.APLICACIÓN DE HISTOGRAMAS… En estadística, estadística, un histograma es una representación gráfica de gráfica de una variable una variable en en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos. e utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran n!mero de datos, y que se han agrupado en clases. En t"rminos matemáticos, puede ser definida como una función inyectiva #o mapeo$ que acumula #cuenta$ las observaciones que pertenecen a cada subintervalo de una partición. El histograma, histograma, como es tradicionalmente entendido, no es más que la representación gráfica de dicha función. e utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cuali cualitat tativo ivos s #no%nu #no%num"r m"rico icos$, s$, como como se&to se&to grado grado de acuerd acuerdo o o nivel nivel de estudios, es preferible un diagrama un diagrama de sectores. sectores. 'os histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y e&actas. ( permite la comparación de los resultados de un proceso.
TIPOS DE HISTOGRAMA… )iagramas de barras simples
*epresenta la frecuencia simple #absoluta o relativa$ mediante la altura de la barra la cual es proporcional a la frecuencia simple de la categoría que representa.
)iagramas de barras compuesta e usa para representar la información de una tabla de doble entrada o entrada o sea a partir de dos variables, las cuales se representan así+ la altura de la barra representa la frecuencia simple de las modalidades o categorías de la variable y esta altura es proporcional a la frecuencia simple de cada modalidad.
)iagramas de barras agrupadas
e usa para representar la información de una tabla de doble entrada o sea a partir de dos variables, el cual es representado mediante un conjunto de barras como se clasifican respecto a las diferentes modalidades.
olígono de frecuencias
Es un gráfico de líneas que de las frecuencias absolutas de los valores de una distribución en el cual la altura del punto asociado a un valor de las variables es proporcional a la frecuencia de dicho valor.
-jiva porcentual
Es un gráfico acumulativo, el cual es muy !til cuando se quiere representar el rango porcentual de cada valor en una distribución de frecuencias. En los gráficos las barras se encuentran juntas y en la tabla los n!meros poseen en el primer miembro un corchete y en el segundo un parentesis, por ejemplo /01%21$.
CONSTRUCCION DE HISTOGRAMAS…
aso 0
)eterminar el rango de los datos. *ango es igual al dato mayor menos el dato menor.
aso 2
-btener los n!meros de clases, e&isten varios criterios para determinar el n!mero de clases #o barras$ %por ejemplo la regla de turgess%. turgess%. in embargo ninguno de ellos es e&acto. 3lgunos autores recomiendan de cinco a quince clases, dependiendo de cómo est"n los datos y cuántos sean. 4n criterio usado frecuentemente es que el n!mero de clases debe ser apro&imadamente a la raíz cuadrada del n!mero de datos. or ejemplo, la raíz cuadrada de 51 # n!mero de artículos$ es mayor que cinco, por lo que se seleccionan seis clases.
aso 5
Establecer la longitud de clase es igual al rango dividido por el n!mero de clases.
aso 6
7onstruir los intervalos de clases 'os intervalos resultan de dividir el rango de los datos en relación al resultado del 33- 2 en intervalos iguales.
aso 8
9raficar el histograma En caso de que las clases sean todas de la misma amplitud, se hace un gráfico de barras, las bases de las barras son los intervalos de clases y altura son la frecuencia de las clases. i se unen los puntos medios de la base superior de los rectángulos se obtiene el polígono de frecuencias.
El histograma de una imagen representa la frecuencia relativa de los niveles de gris de la imagen. 'as t"cnicas de modificación del histograma de una imagen son !tiles para aumentar el contraste de imágenes con histogramas muy concentrados.
EJEMPLOS:
:odas las clases tendrán el mismo intervalo. ;o habrá solapamiento entre distintas clases. 'a amplitud apro&imada del intervalo se halla dividiendo el recorrido por el n!mero de clases. Esta amplitud se redondea posteriormente a un n!mero o cifra decimal conveniente para el manejo de las clases y la graduación del eje horizontal del
aproximadamente 8 clases para el histograma. Amplitud aproximada aproximada de cada clase 1gr.!8"1.8# 1gr.!8"1.8# grs. Amplitud elegida elegida como con$eniente en este este caso% 2 grs. 'os límites de la p rimera clase incluirán el valor mínimo de los datos. ara evitar que algunos datos coincidan con los límites de los intervalos, definir "stos de forma que tengan una cifra más detrás de la coma. &i, por ejemplo, los datos tienen dos cifras detr's de la coma (),* ),8)* ),+* ),#)* ),#8, etc-, se definir'n las clases hasta la tercera cifra detr's de la coma (),),* ),),+, etc-. i se obtiene una clase más o menos respecto del n!mero recomendado, debido al redondeo posteriormente efectuado, no e&iste deterioro ni en la sencillez ni en la información.
)eterminar el n!mero de datos que están incluidos en cada una de las clases #frecuencia de clase$. El recuento se hará de la siguiente forma Empezar con el primer dato de la lista e identificar la clase en la cual está incluido. eñalar para dicha clase, un =palote=. *epetir el mismo proceso para cada dato del conjunto. ara facilitar el recuento final se dibujan los =palotes= en grupos de cinco, cuatro verticales y el quinto cruzándolos. 'a suma de los =palotes= marcados para cada clase corresponde a la frecuencia de la misma. 7omprobar que el n!mero total de datos es igual a la suma de las frecuencias de cada clase.
