Matemáticas Financieras I 2015-2.pdf

MATEMÁTICAS FINANCIERAS I COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

Guía de Actividades del Alumno para el Desarrollo de Competencias

Quinto Semestre

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA FRANCISCO ARTURO VEGA DE LAMADRID Gobernador del Estado de Baja California MARIO GERARDO HERRERA ZÁRATE Secretario de Educación y Bienestar Social del Estado de Baja California HÉCTOR RIVERA VALENZUELA Subsecretario de Educación Media Superior, Superior, Formación Docente y Evaluación ARCELIA GALARZA VILLARINO Directora General del CBBC IVÁN LÓPEZ BÁEZ Director de Planeación Académica del CBBC MATEMÁTICAS FINANCIERAS I Edición, agosto de 2014

Edición, agosto de 2013 Diseñado por:

C.P. Margarita Castillo González Lic. Arely Mariet Cordero Gabiño

Actualizado por: C.P. Margarita Castillo González En la realización del presente material, participaron: JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS Teresa López Pérez EDICIÓN, AGOSTO DE 2015 Gerardo Enríquez Niebla Diana Castillo Ceceña

La presente edición es propiedad del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra. Este material fue elaborado bajo la coordinación y supervisión de la Dirección de Planeación Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California. Blvd. Anáhuac #936, Centro Cívico, Mexicali, B.C., México. www.cobachbc.edu.mx

ÍNDICE PRESENTACIÓN COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO COMPETENCIAS DISCIPLINARES EXTENDIDAS DEL CAMPO DE CIENCIAS SOCIALES

BLOQUE I:

IDENTIFICAS LA APLICACIÓN DE LOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS EN LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS ....................................2

BLOQUE II: INTERPRETAS RAZONES YPROPORCIONES....................................................12

BLOQUE III: APLICAS EL REPARTO PROPORCIONAL..........................................................22

BLOQUE IV: CALCULAS LAS PROGRESIONES......................................................................32

BLOQUE V: APLICAS EL INTERÉS SIMPLE……………………………........................……….40

PRESENTACIÓN En el marco de la Reforma Integral de la Educación Media Superior, Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California (CBBC), se ha propuesto la meta de formar y consolidar el perfil de egreso en el bachiller, poniendo a disposición del alumno los elementos necesarios que le permitan crecer y desarrollar conocimientos, habilidades, actitudes y valores para poder enfrentar los retos de un mundo globalizado, vertiginoso, competitivo y complejo. Por tanto, es importante que el proceso educativo implemente estrategias que contemplen actividades de aprendizaje en diversos contextos y escenarios reales, donde el estudiante con creatividad, habilidad y destreza sepa desarrollar, movilizar y transferir las competencias adquiridas. En virtud de lograr lo anterior y consciente de la dificultad para que el alumnado tenga acceso a una bibliografía adecuada, pertinente y eficaz con el entorno socioeconómico actual, el CBBC brinda la oportunidad a los estudiantes de contar con materiales didácticos para el óptimo desarrollo de los programas de estudio de las asignaturas que comprende el Plan de Estudios Vigente. Cabe subrayar que, dichos materiales son producto de la participación de docentes de la Institución, en los cuales han manifestado su experiencia, conocimientos y compromiso en pro de la formación de los jóvenes bachilleres. Los materiales didácticos se dividen en dos modalidades: Guía de Actividades del Alumno para el Desarrollo de Competencias, dirigida a las asignaturas de los Componentes de Formación Básica y Propedéutica, y Guía de Aprendizaje; para las capacitaciones del Componente de Formación para el Trabajo. Cabe señalar que, los materiales se encuentran en un proceso permanente de revisión y actualización por parte de los diferentes equipos docentes así como del equipo editorial. Las guías se pueden consultar en la página Web del CBBC: www.cobachbc.edu.mx en la sección alumnos / material didáctico. Es necesario, hacer énfasis que la guía no debe ser tomada como la única herramienta de trabajo y fuente de investigación, ya que es imprescindible que los estudiantes lleven a cabo un trabajo de consulta en otras fuentes bibliográficas impresas y electrónicas, material audiovisual, páginas Web, bases de datos, entre otros recursos didácticos que apoyen su formación y aprendizaje.

COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc. Estas competencias junto con las disciplinares básicas constituyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. Se autodetermina y cuida de sí: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. Se expresa y se comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Piensa crítica y reflexivamente 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Aprende de forma autónoma 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Trabaja en forma colaborativa 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participa con responsabilidad en la sociedad 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES EXTENDIDAS DEL CAMPO DE MATEMÁTICAS

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

BLOQUE I

IDENTIFICAS LA APLICACIÓN DE LOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS EN LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Formación Propedéutica - Quinto Semestre

Bloque

I

IDENTIFICAS LA APLICACIÓN DE LOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS EN LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS Desempeños a demostrar:

• • • •

Identifica los fundamentos y conceptos de las Matemáticas Financieras en situaciones reales. Reconoce la Ley de los Exponentes y valora su aplicación en situaciones reales. Compara operaciones con fracciones, para identificar y valorar su aplicación. Aplica el concepto de tanto por ciento en su contexto, para evaluar su utilidad. Competencias a desarrollar:

• • • • •

Elige las fuentes de información más relevantes de los fundamentos matemáticos y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y viabilidad. Describe los fundamentos matemáticos como prefacio a la aplicación en las diferentes situaciones reales e hipotéticas. Argumenta la solución obtenida de un problema de los Fundamentos Matemáticos, con métodos numéricos variacionales mediante lenguaje verbal y matemático, y el uso de las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC). Estructura ideas de manera clara, coherente y sintética de la Ley de los Exponentes, fracciones propias e impropias y tanto por ciento en diferentes situaciones reales e hipotéticas. Formula y resuelve problemas matemáticos financieros, aplicando leyes de los exponentes, fracciones propias e impropias y tanto por ciento en casos reales y concretos. Objetos de aperndizaje: Fundamentos matemáticos

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Generalidades de Matemáticas Financieras ¿Qué entiendes por Matemáticas Financieras? ¿Cuándo puedes aplicar las Matemáticas Financieras? ¿Para qué sirven? Realiza una relación de situaciones en las que puedes aplicar las Matemáticas Financieras.

2


5 Semestre

Matemáticas Financieras I

Definición de Matemáticas Financieras: La matemática financiera es una rama de las matemáticas aplicadas que se ocupa de los mercados financieros, es decir, un conjunto de herramientas matemáticas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la posibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión. Las Matemáticas Financieras tienen como objetivo fundamental el estudio y análisis de todas aquellas operaciones y planteamientos en los cuales intervienen los siguientes conceptos básicos: capital, interés, tiempo y tasa. La Matemáticas Financieras las podemos asociar con dos símbolos, es decir el de los números (#) y el de los pesos ($), ya, que cuando hablamos de Matemáticas automáticamente hacemos relación con los números; y cuando hablamos de Finanzas lo relacionamos con el signo pesos; de allí la asociación. Conceptos básicos: • C • n • i • I

Capital Tiempo Tasa Interés Fórmula I= C*i*n

Capital Es el que se utiliza para hacer referencia al dinero o al patrimonio monetario que una persona, es decir, es el valor económico de un artículo, medido en dinero y condicionado por la disponibilidad en el tiempo. También se le denomina valor actual o presente del dinero e inversión inicial. C= I/i*n Tiempo Es el que normalmente se especifica en el documento o contrato puede ser cualquier unidad de tiempo; días, meses, años, etc. n= l/C*i Tasa de interés Es el precio del dinero que normalmente se indica en tanto por ciento (%), es una operación comercial donde se hace uso de un capital. i= l/C*n Interés Tiene su origen en las transacciones que realizan dos o más personas por el intercambio de bienes y servicios. También es lo que se paga o se recibe por cierta cantidad de dinero tomada o dada en préstamo en un lapso de tiempo. BLOQUE I

