TEC
Tecnológico de Costa Rica
Matemática Discreta: Ejercicios y soluciones
Escuela de Matemática
Luis Ernesto Carrera Retana
Rebe Rebeca ca Solí olís Orteg rtegaa
Jorg Jorgee Luis uis Chin Chincchill illa Valverde
Matemática Discreta
Fundamentos de lógica
Página 2
A continuación se presenta una recopilación de ejercicios de exámenes de semestres anteriores, del curso de Matemátic Matemáticaa Discreta. Discreta.
1.
Funda undame men nto toss de lógi lógica ca
1.1. Utilice tablas de verdad para determinar cuales de las siguientes proposiciones son tautologías,
cuales falacias y cuales contingencias. (a) rpP _ Qq Ñ Rs Ø r pP ^ Rq Ñ Qs Solución:
Tomemos p Tomemos p P _ Qq Ñ R “ Φ, p P ^ Rq Ñ Q “ Ψ y si tanto Φ como Ψ son iguales. P P _ Q
Φ
R P ^ R Q
P
Q
R
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
Φ
Ø Ψ “ Ξ; es decir,
Ξ es
Ψ
Ξ
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
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V
V
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V
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F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
verdadero
Después de las dos primeras líneas es suficiente para concluir que se trata de una contingencia. (b) rpP ^ Qq _ Rs Ø rP Ñ pQ Ñ Rqs Solución:
Tomemos pP ^ Qq _ R “ Φ, P Ñ pQ Ñ Rq “ tanto Φ como Ψ son iguales.
Ψ
y
Φ Ø Ψ “ Ξ;
es decir,
Ξ es
verdadero si
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Fundamentos de lógica
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P
Q
R
P^ Q
pP ^ Qq
Φ
QÑR
Ψ
Ξ
F
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
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F
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V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
Dado que en todos los casos Ξ es verdadero, entonces la expresión corresponde a una tautología. (c) rpQ ^ P q Ñ Rs Ø r R Ñ pQ _ P qs Solución:
Tomemos p Tomemos p Q ^ P q Ñ R “ Φ, R Ñ pQ _ P q “ Ψ y si tanto Φ como Ψ son iguales. P
Q
R
P
Q ^ P
Φ
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
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V
V
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F
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F
V
V
V
V
V
Φ
Ø Ψ “ Ξ; es decir,
R Q Q _ P
Ξ es
Ψ
Ξ
V
V
V
V
V
V
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V
F
F
F
V
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F
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V
V
V
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F
V
F
F
V
V
V
Se trata de una tautología.
verdadero
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(d) rpP Ñ Qq Ñ Rs Ø r pP ^ Rq Ñ Qs Solución:
Tomemos pP Ñ Qq Ñ R “ Φ, pP ^ Rq Ñ Q “ si tanto Φ como Ψ son iguales.
Ψ
y
Φ Ø Ψ “ Ξ;
es decir,
P
Q
R
P Ñ Q
Φ
R
P ^ R
Q
Ψ
Ξ
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
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V
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V
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V
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V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
Ξ es
verdadero
Después de las dos primeras líneas es suficiente para concluir que se trata de una contingencia. (e) rP ^ pQ Ñ Rqs Ø pQ _ P q Solución:
Tomemos P ^ pQ Ñ Rq “ Φ, Q _ P “ Φ como Ψ son iguales.
Ψ
y
Φ
Ø
Ψ
“ Ξ; es decir,
Ξ es
P
Q
R
R
Q Ñ R
Φ
Q
Ψ
Ξ
F
F
F
V
V
F
V
V
F
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F
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V
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V
F
F
F
F
V
F
verdadero si tanto
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Después de las tres primeras líneas es suficiente para concluir que se trata de una contingencia. 1.2. Utilizando tablas de verdad, determine la veracidad de las siguientes afirmaciones:
(a) pP Ñ Qq ^ Q implica tautológicamente a la proposición P . Solución:
Tomemos rpP Ñ Qq ^ Qs “ Φ, P “ Ψ y
Φ
ñ Ψ “ Ξ; y mostremos que
P
Q
P Ñ Q
Q
Φ
Ψ
Ξ
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
Dado que en todos los casos ción tautológica.
Ξ es
Ξ es
verdadero.
verdadero, entonces la expresión corresponde a una implica-
(b) pP _ Qq ^ p R Ñ P q implica tautológicamente a Q _ R. Solución:
Tomemos rpP _ Qq ^ p R Ñ P qs “ verdadero.
Φ,
Q_R “
P P _ Q R
Ψ
y
Φ
ñ
Ψ
“
Ξ;
y mostremos que
R Ñ P
Φ
Ψ
Ξ
V
F
F
F
V
V
F
V
V V V
V
V
V
F
F
V V
V
V
V
F
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V V
F
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V V
V
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V
V
V V V
V
V
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F
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F
V
V V V
P
Q
R
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
Dado que en todos los casos ción tautológica.
Ξ es
Ξ
es
V
verdadero, entonces la expresión corresponde a una implica-
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(c) pP Ñ Qq _ r p Q Ñ P q ^ Rs es tautológicamente equivalente a p P ^ Qq Solución:
Tomemos pP Ñ Qq _ r p Q Ñ P q ^ Rs “ Φ, pP ^ Qq “ Ψ y que Ξ es verdadero.
P
Q
P Ñ Q
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V V
Φ
ñ Ψ “ Ξ; y mostremos
Q P pQ Ñ P q R pQ Ñ P q ^ R
Φ
P ^ Q
Ψ
Ξ
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
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V
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V
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V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
Dado que en todos los casos ción tautológica.
Ξ es
verdadero, entonces la expresión corresponde a una implica-
1.3. Determine los valores de verdad de las proposiciones P , Q y R, de manera que se verifique que la proposición P Ñ pQ _ Rq no implica tautológicamente a la proposición P ^ R. Solución:
Tomemos P Ñ pQ _ Rq “ Φ y P ^ R “ Ψ y que se cumpla
Φ
ñ Ψ “ F
analicemos la siguiente tabla y busquemos en donde se presenta esta situación *
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P
Q
R
Q^R
Φ
P
Ψ
Ξ
F
F
F
F
V
V
F
F*
F
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F*
F
V
V
V
V
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V
V
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F
F
F
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F*
V
V
F
V
V
F
F
F*
V
V
V
V
V
F
F
F*
1.4. Determine los valores de verdad de las proposiciones P , Q , R , S y T , de manera que se verifique que la proposición pP _ Qq^rpQ _ T q Ñ Rs^rS Ø T s no implica tautológicamente a la proposición P Ñ S . Solución:
Se quiere demostrar que pP _ Qq^rpQ _ T q Ñ Rs ^ rS Ø T s Ñ pP Ñ S q es una contradicción. Dado que se trata de un implicación, la única opción para que esta sea falsa es que se de el caso V 0 Ñ F 0 , así tenemos: pP Ñ S q es falso, por lo que se concluye que P es V 0 y que S es F 0 . pP _ Qq ^ r pQ _ T q Ñ Rs ^ rS Ø T s sea verdadera. Dado que son tres proposiciones unidas por conjunciones, cada una de ellas debe ser verdadera. Analizando cada una por separado tenemos: • Dado que S es F 0 y S Ø T debe ser verdadero, entonces se concluye que T debe ser F 0 . que P es V 0 entonces P es F 0 , así para que P _ Q sea verdadero se debe cumplir que Q sea V 0 .
• Dado
que Q es V 0 y T es F 0, entonces pQ _ T q es V 0 , por lo que pQ _ T q Ñ R es verdadero si y sólo si R es V 0
• Dado
Por lo que en resumen: P es V 0, Q es V 0 , R es V 0 , S es F 0 y T es F 0 1.5. Si se sabe que la proposición pT _ Aq ^ pM ^ V q Ø F 0 es falsa, determine el valor de verdad de la proposición rpT ^ F 0q Ñ As ^ pE Ñ M q. Solución:
Como pT _ Aq ^ pM ^ V q Ø F 0 es falsa, pasa que pT _ Aq ^ pM ^ V q es verdadera y como las proposiciones están unidas con una conjunción debe darse que cada una de ellas sea verdadera. Así
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Para que T _ A sea V 0, entonces T y A no pueden ser simultáneamente falsas. Para que M ^ V sea V 0 , debe cumplirse que tanto M como V son V 0 . Con base a esta información analicemos el valor de verdad de la proposición rp T ^ F 0q Ñ As ^ pE Ñ M q. Dado que es una conjunción ambas proposiciones deben ser verdaderas, así: Como T ^ F 0 es F 0 , entonces sin importar el valor de A se cumple que p T ^ F 0 q Ñ A es V 0 Dado que M es V 0, la proposición E Ñ M es V 0 Por lo tanto el valor de verdad de la proposición es verdad. 1.6. Si se sabe que la proposición p P _ H q Ñ pK _ T q es Falsa, determine el valor de verdad de la proposición pP _ M q Ñ pK ^ E q. Solución:
Como pP _ H q Ñ pK _ T q es falsa, debe pasar que pP _ H q es verdadera y K _ T es falsa. Analizando cada proposición por aparte tenemos: Para que pP _ H q sea verdadera, debe darse que P _ H sea falsa; y como se trata de una disyunción, debe cumplirse que P es F 0 (o sea P es V 0 ) y H es F 0 . Para que K _ T sea falsa, y dado que se trata de una disyunción, debe cumplirse que tanto K como T sean F 0 . Si sustituimos dichos valores en la proposición buscada tenemos: pP _ M q
Ñ
pK ^ E q
pV 0 _ M q Ñ
pF 0 ^ E q
V 0
Ñ
F 0
F 0 1.7. Determine posibles valores de verdad para las proposiciones A, B , C y D de manera que rpD Ø Aq ^ pA Ñ B q ^ pB _ Aqs no implique tautológicamente a C Ñ A. Solución:
Se quiere demostrar que rpD Ø Aq ^ pA Ñ B q ^ pB _ Aqs Ñ pC Ñ Aq es una contradicción. Dado que se trata de un implicación, la única opción para que esta sea falsa es que se de el caso V 0 Ñ F 0 , así tenemos: pC Ñ Aq es falso, por lo que se concluye que C es V 0 y que A es F 0 . pD Ø Aq ^ pA Ñ B q ^ pB _ Aq sea verdadera. Dado que son tres proposiciones unidas por conjunciones, cada una de ellas debe ser verdadera. Analizando cada una por separado tenemos: • Dado
que A es F 0 y D Ø A debe ser verdadero, entonces se concluye que D debe ser F 0 .
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que A es F 0 entonces para que B _ A sea verdadero se debe cumplir que B sea V 0 . Dichos valores reafirman que A Ñ B .
• Dado
Por lo que en resumen: A es F 0 , B es V 0 , C es V 0 y D es F 0 . 1.8. Simplifique las siguientes expresiones. Indique la ley que utiliza a cada paso.
