FORMAS CANÓNICA Y ESTÁNDAR. Un prob proble lema ma de prog program ramac ació ión n line lineal al se dice dice que que está está escr escrit ito o en “form forma a estándar” si todas las restricciones del problema son ecuaciones lineales y todas las variables son no negativas. Diremos que un problema de programación lineal de minimización está escrito en “form forma a canó canóni nica ca” ” si toda todas s las las vari variab able les s son son no nega negati tiva vas s y toda todas s las las restricciones son del tipo ≥. Diremos que un problema de programación lineal de maximización está escrito en “form forma a canó canóni nica ca” ” si toda todas s las las vari variab able les s son son no nega negati tiva vas s y toda todas s las las restricciones son del tipo . !bservación" #l m$todo simplex% que es un m$todo para resolver problemas de progr programa amació ción n linea lineal% l% está está dise&a dise&ado do para para aplic aplicars arse e sólo sólo despu$ despu$s s de que el problema se 'aya escrito en forma estándar. estándar. (orma estándar. #s la igualación de las restricciones del modelo planteado% as) como el aumento de variables de 'olgura% o bien la resta de variables de exceso. exceso. *'ora se puede formular al modelo matemático para este problema general de asignación de recursos recursos a actividades. actividades. #n Datos necesarios para para un modelo de de progr programa amació ción n lineal lineal que mane+a mane+a la asigna asignació ción n de recurs recursos os a activi actividad dades es particular% este modelo consiste en elegir valores de x,%x-%....%xn para"
!ptimizar maximizar o minimizar/ 0 1 c,x, 2 c-x- 2....2 cnxn% su+eta a las restricciones" 3,,x, 2 3,-x- 2....2 3,nxn ≥%%1/ cn, 3,x, 2 3--x- 2....2 3-nxn ≥%%1/ cn4,≥ 5% 4- ≥ 5% ......% 4n≥5
#+emplo , (unción ob+etivo 6aximizar z14, 2 4-
74,2 84- ,7 84,2 7x- ,7
x+ ≥59 +1,%-
:asos para pasar un problema de programación programación lineal al (!;6*D*;% #=<*>D*;% se consideran las siguientes fases"
,. 3onvertir las desigualdades en igualdades =e introduce una variable de 'olgura por cada una de las restricciones% para convertirlas en igualdades% resultando el sistema de ecuaciones lineales" ?ariable de 'olgura. =e usa para convertir en igualdad una desigualdad de tipo @@. Aa igualdad se obtiene al adicionar en el lado izquierdo de la desigualdad una variable no negativa% que representa el valor que le 'ace falta al lado izquierdo para ser igual al lado derec'o. #sta se conoce como variable de 'olgura% y en el caso particular en el que las restricciones de tipo se reBeren al consumo máximo de un recurso% la variable adicionada cuantiBca la cantidad sobrante de recurso cantidad no utilizada/ al poner en e+ecución la solución óptima.
6aximizar z1x,2x74,2 84- 2481,7 84,2 74- 24C1,7 4+ ≥59+1,%-%8%C Aas variables básicas son 48 y4C y por supuesto en la función ob+etivo 0. -. gualar la función ob+etivo a cero >ecesitamos que la función ob+etivo siempre sea de minimización y que todas las demás restricciones sean igualdades. #ste #ste prob proble lema ma de prog program ramac ació ión n line lineal al aEn aEn no está está en form forma a está estánd ndar ar.. #ntonces el paso a seguir que tenemos que realizar realizar es"
,. cambiar de maximización a minimización" multiplicando la función ob+etivo por F,. #n este este caso caso la funció función n ob+et ob+etivo ivo será. será. 74,2 84- 2481,7 8,2 74- 24C1,7
6inimi 6inimizar zar 0F4, 0F4,FF4-15 4-15
=u+eta =u+eta a"
La forma canónica de la programación lineal e : Max Z= c1x1+ c2x………..+ cnxn Sujeto a las restricciones: a11x1+ a11x1+ a12x2 …….. + a1nxn ≤ b1 a21x1+ a22x2………..+ a2nxn ≤ b2 am1x1+ am2x2…… am2 x2………. …..+ .+ amnxn ≤ bm x1 ≥ 0, x≥ 0……….xn 0……….xn ≥ 0 Se puee obser!ar "ue en la #orma can$nica: 1% &a #unci$ #unci$n n objeti objeti!o !o se maxi maximi' mi'a. a. 2% &as &as restr restric icci cione ones s e los los recurs recursos os son repre represe sent nta aos os por por esi esi(ua (uala laes es menor o i(ual a los recursos limitaos )≤%. 3) &as !ariables toas eben ser ma*ores "ue cero.