3


Fundamentos financieros: 1.- Ley de los Exponentes 2.- Razones y Proporciones 3.- Reparto Proporcional 4.- Progresiones 5.- Interés Simple Ley de los Exponentes Cuando hablamos sobre pies cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, millas cuadradas, kilómetros cuadrados o cualquier otra unidad de área, o cuando hablamos sobre pies cúbicos, metros cúbicos, centímetros cúbicos o cualquier otra unidad de volumen estamos aplicando la ley de los exponentes en nuestra vida diaria. Por ejemplo: Queremos instalar piso laminado en una oficina, para esto debemos calcular el área en metros cuadrados, de esta manera sabremos cuántas cajas de laminado necesitaremos. Cuando a.a.a.a.a.a se abrevia como a6, a se conoce como base y 6 como exponente. Un exponente es, por tanto, un entero positivo escrito en la parte superior derecha de la base el cual indica el número de veces que la base aparece como factor. Ejemplo: a. a = a2 a . a . a = a3 a . a . a . a = a4 a . a . a . a . a = a5 Fórmulas básicas

Ejemplo

1.a -m =

2.-

1 am

1 2 -3

2 -3

am m-n = a an

24 23

2 4-3

1 2.2.2

1 8

21

2

3.a m a n = a m+n

43

42

4 3+2

4.4.4.4.4

1024

Fórmula 1 En la bolsa de valores la empresa TELMEX quiere vender 3 acciones cuyo valor es de $20.00 c/u. ¿Qué parte del capital se estaría vendiendo? 4


5 Semestre


Resolución: 1 am

a -m = 20

-3

1 20 3

=

1 20.20.20

1 8000

0,000125

Fórmula 2 Una persona compró un Ipod de 2GB con un valor de $2,300 a crédito a un plazo de 6 meses, pero decide hacer un pago de 5 mensualidades. ¿Cuánto le falta para liquidar (pagar) su deuda? Resolución: 2,300.00 6

384

mensuales

Fórmula 2

am an

m-n = a

6

384 6 384

6-5

384

1

384

384.00

Fórmula 3 María compró en una licuadora a crédito a 6 meses sin intereses, pagando mensualidades de 2 pesos del cual ya ha pagado 4 mensualidades. Por un descuido, ella rompe su licuadora y decide comprar otra igual con la misma forma de pago. ¿Cuánto pagará en total? Resolución a m a n = a m+n

2

2

2

6

2

2+6

2.2.2.2.2.2.2.2

256,00

Fracciones propias e impropias En la vida cotidiana podríamos aplicar las fracciones propias a la repartición equitativa de un bien. Por ejemplo, cuando adquiere un terreno una inmobiliaria y necesita fraccionar el terreno para la construcción de las casas en partes iguales, dependiendo del número de casas que se desea construir en el terreno mencionado. BLOQUE I

5


Una fracción se llama propia si su numerador es menor que su denominador.

Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador. Se puede expresar como un número mixto formado por un número natural más una fracción propia. Si el numerador de una fracción es múltiplo del denominador, la fracción representa un número natural. Representa las siguientes fracciones propias e impropias en tu cuaderno y después compruébalo. Fracciones propias

Fracciones impropias

Tanto por ciento El porcentaje es una de las expresiones matemáticas que más usamos en la vida cotidiana. Por ejemplo: Te han avisado que próximamente te van a subir 3.5% a tu sueldo de $ 1,706.79. Esto es a $1,766.53, pero ¿cómo sacamos este valor? 1,706.79

.

1,706.79+ 6

3,50% 59.73

59.73 1,766.52


5 Semestre


Aplicación del tanto por ciento Es el número de partes que se tomaron de un entero que se dividió en 100 partes. Ejemplos:

% símbolo

30% representan = 30/100 = 0.30

Forma fraccionaria

Forma decimal.

3.2%

3.2/1000 = 0.032

0.42%

.42/100 = 42/10000 = 0.0042

I. Convierte o expresa en forma decimal y fraccionaria. Porcentaje

Fracción

Decimal

a) 5.2%

52/1000

0.052

b) 62.8%

628/1000

0.628

c) 52.4%

524/1000

0.524

d) 0.4%

4/1000

0.004

II. Conversión de decimal a tanto por ciento. 0.75

75/100 = 75%

0.32

32/10 = 3.2%

BLOQUE I

7


III. Conversión de fracción a tanto por ciento. En este caso se obtiene una fracción equivalente.

Tanto por ciento de una cantidad Para obtener el % de una cantidad ésta se multiplicará por la forma decimal del tanto por ciento para obtener el porcentaje. 60% de 900

900 (0.60) = 546

a) ¿Qué tanto por ciento es un porcentaje de una cantidad? Se establece una razón (fracción) y se obtiene el por ciento (%). ¿Qué tanto por ciento es 20 de 25?

b) ¿Cuál es la cantidad original sabiendo el porcentaje y qué tanto por ciento? Se realiza a través de una regla de tres directa.

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5 Semestre


RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Ejercicios de Ley de los Exponentes. Aplica la fórmula que mejor resuelva el problema. 1.- La empresa Radio Móvil Dipsa, S.A. de C.V. Quiere vender 5 acciones cuyo valor es de $15.00 c/u. ¿Qué parte del capital se estaría vendiendo?

2.- Mónica compró una Notebook marca Acer con un valor de $5,000.00 a crédito a un plazo de 12 meses, pero decide hacer un pago de 6 mensualidades. ¿Cuánto le falta para liquidar (pagar) su deuda?

3.- José Luis compró en un taladro a crédito a 6 meses sin intereses, pagando mensualidades de $3.00 pesos del cual ya ha pagado 3 mensualidades. Por un descuido, se le quema el taladro y decide comprar otro igual con la misma forma de pago. ¿Cuánto pagará en total?

BLOQUE I

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Ejercicios de fracciones propias e impropias. Aplica la fórmula que mejor resuelva el problema. Identifica con una “P” cuáles son fracciones propias y con una “I” las fracciones impropias.

Ejercicios de tanto por ciento. Obtén el por ciento de las siguientes cantidades.

EVALUACIÓN Proyecto del Bloque I En equipo diseñen una problemática de los conceptos de los Fundamentos Matemáticos Financieros que estén relacionados con la vida cotidiana y preséntenlo al grupo.

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5 Semestre


BLOQUE II

INTERPRETAS RAZONES Y PROPORCIONES

BLOQUE II

11


Bloque

II

• •

• • • • • •


Desempeños a demostrar: Interpreta modelos matemáticos financieros mediante la aplicación de Razones Aritméticas y Geométricas, para la compresión y análisis de situaciones financieras reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques de las proporciones, comprendiendo cada uno de sus pasos e interpreta los resultados obtenidos en situaciones reales. Competencias a desarrollar: Elige procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye en la solución de Razones y Proporciones. Usa la Tecnología de Información y Comunicación, para obtener información sobre la aplicación de las Razones Aritméticas y Geométricas, así como la Proporción Directa, Inversa, Compuesta y Mixta a situaciones cotidianas. Analiza las relaciones entre dos o más variables de Razones y Proporciones, para determinar o estimar su comportamiento en diferentes situaciones reales o hipotéticas. Explica e interpreta los resultados obtenidos de Razones y Proporciones a través de procedimientos matemáticos y los contrasta con situaciones reales. Aplica a situaciones reales los métodos establecidos, de las Razones Aritméticas y Geométricas, Proporciones Directa, Inversa, Compuesta y Mixta. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Objetos de aperndizaje: • •

Razones Proporciones

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Concepto de razones y proporciones En la vida corriente utilizamos el término proporción con distintos sentidos: Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: "este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado". • Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo ponemos de manifiesto la correlación entre estas dos variables: éxito y trabajo. 12


5 Semestre


• También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: "proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante " (el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente equivaldría a que un hombre levantara sobre su cabeza un tanque de 50 Tons. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura. Para competir con ella un hombre debería saltar limpiamente la Giralda de Sevilla). Las razones y proporciones tienen una gran aplicación en diversas disciplinas; por ejemplo, en Ingeniería se emplean las escalas para realizar maquetas, en el Área Contable, para realizar movimientos financieros, y en la vida diaria para efectuar ciertas operaciones, por ejemplo: saber si 80 mins. representan $100 pesos de recarga a tu celular $120 pesos, ¿cuántos minutos serán? Conceptos básicos Razones Es el resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie y puede ser Geométrica o Aritmética:

Antecedente

a =k b

valor de la razón

Nota: se manejarán las dos formas si no se especifica cuál es con respecto de la otra. Razones y proporciones.

