Mapas de Karnaugh de 5 y 6 Variables -Segunda Forma Canonica

MAPAS DE KARNAUGH 5 Y 6 VARIABLES – SEGUNDA FORMA CANÓNICA

CATALINA MARÍA HERNÁNDEZ RUIZ

DOCENTE: DAGOBERTO RODRÍGUEZ

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA DE SISTEMAS ARQUITECTURA DE COMPUTADORES Y LABORATORIO 17 DE OCTUBRE DE 2013

MAPAS DE KARNAUGH


1. MAPAS DE KARNAUGH

Un mapa de Karnaugh es un diagrama que permite la simplificación de funciones

algebraicas Booleanas, fue inventado en 1950 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell. El mapa de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la tabla de verdad de la función a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2 N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2 N cuadrados. Las variables de la expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables. Los bloques que se simplifican pueden agruparse en un número potencia de dos; 2, 4, 8, 16, etc.

Agrupando 2^k bloques, que forman un k-cubo, la expresión asociada es la que resulta de eliminar k variables que no son constantes y que se encuentran con su complemento en la expresión de las n variables correspondientes a un término. Los mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer cálculos extensos para la simplificación de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad del cerebro humano para el reconocimiento de patrones y otras formas de expresión analítica, permitiendo así identificar y eliminar condiciones muy inmensas.

2

MAPAS DE KARNAUGH


1.1 MAPA DE KARNAUGH DE 5 VARIABLES

El mapa de Karnaugh de 5 variables tiene 32 celdas, se utilizan diagramas bidimensionales, en donde un plano indica la quinta variable y el otro su complemento. Se manejan los dos planos de la siguiente manera: Son adjuntas: las celdas vecinas, las columnas de izquierda con las de derecha, filas superior e inferior, y las celdas que se encuentren localizadas simétricamente con el centro de cada plano.

C’D’ A’B’ A’B AB AB’

1 0 0

1

C’D 0 1 0 1 E

C’D’ A’B’ 0 A’B 0 AB 0 AB’ 0

CD’ 0 0 0 0

CD 0 1 0 1

C’D 1 1 0 0 E’

CD 0 0 0 0

CD’

1 0 0

1

1.1.1. EJEMPLO DE APLICACIÓN MAPAS DE KARNAUGH DE 5 VARIABLES

La siguiente tabla de verdad muestra 5 entradas y una salida que representa la combinación entre ellas. Hallar la función simplificada.

A 0 0 0 0 0 0

B 0 0 0 0 0 0

C 0 0 0 0 1 1

D 0 0 1 1 0 0

3

E 0 1 0 1 0 1

Y 1 0 0 0 0 0

MAPAS DE KARNAUGH


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

La función sin simplificar es la siguiente: Y = A’BC’D’E + A’BC’DE + A’BCDE + A’BCD’E + ABC’DE + ABCDE + AB’CDE + A’B’C’D’E’ + A’BC’D’E’ + A’BC’DE’ + A’BCDE’ + ABC’DE’ + ABCDE’ + AB’CDE’ Utilizando mapas de Karnaugh se obtiene:

4

MAPAS DE KARNAUGH

A’B’ A’B AB AB’

C’D’ 0 1 0 0

C’D 0 1 1 0 E


CD 0 1 1 1

CD’ 0 1 0 0


C’D’ 1 1 0 0

C’D 0 1 1 0 E’

CD 0 1 1 1

CD’ 0 0 0 0

A’BC’D’E + A’BC’DE + A’BCDE + A’BCD’E A’BE

// Se eliminan C y D

ABC’DE + ABCDE + A’BC’DE + A’BCDE + A’BC’DE’ + A’BCDE’ + ABC’DE’ + ABCDE’ BD

// Se eliminan A, C y E

AB’CDE + AB’CDE’ AB’CD

// Se elimina E

A’B’C’D’E’ + A’BC’D’E’ A’C’D’E’

// Se elimina B

De esta manera se obtiene una función simplificada: Y = A’BE + BD + AB’CD + A’C’D’E’

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MAPAS DE KARNAUGH


1.2 MAPA DE KARNAUGH DE 6 VARIABLES

El mapa de Karnaugh de seis variables tiene sesenta y cuatro cuadros, se utilizan 4 diagramas bidimensionales. Verticalmente el plano general se divide en dos tomando la quinta variable y su complemento; de igual forma se procede horizontalmente con la sexta variable. De esta manera se obtienen 2 n combinaciones, siendo n la cantidad de variables, es decir, 64 combinaciones de 6 variables. Los términos de adyacencia usual se aplican a cada subsección de cuatro variables. Además, hay términos adyacentes horizontalmente y verticalmente entre celdas correspondientes. Básicamente maneja los mismos términos de adyacencia, agrupación de variables que en el caso de cinco variables.

