1 PROBLEMAS DE LINEAS DE TRANSMISION CAPITULO 4 DE STEVENSON Prof.: Ing. José Miguel Hernández Agosto de 2011 4.1 El conductor de aluminio AAC (Todos los conductores de aluminio) que se identifica con la palabra clave Bluebell se compone de 37 hilos con un diámetro de de 0.1672 pul. Las tablas de características de AAC enlistan una área de 1033500 cmil para este conductor (1 cmil = (π/4)×10−6 pul2). ¿Son consistentes estos valores? Encuentre el área total de los hilos en mm2. SOLUCIÓN: Diámetro en mil Area en cmil d = 0.1672 pul ×
d = 167.2 mil A = 37 × d2 = 37 × (167.2) 2
= 1034366 cmil (Sí, aproximadamente)
25.4 mm = 4.2469 mm 1 pul
Área en mm2
A = 37 ×
π
π
× d2 = 37 × × (4.2469) 2 = 524.121mm2.
4 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4.2 Mediante la ecuación 4.2 (Ecuación (2.1) folleto) y la información del problema 4.1, determine la resistencia cd en Ω/km para el conductor Bluebell a 20°, y verifique el resultado con el de 0.01678 Ω/1000 pies que proporcionan las tablas. Calcule la resistencia cd en Ω/km a 50 °C y compare el resultado con la resistencia en ca a 50 °C de 0.1024 Ω/milla que se tiene en las tablas para este conductor a 50 °C. Explique cualquier diferencia que haya en los valores. Suponga que el incremento en resistencia debido al trenzado es de 2%. SOLUCIÓN:
R=
ρ h = A
Ω ⋅ cmil
× 1000 pie pie p ies de longitud = 0.016449 Ω para 1000 pies 1033500 cmil
17.00
Corrección por trenzado
Rdc = 1.02 × 0.016449 = 0. 016778 Ω/1000 pies a 20°C
228 + 50 × 0.016778 × 5.28 = 0.099304 Ω/milla 228 + 20 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.3 Un conductor AAC se compone de 37 hilos, cada uno con un diámetro de 0.333 cm. Calcule la resistencia de cd en Ω/km a 75 °C. Suponga que el incremento en la resistencia debido al trenzado es de 2%. A 50°C
Rdc
=
2 SOLUCIÓN: d = 3.33 mm = 3.33×10−3 m R=
ρ h 2.83 × 10−8 Ω ⋅ m × 1000 m = A 37 × π × (3.33 × 10− 3 )2 m 2
= 0.0878 Ω por cada km a 20 °C
4
A 75 °C
Rdc = 1.02 ×
228 + 75
× 0.0878 = 0.1094 Ω por cada km a 75 °C 228 + 20 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.4 Se puede demostrar que la densidad de energía (esto es, la energía por unidad de volumen)
en un punto en un campo magnético es igual a B2/2µ, donde B es la densidad de flujo magnético Ix B = y µ es la permeabilidad magnética. Aplique este resultado y la ecuación (4.10): ,y 2 π r 2 demuestre que la energía total almacenada por unidad de longitud en el campo magnético de un conductor sólido de sección transversal circular que lleva una corriente I , es µI 2/16π. Desprecie el 1 efecto piel y verifique la ecuación (4.15): Lint = × 10 −7 H/m. 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.5 El conductor de una línea monofásica (sección circular) de 60 Hz es un hilo cilíndrico sólido de aluminio que tiene un diámetro de 0.412 cm. El espacio entre conductores es de 3 m. Determine la inductancia de la línea en mH/milla. ¿Cuánto de la inductancia se debe a los enlaces de flujo interno? Suponga que el efecto piel es despreciable. SOLUCIÓN: r′ =
