudian el bachillerato, de manera que estas constituyan para ustedes verdaderas herramientas de apoyo y les ayuden a responder en forma positiva ante las exigencias y los retos de hoy en día. Matemáticas IV con enfoque por competencias corresponde al programa oficial vigente para los estudiantes de la asignatura de Matemáticas IV del Bachillerato General, dentro del campo disciplinar de Matemáticas. Además, contiene ejercicios y actividades que te permitirán consolidar, diversificar y fortalecer los aprendizajes adquiridos. Encontrarás mayor sentido de lo que vas aprendiendo al hacer conexiones entre lo que vas estudiando y la realidad de tu entorno. Esta propuesta educativa se orienta principlamente a que: • Construyas e interpretes modelos algebraicos y gráficos, aplicando relaciones funcionales entre magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de tu vida cotidiana y escolar. • Representes y resuelvas problemas teóricos o prácticos, relacionados con tu vida cotidiana y escolar a través del uso de las funciones especiales. • Apliques las propiedades de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos, para resolver problemas teóricos o prácticos de tu vida cotidiana y escolar. • Construyas e interpretes modelos algebraicos y gráficos, aplicando relaciones funcionales entre magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de tu vida cotidiana y escolar. • Construyas e interpretes modelos algebraicos y gráficos, aplicando las funciones factorizables para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de tu vida cotidiana y escolar. • Valores el uso de las funciones racionales en situaciones de tu vida cotidiana a fin de comprender tu entorno.

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Matemáticas IV

• Construyas e interpretes modelos algebraicos y gráficos, aplicando relaciones funcionales exponenciales entre magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de tu vida cotidiana y escolar, que te permitan comprender tu realidad. • Construyas e interpretes modelos periódicos aplicando las propiedades de las funciones senoidales para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos de tu vida cotidiana y escolar, que te permitan comprender su realidad. Ten la seguridad de que realizando lo anterior con entusiasmo no sólo aprenderás más sobre las ciencias exactas, sino que desarrollarás actitudes y aptitudes que te permitirán un mejor desenvolvimiento dentro de tu entorno escolar, familiar y social.

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Presentación para el docente Estimado profesor de matemáticas, quiero compartir con usted este libro titulado Matemáticas IV con enfoque por competencias, el cual está basado en el desarrollo de competencias y cubre las líneas de orientación curricular de la Dirección General del Bachillerato (DGB), adaptándose a la Reforma Integral de la Educación Media Superior. Esta obra es una herramienta pensada para auxiliarlo en el proceso de enseñanza y en la integración de los contenidos relacionados con la teoría de funciones, los cuales son el preámbulo de los cálculos diferencial e integral usados en mecánica, economía, óptica y todas aquellas ciencias que establecen relaciones entre dos o más variables. En cuanto a las competencias genéricas desarrolla las que son más adecuadas al área de matemáticas, y de las competencias disciplinares de la asignatura cubre aquellas que cita al inicio de cada bloque. Matemáticas IV con enfoque por competencias consta de ocho bloques, mismos que se desprenden del Programa de Estudios de la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), éstos son: Bloque I. Reconoces y realizas operaciones con disti ntos tipos de funciones Bloque II. Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Bloque III. Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Bloque IV. Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro Bloque V. Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas Bloque VI. Aplicas funciones racionales Bloque VII. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas Bloque VIII. Aplicas funciones periódicas

Así, juntos, iniciemos esta apasionada aventura de la enseñanza de las matemáticas. La autora Patricia Ibáñez Carrasco

xiv

Acerca de la autora Patricia Ibáñez Carrasco

Es licenciada en sistemas computacionales e ingeniera en tecnologías de la automatización. Cuenta con una maestría en Comunicación y Tecnología educativa por el Instituto Latinoamericano para la Comunicación Educativa (ILCE). Asimismo, ha cursado varios diplomados: “Transformación de la educación desde una perspectiva desarrolladora” en el Instituto de Ciencias Centrales Pedagógicas de Cuba; “Desarrollo del pensamiento creativo aplicado a la tecnología educativa” en el ILCE y CADIR; “La planeación de las actividades docentes en un modelo de aprendizaje basado en competencias” en BUAP y Colegio de Bachilleres; “Educación y capacitación basada en competencia laboral 2002-2003” en la unidad administradora del Programa para la Modernización de la Educación Técnica y la Capacitación (UAPMETyC); “Enseñanza de las matemáticas” en la Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla (UPAEP); “Calidad docente con énfasis en formación de valores” en el Colegio de Bachilleres del Estado de Puebla; “Diseño gráfico por computadoras” en el Instituto Tecnológico DASC; “Tutoría educativa” en la Uni versidad Madero; y “Evaluaciones estandarizadas para el aprendizaje: Énfasis en ENLACE” en la UNAM. Además, ha sido docente durante 30 años en el área de computación y matemáticas. Ha ocupado la Jefatura Estatal de Matemáticas en el Colegio de Bachilleres del Estado de Puebla, en el cual actualmente es docente. También es autora de varias obras de matemáticas e informática.

xv

Agradecimientos A Axel e Ibrahim, mis hijos, por aguantarme en las noches de desvelo; son los motores de mi vida.

