Manual de Matematica Financeira

Universidade de Brasília Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade Departamento de Administração

Manual de Matemática Financeira Disciplina: Cálculo Financeiro Professor: Aldery Silveira Jr.

(Apontamentos de Aula e Listas de Exercícios)

Brasília, 2012

Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Exercícios

Sumário INTRODUÇ INTRODUÇÃO ÃO ................ ................................. ................................. ................................. .................................. .................................. ................................. ................................ ................1 1 – CAPITAL CAPITALIZAÇÃ IZAÇÃO O ............... ............................... ................................. ................................. ................................. .................................. .................................. ........................ .......2 ....................................................................................................................... ............................................................ 2 1.1 – C APITALIZAÇÃO SIMPLES ........................................................... 1.1.1 – Fórmulas ............................................................. .................................................................................................................................... .......................................................................2 1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples ............................................................ .................................................................................... ........................ 4 1.2 – C APITALIZAÇÃO COMPOSTA. ..................................................................................................................6 1.2.1 – Fórmulas ............................................................. .................................................................................................................................... .......................................................................6 1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta .......................................................................7

2 – ESTUDO DAS TAXAS ................... .......... .................. ................... ................... ................... ................... .................. .................. ................... ................... .................. ......... 10 ..................................................................................................................... ..........................................................10 2.1 – EQUIVALÊNCIA DE TAXAS ........................................................... 2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples . ..........................................................................10 2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos: ..................................................................10 2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas ................................................................... ............................................................................ .........12 2.2 – T AXAS NOMINAIS ............................................................. .................................................................................................................................. .....................................................................14 2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva ......................................................... ........................................................................................................ ...............................................14 2.2.2 – Exercícios sobre Taxas Nominais ................................................................. ....................................................................................... ...................... 14

3 – DESCONT DESCONTO......... O.......................... .................................. ................................. ................................. .................................. .................................. ................................. ................... ...17 .......................................................................................................... ...............................................18 3.1 – DESCONTO R ACIONAL SIMPLES ........................................................... 3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples ............................................................... .......................................................................... ...........18 3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples ...................................................................19 3.2 – DESCONTO COMERCIAL SIMPLES. .......................................................................................................22 3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples ............................................................. ........................................................................ ........... 22 3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples .............................................24 3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples .................................................................24 ..................................................................................................... .................................27 3.3 – DESCONTO R ACIONAL COMPOSTO ....................................................................

3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto ........................................................... ...................................................................... ...........27 3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto ...............................................................29

4 – EQUIVALÊNCIA EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS CAPITAIS DIFERIDOS .................. ........ ................... .................. ................... ................... .................. ................... .............. .... 31 4.1 – EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO R ACIONAL SIMPLES ...............................31 4.2 – EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO COMERCIAL SIMPLES. ............................32 4.3 – EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM JUROS SIMPLES .......................34 4.4 – EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO R ACIONAL COMPOSTO ..........................37 4.5 – EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM JUROS COMPOSTOS ................38

Professor Aldery Silveira Júnior


Sumário INTRODUÇ INTRODUÇÃO ÃO ................ ................................. ................................. ................................. .................................. .................................. ................................. ................................ ................1 1 – CAPITAL CAPITALIZAÇÃ IZAÇÃO O ............... ............................... ................................. ................................. ................................. .................................. .................................. ........................ .......2 ....................................................................................................................... ............................................................ 2 1.1 – C APITALIZAÇÃO SIMPLES ........................................................... 1.1.1 – Fórmulas ............................................................. .................................................................................................................................... .......................................................................2 1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples ............................................................ .................................................................................... ........................ 4 1.2 – C APITALIZAÇÃO COMPOSTA. ..................................................................................................................6 1.2.1 – Fórmulas ............................................................. .................................................................................................................................... .......................................................................6 1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta .......................................................................7

2 – ESTUDO DAS TAXAS ................... .......... .................. ................... ................... ................... ................... .................. .................. ................... ................... .................. ......... 10 ..................................................................................................................... ..........................................................10 2.1 – EQUIVALÊNCIA DE TAXAS ........................................................... 2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples . ..........................................................................10 2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos: ..................................................................10 2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas ................................................................... ............................................................................ .........12 2.2 – T AXAS NOMINAIS ............................................................. .................................................................................................................................. .....................................................................14 2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva ......................................................... ........................................................................................................ ...............................................14 2.2.2 – Exercícios sobre Taxas Nominais ................................................................. ....................................................................................... ...................... 14

