Manual Series de Tiempo

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECONOMETRÍA II MANUAL ECONOMETRÍA DE SERIES DE TIEMPO (TEORÍA Y STATA) DOCENTE ECON. CRISTIAN PICÓN VIANA

SERIES TEMPORALES Este manual debe ser entendido únicamente como complemento aclaratorio a los capítulos 21 y 22 de Gujarati y nunca como remplazo para estudio. Las tablas y ejemplos deben buscarse en el libro así como los conceptos que aparecen o no en el presente documento.

Objetivo: Explicar la evolución de una serie a lo largo del tiempo y prever sus valores futuros.

1. Introducción (Conceptos clave) 

Serie temporal: Conjunto de observaciones

Yt ,

cada una recogida en un tiempo específico t . El tiempo puede ser representado de forma discreta o continua.

Ejemplos: Serie de nacimientos. Serie de temperaturas. Serie de ventas de una empresa. Serie de la demanda de energía eléctrica. Serie de cotizaciones en bolsa. 

Periodicidad

Anual Mensual Semanal Diaria Claramente, existen otros tipos de periodicidad: semestral, trimestral, horaria. El tipo de periodicidad es una característica muy importante en una serie y aparecerán determinadas pautas debido a ella.




Tipos de series según su naturaleza paramétrica.

No tiene sentido aplicar los métodos descriptivos a una variable de este tipo, ya que no se tendría en cuenta la dependencia temporal. Por esta razón y a que ahora ya no disponemos de una muestra de tamaño n de una variable, variable, sino que disponemos disponemos de n muestras de tamaño 1 de una variable se cuenta con poca información. Por tanto, hay que imponer ciertas condiciones a las series:

a) Estacionarias: Estacionarias: Media y varianza constantes.

Gráfico 1

b) No Estacionarias: Media y/o varianza cambian a lo largo del tiempo.

Gráfico 2


c) Estacionales: Estacionales: Pauta de evolución que se repite.

Gráfico 3



Componentes de una serie

Un proceso estocástico (serie de tiempo) puede descomponerse en tres componentes:         

Donde: Yt : Valor de la regresada en el

tiempo.

Tendencia (Tt): es la dirección que toma la serie s erie al pasar el tiempo (depende del signo + o -). Estacionalidad (St): Pauta de evolución que se repite de forma predecible y periódica (por ejemplo el consumo agregado en diciembre y el consumo de cerveza en carnavales). Irregular o “cíclico” (ut): componente no controlable (ciclos económicos en macroeconomía). En muchos casos es conveniente obtener estos componentes, sin embargo sólo es necesario para estudios puntuales en macroeconomía y teoría del crecimiento económico por lo que se escapa de los objetivos de este manual. Aquí nos limitaremos a la identificación de una serie como estacionaria o no estacionaria y su modelado con fines de predicción a corto plazo.

2. Análisis de la serie. Como se ha indicado en clase, una o varias series diferentes pueden estudiarse desde diferentes enfoques. Se puede requerir un conocimiento sobre sus componentes, su relación


con otras series o variables variables y/o la predicción. En las dos primeras lo más importante importante es la estimación de parámetros mientras que para la predicción el consenso requiere entender los valores futuros de una serie en función de su comportamiento comportamient o anterior sin entrar en detalles sobre sus causas o determinantes determinantes teóricos. En este sentido, para que una serie pueda ser predicha o prevista debe ser estacionaria para que sus errores tengan unas características estadísticas deseables y no se presente regresión espuria . El problema es que pocas veces nos encontraremos con series de tiempo estacionarias, por lo tanto se deben efectuar los siguientes ejercicios necesarios necesarios si se desea realizar predicciones:

i) Identificar si la serie es estacionaria o no. ii) Si no es estacionaria hay que transformarla en estacionaria. iii) Si tenemos la serie estacionaria inicial o después de transformarla en estacionaria (en este punto ya no importa) se procede a modelar que tipo de comportamiento ha tenido. Una de las metodologías para modelar series estacionarias es la conocida como Box-Jenkins que se centra en técnicas basadas en modelos ARMA y ARIMA: “Auto Regressive Moving Average” y “Auto Regressive Integrated Moving Average” que analizaremos mas adelante.

2.1 Identificar si la serie es estacionaria o no. 2.1.1) Tipos de series según sus componentes:

Podemos generalizar la ecuación 1) de la siguiente manera en la ecuación 2):             

Como estudiaron en el capítulo 21 pág. 777 y 778 del Gujarati 4ª edición, de acuerdo al valor de los coeficientes en la ecuación 2 sabremos si la serie es estacionaria, así: 

       (Caminata aleatoria) NO ESTACIONARIA



        

(Caminata

aleatoria

con

variaciones)

NO

ESTACIONARIA 

          (Proceso estocástico de tendencia) ESTACIONARIA CON

TENDENCIA DETERMINISTA 

            (Caminata aleatoria aleatoria con variaciones y tendencia

determinista) NO ESTACIONARIA




            

ESTACIONARIA

CON

TENDENCIA

DETERMINISTA 

          ESTACIONARIA

Si son observadore(a)s se habrán dado cuenta de que las series no estacionarias son aquellas donde β3 es igual a 1. A este fenómeno se le denomina Raíz Unitaria, si nos topamos con una serie sin raíz unitaria podemos considerarla estacionaria y proseguir a su modelación; si encontramos que tiene raíz unitaria entonces debemos transformarla en estacionaria para poderla modelar.

2.1.2) Identificación Para identificar si una serie de tiempo es estacionaria o no tenemos dos herramientas principales, las herramientas gráficas y las pruebas estadísticas:

a) Herramientas gráficas: Para analizar y modelar la serie es necesario identificar la estructura que la genera, es decir, cómo influyen las observaciones del pasado en las futuras. Herramientas: i) Función de Autocorrelación Simple (FAC) ii) Función de Autocorrelación Autocorrelación Parcial (FACP)



Función de Autocorrelación simple (FAC)

Proporciona la estructura de dependencia lineal de la serie. Los valores que se observan en la serie son:           

Donde Y t+1 t+1 representa el valor de la serie para un periodo próximo, es decir, un valor futuro.

El objetivo de la FAS es estudiar cómo se influyen las diversas observaciones.             

Idea: Dar el coeficiente de correlación entre las observaciones separadas un número determinado de periodos.         

 []


Donde:   Cómo influye una observación en la siguiente, Yi ⟶ Yi+1.   Cómo influye una observación sobre la que está dos periodos hacia adelante, Yi ⟶ Yi+2.   Cómo influye una observación sobre la que está k periodos periodos hacia adelante, Yi ⟶ Yi+k.

Conclusión: La FAC proporciona información sobre cómo una observación influye en las siguientes.

Ejemplo:

Gráfico 4

Gráfico 5

Los ρ significativos son los que sobresalen de las linead horizontales. Cuando hay muchos ρ

significativos la serie será no estacionaria, será estacionaria cuando se parezca a un ruido blanco con algunos picos significativos. El gráfico 4 corresponde a una serie


estacionaria y el 5 a una no estacionaria. En el gráfico 6 se observa una serie de ruido blanco, el cual se caracteriza por no tener ρ significativos.

Gráfico 6



Función de Autocorrelación Parcial (FACP)

Las FAC presentan el problema de que si   , entonces             

es decir, existe una cadena de influencia separada por un retardo, entonces: Si   

y   , entonces   

Por tanto, hay que distinguir entre varias cadenas de influencia: • Cadena de influencia general general a través de   la cual es dada por la FAC. • Cadena de influencia directa. Cómo influye Y 1 sobre Y 3 directamente, sin pasar por Y 2 , la cual

es dada por la FACP. Es decir, la FACP proporciona la relación directa existente entre observaciones separadas por k retardos retardos y elimina el problema que presentaba la FAS, esto debido a que en la FAC, si  es significativo, también lo será ; en la FACP, esto no tiene tiene por qué ocurrir. ocurrir.


Ejemplo:

Gráfico 7

Las FACP no interesan realmente para saber si una serie es estacionaria, se utilizarán más adelante.

b) Pruebas estadísticas: Las pruebas estadísticas mas utilizadas consisten en estimar β3 en la ecuación 2) para luego probar la hipótesis Ho: β 3=1. Si este es el caso nos enfrentaremos enfrentaremos a una serie estacionaria. Las transformaciones transformaciones algebraicas necesarias se encuentran en la pág. 789-792 del Gujarati ya que no se realiza esta prueba directamente directamente sino Ho: δ=0, donde δ= (β3-1). De las pruebas de raíz unitaria la más utilizada es la Dickey- Fuller Aumentada (DFA), que es una mejora de la original DF que incluye la Autocorrelación de los residuos. Las pruebas DF no realizan las pruebas de hipótesis sobre β 3 con el tradicional estadístico t de de student ya que las estimaciones de este no siguen esta distribución. Se utiliza la distribución τ (tau), cuyas tablas se encuentran el los libros de econometría y en los lo s programas econométricos. En la DFA si se rechaza la Ho estaremos frente a una serie no estacionaria .

2.2 Transformar la serie en estacionaria Como vimos anteriormente las ecuaciones 5 y 7 son estacionarias con tendencia determinista, lo que significa que aunque su varianza es constante su media sigue una tendencia temporal, estas series deben convertirse en estacionarias estacionarias totalmente totalmente haciendo haciendo la regresión de Y t t con respecto al tiempo y modelando los residuos para realizar las predicciones. Se reconocen gráficamente ya que la serie es aproximadamente un ciclo alrededor de una línea recta. Este tipo de series es muy raro en Economía así que no se profundizarán es este documento.


Por otro lado, las series no estacionarias más comunes son las conocidas como Modelos de Caminata Aleatoria que se caracterizan por tener una o más raíces unitarias. Están representados por las ecuaciones 3, 4 y 6. Los MCA son estacionarios en diferencias, es decir, se convierten en estacionarios al utilizar la variable dependiente como diferencia de ella misma, por ejemplo, si la variable dependiente = Y t t – Y t-1 es Y t t se se utiliza ΔY t t = t-1 en el modelo. Las series MCA se diferencian el número de veces que raíces unitarias tengan. Es decir, si la serie tiene dos raíces unitarias será I(2) y tendrá que diferenciarse dos veces; generalizando, si es I(d) se diferenciará d veces donde d es un número entero positivo.

2.3 Modelado de la serie estacionaria Recordemos que el objetivo principal del estudio de series temporales es predecir una serie de datos no determinista (contiene un componente aleatorio). Si el componente aleatorio es estacionario, se pueden desarrollar técnicas eficientes para predecir valores futuros de la serie. Si el componente aleatorio no es estacionario, primero se debe convertir dicho componente en estacionario, se predice dicho componente y, finalmente, se deshace la conversión para recuperar la predicción de interés. Para modelar un proceso estacionario, nos centraremos en técnicas basadas en modelos ARMA y ARIMA: “Auto Regressive Moving Average” y “Auto Regressive Integrated Moving Average”.

Si un proceso estocástico es estacionario puede modelarse de diversas formas:

2.3.1) Procesos Autorregresivos (AR): Son aquellos procesos que indican que los valores de una serie solo dependen de los valores que ha tomado en el pasado y se caracterizan por su orden de dependencia. Así, si Y t t depende de Y t-1 t-1 será AR(1), si depende de Y t-2 t-2 será AR(2) y generalizando, si Y t t depende de Y t-s t-s será AR(s). Su forma general esta dada por:                  

Se caracterizan por tener memoria larga, es decir, las autocorrelaciones entre períodos decrecen lentamente. Un proceso AR tarda bastante tiempo en absorber los impactos externos. Será estacionario solo si ∑   .


2.3.2) Procesos de Media Móvil: La realidad demuestra que existen series que absorben rápidamente los impactos. Se introduce otra familia de procesos de memoria corta: procesos de media móvil (“moving average”). Estos son una combinación lineal de términos de errores o residuos de períodos

anteriores, lo que quiere decir que el valor o valores anteriores sólo son importantes en los residuos por lo que cambian rápidamente. Está representada por:                    para un MA(s)

Será estacionario solo si ∑   

2.3.3) Procesos Autorregresivos y de Media Móvil (ARMA): Son procesos estocásticos estocásticos con características de AR y MA. MA. Por ejemplo un ARMA (1, 1) está representado por          

En general un proceso ARMA (p, q) estará representado por:                             

3. METODOLOGÍA DE BOX-JENKINS (BJ) Es una metodología que pretende encontrar el proceso que dio origen a una serie estacionaria. En otras palabras, cuando se tiene una serie estacionaria estacionaria esta metodología metodología permite encontrar a que tipo de AR, MA o ARMA nos enfrentamos con el fin de estimar los parámetros correspondientes y realizar predicciones. Para desarrollarla seguiremos teóricamente lo plantado en el libro guía en sus páginas 814820 4ª edición. Se utilizará el PIB trimestral de Estados Unidos 1970I a 1991IV suministrado en la tabla 21.1 pág. 769 del libro y cuyo archivo es anexado en formato .dta en el archivo ”GDP USA.dta” para realizar el ejercicio en STATA.

Tenemos la tabla 21.1 del libro guía:


Primero abrimos el archivo desde STATA:


Obtenemos:


Hay que indicarle a STATA que trabajaremos con series de tiempo por lo tanto debe crearse una variable que indique el tiempo. Una forma de crearla es hacerlo en Excel y pegarla en el editor de datos.

Luego se copia y pega la variable con nombre incluido en el editor de STATA:


Escoges la opción “utilizar la primera casilla como nombre de variable” y listo ya se ha

creado la variable time que indica a STATA el número de períodos que utilizaremos. Para que la tome como la guía temporal escribimos: tset time Donde time es el nombre que le hayamos dado a la variable de tiempo. Ahora STATA entiende que trabajamos con series de tiempo y tomará time como guía. Otra forma de hacerlos más fácil es escribir en STATA gen time = _n y luego tset time 3.1) ¿La serie ya es estacionaria? El primer paso para identificar si la serie GDP (PIB) es estacionaria es graficarla. Para graficar la serie escribimos: tsline GDP O desde el menú: Graphics ⟶ Time- series graphs ⟶ Line Plots ⟶ Create y escogen la variable correspondiente a Y t . Se obtiene: 0 0 0 5

0 0 5 4

Gráfico 8

0 0 0 4

0 0 5 3

0 0 0 3

0

20

40 TIME

60

80


Que es la misma que se s e observa en el capítulo 21 en la figura 21.1 y cuya descripción también. Se observa que como la serie tiene tendencia positiva en el largo plazo su media no puede ser constante y su variabilidad ha sido diferente en algunos períodos, por lo tanto se puede asumir como no estacionaria. Otra herramienta gráfica mucho más potente es el correlograma o gráfico FAC que se definió anteriormente. anteriormente. Para el caso del GDP de Estados Unidos tenemos: Escribimos en el editor de comandos: ac GDP, lags(25) Donde ac es el comando para el correlograma y lasgs es el número de rezagos tenidos en cuenta que debe ser aproximadamente una cuarta parte de los datos, 25 según el libro. O desde el menú: Graphics ⟶ Time- series graphs ⟶ Correlogram (AC) ⟶ escoges la variable y en autocorrelations el número de rezagos. Se obtiene: 0 0 . 1

0 5 . 0

Gráfico 9 i l

0 0 . 0

. -

. 1 -

0

5

10

Lag

15

20

25

Bartlett's Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands

Como puede observarse los valores ρ de Autocorrelación decrecen lentamente y hay muchos

significativos por lo que concluimos que es no estacionaria. Por último realizamos una prueba DFA de raíz unitaria para comprobar si la serie es no estacionaria, siguiendo las indicaciones del libro utilizamos solo un rezago:


En STATA escribimos: dfuller GDP, trend lags(1) Donde trend indica que se tiene en cuenta el componente de tendencia determinista y lasgs(1) que solo se tiene en cuenta un rezago. Se obtiene: . dfuller GDP, trend lags(1) Augmented Dickey-Fuller test for unit root Test Statistic Z(t)

-2.230

Number of obs

=

85

Interpolated Dickey-Fuller 1% Critical 5% Critical 10% Critical Value Value Value -4.073

-3.465

-3.159

MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.4730

El estadístico de prueba τ es de -2.230 que en valor absoluto es menor que los valores críticos incluso par aun 99% de confianza, por tanto no se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria y declaramos a la serie como no estacionaria. Como la serie es no estacionaria tenemos que transformarla para hacerla estacionaria. Por tanto la diferenciaremos una vez en primera instancia. En STATA debemos primero generar una variable igual a GDP pero rezagada en un período para después utilizarlas para crear ΔGDP:

Escribimos en el editor de comandos: gen GDPrezago = GDP[_n-1] Donde los corchetes deben ser cuadrados y -1 indica que será solo un rezago; la nueva variable se denomina GDPrezago por ejemplo:

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO ECONOMETRÍA II MANUAL ECONOMETRÍA DE SERIES DE TIEMPO (TEORÍA Y STATA) DOCENTE ECON. CRISTIAN PICÓN VIANA Una vez creada la variable rezagada rezagada creamos ΔGDP = GDP – GDPrezago

Escribiendo en STATA así: gen difGDP = GDP - GDPrezago GDPrezago Donde difGDP es la variable GDP en primera diferencia ΔGDP. Tengan en cuenta los espacios entre los caracteres, mientras aprenden pueden copiar los comandos de este manual y cambian lo que necesiten según sus series. s eries. Realizando la prueba DFA sobre difGDP tenemos: .

u er

GDP, tren

ags 1

Augmented Dickey-Fuller test for unit root Test Statistic Z(t)

-4.758

Number of obs

=

85

Interpolated Dickey-Fuller 1% Critical 5% Critical 10% 10% Critical Value Value Value -4.073

-3.465

-3.159

MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0006

El estadístico de prueba τ es de -4.758 que en valor absoluto es mayor que los valores críticos

incluso par aun 99% de confianza, por tanto se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria y declaramos a la serie como estacionaria. Una Una vez estacionaria es es hora de empezar con el modelado de la serie.

3.2) Identificación Para identificar a que proceso generador nos enfrentamos se utilizan las interpretaciones de los gráficos AC y ACP explicados anteriormente. En el Gujarati encontrarán la siguiente tabla que da algunas indicaciones de como identificarlas:


Sin embargo como se aclara en el libro la forma de identificar un ARMA mediante correlogramas es muy compleja y requiere práctica. Por tanto les daré algunas indicaciones que pueden ayudarles mientras investigan más al respecto. 









El gráfico AC o FAC indicará el comportamiento MA de la serie. Si tiene picos significativos sospechen que tiene un componente MA. Es decir si tiene un pico significativo en la Autocorrelación 5 entonces es muy posible po sible que tenga un componente MA(5). El gráfico FACP o PAC indicará el comportamiento AR. Si tiene picos significativos sospechen que tiene un componente AR. Es decir si tiene un pico significativo en la Autocorrelación 4, por ejemplo, entonces es muy posible que tenga un componente AR(4). Cuando los gráficos no tengan comportamiento claro intente un ARMA con los picos significativos y exploren. Casi nunca un pico repetido tanto en el AC y el PAC corresponde tanto a un AR como a un MA. Por ejemplo, si tanto en el AC como en el PAC la Autocorrelación 5 es significativa será generalmente un AR(5) o un MA(5) y no un ARMA(5 5) Tengan en cuenta las señales indicadas en la tabla.

En el caso del PIB del ejemplo que nos interesa los gráficos AC y PAC son los siguientes:


ac difGDP, lags(25) 0 4 . 0

0 2 . 0

Gráfico 10 AC

0 0 . 0

0 2 . 0 -

0 4 . 0 -

0

5

10

Lag

15

20

25

15

20

25

Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands

pac difGDP, lags(25)

0 4 . 0

Gráfico 11 PAC

0 2 . 0

0 0 . 0

. -

. -

0

5

10

95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)] 1/sqrt(n)]

Lag


Como puede observarse, el gráfico AC tiene forma sinusoidal lo que nos hace pensar en un AR de algún tipo. En el libro no se tiene en cuenta el pico 1 y 8 significativos en el AC que pueden denotar algún MA. El gráfico 11 muestra en el PAC tres picos significativos, en 1, 8 y 12 por lo se opta por un AR(1 8 12) como formula generadora en el Gujarati. Estimamos Estimamos de esta manera un AR(1 8 12). Se escribe: arima difGDP, ar(1 8 12) Ó desde el menú: Statistics ⟶ Time series ⟶ ARIMA and ARMAX models ⟶ escogen difGDP como variable dependiente y crean el ARMA así:


Para un ARMA(1 8 12) el resultado es el siguiente: (también se puede correr con robust)

ARIMA regression Sample:

2 - 88

Log likelihood =

Number of obs Wald chi2(3) Prob > chi2

-422.215

= = =

87 30.95 0.0000

OPG Std. Err.

z

P>|z|

[95% Conf. Interval]

23.54504

2.94302

8.00

0.000

17.77683

29.31325

ar L1. L8. L12.