A mi padre, por su ejemplo de vida.

A la profesora Alma Esther Aguirre Juárez, por su apoyo incondicional en el desarrollo de este libro, gracias amiga.

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¿Cuáles son los componentes del libro? Entrada del bloque. Aquí se mencionan los objetos de aprendizaje que estudiarás en cada bloque, así como los desempeños y las competencias correspondientes; funciona como apoyo para que los visualices y sintetices.

Apertura del bloque. Breve lectura relacionada con los objetos de aprendizaje de cada bloque.

Detección de conocimientos previos. Evaluación diagnóstica cuyo objetivo es encontrar el punto de partida para el desarrollo y exposición de los contenidos.

Desarrollo de los objetivos de aprendizaje del bloque. Mapa conceptual que muestra la relación de los objetos de aprendizaje.

Actividad introductoria. Plantea una actividad de investigación acerca de los objetos de aprendizaje.

Ejercicios. Propone ejercicios a realizar por los alumnos para reforzar la exposición de los contenidos.

¿Cuáles son los componentes del libro?

TIC. Se proponen páginas de internet cuyos contenidos refuerzan los objetos de aprendizaje.

Evidencia de producto y Lista de cotejo para evidencia de producto. En la primera se lleva a cabo la evaluación sumativa a través de ejercicios que deben efectuar los alumnos aplicando sus conocimientos y habilidades matemáticas. El segundo es el instrumento de evaluación de la evidencia, el cual incluye la coevaluación y la autoevaluación.

Evidencia de conocimiento. Ejercicios en los que se reafirman los conocimientos de los objetos de aprendizaje.

Evidencia de desempeño y Lista de cotejo para evidencia de desempeño. Actividad en equipo para incluir en el portafolio de evidencias, cumpliendo así con todos los momentos y tipos de evaluación que solicita la RIEMS.

Actividades de metacognición. Se encuentra al final de cada bloque y es el momento preciso para aclarar a los alumnos posibles dudas que aún puedan tener.

1

Bloque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Propósito: •

•

Construye e interpreta modelos algebraicos y gráficos, aplicando relaciones funcionales entre magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar.

•

Objetos de aprendizaje:

Desempeños del estudiante al concluir el bloque: •

•

•

•

Utiliza operaciones entre funciones para simplificar procesos a través de nuevas relaciones. Aplica las nociones de relación y función para describir situaciones de su entorno.

Utiliza los criterios que definen a una función para establecer si una relación dada es función o no. Describe una función empleando diferentes tipos de registros y refiere su dominio y rango. Emplea la regla de correspondencia de una func ión y los valores del dominio implícito o explícito. Aplica diferentes tipos de funciones en el análisis de situaciones.

• • • • • •

Competencias a desarrollar: •

•

•

•

•

• m o c . k c o t s r e t t u h S / l e x i p w a R ©

Funciones Relaciones Dominio Contradominio Imagen Reglas de correspondencia

•

•

•

Aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos de aprendizaje con base en las funciones y relaciones analizadas. Escucha e interpreta los distintos tipos de funciones mediante la utilización de material didáctico apropiado. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos para solucionar ejercicios de diferentes áreas, aplicando los conceptos de función, dominio, contradominio, imagen y regla de correspondencia. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad, valores, ideas y prácticas sociales, en el aula y fuera de ella. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y gráficos, para la comprensión y análisis de ejercicios sustentables en situaciones reales. Resuelve operaciones con funciones, aplicando los conocimientos y las habilidades adquiridos. Interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos, en diferentes áreas de conocimiento. Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento en una función, posteriormente grafique. Interpreta tablas, gráficas y textos con símbolos matemáticos y científicos, donde reconoce la importancia de una función.

Tiempo asignado: Ocho horas.

4

Matemáticas IV

Apertura de bloque ¿Por qué se llaman relaciones y funciones? Las relaciones son el primer paso para introducirte a las funciones. Si entiendes lo que implica una relación, entonces, no tendrás problemas para diferenciar aquellas relaciones que son funciones, pues esa es una premisa fundamental. Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. De manera que te encontrarás con infinidad de relaciones, pero sólo una parte de ellas son funciones. En este bloque aprenderás qué es una relación, cómo se denota y cuáles son los elementos que se encuentran íntimamente ligados a cada uno éstas; además, también sabrás diferenciar aquellas relaciones que son funciones y cuáles son las características que las hacen tan especiales.