0.412 × 0.7788 = 0.1604 cm 2
D 300 = 4 × 10− 7 ln = 3.0135×10− 6 H/m r' 0.1604
L = 4 × 10−7 ln
H 1000m 1.609km × × = 4.85×10−3 H/milla = 4.85 mH/milla m 1 km 1 milla 1 1 Lint = × 10− 7 H/m= × 10− 7 × 1609 = 0.161 mH/milla 2 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L == 3.0135×10−6
4.6 Una línea monofásica aérea de 60 Hz está sostenida simétricamente por una cruceta horizontal. El espacio entre los centros de los conductores (a y b) es de 2.5 m. Una línea telefónica también está simétricamente sostenida por una cruceta horizontal a 1.8 m directamente debajo de la línea de potencia. El espacio entre los centros de estos conductores (c y d) es 1 m. (a) Demuestre que la inductancia mutua por unidad de longitud entre el circuito a-b y el c-d está dada por
3
Dad Dbc H/m DacDbd
4 × 10− 7 ln
Donde por ejemplo, Dad indica la distancia en metros entre los conductores a y d. (b) Calcule la inductancia mutua por kilómetro entre la línea de potencia y la telefónica. (c) Encuentre el voltaje por kilómetro a 60 Hz, inducido en la línea telefónica cuando la línea de potencia lleva 150 A. SOLUCIÓN: .(a) 2.5 m a
b
1.8 m
c
d
1.0 m
El circuito a-b lleva una corriente I a = -Ib = I . Con I c = -I d = 0. a
I (sale)
b
Enlaces de flujo en c-d debido a I a
Dad
Con (2-8) folleto:
Dac
Dad D ac
λ cda = 2 × 10− 7 I ln
c d
λ cda
I (entra)
a
b
Dbc Dbd d c
λ cdb
Enlaces de flujo en c-d debido a I b Con (2-8) folleto:
Dbc D bd
λ cdb = 2 × 10 − 7 I ln
4 Enlaces de flujo en c-d debido a I a e I b
Dad Dbc −7 2 10 ln + × I D ac Dbd
λ cd = λ cda + λ cdb = 2 × 10− 7 I ln
λ cd
D D = 2 × 10 − 7 I ln ad bc D ac Dbd
La inductancia mutua es M =
O bien
M
=
λ cd I
λ cd I
D D = 2 × 10− 7 ln ad bc H/m DacDbd
= 4 × 10− 7 ln
Dad Dbc H/m DacDbd
.(b)
= (1.25 − 0.5)2 + 1.82 = 1.95 m Dad = Dbc = (1.25 + 0.5)2 + 1.82 = 2.51 m Dac = Dbd
2.512 2.51 −9 = 4 × 10− 7 ln 100 . 98 10 H/m = × M = 4 × 10 ln 2 1.95 1 . 95 −7
.(c) Vcd = ω MI = (2π × 60)(100.98 × 10−9 )(150 ) = 5.71 × 10−3 V/m Vcd = 5.71 V/km
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.7 Use el resultado del problema 4.6(a) para encontrar la inductancia mutua entre los circuitos de potencia y telefónico, si las líneas descritas en el problema 4.6 están en el mismo plano horizontal y la distancia entre los conductores mas cercanos de las dos líneas es de 18 m. Encuentre también el voltaje por kilómetro a 60 Hz, inducido en la línea telefónica cuando fluyen 150 A por la línea de potencia. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.8 Encuentre el RMG de un conductor de tres hilos en términos del radio r de un hilo individual. SOLUCIÓN 1
2
Distancias entre centros es 2r, n = 3
3
5
3
RMG = 9 (r' D12 D13 )(D21r ' D23 )(D31 D32 r ') = 9 (r '×2r × 2r )
= 3 0.7788r × 2r × 2r = 1.4605r
4.9 Encuentre el RMG de cada uno de de los conductores no convencionales mostrados, en términos del radio r de un hilo individual.
