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ESTUDIOS GENERALES
MATEMÁTICA
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OBJETIVO GENERAL Al nalizar el curso el participante estará en las condiciones de comprender, analizar, analizar, aplicar propiedades de cálculo, y resolver las situaciones problemáticas que se les presente y poder iniciar su formación profesional, siendo creativo, con autonomía de aprendizaje, crítico y desarrollando su pensamiento matemático, manifestando interés, conanza y perseverancia en su desarrollo personal.
Temas • OBJETIVO GENERAL
Índice .
1. OPERACIONES BÁSICAS Y ECUACIONES 2. PMÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MÚLTIPLO (MCM) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) 3. NOCIONES Y FRACCIONES 4. OPERACIONES CON FRACCIONES 5. NÚMEROS DECIMALES 6. POTENCIACIÓN Y RADIACIÓN 7. TRIGONOMETRÍA BÁSICA 8. MEDIDAS DE TIEMPO 9. RAZONES Y PROPORCIONES 10. MAGNITUDES MAGNITUDES PROPORCIONALES 11. REGLA DE TRES 12. PORCENTAJE 13. ÁNGULO 14. ÁNGULOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE 15.CINCUNFERENCIA 16. POLÍGONO 17. MEDIDAS DE LONGITUD 18.PERÍMETRO 19. MEDIDAS DE SUPERFICIE 20. VOLUMEN
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MATEMÁTICA
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UNIDAD
1
OPERACIONES BÁSICAS Y ECUACIONES
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ESTUDIOS GENERALES
1 Operaciones Básicas 1. Números Naturales Un número natural es cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos de la naturaleza.
2. Operaciones en el conjunto de números naturales 2.1 Adición: Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a; b) su suma a + b.
Ejemplo:
7
+
8
+
13
=
Sumandos
28
Suma
2.2 Sustracción: Se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a; b) su diferencia a - b.
Diferencia (D) 235
-
140
=
95
Sustraendo (S) Minuendo (M) Propiedades de la sustracción: a. La suma del SUSTRAENDO y la DIFERENCIA es igual al MINUENDO.
S + D = M b. La suma de los TRES TÉRMINOS de la sustracción es igual al DOBLE DEL MINUENDO.
M + S + D = 2M
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MATEMÁTICA
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Ejemplo: La diferencia de dos números es 305, si al sustraendo le restamos 20 ¿Cuál es la nueva diferencia? Resolución: Sabemos que: a – b = 305 Al sustraendo le restamos 20: a – (b – 20) Eliminamos paréntesis: a – b + 20 Pero: a – b = 305 entonces:
305 + 20 325
La nueva diferencia es:
2.3 Multiplicación: Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a; b) su producto a.b.
Ejemplo:
18
x
15
=
Multiplicando Multiplicador
270
Producto
2.4 Potenciación: Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces. an = a • a • a • .……… • a = P “n" veces a
Ejemplo:
Elementos: a: base
n: exponente P: Potencia
34 = 3x3x3x3 = 81
Propiedades: a. Potencia de exponente cero: ao = 1 siempre que a ≠ 0 b. Potencia de exponente uno:
Nota: 00 = no está denido. a1 = a
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MATEMÁTICA
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2.5 División: Dados dos números naturales (a y b) donde b ≠ 0, se llama cociente de a y b, se denota a , al número natural c, si existe, tal que a = b.c. b Se denomina "división" a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a; b) su cociente a . b Ejemplo: Elementos: Dividir 104 entre 11 Dividendo (D) Divisor (d) 10 99
11 9
Coeciente (q)
5
Residuo (r) Además:
104 = 11• 9 + 5 Algoritmo de la división
Clases de división: a. Exacta (residuo = 0). 28
7
0
4
28 = 7. (4)
b. Inexacta (residuo ≠ 0).
34 = 8. (4) + 2
D 0
d q D = d.q
D = d.q + r
2.6 Radiacción: Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que dados dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer número llamado raíz, donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Así se tiene:
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
Índice
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Raíz
Radical Radicando 2.7 Operaciones combinadas: Para resolver operaciones combinadas, se resuelven teniendo en cuenta los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves, etc.) Si una operación combinada no tiene signos de agrupación se resolverá en el siguiente orden: •
Primero: La potenciación o radicación.
•
Segundo: La multiplicación o división (en el orden en que aparecen) "de izquierda a derecha"
•
Tercero: Adición o Sustracción.
Ejemplo: Solución:
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MATEMÁTICA
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Problemas Resueltos nuevos soles menos que el primero:
1. Efectuar:
25 023 – 7343 = S/.17 680
Resolución:
c) El maestro recibe 6 veces del primer ayudante: 6 ( 25 023) = S/. 150 138 d) El dueño pagó por la obra: = 25 023 + 17 680 + 150 138 = S/. 192 841
2. Efectuar:
Resolución:
3. Un maestro y dos ayudantes hacen una obra. El maestro recibe 6 veces de lo que recibe el primer ayudante y el segundo recibe 7343 nuevos soles menos que el primero. Si el primer ayudante recibe 3 veces 8341 nuevos soles, se desea saber: a) ¿Cuánto recibe el primer ayudante? b) ¿Cuánto recibe el maestro? c) ¿Cuánto recibe el segundo ayudante? d) La cantidad que pagó el dueño de la obra. Resolución: a) El primer ayudante recibe: 3(8341)= S/. 25 023 b) El segundo ayudante recibe: 7343
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MATEMÁTICA
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Problemas sobre cortes y estacas 1. Número de Partes
Ejemplo: Se tiene un rollo de alambre que mide 100 m ¿Cuántos pedazos de alambre de 5 m se podrán obtener?
Solución:
2. Número de Estacas
Línea abierta
Línea cerrada
3. Número de Cortes
Línea abierta
10
Línea cerrada
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MATEMÁTICA
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Problemas Resueltos 1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse en una avenida de 200 m de longitud, si cada árbol están separados 50 m?
50
50
50
50
200
N° árboles = 5 2. Cuántos árboles podrán plantarse alrededor de un parque cuyo perímetro es 200 m y los árboles deben estar separados 50 m?
50 m 50 m
50 m 50 m
N° árboles = 4 3. Se tiene una soga de 200 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios realizar para obtener trozos de 50 m?
CORTES 1° 50 m
2° 50 m
3° 50 m
50 m
200
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MATEMÁTICA
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N° árboles = 3 4. Se tiene un anillo metálico de 20 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios realizar, para obtener trozos de 5 m?
2° 5m
5m 1°
3° 5m
5m cortes 4°
N° cortes = 4
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MATEMÁTICA
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Ecuaciones 1. Ecuación Es una igualdad que se verica solo para determinados valores de sus incógnitas. En toda ecuación se distingue: 3x
+ 5
Primer miembro
= x
+
9
Segundo miembro
Resolver una ecuación signica, hallar los valores de "x" que la satisfacen. • Los valores de "x" que satisfacen a una ecuación reciben el nombre de soluciones o raíces. 2. Transposición de términos •
A rasgos generales, diremos que solucionar una ecuación signica despejar la incógnita. Se entiende por despejar una incógnita, al hecho de dejar a ésta totalmente aislada y con signo positivo en cualquiera de los dos miembros de la ecuación. Evidentemente, a cualquier incógnita de cualquier ecuación, no le va a ocurrir que esté despejada de entrada. Pues bien, para despejar una incógnita va a ser necesario efectuar determinadas maniobras con los dos miembros de la ecuación, hasta despejarla, maniobras que consisten en transponer términos de un miembro a otro. Reglas Prácticas de la Transposición de Términos • • • • •
Cuando un término está SUMANDO en un miembro, pasa al otro miembro RESTANDO. Cuando un término está RESTANDO en un miembro, pasa al otro miembro SUMANDO. Cuando un término está MULTIPLICANDO en un miembro, pasa al otro miembro DIVIDIENDO a todo el miembro Cuando un término está DIVIDIENDO en un miembro, pasa al otro miembro MULTIPLICANDO a todo el miembro Los términos pueden pasar del miembro de la izquierda al de la derecha o viceversa.
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MATEMÁTICA
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Ejemplo: Trasposición de términos en una ecuación. 4x – 8 = 6 + 2x 4x – 8 = 6 + 2x
a.
Pasamos el término 8 que esta restando al segundo miembro sumando.
4x - 2x = 6 + 8
b.
De la misma forma, pasamos el término 2x que está sumando en el segundo miembro, al primer miembro restando.
c.
Operamos y en la ecuación obtenida 2x = 14, pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo.
2x = 14
Este último paso se llama despejar la incógnita.
Ejemplo: También aplicamos para el despeje de variable en fórmulas. Si tenemos la siguiente fórmula , y deseamos despejar la variable “t”. a) la expresión
que está en el segundo miembro restando, pasa al primer miembro sumando b) la variable V que está multiplicando, pasa dividiendo a toda la expresión del primer miembro. De esta manera despejamos la variable “t”.
3. Planteo de Ecuaciones Planteo de una ecuación es TRADUCIR el lenguaje común a lenguaje matemático, por ello es que debe detenerse a reflexionar sobre algunos aspectos de este lenguaje. El Lenguaje matemático es un lenguaje universal. Es además, un lenguaje conciso, preciso, con reglas que no sufren excepciones.
Lenguaje común
Lenguaje matemático
La suma de 2 números consecutivos más 3
x + (x+1) + 3
El cuadrado de la suma de 2 números
(x+y)2
El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20
4y+20
El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20
4(x+20)
Tres menos 2 veces un número X Tres menos de 2 veces un número X El producto de 5 números consecutivos
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3-2x 2x - 3 (x)(x+1)(x+2)(x+3) (x+4)
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4. Ecuaciones de 1er Grado Forma General
ax + b = 0
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Donde: x: Incógnita a y b: Coecientes a R, b R
Ejemplo: Solución:
5. Sistema de Ecuaciones En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que se reemplaza en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Entre los métodos más elementales de resolución tenemos. a. Método de Sustitución: De una de las ecuaciones se despeja una de las incógnitas en función de la otra y el resultado se sustituye en la otra ecuación obteniéndose una ecuación con una incógnita.
Ejemplo: Sea el sistema:
de (1): Sustituimos en (2):
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MATEMÁTICA
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Sustituyendo este valor en ( A )
C.S. = { 3 ; 4 } b. Método de Igualación: De las dos ecuaciones del sistema. Se despeja el valor de la misma incógnita en función de la otra y se igualan ambos resultados obteniéndose una ecuación con una incógnita.
Despejando "x": De ( 1 ):
De ( 2 ): Donde:
A=B
Reemplazando en ( A )
C.S. = { 3 ; 4 } a. Método de Reducción: Consiste en buscar que la incógnita a eliminar tenga el mismo coeciente, para lo cual se multiplica cada incógnita por el coeciente que tenga la incógnita en la otra sumando o restando las ecuaciones obtenidas según tengan los coecientes de las incógnitas a eliminar signos contrarios o iguales. Ejemplo: Sea el sistema: (1) x 4 (2) x 5 A+B Reemplazamos en ( 1 )
C.S. = { 3 ; 4 } 16
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MATEMÁTICA
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6. Ecuaciones de 2do Grado Forma general:
ax2 + bx + c = 0
a≠0
La ecuación de 2do Grado o cuadrática posee dos “raíces” que cumplen con la ecuación.
Ejemplo: x2 + 5x + 6 = 0 Para x = -3 (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0 ¡Si cumple!
Para x = -2
(-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
¡Si cumple!
Resolución de Ecuaciones de 2do Grado: Caso I: Ecuaciones incompletas a. Forma:
ax2 + c = 0 Para esta forma utilizaremos factorización por diferencia de cuadrados. x2 – 16 = 0 (x2 – 42) = 0 (x – 4)(x + 4) = 0
Ejemplo:
Entonces:
x–4=0 x=4
Ѵ Ѵ
x+4=0 x = -4
C.S. = { 4 ; -4 }
b. Forma: ax2 + bx = 0 Para esta forma utilizaremos factorización por factor común monomio. Ejemplo:
x2 + 3x = 0 x(x + 3) = 0
Entonces:
x=0 Ѵ x=0 Ѵ
ESTUDIOS GENERALES
x+3=0 x = -3
C.S. = { 0 ; -3 }
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MATEMÁTICA
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Caso II: Ecuaciones completas a. Formula General: La fórmula general permite resolver cualquier ecuación de segundo grado.
De donde se obtiene dos soluciones: x1 ; x2 8x2 –18x – 5 = 0
Ejemplo: Donde:
a = 8 ; b = -18 ; c = -5
b. Factorización (Aspa simple): Para esta forma se factoriza por el método de aspa simple.
Ejemplo:
Entonces:
C.S. =
18
{5;1}
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MATEMÁTICA
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Problemas Resueltos 3. Resolver el sistema:
1. Resolver:
Resolución: Multiplicando ambos miembros por el MCM de los denominadores
Resolución: (I) Por 5: (II) Por 2:
Eliminando 9x:
Reemplazamos este valor hallado de x en la ecuación (I) o en la ecuación (II). En (I)
2. Hace 10 años la edad de A era el doble de la de B. Actualmente sus edades suman 56 años. ¿Cuál es la edad de B?
Resolución: Sujetos: A y B Tiempo: Hace 10 años (pasado) Actualmente (presente) Condiciones: La edad de A era el doble de la de B Actualmente sus edades suman 56 años Elevando estos datos al cuadro Hace 10 años Actualmente A
2x
2x+10
B
x
x+10
A = 2B ... (I) A + B = 56 ... (II) La condición (I) lo hemos utilizado para poner en la columna de “hace 10 años” la edad de B igual x y la de A igual a 2x por ser doble.
Según la condición (II):
La edad actual de B es:
El conjunto solución del sistema es:
C.S. = {4;-3} 4. Resolver:
Resolución:
C.S. = {4,1} 5. Resolver: El doble del cuadrado de lo que cuesta una bisagra menos el triple de su costo es igual a 5 soles. ¿Cuánto cuesta la bisagra?
Resolución:
x + 10 = 12 + 10 = 22 ESTUDIOS GENERALES
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a=2
b = -3
MATEMÁTICA
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c = -5
Las dimensiones de la nca son 30 m y 25 m .
Entonces:
Por lo tanto: Evaluamos el conjunto solución y observamos que el único valor que cumple con las condiciones del problema es 2,5 soles
Rpta: 2,5 soles 6. Para vallar una nca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la nca.
Resolución:
55-x
x Semiperímetro Base
x
Altura
55 − x
20
55
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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UNIDAD
2
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
ESTUDIOS GENERALES
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2 Divisibilidad 1. Números Enteros Los números enteros se pueden clasicar en: Números enteros negativos El cero y Números enteros positivos 2. Divisibilidad Un número entero A es divisible por otro número entero positivo B si al dividirlos, el cociente resulta exacto. A B Si: 0 k entonces “A es divisible por B ó B es un divisor de A “ además, por ser una división exacta se cumple que : A = B . k donde k es un número entero, entonces también se dice que “ A es un múltiplo de B “ Ejemplo: 1. ¿20 es divisible por 4? Luego, se cumple que Sí es, porque: 20 4 • - 42 es divisible por 7.
0 5
•
7 es un divisor de – 42.
Luego, se cumple que :
•
7 es un factor de - 42.
•
20 es divisible por 4.
•
- 42 es un múltiplo de 7.
•
4 es un divisor de 20.
•
4 es un factor de 20.
•
20 es un múltiplo de 4.