Consecuente

Razón aritmética: Resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie con el fin de precisar cuánto excede uno de la otra, es decir, es la diferencia (resta) entre dos cantidades. La razón aritmética se puede escribir colocando entre dos cantidades el signo “ . “ con el signo “ –“ . Ra= a – b

Ra= b – a

Ejemplo 100 – 50=50 El primer término de una razón aritmética recibe el nombre de antecedente (100) y el segundo consecuente 50. Razón geométrica: Es el resultado de la comparación por cociente de dos cantidades de la misma especie A y B con el fin de establecer las veces que una contiene a la otra. Ejemplo:

100/50= 2

El primer término de una razón aritmética recibe el nombre de antecedente (100) y el segundo que divide se le denomina consecuente 50.

BLOQUE II

a Rg = b

Numerador

Denominador

Razón

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Razón aritmética r= a - b Razón aritmética Si dicha comparación se realiza mediante una sustracción se llama razón aritmética r= a/b Razón geométrica Pero si se realiza mediante una división se llamará razón geométrica. Ejemplo de razón aritmética Ramón y Juan están en la razón 3 es a 5 y sus ahorros suman $48,000. ¿Cuánto tiene cada uno ahorrado?

=

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Ejemplo de razón geométrica Una empresa tiene un Inversión de $ 100,000.00 y unas Deudas de $ 25,000.00, ¿cuál será la razón geométrica (RG), y cuál su conclusión? I = $ 100,000.00 (antecedente) D=

25,000.00 (consecuente)

RG = x RG = 100,000 25,000 Por simplificación eliminamos tres ceros, tanto en el (I) como en el (D), por lo que los datos quedan de la siguiente forma: RG = 100/25 Reduciendo a su quinta potencia: RG = 20/5 Se obtiene el resultado con otra reducción a su quinta potencia: RG = 4/1 = 4

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5 Semestre


Conclusiones: Primera. Mientras los dueños o socios invierten $ 4.00, los proveedores o acreedores de la empresa aportan $1.00 Segunda. $ 1.00 de la Deuda, están garantizados o respaldados por $ 4.00 de la Inversión. Esta última conclusión, es la que nos da una idea más exacta de la magnitud de la situación financiera de la empresa. En las razones geométricas no es conveniente dividir, directamente, el antecedente (I) entre el consecuente (D), sino simplificar las cantidades hasta su más mínima expresión, para comprender mejor su conclusión. Es conveniente hacer notar que, para no tergiversar el problema, los ceros que se eliminen o la potencia de simplificación que se aplique al antecedente, le serán eliminados o aplicados al consecuente, respectivamente. Proporción Simple Directa Consiste en que dos magnitudes son correspondientes a dos magnitudes directamente proporcionales. Se calcula cuando una magnitud corresponde directamente proporcional a otra, quedando una variable pendiente de tener una magnitud directamente proporcional. Donde aplicaremos una proporción simple directa. (Regla de tres directa).

La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más

más.

A menos

menos.

Ejemplo: Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros.

240 km X km

BLOQUE II

D

3h 2h

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Proporción Simple Inversa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales. Se calcula invirtiendo el valor de las magnitudes, quedando una magnitud dada sin correspondencia aplicable otra magnitud. Donde aplicaremos una proporción simple inversa. (Regla de tres inversa). I

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más

menos

A menos

más

Ejemplo: Un grifo que mana 18 L de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 L por minuto? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito. 18 L por min. 7 L por min.

I

14 h xh

Proporción Compuesta Directa La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes (situaciones), de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. D

D

B

C C

B

D

D

B

C

D

X

B

C

X

B C D B

C

En una empresa olvidaron encendidas 9 máquinas ensambladoras durante 10 horas y han consumido una cantidad de luz por $1,000.00. Averiguar el precio de 15 máquinas encendidas durante 12 horas durante el mismo día.

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5 Semestre


Proporción Compuesta Indirecta Cuando intervienen más de dos magnitudes relacionadas entre sí proporcionalmente, estamos ante un problema de proporcionalidad compuesta. A la hora de resolver problemas de proporcionalidad compuesta es necesario determinar el tipo de proporcionalidad existente entre la incógnita y el resto de magnitudes que intervienen. I

I

B B B

C

I

C

D

B

C

D

X

B

C

X

C D

B C

En la compañía Toyota 5 obreros que trabajan 6 horas diarias ensamblan un auto en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros, trabajando 7 horas diarias? • A menos obreros más días (inversa) • A más horas

menos días (inversa)

Proporción Compuesta Mixta Intervienen más de dos magnitudes relacionadas entre sí proporcionalmente, y se relacionan en proporción compuesta directa e indirecta. La directa permanece contante y la indirecta sufre variación de la magnitud donde es necesario determinar la proporcionalidad mixta. D

I

B B B

C C

D

D

B

C

D

X

B

C

X

C D

B C

BLOQUE II

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Una empresa fabrica camisetas. Una de las líneas de producción cuenta con 8 obreros quienes en 9 días fabrican 3,000, trabajando 6 horas diarias. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros, trabajando 8 horas diarias para fabricar 5,000 camisetas? • • •

A más obreros, menos días A más horas, menos días A más camisetas, más días

inversa inversa directa

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Ejercicios de Razón Aritmética y Geométrica 1.-Julia y Daniela tiene 6 y 10 años de antigüedad en su trabajo, sus salarios de acuerdo a su antigüedad suman $28,000.00 pesos. ¿Qué sueldo tiene cada una de ellas?

2.- Una persona tiene un sueldo de $10,000.00 mensual y tiene que pagar la mensualidad de su tarjeta de crédito por $ 2,000.00. ¿Cuál sería su sueldo disponible para el pago de su deuda?

Ejercicios de Proporción Directa simple e inversa 1.- Ana compra 5 escritorios, si 2 cuestan $ 2,000.00, ¿cuánto pagará Ana? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más escritorios, más pesos. D

2 escritorios

$2,000.00 pesos x

5 escritorios

2.- Tres obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas. 3 obreros 6 obreros

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I

12 h xh


5 Semestre


Ejercicios de Proporción Compuesta y Mixta 1.- La empresa La Comer, S.A, pidió un préstamo al banco para comprar 5 computadoras a $20,000.00 y posteriormente solicitó otro préstamo para comprar otras 3. ¿Qué cantidad fue la que solicitó en el segundo préstamo?

2.- En la empresa vinícola L.A. Cetto 2 máquinas embotellaron 50 vinos tintos en 4 horas. ¿Cuánto tardarán 3 máquinas, embotellando 120 vinos tintos?

3.- Una empresa elabora artesanías, 3 artesanos que en 5 días elaboran 25 jarrones, trabajando 4 horas diarias. ¿Cuántos días necesitarán 4 artesanos, trabajando 6 horas diarias para fabricar 45 jarrones?

EVALUACIÓN Proyecto del Bloque II Plantear y resolver un problema financiero de vida cotidiana en donde se apliquen los conceptos aritméticos y geométricos por medio de la formación de equipos y lo expongan ante el grupo.

BLOQUE II

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INSTRUMENTOS DE AUTOEVALUACIÓN Y COEVALUACIÓN Corte I Autoevaluación Instrucciones: Contesta honestamente, marcando con una a los siguientes cuestionamientos. Nombre d el alumno: Semestre: Corte: Grupo: Siempre A veces Difícilmente Observaciones Indicador de desempeño: Asumo comportamientos y decisiones que me ayudan a lograr mis metas académicas. Soy consciente de mis hábitos de consumo y conductas de riesgo, favoreciendo mi salud física, mental y social. Puedo expresar mis ideas a través de diversos lenguajes (común, matemático, etc.). Utilizo las Tecnologías de la Información y Comunicación en los trabajos que lo requieren. Formulo hipótesis y compruebo su validez para la solución de problemas planteados en diversas asignaturas. Consulto diversas fuentes informativas y utilizo las más relevantes y confiables. Realizo trabajos donde aplico saberes de varias asignaturas. Me integro con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo. Respeto las opiniones, creencias e ideas de mis compañeros. Contribuyo con acciones para la solución de problemas ambientales de mi comunidad. Coevaluación Instrucciones: Contesta honestamente, sí o no marcando con una a los siguientes cuestionamientos respecto al compañero asignado. Nombre del compañero: Semestre: Corte: Grupo: Tu compañero: Siempre A veces Difícilmente Observaciones Asume comportamientos y decisiones que contribuyen a lograr las metas del grupo. Lleva a cabo hábitos de consumo que favorecen su salud física, mental y social. Expresa sus ideas a través de diversos lenguajes (común, matemático, etc.). Utiliza las Tecnologías de la Información y Comunicación en los trabajos que lo requieren. Propone soluciones a problemas planteados en diversas asignaturas. Consulta diversas fuentes informativas y utiliza las más relevantes y confiables. Realiza trabajos donde aplica saberes de las asignaturas. Se integra con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo. Respeta las opiniones, creencias e ideas de los compañeros. Participa en acciones para ambientales de su entorno.