(b)
(a)
(d)
(c)
SOLUCIÓN .(a) 1
2
3
Distancias entre centros es D12 = D13 = 2r, D14= 2 2r , n = 4
4
RMG = 16 (r ' D12 D13 D14 )(D21r ' D23 D24 )(D31 D32 r' D34 )(D41 D42 D43r ') 4
RMG = 16 (0.7788r × 2r × 2r × 2 2r )
= 4 0.7788r × 2r × 2r × 2 2r = 1.7229r
.(b) 1
Distancias entre centros es D12 = D13 = D42 = D43 = 2r, D14= 2 3r , n = 4 3
2
RMG = 16 (r ' D12 D13 D14 )(D21r ' D23 D24 )(D31D32 r ' D34 )(D41D42 D43r') 2
RMG = 16 (0.7788r × 2r × 2r × 2 3r ) (0.7788r × 2r × 2r × 2r )
4
RMG = r × 4 (0.7788 × 8) × 16 3
2
= 1.6922r
.(c) Distancias entre centros es D12 = D23 = 2r, D13 = 4r , n = 3
1 2
D12 D23
3
RMG = 9 (r ' D12 D13 )(D21r' D23 )(D31 D32r ')
6 2
RMG = 9 (0.7788r × 2r × 4r ) (0.7788r × 2r × 2r ) = r × 9 0.77883 × 24 × 42
= 1.7037 r
.(d) 1 2 4
Distancias entre centros es D12 = D13 = D23 = 2r, D14 = D16 = 4r , D15= D62= D43= 2 3r , n = 6 3
5
Dii = r′
i = 1, 2 … 6
6 6
6
6
6
6
6
k=1
k=1
k=1
k=1
k=1
k=1
RMG = 36 ∏ D1k ∏ D2k ∏ D3k ∏ D4 k ∏ D5k ∏ D6k
3
3
RMG = 36 (0.7788r × 2r × 2r × 4r × 4r × 2r 3 ) (0.7788r × 2r × 2r × 2r × 2r × 2r 3 ) RMG = 2.1023r
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.10 La distancia entre conductores de una línea monofásica es de 10 pies. Cada uno de sus conductores se compone de seis hilos colocados simétricamente alrededor de un hilo central, así que hay siete hilos iguales. El diámetro de cada hilo es de 0.1 pul (r = 0.05 pul). Demuestre que el valor de DS para cada conductor es 2.177r. Encuentre la inductancia de la línea en mH/milla. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.11 Resuelva el ejemplo 4.2 del libro para el caso en el que el lado Y de la línea monofásica sea idéntico al lado X y los dos lados estén separados 9 m, como se muestra en la figura 4.9. SOLUCIÓN:
7 9m a
d
6m b
6m c
f
Lado X
Lado Y
Dm = 9 ( DadDaeDaf )( Dbd DbeDbf )( Dcd DceDcf )
= Dbe = Dcf = 9 m Dae = Dbf = Dbd = Dce = 92 + 62 = 117 m Daf = Dcd = 9 2 + 122 = 15 m Dad
Dm = 9 (9 × 117 × 15)( 117 × 9 × 117 )(15 × 117 × 9)
DS
= n (DaaDabDac L 2
= 9 2.2453 × 109 = 10.94 m
Dan )(DbaDbbDbc L Dbn )(DcaDcbDcc L Dcn )L (DnaDnbDnc L Dnn )
= 9 ( DaaDabDac )( DbaDbbDbc )( DcaDcbDcc) Daa = Dbb = Dcc = 0.7788×2.5×10−3=1.947×10−3 m DS
Dab = Dde = Dbc = Def = 6 m Dac = Ddf = 12 m
= 9 (1.947 × 10−3 × 6 × 12)(6 × 1.947 × 10−3 × 6)(12 × 6 × 1.947 × 10−3 ) Igual para ambos lados DS = 9 1.3774 × 10−3 = 0.481 m D − 7 10.94 2 10 ln = × LX = L Y = 2 × 10− 7 ln m = 0.625 × 10− 6 H/m de conductor 0.481 DS DS
L = LX
+ L Y = 2 × 0.625 × 10−6 = 1.25 × 10−6 H/m de línea
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.12 Encuentre la reactancia inductiva del conductor ACSR tipo Rail en ohmios por kilómetro a 1 metro de espaciamiento. (f = 60 Hz) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8
4.13 ¿Qué conductor de los enlistados en la tabla A.3 tiene una reactancia inductiva de 0.651 Ω/milla a 7 pies de espaciamiento? SOLUCIÓN De la tabla A.4, para un espaciamiento de 7 ft, Xd = 0.2361 Ω/milla Como XL = Xa +Xd, → Xa = XL – Xd = 0.651 – 0.2361= 0.415 Ω /milla a 1 ft de espaciamiento De la tabla A.3 Se encuentra el valor de Xa = 0.415 Ω/milla para el conductor Rook. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.14 una línea trifásica tiene tres conductores ACSR Dove espaciados de manera equilátera. Si los conductores están separados 10 pies determine la reactancia por fase de la línea a 60 Hz, en Ω/km. SOLUCIÓN Para conductor ACSR Dove, DS = 0.0314 ft y dado que D = 10 ft XL
− 7 10 ( ) = (2π f )2 × 10 − 7 ln D = π × × × 2 60 2 10 ln = 0.4346 D 0 . 0314 S
Alternativamente, con tablas. De A.3 → De A.4 → Total XL
Xa = 0.42 Ω /milla Xd = 0.2794 Ω/milla XL = 0.6994 Ω /milla
Ω 1 milla = 0.6994 = 0.4347 Ω/km milla 1.609 km
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.15 Una línea trifásica se diseña con espaciamiento equilátero de 16 pies. Se decide construir la
línea con espaciamiento horizontal (D13 = 2D12 = 2D23). Los conductores están transpuestos. ¿Cuál debería ser el espaciamiento entre conductores adyacentes con el fin de que se obtenga la misma inductancia del diseño original? SOLUCIÓN 1 D3φ