3 – DESCONT DESCONTO......... O.......................... .................................. ................................. ................................. .................................. .................................. ................................. ................... ...17 .......................................................................................................... ...............................................18 3.1 – DESCONTO R ACIONAL SIMPLES ........................................................... 3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples ............................................................... .......................................................................... ...........18 3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples ...................................................................19 3.2 – DESCONTO COMERCIAL SIMPLES. .......................................................................................................22 3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples ............................................................. ........................................................................ ........... 22 3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples .............................................24 3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples .................................................................24 ..................................................................................................... .................................27 3.3 – DESCONTO R ACIONAL COMPOSTO ....................................................................

3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto ........................................................... ...................................................................... ...........27 3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto ...............................................................29

4 – EQUIVALÊNCIA EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS CAPITAIS DIFERIDOS .................. ........ ................... .................. ................... ................... .................. ................... .............. .... 31 4.1 – EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO R ACIONAL SIMPLES ...............................31 4.2 – EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO COMERCIAL SIMPLES. ............................32 4.3 – EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM JUROS SIMPLES .......................34 4.4 – EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO R ACIONAL COMPOSTO ..........................37 4.5 – EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE C APITAIS DIFERIDOS COM JUROS COMPOSTOS ................38



5 – RENDAS (SÉRIE DE PAGAMENTOS OU ANUIDADE) ................... .......... ................... ................... .................. .................. ............... ...... 41 ............................................................................................................. ...............................................43 5.1 – RENDAS DO MODELO B ÁSICO:.............................................................. 5.1.1 – Fórmulas ............................................................. .................................................................................................................................. .....................................................................43 5.1.2 – Exercícios sobre Rendas do Modelo Básico .....................................................................45 5.2 – RENDAS NÃO CONSTANTE DO MODELO B ÁSICO. ................................................................................47 5.2.1 – Fórmulas ............................................................. .................................................................................................................................. .....................................................................47 5.2.2 – Exercícios sobre Rendas não constantes do Modelo Básico .........................................48

6 – USO DE TABELA FINANCEIRA ................................................................................................. 51 6.1 – EXERCÍCIOS COM A UTILIZAÇÃO DE T ABELAS FINANCEIRAS ..............................................................53 ..................................................................................................................................... ......................................................................55 6.2 – INTERPOLAÇÃO ...............................................................

7 – INFLAÇÃO INFLAÇÃO ................ ................................. ................................. ................................. .................................. .................................. ................................. .............................. ..............56 ................................................................................................................................... ................................................................................. ......... 56 7.1 – FÓRMULAS ........................................................... 7.2 – EXERCÍCIOS SOBRE INFLAÇÃO. ............................................................................................................57 8 – SISTEMAS DE DE AMORTIZAÇÃO AMORTIZAÇÃO DE DIVIDA DIVIDA .................. ........ ................... .................. ................... ................... .................. ................... .............. .... 60 8.1 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC. ...............................................................................60 ............................................................................................................................... .....................................................................61 8.2 – SISTEMA FRANCÊS .......................................................... ....................................................................................................................................... .....................................................................61 8.3 – T ABELA PRICE ..................................................................

8.4 – EXERCÍCIOS SOBRE SISTEMAS AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS ...............................................................62

9 – EMPRÉSTIMOS COM COM CORREÇÃO CORREÇÃO MONETÁRIA MONETÁRIA .......................... ................. .................. ................... ................... .................. ............... ...... 63 ............................................................................................ ....................................63 9.1 – PLANILHA DE ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA ........................................................ 9.2 – EXERCÍCIOS SOBRE EMPRÉSTIMO COM CORREÇÃO MONETÁRIA .....................................................64

10 – ENGENHARIA ECONÔMICA .................................................................................................... 67 10.1 – ANÁLISE PELO MÉTODO DA T AXA MÉDIA DE RETORNO. ..................................................................68 10.2 – ANÁLISE PELO MÉTODO DOS PERÍODOS DE P AY B ACK ...................................................................68 ....................................................................................... ......................69 10.3 – ANÁLISE PELO MÉTODO DO V ALOR ATUAL .................................................................