20

la solución de problemas


5 Semestre


BLOQUE III

APLICAS EL REPARTO PROPORCIONAL

BLOQUE III

21 21


Bloque

III

• • •

APLICAS EL REPARTO PROPORCIONAL Desempeños a demostrar:

Identifica los elementos que intervienen en el Reparto Proporcional simple directo, inverso, compuesto indirecto, mixto y reparto de utilidades, para dar solución a problemas financieros planteados en situaciones reales o hipotéticas. Utiliza los elementos Proporcionales en situaciones mercantiles de manera reflexiva. Aplica los diferentes tipos de Reparto Proporcional para dar solución a situaciones de casos reales o hipotéticos. Competencias a desarrollar:

• • • • • •

Identifica los diferentes modelos matemáticos de Reparto Proporcional para dar solución a problemas planteados en situaciones reales o hipotéticas. Diseña casos prácticos para ser resueltos mediante el Reparto Proporcional, de acuerdo al contexto del alumnado. Formula y resuelve problemas matemáticos reales o hipotéticos, aplicando los diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos que los contrasta con modelos establecidos en situaciones reales, mercantiles y financieras. Explica e interpreta los resultados obtenidos del reparto de utilidades de los trabajadores mediante el Reparto Proporcional en situaciones reales de una entidad económica. Argumenta la solución obtenida de los problemas, mediante el lenguaje algebraico y uso de las TIC.

Objetos de aperndizaje: Reparto proporcional

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Concepto de reparto proporcional. En la vida cotidiana podríamos aplicar el reparto proporcional a la repartición equitativa y proporcional de un bien. Operación de repartir una cantidad de manera que los resultados sean proporcionales a cantidades determinadas. Por ejemplo, cuando un agricultor tiene varias hectáreas en un mismo terreno el cual tiene que dividir en partes iguales dependiendo de la cantidad de variedades de horticultura (frutas y verduras) que desee sembrar. 22 22


5 Semestre


Reparto proporcional En un reparto proporcional hay que repartir una cantidad proporcionalmente a otras, este reparto puede ser directo, si a una cantidad mayor corresponde otra mayor o inverso, si a una cantidad mayor le corresponde una menor. Es decir, “El reparto proporcional no es más que la división equitativa de una cifra o cantidad dada, entre ciertos números denominados índices del reparto”. En los problemas del reparto proporcional se consideran tres elementos: 1.- Cantidad a repartir 2.- Índices del reparto 3.- Cociente del reparto La aplicación del reparto proporcional es muy variada, se aplica en gran escala en empresas comerciales, pero fundamentalmente en la aplicación o prorrateo de gastos en la contabilidad de costos. Casos: 1.- Simple y directo 2.- Simple inverso 3.- Compuesto indirecto 4.- Mixto 5.- Reparto de utilidades Reparto proporcional inverso A una mayor cantidad corresponde menor proporción. Tres socios, Antonio, José y Ana pusieron para crear una empresa $5,000.00, $8,000.00 y $10,000.00 pesos respectivamente. Tras un tiempo la empresa tiene $2,300.00 pesos de beneficios. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno? Es claro que los beneficios se tienen que repartir proporcionalmente a la cantidad que se aporta y a mayor aportación más beneficios, luego el reparto proporcional es directo. Llamemos x, y, z a los beneficios de Antonio, José y Ana. Establecemos la proporción entre el beneficio y la aportación x 5000 x 5000 y 8000 z 10000

y z 8000 10000 1 luego 10x 10 1 luego 10y 10 1 luego 10y 10

x+ y+z 5000 + 8000 + 10000 5000

x

500

8000

x

800

1000

y

2300 23000

1 10

1000

Por tanto, Antonio recibirá 500 pesos, José recibirá 800 pesos y Ana 1,000 pesos. Reparto proporcional inverso A una mayor cantidad corresponde menor proporción. Un padre quiere repartir $15,000.00 pesos entre sus hijos de 3, 10 y 15 años. Desea entregar a cada hijo una cantidad que sea inversamente proporcional a su edad. ¿Qué cantidad corresponderá a cada hijo? BLOQUE III

23 23


Llamemos x, y, z a las cantidades que lo corresponde a los hijos de 3, 10 y 15 años respectivamente. x 1 3

y 1 10

z 1 15

x+ y+z 1 1 1 ++ 10 15 3

15000 1 2

30000

(1/3 + 1/10 + 1/15 = 1/28 = ½ simplificando a su mínima expresión) x 1 3 y 1 10 z 1 15

30000

x

10000

30000

y

3000

30000

z

2000

Por tanto al niño de 3 años le corresponden $10.000 pesos, al de 10 años $3.000 pesos y al de 15 $2,000 pesos. Reparto proporcional compuesto El reparto proporcional compuesto es inverso cuando las cantidades a repartirse son inversamente proporcionales a los tipos de datos. Una cantidad de $5,000 pesos han de repartirse entre tres empleados cuyas edades son 25, 45 y 55 años y sus sueldos mensuales son $1,000, $1,200 y $1,400 pesos respectivamente. El reparto ha de ser proporcional a la edad y al sueldo: quien menos años tiene recibirá más dinero y quien menos gana ha de recibir más pesos de gratificación. Como ves, se trata de un reparto proporcional compuesto inverso. Solución: 1) Los tipos de datos los colocamos debidamente ordenados: Edad Sueldo Empleado A 25 $ 1,000 Empleado B 45 $ 1,200 Empleado C 55 $ 1,400 Simplificamos los datos (columna de edad por 5, y la de sueldo por $200): Edad Sueldo Empleado A 5 5 Empleado B 9 6 Empleado c 11 7 2) Los dos tipos de datos los multiplicamos cada dato de una serie o tipo por su correspondiente en la otra (u otras) serie o series, tipo o tipos: Empleado A Empleado B Empleado c 24 24

Edad 5 9 11

por por por

Sueldo 5 igual 6 igual 7 igual

25 54 77


5 Semestre


Sus inversos son:

1 15

1 1 y 54 77

Calculamos la suma de las partes:

1 15

1 1 y 77 54

0,071505532

Hallamos la constante de proporcionalidad:

5000

0,071505532

69924,66177

Multiplicamos esta cantidad por cada una de las partes y de este modo calculamos la parte que ha de percibir cada operario:

Reparto proporcional mixto El reparto proporcional mixto se refiere a que la cantidad a dividir o repartir se hace de forma directa respecto a uno o varios tipos de datos o series de datos e inversa respecto a otros. El modo de resolver es muy simple, basta multiplicar uno de los tipos o series de datos por los inversos de sus correspondientes en la otra u otras. Una cantidad de $5,000 pesos han de repartirse entre tres empleados cuyas edades son 30, 40 y 50 años y sus sueldos mensuales son $1,200, $1,400 y $1,600 pesos respectivamente. El reparto ha de ser directamente proporcional a la edad e inversamente proporcional al sueldo: quien menos años tiene recibirá menos dinero y quien menos gana recibirá más pesos de gratificación. Como ves, se trata de un reparto proporcional mixto. Solución: 1) Los tipos de datos los colocamos debidamente ordenados: Empleado A Empleado B Empleado C

Edad 30 40 50

Sueldo $1,200 $1,400 $1,600

Simplificamos los datos (columna de edad por 10, y la de sueldo por $200): Edad Sueldo Empleado A 3 6 Empleado B 4 7 Empleado C 5 8

BLOQUE III

25 25


2) Los dos tipos de datos los multiplicamos cada dato de una serie o tipo por su correspondiente en la otra teniendo en cuenta que en este segundo tipo los datos son inversamente proporcionales: Empleado A Empleado B Empleado C

3 por 1/6 = 3/6 4 por 1/7 = 4/7 5 por 1/8 = 5/8

Calculamos el m.c.m. de los denominadores de

) 21

4 5 y 8 7

)