2
3
D3φ D12 =D D3φ
D23= D
9
D3φ = 16 ft
D12 = D23 = D, D31 = 2D
Deq = 3 ( D)( D)(2 D)
= 3 2 D = 16
D = 12.7 ft
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.16 Una línea de transmisión trifásica de 60 Hz tiene sus conductores arreglados en una formación triangular de manera tal que dos de las distancias entre conductores son de 25 pies y la tercera de 42 pies. Los conductores son ACSR Osprey. Determine la inductancia y la reactancia inductiva por fase y por milla. SOLUCIÓN 2 25 ft
25 ft
1
3 42 ft
Deq = 3 D12 D23 D31
= 3 (25)(25)(42) = 29.72 ft , Ds = 0.0284 ft (de tabla A.3)
29.72 = 1.39x10 –6 H/m 0.0284
L = 2 × 10− 7 ln XL
= (2π f )L = (2π × 60 ) × 1.39 × 10-6 = 524 × 10−6 Ω/m =0.524 Ω/km = 0.843 Ω/milla
Mediante tablas: Osprey: a 1 pie de espaciamiento: Xa = 0.432 Ω/milla Con D = 29.72 en tabla A.4 29 0.4086 D 29.72 Xd = 0.4116 Interpolando 30 0.4127 XL = Xa + Xd = 0.432 + 0.4115 = 0.844 Ω/milla -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.17 Una línea trifásica de 60 Hz tiene un espaciamiento plano horizontal los conductores tienen un RMG de 0.0133 m con 10 m entre conductores adyacentes. Determine la reactancia inductiva por fase en ohmios por kilómetro. ¿Cuál es el nombre de ese conductor? SOLUCIÓN Deq = 3 D12 D23 D31 XL
= 3 (10)(10)(20) = 12.6 m
D −7 12.6 2 60 2 10 ln π = (2π f )2 ×10−7 ln eq = × × × ( ) = 517 × 10−6 Ω/m = 0.517 Ω/km 0.0133 DS
10
1 ft = 0.0436 ft 0.3048 m
DS = 0.0133 m = 0.0133 m
De tabla A.3 el conductor es Finch. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.18 Si se desprecia la resistencia en líneas de transmisión cortas, la potencia máxima que se puede transmitir es igual a VS × VR X
En donde VS y VR son los voltajes de línea a neutro en los extremos del generador y del receptor, respectivamente, de la línea, y X es su reactancia inductiva. Esta relación será importante en el estudio del capítulo 6. Si las magnitudes de VS y de VR se mantienen constantes y si el costo del conductor es proporcional al área de sección transversal, encuentre en la tabla A-3 el conductor que tiene la máxima capacidad para llevar potencia por costo de conductor a un determinado espaciamiento medio geométrico. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.19 Una línea trifásica de distribución subterránea se opera a 23 kV. Los tres conductores están aíslados con 0.5 cm de aíslamiento sólido de polietileno negro y se colocan extendidos uno junto al otro en una zanja de tierra. El conductor tiene una sección transversal circular y 33 hilos de aluminio. El diámetro del conductor es de 1.46 cm. El fabricante da el RMG de 0.561 cm y el área de la sección transversal del conductor de 1.267 cm2. La capacidad térmica de la línea colocada en un terreno normal cuya máxima temperatura es de 30°C es de 350 A. Encuentre la resistencia de cd y de ca a 50°C y la reactancia inductiva en ohmios por kilómetro. Para decidir si se considera el efecto piel en el cálculo de la resistencia, determine el porcentaje que representa el efecto piel a 50°C en el conductor ACSR del tamaño que está mas cercano al del conductor subterráneo. Observe que la impedancia serie de la línea de distribución tiene una R mas preponderante que la XL porque la inductancia es muy baja debido a la cercanía de los conductores. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.20 La línea de potencia monofásica del problema 4.6 se reemplaza por una línea trifásica colocada en una cruceta horizontal en la misma posición que tenía la línea monofásica. Los espacios entre conductores de una línea trifásica son D13= 2D12 = 2D23, y el espacio equilátero equivalente es de 3 m. La línea telefónica permanece en la posición descrita en el problema 4.6. Encuentre el voltaje por kilómetro inducido en la línea telefónica, si la corriente en la línea de potencia es de 150 A. Analice la relación de fases del voltaje inducido con respecto a la corriente en la línea de potencia.