INTERNA DE RETORNO ...............................................................69 10.4 – ANÁLISE PELO MÉTODO DA T AXA INTERNA

10.5 – EXERCÍCIOS SOBRE ENGENHARIA ECONÔMICA ...................................................................... ............................................................................... ......... 70


Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Listas de Exercícios

Introdução O estudo da Matemática Financeira possui uma importância impar para os Agentes Econômicos, Administradores, Contadores, Economistas e Gestores das mais diferentes áreas empresariais, assim como também para as pessoas físicas comuns, já que permite aos mesmos realizarem cálculos mais apurados e realísticos nas suas realizações comerciais e de trabalho onde o conhecimento de Matemática Financeira se faz presente. A Matemática Financeira não é uma propriedade de uma categoria de profissionais ou de um ramo do conhecimento, como a Economia, a Administração, a Contabilidade ou o Direito. a Matemática Financeira possui uma linguagem própria, o que a caracteriza como um ramo do conhecimento. A Matemática Financeira não deve estar restrita aos Agentes que operam o sistema de trocas e que a utilizam como ferramenta para mensurar suas diversas variáveis, o seu conhecimento é útil e necessário para todas as pessoas, independente da profissão que exerçam. As pessoas que desconhecem os princípios da Matemática Financeira são, às vezes, levadas a acreditarem em informações que não estão de acordo com a realidade. Ou seja, são “enganadas” e têm prejuízos em financeiros.

O conhecimento da Matemática Financeira possui uma significativa importância em nossa vida; proporciona o fim de uma escuridão e nos lança com maior clareza para o mundo em que vivemos diariamente, onde somos ativos e passivos a todo o momento, em termos de agente econômico. Esse conhecimento nos faz deixar de ser “vitimas” dos A gentes conhecedores e formadores de preço, juros, e taxas, para sermos pessoas ativas e questionadoras em relação à utilização do nosso dinheiro. No mundo atual, os termos: juros, desconto, paridade de taxa, amortização de dívidas e engenharia econômica, entre tantos outros, fazem parte do nosso linguajar cotidiano e o conhecimento correto dos mesmos nos proporciona, sem nenhuma duvida, um ganho significativo e qualitativo nas nossas transações econômico-financeiras. O presente Manual contém os apontamentos das aulas da disciplina Cálculo Financeiro e é fruto da contribuição do Aluno Alisson Robert Gomes Peixoto, que cursou esta disciplina no 2º semestre de 2006, e das atualizações efetuadas pelo professor da disciplinas nos semestres subseqüentes. Para cada tópico da disciplina, são apresentados: i) as anotações básicas que serão devidamente explanadas pelo professor nas aulas; ii) os exemplos que serão resolvidos e explicados pelo professor; e iii) as listas de exercícios que serão resolvidas pelos alunos, sob a supervisão do professor, durante as aulas.

Professor Aldery Silveira Jr.

1


1 – Capitalização Capitalização corresponde à operação destinada a calcular o valor futuro de um determinado valor presente, considerando uma taxa de juro previamente fixada. Existem dois tipos de capitação, simples e composta, conforme o tipo de juro a que se refira: simples ou composto.

Conceitos Básicos    

Capital: valor que pode ser aplicado com a finalidade de rendimento de juros. Juros: é a remuneração do fator capital – é o dinheiro pago pelo uso do dinheiro. Montante: soma do capital inicial mais os juros recebidos. Taxa de juros: relação entre juros traduzidos e uma unidade de tempo.

Taxa de Juros Existem dois tipos de taxas de juros: taxa percentual e taxa unitária. Nas fórmulas a serem utilizadas no presente curso, a taxa a ser adotada será a unitária.  

Taxa Percentual: é a utilizada na pratica. Ex: 5% ao mês (o todo é 100). Taxa Unitária: é uma taxa técnica. Ex: 0,05 ao mês (o todo é 1).

A taxa unitária é obtida dividindo-se a taxa percentual por 100. Ex: 5/100 = 0,05. Nesta taxa não se utiliza o símbolo da percentagem.

Simbologia: P = Capital i = Taxa de Juros

S = Montante J = Valor dos Juros n = Número de períodos de Capitalização.