(a) pP ^ Qq _ r pQ ^ Rq ^ P s _ pP ^ Rq Solución:
” pP ^ Qq _ r pQ ^ Rq ^ P s _ pP ^ Rq ” pP ^ Qq _ r P ^ pQ ^ Rq s _ pP ^ Rq
Con
” tP ^ rQ _ pQ ^ Rq s u _ pP ^ Rq
Dis
” tP ^ rQ _ pQ _ Rq s u _ pP ^ Rq
DM
” rP ^ pV 0 _ Rq s _ pP ^ Rq
Aso, Inv
” pP ^ V 0 q _ pP ^ Rq
Dom
” P _ pP ^ Rq
Ne
” P Ñ pP ^ Rq
ID
(b) pQ Ñ P q ^ trpR ^ P q ^ pQ _ P q s _ pR ^ P qu Solución:
” pQ Ñ P q ^ trpR ^ P q ^ pQ _ P q s _ pR ^ P qu ” pQ _ P q ^ trpR _ P q ^ pQ _ P q s _ pR ^ P qu
ID, DM
” pQ _ P q ^ t rP _ pR ^ Qq s _ pR ^ P qu
Dis
” pQ _ P q ^ t rP _ pR ^ P q s _ p R ^ Qqsu
Con, Aso, Con
” pQ _ P q ^ rP _ pR ^ Qqs
Abs
” P _ rQ ^ pR ^ Qqs
Dis
” P _ rpQ ^ Qq ^ Rqs
Con, Aso
” P _ pF 0 ^ Rq
Inv
” P _ F 0
Dom
” P
Ne
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(c) rP _ pQ ^ P q s _ r Q ^ pP Ñ Qqs Solución:
” rP _ pQ ^ P q s _ r Q ^ pP Ñ Qqs ” rpP _ Qq ^ p P _ P q s _ r Q ^ pP _ Qqs
Dis, ID
” rpP _ Qq ^ V 0 s _ r p Q ^ P q _ p Q ^ Qqs
Inv, Dis
” pP _ Qq _ r p Q ^ P q _ F 0 s
Ne, Inv
” pP _ Qq _ p Q ^ P q
Ne
” rpP _ Qq _ Qs ^ r p P _ Qq _ P q
Dis
” pP _ Qq ^ r pP _ P q _ Qs
Aso, Idem,Con, Aso
” pP _ Qq ^ pV 0 _ Qq
Inv
” pP _ Qq ^ V 0
Dom
” P _ Q
Ne
(d) tpQ _ P q ^ rpP ^ pQ ^ Rq q ^ pP _ Rqsu Solución:
” tpQ _ P q ^ rpP ^ pQ ^ Rq q ^ pP _ Rqsu ” pQ _ P q _ trP ^ pQ ^ Rq s ^ pP _ Rqu ” pQ _ P q _ t p P ^ Qq ^ rR ^ pP _ Rqsu
DM
” pP ^ Qq _ t p P ^ Qq ^ rR ^ pP _ Rqsu ” P ^ Q
DN,Aso,Aso
Con,DM Abs
(e) rpP _ Qq ^ p Q Ñ P q s ^ Q Solución:
” rpP _ Qq ^ p Q Ñ P q s ^ Q ” rQ ^ pP _ Qq s ^ pQ _ P q
Con, Aso, ID
” Q ^ pQ _ P q
Abs
” pQ ^ Qq _ p Q ^ P q
Dis
” F 0 _ pQ ^ P q
Inv
” Q ^ P
Ne
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(f) pP Ñ Qq ^ trpR _ P q ^ pQ _ P q s _ pR ^ P qu Solución:
” pP Ñ Qq ^ trpR _ P q ^ pQ _ P q s _ pR ^ P qu ” pP _ Qq ^ trpR ^ P q ^ pQ _ P q s _ pR ^ P qu
ID, DM
” pP _ Qq ^ trpR ^ P q ^ pQ _ P q s _ pR ^ P qu
DN
” pP _ Qq ^ t r pP ^ pQ _ P q q ^ Rs _ pR ^ P qu
Aso,Con
” pP _ Qq ^ r pP ^ Rq _ pR ^ P qs
Abs
” pP _ Qq ^ rP ^ pR _ Rqs
Dis
” pP _ Qq ^ pP ^ V 0 q
Inv
” pP _ Qq ^ P
Ne
” pP ^ P q _ p Q ^ P q
Dis
” F 0 _ pQ ^ P q
Inv
” Q ^ P
Ne
1.9. Demuestre las conclusiones a partir de las proposiciones dadas. Debe indicar las reglas y leyes
que utiliza. (a)
i
Q _ S ,
ii
H Ñ S ,
iii
P Ñ pR ^ S q,
iv
P Ñ H ;
6
pT ^ Qq.
Solución:
Vamos a analizar primero lo que hay que demostrar: pT ^ Qq ” T _ Q (DM). Vemos que en las premisas dadas no hay ninguna T , por lo que debemos demostrar que Q ” V . Q solamente aparece en la primera premisa: Q _ S , por lo que para mostrar que Q ” V , utilizando silogismo disyuntivo deberíamos concluir que pS q ” S . Vemos además que no hay ninguna afirmación que no dependa de _ o Ñ, que no permiten separar; pero tenemos dos premisas que comienzan una con P y la otra con P : ese será nuestro punto de inicio.
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(1) Q _ S (2) H Ñ S (3) P Ñ pR ^ S q (4) P Ñ H (5) P Ñ S
SH 2 y 4
(6) S _ pR ^ S q
LC 3 y 5
(7) S
Abs. 6
(8) Q
SD 1 y 7
(9) Q _ T
Adj. 8
(10) pT ^ Qq (b)
i
P _ Q,
ii
R _ P ,
iii
S Ñ R,
iv
T _ S ,
v
DM y Conm. 9 R Ñ Q;
6
T .
Solución:
En este caso hay que demostrar que T , pero T solamente está en la cuarta premisa: T _S , así que debemos llegar a que S para poder utilizar SD. Aparte de la premisa 4, S solamente aparece en la premisa 3: S Ñ R, y para poder llegar a S , utilizando la contrapositiva R Ñ S , es decir debemos llegar a R. (1) P _ Q (2) R _ P (3) S Ñ R (4) T _ S (5) R Ñ Q (6) Q _ R
LC 1 y 2
(7) R _ Q
ID 5
(8) R _ R
LC 7 y 8
(9) R
Idem. 9
(10) S
MT 3 y 9
(11) T
SD 4 y 10
Matemática Discreta (c) i p R _ Qq Ñ T ,
Fundamentos de lógica
ii
Q _ R,
iii
P _ Q,
iv
Página 13
P Ñ pR ^ S q;
6
pU ^ T q.
Solución:
Comencemos con analizar lo que hay que demostrar: p U ^ T q ” U _ T (DM). No hay U en las premisas, por lo que debemos llegar a T ; es decir, la primera premisa se queda para el final. (1) pR _ Qq Ñ T (2) Q _ R (3) P _ Q (4) P Ñ pR ^ S q
(d)
i
Q Ñ S ,
ii
P Ñ Q,
iii
(5) P _ R
LC 2 y 3
(6) P Ñ R
ID 5
(7) R _ pR ^ S q
LC 4 y 6
(8) R
Abs. 7
(9) R _ Q
Adj. 8
(10) T
MP 1 y 9
(11) U _ T
Adj. y Conm. 10
(12) pU ^ T q
DM 11
P Ñ pR ^ S q,
iv
A _ S ;
6
T Ñ A.
Solución:
Observamos que no hay T en las premisas, así que analizamos un poco más lo que hay que demostrar: T Ñ A ” T _ A. Así, lo que hay que demostrar es A; vemos que solamente la premisa 4 tiene A , por lo que tenemos que probar pS q ” S , y utilizar SD. Nos enfocamos entonces en las primeras 3 premisas:
Matemática Discreta
Fundamentos de lógica
Página 14
(1) Q Ñ S (2) P Ñ Q (3) P Ñ pR ^ S q (4) A _ S (5) P Ñ S
SH 1 y 2
(6) S _ pR ^ S q
LC 3 y 5
(7) S
Abs. 6
(8) A
SD 4 y 7
(9) T _ A
Adj. 8
(10) T Ñ A (e)
i
P ^ R,
ii
p R _ S q Ñ pP Ñ Qq,
iii
ID 9
p Q _ T q Ñ pS _ Rq;
6
T Ñ S .
Solución:
(1) P _ R (2) pR _ S q Ñ pP Ñ Qq (3) pQ _ T q Ñ pS _ Rq (4) R
Simp 1
(5) R Ñ S
Adi 5
(6) P Ñ Q
MP 5 y 5
(7) P
Simp 1
(8) Q
MP 6 y 7
(9) Q _ T
Adi. 8
(10) S _ R
PM 3 y 9
(11) S
S.H 4 y 10
(12) T _ S
Adi. 11
(13) T Ñ S
I.D 12
Matemática Discreta (f) i p P ^ Qq,
ii
Fundamentos de lógica
Q Ñ R,
iii
S Ñ R,
iv
Página 15
S Ñ pP _ Qq;
6
P Ñ T .
Solución:
(1) pP ^ Qq (2) Q Ñ R (3) S Ñ R (4) S Ñ pP _ Qq (5) R Ñ Q
contrap 2
(6) S Ñ Q
S.H 3 y 5
(7) Q Ñ S
contrap 6
(8) Q Ñ pP _ Qq
SH 4 y 7
(9) Q _ pP _ Qq
ID. 8
(10) Q _ pP ^ Qq
DM 9
(11) Q
Absorc 10
(12) P _ Q
DM 1
(13) P
S.D 11 y 12
(14) P _ T
Adic 13
(15) P Ñ T
I.D 14
Solución:
(g) i p Q ^ Rq Ñ P ,
ii
Q Ñ S ,
iii
R _ T ,
iv
P ,
v
U Ñ pS ^ T q;
6
U .
Solución:
En este caso debemos demostrar U , pero U solamente está en la quinta premisa, así que hay que aplicar un MT para llegar a U . ASí que debemos enfocarnos en obtener p S ^ T q ” S _ T (DM).
Matemática Discreta
Fundamentos de lógica
Página 16
(1) pQ ^ Rq Ñ P (2) Q Ñ S (3) R _ T (4) P (5) U Ñ pS ^ T q
(h)
i
P Ñ S ,
ii
pQ _ Rq Ñ P ,
(6) pQ ^ Rq
MT 1 y 4
(7) Q _ R
DM 6
(8) Q _ T
LC 3 y 7
(9) S _ T
LC 2 y 8
(10) pS ^ T q
DM
(11) U
MT 5 y 10
iii
Q ^ T ,
iv
S _ N ;
6
M Ñ N .
Solución:
Observamos que no hay M en las premisas, así que analizamos un poco más lo que hay que demostrar: M Ñ N ” M _ N . Por lo que basta llegar a demostrar N . Vemos que sólo la premisa cuatro tiene N por lo que debemos llegar a obtener S ” S para poder aplicar SD. Así que nos centraremos en las tres primeras premisas: (1) P Ñ S (2) pQ _ Rq Ñ P (3) Q ^ T (4) S _ N (5) pQ _ Rq Ñ S
SH 1 y 2
(6) Q
Simp. 3
(7) Q _ R
Adi. 6
(8) S
MP 5 y 7
(9) S
DN 8
(10) N
SD 4 y 9
(11) M _ N
Adi. 10
Matemática Discreta (i) i p P _ Qq Ñ R,
Fundamentos de lógica
ii
R Ñ pS _ T q,
iii
S ^ U ,
iv
U Ñ T ;
Página 17
6
P Ñ A.