Detección de conocimientos previos Nombre: I.

Calificación:

Responde las siguientes preguntas. 1. ¿Qué imaginas cuando escuchas la palabra “función”?

2.

¿A qué crees que se refiere una relación matemática?

3.

¿A qué crees que se refiere la expresión “dominio de una función”?

4.

¿Cuál es tu idea de lo que es el contradominio de una función?

5.

¿Cuál es tu idea de la imagen de una variable independiente?

6.

¿Cómo imaginas que es el uso de la regla de correspondencia?

Bloque I Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

7.

¿Cómo se hace la suma de polinomios?

8.

Escribe los pasos para la resta de polinomios.

9.

¿Cuáles son los pasos para hacer una multiplicación de polinomios?

10.

¿Qué recuerdas de la división de polinomios?

5

Desarrollo de los objetos de aprendizaje del bloque El siguiente mapa conceptual muestra el desarrollo del bloque, obsérvalo atentamente.

RELACIONES

permite

es

Una regla de asignación

Suma de funciones f ( x ) + g( x ) = (f + g)( x ) Operaciones

FUNCIONES

Resta de funciones f ( x ) • g( x ) = (f – g)( x )

donde a cada se relaciona Elemento x

Multiplicación de funciones f ( x )g( x ) = (f (g( x ))

Elemento f ( x )

Composición de funciones f ( x ) • g( x ) = f (g( x ))

de un de un

es una Variable independiente

Conjunto A

denominado Dominio de función

Figura 1.1 Contenido del bloque I.

Conjunto B

es una División de funciones f ( x )/g( x ) = (f /g)( x )

Variable dependiente se puede representar

denominado Contradominio o rango de la función

Visualmente

Verbalmente

Algebraicamente

Numéricamente

con una

a través

mediante

se usa una

Gráfica

Oración

Expresión matemática

Tabla de valores

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Matemáticas IV

Actividad introductoria I.

Formen parejas y realicen lo siguiente: 1. Investiguen bibliográfica o electrónicamente cómo se define el dominio, el rango y la imagen de una función dada. Anoten la bibliografía a continuación.

2.

3.

Escriban en hojas de papel ejemplos de cada concepto y elaboren un mapa conceptual con la información. Se evaluará su trabajo con base en la siguiente tabla. Permitan que otra pareja también los evalúe. Guarden su trabajo en el portafolio de evidencias. Escriban en la tabla el número 1 si consideran que el mapa que hicieron cumple con el criterio indicado en cada caso y el número 0 si no. Al final sumen su puntuación, el número obtenido será su calificación. Tabla 1.1 Criterio de evaluación

Cumplen (1 punto)

El mapa mental contempla los aspectos principales del tema. Inicia en el centro de la hoja de papel, citando la idea central que está desarrollada hacia fuera de manera irradiante. La idea central del mapa mental está representada con una imagen clara, poderosa y sintetiza el tema general del mapa mental. Los temas y subtemas del mapa mental están articulados y jerarquizados, según el sentido de las manecillas del reloj. Utilizan el espaciamiento para acomodar de manera equilibrada las ideas o los subtemas. Subrayan las palabras clave o las encierra en un círculo. Utiliza el color para diferenciar los temas o sus asociaciones, o para resaltar algún contenido. Utiliza flechas, iconos o cualquier elemento visual que permiten diferenciar y hacer más clara la relación entre ideas. El mapa mental se puede leer fácilmente. El mapa mental que hicieron es creativo. Calificación

No cumplen (0 puntos)


Autoevaluación

Logros

Áreas de oportunidad

Coevaluación

Logros


Relación y función Relación Una relación es una regla, matemática o no, que permite asociar los elementos de dos conjuntos. Recuerda que un conjunto es una colección de elementos (números, letras, objetos, etc.), que comparten una característica. Una manera de identificar las relaciones que se establecen entre los elementos de un conjunto X con un conjunto Y es usando el producto cartesiano X × Y, con lo que se obtiene un conjunto de parejas ordenadas que no pueden cambiar el orden de sus elementos. Ejemplo 1 Supón que Pilar tiene faldas (F ) de tres colores y blusas (B) de dos colores y quiere saber cuáles son las diferentes combinaciones que puede hacer, los conjuntos son: F = {roja, azul, verde} y B = {blanca, negra}. Empieza por combinar la falda roja con las blusas: (roja, blanca), (roja, negra) y obtiene dos opciones; ahora, la falda azul con las blusas: (azul, blanca), (azul, negra); y finalmente la falda verde con las blusas: (verde, blanca), (verde, negra). Si juntas todas las opciones resulta:

F × B = {(roja, blanca), (roja, negra), (azul, blanca), (azul, negra), (verde, blanca), (verde, negra)} Pilar observa que tiene seis combinaciones distintas, ésta es una relación binaria, pues se da entre dos objetos o elementos. Ejemplo 2 Abel y sus hijos: María, Luis y Rafael. Si haces la relación “ es papá de” obtienes las siguientes parejas. a) b) c)

Abel es papá de María. Abel es papá de Luis. Abel es papá de Rafael.

Si las expresas como parejas ordenadas: (Abel, María), (Abel, Luis) y (Abel, Rafael), notarás que la relación no se cumple si cambias de lugar los elementos de

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8

Matemáticas IV

alguna de las parejas: (María, Abel), esto quiere decir que ¡María es papá de Abel!, lo cual no es correcto, ni siquiera lógico. Lo anterior sugiere que una relación también es un conjunto. En este caso, conocer la relación P consiste en conocer dos cosas: 1.

2.

Los dos conjuntos entre los cuales se da la relación, en este caso es el conjunto que tiene como elemento el papá y el conjunto de los tres hijos. La lista de todas las parejas relacionadas por la relación “es papá de” .

La relación P también se puede representar por medio de un diagrama sagital, donde A es el conjunto del papá y B es el conjunto de los hijos. A

B

María Abel

Luis Rafael

Figura 1.2

La representación con parejas ordenadas: P = {(Abel, María), (Abel, Luis), (Abel, Rafael)} Si trabajas con una relación matemática, el procedimiento es muy parecido. Supón la relación C : “ser el triple de”. Observa que la relación es entre números. En primer semestre conociste varios conjuntos de números: reales ( R), racionales (Q), enteros (Z), naturales (N) e irracionales (I). La relación matemática C se aplica a los números reales ( R) y da como resultado números reales, como: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

3 es el triple de 1. –3 es el triple de –1. 6 es el triple de 2. –6 es el triple de –2. 9 es el triple de 3. –9 es el triple de –3.

Si consideras como x a los elementos del primer conjunto y como y a los elementos triples asociados a cada x , obtendrás que (x , x ) no pertenece a C , pues ningún número es su propio triple. Además, si ( x , y ) pertenecen a C ; entonces, ( y , x ) no pertenece a la relación. Esto ilustra que el concepto de relación no es, en general, simétrico; de modo que, al mencionar los objetos que se relacionan, importa


el orden en que éstos se mencionan. Aunque sí existen relaciones simétricas, por ejemplo, el valor absoluto para números positivos, al regresar a la relación se representa por medio de un diagrama sagital. R

R

–3

–9

–2

–6

–1

–3

0

0

1

1

2

2

3

3

Figura 1.3

La representación de la relación a través de parejas ordenadas (x , y ): C = {…(−3, 9), (−2, −6), (−1, −3), (0, 0), (1, 3), (2, 6),(3, 9)…} Finalmente, si la representas como una expresión matemática, obtienes: y = 3x Entonces, una relación es una regla de asociación o correspondencia entre dos conjuntos. Has visto que se puede representar de tres maneras distintas, mediante: 1. 2. 3.

Un producto cartesiano, parejas (x , y ). Un diagrama sagital de forma grafica. Un criterio de selección o regla de asociación o expresión matemática.

Función Las funciones son relaciones que cumplen, de manera intuitiva, con una característica muy particular: “en ninguna de sus parejas ordenadas se repite la primera componente”. Si observas de nuevo las figuras 1.2 y 1.3, te darás cuenta que el primero no es una función: P = {(Abel, María), (Abel, Luis), (Abel, Rafael)} Y el segundo sí pertenece a una función: C = {…(−3, 9), (−2, 6), (−1, −3), (0, 0), (1, 3), (2, 6),(3, 9)…} En otro ejemplo supón que A es el conjunto de alumnos en tu salón y H es un conjunto que tiene números reales. Una forma de relacionarlos es asignando a cada

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Bloque III

Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Propósito:

Objetos de aprendizaje:

• Aplica las propiedades de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos, para resolver problemas teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar.