= 56

Cálculo del m.c.m (Mínimo común múltiplo) 2 7 8 | 2 1 7 4 | 7 1 1 4 | 4 1 1 1 | Total

(2 * 7 * 4) =

Las fracciones entre paréntesis podemos escribirlas:

) 21

4 5 y 8 7

)

x28 4x8 4x8 56 56 56

28 32 35 56 56 56

Cuando todos los denominadores de cada parte son iguales podemos prescindirlos y nos quedan los numeradores. El problema se reduce ahora a repartir en partes proporcionales a 28, 32 y 36. Hallamos la constante de proporcionalidad: cantidad a repartir total de las partes

5000 95

=

= 52, 63158

Empleado A

52.63 por 28 = $1,473.64

Empleado B

52.63 por 32 = $1,684.16

Empleado c

52.63 por 35 = $1,842.05

Reparto de utilidades Es muy importante tener conocimiento de este reparto en especial ya que todos en algún momento de nuestra vida somos o seremos empleados de una empresa y qué mejor que hacer nuestro propio cálculo de reparto de utilidades para comprobar que nos entregan lo que realmente nos corresponde como empleados de la misma, ya que no sólo son o serán empleados sino el motor y parte primordial de la empresa. En México, la constitución establece que los trabajadores tenemos derecho (ya sean de planta o eventuales) a participar en las utilidades fiscales que obtiene una empresa o patrón y que hayan laborado por lo menos 60 días durante en el año (aunque hayan dejado de trabajar para ese patrón), por la actividad productiva o servicios que ofrece en el mercado. Esto es lo que se conoce como reparto de utilidades. Es la participación de las ganancias anuales de una empresa por parte de los trabajadores y también se le llama (contablemente) PTU; y tiene la obligación de entregar una parte de esa ganancia a los trabajadores, el reparto de estas utilidades va en función del tiempo trabajado (no se considera tiempo extra) y el salario por lo que no todos reciben el mismo importe.

26 26


5 Semestre


El reparto se presenta en empresas que tienen conciencia sobre la importancia que tienen sus trabajadores, por lo que se otorga un porcentaje de 10% de las ganancias anuales de la empresa para repartirlas entre los trabajadores. Esto genera un mayor compromiso por parte de los trabajadores que dejan de sentirse emplead trabajadores que dejan de sentirse empleados y se visualizan como una pequeña parte de la empresa y de las ganancias de la misma. De modo que quede bien claro, el trabajador deberá recibir 10% de las utilidades que se generaron en la empresa durante el año inmediato anterior. Asimismo, según indica “el artículo 177 de la Ley Federal del Trabajo, se deberán entregar en porcentaje proporcional al tiempo laborado, con un lapso de 60 días después de presentados los impuestos anuales. Por su lado, esta ley indica que el pago será repartible en dos partes iguales”. 1.- Por igual entre todos los trabajadores, según los días trabajados 2.- Proporción al monto de los salarios devengados por el trabajo prestado Por otra parte, es importante destacar que estarán exentas del Reparto de las Utilidades a los Trabajadores las siguientes empresas: - Empresas de nueva creación durante el primer año de funcionamiento; si además se dedican a la elaboración de un producto nuevo y novedoso, quedan exceptuadas durante los dos primeros años de funcionamiento. - Las empresas que se fusionen, traspasen o cambien su nombre o razón social, no se consideran de nueva creación. - Las empresas de la industria extractiva de nueva creación, durante el período de exploración. - Las instituciones de asistencia privada reconocidas por las leyes. - El IMSS y las instituciones públicas descentralizadas, con fines culturales, asistenciales o de beneficencia. - Las empresas cuyo ingreso anual declarado al impuesto sobre la renta no sea superior a $300.000.00 También, quedan excluidas las personas que perciben ingresos por honorarios o donde no exista una relación de trabajo subordinado, trabajadores domésticos, eventuales que no hayan trabajado más de 60 días. Además de ellos, tampoco reciben reparto los directores o gerentes generales de una empresa, así como sus socios y accionistas. La idea es que el reparto de utilidades sea un beneficio para los trabajadores de la misma. “El Artículo 123 fracción IX apartado A de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, artículos del 117 al 131 de la Ley Federal del Trabajo y artículos 16, 17 último párrafo, 132 y 138 último párrafo de la Ley del Impuesto sobre la Renta.” Procedimiento del Reparto de Utilidad se calcula sobre 2 bases distintas: La primera viene siendo conforme los días trabajados que es la parte más equitativa de este cálculo y, la segunda de acuerdo al monto de los salarios percibidos (entre más ganaste en el año más te corresponde de PTU). Para la primera parte se debe de considerar los días laborados, y todos aquellos que por disposición de la ley, contrato individual o colectivo de trabajo y del reglamento interior de trabajo, etc. Y para la segunda parte se considerara exclusivamente el salario por cuota diaria, sin incluir otros ingresos como tiempo extra, gratificaciones, primas o cualquier otro ingreso derivado de su trabajo al correspondiente al total percibido durante el año. Para poder llegar a la cantidad que corresponde a cada trabajador, se debe considerar tanto el sueldo percibido como los días trabajados durante ese período. El monto a repartir se divide en dos: la primera mitad será distribuida entre los trabajadores de acuerdo a los días trabajados en el año y la segunda parte se aplicará proporcional al nivel de ingresos. BLOQUE III

27 27


Procedimiento de reparto individual de utilidades 1. Reparto de utilidades por días trabajados (devengados) Maribel Juárez García trabajó 350 días en el año 2012. La empresa obtuvo $2,070,000 pesos de utilidad anual. a) Utilidad repartible $2,070,000 ($2,070,000 * 10%) = $207,000 utilidad por repartir ($2,070,000 * 50%) = $103,500 utilidad por repartir por días trabajados b) 50% de la utilidad total a repartir se divide entre el total de días laborados por los trabajadores con derecho a participar. Total de días 3,044. ($ 103,500/ 3,044 días) = $ 34.002 El resultado de esta división, $ 34.002 utilidad por día trabajado se multiplica por los días laborados individualmente, resultando así la participación por días trabajados. (350 días * $ 34.002) = $ 11,900.70 utilidad días trabajados 2. Reparto de utilidades por salario percibido Maribel Juárez García obtuvo de ingresos anuales $25,185 días en el año 2012. La empresa pagó por sueldos $301,530 pesos anuales. a) El restante 50% de la cantidad a repartir se divide entre la suma total de los salarios por cuota diaria percibida por los trabajadores con derecho a participar ($ 103,500.00/ $ 301,530.00) = 0.3432 b) El resultado de esta división $ 0.3432 utilidad por peso ganado, se multiplica por el total del salario percibido individualmente por cada trabajador, resultando así la participación por salario devengado. ($ 25,185.00 x $ 0.3432 = $8,643.49 PARTICIPACIÓN POR DÍAS TRABAJADOS MÁS PARTICIPACIÓN POR SALARIO DEVENGADO

11,900.70

UTILIDAD TOTAL

20,544.19

28 28


8,643.49

5 Semestre


RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Ejemplos Reparto Proporcional Directo e Inverso, Compuesto, Mixto y Reparto de Utilidades. 1.- Se asocian tres individuos aportando $5,000, $7,500 y $9,000 pesos. Al cabo de un año han ganado $6,450 pesos. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

2.- Repartir $4,200 pesos como compensación, entre tres empleados en partes inversamente proporcionales a sus años de antigüedad, que son 3, 5 y 6.

3.- Una empresa tiene una utilidad de $80,000 pesos que debe de repartir entre tres socios cuyas acciones son 20, 35, 50, y sus aportaciones iníciales fueron de $2,000, $2,500, $3,000 pesos respectivamente. El reparto ha de ser proporcional a sus acciones y aportaciones iníciales: quien menos acciones tiene recibirá más dinero y quien menos aportaciones tenga recibirá más dinero por concepto de utilidad.

4.- El Sr. José Antonio quiere heredar en vida a sus hijos la venta de 5 casas valuadas en $ 250,000 pesos que han de prorratearse entre tres hijos cuyas edades son 35, 30 y 25, y quiere que se reparta en $100,000.00, $100,000.00 y $50,000.00, respectivamente. El reparto ha de ser directamente proporcional a la edad e inversamente proporcional al valor de las casas: quien menos años tiene recibirá menos dinero y quien menos valor de casas tenga recibirá más pesos de la venta de las casas. ¿Qué cantidad en efectivo le tocaría a cada hijo en proporción al valor de las casas?