Solución:
Observamos que no hay A en las premisas, así que analizamos un poco más lo que hay que _ A (ID). Por lo que basta llegar a demostrar P . Vemos que sólo demostrar: P Ñ A ” P _ la primera primera premisa premisa tiene tiene P por lo que debemos llegar a obtenerla aplicando primero un MT y luego una Simplificación. Así que nos enfocaremos en las premisas 2, 3 y 4. (1) pP _ Qq Ñ R (2) R Ñ pS _ T q (3) S ^ U (4) U Ñ T (5) U
Simp. 3
(6) S
Simp 3
(7) T
MP 4 y 5
(8) S ^ T
Adj. Adj. 6 y 7
(9) pS _ T q
DM 8
(10) R
MT 2 y 9
(11) pP _ Qq
MT 1 y 10
(12) P ^ Q
DM 11
(13) P
Simp. 12
(14) P _ A
Adi. Adi. 13
(15) P Ñ A
ID 14
1.10. Simbolice las proposiciones involucradas y demuestre la validez del argumento. (Debe indicar
las leyes y reglas que utiliza). (a) Si Luis va al partido de fútbol, entonces Laura se irá a nadar. Si Manuel ve televisión toda la noche, entonces Carolina se irá a nadar. Si Laura va a nadar o Carolina va a nadar, Jorge las acompañará. De hecho Jorge no las acompañará. En consecuencia, no ocurre que: Luis fue al partido de fútbol o Manuel ve televisión toda la noche. Solución: P: Luis va al partido de fútbol. Q: Laura irá a nadar. R: Manuel ve televisión toda la noche. S: Carolina irá a nadar. T: Jorge acompañara a Laura o Carolina. i P Ñ Q, ii R Ñ S , iii p Q _ Rq Ñ T , iv T ; 6 pP _ Rq.
Matemática Discreta
Fundamentos de lógica
Página 18
Es claro que debemos comenzar utilizando la afirmación de que T . Por otro lado, lo que se debe demostrar es p es p P _ Rq ” P ^ R (DM). (1) P Ñ Q (2) R Ñ S (3) pQ _ Rq Ñ T (4) T (5) pQ _ Rq
MT 3 y 4
(6) Q ^ R
DM 5
(7) Q
Simp. 6
(8) P
MT 1 y 7
(9) R
Simp. 6
(10) P ^ R
Adi. Adi. 8 y 9
(11) pP _ Rq
DM 10
(b) Si José gana la carrera, entonces Pedro fue el segundo o Ramón fue el segundo. Si Pedro fue el segundo, entonces José no ganó la carrera. Si Carlos fue el segundo, entonces Ramón no fue el segundo. José ganó la carrera. Por lo tanto, Carlos no fue el segundo. Solución: P: José gana la carrera. Q: Pedro fue el segundo. R: Ramón fue el segundo. S: Carlos fue el
segundo. i P Ñ pQ _ Rq,
ii
Q Ñ P ,
iii
S Ñ R,
iv
P ;
6
S .
(1) P Ñ pQ _ Rq (2) Q Ñ P (3) S Ñ R (4) P (5) Q _ R
MP 1 y 4
(6) Q
MT 2 y 4
(7) R
SD 5 y 6
(8) S
MT 3 y 7
Matemática Discreta
Fundamentos de lógica
Página 19
(c) Si Juan le apostó a la Liga, entonces entonces se gastó el dinero. dinero. Si Juan se gastó el dinero, dinero, entonces entonces no alcanza para comida y su esposa pide que trabaje más. Si no alcanza para comida, entonces los niños no comen o la esposa está enojada. Juan le apostó a la Liga. Por lo tanto, si los niños comen, entonces su esposa está enojada. Solución: P: Juan le apostó a la Liga. Q: Juan gastó el dinero. R: No alcanza para comida. S: La esposa pide que trabaje más. T: Los niños comen. U: La esposa de Juan está enojada. i P Ñ Q, ii Q Ñ pR ^ S q, iii R Ñ pT _ U q, iv P ; 6 T Ñ U . Como T Ñ U ” T _ U (ID), entonces lo que hay que hacer es demostrar R.
(1) P Ñ Q (2) Q Ñ pR ^ S q (3) R Ñ pT _ U q (4) P (5) Q
MP 1 y 4
(6) R ^ S
MP 2 y 5
(7) R
Simp. 6
(8) T _ U
MP 3 y 7
(9) T Ñ U
ID 8
(d) Si aplico para la beca a España, entonces no matriculo el curso de verano. Matriculo el curso de verano o me voy de vacaciones. Resulta que no me voy de vacaciones. Si matriculo el curso de verano y compro un piano, entonces aplico para la beca a España. Por lo tanto, no compro un piano. Solución: P: Aplico para la beca a España. Q: Matriculo el curso de verano. R: Me voy de vacaciones. S: Compro un piano. i P Ñ Q, ii Q _ R, iii R, iv p Q ^ S q Ñ P ; 6 S .
Matemática Discreta
Fundamentos de lógica
Página 20
(1) P Ñ Q (2) Q _ R (3) R (4) pQ ^ S q Ñ P (5) Q
SD 2 y 3
(6) P
MT 1 y 5
(7) pQ ^ S q
MT 4 y 6
(8) Q _ S
DM 7
(9) S
SD 5 y 8
(e) No ocurre que, a ` b “ 7 y b ą 0. Si a ` b ‰ 7 entonces 2a ´ 3 ă 0. Si b no es positivo entonces 2a ´ 3 ă 0. Si el problema tiene solución entonces 2a ´ 3 ě 0. Si el problema no tiene solución, entonces, no ocurre que, a ` b “ 7 o b ď 0. Por lo tanto, se concluye que a ` b ‰ 7 o 3211 es divisible por 3. Solución: P: a ` b “ 7. Q: b ą 0. R: a ` b ă 7. S: El problema tiene solución. T: 3211 es divisible por 3.
Así se tiene:
p P ^ Qq, ii P Ñ R, iii Q Ñ R, iv S Ñ R; v S Ñ pP _ Qq; 6 P _ T . i
Matemática Discreta
Fundamentos de lógica
Página 21
(1) pP ^ Qq (2) P Ñ R (3) Q Ñ R (4) S Ñ R (5) S Ñ pP _ Qq (6) P _ Q
DM 1
(7) P Ñ Q
ID 6
(8) P Ñ R
SH 3 y 7
(9) R Ñ S
ID 5
(10) P Ñ S
SH 7 y 9
(11) P Ñ pP _ Qq
SH 5 y 10
(12) P Ñ pP _ Qq
DM 11
(13) P _ pP _ Qq
ID 12
(14) P
Abs 13
(15) P _ T
Adic 14
(f) Si Gadafi renuncia o el precio del petróleo no aumenta, entonces no se bombardea Trípoli y se restituye la paz. Si no se bombardea Trípoli, entonces no hay problemas políticos en Libia. De hecho hay problemas políticos en Libia. Por lo tanto, el precio del petróleo aumenta. Solución: P: Gadafi renuncia. Q: El precio del petróleo aumenta. R: Se bombardea Trípoli. S: Se restituye la paz. T: Hay problemas políticos en Libia. i p P _ Qq Ñ p R ^ S q, ii R Ñ T , iii T , 6 Q.
Matemática Discreta
Fundamentos de lógica
Página 22
(1) pP _ Qq Ñ p R ^ S q (2) R Ñ T (3) T (4) R _ T
ID 2
(5) R
SD 3 y 4
(6) R _ S
Adic 5
(7) pR ^ S q
DM 7
(8) pP _ Qq
MT 1 y 7
(9) P ^ Q
DM 8
(10) Q
Simp 9
(g) Si no se aprueba el convenio con la UE o no se disminuyen los aranceles, entonces la economía empeorará y la inflación se mantendrá. Si la economía empeora, el desempleo aumenta. Pero el desempleo no aumenta. Por lo tanto, se aprueba el convenio con la UE. Solución: P: Se aprueba el convenio con la UE. Q: Se disminuyen los aranceles. R: La economía empeorará. S: La inflación se mantendrá. T: El desempleo aumenta. i p P _ Qq Ñ pR ^ S q, ii R Ñ T , iii T , 6 P .
(1) pP _ Qq Ñ pR ^ S q (2) R Ñ T (3) T (4) R
MT 2 y 3
(5) R _ S
Adic 4
(6) pR ^ S q
DM 5
(7) pP ^ Qq
MT 1 y 6
(8) P ^ Q
DM 7
(9) P
Simp 8
(h) Si voy a la montaña, entonces iré a caminar y montaré a caballo. Si no voy a la montaña, entonces leeré un libro. Si me duele la espalda, no montaré a caballo. No me duele la espalda y no montaré a caballo. Por lo tanto, leeré un libro.
Matemática Discreta
Fundamentos de lógica
Página 23
Solución: P: Voy a la montaña. Q: Iré a caminar. R: Montaré a caballo. S: Leeré un libro. T: Me duele
la espalda. i P Ñ pQ ^ Rq,
ii
P Ñ S ,
iii
T Ñ R,
iv
T ^ R
6
S .
(1) P Ñ pQ ^ Rq (2) P Ñ S (3) T Ñ R (4) T ^ R (5) R
Simp 4
(6) R _ Q
Adic 5
(7) pR ^ Qq
DM 6
(8) P
MT 1 y 7
(9) S
MP 2 y 8
(i) Costa Rica clasifica al mundial o bien Jamaica clasifica. Si Honduras no clasifica o Jamaica clasifica, entonces México clasifica. México no clasifica. En consecuencia, Costa Rica clasifica y Honduras también. Solución: P: Costa Rica clasifica al mundial. Q: Jamaica clasifica al mundial. R: Honduras clasifica al mundial. S: México clasifica al mundial. i P _ Q, ii pR _ Qq Ñ S , iii S ; 6 P ^ R.
(1) P _ Q (2) pR _ Qq Ñ S (3) S (4) pR _ Qq
MT 2 y 3
(5) R ^ Q
DM 4
(6) R
Simp. 5
(7) Q
Simp. 5
(8) P
SD 1 y 7
(9) P ^ R
Adj. 6 y 8
Matemática Discreta
Fundamentos de lógica
Página 24
(j) Si Pedro está involucrado en el robo, entonces Carlos también está involucrado y Julia no lo está. Si Carlos o Pedro están involucrados, entonces Julia también lo está. Pedro está involucrado en el robo. Por lo tanto, ni Carlos ni Julia están involucrados en el robo del cheque. Solución: P: Pedro está involucrado en el robo. Q: Carlos está involucrado en el robo. R: Julia está
involucrado en el robo. i P Ñ pQ ^ Rq, ii p P _ Qq Ñ R,
iii
P ;
6
Q ^ R.