• • • •

Desempeños del estudiante al concluir el bloque: •

•

•

•

Compara el modelo general de las funciones polinomiales con los de funciones particulares y/o determina si corresponden a dicha clase de funciones. Identifica la forma polinomial de las funciones de grados cero, uno y dos, así como sus gráficas respectivas. Determina si la situación corresponde a un modelo de grados cero, uno y dos, empleando criterios de comportamiento de datos en tablas, descripción de enunciados, tipos de gráficas y regularidades particulares observadas. Emplea los modelos lineales y cuadráticos para describir situaciones teóricas o prácticas que implican o no, razones de crecimiento o decrecimiento constante que se asocien con el modelo.

•

Competencias a desarrollar: •

•

•

•

•

• m o c . k c o t s r e t t u h S / e y E s n o e l e m a h C ©

Modelo general de las funciones polinomiales. Forma polinomial de las funciones de grados cero, uno y dos. Representación gráfica de funciones de gráficos cero, uno y dos. Características de las funciones polinomiales de grados: cero, uno y dos. Parámetros de las funciones de grados: cero, uno y dos.

•

•

•

•

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta las habilidades previas para comprender el modelo general de las funciones polinomiales. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de argumentos sustentados en una base bibliográfica. Propone soluciones a problemas a partir de modelos establecidos para las funciones de grado cero, uno y dos. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos para resolver ejercicios de funciones de diferentes grados (cero, uno y dos). Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad, valores, ideas y prácticas sociales, dentro y fuera del aula. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y gráficos, para la comprensión y análisis de sit uaciones reales e hipotéticas en donde se integren las distintas áreas (ciencias experimentales, sociales, económico-administrativo). Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando las características y modelos de las funciones polinomiales. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos de los modelos de las funciones de grado: cero, uno y dos y los contrasta con situaciones reales que involucran las diferentes áreas del saber. Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o natural que involucren las funciones de diferentes grados (cero, uno y dos) para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos, sustentados en las h abilidades desarrolladas.

Tiempo asignado: Diez horas.

74

Matemáticas IV

Apertura de bloque ¿Por qué se llaman funciones polinomiales de grados cero, uno y dos? En nuestra vida cotidiana hacemos uso de las funciones polinomiales para resol ver problemas de la vida diaria; por ejemplo, cuando vas al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios con el costo en pesos para saber cuánto puedes comprar; si lo llevas al plano puedes escribir esta correspondencia en la ecuación de una f unción con “x ” como el precio y la cantidad de producto como “ y ”. En esta situación estás utilizando una función lineal. En economía, las leyes de la oferta y la demanda son relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, éste depende del precio del artículo. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios se denomina ley de demanda. La función cuadrática resulta de interés no sólo en matemáticas, sino también en física y en otras áreas del conocimiento como la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la que se desplaza un equilibrista, etc. Puede ser aplicada en la ingeniería civil para resolver problemas específicos, tomando como punto de apoyo una ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres. Como ves, los usos de las ecuaciones polinomiales son útiles en la vida diaria, esperamos que logres el desarrollo de todas las herramientas necesarias para su aplicación y valoración de las mismas.

Detección de conocimientos previos Nombre: I.

Calificación:

Resuelve las siguientes preguntas. 1. ¿Qué tipo de ecuaciones estudiaste en álgebra (Matemáticas I)? 2.

¿Cómo se denomina cada componente de la expresión ax n ?

3.

¿Qué entiendes por polinomio?

4.

¿Qué entiendes por valor constante?

5.

¿Cuál es la forma de una ecuación lineal?

6.

¿Cuál es la gráfica asociada a una ecuación lineal?

7.

Cuando compras las tortillas, ¿qué tipo de ecuación empleas para determinar el pago de acuerdo con los kilogramos que compras?

Bloque III Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

75

8.

¿Cuál es la forma de una ecuación de segundo grado?

9.

¿Cuál es la gráfica asociada a una ecuación cuadrática?

10.

Al lanzar un balón de basquetbol a la canasta, ¿qué tipo de ecuación emplearías para describir su trayectoria?

Desarrollo de los objetos de aprendizaje del bloque El siguiente mapa conceptual muestra el desarrollo del bloque, obsérvalo atentamente. Funciones grados

0

1 forma

f ( x ) = ax 0 tiene Dom � = R–{0} gráfica

2 forma

f ( x ) = ax + b tiene Dom � = R gráfica

Línea recta paralela al

Una línea recta que

eje X que corta al eje Y

presenta un ángulo

en el punto.

respecto a la vertical.

forma

f ( x ) = ax 2 + bx + c tiene Dom � = R gráfica

Una curva llamada parábola.

Figura 3.1 Contenido del bloque III.

Actividad introductoria 1.

2.

3.

Formen parejas e investiguen, en medios impresos o electrónicos, cómo se comportan las funciones de grados cero, uno y dos, y para qué sirven. Anoten la información obtenida en el cuaderno. Escriban a continuación sus referencias.