1.1 – Capitalização Simples Neste tipo de capitalização apenas o capital inicial rende juros, ou seja, os juros incidem apenas sobre o valor inicialmente aplicado.

1.1.1 – Fórmulas

 P1  i.n

(1)

S

(5)

SPJ

S 1  in



(2)



(6) P = S – J

(8) J = P. i. n Professor Aldery Silveira Jr.

P

(9) P 

J i.n

S P

1



(3) i 



(7) J = S – P (19) i 

n

J P.n



(4) n 

S 1 P i

(11) n 

J P.i

2


Exercícios resolvidos:

(1) Quanto deve ser aplicado hoje à taxa de 5% a.m., para que se resgate $ 3.300,00 ao final de seis meses?

P = ? n = 6 meses P 

S = 3.300,00 i = 5% a.m.  0,05 a.m.

S (1



i . n)



P



3.300,00 (1



0,05 . 6)



P



3.300,00 1,3

P = 2.538,46

(2) Caso você aplique $ 5.000,00 e após 7 meses resgate $ 6.050,00 qual terá sido a taxa de juros dessa operação?

P = 5.000,00 n = 7 meses S i



P



S = 6.050,00 i=?

6.050,00

1

n



i



5.000,00



1

7



i



1,21 7



i = 0,03 a.m.

P = 3% a.m.

(3) Qual o juro produzido por um capital de $ 8.000,00 aplicado à taxa de 24% a.a durante 3 meses?

J = ? n = 3 meses

P = 8.000,00 i = 24% a.a.



i = 0,24 a.a.

Obs.: como o período da taxa está diferente do período do tempo, faz-se necessária a transformação de uma dessas variáveis. Como ainda não foi visto a transformação de taxa, para a resolução do exercício,deve-se transformar o tempo  3 meses = 0,25 ano.

J



P . i . n



J



8.000,00 . 0,24 . 0,25

J = 480,00


3


1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples 1)

O banco “X” empresta ao Sr. Carlos a quantia de $ 300.000,00, à taxa de 5% ao ano,

para ser paga após três anos e meio. Calcule o montante dessa operação. R: S = $ 352.500,00 2)

A que taxa devemos aplicar um certo capital para que, em 8 meses, ele dobre de valor? R: i = 12,5% a.m.

3)

Um capital de $ 7.000,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano e meio, à taxa de 15% a.s. Calcular os valores dos juros e do montante obtidos no final deste prazo. R: J = $ 3.150,00; S = $ 10.150,00

4)

Um capital de $ 900,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 5% a.a., sendo obtidos $ 15,00 de juros. Calcular o prazo de aplicação em meses. R: n = 4 meses

5)

A empresa Monitoria S/A aplicou o valor de $ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m. e pretende sacar o valor após 12 meses. Qual o montante a ser regatado? R: S = $ 5.900,00

6)

Certo cliente adquire um titulo por $ 60.000,00 e resgata $ 119.350,00, após 9 meses. Qual a taxa de juros dessa operação? R: i = 10,9% a.m.

7)

Qual o juros recebido por um comerciante que investe $ 20.000,00, à taxa de 5% a.m., durante 2 meses? R: $ 2.000,00

8)

Calcular o prazo, em anos, necessário para um capital triplique de valor, caso seja aplicado à taxa de 10% a.t. R: n = 5 anos

9)

Um capital aplicado por 16 meses gerou $ 13.440,00 de juros. Sabendo que a taxa de juros mensal foi de 6%, calcule o valor do capital inicial. R: P = $ 14.000,00

10) Qual será o valor dos juros de um capital de $ 3.145,00, aplicado a uma taxa de 0,5% a.m., durante 1 ano e meio? R: J = $ 283,05 11) Um capital de $ 4.250,00, aplicado a uma taxa de 3% a.m., produziu um montante de $ 6.162,50. Qual foi o período de aplicação? R: n = 15 meses = 1 ano e 3 meses 12) Danilo decidiu investir $ 1.035,00 em ma instituição financeira que opera com uma taxa de juros simples de 1,8% a.m., durante 1 ano. Qual será o montante ao final do período? R: S = $ 1.258,56 13) Um empréstimo de $ 15.000,00 foi feito para ser pago em 24 meses, foi liquidado, ao Professor Aldery Silveira Jr.