(1) P Ñ pQ ^ Rq (2) pP _ Qq Ñ R (3) P (4) Q ^ R
MP 1 y 3
(5) R
Simp. 4
(6) pP _ Qq
MT 2 y 5
(7) P ^ Q
DM 6
(8) Q
Simp. 7
(9) Q ^ R
Adj. 5 y 8
(k) No ocurre que, x ą 6 y b sea positivo. Si b no es positivo entonces 2a ´ 3 “ c. Si el problema tiene solución única entonces 2a ´ 3 ‰ c. Si el problema no tiene solución única, entonces, no ocurre que, x ą 6 o b no es positivo. Por lo tanto, se concluye que x ď 6 o Costa Rica es campeón mundial. Solución: P: x ą 6. Q: b sea positivo. R: 2a ´ 3 “ c. S: Problema tiene solución única. T: Costa Rica
es campeón mundial. i p P ^ Qq, ii Q Ñ R,
iii
S Ñ R,
iv
S Ñ pP _ Qq;
6
P _ T .
Matemática Discreta
Fundamentos de lógica
(1) pP ^ Qq (2) Q Ñ R (3) S Ñ R (4) S Ñ pP _ Qq (5) S _ R
ID 3
(6) R Ñ Q
Contrapositiva, DN 2
(7) Q _ pP _ Qq
DC 4,5,6
(8) Q _ pP ^ Qq
DM, DN 7
(9) Q
Abs. 8
(10) P _ Q
DM 1
(11) P
SD 9 y 10
(12) P _ T
Adi. 11
Página 25
Matemática Discreta
2.
Teoría de Conjuntos
Página 26
Teoría de Conjuntos
2.1. Si A “ t1, 3, 5u, B “ t2, 3, 5, 6u y C “ t5, 6, 7u, con U “ t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7u como el conjunto
universo, calcule: (a) AB X C Solución:
Tenemos: AB “ t1, 2, 6u, AB “ t3, 4, 5, 7u,
Por lo tanto, AB X C “ t5, 7u. (b) pA X B q ˆ pP pB ´ C qq Solución:
Tenemos A X B “ t3, 5u, B ´ C “ t2, 3u, P pB ´ C q “ t H, t2, u, t3u, t2, 3uu,
Por lo tanto, pA X B q ˆ pP pB ´ C qq “ tp3, Hq, p3, t2uq, p3, t3uq, p3, t2, 3uq, p5, Hq, p5, t2uq, p5, t3uq, p5, t2, 3uqu 2.2. Si A “ t1, 2, 3u, B “ t1, 3, 5u y C “ t3, 4, 5u, determine rp AB q ˆ C s X rA ˆ pB X C qs. Solución:
Tenemos: AB “ t2, 5u,
pAB q ˆ C “ tp2, 3q, p2, 4q, p2, 5q, p5, 3q, p5, 4q, p5, 5qu, B X C “ t3, 5u, A ˆ pB X C q “ t p1, 3q, p1, 5q, p2, 3q, p2, 5q, p3, 3q, p3, 5qu,
Por lo tanto, rp AB q ˆ C s X rA ˆ pB X C qs “ tp2, 3q, p2, 5qu
Matemática Discreta
Teoría de Conjuntos
Página 27
2.3. Si A “ ta, bu, B “ tb,c,du y C “ ta, du, donde el conjunto universo es U “ ta,b,c,d,e,f u.
Calcule: (a) pA Y C qB Solución:
Tenemos A Y C “ ta,b,du,
Por lo tanto, pA Y C qB “ ta, cu. (b) P pA X B q Solución:
Tenemos: A “ tc,d,e,f u, B “ ta,e,f u, A X B “ te, f u,
Por lo tanto, P pA X B q “ t H, teu, tf u, te, f uu (c) pC ˆ B q ´ pA ˆ C q Solución:
Tenemos: C ˆ B “ tpa, bq, pa, cq, pa, dq, pd, bq, pd, cq, pd, dqu,
pA ˆ C q “ t pa, aq, pa, dq, pb, aq, pb, dqu. Por lo tanto, pC ˆ B q ´ pA ˆ C q “ t pa, bq, pa, cq, pd, bq, pd, cq, pd, dqu. 2.4. Si A “ ta,b,cu, B “ tb,d,e,f u y C “ tc,d,f u, donde el conjunto universo es U “ ta,b,c,d,e,f u.
Calcule: (a) C ´ B ´ A Solución:
Tenemos: B ´ A “ td,e,f u, B ´ A “ ta,b,cu,
Matemática Discreta
Teoría de Conjuntos
Página 28
Por lo tanto, C ´ B ´ A “ td, f u. (b) pAB q Y C Solución:
Tenemos: AB “ ta,c,d,e,f u,
pAB q Y C “ ta,c,d,e,f u, Por lo tanto, pAB q Y C “ tbu. 2.5. Si A “ ta,c,d,e,g u, B “ tb,c,e,f u y C “ tc,d,eu, donde el conjunto universo es U “ ta,b,c,d,e,f,gu. Calcule:
(a) rA ´ pB Y C qs X AC Solución:
Tenemos: B Y C “ tb,c,d,e,f u, A ´ pB Y C q “ ta, g u, AC “ ta, g u, AC “ tb,c,d,e,f u,
Por lo tanto, rA ´ pB Y C qs X AC “ H. (b) P pC ´ B q ˆ A Y C Solución:
Tenemos: C ´ B “ tdu, P pC ´ B q “ t H, tduu, A Y C “ ta,c,d,e,g u, A Y C “ tb, f u,
Por lo tanto, P pC ´ B q ˆ A Y C “ tpH, bq, pH, f q, ptdu, bq, ptdu, f qu. (c) P pP pC ´ Aqq Solución:
Tenemos:
Matemática Discreta
Teoría de Conjuntos
Página 29
C ´ A “ H, P pC ´ Aq “ tHu,
Por lo tanto, P pP pC ´ Aq “ t H, tHuu. 2.6. Si A “ ta,b,g u, B “ tb,d,e,g u y C “ ta,b,d,f,g u, donde el conjunto universo es U “ ta,b,c,d,e,f,gu. Calcule:
(a) pAC q X B ´ A Solución:
Tenemos: AC “ td, f u, B ´ A “ td, eu, B ´ A “ ta,b,c,f,g u,
Por lo tanto, pAC q X B ´ A “ tf u. (b) P pC ´ B q ˆ pA X B q Solución:
Tenemos: C ´ B “ ta, f u, P pC ´ B q “ t H, tau, tf u, ta, f uu, A X B “ tb, g u,
Por lo tanto, P pC ´B qˆpAXB q “ tpH, bq, pH, g q, ptau, bq, ptau, g q, ptf u, bq, ptf u, g q, pta, f u, bq, pta, f u, g qu. 2.7. Si U “ ta,b,c,d,e,f,gu es el conjunto universo, donde existen los conjuntos A “ ta,d,eu y B “ tb,c,du, determine:
(a) pA Y B q ˆ pA X B q Solución:
Tenemos: A Y B “ ta,b,c,d,e u, A Y B “ tf, g u, A “ tb,c,f,g u, A X B “ tb, cu,
Matemática Discreta
Teoría de Conjuntos
Página 30
Por lo tanto, pA Y B q ˆ pA X B q “ t pf, bq, pf, cq, pg, bq, pg, cqu. (b) P pA X B q Solución:
Tenemos: B “ ta,e,f,g u, A X B “ ta, eu,
Por lo tanto, P pA X B q “ t H, tau, teu, ta, euu. 2.8. Sean A “ tw u y B “ t5, 2u, donde el conjunto universo es U “ t2, 5, w u.
(a) Calcule P pA ˆ B q Solución:
Tenemos: A ˆ B “ tpw, 5q, pw, 2qu,
Por lo tanto, P pA ˆ B q “ t H, tpw, 5qu, tpw, 2qu, tpw, 5q, pw, 2quu. (b) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto P pA ˆ B q? Solución:
2.9. Si A “ tH, 1, t1u, 2, t1, 2uu y B “ tH, 2, t1u, t3u, t1, 3uu, donde el conjunto universo es U “ tH, 1, 2, 3, t1u, t2u, t3u, t1, 2u, t1, 3uu. Calcule:
(a) pA ´ B q Y pAB q Solución:
Tenemos: A ´ B “ t1, t1, 2uu, AB “ t1, t3u, t1, 2u, t1, 3uu,
Por lo tanto, pA ´ B q Y pAB q “ t1, t3u, t1, 2u, t1, 3uu.
Matemática Discreta
Teoría de Conjuntos
Página 31
(b) pA X B q ˆ A Y B Solución:
Tenemos: A X B “ tH, t1u, 2u, A Y B “ tH, 1, t1u, 2, t3u, t1, 2u, t1, 3uu, A Y B “ t3, t2uu,
Por lo tanto, pA X B q ˆ A Y B “ tpH, 3q, pH, t2uq, pt1u, 3q, pt1u, t2uq, p2, 3q, p2, t2uqu. (c) P pA X B q Solución:
Tenemos: A X B “ t3, t2uu,
Por lo tanto, P pA X B q “ t H, t3u, 2, t2uu. (d) Dos elementos que pertenezcan al conjunto A ˆ P pA Y B q Solución:
2.10. Si A “ ttHu, 1, t2u, t3uu y B “ t3, t2uu calcule:
(a) A X B “ Solución:
A X B “ t2u
(b) P pA ´ B q “ Solución:
P pA ´ B q “ t H, tHu, t1u, t3u, ttHu, 1u, ttHu, t3uu, t1, t3uu, ttHu, 1, t3uuu
(c) B ˆ A Solución:
B ˆ A “ tp3, tHuq, p3, 1q, p3, t2uq, p3, t3uq, pt2u, tHuq, pt2u, 1q, pt2u, t2uq, pt2u, t3uqu
Matemática Discreta
Teoría de Conjuntos
Página 32
(d) AB Solución:
AB “ ttHu, 1, 3, t3uu 2.11. Si A “ tH, 1, tHu, 2, t1, 2uu y B “ tH, 2, t1u, t3u, tHuu, donde el conjunto universo es U “ tH, 1, 2, 3, tHu, t1u, t2u, t3u, t1, 2uu. Calcule:
(a) pB ´ Aq ˆ pA X B q Solución:
Tenemos: B ´ A “ tt1u, t3uu, A X B “ tH, tHu, 2u,
Por lo tanto, pB ´ Aq ˆ pA X B q “ tpt1u, Hq, pt1u, tHuq, pt1u, 2q, pt3u, Hq, pt3u, tHuq, pt3u, 2qu. (b) P pA ´ B q Solución:
Tenemos: B “ t1, 3, t2u, t1, 2uu, A ´ B “ tH, tHu, 2u,
Por lo tanto, P pA ´ B q “ t H, tHu, ttHuu, t2u, tH, tHuu, tH, 2u, ttHu, 2u, tH, tHu, 2uu. 2.12. Si A, B y C son conjuntos del universo U “ tH, 1, 2, 3, t3u, t2, 4uu para los cuales se conoce lo siguiente: P pAq “ t H, tHu, tt3uu, tH, t3uuu; B ˆ C “ tpH, 2q, p2, 2q, pH, t2, 4uq, p2, t2, 4uqu.
