MÁS EJERCICIOS SOBRE SUCESOS Y PROBABILIDAD SUCESOS
Ejercicio 1-1: 1-1:
Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a. b. c. d.
Lanz Lanzar ar tre tress mone moneda das. s. Lanzar tres dados y anotar la suma s uma de los puntos obtenidos. Extracción Extracción de dos dos bolas de una urna que que contiene contiene cuatro cuatro bolas blancas blancas y tres tres negras. negras. El tiempo, tiempo, con relación relación a la lluvia, lluvia, que que hará durante durante tres tres das consecut consecutivos. ivos.
Solución:
a.
Llam Llaman ando do ! a obt obten ener er cara cara y " a la la ob obte tenci nción ón ddee cruz, cruz, obt obten enem emos os el el sigu siguie ient ntee espac espacio io mue muest stral ral:: E#$%!!!&,%!!"&,%!"!&,%"!!&,%!""&,%"!"&,%""!&,%"""&' b. E#$(,),*,+,,-,,/0,//,/1,/(,/),/*,/+,/,/-' c. Llaman Llamando do 2 a sacar bola bola blanca blanca y 3 a sacar bola bola negra, negra, tene tenemos mos:: E#$22,23,33' d. 4i llamamos llamamos L al da da lluvioso lluvioso y 3 al da sin sin lluvia, lluvia, para tres tres das consecutivo consecutivoss se obtiene obtiene el siguiente espacio muestral: E#$%LLL&,%LL3&,%L3L&,%3LL&,%L33&,%3L3&,%33L&,%333&' 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
Ejercicio 2.1-1: 2.1-1:
4e considera el sexo de los hi6os de las 7amilias de tres hi6os. h i6os. 4ea 8 el suceso el hijo mayor es una hembra, y 2 el suceso los dos hijos pequeños son varones. 9!uáles son los elementos de 8 y 2 Solución:
Llamando V a ser varón y H a ser hembra, el espacio muestral está 7ormado por los sucesos elementales: E#$%;;;&,%;;<&,%;<;&,%<;;&,%;<<&,%<;<&,%<<;&,%<<<&' = los sucesos 8 y 2 son compuestos y están 7ormados por los siguientes sucesos elementales: 8#$%<<<&,%<<;&,%<;<&,%<;;&' 2#$%;;;&,%<;;&' 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
Ejercicio 2.1-2:
>enemos una urna con nueve bolas numeradas del / al . ?ealizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el n@mero y devolverla a la urna. !onsideramos los siguientes sucesos: 8#Asalir un n@mero primoA y 2#Asalir un n@mero cuadradoA. ?esponde a las cuestiones siguientes: a. !alcula los sucesos y . b. Los sucesos A y B, 9son compatibles o incompatibles. c. Encuentra los sucesos contrarios de A y B. Solución:
Los sucesos A y B están 7ormados por los sucesos elementales que pueden verse a continuación: A # $1,(,*,' B # $/,),'
8 partir de estos con6untos, tenemos: /. La unión e intersección de A y B son: # $/,1,(,),*,,' #B 1. 8l ser
# B, los sucesos A y B son incompatibles.
(. El suceso contrario de A es El suceso contrario de B es
# $/,),+,-,' # $1,(,*,+,,-'
55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
Numeramos con 1, , ! " # $as cua%ro caras a$ar&a'as 'e una re&$e%a(De)amos caer $a re&$e%a " ano%amos e$ n*mero 'e $a cara su+eror( a- .Cu/$ es e$ es+aco mues%ra$0 - Escre un suceso e$emen%a$ " %res no e$emen%a$es( c- .Cu/n%os sucesos %ene es%a e2+erenca0 a& E # $/, 1, (, )' b& Elementales . $/', $1', $(', $)' 3o elementales . $/, 1', $/, (', $/, )', $1, (', $1, )', $(, )', $/, 1, (', $/, 1, )', $/, (, )', $1, (, )', $/, 1, (, )', $B' c& 1) # /+ sucesos
RE3LA DE LAPLACE Y PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD DE SUCESOS Ejercicio 3.2-1:
En una bara6a de )0 cartas, 9cuál es la probabilidad de AS , 9= de OROS Solución:
55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
Ejercicio 3.2-2:
En una bara6a hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes probabilidades de ser extradas: P(REY)=0./*, P(BASOS)=0.(, P(!"ar#a que no sea REY ni BASOS!)=0.+.
a. 9Está entre ellas el REY de BASOS En caso a7irmativo, da su probabilidad. b. 9!uántas cartas hay Solución:
a. P( ni REY ni BASOS )=P( P( REY
)
P( REY
BASOS ) = P( REY ) $ P( BASOS ) % P( REY
BASOS ) = / 5 0.+ # 0.)