F

F’

C’D’ A’B’ 0 A’B 1 AB 0 AB’ 1

E C’D 0 1 1 0

CD 0 1 1 1

CD’ 0 1 0 0

C’D’ A’B’ 0 A’B 0 AB 0 AB’ 1

E C’D 0 1 0 0

CD 0 1 0 0

CD’ 0 0 0 0

F

F’

C’D’ A’B’ 0 A’B 1 AB 0 AB’ 1

E’ C’D 0 1 1 0

CD 1 1 1 1

CD’ 1 1 0 0

C’D’ A’B’ 0 A’B 0 AB 0 AB’ 1

A’ C’D 0 0 0 0

CD 0 0 0 1

CD’ 0 0 0 1

1.2.1. EJEMPLO DE APLICACIÓN MAPAS DE KARNAUGH DE 5 VARIABLES


6

MAPAS DE KARNAUGH


A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

C 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

D 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

7

E 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

F 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

MAPAS DE KARNAUGH


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1

La función sin simplificar es la siguiente: Y = A’B’CDEF + A’B’CD’EF + A’BCDEF + A’BCD’EF + ABCDEF + ABCD’EF + AB’CDEF + AB’CD’EF + AB’C’DEF + A’B’CDE’F + A’B’CD’E’F + A’BCDE’F + A’BCD’E’F + ABCDE’F + ABCD’E’F + AB’CDE’F + AB’CD’E’F + AB’C’DE’F + A’BC’DEF’ + A’BCDEF’ + ABC’DEF’ + ABCDEF’ + AB’C’DEF’ + A’BC’D’E’F’ + A’BC’DE’F’ + A’BCDE’F’ + A’BCD’E’F’ + AB’C’DE’F’

Utilizando mapas de Karnaugh se obtiene:

8

MAPAS DE KARNAUGH

F

F’


C’D’ 0 0 0 0

E C’D 0 0 0 1

CD 1 1 1 1

CD’ 1 1 1 1

C’D’ A’B’ 0 A’B 1 AB 1 AB’ 0

E C’D 0 1 1 1

CD 0 0 0 0

CD’ 0 0 0 0


F

F’



C’D’ 0 0 0 0

E’ C’D 0 0 0 1

CD 1 1 1 1

CD’ 1 1 1 1

C’D’ 0 0 0 0

E’ C’D 0 0 0 1

CD 0 0 0 0

CD’ 0 0 0 0

A’B’CDEF + A’B’CD’EF + A’BCDEF + A’BCD’EF + ABCDEF + ABCD’EF + AB’CDEF + AB’CD’EF + A’B’CDE’F + A’B’CD’E’F + A’BCDE’F + A’BCD’E’F + ABCDE’F + ABCD’E’F + AB’CDE’F + AB’CD’E’F CF

// Se eliminan A, B, D y E

AB’C’DEF + AB’C’DE’F + AB’C’DEF’ + AB’C’DE’F’ AB’C’D

// Se eliminan E y F

A’BC’DEF’ + A’BC’D’EF’ + ABC’DEF’ + ABC’D’EF’ BC’EF’

// Se eliminan A y D

De esta manera se obtiene una función simplificada: Y = CF + AB’C’D + BC’EF’

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MAPAS DE KARNAUGH


1.3 MAPA DE KARNAUGH SEGUNDA FORMA CANÓNICA

Para realizar simplificación de variables con mapas de Karnaugh hallando la segunda forma canónica se debe desarrollar el mapa para f, luego para f negado, de esta forma, se puede leer el producto de maxtérminos de f, como la suma de mintérminos de f’. Así se obtiene la forma mínima como suma de productos. Luego mediante involución, la función f; y finalmente se aplica De Morgan. Para una función dada, siempre deberán obtenerse los dos diseños; es decir la forma suma de productos y producto de sumas, ya que no es posible obtener una relación que indique cual de las dos formas será mínima.

1.3.1. EJEMPLO DE APLICACIÓN MAPAS DE KARNAUGH SEGUNDA FORMA CANONICA


A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 10

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

MAPAS DE KARNAUGH


1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0

La función sin simplificar es la siguiente: Y = ABC’D’ + ABC’D + ABCD’ + AB’C’D 1. Mapa de Karnaugh asociado a Y C’D’ A’B’ 0 A’B 0 AB 1 AB’ 0

C’D 0 0 1 1

CD 0 0 0 0

CD’ 0 0 1 0

C’D 1 1 0 0

CD 1 1 1 1

CD’ 1 1 0 1

2. Mapa de Karnaugh asociado a Y’ C’D’ A’B’ 1 A’B 1 AB 0 AB’ 1

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MAPAS DE KARNAUGH


3. Se obtiene la simplificación de Y’: AB’C’D’ + AB’CD’ AB’D’

// Se elimina C

A’B’C’D’ + A’B’C’D + A’B’CD + A’B’CD’ + A’BC’D’ + A’BC’D + A’BCD + A’BCD’ A’

// Se eliminan B, C y D

A’B’CD + A’BCD + ABCD + AB’CD CD

//Se eliminan A y B

4. Obtencion del producto de sumas: Y’ = AB’D’ + A’ + CD Y’ = (AB’D’ + A’ + CD)’

// Aplicando involución

Y’ = (AB’D’)’ ( A’)’ (CD)’

// Demorgan

Y’ = (A’+ B + D) (A) (C’ + D’)

// Demorgan

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