(a) Determine por extensión los conjuntos A, B y C . Solución:
Tenemos: A “ tH, t3uu, B “ tH, 2u, C “ t2, t2, 4uu,
(b) Calcule: i
pA X B qC .
Matemática Discreta
Teoría de Conjuntos
Página 33
Solución:
Tenemos: pA X B q “ tHu, Por lo tanto, p A X B qC “ H . ii
P pA Y C q. Solución:
Tenemos: A Y C “ tH, 2, t3uu, A Y C “ t1, 3, t2, 4uu Por lo tanto, P pA Y C q “ t H, t1u, t3u, t2, 4u, t1, 3u, t1, t2, 4uu, t3, t2, 4uu, t1, 3, t2, 4uuu. 2.13. Sean A y B conjuntos arbitrarios tales que |A| “ 3, | A X B | “ 1 y | P pB q| “
32.
Determine:
(a) |P pAB q| Solución:
Note que |P pB q| “ 2|B| “ 32, por lo que |B | “ 5. Además |AB | “ |pA ´ B q Y pB ´ Aq| “ |A ´ B | ` |B ´ A|, pues B ´ A y A ´ B son conjuntos disjuntos. Así |A ´ B | “ |A| ´ |A X B | “ 3 ´ 1 “ 2, |B ´ A| “ |B | ´ |B X A| “ 5 ´ 1 “ 4, Por lo tanto, |P pAB q| “ 2|AB| “ 22`4 “ 64. (b) |pA X B q ˆ P pB ´ Aq| Solución:
Tenemos: |B ´ A| “ |B | ´ |B X A| “ 5 ´ 1 “ 4, Por lo tanto, |pA X B q ˆ P pB ´ Aq| “ |pA X B q | ¨ |P pB ´ Aq| “ 1 ¨ 24 “ 16 2.14. Sean A y B conjuntos tales que | A| “ 5, | B | “ 3 y | A ´ B | “ 4. Determine:
(a) |P pA X B q ˆ P pA Y B q|
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Teoría de Conjuntos
Página 34
Solución:
Tenemos: |A ´ B | “ 4 ñ 4 “ |A| ´ |A X B | ñ 4 “ 5 ´ |A X B | ñ |A X B | “ 1, |A Y B | “ |A| ` |B | ´ |A X B | “ 5 ` 3 ´ 1 “ 7, Por lo tanto, |P pA X B q ˆ P pA Y B q | “ |P pA X B q|¨|P pA Y B q| “ 2|AXB| ¨ 2|AYB| “ 21 ¨ 27 “ 256 (b) |B ´ A| Solución:
Tenemos: |A ´ B | “ 4 ñ 4 “ |A| ´ |A X B | ñ 4 “ 5 ´ |A X B | ñ |A X B | “ 1, Por lo tanto, |B ´ A| “ |B | ´ |B X A| “ 3 ´ 1 “ 2. 2.15. Sean A, B y C conjuntos arbitrarios tales que |A| “ 5, |B | “ 4, |A X B | “ 2, |P pC q| “ |C ´ A| “ 1. Determine:
(a) |pA ´ B q ˆ P pA Y C q| Solución:
Tenemos: |A ´ B | “ |A| ´ |A X B | “ 5 ´ 2 “ 3, |P pC q| “ 8 ñ 2|C | “ 8 ñ |C | “ 3, |C ´ A| “ 1 ñ |C | ´ |C X A| “ 1 ñ 3 ´ |C X A| “ 1 ñ |C X A| “ 2 |A Y C | “ |A| ` |C | ´ |A X C | “ 5 ` 3 ´ 2 “ 6, Por lo tanto, |pA ´ B q ˆ P pA Y C q| “ |pA ´ B q | ¨ |P pA Y C q| “ 3 ¨ 2|AYC | “ 3 ¨ 26 “ 192 (b) |P rpA X C q ˆ P pB ´ Aqs| Solución:
Tenemos: |B ´ A | “ | B | ´ | B X A | “ 4 ´ 2 “ 2 |C ´ A| “ 1 ñ |C | ´ |C X A| “ 1 ñ 3 ´ |C X A| “ 1 ñ |C X A| “ 2 |B ´A|
Por lo tanto, |P rpA X C q ˆ P pB ´ Aqs| “ 2|pAXC qˆP pB´Aq| “ 2|AXC |¨2
2
“ 22¨2 “ 256
8
y
Matemática Discreta
Teoría de Conjuntos
Página 35
2.16. Sean A, B y C conjuntos arbitrarios tales que |A| “ 4, |B | “ 5, |A X B | “ 2, |P pC q| “ |C ´ A| “ 1. Determine:
8
y
128
y
(a) |P pB ´ Aq ˆ pA X C q| Solución:
Tenemos: |B ´ A | “ | B | ´ | B X A | “ 5 ´ 2 “ 3 |P pC q| “ 8 ñ 2|C | “ 8 ñ |C | “ 3 |C ´ A| “ 1 ñ |C | ´ |C X A| “ 1 ñ 3 ´ |C X A| “ 1 ñ |C X A| “ 2 Por lo tanto, |P pB ´ Aq ˆ pA X C q | “ |P pB ´ Aq | ¨ | pA X C q| “ 2|B´A| ¨ 2 “ 23 ¨ 2 “ 16 (b) |P rpA ´ C q ˆ C s| Solución:
Tenemos: |P pC q| “ 8 ñ 2|C | “ 8 ñ |C | “ 3 |C ´ A| “ 1 ñ |C | ´ |C X A| “ 1 ñ 3 ´ |C X A| “ 1 ñ |C X A| “ 2 |A ´ C | “ |A| ´ |A X C | “ 4 ´ 2 “ 2 Por lo tanto, |P rpA ´ C q ˆ C s| “ 2|pA´C qˆC | “ 2|A´C |¨|C | “ 22¨3 “ 64 2.17. Sean A, B y C conjuntos arbitrarios tales que | A| “ 8, | B | “ 5, | A X B | “ 2, | P pC q| “ |C ´ A| “ 4 y B X C “ H. Determine:
(a) |pA ´ pB Y C qq ˆ P pA ´ C q| Solución:
Tenemos: |P pC q| “ 128 ñ |C | “ 7 |C ´ A| “ 4 ñ |C | ´ |C X A| “ 4 ñ 7 ´ |C X A| “ 4 ñ |C X A| “ 3 |A ´ C | “ |A| ´ |A X C | “ 8 ´ 3 “ 5 |A ´ pB Y C q | “ |A| ´ |A X pB Y C q | “ |A| ´ p |A| ` |B Y C | ´ |A Y pB Y C q|q “ |A Y B Y C | ´|B Y C | “ |A|`|B |`|C | ´|A X B |´|A X C | ´|B X C | `|A X B X C | ´|B Y C | “ 8 ` 5 ` 7 ´ 2 ´ 3 ´ 0 ` 0 ´ p5 ` 7q “ 3 Por lo tanto, |pA ´ pB Y C qq ˆ P pA ´ C q| “ |pA ´ pB Y C q q|¨|P pA ´ C q| “ 3 ¨ 2|A´C | “ 3 ¨ 25 “ 96
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(b) |P rpA X C q ˆ C s| Solución:
Tenemos: |P pC q| “ 128 ñ |C | “ 7 |C ´ A| “ 4 ñ |C | ´ |C X A| “ 4 ñ 7 ´ |C X A| “ 4 ñ |C X A| “ 3 Por lo tanto, |P rpA X C q ˆ C s| “ 2|pAXC qˆC | “ 2|AXC |¨|C | “ 23¨7 “ 2097152 2.18. Si | A| “ 3, | B | “ 2 y A y B son conjuntos disjuntos, determine |P pA ˆ pA Y B qq|. Solución:
Tenemos: Como A y B son conjuntos disjuntos, A X B “ H. |A Y B | “ |A| ` |B | ´ |A X B | “ 3 ` 2 ´ 0 “ 5. |A ˆ pA Y B q | “ |A| ¨ |A Y B | “ 3 ¨ 5 “ 15. Por lo tanto, | P pA ˆ pA Y B qq| “ 2|AˆpAYBq| “ 215. 2.19. Si se sabe que A y B son dos conjuntos que cumplen que |A| “ 2, |B | “ calcule |P pA Y B q ˆ pA ´ B q|.
4
y |A X B | “ 1,
Solución:
Tenemos: |A Y B | “ |A| ` |B | ´ |A X B | “ 2 ` 4 ´ 1 “ 5. |P pA Y B q| “ 2|AYB| “ 25 “ 32. |A ´ B | “ |A| ´ |A X B | “ 2 ´ 1 “ 1. Por lo tanto, | P pA Y B q ˆ pA ´ B q | “ |P pA Y B q | ¨ |A ´ B | “ 32 ¨ 1 “ 32 2.20. Sean A , B y C tres conjuntos cualesquiera en el universo U , tal que | U | “ 7, |A| “ 3, |B | “ 5,
ˇ ´ ˇ p . Determine ˇ
|C | “ 4, |A X B | “ 2, | C ´ B | “ 3 Solución:
P
¯ˇ ˇ q ˇ.
AB q ˆ pB X C
Tenemos: AB “ pA ´ B q Y pB ´ Aq, donde A ´ B y B ´ A son disjuntos.
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|AB | “ |A ´ B | ` |B ´ A| ´ | pA ´ B q X pB ´ Aq| “ p|A| ´ |A X B |q`p|B | ´ |B X A|q ´ |H| “ |A| ` |B | ´ 2|A X B | “ 3 ` 5 ´ 4 “ 4. |C ´ B | “ 3 ñ |C | ´ |C X B | “ 3 ñ 4 ´ |C X B | “ 3 ñ |C X B | “ 1. B X C “ | U | ´ |B X C | “
7
´ 1 “ 6.
|pAB q ˆ pB X C q | “ |AB | ¨ |B X C | “ 4 ¨ 6 “ 24.
ˇ ´ ˇ p Por lo tanto, ˇ P
¯ˇ ˇ q ˇ“
AB q ˆ pB X C
|ppABqˆpBXC qq| “ 224.
2
2.21. Sean A, B y C conjuntos arbitrarios tales que B X C ‰ H, |A| “ 9, |B | “ |P pC q| “ 128, |C ´ A| “ 3. Determine la cardinalidad de p A Y B q ˆ P pA ´ C q.