Realicen en hojas de papel un resumen con la información obtenida e incluyan un mapa conceptual acerca del tema.

76

4.

5.

Matemáticas IV

Permitan a otra pareja de compañeros que evalúen su trabajo y pídanles que anoten sus observaciones en el cuadro Coevaluación que se encuentra en la tabla 3.1. Pídanle al profesor que califique su trabajo, para ello debe anotar en la columna “Puntos obtenidos” la puntuación que considere merece su resumen. Completen la tabla. Tabla 3.1

Criterio

Conceptos

Excelente (2.5 puntos)

Citan los conceptos más importantes del tema.

Relación entre Las relaciones conceptos del mapa conceptual son aceptables. Jerarquía

El mapa conceptual presenta conceptos jerarquizados en forma lógica, es decir, en la parte superior se presentan los conceptos más inclusivos y en la parte inferior los subordinados. Proposiciones Los conectores utilizados con los conceptos hacen que haya una excelente relación entre ambos para formar proposiciones.

Satisfactorio (2 puntos)

Regular (1.5 puntos)

Debe mejorar (1 punto)

Incluyen ideas Mencionan sólo secundarias ideas aisladas acerca del tema. acerca del tema.

Contiene conceptos e ideas muy vagas acerca del tema.

Las relaciones del mapa conceptual son moderadamente aceptables. El mapa conceptual sólo presenta conceptos inclusivos.

Las relaciones del mapa conceptual son medianamente aceptables. El mapa conceptual presenta en la parte superior los conceptos subordinados y en la parte inferior los conceptos inclusivos.

Las relaciones del mapa conceptual no son aceptables.

No todos los conectores utilizados con los conceptos son correctos, así que su relación es buena.

Muchos de los conectores utilizados con los conceptos son incorrectos, así que su relación es regular.

Los conectores utilizados no son los correctos, por lo tanto, no se forman proposiciones.

Puntos obtenidos

El mapa conceptual presenta los conceptos sin ninguna jerarquía.

Calificación

Autoevaluación

Logros


Coevaluación

Logros



Modelo general de las funciones polinomiales Comencemos con algunos conceptos básicos. 1. Un monomio tiene la forma: ax n

a)

b) c)

Sus características son: a es el coeficiente del monomio, debe ser distinto de 0 y en este caso es el coeficiente principal. El grado del monomio lo marca el exponente n. Un monomio en forma de función se denota: f (x ) = ax n.

Ejemplo 1 Fíjate en las expresiones de la tabla y sus funciones. Tabla 3.2

Expresión

Coeficiente

Grado

Función

3x 5x 4

3 5 1

1 4 6

f (x ) = 3x

x6 2.

f (x ) = 5x 4 f (x ) = x 6

Un binomio es la suma o resta de dos monomios. ax n + bx m

a)

b)

c)

Sus características son: Los coeficientes a y b no deben ser ceros, si alguno de ellos lo fuera simplemente éste no sería un binomio, sino un monomio. El grado del binomio lo marca el mayor exponente, es decir, el grado será n si mayor que m, o bien, será m si es el mayor. El coeficiente que acompaña el mayor exponente es el coeficiente principal. Un binomio en forma de función se denota así: f (x ) = ax n + bx m.


Expresión 4

3 + 5x 8x 6 + 2x 2x 4 + 3 3.

Coeficientes

Grado

Coeficiente principal

Función

3y5 8y2 2y3

4 6 4

5 8 2

f (x ) = 3 + 5x 4

Un trinomio es la suma o resta de tres monomios. ax n + bx m – cx r

f (x ) = 8x 6 + 2x f (x ) = 2x 4 + 3

77

78

Matemáticas IV

1. 2.

3.

Sus características son: Los coeficientes a, b y c no deben ser cero. El grado del trinomio es el mayor exponente del trinomio y el coeficiente principal es el que lo acompaña. Un trinomio en forma de función se denota así: f (x ) = ax n + bx m – cx r .


Expresión

Coeficientes

Grado


Función

4x 4 + 6x 2 – 3 8 – 3x 3 + 2x 5 5x 3 + x 6 – 2

4, 6 y 3 8, 3 y 2 5, 1 y 2

4 5 6

4 2 1

f (x ) = 4x 4 + 6x 2 – 3 f (x ) = 8 – 3x 3 + 2x 5 f (x ) = 5x 3 + x 6 – 2

Observa que los binomios y los trinomios se pueden considerar polinomios, o bien, funciones polinomiales. Generalmente tienen la siguiente notación: P (x ) = anx n + an – 1x n – 1 + an - 2x n – 2 + … + a0x 0 Tiene grado n y an ≠ 0, ya que es el coeficiente principal, no siempre deben aparecer todos los exponentes, algunos se pueden omitir pero el grado del polinomio siempre lo marcará el máximo exponente que no tenga coeficiente cero. Ejemplo 4 Fíjate en las expresiones de la tabla y sus funciones. Tabla 3.5