4


final do período, por $ 23.000,00. Qual a taxa de juros uti lizada? R: i = 2,22% a.m. 14) Em quantos meses um capital de $ 750,00 renderá juros igual a um terço de seu valor, se aplicado a uma taxa de 6,67% a.m.? R: n = 5 meses 15) Gilberto solicitou em seu banco um empréstimo de $ 6.000,00. O pagamento será feito em 36 meses com incidência de juros de 2,7% ao mês. Qual o valor a ser pago para liquidar a dívida? R: S = $ 11.832,00 16) Por um empréstimo de $ 12.450,00, pagou-se $ 3.200,00 de juros. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada foi de 1,79% a.m., qual foi o período dessa operação? R: n = 14 meses e 11 dias 17) Leonardo solicitou um empréstimo de $ 3.990,00 para pagar em 6 meses. A financeira cobrou juros de 1,97% a.m. Qual o valor dos juros a pagar? R: J = $ 471,62 18) Qual a taxa de juros cobrado por um banco, sabendo que por um empréstimo de $ 500,00 pagou-se $ 115,00 de juros, em 3 meses? R: i = 7,67% a.m. 19) Qual o capital que aplicado a juros simples de 12% a.a., durante 5 meses, gerou um montante de $ 1.260,00? R: P = $ 1.200,00 20) Ao se aplica a importância de $ 5.000,00, à taxa de 8% a.a., obtém-se, após certo período, o montante de $ 6.000,00. Qual é o período de aplicação? R: n = 2 anos e 6 meses


5


1.2 – Capitalização Composta Nesse tipo de capitalização os juros produzidos em cada período são capitalizados, formando um novo capital que irá render juros no período seguinte. P0 P0+J1 = P1 P1+J2 = P2 P2+J3 = P3 P3+J = S |-----------------|--------------------|-------------------|-------------------| 0 1 2 3 4

1.2.1 – Fórmulas

(1)

S

(2) P

 P1 i n



S

1  i

n

(3)

P

 S1  i

1

(4) i    S   1

(5)

(7) S = P+J

(8) P = S – J

n

 P 

(10)

i



S n

P

 1

n J  P 1  i  1

Log

(6)

n

(9)

J  P1  i

n

S P

Log1  i n

(11) P 

P

J

1  i  1 N

Exercícios resolvidos (1) Caso você aplique $ 3.500,00 em uma instituição financeira que pague juros de 2,75% a.m., quanto resgatará no final de sete meses? P = 3.500,00 n = 7 meses

i = 2,75% a.m. = 0,0275 a.m. S=?

S  3.500,00.(1  0,0275)7 S = 3.500,00 . 1,209129491

S = 4.231,95 Resolução pela HP 12-C – sequência de teclas: 1,0275 ENTER 7



3500 X .

(2) Caso você aplique $ 7.000,00 em uma instituição e ao final e cinco meses resgate a importância de $ 8.640,12 qual terá sido a taxa de juros dessa operação? P = 7.000,00 S = 8.640,12


n = 5 meses i =?

6


i =

  – 1





i = 0,043 a.m

i = 4,3% a.m. Resolução pela HP 12-C: 8.640,12 ENTER 7.000 ÷ 5 1/x



1 - 100 X .

(3) Qual o tempo necessário para que um capital de $ 10.000,00 dobre de valor, se aplicado a taxa de 20% a.a.? n=? P = 10.000,00 S = 20.000,00 I = 20% a.a.

  n=  



n=

n = 3,801784017 anos

   



n = 3 anos, 9 meses e 19 dias

Resolução pela HP 12-C: 2 g LN 1,2 g LN ÷ Como transformar 3,801784017 para números inteiros na HP 12-C: 3,801284017 ENTER

3 - .12 x . 9 - . 30 x

(4) Qual o juro produzido por um capital de $ 6.500,00, aplicado a taxa de 15% a.a., durante seis meses? J = ? P = 6.500,00 J

i = 15% a.a. = 0,15 a.a. n = 6 meses = 0,5 ano

 6.500 [ (1  0,15 )0,5  1 ]



J = 6.500 . 1,072380529

J = 470,47 Resolução pela HP 12-C: 1,15 ENTER 0,5



6500 X .

1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta 1)

Calcule o montante de uma aplicação de $ 50.000,00 pelo prazo de 6 meses, à taxa de juros compostos de 6% a.m. R: S = $ 70.925,96

2)

Quanto deverei aplicar hoje para ter direito a receber a importância de $ 500.000,00 daqui a 5 anos, se a taxa de juro composto adotada for 15% ao ano? R: P = $ 248.588,37


7


3)

Caso você aplique R$ 1.000,00 hoje e após 18 meses resgate a importância total de R$ 1.320,00, qual terá sido a taxa de juros composta dessa operação? R: i = 1,55% a.m.