11 SOLUCIÓN Deq = 3 ( D)( D)(2 D)
= 3 2D = 3
D = 2.38 m
4.76 m .
a
b
c
1.8 m .
d
e
1m El conductor central del sistema trifásico no causa flujo en los cables telefónicos por ser Dbd = Dbe.
= Dce = 1.82 + (2.38 − 0.5) 2 = 2.60 m Dae = Dcd = 1.82 + (2.38 + 0.5) 2 = 3.40 m Dad
3.40 2.60
Flujo debido a I a
φ a = 2 x10 −7 I a ln
.
a
.
Dad = 2.60 m
Flujo debido a I c
b
c
Dae=3.40 m d
e
3.40 2.60
φ c = 2 x10 −7 I c ln
12
.
a
b
c
Dcd=3.40 m
.
d
Dce = 2.60 m e
3.40 − 2 x10 −7 I ln 3.40 = 2 x10−7 (I − I )ln 3.40 a c a 2.60 2.60 2.60
Flujo neto φ = φ c − φ a = 2 x10 −7 I c ln
Ib I c – I
Ved
– I 30° Ic
Ia
3.40 ( 3I ∠30°) Wb/m c 2.60
φ = 2 x10 −7 ln
La inductancia mutua M = φ /I c M
3.40 = 2 x10 −7 3 ln = 92.93 x10−9 H/m 2.60
13 Vind = jωφ = j (2π x60)(92.93 x10−9 )(150)(1∠30°) = 5.25 x10 −3 ∠120° V/m Ved = 5.25 V/km
El voltaje inducido en la línea telefónica está en fase con el voltaje del cable central -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.21 Una línea trifásica de 60 Hz que está compuesta de un conductor ACSR del tipo Bluejay por fase, tiene un espacio horizontal entre conductores adyacentes de 11 m. Compare la reactancia inductiva en ohmios por kilómetro por fase de esta línea, con la de una que tiene un agrupamiento de dos conductores del tipo ACSR 26/7 con la misma área de sección transversal de aluminio que tiene la línea original, y una separación de 11 m entre centros de agrupamientos adyacentes. El espacio entre conductores del agrupamiento es de 40 cm. SOLUCIÓN Bluejay
1
2
3
11 m DS = 0.0415 ft = 0.0126 m
11 m Deq = 3 D12 D23 D31
= 3 (11)(11)(22) = 13.86 m
13.86 = 1.4 mH/km 0.0126
L = 2 x10 −7 ln XL
= (2π f )L = (2π 60)x1.4 mH/km = 0.528 Ω/km
Bluejay
→
A = 1113 MCM
A´ = 1113/2 = 556.5 MCM →
.
d
Dove para conductores agrupados, DS = 0.0314 ft = 0.00957 m d = 40 cm
d
11 m
11 m
14 Ecuación (4.58) XL
DS
b
=
DSd = (0.00957 )(0.4)
= 0.0619 m
13.86 = (2π 60)2 x10 −7 ln Ω/m = 0.408 mΩ/m = 0.408 Ω/km 0.0619
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.22 Calcule la reactancia inductiva en ohmios por kilómetro de una línea trifásica de 60 Hz con un agrupamiento de tres conductores ACSR del tipo Rail por fase y con una separación de 45 cm entre conductores del agrupamiento. Los espacios entre los centros del agrupamiento de conductores son 9 m, 9 m y 18 m.