2. ¿0 es divisible por 3? Sí es, porque: 0 3 0 0 Luego, se cumple que :
4. 15 no es divisible por 0. (V)
(F)
Verdadero, porque por denición el divisor debe ser diferente de cero.
Ejemplo: Hallar todos los divisores de: 8 y 18
•
0 es divisible por 3.
D( 8 ) : 1 ; 2 ; 4 y 8
•
3 es un divisor de 0.
D( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18
•
3 es un factor de 0.
•
0 es un múltiplo de 3.
3. ¿- 42 es divisible por 7? Sí es, porque: -42 7
5. 36 no es divisible por - 9 (V) (F) Verdadero, porque el divisor debe ser positivo.
0 -6 22
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MATEMÁTICA
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3. Multiplicidad Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B , si se cumple que A = B . K donde K es un número entero. Ejemplo: Responder las siguientes preguntas. 1. ¿15 es múltiplo de 3? Sí, porque 15 = 3x5 y 5 es un número entero. 2. ¿- 12 es múltiplo de 4? Sí, porque - 12 = 4.(- 3) y - 3 es un número entero. 3. ¿Cero es múltiplo de 5? Sí, porque 0 = 5x0 y 0 es un entero. 4. ¿5 es múltiplo de cero? No, porque 5 = 0xK, no hay ningún número entero que multiplicado por cero nos de 5. 5. ¿8 es múltiplo de - 2? No, porque por denición un número entero no puede ser múltiplo de un entero negativo. Si un número A es múltiplo de B, su notación será: A = B.K donde K es un número entero múltiplo de B “. 1) 20 = 5 o 20 = 5.K Ejemplo: 2) 18 = 3
ó
A = B y se leerá “A es
o 18 = 3.K
3) 0 = 2 o
0 = 2.K
donde , para todos los casos K = 0;1;2;3;4;………..
Ejemplo: Hallar los múltiplos de 3 y de 5. Eso se escribirá 3K y 5K, entonces: M ( 3 ) : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 …….. M ( 5 ) : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; ……… ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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4.Relación entre un múltiplo y un divisor Ejemplo: Entre 24 y 6
Ejemplo: Entre 9 y 27
MÚLTIPLO
24
DIVISOR
9
6
27
DIVISOR
MÚLTIPLO
5. Cuando un número no es divisible por otro Si un número entero A no es divisible por otro número entero positivo B , entonces, eso se puede expresar de dos maneras : O
Donde rd y re son los residuos por defecto y por exceso respectivamente de la división de A entre B, además, recordar que:
Ejemplo:
2. 23 no es divisible por 5 porque
1. 15 no es divisible por 2 porque
15 2 1 7
Entonces:
Entonces:
23= 5 + 3
15= 2 + 1
1+1=2
o 15= 2 -
24
23 5 3 4
1
3+2=5
o 15= 5 -
2
ESTUDIOS GENERALES
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3. 26 no es divisible por 7 porque
26 7 5 3
MATEMÁTICA
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4. 520 no es divisible por 12 porque
520 12 4 43
Entonces:
Entonces:
26= 7 + 5
520= 12 + 4
5+2=7
o 26= 7 - 2
o
4 + 8 = 12
520= 12 - 8
PROPIEDADES: 1. La cantidad de divisores de un número es una cantidad limitada. 2. La cantidad de múltiplos de un número es una cantidad ilimitada. 3. El menor divisor de un número es la unidad y el mayor, el mismo número. 4. El cero es divisible por todo número entero positivo. 6. Criterios de divisibilidad Divisibilidad por 2n. Para que un número sea divisible por 2n, las últimas “n” cifras del número debe ser divisible por 2n, o terminar en “n” ceros.
Divisibilidad por 21 = 2: Para que un número sea divisible por 2, la última cifra del número debe ser divisible por 2, o terminar en un cero.
Ejemplos: a. 2 064 es divisible por 2 porque la última cifra del número es 4 y 4 es divisible por 2. b. 30 650 es divisible por 2 porque su última cifra, cero, es divisible por 2. c. 357 no es divisible por 2 porque su última cifra 7 no es divisible por 2. Divisibilidad por 22 = 4: Para que un número sea divisible por 4, las dos últimas cifras del número debe ser divisible por 4, o terminar en dos ceros.
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MATEMÁTICA
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Ejemplos: a. 78 124 es divisible por 4 porque las dos últimas cifras del número es 24 y 24 es divisible por 4. b. 30 600 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros, y cero es divisible por 4. c. 7 518 no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 18 no es divisible por 4. Divisibilidad por 23 = 8. Para que un número sea divisible por 8, las tres últimas cifras del número debe ser divisible por 8, o terminar en tres ceros.
Ejemplos: a. 78 136 es divisible por 8 porque las tres últimas cifras del número es 136 y 136 es divisible por 8. b. 78 000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros, y cero es divisible por 8. c. 7 222 no es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras 222 no es divisible por 8. Divisibilidad por 5n. Para que un número sea divisible por 5n, las “n” últimas cifras del número debe de ser múltiplo de 5n, o terminar en “n” ceros.
Divisibilidad por 51 = 5. Para que un número sea divisible por 5, la última cifra del número debe ser múltiplo de 5, o terminar en un cero.
Ejemplos: a. 2 060 es divisible por 5 porque la última cifra del número es 0 y 0 es divisible por 5. b. 30 685 es divisible por 5 porque su última cifra es 5 y 5 es divisible por 5. c. 357 no es divisible por 5 porque su última cifra 7 no es divisible por 5, además 7 = 5 + 2, entonces al dividir 357 entre 5, obtendremos como residuo 2.
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MATEMÁTICA
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Divisibilidad por 52 = 25. Para que un número sea divisible por 25, las dos últimas cifras del número debe ser múltiplo de 25, o terminar en dos ceros.
Ejemplos: a. 2 700 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras del número son ceros. b. 30 675 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras es 75 y 75 es divisible por 25. c. 257 088 no es divisible por 25 porque sus dos últimas cifras 88 no es divisible por 25, además 88 = 25 + 13, entonces al dividir 257 088 entre 25, se obtendrá como residuo 13. Divisibilidad por 3 Un número será divisible por 3 cuando la suma de las cifras del número dé un número que es divisible por 3.
Ejemplos Vericar si los siguientes números son divisibles por 3.
1. 2 358, 2 + 3 + 5 + 8 = 18 y 18 = 3 por lo tanto, si es divisible por 3. 2. 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 3. Además, 13 = 3 + 1 lo que signica que al dividir 283 entre 3 el residuo debe ser 1.
3. 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 3, además, 17 = 3 + 2 lo que signica que al dividir 57 014 entre 3 , se obtiene como residuo 2. Divisibilidad por 9 Un número será divisible por 9 cuando la suma de las cifras del número nos dé un número que es divisible por 9.
Ejemplos Vericar si los siguientes números son divisibles por 9.
1. 9 558, 9 + 5 + 5 + 8 = 27 y 27 = 9 por lo tanto, si es divisible por 9. 2. 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 9, además 13 = 9 + 4 lo que signica que al dividir 283 entre 9 el residuo es 4. 3. 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 9, además, 17 = 9 + 8 lo que ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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signica que al dividir 57 014 ÷ 9, se obtiene como residuo 8.
Divisibilidad por 7 Un numeral es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (de la derecha hacia la izquierda) por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; …. y luego realizar la suma, este resulte divisible entre 7, por ejemplo (0; ±7; ±14; ±21 …) a b c d e f g = 7 1 +
2
3 -
1
2
3 +
g + 3f + 2e – d – 3c – 2b + a = 7
1
Ejemplos Vericar si los siguientes números son divisibles por 7 , en caso contrario hallar su residuo. 1. 3 738
3. 99 148
8x1 + 3x3 + 7x2 - 3x1 = 28
8x1 + 4x3 + 1x2 - 9x1 - 9x3 = -14
y 28= 7 , sí es múltiplo de 7.
y -14= 7 , sí es múltiplo de 7.
2. 35 266 6x1 + 6x3 + 2x2 - 5x1 - 3x3 = 14 y 14= 7 , sí es múltiplo de 7.
4. 264 4x1 + 6x3 + 2x2 = 26 y 26= 7
+ 5, no es múltiplo de 7, y su
residuo es 5.
Divisibilidad por 11 Para que un número sea divisible por 11, se debe de cumplir que la suma de las cifras de lugar impar menos la suma de las cifras de lugar par, nos dé un número que sea divisible por 11, por ejemplo (0; ±11; ±22; ±33;…) Para el número: Lugares pares
a
b
c
d
e
f
g
(g + e + c + a) – (f + d + b) = 11
Lugares impares
28
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
·
Ejemplos Vericar si los siguientes números son divisibles por 11 , en caso contrario hallar su residuo. 1. 539
3. 8 074
9 + 5 – 3 = 11 = 11 , entonces 539 es divisible por 11.
2. 381 909 9 + 9 + 8 – 0 – 1 – 3 = 22 = 11
4 + 0 – 7 – 8 = -11 = 11 , entonces
8 074 es divisible por 11.
4. 579 9 + 5 – 7 = 7 ≠ 11 , entonces 579 no es divisible por 11. El residuo por
Entonces 381 909 es 11
defecto es 7 y por exceso es 4.
Divisibilidad por 6 Un número será divisible por 6, si es divisible por 2 y 3 a la vez. Ejemplos a. 11 028 es divisible por 6 porque 11 028 es divisible por 2 y por 3 a la vez. b. 3152 es divisible por 2, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible por 6. Divisibilidad por 12 Un número será divisible por 12, si es divisible por 3 y 4 a la vez Ejemplos a. 11 028 es divisible por 12 porque 11 028 es divisible por 4 y por 3 a la vez. b. 3152 es divisible por 4, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible por 12. Divisibilidad por 10 Un número será divisible por 10, si su última cifra es cero. Ejemplos a. 11 720 es divisible por 10 porque 11 720 termina en cero. b. 3102 no es divisible por 10 porque su última cifra no termina en cero.
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Práctica Marcar con un aspa ( x ), si el número N de la columna izquierda es divisible por algunos de los números de la la horizontal superior.
Número N
2
3
4
324
X
X
X
5
6 X
7
8
9
10
X
11
12 X
570 1 120 3 240 1 540 20 310 1 120 8 690 9 372 189 7. Otra forma de clasicar los números
Los números enteros, también se pueden clasicar según la cantidad de divisores que tenga el número como:
a. Números simples Son aquellos que tienen uno o dos divisores como máximo. Ejemplo: Son números simples: 1. 1, D ( 1 ) : 1 2. 5, D ( 5 ) : 1 y 5 3. 11, D ( 11 ) : 1 y 11 b. Números primos Son aquellos que tienen exactamente dos divisores, que son la unidad y el mismo número. Ejemplo 1. D( 2 ) : 1 y 2 , entonces 2 es primo. 2. D( 11 ) : 1 y 11 , entonces 11 es primo. NOTA: “El menor número primo es 2” 30
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Números compuestos Son aquellos que tienen más de dos divisores. Ejemplo: 1. D (6): 1, 2, 3 y 6 entonces 6 es un número compuesto. 2. D (9): 1, 3 y 9 entonces 9 es un número compuesto. Números primos menores a 200 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, . . . . Ejemplo: 1. ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 50? Están los: 31; 37; 41; 43 y 47. Hay 5. 2. ¿Cuántos números primos menores a 23 existen? Menores a 23 son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 y 19. Hay 8. 3. La suma de todos los números primos menores a 19 es 77. (V) (F) La suma de los números primos menores a 19 es: 2+3+5+7+11+13+17 = 58 8. Números primos entre sí (pesi) Dos o más números son PESI si solo tienen como único divisor común la unidad.
Ejemplo: Vericar si 4 y 9 son PESI. Solución: D (4): 1 ; 2 y 4 D (9): 1 ; 3 y 9 Como se puede observar, el único divisor común que tienen es la unidad, por lo tanto , se concluye que 4 y 9 son PESI.
Ejemplo: Vericar si 6; 14 y 25 son PESI.
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Solución: D (6): 1 ; 2; 3 y 6. D (14): 1 ; 2; 7 y 14. D (25): 1 ; 5 y 25 Se puede observar que el único divisor común que tienen los tres números es la unidad, por lo que se concluye que los 3 números son PESI. Ejemplo: 15; 12 y 18 son PESI. (V) (F) Solución: D ( 15 ) : 1 ; 3 ; 5 y 15. D ( 12 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 y 12. D ( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18. Como los tres números tienen 2 divisores comunes entonces no son PESI. 9. Descomposición de un número en sus factores primos o descomposición canónica Todo número se puede descomponer como producto de sus factores primos, elevados a exponentes que son números enteros positivos. Para un número N, descompuesto en sus factores primos, se tiene: N = Aa x Bb x C x Dd Donde A , B , C y D son los factores o divisores primos de N y a , b , c y d , son los exponentes de los factores primos.
Ejemplo: Descomponer en sus factores primos los números: 1) 90 2) 120 90 2 120 2 45 3 60 2 15 3 30 2 5 5 15 3 1
5 5 1
90 = 2x32x5
32
120 = 23x3x5
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Ejemplo: ¿Cuántos divisores primos tiene 700? Solución: Descomponiendo 700 en sus factores primos se tiene que 700 = 22 x 52 x 7 y sus divisores primos serán: 2; 5 y 7 por lo que tendrá solo tres divisores primos. 10. Máximo Común Divisor (MCD) De un grupo de números enteros, el MCD de éstos es el mayor de los divisores comunes.
Ejemplo: Hallar el MCD de 12 y 18. D( 12 ): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
D( 18) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 El mayor de los divisores comunes es 6, por lo tanto, el MCD = 6. Si se hallan los divisores del MCD, D(6): 1;2;3;6 y justamente éstos son los divisores comunes de 12 y 18 , por lo tanto, los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del MCD.
Propiedades: a. El MCD está contenido en los números. b. De un grupo de números, cada uno de ellos, es un múltiplo del MCD. 11. Mínimo Común Múltiplo (MCM) De un grupo de números, el MCM, es el menor de los múltiplos comunes.
Ejemplo: Hallar el MCM de 4 y 6. M ( 4 ) : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ;…..
M ( 6 ) : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ,…………. Se ve que de todos los múltiplos comunes , el menor de todos es 12 , por lo tanto el MCM ( 4 y 6 ) = 12 .
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Si se hallan los múltiplos del MCM, se tendrá, M ( 12 ) = 12 , 24 , 36 , … que justamente son los múltiplos comunes , entonces , los múltiplos comunes de un grupo de números son los múltiplos del MCM de dichos números .
Métodos para calcular el MCD y MCM 1. Por descomposición simultánea Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 24. 18 - 24 2 18 - 24 2 9 - 12 3 9 - 12 3 3 - 4 3- 4 3 1 - 4 4 1
MCD = 2 x 3= 6
1
MCM = 2 x 3 x 3 x 4= 72
2. Por descomposición de los números en sus factores primos El MCD será igual al producto de los factores primos comunes , elevados a su menor exponente , y el MCM será igual al producto de los factores primos comunes y no comunes , elevados a su mayor exponente. Ejemplos: Hallar el MCD y MCM de 18 y 60. Descomponiendo los números en sus factores primos, se tiene: 18 = 2x32 y 60 = 22 x 3 x 5. Luego se aplica la propiedad. MCD = 2x3 = 6 y MCM = 22 x 32 x 5 = 180. Propiedades: 1. Si dos números son PESI, su MCD es igual a 1 y su MCM es igual al producto de dichos números . Ejemplo: Los números 4 y 9 son PESI por lo tanto su MCD = 1 y su MCM = 4 x 9 = 36. 2. Si un número está contenido dentro de otro entonces el MCD de dichos números será el menor de los números. Ejemplo: Para los números 12 y 48. El MCD = 12 y 12 es justamente el menor de los números. 3. Si un número N es: a N
b c
Entonces N = MCM (a;b;c) 34
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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4. Si un número N es: a ± r N
b ± r c ± r
Entonces N = MCM (a;b;c) ± r
Ejemplo: Si un número N es divisible por 2; 3 y 4 entonces ¿Por cuánto es divisible?