Expresión

Coeficientes

Grado

5x 4 – 3x 2 + x – 7 x + 6x 2 + 3x 5 + 9 8x 3 + 5x 6 – x 4 + 1

5, –3, 1 y –7 1, 6, 3 y 9 8, 5, –1 y 1

4 5 6


5 3 5

Función f (x ) = 5x 4 – 3x 2 + x – 7 f (x ) = x + 6x 2 + 3x 5 + 9

f (x ) = 8x 3 + 5x 6 – x 4 + 1

El dominio de las funciones polinomiales son los número reales ( R); por otro lado, el codominio para una función polinomial par es un intervalo semiabierto; por ejemplo, para f (x ) = x 2 – 4 el rango es [–4, ∞) y para un función impar el rango son los reales; por ejemplo, para f (x ) = x 3 el codominio o rango es (– ∞, +∞). Algunas gráficas de polinomios son las siguientes:

79


Y

Y

Y

13

6 5 4 3 2 1

12

7

11 10

6

9

0 –4 –3–2 –1 –1

1 2 3 4

5

8

X

7

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11

4

6 5

3

4 2

3 2

1

1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

1

2 3

X

–3

–2

–1

0

1

2

–1

–2

–2 4

2

2

Figura 3.2 f ( x ) = x – 3 x + x – 7

5

3

Figura 3.3 f ( x ) = x – 6 x + 3 x + 9

Cuando el grado del polinomio es par, la gráfica se parece a y = x 2, y cuando el grado del polinomio es impar se parece a la gráfica y = x 3. y = x 4

y = x 6

y = x

Y

3

5

2

4

1

3

–3 –2 –1 0 –1 3

2

y = x

1 –3 –2 –1 0 –1

y = x 7

4

Y

2

2

3

Figura 3.5 Gráficas de funciones de grado par.

X 1

2

3

–2 –3

X 1

y = x 5

–4

Figura 3.6 Gráficas de funciones de grado impar.

Toda función polinomial tiene lo que se denomina ceros, raíces o soluciones; estos números cuando se sustituyen en la función la hacen igual a cero. Gráficamente son las intersecciones del eje X . Algo importante que debes hacer es “crear” un polinomio de grado n, con m términos y con un coeficiente principal a. Haz lo siguiente: 1.

Coloca el coeficiente principal y los términos necesarios para el grado del polinomio. ax (n + 1) – m (x )(x

)(x )…(x …)

Tantos lugares como (n + 1) – m

6

4

Figura 3.4 f ( x ) = 6 x – 5 x + x – 7

3

X

80

Matemáticas IV

2. 3.

Coloca los números donde deseas que se corte el eje X . Haz las operaciones y expresa en forma de polinomio ordenado.

Ejemplo 5 Desarrolla un polinomio de tres términos, de grado 4 y que tenga un coeficiente principal igual que 2. Solución: Con los datos proporcionados m = 3 y n = 4, por tanto, (n + 1) – m = (4 + 1) – 3 = 2; entonces: a) b) c)

2x 2 (x + )(x + ) 2 2x (x – 2)(x + 1) 2x 2 (x 2 – x – 2) = 2x 4 – 2x 3 – 4x 2 Tenemos el polinomio solicitado: f (x ) = 2x 4 – 2x 3 – 4x 2.

TIC Para saber más sobre las raíces reales de un polinomio consulta la página de internet: http://dgenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/geogebra/raices.html

Ejercicios I.

Formen equipos de cuatro integrantes, completen la tabla reconociendo las funciones algebraicas que son polinomiales e identifiquen en cada caso el grado y el coeficiente principal. Tabla 3.6

Expresión algebraica f (x ) = x 3 + x – 3 f (x ) = 2x 4 + 3x 2 – x f (x ) = 5x 2 –

1 x

f (x ) = 9 f (x ) = 6x – 7 f (x ) = 6x 5 – x 2 + 3x f (x ) = 5x f (x ) = 5x 3 + 5x – 8x 4 f (x ) =

x

− 1

x

f (x ) = x 2 + 5x – 9

¿Es polinomio?

Grado



II.

Escriban un polinomio para cada uno de los enunciados siguientes: 1. Un polinomio de cuatro términos, de grado 5 y que tenga un coeficiente principal igual a 4. 2.

III.

Un polinomio de grado 3 cuyo gráfico intersecta al eje X en los puntos (–3, 0); (2, 0).

