Tarea #1: Distribuciones de probabilidad aplicadas aplicadas al análisis de confiabilidad y sobrevivencia.
Nombre: Alvaro Barriga Bascuñán Rol USM: 201204253-4 Asignatura: MAT031 - Estadística Profesor: Patricio Videla Jiménez Ayudantes: Julio Carrasco – Catalina Hernández – Enzo Monsalve – Cristian Vilches Paralelo: 1 Fecha: 09 de junio de 2017
una variable aleatoria continua con función de densidad f T Definición 1: Sea T una T, que corresponde al tiempo de funcionamiento (o vida) de un ítem. La Función de Confiabilidad se define como la probabilidad de que un ítem funcione adecuadamente hasta un tiempo t, con t, con t >0; >0; esto es:
Además:
ℙ[∞ > ]] 1 l→im 1 →∞lim 0
La variable aleatoria T está está caracterizada por sus funciones de densidad f densidad f T T, distribución F T T, y confiabilidad o sobrevivencia R(t).
1. La Función de Riesgo h(t), de fundamental importancia en el análisis de confiabilidad y sobrevivencia, también es conocida por el nombre de tasa de fallas, razón de riesgo, razón de falla, función de azar o fuerza de mortalidad, entre otros. Investigue cómo se define esta función, ¿Qué representa? En análisis de sobrevivencia se denomina función de riesgo a una función que mide la probabilidad de que a un individuo le ocurra cierto suceso a lo largo del tiempo. En confiabilidad de sistemas, donde el tipo de sucesos suele ser el es una variable fallo de un dispositivo, se suele denominar tasa de fallos. Si T es aleatoria que mide el tiempo de vida de un ítem(ya sea un individuo, un dispositivo, etc), su función de riesgo se define por: p or:
ℎ
Donde f T T es la función de densidad de probabilidad de la variable T , y R(t) corresponde a su función de confiabilidad, definida por:
∞
2. Existen relaciones entre las funciones: F T T, f T T, R(t) y h(t). Por ejemplo:
ℙ[ ≤ ]
Complete la siguiente tabla, donde se presentan las relaciones entre las funciones F T T, f T T, R(t) y h(t).
-
F T ( t) T(t)
F T ( t) T(t)
-
f T ( t) T(t) R(t) h(t)
′ 1 1 ′
f T ( t) T(t)
1 1 1 ∫ -
R(t)
h(t)
1 1 −∫ ′ ℎ− ∫ −∫ ′ -
-
3. Escogiendo los parámetros distribucionales a su gusto, grafique las funciones de densidad, confiabilidad y riesgo de las distribuciones: Exponencial, Gamma, Weibull y Normal. una variable aleatoria que mide el tiempo a. Distribución Distribución exponencial: Sea T una que transcurre hasta que ocurre algo, se dice que posee una distribución exponencial con parámetro θ (tasa de ocurrencias en el tiempo) si posee la siguiente función de densidad:
Y denotada por
− , > 0 ~θ ℎ −
Con esto, se obtiene su función de confiabilidad R(t) y su función de riesgo h(t) como:
Tomando como parámetro θ = 2, se genera la siguiente gráfica para f T T , R y h:
Donde para este caso:
2−− ℎ 2
una variable aleatoria que mide el tiempo que b. Distribución Gamma: Sea T una transcurre hasta la r-ésima r-ésima ocurrencia, se dice que posee distribución Gamma con parámetros θ (tasa de ocurrencias en el tiempo) y r (número de ocurrencias) si posee la siguiente distribución de probabilidad:
Γ −− > 0 ∞ − − Γ ~,
Donde Γ(r) es (r) es la función Gamma definida por:
Y se denota por:
Si r es un número natural, entonces se cumple Γ(r) = (r) = (r (r - 1)!
Con esto, se obtiene su función de confiabilidad R(t) y su función de riesgo h(t) como:
∞ ℙ[ > ] Γ −− − − ℎ ∫∞ −−
Tomando los parámetros r = 2 y θ = 2 se obtienen las siguientes expresiones para la densidad, confiabilidad y función de riesgo:
2 Γ2 −− 4∞−, Γ2 2 1! 1 ℙ[ > ] 4 −4 −22 +1+ 1 ℎ 2 +1+ 1
Y sus respectivas gráficas se muestran a continuación:
c. Distribución Weibull: Sea T una variable aleatoria que, al igual que la distribución exponencial, mide el tiempo que transcurre hasta la ocurrencia de un suceso, pero con la diferencia de que se entrega un parámetro de forma α que solo influye en modificar la forma de la gráfica de la distribución y un parámetro de escala λ que mide que tan dispersa se encuentra la distribución. Su función de densidad viene dada por:
−−−, > 0 ~,1
y se denota por: Nótese que si se toma , la distribución se transforma en una distribución exponencial, y λ pasa a ser el parámetro de tasa de ocurrencias en el tiempo.