5.- La empresa Sol de México obtuvo ingresos por $1, 207,000 pesos de utilidad anual con 3 empleados que generaron 1065 días. Los cuales fueron: Empleados

Sueldo

Días trabajados

1.- Rogelio Téllez Hernández

$ 27,340

360

2.- Martha Velázquez López

$ 35,280

350

3.- Verónica Márquez Díaz

$ 29,324

355

EVALUACIÓN ¿Qué reparto de utilidad por días trabajados y por salario percibido le corresponde a cada uno? Proyecto del Bloque III En clase, debate sobre un ejemplo de reparto de utilidades. Por equipo, elaboren un ejercicio del reparto de utilidades para ser resuelto mediante la proporcionalidad. BLOQUE III

29 29


INSTRUMENTOS DE AUTOEVALUACIÓN Y COEVALUACIÓN Corte II Autoevaluación Instrucciones: Contesta honestamente, marcando con una a los siguientes cuestionamientos. Nombre d el alumno: Semestre: Corte: Grupo: Siempre A veces Difícilmente Observaciones Indicador de desempeño: Asumo comportamientos y decisiones que me ayudan a lograr mis metas académicas. Soy consciente de mis hábitos de consumo y conductas de riesgo, favoreciendo mi salud física, mental y social. Puedo expresar mis ideas a través de diversos lenguajes (común, matemático, etc.). Utilizo las Tecnologías de la Información y Comunicación en los trabajos que lo requieren. Formulo hipótesis y compruebo su validez para la solución de problemas planteados en diversas asignaturas. Consulto diversas fuentes informativas y utilizo las más relevantes y confiables. Realizo trabajos donde aplico saberes de varias asignaturas. Me integro con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo. Respeto las opiniones, creencias e ideas de mis compañeros. Contribuyo con acciones para la solución de problemas ambientales de mi comunidad. Coevaluación Instrucciones: Contesta honestamente, sí o no marcando con una a los siguientes cuestionamientos respecto al compañero asignado. Nombre del compañero: Semestre: Corte: Grupo: Tu compañero: Siempre A veces Difícilmente Observaciones Asume comportamientos y decisiones que contribuyen a lograr las metas del grupo. Lleva a cabo hábitos de consumo que favorecen su salud física, mental y social. Expresa sus ideas a través de diversos lenguajes (común, matemático, etc.). Utiliza las Tecnologías de la Información y Comunicación en los trabajos que lo requieren. Propone soluciones a problemas planteados en diversas asignaturas. Consulta diversas fuentes informativas y utiliza las más relevantes y confiables. Realiza trabajos donde aplica saberes de las asignaturas. Se integra con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo. Respeta las opiniones, creencias e ideas de los compañeros. Participa en acciones para ambientales de su entorno.

30 30

la solución de problemas


5 Semestre


BLOQUE IV

CALCULAS LAS PROGRESIONES

BLOQUE IV

31


Bloque

IV

CALCULAS LAS PROGRESIONES Desempeños a demostrar:

•

Identifica y resuelve problemas financieros y mercantiles a través de las Progresiones Aritméticas y Geométricas, como antecedentes para aplicar interés simple, compuesto y anualidades. Competencias a desarrollar:

• • • • •

Identifica y utiliza como herramienta el procedimiento de las Progresiones Aritméticas y Geométricas para la solución de problemas de interés simple y compuesto. Argumenta la solución obtenida de ejercicios de Progresiones mediante la aplicación de modelos matemáticos, y usa la Tecnología de Información y Comunicación. Explica e interpreta los resultados obtenidos de las Progresiones mediante procedimientos matemáticos de saldos insolutos en situaciones reales. Formula y resuelve problemas prácticos en situaciones reales de empresas financieras y mercantiles mediante procedimientos matemáticos. Aplica las sucesiones de números en casos prácticos, siguiendo los procedimientos de manera reflexiva, identificando que cada uno de sus pasos contribuye a la solución de los ejercicios. Objetos de aperndizaje: Progresiones

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Introducción a las progresiones En la actualidad las progresiones geométricas y aritméticas son muy prácticas en su aplicación, por ejemplo: en el pago de un pagaré, de intereses capitalizables, es decir, a todos nos gusta traer los mejores gadgets que hay en el mercado como: celulares de alta tecnología, computadoras portátiles, ipods, etc., pero por el costo que tienen a veces es imposible adquirirlos al contado o en una sola exhibición, así que recurrimos a los créditos o compras a plazos, es ahí donde entran las progresiones. Ejemplo: cuando adquieren un celular a crédito en TELCEL, les aplican pagos mensuales iguales que se lleva el control con un talonario (llamado pagaré) el cual van pagando mes por mes consecutivamente la misma cantidad hasta llegar al importe total del celular en cuestión. Imagínense que ustedes sepan determinar las cantidades y así comprobar que no se ha aplicado algún interés escondido entre cantidades y no pagar más de lo que estrictamente les corresponde, ¿les agrada la idea? 32


5 Semestre


Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas. Progresión Aritmética

Una progresión aritmética es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia.

La constante puede ser positiva, negativa o cero, llamada diferencia común, que se suele denotar por la letra r. Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11… es una progresión aritmética de constante donde r = 2. El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término, anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es: an = a1 + (n-1)d Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es а y la diferencia común es ԃ, entonces el término п-ésimo de la sucesión viene dada por: а + пd, n = 0, 1, 2... si el término inicial se toma como el cero. а + (п-1)d n = 1, 2, 3... si el término inicial se toma como el primero. La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, pero emplea una terminología más confusa, ya que no es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética: а1 ,а2 , а3 ,..., аm , аn de diferencia d Tenemos que: а1=а1 а2=а1+d а3=а2+d ... аn-1=аn-2+d аn= аn-1+d

+4 5 u1

+4 9 u2

+4 13 u3

+4 17 u4

21 u5

Sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos: (I) аn= а1 + (п-1)d

BLOQUE IV

33


Expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos аm y аn (m < п) de la progresión anterior y pongámoslo en función de а1: аm=а1+(m-1)ԃ аn=а1+(п-1)ԃ Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos: (II) аn+(п-m)ԃ Expresión más general que (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia. Dependiendo de que la diferencia ԃ de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos: d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior. • Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (d = 3) d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales. • Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (d = 0) d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior. • Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... (d = − 2) Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos que puede ser positiva, negativa o cero, si bien, esta distinción no es estricta. Progresión Geométrica Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón de la progresión Ejemplos: 1) 5,10,20,40,..................................... 2) 3,9,27,81,....................................... 3) 1,5,25,125,625,............................... 4) 80,40.20.10.5,................................. Así que, 5, 15, 45, 135, 405,... es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque: x2 1 2 u1 u2

x2

x2

x2

4

8

u3

u4

15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 34


16

5 Semestre


405 = 135 × 3 y así sucesivamente. Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

аn=а1r(n-1) Siendo аn el término en cuestión, а1 el primer término y r la razón:

аn=а1r(n-1) Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión а6=5(3(6-1)) а6=5(35) а6=(243) а6=1215 • La progresión 1, 2, 4, 8, 16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40. • La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4. • La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo. • Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 • Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que r≠0 en la definición. Ejemplos de progresiones aritméticas y geométricas: 1. Consideremos la siguiente situación: 2 inversionistas se preparan para una negociación: Pablo comienza con $1,000 pesos, y todos los días gana $1,000 pesos más, en tanto que Emilio empieza con $200 pesos y cada día duplica lo ganado el día anterior. ¿Cuánto dinero de la inversión ganará cada uno el décimo día? • Solución: Pablo aumenta la inversión según una progresión aritmética, por tanto:

аn=а1+(п-1)d

an = $1,000 + (10 - 1). $1,000 = $10,000 • En cambio, Emilio aumenta su inversión según una progresión geométrica, por tanto: аn=а1r(n-1) BLOQUE IV

35


an= $200. 2(10 – 1) = $102,400 • Se puede ver en una tabla: Pablo

Emilio

1er. día

1000

200

2do. día

2000

400

3er. día

3000

800

4to. día

4000

1600

5to. día

5000

3200

6to. día

6000

6400

7mo. día

7000

12800

8vo. día

8000

25600

9no. día

9000

51200

10mo. día

10000

102400

Al décimo día ganarán: • •

Pablo $10,000 pesos mediante la progresión aritmética Emilio $102,400 pesos, usando la progresión geométrica

2.- Se compró un automóvil utilitario para el reparto de mercancía, de los cuales se dio un anticipo de $40,000 y el resto se firmó pagarés de $5,000 pagaderos a 24 meses. ¿Cuál fue el costo real de los pagarés del automóvil? 1

an = 5,000 + 115,000

3 …… 23

5.000,00 15.000,00 ……. 115.000,00

3.- Juan Pablo tiene una deuda en la tarjeta de crédito bancaria de $500 pesos y cada mes le aumenta una 1.5 veces su valor a razón de intereses el cual no ha pagado en 6 meses, ¿qué cantidad debe actualmente?