4)

Em quanto tempo um capital de $ 1.650,00 produzirá um montante de $ 1.776,87, se aplicado a uma taxa composta de 2,5% a.m.? R: n = 3 meses

5)

Qual o valor dos juros produzidos por um capital de $ 2.500,00, aplicado à taxa de 4% a.m., durante 12 meses? R: J = 1.502,58

6)

Rivaldo, desejando viajar no próximo ano, decidiu aplicar $ 2.200,00 e resgatar daqui a 12 meses, fins custear a viagem. Sabendo que a instituição financeira paga juros compostos de 1,2% a.m., qual será o montante a ser resgatado ao final do período? R: S = $ 2.538,57

7)

Um capital de $ 7.000,00, aplicado durante 6 meses, proporcionou ao aplicador um montante de $ 8.117,85. Qual a taxa de juros compostos dessa operação? R: i = 2,5% a.m.

8)

O que é mais vantajoso? Investir $ 5.000,00 durante 2 anos a juros compostos de 2% a.m. ou investir $ 5.000,00 durante 2 anos, a juros simples de 3% ao mês. R: Investir os 5.000 reais sob o regime de juros simples

9)

Um investidor investiu $ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m., durante um ano. Qual será o valor a ser resgatado ao final do período? S = $ 5.978,09

10) Um capital de $ 5.000,00, aplicado à taxa de 20% a.m., produzirá um montante de $ 10.000,00 em quanto tempo? R: n = 3 meses e 24 dias 11) Um investidor aplicou $ 45.000,00 em uma instituição financeira que opera com juros compostos de 3,55% a.t., pelo período de 1 ano. Qual o valor dos juros dessa operação? R: J = $ 6.738,39 12) Saul contraiu uma dívida de $ 2.000,00 para ser quitada após 2 anos e meio. Ao final do prazo contratado, Saul quitou a dívida com um único pagamento de R$ 3.400,00. Qual a taxa de juro composta mensal dessa operação? R: i = 1,78% a.m. 13) Quantos dias são necessários para que um capital de $ 35.000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m., produza juros de $ 11.585,00? R: n = 90 dias 14) Um determinado título de capitalização, com valor de face de $ 6.000,00, remunera o aplicador com juros de 3% ao mês. O prazo de aplicação é de 18 meses. Qual será o valor de resgate desse título ao final do prazo contratado? R: S = $ 10.214,60 Professor Aldery Silveira Jr.

8


15) Qual a taxa de juro composta mensal que faz um capital dobra de valor em 6 meses? R: i = 12,25% a.m. 16) Uma pessoa tem uma dívida no valor de $ 900.000,00, a ser saldada daqui a 6 meses. Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de 7% a.m. para que, ao final de 6 meses, disponha da importância necessária para saldar o seu compromisso, considerando o regime de juros compostos? R: P = $ 599.708,00 17) Um capital de $ 5.000,00 produz juros de $ 800,00 em um período de 4 meses. Qual a taxa mensal de juros compostos? R: i = 3,78 a.m. 18) Uma pessoa compra um lote de ações na Bovespa por $ 1.250,00. Depois de 1 mês resolve vender suas ações por $ 1.500,00. Qual foi a rentabilidade, em termos percentuais, auferida por essas ações? R: i = 20% a.m. 19) Em quanto tempo um capital pode produzir juros a 70% de seu valor se aplicado a 5.72% ao mês? R: 9 meses e 16 dias 20) Bruno pede emprestado a um colega a importância de $ 1.250,00 para consertar o seu carro. Tal amigo o empresta, porém cobra uma taxa de juro composto de 1,5% ao mês. Ao final dos 6 meses, quanto Bruno deverá pagar ao seu amigo para liquidar a dívida? R: S = $ 1.366,80


9


2 – Estudo das Taxas Neste tópico, estudaremos equivalência de taxas em juros simples e compostos, e as taxas nominais – taxas onde o período de capitalização difere do período do tempo.