Con esto, se obtiene su función de confiabilidad R(t) y su función de riesgo h(t) como:
− ℎ −
Tomando los parámetros α = 1/2 y λ = 2 se obtienen las siguientes expresiones para la densidad, confiabilidad y función de riesgo:
− − 1 2 −√ 2 2 2 −√ ℎ 12 2
Y sus respectivas gráficas se muestran a continuación:
d. Distribución normal: Sea X una variable aleatoria que representa la distribución de probabilidad de alguna entidad (ya sea estatura, peso, magnitud física, porcentajes de aprobación de alguna evaluación, etc.) con media µ media µ y y varianza σ 2, se dice que tiene distribución normal con parámetros µ y µ y σ 2 si posee la siguiente función de densidad:
− 1 − √ 22 , ∈ ℝ ~, ∞ − 1 − ℙ[ > ]] √ 22 12 1erf√ 22 − 2 −− 1 − √ 22 √ 22 1erf ℎ 12 1erf √ 22 √ 22
y se denota por
Con esto se obtienen sus funciones de confiabilidad y riesgo, dadas por:
Donde erf( x ) corresponde a la función error dada por:
2 erf √ −
Una distribución normal es aquella en la que la media es igual a 0 y su varianza igual a 1, dicha distribución recibe el nombre de distribución normal estandarizada, y se denota por . Cualquier distribución normal se puede transformar en una distribución normal estándar, tomando
~0,1
el cambio de variable
− ~0,1 1 − √ 22 12 1erf√ 2 − ℎ √ 222 1erf √ 2 . En este caso, si se define
funciones de densidad, confiabilidad y riesgo estarán dadas por:
Y sus gráficas se muestran a continuación:
sus
4. En un problema de confiabilidad se cuenta con el siguiente esquema de configuración configuración para un circuito eléctrico:
1,2, …,9) …,9) y (t) denota la confiabilidad del j -ésimo donde R j (t) -ésimo componente ( j = 1,2, Ci corresponde a la distribución de probabilidad asociada a cada componente. O sea, los componentes 1, 2, 3 siguen la distribución de probabilidad C 3, los componentes 4, 5 y 6 siguen la distribución de probabilidad C 8 8 y los componentes 7, 8 y 9 siguen la distribución de probabilidad C 10 10.
(t) en términos de las a. Exprese la confiabilidad del sistema R S (t) (t), j = 1, …,9 de cada componente. confiabilidades R j (t)
Nótese que las componentes modeladas por R7 , R8 y R9 se encuentran dispuestas en paralelo, en ese caso la confiabilidad equivalente de dicho subsistema R7-8-9 estará dada por:
−− 1 ∏= (1 ) 1 1 1 11 1
La componente modelada por R5 y el subsistema modelado por R por R7 , R8 y R9 se encuentran dispuestos en serie, por lo que la confiabilidad de este nuevo subsistema estará dada por:
−−− ∏ 1(1)(1 )(1)(1 )(1))
La componente modelada por R6 y el subsistema modelado por R5-7-8-9 están dispuestos en paralelo, por lo que la confiabilidad de este nuevo subsistema estará dada por:
−−−− 1 (1(1 )1 ) 1 1(1)(1 )(1)(1 )(1))
La componente modelada por R4 y el subsistema modelado por R5-6-7-8-9 están dispuestos en serie, por lo que la confiabilidad de este nuevo subsistema será:
−−−−− 1(1)1 ) 1 1(1)(1 )(1)(1 )(1))
Las componentes modeladas por R1, R2 y R3 están dispuestas en serie, por lo tanto, la confiabilidad de este subsistema está dada por:
−− ∏=
Finalmente, se puede observar que los subsistemas modelados p or R1-2-3 y R4-5-6-7-8-9 están dispuestos en paralelo, por lo que la confiabilidad del sistema RS (t) se (t) se puede expresar como:
−−−−−−−− → 1 11 −−1−−−−−
→ 11 1 1 11 1 1(1(1 1 1 1 )) (t), y evalúela a los 6 meses y a 1 b. Calcule la confiabilidad del sistema R S (t) año si: i. El i -ésimo -ésimo componente tiene un tiempo de vida (en Miles de horas) modelado por una distribución exponencial de
parámetro
, i = = 3, 8, 10; es decir,
~ ~
. Interprete.