36


5 Semestre


RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Progresiones aritméticas y geométricas 1.- Se adquirió un equipo de cómputo para el Departamento de Recursos Humanos, de los cuales se dio un anticipo de $3,000 y el resto se firmó pagaré de $1,500 pagaderos a 12 meses. ¿Cuál fue el costo real del equipo de cómputo?

2.- La empresa Tecate tiene una deuda por un préstamo bancario de $20,000 pesos y cada mes le aumenta una 3.5 veces su valor a razón de intereses el cual no ha pagado en 3 meses, ¿qué cantidad debe actualmente?

3.- El Grupo Empresarial Cifra tiene 2 inversionistas que se preparan para una negociación: WalMart comienza con $5,000 pesos, y todos los meses gana $500 pesos más, en tanto que Aurrera empieza con $800 pesos y cada mes duplica lo ganado el día anterior. ¿Cuánto dinero de la inversión ganará cada uno el sexto mes?

Proyecto del Bloque IV Los alumnos presentarán por medio de las Tecnologías de la Información y la Comunicación casos reales con aplicaciones aritméticas y geométricas.

Trabajo para evaluar como examen Solicitar una presentación en Power Point con ejercicios demostrativos de progresiones y su aplicación a intereses sobre saldos insolutos y presentar ejemplos con solución.

BLOQUE IV

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MIS NOTAS:

38


5 Semestre


BLOQUE V

APLICAS EL INTERÉS SIMPLE

BLOQUE V

39


Bloque

V

APLICAS EL INTERÉS SIMPLE Desempeños a demostrar:

•

• • • • • • •

Aplica los elementos del Interés Simple, y la metodología para convertir los factores básicos en rendimiento dentro de las operaciones de carácter financiero y económico. Competencias a desarrollar: Identifica y argumenta los elementos que intervienen en los rendimientos y cargos que se utilizan en el capital financiero. Analiza las relaciones entre dos o más variables de monto, valor actual, tasa de interés y tiempos en situaciones reales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando los enfoques de interés simple, valor actual y descuento simple. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos financieros y los contrasta en situaciones reales. Ejercita operaciones financieras y crediticias donde aparezcan cálculo de interés simple, valor actual y descuento simple. Aplica modelos matemáticos para la presentación y solución de problemas de interés simple, valor actual y descuento simple. Usa la Tecnología de Información y Comunicación, para localizar y ejemplificar diversas problemáticas de interés simple, valor actual y descuento simple. Objeto de aperndizaje: Interés Simple

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Conocer los elementos que intervienen en los rendimientos y cargos que se utilizan en el capital financiero. ¿Para qué me sirve el interés simple y compuesto? Cuando se solicita un préstamo o se quiere invertir un capital llamémosle dinero, a la deuda se le carga (se le suma) un interés por el uso de ese dinero por un cierto periodo de tiempo en la cual interviene el riesgo de que aumente o disminuya nuestra deuda. Cuando se paga la deuda, se suma, el capital (cantidad de dinero que fue tomada en préstamo) y el interés. Ejemplo: cuando quieres adquirir unos zapatos en una tienda departamental de crédito (COPPEL), si lo compras al contado te saldría en $600 pesos pero como no se cuenta con esa cantidad, se solicita un crédito el cual sería $600 pesos (capital) y como cantidad a pagar a 6 meses $900 pesos (capital final), esto quiere decir que están cobrando $300 pesos de intereses. Y esto por el simple hecho de comprarlo a plazos. 40


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El concepto de riesgo y el de rendimiento son de vital importancia para todas las decisiones, no sólo financieras, sino también en la vida en general. Riesgo se refiere a la probabilidad de que algo no suceda, como el riesgo de que México no pase al mundial, en estos momentos es alto, pero había años en los que ni siquiera era un problema; el riesgo de quiebra de una empresa, el cual es la probabilidad de que efectivamente la empresa quiebre. El concepto de rendimiento se refiere a la utilidad que se obtiene de lo que se hace, como el rendimiento de una acción, el cual es el porcentaje extra que ha dado al costo original. El rendimiento es la ganancia o utilidad que produce una inversión o negocio. Usualmente se expresa en términos de porcentaje (%) anual sobre la inversión. Por ejemplo, si tienes depositado $10.000 a plazo fijo por un año con una tasa del 12%, tu rendimiento será de $1.200. La razón por la cual se ligan ambos conceptos es por una sencilla frase muy conocida, a mayor riesgo, mayor rendimiento y viceversa; para explicar mejor esta frase, es necesario darse cuenta que las cosas más riesgosas, así como pueden terminar en tragedia, también pueden terminar en un gran éxito, como lo fueron los bonos hipotecarios en su momento; instrumentos con un riesgo inherente muy alto, pero también con un rendimiento extraordinario, hasta que pasó lo que ya conocemos, la gente dejó de pagar sus hipotecas, los bonos hipotecarios cayeron súbitamente y el riesgo jugó en contra, al igual que el rendimiento se vio diezmado. Interés Simple Se llama interés simple a la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio económico llamado interés. Fórmula del Interés Simple: I =C*i*n Conceptos básicos donde: •

C

Capital o dinero de la inversión inicial.

•

n

Tiempo pactado para operación.

•

i

Tasa o razón.

•

I

Interés o dinero a cobrar o pagar.

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Ejemplos: 1.- Calcular el interés producido por un capital de $5000 colocado durante 3 años al 9 % anual. C = $5000 n = 3 años i=9% tiempo = 1 año Por tanto:

I = 5000 . 9 . 3

=

$1,350

Aclaración: la unidad de tiempo es el valor numérico de la frase que aparece en la razón. Ejemplo : razón

4 % anual representa:

Representación del tiempo 1año = 12 meses = 2 semestres = 3 cuatrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 360 días El tiempo dado n y la razón deben tener las mismas unidades antes de sacar cuentas 2.- Un capital de $4,000 es colocado al 5 % mensual durante 3 bimestres, calcular el interés ganado: C = $4000

i = 5 % mensual

I = 4000 . 5 . 6 =

n = 3 bimestres = 6 meses

tiempo = 1 mes

$1200

Ejemplo de pagaré: BUENO POR $ ________________________________________________________________________ Con esta fecha recibí de _________________________________________________________________ la cantidad de $ ___________ ,(___________________________________________________________) por concepto de mi PARTICIPACIÓN EN LAS UTILIDADES DE LA EMPRESA, correspondiente al Ejercicio Fiscal _______________, de conformidad con los artículos 117 a 131 de la Ley Federal del trabajo, en la inteligencia de que laboré efectivamente ________ días, dentro de decho periodo. Cantidad que recibo a mi entera satisfacción con una base salarial diaria de $___________________________________________ (____________________________________________________________________________________). A _______________________ DE _______________________________________ DE ______________ NOMBRE Y FIRMA DEL TRABAJADOR_____________________________________________________

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Ejemplo de estado de cuenta

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Interés Compuesto o Monto El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (F). Para un período determinado es. Capital final (F) = capital inicial (C) más los intereses ( i ). Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo: Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual). Año

Depósito inicial

Interés

Saldo final

0 (inicio) 1 2 3

$1.000.000 $1.100.000 $1.210.000 $1.331.000

($1.000.000 x 10% = ) $100.000 ($1.100.000 × 10% = ) $110.000 ($1.210.000 × 10% = ) $121.000 ($1.331.000 × 10% = ) $133.100

$1.100.000 $1.210.000 $1.331.000 $1.464.100

4

$1.464.100

($1.464.100 × 10% = ) $146.410

$1.610.510

5

$1.610.510

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final. Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general: En inversiones a interés compuesto, el capital final (M), que se obtiene a partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (n), está dado por la fórmula: M = C ( 1 + i )n

)

tasa%

)

100 . Y donde n Recordemos que i se expresa en forma decimal ya que corresponde a corresponde al número de años durante los cuales se mantiene el depósito o se paga una deuda.