Solución: Por propiedad,
N = MCM
(2;3;4)
= 12
Ejemplo: ¿Cuál es el menor número que es: 3 +2; 7 - 5 y 6 - 4? Solución: Ese número N que se busca debe de ser: 3 + 2 N
7 - 5 = 7 +
2
6 - 4 = 6 +
2
Por lo tanto, por propiedad se sabe que: Entonces N = MCM
(3;7;6)
+ 2 = 42 + 2
como se pide el menor valor, este sería 42 + 2 = 44.
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Problemas Resueltos Problema 1 ¿Cuál es la menor longitud que debe tener un tubo de acero , si se desea obtener un número exacto de pedazos de : 24 , 15 ó 12 cm ? Resolucion La longitud del tubo debe ser un múltiplo de cada uno de los pedazos para obtener una cantidad exacta de cada uno. De todos los múltiplos comunes queremos el menor. Longitud del tubo = MCM ( 24 ; 15 ; 12 ) = 120 cm. Problema 2. ¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarios para construir un cuadrado? Resolucion Sea X el valor de la medida del lado del cuadrado.
X = MCM (34; 18) = 306 La cantidad de losetas es igual a: 306 x 306 34 18
= 153
Problema 3. De una plancha de metal de 96 m de largo y 72 m de ancho, se desea obtener el menor número de pedazos de forma cuadrada, sin que sobre material. ¿Cuántos pedazos se obtendrán? Resolucion: Sea X: longitud del lado del pedazo de forma cuadrada. 96 cm
m c 2 7
x x cm x
x cm
34 cm
18 cm
Para dividir la plancha en pedazos de forma cuadrada, el valor de X debe de ser un divisor común de 96 y 72. Como se quiere la menor cantidad de pedazos entonces el valor de X debe de ser el mayor posible, por esto que : X = MCD (96; 72) = 24 cm
De la gura, se observa que la medida de x debe ser un múltiplo común de 34 y de 18, pero de todos los múltiplos comunes se necesita el menor porque se quiere emplear la menor cantidad de losetas, por eso es que:
El número de pedazos que se obtendrán será: # pedazos = 96 X 72 24 24 = 4 x 3 = 12 pedazos
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ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
·
Problema 4 Tres ciclistas A, B y C parten juntos desde un mismo punto en una pista circular con velocidades constantes. A da una vuelta en 3 min. , B en 3 min. y medio , y C en 4 min.. Cuando los tres se junten nuevamente, ¿Cuántas vueltas habrá dado el ciclista A? Solución: PARTIDA
Transformando las medidas a segundos A : 3 min
= 180 s
B : 3 min y medio = 210 s C : 4 min
= 240 s
El tiempo que debe transcurrir para que un ciclista vuelva a pasar nuevamente por el punto de partida será un múltiplo del tiempo empleado en dar una vuelta. Para que los tres ciclistas vuelvan a pasar al mismo tiempo por el punto de partida, el tiempo a transcurrir será un múltiplo común de los 3 tiempos dados. El tiempo en que coinciden en el punto de partida ( T ) será: T = MCM ( 180; 210; 240) T = 5040 s Entonces el número de vueltas de A es: A=
5040 = 28 vueltas 180
ESTUDIOS GENERALES
37
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MATEMÁTICA
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UNIDAD
3
NOCIÓN DE FRACCIONES
38
ESTUDIOS GENERALES
3 Noción de Fracciones 1. Fracción Es aquel número racional que no es entero. (División indicada de 2 enteros no nulos a y b en la que a no es múltiplo de b). Numerador (partes que se toma del todo)
Denominador (todo)
Ejemplo: 5 es fracción 4
0
6 no es fracción ya que 6 = 3
7 es fracción 4
3
2. Interpretación de una gráca de una fracción "Se toma una parte de tres partes iguales"
"Se toma una 5 partes de 8 partes iguales"
1 = Un tercio =
5 = Un tercio =
3
8
Nota: El todo se considera igual a la unidad. Fracción de Fracción: "El total se divide en tres partes iguales"
"A una de las partes se divide en 2 partes iguales" Cada una de las partes representa:
1
2
ESTUDIOS GENERALES
de
1
3
es
1 6
39
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MATEMÁTICA
·
Ejemplo: Calcular los 3
1
de
5 6 Solución: Para el cálculo de una fracción de fracción, simplemente efectuamos una multiplicación. 1 3 1 = 10 5 6
Por lo tanto, concluimos que: “Los tres quintos de un sexto es un décimo” 3. Clasicación: a. Por la comparación de su valor respecto a la unidad •
Propia: Si su valor es menor que la unidad.
Ejemplo:
•
3 ; 2 ; 4 7 3 9
...etc
Impropia: Si su valor es mayor que la unidad.
Ejemplo:
8 ; 7 ; 9 3 5 4
...etc
Toda fracción impropia se puede expresar como una fracción mixta es decir con una parte entera más una fracción propia.
Ejemplo: 29 8
29 8 5 3
29 = 3 + 5 = 3 5 8 8 8
Ejemplo:
40
ESTUDIOS GENERALES
·
MATEMÁTICA
·
b. Por su denominador • Decimal: Si su denominador es una potencia entera de 10. si:
Ejemplo:
b=10k ;
K
Z+
; 3 ; 59 ; etc 1000 10 10000 17
Teorema del punto otante (notación exponencial)
Ejemplo: 23 = 0,0023 = 2,3 x 10-3 = 23 x 10-4 = 0,23x10-2 = etc. 10000
•
Ordinaria o Común: Si su denominador no es una potencia entera de 10. si: b≠10k ;
K
Z+
Ejemplo: 7 41
19 ; ... 300
; 11 ; 5
c. Por grupos de fracciones • Homogéneas: Si todos tienen el mismo denominador. Ejemplo: 3 ; 7 ; 13 ; ... 4
4
4
Heterogéneas: Si al menos dos de sus denominadores son diferentes. Ejemplo: 2 ; 3 ; 5 ; 4 ;... 9 5 7 11 •
d. Por los divisores de sus términos Reductible: Si sus términos tienen divisores comunes. • Ejemplos: 6 ; 2 ; 42 35 15 18 • Irreductible: Si sus términos no tienen divisores comunes. Ejemplos: 7 ; 2 ; 6 12 9 13
ESTUDIOS GENERALES
41
·
MATEMÁTICA
·
Nota: A partir de una fracción irreductible se pueden obtener todas las fracciones equivalentes a ella. 4. Simplicación de fracciones
Simplicar una fracción signica transformarla en otra EQUIVALENTE y, a la vez, IRREDUCTIBLE. Al simplicar una fracción hasta hacerla irreductible, es cuando a sus términos (numerador y denominador) se dividen entre su MCD.
Ejemplo: ¿Simplicar la fracción 24/180? Solución: 1º Forma: Dividir sucesivamente los términos de la fracción por los divisores comunes hasta lograr una fracción irreducible. Pasos: Dividir ambos términos por 2, nuevamente por 2 y sigue por 3. 2 6
12 24 2 = 180 15 90 45 15
2º Forma: Dividir al numerador y denominador entre su MCD: 24 24 ÷ MCD (24;180) 24 ÷ 12 2 = = = 15 180 180 ÷ MCD (24;180) 180 ÷ 12
5. Fracciones equivalentes Cuando los dos o más fracciones representan un mismo valor. 2 5
=
12 8 = = =... 10 30 20 4
6. Homogenización de denominadores de fracciones Para reducir varias fracciones al mínimo común denominador: 1. Reducir a su más simple expresión. 2. Calcular el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores. 3. Dividir el M.C.M. por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se multiplica con cada numerador correspondiente.
42
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
·
Ejemplo: Homegenizar los denominadores de la siguientes fracciones. 4 ; 5 ; 6 8 6 10
Solución: Para homogenizar, reducir dichas fracciones a su más simple expresión: 2 ; 1 ; 3 3 2 4
4 ; 5 ; 6 8 6 10
Ahora, se calcula el M.C.M. de los denominadores: M.C.M. (3, 2, 4) = 12. Luego, se divide el M.C.M. entre cada uno de sus denominadores, el resultado de cada uno se multiplica por sus numeradores correspondiente, obteniendo: 8 ; 6 ; 9 12 12 12 Esquemáticamente:
=
X
2 ; 1 ; 3 4 3 2
8 ; 6 ; 9 12 12 12
÷
MCM (3, 2, 4 ) = 12
7. Comparación de fracciones •
Al comparar dos fracciones de diferentes signos , mayor es la fracción positiva y menor la fracción negativa.
Ejemplo:
•
2
3 2 7 Al comparar dos o más fracciones positivas de igual denominador, será mayor el que tenga mayor numerador y el menor será el que tenga menor numerador. Ejemplo: -
Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones: 2 ; 7 ; 8 ; 1 3 3 3 3 ESTUDIOS GENERALES
43
·
MATEMÁTICA
·
Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene: 1 ; 2 ; 7 ; 8
3 •
3
3
3
Al comparar dos o más fracciones positivas de igual numerador, será mayor el que tenga menor denominador y el menor será el que tenga mayor denominador.
Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones: 7 ; 7 ; 7 ; 7
3
2
9
13
Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene: 7
; 7 ; 7 ; 7 13 9 3 2 •
Al comparar dos o más fracciones de diferentes denominadores se procederá a homogenizar los denominadores y se luego se procederá como en el caso anterior.
Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones: ; 3 ; 1 ; 5 3 2 9 6 Solución: Primero se homogenizan denominadores (MCM). 7
MCM (3, 2, 9, 6) = 18
7
x
3
;
3
2
;
1 9
;
5 6
Fracciones Equivalentes
= 42
÷
•
27 18
;
2 18
;
15 18
Fracciones Homogéneas
Ordenando de menor a mayor se obtiene: 2 18
44
18
;
;
15
18
;
42 18
;
15
que son las fracciones equivalentes a
18
ESTUDIOS GENERALES
·
1
9 •
;
5
;
6
3 2
;
7
MATEMÁTICA
·
respectivamente.
3
Al comparar dos fracciones de diferentes denominadores se procederá realizando el producto cruzado. Y se comparan los productos obtenidos.
Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:
7
y
9
5
8
Solución: 56
45
entonces 7
5
7
5
9
8
9
8
Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones: 5 8
y
4 5
Solución: 25
32 entonces
5
4
5
4
8
5
8
5
ESTUDIOS GENERALES
45
Problemas Resueltos
1. De las siguientes fracciones 5 ; 3 ; 15 ; 2 6 4 16 3
Cuál es la menor?
Resolución: Se homogeniza la fracciones 40 ; 36 ; 45 ; 32 48 48 48 48 Entonces el menor es 32 que corresponde 48 a la fracción 2 . 3
4. Al simplicar una fracción obtuvimos 1 . 7
Sabiendo que la suma de los términos de la fracción es 40, calcular la diferencia de los mismos:
Resolución: La fracción simplicada es: 1 7
Antes de simplicarse era: 1k 7k Desarrollando el problema de acuerdo a los datos del problema:
2. ¿Qué fracción de 16 es 2? Resolución: Por denición una fracción representa: "La parte" Numerador = "El todo" Denominador
Numerador + Denominador = 40
Luego
7 k – 1 k = 6k = 6 ( 5 ) = 30 “La parte” es 2 1 2 = 8 16
1k
+
7k
= 40
8k
= 40 k = 5
Ahora restamos denominador – numerador La diferencia de sus términos es 30.
“El todo” es 16 Por tanto 2 es
1
8
de 16
2 3. Calcular el número cuyos 3 es 34. 2 de x = 34 3 2 .x = 34 3 (34)(3) x= = 51 2 46
ESTUDIOS GENERALES
·
MATEMÁTICA
UNIDAD
·
4
OPERACIONES CON FRACCIONES
ESTUDIOS GENERALES
47
4 Operaciones con Fracciones 1. Adición y sustracción de fracciones a. Adición y sustracción de fracciones homogénea Observar el siguiente gráco: La parte sombreada es:
3 6
1
+
6
3
=
6
4 6
1 6 •
Para sumar o restar fracciones homogéneas se procede operando los numeradores y se escribe el mismo denominador:
Ejemplo: = =
8 13 8
-
5
13
- 5
+ +
2
+
13
2 +
7
-
13
3 13
- 3
7
13 =
13
Si son números mixtos, se opera la parte entera y después la parte fraccionaria.
•
48
9
Ejemplo: 1
=
[3+8-4] 1 + 7 - 2 - 5 = 13
13
-
2
=
13
+ 8
7
3
13
-4
5
13 7
1
3
ESTUDIOS GENERALES
·
MATEMÁTICA
·
b. Adición y sustracción de fracciones heterogéneas Para sumar o restar fracciones de diferentes denominadores se busca transformarlas a otras equivalentes, de tal forman que todas tengan el mismo denominador y se procede de la forma anteriormente vista. Considerando los siguientes casos: i. Denominadores múltiplos de otros Ejemplo: 3 8
+
1
2
-
3
3
=
4
8
+
1 x 4 2 x 4
-
3 x 2
=
4 x 2
3 8
+
4
8
-
6
8
=
3+4-6 8
=
1
8
Multiplicar por un factor a ambos términos de la fracción, tal que los denominadores sean iguales.
ii. Método del mínimo común múltiplo (MCM) Se seguirá el siguiente procedimiento: Primero: Hallar el MCM de los denominadores y se escribe como DENOMINADOR del resultado. Segundo: Dividir el MCM por cada denominador y el cociente se multiplica por cada numerador; luego efectuar la suma de estos resultados. =
Ejemplo: x
2 5
+
3 8
-
7 30
=
96 + 90 + 56 240
=
130 240
=
13 24
÷ MC M(5;8;30) = 240
iii. Regla de producto cruzado Regla práctica para operar con dos fracciones de términos pequeños. Ejemplo
2 7
-
3 17
ESTUDIOS GENERALES
34 2
21 3
13
7
17
119 49
·
MATEMÁTICA
·
2. Operaciones combinadas de adición y sustracción de fracciones Se tiene que tener en cuenta que primero se resuelven las operaciones que se encuentran al interior de los signos de agrupación.
Ejemplo: Resolver la siguiente operación:
También, se puede resolver eliminando primero los signos de agrupación.
3. Multiplicación y potenciación de fracciones Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
Ejemplos:
5
9 3 5
x
2 7
de 20 =
=
5x2 9x7 3
=
10 63
x 20 = 3 x 4 =12
5
Para elevar una fracción a cualquier potencia, se eleva cada uno de los términos de la fracción, al exponente indicado.
50
ESTUDIOS GENERALES
·
MATEMÁTICA
·
Ejemplos:
4. División de fracciones Para dividir fracciones, se multiplica a la fracción dividendo por la fracción divisor invertida.
Fracción inversa
Ejemplos:
Una división de fracciones también se puede presentar como una fracción de fracción: Producto de
Producto de
extremos
medios
Ejemplos:
5. Radicación de fracciones: Para extraer una raíz a una fracción, se extrae la raíz indicada a cada término de la fracción.