Las respectivas funciones de confiabilidad para cada uno de los componentes serán:
Para C 3:
Para C 8:
Para C 10 10:
−− −− − −
Con esto, y utilizando la ecuación obtenida en el inciso anterior para la confiabilidad de sistema RS (t), (t), se obtiene la siguiente función para la confiabilidad del sistema:
Evaluando esto para 6 meses y 1 año, y tomando en cuenta de que 6 meses equivale a 4320 horas y 1 año a 8640 horas, se obtiene:
4.8.48..3624 0.0.8543523 60684
Por lo tanto, se puede p uede decir que para 6 meses existe una confiabilidad de 84.35% de que el sistema siga funcionando después de ese tiempo, y para 1 año una confiabilidad de 56.06% de que el sistema siga funcionando después de esto, y se puede notar que al duplicar el tiempo de funcionamiento la confiabilidad se redujo casi en un 30%, lo cual es una diferencia notable.
ii.
El i -ésimo -ésimo componente tiene un tiempo de vida (en Miles de horas) modelado por una distribución Weibull de parámetro de forma ½ y parámetro de escala 1/84. Interprete.
En este caso, el tiempo de vida de todos los componentes está modelado por la misma función de confiabilidad, la cual está dada por:
−
Utilizando la ecuación obtenida en el inciso (4.a) se obtiene la siguiente función de confiabilidad del sistema para este caso:
Evaluando la ecuación anterior para 6 meses y 1 año se obtiene:
4.8.48..362424 0.0.8783129 94863
Por lo tanto, se puede decir que para 6 meses existe una confiabilidad de 88.31% de que el sistema siga funcionando después de ese tiempo, y para 1 año una confiabilidad de 79.48% de que el sistema siga funcionando después de esto, y comparando con el caso anterior, se puede notar que la confiabilidad a 6 meses es muy parecida, pero al duplicar el tiempo la confiabilidad para la distribución Weibull solo se ve reducida en un 10%, mientras que para la confiabilidad con distribución exponencial esta diferencia se ve triplicada.
c. Grafique la tasa de falla del sistema para las dos situaciones descritas en el inciso (4.b).
Recordemos que la función de riesgo (o tasa de falla) se calcula según la expresión:
ℎ ′
Entonces, utilizando las ecuaciones obtenidas en e l inciso (4b), se obtiene las siguientes gráficas de la función h(t) para h(t) para cada uno de los casos:
Distribución Distribución exponencial.
Distribución Distribución Weibull.
d. Calcule la confiabilidad confiabilidad del sistema a los 6 meses y a 1 año si se requiere que de los componentes modelados por C 10 10 funcionen al menos 2. ¿Cuál es el cambio relativo, respecto a las condiciones originales? originales? En este caso, se debe estudiar el subsistema que posee los 3 componentes modelados por C 10 10, los cuales se encuentran dispuestos en paralelo. En este caso, se sugiere calcular la confiabilidad del sistema en el caso de que funcionen al menos 2 de estos componentes. Se debe tener en cuenta que en tal situación se presenta un subsistema k-out-of-n, que quiere decir que se requieren al menos k componentes funcionando de n, y considerando que dichos componentes son independientes y poseen idéntica confiabilidad individual. La confiabilidad de un sistema k-out-of-n se calcula por:
=∑ 1 −−
Llevando la expresión anterior al subsistema en paralelo modelado por los componentes C 10 10 se obtiene la siguiente confiabilidad para dicho subsistema:
∑= 3 1 −− 3 2 Donde C 10 10 corresponde a la confiabilidad de estos elementos. Con esto, se obtiene la siguiente configuración equivalente:
donde se puede apreciar que el elemento 3-C 3-C 10 10 corresponde al subsistema compuesto por 3 componentes modelados por C 10 10 dispuestos en paralelo, y su función de confiabilidad es denotada por R10(t). (t). Entonces, la confiabilidad del sistema en términos de las confiabilidades individuales de cada componente (o subsistema) vendrá dada por:
1 1 1(1(1 1 1 )) ~
Para el caso en el cual las la s confiabilidades individuales de los componentes se modelan mediante la distribución exponencial como: C i exp(i/84) (i = 3, 8, 10) se obtiene la siguiente expresión para la confiabilidad del sistema:
Evaluando dicha expresión para 6 meses y 1 año se obtiene:
6 meses meses 4. 4 . 3 2 2 0. 8 27607 1 añoaño 8.8.644 0.53177
Con respecto al caso en el cual las confiabilidades individuales de los componentes se modelan mediante la distribución Weibull con parámetro de forma ½ y parámetro de escala 1/84 se obtiene la siguiente función de confiabilidad del sistema:
Evaluando esta expresión para 6 meses y 1 año se obtiene:
61meses mesesaño 8.84.4.6.3422 0.0.7880234 76865
Como se puede observar, si se considera que al menos funcionen 2 componentes modelados por C 10 10, la confiabilidad se ve reducida aproximadamente entre un 1 y 2%, lo que tiene sentido, pues si se toman menos componentes en paralelo, en general la confiabilidad tiende a disminuir ya que este tipo de sistemas cumple con esas propiedades.