.3031796 .30 31796 -.2805791 -.2646444

.0956478 .0886424 .1083806

3.17 -3.17 -2.44

0.002 0.002 0.015

.1157133 .1 157133 -.4543149 -.4770665

.4906459 -.1068432 -.0522223

/sigma

30.64117

2.20112

13.92

0.000

26.32705

34.95528

difGDP

Coef.

_cons

difGDP ARMA

Como puede observarse todos los coeficientes son significativos y el p-valor de la prueba de significancia conjunta conjunta es 0 por lo que es un excelente modelo. Para saber si el modelo está bien especificado con respecto a otros se calculan enseguida los criterios Akaike (AIC) y Schwarz (BIC). El mejor modelo será el que tenga los valores menores de estos dos indicadores. (Si no es claro cuál modelo tiene los valores menores saca promedio de los dos indicadores aunque esto no es muy riguroso)

estat ic

Note: N=Obs used in calculating BIC; see


Los anteriores son los resultados del modelo tal cual es planteado en el libro. Sin embargo, no estoy de acuerdo del todo ya que no tiene en cuenta que los rezagos 1 y 8 son significativos también en el PAC por lo que puede haber un componente MA. Se deja al estudiante el modelo AR(12) MA(1 8) que otra posibilidad; aquí se optó por un AR(1 12) y el rezago 8 que es significativo en un MA(8) así:

arima difGDP, ar(1 12) ma(8) Obteniéndose: ARIMA regression Sample:

2 - 88

Number of obs Wald chi2(3) Prob > chi2

Log likelihood = -419.9537 OPG Std. Err.

difGDP

Coef.

_cons

23.81865

2.121715

ar L1. L12.

.3200241 -.320261

ma L8. /sigma

z

= = =

87 46.57 0.0000

P>|z|

[95% Conf. Interval]

11.23

0.000

19.66016

27.97713

.0980902 .1200733

3.26 -2.67

0.001 0.008

.1277707 -.5556004

.5122774 -.0849216

-.4356056

.0911843

-4.78

0.000

-.6143236

-.2568876

29.65242

2.081562

14.25

0.000

25.57263

33.73221

difGDP ARMA

Note:

N=Obs used in calculating BIC; see

Como puede observarse el estadístico de WALD es 46.57 mayor al anterior y los p-valores de los coeficientes son menores a los anteriores por lo que parece un mejor modelo. Los criterios AIC y BIC confirman esto. Por lo tanto hemos encontrado una mejor estimación a la serie de tiempo que la planteada p lanteada por Gujarati.


3.3) Verificación de Diagnóstico: Si el modelo está bien estimado sus residuos deben ser de ruido blanco o completamente aleatorios, caracterizándose por no tener rezagos significativos. Se generan los residuos después de la regresión deseada, en este caso el AR(1 12)MA(8), se deja al estudiante corroborar los resultados del modelo planteado por el libro:

predict residual, res donde res es el nombre de la variable que contendrá a los residuos. Luego, se genera el gráfico AC:

Ac res 0 4 . 0

0 2 . 0

0 0 . 0

. -

. -

0

10

20 Lag

30

40

Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands

Como se observa el AC no presenta rezagos significativos por lo que se trata de una serie de ruido blanco y el modelo está bien estimado. Lo anterior se corrobora con la p rueba Q:

. wnte wntestq stq res dual dual Portmanteau test for white noise Portmanteau (Q) statistic = Prob > chi2(40) =

32.7382 0.7856


Como el p-valor es mayor a 0.05 no se rechaza la Ho de que la serie es ruido blanco. Conclusión, todo lo hicimos bien.

3.4) Predicción En STATA se puede generar predicciones basados en el modelo estimado. En primer lugar se añaden mas valores a la variable temporal, en este caso time, según la cantidad de estimaciones deseadas. Por ejemplo, si se desean dos estimaciones se agrega 89 y 90 a la serie y se guarda. Luego se escribe: predict GDPp, xb donde GDPp es el nombre asignado a la variable que incluirá las predicciones. Ojo, las predicciones se realizarán sobre la variable modelada en este caso difGDP si se desea el GDP o la tasa de variación hay que realizar las variaciones algebraicas requeridas.

ÉXITOS

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