Elaboren en una hoja de papel una tabla de valores y grafiquen las siguientes funciones polinomiales. Guárdenlas en el portafolio de evidencias. 3 2 1. p (x ) x – 3x – x + 3 3 2 2. q (x ) x – x – x + 1 4 3 2 3. r (x ) x – 3x – x + 3x 4 3 2 4. s (x ) x + x – 2x – 2x + 1 = =

=

=

IV.

81

Analicen los gráficos anteriores, concluyan cuál es la relación entre el número de intersecciones posibles del gráfico con el eje X y el grado del polinomio.

Forma polinomial, representación gráfica, características y parámetros de las funciones de grado cero La función de grado cero no es igual que la función constante vista en el bloque anterior. Recuerda que la forma de la función constante es: f (x ) = c, donde c es una constante y el dominio es R. La función de grado cero tiene la siguiente forma: f (x ) = ax 0, donde x ≠ 0 Recuerda que 00 no está definido en matemáticas. El dominio de la función cero es: Dom f = R – {0} El rango sólo está formado por el conjunto que tiene como único elemento a la constante a .

TIC Para saber más sobre las funciones de grado cero consulta la página de internet: http://www.videosdematematicas.com/pordonativos/Funciones%20 Polin%C3%B3micas%20-%20Grado%20Cero

82

Matemáticas IV

Representación gráfica de funciones de grado cero La expresión algebraica está directamente relacionada con su gráfica, ya que ésta es una línea recta paralela al eje X que pasa por a en el eje Y y tiene un hueco en x = 0; además, es continua. Ejemplo 6 Grafica la función de grado cero f (x ) = 5x 0 o y = 5x 0. Solución: Observa que lo único que debes hacer para graficarla es trazar una línea horizontal que cruce el eje Y en 5, con un hueco en x = 0. Y

X

0

Figura 3.7 Gráfica de la función f ( x ) = 5 x .

Obviamente, la función de grado cero no presenta ceros o raíces; es decir, generalmente no hay valores que las hagan cero, a menos, que la función constante sea y = 0. Una forma de describir una función de grado cero es haciendo referencia al punto en el que corta el eje Y ; por ejemplo: f (x ) = 4x 0 se puede traducir como “a cada punto x se le asigna el número 4, excepto a 0”.

Ejercicios I.

Formen parejas y grafiquen en hojas de papel las siguientes funciones de grado cero en un mismo sistema de coordenadas. Guarden las hojas en el portafolio de evidencias. 1. f (x ) 1 2. g (x ) 3 3. h (x ) 0 4. i (x ) –4 5. j (x ) –9 =

=

=

= =


II.

Concluyan cuál de las siguientes gráficas es una función de grado cero y por qué; además, escribe la relación correspondiente para cada una. Y

Y

Y

X

X

Figura 3.8

III.

Figura 3.9

X

Figura 3.10

Analicen la siguiente gráfica y escriban qué significa. Un móvil presenta la siguiente gráfica de movimiento. Distancia (km) 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –1 –2

IV.

83

1

2

3

4

5

6

7

Tiempo (horas)

Figura 3.11 Gráfica de distancia contra tiempo.

Escriban, en parejas, una oración que represente cada una de las siguientes funciones de grado cero. 1. f (x ) 0 2. f (x ) 7 3. f (x ) –2 = = =

Forma polinomial, representación gráfica, características y parámetros de las funciones de grado uno Una función lineal tiene la siguiente forma: f (x ) = mx + b, o bien, y = mx + b

84

Matemáticas IV

Donde: b = Término independiente, es constante y además indica el lugar donde la gráfica de la función cruza el eje Y . m = Pendiente de la recta. x = Variable independiente. y = v es la variable dependiente. Observa que está formada por una ecuación de primer g rado y, por lo tanto, su gráfica es una línea recta. Recuerda que

m

=

y 2 − y 1

.

x 2 − x 1

Un concepto importante en la línea recta es la pendiente que está relacionada con la inclinación (lo estudiaste en Matemáticas III). A continuación, veamos cómo afecta el cambio de pendiente una recta, supongamos la función: y = 5x – 2 Para obtener su gráfica de manera rápida, grafica la pendiente y la ordenada al origen. f (x )= mx + b y

=

5x – 2

Recuerda que la pendiente se reescribe como

5 m=

1

:

Y 4 3 2

Punto obtenido con m = 5

1 –4

–3

–2

–1

5

X

0

1

–1 –2 Intersección con el eje y

Figura 3.12 Obtención de un punto con la pendiente.

–3 –4

Ejemplo 7 5

y

=

2

x − 2

1

2

3

4

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