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Nota: En los problemas de interés compuesto i y n deben expresarse en la misma unidad de tiempo, efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes períodos de tiempo. El Capital final o Monto es una fórmula reducida de interés simple con el objeto de poder llegar a deducir otras más complejas, por tanto, se realizan las siguientes modificaciones: Tasa Período

i n

se convertirá de porcentaje a decimal para la aplicación de la fórmula, donde: 10% porcentaje 10/100= 0.10 decimal

Ahora se remplazan la tasa ( i ) y el período (n) en la fórmula primitiva : La fórmula principal del Interés Simple queda reducida a I=C.i.n Capital final o monto: Es el capital colocado más el interés ganado M = C + I Combinando ambas fórmulas M = C + C . i . nw Factorizando (factor común, inversa de la propiedad distributiva) M = C.(1+i.n) Ejemplos: 1. Un capital de $5,000 se coloca en un banco al 4% mensual durante 8 bimestres. Indicar el valor del interés y del monto o valor actual. Buscar el valor futuro. Primero se debe “arreglar” los tiempos

i = 4 % mensual n = 8 bimestres = 16 meses

Segundo si i = 4% entonces i = 0,04 Al estar los tiempos convertidos el Tiempo es igual al período “n” , n = 16 Entonces I = C . i . n = 5000 . 0.04 . 16 = $3,200 El monto será M = C + I = 5000 + 3200 = $8,200 En este caso se podría hallar también con la otra fórmula: M= C . ( 1 + i .n ) M = 5,000 . ( 1 + 0.04 . 16 ) M = 5,000 . ( 1 + 0.64) M = 5,000 . 1.64 = $ 8200 2. Un capital de $800 se transformó en $850 en 2 bimestres. Calcular la tasa mensual. C = $800 M = $850 por lo tanto I = $50 n = 2 bimestres = 4 meses. Sustituyendo: I = C . i . n Despejando: i= I /c.n

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50 = 800 . i . 4 50 = 3200 . i 50 / 3200 = i 0,015 = i

i = 50 / 800 . 4 i = 0.015

Esto significa que la tasa mensual es 0,015 o la razón 1,5 % mensual. 3. Un cierto capital se transformó en $25000 en dos trimestres, si se aplicó 3 % mensual. ¿Cuál fue el capital inicial o valor presente? C = x (hay que averiguar) i = 3 /100 = 0, 03

M = $25,000

n= 2 trimestres = 6 meses

Con estos datos la única fórmula capaz de resolver el problema es: Sustituyendo: M = C . ( 1 + i . n ) Despejando: 25,000 = x . ( 1 + 0,03 . 6 ) 25,000 = x . ( 1 + 0.18 ) 25,000 = x . 1,18 25,000 / 1,18 = x 21,186,44 = x C = $21,186,44

i = 3%

C = M / ( 1 + i * n ) C = 25,000/ ( 1 + 0.03 * 6 ) C = 25,000/ (1 + 0.18 ) C = 25,000/ 1.18 C = $ 21,186.44

4. Indicar el tiempo en que estuvo colocado un capital de $3,000 que al ser depositado con una tasa anual de 0,09 obtuvo una ganancia de $400. n=x

C = $3,000

i = 0,09 anual

Este problema puede resolverse con la fórmula: Sustituyendo: I = C . i . n 400 = 3000 . 0,09 . n 400 = 270 . n 400 / 270 = n

I = $400

Despejando: n=I/c. n = 400 / 3000 * 0.09 n = 400 / 270 n = 1.4814

1.4814 = n Este número está expresado en años (ya que la tasa así lo indica), vamos a transformarlo en un tiempo más real, para ello se debe interpretar lo siguiente: 1. 4814 años = 1 año + 0.4814 años = 1 año + (0.4814 x 12 meses) = = 1 año + 5.7768 meses = 1 año + 5 meses + 0.7768 meses = = 1 año + 5 meses +( 0.7768 x 30 días) = 1 año + 5 meses + 23 días

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Interés simple 1.- Calcula el interés que produjo la compra de un escritorio por un capital de $5,000 a un plazo de 6 meses a la tasa del 2.5% mensual.

2.- Martha invirtió su Afore de $50,000 a una tasa del 7 % mensual durante 2 trimestres, calcula el interés que ganó.

3.- Se compró de una copiadora por un valor de $3,500 a un plazo de 3 meses a la tasa del 1.5% mensual. Calcula el interés.

4.- Una persona invirtió su PTU de $2,500 se transformó en $3,200 en un lapso de un trimestre. Calcula la tasa mensual.

5.- SABRITAS ganó en la Bolsa de Valores en $180,000 en 2 trimestres, si se aplicó 4 % mensual. ¿Cuál fue el interés que ganó?

6.- Indica el tiempo en que estuvo invertido un capital de $5,000 que al ser depositado con una tasa anual de 0,08 obtuvo una ganancia de $600.

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Interés compuesto 7.- ¿Cuál es el monto final de un depósito inicial de $ 3.000.00, a 3 años plazo con un interés compuesto de 15 % anual? Año

Depósito inicial

Interés

Saldo final

0 (inicio) 1 2 3

8.- Un depósito inicial de $ 5.000.00, a 4 años plazo con un interés compuesto de 11 % anual, ¿cuál es el monto inicial al 4to. año? Año

Depósito inicial

Interés

Saldo final

0 (inicio) 1 2 3 4

9.- Un capital de $2,000 se coloca en un banco al 25% anual durante 4 bimestres. Indicar el valor del interés y del monto o valor actual. Buscar el valor futuro.

10.- Un cierto capital se transformó en $12,000 en 2 semestres, si se aplicó 20 % anual. ¿Cuál fue el capital inicial o valor presente?

Proyecto del Bloque V Solicitar en equipos un sketch/video en donde se aplique algún ejemplo de Interés Simple y compuesto, Bancos o Instituciones Financieras y Comerciales. Representarán y resolverán el caso supuesto ante sus compañeros.

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Instrumentos de autoevaluación y coevaluación Corte III Autoevaluación Instrucciones: Contesta honestamente, marcando con una a los siguientes cuestionamientos. Nombre del alumno: Semestre: Corte: Grupo: Siempre A veces Difícilmente Indicador de desempeño: Asumo comportamientos y decisiones que me ayudan a lograr mis metas académicas. Soy consciente de mis hábitos de consumo y conductas de riesgo, favoreciendo mi salud física, mental y social. Puedo expresar mis ideas a través de diversos lenguajes (común, matemático, etc.). Utilizo las Tecnologías de la Información y Comunicación en los trabajos que lo requieren. Formulo hipótesis y compruebo su validez para la solución de problemas planteados en diversas asignaturas. Consulto diversas fuentes informativas y utilizo las más relevantes y confiables.

Observaciones

Realizo trabajos donde aplico saberes de varias asignaturas. Me integro con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo. Respeto las opiniones, creencias e ideas de mis compañeros. Contribuyo con acciones para la solución de problemas ambientales de mi comunidad. Coevaluación Instrucciones: Contesta honestamente, sí o no marcando con una a los siguientes cuestionamientos respecto al compañero asignado. Nombre del compañero: Semestre: Corte: Grupo: Tu compañero: Siempre A veces Difícilmente Observaciones Asume comportamientos y decisiones que contribuyen a lograr las metas del grupo. Lleva a cabo hábitos de consumo que favorecen su salud física, mental y social. Expresa sus ideas a través de diversos lenguajes (común, matemático, etc.). Utiliza las Tecnologías de la Información y Comunicación en los trabajos que lo requieren. Propone soluciones a problemas planteados en diversas asignaturas. Consulta diversas fuentes informativas y utiliza las más relevantes y confiables. Realiza trabajos donde aplica saberes de las asignaturas. Se integra con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo. Respeta las opiniones, creencias e ideas de los compañeros. Participa en acciones para la solución de problemas ambientales de su entorno.

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MIS NOTAS:

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Matemáticas Financieras I 2015-2.pdf

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