ara poer resol!er resol!er e #orma al(ebraica al(ebraica el moelo e pro(ramaci$n pro(ramaci$n lineal lineal ebe tener las si(uientes propieaes: a% oas restricciones eben ser ecuaciones )i(ualaes% * el se(uno miembro no ebe e ser ne(ati!o. b% oas oas las !ariables no eben ser ne(ati!as c% &a #unci$n objeti!o puee ser e maximi'aci$n o e minimi'aci$n. a% ara "ue toas las restricciones se con!iertan a ecuaciones )i(ualaes%: 1% &as rest restri ricc ccio ione nes s e tipo tipo ≤ se le suma una un a !aria !a riable ble e -ol( - ol(ura ura al prime p rimerr miemb mi embro ro e e la ecuaci$n. jemplo: /1 + 2x2 ≤
se con!ierte en: /1 + 2x2 + /e =
2% &as restricci restricciones ones e tipo ≥ se le resta resta una una !ariable !ariable e exceso exceso al primer primer miem mi embr bro o e la ecuaci$n.
jemplo: /1 + 2x2 ≥
se con!ierte en: /1 + 2x2 /e =
% l se(uno miembro e una ecuaci$n puee -acerse no ne(ati!o multiplicano ambos laos por 1. /1 + 2x2 3x =
se con!ierte en: /1 2x2+ 3x=
4% n una esi(uala, el si(no se in!ierte al multiplicar por 1 /1 2x2 ≥
se con!ierte en: /1+ 2x2 ≤
b% oas oas las !ariables no eben ser ne(ati!as n caso e existir una !ariable irrestricta )no restrin(ia% xi puee expresarse en t5rmino e os !ariables no ne(ati!as /i = xi6 + xi66 &a sustitu sustituci$ ci$n n ebe ebe e#ectu e#ectuarse arse en toas toas las ecuacio ecuaciones nes inclu* inclu*eno eno la #unci$ #unci$n n objeti!o. 7% como sabemos el problema problema e & puee ser maximi'aci$ maximi'aci$n n o minimi'aci$n, minimi'aci$n, pero al(unas !eces es con!eniente con!ertir e una #orma a otra: &a maximi'aci$n e una #unci$n objeti!o e"ui!ale a la minimi'aci$n el ne(ati!o e la misma #unci$n * !ice!ersa Maximi'ar ' = 3x1+ 2x2 + x
es i(ual a minimi'ar 8' = 3x1 8 2x2 8 x
9ems la #unci$n objeti!o e ebe i(ualar a cero: ' = 3x1 + 2x 2 + x
se con!ierte a ' 3x1 2x2 x=0
9pro!ec-ano estas propieaes p ropieaes poemos pasar pa sar cual"uier problema pr oblema e & e la #orma can$nica a la #orma estnar "ue es la "ue se trabaja e #orma al(ebraica * "ue tiene la #orma (eneral e: Z c1x1 c2x2…………cnxn Sujeto a: a11x1 + a12x1………….. +a1nxn + xn1 = b1 a21x1+ a22x1…………..+ a2nxn + xn2 = b2 am1x1+ am2x1…… am2 x1………… …….. ..+a1mxn+ +a1mxn+ xnm = bm
n one: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0………. 0……… . /n ≥ 0 x-1 ≥ 0, x-2≥ 0………. 0……… . /nm≥ 0