BASOS )
4ustituyendo: 0.) # 0./* C 0.( 5 P( REY BASOS )
P( REY
BASOS ) = 0.0*
or tanto, el REY de BASOS está y su probabilidad es: P( REY de BASOS ) = P( REY
BASOS ) # 0.0* # /10
b. Fna porción de cartas de una bara6a es un instrumento aleatorio Ade LaplaceA, pues la probabilidad de extraer cada una de ellas es la misma. 4i en este montón la probabilidad del rey de bastos es /10, es porque hay 10 cartas.
Ejercicio 3.2-3:
4e lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los n@meros del / al +. 4e pide: a.
El espacio muestral del experimento es: E # $%/,/&G %/,1&G %/,(&G %/,)&G %/,*&G %/,+&G %1,/&G ...G %+,+&'
y está 7ormado por (+ sucesos elementales equiprobables. !onstituyen el n@mero de casos posibles del experimento. Ftilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden: a. 4i llamamos A al suceso Aobtener una suma m@ltiplo de (A, los casos 7avorables al suceso A son: A # $%/,1&G %1,/&G %/,*&G %1,)&G %(,(&G %),1&G %*,/&G %(,+&G %),*&G %*,)&G %+,(&G %+,+&'.
or tanto, P( A ) # /1(+ # /( b. 4i llamamos B al suceso Aobtener unos valores que se di7erencian en una cantidad mayor que dosA, los casos 7avorables al suceso B son: B # $%/,)&G %),/&G %/,*&G %*,/&G %/,+&G %+,/&G %1,*&G %*,1&G %1,+&G %+,1&G %(,+&G %+,(&'.
or tanto, P( B ) # /1(+ # /( 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
Ejercicio 3.2-4:
En una ca6a tenemos /* bolas blancas, (0 bolas negras y )* bolas verdes. 4i extraemos tres bolas simultáneamente, 9cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color Solución:
!alcularemos los casos posibles del experimento y los casos 7avorables al suceso del enunciado para aplicar la regla de Laplace.
Los casos posibles son las distintas 7ormas de extraer ( bolas entre 0. !omo el orden no debe tenerse en cuenta, estos casos son:
Los casos 7avorables son /* H (0 H )* # 10 1*0. Istas son las 7ormas de agrupar tres bolas de distinto color. La probabilidad pedida es:
%tres bolas de distinto color& # 0./1) 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 Ejercicio 3.2-5:
4i escogemos al azar dos n@meros de telJ7ono y observamos la @ltima ci7ra de cada uno, determina las probabilidades siguientes: a. Kue las dos ci7ras sean iguales. b. Kue su suma sea //. c. Kue su suma sea mayor que y menor que /(. Solución:
El espacio muestral de este experimento está 7ormado por los cien sucesos elementales: 00, 0/, 01, 0(, 0), 0*, 0+, 0, 0-, 0, /0, //, ..., -, . ara cada sucesos del enunciado calculamos sus casos 7avorables, aplicamos la regla de Laplace y obtenemos: a. Los casos 7avorables son: 00, //, 11, ..., . La probabilidad de que las @ltimas ci7ras sean iguales es: %@ltimas ci7ras iguales& # /0/00 # //0 # 0./
b. Los casos 7avorables a que la suma de las @ltimas ci7ras sea // son: 1, (-, ), *+, +*, ), -( y 1. or tanto, %@ltimas ci7ras suman once& # -/00 # 0.0-
c. Deben contarse los n@meros de dos ci7ras cuya suma sea -, , /0, // y /1.
%@ltimas ci7ras suman un valor mayor que y menor que /(& # )(/00 # 0.)( 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 Ejercicio 3.2-6:
4e tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que: a. La suma de los n@meros aparecidos sea menor que -. b. La suma de los n@meros sea mayor que ) y menor que -. Solución:
Los casos posibles de este experimento son las 1/+ ternas siguientes: ///, //1, /1/, 1//, ..., ++*, +++. ?ealizando un recuento ordenado de los casos 7avorables a los sucesos del enunciado, obtenemos las siguientes probabilidades:
a.