ESTUDIOS GENERALES
51
·
MATEMÁTICA
·
Ejemplos:
52
ESTUDIOS GENERALES
·
MATEMÁTICA
·
Problemas Resueltos 1. Sumar: 2 -1 -3 7 + + + 6 4 3 2
Operamos empleando el MCM:
Resolución: MCM(3; 6; 4; 2) = 12 =
2 3
-1
+
+
6
-3
+
4
7
2
13
=
8 - 2 - 9 - 42
39
=
12
12 =
4. Efectuar: -3 x 7 x 4 x -5 Resolución: 15 12 21 6 Simplicando -1 -1 1 1 = -3 x 7 x 4 x -5 12 21 6 15 4 3 3
4
13 4
2. Efectuar: 1 1 Resolución: 4 + 2 3 MCM(2; 3; 4) = 12 4 +
=
1
2
-
1
3
-
48 + 6 - 4 - 3 12
-
1
1
4
54
1
3
4
=
1
=
47
12
= 3
3. Efectuar:
11
5. Efectuar: 5
12
1
3
-
1
2
+ 1 6
Resolución: Efectuando el denominador:
Resolución: Eliminamos los paréntesis:
numerador
6-5 10 = 2+1 6
y
1
=
10 3 6
Suprimimos los corchetes: = Anulamos los números opuestos:
ESTUDIOS GENERALES
=
1 x 6 10 x 3 1 5
53
·
MATEMÁTICA
·
1. Calcular “X” en la pieza
Resolución: x=1 x= x= x=
7
8 15
8
+ +
3 4
3 4
+ +
9 16
9 16
+ +
7
32 7
32
60 + 24 + 18 + 7 32 109 32
x=3
13'' 32
2. Susana tiene S/. 120 y pierde 3 veces consecutivas 1 ; 1 y 1 de lo que le 4 2 3 iba quedando, ¿Con cuánto se queda? Resolución:
Se tiene al inicio Se pierde 1/2 queda 1/2 Se pierde 1/3 queda 2/3 Se pierde 1/4 queda 3/4
Se quedó con S/. 30
54
ESTUDIOS GENERALES
·
MATEMÁTICA
UNIDAD
·
5
NÚMEROS DECIMALES
ESTUDIOS GENERALES
55
5 Números Decimales Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal , que se obtiene al dividir el numerador por el denominador.
Ejemplos: 3 8 4
9 7
30
= 0,375
Resulta de dividir 3 entre 8.
= 0,444...=0,4
Resulta de dividir 4 entre 9.
= 0,233...=0,23
Resulta de dividir 7 entre 30.
1. Tablero posicional de cifras de un número decimal
PARTE DECIMAL
PARTE ENTERA r a l l i M e d s a n e t n e C
a l l i M e d s a n e c e D
r a l l i M e d s e d a d i n U
s a n e t n e C
s a n e c e D
s e d a d i n U
7
1 , 0
s o m i c é d
s o m i s é t n e c
s o m i s é l i m
s o m i s é l i m z e i d
7
3
9
s o m i s é l i m n e i c
o m i s é n o l l i M
La parte decimal tiene las siguientes órdenes, contadas de izquierda a derecha a partir del coma decimal: •
1° Orden decimal
décimos.
•
2° Orden decimal
centésimos.
•
3° Orden decimal
milésimos.
...etc.
2. Lectura y Escritura de Números Decimales Se lee la parte entera cuando existe y luego el número formado por las cifras de la parte decimal, expresando el nombre del orden de la última cifra.
56
ESTUDIOS GENERALES
·
Ejemplos: • 12,7 • 3,125 • 0,1416
MATEMÁTICA
·
doce enteros y siete décimos. tres enteros y ciento veinticinco milésimos. cero entero y mil cuatrocientos dieciséis diez milésimos.
Se escribe la parte entera si hubiera, en seguida la coma decimal y luego la parte decimal teniendo cuidado de colocar las cifras en el orden que le corresponde.
Ejemplos: • Quince enteros y veintiséis centésimos : 15,26 • 12 milésimos : 0,012 : 0,000 050 • 50 millonésimo 3. Propiedades de los Números Decimales 1° Un número decimal no ve alterado su valor si se le añade o suprime CEROS A SU DERECHA. Ejemplo: • 4,8 = 4,800 000 0 = 312,24 • 312,240 000 00 = 7,50 • 7,500 0 2° Si a un número decimal le corremos la coma decimal a la derecha uno o más lugares, para que su valor no se altere debemos dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares se corrió el coma decimal. Ejemplo:
dos lugares
2 lugares
Potencia de 10 con exponente negativo 3° Si a un número decimal, se le corre el coma decimal a la izquierda uno o más lugares, para que su valor no se altere, se debe multiplicar por la unidad seguida de tantos ceros como lugares se corrió la coma decimal.
Ejemplo: 4 lugares cuatro lugares
Potencia de 10 con exponente positivo
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
·
4. Clasicación de Números Decimales
NÚMERO DECIMAL EXACTO NÚMERO DECIMAL RACIONAL NÚMERO DECIMAL
(Se pueden escribir como Fracción; tienen Generatriz)
NÚMERO DECIMAL IRRACIONAL
NÚMERO DECIMAL INEXACTO (Tienen Período)
PERIÓDICO PURO PERIÓDICO MIXTO
Números decimales inexactos que no tienen período; resultan de las raíces inexactas.
Ejemplo:
a. Número decimal exacto. Es aquel número que tiene una cantidad limitada de cifras decimales.
Ejemplos: 0,25; 2,75; 1,2
b. Número decimal inexacto. Es aquel número que tiene una cantidad ilimitada de cifras decimales. •
Decimal Periódico Puro:
Es aquel en cuya parte decimal aparece una o un grupo de cifras llamado período que se repite indenidamente a partir de la coma decimal.
Ejemplo: 0,27272...... = 0,27 PERÍODO (2 cifras)
•
Decimal periódico mixto:
Es aquel cuyo período empieza luego de una cifra o grupo de cifras después de la coma decimal. A esta cifra o grupo de cifras se denomina parte no periódica.
Ejemplo: 0,7312512512........ = 0,73125 Parte Periódica Parte No Periódica
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ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
·
5. Generatriz de un número decimal Todo número decimal racional tiene su equivalente en forma de fracción. La fracción que genera un número decimal se llama FRACCIÓN GENERATRIZ.
a. Generatriz de un decimal exacto La fracción generatriz de un decimal exacto es una fracción que tiene por numerador al número, escrito sin coma decimal, y por denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene.
Ejemplos: b. Generatriz de un decimal periódico puro Hallar la fracción generatriz de: 0,454545...
Resolución: En el numerador de la fracción, escribimos el período es decir 45. En el denominador de la fracción, escribimos TANTOS NUEVES COMO CIFRAS TENGA EL PERÍODO. En este caso el período 45 tiene dos cifras entonces en el denominador escribimos: 99 Luego la fracción será: Observación: Si un número decimal periódico puro tiene parte entera distinta de cero
Ejemplo: 2,4545... c. Generatriz de un número decimal periódico mixto Hallar la fracción generatriz de:
0,188888………..
Resolución: En el numerador de la fracción generatriz, escribimos la PARTE NO PERIÓDICA seguida de la PARTE PERIÓDICA menos la PARTE NO PERIÓDICA: 18 - 1 En el denominador, escribimos tantos NUEVES como cifras tenga el PERÍODO seguido de tantos CEROS como cifras tenga la PARTE NO PERIÓDICA, es decir: 90 Entonces la fracción generatriz será:
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
·
Observación: Si un número decimal periódico mixto tiene parte entera distinta de cero
Ejemplo: 4,2414141... 6. Adición y sustracción de números decimales Al sumar o restar, se escribe un número bajo el otro cuidando que la coma decimal esté alineada para luego proceder a operar como si se trataran de números enteros. En el resultado, se vuelve a escribir la coma decimal en la misma línea vertical que las demás.
Ejemplos: •
Efectuar:
0,3 + 12,78 + 3,2057
Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro: 0,3000 + 12,7800 3,2057
Se efectúa como si fueran enteros:
16,2857 •
Efectuar:
La coma conserva el lugar de los demás
78,13 - 9,087
Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:
Se efectúa como si fueran enteros:
78,130 9,087
La coma conserva el lugar de los demás
69,043
Si se trata de decimales inexactos, se opera con sus fracciones generatrices:
Ejemplo: Efectuar:
Solución: Se van a reemplazar los decimales periódicos puros por sus fracciones generatrices:
60
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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7. Multiplicación de números decimales Para multiplicar por potencias de base 10, basta correr la coma decimal hacia la derecha tantas órdenes como ceros tenga la potencia, y para dividir basta correr la coma decimal para la izquierda. Observar que correr la coma decimal para la derecha, equivale a multiplicar ó aumentar el valor, en tanto que, para la izquierda equivale a dividir o disminuir el valor: Ejemplo: 47,235 por 100
Solucion: Para multiplicar 47,235 por 100, esto es, por 102. Basta correr la coma decimal dos órdenes hacia la derecha. Entonces: 47,235 x 100 = 4723,5
El valor relativo de 7 pasó ser 700
Corre 2 espacios a la derecha
Ejemplo: Multiplicar 3,6 x 3
Solucion:
3,6 x 3
10,8
8. Potenciación de Números Decimales Por denición de potenciación, se sabe que: (0.2)3 = (0,2) (0,2) (0,2) = 0,008 Se puede hallar la potencia de algunos números decimales mentalmente de una forma práctica, por ejemplo: X Multiplicar la cantidad de cifras decimales por el exponente
=
8 cifras decimales
(0,03)4 = 0,00000081 2 cifras decimales
Hallar la potencia de la cifra signicativa: 3 4 = 81
9. División de numeros decimales Ejemplo: Dividir 13,235 entre 1000
Solucion: Para dividir 13,235 entre 1000 esto es 103 basta correr la coma decimal tres órdenes hacia la izquierda.
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Así: 13,235 ÷ 1000 = 0,013235
El valor relativo de 13 enteros pasa a ser
“Corre 3 espacios a la izquierda”
0,013 (trece milésimos).
Ejemplo: Suponiendo que se tienen 13 caramelos para repartir entre 5 niños. El cálculo será:
13 5 3
2 caramelos para cada niño sobrando 3 caramelos
Tomando por ejemplo, la división 39,276 ÷ 0,5. Observar que el divisor se convierte en un número entero, multiplicando en este caso por 10 al dividendo y al divisor (recordar que al multiplicar por una potencia de diez a un número decimal, se corre la coma decimal hacia la derecha) quedando así:
3 9 2 , 7 6 4 2 2 7 2 5 0, 0 1
5 Conciente
78,55
0,01 es el Residuo falso (quedó multiplicado por 10)
El verdadero residuo es 0,01÷10 = 0,001. 10. Radicación de números decimales Denición de una radicación:
n : índice radical a : radicando b : raíz
Ejemplo: Hallar la raíz cúbica de 0,000064:
6 cifras decimales y es divisible por el índice radical que es 3 2 cifras decimales
6 cifras decimales 62
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Problemas Resueltos 1. ¿Cuántos milésimos hay en 54 centésimos? Resolución ¿Cuántos milésimos hay en 54 centésimos? x 1000 Despejando “x”:
=
54
4. Reducir:
Resolución: Efectuando:
100
x = 540 milésimos
2. Efectuar: Resolución
3. ¿Cuál es el decimal que resulta al efectuar la siguiente operación? (0,18333…)(0,1515...):(0,111...) Resolución Hallamos la generatriz de cada decimal: • 0,18333.... • 165 11 183 - 18 = = = 0,183= 900 900 60
5. Una rueda de 0,12 m de longitud ¿Cuántas vueltas dará al recorrer 1,80 m? Resolución: Fórmula: (Lc : Longitud circunferencia) Dist. recorrida = # vueltas x Lc. 1,80 m = # vueltas.(0,12 m) 15 = # de vueltas 6. ¿En cuántos ochentavos es mayor 0,32 que 0,1325? Resolución: x = 0,32 - 0,1325 80 x = 80.(0,1875) x = 15 7. Se compran 200 alleres a S/. 5 el ciento; se echan a perder 20 y los restantes los vendo a S/. 0,84 la docena. ¿Cuánto se gana? Resolución:
Reemplazanado
Quedan por vender 180 alleres que es igual a: 180/12 = 15 docenas Se vendió: 15 Docenas x 0,84 = S/. 12,60 Se Invirtió: S/. 10 por los dos cientos.
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Ganancia: S/.12,60 - S/. 10,00 = S/. 2,60
a - b + c = 8,75 - 13 + 16,25
8. En el dibujo, hallar a - b + c
a - b + c = 12 mm
Resolución 9. Un frasco con aceite vale S/. 4,75 y el aceite vale S/. 3,75 más que el frasco; entonces el precio del frasco es Resolución: Frasco : F Perfume : P F + P = 4,75 Restando las P - F = 3,75 ecuaciones 2F = 1 F = 0,50
3R = 19,50 R = 6,50 a = 21,75 - 2R a = 21,75 - 13 a = 8,75 b = 2R b = 13 c = 2R + 3,25 c = 13 + 3,25 c = 16,25
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ESTUDIOS GENERALES
·
MATEMÁTICA
UNIDAD
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6
par
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
ESTUDIOS GENERALES
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6 Potenciación y Radicación 1. Potenciación Potencia es el resultado obtenido al multiplicar un número, llamado BASE, cierta cantidad de veces; esta cantidad es el EXPONENTE.
Ejemplos:
exponente
5 veces
Potencia base
2. Signos de la potenciación El signo de la potencia dependerá del exponente y del signo de la base. (+)
par impar
(+)
= (+)
(-)
= (+)
(-)
par
= (+)
impar
= (–)
Ejemplos: •
(+2)4 = +16
• (+2)5 = +32
•
(-2)4 = +16
• (-3)2 = +9
•
(-2)5 = -32
• (-3)3 = -27
3. Propiedades de la potenciación. PROPIEDAD
NOTACIÓN
Exponente cero
a0 = 1; (a ≠ 0)
Producto de potencias de igual base
an x am = an+m
EJEMPLO
Cociente de potencias de igual base Exponente negativo Potencia de un producto Potencia de un cociente
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ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
·
Potencia de una potencia Exponente de exponente Potencia de la unidad
ESTUDIOS GENERALES
1n = 1
18 = 1
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Problemas Resueltos
1. Calcular :
5. Simplicar:
Resolución: Resolución:
2. Calcular: Resolución:
6. Efectuar:
3. Calcular:
Resolución:
Resolución:
4. Resolver:
Resolución:
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ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
·
4. Radicación La RADICACIÓN es una operación inversa de la potenciación Ejemplo: Radical Índice
Raíz Radicando Porque:
5. Signos de la radicación El signo de la raíz dependerá del índice y del signo del radicando.
Ejemplo:
6. Propiedades de la radicación. PROPIEDAD
NOTACIÓN
EJEMPLO
Raíz de un Producto Raíz de un Cociente Raíz de una Potencia Raíz de una raíz
n m
a=
ESTUDIOS GENERALES
nm
a
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MATEMÁTICA
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7. Radicales homogéneos y radicales semejantes. Radicales Homogéneos. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical. Ejemplos: “Todos son raíces cuadradas”
Radicales Semejantes. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical y la misma cantidad subradical. Ejemplo: “Todos son raíces cuadradas de siete”
8. Simplicación de radicales. Consiste en transformar un radical en otro equivalente, cuyo radicando debe tener factores cuyos exponentes no deben ser mayores que el índice de la raíz. Ejemplo: Descomponiendo en 720 2 Simplicar sus factores primos 360 180 720. 90 2 4 720 = 2 x 3 x 5 45
15 15 1
2 2 2 3 3
5
9. Operaciones con radicales a. Adición y sustracción de radicales Se podrán sumar y restar radicales, si estos son semejantes. Ejemplos:
b. Multiplicación de radicales Si los radicales son homogéneos se multiplicará los coeficientes y los radicandos. Ejemplos:
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ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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c. División de radicales. Si los radicales son homogéneos se dividen los coeficientes y los radicandos.
Ejemplos:
ESTUDIOS GENERALES
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Problemas Resueltos
1. Efectuar: Resolución: Simplicar los radicales:
Luego efectuamos:
2. Efectuar:
Resolucion: ; MCM (4 - 6 - 12) = 12
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ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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10. Racionalización de radicales Cuando se tienen fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores. Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente. Se pueden dar varios casos: Regla Practica: Se multiplica el numerador y denominador por una misma expresión a la cual se le denomina factor racionalizante (F.R.).
CASO I: Cuando el denominador es de la forma. ; (n>m)
Ejemplo: Racionalizar:
CASO II: Cuando el denominador es un binomio que puede tener la forma:
Ejemplo: Racionalizar:
ESTUDIOS GENERALES
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Problemas Resueltos
4. Racionalizar el numerador de 1. Racionalizar: Resolucion: Su F.R. de
2. Racionalizar: Resolucion:
3. Racionalizar Resolucion:
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ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
UNIDAD
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TRIGONOMETRÍA BÁSICA
ESTUDIOS GENERALES
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7 Trigonometría Básica 7.1 Sistema de Medidas Angulares Los diferentes sistemas de medidas angulares, usan como unidad de medida alguna fracción del ángulo de una vuelta. Principales sistemas de medidas angulares: • Sistema Sexagesimal (inglés): Sº • Sistema Centesimal (francés): Cg • Sistema Radial o Circular: R rad 7.1.1 Sistema Sexagesimal (S) La UNIDAD de medida es el Grado Sexagesimal (1º) que es la 360 ava. parte del ángulo de una vuelta. El ángulo de una vuelta mide 360º Los submúltiplos del Grado Sexagesimal son el Minuto Sexagesimal (1’) y el Segundo Sexagesimal (1’’), donde: 1º equivale a 60’ 1’ equivale a 60’’ 1º equivale a (60x60)’’ ó 3600’’
7.1.2. Sistema Centesimal ( C ) La UNIDAD de medida es el Grado Centesimal (1 g) que es la 400 ava. parte del ángulo de una vuelta. El ángulo de una vuelta mide 400g Los submúltiplos del Grado Centesimal son el Minuto Centesimal (1m) y el Segundo Centesimal (1s), donde: 1g equivale a 100m 1m equivale a 100s 1g equivale a (100x100)s ó 10000s
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ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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7.1.3. Sistema Radial O Circular ( R ) La UNIDAD de medida es el Radián (rad.) El radián es la unidad de medida de un ángulo central en un círculo cuya longitud del radio (R) es igual a la longitud del arco de la circunferencia (L) que subtiende dicho ángulo.
“Si L = R entonces la medida del ∠ Ѳ, es igual a un radián o simplemente Ѳ = 1 rad.”
El ángulo de una vuelta mide 2π rad.
7.1.4. Relación Entre ños Sistemas de Medidas de Ángulos. Sea Ѳ un angulo donde: S representa la medida de Ѳ en grados Sexagesimales. C representa la medida de Ѳ en grados Centesimales. R representa la medida de Ѳ en Radianes. Donde la fórmula de Conversión es:
Observaciones:
S, C y R no representan submúltiplos (minutos ni segundos). • Para convertir grados sexagesimales a centesimales o viceversa se emplea sólo: ; simplicando se obtiene: •
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
·
Donde:
•
Otras equivalencias importantes: 9° = 10g 180° = π rad
78
27’ = 50m
81’’=250s
200g = π rad
ESTUDIOS GENERALES
Problemas Resueltos 1. Convertir 45° a grados centesimales. Resolución: Como S = 45°, remplazar en la siguiente fórmula:
2. Convertir 125g a radianes. Resolución: Como C = 125 g, remplazar en la siguiente fórmula:
3. Convertir
radianes a grados sexagesimales.
Resolución: Como R =
rad, remplazar en la siguiente fórmula:
Otra Forma: Multiplicar la medida dada por un FACTOR DE CONVERSIÓN que está conformado por una fracción equivalente a la unidad. En el denominador de tal fracción se escribe la unidad a eliminar y en el numerador la unidad que se busca. Por ejemplo para convertir rad a grados sexagesimales se hará de la siguiente manera:
Se ha reemplazado la unidad por la fracción (FACTOR DE CONVERSION) sabiendo que: 180° = π rad.
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MATEMÁTICA
·
4. Convertir 0,621° a segundos centesimales. Resolución: Se va a emplear en una sola línea tres FACTORES DE CONVERSIÓN. No olvidar que: 9°=10g 1g=100m 1m=100s
5. Convertir 7500s a minutos sexagesimales Resolución: Recordar que: 81” = 250s 1´ = 60’’
80
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
·
7.2. Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos Son las fracciones que se forman con las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo respecto a un ángulo agudo. En el triángulo rectángulo que se muestra, los catetos son los lados a y b; la hipotenusa es c, además: Cateto opuesto de α es “a” Cateto adyacente de es “b” Cateto opuesto de β es “b” Cateto adyacente de β es “a” Las razones trigonométricas que se pueden formar respecto al ángulo “ α ” serian:
Coseno
Triángulos Rectángulos Notables 60º
2k
53º
5k
k
30º
3k
37º k
k
45º
2
4k
3
25k
74º 7k
k 16º
45º k
10k
24k
82º
8º
7 2k
ESTUDIOS GENERALES
k
2
75º
4k 15º ( 6+
( 6
2 )k
2 )k
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MATEMÁTICA
·
5k
10 k
k
k
37º 2
53º 2
3k
2k
k 15°
75° 4k
Trigonométricas en Triángulos Rectángulos Notables F.T.
8º
15º
16
37/2º
53/2º
30º
37º
45º
25
10
5
2
2
24
3
5 4
7
Sen Cos Tg Ctg Sec Csc
10 7 2
4 6+
2
2
3
1
10 2
82
ESTUDIOS GENERALES
53º
60º
·
MATEMÁTICA
·
7.3. Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales Si un ángulo en posición normal hace coincidir su lado nal con alguno de los semiejes del sistema de coordenadas, tal ángulo se llama CUADRANTAL. Estos ángulos en una primera vuelta son 0º; 90º; 180º; 270º; 360º. Las razones trigonométricas de estos ángulos cuadrantales se muestran en la siguiente tabla: Sen Cos
Tg
Ctg
Sec
Cosec
0º ó 360º
0
1
0
ND
1
ND
90º
1
0
ND
0
ND
1
180º
0
-1
0
ND
-1
ND
270º
-1
0
ND
0
ND
-1
ESTUDIOS GENERALES
83
Problemas Resueltos 1. Calcular el valor numérico de la siguiente expresión: Resolución:
2. Calcular el valor numérico de la siguiente expresión: Resolución:
=3
7.4. Resolución de Triángulos Rectángulos 2. Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de sus lados y ángulos a partir de dos datos, uno de los cuales debe ser lado. Para resolver triángulos rectángulos se pueden presentar dos casos: I. Los datos conocidos son: dos lados. II. Los dos datos conocidos son: un lado y un ángulo agudo.
Problemas Resueltos Resolver el triángulo que se muestra continuación: Resolución: Como datos se tienen la medida de dos lados, “este problema corresponde al caso I.” Para hallar el tercer lado “a”, se aplica el
Teorema de Pitágoras.
El ángulo α se halla estableciendo una razón trigonométrica que relacione lados conocidos. Cos =
; pero el Cos 53°=
; Entonces: =53°
“β” es el complemento de “”, por lo tanto: β= 90° - 53° β= 37°
2. Resolver el triángulo que se muestra continuación:
Resolución: Como datos se tienen la medida de un ángulo agudo y un lado, “este problema corresponde al caso II.” Hallando β, que es el complemento de 16° β = 90° - 16° β = 74° Se calcula “a”: tomando una razón trigonométrica de 16°, que relacione el dato con la incógnita.
Razón Trigonométrica de α
Se calcula “b” en forma similar que el caso anterior, pero esta vez conviene trabajar con la razón trigonométrica coseno de 16°.
7.5. Resolución De Triángulos Oblicuos – Ley De Senos. “En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.
Problemas Resueltos 1. Resolver el triángulo que se muestra continuación:
Resolución: Resolver el triángulo consiste en hallar la medida de sus lados y sus ángulos internos. Se tiene que hallar las medidas de “L”, “β” y “Ѳ”. Primero hallar el valor de “ Ѳ” aplicando la ley de senos:
; entonces: Ѳ = 30° Ahora hallar el valor de “β”: Si: 37º + 30º + β = 180º
entonces
β = 113º
Aplicando la Ley de senos para calcular el valor de “L”: Si: Pero: Sen 113° = Sen 67° ( Reducción I cuadrante), hallamos el valor de Sen 67° haciendo uso de la calculadora. Sen 67° = 0,9205
Entonces: L = 128,87 m
7.6. Resolución de Triángulos Oblicuos – Ley de Cosenos. “En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrado de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos, multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”.
Problemas Resueltos 1. Hallar la medida del lado “x” Resolución: c2 = a2 + b2 -2ab Cos q; reemplazamos a = 12; b = 20; q = 37° 20 cm x 37° 12 cm
UNIDAD
8
MEDIDAS DE TIEMPO
8
Medidas de Tiempo
8.1. Medida de Tiempo En la antigüedad, la vida del hombre no era apresurada y sus relojes, de sol, de agua o de arena, carecían de divisiones especiales para contar los minutos. Hasta principios del siglo XVIII los relojes no tenían minutero, pero a comienzos del siglo XIX aparece ya hasta el segundo. ¿Qué puede ocurrir en una milésima de segundo? ¡Muchas cosas! Es verdad que, en este tiempo, un tren solamente puede avanzar unos tres centímetros, pero el sonido recorre ya 33 centímetros; un avión cerca de medio metro, la Tierra, en este intervalo de tiempo, recorre 30 metros de su órbita alrededor del sol, y la luz, 300 kilómetros. En la actividad laboral y académica, por lo general, establecemos un registro del tiempo empleado en la confección de un artículo, en los trabajos de taller, para la investigación, la elaboración de un informe, la atención al cliente, etc. En Informática hablamos de tiempo de acceso; en fotografía, tiempo de exposición; en el deporte, tiempo muerto; en astronomía, tiempo sideral; en religión, tiempo litúrgico; en lingüística, tiempo compuesto como forma verbal, entre otros. Y tal como otras magnitudes, los intervalos de tiempo pueden medirse. Unidad Fundamental Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad fundamental de la magnitud tiempo es el SEGUNDO. Magnitud
Unidad
Símbolo
Tiempo
segundo
s
Denición de la unidad
Es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
8.2. Multiplos del Segundo Se tiene al MINUTO y a la HORA. El instrumento para medir el tiempo se llama RELOJ. El tiempo es la única magnitud no decimal del SI, por lo que para expresar la hora local utilizando el segundo y sus múltiplos (minuto y hora) se recomienda lo siguiente: 1. En la representación numérica del tiempo se emplearán las cifras arábigas (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y se emplearán únicamente los siguientes símbolos: h hora min minuto s segundo 2. El tiempo se expresará utilizando dos cifras para indicar los valores numéricos de las horas, de los minutos y de los segundos, separados de los 90
ESTUDIOS GENERALES
símbolos de estas unidades mediante espacios en blanco y de acuerdo al siguiente orden: Primero: HORA
Segundo: MINUTO y
Tercero: SEGUNDO
18 h 54 min 27 s Ejemplo: 08 h 23 min 43 s ; 3. Cuando el tiempo se exprese en horas, minutos y segundos, o en horas y minutos, puede omitirse el último símbolo respectivo. Ejemplo: 05 h 11 min 20 s 5 h 11 min 20 00 h 39 min 08 s 23 h 42 min 15 h
00 h 39 min 08 18 h 42 15 h
4. Las 24 horas corresponden a las 00 h 00 del día siguiente. Ejemplo: Las 24 horas del lunes, corresponden a las 00 h del día martes. 5. Para escribir el tiempo en horas, minutos y segundos, se recomienda usar el modo descrito anteriormente, dejando de lado la forma antigua. Ejemplo: Denominación recomendada
Denominación antigua
08 horas
8 a. m.
15 h 30 min ó 15:30 h
15:30 p. m. o 3:30 p. m.
12 h
12 m.
23 h 42 ó 23:42 h
11:42 p. m.
24 h
12 p. m.
6. Cuando se escriba una cantidad acompañada de una unidad del SI, se recomienda escribir la cantidad seguida del símbolo de la unidad y no del nombre del mismo, en especial cuando se trate de documentos técnicos. Ejemplo: Correcto Incorrecto 47 s cuarenta y siete s 27 min veintisiete min Recomendaciones para la Escritura de Fechas en Forma Numérica a. En la representación numérica de fechas se utilizarán las cifras arábigas, es decir {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. b. Para expresar el año se utilizarán cuatro cifras, las que se escribirán en bloque. Cuando no exista riesgo de confusión podrá utilizarse sólo dos cifras.
Ejemplo:
2007 o 07 1998 o
98
Para expresar el mes se utilizarán dos cifras, desde 01 hasta 12. Para expresar el día se empleará dos cifras, desde 01 hasta 31. Al escribir la fecha completa, se respetará el orden siguiente: Primero: AÑO
Segundo: MES
y
Tercero: DÍA
Además se usará preferentemente un guión para separarlos, también se puede usar un espacio en blanco cuando no exista riesgo de confusión.
Ejemplo:
2005-03-17 98-09-23
o o
2005 03 17 98 09 23
c. Ejemplos de escritura de fechas numéricas Correcto Incorrecto 20 de marzo del 2007 2007-03-20 20-3-2007 25 de diciembre de 1998 1998-12-25 25 / 12 / 98 28 de julio de 1821 1821-07-28 28 / VII / 1821 30 de abril de 2007 2007-04-30 2,007-04-30 15 octubre de 2003 2003-10-15 15 de octubre de 2003 8.3. Equivalencia de Unidades de Tiempo El tiempo se mide de la unidad más grande a la más pequeña en: Milenio < > 1000 años. Siglo <> 100 años. Década < > 10 años. Lustro <> 5 años. Año <> 12 meses, 365 días o 366 en los años bisiestos. (una vez cada 4 años el mes de febrero tiene 29 días) Semestre < > 6 meses. Trimestre < > 3 meses. Bimestre < > 2 meses. Mes <> 30 días (abril, junio, septiembre y noviembre). 31 días (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre). Quincena < > 15 días. Día <> 24 h < > 1440 min < > 86 400 s Hora <> 60 min < > 3600 s Minuto < > 60 segundos
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MATEMÁTICA
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8.4. Operaciones con la Medida de Tiempo • Adición Operar: 07 h 45 min + 07 h 15 min + 02 h 14 min 04 h 50 min 09 h 59 min 11 h 65 min < >12 h 05 min Ahora sumar: 5d 08h 20 min + 12 h 48 min Muy bien, el resultado es: 5d 21h 08min Ahora sumar: 23d 18 h 20 min + 36 h 48 min El resultado será: 25d 7h 8 min •
Sustracción Operar: 16 h 50 min 12 h 30 min 04 h 20 min
18 h 30 min - < > 17 h 90 min 17 h 45 min
17 h 45 min 00 h 45 min
Observar que no se puede restar 45 min de 30 min, por eso, usar el artificio de superior, en este caso, 1 h. “pedir prestado” una unidad del orden inmediato superior, Observación:
05 h 30 min es diferente de 5,30 h Dado que: 05,3 h equivale a 05 h 18 min, pues 0,3 de 60 min = 18 min •
Multiplicación Operar: 06 h 14 min 29 s x 5
30 h 70 min 145 s < > 31 h 12 min 25 s Operar: 03 h 12 min 25 s x 18 54 h 216 min 450 s < > 57 h 43 min 30 s Ahora multiplicar: 5d 08h 20min 24s x 12 el resultado es: ........................................... ........................................................ .............
ESTUDIOS GENERALES
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•
MATEMÁTICA
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División Operar: 57 h 54 h 03 h x 60 180
43 min 180 min 223 min 18 43 36 7x 60 420
+
30 s 420 s 450 s 36 90 90 00
18 03h 12min 25 s
Dividir: 28d 09h 35min ÷ 7 Muy bien, el resultado es: 4d 01h 22min 08 4/7s Dividir: 4d 13h 30min 20s ÷ 5 El resultado es: ............................................. ................................................. ....
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ESTUDIOS GENERALES
Problemas Resueltos 1. Al mirar el reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el día es igual al tiempo transcurrido. ¿Qué hora es? Día = 24 h
Horas transcurridas x horas que faltan transcurrir 24 - x
Luego: Es las 9 de la mañana
2. Un técnico trabaja 15 d 16 h 30 min, su ayudante labora la tercera parte de este periodo. ¿Qué tiempo trabaja su ayudante? 15 d 15 d -
16 h 15 h 1hx 60 60 min
30 min 60 min 90 min 90 -
+
3 5d 5h 30 min
El ayudante trabaja 5d 5 h 30 min
3. Un ómnibus que va de Lima a Pisco recorre en cierto c ierto tramo 120 km a 2 h 40 min. ¿Cuántos metros recorre por minuto en dicho tramo? 2h 40 min = 160 min 120 km = 120 000 m Recorre por minuto = 120 000 m = 750 m/min 160 min
4. ¿A qué es igual 121 207 segundos? 121 207 s 120 120 120 7s
60 2020 min 180 220 180 40 min
60
Respuesta:
33 h 24 24 1d 9h
1 d 9 h 40 min 7s
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MATEMÁTICA
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5. Un padre tiene 3 hijos cuyas edades son: Pedro: 15 años 5 meses 6 días, Marisol: 7 años 4 meses 8 días Roberto: 4 años 18 días, ¿Cuánto suman las tres edades? 15 años
5 meses
6 días +
7 años
4 meses
8 días
4 años 26 años
18 días 9 meses 32 días = 26 años 10 meses 2 días
6. Un mecanógrafo ha empleado 3 h 16 min 18 s en hacer un trabajo. ¿Cuánto necesitará para hacer 7 veces más el mismo trabajo? 3h 16 min 18 s x 8 24h 128 min 144 s = 1 d 2 h 10 min 24 s 7. En una fábrica trabajan 14 operarios y cada uno de ellos laboró 25 d 4 h 35 min. ¿Calcular el tiempo trabajado por dichos operarios, considere 1 d = 8 h? 25 d 4h 35 min x 14
350 d
56 h
490 min = 350 d (7 d) (8 h 10 min)
358 d 10 min
8. Una persona nació el 15 de setiembre de 1986. ¿En qué fecha cumplirá 36 años 8 meses y 20 días de edad? 1986 años 9 meses 15 d + 36 años 8 meses 20 d 2022 años 17 meses 35 d = 2023 años 6 meses 5 d 9. Una obra esta programada para hacerla en 12 h 18 min por un trabajador. Este empieza la jornada a las 8 h 20 min y para a las 14 h 40 min para refrigerar. Si prosigue su labor a las 15 h 17 min , ¿A qué hora deberá acabar su trabajo? 15 h 17 min - 14 h 40 min = 37 min de refrigerio Hora de inicio
8 h 20 min +
Duración del trabajo
12 h 18 min
Refrigerio
37 min 20 h 75 min = 21 h 15 min
96
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
UNIDAD
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9
RAZONES Y PROPORCIONES
ESTUDIOS GENERALES
97
9 Razones y Proporciones 9.1. Razón Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustracción o división. 9.2. Tipos de Razones • Razón Aritmética Es la comparación de dos cantidades que se obtiene mediante la sustracción, y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra.
a-b=r
•
a menos b
•
El exceso de a sobre b
•
a excede a b
Ejemplo: Las velocidades de dos autos son Va=30 m/s y Vb = 24 m/s. Razón aritmética
Valor de la razón
Va – Vb = 30 m/s – 24 m/s = 6 m/s
Antecedente
Consecuente
La velocidad del auto “a” excede en 6 m/s a la velocidad del auto “b”. El exceso de Va sobre Vb es 6 m/s. La velocidad de Va excede a Vb en 6 m/s. •
Razón Geométrica Es la comparación de dos cantidades mediante el cociente. • Razón de a sobre b a • a es a b =k b • a entre b Ejemplo: Las edades de dos personas son 48 años y 36 años respectivamente. Razón geométrica
Antecedentes Consecuente 98
a
48 años 4 = b 36 años 3 =
Valor de la razón
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Problemas Resueltos 1. La diferencia de dos números es 280 y están en la relación de 7 a 3. Hallar el mayor número. Resolución: Como la relación de los dos números es de 7 a 3, entonces lo representamos de la siguiente manera:a = 7 b 3 Por lo tanto: a = 7k y b = 3k Se sabe que la diferencia de los dos números es 280, entonces: a - b = 280 Reemplazamos los valores de a y b en función de “k” 7k - 3k = 280 4k= 280 k= 280 4
k = 70 Hallamos los valores de a y b, reemplazando el valor de k = 70: a =7k = 7 (70) = 490 b = 3 (70) = 210 Nos piden el valor del número mayor, por lo tanto la respuesta es: 490
2. Las edades de dos personas son: 20 años y 12 años, ¿En qué relación están sus edades? Resolución: a 20 = b 12 Simplificamos a 5 = b 3 Entonces la relación de sus edades está en la relación de 5/3
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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9.3. Proporción Geométrica Es el resultado de comparar dos razones. COCIENTE : a c = =k Proporción Geométrica b d También se expresa como: “a” es a “b” como “c” es a “d” a : b :: c : d Donde: a y d se llaman EXTREMOS. b y c se llaman MEDIOS 9.3. Clases de Proporciones b. Proporción Geométrica Discreta • Los cuatro términos son diferentes: a ≠ b ≠ c ≠ d • El 4º término (d) de la proporción se llama: Cuarta Proporcional Términos antecedentes consecuentes Términos
1°
3°
a
c
b
=
2°
d 4°
medios extremos
Propiedad Básica: Producto de extremos = Producto de medios
c. Proporción Geométrica Continua • Los términos medios de la proporción son iguales. • El 3º término (c) de la proporción se llama: Tercera Proporcional 1° antecedentes consecuentes
a b 2°
•
100
2° =
b c
=k
3°
MEDIA PROPORCIONAL o MEDIA GEOMÉTRICA
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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9.5. Propiedades de las Proporciones a c =k ∧ b d
a c = =k b d
1° a + b = c + d = k + 1 b d
;
a-b c-d k-1 = = b d
2° a + b = c + d = k + 1 a-b d k-1 3°
a+c =k a+b
4°
k a c = = k±1 a±b c±d
;
c-d =k b-d
2 2 2 2 2 5° a + b = c + d = k + 1 k2 - 1 a2 - b2 c2 - d2
6°
a x c (a + b)2 = = k2 2 b x d (b + d) a a1 a2 a3 a4 ….. a (n - 1) = = = = = = n b1 b2 b3 b4 ….. b(n – 1) bn
7° a + a + a + a + ….. + a 2 3 (n – 1) + an 1 4 b1 + b2 + b3 + b4 + ….. + b (n – 1) x bn
=k
=k
8° a1 x a2 x a3 x a4 x ….. x a(n – 1) x an = kn b1 x b2 x b3 x b4 x ….. x b(n – 1) x bn
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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9.6. Escala La ESCALA es la razón entre la longitud representada en un plano y la longitud en tamaño real. La ESCALA es una fracción con numerador unitario. El denominador indica las veces que se repite el numerador para obtener la medida o dimensión real.
ESCALA=
Longitud en el plano Longitud del tamaño real
Ejemplo
Longitud real = 4,50 m
ESCALA=
Longitud en el plano = 0,09 m
Longitud en el plano Longitud del tamaño real
= 0,09 m = 1 4,50 m 50
ESCALA= 1 : 50 REPRESENTACIÓN 1 : 100
“indica: 1 mm de trazo en el papel es a 100 mm de longitud real”
1 / 100
“indica: 1 cm de trazo en el papel representa 100 cm de longitud real”
1
“indica: 1 m de trazo en el papel representa 100 m de longitud real”
100
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ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Problemas de Aplicación 1. ¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 45,00 m de largo, si el dibujo se hace a una escala de 1 : 750? ESCALA=
1
750
=
x 45 m
Longitud en el plano Longitud del tamaño real
x =
45 m = 0,06 m = 6 cm 750 Rpta. 6 cm
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Problemas Resueltos 1. La razón de dos números es 6/5, y la suma de dichos números es igual a 33. ¿Cuáles son estos números? Resolución: Sean A y B los números A B
=
6K K
A= 6K B= 5K
A + B = 33 6K + 5K = 33
K=3
A= 18 B= 15
2. Se tienen dos barriles que contienen 400 litros y 500 litros de vino respectivamente. ¿Cuántos litros de vino se debe de pasar del primer al segundo barril, para que las cantidades de vino en cada barril estén en la relación de 2 a 3? Resolución 400 - x 500 + x
=
2 3
x = 40 litros
3. ¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 43,20 m de largo, si el dibujo se hace a una escala de 1 : 720 ? Resolución
ESCALA=
Longitud en el plano Longitud del tamaño real
1 cm x = 720 cm 4320 cm
104
x=6 cm
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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4. Un objeto se dibuja a escala de 1 : 30 , y tiene una altura de 0,40 m ; si se desea dibujarlo a una escala de 1 : 20, ¿Cuál será su altura? Resolución H= altura real del objeto ; X= tamaño del objeto en el dibujo 1
30 1
20
Dividiendo ambas proporciones:
40 cm
=
H
x = 60 cm
x
=
H
5. Sí: A + B + C y A + B = 30 ¿Cuánto vale C? 2+8+7 Propiedad:
Resolución A B
=
B
8
=
C 7
=k
A+B+C C = 7 2+8+7 30 + C 17
=
C 7
(A + B) = 30 dato C = 21
6. Un empelado ahorra S/. 5 940 por día; si lo que cobra y lo que gasta diariamente está en la relación de 13 a 7. Determinar en cuántos soles debe disminuir sus gastos diarios para que la relación entre lo que cobra y lo que gasta sea de 9 a 2. Resolución Sea: C = cobra ; G = gasta ; A = ahorra C =G+A C – G = S/. 5 940 …………. (1) C 13K C = 13K ∧ G= 7K = G 7K Reemplazando en (1): C=13 x 990 = 12 870 13K - 7K = 5 940 6K = 5940 G = 7 x 990 = 6 930 K = 990 Sea X soles la cantidad en que debe de disminuir sus gastos diarios C 9 = G-X 2 Reemplazamos: X = S/. 4 070 12870 9 = 6930 - x 2 ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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UNIDAD
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MAGNITUDES PROPORCIONALES
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ESTUDIOS GENERALES
10 Magnitudes Proporcionales 10.1 Magnitud Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser medido. 10.2 Cantidad Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee dos partes: valor numérico y unidad. Magnitud Tiempo Longitud Temperatura Masa
Cantidad 60 h 15 m 35º C 40 kg
10.3 CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES. 10.3.1. Magnitudes Directamente Proporcionales ( D.P. ) Se sabe que al abastecer un carro en un grifo, cuanto más gasolina se coloque en el tanque, más soles pagará. Para tener una idea, basta observar en el cuadro de abajo, suponiendo que el precio de la gasolina por galón sea de S/. 8. Gasolina (Galones) 1
2 5
10 15
30
Precio (S/.) 8,00 16,00 40,00 80,00 120,00 240,00
Al colocar 1 galón de gasolina, se pagará S/. 8,00 pero, si se colan 15 galones de gasolina, el precio será 15 veces mayor, o sea; 15 x 8.00 que es igual a S/. 120,00. Así, si se aumenta la magnitud “gasolina”, la otra magnitud “precio” (soles) aumentará el mismo número de veces, o sea, las magnitudes varían en el mismo sentido. Por tanto, dos magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES: Cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas los valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan o disminuyen en la misma proporción.
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
·
Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales: Número de libros y costo total. Si se compran libros, cada uno a S/. 4 (precio constante); a mayor cantidad de libros el costo total será mayor, pero; si compra menor cantidad de libros el costo total será menor.
N° libros
1
4
24
3
Costo Total
4
16
96
12
Además, se verica que la razón entre el número de libros y el costo total es CONSTANTE, esto es, la razón tiene siempre el mismo valor (0,25).
Entonces se puede escribir:
Por tanto:
Interpretación geométrica:
Conclusiones: I. La gráfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de coordenadas. II. En cualquier punto de la gráfica (excepto en origen de coordenadas) el cociente de cada par de valores correspondiente resulta una constante.
108
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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10.3.2. Magnitudes Inversamente Proporcionales ( I.P) Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma proporción. Observar el cuadro que representa las velocidades de un auto y el tiempo empleado en recorrer una misma distancia:
Velocidad 90 km/h 60 km/h 45 km/h 36 km/h
Tiempo 2 horas 3 horas 4 horas 5 horas
Disminuyendo la velocidad del auto, aumentará el tiempo empleado, luego la velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales. Observar, que el producto de dos valores correspondientes (velocidad y tiempo) es siempre el mismo. 90 x 2 = 180; 60 x 3 = 180; 45 x 4 = 180; 36 x 5 =180 Se puede finalmente concluir que: Si: “A” I.P. “B”
(valor de A)x(valor de B) = Constante
Interpretación Geométrica
Importante: I. La gráfica de dos magnitudes I.P. es una rama de una hipérbola equilátera. II. En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores correspondientes, resulta una constante. Si: “A” IP “B” A x B = k
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
Propiedades: I. Si: A D.P. B B D.P. C II. Si: A I.P. B A D.P. 1
·
A I.P. C O
A D.P. B
A I.P. 1
B
B
III. Si: A D.P. B (C es constante) A D.P. C ( B es constante) A
BXC
=K
IV. Si: A I.P. B ( C es constante) A I.P. C ( B es constante) AxBxC = K
Aplicaciones comunes (N° de obreros)
D.P.
(obra)
(N° de obreros)
I.P.
(eciencia)
(N° de obreros)
I.P.
(N° de días)
(N° de obreros)
D.P.
(dicultad)
(N° de obreros)
I.P.
(horas diarias)
(velocidad)
I.P.
(tiempo)
(N° de clientes)
I.P.
(N° de vueltas)
N° de obreros x eficiencia x N° días x h/d = constante obra x dificultad
110
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Problemas Resueltos 1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando valor que toma B, cuando A = 34. Resolución: Se debe plantear:
A= 51,
B = 3. Hallar el
x=2
2. Del siguiente gráco de magnitudes proporcionales, calcular (a + b)
Resolución: Se debe plantear:
a=6
;
b = 40
;
a + b = 46
3. .La magnitud A es I.P. a , además cuando A es igual a 6 entonces B es igual a 16. Halle B cuando A es igual a 4. Resolución: Se debe plantear:
x = 36
ESTUDIOS GENERALES
111
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MATEMÁTICA
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4. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente proporcional a la distancia que se encuentra de Lima. Si una casa ubicada a 65 Km cuesta S/. 180 000. ¿Cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el doble y se encuentra a 120 Km de distancia de Lima? Resolución: (precio) (distancia) área (18 0000).(65) s
=
=k
( k= constante)
(x).(120) 2s
x = 195 000
5. Si “A” es el triple de rápido que “B”. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a “A” hacerlo sólo?. Resolución: Sea R rapidez: RA = 3 RB N° días I.P. rapidez (Días) . (Rapidez) = cte Reemplazando valores: ( RA + RB ) x 12 = RA x X ( 3RB + RB ) x 12 = 3 RB x X 4 RB x 12 = 3 R B x X Simplicando:
112
X = 16 días
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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10.4. Reparto Proporcional. Consiste en distribuir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números llamados “índices” del reparto; ya sea en forma directa o inversamente proporcional. 10.4.1. Tipos de Reparto b. Reparto Simple Directo: Cuando las partes a obtener son proporcionales a los índices. Ejemplo: Repartir 400 en 3 partes que sean proporcionales a 2, 3 y 5. Resolución: Las partes serán: “2k” , “3k” y “5k” las cuales deben sumar 400, entonces: 2 k + 3 k + 5 k = 400 K ( 2 + 3 + 5 ) = 400 K = 40 Suma de índices Constante de reparto Ahora, damos lo que le toca a cada uno: 2 (40) = 80 ; 3 (40) = 120 ; 5 (40) = 200
Método Práctico:
400
PARTES A B C
D.P. 2k 3k 5k 10k
+
k = 400 = 40 10
Luego: A = 2 (40) = 80
;
B = 3 (40) = 120
;
C = 5(40) = 200
Observación: Si a los índices de un reparto, se dividen o multiplican por un mismo número positivo, el reparto no varia es decir se obtiene las mismas partes. Ejemplo: Repartir 470 en 3 partes que sean proporcionales a los números: 5 6
ESTUDIOS GENERALES
;
3 3 ; 8 4
113
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MATEMÁTICA
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Resolución: Es conveniente que los números proporcionales sean enteros, entonces buscamos números que estén en la misma relación que las fracciones; para ello es necesario considerar el MCM de los denominadores, para multiplicar a los índices. MCM ( 6 ; 8 ; 4) = 24 PARTES D.P 5
A:
470
6
3 8
B:
3
C:
4
x
24 = 20k
x
24 =
x
24 = 18k
+ k=
9k
470 47
=10
47k
Luego las partes serán: A = 20 (10)=200
;
c. Reparto Inverso Recordando que: ( “A” IP “B” )
B = 9 (10)=90
C= 18 (10)=180
( “A” DP “1”)
Inversamente Proporcional
•
;
B
Directamente Proporcional
Entonces para repartir una cantidad en forma inversamente proporcional a ciertos índices, es suficiente repartir directamente proporcional a las inversas de los índices:
Ejemplo: Repartir 390 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números de 6 ; 9 y 12. Resolución: Partes I.P. D.P.
390
114
A:
6
B:
9
C:
12
1 6 1
9
x 36 = 6k x 36
+
= 4k
1
x 36 = 3k 12 13k
ESTUDIOS GENERALES
k=
390 =30 13
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MATEMÁTICA
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Las partes serán: A = 6 (30) = 180;
B = 4 (30) = 120;
C = 3 ( 30) = 90
d. Reparto Compuesto Se da cuando el reparto se hace en partes que son proporcionales a varios grupos de índices. Recordar: Si: “A” D.P. “B” y también con “C”, entonce “A” D.P. (“B”x “C”). Ejemplo: Repartir 2 225 en 3 partes que sean D.P. a los números: 3 , 5 y 8 e I.P. a los números 4, 6 y 9. Resolución: MCM ( 4, 6, 9 ) = 36
Partes D.P. A: 3
I.P. 4
D.P 1
3 x 1 = 3 x 36 = 27k +
4
2 225
B:
5
6
1
4
5 x 1 = 5 x 36 = 30k
6
C:
8
9
1 9 k=
4
6
6
8 x 1 = 8 x 36 = 32k 89k 9 9
2225 = 25 89
Las partes son: A = 27 (25 ) = 675; B= 30 ( 25 ) = 750 y C = 32 ( 25 ) = 800
REGLA PRÁCTICA PARA EFECTUAR UN REPARTO COMPUESTO Primero: Se convierte la relación I.P. a D.P. Segundo: Los grupos de los índices D.P. se multiplican. Tercero: Se efectúa el reparto simple directo a los nuevos índices.
ESTUDIOS GENERALES
115
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MATEMÁTICA
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Problemas Resueltos 1. Repartir el número 32 en partes D.P. a los números 3, 5 y 8 Resolución: Partes D.P.
32
A:
3
3k
B:
5
5k
C:
8
8k
32
k =
16
= 2
16k Luego los valores que satisfacen al problema son: A = 3(2) = 6, B = 5(2) = 10 y C = 8(2) = 16.
2. Una firma instituye un premio de S/. 470 para ser distribuido entre sus trabajadores en orden inverso a las faltas de los mismos. Al final del semestre éste debe distribuirse entre tres trabajadores que tienen 3, 5 y 4 faltas, respectivamente. ¿Cuánto recibe cada uno? Resolución: Partes I.P D.P. ; MCM ( 3, 5 4 ) = 60 1 A: 3 x 60 = 20k + 3 B:
S/. 470
5
1 5
C:
4
1
k=
x 60 = 12k x 60 =
470 47
=10
15k 47k
4
Las partes serán: A = 20(10 ) = 200
;
B = 12 (10) = 120
;
C = 15 ( 10) = 150
3. Una mezcla de bronce tiene 5 partes de cobre, 3 de estaño y 2 de zinc. ¿Cuántos kg. de cada metal serán necesarios para preparar 40 kg. de esa mezcla? Resolución: DP
40
116
Las partes son:
Cu :
5
5k
Sn :
3
3k
Zn :
2
2k 10k
Cu = 5 ( 4 ) = 20 kg cobre
+ k=
40 =4 10
Sn = 3 ( 4 ) = 12 kg estaño Zn = 2 ( 4 ) = 8 kg zinc
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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UNIDAD
11
REGLA DE TRES
ESTUDIOS GENERALES
117
11 Regla de Tres Concepto Es una de las más usuales aplicaciones de la proporcionalidad que consiste en calcular el valor desconocido de una magnitud relacionado dos o más magnitudes y esta puede ser regla de tres simples o bien regla de tres compuesta. 11.1 Regla de Tres Simple Es cuando intervienen dos magnitudes proporcionales de las cuales se conocen tres valores, dos pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a la otra magnitud y debemos calcular el cuarto valor. La R.3.S. Puede ser de dos tipos: Regla de Tres Directa Se plantea cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales (D.P). En General: Dada las magnitudes A y B directamente proporcionales los valores a; b; c y la incógnita “X”. Se plantea así: MAGNITUD A MAGNITUD B Supuesto: a c ..........................( ) Pregunta: b X (D) Como son magnitudes directamente proporcionales se está indicando por (D) y aplicando la denición se tiene: Despejando la incógnita “X”
Reglas Prácticas REGLA 1°. Una vez planteado se multiplica en “aspa”; es decir, de
se efectúa:
REGLA 2°. Del planteado ( ) la incógnita “X” es igual al valor que está sobre él, multiplicado por la fracción
x=c.
118
Se coloca de manera diferente como se indica en el planteo ( ) ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Ejemplo 1: Si 3 limas cuestan S/. 144, ¿Cuánto se pagará por 7 limas iguales que las primeras? Resolución Las magnitudes que intervienen son la magnitud de cantidad de limas y el costo las cuales son D.P. porque a mayor cantidad de limas el costo será mayor y a menor cantidad de limas el costo será menor y se plantea: Cantidad de limas Costo (s/.) Supuesto: 3 144 Pregunta: 7 X (D) Aplicando la 2da regla práctica, se tiene: x
soles
Observación: Para aplicar esta regla práctica es necesario que la incógnita se ubique en la segunda la además se está indicando con (D) porque son directamente proporcionales. Ejemplo 2: Esmeralda al comprar 5 revistas gastó “x” soles pero si hubiera comprado 12 revistas el gasto sería S/, 28 más. Hallar el valor de X. Resolución Del enunciado se nota que intervienen las magnitudes N° de revistas y el gasto respectivo, el cual se plantea del modo siguiente: Nº Revista Costo (s/.) Supuesto: 5 x Pregunta: 12 x + 28 (D) En este caso es conveniente utilizar la primera regla práctica por lo cual se multiplica en “aspa”: 5 (X + 28) = 12X 5X + 140 = 12X 140 = 7X X = 20
ESTUDIOS GENERALES
119
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MATEMÁTICA
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Regla de Tres Inversa Resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales (I.P) En general: Dada las magnitudes A y B inversamente proporcionales los valores a, b, c y la incógnita “X” se plantean: MAGNITUD A MAGNITUD B Supuesto: a c …………… ( β ) Pregunta: b x (I) Por denición de magnitudes inversamente proporcionales
Reglas Prácticas: • Regla Nº 1. Una vez planteado se multiplica en “Línea” y éstas deben ser iguales, tal como se ha hecho en la solución anterior. • Regla Nº 2. Del planteo (β) la incógnita “X” es igual al valor que se encuentra • sobre ella multiplicado por la fracción ; es decir, se copia igual como está en el planteo. Se copia Igual como está en el planteo ( β )
Ejemplo 3: ¿En qué tiempo 2 albañiles pueden hacer un muro, sí un albañil trabajando solo, lo hace en 8 horas? Resolución Del enunciado se nota que las magnitudes que intervienen son número de albañiles y el tiempo los cuales son inversamente proporcionales, ya que a mayor número de albañiles se demora menos tiempo y a menor número de albañiles mayor tiempo, por lo cual se plantea: N° albañiles Tiempo (horas) Supuesto: 1 8 Pregunta: 2 t (I) Para hallar el valor de “t” se aplica la REGLA Nº 2:
120
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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Ejemplo 4: Un móvil a una velocidad de 90 km/h emplea X horas para recorrer un trayecto pero si aumenta su velocidad a 120 km/h empleara 2 horas menos. Hallar X. Resolución Se sabe que a mayor velocidad demora menos tiempo y viajando a menor velocidad demora más tiempo lo cual indica que la velocidad y el tiempo son I.P. VELOCIDAD TIEMPO Supuesto: 90 X Pregunta: 120 X - 2 (I) En este caso conviene utilizar la REGLA Nº 1 y para ello se multiplica en” Línea”: 90(x) = 120 (x – 2) 3x = 4x – 8 x = 8 horas NOTA: • En una regla de tres cuando se conocen tres valores de los cuatro es conveniente aplicar la regla Nº 1, como el ejemplo (1) y (3). • En una regla de tres cuando se conocen dos valores de los cuatro es conveniente aplicar la regla Nº 2 ya sea multiplicar en aspa si es D.P o multiplicar en línea si es I.P. como el caso del ejemplo (2) y (4). • Los valores correspondientes a una misma magnitud o columna se pueden dividir o multiplicar por el mismo valor y el resultado no se altera. 11.2. Regla De Tres Compuesta Se plantea cuando intervienen más de dos magnitudes. Método de Solución Existen varios métodos de solución, pero en este caso vamos a utilizar las reglas prácticas que se han estudiado en R.3.S directa e inversa y para ello se van a seguir los siguientes pasos: 1º. Se reconocen las magnitudes que interviene en el problema 2º. Se disponen los datos de manera que el valor perteneciente a una misma magnitud se ubique en una misma columna y es adecuada que estén en las mismas unidades. 3º. En la primera la (supuesto) se colocan los datos y en la segunda la (pregunta) los demás incluido la incógnita. 4º. La magnitud en la cual se ubica la incógnita se compara con las demás, indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por (D) o si es inversamente proporcional con (I). 5º. El valor desconocido o incógnita es igual al valor que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se conforman en cada magnitud si es D.P. se coloca de manera Diferente y si es I.P se copia Igual. ESTUDIOS GENERALES
121
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MATEMÁTICA
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Ejemplo 5 Qué rendimiento deben tener 6 obreros que en 16 días trabajando 9h/d han hecho 21m3 de una obra cuya dicultad es como 3, si para hacer 14 m3 de la misma obra de 5 como dicultad se emplearon 8 obreros de 60% de rendimiento durante 12 días de 8 h/d. Resolución Rendimiento N° obreros N° días
H/D
Obra
Dicultad
Supuesto
60%
8
12
8
14
5
Pregunta
X%
6
16
9
21
3
(I)
(I)
(I)
(D)
(D)
Igual
Igual
Igual Diferente
Diferente
X% = 60%.
Nota: • Cuando en una R.3.C intervienen la magnitud número de obreros y el rendimiento de c/u se multiplican porque son I.P y se reemplaza por una sola magnitud que sería el rendimiento total. • Si en un problema se tiene el número de días y las horas diarias ambas se multiplican y se reemplazan por una sola magnitud que sería el tiempo. • Igualmente si se tiene la obra y su respectiva dicultad ambas se multiplican y se reemplazan por la magnitud obra. Rendimiento total 10
122
tiempo 2
obra 10
60 % • 8 <> 80%
12. 8 <> 2
14.5 <> 10
x % • 6<> x%
16.9 <> 3
21.3 <> 9
3
(I)
9
(D)
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
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UNIDAD
12
PORCENTAJE
ESTUDIOS GENERALES
123
12 Porcentaje 12.1. Porcentaje En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que signica “cada 100”). Es a menudo denotado utilizando el símbolo porcentaje %. 20 Por Ciento = 20 = 20 x 1 = 20% 100 100 %=
1
100
12.2. Transformación de Porcentaje a Número Todo porcentaje puede ser expresado como número, se convierte en fracción con denominador 100; por ejemplo: a. 20% = 20 = 100 60 = b. 60%= 100 c. 2,4%= 2,4x d. 0,002%= 12
e.
17
%=
1 5
3 5
1
100
=
1 24 3 x = 10 100 125
2 1 1 x = 1000 100 5000
12 17
x
1
100
=
3 425
12.3. Transformación de Número a Porcentaje Todo número puede ser expresado como porcentaje, multiplicando dicho número por 100 %. Ejemplos: a. 1 < > 1 x 100% = 100 % b. 3 < > 3 x 100% =300 % c. 0,25 < > 0,25 x 100% = 25 % d. 3 3 <> x 100% = 60% 5
e.
124
2
5
4 5
<>
14 5
x 100% = 280%
ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
·
12.4. Adición y Sustracción de Porcentajes de una misma cantidad Se puede sumar y restar porcentaje de una misma cantidad. Ejemplos I: a) 30%.A + 10%.A – 5%.A = 35%.A b) 7%.45%.B + 13%.45%.B = 20%.45%.B c) 37%.40%.25%.B + 23%.40%.25%.B - 20%.40%.25%.B = 40%.40%.25%.B Ejemplos II: a) Una cantidad más su 20% = 120% de la cantidad b) Mi edad menos su 30% = 70% de mi edad c) “C” menos su 40% = 60% de “C” 12.5. Problemas de Aplicación Problemas I: a. Hallar el 30% de 6000. Solución: Recordar que “de”, “del” y “de los”, en el lenguaje matemático representa a la operación de la multiplicación.
30% de 6000 =
30 x6000 = 1800 100
b. Hallar el 0,4% de 50000 Solución: 0,4% de 50000 =
4
10
x
1
100
x 50000 = 200
c. Hallar el 3% del 20% del 5% de 6 x10 4 Solución: 3 20 5 3% del 20% del 5% de 6 x10=4 x x x 6 x 104 = 18 100 100 100
ESTUDIOS GENERALES
125
·
MATEMÁTICA
Problemas II: a. ¿20% de qué número es 70? Solución: 20% de que número es 70
·
20 x N = 70 100
b. ¿4 es el 0,25% de qué número? Solución: 25 x 1 xN=4 0,25%.N = 4 100 100
N = 350
N = 1600
c. Si tuviera 30% más del dinero que tengo, tendría 260 soles ¿Cuánto es el dinero que tengo? Solución: Lo que tengo: T, entonces si tuviera 30% más, tendría 130% de T. 130%.T= 260
130 x T = 260 100
T= 200
d. Si vendiera mi libro de razonamiento matemático en un 40% menos; costaría 6 soles. ¿Cuál es el precio real del libro? Solución: El libro “L” lo estaría vendiendo en un 60% de su valor real. 60%.L = 6
60 x L = 6 100
L= 10
Problemas III a. ¿Qué porcentaje de 80 es 4? Solución: En el lenguaje matemático, “de” es una multiplicación y la palabra “es”, significa igual. P x 80 = 4 Rpta: 5% P%.80= 4 P= 5 100 b. De 460 operarios que existen en una fábrica, 115 son mujeres. ¿qué tanto por ciento de los operarios no son mujeres? Solución: El personal que no son mujeres serán: 460 – 115 = 345 personas ¿Qué porcentaje de 460 es 345?
126
ESTUDIOS GENERALES
·
P%.(460)= 345
MATEMÁTICA
·
P x 460 = 345 100
P= 75
Rpta: 75%
c. En la figura ¿Qué porcentaje representa la parte sombreada? Solución: Si preguntan qué porcentaje representa la parte sombreada, es equivalente a que pregunten qué fracción está sombreada; ya que toda fracción se k puede escribir como porcentaje. Por lo tanto, se hallará la fracción sombreada y luego se convertirá en porcentaje. A cada cuadrito se le asignará una “k”, total se tienen 64K Recordar: “La diagonal de un paralelogramo divide a este en dos triángulos de igual superficie.” Además en “todo paralelogramo al unir cualquier punto de uno de los lados con los extremos del lado opuesto se formará un triangulo, cuya superficie es la mitad del paralelogramo.”
S
área total: 2S Ahora se va a analizar por partes la gura:
El rectángulo contiene 32k por lo tanto la parte no sombreada del lado inferior derecho será 16k,
El rectángulo contiene 18k, por lo tanto la parte no sombreada del lado superior es 9k,
Trabajando en forma similar las otras partes, observamos que la parte no sombreada es 36k
Resumiendo: Total = 64k ; No sombreado = 36k ; Sombreado = 64k – 36k = 24k Fracción sombreada =
ESTUDIOS GENERALES
sombreado 24k 3 = = total 64k 8
127
·
MATEMÁTICA
Porcentaje sombreado =
·
3 x100% = 37,5% 8
Variaciones Porcentuales Se denomina así al cambio que experimenta una cantidad, con relación a su valor original, y que es expresado en forma de Tanto Por ciento. Problemas: a. ¿En que porcentaje se ha incrementado el área de un rectángulo, si la base se incrementó en un 20% y su altura en un 50%? Solución: Método I:
Área Inicial = B.h < > 100% h
La Base aumenta el 20% y su altura aumenta en un 50%
B
150%h
Área Final = 120%B.150%h =
B.h
Área Final = 1,8.B.h 120%B Aplicando regla de tres simple: B.h 1,8 Bh
x = 100%
100%
x 1,8Bh = 180% Bh
El aumento de área en porcentaje fue de: 180% Método II: Con este método no es necesario saber las fórmulas de áreas de los diferentes figuras planas, por que las constantes que existieran en dichas fórmulas se anularían.
128
ESTUDIOS GENERALES
·
MATEMÁTICA
·
A INICIAL = 100%
+20%
+50%
120 x150%= 180% 100 El aumento de área = 180% - 100% = 80% A FINAL = 120% x 150% =
b. ¿La base de un triángulo se ha incrementado en un 10% y la altura ha disminuido en un 40%. ¿En que porcentaje ha variado su área? Solución: A INICIAL = 100% +10%
-40%
110 x 60% = 66% 100 El área disminuye en: 100% - 66% = 34% A FINAL = 110% x 60% =
c. ¿En que porcentaje aumenta el área de un círculo, si su radio aumenta en un 30%? Solución: Área del círculo es πr2 = πr x r , la dimensión de longitud “radio” se multiplica dos veces, entonces el aumento de 30 % se repetirá dos veces y la constante π, se cancela. A INICIAL = 100%
+30%
+30%
130 x 130% = 169% A FINAL = 130% x 130% = 100 El área aumenta en: 169% - 100% = 69%
d. ¿La base de un triángulo aumenta en sus 3/5 y su altura disminuye a la mitad. ¿Cuánto % varía su área? Solución: 3/5 equivale al 60%, entonces la base aumenta en 60% y su altura disminuye en un 50% A INICIAL = 100% +60%
-50%
A FINAL = 160% x 50% = 160 x 50% = 80%
100 El área disminuye en: 100% - 80% = 20% ESTUDIOS GENERALES
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MATEMÁTICA
·
e. El radio de una esfera disminuye en un 20% ¿En que porcentaje varía su volumen? Solución: Nota: En caso de variación de volúmenes, con este método se tendría que realizar 3 variaciones porcentuales “Flechas”, por que la magnitud física de volumen es L3. VINICIAL = 100% -20%
-20%
-20%
VFINAL= 80% x 80% x 80% =
80 80 x x 80% = 51,2% 100 100
El Volumen disminuye: 100% - 51,2% = 48,8%
130
ESTUDIOS GENERALES
·
MATEMÁTICA
·
UNIDAD
13
ÁNGULO
ESTUDIOS GENERALES
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13 Ángulo 13.1. Denición: Recta, Rayo, Semirrecta Recta Conjunto innito de puntos que siguen una misma dirección. Veamos: los puntos A y B determinan una RECTA. Postulados:
A
B r
•
La línea recta posee dos sentidos.
•
La línea recta se extiende indenidamente en ambos sentidos.
•
Dos puntos determinan una recta
•
Por un punto pasan innitas rectas.
Así, la recta puede ser representada de dos maneras: •
Con una letra minúscula: r, s,t,….
•
Con dos letras mayúsculas: AB , CD , …. D
s
E
G
F
H
t
C
u •
Recta …………..o CD
recta t, o………..
recta ……… o ………..
Rayo Se determina en la línea recta tomando un punto como origen y uno de los sentidos.
La gura muestra un rayo donde el punto O se llama origen y forma parte de la gura. Notación:
OA
Semirrecta Es uno de los sentidos de la recta. A diferencia del rayo una semirrecta no considera el origen. Grácamente:
Notación : OA 132
ESTUDIOS GENERALES
·
MATEMÁTICA
·
13.2. Ángulo • Es la región del plano limitado por dos rayos que tienen un origen común. • Parte común a dos semiplanos. • Es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto extremo. • Se llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que tienen el mismo origen. Elementos del ángulo: vértice “O”; lados OA y OB; abertura
lado ángulo cóncavo
ángulo convexo abertura lado 180º < a < 360º
14.2.1. Unidades de Conversión S: sistema sexagesimal C: sistema centesimal R: sistema radial R s c = = 360° 400g 2 p
En el sistema sexagesimal: 1º = 60´ ; 1´ = 60” 90º ≡ p/2
p ≡ 180°
360º ≡ 2p
270º ≡ 3p/2
ESTUDIOS GENERALES
133
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MATEMÁTICA
·
14.2.2. Instrumentos de Medición de Ángulos a. Transportador
b. Goniómetro
c. Falsa escuadra
134
d. Falsa escuadra digital
ESTUDIOS GENERALES
·
MATEMÁTICA
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14.2.2. Clasicación de los Ángulos I. De acuerdo a su medidas a. Ángulo agudo 0º < m ∠a < 90º
b. Ángulo recto m∠a = 90º
c. Ángulo Obtuso 90º < m∠a< 180º
d. Ángulo llano o lineal m ∠a < 180º
e. Ángulo convexo 0° ∠ q < 180º
ESTUDIOS GENERALES
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f. Ángulo no convexo ( o cóncavo) 180° ∠ q < 360º
II. De acuerdo a la posición de sus lados a. Ángulo Adyacentes Son dos ángulos que tienen un lado común
b. Ángulos Consecutivos Son dos o más ángulos adyacentes y están uno al lado del otro.
c. Ángulos Opuestos por el Vértice Tienen el mismo vértice y los lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro: m ∠a= m∠b
III. De acuerdo a la suma de sus medidas a. Ángulos Complementarios
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b. Ángulos Suplementarios
c. Ángulos Replementarios
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13.2.4. Operaciones Con Ángulos Adición Para sumar unidades angulares, debe de disponerse en columnas las unidades de igual denominación (de modo que se correspondan en columnas vertical), ya se vio esto anteriormente. Observar la operación siguiente.
Sólo se pueden sumar magnitudes de la misma especie; esto es, segundo con segundo, minuto con minuto y grado con grado. En cambio, en la suma de unidades angulares, a veces se hace necesario usar las relaciones existentes entre ellas.
Se tendrá entonces una nueva forma la suma (resultado), que pasará a ser:
53° 21’. Pues bien, para que esto ocurra se debe dividir 81’ por 60’, que dará como cociente el número de grados y el residuo -si hubiera- será el número de minutos:
Observar además estos otros ejemplos: 35° 16’
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+
17’ 42” +
45° 45’
20’ 41”
80° 61’
37’ 83”
Respuesta: 81° 1’
Respuesta: 38’ 23”
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Sustracción En la resta se procederá de la misma manera que en la suma haciendo corresponder en columnas las unidades de la misma denominación, y cuando sea necesario, tomando en cuenta las relaciones existentes entre ellas. Observar: 49° 20’ 20º 14’ 29º 6’
¿Cuándo es posible hacer una resta? Sólo es posible efectuar la resta cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo.
Veamos otro ejemplo:
74° 5’ 18º 16’ ? El ángulo 73° 65’ es igual a 74° 5’ 73° 65’ 18º 16’ 55º 49’
De 5’ no se puede restar 16’ Pues bien, la resta se hará de la siguiente manera:
Se pide prestado 1° a los 74°. El minuendo pasará entonces a ser 73° 65’. Ud. debe de haber notado que de los 74° fue retirado 1° quedando entonces 73°, este 1° fue transformado en minutos(1° = 60’=) y después, sumado a los 5’ existentes 60’ + 5’ = 65’ Así fue posible la resta.
Multiplicación Para multiplicar un ángulo por un número natural se debe multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, se transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior. 18º 26’ 35’’ x 3 54º 78’ 105’’ Pero 105” = 1’ 45”, luego 54º 79’ 45” Pero 79’ = 1º 19’, luego 55º 19’ 45” División Para dividir un ángulo por un número natural, dividir los grados entre ese número. Transformar el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y se suma a los que se tenían. Dividir los minutos. Transformar el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y sumar a los segundos que se tenían. Dividir segundos
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66º
45’ 36’’
2º = 120’
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4 16° 41’ 24’’
165’ 1’ = 60’
96’’ 0’’
Ángulos Congruentes ( ≅) Dos ángulos son congruentes cuando tienen igual medida. A
B 30º C
P
R 30º
m∠ABC ≅ m ∠ PQR
Q
Bisectriz de un Ángulo La bisectriz es un rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a éste en dos ángulos de igual medida o congruentes.
OM : Bisectriz
13.3. Teoremas Relativo a los Angulos 1. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos y complementarios forman un Angulo de 45º 2. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman 90º 3. Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales.
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Problemas Resueltos 1. Calcular la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de 120º.
Resolución: La ecuación será:
2. Calcular el valor de la razón aritmética entre el duplo del complemento de la mitad de un ángulo y la tercera parte del suplemento del triple de dicho ángulo.
Resolución: Del enunciado se tiene: ...( I ) Dónde :
*q *x
Medida del ángulo en mención Valor de la Razón Aritmética
En ( I) : x = 180º - q - 60º + q
x= 120º
3. Del gráfco mostrado la medida del ángulo DRO es tres veces la media del ángulo ARE. Calcular el valor de “x”. Si los rayos RD y RO son las bisectrices del ángulo MRA y ERN.
Resolución: Dato: m∠DRO = 3m∠ARE Por tanto: q + b + x = x q + b = 2x ESTUDIOS GENERALES
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Según el gráco:
2q + 2b + x = 90º 2 (q + b ) + x = 90º ... Reemplazamos s: q + b = 2x 2 (2x) + x = 90º 4x + x = 90º 5x = 90º x = 18º
4. Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3/ 5. Calcular la medida del ángulo menor. Resolución: Sea “x” el ángulo menor: x 3 = 180° - x 5 x = 67,5º = 67º 30’ 5. En la siguiente gura, los ángulos AOB y AOC son complementarios. Hallar la medida del ángulo AOX, siendo OX bisectriz del ángulo BOC.
Resolución: Sea m AOX = θ m ∠ AOB + m ∠ AOC = 90º (θ + α ) + (θ – α ) = 90 θ = 45º
6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: m∠AOC = 80º y m∠BOD = 60º. Hallar la medida del ángulo determinado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. Resolución: Se pide: α + β + θ = ? Como: 2 α + β = 80º 2 θ + β = 60º 142
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Al sumar y simplificar: α + β + θ = 70º 7. En la figura, calcular la medida del ángulo AOB.
Resolución: Sea m∠AOB = X Del gráfico, por ángulo de una vuelta: m∠DOB + m∠BOD = 360º ( 210º - X ) + 190º = 360º X = 40º 8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que m∠AOB=20º, m ∠ BOD = m∠DOE y m∠COE = m∠BOC + m∠BOD = 90º. Calcule m∠AOC. Resolución: Piden m∠AOC = ? Sean m∠BOC = α m∠BOD = θ Del enunciado α + θ = 90º ....... ( 1 ) Se Observa 2 θ = 90º + α .........( 2 ) Sumando ( 1) y ( 2) 2 θ + θ = 180º Θ = 60º y α = 30º m∠AOC = 50º
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9. En la siguiente figura, las medidas de los ángulos AOB, BOC, COD, DOE y EOA está, en progresión aritmética. Hallar la medida del ángulo COD.
Resolución: Tomando los ángulos en forma conveniente, siendo la razón aritmética α. ( X - 2 α ) + ( X – α ) + X + ( X + α ) + ( X + 2 α ) = 360º α = 72º
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UNIDAD
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ÁNGULOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
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