7uando proceda, poner el título, las condiciones en que se han recogido los datos, los límites de tolerancia nominales, etc. Estas notas ayudan a los demás a interpretar el gráfico y sirven de recordatorio de la fuente de los datos. /esultados de las mediciones del contenido de café (120 paquetes medidos-
INTERPRETACIÓN… 4no de los propósitos del análisis o interpretación de un
identificar y clasificar la pauta de variación del conjunto de datos estudiado #valor medio, recorrido, forma$ y elaborar una e&plicación admisible y relevante para dicha pauta, que relacione la variación con el proceso o fenómeno en estudio. El resultado de este análisis es una teoría sobre el funcionamiento del proceso o sobre la causa del problema que se está investigando. or ser una teoría es necesario confirmarla o rechazarla, recogiendo otros datos que nos den información más específica sobre dicha teoría.
EJEMPLO :
4na empresa se interesa en el ancho de bloques de madera y ha tomado 011 muestras de la operación de corte. 'os datos han sido agrupados en intervalos o rangos y se muestran en el siguiente cuadro
)el cuadro se puede apreciar que de las 011 muestras de bloques de madera 8 miden de 2 a 05 cent"simas de pulgada, 01 miden de 06 a 28 cent"simas de pulgada, etc. El mayor n!mero de bloques de madera #56$ miden de 2> 6? cent"simas de pulgada. odemos representar gráficamente esta información a trav"s del siguiente histograma de frecuencia en el cual la altura de cada barra indica la frecuencia de las observaciones en ese intervalo.
EJEMPLO !: RALLADURAS EN TA"LEROS PARA MESA A #o$ti$%a#i&$ s' (r's'$ta )a i$*orma#i&$ toma+a +' ,- ta)'ros (ara m'sas +' /i+rio0 )os #%a)'s (r's'$ta$ +'*'#tos +' ra))a+%ra. Datos r'#o)'#ta+os '$ ,- m%'stras:
EJEMPLO ,:
Largas colas en las taquillas de una estación Situación
En una estación se constituyó un equipo para examinar las quejas de los clientes sobre la lentitud en la venta y las largas colas en las horas punta. El equipo midió los tiempos de las transacciones de 4 empleados durante una hora punta típica y construyó con los datos obtenidos el siguiente histograma: DATOS:
HISTOGRAMA:
El histograma muestra claramente una distribución con 2 picos. En consecuencia el equipo ormuló la teoría de que había 2 procesos en marcha.
La primera ue que los empleados nuevos eran simplemente m!s lentos que los m!s experimentados pero los histogramas estratiicados estrat iicados por empleados mostraron la misma distribución con 2 picos. "uera cual uera la experiencia. En otras palabras# la estratiicación por nivel de experiencia no sirvió para separar los datos en 2 distribuciones en campa$as distintas. ESTRATIFICACION POR EMPLEADO:
EJEMPLO 5:
%na empresa de sistemas inorm!ticos estaba siendo sobrepasada por sus competidores que eran capaces de desarrollar un sistema y entregarlo al cliente en un promedio de &' días# mientras que el promedio de la empresa era de (' días. El desarrollo de un sistema se reali)aba en varios pasos y para cada uno de ellos existían est!ndares para los tiempos nominales y m!ximos. *ero el sistema no uncionaba: aunque no se había dado ning+n caso en que un equipo rebasara los est!ndares globales para su paso# el tiempo global medio
era todavía ,' días mayor que la meta de &' días que los est!ndares se proponían. %n equipo de mejora de la calidad recopiló los datos reerentes a todos los sistemas desarrollados para clientes el a$o anterior y empe)ó construyendo histogramas de los tiempos empleados en cada paso. La igura siguiente muestra la distribución de los tiempos para 4 de los pasos del proceso:
La interpretación y conclusiones del equipo se resumen a continuación: *-/ 0-1 %n grupo bien conducido en que el trabajo progresó sin brusquedades hacia su terminación. *-/ 01 %n directivo o grupo moroso. %n an!lisis ulterior reveló que aunque el trabajo se terminaba alrededor del tiempo ijado# 0tiempo nominal1# el equipo no lo entregaba hasta el +ltimo momento posible# por temor a tomar una decisión equivocada. *-/ 031 La orma plana de esta distribución indica que el grupo tiene en curso una gran variedad de procesos. %n an!lisis ulterior reveló que la cantidad de trabajo que este grupo debía invertir variaba mucho de una persona a otra y de cliente a cliente. o había
procesos est!ndar en el grupo ni una ormación organi)ada para el nuevo personal. 3ada uno trabajaba en el desarrollo del sistema a su manera. e ormó un equipo de mejora de la calidad para el examen de los procesos de trabajo de este paso# con el in de reducir su variabilidad. El segundo pico# justo dentro del límite m!ximo# tiene una explicación interesante: la distribución en realidad rebasaba en un cierto n+mero de días el límite m!ximo. *ero cuando esto ocurría el supervisor del grupo registraba una echa de terminación justo en el límite m!ximo# para no tener que dar explicaciones por el retraso. *-/ 051 En este paso existían 2 procesos distintos# seg+n el tipo de sistema. El grupo centró las acciones de mejora en aquellas circunstancias que llevaban a tiempos globales mayores.
Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes: 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5 , 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6 , 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5 , 6, 7