b. 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
PROBABILIDAD CONDICIONADA Ejercicio 4-1:
4e lanzan dos dados: a. 9!uál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a b. 4i la suma de puntos ha sido , 9cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un tres Solución:
4ean los sucesos A#Ala suma de los puntos es A y B#Aen alguno de los dados ha salido un tresA. a. Los casos posibles al lanzar dos dados son (+ y los casos 7avorables al suceso A son los seis siguientes: %/,+&G %1,*&G %(,)&G %),(&G %*,1& y %+,/&. or tanto, P( A )=&'&='& b. En este caso, el suceso B'A es salir en alg@n dado (, si la suma ha sido . bservamos que esta situación ocurre en las pare6as %(,)& y %),(&. or tanto, P( B'A )=*'&=' 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE SUCESOS Ejercicio 5-1:
4e consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.G P(B)=0.+G P( )=0.*-. a. 94on independientes A y B b. 4i + A, 9cuál es el valor de P(
'
)
Solución:
a. ara ver si son independientes, comprobaremos si P( A P(
or tanto, or otro lado,
P(A
B) # / 5 P(
B)" . = / 5 P(A
B)
) # / 50.*- # 0.)1
P( A ) , P( B ) # 0. H 0.+ # 0.)1
Luego, A y B son independientes, pues + A
) = P-(A
B ) = P( A ) , P( B )
P( A
B ) = P( A ) , P( B ) # 0.)1
. or tanto,
55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
DIA3RAMAS EN ARBOL Y 4ABLAS DE CON4IN3ENCIA Ejercicio 6-1:
Fn taller sabe que por tJrmino medio acuden: por la maMana ( automóviles con problemas elJctricos, con problemas mecánicos y ( con problemas de chapa, y por la tarde 1 con problemas elJctricos, ( con problemas mecánicos y / con problemas de chapa. a. !alcula el porcenta6e de los que acuden por la tarde. b. !alcula el porcenta6e de los que acuden por problemas mecánicos. c. !alcula la probabilidad de que un automóvil con problemas elJctricos acuda por la maMana. Solución:
En las tablas de contingencia, con las 7recuencias absolutas y los porcenta6es, respectivamente, pueden verse recogidos los datos del enunciado. ELI!>?N!4 OE!P3N!4 !<88 >>8L O8Q838 ( ( /) >8?DE 1 ( / + >>8L * // ) 10 ELI!>?N!4 OE!P3N!4 !<88 >>8L O8Q838 0./* 0.)0 0./* 0.0 >8?DE 0./0 0./* 0.0* 0.(0 >>8L 0.1* 0.** 0.10 /.00 Las respuestas a las cuestiones planteadas basta leerlas en las tabla. 8s, se obtiene: a. El (0R de los automóviles acude al taller por la tarde. b. El porcenta6e de vehculos ingresados con problemas mecánicos es el **R. c. La probabilidad buscada es: %acuda por la maManatiene problemas elJctricos& # (* # 0.+ 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 Ejercicio 6-2:
Fna compaMa de seguros hace una investigación sobre la cantidad de partes de siniestro 7raudulentos presentados por los asegurados. !lasi7icando los seguros en tres clases, incendio, automóvil y AotrosA, se obtiene la siguiente relación de datos:
El +R son partes por incendio 7raudulentosG el /R son partes de automóviles 7raudulentosG el (R son AotrosA partes 7raudulentosG el /)R son partes por incendio no 7raudulentosG el 1R son partes por automóvil no 7raudulentos y el )R son AotrosA partes no 7raudulentos. a.
a. y b. La tabla de porcenta6es con los datos del enunciado y los totales es la siguiente: N3!E3DN 8F>OS;NL >?4 >>8L T?8FDFLE3>4 + / ( /0 3 T?8FDFLE3>4 /) 1 ) 0 >>8L 10 (0 *0 /00 b. c. Es 7ácil ver sobre la tabla que la probabilidad de escoger al azar un parte 7raudulento es del /0R. La probabilidad condicionada que se pide es: %T?8FDEN3!E3DN&#+10#0.( 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
PROBABILIDAD 4O4AL Ejercicio 7-1:
Fna compaMa dedicada al transporte p@blico explota tres lneas de una ciudad, de 7orma que el +0R de los autobuses cubre el servicio de la primero lnea, el (0R cubre la segunda y el /0R cubre el servicio de la tercera lnea. 4e sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autob@s se avere es del 1R, )R y /R, respectivamente, para cada lnea. Determina la probabilidad de que, en un da, un autob@s su7ra una avera. Solución:
El suceso Asu7rir una averaA % Av& puede producirse en las tres lneas, (/ 0 /* 0 / ). 4eg@n el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol ad6unto, tenemos: P(Av) = P(/ ) , P(Av'/ ) $ P(/* ) , P(Av'/* ) $ P(/ ) , P(Av'/ ) =
# 0.+ H 0.01 C 0.( H 0.0) C 0./ H 0.0/ # # 0.0/1 C 0.0/1 C 0.00/ # 0.01*
55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 Ejercicio 7-2:
Fna empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro 7actoras: 1 0 1 * 0 1 y 1 2. El porcenta6e de producción total que se 7abrica en cada 7actora es del )0R, (0R, 10R y /0R, respectivamente, y además el porcenta6e de envasado incorrecto en cada 7actora es del /R, 1R, R y )R. >omamos un producto de la empresa al azar. 9!uál es la probabilidad de que se encuentre de7ectuosamente envasado Solución:
Llamando + # Ael producto está de7ectuosamente envasadoA, se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro 7actoras y, por tanto, seg@n el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol ad6unto, tenemos:
P(+) = P(1 ) , P(+'1 ) $ P(1 * ) , P(+'1 * ) $ P(1 ) , P(+'1 ) $ P(1 2 ) , P(+'1 2 ) =
# 0.) H 0.0/ C 0.( H 0.01 C 0.1 H 0.0 C 0./ H 0.0) # # 0.00) C 0.00+ C 0.0/) C 0.00) # 0.0155555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 Ejercicio 7-3:
4e tiene una urna vaca y se lanza una moneda al aire. 4i sale cara, se introduce en la urna una bola blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. 9!uál es la probabilidad de que en la urna queden una bola blanca y otra negra Solución:
Llamamos B # Aobtener bola blancaA y 3 # Aobtener bola negraA. En el diagrama de árbol pueden verse las con7iguraciones posibles de las urna, despuJs del lanzamiento de las monedas y las urnas 7inales, as como las probabilidades para cada una de ellas.
8tendiendo a la notación expresada en el diagrama de árbol y seg@n el teorema de la probabilidad total, se obtiene:
P(B3) = P(B3
BB3) $ P(B3
B33) = P(BB3) , P(B3'BB3) $ P(B33) , P(B3'BB3) =
# (- H 1( C (- H 1( # /) C /) # U 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 Ejercicio 7-4:
4e lanzan dos monedas al aire. 4i salen dos caras, se extrae una bola de una urna N, que contiene 1 bolas blancas y ( negras. 4i sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna NN, que contiene ) bolas blancas y / negra. 4i salen dos cruces, se extrae una bola de una urna NNN, que contiene ( bolas blancas y 1 negras. 9!uál es la probabilidad de extraer bola blanca despuJs de lanzar las monedas y sacar la bola Solución:
El diagrama de árbol muestra, primero, las probabilidades correspondientes a la elección de la urna y, despuJs, a la extracción de la bola.
La probabilidad total de sacar bola blanca la calculamos caminando por todas las ramas que terminan en sacar bola blanca. P(B) = P(B'4 5 ) , P(4 5 ) $ P(B'4 55 ) , P(4 55 ) $ P(B'4 555 ) , P(4 555 ) =
# 1* H /) C )* H 1) C (* H /) # /(10 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
4EOREMA DE BAYES Ejercicio 8-1:
>res máquinas, A0 B y 6 , producen el )*R, (0R y 1*R, respectivamente, del total de las piezas producidas en una 7ábrica. Los porcenta6es de producción de7ectuosa de estas máquinas son del (R, )R y *R. 4eleccionamos una pieza al azarG calcula la probabilidad de que sea de7ectuosa. a. >omamos, al azar, una pieza y resulta ser de7ectuosaG calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. b. 9KuJ máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza de7ectuosa Solución:
4ea 7# Ala pieza es de7ectuosaA y 3 # Ala pieza no es de7ectuosaA. La in7ormación del problema puede expresarse en el diagrama de árbol ad6unto.
a. ara calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea de7ectuosa, P(7), por la propiedad de la probabilidad total, P(7) = P(A) , P(7'A) $ P(B) , P(7'B) $ P(6) , P(7'6) =
# 0.)* H 0.0( C 0.(0 H 0.0) C 0.1* H 0.0* # 0.0( b. Debemos calcular P(B'7). or el teorema de 2ayes,
c. !alculamos P(A'7) y P(6'7), comparándolas con el valor de P(B'7) ya calculado. 8plicando el teorema de 2ayes, obtenemos:
La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza de7ectuosa es A 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
Ejercicio 8-2:
>enemos tres urnas: A con ( bolas ro6as y * negras, B con 1 bolas ro6as y / negra y 6 con 1 bolas ro6as y ( negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. 4i la bola ha sido ro6a, 9cuál es la probabilidad de haber sido extrada de la urna 8 Solución:
Llamamos R# Asacar bola ro6aA y 3 # Asacar bola negraA. En el diagrama de árbol ad6unto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o 3 para cada una de las tres urnas.
La probabilidad pedida es P(A'R). Ftilizando el teorema de 2ayes, tenemos:
