UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA Departamento de Electricidad
Apuntes para la asignatura Máquinas Eléctricas I (ELI-326)
J.Müller
2005
CAPÍTULO 1 ____________________________________________________________
1
FUNDAMENTOS ANALÍTICOS PARA LAS MÁQUINAS DE CAMPO GIRATORIO ..................... 1-2 Introducción ................................................................................................................................................ 1-2 1.1 IDEALIZACIONES PARA LA FORMULACIÓN DEL MODELO ....................................................................... 1-3 1.2 LA MODELACIÓN DEL CAMPO UNIDIMENSIONAL EN EL ENTREHIERRO .................................................... 1-3 1.3 ENLACES DE FLUJO E INDUCTANCIAS DE LA ARMADURA ...................................................................... 1-6 1.3.1 Inductancias propias de la armadura ................................................................................... 1-8 1.3.2 Inductancias mutuas entre las fases de la armadura......................................................... 1-10 1.3.3 Inductancia mutua entre el campo y una fase de la armadura .......................................... 1-11 1.3.4 Inductancia propia del campo............................................................................................. 1-12 1.3.5 Inductancias propias y mutuas de devanados equivalentes en el rotor............................. 1-13 1.3.6 Enlaces de flujo resultantes................................................................................................ 1-14 1.4 ECUACIONES DE EQUILIBRIO ELÉCTRICAS ........................................................................................ 1-15 1.4.1 Devanado de armadura...................................................................................................... 1-15 1.7.1 Devanados del rotor ........................................................................................................... 1-16 1.5 DIAGONALIZACIÓN Y COMPONENTES SIMÉTRICAS............................................................................. 1-16 1.5.1 Diagonalización de matrices............................................................................................... 1-17 1.5.2 Transformación de tensiones y corrientes de fase a componentes simétricas.................. 1-20 1.6 FASORES ESPACIALES.................................................................................................................... 1-23 1.7 TRANSFORMACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO A COORDENADAS FIJAS AL ROTOR ................. 1-27 1.7.1 Cambio de coordenadas fijas a coordenadas móviles....................................................... 1-27 1.7.2 Las ecuaciones de Park ..................................................................................................... 1-29 1.8 EL MOMENTO ELECTROMAGNÉTICO ................................................................................................. 1-30 1.8.1 Ecuación de equilibrio mecánica ........................................................................................ 1-33 1.9 CASO PARTICULAR: LA MÁQUINA ISOTRÓPICA SIMÉTRICA.................................................................. 1-34 1.10 EXCITACIÓN ASIMÉTRICA Y COMPONENTES SIMÉTRICAS ............................................................... 1-35 1.11 APÉNDICE 1 .............................................................................................................................. 1-38
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-2 ___________________________________________________________________________
1 Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio
Introducción Máquinas asincrónicas y sincrónicas trifásicas se conocen genéricamente como máquinas de campo giratorio. Ambos tipos de máquinas poseen un estator provisto de un devanado trifásico simétrico mediante el cual producen una distribución espacial periódica de fuerza magnetomotriz en el entrehierro. En el caso de la máquina asincrónica y de la máquina sincrónica de rotor cilíndrico el entrehierro se considera constante, mientras que en el caso de la máquina sincrónica de polos salientes el entrehierro es una función periódica de la coordenada tangencial. El comportamiento característico de ambos tipos de máquina está determinado por sus rotores. Mientras que el rotor de la máquina asincrónica está equipado con un devanado simétrico cortocircuitado (jaula) el rotor de la máquina sincrónica está provisto de un devanado de campo alimentado por una fuente de corriente continua. De las semejanzas señaladas se desprende la conveniencia de un tratamiento analítico común para ambos tipos de máquina, caracterizadas mediante las inductancias propias y mutuas de sus respectivos devanados. Para las inductancias de la máquina se determinan expresiones analíticas a partir de un modelo unidimensional para el campo en el entrehierro, aproximando las distribuciones espaciales de la fuerza magnetomotriz y de la permeancia mediante los primeros términos de sus desarrollos en series de Fourier. En los párrafos siguientes se formulan las ecuaciones de equilibrio eléctricas y mecánica para las máquinas de campo giratorio a partir de principios básicos. Estas ecuaciones tienen la forma de ecuaciones diferenciales nolineales, lo que en el caso general obligará a usar métodos numéricos en su resolución. La disponibilidad de computadoras ha removido esta barrera del pasado y permite analizar todo tipo de comportamiento dinámico de estas máquinas. En el importante caso particular en que la velocidad de la máquina es constante es posible, si se utilizan variables sustituto elegidas convenientemente, describir la máquina mediante ecuaciones diferenciales lineales, con la ventaja de poder lograr soluciones analíticas y poder apreciar a través de ellas la influencia de los diferentes parámetros sobre los resultados. La simetría del devanado de armadura de las máquinas trifásicas, hace conveniente el uso de variables sustituto complejas, las así llamadas componentes simétricas de los valores instantáneos. Estas producen una notable simplificación matemática y con la
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-3 ___________________________________________________________________________ ventaja adicional de permitir, a través de su interpretación como fasores espaciales, la representación de las magnitudes distribuidas sinusoidalmente en el espacio mediante fasores en el plano complejo.
1.1
Idealizaciones para la formulación del modelo
Se supone que el campo en el entrehierro es unidimensional, es decir, que es homogéneo en dirección axial y que la componente radial de la inducción sólo es función de la coordenada tangencial. El fierro, tanto del estator como del rotor, es ideal, es decir, se supone que su permeabilidad es infinita y que las pérdidas en el fierro son despreciables. El estator es cilíndrico, provisto de ranuras distribuidas regularmente en las que está alojado un devanado trifásico simétrico que carece de ramas en paralelo y está conectado en estrella sin neutro. El rotor puede ser anisotrópico. Los polos salientes tienen forma tal que el entrehierro a lo largo de la zapata polar es constante. La permeancia del espacio interpolar se supone nula. Solamente se considera a las componentes fundamentales de las distribuciones espaciales de densidad lineal de corriente, fuerza magnetomotriz e inducción. Para la representación analítica de la permeancia del entrehierro sólo se considera el valor medio y la segunda armónica de su desarrollo en serie de Fourier.
1.2
La modelación del campo unidimensional en el entrehierro
El campo magnético en el entrehierro de la máquina se debe a las corrientes del devanado de armadura, alojado en ranuras, y a las corrientes en los circuitos del rotor. Para describir analíticamente el campo producido por el devanado de armadura resulta conveniente partir de un modelo electromagnético para una ranura. La figura 1.2.1 muestra esquemáticamente los detalles de una ranura del estator que aloja a Nr conductores, por cada uno de los cuales circule la corriente i. El ancho de la ranura sea br y la permeabilidad del fierro sea infinita.
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-4 ___________________________________________________________________________
yugo diente coord. radial
ranura
µ fe → ∞ Capa de corriente equivalente a(x)
coord. tangencial
br
br entrehierro
Figura 1.2.1 Relativo al modelo electromagnético de una ranura, visto desde el entrehierro La aplicación de la ley de Ampere a lo largo del camino de integración indicado en la figura 1.2.1 permite determinar directamente la intensidad del campo magnético Hr entre las cabezas de los dientes bajo el supuesto que su valor sea independiente de la coordenada tangencial x: N i (1.2.1) Hr = r br Por otra parte, para satisfacer las condiciones de contorno, la componente tangencial del campo en el entrehierro frente a la abertura de la ranura tiene que ser igual a Hr, es decir, Rdx
Hr = Ht .
(1.2.2)
a(x) δ(x)
H(x)
δ(x+dx)
x
µ
fe
→ ∞
H(x+dx)
x+dx R
Figura 1.2.2 Modelo para la determinación del campo unidimensional en el entrehierro asociado a una capa de corriente
Esta condición de contorno también es satisfecha por una capa de corriente axial de densidad lineal a=Ht y ancho tangencial br, ubicada en el lugar de la ranura en reemplazo de esta. Como la capa de corriente equivalente de densidad lineal
a=
Nr i br
(1.2.3)
produce el mismo campo en el entrehierro que la corriente en la ranura, se puede pensar a la superficie ranurada del estator reemplazada por una superficie lisa provista de capas de corriente axial de densidad a y de ancho tangencial br. Este modelo no sólo permite simplificar notablemente la determinación del campo en el entrehierro, sino
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-5 ___________________________________________________________________________ también resultará muy útil a la hora de determinar el momento electromagnético desarrollado por la máquina. Considérese ahora la situación ilustrada en la figura 1.2.2, donde una de las superficies limítrofes del entrehierro está provista de una capa de corriente de densidad lineal a(x). La aplicación de la ley de Ampere al camino de integración indicado permite anotar
r r H ∫ ⋅ ds = a( x )Rdx ,
(1.2.4)
y si se supone que la permeabilidad del fierro es infinita, la integral se reduce a H ( x + dx ) δ( x + dx ) − H ( x ) δ( x ) = a( x )Rdx .
(1.2.5)
Desarrollando el primer miembro de (1.2.5) en serie de Taylor y despreciando los términos diferenciales de segundo orden queda
δ( x )
∂δ ∂H ( x ) dx + H ( x ) dx = a( x )Rdx , ∂x ∂x
que equivale a
∂ (H ( x ) ⋅ δ( x )) = Ra( x ) . ∂x
Pero H ( x ) ⋅ δ( x ) = f ( x )
,
(1.2.6)
(1.2.7) (1.2.8)
por lo que rige la siguiente relación general entre fuerza magnetomotriz en el entrehierro y densidad lineal de corriente:
f ( x ) = R ∫ a( x )dx + C( t ) .
(1.2.9)
De aquí se desprende que toda distribución espacial de fmm puede ser asociada una distribución espacial de densidad lineal de corriente y esta puede ser considerada como origen de aquella. Si ahora se define la permeancia por unidad de superficie como Λ( x ) =
µ0 , δ( x )
(1.2.10)
se puede reescribir la relación (1.2.8) en términos de la inducción en el entrehierro como B( x ) = Λ( x ) ⋅ f ( x )
,
(1.2.11)
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-6 ___________________________________________________________________________ de donde se desprende que la inducción en el entrehierro, correspondiente a una coordenada tangencial x cualquiera, se logra como el producto de la fmm por la permeancia correspondientes a esa coordenada. La aplicación de estas relaciones permite la determinación sistemática del campo en el entrehierro, a partir de la distribución de la densidad lineal de corriente correspondiente a una ranura y la aplicación del principio de superposición1.
1.3
Enlaces de flujo e inductancias de la armadura
La figura 1.3.1a muestra esquemáticamente un corte transversal en desarrollo a través de la máquina con entrehierro variable, a lo largo de un doble paso polar. Las figuras 1.3.1b, 1.3.1c y 1.3.1d muestran las distribuciones idealizadas ( q → ∞ ) para la densidad lineal de corriente y la fmm correspondientes a la fase a y para la permeancia en el entrehierro, donde para esta última se supuso, para obtener relaciones analíticas más simples, que la permeancia en el espacio interpolar es nula. Para las distribuciones espaciales periódicas de la fmm y de la permeancia rigen, respectivamente, los siguientes desarrollos en serie de Fourier:
f ( x ) = ∑ Fν cos νx
con
ν = p( 2g + 1)
y g = 0,1, 2, 3,...
(1.3.1)
ν
y
Λ( x ) = Λ 0 + ∑ Λ λ cos λ( x − λ
γ ) p
con
λ = 2 pg y
g = 1, 2,3,...
(1.3.2)
De acuerdo con lo expuesto en el párrafo anterior, la inducción en el entrehierro correspondiente a una coordenada x se calcula como:
b( x ) = Λ( x ) ⋅ f ( x )
.
(1.3.3)
Si, de acuerdo con las suposiciones iniciales, se limita el análisis a la fundamental de la onda de fmm y a los primeros dos términos de la distribución de permeancia, el correspondiente reemplazo de (1.3.1) y (1.3.2) en (1.3.3) resulta en
b( x , t ) = Λ 0 Fp cos px + Λ 2 p Fp 21 cos[(2 p ± p )x − 2γ ] ,
(1.3.4)
donde el último término debe considerarse dos veces, una vez con signo (+) y otra vez con signo (-).
1
Apéndice 1
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-7 ___________________________________________________________________________ xc
x c
b'
a
a'
xb b
c'
x2
a
γ/p π/3p
π/p
aa
3iaN1/πR
fa
b
c iaN1/2p
απ/p Λ
µ0/δ"
d
γ/p
Figura 1.3.1 Modelo esquemático en corte de la máquina sincrónica
Al considerar el signo (+) resulta un término con triple número de polos. Este término se ignorará en adelante, ya que corresponde a un campo de triple número de polos que da lugar a una tercera armónica en la tensión de fase, la que, debido a la conexión en estrella (con neutro aislado) del devanado de armadura, no aparece en la tensión de línea. Queda entonces
b( x , t ) = Λ 0 Fp cos px + 21 Λ 2 p Fp cos( px − 2γ ) ,
(1.3.5)
donde el segundo término, que desaparece si el entrehierro es constante, tiene su origen en la anisotropía magnética del rotor. Para la amplitud de la componente fundamental de la onda de fmm se había obtenido en una oportunidad anterior2 la expresión
2
Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, Capítulo 4
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-8 ___________________________________________________________________________
Fp =
4 fd 1N1i a π 2p
(1.3.6)
y los coeficientes de Fourier de la onda de permeancia definida en la figura 1.3.1d se calculan como 2π p
Λ0 =
p p Λ(x )dx = 4 ∫ 2π 0 2π
γ απ + p 2p
∫ γ p
µ0 µ dx = 0 α δ′′ δ′′
(1.3.7)
y γ απ + p 2p
Λ 2p =
µ 2 p 2 ∫ Λ(x ) cos (2 px − 2γ )dx = 0 sen απ π γ απ δ′′ π
(1.3.8)
− p 2p
donde δ′′ es el entrehierro efectivo3 sobre la zapata polar y απ/p es el ancho de esta. Al reemplazar estas relaciones en (1.3.5) se obtiene la siguiente expresión para la fundamental de la onda de inducción producida por la corriente en la fase a: b( x , t ) =
4 fd 1N1 µ 0 1 ia α cos px + sen απ cos (px − 2γ ) . π 2p δ′′ π
(1.3.9)
1.3.1 Inductancias propias de la armadura Para calcular el flujo enlazado por la fase a del estator debido a esta distribución de inducción se recurre convenientemente al devanado concentrado equivalente de paso completo. Así, +
ψ aa = N1fd 1
π 2p
∫
π − 2p
2
sen απ 4 µ 0 N1fd 1 Rl α + b(x , t )lRdx = cos 2γ i a ′ ′ πδ p π
(1.3.10)
Según definición, la inductancia propia es el factor de proporcionalidad entre este enlace de flujo y la corriente ia : ψ 4 µ 0 N1fd 1 Laa = aa = Rl ia π δ′′ p 3
2
sen απ α + π cos 2γ .
(1.3.11)
el entrehierro efectivo considera tanto el efecto de las ranuras mediante el factor de Carter como el efecto de la saturación de dientes y yugos
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-9 ___________________________________________________________________________ Para un rotor isotrópico desaparece el espacio interpolar, α = 1, la inductancia propia se hace independiente de la posición angular del rotor (γ) y toma el valor constante Lm = Laa
α =1
=
4 µ 0 Rl (N1fd 1 )2 . π δ′′ p 2
(1.3.12)
Se aprecia que, como consecuencia de la anisotropía, la inductancia propia de una fase del devanado de armadura varía periódicamente entre un valor máximo
sen απ (1.3.13) Lad = Lm α + π 14424 4 3 cd que se produce cuando el eje de simetría del polo (eje d) está alineado con el eje magnético de la fase a, (γ = 0, π) , y un valor mínimo sen απ Laq = Lm α − π 14424 4 3 cq
,
(1.3.14)
que se produce cuando el eje de simetría del espacio interpolar (eje q) coincide con el eje magnético de la fase a (γ = π 2 , 3π 2) . Las expresiones específicas para los coeficientes cd y cq dependen de la forma en que se modele el entrehierro. De las relaciones (1.3.13) y (1.3.14) se desprende que la inductancia propia varía alrededor de un valor medio
L1 = αLm =
Lad + Laq
2
(1.3.15)
y que la amplitud de la variación es L2 =
Lad − Laq sen απ , Lm = π 2
(1.3.16)
de manera que la relación (1.3.11) para la inductancia propia de la fase a puede ser rescrita como Laa = L1 + L2 cos 2γ .
(1.3.17)
Las expresiones para las inductancias propias de las fases b y c son similares, sólo hay que considerar que γ b = γ − 2π 3 y que γ c = γ + 2π 3 . Así se establece que
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-10 ___________________________________________________________________________ 2π Lbb = L1 + L2 cos 2γ + 3 y que 2π Lcc = L1 + L2 cos 2γ − . 3
(1.3.18)
(1.3.19)
1.3.2 Inductancias mutuas entre las fases de la armadura La determinación de las inductancias mutuas entre fases del devanado de armadura requiere la determinación del flujo enlazado por una fase (p.ej. a) debido a la corriente en otra fase (p.ej. b). Para la onda de inducción producida por la fase b vale una expresión similar a (1.3.9) si se reemplaza ia por ib, x por xb y γ por γb, donde xb y γb se miden desde el eje magnético de la fase b. xb = x −
2π 3p
γb = γ −
y
2π . 3p
El flujo enlazado por la fase a se determina integrando la expresión para la inducción entre los límites correspondientes a la bobina concentrada equivalente de paso completo de la fase a expresados en términos de la coordenada xb 11π 6p
α sen απ 2π ψ ab = N1fd 1 ∫ bb (x b , t )lRdx b = Lm − + cos 2γ − ib . π 3 2 5π
(1.3.20)
6p
La inductancia mutua entre las fases a y b se determina como Lab =
ψ ab L 2π = − 1 + L2 cos 2γ − . 2 3 ib
(1.3.21)
Para determinar la inductancia mutua entre las fases a y c se procede en forma análoga, considerando las relaciones xc = x +
2π 3p
y
Así se obtiene para el flujo enlazado por la fase a
γc = γ +
2π 3p
.
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-11 ___________________________________________________________________________ 7π 6p
α sen απ 2π ψ ac = N1fd 1 ∫ bc (x c , t )lRdx c = Lm − + cos 2γ + ic π 3 2 π
(1.3.22)
6p
y para la inductancia mutua entre las fases a y c
Lac =
ψ ac L 2π = − 1 + L2 cos 2γ + . 2 ic 3
(1.3.23)
Para la inductancia mutua entre las fases b y c vale
Lbc = −
L1 + L2 cos 2γ . 2
(1.3.24)
Excepto en el caso de la máquina de reluctancia, el rotor de las máquinas de campo giratorio está provisto de devanados (trifásico o jaula para la máquina asincrónica, campo y jaula de amortiguación para la máquina sincrónica). En lo que a la fundamental de la onda de fmm producida por cada uno de estos devanados se refiere, estos devanados pueden pensarse reemplazados por devanados concentrados bifásicos equivalentes centrados en los ejes de simetría d y q, como se ilustra esquemáticamente en la figura 1.3.2. 1.3.3 Inductancia mutua entre el campo y una fase de la armadura Desde el punto de vista del campo en el entrehierro, el devanado de campo se puede considerar como un devanado concentrado acortado de paso απ / p cuyo eje magnético coincide con el eje d. Con las denominaciones y referencias de la figura 1.3.1 el flujo enlazado por el campo debido a la distribución de inducción producida por la corriente en la fase a se calcula como: γ απ + p 2p
ψ fa = N f
∫ b (x ,t )lRdx
(1.3.25)
a
γ απ − p 2p
N sen απ απ ψ fa = f sen L m α + cos γ ⋅ i a . 2 14 424π43 fd 1N1 Lad
(1.3.26)
Si se tiene presente que fdf = sen (απ 2) = cos ((1 − α ) π / 2) corresponde al factor de cuerda del devanado de campo y se define la relación de transformación
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-12 ___________________________________________________________________________ ξf 1 =
N f fdf N1fd 1
(1.3.27)
d
x2
se tiene que la inductancia mutua entre campo y fase a vale
γ/p ia iQ
if iD
q
Lfa = L1f cos γ
(1.3.28)
donde L1f = ξ f 1Lad
(1.3.29)
corresponde al valor máximo de la inductancia mutua entre una fase del estator y el devanado de campo. Para las otras dos fases se obtiene respectivamente
Figura 1.3.2 Corte transversal a través de la máquina y representación esquemática de los devanados del rotor
2π Lfb = L1f cos γ − 3 y 2π Lfc = L1f cos γ + . 3
(1.3.30)
(1.3.31)
1.3.4 Inductancia propia del campo Para determinar la inductancia propia del devanado de campo resulta conveniente introducir una coordenada x2, fija respecto al rotor, cuyo origen coincide con el eje de simetría del polo (d). (figura 1.3.1) Como x 2 = x −
γ , p
(1.3.32)
se tiene que en términos de la nueva coordenada la expresión para la permeancia (1.3.2) toma la forma Λ( x 2 ) = Λ 0 + Λ 2 p cos 2 p x 2
(1.3.33)
La distribución de fmm del devanado de campo viene dada por ff (x 2 ) =
4 N f fdf i f cos px 2 = Ffp cos px 2 π 2p
(1.3.34)
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-13 ___________________________________________________________________________ En consecuencia, la componente fundamental de la distribución de inducción toma la forma similar a (1.3.5)
b f ( x 2 ) = Λ 0Ffp cos px 2 + 21 Λ 2pFfp cos px 2 ,
(1.3.35)
a partir de la cual se calcula el enlace de flujo del devanado de campo asociado a la componente fundamental del campo en el entrehierro como +
ψ ff = N f fdf
π 2p
∫
π − 2p
4 µ 0 N f fdf bf (x 2 )lRdx = π δ′′ p
2
sen απ Rl α + if . π
(1.3.36)
La inductancia propia del campo, o enlace de flujo por unidad de corriente, vale ψ 4 µ 0 N f fdf Lff = ff = Rl if π δ′′ p
2
sen απ α + π .
(1.3.37)
1.3.5 Inductancias propias y mutuas de devanados equivalentes en el rotor En el caso en que el rotor esté equipado con una jaula, circularán corrientes por las barras si varía el flujo enlazado por esta. Supóngase que la jaula de amortiguación sea ideal: sin resistencias y sin dispersión. Entonces, de acuerdo con la regla de Lenz, las corrientes en las barras de la jaula tienen una distribución tal que tienden a anular a su causa, la distribución de fmm del estator. Si esta se descompone en componentes centradas en los ejes d y q respectivamente, la reacción de la jaula también puede concebirse producida por dos distribuciones de corriente ortogonales entre sí, como se ilustra en la figura 1.3.3. Estas distribuciones alternativamente pueden pensarse creadas por un devanado equivalente formado por dos bobinas equivalentes cortocircuitadas cuyos ejes magnéticos están centrados respectivamente en los ejes de simetría d y q, como se indica en la figura 1.3.2. Las expresiones para las inductancias propias y mutuas asociadas a estos devanados equivalentes son similares a las de las inductancias propias y mutuas del campo. Las inductancias propias son constantes y las inductancias mutuas con la fase a del estator tienen la forma: LD a = L1D cos γ
LQ a = −L1Q sen γ
LD b = L1D cos (γ − 23π )
LQ b = −L1Q sen (γ − 23π )
(1.3.38)
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-14 ___________________________________________________________________________
LD c = L1D cos (γ + 23π )
LQ c = −L1Q sen (γ + 23π )
La determinación de expresiones analíticas como función de la geometría no interesa en este contexto y debe ser pospuesta a la discusión de la teoría del motor asincrónico de jaula simple. fQ
-f1d
-f1q
fD
eje d
eje q
iQ zapata polar barra anillo iD
Figura 1.3.3 Relativo al reemplazo de la jaula de amortiguación por dos devanados ortogonales equivalentes. 1.3.6 Enlaces de flujo resultantes Los enlaces de flujo y las correspondientes inductancias determinadas en los párrafos anteriores corresponden al campo fundamental en el entrehierro producido por las corrientes del estator y del rotor. Adicionalmente los devanados enlazan flujos de dispersión que deben ser considerados mediante sendas inductancias de dispersión. El enlace de flujo resultante para cada devanado se obtiene sumando los enlaces de flujo parciales. En términos de las corrientes e inductancias queda: ψ a = Lσ1i a + Laa i a + Lab i b + Lac i c + LaD i D + LaQ i Q + Laf i f
(1.3.39)
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-15 ___________________________________________________________________________ ψ b = Lσ1i b + Lbb i b + Lba i a + Lbc i c + LbD i D + LbQ i Q + Lbf i f
(1.3.40)
ψ c = Lσ1i c + Lcc i c + Lcb i b + Lca i a + LcD i D + LcQ i Q + Lcf i f
(1.3.41)
ψ f = Lσf i f + Lff i f + Lfa i a + Lfb i b + Lfc i c + LfD i D + LfQ i Q
(1.3.42)
ψ D = LσD i D + LDD i D + LD f i f + LDa i a + LD b i b + LD c i c
(1.3.43)
ψ Q = LσQ i Q + LQQ i Q + LQa i a + LQ b i b + LQ c i c
(1.3.44)
Una vez conocidos los enlaces de flujo de cada devanado se pueden plantear las ecuaciones de equilibrio para estos aplicando la ley de Faraday.
1.4
Ecuaciones de equilibrio eléctricas
1.4.1 Devanado de armadura Para un observador fijo respecto al devanado la ley de Faraday tiene la forma v i = R1i i +
dψ i dt
con
i = a, b , c
(1.4.1)
Los enlaces de flujo se expresan convenientemente en términos de las corrientes y de las inductancias propias y mutuas ((1.3.39) – (1.3.41)). Debido a la dependencia de las inductancias de la posición angular del rotor (γ), se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales nolineales, lo que se aprecia más claramente al escribirlas en forma desarrollada. Así, v a = R1i a + ( Lσ1 +
(i − i ) di d 3 3 L1 ) a + L2 i a cos 2γ + b c sen 2γ dt 2 dt 2 3
. d + [(i D L1D + i f L1f )cos γ − i Q L1Q sen γ ] dt (i − i ) di d 3 3 v b = R1i b + ( Lσ1 + L1 ) b + L2 i b cos 2(γ − 23π ) + c a sen 2(γ − 23π ) dt 2 dt 2 3 d + [(i D L1D + i f L1f )cos (γ − 23π ) − i Q L1Q sen (γ − 23π )] dt
(1.4.2)
(1.4.3)
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-16 ___________________________________________________________________________ v c = R1i c + ( Lσ1 +
(i − i ) di d 3 3 L1 ) c + L2 i c cos 2γ + a b sen 2(γ + 23π ) dt 2 dt 2 3
d + [(i D L1D + i f L1f )cos (γ + 23π ) − i Q L1Q sen (γ + 23π )] dt
(1.4.4)
1.7.1 Devanados del rotor La aplicación de (1.4.1) a los devanados del rotor permite obtener: v f = R f i f + (Lσ f + Lff )
v D = R D i D + (Lσ D + LDD ) v Q = RQ i Q + (Lσ Q
(i b − i c ) sen γ i a cos γ + 3 (i − i ) di f 3 d + LD 1 i a cos γ + b c sen γ dt 2 dt 3
di f di d 3 + LfD D + Lf 1 dt dt 2 dt
di D + LD f dt di 3 d + LQQ ) Q − LQ 1 dt 2 dt
(i b − i c ) cos γ i a sen γ + 3
(1.4.5) (1.4.6) (1.4.7)
En términos de las variables reales, medibles en los respectivos terminales, este sistema de seis ecuaciones diferenciales nolineales ((1.4.1) - (1.4.7)) no tiene solución analítica conocida y para su integración es necesario recurrir a métodos numéricos. Sin embargo, a través de la introducción de variables sustituto complejas para las variables del estator no sólo es posible simplificar las ecuaciones de equilibrio, sino que también es posible linealizarlas para el importante caso particular en que la velocidad del rotor sea constante. Estas ideas se desarrollan en el párrafo siguiente.
1.5
Diagonalización y componentes simétricas
Los sistemas de potencia trifásicos compuestos por máquinas rotatorias, transformadores y líneas de transmisión en general exhiben acoplamientos eléctricos y magnéticos entre las tres fases. En la descripción matemática de estos sistemas mediante matrices el acoplamiento entre los devanados de las fases se manifiesta en términos no nulos fuera de la diagonal principal de la matriz que relaciona los vectores de tensión y de corriente. Desaparece la posibilidad de un análisis por fase. Mediante una técnica del álgebra lineal es posible diagonalizar estas matrices y lograr una descripción alternativa más simple del sistema en términos de variables substituto.
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-17 ___________________________________________________________________________ 1.5.1 Diagonalización de matrices4 Si la matriz de impedancias es cuadrada, regular, con valores propios (λi) todos distintos, siempre será posible llevarla a la forma diagonal mediante la transformación
T −1 Z T = Λ
(1.5.1) Λ = diag [λ 1 , λ 2 , λ 3 ]
donde y
T = [X 1 , X 2 , X 3 ]
(1.5.2) (1.5.3)
es la matriz de transformación, formada por los vectores propios (Xi) de la matriz Z. Considérese ahora el caso particular de las matrices cíclicas A B C Z = C A B . B C A
(1.5.4)
De la ecuación característica
(A − λ ) det
C
B (A − λ )
B
C
C B
(A − λ )
=0
(1.5.5)
se obtiene (mediante la fórmula de Cardano) los valores característicos λ1 = A + a 2B + a C
(1.5.6)
λ2 = A + a B + a2 C
(1.5.7)
λ3 = A + B +C
(1.5.8)
con
a = e j 2π / 3 .
(1.5.9)
En este contexto el término impedancia se debe entender como sinónimo de resistencia o reactancia, por lo que los coeficientes A, B, C de la matriz Z son números reales. En consecuencia, de los tres valores propios uno es real y los otros dos son complejos conjugados.
4
A. Mary Tropper – Matrix theory for electrical engineering students - Queen Mary College U.L. 1962
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-18 ___________________________________________________________________________ Los vectores propios se determinan sustituyendo sucesivamente los diferentes valores propios en
(Z − λ i I) X i ( A − λ i ) C B
=0
(1.5.10) X i1 B ⋅ X i 2 = 0 . (A − λ i ) X i 3
B
C
(A − λ i ) C
(1.5.11)
Así, por ejemplo, al reemplazar λi=λ1=A+a2B+aC se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
(
)
− a 2 B + aC X 1 + B X 2 + C X 3 = 0
(
)
C X 1 − a 2 B + aC X 2 + C X 3 = 0
(
(1.5.12)
)
B X 1 + C X 2 − a 2 B + aC X 3 = 0
Al multiplicar la segunda de estas ecuaciones por B y la tercera por C y restar la tercera de la segunda queda:
(a B 2
2
)
(
)
+ aBC + C 2 X 2 = B 2 + a 2 BC + aC 2 X 3 ,
(1.5.13)
ecuación que es satisfecha por X2=a y X3=1, pero también por X2=a2 y X3=a y por X2=1 y X3=a2. Si se reemplaza el correspondiente par de valores para X2 y X3 en la primera ecuación, se obtiene los siguientes valores para X1: X1=a2 X1=1 X1=a
para X2=a y X3=1 para X2=a2 y X3=a para X2=1 y X3=a2.
Se aprecia que hay tres vectores propios: a 2 X1,1 = a 1
X 1,2
1 = a 2 a
X 1,3
a = 1 , a 2
que son linealmente dependientes, ya que están relacionados por el factor a. En forma similar se logra para λi=λ2=A+aB+a2C los vectores propios:
(1.5.14)
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-19 ___________________________________________________________________________
X 2,1
a = a 2 1
X 2 ,2
1 = a a 2
X 2,3
a 2 = 1 . a
(1.5.15)
Para el tercer valor propio λi=λ3=A+B+C se logra el vector propio
X ′3 = [1 1 1] .
(1.5.16)
Cualquier combinación de vectores propios X1, X2 y X3 sirve para formar la matriz de transformación T. La elección de X1,2 , X2,2 y X3 lleva a la forma usual de la matriz de transformación compleja : 1 1 1 T = a 2 a 1 (1.5.17) 2 a a 1 y de su inversa
T −1
1 a 1 = 1 a 2 3 1 1
a2 a. 1
(1.5.18)
Cuando se normalizan los vectores propios, exigiendo que la norma sea igual a la unidad,
X ∗i ' ⋅ X i = 1
(1.5.19)
la correspondiente matriz de transformación y su inversa toman la forma 1 1 2 T= a 3 a
1 a a
2
1 1 1
y
T −1
1 a 1 2 = 1 a 3 1 1
a2 a 1
(1.5.20)
y la matriz de transformación se conoce como matriz modal. Nótese que en este caso la transpuesta de la conjugada es igual a la inversa, T*’=T-1, es decir, T es una matriz ortogonal. Aunque esta segunda forma es matemáticamente más apropiada y presenta ventajas analíticas, el peso de la tradición ha mantenido el uso de la forma no normalizada. Se puede comprobar trivialmente que el uso de estas matrices diagonaliza la matriz de impedancias con las características indicadas inicialmente:
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-20 ___________________________________________________________________________
A + a 2 B + aC λ 1 −1 2 λ2 T ZT = A + aB + a C = A + B + C
=Λ. λ 3
(1.5.21)
1.5.2 Transformación de tensiones y corrientes de fase a componentes simétricas Un aparato o parte de un sistema trifásico simétrico queda descrito en términos de las variables trifásicas de tensión y de corriente en sus terminales por la relación
V = ZI,
(1.5.22)
donde V e I son los vectores cuyas componentes son respectivamente las tensiones y corrientes de fase y Z es la matriz (3x3) de impedancia operacional . Si se reemplaza la matriz Z en términos de la correspondiente matriz diagonalizada (o transformada) Λ=ZT queda
V = T Z T T −1 I .
(1.5.23)
Premultiplicando esta ecuación por T-1 , toma la forma T −1V = Z T T −1 I ,
(1.5.24)
que puede ser reinterpretada en términos de las variables transformadas VT=T-1V
e
IT=T-1I
(1.5.25)
como VT = Z T IT ,
(1.5.26)
ecuación equivalente a la original, que relaciona las nuevas variables VT e IT mediante una matriz diagonal. Las nuevas variables están desacopladas y se conocen como las componentes simétricas5. Nótese que la transformación
i1 1 a 1 2 i 2 = 3 1 a i 0 1 1
5
a 2 i a a ⋅ i b 1 i c
W.V.Lyon , Transient analysis of alternating current machinery – J.Wiley 1954
(1.5.27)
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-21 ___________________________________________________________________________
no impone restricción alguna sobre la dependencia del tiempo de las corrientes originales (ia, ib, ic), por lo que vale también para los valores instantáneos. Los valores instantáneos de las corrientes de fase son números reales, por lo que en ese caso la componente de secuencia negativa i2 =
(
1 i a + a 2 i b + ai c 3
)
(1.5.28)
es igual al valor conjugado de la componente de secuencia positiva i1 =
(
)
1 i a + ai b + a 2 i c , 3
(1.5.29)
es decir, i 2 = i 1• .
(1.5.30)
La componente simétrica de los valores instantáneos de secuencia negativa contiene la misma información que la componente de secuencia positiva. Para un devanado conectado en estrella sin neutro la corriente de secuencia cero es nula i0 =
1 (i a + i b + i c ) = 0 , 3
(1.5.31)
por lo que las tres corrientes trifásicas reales pueden ser expresadas por una sola corriente compleja i 1 . Sobre este aspecto se volverá más adelante al definir el concepto de fasor espacial. El uso de la forma ortogonal de la matriz de transformación, es decir de la matriz modal, tiene como consecuencia que la fórmula para la potencia es invariante bajo la transformación:
Va0 Va Va2 Va1
(
Vc
= I*T ' T * ' T VT = I*T ' VT Vc0
Vc1
)
P = I* ' V = T * I*T ' (T VT )
Vc2
Vb
Vb1 Vb0
Vb2
Figura 1.5.1 Formación de un sistema asimétrico a partir de sistemas simétricos de secuencia positiva, negativa y cero
o P=
∑v i
i =a ,b ,c ,
i
i
=
∑v
j =1,2 ,0
j
ij.
(1.5.32) (1.5.33)
La potencia total es igual a la suma de las potencias asociadas a cada par de variables de secuencia. Esta
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-22 ___________________________________________________________________________
propiedad es especialmente útil en el análisis del funcionamiento de máquinas trifásicas con excitación asimétrica. Al emplear alternativamente la forma no normalizada de la matriz de transformación, la fórmula para la potencia no es invariante bajo la transformación, apareciendo un factor numérico: P=
∑v i
i =a ,b ,c ,
i
i
=3
∑v
j =1,2 ,0
j
ij .
(1.5.34)
Si bien en principio las componentes simétricas son variables sustituto complejas que facilitan el análisis de sistemas simétricos, para el caso particular de excitación sinusoidal, la interpretación en términos de fasores, permite establecer una relación entre componentes simétricas y componentes de fase, que es de gran utilidad para la determinación experimental de las impedancias de secuencia. Para el análisis de sistemas con excitación sinusoidal las variables se reemplazan usualmente por los correspondientes valores efectivos complejos. Un sistema de tensiones asimétrico queda representado en el plano complejo por una estrella de tensiones asimétrica. En virtud de la relación entre componentes simétricas y componentes de fase se tiene que: Va 1 1 1 V1 V1 V = a 2 a 1 ⋅ V = a 2 V 1 b 2 Vc a a 2 1 V0 aV1 142 4 44 3
+ V2 + aV2 + a V2 2
+ V0 Va1 + V0 = Vb1 + V0 Vc1
+ Va 2 + Vb 2 + Vc 2
+ Va 0 + Vb 0 + Vc 0
(1.5.35)
T
Se aprecia que cada una de las tensiones asimétricas Va, Vb, Vc puede pensarse obtenida a partir de la superposición de las componentes correspondientes a tres sistemas simétricos: un sistema de secuencia positiva, un sistema de secuencia negativa y un sistema de secuencia cero. Cada uno de estos sistemas representa en el dominio trifásico a la respectiva componente de secuencia. Los elementos Z1, Z2 y Z0 de la matriz de impedancia diagonalizada se conocen respectivamente como las impedancias de secuencia positiva, de secuencia negativa y de secuencia cero y pueden ser obtenidas a partir de mediciones simultáneas de tensión, de corriente y de potencia, si se excita el sistema físico con el sistema de tensiones simétrico correspondiente a la respectiva variable de secuencia. La medibilidad de los parámetros y la posibilidad de realizar un análisis por fase han contribuido al uso generalizado de la transformación de las componentes simétricas como herramienta analítica.
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-23 ___________________________________________________________________________ 1.6
Fasores espaciales6
Las componentes simétricas son esencialmente magnitudes complejas abstractas que simplifican la descripción matemática del problema. Con ese objetivo son usadas como variables sustituto en el análisis de redes estáticas, transformadores y máquinas rotatorias, cuyas matrices de impedancia son simétricas o cíclicas. En el caso de máquinas rotatorias, la simetría inherente de los devanados y la sinusoidalidad de los campos en el entrehierro permiten interpretar estas magnitudes complejas formalmente como entes espaciales. x1
ℜ x2 x1
x2 0
ℑ
Figura 1.6.1 Relación entre una función sinusoidal y su representación simbólica en el plano complejo
Para concretar esta idea, considérese primeramente una distribución sinusoidal cualquiera y su representación simbólica en el plano complejo mediante un fasor (figura 1.6.1). Esta transformación, tan ampliamente utilizada en el análisis de redes de corriente alterna, no está de ninguna manera limitada a magnitudes que varían sinusoidalmente en el tiempo. También puede aplicarse a magnitudes que varían sinusoidalmente en el espacio, como las distribuciones de fuerza magnetomotriz asociadas a los devanados distribuidos. El módulo del fasor corresponde en ese caso a la amplitud de la distribución de fmm y su argumento indica el desplazamiento angular del máximo de la distribución respecto a cierta referencia. Considérese ahora un corte transversal de la máquina de un par de polos (figura 1.6.2) e imagínese un plano de Gauss superpuesto de manera que el eje real coincida con el eje magnético de la fase a. La distribución de fmm de cada fase puede representarse en el plano complejo mediante un fasor espacial cuyo módulo es proporcional al valor instantáneo de la corriente en la fase y cuyo argumento corresponde a la ubicación del eje magnético de la fase representada.
6
Karl P. Kovacs Transient Performance of Electrical Machines – Elsevier 1984.
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-24 ___________________________________________________________________________ ℜ
ib ic
3/2is
γ/p
ia
ic=a2ic ℑ
ib
ib=aib
ic
ic<0 a2
a
Figura 1.6.2 Plano complejo superpuesto a un corte transversal de la máquina. Representación de distribuciones sinusoidales en el espacio como fasores espaciales
En la figura 1.6.2 se muestran los fasores espaciales de las tres fases para el instante en el que las corrientes en las fases a y b son positivas y la corriente en la fase c es negativa. La suma de los tres fasores define el fasor espacial resultante r i s = k i a + ai b + a 2 i c
(
)
con
a = 1∠120º
(1.6.1)
cuyo argumento indica la posición angular de la amplitud de la onda de fmm resultante y cuyo módulo es proporcional a la amplitud de esa onda de fmm. El factor k es arbitrario y su valor se suele fijar convenientemente exigiendo que la proyección del fasor resultante sobre el eje de la fase a corresponda al valor instantáneo de la corriente en esa fase
{ }
r ℜ i s = k (i a − 21 i b − 21 i c ) ≡ i a ,
pero
(1.6.2)
i a + i b + i c = 0 , por lo que
k 32 i a = i a
y
k=
2 3
(1.6.3)
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-25 ___________________________________________________________________________
Por lo tanto el fasor espacial de la corriente (fmm) queda definido en el sistema de referencia fijo respecto al estator como r 2 i s = i a + ai b + a 2i c . 3
(
)
(1.6.4)
La similitud de esta expresión con (1.5.29) permite asociar formalmente el fasor espacial con la componente de secuencia positiva de las componentes simétricas de los valores instantáneos a través de la relación: r i s = 2 i1
(1.6.5)
y traspasar a esta última la interpretación física del primero. Considérese ahora la introducción de un nuevo sistema de referencia, fijo respecto al rotor, tal que su eje real coincida con el eje de simetría de los polos (eje d) y su eje imaginario con el eje de simetría del espacio interpolar (eje q). En relación con este nuevo sistema de referencia, la distribución espacial sinusoidal de r fmm, representada por el fasor espacial i s ,r = id+jiq en la figura 1.6.3, puede ser considerada creada por dos corrientes ficticias id e iq que circulan por un devanado bifásico simétrico ficticio ubicado en los ejes d y q. r En relación con el sistema fijo al estator i s está descrito por la expresión
r r i s = i s e jpx1 ,
(1.6.6)
mientras que respecto al sistema fijo al rotor (d,q) el mismo fasor está descrito por r r r i s ,r = i s e j ( px1 − γ ) = i s e − jγ .
(1.6.7)
Al expresar en (1.6.7) los fasores espaciales en términos de sus respectivas componentes se tiene que: i d + ji q =
(
)
2 i a + ai b + a 2 i c e − jγ 3
(1.6.8)
y al igualar respectivamente las partes reales y las partes imaginarias de ambos miembros de esta ecuación compleja se logra:
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-26 ___________________________________________________________________________ i a cos (γ − 2π / 3 ) cos (γ + 2π / 3 ) i d 2 cos (γ ) i = i b . q 3 − sen (γ ) − sen (γ − 2π / 3 ) − sen (γ + 2π / 3 ) i c
(1.6.9)
Se aprecia que se trata de una transformación singular. La distribución espacial de fmm está definida unívocamente por las corrientes bifásicas, pero no por las corrientes trifásicas. Para apreciar esta situación considérese que i a = i a′ + i 0 ,
i b = i b′ + i 0 ,
i c = i c′ + i 0
con
i a′ + i b′ + i c′ = 0
(1.6.10)
r 2 2 2 (1.6.11) con lo que i s = i a + ai b + a 2 i c = i a′ + ai b′ + a 2 i c′ + 1 + a + a 2 i 0 . 3 3 3 14243 0 Una eventual corriente por el neutro (3i0) no contribuye al campo fundamental en el entrehierro, por lo que no puede ser obtenida a partir de éste y debe ser especificada adicionalmente a través de
(
i0 =
)
(
)
(
)
1 (i a + i b + i c ) , 3
(1.6.12) d
ℜ
ℜr id
isr
x1 γ/p id
ℑ iq
iq
ℑr q
Figura 1.6.3 Plano complejo superpuesto a un corte transversal de la máquina. Representación del fasor espacial en un sistema de referencia (d,q) fijo al rotor
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-27 ___________________________________________________________________________
que corresponde a la componente de secuencia cero de las componentes simétricas. Con esta consideración adicional la transformación de un sistema trifásico a uno bifásico resulta biunívoca y toma la siguiente forma matricial en términos de las componentes reales: cos (γ − 2π / 3 ) cos (γ + 2π / 3 ) i a i d cos (γ ) i = 2 − sen (γ ) − sen (γ − 2π / 3 ) − sen (γ + 2π / 3 ) i q 3 b i 0 1 / 2 i c 1/ 2 1/ 2
(1.6.13)
Al comparar las relaciones (1.6.13) y (1.6.7), que describen el mismo cambio de coordenadas se aprecia algunas de las ventajas del uso de variables complejas como: relaciones más compactas, visualización simple de la transformación y su interpretación como un giro en el plano complejo, uso de funciones exponenciales en lugar de funciones armónicas. A estas razones más bien formales se agrega otra más conceptual: la componente simétrica de los valores instantáneos y su interpretación como fasor espacial representa una expresión analítica muy conveniente del campo giratorio. La interpretación formal de la variable compleja abstracta como fasor espacial ha dado importantes impulsos a la técnica del control de máquinas trifásicas mediante convertidores estáticos. El uso de variables de estado complejas permite visualizar ventajosamente el comportamiento dinámico de máquinas trifásicas mediante diagramas de flujo de señales complejas7 y, a través de ellos, permite apreciar el efecto de los controles externos sobre los procesos internos de la máquina.
1.7
Transformación de las ecuaciones de equilibrio a coordenadas fijas al rotor
1.7.1 Cambio de coordenadas fijas a coordenadas móviles En términos del fasor espacial las tres ecuaciones reales (1.4.2), (1.4.3) y (1.4.4) se reducen a sólo una ecuación compleja: r r dψ r 2 2 s v s = v a + av b + a v c = R1i s + . 3 dt Con r v 2 r ψ s = ψ a + aψ b + a 2 ψ c = (Lσ1 + LG1 )i s + LG 2 i s∗ e j 2 γ + (i D L1D + i f L1f )e jγ + j i Q L1Q e jγ 3
(
)
(
7
)
J. Holtz: The Representation of AC Machine Dynamics by Complex Signal Flow Graphs, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 42, No. 3, 1995, pp. 263-271.
(1.7.1)
(1.7.2)
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-28 ___________________________________________________________________________
se logra la expresión compleja r r di s d r ∗ j 2γ d r (i D L1D + i f L1f )e jγ + j i Q L1Q e jγ , + LG 2 is e + v s = R1i s + (Lσ1 + LG1 ) dt dt dt
(
)
[
]
(1.7.3)
de la cual se pueden obtener los valores instantáneos r v a = ℜ {v s } =
{
1 2
(vr
s
r + v s∗
} (a vv
r v b = ℜ a 2v s =
1 2
v v c = ℜ {a v s } =
1 2
2
(avr
s
s
)
(1.7.4)
r + a v s∗
)
(1.7.5)
)
(1.7.6)
r + a 2 v s∗ .
Para simplificar, se han introducido convenientemente en (1.7.2) las inductancias de campo giratorio LG1 =
3 L1 2
LG 2 =
y
3 L2 . 2
(1.7.7)
La introducción de un sistema de referencia fijo al rotor implica, de acuerdo con (1.6.7), reemplazar en (1.7.3) r r i s = i s ,r e jγ .
y
r r v s = v s ,r e jγ .
(1.7.8)
En consecuencia, en el sistema de referencia fijo al rotor la ecuación de equilibrio del estator toma la forma
[
r r r r dγ d v s ,r = R1i s ,r + j + (Lσ1 + LG1 )i s ,r + LG 2 i s∗,r + L1f i f + L1D i D + j L1Q i Q dt dt r r dγ d r v s ,r = R1i s ,r + j + ψ s ,r dt dt r r r con ψ s ,r = (Lσ1 + LG1 )i s ,r + LG 2 i s∗,r + L1f i f + L1D i D + j L1Q i Q .
[
]
]
(1.7.9) (1.7.10) (1.7.11)
Se puede apreciar que el cambio del sistema de referencia por otro, fijo al rotor, no sólo simplifica la apariencia de la ecuación, sino que también la hace lineal para el caso en que la velocidad angular del rotor es constante, lo que permite su eventual integración mediante procedimientos analíticos (p. ej. mediante la transformación de Laplace). La estructura de la relación (1.7.10) es similar a la de la relación (1.7.1). Sólo que en lugar de la variables referidas al estator aparecen las variables referidas al rotor y que en lugar del operador diferencial d/dt aparece el operador (jdγ/dt+d/dt), donde dγ/dt es la velocidad relativa entre el nuevo sistema de coordenadas y las bobinas del estator (fijas al antiguo sistema de coordenadas).
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-29 ___________________________________________________________________________
1.7.2 Las ecuaciones de Park La integración de la ecuación de equilibrio (1.7.9) hace necesario expresar las variables complejas en términos de sus partes real e imaginaria, es decir, proyectar el fasor espacial sobre los ejes real e imaginario, centrados respectivamente con el eje de simetría del polo (eje d) y el eje de simetría del espacio interpolar (eje q), según se indica en la figura 1.6.3. Para ello se substituye: r v s ,r = v 1d + jv 1q
e
r i s ,r = i 1d + ji 1q
(1.7.12)
en (1.7.9) donde, al separar partes real e imaginaria, queda: di 1d di di dγ + L1D D + L1f f − (L1q i 1q + L1Q i Q ) dt dt dt dt di 1q di dγ + L1q + L1Q Q + (L1d i 1d + L1D i D + L1f I f ) dt dt dt
v 1d = R1i 1d + L1d
(1.7.13)
v 1q = R1i 1q
(1.7.14)
donde
L1d = Lσ1 + LG1 + LG 2
(1.7.15) (1.7.16)
L1q = Lσ1 + LG1 − LG 2
son respectivamente las inductancias propias de un devanado ficticio centrado en el eje d y de un devanado ficticio centrado en el eje q. El sistema formado por las ecuaciones (1.7.13) y (1.7.14) y las ecuaciones correspondientes a los circuitos del rotor: di di di f + Lf 1 1d + LfD D dt dt dt di 1d di di D + LD 1 + LDf f v D = R D i D + LD dt dt dt di 1q di v Q = RQ i Q + LQ Q + LQ1 , dt dt 3 3 Lf 1 = L1f LD1 = L1D , donde 2 2 son las inductancias de campo giratorio. v f = R f i f + Lf
(1.7.17) (1.7.18) (1.7.19) y
LQ1 =
3 L1Q , 2
(1.7.20)
Las ecuaciones (1.7.13), (1.7.14), (1.7.17), (1.7.18) y (1.7.18) se conocen en la literatura como ecuaciones de Park8. Ellas constituyen la base de la teoría clásica de los dos ejes. 8
R.H.Park – Two-reaction theory of synchronous machines – Transactions AIEE 1929 pg.716-727
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-30 ___________________________________________________________________________
En el caso particular en que la velocidad del rotor es constante, dγ dt es constante y las ecuaciones de Park se hacen lineales y pueden ser integradas analíticamente. Sobre este punto se volverá más adelante.
1.8
El momento electromagnético
Para la determinación del momento electromagnético desarrollado por la máquina se recurre convenientemente a las fuerzas de Lorentz, punto de vista cuya validez formal ya se demostró en otra oportunidad9. Supóngase el devanado de armadura reemplazado por una capa de corriente de densidad lineal a(x) A/m. La inducción resultante en el entrehierro sea b(x). Entonces, con las referencias de la figura 1.8.1, la fuerza tangencial sobre un elemento diferencial de longitud axial l de la superficie interior del estator vale df = −b( x ) a( x ) l R dx x, f
a(x) b(x)
y el momento diferencial correspondiente está dado por dTs = −R 2 l b( x ) a( x ) dx .
R
Figura 1.8.1 Referencias positivas para las variables electromagnéticas y mecánicas
(1.8.1)
(1.8.2)
El momento electromagnético resultante sobre el estator se logra integrando (1.8.2) a lo largo de la periferia interior del estator 2π
Ts = −R 2 l ∫ b( x ) a( x ) dx .
(1.8.3)
0
En virtud de la tercera ley de Newton (actio equal reactio), el momento que actúa sobre el rotor es igual y opuesto al que actúa sobre el estator, de manera que 2π
T = R l ∫ b( x ) a( x ) dx . 2
(1.8.4)
0
La distribución de inducción resultante se obtiene superponiendo las distribuciones de los devanados individuales b( x ) = ba ( x ) + bb ( x ) + bc ( x ) + bf ( x ) + bD ( x ) + bQ ( x ) , 9
Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, Capítulo 5
(1.8.5)
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-31 ___________________________________________________________________________
expresadas en términos de las corrientes y la geometría, como se obtuvo en (1.3.9) y (1.3.35). b( x ) =
4 N1fd 1 µ 0 [α(i a cos px + i b cos( px − 23π ) + i c cos( px + 23π )) π 2 p δ′′ + α(ξ1f i f cos( px − γ ) + ξ1D i D cos( px − γ ) + ξ1Q i Q sen( px − γ )) sen απ (i a cos (px − 2γ ) + i b cos( px − 2γ + 23π ) + i c cos( px − 2γ − 23π ) + π + ξ1f i f cos( px − γ ) + ξ1D i D cos( px − γ ) + ξ1Q i Q sen( px − γ ) )]
Los coeficientes ξ1f , ξ1D y ξ1Q son
relaciones
de
transformación
(1.8.6) definidas
análogamente a (1.3.27). Si se expresa las corrientes en términos del fasor espacial mediante las relaciones equivalentes a (1.7.4) a (1.7.6) y las funciones trigonométricas en términos de funciones exponenciales (Euler), se obtiene b( x ) =
(
)
4 N1fd 1 µ 0 3 r ∗ jpx r − jpx αξ 1f ( i f e j ( px − γ ) + i f e − j ( px − γ ) ) + α is e + ise + 2 π 2 p δ′′ 4 αξ αξ 1D i D e j ( px − γ ) + i D e − j ( px − γ ) + 1Q i Q e j ( px − γ ) − i Q e − j ( px − γ ) 2 2j sen απ 3 r j ( px −2 γ ) ∗ − j ( px −2 γ ) ξ1f ( i f e j ( px − γ ) + i f e − j ( px − γ ) ) + + i1 e + ise 2 π 4
(
)
(
(
+
)
)
ξ ξ1D i D e j ( px − γ ) + i D e − j ( px − γ ) + 1Q i Q e j ( px − γ ) − i Q e − j ( px − γ ) 2 2j
(
)
(
)
(1.8.7)
La distribución de densidad lineal de corriente resultante se obtiene superponiendo las distribuciones de las tres fases del estator a( x ) = aa ( x ) + ab ( x ) + ac ( x )
(1.8.8)
De la distribución rectangular de densidad lineal de corriente de la figura 1.3.1b sólo se considera la fundamental, ya que la distribución de inducción también fue limitada a esa componente. Para la fase a vale entonces aa ( x ) = − Aap sen px
con
(1.8.9)
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-32 ___________________________________________________________________________ π p
Aap = −
2N1fd 1 p aa ( x ) sen px dx = ia ∫ π π πR −
(1.8.10)
p
coeficiente de Fourier para la fundamental. Para las fases b y c valen relaciones similares, desplazadas en 2π 3 y − 2π 3 respectivamente. El reemplazo de estas relaciones en (1.8.8) y la posterior introducción del fasor espacial y de funciones exponenciales en lugar de las trigonométricas conduce a la siguiente expresión para la densidad lineal de corriente resultante:
(
2N1fd 1 3 r ∗ jpx r − jpx is e − ise πR 4 (1.8.11)
a( x ) = − j
)
Al reemplazar (1.8.7) y (1.8.11) en (1.8.4) e integrar esa expresión se logra
{
}
{
}
r rr r T = pLG1 ℑ (ξ f 1i f + ξ D1i D + jξQ1i Q )i s e − jγ + pLG 2 ℑ 32 i s i s e − j 2 γ + (ξ f 1i f + ξ D1i D + jξQ1i Q )i s e − jγ (1.8.12) que se reduce a rr r 3 p ℑ{LG 2 i s i s e − j 2 γ + (L1f i f + L1D i D + jL1Q i Q )i s e − jγ } 2 donde 2 2 2 L1f = ξ f 1 (LG1 + LG 2 ) , L1D = ξ D1 (LG1 + LG 2 ) y L1Q = ξ Q1 (LG1 − LG 2 ) 3 3 3
T=
(1.8.13)
(1.8.14)
son los valores máximos de las inductancias mutuas entre los respectivos devanados del rotor y una fase del estator. Como la parte imaginaria de i 1i 1∗ es cero, la ecuación (1.8.13) no es alterada al incluir rr (LG1 + Lσ1 )i s i s∗ en el paréntesis llave de (1.8.13), expresión que de esa manera toma la forma T=
rr rr r 3 p ℑ {(LG1 + Lσ1 ) i s i s∗ + LG 2 i s i s e − j 2 γ + (L1f i f + L1D i D + jL1Q i Q )i s e − jγ } 2
(1.8.15)
que, al considerar la expresión (1.7.2) para el fasor espacial del enlace de flujo de la armadura: r v r ψ s = (Lσ1 + LG1 )i s + LG 2 i s∗ e j 2 γ + (i D L1D + i f L1f )e jγ + j i Q L1Q e jγ ,
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-33 ___________________________________________________________________________
puede rescribirse en forma compacta como T= ó
{
r r 3 p ℑ ψ ∗s i s 2
{
}
(1.8.16)
}
r r 3 T = − p ℑ ψ s i s∗ . 2
(1.8.17)
Para la teoría de los dos ejes se prefiere una expresión para el momento en términos de las componentes real e imaginaria de las variables. Considerando que r ψ s = (ψ 1d + jψ 1q )e jγ
e
r i s = (i 1d + ji 1q )e lγ
(1.8.18)
se obtiene finalmente T=
3 p[ψ 1d i 1q − ψ 1q i 1d ], 2
donde ψ 1d = L1d i 1d + L1f i f + L1D i D
(1.8.19) y
ψ 1q = L1q i 1q + L1Q i Q
son los enlaces de flujo de los devanados de armadura ficticios que giran con el rotor y cuyos ejes magnéticos coinciden respectivamente con los ejes de simetría d y q del rotor. Con las referencias de la figura 1.8.1, el momento desarrollado como motor es positivo. 1.8.1 Ecuación de equilibrio mecánica El movimiento del rotor de la máquina está condicionado por la ecuación de D'Alambert del equilibrio de los momentos, que establece que la suma de los momentos sobre el eje es igual a la inercia por la aceleración angular: J d 2γ = T − Tm p dt 2
(1.8.20)
donde T es el momento electromagnético, Tm el momento mecánico aplicado al eje y J el momento de inercia. Esta ecuación, conjuntamente con las ecuaciones de Park forma un sistema de ecuaciones diferenciales que describe completamente el comportamiento dinámico de la máquina de campo giratorio.
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-34 ___________________________________________________________________________ 1.9
Caso particular: la máquina isotrópica simétrica
La máquina asincrónica10 se caracteriza constructivamente por un entrehierro constante a lo largo de la periferia (α=1, LG2=0) y un devanado del rotor simétrico (LD1=LQ1≡Lrs, L1d=L1q≡Ls, L1D=L1Q≡Lsr, LD=LQ≡Lr, if=0). Para esas condiciones las ecuaciones de Park se reducen en una (desaparece el devanado de campo) y toman una forma más simétrica: di 1d di dγ + L1D D − (L1d i 1q + L1D i Q ) dt dt dt di 1q di dγ v 1q = R1i 1q + L1d + L1D Q + (L1d i 1d + L1D i D ) dt dt dt di di v D = R D i D + LD D + LD1 1d dt dt di 1q di v Q = R D i Q + LD Q + LD1 dt dt v 1d = R1i 1d + L1d
(1.9.1) (1.9.2) (1.9.3) (1.9.4)
Al pasar a la notación compleja en términos de los fasores espaciales
r v s , r = v 1d + jv 1q r v r = v D + jv Q
r i s , r = i 1d + ji 1q r i r = i D + ji Q
e e
(1.9.5) (1.9.6)
las ecuaciones (1.9.1) y (1.9.2) se reducen a una sola ecuación compleja
r r r r r di s , r r di r dγ v s , r = R1 i s , r + L1d + L1D +j L1d i s , r + L1D i r , dt dt dt
(
)
(1.9.7)
la que, referida a coordenadas fijas al estator, toma la forma:
(
r r r r di s d i r e jγ v s = R s i s + Ls + Lsr dt dt
)
(1.9.8)
Por otra parte, las ecuaciones para el rotor (1.9.3) y 1.9.4) se reducen a:
(
)
r r r r d i s e − jγ di r , + Lrs v r = R r i r + Lr dt dt
10
Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, Cap. 8.
(1.9.9)
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-35 ___________________________________________________________________________
donde se han modificado convenientemente los índices de las resistencias e inductancias. En términos de los fasores espaciales la descripción de la máquina isotrópica simétrica se reduce a un par de circuitos acoplados inductivamente y la expresión para el momento electromagnético (1.8.16) toma correspondientemente la forma:
{
}
r r 3 T = − p Lrs ℑ i s∗ i r e jγ . 2
(1.9.10)
1.10 Excitación asimétrica y componentes simétricas
Si se hace abstracción de los campos de origen paramétrico, la alimentación simétrica impone en el entrehierro de la máquina un campo giratorio de amplitud constante que se desplaza con velocidad angular constante ω1/p. Este campo puede ser representado en el plano complejo por un fasor espacial que gira con velocidad sincrónica y cuyo extremo recorre una circunferencia. De aquí que suele hablarse de un campo giratorio circular. Considérese ahora la alimentación de la máquina con un sistema de tensiones asimétrico con las siguientes tensiones de fase:
v a = 2Va cos (ω1t + ϕ a )
(1.10.1)
v b = 2Vb cos (ω1t + ϕ b )
(1.10.2)
v c = 2Vc cos (ω1t + ϕ c )
(1.10.3)
Si se reemplazan estas expresiones en la correspondiente al fasor espacial:
r 2 v s = (v a + av b + a 2v c ) 3
(1.10.4)
se logra:
[(
)
(
)
r 2 vs = Va + aVb + a 2 Vc e jω1t + Va* + aVb* + a 2 Vc* e − jω1t 3 r v s = 2 V11e jω1t + 2 V12∗ e − jω1t 1 V11 = (Va + aVb + a 2 Vc ) donde11 3
11
]
(1.10.5) (1.10.6) (1.10.7)
Notación: en V11 y V12 el primer índice se refiere al devanado (1,2) y el segundo a la secuencia (1,2,0)
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-36 ___________________________________________________________________________
V12 =
y
(
1 Va + a 2 Vb + aVc 3
)
(1.10.8)
corresponden, respectivamente, a las componentes de secuencia positiva y de secuencia negativa de los valores efectivos complejos. Estas son distintas entre sí y no deben ser confundidas con las componentes simétricas de los valores instantáneos. De (1.10.6) se desprende que un sistema asimétrico puede ser considerado como una superposición de dos sistemas simétricos de secuencia invertida, cuyos respectivos fasores espaciales, que en general tendrán amplitudes distintas, giran en direcciones opuestas. El fasor suma es de amplitud variable y su extremo describe una elipse en el plano complejo, según ilustra la figura 1.10.1. De aquí nace la costumbre de hablar de campos giratorios elípticos al referirse a campos creados por sistemas asimétricos. Para los fasores espaciales de la corriente y del enlace de flujo del estator valen expresiones similares a (1.10.6).
r ∗ i 1 = 2 I11e jω1t + 2 I12 e − jω1t
(1.10.9)
r ψ 1 = 2 Ψ11e jω1t + 2 Ψ12∗ e − jω1t
(1.10.10)
Al reemplazar los fasores espaciales para la corriente (1.10.9) y para el enlace de flujo (1.10.10) en la expresión general para el momento (1.8.16)
{
r r 3 T = − pℑ i 1* ⋅ ψ 1 2
}
(1.8.16a)
r v1
se logra la siguiente expresión para el momento en términos de las componentes simétricas de los valores efectivos complejos
{
}
{
}
{
r v 1,1
}
r v 1,2
∗ T = −3 pℑ I11 Ψ11 + 3 pℑ Ψ12∗ I12 − 3 pℑ ( I12 Ψ11 − I11Ψ12 )e j 2ω1t . (1.10.11) Se aprecia que como consecuencia de la asimetría en la excitación aparece un torque medio frenante, el torque de secuencia negativa, y un torque oscilatorio cuya frecuencia es igual al doble de la frecuencia de la red. La componente oscilatoria se debe a la interacción de los campos de secuencia positiva y de Figura 1.10.1 secuencia negativa, es característica del Campo giratorio elíptico funcionamiento asimétrico y se traduce en como superposición de vibraciones mecánicas que se transmiten a través del dos campos circulares anclaje de la máquina a la fundación.
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-37 ___________________________________________________________________________
Si se consideran solamente las componentes del momento cuyo valor medio no es cero, se puede concebir al momento resultante como el momento producido por dos máquinas idénticas, acopladas mecánicamente y alimentadas respectivamente con un sistema de tensiones simétrico de secuencia positiva y un sistema de tensiones simétrico de secuencia negativa. Esta idea se usará al analizar el funcionamiento asimétrico de la máquina asincrónica y de la máquina sincrónica, oportunidad en que se incluirán las características constructivas de estas máquinas.
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-38 ___________________________________________________________________________ 1.11 Apéndice 1 Para la descripción analítica de la capa de corriente correspondiente a una ranura de ancho tangencial br, ubicada en el radio R, definida por la función discontinua de período 2π
iN a r ( x ) = br 0
para para
b br ≤ x ≤ 2π + r 2R 2R b b 2 π + r ≤ x ≤ 2π − r 2R 2R 2π −
cuyo origen (x=0) está en el centro de la ranura, se recurre convenientemente al desarrollo en series de Fourier en notación compleja:
a r (x ) =
+∞
∑C e
ν = −∞
jνx
ν
νb sen r 1 1 iN 1 iN 2R ar (x )e jνx dx = e jνx dx = con C ν = ∫ ∫ νbr 2π − π 2π br br 2π br − 2R 2R +
+π
br 2R
Al sustituir la relación de Euler queda:
νb sen r 1 iN 2R (cos (νx ) − j sen (νx )) , a r (x ) = ∑ ν br 2π br ν = −∞ 2R +∞
expresión que se reduce a
νb sen r 1 iN 1 iN 2R a r (x ) = + ∑ ν br 2π br π br ν =1 2R +∞
cos (νx ) ,
ya que en la sumatoria, para el mismo valor absoluto de ν, los términos con seno se anulan, mientras que los términos con coseno se duplican para ν ≥ 1 . Para ν=0 resulta el término constante. En el caso de ranuras infinitamente estrechas
lím C ν =
br →0
1 iN 2π br
Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio 1-39 ___________________________________________________________________________ y la expresión para la densidad lineal de corriente toma la forma de un impulso de Dirac con el desarrollo
a r (x ) =
1 iN 1 iN ∞ + ∑ cos (νx ) . 2π br π br ν =1
En este punto conviene recordar que un devanado siempre está formado por bobinas y que una bobina consta de dos lados, alojados en ranuras desplazadas relativamente en (π-α) y que la corriente en esas ranuras tiene sentido opuesto. En consecuencia, para un devanado los términos constantes se anulan siempre y es conveniente ignorarlos y definir
a(x ) =
1 iN ∞ ∑ cos (νx ) π br ν =1
y usar esta expresión para calcular la distribución de fmm correspondiente a una ranura x
f (x ) = R ∫ a(x )dx + f (0 ) 0
f (x ) =
iN ∞ sen (νx ) ∑ ν + f (0) . π ν =1
Con entrehierro constante esta fmm no puede producir flujo unipolar, por lo que
µ0 δ
2π
∫ f (x )dx = 0 , lo que implica que f(0)=0 y que 0
f (x ) =
iN ∞ sen (νx ) ∑ ν , π ν =1
lo que corresponde a una distribución de “diente de sierra”12. A esta última expresión se le da convenientemente la forma compleja
f (x ) = j
iN ±∞ e − jνx ∑ 2π ν = ±1 ν
que resulta más apropiada para una posterior aplicación del principio de superposición.
12
Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, Cap. 4.2
CAPÍTULO 2
2
LA MÁQUINA ASINCRÓNICA EN ESTADO ESTACIONARIO
2.1 Funcionamiento estacionario simétrico 2.1.1 Circuitos equivalentes por fase 2.1.2 Diagrama fasorial 2.1.3 Lugar geométrico de la corriente (Diagrama circular simplificado) 2.1.4 Torque y potencia
2-2 2-2 2-3 2-6 2-8 2-9
2.2 Funcionamiento estacionario asimétrico 2.2.1 Funcionamiento monofásico
2-11 2-13
2.3 El motor con rotor de doble jaula 2.3.1 Ecuaciones de equilibrio 2.3.2 El circuito equivalente 2.3.3 Torque y potencia
2-16 2-17 2-19 2-22
2.4
Calentamiento durante el arranque y maniobras
2-23
2.5 Apéndice 1: Relativo al Diagrama Circular Simplificado (α=0) 2.5.1 Potencia mecánica y Pérdidas del rotor en el diagrama circular
2-27 2-28
2.6 Apéndice 2: Lugar geométrico de la corriente del motor de doble jaula 2.6.1 Deslizamiento nulo 2.6.2 Deslizamiento distinto de cero 2.6.3 Momento y pérdidas
2-29 2-29 2-30 2-33
2.7
Apéndice 3: Relación entre torque y tamaño del motor
2-34
La máquina asincrónica en estado estacionario
2-2
2 La máquina asincrónica en estado estacionario 2.1
Funcionamiento estacionario simétrico
En condiciones normales de funcionamiento el devanado del estator de la máquina está conectada a una red trifásica simétrica de tensión con valor efectivo V1 y frecuencia angular ω1 y el devanado del rotor está cortocircuitado. Sea v a = 2V1 cos(ω1t )
v b = 2V1 cos(ω1t − 2π 3 )
(2.1.1)
v c = 2V1 cos(ω1t + 2π 3 ) El rotor gire con velocidad angular constante ω 1 dγ = ωm = (1 − s ) 1 , p dt p por lo que γ = (1 − s )ω1t , donde s es el deslizamiento del rotor respecto al campo giratorio.
(2.1.2)
(2.1.3)
Como la máquina es simétrica tanto en el estator como en el rotor, las excitaciones simétricas determinan que las corrientes en el devanado del estator también sean simétricas de frecuencia angular ω1 y que las en el devanado del rotor sean simétricas de frecuencia angular sω1. En consecuencia, los fasores espaciales para las tensiones y corrientes tienen la forma: jω t r v s = 2 V1e 1 jω t r i s = 2 I1e 1 j sω t v i r = 2 I2 e 1 .
(2.1.4) (2.1.5) (2.1.6)
Reemplazando ahora (2.1.3) a (2.1.6) en las ecuaciones de equilibrio (1.9.8) y (1.9.9) de la máquina:
r r r di s d r jγ v s = Rs i s + Ls + Lsr ( ir e ) dt dt r r di r d r −jγ 0 = Rr i r + Lr + Lrs ( i s e ) , dt dt
(2.1.7) (2.1.8)
2-3
La máquina asincrónica en estado estacionario
estas se reducen a las siguientes ecuaciones algebraicas complejas, con los índices s=1 y r=2:
V1 = R1I1 + jω1L1I1 + jω1L12I2 0 = R 2I 2 + jsω1L2I 2 + jsω1L21I1
(2.1.9) (2.1.10)
Estas ecuaciones describen completamente el funcionamiento estacionario de la máquina asincrónica. 2.1.1 Circuitos equivalentes por fase El significado de las relaciones analíticas se hace más transparente si estas se interpretan en términos de un circuito equivalente galvánico, análogo al del transformador. Para ello es necesario transformar las ecuaciones, ya que en (2.1.9) y (2.1.10) las frecuencias del estator y del rotor son diferentes y ambos circuitos también suelen diferir en el número de fases. En este sentido considérese la ampliación de las ecuaciones (2.1.9) y (2.1.10): V1 = R1I1 + jω1L1I1 + jω1L12I2 + jλω1L21I1 − jλω1L21I1 1 1 0 = R 2 I 2 + jsω1L2 I 2 + jsω1L21I1 + j sω1L12 I 2 − j sω1L12 I 2 λ λ
(2.1.11)
,
(2.1.12)
donde λ1 es un coeficiente arbitrario distinto de cero. Al agrupar convenientemente los términos quedan dos sumandos, el segundo de los cuales representa el efecto de una corriente ficticia, análoga a la corriente magnetizante del transformador: X V1 = [R1 + j ( X 1 − λX 21 )] I1 + jλX 21 I1 + 12 I 2 λX 21 R X 1 0 = 2 + j X 2 − X 12 I2 + jX 21 I1 + 12 I2 λ λX 21 s
(2.1.13)
.
X 12 1 m2 I2 = I2 , λX 21 λ m1 una corriente m1-fásica equivalente, se logran:
Definiendo ahora
[
I′2 =
(2.1.15)
]
(2.1.16)
V1 = R1 + j ( X 1 − λX 21 ) I1 + jλX 21 (I1 + I′2 )
1
(2.1.14)
Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía – Capítulo 3
2-4
La máquina asincrónica en estado estacionario
R 1 X 0 = 2 + j X 2 − X 12 λ2 21 I′2 + jλX 21 (I1 + I′2 ) . X 12 λ s
(2.1.17)
Estas dos ecuaciones son satisfechas por el circuito equivalente de dos mallas de la figura 2.1.1. X 1 − λX 21
I1 R1
V1
Im λX 21
I′2
X2 − R2 2 λ s
X 12 λ
2 X 21 λ X 12
X 21 X 12
Figura 2.1.1 Circuito equivalente correspondiente a las ecuaciones 2.1.16 y 2.1.17
Según se disponga del coeficiente arbitrario λ, se logran diferentes circuitos equivalentes, caracterizados por tener todos la misma impedancia de entrada. Si se opta por λ = N1 N2 , donde N1 y N2 representan los números de vueltas efectivos por fase del estator y del rotor respectivamente, se logra el circuito equivalente clásico, representado en la figura 2.1.2. I1
X σ1 R1
V1
X σ′ 2
Im X m1
I′2
R 2′ s
Figura 2.1.2 Circuito equivalente para λ=N1/N2
Aquí cada elemento representa un efecto físico en la máquina, ya que X σ1 = X 1 −
N1 X 21 = X 1 − X m1 N2
corresponde a la reactancia de dispersión del estator,
(2.1.18)
2-5
La máquina asincrónica en estado estacionario 2
2
X N m N N X σ2 ′ = X 2 − 1 X 12 21 1 = ( X 2 − X m 2 ) 1 1 m 2 N2 N2 X 12 N2 a la reactancia de dispersión del rotor referida al estator, 2
(2.1.19)
2
X N m N R2′ = R2 21 1 = R2 1 1 m 2 N2 X 12 N2 a la resistencia del rotor referida al estator y
(2.1.20)
N1 X 21 = X m1 N2 a la reactancia principal, asociada al flujo común, con lo que Xm =
(2.1.21)
V1 = [R1 + jX σ1 ] I1 + jX m1 (I1 + I′2 )
(2.1.22)
R′ 0 = 2 + jX σ′ 2 I′2 + jX m1 (I1 + I′2 ) s
.
(2.1.23)
La corriente I′2 debe interpretarse como valor efectivo complejo de una corriente trifásica equivalente que, circulando en el devanado del estator (m1=3), produce el mismo efecto magnético que la corriente I2 en el devanado m2-fásico del rotor. La suma Im = I1 + I′2 corresponde a la corriente magnetizante, una corriente ficticia que, al circular en el devanado del estator, produce el mismo campo en el entrehierro que las corrientes I1 e I2 en conjunto. Si en cambio se elige λ = X 1 X 21 se logra el circuito equivalente de la figura 2.1.3 y si se elige λ = X 12 X 2 , el de la figura 2.1.4, donde σ = 1−
X 12 X 21 X 1X 2
(2.1.24) I1
R1 V1
Im
X1
X1 I′2
σ 1− σ
R2 X 1 1 s X 2 1− σ
Figura 2.1.3 Circuito equivalente para λ=X1/X21
2-6
La máquina asincrónica en estado estacionario
es el coeficiente de dispersión total, parámetro de gran influencia sobre las características de funcionamiento de la máquina, cuyo valor numérico varía típicamente entre 0,03 y 0,11.
I1
σX 1 R1
V1
Im X 1 (1 − σ )
I′2
R2 X 1 (1 − σ) s X2
Figura 2.1.4 Circuito equivalente para λ=X12/X2 Si bien en estos circuitos equivalentes se pierde la relación con el circuito magnético (circuito electromagnético2), desapareciendo las nociones flujo de dispersión del estator, flujo común y flujo de dispersión del rotor, tienen la ventaja relativa que sus parámetros son determinables mediante mediciones en la máquina.
2.1.2 Diagrama fasorial Los fasores espaciales, representan entes geométricos invariantes bajo transformaciones de coordenadas. Así, en un sistema de referencia (coordenadas) sincrónico, común para las variables del estator y del rotor, los fasores espaciales (1.6.4) a (1.6.6) toman las formas r v 1g = 2 V1 r i 1g = 2 I1 v i 2 g = 2 I2 ,
(2.1.25) (2.1.26)
(2.1.27)
que destacan el isomorfismo entre los fasores espaciales y los fasores temporales. El desfasamiento en el tiempo entre dos corrientes se expresa como un desplazamiento espacial entre las correspondientes ondas de fmm, representadas por los respectivos fasores espaciales.
2
Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía – Capítulo 2
2-7
La máquina asincrónica en estado estacionario
Esta relación isomórfica implica que, salvo un factor de escala, el diagrama fasorial de las tensiones y corrientes, cuyas referencias positivas están indicadas en el circuito equivalente de la figura 2.1.2, representa también la relación entre los correspondientes fasores espaciales. Este punto de vista se ilustra en la figura 2.1.5, donde el diagrama fasorial está superpuesto a un corte transversal de la máquina en el cual también están indicadas esquemáticamente las distribuciones espaciales de fmm, cuyo eje magnético coincide con el respectivo fasor. I1 R1
Xσ1
V1
Xm1
Vm I2’
X’σ2 R’2/s Φm I’2
I1 FMM1 V’2 Vm
I
Onda de densidad lineal de corriente del estator
Onda de densidad lineal de corriente del rotor
I’2 FMM2
V1
Figura 2.1.5 Relativo al isomorfismo entre fasores temporales y fasores espaciales (C.S.)
Obviamente, el diagrama de los fasores temporales sólo vale para el estado sinusoidal estacionario simétrico. En cambio el diagrama de los fasores espaciales no está limitado a una función de excitación determinada, ya que su validez sólo está condicionada por la variación sinusoidal en el espacio de las fmms y de los flujos. La relación entre ambos tipos de magnitudes complejas enriquece el contenido informativo del diagrama fasorial y abre interesantes posibilidades para el control de la máquina asincrónica.
La máquina asincrónica en estado estacionario
2-8
2.1.3 Lugar geométrico de la corriente (Diagrama circular simplificado) Para visualizar adecuadamente la influencia del deslizamiento sobre el comportamiento estacionario de la máquina asincrónica se recurre convenientemente al lugar geométrico de la corriente del estator (equivalente al lugar geométrico de la admitancia de entrada). A partir del circuito equivalente de la figura 2.1.3 se establece que: V1 = (R1 + jX 1 )I1 + jX 1 I′2
(2.1.28)
R X 1 1 I′2 + jX 1 0 = jX 1 I1 + 2 1 1 − σ s X 2 1− σ
(2.1.29)
Para facilitar la evaluación de estas ecuaciones se introduce convenientemente los parámetros adimensionales α y β: R R α= 1 β= 2 (2.1.30) X1 X2 De esa manera queda: V1 = (α + j )I1 + j I′2 X1 0 = js (1 − σ )I1 + (β + js )I′2
(2.1.31) (2.1.32)
Para frecuencias industriales (50Hz) y máquinas no demasiado pequeñas (>10kW) se puede considerar en buena primera aproximación que α≈0 con lo que de (2.1.31) y (2.1.32) se obtiene la siguiente expresión para la corriente de fase del estator: 1 s V σ sM , (2.1.33) I1 = 1 s jX 1 1+ j sM β corresponde al deslizamiento para el cual el momento es máximo3. donde s M = σ 1+ j
Esta expresión puede rescribirse como: 1− V1 1 + σ 1 − σ I1 = − 2σ 1 + jX 1 2σ 3
s sM s j sM
j
1 + σ 1 − σ −2 j arctg s sM = I10 e − 2σ 2σ
Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía – Capítulo 8
(2.1.34)
2-9
La máquina asincrónica en estado estacionario
y su representación en el plano complejo corresponde a una circunferencia con centro en el eje imaginario negativo, como lo muestra la figura 2.1.6. ℜ
α=0
V1
1 s/sM 1/sM I1
ℑ
-I10(1-σ)/2σ e
-2j arctg(s/sM) ± ∞
I10
I10(1+σ)/2σ
I1∞ = I10/σ
-1
Figura 2.1.6 Lugar geométrico de la corriente como función del deslizamiento (diagrama circular)
Se aprecia que el coeficiente de dispersión total σ determina el diámetro de la circunferencia y a través de éste las características de funcionamiento como el factor de potencia nominal, el torque de arranque y el torque máximo. 2.1.4 Torque y potencia En estado estacionario la expresión general para el torque T =−
{
r r 3 pL12 ℑ i1* i 2 e j γ 2
}
(2.1.35)
toma la forma
{ }
T = −3 pL12 ℑ I1* I2 .
(2.1.36)
La máquina asincrónica en estado estacionario
2-10
Para la determinación de las corrientes se recurre convenientemente al circuito equivalente de la figura 2.1.3, obtenido con λ = X 1 X 21 , por lo que, de acuerdo con la relación (2.1.15), I2 = X 1 X 12 I′2 , se logra T=−
{ }
3p X 1ℑ I1* I′2 ω1
(2.1.37)
o, introduciendo la corriente magnetizante Im = I1 + I′2 , T=−
{ }
3p X 1ℑ I*m I′2 . ω1
(2.1.38)
Normalmente será admisible despreciar la resistencia del devanado del estator, por lo que Im = − jV1 X 1 y T=−
p Pcu 2 3p V1ℜ{I′2 } = , ω1 ω1 s
(2.1.39)
importante relación, que destaca la relación entre el torque electromagnético y las pérdidas en el rotor. Sin pérdidas en el rotor no hay momento electromagnético medio. V1 (1 − σ ) Reemplazando finalmente I′2 = − , con β = R2 X 2 , (2.1.40) X 1 (β s + jσ ) obtenida del circuito equivalente de la figura 2.1.3, en (2.1.39), se logra la expresión clásica para el torque en función del deslizamiento:
T=
2TM
,
sM s + s sM
donde s M =
β σ
(2.1.41)
(2.1.42)
es el deslizamiento para el cual el torque es máximo y TM =
3 p 1 − σ V12 2ω1 σ X 1
(2.1.43)
es el torque máximo. De la relación (2.1.39) se desprende que en el caso en que α = 0 el torque es proporcional a la parte real de –I’2, es decir, que queda representado en el diagrama circular simplificado por trazos paralelos al eje real acotados por el eje imaginario
2-11
La máquina asincrónica en estado estacionario
negativo (línea de momentos) y la circunferencia. Así en la figura 2.1.7 se pueden identificar los trazos correspondientes al torque de arranque (s=1), al torque máximo (s=sM) y al torque correspondiente a un deslizamiento en el rango de funcionamiento como motor. Para las referencias elegidas, la potencia y el torque son positivos en el semiplano superior. La secante que une los puntos sobre la circunferencia correspondientes a s=0 y s=1 se conoce como línea de potencia mecánica.4 ℜ
α=0
V1
1 Torque máximo s/sM 1/sM I1
Torque
Torque de arranque
Línea de Potencia mecánica
ℑ I10
Línea de momentos
± ∞ I 1 /σ
-1
Figura 2.1.7 Diagrama circular simplificado, representación del torque
2.2
Funcionamiento estacionario asimétrico
El empleo de máquinas asincrónicas en accionamientos también considera su capacidad de actuar como freno cuando las circunstancias lo exigen, lo que se logra alimentándolas en forma asimétrica. De acuerdo con los resultados obtenidos en el párrafo 1.10, un sistema trifásico asimétrico siempre puede ser descompuesto en dos sistemas simétricos de secuencia inversa y un sistema de secuencia cero. Esto llevó a reemplazar la máquina con alimentación asimétrica por dos máquinas idénticas, acopladas mecánicamente y alimentadas respectivamente con un sistema de tensiones simétrico de secuencia positiva y un sistema de tensiones simétrico de secuencia negativa, tal como se
4
Ver Apéndice
2-12
La máquina asincrónica en estado estacionario
muestra en la figura 2.2.1. Este modelo hace abstracción de los efectos causados por la interacción de los campos de secuencia positiva y de secuencia negativa.
2-s
s
T ω Va1=V11 Vb1=a2 V11 Vc1=a V11
a c b
a b c
Va2
Va1
Vc2
Vc1
Va2=V12 Vb2=a V12 Vc2=a2 V12
Vb2
Vb1
Figura 2.2.1 Las máquinas de secuencia. Aplicación del principio de superposición a la máquina asincrónica con carga asimétrica.
En la máquina de secuencia positiva el rotor gira con deslizamiento s respecto al campo giratorio. En cambio, en la máquina de secuencia negativa el campo impuesto por la alimentación de esa secuencia gira en sentido opuesto al sentido de giro del rotor, por lo que esa máquina se comporta como una máquina asincrónica funcionando como freno, con deslizamiento 2-s. Este punto de vista permite adaptar la expresión (2.1.41) al funcionamiento con alimentación asimétrica y anotar para el momento medio: 2
2
V V 2TM 2TM T (s ) = T1 (s ) + T2 (s ) = 11 − 12 V1n s M + s V1n s M + 2 − s s sM 2−s sM
(2.2.18)
donde TM corresponde al momento máximo (2.1.43) con tensión nominal. La relación entre los valores de fase de la corriente y de la tensión en los terminales de cada máquina de secuencia se conoce como su admitancia de secuencia y corresponde a la admitancia de entrada de los respectivos circuitos equivalentes. La elección del circuito equivalente de la figura 2.2.3 es especialmente conveniente si se puede despreciar el efecto de las pérdidas en el estator. A partir de las componentes simétricas de la tensión y de las admitancias de secuencia se determina las componentes simétricas de la corriente:
2-13
La máquina asincrónica en estado estacionario I11 = V11 Y1 (s ) I12 = V12 Y2 (s ) = V12 Y1 (2 − s ) ,
(2.2.19) (2.2.20)
con las que se calcula las corrientes de fase aplicando el principio de superposición. I12
I11 R1
X1
X1
V11
I’21
Figura 2.2.3
σ 1− σ
1 R 2′ s
R1
V12
X1 X1 I’22
σ 1− σ
R 2′
1 2−s
Circuitos equivalentes para las máquinas de secuencia positiva y de secuencia negativa
Ia = Ia1 + Ia 2 = I11 + I12
(2.2.21)
I b = I b1 + I b 2 = a I11 + aI12
(2.2.22)
Ic = Ic1 + Ic 2 = aI11 + a I12
(2.2.23)
2
2
La corriente en el rotor requiere de una consideración adicional, ya que la corriente de secuencia positiva I21 es de frecuencia sf1, mientras que la corriente de secuencia negativa I22 es de frecuencia (2-s)f1. En máquinas cuyo rotor está provisto de un devanado o de una jaula sin efectos notorios de desplazamiento de corriente la resistencia del rotor puede considerarse independiente de la frecuencia, lo que permite definir una corriente térmicamente equivalente, que produce las mismas pérdidas que la corriente compleja: 2 2 I 2 = I 21 + I 22
(2.2.24)
Como la admitancia de secuencia negativa es del orden de la admitancia de cortocircuito Y1(1), asimetrías relativamente pequeñas en la tensión de alimentación provocan corrientes de secuencia negativa de consideración, que cargan el devanado térmicamente y obligan a reducir la corriente de secuencia positiva y con ella a la potencia útil del motor.
2.2.1 Funcionamiento monofásico Con el objeto de aplicar los conceptos desarrollados en los párrafos anteriores relativos al funcionamiento con alimentación asimétrica, considérese ahora el funcionamiento de una máquina asincrónica trifásica, una de cuyas fases ha sido desconectada de la red.
2-14
La máquina asincrónica en estado estacionario
Según se puede apreciar en el esquema de la figura 2.2.4, la desconexión de la fase a impone las siguientes restricciones sobre las variables de terminales: V Ia Ib
Vc
I1 =
1 3
(I
I2 =
1 3
(I
a
(I a
(2.2.26)
Vb − Vc = V
(2.2.27)
+ Ib + Ic ) = 0
(2.2.28)
)
a − a2 Ib 3
(2.2.29)
)
a2 − a Ib = −I1 , 3
(2.2.30)
+ a I b + a 2 Ic =
+ a 2 I b + a Ic =
a
I b + Ic = 0
Las restricciones sobre las corrientes de fase implican restricciones sobre las corrientes de secuencia:
Figura 2.2.4 Conexión monofásica 1 3
(2.2.25)
Ic
Vb
I0 =
Ia = 0
I11 R1
X1
σ 1− σ
R 2′
1 s
X1
V11
I’21
j V 3 X1 X1
V12 R1
I’22
σ 1− σ
1 R 2′ 2−s
I12
Figura 2.2.5 Interpretación de la conexión monofásica en términos de las variables de secuencia
es decir, la cero de la componente igual al valor positiva.
componente de secuencia corriente es nula y la de secuencia negativa es negativo de la componente
La restricción sobre las tensiones de fase (2.2.27) implica la siguiente restricción sobre las tensiones de secuencia:
(a V 2
1
) (
)
+ a V2 − aV1 + a 2 V2 = V
V1 − V2 =
j V 3
(2.2.31)
Las restricciones sobre las componentes de secuencia (2.2.30) y (2.2.31) equivalen a la interconexión serie de las dos mallas de secuencia, como se ilustra en la figura 2.2.5. Esta
representación
recoge
la
2-15
La máquina asincrónica en estado estacionario
interpretación de la fmm alterna del estator como superposición de dos fmms giratorias iguales que giran en sentidos opuestos y la de la tensión alterna como tensión inducida por dos campos giratorios. Estos campos sólo tienen la misma amplitud si el rotor está detenido (s=1), ya que solamente en esa condición la corriente de secuencia positiva y la de secuencia negativa en el rotor son iguales. Del circuito equivalente de la figura 2.2.5 se obtienen las corrientes de secuencia I1 =
jV
1 = −I 2 3 Z 1 (s) + Z 2 (s)
(2.2.32)
y a partir de ellas la corriente de fase Ib = a 2I1 + a I2 =
V V = . Z 1 (s ) + Z 2 (s ) Z 1 (s ) + Z 1 (2 − s )
(2.2.33)
Las tensiones de secuencia se determinan como V1 (s ) =
Z 1 (s ) jV 3 Z 1 (s ) + Z 2 (s )
V2 (s ) = −
y
Z 2 (s ) jV . 3 Z 1 (s ) + Z 2 (s )
(2.2.34)
La tensión en la fase abierta Va = V1 + V2 varía entre Va (1) ≈ 0 , cuando el rotor está V , en la cercanía del sincronismo, donde el campo de detenido, y Va (0 ) ≈ j 3 secuencia negativa resulta muy atenuado por las corrientes de secuencia negativa del rotor, por lo que el campo resultante es aproximadamente igual al campo de secuencia positiva con alimentación simétrica. La atenuación se manifiesta en el circuito equivalente a través de la disminución de la impedancia de secuencia negativa. El torque medio se calcula a partir de (2.2.18) con determinadas en (2.2.34) 2
las
tensiones
de
secuencia
2
V V 2TM 2TM T (s ) = T1 (s ) + T2 (s ) = 11 − 12 s s 2−s M V1n M + s V1n + s sM sM 2−s Z1 T (s ) = Z1 + Z 2
2
2TM
Z2 − sM s Z1 + Z 2 + s sM
2
2TM . sM 2−s + 2−s sM
(2.2.35)
La máquina asincrónica en estado estacionario
2-16
Los factores de ponderación del momento de secuencia positiva y del momento de secuencia negativa no son constantes, sino que, a través de las impedancias de secuencia, son funciones del deslizamiento. Para s=1, Z1=Z2 y el momento resultante es nulo. La máquina monofásica no desarrolla momento de arranque. Para s≈0, Z1>>Z2, por lo que rige aproximadamente
Z1 T (s ) ≈ Z1 + Z 2
2
2TM
(2.2.36) sM s + s sM Al abrirse una fase del motor en funcionamiento, éste se mantiene girando con un deslizamiento mayor.
2.3
El motor con rotor de doble jaula
En motores pequeños las pérdidas en el rotor de jaula simple son suficientemente elevadas para garantizar un momento de arranque adecuado. Pero si se intentase usar el mismo diseño para motores de potencia mayor, se encontraría que el momento de arranque relativo disminuye substancialmente y que podría ser menor que el momento nominal. Para explicar la incapacidad intrínseca del motor con rotor de jaula simple de desarrollar un momento adecuado en el rango de las potencias mayores, considérese una serie de máquinas geométricamente semejantes – todas sus dimensiones varían proporcionalmente – caracterizada por mantener la inducción B y la densidad de corriente j constantes. Un motor de esta serie, cuyas dimensiones lineales sean x veces la de un motor de referencia, tiene secciones (áreas) que son x2 veces las del motor de referencia. Por lo tanto, con B y j constantes, el flujo Φ y la corriente I también crecen x2 veces. El momento, proporcional al producto Φ⋅Ι, crece x4 veces y con él la potencia del campo giratorio, ya que la velocidad sincrónica permanece constante. En cambio, el peso del material activo, y por lo tanto las pérdidas, crece sólo con x3, lo que implica que para máquinas mayores el rendimiento a plena carga mejora relativamente. Para el deslizamiento nominal vale sn =
Pcu 2n 1 x3 ∝ 4 ∝ , PCG x x
(2.3.1)
2-17
La máquina asincrónica en estado estacionario
apreciándose que varía inversamente con x. Máquinas grandes tienden a tener naturalmente deslizamientos nominales pequeños. El momento de arranque relativo vale Ta m2 R2a I 22a R2a I 2a = = Tn R2 I 2n I 22n m2 R 2 sn
2
s n
(2.3.2)
y, postulando la constancia de la corriente de arranque relativa, es proporcional a sn y por lo tanto es inversamente proporcional a x. El bajo momento de arranque relativo de motores grandes puede ser corregido con pérdidas adicionales durante el arranque. Ese es el sentido de las resistencias externas en el caso del motor de anillos rozantes. Para el motor con rotor de jaula la solución está en pérdidas adicionales que varíen con la frecuencia de las corrientes inducidas en el rotor. Así, un momento de arranque elevado no implica la disminución del rendimiento en condición de funcionamiento nominal. Este efecto se logra mediante una segunda jaula (interior), desplazada radialmente respecto a la primera (exterior). Mientras que la jaula exterior posee una resistencia relativamente elevada, la jaula interior, de resistencia mucho menor, posee una inductancia de dispersión más elevada que la jaula exterior.
Φ1
1
Φσ1 Φ12
Φa
a
Φσab Φσb
Φb
La jaula superior, próxima al entrehierro, y la jaula inferior suelen estar provistas de anillos de cortocircuito independientes para evitar esfuerzos mecánicos debidos a sus diferentes deformaciones térmicas. Sólo los rotores con jaulas fundidas en aluminio tienen anillos de cortocircuito comunes.
b
Figura 2.3.1 Esquema de acoplamiento inductivo del motor de doble jaula
2.3.1 Ecuaciones de equilibrio La figura 2.3.1 ilustra mediante un corte esquemático la disposición de las barras de un rotor de doble jaula, junto con un esquema de acoplamiento inductivo que destaca los flujos que enlazan los diferentes circuitos del estator y del rotor. Para estos circuitos: el estator (1), la
2-18
La máquina asincrónica en estado estacionario
jaula superior o exterior (a) y la jaula inferior o interior (b) se pueden plantear directamente las ecuaciones de equilibrio estacionario por fase en términos de las reactancias propias y mutuas de campo giratorio asociadas a estos devanados. Las jaulas se consideran como devanados equivalentes de m2 fases.5 V1 = (R1 + jX1 ) I1 + jX12Ia + jX12Ib
(estator)
(2.3.3)
0 = (Rb + jsX b ) Ib + jsX 21I1 + jsX abIa
(jaula a) (jaula b)
(2.3.4) (2.3.5)
0 = (Ra + jsX a ) Ia + jsX 21I1 + jsX abIb
donde X1, Xa y Xb son las reactancias propias de campo giratorio que incluyen las correspondientes reactancias de dispersión y X12, X21 y Xab son las inductancias mutuas de campo giratorio. Las resistencias Ra y Rb incluyen los correspondientes segmentos de anillo. Si se explicita los flujos de dispersión se tiene que X a = X ab + X σa
y
X b = X ab + X σb
(2.3.6)
y reemplazando estas relaciones en (2.3.4) y (2.3.5) se establece que Ia (Ra + jsX σa ) = Ib (Rb + jsX σb )
(2.3.7)
de donde se desprende que Ia Rb + jsX σb = Ib Ra + jsX σa
(2.3.8)
es decir, que las corrientes se distribuyen entre las dos jaulas como si estas estuviesen conectadas galvánicamente en paralelo. Por otra parte, las pérdidas en dos resistencias conectadas en paralelo están dadas por P = I a2 Ra + I b2 Rb
con la restricción
(2.3.9)
Ia + I b = I .
Para determinar la condición para la cual esas pérdidas son mínimas se iguala a cero la derivada según Ia de (2.3.9):
5
Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía – Capítulo 8
La máquina asincrónica en estado estacionario
[
]
dP d 2 2 = I a Ra + (I − I a ) Rb = 2I a Ra − 2(I − I a )Rb = 0 123 dI a dI a
2-19
(2.3.10)
Ib
y se establece que para IaRa = IbRb las pérdidas son mínimas. En consecuencia, cualquier distribución de las corrientes diferente a la inversamente proporcional a las respectivas resistencias tiene como consecuencia un aumento de las pérdidas. De la relación (2.3.8) se desprende que en vacío (s=0) la distribución de las corrientes entre las dos jaulas es tal que las pérdidas en el rotor son mínimas. También se aprecia en esa relación que la distribución de corrientes correspondiente a pérdidas mínimas es alterada durante la partida ( s ≠ 0 ) por los flujos (reactancias) de dispersión. Considerando que X σa << X σb , las pérdidas en el rotor aumentan básicamente por la existencia del flujo de dispersión de la jaula inferior, cuyo asiento es la ranura que separa las jaulas inferior y superior. Este flujo de dispersión y las resistencias de las barras de las dos jaulas le dan al motor de doble jaula sus características de arranque específicas. 2.3.2 El circuito equivalente Con el objetivo de obtener el circuito equivalente por fase del motor de doble jaula es necesario rescribir las ecuaciones (2.3.3) a (2.3.5) introduciendo explícitamente los flujos de dispersión definidos en el esquema de acoplamiento inductivo de la figura 2.3.1 y la corriente magnetizante. Así la ecuación (2.3.3) toma sucesivamente las siguientes formas: V1 = R1 I1 + j ( X m1 + X σ1 ) I1 + jX12 (Ia + Ib )
X X V1 = (R1 + jX σ1 ) I1 + jX m1 I1 + 12 Ia + 12 Ib = (R1 + jX σ1 ) I1 + jX m1 Im . X m1 X m1 12 3 12 3 I′a I′b Análogamente las ecuaciones (2.3.4) y (2.3.5) se transforman en X R 0 = a + jX σa Ia + jX m1 21 I1 + j ( X σab + X m 2 )(Ia + Ib ) X m1 s 2 X m2 1 R X m1 (I′a + I′b ) 0 = a + jX σa I′a + jX m1( I1 + I′a + I′b ) + jX σab X12 X 21 s X12 X 21 X X R 0 = a + jX σa m1 I′a + jX m1 ( I1 + I′a + I′b ) + jX σab m1 (I′a + I′b ) X m2 X m2 s
(2.3.11)
2-20
La máquina asincrónica en estado estacionario R′ 0 = a + jX σ′ a I′a + jX m1 ( I1 + I′a + I′b ) + jX σ′ ab (I′a + I′b ) s y R′ 0 = b + jX σ′ b I′b + jX m1( I1 + I′a + I′b ) + jX σ′ ab (I′a + I′b ) , s donde se consideró que X m1 X m 2 = X 21 X 12 y se introdujeron las corrientes trifásicas equivalentes I’a e I’b.
(2.3.12)
(2.3.13) (2.3.14)
Las ecuaciones (2.3.11), (2.3.12) y (2.3.13) satisfacen el circuito equivalente de la figura 2.3.2, el que permite la determinación convencional de las corrientes y del momento. Al considerar que X σa << X σb también I’b I1 se visualiza la distribución de X’σab X’σb corrientes entre las dos jaulas en la R’b/s Xσ1 R1 partida (s=1) anticipada en (2.3.8) y I’a X’σa comentada más arriba. V1 Xm1 R’a/s
Figura 2.3.2 Circuito equivalente por fase de la máquina de doble jaula
Ra′ s Z′2 (s ) = Ra′
Para facilitar la comparación con el motor de jaula simple es conveniente reducir las dos ramas del rotor del circuito equivalente a una sola rama. Despreciando Xσa en relación con Ra se logra
Rb′ + jX σ′ b = R2′ (s ) + j X ′ (s ) s σad + Rb′ s + j X σ′ b s
(2.3.15)
con R2′ (s ) =
X σ′ b Ra′ Rb′ + s 2 Ra′ Ra′ + Rb′ Ra′ + Rb′ X σ′ b 1 + s 2 Ra′ + Rb′
2
2
2
y
X σ′ b X σ′ b Ra′ + Rb′ X σ′ ad (s ) = 2 X σ′ b 2 1 + s Ra′ + Rb′
(2.3.16)
En contraste con el motor de jaula simple, en el circuito del rotor aparece ahora una resistencia dependiente del deslizamiento y una reactancia de dispersión también dependiente del deslizamiento. Cuando el deslizamiento varía entre cero e infinito, la resistencia y la reactancia dependiente del deslizamiento varían respectivamente entre
2-21
La máquina asincrónica en estado estacionario
R2′ (0 ) = lim R2′ (s ) = s →0
Ra′ Rb′ Ra′ + Rb′
Ra′ X σ′ ad (0 ) = lím X σ′ ad (s ) = X σ′ b s →0 Ra′ + Rb′
I1
y
R 2′ (∞ ) = lim R2′ (s ) = Ra′
(2.3.17)
y
X σ′ ad (∞ ) = lím X σ′ ad (s ) = 0 .
(2.3.18)
s →∞
2
s →∞
X σ1 R1
X σ′ ad (s ) + X σ′ ab
Im
V1
X m1
I′2
R 2′ (s ) s
Figura 2.3.3 Circuito equivalente reducido
5
4 3.5
2.5
( 0
I1(1)
2 1.5 V1
s=0,23
0.5 0
(2.3.19)
lo que resulta en un mayor aumento de la temperatura y de la consiguiente dilatación térmica para las barras de la jaula superior. Esta situación es menos problemática en el caso de la jaula de aluminio fundido, donde la unión metálica entre las jaulas permite la difusión del calor hacia la jaula inferior.
Lugar geométrico de la corriente del estator (pu) con s como parámetro.
3
0
Durante la partida las pérdidas y el consiguiente calor de arranque se producen principalmente en la jaula superior, según se aprecia al considerar (3.2.8), Pcua I a2 Ra s 2 X σ2b = ≈ , Pcub I b2 Rb Ra Rb
4.5
1
Se aprecia que el aumento de la resistencia (pérdidas) durante la partida tiene como contrapartida un aumento de la reactancia de dispersión del rotor para funcionamiento nominal. Este hecho se refleja en una disminución del momento máximo y del factor de potencia nominal.
1
2
3
4
5
Figura 2.3.4 Lugar geométrico de la corriente del estator de un motor de doble jaula
Del circuito equivalente de la figura 2.3.3 se obtiene una expresión analítica para la corriente del estator. En la figura 2.3.4 está representada la evaluación numérica de esa expresión en forma gráfica. Se aprecia que para deslizamientos pequeños el lugar geométrico de la
2-22
La máquina asincrónica en estado estacionario
corriente (admitancia) tiende al de un motor de jaula simple (jaula interior), una circunferencia cuyo diámetro es menor que el que tendría la circunferencia correspondiente al motor de jaula simple (jaula exterior), ya que está limitado por Xσad.
2.5
2 Torque [pu] 1.5
1
Ta
Tmín
Tmáx
0.5
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 (1-s)
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 2.3.5 Característica Torque / Velocidad de un motor de doble jaula Como en ausencia de pérdidas en el estator la potencia del campo giratorio, y por lo tanto el torque, es proporcional a la componente activa de la corriente, también se aprecia del diagrama de corrientes que con una adecuada elección de los parámetros es posible obtener torques de partida incluso superiores al torque máximo de una máquina de jaula simple .
2.3.3 Torque y potencia La doble jaula se utiliza en motores cuyo rango de potencias va de pocas decenas a muchas centenas de kW. Para motores de ese tamaño las pérdidas en el estator no influyen significativamente en las características de funcionamiento, por lo que es admisible suponer R1=0. En condiciones estacionarias se tiene que6 6
Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía – Capítulo 8
La máquina asincrónica en estado estacionario
{ }
PCG1 = 3ℜ V1 I1∗ = y que T =3
ω1 T p
2-23
(2.3.20)
ω1 ℜ V1 I1∗ . p
{ }
(2.3.21)
La evaluación numérica de esta relación para un motor de tamaño intermedio, representada en la figura 2.3.5, permite apreciar los aspectos más significativos de la característica del torque como función de la velocidad de un motor de doble jaula. Se puede apreciar que el mecanismo utilizado para aumentar las pérdidas en el rotor durante el arranque es muy eficaz y permite obtener cualquier momento de arranque Ta, incluso momentos superiores a Tmáx. Este último disminuye en comparación con los valores habituales para motores de jaula simple, debido al alto valor de la reactancia de dispersión de la jaula interior. Por exigencia de la norma, Tmáx no debe ser inferior a 1,6pu. Una característica peculiar del motor de doble jaula es la disminución inicial del momento a medida que aumenta la velocidad. En motores muy grandes Tmín puede bajar a valores menores de 1pu, con lo que estos no podrían alcanzar la velocidad nominal con el momento nominal aplicado al eje.
2.4
Calentamiento durante el arranque y maniobras
Durante el funcionamiento asincrónico rige la ley de la división de la potencia del campo giratorio en potencia mecánica y potencia transferida inductivamente al rotor: PCG1 = Pmec + Pcu 2
(2.4.1)
donde y
(2.4.2) (2.4.3)
Pmec = (1 − s ) PCG1 Pcu 2 = s PCG1
El torque acelerante es igual a la diferencia entre el torque desarrollado por el motor y el torque requerido por la carga J
dω m = Te − Tc dt
(2.4.4)
Al considerar que
ωm = (1 − s )
se tiene que
−J
ω1 p
ω1 ds = Te − Tc , p dt
(2.4.5) (2.4.6)
relación que permite calcular el tiempo de maniobra, es decir, el tiempo que demora el motor conectado a una red de frecuencia angular ω1 para alcanzar un deslizamiento final sf a partir de un deslizamiento inicial si, como
2-24
La máquina asincrónica en estado estacionario s
Jω1 i ds tm = ∫ p sf (Te − Tc )
(2.4.7) 1
y , en particular, el tiempo de arranque
t a = 2H ∫ 0
con
Tn =
y
H=
pS n ω1
Jω12 2p 2 S n
Tn ds (Te − Tc )
(2.4.8)
torque nominal
(2.4.9)
constante de inercia
(2.4.10)
La constante de inercia es igual a la mitad del tiempo, en segundos, necesario para que el motor arranque hasta la velocidad sincrónica bajo el efecto de un momento acelerante constante e igual al momento nominal. La cantidad de energía transferida al rotor durante una maniobra se calcula como tf
tf
ti
ti
Q2 = ∫ Pcu 2 dt = ∫ s PCG1dt .
(2.4.11)
Al considerar la relación entre potencia del campo giratorio y el torque electromagnético y la expresión (2.4.6) se tiene que t
Q2 =
Jω ds ω1 f dt s Tc − 1 ∫ p ti p dt t
ω f ω Q2 = 1 ∫ sTc dt + J 1 p ti p
(2.4.12)
2 si
∫ s ds
(2.4.13)
sf
dt = −
de donde, al reemplazar de (2.4.6) si
Jω1 ds p(Te − Tc )
s Tc ω Q2 = 2Wc ∫ ds + J 1 (Te − Tc ) p sf
se logra finalmente
(2.4.14)
2 si
∫ s ds ,
(2.4.15)
sf
Se aprecia que durante un arranque en vacío (Tc=0, si=1, sf=0) se transfiere al rotor una cantidad de calor igual a la energía cinética de la masa rotante a velocidad sincrónica. Q20
1 ω = Wc = J 1 2 p
2
(2.4.16)
2-25
La máquina asincrónica en estado estacionario
En cambio una inversión de marcha en vacío (Tc=0, si=2, sf=0) implica un calentamiento Q2inv=4Q20 y un frenado de contracorriente (Tc=0, si=2, sf=1) produce un calentamiento Q2fcc=3Q20. El calentamiento es directamente proporcional al momento de inercia de la masa acelerada. Por lo corto del tiempo de arranque, se puede considerar que se trata de un proceso esencialmente adiabático, es decir, se puede considerar que no hay transferencia de calor desde las barras de la jaula al fierro que las rodea. De (2.4.15) se desprende que en presencia de torque de carga (Tc ≠ 0) el calentamiento del motor aumenta y se hace dependiente del torque acelerante. Así, con Te = 2Tc, es decir, con el torque de la carga igual a la mitad del torque (medio) del motor, el calentamiento del rotor aumenta al doble en relación con el que se produce durante un arranque en vacío. Este aspecto debe ser considerado cuando se opta por un arranque con tensión reducida, ya que el torque del motor disminuye cuadráticamente con la tensión aplicada a sus terminales. Más que en la energía suministrada al rotor, el riesgo térmico se refleja en el aumento de la temperatura en las barras de la jaula. Suponiendo el peor caso, en el que no se produce una difusión significativa del calor al fierro (calentamiento adiabático), el aumento de temperatura al final del proceso de arranque está dado por ∆T =
Q2 m2 c 2
(2.4.17)
donde m2 es la masa de la jaula y c2 el calor específico del material (habitualmente bronce). Aluminio
Acero fundido
Cobre electrolítico
Bronce
c
0,884
0,460
0,385
0,375
kWs kg K
α
23,9
11-13
16,9
18,7
10-6 K-1
Como el aumento de temperatura, en consideración a la dilatación térmica lineal ∆l=αl∆T y a los esfuerzos mecánicos asociados, no debe superar un límite dado, el número de arranques por hora también está limitado y para motores grandes es usualmente indicado por el fabricante del motor. Se puede hacer una estimación razonable del número de partidas por hora (Nph) admisibles si se considera que el calor desarrollado durante los arranques no debe
La máquina asincrónica en estado estacionario
2-26
superar el calor nominal, que es el que la máquina disipa en régimen estacionario sin sobrepasar las temperaturas admisibles. Si Q2n = Pcu 2n 3600 [J / h ] es el calor que la máquina disipa en condiciones nominales durante una hora y Q2 es el calor que se disipa durante cada partida, se tiene que el número de partidas por hora no debería superar Nph =
Pcu2n 3600 . Q2
(2.4.18)
Además del calentamiento del rotor, debe considerarse el calentamiento del devanado del estator por sus efectos sobre las características dieléctricas de los materiales aislantes. Durante la partida de motores asincrónicos de jaula simple (sin efecto de desplazamiento de corriente), conectados a una red de tensión y frecuencia nominal, se disipa en el devanado del estator una cantidad de calor aproximadamente igual a la que se disipa en el rotor, ya que durante el arranque I1 ≅ I2’ y R1 es del orden de R2’. Para condiciones de arranque particularmente difíciles (elevado momento, gran inercia) se emplean motores con rotor devanado, para los cuales el calor de arranque se disipa principalmente en la resistencia externa, con lo que, de paso, también disminuye el calentamiento del devanado del estator, o, alternativamente, se alimenta el motor a través de un convertidor de frecuencia, aumentando esta paulatinamente desde cero a su valor nominal, con lo que desaparece el calor de arranque y sus consecuencias.
2-27
La máquina asincrónica en estado estacionario
2.5
Apéndice 1: Relativo al Diagrama Circular Simplificado (α=0)
Para facilitar la parametrización de la circunferencia considérese las relaciones de la figura 1, donde se puede apreciar que los triángulos P∞AB y P∞B1A1 son semejantes. En consecuencia rige la relación: P∞ A P B = ∞ P∞ B1 P∞ A1 A1 de la cual se desprende que
A
P∞ A =
1 P∞ B . P∞ A 1 P∞ B1
P∞ B1
B
El término entre paréntesis es una constante, por lo que la circunferencia es el lugar geométrico de los valores recíprocos de los rayos de P∞ a la recta normal al diámetro principal. Si la recta está parametrizada linealmente con el parámetro p, entonces al punto A sobre la circunferencia está asociado el mismo valor del parámetro que al punto A1 sobre la recta. El punto P∞ sobre la circunferencia corresponde a p=±∞.
p=0 p=0
figura 1
En consecuencia, si se conoce el punto P∞ y los valores del parámetro p correspondientes a dos puntos sobre la circunferencia, estos se pueden proyectar sobre una recta auxiliar (paramétrica), la que se divide linealmente de acuerdo con el parámetro p, puntos que luego se proyectan sobre la circunferencia mediante rayos desde P∞. En el caso de la máquina 1 sM asincrónica normalmente se conoce I1(0) e I1(1) con las que se parametriza la recta de 0,5 deslizamiento. 1 I1
s
sM s
I10
0
0
-0,5
-sM
± ∞
El deslizamiento s que corresponde a un punto cualquiera sobre la circunferencia lo determina la intersección de la recta de deslizamiento con un rayo desde ±∞ a ese punto (líneas segmentadas).
2-28
La máquina asincrónica en estado estacionario 2.5.1 Potencia mecánica y Pérdidas del rotor en el diagrama circular 1
Con α=0 se tiene el diagrama circular de la figura adjunta.
P s
0,5 I1
Sea ci [A/cm] el factor de escala para las corrientes. Entonces la potencia absorbida
P1
I'2 B P0
I10
I'2cc
s
C
0
P1=3V1I1cosϕ1= 3V1ci PC =cp PC C1
P∞
es proporcional al trazo PC . -0,5
Por otra parte las pérdidas de cobre en el rotor están dadas por la relación
PCu 2 = 3R 2′ I 2′ 2 2
P0 P =
Del diagrama se tiene que
I 2′ 2 c i2
y
2
P0 P1 =
2 I 2′ cc
c i2
En virtud del Teorema de Euclides rige: 2
P0 P = P0C ⋅ P0 P∞ pero
P0C BC = , P0C1 P1C1
y
2
P0 P1 = P0C1 ⋅ P0 P∞ ,
por lo que
Pcu 2 PP PC I 2′ 2 BC = 2 = 0 = 0 = Pcu 2cc I 2′ cc P0 P1 P0C1 P1C1 y como Pcu 2cc = c p P1C1 ,
se concluye que
Pcu 2 = c p BC .
La potencia mecánica está dada por
Pmec = PCG1 − Pcu 2 = P1 − Pcu 2 = c p (PC − BC ) = c p PB y está representada por el trazo entre la circunferencia y la recta P0 P1 , denominada línea de potencia mecánica
La máquina asincrónica en estado estacionario
2.6
2-29
Apéndice 2: Lugar geométrico de la corriente del motor de doble jaula
Para destacar las características propias del motor de doble jaula se supondrá que R1=0 y que Rb<
>Rb, se puede suponer que la corriente sólo circula por la jaula inferior, es decir, Ia=0, con lo que el problema se reduce al de una máquina con jaula simple con dispersión de ranura elevada. Para poder interpretar los resultados en forma de lugares geométricos de las corrientes (diagramas circulares) se parte convenientemente de las ecuaciones (2.3.3) y (2.3.5), que debidamente adaptadas toman las formas:
V1 = jX 1 I1 + jX 12 I b
(2.6.1)
0 = (R b + jsX b )I b + jsX 21 I1 ,
(2.6.2)
de las que se despeja
R V1 b + jX b s (2.6.3) I1 = Rb jX 1 + X 21 X 12 − X 1 X b s e − jV1 X 21 (2.6.4) Ib = ≈ I2 . Rb jX 1 + X 21 X 12 − X 1 X b s Si por un momento se hace abstracción de la restricción inicial s → 0 , se tiene que el lugar geométrico de I1(s) e I’b=X12/X1Ib(s) es una circunferencia con centro en el eje imaginario negativo, la circunferencia sincrónica. De (2.6.3) y (2.6.4) se logra respectivamente
I1 (0 ) = − j
V1 X1
,
I1 (∞ ) = − j
X b V1 X 1 X b − X 12 X 21
(2.6.5)
2-30
La máquina asincrónica en estado estacionario
I′b (0 ) = 0
,
I′b (∞ ) = j
V1 X 12 X 21 ( X 1 X b − X 12 X 21 ) X 1
(2.6.6)
con lo que puede dibujarse la circunferencia de la figura 2.6.1 Para parametrizar la circunferencia se requiere ubicar sobre ella el punto correspondiente a s=1.
I1 (1) R
b →0
= lim
R b →0
V1 (R b + jX b ) V1 X b = −j = I1 (∞ ) jX 1R b + X 12 X 21 − X 1 X b X 1 X b − X 12 X 21
Se puede apreciar que para R b → 0 el punto correspondiente a s=1 se confunde con el punto correspondiente a s = ∞ , con lo que la recta de deslizamiento degenera en un punto, recorriendo los fasores I1 e I’b toda la circunferencia, salvo un punto, con deslizamiento cero.
V1
I1 I’b I1(0)
(2.6.7)
s≠0
I1(∞)
Figura 2.6.1 Lugar geométrico de la corriente para s=0
Con R b → 0 se está frente a una jaula supraconductiva para la cual rige el principio del enlace de flujo constante. Para que el flujo enlazado por la jaula pueda permanecer constante, la corriente Ib debe variar en magnitud y fase a medida que el eje magnético del rotor es desplazado respecto al eje magnético del campo giratorio del estator por el torque aplicado al eje de la máquina.
2.6.2 Deslizamiento distinto de cero Considérese ahora la situación en que s ≠ 0 . Ahora la distribución de las corrientes está determinada principalmente por las reactancias y no se comete un error muy significativo si en primera aproximación se desprecia la caída de tensión en la resistencia Rb de la jaula inferior frente a las tensiones inducidas en ella por los campos giratorios. De manera que las ecuaciones (2.3.3) a (2.3.5) pueden rescribirse como:
V1 = jX 1I1 + jX 12 (Ia + I b )
0 = R a Ia + jsX 21I1 + jsX ab (Ia + I b )
0 = jsX σb I b + jsX 21I1 + jsX ab (Ia + I b )
(2.6.8) (2.6.9) (2.6.10)
2-31
La máquina asincrónica en estado estacionario
Si se multiplica (2.6.9) por jsXσb y (2.6.10) por Ra y se efectúa la suma resulta 0 = X 21 (R a + jsX σb )I1 + (R a X b + jsX ab X σb )(Ia + I b ) De (2.6.8) se tiene que X V I1 + 12 (Ia + I b ) = − j 1 = I10 1 4 2 4 3 X1 X1 I'2 De esta ecuación y de (2.5.11) se despeja I1 =
(2.6.11)
(2.6.12)
− j (R a X b + jsX σb X ab ) V1 R a ( X 1 X b − X 12 X 21 ) + jsX σb ( X 1 X ab − X 12 X 21 )
(2.6.13)
e I′2 =
X 12 X1
jX 21 (R a + jsX σb ) V1 R a ( X 1 X b − X 12 X 21 ) + jsX σb ( X 1 X ab − X 12 X 21 )
(2.6.14)
Nuevamente el lugar geométrico de I1 e I’2 es una circunferencia con centro en el eje imaginario, la circunferencia de arranque. En particular se tiene para los puntos extremos del diámetro están determinados por: I1 (0 ) =
− jX b V1 ( X 1 X b − X 12 X 21 )
,
I1 (∞ ) =
− jX ab V1 ( X 1 X ab − X 12 X 21 )
(2.6.15)
X 12 jX 21 V1 X 1 ( X 1 X ab − X 12 X 21 )
,
I′2 (∞ ) =
X 12 jX 21 V1 X 1 ( X 1 X ab − X 12 X 21 )
(2.6.16)
e I′2 (0 ) =
Se aprecia de (2.6.15) y (2.5.5) que el punto correspondiente a s=0 sobre la circunferencia de arranque coincide con el punto correspondiente a s = ∞ sobre la circunferencia sincrónica, lo que implica que ambas circunferencias son tangentes en ese punto. La figura 2.6.2 ilustra la situación. Si en (2.3.8) se considera las aproximaciones Rb=0 y Xσa=0 y se introduce la relación resultante y (2.6.13) en (2.6.11) se logra para la corriente en la jaula de arranque, referida al estator: I′a = −
X 12 X1
sX σb X 21 V1 R a ( X 1 X b − X 12 X 21 ) + jsX σb ( X 1 X ab − X 12 X 21 )
(2.6.17)
2-32
La máquina asincrónica en estado estacionario
con
I′a (0 ) = 0
I′a (∞ ) = j
e
X 12 X1
X 21V1 = I' 2 (∞ ) X 1 X ab − X 12 X 21
(2.6.18)
y para la corriente en la jaula inferior: jX 21R a V1 Ra ( X 1 X b − X 12 X 21 ) + jsX σb ( X 1 X ab − X 12 X 21 )
I′b = −
X 12 X1
con
I′b (0 ) = j
V1 X 21 X 12 ( X 1 X b − X 12 X 21 )X 1
(2.6.19)
I′b (∞ ) = 0
e
(2.6.20)
V1 circunferencia I a (s)
circunferencia arranque
I1(s) I1n Ta
I’2(s) I’b(s)
circunferencia sincrónica
I’a(s)
R1=0 Xσ a=0
circunferencia I b (s)
Figura 2.6.2 Diagrama circular de un motor de doble jaula grande
De la forma de las ecuaciones (2.6.17) y (2.6.19) se desprende que los correspondientes lugares geométricos también son circunferencias con centro en el eje imaginario. Los puntos caracterizados por (2.6.20) determinan los extremos del diámetro horizontal. Al comparar (2.6.20) con (2.6.6) se aprecia que I′b (0 ) arranque = I′b (∞ ) sincrónica
(2.6.21)
La máquina asincrónica en estado estacionario I′b (∞ ) arranque = I′b (0 ) sincrónica
,
2-33
(2.6.22)
es decir, que las circunferencias para I’b durante el arranque y durante el funcionamiento sincrónico son coincidentes. Durante el arranque I’b recorre la semicircunferencia inferior y durante el funcionamiento sincrónico recorre la semicircunferencia superior. Los lugares geométricos de I’a e I’b también están representados en la figura 2.6.2. Debido a la aproximación Xσa=0 , Rb=0 las corrientes I’a e I’b aparecen desfasadas en 90º. 2.6.3 Momento y pérdidas La potencia del campo giratorio y el momento se pueden obtener directamente del lugar geométrico de la corriente I1. Corresponden a la componente activa de I1, ya que R1=0. Se aprecia que la característica momento-velocidad corresponde cualitativamente a la representada en la figura 2.6.3 con línea azul continua. La idealización Rb=0 destaca una debilidad de la doble jaula cuando Ta se la usa en motores de gran potencia. Si bien esta permite aumentar eficazmente el momento TM de arranque, la forma de la característica es tal que el momento se reduce a valores Tn inferiores al momento nominal antes de que el motor alcance la velocidad sincrónica, con lo que resulta imposible alcanzar esa velocidad. Se aprecia que para n una partida satisfactoria no basta 0 1 un momento de arranque Ta elevado ni un momento TM Figura 2.6.3 Característica torque-velocidad elevado. En realidad Rb no es nula de un motor de doble jaula grande y el momento no se reduce hasta con Rb=0. cero y la característica real se asemeja a la representada con línea roja segmentada en la figura 2.6.3. En motores pequeños y medianos la deformación de la característica momento-velocidad no es crítica y es ese el rango de potencias en el que se emplea preferentemente el motor de doble jaula. T
2-34
La máquina asincrónica en estado estacionario
2.7
Apéndice 3: Relación entre torque y tamaño del motor
La discusión formal de las características de funcionamiento en términos de las variables de terminales, abordada en los párrafos precedentes, es imprescindible, pero a primera vista deja la sensación de no proporcionar las indicaciones necesarias para el dimensionamiento práctico de estas máquinas. La recuperación de las dimensiones geométricas implica expresar las variables de terminales (o de circuito) en términos de las variables internas (de campo). Para ello resulta conveniente partir de la expresión para la potencia mecánica: Pm = 3 V1 I1cos ϕ1 η
(2.7.1)
donde η es el rendimiento de la máquina. Considerando que
V1 = 4,44 f1 N1 f d1 Φ p ,
(2.7.2)
el flujo por polo
Φ p = Bm τp l ,
(2.7.3)
el paso polar
τp =
πD , 2p
(2.7.4)
la densidad lineal de corriente (térmica)
A1 =
3 z 1 I1 6 N1 I1 = , πD πD
(2.7.5)
2πf1 , (2.7.6) p con f1 frecuencia de la red, N1 número de vueltas por fase, z1 número de conductores por fase del estator, fd1 factor de devanado del estator, Bm inducción media en el entrehierro, D diámetro interior del estator, l largo axial efectivo del estator, p número de pares de polos, la expresión (2.6.1) toma la forma: y la velocidad sincrónica
ωs =
π2 Pm = f d1 cos ϕ1 η B m A 1 D 2 l ω s , 4 2
(2.7.7)
por lo que para el torque desarrollado por la máquina vale: T=
Pm = C D 2l , ωs
(2.7.8)
π2 f d1 cos ϕ1 η B m A 1 donde C = (2.7.9) 4 2 representa energía por unidad de volumen y se conoce como la cifra de aprovechamiento, cuyo valor como función de la potencia se puede suponer conocido a partir de la evaluación de máquinas construidas previamente.
La máquina asincrónica en estado estacionario
2-35
El parámetro que varía más fuertemente con la potencia es la densidad lineal de corriente A1, cuyos valores típicos están entre 20000A/m para máquinas pequeñas y 60000A/m para máquinas grandes (de ranuras más profundas y refrigeración más intensiva). De (2.7.8) se aprecia que el tamaño (volumen) de la máquina está determinado por el torque. La obtención del diámetro interior del estator D y de la longitud axial del paquete de chapas l a partir del producto dado por la relación (2.7.8) ya pertenece al ámbito del arte del diseño y no puede ser tratada aquí. Sólo se mencionará que, entre otros aspectos, debe tenerse en cuenta que en el caso de máquinas pequeñas y medianas (motores de norma) las dimensiones exteriores, como la altura del eje, están normalizadas. También influyen los procesos de fabricación, que pueden considerar el uso de las mismas chapas para dos o tres potencias, utilizando diferentes largos axiales. Para comparar el diámetro interior D de dos motores del mismo número de polos se puede recurrir al hecho que la potencia es prácticamente proporcional a D4, ya que tanto la densidad lineal de corriente, el factor de potencia y el rendimiento como la longitud axial aumentan con el tamaño de la máquina. Así, si se conoce el diámetro D de una máquina de 200kW, el de una máquina de 400kW será 4 2 =1,19 veces mayor y una máquina cuya potencia es 10 veces mayor tendrá un diámetro interior incrementado 1,8 veces.
CAPÍTULO 3
3
LA MÁQUINA SINCRÓNICA ANISOTRÓPICA
3—2
3.1
Ecuaciones de equilibrio eléctricas estacionarias
3—2
3.2
Diagrama fasorial
3—5
3.3 El efecto de la saturación del circuito magnético 3.3.1 Determinación de la corriente de campo y de la regulación
3—7 3—10
3.4
Lugar geométrico de la corriente de armadura
3—12
3.5
Potencia y momento
3—14
3.6 Funcionamiento con carga asimétrica 3.6.1 La reactancia de secuencia negativa 3.6.2 Reactancia de secuencia cero 3.6.3 Modelo para la máquina con carga asimétrica 3.6.4 Uso del modelo
3—16 3—18 3—21 3—21 3—22
3.7 Cortocircuito dinámico de la máquina sincrónica anisotrópica 3—24 3.7.1 Introducción 3—24 3.7.2 Análisis del cortocircuito trifásico dinámico basado en el principio del enlace de flujo constante 3—25 3.7.3 Tratamiento analítico mediante ecuaciones diferenciales 3—29 3.7.4 Inclusión de las constantes de tiempo 3—32 3.7.5 Representación en el dominio de frecuencia: La inductancia operacional 3—36 3.7.6 Evaluación de los oscilogramas 3—39
La máquina sincrónica anisotrópica 3—2 ______________________________________________________________________
3 La máquina sincrónica anisotrópica 3.1
Ecuaciones de equilibrio eléctricas estacionarias
En régimen sinusoidal estacionario la máquina está conectada a una red trifásica simétrica y su rotor gira con velocidad sincrónica ω1 / p . El devanado de campo está alimentada con corriente continua If y la corriente en la jaula es nula. La conexión estrella sin neutro del devanado de armadura hace que la red sólo imponga las tensiones de línea. Sin embargo, la simetría del devanado de armadura y la ausencia de corriente de secuencia cero hacen que la tensión de secuencia cero sea nula, por lo que las tensiones de fase también forman un sistema simétrico. Para la tensiones de fase del devanado de armadura se puede anotar entonces: v a = 2V1 cos ω1t
(3.1.1)
v b = 2V1 cos( ω1t − 2π / 3 )
(3.1.2)
v c = 2V1 cos( ω1t + 2π / 3 ) .
(3.1.3)
El fasor espacial correspondiente se calcula como
(
)
r 2 v 1 = v a + av b + a 2v c = 2 V1e jω1 t 3
(3.1.4)
y se refiere convenientemente al sistema de coordenadas fijo al rotor - en el cual la máquina está descrita por ecuaciones diferenciales lineales - mediante la transformación: r r v 1r = v 1e − jγ = 2 V1 e jγ 0
(3.1.5)
donde se consideró que γ = ω1t − γ 0 .
(3.1.6)
En estado estacionario sólo interesa la solución particular y esta tiene una forma similar a la función de excitación, salvo un ángulo de fase. En consecuencia se puede postular directamente para la corriente: r i 1r = 2 I1 e j ( γ 0 +ϕ ) = 2 I1e jγ 0
(3.1.7)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—3 ______________________________________________________________________
Se observa que las variables referidas al rotor se tornan independientes del tiempo, por lo que sus derivadas según el tiempo se hacen nulas. En consecuencia, al reemplazar (3.1.5) y (3.1.7) en la ecuación diferencial (1.7.9), en la que se suprimen los términos que se refieren a la jaula,
[
r dγ d r r r v 1r = R1i 1r + j + (Lσ1 + LG1 )i 1r + LG 2 i 1∗r + L1f i f dt dt
]
(1.7.9a)
esta se reduce a una ecuación algebraica: I V1e jγ 0 = R1I1e jγ 0 + jω1 (Lσ1 + LG1 )I1e jγ 0 + LG 2I1∗ e − jγ 0 + L1f f 2
.
(3.1.8)
Si se multiplica esta ecuación por e − jγ 0 , se introduce formalmente un nuevo sistema de r coordenadas fijo al rotor, cuyo eje real coincide con v 1r , según se puede apreciar de (3.1.5). En este nuevo sistema de referencia (3.1.8) toma la forma más simple I V1 = R1I1 + jω1 (Lσ1 + LG1 )I1 + LG 2I1∗ e − j 2 γ 0 + L1f f e − jγ 0 . 2
(3.1.9)
Considérese ahora la introducción del ángulo de carga δ, definido como π δ = − γ0 , (3.1.10) 2 y la descomposición de la corriente compleja en dos componentes respectivamente paralelas a los ejes d y q, como se indica en la figura 3.1.1 r r r r i 1rv = i 1r e − jγ 0 = i 1d + i 1q = − j 2 I1d e jδ + 2 I1q e jδ .
(3.1.11)
Esta descomposición del fasor espacial en dos componentes ortogonales representa en el plano complejo a la descomposición de la correspondiente distribución espacial sinusoidal de fmm en dos ondas, centradas respectivamente en el eje de simetría del polo (eje d) y el eje de simetría del espacio interpolar (eje q). Esta descomposición es la idea en que se basa la teoría de los dos ejes de Blondel. Considerando (3.1.7) la relación (3.1.11) se puede rescribir como
I1 = − jI1d e jδ + I1q e jδ = I1d + I1q
(3.1.12)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—4 ______________________________________________________________________ ℜ r i 1r v
r i 1d
q
r i 1q
r v 1rv
ϕ
d γ0
δ
ℑ Figura 3.1.1 Relativo a la descomposición del fasor espacial de la corriente a lo largo de los ejes d y q
Si ahora se reemplaza estas relaciones en (3.1.9) se logra
(
)
(
)
V1 = (R1 + jX σ1 )I1 + jX G1 − jI1d e jδ + I1q e jδ − jX G 2 jI1d e jδ + I1q e jδ + Vp
(3.1.13)
V1 = (R1 + jX σ1 )I1 + jX md I1d + jX mq I1q + Vp
(3.1.14)
con
Vp = ω1L1f X md
If
e jδ
2 = X G1 + X G 2
Xmq = XG1 − XG2
(3.1.15) reactancia en el eje directo
(3.1.16)
reactancia en el eje en cuadratura.
(3.1.17)
Esta relación expresa la ecuación de equilibrio de una fase del estator en términos de los valores efectivos de los fasores temporales. Al interpretar la notación fasorial simbólica de la ecuación (3.1.14) se aprecia que la tensión en los terminales de una fase puede suponerse formada por las caídas de tensión en la resistencia y la reactancia de dispersión de la fase (primer término) y las tensiones inducidas en ella por la componente del campo giratorio del estator centrada en el eje d (segundo término), la componente del campo giratorio del estator centrada en el eje q (tercer término) y el campo producido por la corriente continua del devanado del rotor.
La máquina sincrónica anisotrópica 3—5 ______________________________________________________________________ Para expresar (3.1.14) en términos de los fasores espaciales, referidos al sistema de coordenadas fijo respecto al estator, se realiza la transformación inversa de (3.1.5), es decir, cada término de (3.1.14) se multiplica por ( 2 e jω1 t ) . Así se obtiene
r r r r r v 1 = (R1 + jX σ1 ) i 1 + jX md i 1d + jX mq i 1q + v p ,
(3.1.18)
que expresa la ecuación de equilibrio para las fases del estator. Esta expresión es isomórfica con (3.1.14), la ecuación de equilibrio en términos de los fasores temporales. Con velocidad constante, los campos distribuidos sinusoidalmente en el espacio inducen tensiones que varían sinusoidalmente en el tiempo.
3.2
Diagrama fasorial
La información contenida en la ecuación (3.1.18) se aprecia mejor si se invoca la identidad entre componentes simétricas y fasores espaciales y se la representa gráficamente en el plano complejo superpuesto a un corte transversal de la máquina en la forma indicada en la figura 3.2.1. La elección arbitraria de un ángulo fase nulo para la tensión de la fase a en (3.1.1) implica fijar como t=0 al instante en que la tensión en larfase a es máxima, lo que de acuerdo con (3.1.4) significa que en el plano complejo v 1 (0 ) coincide con el eje real. r Como la tensión es máxima cuando el flujo enlazado es cero, el fasor φ1 (0 ) tiene que estar desplazado en -π/2 respecto al eje real, o eje de la fase a, ya que la proyección de ese fasor sobre el eje r de la fase a representa el valor r instantáneo del flujo enlazado por esa fase. El fasor v p está desplazado respecto a v 1 en el ángulo de carga δ (3.1.15). El r r fasor v p está desplazado en π/2 respecto a φ p , que está centrado en el eje d, y por lo tanto su dirección coincide con la del eje q. El ángulo entre los flujos es el mismo que el entre las tensiones correspondientes. Con estos antecedentes y el conocimiento de los parámetros Xσ1, Xmd y Xmq se puede realizar la construcción del diagrama fasorial de la máquina sincrónica para una condición de carga dada, caracterizada por la tensión en los terminales de la máquina V1, la corriente de armadura I1 y el ángulo de fase ϕ1. Supóngase que la máquina funcione como un generador sobreexcitado, entregando r potencia reactiva inductiva a la red. Entonces π/2<ϕ1<π, lo que permite ubicar i 1 en r relación con v 1 , centrado en el eje de la fase a, como se muestra en la figura 3.2.1.
La máquina sincrónica anisotrópica 3—6 ______________________________________________________________________
r r r Para poder descomponer i 1 en i 1d e i 1q se requiere conocer la ubicación de los ejes d y q, determinada por el ángulo δ. Por consideraciones geométricas elementales - los lados correspondientes son perpendiculares - se puede apreciar que los triángulos rectángulos achurados de la figura 3.2.1 son semejantes, es decir, los lados correspondientes son proporcionales, con factor de escala Xmq. En consecuencia, la hipotenusa (segmentada) es de longitud Xmqi1. Entonces, para ubicar la posición r angular del eje q sólo es necesario prolongar jX σ1i 1 en X mq i 1 , o, lo que es lo mismo, r r r restarle a v 1 el fasor j (X σ1 + X mq )i 1 = jX 1q i 1 . q
vp
Xmqi1
t=0 R1 =0
jXσ1i1 ℜ jXmqi1q
jXmdi1d
δ
vi
v1
d γ0
ϕ1 Φ1
ℑ
i1d i1q i1
Figura 3.2.1 Diagrama fasorial de las componentes simétricas y la interpretación de estas como fasores espaciales.
La máquina sincrónica anisotrópica 3—7 ______________________________________________________________________ 3.3
El efecto de la saturación del circuito magnético
Hasta aquí el modelo usado para la máquina sincrónica supone un circuito magnético lineal. Como normalmente las máquinas reales funcionan con niveles de inducción tales que para tensión nominal el fierro de su circuito magnético está saturado, es necesario considerar este fenómeno, que se manifiesta en la curvatura de la característica de vacío Vp(If), representada esquemáticamente en la figura 3.3.1.
V p, Φ δ
I f, F Figura 3.3.1 Característica de vacío
En vacío la tensión Vp es proporcional al flujo en el entrehierro Φδ y es habitual tomar la característica de vacío como equivalente a la característica de magnetización Φδ(F) resultante, lo que implica considerar a la máquina sincrónica como un circuito magnético serie, donde el flujo es el mismo en todos los tramos. Este punto de vista ignora el efecto del flujo de dispersión del rotor sobre la saturación del tramo del circuito magnético correspondiente al inductor, lo que en el caso de máquinas modernas, altamente aprovechadas, produce inexactitudes (p.ej., al determinar el triángulo de Potier1).
En la figura 3.3.2 se ilustra la situación planteada y se muestra como obtener la característica de magnetización resultante sumando las fmms en cada tramo del circuito magnético correspondientes a un determinado valor del flujo en el entrehierro. Así, para determinar la fmm para el inductor ∆F hay que considerar el flujo efectivo en el inductor, sumando al flujo en el entrehierro el flujo de dispersión del rotor. Con este valor se entra a la característica Φ(F) del inductor y se obtiene la fmm correspondiente. Se aprecia que la fmm necesaria para establecer un cierto flujo en el entrehierro es mayor mientras mayor sea el flujo de dispersión del inductor y como éste no es el mismo en vacío que con carga inductiva pura, situación en que se requiere una elevada corriente de campo con el consiguiente aumento del flujo de dispersión - para contrarrestar el efecto desmagnetizante de la reacción de armadura, la característica de magnetización y la característica de vacío en rigor no son homologables. A pesar de la conclusión anterior, en lo que sigue se mantiene el modelo del circuito magnético serie. Para poder utilizar la característica de vacío como característica de magnetización es necesario expresar el efecto magnético de la corriente de armadura I1d en términos de una corriente de campo equivalente, es decir, es necesario determinar el valor de la 1
Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía - Capítulo 7
La máquina sincrónica anisotrópica 3—8 ______________________________________________________________________ corriente de campo I1df que produce la misma distribución fundamental de inducción en
d Φ ∆F inductor
Φδ
Φσf
entrehierro
dientes+yugo entrehierro+dientes+yugo
Φσf Φδ
0
∆F
Fres
F
Figura 3.3.2 Influencia del flujo de dispersión del rotor (inductor) sobre la característica de magnetización Φδ(F). el entrehierro que una corriente de armadura I1d. El devanado de campo produce una distribución de fmm rectangular. Con entrehierro constante la distribución de inducción también será rectangular (figura 3.3.3a) con amplitud
Bf =
µ 0 Nf I f δ′′ 2 p
(3.3.1)
El coeficiente de Fourier correspondiente a la fundamental se calcula como
Bfp =
p 2Bf π
+
απ 2p
∫ cos px
2
απ − 2p
dx 2 =
4 µ 0 Nf απ sen If . π δ′′ 2 p 2
(3.3.2)
El devanado trifásico del estator produce una distribución de fmm sinusoidal, cuya componente centrada en el eje directo tiene la amplitud F1p =
3 4 fd 1N1 2 I1d . 2 π 2p
(3.3.3)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—9 ______________________________________________________________________
Como el modelo considera que la permeancia en el espacio interpolar es nula, la onda de inducción correspondiente es una sinusoide recortada (figura 3.3.3b) y la amplitud de su fundamental es Bdp =
3 4 fd 1N1 µ 0 sen (απ ) α+ 2 I1d 2 π 2 p δ′′ 14424 π 43
.
(3.3.4)
cd
Bfp
bf a x2
0 bad
Bdp
b x2
ατp x τp Figura 3.3.3 Relativo al reemplazo de la reacción de armadura en el eje directo por una corriente de campo equivalente Si ahora se iguala las expresiones para las amplitudes de las ondas fundamentales de inducción se obtiene la relación buscada entre la componente de la corriente de armadura y la corriente de campo equivalente a esta. I1df =
3 N1fd 1 c d I1d = g d I1d 2 N f fdf
(3.3.5)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—10 ______________________________________________________________________
Se aprecia que el factor de proporcionalidad, conocido como factor de reacción de armadura en el eje directo, gd =
3 N1fd 1 cd 2 N f fdf
(3.3.6)
tiene el carácter de una relación de transformación.
q
X1q I1
Vi
V1 I1
ϕ1
V iq
δ
I1q
I1d d
Figura 3.3.4 Obtención de I1d y V iq para la determinación de la corriente de campo
3.3.1 Determinación de la corriente de campo y de la regulación2 Con los resultados del párrafo anterior se puede determinar la corriente de campo If necesaria para un estado de carga determinado, caracterizado por la tensión en los terminales V1, la corriente de armadura I1 y el ángulo de fase ϕ1. Para ilustrar el procedimiento, considérese el caso de un motor sobreexcitado, de manera que entregue potencia reactiva inductiva a la red. Con este antecedente se puede comenzar la construcción del diagrama fasorial de la figura 3.3.4, adelantando I1 2
Ver IEEE Std 115-1995 Test Procedures for Synchronous Machines, Part I Section 5
La máquina sincrónica anisotrópica 3—11 ______________________________________________________________________
en un ángulo ϕ1<90º respecto a V1. En seguida se determina la tensión inducida por el flujo resultante en el entrehierro Vi, restando a V1 la tensión inducida por el flujo de dispersión jXσ1 I1. El eje q se ubica en la forma explicada anteriormente restando jX1q I1 de V1. El grado de saturación está determinado por el flujo resultante en el eje directo, que es proporcional a Viq. Con esta tensión se entra a la característica de vacío (figura 3.3.5) y se obtiene la corriente magnetizante correspondiente, es decir, una corriente ficticia que, si circulara en el devanado de campo, produciría el mismo flujo en el eje directo que las corrientes de campo y de armadura en conjunto. Dado que la máquina suministra potencia reactiva inductiva a la red, la reacción de armadura, cuyo valor expresado en términos de la corriente de campo es gdI1d, es desmagnetizante. En consecuencia el valor de la corriente de campo correspondiente al estado de carga analizado vale
Vp Vp
Vp' Viq
I f = I m + g d I1d ,
(3.3.7)
donde I1d también se obtiene del diagrama fasorial.
gdI1d
Im
If
If
Figura 3.3.5 Consideración de la saturación al determinar la corriente de campo y la regulación
Al entrar con If a la característica de vacío linealizada para ese grado de saturación se obtiene Vp, la tensión ficticia inducida por la componente del flujo - también ficticia - debida al devanado de campo. Esta tensión no es medible, en cambio sí lo es Vp', la tensión inducida en vacío y , por lo tanto, correspondiente a otro grado de saturación.
Vp' es la tensión que aparece en los terminales de la máquina cuando esta se desconecta de la red. La correspondiente variación de tensión se suele referir a la tensión nominal y se conoce como regulación ε=
V1 − V p′ V1
(3.3.8)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—12 ______________________________________________________________________
y, de acuerdo con la norma, no debería ser superior a 0,5 para un factor de potencia 0,8 inductivo. Para una máquina dada, el valor de la regulación ε depende de su razón de cortocircuito (SCR), definida anteriormente como la razón entre la corriente de campo para tensión nominal en vacío If0 y la corriente de campo para corriente de armadura nominal en cortocircuito Ifcc SCR =
If 0 I ≈ f0 . I fcc g d I1n
(3.3.9)
Considerando (3.3.7) se aprecia que valores elevados para la razón de cortocircuito determinan valores relativamente bajos para la regulación y viceversa.
3.4
Lugar geométrico de la corriente de armadura
Un lugar geométrico describe la trayectoria de un fasor en el plano complejo cuando cambia la condición de operación de la máquina, sujeta a cierta condición. Su ventaja reside en que permite visualizar en una sola imagen las diferentes posibilidades de operación de la máquina. Para obtener una expresión analítica para la corriente I1 se recurre convenientemente al diagrama fasorial de la figura 3.4.1, del cual se desprenden las siguientes relaciones:
q Vp
jI1qX1q
jI1dX1d
V1 δ
d
ϕ1 I1d I1q
I1
Figura 3.4.1 El diagrama fasorial como modelo geométrico de la máquina sincrónica
Vp − V1 cos δ = I1d X 1d
(3.4.1)
V1 sen δ = I1q X 1q
(3.4.2)
I1d = jI1d e jδ
(3.4.3)
I1q = −I1q e jδ ,
(3.4.4)
por lo que I1 = I1d + I1q = j
expresión que con las relaciones de Euler toma la forma
Vp − V1 cos δ X 1d
e jδ −
V1 sen δ jδ e X 1q
La máquina sincrónica anisotrópica 3—13 ______________________________________________________________________
I1 = − j
V1 1 1 + 2 X 1q X 1d
+ j V1 1 − 1 2 X 1q X 1d
j 2δ V e + j p e jδ X 1d
(3.4.5)
Esta expresión puede rescribirse convenientemente como: Vp jδ V1 X 1d V X + 1 + j 1 1d − 1 e j 2δ + j e 2 X 1d X 1q 2 X 1d X 1q X 1d 14442444 3 1444 424444 3 14243
I1 = − j
I10
I12
(3.4.6)
I11
donde -jV1/X1d es la corriente magnetizante absorbida de la red en vacío (δ=0) y sin excitación (Vp=0). V1
ϕ1
I10
δ
2δ
El lugar geométrico de la corriente de armadura de la máquina anisotrópica con excitación constante corresponde a una Limaçon de Pascal, cuya generación a partir de los tres sumandos de (3.4.6) se ilustra en la figura 3.3.7.
La figura 3.4.3 muestra los lugares geométricos de la corriente de armadura I11 I1 para diferentes grados de excitación de la máquina de polos salientes. También está Figura 3.4.2 representado (con color rojo) el lugar Generación del lugar geométrico geométrico de la máquina de rotor cilíndrico de la corriente de armadura (Vp=2, X1q=X1d) , que corresponde a una circunferencia. Se aprecia que para máquinas sobreexcitadas y ángulos de carga pequeños el arco de Limaçon y el arco de circunferencia no difieren substancialmente, hecho que legitima la práctica de modelar la máquina anisotrópica como si fuera isotrópica. I12
Las ordenadas máximas de los lugares geométricos correspondientes a los diferentes grados de excitación representan los valores máximos de la componente activa de la corriente y por lo tanto son proporcionales a la potencia máxima. Ellas determinan otro lugar geométrico, el límite de estabilidad estacionaria. Al aumentar la potencia mecánica suministrada al eje I1 se desplaza sobre la Limaçon hasta el punto correspondiente al límite de estabilidad. Un incremento adicional del momento aplicado al eje no podría ser equilibrado por el momento electromagnético y se produciría la aceleración del rotor y la pérdida del sincronismo. Por otra parte, un cambio de la excitación con la potencia suministrada al eje constante, es decir, con la componente de la corriente de armadura en fase con V1 constante,
La máquina sincrónica anisotrópica 3—14 ______________________________________________________________________
determina un lugar geométrico para I1 que es una recta paralela al eje de abscisas. Se aprecia que mediante la variación de la corriente de campo se puede ajustar la componente reactiva de la corriente de armadura. 1 V1
X1d=X1q
0.8 Vp=2pu
0.6
Vp=1pu
0.4 0.2
Vp=0,5pu 0 -0.2
I1
-0.4 -0.6 -0.8 -1 -0.5
0
0.5
1
1.5
Figura 3.4.3 Lugar geométrico de la corriente I1 (azul corresponde a X1d=2pu, X1q=1,1pu) (rojo corresponde a X1d=X1q=2pu)
3.5
Potencia y momento
En estado estacionario la potencia media suministrada al campo magnético es nula. En consecuencia, se tiene que en ausencia de pérdidas la potencia absorbida es igual a la potencia entregada: P1 = Pmec
(3.5.1)
Para la potencia eléctrica se tiene en términos de los valores efectivos complejos:
La máquina sincrónica anisotrópica 3—15 ______________________________________________________________________
P1 = 3 ℜ { V1 I1∗ }
(3.5.2)
y al reemplazar (3.4.5) queda P1 = −3
V pV1 X 1d
sen δ − 3
V12 2
1 1 − X 1q X 1d
sen 2δ
(3.5.3)
Por otra parte, para la potencia mecánica vale Pmec = Tω m = T
ω1 . p
(3.5.4)
Al reemplazar (3.5.3) y (3.5.4) en (3.5.1) se obtiene la siguiente expresión para el momento: T = −3
p Vp V1 p V12 1 1 sen δ − 3 − sen 2δ . ω1 X1d ω1 2 X1q X1d
(3.5.5)
El primer término de la suma se conoce como momento de excitación y es similar al desarrollado por la máquina isotrópica3. El segundo término se conoce como momento de reluctancia y tiene su origen en la anisotropía, expresada en la diferencia entre las reluctancias en el eje directo y en el eje en cuadratura. En máquinas sincrónicas normales la reactancia en el eje en cuadratura es típicamente del orden de un 70% de la reactancia en el eje directo y por lo tanto la amplitud del momento de reluctancia para V1=Vp es sólo un 20% de la amplitud del momento de excitación. Para máquinas sobreexcitadas la amplitud relativa del momento de reluctancia es aún menor. La figura 3.5.1 muestra la característica del momento como función del ángulo de carga de una máquina anisotrópica conjuntamente con el primer término de (3.5.5), pudiendo apreciarse que la diferencia no es sustantiva. También existe el motor de reluctancia, que prescinde del devanado de campo y cuyo diseño moderno considera un rotor de construcción especial (chapas de acero magnético y nomagnético alternadas, de orientación axial) con la que se logra que la reactancia en el eje en cuadratura se reduzca a un valor del orden de un 10% de la reactancia en el eje directo. La ausencia de un devanado de campo en el rotor permite a estos motores alcanzar altas velocidades como parte de un accionamiento con convertidores de frecuencia. Como por naturaleza poseen un factor de potencia bajo, su aplicación está restringida al rango de potencias inferior a 10kW.
3
Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía – Capítulo 7
La máquina sincrónica anisotrópica 3—16 ______________________________________________________________________
El arranque del motor de reluctancia se logra mediante una jaula incompleta (devanado asimétrico) y su sincronización es un proceso dinámico cuyo éxito depende, entre otros aspectos, del momento de inercia de la carga4.
T
δ
Figura 3.5.1 Momento resultante y momento de excitación como función del ángulo de carga
3.6
Funcionamiento con carga asimétrica
El funcionamiento simétrico es una idealización. En condiciones de funcionamiento normales las corrientes de fase no suelen ser iguales, aspecto que la norma (por ejemplo VDE 0530 / 3.59 §40c) considera al exigir que turbogeneradores de hasta 100MVA deben ser capaces de soportar en forma permanente una asimetría relativa de 12,5%, es decir, una corriente de secuencia negativa de 12,5%. Esta asimetría influye sobre las características de funcionamiento de la máquina, especialmente en lo que al calentamiento y el nivel de vibraciones mecánicas se refiere. 4
P.J.Lawrenson et al. Transient performance of reluctance machines, PROC. IEE, Vol 118, Nº6, June 1971
La máquina sincrónica anisotrópica 3—17 ______________________________________________________________________
Además de estas asimetrías “normales” suelen presentarse asimetrías anómalas, como consecuencia de fallas en el sistema de potencia al que está conectado el generador. Estas fallas, si bien de corta duración, deben poder ser predichas en sus consecuencias, lo que implica la necesidad de modelos adecuados para la máquina en esas condiciones de operación. En los párrafos siguientes se desarrollan las ideas que permiten formular esos modelos para la máquina sincrónica. If
MSN
MSP
T ω a c b
a b c
Va1=V21 Vb1=a V1 Vc1=a V1
Va2
Va1
Vc2
Vc1 Vb1
Vb2
Va2=V2 Vb2=a2V2 Vc2=a V2
Figura 3.6.1 Las máquinas de secuencia. Aplicación del principio de superposición a la máquina sincrónica con carga asimétrica.
De acuerdo con los resultados obtenidos en el párrafo 1.10, un sistema trifásico asimétrico siempre puede ser descompuesto en dos sistemas simétricos de secuencia invertida y un sistema de secuencia cero. Esto llevó a reemplazar la máquina con alimentación asimétrica por dos máquinas idénticas, acopladas mecánicamente y alimentadas respectivamente con un sistema de tensiones simétrico de secuencia positiva y un sistema de tensiones simétrico de secuencia negativa, tal como se muestra en la figura 3.6.1. Este modelo hace abstracción de los efectos causados por la interacción de los campos de secuencia positiva y de secuencia negativa. El devanado de campo de la máquina de secuencia positiva (MSP) está alimentado con la corriente continua If y el devanado de campo de la máquina de secuencia negativa (MSN) está cortocircuitado. En la máquina de secuencia positiva el rotor gira sincrónicamente con el campo giratorio, comportándose esta máquina como una máquina sincrónica. En cambio en la máquina de secuencia negativa el campo impuesto por la alimentación de esa secuencia gira en sentido opuesto al sentido de
La máquina sincrónica anisotrópica 3—18 ______________________________________________________________________
giro del rotor, por lo que esa máquina se comporta en forma semejante a una máquina asincrónica con deslizamiento s=2. La relación entre las componentes fundamentales de la tensión y de la corriente en la máquina de secuencia negativa se conoce como impedancia de secuencia negativa, cuya determinación es el objetivo del párrafo siguiente.
3.6.1 La reactancia de secuencia negativa Debido a la anisotropía del rotor, los parámetros de secuencia negativa no son únicos y dependen de circunstancias como el tipo de excitación. Así debe distinguirse entre la excitación con tensiones de secuencia negativa y la excitación con corrientes de secuencia negativa. Como las fallas (p.ej. un cortocircuito monofásico) imponen restricciones sobre las corrientes de secuencia, se abordará aquí esa situación en forma explícita. El punto de partida para el análisis son las ecuaciones de Park, derivadas en el capítulo 1 y reproducidas aquí por conveniencia: di 1d di di dγ + L1f f + L1D D − (L1q i 1q + L1Q i Q ) dt dt dt dt di 1q di dγ v 1q = R1i 1q + L1q + L1Q Q + (L1d i 1d + L1f i f + L1D i D ) dt dt dt di di di v f = R f i f + Lf f + Lf 1 1d + LfD D dt dt dt di di di 0 = R D i D + LD D + LD1 1d + LDf f dt dt dt di 1q di Q 0 = RQ i Q + LQ + LQ1 . dt dt
v 1d = R1i 1d + L1d
(3.6.1) (3.6.2) (3.6.3) (3.6.4) (3.6.5)
Con el objeto de destacar lo esencial, en una primera aproximación se ignorará el efecto de las resistencias y se reducirá el problema a la determinación de la reactancia de secuencia negativa. Las operaciones algebraicas necesarias se facilitan si se rescribe las ecuaciones en forma matricial:
v 1d pL 1d v ω L 1q 1 1d 0 = pL f 1 0 pL D1 0 0
− ω1L 1q pL 1q
pL 1f ω1L 1f
pL 1D ω1L 1D
0
pL f
pL fD
0
pL Df
pL D
pL Q1
0
0
− ω1L 1Q i1d pL 1Q i1q 0 ⋅ if 0 iD pL Q i Q
(3.6.6)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—19 ______________________________________________________________________
d . dt Como las corrientes en los circuitos del rotor no interesan en este contexto, se elimina las correspondientes filas y columnas, recurriendo a la técnica de la partición de las matrices. Con este objeto se rescribe (3.6.6) en términos de matrices compuestas como sigue: con el operador diferencial p =
V1 A B I1 0 = C D ⋅ I .
(3.6.7)
Desarrollando este producto queda: V1 = AI1 + BI 0 = CI1 + DI
(3.6.8) (3.6.9)
y reemplazando la expresión para I despejada en (3.6.9) en (3.6.8) se logra
(
)
V1 = A − BD −1C ⋅ I1
(3.6.10)
que, rescrita en forma explícita, toma la forma: v 1d pL"1d v = " 1q ω1L1d
− ω1L"1q i 1d ⋅ pL"1q i 1q
(3.6.11)
donde L”1d y L”1q son respectivamente las inductancias subtransitorias en el eje directo y en el eje en cuadratura, cuya interpretación física corresponde a las inductancias de cortocircuito de sendos transformadores de tres y dos devanados formados respectivamente por los devanados en el eje directo y los devanados en el eje en cuadratura. Supóngase ahora que la máquina sea alimentada con corrientes de secuencia negativa:
i a = 2I 2 cos (ω1t )
(3.6.12)
i b = 2I 2 cos (ω1t + 2π 3 )
(3.6.13)
i c = 2I 2 cos (ω1t − 2π 3 )
(3.6.14)
Esto implica que
r 2 i1 = i a + ai b + a 2 i c = 2 I 2 e − jω1t 3
(
)
e
r r i 1r = i 1e − jγ = 2 I 2 e j ( γ 0 −2 ω1t ) .
En términos de las componentes se tiene que
(3.6.15)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—20 ______________________________________________________________________
i1d + ji1q = 2I2 cos (2ω1t − γ 0 ) − j 2I2 sen (2ω1t − γ 0 )
(3.6.16)
Se aprecia que las componentes referidas al sistema de referencia del rotor i1d = 2 I2 cos(2ω1t − γ 0 )
(3.6.17)
i1q = − 2 I2 sen(2ω1t − γ 0 )
(3.6.18)
son de frecuencia igual al doble de la frecuencia de la red. Estas componentes se reemplazan en (3.6.11) y desarrollando esta expresión se logra: v 1d = − 2I 2 (2 X 1"d − X 1"q )sen (2ω1t − γ 0 )
(3.6.19)
v 1q = 2I 2 ( X 1"d − 2 X 1"q )cos (2ω1t − γ 0 ) .
(3.6.20)
Para transformar estas componentes al sistema de referencia fijo respecto al estator se forma r r v 1 = v 1r e jγ = (v 1d + jv 1q )e jγ
(3.6.21)
La tensión de fase se obtiene de la relación v a = ℜ{v 1} v a = − 2 I2
X 1"d + X 1"q
2
sen (ω1t ) + 2 I 2
3 " (X 1q − X 1"d )sen(3ω1t − 2γ 0 ) . 2
(3.6.22)
Al limitar el análisis a las componentes fundamentales de la corriente (3.6.12) y de la tensión (3.6.22), se aprecia que el valor efectivo de la tensión de secuencia negativa está dado por V2 =
X 1"d + X 1"q
2
I2
(3.6.23)
Para excitación con corrientes de secuencia negativa la reactancia de secuencia negativa está dada por el valor medio aritmético de las reactancias subtransitorias en el eje directo y en el eje en cuadratura: X2 =
X 1"d + X 1"q
2
(3.6.24)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—21 ______________________________________________________________________
El orden de magnitud de la reactancia de secuencia negativa corresponde al de la reactancia de dispersión del devanado del estator. Se puede comprobar a partir de (3.6.11) que para excitación con un sistema de tensiones de secuencia negativa la reactancia de secuencia negativa está dada por el medio armónico de las reactancias subtransitorias: X2 =
2 X 1"d X 1"q X 1"d + X 1"q
.
(3.6.25)
Esta relación debe tenerse en cuenta al determinar experimentalmente la reactancia de secuencia negativa5, ya que la norma define como reactancia de secuencia negativa de una máquina sincrónica al valor medio aritmético de las reactancias subtransitorias en los ejes directo y en cuadratura. 3.6.2 Reactancia de secuencia cero Normalmente las máquinas sincrónicas se conectan en estrella sin neutro (o este se conecta a tierra a través de una impedancia elevada) por lo que no podrán circular corrientes (significativas) de secuencia cero. En el caso que pudiesen circular, el campo fundamental en el entrehierro debido a esas corrientes se anularía, lo que se expresa a través de r 1 i 10 = i 0 + ai 0 + a 2 i 0 = 0 . 3
(
)
(3.6.26)
En consecuencia, la tensión de secuencia cero es la inducida por los campos de dispersión (armónicas, ranuras, frontal). Estos campos dependen fuertemente de un eventual acortamiento del devanado, por lo que la reactancia de secuencia cero exhibirá esa misma dependencia.
3.6.3 Modelo para la máquina con carga asimétrica De acuerdo con los resultados de los párrafos precedentes, el sistema de corrientes de carga asimétrico puede ser descompuesto en tres sistemas simétricos, cada uno de los cuales determina una condición de funcionamiento de la máquina que se refleja en una relación entre tensión y corriente (impedancia) diferente.
5
IEEE Std 115-1995 Test Procedures for Synchronous Machines Part II 10.5.3.1
La máquina sincrónica anisotrópica 3—22 ______________________________________________________________________
A cada máquina de secuencia, es decir, a la máquina simétrica excitada por el respectivo sistema de componentes simétricas, le corresponde un circuito equivalente por fase diferente. I1
I2
X1
X2 V1
Vp
I0 X0
V2
V0
Figura 3.6.2 Circuitos equivalentes por fase de las máquinas de secuencia
Es habitual que para la máquina de secuencia positiva se utilice , en primera aproximación, el circuito equivalente de la máquina de rotor cilíndrico, consistente en una fuente de tensión en serie con la reactancia sincrónica. Los circuitos equivalentes de las máquinas de secuencia negativa y de secuencia cero se reducen a las respectivas reactancias de secuencia. Así, el modelo de la máquina con carga asimétrica se reduce a los circuitos de la figura 3.6.2. Debe recordarse sí que este modelo, cuyo uso está en la determinación de las variables de terminales de la máquina, sólo considera las componentes de frecuencia fundamental de las tensiones y de las corrientes. Además, por hacer uso del principio de superposición supone que la máquina es magnéticamente lineal.
3.6.4 Uso del modelo Considérese una máquina sincrónica a cuyos terminales está conectada a una carga pasiva formada por impedancias asimétricas conectadas en estrella sin neutro, según muestra la figura 3.6.3. Se suponen conocidas las reactancias de secuencia de la máquina y la tensión de vacío de esta y se desea determinar las tensiones y corrientes en los terminales. Ia If
Vab
Ib
Vbc
Ic
Za Zb Zc
Figura 3.6.3 Máquina sincrónica con carga trifásica asimétrica
La conexión impone las siguientes restricciones sobre las variables de fase (Kirchhoff): Vab = Va − Vb = Ia Z a − I b Z b Vac = Va − Vc = Ia Z a − Ic Z c
(3.6.27) (3.6.28)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—23 ______________________________________________________________________ 0 = Ia + Ib + Ic ,
(3.6.29)
que se traducen a otras tantas restricciones sobre las componentes simétricas al reemplazar las variables de fase en términos de las componentes simétricas. La conexión estrella implica ausencia de corrientes de secuencia cero, por lo que las ecuaciones (3.6.27) a (3.6.29) toman la siguiente forma en términos de las componentes simétricas:
(V1 + V2 ) − (a 2 V1 + aV2 ) = (I1 + I2 ) Z a − (a 2I1 + aI2 )Z b (V1 + V2 ) − (aV1 + a 2 V2 ) = (I1 + I2 ) Z a − (aI1 + a 2I2 )Z c
(3.6.30) (3.6.31) (3.6.32)
0 = I0 .
Las máquinas de secuencia imponen una relación entre la tensión y la corriente en sus terminales, como se desprende de la figura 3.6.2. Para la máquina de secuencia positiva rige V1 = Vp − jX 1I1
(3.6.33)
y para la máquina de secuencia negativa rige: V2 = − jX 2 I 2 .
(3.6.34)
Al reemplazar estas relaciones en (3.6.30) y (3.6.31) se logra
(
) [ (
]
)
Vp 1 − a 2 = I1 jX 1 1 − a 2 + Z a − a 2 Z b + I 2 [ jX 2 (1 − a ) + Z a − aZ b ]
[ (
)
]
Vp (1 − a ) = I1 [ jX 1 (1 − a ) + Z a − aZ c ] + I 2 jX 2 1 − a 2 + Z a − a 2 Z c .
(3.6.35) (3.6.36)
A partir de estas dos ecuaciones se determinan las corrientes de secuencia I1 e I2, las que reemplazadas en (3.6.33) y (3.6.34) permiten determinar las tensiones de secuencia V1 y V2. Finalmente se determinan las variables de fase buscadas mediante la relación entre estas y las correspondientes componentes simétricas:
Ia 1 I = a 2 b Ic a
1 a a
2
1 I1 1 ⋅ I 2 1 I0
.
(3.6.37)
Del desarrollo precedente se desprende que la restricción externa “carga asimétrica” impone la magnitud de la corriente de secuencia negativa. En cambio, la magnitud de la
La máquina sincrónica anisotrópica 3—24 ______________________________________________________________________
tensión de secuencia negativa, y por lo tanto el desequilibrio de la tensión en los terminales, depende de la reactancia de secuencia negativa X2, sobre cuyo valor se tiene influencia a través de un adecuado diseño de la jaula de amortiguación. En lo que se refiere a la componente de secuencia negativa la máquina se comporta como un transformador de corriente. Por esta razón, el dimensionamiento de la jaula de una máquina destinada a funcionar con carga asimétrica debe ser generoso (gran sección de los conductores), para así disminuir las pérdidas asociadas a las corrientes inducidas en ella por el campo de secuencia negativa. Esto es especialmente válido para máquinas destinadas al funcionamiento monofásico, pues la conexión de una carga entre dos líneas (Ib = - Ic), dejando la tercera línea abierta (Ia=0), implica que la magnitud de la corriente de secuencia negativa es igual a la de la corriente de secuencia positiva.
3.7
Cortocircuito dinámico de la máquina sincrónica anisotrópica
3.7.1 Introducción El cortocircuito dinámico es una de las fallas más temidas, pues, cuando ocurre a tensión nominal, da origen a corrientes transitorias elevadas que determinan grandes esfuerzos mecánicos sobre las cabezas de las bobinas, que pueden dañar la aislación de estas. Por esta razón, la norma limita el valor máximo admisible de la corriente de cortocircuito transitoria a 15x 2 =21 veces la corriente nominal de la máquina. Cuando se provoca deliberadamente un cortocircuito trifásico para determinar los parámetros de la máquina a partir de la evaluación del registro de las corrientes de armadura y de campo transitorias6, suele reducirse el valor de la tensión de vacío a una fracción de la tensión nominal (40%). El procedimiento para determinar los parámetros se basa en el hecho que es posible obtener una solución analítica para las corrientes de cortocircuito, ya que, con velocidad constante, las ecuaciones de Park se hacen lineales. Esta última condición normalmente se puede considerar satisfecha, ya que la constante de tiempo mecánica, determinada por la inercia del rotor, suele ser mucho mayor que las constantes de tiempo eléctricas. La obtención de la solución analítica completa no es trivial, pues requiere aproximaciones criteriosas, por lo que se considerará en primer lugar una máquina sin 6
IEEE Std 115-1995 11. Tests for evaluating transient and subtransient characteristic values
La máquina sincrónica anisotrópica 3—25 ______________________________________________________________________
devanado de amortiguación, lo que permite apreciar los principales efectos físicos sin mayores complejidades matemáticas. La situación se hace físicamente más transparente si en una primera aproximación además se ignoran las resistencias de los devanados y se invoca el así llamado principio del enlace de flujo constante.
3.7.2 Análisis del cortocircuito trifásico dinámico basado en el principio del enlace de flujo constante 3.7.2.1 El principio del enlace de flujo constante El cortocircuito de un devanado fuerza que la tensión entre sus terminales sea cero. En un sistema de referencia fijo respecto al devanado rige entonces: v = Ri +
dψ =0 dt
.
(3.7.1)
S i se desprecia la resistencia R, la relación se reduce a dψ = 0, dt
(3.7.2)
que implica que el enlace de flujo debe permanecer constante en el valor que tenía previo al cortocircuito. 3.7.2.2 Aplicación del principio del enlace de flujo constante Cuando no se requiere la solución completa para las corrientes y sólo interesa conocer los valores correspondientes a un instante dado, es conveniente invocar el principio del enlace de flujo constante e igualar el enlace de flujo inicial con el enlace de flujo para el instante en cuestión. Así, para determinar el valor máximo de la corriente transitoria de la fase a se considera como instante en el que se produce el cortocircuito a aquel en que el flujo enlazado por esa fase es máximo (figura 3.7.1a). El instante en que la corriente es máxima se produce cuando el rotor haya girado en 180º eléctricos, porque, para poder permanecer constante, el flujo enlazado por cada devanado debe cerrarse por vías de dispersión de baja permeancia (figura 3.7.1b).
La máquina sincrónica anisotrópica 3—26 ______________________________________________________________________
De acuerdo con las referencias de la figura 3.7.1a el flujo enlazado por la fase a es máximo en el instante en que γ = 0 .
c a’
a a
c γ=0
b
a
a’
γ=π
b
b
Figura 3.7.1 Principio del enlace de flujo constante a)instante del cortocircuito b)media vuelta (ciclo) después
Suponiendo que el cortocircuito se produce a partir del funcionamiento en vacío, es decir, sin que circule previamente corriente por la armadura, se tiene que para el instante inmediatamente anterior al cortocircuito los enlaces de flujo de los devanados de armadura y de campo valen ψ a (0 ) = L 1f cos(0 )If 0
(3.7.3)
ψ f = L f If 0
(3.7.4)
donde If0 es la corriente de campo estacionaria antes del cortocircuito. Cuando el rotor se ha desplazado en 180º eléctricos, es decir, para γ = π , rige la relación
ψ a (π ) = L 1f (π )i f + L a (π )i a + L ab (π )ib + L ac (π )i c ,
(3.7.5)
que al considerar las expresiones para las inductancias (1.3.17), (1.3.21), (1.3.23) y (1.3.28) toma la forma
L L L L ψ a (π ) = −L 1f i f + (L σ1 + L 1 + L 2 )i a + − 1 − 2 ib + − 1 − 2 i c , 2 2 2 2
(3.7.6)
la que - debido a que ia+ib+ic=0 - se reduce a
3 ψ a (π ) = −L 1f i f + L σ1 + (L 1 + L 2 ) i a = −L 1f i f + L 1d ia 2
.
Por otra parte se tiene para el enlace de flujo del campo
(3.7.7)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—27 ______________________________________________________________________
ψ f (π ) = L f i f + L fa (π )i a + L fb (π )ib + L fc (π )i c
(3.7.8)
que con las expresiones para las inductancias (1.3.28), (1.3.30) y (1.3.31) se reduce a 3 ψ f (π ) = L f i f − L 1f i a = L f i f − L f 1 i a . 2
(3.7.9)
Como en virtud del principio del enlace de flujo constante cada devanado cortocircuitado retiene el flujo enlazado por él en el instante inmediatamente anterior al cortocircuito, debe cumplirse que ψ a (0 ) = ψ a (π ) ψ f (0 ) = ψ f (π ) .
(3.7.10) (3.7.11)
Al reemplazar en estas igualdades las relaciones para los enlaces de flujo en función de las corrientes queda L 1f If 0 = −L 1f i f + L 1d i a Lf I f 0 = Lf i f − Lf 1 i a .
(3.7.12) (3.7.13)
De estas relaciones se despeja 2 If 0 =
1 (L1dL f − L f 1L1f )ia = L1d 1 − L f 1L1f L 1f L f L 1f L 1dL f
ia
(3.7.14)
y al multiplicar esta última ecuación por ω1L 1f resulta 2 2Vp = ω1L 1d σ1f i a = ω1L'1d i a .
(3.7.15)
La reactancia transitoria X1' d = ω1L'1d corresponde a la reactancia de cortocircuito del transformador de dos devanados en el eje directo, formado por los devanados 1d y f (figura 3.7.1b). De (3.7.15) se desprende que el valor máximo de la corriente de cortocircuito transitoria es igual a i a (π ) = 2
2 Vp X1' d
.
(3.7.16)
Por otra parte, si se reemplaza (3.7.16) en (3.7.13) se obtiene la siguiente expresión para el valor máximo de la corriente de campo
La máquina sincrónica anisotrópica 3—28 ______________________________________________________________________
i f (π ) = If 0 +
(1 − σ1f ) . L f1 i a (π ) = If 0 1 + 2 Lf σ1f
(3.7.17)
Del desarrollo precedente se desprende que para γ = 2π se repite la situación de γ = 0 y que para γ = 3π se repite la situación de γ = π , de lo que se concluye que tanto ia como if son funciones periódicas del ángulo γ y por lo tanto, si la velocidad angular del rotor es constante, del tiempo (figura 3.7.2).
3.7.2.3 Interpretación en términos del campo giratorio Considérese que el rotor gira con velocidad angular constante igual a la sincrónica y que, en el instante cuando está alineado con el eje magnético de la fase a, se produce el cortocircuito trifásico del devanado del estator. Las resistencias del devanado de armadura y del devanado de campo sean despreciables. El flujo enlazado en ese instante por las tres fases del devanado debe permanecer constante. Se dice que flujo queda atrapado o congelado. Para que esto pueda ocurrir, en las tres fases del estator deben circular corrientes continuas de valor tal que en el entrehierro se mantenga la distribución espacial de inducción del instante del cortocircuito. Sin embargo, esto no es suficiente para mantener constante el flujo enlazado por el estator, ya que el campo giratorio asociado al rotor en movimiento tiende a alterar el enlace de flujo del estator. Para anular este efecto, en el devanado del estator debe circular además un sistema de corrientes simétricas de frecuencia fundamental de valor tal que produzcan un campo giratorio que anule el efecto del campo giratorio del rotor. Pero este campo también alteraría el enlace de flujo del devanado de campo que a su vez debe permanecer constante. Para evitarlo, debe aumentar la corriente continua en el campo en un valor apropiado. Aún así, el enlace de flujo del devanado de campo no permanecería constante, ya que este devanado se mueve respecto al campo en el entrehierro mantenido por las corrientes continuas del estator. La anulación de este último efecto requiere la creación de un campo estacionario respecto al estator y para ello debe circular una corriente alterna de frecuencia fundamental en el devanado de campo. Esta corriente alterna crea un campo alterno, que puede considerarse descompuesto en dos campos giratorios cuya amplitud es igual a la mitad de la amplitud del campo alterno. El campo giratorio que gira en sentido opuesto al sentido de giro del rotor es el campo estacionario respecto al estator necesario para mantener constante el enlace de flujo del devanado del rotor. El otro campo gira con velocidad sincrónica en el sentido de giro del rotor y por lo tanto se mueve respecto al estator con el doble de la velocidad sincrónica y tiende a alterar el
La máquina sincrónica anisotrópica 3—29 ______________________________________________________________________ ia
2Vp X 'd componente unidireccional
0
π
γ,ω1t 2π
if 1 − σ1f If 0 σ1f componente unidireccional
If0 γ,ω1t
0
π
2π
Figura 3.7.2 Valores extremos de la corriente de armadura y de la corriente de campo durante un cortocircuito trifásico dinámico con γ0=0.
enlace de flujo del estator. Para que esto no ocurra, en el devanado del estator debe circular adicionalmente un sistema de corrientes trifásicas cuya frecuencia es igual al doble de la frecuencia fundamental que anule el campo de doble velocidad sincrónica creado por la corriente alterna en el rotor. Se aprecia que para que los flujos enlazados inicialmente por los devanados cortocircuitados del estator y del rotor puedan permanecer constantes, los campos giratorios que tienden a alterar esa situación deben ser anulados por corrientes apropiadas en el miembro opuesto. La invocación conjunta de la idea del campo giratorio y del principio del enlace de flujo constante permite identificar cualitativamente a las componentes con su respectiva frecuencia que deben aparecer en la corriente de armadura y en la corriente de campo, sin necesidad de tener que resolver las ecuaciones de Park:
i a = Iau + Ia1 cos(ω1t − ϕ1 ) + Ia 2 cos(2ω1t − ϕ 2 )
(3.7.18)
i f = I fu + If 1 cos(ω1t − ϕ f )
(3.7.19)
3.7.3 Tratamiento analítico mediante ecuaciones diferenciales Cuando no basta conocer los valores máximos de las corrientes transitorias y se requiere saber como varían estas corrientes y el momento en función del tiempo tras el cortocircuito, es necesario resolver las ecuaciones de Park derivadas en el párrafo 1.7.2, linealizadas por el hecho que la velocidad es considerada constante.
La máquina sincrónica anisotrópica 3—30 ______________________________________________________________________ Con el objeto de evitar complicaciones matemáticas innecesarias, supóngase que las resistencias óhmicas de los devanados sean despreciables y que la máquina carezca de devanados de amortiguación (D,Q). Esto implica suponer un devanado de campo supraconductivo en el que circula la corriente continua estacionaria If0 sin necesidad de una fuente. De esa manera las ecuaciones de Park de la máquina cortocircuitada se reducen a: 0=
0=
0=
dψ 1d − ω1ψ 1q dt dψ 1q dt
+ ω1ψ 1d
dψ f dt
(3.7.20)
(3.7.21)
(3.7.22)
con las condiciones iniciales ψ 1q (0 ) = 0 , ψ f (0 ) = L f If 0 y ψ 1d (0 ) = L 1f If 0 .
(3.7.23)
La transformación de las ecuaciones (3.7.20) y (3.7.21) al dominio de frecuencias (Laplace) permite anotar en forma matricial, al considerar (3.7.23), ψ 1d (0 ) s 0 = ω 1
~ − ω1 ψ 1d ⋅ ~ , s ψ 1q
(3.7.24)
donde las variables transformadas según Laplace llevan tilde. De (3.7.24) se logra ~ ψ 1 1d ψ ~ = s 2 + ω2 1 1q
ω1 ψ 1d (0 ) s − ω ⋅ 1 s 0
(3.7.25)
y aplicando la transformación inversa, ψ 1d = ψ 1d (0 ) ⋅ cos(ω1t )
(3.7.26)
ψ 1q = − ψ 1d (0 ) ⋅ sen(ω1t ) .
(3.7.27)
Al reemplazar los en laces de flujo por sus expresiones en términos de corrientes e inductancias se tiene que i1d L 1d + i f L 1f = If 0 L 1f cos(ω1t )
(3.7.28)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—31 ______________________________________________________________________
i1q L 1q = − If 0 L 1f sen(ω1t )
(3.7.28)
i1d L f 1 + i f L f = I f 0 L f ,
(3.7.29)
donde la última ecuación se desprende de (3.7.22) y (3.7.23). De estas tres ecuaciones se despeja i1d = −
Vp 2 If 0L 1f ( ) (1 − cos ω1t ) 1 − cos ω t = − 1 L'1d X1' d
(3.7.30)
i1q = −
Vp 2 If 0L 1f sen ω1t = − sen ω1t L 1q X1q
(3.7.31)
(1 − σ1f ) (1 − cos ω1t ) i f = I f 0 1 + σ1f ω1L 1f If 0
,
(3.7.32)
L 1f L f 1 L 1dL f 2 es el coeficiente de dispersión entre los devanados de campo y armadura. La reactancia X1' d = σ1f X1d es la reactancia transitoria en el eje directo. donde Vp =
es el valor efectivo de la tensión inducida en vacío y σ1f = 1 −
Para transformar las corrientes al sistema de coordenadas fijo al estator se recurre a la relación (1.6.7) y se forma
r i = (i 1d + j i 1q )e j γ ,
(3.7.33)
de donde se logra con γ = ω1t − γ 0
{}
r i a = ℜ i1
(3.7.34)
1 1 − cos(2ω1t − γ 0 ) X' X1' d 1d X1q (3.7.35) Se aprecia que tanto la corriente de armadura como la corriente de campo (3.7.32), contienen las componentes predichas en el análisis cualitativo del párrafo anterior. ia = −
2Vp
cos(ω1t − γ 0 ) +
2 Vp 1 2Vp 1 + cos γ + 0 2 X1' d X1q 2
Mientras la corriente de campo es independiente del instante (posición) en que se produce el cortocircuito, la corriente de armadura sí depende fuertemente de ese
La máquina sincrónica anisotrópica 3—32 ______________________________________________________________________ instante. Así, para γ 0 = 0 , es decir, un cortocircuito cuando el flujo enlazado por la fase a es máximo, la corriente unidireccional en esa fase es máxima y la corriente ia alcanza su valor máximo para ω1t = π . En cambio, para un cortocircuito cuando el flujo inicial enlazado por la fase a es cero, lo que sucede si γ 0 = π 2 , la componente unidireccional en esa fase es nula e ia alcanza su valor máximo (igual a la mitad del valor anterior) para ω1t = π 2 . La suma de las corrientes unidireccionales de las tres fases de la armadura es siempre igual a cero. Los campos estacionarios creados por las componentes unidireccionales del estator y del rotor son responsables de la aparición de fuertes momentos oscilatorios de frecuencia fundamental. Al reemplazar las expresiones para las corrientes en (1.8.19) T=
3p (ψ 1d i1q − ψ 1q i1d ) 2
se logra
3 pV p2 1 1 1 1 T =− ' sen ω1t − ' − ω1 X 1d 2 X 1d X 1q
(3.7.36) sen 2ω1t .
(3.7.37)
La componente de doble frecuencia fundamental, de amplitud menor, se debe a la interacción del campo estacionario del estator y la componente del campo alterno del rotor que gira en el mismo sentido que el rotor. Si bien el valor medio del momento de cortocircuito es nulo (el campo giratorio del estator está alineado con el eje magnético del rotor), la amplitud del momento oscilatorio, inversamente proporcional a la reactancia (sub)transitoria, es varias veces la del momento estacionario y debe ser considerada al dimensionar el acoplamiento y las fundaciones para la máquina. 3.7.4 Inclusión de las constantes de tiempo La omisión de las resistencias de los devanados en el desarrollo del párrafo anterior simplificó notablemente el tratamiento analítico, pero también significó una modificación del problema, privándolo del fenómeno físico (la disipación de energía) que determina el paso del estado inicial al estado final o estacionario. Así, por ejemplo, la componente unidireccional y la amplitud de la componente alterna de la corriente de campo aparecen como independientes del tiempo. Sin embargo, no resulta difícil reponer la información perdida, gracias al conocimiento de la relación causal entre las diferentes componentes de las corrientes de armadura y de campo, proporcionado por el análisis cualitativo mediante el concepto de campo giratorio.
La máquina sincrónica anisotrópica 3—33 ______________________________________________________________________ Para entender el procedimiento, considérese nuevamente la relación (3.7.35), rescrita convenientemente para explicitar el término correspondiente a la corriente de cortocircuito estacionaria:
ia = −
2 Vp X1d
1 1 cos (ω1t − γ 0 ) cos (ω1t − γ 0 ) − 2Vp ' − X X 1d 1d
2 Vp 2Vp 1 1 cos + + γ + 0 2 2 X1' d X1q
1 1 cos (2ω1t − γ 0 ) − X' 1d X1q
(3.7.38)
El primer término de (3.7.38) corresponde a la corriente de cortocircuito estacionaria, cuya amplitud sólo depende de la corriente de campo estacionaria, mantenida por la excitatriz. Este término corresponde a la solución particular de la ecuación diferencial y es el único que permanece en el tiempo. El segundo término corresponde a la componente de frecuencia fundamental de la corriente de cortocircuito transitoria, causada por la componente unidireccional transitoria de la corriente de campo. Como esta última no es sostenida por fuente alguna, tiene que decaer con el tiempo. Debido a esta relación causal, la corriente de cortocircuito transitoria de frecuencia fundamental decae con la misma constante de tiempo Td’ que la componente unidireccional transitoria de la corriente de campo. El tercer término corresponde a la componente unidireccional de la corriente de armadura, que tampoco es sostenida por fuente alguna y que, por lo tanto, debe decaer con el tiempo. El cuarto término, la componente de doble frecuencia fundamental, tiene su origen en la componente alterna de frecuencia fundamental de la corriente de campo, que, a su vez, se debe a la componente unidireccional de la corriente de armadura. Esta dependencia determina que las corrientes unidireccional y de doble frecuencia fundamental de la corriente de armadura y la componente de frecuencia fundamental de la corriente de campo decaen todas con la misma constante de tiempo Ta. La solución completa para las corrientes de armadura y de campo tiene entonces la forma: ia = −
2Vp X1d
t
1 1 − Td' e cos (ω1t − γ 0 ) cos (ω1t − γ 0 ) − 2Vp ' − X1d X1d t
2Vp 2Vp 1 1 − Ta + + e cos γ 0 + ' 2 2 X1d X1q
t
1 1 − Ta − e cos (2ω1t − γ 0 ) X' X 1 q 1 d
(3.7.39)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—34 ______________________________________________________________________ i f = If 0
(1 − σ1f ) I + σ1f
f0 e
−
t Td'
−
(1 − σ1f ) I σ1f
f0e
−
t Ta
cos ω1t
(3.7.40)
y el problema se reduce a determinar las constantes de tiempo Ta y Td’ con las que decaen, respectivamente, las componentes unidireccionales transitorias de las corrientes de armadura y de la corriente de campo.
3.7.4.1 Constante de tiempo transitoria en el eje directo Td’ Visto desde el rotor, el devanado trifásico del estator puede considerarse reemplazado por un devanado bifásico ficticio equivalente, cuyos ejes de simetría coinciden respectivamente con el eje d y el eje q (figura 3.7.3). Se aprecia que en el eje directo los devanados d y f forman un transformador de dos devanados. Considérese que el devanado trifásico del estator esté cortocircuitado. De las relaciones 3.7.20 y 3.7.21 se desprende que si con R1=0 se desprecian las tensiones transformatóricas7 las tensiones rotacionales también desaparecen, por lo que el devanado ficticio d de este transformador aparece como cortocircuitado. Supóngase ahora que el devanado f sea excitado con un impulso de tensión. Rigen entonces las siguientes relaciones en el dominio de frecuencias:
~ ~ 0 = L1d i 1d + L1f i f
(3.7.41)
~ ~ ~ v f = (R f + sL f ) i f + sL f 1 i 1d .
(3.7.42)
~ Al eliminar i 1d queda ~ if =
1 L L R f + sL f 1 − f 1 1f L f L 1d
~ vf =
1 1 ~ ~ vf = vf . R f + sL f σ1f R f (1 + Td′ s)
(3.7.43)
Se aprecia que, con las aproximaciones hechas, la constante de tiempo transitoria en el eje directo está dada por Td′ ≈ σ1f
7
Lf Rf
.
(3.7.44)
son responsables de las componentes unidireccional y de doble frecuencia de la corriente de armadura ia, que no interesan en este contexto.
La máquina sincrónica anisotrópica 3—35 ______________________________________________________________________ Su valor depende del grado de acoplamiento entre el devanado del estator y el devanado de campo y de la resistencia del campo, la que es inversamente proporcional al peso del cobre de ese devanado. El peso relativo de cobre es un indicador del valor relativo de las constantes de tiempo. La constante de tiempo L Td 0 = f (3.7.45) Rf se conoce como constante de tiempo de vacío en el eje directo.
γ a
d
f
q
c b
Valores típicos para estas constantes de tiempo están en los rangos Tdo = 3 → 7 s Td' = 0,8 → 2 s
Figura 3.7.3 Representación esquemática del reemplazo del devanado trifásico (a,b,c) por un devanado bifásico (d,q) ficticio equivalente
Del desarrollo se desprende que, según el grado de aproximación, pueden aparecer expresiones alternativas para las constantes de tiempo transitorias. Sobre esto se volverá más adelante.
3.7.4.2 Constante de tiempo de la armadura Ta Las corrientes unidireccionales en el devanado del estator iua = 2Iu e iub = 2Iu e iuc = 2Iu e
−
t Ta
cos γ 0
t − Ta
2π cos γ 0 − 3
t Ta
2π cos γ 0 + 3
−
(3.7.46)
pueden interpretarse como un sistema trifásico simétrico de frecuencia cero, cuya amplitud decae con la constante de tiempo Ta.
La máquina sincrónica anisotrópica 3—36 ______________________________________________________________________ La inductancia vista por este sistema de corrientes, cuando el rotor gira a velocidad sincrónica, es igual a la inductancia de secuencia negativa de la máquina, que, con la aproximación habitual de despreciar Rf<<ω1Lf , toma la forma ' X 2 X1d + X1q L2 = = . 2ω1 ω1
(3.7.47)
Con la aproximación señalada, el único elemento disipativo es R1, por lo que la constante de tiempo de armadura está dada por Ta =
' L 2 L 1d + L 1q = R1 2R1
(3.7.48)
En el caso más frecuente en el que la máquina está equipada con una jaula de amortiguación, la reactancia de secuencia negativa está determinada por las reactancias subtransitorias X1d” y X1q”. Los valores típicos para esta constante de tiempo están en el rango Ta = 0,2 → 0,6 s .
3.7.5 Representación en el dominio de frecuencia: La inductancia operacional En el análisis precedente se consideró algunas simplificaciones para facilitar la interpretación física, lo que condujo a expresiones simplificadas para las constantes de tiempo. Para completar el análisis, considérese ahora un desarrollo más formal en el dominio de frecuencias que, además, incluya el efecto de la jaula, modelada en la forma expuesta en el párrafo 1.7.2. La visualización del problema en el plano complejo permite incorporar el lenguaje y los conceptos de la teoría del control lineal, como función de transferencia o respuesta de frecuencia. Esta última técnica, unida a la evaluación del diagrama de Bode, suele ser utilizada como una alternativa para determinar experimentalmente las constantes de tiempo y a partir de ellas los parámetros de la máquina. La relación entre los enlaces de flujo y las corrientes del transformador de tres devanados en el eje directo está resumida en forma matricial como: ψ 1d L1d ψ = L f fd ψ D LDd
Ldf Lf LDf
LdD i 1d LfD ⋅ i f . LD i D
(3.7.49)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—37 ______________________________________________________________________ Los devanados D y f estén cortocircuitados, es decir,
dψ D dt dψ f 0 = Rf i f + . dt
0 = RD i D +
(3.7.50) (3.7.51)
La transformación de estas relaciones al dominio de frecuencias, considerando condiciones iniciales nulas, permite escribir para las variables transformadas según Laplace: ~ ψ 1d L1d 0 = L fd 0 L Dd
Ldf R Lf + f s LDf
~i ~1d LfD ⋅ i f ~ RD iD LD + s
LdD
(3.7.52)
~ ,~i ). Las variables transformadas están provistas de tilde ( ψ Eliminando la submatriz correspondiente a las variables del rotor se obtiene:
~ ψ 1d ~ ψ 1d
R Lf + f s = L1d − [Ldf LdD ] ⋅ LDf ~ = L1d (s ) ⋅ i1d .
−1 Lfd ~ ⋅ ⋅ i1d . R LD + D LDd s
LfD
(3.7.53)
(3.7.54)
La función de transferencia L1d (s ) se conoce como inductancia operacional en el eje directo. La forma explícita para la función de transferencia se obtiene desarrollando el producto de matrices: LdD LfD Ldf TDTf s 2 + (σ DdTD + σ fd Tf )s + 1 σ fD + σ Dd + σ fd − 2 + 2 LD Lf L1d L1d (s ) = L1d σ fDTf TD s 2 + (Tf + TD )s + 1 donde, para abreviar, se ha introducido los coeficientes de dispersión
(3.7.55)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—38 ______________________________________________________________________
LfD LDf Lf LD L L σ Dd = 1− dD Dd L1d LD L L σ fd = 1− df fd L1d Lf
σ fD = 1 −
(3.7.56) (3.7.57) (3.7.58)
y las constantes de tiempo
LD RD L Tf = f . Rf TD =
(3.7.59) (3.7.60)
La relación entre L1d ( s ) s y la correspondiente función en el dominio del tiempo L1d (t ) permite invocar el teorema del valor inicial como lim L 1d (s ) = lim L 1d (t ) = L"1d
s→∞
(3.7.61)
t →0
y el teorema del valor final como lim L 1d (s ) = lim L 1d (t ) = L 1d s →0
.
(3.7.62)
t →∞
En consecuencia, la relación (3.7.55) se puede rescribir en términos de la inductancia subtransitoria como:
L"1d σ TD Tf s 2 + (σ Dd TD + σ fd Tf )s + 1 fD L 1d L 1d (s ) = L 1d σ fD Tf TD s 2 + (Tf + TD )s + 1
(3.7.63)
que, al factorizar el numerador y el denominador, toma la forma:
(
)( )(
)
1 + Td' s 1 + Td" s L 1d (s ) = L 1d ' " 1 + Td0 s 1 + Td0 s
(
)
(3.7.64)
donde , en virtud de la relación entre coeficientes y raíces,
Td' + Td" = (σ DdTD + σ fd Tf )
(3.7.65)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—39 ______________________________________________________________________
Td' ⋅ Td" = σ fD
y
L"1d TDTf . L1d
(3.7.66)
Estas relaciones permiten determinar las constantes de tiempo transitoria y subtransitoria en el eje directo en términos de las resistencias e inductancias de la máquina. La invocación del teorema de los valores extremos en (4.5.13) y (4.5.14) permite apreciar que la inductancia en el eje directo, tras una perturbación, varía entre un valor inicial, igual al de la inductancia subtransitoria, y un valor final, igual al de la inductancia (sincrónica) en el eje directo. De este hecho nace la práctica de modelar la máquina como elemento de un sistema de potencia (para la determinación del valor máximo de la componente alterna de la corriente transitoria) mediante una reactancia, cuyo valor es igual a la reactancia subtransitoria, y una fuente de tensión, cuyo valor, la “tensión tras la reactancia subtransitoria”, representa el enlace de flujo inicial, que se supone constante durante el intervalo del análisis.
3.7.6 Evaluación de los oscilogramas Para la determinación experimental de las constantes de tiempo y de las reactancias transitoria y subtransitoria en el eje directo suele recurrirse a los oscilogramas de las corrientes de armadura registradas durante un cortocircuito trifásico simétrico. Las condiciones de realización de este ensayo están especificadas en las normas.8 La evaluación de los parámetros a partir del oscilograma se realiza suponiendo que el valor efectivo de las componentes de frecuencia fundamental de la corriente de cortocircuito está dado por la relación: I(t ) =
Vp X1d
t
t
Vp − Td' Vp V − " Vp e + " − 'p e Td + ' − X X1d X1d 1d X1d
(3.7.67)
donde Vp es el valor efectivo en pu de la tensión en terminales antes del cortocircuito y t es el tiempo en segundos medido a partir del instante del cortocircuito. El primer término del segundo miembro corresponde a la corriente de cortocircuito estacionaria Icc. Si se resta este término de la corriente total,
8
IEEE Std 115 – 1995 11.7.1 Determination of direct-axis reactance parameters by sudden short circuit
La máquina sincrónica anisotrópica 3—40 ______________________________________________________________________
I(t ) −
Vp X1d
t
t
Vp − Td' Vp V − " Vp e + " − 'p e Td = ' − X X1d X1d 1d X1d
,
(3.7.68)
y se representa la diferencia en escala semilogarítmica para las ordenadas, se tiene que la representación, una vez decaída la componente subtransitoria (segundo término del segundo miembro de (3.7.68)), corresponde a una recta (figura 3.7.4). La extrapolación de esta recta intersecta al eje de ordenadas en el valor inicial de la componente transitoria ∆I’ y la constante de tiempo transitoria Td’ corresponde al tiempo transcurrido entre el instante del cortocircuito y el instante en que la componente transitoria se reduce a la e-ava parte de su valor inicial. separacion de las componentes subtransitoria y transitoria
1
10
I(t)-Iest Itrans-Iest I(t)-Itrans
0
I pu
10
-1
10
-2
10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 t seg
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Figura 3.7.4 Representación en escala semilogarítmica del valor efectivo de las componentes transitoria y subtransitoria de la corriente de cortocircuito Vp Vp A partir de ∆I' = ' − X 1d X 1d
se determina la reactancia transitoria en el eje directo como
(3.7.69)
La máquina sincrónica anisotrópica 3—41 ______________________________________________________________________ X 1' d =
Vp
(3.7.70)
I cc + ∆I'
La diferencia entre la evolvente correspondiente a la corriente total menos la componente estacionaria y la recta correspondiente a la componente transitoria: I(t ) −
Vp X1d
t
t
V − " Vp − Td' Vp Vp e " − 'p e Td − ' − = X X1d X1d 1d X1d
,
(3.7.71)
corresponde a la componente subtransitoria de la corriente de cortocircuito y su representación semilogarítmica también resulta en una recta (figura 3.7.4), que permite determinar el valor efectivo de la componente subtransitoria inicial ( para t=0) ∆I”, como el intercepto de esa recta con el eje de ordenadas, y la constante de tiempo correspondiente. A partir del valor inicial de la componente subtransitoria de la corriente de cortocircuito 1 1 ∆I′′ = Vp " − ' X1d X1d
(3.7.72)
se determina el valor de la reactancia subtransitoria en el eje directo, previa determinación de la reactancia transitoria, como X 1"d =
Vp
(3.7.73)
I cc + ∆I' + ∆I"
En la actualidad la forma de onda de la corriente de cortocircuito transitoria se registra generalmente en forma digital y la evaluación computacional de este registro debe regirse por las recomendaciones de la norma9. La tabla10 siguiente permite formarse una idea de los órdenes de magnitud de los parámetros y constantes de tiempo transitorias típicas para las máquinas trifásicas más usuales: Tipo
xd
x’d
x”d
T’d0
T’d
T”d
xq/xd x”q/x”d
H
Turbogenerador Hidrogenerador
2...2,3
0,25
0,15...0,2
4...7s
0,6...1s
0,03s
0,8...0,9
1
5...7s
Jaula completa Polos macizos
0,9...1,6 0,9...1,6
0,3...0,4 0,3...0,4
0,2...0,25 0,2...0,25
3...7s 3...7s
0,8...2s 0,8...2s
0,03...0,08s 0,04s
0,55...0,7 0,55...0,7
0,9...1,3 1,2...1,5
2...4s 2...4s
1...1,5 3...5
0,25...0,5 --
0,15...0,35 0,2...0,4
2...3s --
0,5..1,5s --
0,01...0,02s 0,01...0,05s
0,6...0,8 1
1 1
0,5...1,5s 0,05..1,5s
Motor Sincrónico Asincrónico
9
ibidem 11.12 Computerized implementation of the general procedures noted in 11.7 to 11.10 Th.Laible, “Die Theorie der Synchronmaschine im nichtstationären Betrieb” Ed. Springer 1952
10
CAPÍTULO 4
4
TRANSFORMADOR TRIFÁSICO
4.1
Modelo circuital
4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4
4.2
Ecuaciones de equilibrio y circuito equivalente Determinación de la impedancia de cortocircuito Grupos de conexión Transformadores en paralelo Formas de onda en vacío
4.3
Corriente transitoria de conexión (“inrush” magnético)
4.4
Funcionamiento asimétrico
4.4.1 4.4.2 4.4.3
4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5
4-22 4-23 4-26 4-28
4-29
Las ideas básicas del método aplicadas al transformador de dos devanados. 4-31 Generalización para transformadores de n devanados 4-36 Circuito equivalente 4-39 Transformador de tres devanados 4-40 Apéndice: Transformación de redes 4-43 Peso, potencia y pérdidas Circuito equivalente
4-44 4-44 4-45
Esfuerzos mecánicos
4.7.1 4.7.2 4.7.3
4.8
4-18
El autotransformador
4.6.1 4.6.2
4.7
Cargabilidad monofásica Modelo circuital Aplicación del método de las componentes simétricas
4-11 4-13
Transformador de n devanados
4.5.1
4.6
4-2 4-4 4-7 4-8 4-9
Fenómenos de magnetización
4.2.1
4.5
4-2
Fuerzas radiales Fuerzas axiales de contracción Fuerzas axiales debidas a asimetrías.
4-47 4-48 4-49 4-50
Dimensionamiento
4.8.1 4.8.2 4.8.3 4.8.4
Leyes de crecimiento Dimensiones principales Ejemplo numérico Apéndice: Diagrama de flujo para el diseño de un transformador
4-52 4-53 4-55 4-58 4-61
Transformador trifásico
4-2
4 Transformador trifásico Introducción La transmisión de la energía eléctrica desde su lugar de generación hasta los lugares de consumo por regla general requiere de más de dos niveles de tensión y el consiguiente empleo de transformadores. En lugares densamente poblados la capacidad de transformación instalada puede fácilmente quintuplicar la capacidad de generación. Es entonces comprensible que se imponga una elevada exigencia sobre el rendimiento de los transformadores en general y especialmente en los de potencia elevada. La incorporación de la técnica criogénica ofrece interesantes perspectivas de desarrollo. La concentración de la generación en unidades cada vez mayores ha tenido como consecuencia un aumento de la capacidad de los transformadores que conectan esas unidades a las redes de transmisión, cuya tensión nominal también se ha elevado, por lo que en el rango superior ya se construyen transformadores de 1000MVA y 800kV. Esos niveles de tensión y potencia implican un cúmulo de problemas técnicos, muy especialmente para el sistema dieléctrico formado por las bobinas del transformador. Por su capital importancia, el comportamiento de las bobinas desde el punto de vista del campo eléctrico será tratado en forma separada en la Asignatura de Alta Tensión1, limitándose el tratamiento que sigue a los efectos del campo magnético. En ese contexto se enfatizarán los aspectos relacionados con la operación del transformador trifásico, tanto en condiciones estacionarias como de falla. 4.1
Modelo circuital
Para el análisis de sistemas trifásicos simétricos se recurre al análisis por fase, metodología que, mediante la transformación de las componentes simétricas, puede extenderse a sistemas simétricos con cargas o fallas asimétricas. Con este objetivo se requiere de un modelo “por fase” del transformador trifásico. Un punto de partida apropiado es el circuito equivalente para el transformador monofásico de dos devanados, desarrollado en otra oportunidad2, que representa los efectos físicos más relevantes del transformador asociados al campo magnético. Su versión más simplificada se reduce a un cuadripolo con una sola impedancia serie, cuyo valor numérico, expresado en “por unidad”, es igual al valor en “por unidad” de la tensión de cortocircuito.
1 2
ver también Karsai,K.; Kerényi, D.; Kiss, L. “Large Power Transformers” Elsevier 1987 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, capítulo 4
4-3
Transformador trifásico b
a
c Φσ1
n C
Φm
B
A
Φσ2
B
C
A
Figura 4.1.1 Esquema de conexión de un banco de transformadores monofásicos
Se comprobará que ese modelo también es aplicable a la representación por fase del transformador trifásico, independientemente de la interconexión en estrella o en triángulo de los devanados primario y secundario, si se utiliza como valores base para las tensiones y corrientes los valores nominales de los respectivos devanados. Ia
IC
C
a
IAC A
n
IB
IBA
Ic Ib
IA
c
b
B
Vb
Figura 4.1.2 Representación simbólica del esquema de conexión de la figura 4.1.1
VB
4-4
Transformador trifásico
Con este objetivo, considérese un banco de transformadores monofásicos cuyos devanados están interconectados en la forma indicada en la figura 4.1.1. La figura 4.1.2 muestra la misma conexión en forma simbólica, considerando que las bobinas dibujadas paralelas están ubicadas sobre un mismo núcleo. El banco está conectado a una red trifásica simétrica. 4.1.1 Ecuaciones de equilibrio y circuito equivalente La aplicación de la Ley de Faraday a los devanados del transformador c de la figura 4.1.1 permite anotar directamente en notación fasorial: Vcn = R1 Ic + jωΨc
(4.1.01)
VBA = R 2 IBA + jωΨBA
(4.1.02)
Al introducir las nociones “flujo común” y “flujo de dispersión”, las expresiones (4.1.01) y (4.1.02) toman la forma:
Vcn = R1 Ic + jX σ1 Ic + jωN1Φ m
(4.1.03)
VBA = R 2 IBA + jX σ 2 IBA + jωN 2 Φ m
(4.1.04)
Amplificando (4.1.04) por la relación de vueltas N1/N2 y restando el resultado de (4.1.03) queda:
Vcn −
N1 N N VBA = R1 Ic − R 2 1 IBA + j X σ1 Ic − X σ 2 1 IBA N2 N2 N2
(4.1.05)
Si en esta ecuación se reemplaza los parámetros y las variables por los correspondientes productos “valor en pu por valor base”, considerando que
Vbase1 =
N1 Vbase 2 y que N2
Z base =
Vbase I base
, se logra
Vcn − VBA = R1 Ic − R 2 IBA + j ( X σ1 Ic − X σ 2 IBA )
en pu
(4.1.06)
donde cada variable y parámetro está expresado en por unidad de la respectiva cantidad base, prescindiéndose de una notación especial para las cantidades en valores relativos o en “por unidad (pu)”. Si se desprecia la corriente magnetizante, es decir, se idealiza el núcleo (µfe→ ∞ , Hfe→ 0), la aplicación de la Ley de Ampere a ese circuito magnético implica que:
4-5
Transformador trifásico
Ic N1 + IBA N 2 = 0
en A
(4.1.07)
Ic + IBA = 0 en pu con lo que (4.1.06) se reduce a Vcn − VBA = − R1 + R 2 + j ( X σ1 + X σ 2 ) IBA = Z e Ic pu 424 3 14243 1 R Xσ e Análogamente se tiene para el otro transformador (b) Vbn − VAC = −(R e + jX σ )I AC = Z e I b
(4.1.08)
(4.1.09)
pu
(4.1.10)
La conexión delta del secundario impone la restricción (Kirchhoff)
I AC − IBA = I A
pu,
(4.1.11)
por lo que, al restar (4.1.10) de (4.1.09), resulta
Vcn − Vbn − VB + VA + VA − VC = Z e I A = Z e (Ic − I b )
pu,
(4.1.12)
pu,
(4.1.13)
relación que se reduce a
j 3 Van + 3 VA = Z e I A = j 3 Ia Z e
si se considera las relaciones indicadas en el diagrama fasorial de la figura 4.1.3. En la ecuación (4.1.13) la tensión VA está referida a la tensión de línea y la corriente IA a la corriente de fase. Rescribiendo ahora (4.1.13) como
Van − j 3 VA = − jZ e
IA 3
= Ia Z e
pu
(4.1.14)
y amplificando los términos que se refieren al lado en delta (índice mayúscula) con las correspondientes cantidades base, Van − j 3 VA
VLN I I = − jZ e A L = Ia Z e VLN 3 IL
pu,
(4.1.15)
se puede reinterpretar estos términos como expresados en “por unidad” de nuevas bases, correspondientes a los valores “estrella” o “línea - neutro” de ese lado del transformador, quedando
4-6
Transformador trifásico
Van − jVA = − jZ e I A = Ia Z e en pu nueva base,
(4.1.16)
donde la impedancia de cortocircuito Ze sigue expresada en “por unidad” de la impedancia base definida en términos de las tensiones y corrientes nominales de los devanados. La relación (4.16) es satisfecha por el circuito equivalente de la figura 4.1.4. Ia
Ic
Se aprecia que con las denominaciones para los terminales de la figura 4.1.2 (arbitraria pero conveniente), las tensiones línea - neutro en el lado conectado en triángulo están atrasadas en 90º en relación con sus homónimas del lado estrella.
Ib Ic-Ib = j√3 Ia
Figura 4.1.3 Relaciones fasoriales en caso de alimentación simétrica
(Ia)
(Va)
(Ze)
j(IA)
j(VA)
Si se hace abstracción del ángulo de desfasamiento, el transformador trifásico simétrico, independientemente de su conexión, queda descrito por una
(IA) e-jπ/2
(VA)
Figura 4.1.4 Circuito equivalente por fase correspondiente a la conexión estrella – delta de la figura 4.1.1
conexión estrella - estrella equivalente, para la cual rige un circuito equivalente por fase con impedancia de cortocircuito cuyo valor en pu es igual a la tensión de cortocircuito expresada en pu de la tensión nominal del devanado en el cual fue medida.
4-7
Transformador trifásico
4.1.2 Determinación de la impedancia de cortocircuito Para la determinación experimental de la impedancia de cortocircuito se alimenta el transformador, cuyos terminales no excitados están sólidamente cortocircuitados, a una red de tensión reducida, según indica la figura 4.1.5. Se ajusta la corriente absorbida a su valor nominal y se mide la tensión de línea, la corriente de línea y la potencia activa. A partir de los valores medidos se calcula P ϕ = ar cos 3VL I L V Ze = L 3I L R e = Z e cos ϕ
(4.1.17) (4.1.18) X σ = Z e sen ϕ
y
(4.1.19)
asumiendo, independientemente de la conexión real, que la conexión sea estrella estrella. V V2 (4.1.20) Como la impedancia base vale Z base = Lnom = Lnom , 3I Lnom S nom
se tiene que con I coci = I Lnom que Z e =
L1
L2
Z e [Ω ] V = L = Vcoci en pu . Z base [Ω ] VLnom
(4.1.21)
W1 Transformador de conexión cualquiera
A V
L3
W2
Figura 4.1.5 Conexión para el ensayo en cortocircuito
Se aprecia que el procedimiento permite obtener los parámetros del circuito equivalente del transformador (estrella - estrella equivalente) sin que sea
4-8
Transformador trifásico
necesario conocer la conexión real del transformador ensayado. Esta sólo interesa para determinar el desfasamiento entre las tensiones homónimas del primario y del secundario. 4.1.3 Grupos de conexión En transformadores trifásicos de potencia por regla general las partes activas, núcleo y bobinas, están sumergidas en aceite mineral dentro de un estanque cerrado. Las bobinas de estos transformadores están interconectadas internamente y sólo son accesibles desde el exterior, a través de sendos aisladores, tres terminales por cada devanado (nivel de tensión) y eventualmente los neutros. De acuerdo con la norma IEC, las bobinas ubicadas sobre el mismo núcleo se identifican con una misma letra (U,V o W), a la que se le antepone un número (1U,2U) para distinguir entre si las bobinas de un determinado núcleo y a la que se le puede agregar otro número (1U1, 1U2) para identificar los dos extremos de una bobina (polaridad). Según sea la interconexión de las bobinas, la estrella de tensiones secundaria se desfasa respecto a la estrella de tensiones primaria en ángulos que son múltiplos de 30º. Aquellas combinaciones de conexiones que determinan igual desfasamiento constituyen un grupo de conexión. L2
L1
L3 1V
1U1
1V1
(L2)
1W1 2U2 2V1 2U1
1V2
1U2
1W2
2W2 2W1
2U1
2V1
2W1 1U
2U2
L1
1W
2W2
2V2
L2
2V2 (L2)
L3
Figura 4.1.6 Conexión externa e interna de un transformador Yd5 (nomenclatura IEC)
Figura 1.1.7 Diagrama fasorial correspondiente a la conexión Yd5
Transformador trifásico
4-9
El grupo de conexión se expresa mediante un número característico que indica cuantas veces 30º la tensión 2V está atrasada respecto a la tensión 1V. Si bien las normas NEMA e IEC usan nomenclaturas diferentes para designar los terminales de las bobinas, ambas normas definen el número característico asociado a un grupo de conexión en forma similar, por lo que esa cifra característica es independiente de la nomenclatura usada. Una conexión específica de un transformador de dos devanados se caracteriza mediante dos letras y el número característico, por ejemplo, Dy5. La D (mayúscula) indica que el devanado de alta tensión está conectado en delta, la y (minúscula) indica que el devanado de baja tensión está conectado en estrella y el 5 indica que la tensión en el lado de baja tensión está atrasada en 150º respecto a la homónima del lado de alta tensión. Para ilustrar la determinación del número característico de un grupo de conexión, considérese la conexión de la figura 4.1.6 y el correspondiente diagrama fasorial de las tensiones de la figura 4.1.7. La construcción del diagrama fasorial se realiza en este caso a partir de las tensiones primarias (dadas) y, considerando que las tensiones inducidas por un mismo flujo en bobinas de igual polaridad están en fase, se determina las tensiones secundarias, que se suman en la forma prescrita por la conexión. Al determinar la estrella equivalente correspondiente al triángulo de las tensiones secundarias, se comprueba que las tensiones de la estrella del secundario están atrasadas en 150º respecto a las homónimas de la estrella del primario y que por lo tanto la conexión es Yd5, si las líneas de salida (L1, L2, L3) están conectadas a 2U2, 2V2, 2W2. En cambio, si las líneas de salida se conectaran a 2U1, 2V1, 2W1 el desfase entre tensiones homónimas sería de 30º y la conexión sería Yd1 (norma Chilectra). 4.1.4 Transformadores en paralelo Para aumentar la capacidad de subestaciones (o para mejorar la seguridad de servicio) se suele recurrir al expediente de instalar un segundo transformador en paralelo con el existente. El esquema de la figura 4.1.8 ilustra la situación planteada en términos de circuitos equivalentes monofásicos. La operación en paralelo implica que ambos transformadores están conectados tanto en el primario como en el secundario a las mismas barras, lo que hace imperativo que ambos transformadores tengan la misma relación de transformación y que pertenezcan al mismo grupo de conexión.
4-10
Transformador trifásico
Con el objeto de determinar las condiciones para la adecuada distribución de la carga entre los transformadores en paralelo se plantea las ecuaciones de equilibrio para el circuito de la figura 4.1.8: ZA
IA
(4.1.22)
V1 = V2 + IB Z B kB
(4.1.23)
I 2 = I A + IB
(4.1.24)
I2
V1/kA V2
V1
ZB
V1 = V2 + I A Z A kA
IB
V1/kB
Figura 1.1.8 Transformadores en paralelo, interconexión de los circuitos equivalentes
donde kA y kB corresponden a las relaciones de transformación de los respectivos transformadores y ZA y ZB a las impedancias de cortocircuito en Ω. De estas ecuaciones se despeja:
IA =
V1 Z A + ZB
1 1 − k A kB
ZB + I2 Z A + ZB
(4.1.25)
IB =
V1 Z A + ZB
1 ZA 1 + − I2 kB k A Z A + ZB
(4.1.26)
Se aprecia que en vacío, es decir, con I 2=0, las corrientes en cada transformador sólo son nulas si las dos relaciones de transformación kA y kB son iguales. Si esta condición no se cumple habrá una corriente circulante interna no deseada entre los dos transformadores. Para relaciones de transformaciones iguales, se aprecia que la corriente de carga se distribuye entre los dos transformadores en razón inversa a las respectivas impedancias de cortocircuito: IA Z B = IB Z A
(4.1.27)
Reemplazando las corrientes e impedancias, expresadas en unidades físicas en (4.1.27), por los valores en pu multiplicados por la correspondiente base propia, se tiene:
4-11
Transformador trifásico I A I Abase Z B (Vbase I Bbase ) = IB I Bbase Z A (Vbase I Abase ) I Z que toma la forma A = B IB Z A
(4.1.28) (4.1.29)
donde ahora las corrientes y las impedancias están expresadas en por unidad de las bases propias de cada transformador. Se aprecia que la corriente de la carga se distribuirá entre los dos transformadores en proporción a las respectivas potencias nominales si las impedancias de cortocircuito, expresadas en por unidad de la base propia del respectivo transformador, son iguales. En resumen, para una operación en paralelo satisfactoria de dos transformadores debe cumplirse • • • •
que pertenezcan al mismo grupo de conexión que tengan la misma relación de transformación que las tensiones de cortocircuito en por unidad de la base propia sean iguales que la relación de potencias nominales no supere 1:3.
Esta última condición es necesaria, ya que transformadores de diferente potencia nominal tienen necesariamente (leyes de crecimiento) diferentes argumentos para sus impedancias de cortocircuito, lo que condiciona un desfasamiento entre las corrientes. Así, la corriente máxima en la carga es inferior a la suma aritmética de las corrientes nominales de los transformadores.
4.2
Fenómenos de magnetización
El modelo desarrollado en el párrafo anterior prescinde de la corriente magnetizante, es decir, hace abstracción del tipo de núcleo. En consecuencia es aplicable independientemente del circuito magnético del transformador. Si bien el valor efectivo de la corriente magnetizante, que en núcleos formados por chapas silicosas de grano orientado es inferior a un 1% de la corriente nominal, es despreciable frente a la corriente nominal, su forma de onda suele estar deformada por un alto
Φa
Φb Φc Vb
Va V=0
Figura 4.2.1
Vc
Excitación simétrica de 3 núcleos monofásicos
4-12
Transformador trifásico
contenido de componentes armónicas, debidas a la nolinealidad de la característica de magnetización del núcleo, las que pueden dar origen a problemas técnicos. En consecuencia es necesario analizar la influencia del tipo de núcleo y de la interconexión de los devanados sobre las componentes armónicas de las corrientes y de los flujos. En el banco de transformadores monofásicos los tres núcleos y sus correspondientes circuitos magnéticos son totalmente independientes entre sí. Suele resultar conveniente renunciar a esta independencia de los circuitos magnéticos y reunir los tres núcleos en una sola unidad constructiva para aprovechar el notable ahorro de material activo (chapa silicosa) y la consiguiente reducción de peso que se logra con esta medida. Básicamente existen dos posibilidades para integrar los núcleos en una sola unidad trifásica, que dan lugar a otros tantos tipos de núcleo. En la figura 4.2.1 están agrupados esquemáticamente tres núcleos monofásicos del tipo columna, Φa Φc representándose sólo los devanados primarios. La alimentación de estos Φb devanados con un sistema de tensiones trifásico simétrico impone en los núcleos flujos alternos de igual amplitud, pero desfasados relativamente en 120º. En consecuencia, el flujo enlazado por una bobina hipotética que abraza a las tres columnas centrales es cero en todo instante, Figura 4.2.2 Núcleo simétrico de 3 lo que sugiere la modificación del circuito columnas magnético en la forma indicada en la figura 4.2.2, donde se ha eliminado el volumen de fierro correspondiente a las tres columnas centrales, sin que esto haya alterado la distribución de flujo en las columnas que llevan los enrollados. Φa
Φc Φb
Figura 4.2.3 Núcleo asimétrico de 3 columnas
La realización del circuito magnético simétrico de la figura 4.2.2 presenta dificultades prácticas, por lo que se prefiere ubicar a las tres columnas en un mismo plano, como se muestra esquemáticamente en la figura 4.2.3. Esta medida tiene como consecuencia una asimetría del circuito magnético, lo que se refleja en que las corrientes magnetizantes resultan asimétricas. Sin embargo, dada la pequeña
4-13
Transformador trifásico
magnitud relativa de estas, el comportamiento del transformador bajo condiciones de carga simétrica no se ve afectado. Mientras los flujos en las columnas sean simétricos, la restricción sobre los flujos, impuesta por la introducción de un circuito magnético interconectado, no invalida la posibilidad de formular un circuito equivalente por fase. La segunda forma de integrar los circuitos magnéticos de tres transformadores monofásicos en una unidad trifásica se conoce como núcleo acorazado, representado esquemáticamente en la figura 4.2.4. Nótese que el sentido de enrollado de la bobina central es contrario al de las dos bobinas extremas. Φa
Φd/2 Φa
Φe/2 Φb
Φc
Vb
Vc
Va
Φb
Φc
Φd Φe
Figura 4.2.4 Transformador trifásico con núcleo acorazado
4.2.1 Formas de onda en vacío Sea un transformador monofásico en vacío excitado por una fuente de tensión sinusoidal. La característica de magnetización idealizada del núcleo tenga la forma indicada en la figura 4.2.5. 1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
2
4
6
Figura 4.2.5 Característica de magnetización
8
0
0
0.005
0.01
Figura 4.2.6 Tensión y corriente magnetizante
4-14
Transformador trifásico
Supóngase que todo el flujo se cierra por el núcleo. Entonces, en virtud de la Ley de Faraday, la tensión sinusoidal fuerza un flujo sinusoidal en el núcleo. La corriente magnetizante, relacionada con el flujo a través de la característica de magnetización nolineal, exhibe necesariamente la forma de onda compleja mostrada en la figura 4.2.6. La forma de la onda de corriente permite afirmar que esta sólo puede contener armónicas impares, por lo que su desarrollo en serie de Fourier se expresa como:
i (t ) = I1 sen (ω t ) − I 3 sen (3 ω t ) + I 5 sen (5 ω t ) + ..... amplitud
Para los niveles de inducción normales (1,6T) en el núcleo, las figuras 4.2.5 a 4.2.7 dan una idea aproximada de las amplitudes relativas de las armónicas de la corriente magnetizante.
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
(4.2.1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 # de orden
Figura 4.2.7 Espectro armónico correspondiente a la corriente magnetizante de la figura 4.2.6
A pesar de su relativa pequeñez, las armónicas pueden producir distorsiones importantes de la tensión (resonancia) en alguna barra del sistema, ya que las reactancias inductivas y capacitivas de éste son, respectivamente, proporcionales e inversamente proporcionales a la frecuencia de las corrientes armónicas.
Las armónicas de la corriente magnetizante y las debidas a los convertidores basados en semiconductores deben considerarse como los principales “ensuciadores” de las redes de potencia. Ib1
Ia1
Ic1
γIm1 γIm1
Im1
Figura 4.2.8 Corrientes magnetizantes en conexión delta y núcleo de 3 columnas
En el caso del transformador trifásico la relación entre la tensión aplicada y la corriente en las líneas de alimentación es más compleja, debido a las restricciones que pueden imponer el tipo de núcleo y el tipo de conexión. Para analizar este asunto, considérese un transformador de tres columnas, cuyas columnas externas (a , c) tengan reluctancias γ veces superiores a la de la columna central (b).
4-15
Transformador trifásico
Supóngase además que el devanado primario esté conectado en delta y que sea alimentado por una red trifásica simétrica ( figura 4.2.8). Las tensiones sinusoidales simétricas, aplicadas directamente a los devanados, fuerzan flujos sinusoidales simétricos y las corrientes requeridas para la magnetización de cada columna pueden desarrollarse libremente, como en el caso monofásico. Sus magnitudes son directamente proporcionales a la reluctancia del correspondiente circuito magnético. Las corrientes en las líneas de alimentación son iguales a la diferencia de dos corrientes de fase. El diagrama fasorial de la figura 4.2.9 ilustra estas relaciones para las componentes fundamentales. La distribución de las armónicas no múltiplos de la tercera es similar a la de la fundamental, salvo un eventual cambio de secuencia (p.ej. para la 5ª).
Ib1 Im1 Ic1 aγIm1 2
a γIm1 Ia1
Figura 4.2.9 Diagrama fasorial de las componentes fundamentales de las corrientes de fase y de línea dela figura 4.2.8
desaparecería si el núcleo fuese simétrico (γ = 1). La conexión en delta del devanado excitado no impone restricción alguna a la circulación de las componentes de la corriente magnetizante y se dice que en esos casos existe magnetización natural. Considérese ahora que se excita el devanado conectado en estrella (sin neutro) y que el secundario esté conectado en delta (figura 4.2.11).
Distinta es la situación para la 3ª armónica y sus múltiplos. Estas componentes están en fase en los tres devanados y con las denominaciones de la figura 4.2.10 se tiene que Ia 3 = (γ − 1)I m 3
(4.2.2)
I b 3 = −(γ − 1)I m 3
(4.2.3)
Ic 3 = γ I m 3 − γ I m 3 = 0 (4.2.4) Se aprecia que en este caso sólo en las líneas b y c circula una 3ª armónica residual, que Ib3
Ia3
γIm3
Ic3
γIm3 Im3
Figura 4.2.10 3eras armónicas en conexión delta y núcleo de 3 columnas
4-16
Transformador trifásico
Supóngase primeramente que la interconexión en delta esté abierta, de manera que no pueda circular corriente por el devanado secundario. La conexión en estrella sin neutro impone una restricción sobre las corrientes (la suma de las corrientes debe ser cero) y relaja la restricción sobre las tensiones de fase, ya que ahora sólo se fuerzan las tensiones de línea. Por otra parte, el tipo de núcleo exige por razones de simetría que las corrientes correspondientes a las columnas exteriores deben ser
I∆1
Ia1
Ib1
I∆1
Ic1 I’
Figura 4.2.11 Corrientes magnetizantes en I conexión estrella sin neutro y a1 I∆1 núcleo de 3 columnas
iguales en módulo y mayores que la correspondiente a la columna central. Estas dos condiciones sólo pueden ser satisfechas simultáneamente por el sistema de corrientes trifásicas bisimétrico de la figura 4.2.12
b1
I
I’
b1/2
Ic1 I∆1
a1
I’
120º
c1
Figura 4.2.12 Diagrama fasorial de las corrientes fundamentales
Φ b1 Φ ∆
Las fmms (corrientes) y los flujos de una misma columna están en fase. En consecuencia los fasores de los flujos tampoco forman una estrella simétrica según se aprecia en la figura 4.2.13. La estrella de fasores de flujo bisimétrica se puede interpretar como resultante de la superposición de una estrella simétrica y de tres flujos Φ∆ que están en fase. El flujo 3Φ∆ debe cerrarse necesariamente por el aire. Las tensiones inducidas por los flujos Φ∆ en los tres devanados también están en fase entre sí y determinan el corrimiento del neutro, como puede apreciarse en el diagrama fasorial de la figura 4.2.14.
Ib1
Φ’ b1
120º
Φ a1
Φ c1
Φ∆
Φ∆ Φ’ a1
120º
Φ’ c1
Figura 4.2.13 Diagrama fasorial de los flujos fundamentales
4-17
Transformador trifásico
Pero los flujos Φ∆ también inducen tensiones en las bobinas del devanado secundario. Si ahora se considera que la conexión delta está cerrada, las componentes en fase de las tensiones inducidas dan lugar a la corriente I ∆ que produce fmms adicionales en las tres columnas, que idealmente, es decir, en ausencia de dispersión, anulan los flujos Φ∆ (regla de Lenz), permaneciendo solamente las componentes simétricas Vb de los flujos de columna (Φ′a1, Φ′b1 y Φ′c1). Vba
Vcb n’ n
Va
Vac
Vc
Figura 4.2.14 Diagrama fasorial de las tensiones de línea y de fase
Se aprecia que en el caso de la conexión estrella – delta las corrientes en ambos devanados, primario y secundario, producen conjuntamente las fmms resultantes en las columnas (I′a1, I′b1 e I′c1) que dan lugar a flujos simétricos como los que existirían si se forzasen las tensiones de fase mediante la conexión del neutro del devanado primario al neutro de la red. En este último caso circularía una corriente por el neutro igual a 3I ∆.
Si, como consecuencia de la conexión en delta del devanado secundario, se restablece el flujo simétrico en las tres columnas, las fmms. de tercera armónica correspondientes a las dos columnas exteriores deben ser iguales entre sí y su valor debe ser γ veces el correspondiente a la columna central. La corriente de tercera armónica en el delta es forzosamente la misma para las tres columnas. Además la conexión estrella del primario exige que la suma de las corrientes de tercera armónica en el primario debe ser cero En consecuencia se tiene que cumplir (pu): I ∆ 3 + Ia 3 = γ I m 3
(4.2.5)
I ∆ 3 + Ic 3 = γ Im 3
(4.2.6)
I ∆ 3 + Ib3 = Im 3
(4.2.7)
Ia 3 + I b 3 + Ic 3 = 0
(4.2.8)
De estas relaciones se logra:
Transformador trifásico
Ia 3 = Ic 3 =
Ib3 = − I∆3 =
Im 3 (γ − 1) 3
2 Im 3 (γ − 1) 3
Im3 (2γ + 1) 3
4-18
(4.2.9)
(4.2.10) (4.2.11)
Se aprecia que con núcleo simétrico (γ = 1) la corriente de tercera armónica sólo circula en el interior de la conexión delta del secundario. Debido a la existencia del devanado conectado en delta se recupera la condición de magnetización natural. Cuando no pueden circular las corrientes I ∆1 e I ∆3, como sucede en el caso de la conexión estrella sin neutro – estrella o de la conexión estrella sin neutro – zigzag, aparece el flujo en el aire que debe cerrarse de un yugo al otro. Este flujo contiene una componente de frecuencia fundamental y una tercera armónica dominante. En esos casos se dice que existe magnetización forzada. Este flujo por el aire es siempre pequeño (<2%Φm), por lo que su influencia sobre el valor de la corriente magnetizante es despreciable. Sin embargo, las pérdidas que el flujo de triple frecuencia causa en las paredes del estanque pueden ser relativamente importantes. Según sea el valor de la inducción en el núcleo, pueden alcanzar valores del orden de 5 a 20% de las pérdidas medidas sin estanque.
4.3
Corriente transitoria de conexión (“inrush” magnético)
Al energizar a un transformador en vacío, conectándolo a una red de tensión y frecuencia dada, se pueden desarrollar corrientes transitorias, que, debido a la relación nolineal entre flujo y corriente, alcanzan valores máximos que pueden superar en más de 10 veces el valor máximo de la corriente nominal del transformador. Corrientes tan elevadas, del orden de la corriente de cortocircuito, implican esfuerzos mecánicos importantes sobre las bobinas y crean dificultades para la coordinación de la protección de sobrecorriente. En lo que sigue se analiza el fenómeno para el caso del transformador monofásico. Considérese que el transformador se conecta a la red en el instante t=0. Entonces para t>0 rige la siguiente ecuación de equilibrio para el primario del transformador:
4-19
Transformador trifásico
v 1 = R1 i 1 +
dψ 1 dt
(4.3.1)
Con el objeto de destacar lo esencial se simplifica la situación, suponiendo que la resistencia y el flujo de dispersión son despreciables. Así (4.3.1) se reduce a v 1 = N1
dΦ m , dt
(4.3.2)
enfatizando la relación entre tensión y flujo en el núcleo. Supóngase ahora que la tensión de la red sea sinusoidal de frecuencia angular ω y que el valor instantáneo en el momento de conexión (t=0) sea fijado por el ángulo de fase α, es decir,
v 1 = 2 V1 cos (ω t + α ).
2.5 2
Al reemplazar (4.3.3) en (4.3.2) se logra al integrar
1.5 1
Φ m (t ) =
0.5 0
(4.3.3)
0
0.01
0.02
0.03
Figura 4.3.1 Evaluación de la ecuación 1.3.6 para α= -π/2
2 V1 sen (ω t + α ) + C , ω N1
(4.3.4)
donde la constante de integración C se evalúa a partir de la condición inicial Φ m (0 ) = Φ r
(flujo residual)
como C = Φ r −
2 V1 sen (α ) . ω N1
(4.3.5) (4.3.6)
En consecuencia rige para el flujo
Φ (t ) = Φ r +
2 V1 [sen(ω t + α ) − sen(α )] ω N1
(4.3.7)
Se aprecia que con Φr>0 el flujo alcanza su valor máximo posible si α= -π/2, es decir, si el transformador se conecta a la red en el instante en que la tensión de la red pasa por cero. Este máximo se produce medio ciclo después del instante de conexión, cuando ωt=π, y vale Φ máx = Φ r + 2 Φ cr
(4.3.8)
4-20
Transformador trifásico
donde
Φ cr =
2 V1 ω N1
(4.3.9)
es el valor de cresta del flujo sinusoidal estacionario. La figura 4.3.1 ilustra la situación descrita. Los transformadores de potencia se diseñan para el funcionamiento normal con inducciones cuyo valor máximo es del orden de 1,6T, por lo que el flujo máximo definido por la relación (4.3.8) superaría largamente la inducción de saturación del fierro, que es del orden de 2,1T. Esta circunstancia permite estimar en forma simple el valor máximo de la corriente transitoria de conexión. En la figura 4.3.2 se representa la característica de magnetización de la chapa de grano orientado M-6X junto con las tangentes que la aproximan, respectivamente, para inducciones muy altas y muy bajas. La intersección de estas rectas determina el punto (Hsat,Bsat).
(Hsat,Bsat)
1.5 1 0.5 0
0
100
200
300
400
Figura 4.3.2 Característica B(H) y su aproximación
Para representar la relación entre B y H para inducciones muy elevadas se puede considerar, en primera aproximación, que Hsat=0. Esto implica considerar que el núcleo Φ
se satura totalmente con corriente nula y que para corrientes finitas se comporta magnéticamente como si fuese aire. Así, el flujo total abrazado por la bobina excitada de la figura 4.3.3 se puede suponer formado en parte por un flujo constante (Φsat) y en parte por un flujo creado por la corriente en la bobina (Φaire): Φ máx = Φ sat + Φ aire con
Φ aire = Ba Sa
y
Ba = µ 0
i cr N1 , l
(4.3.10) (4.3.11) (4.3.12)
Φaire
x x x x
Φsat Sa
l
Φmáx
Φsat
iN1
0
Φaire
Figura 4.3.3 Modelo del núcleo saturado. Superposición del flujo de saturación y del flujo en el aire
4-21
Transformador trifásico
la inducción en el interior de la bobina, que se calcula aplicando la Ley de Ampere alrededor de la bobina de longitud axial l, considerando que en bobinas cilíndricas con núcleo de aire no demasiado cortas el campo magnético se concentra en su interior, por lo que la contribución al valor de la integral del camino de integración exterior a la bobina puede ser despreciado, ya que allí el valor de H es muy pequeño. De las relaciones (4.3.8) a (4.3.12) se logra la siguiente expresión para el valor de cresta de la corriente transitoria de conexión, referida al valor de cresta de la corriente nominal: Φ − Φr 2 − sat (4.3.13) Φ cr 2 In 2 Sa ω µ 0 N1 l S (4.3.14) La expresión entre paréntesis La = µ 0 N12 a l corresponde a la inductancia de la bobina excitada antes de su montaje sobre el núcleo. Para calcular la sección Sa=π/4dm2 basta considerar el diámetro medio dm de esa bobina. La reactancia Xa=ωLa tiene un valor que, típicamente, es dos veces el valor de la reactancia de cortocircuito del transformador. i cr
=
V1 In
1
Si se rescribe la relación (4.3.14) en pu queda i cr =
1 xa
Φ sat − Φ r 2 − Φ cr
(pu),
(4.3.15)
se puede apreciar que el valor de cresta de la corriente transitoria de conexión depende básicamente de dos parámetros: la reactancia x a y el flujo residual Φr, siendo este último aleatorio. La expresión (4.3.15) está basada en el supuesto de un núcleo totalmente saturado, por lo que es necesario verificar si con el valor calculado para i cr esto se cumple. Para ello debe estar satisfecha la desigualdad i cr N1 > H satt l
A,
(4.3.16)
donde l es la longitud axial de la bobina y H satt ≈ 20kA/m corresponde al valor de H para la saturación total en el caso de chapas de grano orientado.
4-22
Transformador trifásico
icr/√2In kVA 500 1000 5000 10000 50000
AT 11 8,4 6 5 4,5
BT 16 14 10 10 9
Tabla 4.3.1 Amplitudes de referencia según IEEE (tolerancia ±50%) En transformadores de columnas las bobinas están dispuestas normalmente en la forma de cilindros concéntricos, correspondiendo el cilindro interior al devanado de baja tensión. Como SaBT es menor que SaAT, la corriente transitoria es relativamente mayor si el transformador es excitado por el lado de baja tensión. Por otra parte, las así llamadas “leyes de crecimiento” indican que, con inducción y densidad de corriente constantes, la potencia aparente crece con la cuarta potencia de las dimensiones lineales (P∼x4), mientras que la inductancia es directamente proporcional a las dimensiones lineales (L∼x), por lo que las inductancias crecen con la raíz cuarta de la potencia (L∼P1/4) y la amplitud relativa de la corriente transitoria de conexión disminuye a medida que aumenta la potencia del transformador. Ambas tendencias se ven reflejadas en los valores de la tabla 4.3.1, la que reproduce los valores de referencia para el “inrush” según el IEEE.
4.4
Funcionamiento asimétrico
Hasta aquí se había asumido tácitamente que el transformador estaba operando en condiciones simétricas, es decir, que tanto la alimentación como la eventual carga eran simétricas. Como esa condición puede verse alterada, ya sea por cargas monofásicas, ya sea por fallas, como cortocircuitos o fases abiertas, se hace necesario comprender el comportamiento del transformador en esas condiciones y desarrollar modelos apropiados para su análisis. Para visualizar el efecto del tipo de circuito magnético y de la interconexión de los devanados sobre las características de funcionamiento del transformador con carga asimétrica, se recurre convenientemente a las leyes de Ampere y de Kirchhoff. Este punto de vista también permite la interpretación física de un modelo analítico basado en “mallas de secuencia”, obtenidas a través de la aplicación de la transformación de las componentes simétricas.
4-23
Transformador trifásico 4.4.1 Cargabilidad monofásica
Para determinar las condiciones bajo las cuales transformadores trifásicos pueden ser cargados asimétricamente, se analiza el caso extremo de una carga monofásica. De esa manera aparecen más claramente los conceptos físicos involucrados en el problema. Considérese primeramente un transformador con núcleo de tres columnas, conectado en el primario en estrella sin neutro y en el secundario en estrella con neutro. El primario esté conectado a una red trifásica simétrica y en el secundario exista una carga monofásica, conectada entre una línea y el neutro, como se ilustra en la figura 4.4.1. Ib
Ia
Vb
Va
Z
VA IA
Vc
VC
VB
IB
La conexión estrella del primario impone la siguiente restricción sobre las corrientes:
Ic
IC
Ia + Ib + Ic = 0
Si se considera núcleos ideales (µfe→∞), es decir, si se desprecia la corriente magnetizante, la aplicación de la Ley de Ampere a lo largo de sendos caminos de integración que encierren las respectivas ventanas permite anotar:
I A N 2 + I a N1 − I b N1 = 0 Figura 4.4.1 Conexión estrella-estrella con carga monofásica
(4.4.1)
(4.4.2)
y
I b N 1 − I c N1 = 0 .
(4.4.3)
De (4.4.1) a (4.4.3) se despeja:
Ia = −
2 N2 IA 3 N1
(4.4.4)
Ib =
1 N2 IA 3 N1
(4.4.5)
Ic =
1 N2 IA 3 N1
(4.4.6)
4-24
Transformador trifásico
Se observa que si bien la excitación magnética resultante en cada ventana es cero, no sucede lo mismo con las excitaciones magnéticas en cada columna, que tienen todas el mismo valor y valen: µfe→∞
I A N 2 + I a N1 =
1 N2 IA 3
(4.4.7) Φ0
Estas fmms. están en fase en las tres columnas, por lo que el flujo Φ0 producido por ellas debe cerrarse necesariamente por fuera del núcleo, como se indica esquemáticamente en la figura 4.4.2. En las columnas estos flujos se superponen al flujo trifásico simétrico e inducen en los devanados secundarios las tensiones:
Φ0
Λ0
Φ0
Φaire=3 Φ0 IAN2/3
x
IAN2/3
x
IAN2/3
Figura 4.4.2 Circuito magnético para Φ0 en el núcleo de 3 columnas
VA = V0 + VA1
(4.4.8)
VB = V0 + VB1
(4.4.9)
VC = V0 + VC1 ,
(4.4.10)
donde VA1, VB1, VC1 son las tensiones inducidas por el flujo simétrico o flujo en vacío y V0 = jω N 2 Φ 0 = jω N 22
Λ 0 IA I = j X 0 A = jX 0 I0 . 3 3 3
(4.4.11)
es la tensión inducida por el flujo adicional debido a la corriente de carga monofásica. Para destacar sólo lo esencial en (4.4.8) a (4.4.10) se ha ignorado el flujo de dispersión. Por su parte, la carga impone la restricción
x
VA = − Z I A .
(4.4.12)
3 VA 1 , (4.4.13) 3 Z + jX 0 relación que reemplazada en (4.4.11) permite determinar las tensiones de fase (4.4.8) a (4.4.10).
Con (4.4.8), (4.4.11) y (4.4.12) se establece que
I A =· −
La figura 4.4.3 muestra el diagrama fasorial de las tensiones para el caso de una carga inductiva pura (Z=jX). Se puede apreciar que se produce una estrella de
4-25
Transformador trifásico
tensiones de fase desequilibrada y que el neutro del transformador se desplaza respecto al neutro del sistema en V0. VA1 VA
Para transformadores de tres columnas la permeancia Λ0 es relativamente baja, por lo que para corriente nominal la tensión V0 es del orden de 0,15 a 0,25pu, para transformadores pequeños y grandes respectivamente.
VB V0
IA VC1
VC
VB1
En el caso de bancos de transformadores monofásicos, transformadores con núcleo acorazado o transformadores con núcleo de Figura 4.4.3 Diagrama fasorial cinco columnas el flujo Φ0 puede cerrarse por para el caso Z=jX el fierro, por lo que en esos casos la permeancia Λ0 es mucho más alta, aunque dependiente de la saturación, lo que redunda en un desplazamiento del neutro más pronunciado que en el caso del núcleo de tres columnas. En esos transformadores la carga monofásica es inadmisible. Considérese ahora que el devanado primario esté conectado en delta (figura 4.4.4). En comparación con la situación anterior, desaparece la restricción sobre las corrientes de fase primarias y en cambio se impone los flujos en las columnas. En consecuencia, si se hace abstracción del flujo de dispersión, las fmms. adicionales en cada columna deben ser nulas, lo que implica que Ia = −
N2 IA N1
Ib = 0
,
Vab
Ia
Z
IA
VA
Ic = 0
,
Vbc
Ib
VB
Ic
VC
Figura 4.4.4 Conexión delta- estrella con carga monofásica
(4.4.14)
La ausencia de flujo adicional permite que el transformador pueda ser cargado monofásicamente sin que se produzca un desequilibrio inadmisible en las tensiones de fase. Generalizando este resultado, es condición para la cargabilidad asimétrica de un transformador que la suma de las fmms en cada columna sea cero. Para garantizar el cumplimiento de esa condición en el caso en que la conexión primaria deba ser en estrella sin neutro, se puede recurrir a un tercer devanado
4-26
Transformador trifásico
conectado en delta, conocido como devanado terciario, o a la conexión estrella – zigzag. En la conexión estrella – zigzag el devanado secundario consta de seis bobinas iguales y las fases, que se conectan en estrella con neutro accesible, se forman conectando respectivamente en serie dos bobinas ubicadas en columnas diferentes. 4.4.2 Modelo circuital El transformador suele ser parte de sistemas de potencia, cuyo análisis bajo condiciones de falla requiere de un modelo circuital apropiado para el transformador. Si se hace abstracción de la corriente magnetizante, el transformador de tres columnas puede ser considerado como una estructura electromagnética simétrica descrita en términos de las variables de terminales mediante la relación matricial: Va − VA Z p V − V = Z B m b Vc − VC Z m
Zm Zp Zm
Z m Ia Z m ⋅ I b Z p Ic
pu
(4.4.15)
Dado el carácter simétrico de la matriz de impedancias, esta es diagonalizada mediante la transformación de la componentes simétricas. En términos de estas variables substituto, conocidas como variables de secuencia y definidas por Ia 1 I = a 2 b Ic a
1 a a
2
1 I1 1 ⋅ I 2 1 I0
,
(4.4.16)
la relación (4.4.15) toma la forma más simple V1a − V1A Z 1 V − V = 0 2A 2a V0a − V0 A 0
0 Z2 0
I1 ⋅ I 2 Z 0 I0 0 0
(4.4.17)
con
Z1 = Z 2 = Z p − Z m
(4.4.18)
y
Z0 = Z p + 2 Zm
(4.4.19)
donde cada tensión de secuencia sólo depende de la correspondiente corriente de secuencia a través de una impedancia de secuencia.
4-27
Transformador trifásico
La determinación de los valores de las impedancias Zp y Zm es problemática. Como además son numéricamente muy parecidos, su diferencia sólo se conocería con un error relativo muy grande, por lo que existe interés en la medición directa de las impedancias de secuencia. Para ello supóngase que I2 e I0 sean nulas. En virtud de (4.4.16) se tiene que en esas condiciones a la corriente abstracta I1 le corresponde un sistema de corrientes de fase simétrico con Ia = I1
,
I b = a 2 I1
e
Ic = a I1
(4.4.20)
La impedancia de secuencia positiva, numéricamente igual a la de secuencia negativa, se determina excitando el transformador cortocircuitado trifásicamente con un sistema de tensiones simétrico y midiendo tensión, corriente y potencia. El cuociente Va V1 = = Z1 Ia I1
(4.4.21)
corresponde a la impedancia de secuencia buscada. El valor numérico de las impedancias de secuencia positiva y de secuencia negativa es igual al de la impedancia de cortocircuito del transformador. Supóngase ahora que I1 e I2 sean nulas. De (4.4.16) se desprende que esa condición se realiza cuando en las tres fases circulan corrientes iguales Ia = I0
,
I b = I0
e
I b = I0
(4.4.22)
En consecuencia, para la determinación de la impedancia de secuencia cero las tres fases se conectan aditivamente en serie a una fuente monofásica y se mide la tensión aplicada (V), la corriente (I0) y la potencia. Z0 =
V V0 = 3 I I0
(4.4.23)
El valor numérico de la impedancia de secuencia cero depende de la condición de los devanados no excitados (abiertos o cortocircuitados) y del tipo de núcleo. Para un transformador de tres columnas y conexión estrella – delta (es decir, con magnetización natural) el valor es del orden del de la impedancia de cortocircuito, en cambio, para la conexión estrella – estrella sin neutro (es decir, con magnetización forzada) el flujo de secuencia cero debe cerrarse por el aire, siendo el valor de la impedancia típicamente del orden de 0,5pu en base propia. Para un núcleo acorazado o un núcleo de 5 columnas y conexión estrella – estrella, el flujo de secuencia cero puede cerrarse por el fierro y el valor de la
4-28
Transformador trifásico
impedancia depende fuertemente del grado de saturación. Varía típicamente entre valores del orden de 90pu para V0=0,25pu y del orden de 1pu para V0=1pu, confirmándose que transformadores con estos tipos de núcleo no son aptos para el funcionamiento asimétrico con conexión estrella - estrella. Para la simulación de transformadores mediante programas como el EMTP o el ATP se utiliza la representación de éstos mediante la relación (4.4.15), cuyos parámetros Zp y Zm se obtienen convenientemente de las impedancias de secuencia, determinadas mediante (4.4.21) y (4.4.22), como Zp =
2 Z1 + Z 0 3
y
Zm =
Z 0 − Z1 3
(4.4.24)
4.4.3 Aplicación del método de las componentes simétricas Con el objeto de ilustrar la aplicación del método de las componentes simétricas al análisis del comportamiento del transformador con carga asimétrica, considérese nuevamente el caso de la carga monofásica entre línea y neutro, representado esquemáticamente en la figura 4.4.1. De las restricciones sobre las corrientes en el secundario: IB=0 , IC=0 se desprende, considerando la relación inversa de (4.4.16), que
1 a I A1 I = 1 1 a 2 A2 3 1 1 I A0
a 2 I A I A 1 a ⋅ IB = I A . 3 I A 1 IC
(4.4.25)
Por otro lado, al expresar la relación entre tensión y corriente en la carga: VA= -Z IA en términos de las componentes simétricas, se logra: VA1 + VA 2 + VA0 = − Z (I A1 + I A 2 + I A0 ) = −3Z I A1 .
(4.4.26)
Para el sistema simétrico formado por el transformador y la fuente (de secuencia positiva), visto desde los terminales secundarios del transformador, se tiene con las referencias de la figura 4.4.1: V1G Z 1 0 + 0
Z1
I A1 VA1 ⋅ I = V A2 A2 Z 0 I A0 VA0
,
(4.4.27)
VA 0 = Z 0 I A 0 .
(4.4.28)
de donde se aprecia que VA1 = V1G + Z 1 I A1 ,
VA 2 = Z 1 I A 2 y
4-29
Transformador trifásico
El reemplazo de estas relaciones en (4.4.26) permite obtener I A1 = −
V1G I = A . 3 Z + 2Z 1 + Z 0 3
(4.4.29)
La tensión en la fase secundaria cargada vale VA = VA1 + VA 2 + VA0 =
3Z V1G . 3 Z + 2Z 1 + Z 0
(4.4.30)
La influencia de la conexión de los devanados (y del tipo de núcleo) sobre el corrimiento del neutro queda expresada a través de Z0. Los resultados expresados por (4.4.29) y (4.4.30) son esencialmente coincidentes con (4.4.13) y (4.4.12), si se tiene en cuenta que entonces se despreció el efecto del flujo de dispersión, incorporado ahora a través de Z1. Debido a la conexión estrella sin neutro del primario, en las líneas de alimentación del transformador no pueden circular las componentes de secuencia cero. Con las referencias del esquema de conexión de la figura 4.4.1 se tiene que las componentes de secuencia de la corriente en el primario están dadas por: Ia1 = −I A1
,
Ia 2 = −I A 2
e
Ia 0 = 0
pu
(4.4.31)
Con ellas se calcula las corrientes primarias en cada fase: 2 Ia = Ia1 + Ia 2 = −2I A1 = − I A 3 1 I b = a 2 Ia1 + a Ia 2 = I A1 = I A 3 1 2 Ic = a Ia1 + a Ia 2 = I A1 = I A . 3
(4.4.32) (4.4.33) (4.4.34)
Estos resultados concuerdan plenamente con los obtenidos en (4.4.4) a (4.4.6) mediante la aplicación directa de las leyes de Ampere y de Kirchhoff. En ambos análisis se despreció la corriente magnetizante y con ella la eventual asimetría del circuito magnético.
4.5
Transformador de n devanados
La teoría clásica del transformador de dos devanados define un esquema de acoplamiento inductivo sobre la base de un flujo común, que enlaza
4-30
Transformador trifásico
completamente a ambos devanados y sendos flujos de dispersión, que sólo enlazan a sus respectivos devanados. Este esquema lleva al circuito equivalente T, el que, al despreciar la corriente magnetizante, se reduce a un solo elemento: la impedancia de cortocircuito. La extensión de este esquema a transformadores con más de dos devanados conduciría a los circuitos equivalentes de la figura 4.5.1, donde un transformador de n devanados quedaría descrito por n inductancias de dispersión. Pero, por otra parte, un transformador de n devanados está caracterizado por n(n-1)/2 impedancias de cortocircuito entre dos devanados, determinables en forma experimental, lo que requiere un circuito equivalente de n nodos y n(n-1)/2 elementos. Este circuito equivalente tiene la forma de un polígono completo, formado por n nodos, conectados por elementos ubicados en los lados y en las diagonales. Salvo para n=3, los polígonos no pueden ser convertidos en estrellas equivalentes3. De las figuras 4.5.1 y 4.5.2 se aprecia que para n>3 los circuitos equivalentes basados en el esquema de acoplamiento inductivo con un flujo común y flujos de dispersión no disponen de los elementos suficientes para poder representar los ensayos de cortocircuito, por lo que deben ser descartados.
1
n=4
n=3 2
n=2
2
1
2 3
1
3
4 Figura 4.5.1 Circuitos equivalentes resultantes de la extensión del esquema de acoplamiento inductivo usado para el transformador de dos devanados
de mediciones en el transformador terminado. No pueden ser obtenidos a partir de las dimensiones geométricas del transformador y por lo tanto no permiten determinar las características de funcionamiento del transformador durante su fase de diseño. Este inconveniente es superado por un circuito equivalente obtenido a partir del campo resultante en la ventana 3
ver 4.5.6 Apéndice: “Transformación de redes”
Un circuito equivalente en la forma de un polígono completo, si bien satisface el número de grados de libertad necesario para la representación circuital del transformador de n devanados, tiene el inconveniente que sus parámetros sólo pueden ser determinados a partir n=3
n=2 1
2
1
n=4 2
3
1
2
4
3
Figura 4.5.2 Circuitos equivalentes del tipo “polígono completo”
4-31
Transformador trifásico
producido por la totalidad de las corrientes, a desarrollarse en los párrafos siguientes.4 4.5.1 Las ideas básicas del método aplicadas al transformador de dos devanados. Sea la ventana de un transformador con dos devanados cilíndricos concéntricos de ancho despreciable. Las referencias positivas para flujos y corrientes sean las indicadas en la figura 4.5.3.
V10=V20
Φc
1 2 x x
Φσ Φ0=Φc
Figura 4.5.3 Esquema de un transformador de dos devanados, indicando las referencias positivas para flujos y corrientes
Considérese ahora una tensión sinusoidal V10 aplicada al devanado interior (1), ubicado junto a la columna. El flujo de vacío Φ0 es idéntico con el flujo en la columna Φc y está atrasado respecto a V10 en 90º. El flujo en la columna esté dirigido espacialmente hacia arriba cuando temporalmente alcanza su valor máximo positivo. La corriente magnetizante sea despreciable.
V10=V20 Φc
1 2 x x
Φσ I’2cc Φσ
I1cc Φ 0=Φ c
Figura 4.5.4 Esquema de los flujos y el diagrama fasorial correspondiente a cortocircuito (Ψ2=0)
Al conectar una carga a los terminales del devanado 2, circularán corrientes por ambos devanados. Las correspondientes fmms, iguales y opuestas, producirán el flujo de dispersión Φσ en el espacio cilíndrico entre los dos devanados. Su fase coincide con la de una de las dos corrientes.
Para determinar la fase del flujo de dispersión, supóngase al devanado exterior (2) cortocircuitado. Como, con las simplificaciones supuestas, el flujo Φ0, forzado por la tensión aplicada, permanece inalterado, el flujo Φσ (figura 4.5.4) debe tener 4
K.Schlosser, BBC Nachrichten März 1963, pgs. 107-132
4-32
Transformador trifásico
V10=V’20
necesariamente sentido opuesto a Φ0, ya que el cortocircuito (V2=0) fuerza que el flujo total enlazado por el devanado 2 sea nulo. Ahora, si los flujos Φ0 y Φσ tienen espacialmente sentidos opuestos, los correspondientes fasores deben estar en oposición de fase. En consecuencia, el flujo Φσ debe asociarse a la corriente I2.
Vσ
I1
Φ0=Φc Φy
Φσ
I’2
Para una condición de carga cualquiera, la se obtiene sumando tensión V’2 fasorialmente la tensión inducida por el flujo de dispersión Φσ en el devanado 2, adelantada en 90º a la corriente I2, con la tensión V10, inducida por el flujo Φ0 en ese devanado, como se ilustra en la figura 4.5.5.
Figura 4.5.5 Diagrama fasorial para tensiones y flujos
Parece natural y lógico extender la suma (superposición) de las tensiones también a las causas de estas, los flujos, y considerar que la tensión V2 es inducida por el flujo resultante formado por Φ0 y Φσ. Para Φy ello debe imponerse que los flujos se cierren hacia el exterior de la bobina 2, 1 2 como se indica en la figura 4.5.6. Esta exigencia es perfectamente admisible, ya Φc x x que ambos flujos son respectivamente, en la columna y en la ventana, Φσ componentes idénticas con el flujo resultante. Las reflexiones anteriores mantienen en lo esencial su validez si se relaja la restricción inicial relativa al ancho despreciable de las bobinas.
Figura 4.5.6 Flujos en la ventana y en la columna como partes del flujo resultante
Cuando las bobinas tienen un ancho radial finito el flujo de dispersión también enlaza parcialmente a la bobina 1 e induce en ella la tensión Vσ1, la que fuerza una variación del flujo en la columna Φc, determinado por la diferencia entre V10 y Vσ1. Para el desarrollo sistemático de un modelo para el transformador resulta conveniente descomponer el flujo de dispersión en componentes parciales asociadas a volúmenes específicos de la región formada por las bobinas y el espacio entre ellas, como lo muestra el esquema de la figura 4.5.7. Así el flujo componente que ocupa el volumen correspondiente a la bobina interior (1) enlaza parcialmente las espiras de esa bobina y totalmente a la bobina exterior (2). El
4-33
Transformador trifásico a1
a2
flujo parcial en el espacio entre las dos bobinas enlaza todas las vueltas del devanado exterior y ninguna del devanado interior. El flujo parcial en el volumen ocupado por la bobina exterior enlaza parcialmente las espiras de ese devanado y no enlaza al devanado interior.
H Φc
b
1
2
fmm H
∼dΦ1 dx1
x1
x2
Figura 4.5.7 Esquema de los devanados y referencias para el cálculo de los enlaces de flujo parciales
H1 = −
Para el cálculo de los enlaces de flujo parciales se supone que el fierro es de permeabilidad infinita, que las líneas de flujo son paralelas al eje de la columna y que la corriente se distribuye homogéneamente sobre la sección de la bobina. La aplicación de la Ley de Ampere a lo largo de un camino de integración cerrado como el indicado en la figura 4.5.7 permite concluir que la distribución de fmm a lo ancho de la ventana es trapezoidal. Con las denominaciones y referencias de la figura 4.5.7 se determina que la intensidad del campo magnético en el volumen ocupado por la bobina 1 está dada por:
N1 i 1 x 1 . b a1
(4.5.1)
El elemento diferencial de flujo dΦ 1 = µ 0 H1 l m1 dx1 ,
(4.5.2)
donde, para simplificar, para el elemento de área se ha considerado un largo promedio de las espiras de la bobina 1, abraza a N x 1 = N1
a1 − x1 vueltas, a1
por lo que el flujo enlazado por la bobina interior vale:
(4.5.3)
4-34
Transformador trifásico
a
ψ 11
1 l = −µ 0 m12 N12 i 1 ∫ x1 (a1 − x1 ) dx1 b a1 0
ψ 11 = −µ 0
l m1 2 a1 a N1 i 1 = −K 1 1 i 1 . b 6 6
(4.5.4) (4.5.5)
En forma análoga se logra para la bobina 2 N2 i 2 x2 , b a2
(4.5.6)
dΦ 2 = µ 0 H 2 l m 2 dx 2 ,
(4.5.7)
H2 =
N x2 = N2
x2 , a2
(4.5.8)
con lo que se calcula el enlace de flujo parcial correspondiente a esa bobina como: a
ψ 22 = µ 0
lm2 2 2 2 N2 i 2 ∫ x 2 dx 2 b a 22 0
(4.5.9)
ψ 22 = µ 0
a lm2 2 a 2 N2 i 2 = K ′2 2 i 2 . b 3 3
(4.5.10)
En el volumen entre las dos bobinas la intensidad del campo magnético es constante y vale: Hδ =
N2 i 2 . b
(4.5.11)
El flujo que entra al yugo desde el espacio entre las bobinas Φ δ = µ 0 H δ l m δ12
(4.5.12)
abraza a todas las vueltas del devanado exterior, por lo que el correspondiente enlace de flujo parcial es ψ δ = µ0
lm 2 N 2 δ12 i 2 = K ′ δ12 i 2 . b
(4.5.13)
El flujo que penetra al yugo desde el espacio ocupado por la bobina interior 1 Φ = µ0
H1 (a1 ) l m1 a1 2
(4.5.14)
Transformador trifásico
4-35
también enlaza todas las vueltas del devanado exterior 2 y el correspondiente enlace de flujo parcial es ψ 21 = −µ 0
l m1 a N a N1 N 2 1 i 1 = −K 1 2 1 i 1 . b 2 N1 2
(4.5.15)
Al sumar estos enlaces de flujo parciales para los respectivos devanados se obtiene el correspondiente enlace de flujo total. Así, el flujo enlazado por el devanado interior 1 vale ψ 1 = Φ c N1 − K 1
a1 i1 , 6
(4.5.16)
mientras que la bobina exterior 2 enlaza el flujo N 2 a1 a , i 1 + K ′ δ12 i 2 + K 2′ 2 i 2 N1 2 3 que referido bobina interior de N1 vueltas toma la forma ψ 2 = Φ c N2 − K1
a a1 i1 − K δ12 i1 − K 2 2 i1 , 2 3 si se considera que i 1 N1 + i 2 N 2 = 0 . ψ ′2 = Φ c N1 − K 1
a a a La diferencia ψ 1 − ψ ′2 = − K 1 1 + K 1 1 + K δ12 + K 2 2 i 1 6 2 3 se anota como K a + K 2 a2 ψ 1 − ψ ′2 = K δ12 + 1 1 i 1 = Lσ i 1 3
(4.5.17)
(4.5.18)
(4.5.19)
(4.5.20)
y representa la pérdida de enlace de flujo. La inductancia Lσ corresponde a la inductancia de dispersión total. Si, como es usual, se introduce el perímetro medio “promedio” de los tres cilindros en las expresiones para K, K1 y K2 , la expresión para la inductancia de dispersión, o de cortocircuito, toma la forma de la fórmula clásica de Kapp: Lσ = µ 0 N12
lm a + a2 δ12 + 1 . 3 b
(4.5.21)
Transformador trifásico
4-36
4.5.2 Generalización para transformadores de n devanados Las ideas desarrolladas en el párrafo anterior para el transformador de dos devanados pueden ser generalizadas para incluir cualquier número de devanados. Para ello se procede convenientemente en la forma que se indica a continuación.
1.
2.
Todos los devanados se consideran reemplazados por devanados equivalentes de N1 vueltas por los que circulan las corrientes equivalentes N (i= 2,3,4,…,n). (4.5.22) i i′ = i i i N1 Se desprecia la corriente magnetizante, con lo que se cumple que n
∑i′ = 0 i =1
3.
i
(4.5.23)
Estas idealizaciones permiten concebir la distribución de fmm resultante en una ventana como la superposición de las fmms de n(n-1)/2 combinaciones de a dos devanados, como se ilustra en la figura 4.5.8. Para ello se supone que la corriente equivalente en cada devanado es la suma de (n-1) componentes ficticias, una para cada combinación de a dos que involucre a ese devanado. Así, para n=4 se tiene que i 1 = i 12 + i 13 + i 14 i 2′ = −i 12 + i 23 + i 24
(4.5.24)
i 3′ = −i 13 − i 23 + i 34 i 4′ = −i 14 − i 24 − i 34 Los signos de las componentes ficticias se fijan en relación con las componentes de la bobina interior 1, consideradas positivas, teniendo en cuenta que ijk= -ikj.
4.
Ahora se procede a determinar los enlaces de flujo de cada devanado, considerando que cada par de corrientes ficticias ijk= -ikj aporta enlaces de flujo parciales similares a los determinados en el párrafo anterior para el transformador de dos devanados. Es importante destacar que la bobina de referencia 1 es la más próxima a la columna y que el flujo que penetra al yugo desde la ventana se cierra “hacia afuera”, alejándose de la columna. Para los enlaces de flujo parciales debidos a la corriente en el propio devanado, cuando esta produce fmms crecientes al avanzar desde la bobina interior 1 hacia las exteriores, se había obtenido (4.5.5) a ψ + = −K i i i ij (4.5.25) 6 l K i = µ 0 mi N12 . (4.5.26) con b
4-37
Transformador trifásico
Para los enlaces de flujo parciales debidos a la corriente en el propio devanado, cuando esta produce fmms decrecientes al avanzar desde la bobina interior 1 hacia las exteriores, se había obtenido (4.5.10) a ψ − = −K i i i ij (4.5.27) 3 Para el flujo neto que entra al yugo desde la bobina i se había obtenido (4.5.15) K a Φ i = − i i i ij (4.5.28) N1 2 y para el flujo que entra al yugo desde el espacio entre dos bobinas se había obtenido (4.5.13) K Φ δ = − i δ i i ij . (4.5.29) N1 Con estos elementos se calcula el enlace de flujo ψ’i de cada devanado equivalente de N1 vueltas. Para ilustrar la aplicación del procedimiento considérese el transformador de cuatro devanados y las denominaciones correspondientes de la figura 4.5.8. El devanado interior 1 enlaza al flujo de la columna y además posee tres enlaces de flujo parciales del tipo ψ+, por lo que el enlace de flujo resultante es a (4.5.30) ψ 1 = ψ c − K 1 1 (i 12 + i 13 + i 14 ) 6 el enlace de flujo resultante de la bobina 2 es
} Φy Φc
a1
23 δ
δ
δ
H
24
14 13
1 12
2
3
4
34
Figura 4.5.8 Esquema de las fmms parciales para un transformador de cuatro devanados (n=4)
4-38
Transformador trifásico
El devanado 2 enlaza al flujo de la columna, tres flujos del tipo Φi y tres flujos del tipo Φδ producidos por las corrientes en el devanado 1, además posee cuatro enlaces de flujo parciales del tipo ψ+ y tres enlaces de flujo parciales del tipo ψ-, según se desprende de las superposiciones de fmm de la figura 4.5.8, por lo que a a a ψ ′2 = ψ c − K 1 1 + K 1 δ1 + K 2 2 (i 12 + i 13 + i 14 ) − K 2 2 (i 13 + i 14 + i 23 + i 24 ) 2 3 6
(4.5.31)
El devanado 3 enlaza al flujo de la columna, tres flujos del tipo Φi y tres flujos del tipo Φδ producidos por las corrientes en el devanado 1, siete flujos del tipo Φi producidos por las corrientes del devanado 2, cuatro flujos del tipo Φδ producidos por las corrientes en el devanado 2 en el espacio de ancho δ2, además posee tres enlaces de flujo parciales del tipo ψ+ y cuatro enlaces de flujo parciales del tipo ψ-, según se desprende de las superposiciones de fmm de la figura 4.5.8, por lo que el enlace de flujo resultante de la bobina 3 es a a ψ ′3 = ψ c − K 1 1 + K 1 δ1 + K 2 2 (i 12 + i 13 + i 14 ) 2 2 a a − K 2 2 + K 2 δ 2 + K 3 3 (i 13 + i 14 + i 23 + i 24 ) 2 3 − K3
(4.5.32)
a3 (i 14 + i 24 + i 34 ) 6
En forma análoga se obtiene el enlace de flujo resultante para la bobina 4
a a ψ ′4 = ψ c − K 1 1 + K 1 δ1 + K 2 2 (i 12 + i 13 + i 14 ) 2 2 a a − K 2 2 + K 2 δ 2 + K 3 3 (i 13 + i 14 + i 23 + i 24 ) 2 2
(4.5.33)
a a − K 3 3 + K 3 δ 3 + K 4 4 (i 14 + i 24 + i 34 ) 2 3 Resulta conveniente definir las siguientes inductancias Lvi ,i = K i
ai 6
y
a a Lvi ,i +1 = K i i + δ i + K i +1 i +1 2 2
(4.5.34)
y reescribir las relaciones para los enlaces de flujo en términos de las corrientes equivalentes de las bobinas utilizando las relaciones (4.5.24).
4-39
Transformador trifásico
Se logra ψ 1 = ψ c − Lv 11 i 1 ψ ′2 = ψ c − Lv 12 i 1 − Lv 22 i 2′
(4.5.35)
ψ ′3 = ψ c − Lv 12 i 1 − Lv 23 ( i 1 + i 2′ ) − Lv 33 i 3′ ψ ′4 = ψ c − Lv 12 i 1 − Lv 23 ( i 1 + i 2′ ) − Lv 34 ( i 1 + i 2′ + i 3′ ) − Lv 44 i 4′ . Con estos enlaces de flujo y las resistencias referidas al devanado de N1 vueltas: 2
N R′i = 1 R i Ni se plantea las ecuaciones de equilibrio para los devanados v i = R i′ i i′ +
dψ ′i dt
(4.5.36)
(i= 1,2,3,4)
(4.5.37)
4.5.3 Circuito equivalente De la estructura de las relaciones (4.5.35) para los enlaces de flujo se desprende el circuito equivalente representado en la figura 4.5.9, cuya generalización para n devanados es inmediata. La utilidad práctica de un circuito equivalente depende en gran medida de la posibilidad de determinar los parámetros involucrados en él.
i’4
-Lv44 D
R’4
v’4 i’3
-Lv33 R’3
v’3 i’2 v’2
-Lv22
-Lv11 R1
Lv34 C
Lv23 B
R’2 i1
dΦy/dt
Lv12 A
v1 dψc/dt El circuito equivalente de la figura 4.5.9 tiene la ventaja que sus parámetros pueden ser calculados a partir de la geometría de las bobinas, Figura 4.5.9 Circuito equivalente por lo que las características de para un transformador de funcionamiento del transformador cuatro devanados (n=4) pueden ser determinados con anterioridad a su construcción. Sin embargo, también existe el deseo de verificar el valor de los parámetros a partir de las n(n-1)/2 mediciones de cortocircuito posibles. Esto no puede cumplirse en el presente caso, ya que de las (2n-1) inductancias incógnitas sólo es
4-40
Transformador trifásico
posible determinar (2n-3). La separación de las combinaciones (-Lv11+Lv12) y (-Lv44+Lv34) sólo es posible si se recurre además a bobinas exploratorias ubicadas convenientemente para determinar las tensiones dΦc/dt y dΦy/dt.
1
3
x
y
2
4 3
x
El hecho que las tensiones en los nodos interiores (A, B, C ,D) sean proporcionales al flujo en el yugo en las coordenadas radiales correspondientes le da a este circuito equivalente una interesante potencialidad a la hora de analizar el comportamiento interior del transformador bajo diferentes condiciones de carga y de falla. Las transformaciones estella-polígono ilustradas en la figura 4.5.10 reflejan la equivalencia con el polígono completo y, por lo tanto, la capacidad del circuito equivalente de representar correctamente las relaciones entre las variables de terminales del transformador.
2
y 4
1
3
2 y 1
4
2
3
1
4
Figura 4.5.10 Transformación estrella-polígono completo del circuito equivalente
4.5.4 Transformador de tres devanados Para obtener un modelo circuital del transformador de tres devanados podría recurrirse en principio a diferentes procedimientos, ya que normalmente la transformación estrella – triángulo es reversible. Desde el punto de vista de la teoría del transformador de n devanados el circuito equivalente se reduce al circuito estrella de la figura 4.5.11. Considérese ahora las inductancias de cortocircuito entre dos devanados, con el tercero abierto. Así, para la inductancia de cortocircuito entre los devanados 1 y 2 se obtiene Lσ12 = Lv 12 − Lv 11 − Lv 22 a a + a2 a Lσ12 = K 1 1 + δ1 + K 2 2 ≈ K 12 δ1 + 1 3 3 3 l a + a2 Lσ12 ≈ µ 0 N12 m12 δ1 + 1 , 3 b
(4.5.38)
(4.5.39)
4-41
Transformador trifásico
para la inductancia de cortocircuito entre los devanados 1 y 3, Lσ13 = Lv 12 + Lv 23 − Lv 11 − Lv 33
Lσ13 ≈ µ0N12
(4.5.40)
l m13 a +a δ1 + δ2 + a2 + 1 2 b 3
(4.5.41)
y para la inductancia de cortocircuito entre los devanados 2 y 3, Lσ 23 = Lv 23 − Lv 22 − Lv 33 Lσ 23 ≈ µ 0 N12
(4.5.42)
l m 23 a + a3 δ2 + 2 . 3 b
(4.5.43)
Se aprecia que al introducir el largo medio de las respectivas estructuras cilíndricas concéntricas las expresiones (4.5.39), (4.5.41) y (4.5.43) toman la forma de la fórmula de Kapp para los correspondientes transformadores de dos devanados. La teoría clásica y la teoría sistémica del transformador de tres devanados también conducen a un circuito equivalente estrella, cuyos elementos Lσ1, Lσ2 y Lσ3, sin embargo, deben ser obtenidos a partir de las tres inductancias de cortocircuito: i’3
-Lv33 Lv23
i’2
v’3 -Lv22 i1 v1
Lv12
(4.5.44)
Lσ 2
(4.5.45)
Lσ 3 v’2
-Lv11
Figura 4.5.11 Circuito equivalente para un transformador de tres devanados
1 (Lσ12 + Lσ13 − Lσ23 ) 2 1 = (Lσ12 + Lσ 23 − Lσ13 ) 2 1 = (Lσ13 + Lσ 23 − Lσ12 ) . 2
Lσ1 =
(4.5.46)
Se puede comprobar que la inductancia Lσ2=Lv22, asociada al terminal del devanado ubicado entre el cilindro interior y el cilindro exterior, es relativamente pequeña, por lo que suele elegirse el devanado intermedio como devanado de excitación. De esa manera las tensiones en los otros dos devanados, a los que se conecta las cargas, resultan relativamente independientes de la corriente en la otra carga.
Las inductancias del circuito equivalente de la figura 4.5.11 están referidos al número de vueltas del devanado interior (1). Generalmente se prefiere trabajar
4-42
Transformador trifásico
con valores adimensionales (pu), lo que implica adoptar valores base comunes (bc): Vbc = V1n
Pbc = P1n
Z bc
V12n = P1n
(4.5.47)
A diferencia del transformador de dos devanados, en el transformador de tres devanados las potencias nominales de los tres devanados no son iguales y por regla general estos transformadores son dimensionados de manera que la potencia nominal del devanado excitado (2) sea igual a la suma algebraica de las potencias nominales de los otros dos devanados: Pn 2 = Pn1 + Pn 3 .
(4.5.48)
En cambio se mantiene la relación entre impedancia de cortocircuito y tensión de cortocircuito establecida para el transformador de dos devanados. Las tensiones de cortocircuito y las impedancias de cortocircuito expresadas en por unidad de la base propia del devanado son numéricamente iguales: v cc12 [pu ] =
′ [Ω ] V1n [V ] P1n V12′ [V ] I1n [A]Z12 ′ [Ω ] = z12 [pu ] . = ⋅ = Z12 V1n [V ] V1n [V ] V1n [V ] V12n
(4.5.49)
donde Z’12 es la impedancia de cortocircuito referida al devanado 1. Al introducir ahora una potencia base común para los tres devanados, cambian las impedancias base de los devanados en la proporción : Z bp Z bc
=
Pbc . Pbp
(4.5.50)
Para el cambio de base rige: z[pu bc ] = z[pu bp ]
Z bp [Ω ] Z bc [Ω ]
= z[pu bp ]
Pbc [VA] . Pbp [VA]
(4.5.51)
Los datos de placa de un transformador incluyen las tensiones de cortocircuito en %, medidas con la corriente nominal del devanado de menor potencia involucrado en ese cortocircuito. Así, si el devanado 1 es de menor potencia y se realiza el ensayo de cortocircuito excitando el devanado 2, se tiene que
(I1n [A]Z12′ [Ω])V2n [V ] V ′′ [V ] V1n [V ] I ′ [Ω ] = z12 [pu ] . v cc12 [pu ] = 12 = ⋅ = 1n Z12 V2n [V ] V2n [V ] V1n
(4.5.52)
4-43
Transformador trifásico
4.5.5 Apéndice:
Transformación de redes
Con el objeto de simplificar el análisis de ciertas redes puede resultar conveniente reemplazar un conjunto de sus componentes por otro, sin que este reemplazo implique una modificación de las distribuciones de tensión y corriente en el resto de la red. En este contexto tiene especial interés la transformación de un conjunto de n elementos que forman una estrella. Esta estrella, interconectada con el resto de la red en n nodos, siempre puede ser reemplazado por un polígono completo de n lados, formado por la totalidad de las líneas que pueden trazarse desde cada vértice a los otros vértices y tiene un total de n(n-1)/2 lados. Los elementos correspondientes a estos lados pueden ser determinados unívocamente en términos de los elementos de la estrella. Para ello considérese la estrella de n-1 ramas de la figura A1, separada del resto del circuito, representado por las n-1 corrientes ik. Sean yk las admitancias de las ramas y vk las tensiones de los nodos respecto a un nodo de referencia no especificado.
De acuerdo con Kirchhoff se tiene que
y1 − y 1
y2 y3 y4 − y2
− y3
− y4
− y1 − y 2 − y3 − y4 y n
i1
v 1 i1 v i 2 2 v 3 = i 3 v 4 i 4 v n 0
Y y n
V I v = 0 n
de
las
que
n
3
i4
n-1 4
Figura A1 n −1
yn = ∑ yk
donde
1
y se
i3
in-1
y se desarrolla el producto con lo que se logran dos ecuaciones
DV + Y v n = I
2
1
Para eliminar el nodo n se particiona las matrices
D Y t
i2
elimina
1
Y t V + yn vn = 0 vn
,
obteniendo
i2 2 i3
in-1
finalmente
1 D − YY t V = I yn la matriz de admitancias
i1
i4
n-1 1 Yp = D − YY t es completa yn
y corresponde al polígono equivalente a la estrella de la figura A2.
4 Figura A2
3
4-44
Transformador trifásico 4.6
El autotransformador
4.6.1 Peso, potencia y pérdidas La interconexión galvánica de los devanados de un transformador de acuerdo con el esquema de la figura 4.6.1 permite aumentar significativamente la potencia transferida desde un nivel de tensión a otro nivel de tensión, en comparación con la que sería posible transferir con un transformador común con igual peso de sus partes activas (devanado y núcleo). Esta característica ha convertido al autotransformador en un elemento importante, tanto en los sistemas de potencia como en el rango de las potencias pequeñas. Para apreciar esta característica fundamental del autotransformador, considérese el esquema de conexión y las denominaciones y referencias de la figura 4.6.1. Las pérdidas sean despreciables y el circuito magnético sea ideal. IAT
Entonces se tiene que de la potencia transferida total
Vs
IBT
VAT
Ip VBT
S t = VBT I∗BT = − VAT I∗AT
(4.6.1)
sólo la fracción
Vp
S i = VBT I∗p = − Vs I∗AT Figura 4.6.1 Esquema de conexión del autotransformador
(4.6.2)
es transferida inductivamente.
Con las restricciones:
IBT + I AT = I p
(Kirchhoff)
(4.6.3)
y I AT N s + I p N p = 0
(Ampere)
(4.6.4)
se tiene que
S i == St
Ns . N p + Ns
S i = VBT I∗p
Ip I∗BT = St ∗ IBT IBT (4.6.5)
Por otro lado, las leyes de crecimiento determinan que el peso G es proporcional al cubo de las dimensiones lineales, mientras que la potencia aparente S de un transformador es proporcional a la cuarta potencia de las dimensiones lineales, 3 por lo que G ∼ S 4 . En consecuencia , para transferir la misma potencia St, los
4-45
Transformador trifásico
pesos del auto transformador G AT ∼ S i
fr 0.8
del transformador GT ∼ St razón
0.6
Vs G f r = AT = V +V GT p s
0.4 0.2 0 0
1 Vs/Vp
2
Figura 4.6.2 Factor de reducción de peso y pérdidas
3
3
4
3
4
y
están en la
. 4
(4.6.6)
Con cargas específicas (B, j) constantes las pérdidas son proporcionales al peso del material activo, por lo que, al disminuir éste, se reducen en la misma proporción. Un autotransformador tiene un mejor rendimiento que un transformador de la misma potencia. La figura 4.6.2 muestra la relación entre el factor de reducción de pesos y pérdidas 3
Vs como función del cuociente Vs . V +V Vp p s Se puede apreciar que las ventajas del autotransformador tienden a desaparecer a medida que crece la tensión Vs en el devanado serie en relación con la tensión Vp. 4
4.6.2 Circuito equivalente La interconexión de los devanados no altera el acoplamiento magnético entre estos, lo que implica que éste queda descrito por el mismo circuito equivalente del transformador común. Por conveniencia en la figura 4.6.3 se ha mantenido las denominaciones y referencias del circuito equivalente del transformador de n devanados. Adicionalmente hay que considerar las restricciones sobre las variables impuestas por la interconexión.
IAT V2 VAT
IBT VBT =V1
I’2 V’2
R’2 -Lv22 Lv12
I1 R1
-Lv11 N1dΦc/dt
Figura 4.6.3 Circuito equivalente del autotransformador
VAT = V1 + V2
(4.6.7)
IBT + I AT = I1
(4.6.8)
4-46
Transformador trifásico Como I AT N 2 = I′2 N1
IBT = I1
se tiene que
(4.6.9) N1 + N 2 N2
(4.6.10)
y como
V2′ − V1 = −I1 (R1 + R 2′ + j (− X v 11 − X v 22 + X v 12 )) = −I1 Z ccT
(4.6.11)
se tiene de (4.6.7) y (4.6.10) que
VAT = V1 + V2′
N 2 N1 + N 2 N N2 = V1 − IBT 2 Z ccT , N1 N1 N1 N1 + N 2
(4.6.12)
donde ZccT representa la impedancia de cortocircuito del transformador, referida al devanado de N1 vueltas. N1 Multiplicando esta última relación por se obtiene finalmente N1 + N 2 2
N2 ′ − VBT = −IBT Z ccT = −IBT Z ccAT . (4.6.13) VAT + N N 2 1 Se aprecia que al cortocircuitar el devanado de alta tensión (VAT=0) la impedancia de cortocircuito como autotransformador, vista desde los terminales de baja tensión, se reduce a
Z ccAT
N2 = N1 + N 2
2
Z ccT .
(4.6.14)
En cambio, si se cortocircuita el devanado de baja tensión (VBT=0) la impedancia de cortocircuito visto desde el devanado de alta tensión vale 2
Z ccAT
N = 2 Z ccT N1
(4.6.15)
La reducción de la impedancia de cortocircuito y el consiguiente aumento de la corriente de cortocircuito y de los esfuerzos mecánicos sobre las bobinas asociadas a esta es una desventaja del autotransformador.
Transformador trifásico 4.7
4-47
Esfuerzos mecánicos
La figura 4.7.1 muestra un modelo bidimensional para el flujo en el aire de un transformador de dos devanados que refleja cualitativamente la influencia del núcleo, soportes de las bobinas y paredes del estanque sobre la distribución espacial del campo magnético. Se aprecia que las espiras que forman las bobinas, y por las cuales circulan corrientes, deben estar expuestas a fuerzas de origen electromagnético (Lorentz), cuya dirección es tal, que tienden a producir desplazamientos que impliquen un aumento de la energía acumulada en el campo magnético. Para visualizar en primera aproximación el efecto de las fuerzas, se las puede considerar como electrodinámicas, con corrientes equivalentes (iguales y opuestas) concentradas en los centros de gravedad de las bobinas, de donde se aprecia que la magnitud de las fuerzas es proporcional al cuadrado de la corriente equivalente y que su dirección es radial. Su valor es máximo en cortocircuito y puede ser de magnitud tal que produce el colapso de la estructura mecánica de la bobina. Un estudio algo más detallado, que permite obtener expresiones analíticas para los esfuerzos Figura 4.7.1 Distribución del campo en mecánicos como función de la cortocircuito geometría de las bobinas, modela el campo en el aire de la figura 4.7.1 mediante componentes axiales y radiales que permiten formular expresiones para la energía magnética. A partir de estas se logra mediante la aplicación del principio de los trabajos virtuales las expresiones para las fuerzas radial y axial respectivamente. Para soluciones numéricas más exactas se puede recurrir a programas computacionales basados en el método de los elementos finitos, que no
4-48
Transformador trifásico
solamente permiten determinar las fuerzas resultantes, sino también la distribución espacial de las fuerzas sobre cada espira. 4.7.1 Fuerzas radiales Considérese el caso de un transformador de dos devanados cuyas espiras están enrolladas en forma de cilindros concéntricos de igual longitud axial. Los cilindros sean incompresibles y en el espacio ocupado por el devanado el campo sólo tenga componente en dirección axial. La corriente magnetizante sea despreciable (µfe→∞). Este modelo es idéntico al representado en la figura 4.5.7, por lo que la energía magnética asociada está dada por Wσ =
1 L σ i12 , 2
(4.7.1)
con la inductancia de dispersión obtenida en (4.5.21) Lσ = µ0
δ AT
b BT
ϑ
a1 + a 2 2 δ + 3 N1 .
(4.7.2)
Supóngase ahora una expansión radial virtual dδ del cilindro exterior. Del trabajo virtual correspondiente se desprende que la fuerza radial sobre el cilindro vale
R
pr
lm b
dWσ 1 lm 2 = µ 0 (N1 i1 ) . dδ 2 b
σt
Fr =
σt
Considerando que el ancho δ del canal tubular entre los dos cilindros es pequeño, se puede suponer que la superficie exterior del cilindro interior es aproximadamente igual a la superficie interior del cilindro exterior e igual a
R
Figura 4.7.2 Esquema y cuerpo libre de dos bobinas concéntricas
(4.7.3)
A 0 = lm b (4.7.4) por lo que la presión radial, o fuerza por
unidad de superficie, vale 2
1 N i 1 2 Bδ pr = µ 0 1 1 = 2 b 2µ 0
(4.7.5)
4-49
Transformador trifásico
donde Bδ es la inducción del campo axial en el espacio entre las dos bobinas. Del diagrama del cuerpo libre de la figura 4.7.2 se concluye que la fuerza de tracción Ft que debe resistir la sección de cobre Acu de la bobina exterior vale π 2
Ft = ∫ p r sen ϑ b R dϑ = b R p r = 0
A0 pr , 2π
(4.7.6)
de donde se desprende que el esfuerzo de tracción σt al que está sometido el cobre está dado por la relación: σt =
1 A0 pr . 2π A cu
(4.7.7)
Para evitar la deformación permanente de la bobina, este esfuerzo debe ser menor que el límite de fluencia (rango de validez de la Ley de Hooke), que para el cobre recocido es de 70N/mm2. La bobina interior está solicitada a compresión, lo que implica que los conductores apoyados en espaciadores sufren esfuerzos de flexión.
4.7.2 Fuerzas axiales de contracción De la distribución de las líneas de fuerza del modelo de la figura 4.7.1 se desprende que el campo posee tanto una componente axial, orientada paralelamente al eje de las bobinas, como también una componente radial, cuya magnitud aumenta en las zonas extremas de las bobinas. Esta última componente del campo da lugar a fuerzas axiales que tienden a comprimir las bobinas, fuerzas considerablemente menores que la fuerza radial, que sin embargo pueden dar lugar a presiones específicas elevadas. Para incluir el efecto de la componente radial del campo en las expresiones analíticas para la energía del campo y la correspondiente inductancia se recurre al factor de Rogowski K, que expresa la razón entre la altura de la bobina y la longitud (ficticia) de las líneas de fuerza en el aire. Sea a=δ+a1+a2 la distancia radial entre el manto interior del cilindro interior y el manto exterior del cilindro exterior. Si δ
a πb
πb − 1 − e a ,
(4.7.8)
4-50
Transformador trifásico
expresión que para a/πb<0,3 se reduce a K ≈ 1−
a . πb
(4.7.9)
La inductancia de cortocircuito corregida para incluir el efecto de la componente radial del campo toma la forma Lσ = K µ0
lm b
a1 + a 2 2 δ + 3 N1 .
(4.7.10)
Al reemplazar esta expresión en (4.7.1) y aplicar el principio de los trabajos virtuales para un desplazamiento virtual axial se logra para la fuerza de contracción axial: Fc =
dWσ (2 K − 1 ) µ lm =− 0 db 2 b2
a1 + a 2 2 δ + 3 (N1 i1 ) .
(4.7.11)
Para formarse una idea de la magnitud relativa de la fuerza de contracción, considérese el cuociente Fc 2δ + a = − (2 K − 1) . Fr 3b
(4.7.12)
Como la expresión entre paréntesis cuadrados es del orden de 0,05 y K≈1, se tiene que la fuerza de contracción axial es del orden de un 5% de la fuerza radial. Sin embargo, las presiones, o fuerzas por unidad de superficie, resultan ser del mismo orden, ya que las áreas de las bases anulares de los cilindros huecos son mucho menores que las áreas de los mantos de estos cilindros. As fuerzas de contracción se reparten en forma desigual entre los dos cilindros, correspondiéndole al cilindro interior aproximadamente el 70% de la fuerza de contracción total y al cilindro exterior el 30%.
4.7.3 Fuerzas axiales debidas a asimetrías. Considérese ahora el caso en que la longitud axial de los dos cilindros no es igual. Esta situación puede producirse cuando uno de los devanados es provisto de derivaciones (“taps”), que permiten que una parte del devanado sea desconectado
4-51
Transformador trifásico
con el objeto de variar la relación de transformación. La figura 4.7.3 muestra esquemáticamente esta situación y su descomposición en dos grupos ficticios que producen respectivamente flujo axial y flujo radial. ηN1i1
(1-η)N1i1
N1 i1
x
ηb b
x (1-η)b
di
a
x
=
+
x
Br a’
Ba
a’ = b/πn + a/2 + g
g r
Figura 4.7.3 Descomposición de la excitación magnética en el caso de diferentes longitudes axiales de las bobinas Dada la ortogonalidad de las componentes del campo, se tiene que H2 = Ha2 + Hr2 , por lo que la densidad de energía del campo resultante wσ =
1 1 1 µ 0 H2 = µ 0 Ha2 + µ 0 Hr2 2 2 2
(4.7.13)
es igual a la suma de las densidades de energía de los campos componentes. Integrando (4.7.13) sobre el volumen ocupado por el conjunto de bobinas se logra
Wσ =
1 1 L σa i12 + L σr i12 , 2 2
(4.7.14)
apreciándose que como consecuencia de la asimetría aparece una inductancia de dispersión adicional. Así mismo, el campo radial causa una fuerza axial, que puede calcularse a partir de la variación de la energía asociada al campo radial debida a un desplazamiento virtual en dirección axial. Con las denominaciones y referencias de la figura 4.7.3 la energía asociada al campo radial se calcula como b
Wσr =
1 µ 0 Hr2 a′ l′m dx 2 ∫0
(4.7.15)
Transformador trifásico
b a + +g πn 2 l′m = (di + a′) π , a′ =
con y
4-52
(4.7.16) (4.7.17)
donde n indica el número de grupos de dispersión radial. Cuando las derivaciones están ubicadas en un extremo del cilindro n=1. Cuando las derivaciones están ubicadas en ambos extremos del cilindro o en su centro n=2. De la evaluación de (4.7.15) para la distribución de Hr indicada en la figura 4.7.3 se logra Wσr =
l′ b 1 µ 0 m 2 η 2 N12 i12 6 a′ n
(4.7.18)
de donde se desprende que la inductancia Lσr vale L σr =
2 Wσr 1 l′ b = µ 0 m 2 η 2 N12 2 3 a′ n i1
(4.7.19)
y que la fuerza axial está dada por la expresión Fa =
dWσr 1 l′ b = µ 0 m 2 η N12 i12 . dη 3 a′ n
(4.7.20)
El sentido de la fuerza es tal que tiende a aumentar la asimetría y su magnitud es directamente proporcional a la asimetría. Si en el caso de un cortocircuito se llegase a producir un desplazamiento de los devanados, el cortocircuito siguiente podría producir su colapso. De ahí la importancia de precomprimir el devanado durante el proceso de fabricación y mantener posteriormente esa presión.
4.8
Dimensionamiento
El problema de determinar la potencia, las pérdidas, el rendimiento, la tensión de cortocircuito o el calentamiento de un transformador caracterizado por sus dimensiones, material y cargas específicas se conoce como análisis y tiene una solución única. En cambio, el problema inverso de determinar la geometría de un transformador que satisfaga requerimientos específicos de potencia, rendimiento y tensión de cortocircuito admite muchas soluciones, caracterizadas, entre otros aspectos, por su costo.
Transformador trifásico
4-53
Desde el punto de vista ingenieril, el diseño óptimo es aquel que, satisfaciendo todas las especificaciones, tiene un costo mínimo. El costo debe considerar tanto el costo de construcción (materiales, mano de obra, gastos generales) como el costo de las pérdidas (valorizadas durante el período de amortización). La optimización de un diseño no puede ser enfocada como un mero problema matemático ya que muchas variables son discretas (número de vueltas, secciones normalizadas de conductores, dimensiones de chapas – para mantener una existencia reducida -, etc.) y porque hay constantes, como el factor de relleno de la ventana, que realmente no lo son. En la práctica se han optimizado problemas parciales sobre la base de modelos simplificados, obteniendo reglas como: “las pérdidas de cobre serán mínimas si se reparten igualitariamente entre primario y secundario” o “el costo será mínimo si el peso del fierro de las columnas es igual al peso del fierro de los yugos” o “en el diseño más favorable el costo del núcleo es igual al costo de las bobinas”. Estas reglas tienen un carácter orientador al tomar decisiones en un primer diseño, ya que se parte de la base que varias desviaciones menores del respectivo valor óptimo inciden en menor medida en el resultado final que una desviación grande. En los párrafos siguientes se presenta una forma posible de enfrentar el diseño del núcleo de un transformador a partir de relaciones fundamentales y algunas “reglas”, sin entrar en los detalles de un proceso necesariamente iterativo, el que podría desarrollarse de acuerdo con el diagrama de flujo indicado en el Apéndice. Sólo se pretende mostrar la naturaleza del problema y la relación entre la potencia de un transformador y su geometría. 4.8.1 Leyes de crecimiento En el proceso de diseño es de gran utilidad saber como varían los parámetros y características de un transformador semejante a uno conocido, que tiene las mismas cargas específicas B y j, pero cuyas dimensiones lineales sean x veces las del transformador de referencia. Se establece que, con inducción B y frecuencia f constantes, la “tensión por vuelta” V = 4,44 f Φ = 4,44 f B Sfe ∼ x2 N varía con el cuadrado de las dimensiones lineales.
(4.8.1)
En términos de la sección neta de cobre en una columna Scu y de la densidad de corriente j la fmm de las bobinas sobre las columnas está dada por
4-54
Transformador trifásico
F = IN = j
Scu ∼ x2 2
(4.8.2)
y varía con el cuadrado de las dimensiones lineales. La potencia aparente por columna S =V I = 4,44 f Φ F = 4,44 f B j Sfe
Scu ∼ x4 2
(4.8.3)
varía con la cuarta potencia de las dimensiones lineales. El peso del material activo (chapas, cobre) G = γ V ∼x3
(4.8.4)
varía con el cubo de las dimensiones lineales, lo que implica que 3
G ∼S 4 ,
(4.8.5)
es decir, que el peso crece más lentamente que la potencia aparente, por lo que transformadores grandes son relativamente más baratos. Con pérdidas específicas (pfe, pcu) constantes, las pérdidas totales Pp = Pfe + Pcu = pfeVfe + pcuVcu ∼ x3 varían con el cubo de las dimensiones lineales. En transformadores grandes exhibirán rendimientos más elevados η=
P x4 = 4 = P + Pp x + kx 3
(4.8.6) consecuencia,
1
(4.8.7) k 1+ x El mecanismo de transferencia de calor principal es la convección a través de la superficie S, cuya eficacia se caracteriza mediante la “resistencia térmica” definida como RT =
1 ∼ x-2 αS
(4.8.8)
Como las pérdidas varían con x3 y el salto de temperatura entre la superficie y el medio refrigerante está dado por
Transformador trifásico ∆T = RT Pp ,
4-55
(4.8.9)
se aprecia que es necesario aumentar la superficie de transferencia de calor con medidas especiales (estanques corrugados, radiadores) para evitar que con el aumento de la potencia también aumente el salto de temperatura. Las inductancias de dispersión de las bobinas en forma de cilindros concéntricos Lσ = µ 0 N12
lm a + a2 δ + 1 ∼x b 3
(4.8.10)
crecen linealmente con las dimensiones lineales, por lo que en transformadores grandes debe cambiarse la disposición de los devanados (doblemente concéntricos) para evitar valores excesivos para la tensión de cortocircuito. Las resistencias óhmicas varían en relación inversa con las dimensiones lineales, por lo que la razón X/R y la constante de tiempo de cortocircuito varían con el cuadrado de las dimensiones lineales. 4.8.2 Dimensiones principales Supóngase que se desea determinar las dimensiones principales de un transformador cuya capacidad, frecuencia, tensiones, pérdidas y tensión de cortocircuito están especificadas. Las cargas específicas B y j sólo pueden variar en un rango estrecho, limitados por el sistema de refrigeración previsto y por las pérdidas. La potencia por columna S=
S V1 I1 N1 = 4,44 f B j Sfe cu = 2,22 f B j Sfe Scu N1 2
(4.8.11)
fija el producto S (4.8.12) 2,22 f B j Por otro lado, las restricciones representadas por las pérdidas en el fierro y en el cobre Sfe Scu =
Pfe = pfe Gfe = pfe l fe Sfe γ fe
(4.8.13)
4-56
Transformador trifásico Pcu = pcu Gcu = pcu l cu Scu γ cu
(4.8.14)
determinan los volúmenes y pueden ser expresadas como Sfe Scu =
Gfe Gcu l fe l cu γ fe γ cu
,
(4.8.15)
con lo que se determina que un diseño que satisface los requerimientos de la potencia y de las pérdidas debe cumplir con l fe l cu =
2,22 f B j Gfe Gcu S γ fe γ cu
(4.8.16)
La descomposición correcta del producto se logra en primera aproximación mediante la fórmula empírica.5 yugo
l fe = l fe l cu
ventana
con lo que la sección del núcleo se calcula como
(4.8.17)
columna
hv
Sfe =
ly
Gfe γ fe l fe
(4.8.18)
y habitualmente toma la forma de una sección cruciforme inscrita en una circunferencia (fig. 1.81 ).
d0
bv
Figura 4.8.1 Vista y planta de un núcleo trifásico
El área del círculo y el área correspondiente al fierro están relacionados por el factor de relleno del núcleo, que
depende de la forma de la sección de éste.
S0 =
5
Sfe frn
Alternativamente se usa la fórmula S fe = C
(4.8.19)
S3 φ [VA]
[cm ] con 3,5
2 -1/2
], una
constante empírica que se elige tanto más baja, cuanto mayor sea la tensión de cortocircuito relativa.
4-57
Transformador trifásico El diámetro interior del cilindro interior se obtiene de: 4S0 π
d0 =
(4.8.20)
Para la distribución del núcleo entre columnas y yugos se recurre a la “regla” que dictamina que para que el costo sea mínimo, el peso del fierro en las columnas debe ser menor o igual que el peso del fierro en los yugos (igual, si Pfen = Pcun ), lo que equivale a l y ≥ 41 l fe
(4.8.21)
La altura de la ventana (figura 4.8.1)vale hv =
1 3
(l
fe
− 2l y )
(4.8.22)
A partir de ly y de d0 se puede determinar el ancho de la ventana bv (figura 4.8.1) El diámetro exterior de la bobina exterior debe ser menor que equivale a exigir que la longitud media del cobre debe satisfacer b l cum < 3π d 0 + v 2
(d0+bv), lo que
(4.8.23) En este punto es necesario comprobar si las bobinas caben en la ventana, es decir, si
BT AT
AT BT
hv
bv
fav hv bv > 2Scu ,
(4.8.24)
donde el factor de aprovechamiento de la ventana fav depende del nivel de tensión, del ancho de los ductos de refrigeración, de la tensión de cortocircuito o de la existencia de “taps” (figura 4.8.2).
Si el tamaño de la ventana no es el adecuado se adopta un nuevo valor para el producto (lfe lcu), variándolo hasta que las bobinas quepan en la ventana. Pero al producto (lfe lcu) correspondiente a un diseño dimensionalmente consistente normalmente le corresponderá una potencia diferente a la originalmente especificada mediante la relación (4.8.16). Rige la relación
Figura 4.8.2 Corte transversal a través de una ventana
(l fe l cu )0 S0 = (l fe l cu )1 S1 ,
(4.8.25)
4-58
Transformador trifásico
de donde se logra S1 = S0
(l fe l cu )0 (l fe l cu )1
(4.8.26)
Recurriendo a las leyes de crecimiento se ajusta el núcleo a la potencia especificada: h1 = h0
4
S0 , etc... S1
(4.8.27)
4.8.3 Ejemplo numérico Se desea determinar las dimensiones principales del núcleo de un transformador de norma de 500 kVA, 13.200/400 v, 50 Hz, vcc=5%, conexión delta-estrella. Las pérdidas en el fierro nominales son de 1120W y las pérdidas de cobre nominales son de 5816 W. Las pérdidas específicas de las chapas medidas en el aparato de Epstein a 1,6T ascienden a 1,25 (W/kg). Las chapas tienen un ancho de 150 mm. Para determinar las pérdidas específicas es necesario conocer las cargas específicas. Basado en experiencias anteriores se elige B = 1,7T y j = 2,8A/mm2. Las pérdidas específicas en el fierro se calculan como 2
1,7 pfe = 1,25 1,2 = 1,69W / kg , 1,6 donde se han corregido las pérdidas medidas en 20%, de acuerdo con la experiencia. Las pérdidas específicas en el cobre se determinan como pcu = ρ 20
(1 + α(T − 20 )) j 2 = 1,76 ⋅ 10 −8 [1 + 0,00392(105 − 20 )] (2,8 ⋅ 10 6 )2 = 20,6W / kg γ cu
8,93 ⋅ 10 3
El peso del material activo vale en consecuencia Gcu =
Pcu 5816 = = 282kg pcu 20,6
y
Ahora se puede calcular el producto
Gfe =
Pfe 1120 = = 663kg pfe 1,69
4-59
Transformador trifásico
l fe l cu =
2,22 ⋅ 282 ⋅ 663 ⋅ 50 ⋅ 1,7 ⋅ 2,8 10 = 84017cm 2 166,7 ⋅ 8,93 ⋅ 7,9 l fe = l fe l cu = 290cm .
y determinar la longitud del volumen de fierro como
La sección del núcleo rectangular se calcula como Sfe = d=
y el ancho del núcleo como
Sfe = 20,3cm 0,95 ⋅ 15 l fe = 80cm 4 hv = 31 (l fe − 2 l y ) = 43cm
ly ≥
La longitud del yugo sea en primera aproximación con lo que la altura de la ventana es bv =
El ancho de la ventana es La superficie de la ventana es
730
l y − 3 ⋅ 15
= 17,5cm 2 Sv = hv bv = 752,5cm
430 665
663 ⋅ 10 3 = 290cm 2 .6 7,9 ⋅ 290
365
780 800
Figura 4.8.3 Comparación del núcleo calculado en primera aproximación con el núcleo optimizado (------)
En la figura 4.8.3 se ha superpuesto el núcleo calculado y el núcleo optimizado para el mismo transformador. Se aprecia que la principal diferencia radica en las columnas, que para el modelo optimizado son más cortas y de mayor sección (Sfe=337,5cm2, C=5,85). Como la inducción es la misma en ambos casos, se concluye que el flujo del modelo optimizado es mayor, lo que se refleja en una mayor
tensión por espira: 12,15V contra 9,93V. El aumento del flujo es un poderoso medio para reducir la tensión de cortocircuito: V x = X σ I1 ,
6
Esta sección equivale a la elección de una constante C = Sfe
corresponde a una tensión de cortocircuito relativamente baja.
3f = 5cm 2 J −1 / 2 , valor que P3 φ
4-60
Transformador trifásico la que referida a la tensión inducida por el flujo mutuo:
Vi = 2π f N1 Φ m se anota como vx =
2Lσ I1 Vx = (pu) Vi N1Φ m
Si se introduce la potencia aparente por columna y la expresión vx =
Lσ = KN12
S = Vi I 1
para la inductancia de dispersión, se logra
K S (pu), π f Φ 2m
donde se aprecia que la cuadráticamente con el flujo.
tensión
de
cortocircuito
relativa
disminuye
Una vez ajustada la tensión de cortocircuito al valor especificado debe controlarse la sobretemperatura en el devanado de baja tensión (interior), la que de acuerdo con la norma IEC no debe exceder de 65ºC.
4-61
Transformador trifásico 4.8.4 Apéndice:
Posible diagrama de flujo para el diseño de un transformador
Datos, Especificaciones, Tablas, Limitaciones
Cálculo del núcleo
Selección inicial de la bobina de AT Número de vueltas, sección conductores
Selección inicial de la bobina de BT
Diseño de la bobina de AT
Determinación de la altura axial de la bobina de BT
Cálculo del número de vueltas en AT, BT y V/N
Determinación del espesor radial de las bobinas
Determinación de la altura axial de la bobina de AT
Control del nivel de aislación a impulso
Determinación de la altura de la ventana
Control de las pérdidas en el fierro
Control de las pérdidas en el cobre Pcu1, Pcu2
Control de la tensión de cortocircuito Xσ
FIN
ELI-326
Máquinas eléctricas I
1
Ejercicios
1
Máquinas Sincrónicas
1.1
Un motor sincrónico de polos salientes posee una reactancia sincrónica en el eje directo xd=1,1pu y una reactancia sincrónica en el eje en cuadratura xq=0,6pu. La reactancia transitoria en el eje directo es xd’=0,35pu. La máquina está conectada a una red de frecuencia y tensión nominales y su excitación está ajustada de manera que la corriente de armadura sea mínima en vacío. a) Determine el momento sincronizante en vacío. ¿Qué fracción corresponde al momento de reluctancia? b) ¿Cuál es el momento máximo que el motor puede suministrar en condiciones estacionarias? c) ¿Cuál es el momento máximo transitorio con que puede ser cargado el motor sin perder el sincronismo? Explique la diferencia con a).
1.2
Una máquina isotrópica está equipada con devanados trifásicos simétricos conectados en estrella tanto en el estator como en el rotor, descritos por las resistencias por fase R1 y R2 y las inductancias de campo giratorio L1, L2 y L12. El devanado del rotor está conectado a través de anillos rozantes a una red trifásica simétrica con tensiones de valor efectivo V2. El devanado del estator está alimentado por una fuente de tensión continua de valor Vf conectada entre dos de sus terminales. El tercer terminal está conectado al polo positivo de la fuente. Plantee las ecuaciones de equilibrio eléctricas en términos de las componentes simétricas de los valores instantáneos, referidas a un sistema de coordenadas fijo al estator. Especialice las ecuaciones para el estado sinusoidal estacionario en términos de V2 y Vf.
1.3
Un generador sincrónico de 4,16kV, 50Hz, está caracterizado por los siguientes parámetros: x1d=0,9pu x1d’=0,3pu x1d”=0,25pu x1q=0,5pu x1q”=0,35pu Td’=0,8s Td”=0,035s Ta=0,2s. Td0=3s La máquina funciona en vacío con tensión y frecuencia nominales. En el instante en que el flujo enlazado por la fase a es nulo la máquina es cargada bruscamente con un reactor trifásico simétrico de reactancia por fase de 1pu. Determine la tensión en los terminales de la fase a del reactor: a) inmediatamente después de la conexión de la carga, b) 1s después de la conexión de la carga.
ELI-326
Máquinas eléctricas I
2
Ejercicios
1.4
Para determinar la reactancia de secuencia cero de una máquina sincrónica cuyo devanado del estator está conectado en estrella la norma IEEE Std.115 propone cortocircuitar dos de sus terminales y unir estos con el neutro, impulsarla a velocidad sincrónica, excitarla y medir la corriente en el neutro y la tensión entre los terminales cortocircuitados y el tercer terminal abierto. Demuestre que suponiendo tensiones y corrientes sinusoidales y despreciando el efecto de las resistencias, la reactancia de secuencia cero corresponde al cuociente entre la tensión y la corriente medidas. ¿Qué armónicas espera encontrar en las ondas de tensión y corriente medidas
1.5
Dos generadores sincrónicos iguales de 12MVA, 5kV, 50Hz, Xd=1,1pu, Xq=0,7pu funcionan en paralelo alimentando a una carga pasiva de factor de potencia 0,8 inductivo. Inicialmente la carga de 10MVA está distribuida igualitariamente entre los dos generadores, cuya tensión de terminales en esas condiciones es de 5kV. Actuando solamente sobre los reguladores de velocidad de las máquinas motrices se transfiere toda la potencia activa a uno de los generadores, manteniendo la frecuencia constante. Determine a) b)
1.6
La tensión en los bornes de la carga. La corriente de armadura compleja de cada generador.
Un generador sincrónico de 5000kVA, 2000V, 50Hz, 40 polos, conectado en estrella posee las siguientes características de vacío y de cortocircuito respectivamente: If/A V/V
25 575
50 1110 If/A I1/A
75 1580 0 0
50 720
100 1930
125 2170
100 1450
150 2160
150 2310
175 2420
200 2520
255 2630
Con carga capacitiva pura se midió una corriente de campo de 136 A para una tensión de línea de 3080V y una corriente de línea de 1440 A. La reactancia en el eje en cuadratura es igual al 70% de la reactancia sincrónica no saturada Si la máquina funciona conectada a una red infinita de tensión nominal con factor de potencia 0,8 en adelanto, determine la corriente de campo necesaria. 1.7
Sea un motor sincrónico de polos salientes caracterizado por una reactancia en el eje directo de 0,8pu y una reactancia en el eje en cuadratura de 0,5pu. Las pérdidas sean despreciables.
ELI-326
Máquinas eléctricas I
a)
b)
Ejercicios
3
Si el motor está conectado a una red de tensión y frecuencia nominales y la carga aplica a su eje un momento igual al nominal, ¿cuál es la excitación mínima para que el motor no pierda el sincronismo? Considere excitación 100% a la que hace que la corriente de armadura del motor en vacío sea cero. Si la excitación del motor se reduce a cero, determine la corriente de armadura en pu para la potencia máxima que el motor puede desarrollar en esa condición.
1.8
Plantee las ecuaciones de equilibrio eléctricas para una máquina sincrónica con jaula de amortiguación en términos de sendas componentes simétricas de los valores instantáneos para la armadura, la jaula y el campo, referidas todas a un sistema de referencia común, que gira con velocidad angular constante ωs.
1.9
Una máquina sincrónica está equipada con un devanado de campo supraconductor, es decir, mediante el enfriamiento con helio líquido a temperaturas inferiores a 4K, el campo ha perdido su resistencia óhmica. Las resistencias de la armadura y de la jaula son normales. En el instante t=0 se produce un cortocircuito trifásico simétrico, que se despeja 10s después. Explique sobre la base del principio del enlace de flujo constante la variación de la tensión en los terminales después del despeje del cortocircuito.
1.10
Sean dos generadores sincrónicos de 10MVA, 5000V, 50Hz, que, conectados en paralelo, alimentan una barra de 5000V a la que está conectada una carga óhmico-inductiva, conectada en triángulo, cuya impedancia por fase es inicialmente de 4,3Ω con factor de potencia 0,8. Las reactancias de los generadores sean respectivamente X1dA=1pu, X1qA=0,6pu y X1dB=1,3pu, X1qB=0,81pu. Los reguladores de velocidad de ambas máquinas impulsoras tienen el mismo estatismo. Inicialmente la carga se reparte igualitariamente entre los dos generadores. a) Si, con frecuencia y excitación constantes, la corriente en la carga aumenta en 20% en relación con su valor inicial, determine la tensión en la barra y la potencia activa y reactiva suministrada por cada generador. b) Explique el funcionamiento de una eventual “compensación de la corriente en cuadratura” en este caso.
ELI-326
Máquinas eléctricas I
Ejercicios
4
1.11
Un motor sincrónico de 3730kW, 187,5rpm, 4160V, 50Hz desarrolla un momento de arranque asincrónico de 0,42pu. El momento máximo asincrónico se produce para un 70% de la velocidad sincrónica y alcanza a 0,85pu. El momento de inercia de motor y carga es de 15000kgm2. a) Determine el calor de arranque en vacío para una partida desde una red de tensión y frecuencia nominales. b) Determine el aumento de la temperatura en la jaula de arranque formada en cada polo por cinco barras de latón (c=385J/kgºC, ρ=8,5kg/dm3) de 14mm de diámetro y 112cm de longitud y por dos segmentos de anillo de sección rectangular 18x30mm y 28cm de longitud, si el motor arranca contra un momento de carga constante de 0,3pu. Haga aproximaciones razonables. c) Determine el tiempo que demora el motor para alcanzar la velocidad de sincronización.
1.12
Sea un generador sincrónico caracterizado por las siguientes constantes: L1d=0,058H L1q=0,038H R1=0,12Ω Lf=3,08H Rf=0,77Ω L1f=0,25H ω=314 Si la corriente de campo es de 212A, determine: a) la tensión inducida en vacío en cada fase, b) la tensión en los terminales para una corriente de armadura de 525A, factor de potencia 0,6, c) las constantes de tiempo de vacío y de cortocircuito, d) el valor máximo de la corriente de campo transitoria tras un cortocircuito trifásico simétrico.
1.13
Un motor de reluctancia trifásico de 1500rpm posee una reactancia en el eje directo de 8Ω y una reactancia en el eje de cuadratura de 3Ω. Las pérdidas sean despreciables. Si el motor funciona conectado a una red simétrica de 400V, 50Hz, determine la potencia entregada por el motor cuando su factor de potencia es máximo. ¿Cuánto vale el ángulo de carga en esa condición? Dibuje el diagrama fasorial a escala.
ELI-326
Máquinas eléctricas I 2
Ejercicios
5
Máquina asincrónica
2.1
Una máquina asincrónica trifásica de 2 polos con rotor devanado trifásico está caracterizada por las inductancias de campo giratorio L1=0,037H, L12=0,033H y L2=0,032H. Se desea operar esta máquina como “máquina asincrónica sincronizada”, cortocircuitando dos anillos del rotor y conectando una fuente de tensión continua entre estos y el tercer anillo. Determine el valor de la corriente continua en el rotor para que la máquina asincrónica sincronizada no absorba corriente en vacío (T=0) cuando funciona conectada a una red trifásica de 380V,50Hz. Dibuje la distribución de fmm del rotor suponiendo que q → ∞ y el ancho de zona ocupado por cada fase sea de 60°.
2.2
Considere un estator cilíndrico provisto de un devanado bifásico simétrico de dos polos. El rotor esté provisto de un devanado de corriente continua sobre cuyo colector rozan cuatro escobillas equiespaciadas, alineadas con los ejes magnéticos de las fases del estator. Además el devanado del rotor está conectado en cuatro puntos equiespaciados a anillos rozantes. Todos los devanados tienen el mismo número de vueltas efectivo. A través de uno de los pares de escobillas diametralmente opuestas se hace circular una corriente continua de 10A. La correspondiente componente fundamental del campo en el entrehierro es anulada haciendo circular corrientes bifásicas de 7,07A, 50Hz por los anillos rozantes. a) Determine la velocidad y sentido de giro del rotor. b) ¿Cuál debería ser el valor de la corriente continua a través de cada par de escobillas para mantener anulado el campo fundamental resultante en el entrehierro?, si estas se desplazan respecto a su posición inicial en 30º en sentido opuesto al sentido de giro del campo giratorio de las corrientes bifásicas
2.3
Plantee las ecuaciones de equilibrio de la máquina asincrónica con rotor de jaula simple utilizando los enlaces de flujo como variables de estado y refiéralas a un sistema de referencia sincrónico.
2.4
Sea un motor asincrónico trifásico 400V∆, 50Hz, de 8 polos con rotor de jaula simple, con α=0,017, β=0,018, σ=0,125, L1=0,112H. a) Construya un diagrama circular a escala y utilícelo para estimar fundadamente la potencia, la velocidad y el factor de potencia nominal del motor y la correspondiente admitancia de secuencia negativa. b) Ubique en el diagrama circular el punto de funcionamiento nominal y determine el deslizamiento correspondiente. ¿Cuál sería la velocidad nominal del motor?
ELI-326
Máquinas eléctricas I
6
Ejercicios
2.5
A un motor asincrónico trifásico de 1450rpm, 380V, 50Hz, conexión triángulo, corriente nominal 7,5A se le midió una resistencia del estator por fase de 4,3Ω. En vacío con tensión y frecuencia nominal el motor absorbió una corriente de 3,2A y una potencia de 295W. Con rotor trancado el motor absorbió 7A y 520W y desarrolló un momento de 1,65Nm para una tensión aplicada de 81V. Determine los parámetros del circuito equivalente aproximado.
2.6
Sea un motor asincrónico trifásico de rotor devanado de 4 polos, 3000kW, 5000V, 50Hz, caracterizado por los siguientes parámetros: L1=0,1045H, β=0,0016, σ=0,048. El rotor está provisto de un devanado trifásico conectado en estrella. Con el rotor detenido y tensión nominal en el estator la tensión entre los anillos rozantes es de 2300V. El devanado del rotor está conectado a una resistencia de arranque simétrica conectada en delta a los anillos rozantes, cuya resistencia por fase es igual a 4 veces la resistencia por fase del rotor. Para tensión nominal y rotor detenido determine la corriente en las líneas de alimentación del motor y en las resistencias de arranque. Construya el diagrama circular a escala y ubique los puntos correspondientes al funcionamiento nominal, al arranque sin resistencias adicionales y al arranque con resistencias adicionales.
2.7
De un motor asincrónico trifásico con rotor de doble jaula se poseen los siguientes antecedentes: Pn = 110kW In= 211A
V1n = 380V ∆ cosϕ = 0,86
f1 = 50Hz η = 92%
nn = 1470rpm ∆ϑ = 80ºC
Devanado del estator: Devanado del rotor :
48 ranuras, 56 vueltas por fase, paso 10 (1-11) 40 barras, inclinadas en un paso de ranura del estator. Diámetro interior del estator Di = 300mm Longitud axial del estator l = 195mm δ = 0,85mm Entrehierro Apertura ranura del estator br=3,2mm a) Determine la inductancia mutua correspondiente al campo fundamental en el entrehierro entre una malla del rotor y una fase del estator. b) Determine el valor de la reactancia de la rama de magnetización del circuito equivalente clásico. c) Determine la inductancia propia de campo giratorio fundamental para una fase del estator. ¿Cuánto vale la corriente de vacío absorbida por el motor?
ELI-326
2.8
Máquinas eléctricas I
Ejercicios
7
Sea un motor asincrónico trifásico con rotor de jaula simple, con α=0,018, β=0,021, σ=0,095, L1=0,037H. a) Para el motor alimentado por una red simétrica, determine una expresión para el momento electromagnético en términos de los parámetros indicados y de las componentes simétricas de los valores instantáneos de las corrientes.
r
red simétrica
R
a
s
b
t
c
motor asincrónico de jaula simple
b) Si el motor está conectado a una red trifásica simétrica a través de una resistencia asimétrica, en la forma indicada en la figura, plantee las ecuaciones de equilibrio dinámicas en términos de las componentes simétricas de los valores instantáneos, referidas a un sistema de referencia sincrónico. c) Si la resistencia R de la figura es reemplazada por un condensador C, analice las consecuencias sobre el momento de arranque estacionario. 2.9
Un motor asincrónico trifásico con rotor de doble jaula posee en el estator un devanado de 6 polos, distribuido en 54 ranuras, formado por bobinas acortadas de paso 8/9 de 6 vueltas por bobina. El diámetro interior del estator es de 28cm y su longitud axial (l) es de 35cm. El entrehierro efectivo es de 0,6mm. El rotor, de 50 ranuras, está provisto de una jaula doble , donde la jaula inferior está separada de la jaula superior por una ranura de dispersión de ancho tangencial (b) de 2mm y longitud radial (h) de 16mm. La inductancia de dispersión de la barra inferior, referida a la corriente de h barra, está dada por la expresión Lσb = µ 0 l 0,6 + . b Determine el valor en Ω de la reactancia de dispersión de la barra inferior en el circuito equivalente por fase del estator.
ELI-326
Máquinas eléctricas I
Ejercicios
8
2.10
Un motor asincrónico trifásico de 6 polos, 400V, 50Hz, conexión delta, corriente nominal 11A posee una resistencia por fase del estator de 2,16Ω. En vacío con tensión y frecuencia nominal el motor absorbió una corriente de 4,2A. Con rotor trancado el motor absorbió 18A y 1350W para una tensión aplicada igual a 100V. a) Se considera arrancar el motor mediante un autotransformador de relación 400/180V, ¿cuál es la velocidad más baja a la que se puede cambiar a plena tensión, si, durante el arranque, el valor efectivo de la corriente no debe superar los 32A. b) Si el motor arranca utilizando la conexión estrella / triángulo, ¿cuál sería el valor del momento de arranque referido al momento nominal? c) Al desconectar una fase de la red el motor absorbe 12A. Determine las tensiones en los terminales del motor. Explique.
2.11
Un motor asincrónico trifásico con rotor devanado desarrolla un momento máximo de 196Nm, una velocidad nominal de 1480rpm y posee un momento de inercia de 3,5kgm2. La resistencia por fase del rotor es de 0,125Ω y la resistencia adicional es de 1,2Ω. a) Si la resistencia adicional es tal que el momento máximo se desarrolla para s = 1,2 y el motor impulsa una carga puramente inercial de 15kgm2, ¿cuánto tiempo demora el rotor en alcanzar una velocidad igual al 99% de la velocidad sincrónica? ¿En cuánto aumenta el tiempo de arranque para alcanzar el 99% de la velocidad sincrónica, si el motor parte en conexión estrella? b) ¿Cuánta energía absorbe el motor de la red durante un arranque? y ¿cuál es la fracción que se disipa en los devanados del estator y del rotor respectivamente? c) ¿Cuál sería el número máximo de partidas por hora sin sobrepasar las temperaturas admisibles para los devanados?
2.12
Un motor asincrónico trifásico, conexión estrella, ha sido conectado accidentalmente a los terminales N, L1, L2 de una línea trifásica con neutro, en lugar de la conexión correcta a L1, L2, L3. a) b)
Determine razonadamente si en esa circunstancia el motor desarrolla momento de arranque, su eventual magnitud y sentido. Determine la corriente por el neutro, si para s=1 la corriente en las líneas L1 y L2 es de 50A.
ELI-326
Máquinas eléctricas I 3
Ejercicios
9
Transformador trifásico
3.1
Para limitar la corriente de línea durante el arranque de un motor asincrónico de 4,16kV de 2400A a 1067A se propone el uso de un autotransformador trifásico conectado en delta. a) Determine la magnitud y fase de la tensión secundaria en vacío del autotransformador. b) Determine las corrientes en las secciones serie y paralelo del devanado del autotransformador.
3.2
Sea un transformador trifásico Yy0 con núcleo de tres columnas. Las columnas están provista con tres devanados cilíndricos concéntricos de 1180, 4720 y 1180 vueltas respectivamente. Los cilindros interior y exterior tienen un espesor de 1,2cm y el correspondiente a la bobina central tiene un espesor de 2,8cm. La separación radial entre los cilindros sea 1cm, la longitud axial de los cilindros sea 60cm. El diámetro de las columnas sea 16cm. a) Si los devanados interior y exterior se conectan internamente en serie, determine una expresión analítica para la reactancia de cortocircuito del transformador de dos devanados resultante a partir de la teoría del transformador de n devanados. b) Haga una estimación razonada de la potencia nominal del transformador. c) Determine la relación numérica entre la reactancia de cortocircuito y la reactancia de la bobina de baja tensión cuando el núcleo del transformador está completamente saturado.
3.3
Se desea operar en paralelo dos transformadores trifásicos de tres columnas desde una barra de 66kV, 50Hz, cuya potencia de cortocircuito trifásica es de 200MVA. Las respectivas características son: Transformador A: 12MVA, 66/12kV, vcc=8%, 50Hz, Dyn11. Transformador B: 18MVA, 66/12kV, vcc=8%, 50Hz, Yd11, con 2”taps” de ±5% en el lado de alta tensión. La resistencia de los devanados puede considerarse despreciable. a) Si el neutro del transformador A está conectado directamente a tierra, determine la corriente (en A) en los devanados primario y secundario de los transformadores A y B, cuando en la barra de baja tensión sólo está conectado un reactor monofásico de 8Ω, 7kV entre una línea y tierra. b) Determine el valor máximo de la corriente transitoria de conexión que debería esperarse (en el peor caso) al conectar el transformador A a la barra de 66kV. Explique.
ELI-326
Máquinas eléctricas I
Ejercicios
10
3.4
Sea un transformador trifásicos de 3 devanados de 2500/1250/1250kVA, 7,6/23/23kV conectado en Yz5. La tensión de cortocircuito v12 =v13 es de 6%, mientras que la impedancia de cortocircuito entre los dos devanados 2 y 3, que forman el zigzag, es 0,09pu referida a la base propia de esos devanados. a) Dibuje el esquema de conexión del transformador y el correspondiente diagrama fasorial de las tensiones. b) Determine la impedancia de secuencia positiva en pu (potencia base común = potencia nominal del primario), considerando al transformador conectado en zig-zag como un transformador trifásico de dos devanados.
3.5
Sea un transformador trifásico de tres columnas de 500kVA,20/0,4kV, 50Hz, Yd1. Cada columna está provista con tres devanados cilíndricos concéntricos de N1, N2 y N1 vueltas respectivamente. Los cilindros pueden considerarse de espesor despreciable y están separados radialmente en 1[cm], la longitud axial de los cilindros sea 59[cm] y su radio medio 25[cm]. El cilindro interior y el cilindro exterior tienen el mismo número de vueltas, N1=17. El cilindro central tiene N2=982 vueltas. Si los devanados interior y exterior se conectan internamente en serie, determine, a partir de la teoría del transformador de n devanados, la corriente de cortocircuito porcentual del transformador de dos devanados resultante.
3.6
Se desea operar en paralelo dos transformadores trifásicos de tres columnas desde una barra de 66kV, 50Hz, cuya potencia de cortocircuito trifásica es de 500MVA. Las respectivas características son: Transformador A: 12MVA, 66/13,2kV, vcc=8%, 50Hz, Dyn1. Transformador B: 18MVA, 66/13,2kV, vcc=10%, 50Hz, Yd1. a) Suponga que la resistencia de los devanados sea despreciable. Determine la carga simétrica resistiva (MW) que se puede conectar a las barras secundarias sin sobrecargar a ninguno de los transformadores b) Determine la corriente en los devanados primarios de los transformadores y la tensión línea – neutro de la barra secundaria no cargada., si en la barra de baja tensión se conecta un reactor monofásico de 70mH entre dos líneas. c) Describa y compruebe el efecto de la conexión de los transformadores sobre la magnitud de la quinta armónica de la corriente magnetizante en la línea de alimentación de la barra de 13,2kV.
3.7
Sea un transformador monofásico de 10MVA, 13,2/66,4kV, 50Hz, tensión de cortocircuito 10%. El transformador es alimentado desde una red infinita de 13,2kV. a) Si las columnas del transformador tienen una sección de 2131cm2 y una longitud de 210cm y el largo medio de una espira del devanado de baja tensión es de 216cm, determine el valor cresta inicial de la corriente transitoria
ELI-326
Máquinas eléctricas I
11
Ejercicios
de conexión para el peor caso, un flujo residual de 0,8 pu, cuando el transformador es conectado a la barra de 13,2kV. b) Determine la relación numérica entre la reactancia de cortocircuito y la reactancia de la bobina de baja tensión cuando el núcleo del transformador está completamente saturado. 3.8
Sea un banco de transformadores monofásicos formado por 3 unidades iguales de las siguientes características: devanado 1 2 3
potencia MVA 10 6,7 5
tensión kV 63,5 11 7,58
De los ensayos en cortocircuito con corriente nominal en el devanado excitado se obtuvo: devanado cortocircuitado 2 3 3
devanado excitado 1 2 1
tensión kV 4,49 0,59 5,81
potencia kW 46,1 35,0 35,8
a) Determine los parámetros de un circuito equivalente por fase referidos a una potencia base de 100MVA. b) Si el devanado 2 está conectado en delta y alimenta una carga de 18MVA, factor de potencia 0,8 inductivo, y el devanado 3 está conectado en estrella y alimenta a una carga de 10MVA, factor de potencia 0,9 inductivo, determine el valor de la tensión que habría que aplicar al devanado 1 para que la tensión en los terminales del devanado 2 se mantenga en su valor nominal. ¿Cuál es el valor de la corriente en el devanado en delta? 3.9
Un transformador trifásico de 30MVA, 13,2/115kV, 50Hz, tensión de cortocircuito 10%, conexión dY11, tiene su neutro unido a tierra a través de una reactancia de 15Ω. El transformador está conectado a una barra de 13,2kV, cuya potencia de cortocircuito es de 140MVA. a) Indique el esquema de conexión y el diagrama de tensiones correspondiente al grupo indicado. b) Si las columnas del transformador tienen una sección de 2131cm2 y una longitud de 210cm y el largo medio de una espira del devanado de baja tensión es de 216cm, determine el valor cresta inicial de la corriente transitoria de conexión para el peor caso, considerando el efecto de la potencia de
ELI-326
Máquinas eléctricas I
Ejercicios
12
cortocircuito y un flujo residual de 0,8 pu, cuando el transformador es conectado a la barra de 13,2kV. c) Determine la relación numérica entre la reactancia de cortocircuito y la reactancia de la bobina de baja tensión cuando el núcleo del transformador está completamente saturado. 3.10
Determine en primera aproximación las dimensiones principales (longitud y sección del núcleo, longitud del entrehierro ubicado en la columna central) de un reactor monofásico, con núcleo acorazado cuya columna central es de sección cuadrada y cuyas ventanas son rectangulares, de 10kVA, 4,16kV, 50Hz, si la inducción en el núcleo es de 1,4T, la densidad de corriente en el devanado de 2,5A/mm2 y las pérdidas totales de 1% de la capacidad nominal. La cifra de pérdidas de las chapas es de 0,4W/Kg a 1T y 50Hz. El peso específico de las chapas es de 7,6g/cm3 y el del cobre 8,9g/cm3. La resistencia específica del cobre caliente es de 0,02Ωmm2/m. El factor de relleno de la ventana es 0,3. El costo unitario del cobre sea igual que el costo unitario de las chapas.
3.11
Se desea operar en paralelo dos transformadores trifásicos de 10MVA. Las respectivas características son: Transformador A:13,8/0,4kV, vcc=10%, 50Hz, Dy1 Transformador B: 13,2/0,380kV, vcc=7%, 50Hz, Yd1. a) Suponga que la carga común sea de 20MVA y que la resistencia de los devanados sea despreciable. Determine la distribución de la carga entre los transformadores. b) Suponga que la resistencia de los devanados de los transformadores sea de 0,01pu. Determine la carga máxima admisible sin sobrecargar a ninguno de los transformadores. c) Los núcleos de los transformadores son iguales y magnéticamente independientes. Determine el efecto de la conexión sobre la magnitud de la quinta armónica de la corriente magnetizante en la línea de alimentación común de los transformadores.
3.12
Sea un banco de transformadores monofásicos de 3 devanados conectado en Yz5. Cada transformador del banco es de 2500/1250/1250kVA, 7,6/23/23kV y las impedancias de cortocircuito entre el devanado en estrella y los devanados zigzag son 6% en cada caso y la impedancia de cortocircuito entre los dos devanados que posteriormente forman el zigzag es 9%. a) Dibuje el esquema de conexión del transformador y el correspondiente diagrama fasorial de las tensiones. b) Determine las impedancias de secuencia positiva y cero en pu de la potencia nominal y de las tensiones línea - neutro considerando al banco como un transformador trifásico de dos devanados.
ELI-326
Máquinas eléctricas I
Ejercicios
13
3.13
Determine las dimensiones principales (longitud y sección del núcleo, longitud del entrehierro) de un reactor monofásico, con núcleo de sección cuadrada y ventana rectangular, de 50KVA, 13,2KV, 50Hz, si la inducción en el núcleo es de 1,5T, la densidad de corriente en el devanado de 2,5A/mm2 y las pérdidas totales de 2% de la capacidad nominal. La cifra de pérdidas de las chapas es de 0,5W/Kg a 1T y 50Hz. La resistencia específica del cobre es de 0,02 Ωmm2/m. Justifique cada una de sus decisiones.
3.14
Un transformador trifásico de tres devanados (1/2/3) de 15/25/5MVA, 66/110/13,2KV, conexión estrella con neutro/ estrella/ delta , 50Hz, posee las siguientes tensiones de cortocircuito en (pu), medidas con corriente nominal en el devanado de menor potencia: vcc12=0,16 vcc23=0,11 vcc13=0,17 Al alimentar al devanado 1 con corriente nominal de secuencia cero se determinó una impedancia de secuencia cero de 16,2%, referida a la base propia del devanado. El devanado de 110KV se conecta a una red infinita de tensión nominal y el devanado de 66KV se carga monofásicamente entre línea y neutro con 5MVA, cosϕ=1, mientras el terciario en delta no tiene cargas conectadas. Determine la corriente (en A) que circula en esas condiciones en el devanado terciario de 13,2KV.
3.15
Sea un transformador provisto con tres devanados cilíndricos concéntricos de N1, N2 y N3 vueltas respectivamente. Los cilindros sean de espesor despreciable y estén separados radialmente en a[m], la longitud axial de los cilindros sea b[m] y su radio medio r[m]. El cilindro interior y el cilindro exterior tengan el mismo número de vueltas, N1=N3. Si los devanados 1 y 3 se conectan internamente en serie, determine la reactancia de cortocircuito del transformador de dos devanados resultante a partir de la teoría del transformador de n devanados.
3.16
Un transformador trifásico de tres devanados (1/2/3) de 15/25/5MVA, 66/220/13,2kV, conexión estrella con neutro/ estrella/ delta, 50Hz, posee las siguientes tensiones de cortocircuito en (pu), medidas con corriente nominal en el devanado de menor potencia: vcc12=0,18
vcc23=0,13
vcc13=0,20
Al unir los tres terminales de línea del devanado de 66kV y hacer circular por cada fase corriente nominal se determinó una tensión de 6170V entre líneas y neutro. Si el devanado de 220kV se conecta a una red infinita de tensión nominal y el devanado de 66KV se carga monofásicamente entre línea y neutro con 5MVA,
ELI-326
Máquinas eléctricas I
Ejercicios
14
cosϕ=1, mientras el terciario en delta no tiene cargas conectadas, determine la corriente (en A) que circula en esas condiciones en el devanado terciario de 13,2KV.