10,
|A X B | “ 3,
Solución:
Tenemos: |A Y B | “ |A| ` |B | ´ |A X B | “ 9 ` 10 ´ 3 “ 16. |P pC q| “ 128 ñ 2|C | “ 27 ñ |C | “ 7. |C ´ A| “ 3 ñ |C | ´ |C X A| “ 3 ñ 7 ´ |C X A| “ 3 ñ |C X A| “ 4. |A ´ C | “ |A| ´ |A X C | “ 9 ´ 4 “ 5. |P pA ´ C q| “ 2|A´C | “ 25 “ 32. Por lo tanto, |p A Y B q ˆ P pA ´ C q | “ |A Y B | ¨ |P pA ´ C q| “ 16 ¨ 32. 2.22. En una escuela se tiene un total de 2300 estudiantes de los cuales 200 practican fútbol, atle-
tismo y ciclismo; 550 practican fútbol y atletismo; 400 practican atletismo y ciclismo; 300 practican únicamente ciclismo; 1000 practican atletismo y 1400 practican fútbol. Además, se sabe que los que no practican ningún deporte son una tercera parte de los que únicamente practican fútbol y ciclismo. Determine el número de estudiantes que practican: (a) únicamente fútbol; (b) el número de estudiantes que practican ciclismo. Solución:
Tenemos: 200 estudiantes practican fútbol, atletismo y ciclismo; F
A 200 C
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Página 38
550 estudiantes practican fútbol y atletismo; F
A
350 200 C
400 estudiantes practican atletismo y ciclismo; F
A
350 200
200
C 300 estudiantes practican únicamente ciclismo; F
A
350 200 C
200
300
1000 estudiantes practican atletismo; F
350 200 C
y 1400 estudiantes practican fútbol;
300
A 250 200
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F 850 ´
n
n
350 200
Página 39
A 250 200
300
C
Además, se sabe que los que no practican ningún deporte son una tercera parte de los que únicamente practican fútbol y ciclismo. F 850 ´
n
n
350 200
A 250 200
300
C
n{3
Finalmente, p 850 ´ nq ` n ` 350 ` 200 ` 250 ` 200 ` 300 ` n{3 “ 2300, de donde n “ 450. F 400 450 C
350 200 300
A 250 200 150
Así, 400 estudiantes practican únicamente fútbol y 1150 estudiantes practican ciclismo. 2.23. Simplifique las siguientes expresiones. Indique la ley que utiliza a cada paso.
(a) pB X Aq Y rA Y pB Y C q Y pA X C qs Solución:
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“ ‰ “ ‰ X X p Y q Y p Y p X qq “ ‰ X X p Y qY “ ‰ Y X p Y qY “` Y ˘ X p Y q‰ Y “` Y ˘ X ‰ “ Y p X q‰ Y “` Y ˘ X ‰ “ Y H‰ Y “` Y ˘ X ‰ “` Y ˘ X ‰ Y “ Y ` Y ˘‰ X “ Y ‰ ` Y ˘X` Y ˘ `X ˘ Y
(1) B X A X A Y pB Y C q Y pA X C q
DM y DC
(2) B
A
B
C
Asoc
(3) B
A
B
C
A
Abs
(4) B
A
B
A
C
Asoc
(5)
B
(6)
B
(7)
A
B
A
(8) B
B
A
(9)
B
A
(10)
B
(11) B
A
A
A
A
C
C
C
C
B
B
A
C
B
B
B
A
A
A
B
B
A
C
C
C
Dist Dist Inv Ne Dist Ide Dist
(b) pA X B q Y rA X pB X C q s Y pA X C q Solución:
“` X ˘ Y ` X ˘‰ Y “ Y p X q‰ “ X p Y q‰ Y “ Y p X q‰ “ ` Y ˘‰ X p Y qY
(1)
A
(2)
A
(3) A
B
A
B
C
B
C
C
A
A
B
B
B
C
Asoc
C
C
Dist dist y DM
(4) A X U
Inv
(5) A
Ne
(c) rpA X C q Y C Y As X r pA X B q X pC Y B qs Solución:
(1) (2)
“p X q Y ` X ˘‰ X r X p “ X ` Y ˘‰ X p X q A
A
C
C
C
C
A
A
A
B
B X pC Y B qqs
DM y DC Dist y Abs
(3) pA X U q X pA X B q
Inv
(4) A X pA X B q
Ne
(5) A X B (d) pQ Y P q Y pQ X Rq Y tP X rR X pQ X Rqsu
Idem
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Solución:
”p
Q Y P q X pQ X R
(1)
ıq Y t
P X rR X pQ X Rqsu
DM
(2) tpQ X P q X pQ Y Rq u Y t pP X Rq X pQ Y Rqu Asoc (3) pQ Y Rq X t pQ X P q Y pP X Rqu
(4) pQ Y Rq X tP X pQ Y Rqu
“p Y “ Yp
(5)
Q
(6)
Q
‰
Rq X pQ Y Rq X P
‰
R X Rq X P
(7) pQ Y H q X P
Dist
Dist
Asoc
Dist Inv
(8) Q X P
Ne
(e) rpA Y B q Y C s Y pB X C q Y A Solución:
“
‰
(1) pA X B q Y C Y pB X C q Y A
DM, DC y Asoc
(2) pA X B q Y pC Y Aq
Abs
(3)
“p
‰
A X B q Y A Y C
(4) A Y C
Asoc Abs
(f) pA Y B q X pB Y Aq X pB Y C q Solución:
(1) (2) (3)
”p Y “p X “ Xp
ıq X p ‰ q Xp
A
B q Y pB Y A
B Y C q
DM
A
B q Y pB X A
B Y C q
DM, DC
B
AYA
‰ q Xp
B Y C q
Dist
(4) pB X U q X pB Y C q
Inv
(5) B X pB Y C q
Ne
(6) pB X B q X pB Y C q
Dist
(7) H Y pB Y C q
Inv
(8) B Y C
Ne
2.24. Si A “ t1, 3, 7u, B “ t2, 4, 5u y C “ t5, 12, 14u, determine el valor de verdad de las proposi-
ciones:
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(a) @xrx P B X C ñ px ` 2q P As Solución:
Note que B X C “ t5u, por lo que x “ 5 así x ` 2 “ 7 donde 7 P A. Por lo tanto la afirmación es cierta. (b) p@x P AqpDy P B qrxy P C s Solución:
Dado que x P A tenemos tres posibles valores para x: x “ 1 : Basta tomar y “ 5 para que se cumpla que xy “
1¨5
“ 5 P C .
x “ 3 : Basta tomar y “ 4 para que se cumpla que xy “
3¨4
“ 12 P C .
x “ 7 : Basta tomar y “ 2 para que se cumpla que xy “
7¨2
“ 14 P C .
Por lo tanto la afirmación es cierta. (c) pDx P Aqp@y P B qrx ` y P C s Solución:
La afirmación es falsa, pues se tienen los siguientes contraejemplos: x “ 1 : Basta con ver que si y “ 2 entonces x ` y “
3
R C .
x “ 3 : Basta con ver que si y “ 4 entonces x ` y “
7
R C .
x “ 7 : Basta con ver que si y “ 2 entonces x ` y “
9
R C .
2.25. Considere el conjunto A “ t2, 3, 4, 5, 6, 7u y las proposiciones abiertas: (a) P pxq : x ` 1 es un número primo; (b) Q pxq : x2 ` x es un número impar. Determine el valor de verdad de las siguientes
proposiciones: (a) @x P Nrx P A ñ x ă 9s ^ Dx P Nrx R A ^ P p2xqs Solución:
Dado que se trata de una conjunción analicemos cada proposición por separado. @x P Nrx P A ñ x ă 9s: es cierta pues basta con observar los valores de los elementos de A. Dx P Nrx R A ^ P p2xqs: es cierta pues basta tomar x “ 8, claramente 8 R A y P p2 ¨ 8q “ 17 es un número primo.
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Por lo tanto la proposición es verdadera. (b) Dx P ArP p2x ´ 1q Ø Qpx ` 1qs Solución:
Note que P p2x ´ 1q “ 2x ´ 1 ` 1 “ 2x y el único valor de x para que 2x sea primo es x “ 1 y como 1 R A entonces se concluye que la proposición es falsa. (c) p@x P NqpDy P
Nqrx
P A ñ pQpxq _ P px ` y qqs
Solución:
Para que la proposición sea verdadera, basta con que al menos Qpxq ó P pxq sean verdaderas. Dado que Qpxq es siempre falsa, analicemos la proposición P pxq con todos los posibles valores de x: x “ 2: Basta con tomar y “ 2 para que P px ` y q sea un número primo. x “ 3: Basta con tomar y “ 1 para que P px ` y q sea un número primo. x “ 4: Basta con tomar y “ 2 para que P px ` y q sea un número primo. x “ 5: Basta con tomar y “ 1 para que P px ` y q sea un número primo. x “ 6: Basta con tomar y “ 4 para que P px ` y q sea un número primo. x “ 7: Basta con tomar y “ 3 para que P px ` y q sea un número primo.
Por lo tanto la proposición es verdadera. 2.26. Si A “ t1, 2, 3u, B “ tHu y C “ tt1u, t2, 3u, t2uu, determine el valor de verdad de las
proposiciones (justifique cuando sea posible): (a) Dxrx P C ñ x Ă As Solución:
La proposición es verdadera, pues basta con tomar x “ t1u P C y claramente t 1u Ă A. (b) @xrx P A ñ txu P C s Solución:
La proposición es falsa, pues para x “ 3 P A no se cumple t 3u P C . (c) @xrx P B ñ x “ Hs
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Solución:
Se tiene que @xrx P B ñ x “ Hs ” Dxrpx P B q _ px “ Hqs
Prop. y ID
” Dxrx P B ^ px “ Hqs
DM, DN
” Dxrx P B ^ x ‰ Hs
DM, DN
Dicha proposición es falsa, pues el único elemento que pertenece a B es H. 2.27. Considere el conjunto A “ tx P N | 1 ď x ă 5u y las proposiciones abiertas: (a) P pxq : x ` 1 es un número par; (b) Qpxq : 3x ` 1 es un número primo. Determine el valor de verdad de las
proposiciones: (a) pDx P Aqp@y P Aq
„
y x´3
PA
Solución:
La proposición es verdadera, pues basta tomar x “ 4, así se tiene
y 4´3
“ y y se tenía que y P A.
(b) pDy P AqrP py q ^ Qpy qs Solución:
La proposición es falsa, pues al ser una conjunción ambas proposiciones deben ser verdaderas. Y como A “ t1, 2, 3, 4u, claramente: P py q es falsa para y “ 2 y y “
4
Qpy q es falsa para y “ 1 pues Qp1q “ 4 y y “ 3 pues Qp1q “ 2.28. Si A “ tx P
R
| x ą 0u, B “ ty P
R
|
0
10
ă y ă 1u. Determine el valor de verdad de las
proposiciones: (a) p@x P AqpDy P B qrxy P B s Solución:
Es verdadero. Se pueden analizar dos casos: i
Si
0
ă x ă 1, entonces basta tomar y “ x, así
0
ă x ¨ y ă 1 por lo que x ¨ y P B .
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ii
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Si x ě 1, entonces se puede tomar y “ 1
1 2x
Página 45
, que satisface 0 ă
1 2x
ă 1, por lo que y P B .
Luego x ¨ y “ P B . Así para cualquier elemento que se escoja en A , es posible encontrar 2 al menos un elemento en B que satisfaga que el producto de ambos pertenece a B . (b) pDx P Aqp@y P B qrxy ` 2x “ 2y ` 4s Solución:
Como lo que debemos es encontrar un x que satisfaga la ecuación para cualquier valor de y , entonces vamos a tratar de despejar x a ver que pasa: xy ` 2x “ 2y ` 4
ñ xpy ` 2q “ 2py ` 2q ñx“2
pdado que con seguridad y ‰ ´2q
Por lo tanto la afirmación es verdadera, basta tomar x “ 2 y la ecuación 2y ` 4 “ 2y ` 4 es verdadera para todo valor de y . (c) p@x P AqpDy P B q
„
1
y
ąx
Solución:
Observe que es igual al caso (a), pues se tenía que
0
ă xy ă 1. Si nos quedamos tan solo con la
parte de la derecha de la inecuación se tiene que xy ă 1 ñ x ă
1
y
. Por lo tanto la afirmación
es verdadera, ya que los valores de y se pueden tomar como en el caso (a). 2.29. Sean A “ t3, 4, 6, 7u, B “ tHu y C “ tt6u, t3, 4, 7u, t3, 7uu. Determine el valor de verdad de
las proposiciones: (a) @xrx P C ñ x Ď As Solución:
Observe que los elementos de C son los conjuntos t6u, t3, 4, 7u y t3, 7u, y que cada uno de ellos es un subconjunto de A, por lo tanto la afirmación es verdadera. (b) @xrx P 2B ñ x P B s Solución:
Dado que 2B “ tH, tHuu, los elementos de tHu no, por lo tanto la afirmación es falsa.
2B
son H y tHu. H es un elemento de B , pero
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Página 46
(c) @xrx P A ñ txu R C s Solución:
Lo podemos resolver de dos maneras. Una es quitando la negación, y analizar entonces la afirmación: @xrx P A ñ txu R C s, la cual es falsa, porque 6 P A y t6u P C . Así, la afirmación original es verdadera. Otra posibilidad es aplicar la negación. Debemos recordar que x P A ñ txu R C ” px P Aq _ txu R C ” x R A _ txu R C . Así, @xrx P A ñ txu R C s ” Dxrx P A ^ txu P C s. La respuesta es verdadera, ya que 6 P A y t 6u P C . 2.30. Sean A , B y C tres conjuntos cualesquiera, utilizando diagramas de Venn, verifique la validez de la proposición: A X B X C Ď ApB C q. Solución:
2.31. Sean A, B , C y D conjuntos arbitrarios. Demuestre la validez de las siguientes proposiciones:
(a) pA ˆ B q Y pC ˆ Dq Ď pA Y C q ˆ pB Y Dq Solución:
Como es demostrar que un conjunto es subconjunto de otro, entonces comenzamos con un elemento que pertenece al primero de ellos, y debemos llegar a la conclusión de que pertenece también al segundo. Observe que como hay expresiones con producto cruz, entonces el elemento original debe ser un par ordenado: px, y q P r pA ˆ B q Y pC ˆ Dqs ñ rpx, y q P A ˆ B s _ r px, y q P C ˆ Ds ñpx P A ^ y P B q _ px P C ^ y P Dq ñrpx P A ^ y P B q _ x P C s ^ r px P A ^ y P B q _ y P Ds ñrpx P A _ x P C q ^ py P B _ x P C q s ^ r px P A _ y P B q ^ py P B _ y P Dqs ñrpx P A _ x P C q s ^ r py P B _ y P D qs (simplificación) ñpx P A Y C q ^ py P B Y Dq ñpx, y q P pA Y C q ˆ pB Y D q
(b) C Ă pA X B q ñ rC X pB ´ Aq “ H s Solución:
Lo que tenemos es que demostrar la igualdad C X pB ´ Aq “ H, utilizando la premisa de que x P C ñ x P A X B . Como hay que demostrar que C X pB ´ Aq “ H, entonces nos vamos a
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Página 47
dar un elemento en C X pB ´ Aq, y llegar a una contradicción: x P C X pB ´ Aq
ñx P C ^ x P B ´ A ñpx P A X B q ^ px P B ´ Aq (premisa) ñpx P A ^ x P B q ^ px P B ^ x R Aq ñpx P Aq ^ px R Aq (simplificación) ñpx P Aq ^ px P Aq ñF 0
(c) A ˆ pB X C q “ pA ˆ B q Y pA ˆ C q Solución:
Como hay un producto cruz, entonces nuestro elemento inicial debe ser un par ordenado. Comenzamos tomando un elemento que está en cualquiera de los dos lados, y llegamos al conjunto del otro lado: px, y q P A ˆ B X C ðñ x P A ^ y P B X C ðñ x P A ^ py P B X C q ðñ x P A ^ py P B ^ y P C q ðñ x P A ^ rpy P B q _ py P C qs ðñ x P A ^ py P B _ y P C q ðñ px P A ^ y P B q _ px P A ^ y P C q ðñ rpx, y q P A ˆ B s _ r px, y q P A ˆ C s ðñ px, y q P pA ˆ B q Y pA ˆ C q
(d) pA Y B q Ď pC X Dq ñ C Ď pA Y B q Solución:
En este caso la premisa es x P A Y B ñ x P C X D, pero al observar que debemos comenzar
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con x P C , y que D no es parte del lado derecho de la implicación, vamos a analizar la premisa: x P A Y B Ñ x P C X D
ñpx P A Y B q _ x P C X D ñpx P A _ x P B q _ px P C ^ x P Dq ñpx P A ^ x P B q _ px P C ^ x P Dq ñpx P A ^ x P B q _ px P C q (simplificación) ñpx P C q _ px P A ^ x P B q (conmutatividad) ñpx P C q Ñ px P A ^ x P B q (ID) Ahora que ya comenzamos de C , entonces: x P C
ñx P A ^ x P B (premisa) ñx P A (simplificación) ñx P A _ x P B (adjunción) ñx P A Y B
(e) pA X C q ´ B “ pA ´ B q X pC ´ B q Solución:
Como es una igualdad, vamos a comenzar del lado “más grande”: x P pA ´ B q X pC ´ B q
ðñ px P A ´ B q ^ px P C ´ B q ðñ px P A ^ x R B q ^ px P C ^ x R B q ðñ x P A ^ x P C ^ x R B ^ x R B (asoc. y conm.) ðñ px P A ^ x P C q ^ x R B (asoc. e idem.) ðñ x P pA X C q ^ x R B ðñ x P pA X C q ´ B
(f) pC Ď A ^ C X B “ Hq ñ C Ď B ´ A Solución:
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Vamos a analizar la segunda premisa: C X B “ H
ñpx P C X B q ñrpx P C q ^ px P B qs ñpx P C q _ px P B q
Observe que de la primera premisa x P C Ñ x P A se llega a que px P C q _ x P A. Así tenemos que: rpx P C q _ x P B s ^ r px P C q _ x P As rpx P C q s _ px P B ^ x P Aq (distributividad) ñx P C Ñ x P pB X Aq ñx P C Ñ x P pB ´ Aq
(g) A ´ pB Y C q “ pA ´ B q X C Solución:
Como es una igualdad, vamos a comenzar del lado “derecho”: x P A ´ pB Y C q
ðñ x P A ^ x R pB Y C q ðñ x P A ^ x R B ^ x R C ðñ x P A ^ x R B ^ x P C ðñ x P pA ´ B q ^ x P C ðñ x P pA ´ B q X C
(h) A ´ pB Y C q Ď pA ´ B q Y C Solución:
Debemos probar la inclusión, para ello:
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x P A ´ pB Y C q
ñx P A ^ x R pB Y C q ñx P A ^ x R B ^ x R C ñx P A ^ x R B simpl ñx P pA ´ B q ñx P pA ´ B q _ C adic ñx P pA ´ B q Y C (i) pA Ď C ^ B Ď Dq ñ pA ˆ D Ď C ˆ B q Solución:
Debemos probar la implicación, para ello, tomando como hipótesis p A Ď C ^ B Ď Dq: px, y q P pA ˆ Dq ñx P A ^ y P D ñx P C ^ y R D ñx P C ^ y R B ñx P C ^ y P B ñpx, y q P C ˆ B (j) A Ď B ðñ A X B “ H Solución:
En este caso se debe probar una equivalencia; para ello,se probarán ambas implicaciones: ñ Bajo la hipótesis A Ď B , se debe probar A X B “ H. Haremos esto por contradicción A X B ‰ H ÝÑ Dx t.q x P A ^ x P B
ñsi x P A ÝÑ x P B (hipótesis) ñx P B ^ x P B (contradicción) ñA X B “ H ð Bajo la hipótesis A X B “ H, hay que probar A Ď B : x P A luego x R B pues A X B “ H
ÝÑx P A ^ x P B AĎB
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(k) A ˆ pB ´ C q “ pA ˆ B q ´ pA ˆ C q Solución:
En este caso se debe probar una igualdad entre conjuntos; es decir dos inclusiones: Ă Debemos probar A ˆ pB ´ C q ñ pA ˆ B q ´ pA ˆ C q px, y q P A ˆ pB ´ C q ña P A ^ y P pB ´ C q ñx P A ^ y P B ^ y R C ñpx P A ^ y P B q ^ px P A ^ y R C q ñpx, y q P pA ˆ B q ^ px, y q R pA ˆ C q ñpx, y q P pA ˆ B q ´ pA ˆ C q Ą Debemos probar p A ˆ B q ´ pA ˆ C q ñ A ˆ pB ´ C q : px, y q P pA ˆ B q ´ pA ˆ C q ñpx, y q P pA ˆ B q ^ px, y q R pA ˆ C q ñpx P A ^ y P B q ^ px R A _ y R B q ñ px P A ^ y P B ^ x R Aq _px P A ^ y P B ^ y R C q
loooooooooooooomoooooooooooooon contradiccin
ñpx P A ^ y P B ^ y R C q ley del neutro ñx P A ^ y P pB ´ C q ñpx, y q P A ˆ pB ´ C q (l) pA Ď B ^ C Ď Dq ñ pA Y C Ď B Y D q Solución:
Debemos probar la implicación, para ello, tomando como hipótesis pA Ď B ^ C Ď Dq , debemos probar p A Y C Ď B Y Dq: x P pA Y C q
ñx P A _ x P C ñx P B _ x P D ñx P B Y D (m) A ˆ pB X C q Ď pA ˆ B q X pA ˆ C q Solución:
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Como es demostrar que un conjunto es subconjunto de otro, entonces comenzamos con un elemento que pertenece al primero de ellos, y debemos llegar a la conclusión de que pertenece también al segundo. Observe que como hay expresiones con producto cruz, entonces el elemento original debe ser un par ordenado: px, y q P rA ˆ pB X C qs ñpx P Aq ^ py P B X C q ñpx P Aq ^ py P B ^ y P C q ñpx P A ^ y P B q ^ px P A ^ y P C q (Adj. y Aso.) ñpx P A ˆ B q ^ px P A ˆ C q ñx P rpA ˆ B q X pA ˆ C qs
(n) pA Y B q ´ C Ď pA Y B q X C Solución:
Como es demostrar que un conjunto es subconjunto de otro, entonces comenzamos con un elemento que pertenece al primero de ellos, y debemos llegar a la conclusión de que pertenece también al segundo: x P rpA Y B q ´ C s
ñx P rpA Y B q ´ C s ñpx P A Y B q ^ px R C q ñpx P A _ x P B q ^ px P C q ñpx P A Y B q ^ px P C q ñx P rpA Y B q X C s
(ñ) pA Y B Y C q X pA ´ C q “ H Solución:
Asumiremos por contradicción, que existe un elemento que pertenece al conjunto:
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x P rpA Y B Y C q X pA ´ C qs
ñpx P A Y B Y C q ^ px P A ´ C q ñpx P A X B _ x P C q ^ px P A ^ x R C q (Prop. complemento) ñrpx R A ^ x R B q _ x P C s ^ px P A ^ x R C q ñrpx R A _ x P C q ^ px R B _ x P C s ^ px P A ^ x R C q (Dis) ñrpx R A _ x P C q ^ px P A ^ x R C q s ^ px R B _ x P C q (Con., Aso. y Con.) ñrpx R A _ x P C q ^ px R A _ x P C q s ^ px R B _ x P C q (DM) F 0
(o) pA Y B q ´ pA X B q “ pA ´ B q Y pB ´ Aq Solución:
Como es una igualdad, podemos probar ambas inclusiones en una sola equivalencia: x P rpA ´ B q Y pB ´ Aqs
ôpx P A ´ B q _ px P B ´ Aq ôpx P A ^ x R B q _ px P B ^ x R Aq ôrpx P A ^ x R B q _ x P B s ^ r px P A ^ x R B q _ x R As (Dis.) ôpx P A _ x P B q ^ px R B _ x P B q ^ px P A _ x R Aq ^ px R B _ x R Aq (Dis.) ôpx P A _ x P B q ^ px R B _ x R Aq (Inv. y Ne.) ôpx P A Y B q ^ px R B X Aq ôx P rpA Y B q ´ pB X Aqs (p) pD Ď A ´ B ^ E Ď A X B q ñ D X E “ H Solución:
Vamos a analizar la segunda premisa: D X E “ H
ñpx P D X E q ñrpx P Dq ^ px P E qs ñpx P Dq _ px P E q ñpx R Dq _ px R E q Analizando cada una de las hipótesis se tiene que:
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pD Ď A ´ B q ñx P pD Ď A ´ B q ñx P D Ñ x P pA ´ B q ñx R D _ x P pA ´ B q (ID) ñx R D _ px P A ^ x R B q
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pE Ď A X B q ñx P pE Ď A X B q ñx P E Ñ x P pA X B q ñx R E _ x P pA X B q (ID) ñx R E _ px P A ^ x P B q
Y dado que x P A ^ x R B y x P A ^ x P B no pueden ser simultáneamente verdaderas. En cualquier caso debe cumplirse que al menos una de x R D o x R E sea verdadera. Por lo tanto se demuestra la proposición. (q) A Ď pB X Dq ñ B Ď pA Y C q Solución:
Analizando la hipótesis se tiene que: A Ď pB X Dq
ñx P rA Ď pB X Dqs ñx R A _ x P pB X Dqs (Def. e ID) ñx R A _ px P B ^ x P Dq (Def. e ID)
Continuando con la segunda premisa: B Ď pA Y C q
ñx P B ñx R B ñx R A (Hipótesis) ñx P A _ x P C (Adi.) ñx P pA Y C q
(r) pC Ď B ^ B X A “ H q ñ A P P pC q Solución:
Analizando cada una de las hipótesis se tiene que:
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1.
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pC Ď B q
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pB X A “ Hq ñrx P pB X Aqs ñrx P B ^ x P As ñx R B _ x R A (DM) 2.
ñx P pC Ď B q ñx R C _ x P B (ID) ñx P C _ x P B
Retomando lo que debemos demostrar se tiene: A P P pC q
ñA Ď C ñx P A ñx R B (Hipótesis 2) ñx P C (Hipótesis 1)
2.32. Para las siguientes proposiciones, utilice un contrajemplo para demostrar que son falsas:
(a) P pA Y B q “ P pAq Y P pB q Solución:
Tome A “ t0u y B “ t1u. Así P pA Y B q “ P pt0u Y t1uq “ P pt0, 1uq “ tH, t0u, t1u, t0, 1uu. Por otro lado, P pAq Y P pB q “ P pt0uq Y P pt1uq “ tH, t0u u Y t H, t1uu “ tH, t0u, t1uu. (b) pA ´ B q Y C Ď A ´ pB Y C q Solución:
Se puede tomar por ejemplo A “ H y C “ t0u. Así, p A ´ B q Y C “ H Y t0u “ t0u, mientras que A ´ pB Y C q “ H. Claramente, NO es cierto que t 0u Ă H. (c) A X B Ď A X B Solución:
Como se trabaja con complemento, si se define un conjunto para A, se debería entonces definir un universo. Vamos a evitar definir el universo, pero vamos a suponer que es distinto de vacío, y que x P U . Sea A “ H y B “ txu, así: A X B “ H X txu “ H “ U . Por otro lado, A X B “ H X txu “ U X p U ´ txuq “ U ´ txu. Claramente el primero no está contenido en el segundo.
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(d) pA Y B “ AC q ñ pA X C “ H ^ C “ B q Solución:
Como se trabaja con condicional, definamos conjuntos que cumplen el antecedente pero falla la tesis. Sea A “ t1u, B “ t1u y C “ H, así: A Y B “ t1u, AC “ t1u, pero B ‰ C . (e) A X B Ď D ^ B X D ‰ H ñ A Ď D Solución:
Como se trabaja con condicional, definamos conjuntos que cumplen el antecedente pero falla la tesis. Sea A “ t4u, B “ t1u y D “ tH, 1, 2u, así: A X B “ H Ă D, B X D “ t1u, pero A Ę D. (f) pA X B “ A X C q Ñ pB “ C q Solución:
Como se trabaja con condicional, definamos conjuntos que cumplen el antecedente pero falla la tesis. Sea A “ t1u, B “ t1, 2u y C “ t1, 3u, así: A X B “ A X C “ t1u, pero claramente B ‰ C . 2.33. Si U “ t1, 2u es el conjunto universo, demuestre, con un contraejemplo, que la proposición P pAq Ď P pAq es falsa. Solución:
Sea A “ t1, 2u por lo que A “ H, así se tiene: P pAq “ tHu P pAq “ t H, t1u, t2u, t1, 2uu ñ P pAq “ H
Y claramente tHu ‰ H 2.34. Supongamos que se tiene un universo de discurso formado por cinco gatos: Mini, Black, Soko,
Balín y Terrón. Solo los tres primeros son de pura raza; Mini y Soko comen solo atún, mientras que Black y Balín solo comen pollo. Terrón come pollo y atún, sin embargo, no toma leche y los otros sí. Excepto Black, ninguno tiene collar. (a) Por medio de una tabla, presente la asignación de los predicados Rpxq: x es de raza, C Apxq: x come atún, CP pxq: x come pollo, T Lpxq: x toma leche, T C pxq: x tiene collar. Solución:
Tenemos:
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R p xq
CApxq
CP pxq
T Lpxq
T C pxq
Mini
V
V
F
V
F
Black
V
F
V
V
V
Soko
V
V
F
V
F
Balín
F
F
V
V
F
Terrón
F
V
V
F
F
(b) Determine el valor de verdad de las proposiciones: i
Dg rCApg q ^ T C pg qs Solución:
Se debe buscar una línea donde CA y T C sean verdaderos todos. Sin embargo como no existe dicha línea se cumple que la proposición es falsa. ii
@xrCP pxq _ T Lpxqs Solución:
Debe cumplirse que en todas las líneas al menos C P o T L sean verdaderas. Esto se cumple con en todas las líneas así que la proposición es verdadera. iii
@wrCP pwq s _ @wrT Lpwqs Solución:
Debe cumplirse que toda la columna CP sea verdadera, o que toda la columna T L sea verdadera, lo cual es falso. iv
DhrCAphq ñ Rphqs Solución:
Se debe cumplir que al menos en una línea CA implique R, por lo que basta tomar cualquier línea donde CA sea falsa. Por lo tanto, la proposición es verdadera. (c) Simbolice y valide la proposición: “No todos los gatos, comen pollo o, si son de raza tienen collar”. Solución:
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p@xqpDy qrCP py q _ pRpg q ñ T C pg qqs 2.35. Suponga que se tiene un universo de discurso formado por cinco personas: Juan, Raquel, Pedro,
Rosa y Francis. Solo las tres primeras son casadas. Pedro y Raquel tienen casa propia, mientras que Juan, Rosa y Francis alquilan casa. Solo Pedro y Rosa tienen automóvil propio. Todos excepto Pedro, estudian en la universidad. (a) Presente la tabla de asignación de los predicados C pxq : x es casado, CP pxq : x tiene casa propia, AC pxq : x alquila casa, AP pxq : x tiene automóvil propio, E pxq : x estudia en la universidad. Solución:
Tenemos: C pxq
CP pxq
AC pxq
AP pxq
E pxq
Juan
V
F
V
F
V
Raquel
V
V
F
F
V
Pedro
V
V
F
V
F
Rosa
F
F
V
V
V
Francis
F
F
V
F
V
(b) Valide las proposiciones: i
DxrC pxq ^ CP pxq ^ AP pxqs Solución:
Se debe buscar una línea donde C , CP y AP sean verdaderos todos. Observe que Pedro satisface las tres proposiciones. Por lo tanto la proposición es verdadera. ii
@xrCP pxq _ E pxqs Solución:
Todas las líneas deben cumplir que C P o E sean, al menos una, verdadera. La proposición es verdadera. iii
@xrCP pxq s _ @xrE pxqs Solución:
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Debe cumplirse que toda la columna CP sea verdadera, o que toda la columna E sea verdadera, lo cual es falso. iv
@z rC pz q Ñ pCP pz q _ AC pz qqs Solución:
Solamente hace falta analizar los casos en los cuales C sea verdadera, es decir, las tres primeras filas. En dichas filas, debe cumplirse que CP o AC sean, al menos una, verdadera. Por lo tanto, la proposición es verdadera. 2.36. Determine el valor de verdad de las proposiciones. Justifique su respuesta.
(a) p@x P RqpDy P
Rqrx
‰ 0 ñ xy “ 1s
Solución:
La proposición es verdadera, pues para cada x P R˚ siempre es posible encontrar un valor y de manera que xy “ 1. (b) pDx P ZqpDy P Zqr7x ` 5y “ 1s Solución:
Verdadera, tome: x “ ´2 y y “ (c) pDy P
Rqp@x
3
P Rqrx ă y s
Solución:
Verdadera,para ello debemos recoradar la propiedad de Densidad en los números reales. tome y “ x ` 1 (d) p@x P RqpDy P
Rqrxy “ 1s
Solución:
La proposición es falsa pues (e) pDy P
Rqp@x
Solución:
P Rqryx “ y s
0
P R y no existe un número real y tal que
0
¨ y “ 1.