2.1 – Equivalência de taxas Duas taxas são ditas equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo espaço de tempo, porém com períodos de aplicação diferentes, produzem o mesmo juro ou o mesmo montante.

2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples Fórmulas: 1)

iK



2) i  i

K

i

Onde: iK = Taxa do menor período i = Taxa do maior período k = Maior período / menor período

k

.k

2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos: Fórmulas: 1) i  1 iK k  1. 1

2) ik  1  ik  1. 3) iK  k 1 i  1

Exercícios resolvidos (1) Se aplicado $ 3.000,00 à taxa de 3,2% a.m., quanto será resgatado ao final de 13 dias? (juros simples). P = 3.000,00 n = 13 dias

i = 3,2% a.m. S=?

Obs.: tem-se aqui uma taxa mensal e queremos saber qual a taxa diária equivalente, ou seja, temos que calcular a taxa do menor período (ik) i = 3,2% a.m. = 0,032 a.m. ik = ? (taxa diária)


10


ik



S



i k



ik



P (1

0,032



30

= 0,001066667 a.d. (obs.: k = mês dividido por dia = 30)

i . n)

S  3.000,00. (1  0,001066667 .13)



S  3.000,00 . 1,0138666667

S = 3.041,60 Resolução pela HP 12-C: 0,0010667 ENTER 13 x 1 + 3.000 X .

(2) Quanto deverá ser aplicado hoje, à taxa de 5,4% ao trimestre, para que se resgate $ 10.000,00 ao final de um ano? (juros simples). P = ? i = 5,4% a.t. = 0,054 a.t. S = 10.000,00 n = 1 ano Obs.: neste caso, tem-se uma taxa mensal e queremos saber qual a taxa anual equivalente, ou seja, temos que calcular a taxa do maior período (i). 

i = ik . k P 

i = 0,054 . 4 = 0,216 a.a. (obs.: k = ano dividido por trimestre = 4)

S (1



i . n)

 P



10.000,00 (1



0,216 . 1)

 P



10.000,00 (1,216)

P = 8.223,68 Resolução pela HP 12-C: 10.000,00 ENTER 1,216 ÷ .

(3) Qual o juro produzido por um capital de $ 6.000,00, aplicado à taxa de 13% a.a., durante cinco meses? (juros compostos). J = ? n = 5 meses

P = 6.000,00 i = 13% a.a. = 0,13 a.a.

Obs.: a taxa é dada em ano e queremos saber qual a taxa mensal equivalente, ou seja, devemos calcular a taxa do menor período (ik).

ik

 k 1 

ik



i



1



ik

 12 1 

0,13



1

(obs.: k = ano dividido por mês = 12)

0,010236844 a.m.

Resolução pela HP 12-C: 1,13 ENTER 12 1/x




1 -.

11

Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Listas de Exercícios 

J



J

 6.000,00 . 0,052242932

P [

(1 

)n  1 ]

J

i

6.000,00 [ (1



0,010236844 ) 5



1]

J = 313,45 Resolução pela HP 12-C: 1,010236844 ENTER 5



1 -. 6000. x.

(4) Se aplicado $ 8.000,00 em uma financeira que pague juros de 2,5% a.m., quanto será resgatado ao final de três anos? (juros compostos). P = 8.000,00 n = 3 anos

i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m. S=?

Obs.: a taxa é dada em mês e queremos saber qual a taxa anual equivalente, ou seja, temos que calcular a taxa do maior período (i).

i



(1



ik )k



1



i



(1



0,025)12



1

i = 0,344888824 a.a. (obs.: k = ano dividido por mês = 12) Resolução pela HP 12-C: 1,025 ENTER 12



1 -.

 P (1  i)n S  8.000,00 (1  0,344888824)3 S  8.000,00 2,432535314 S

S = 19.460,28 Resolução pela HP 12-C: 1,344888824 ENTER 3



8000 x.

2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas 1) Qual o montante produzido por um capital de $ 1.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 17,28% ao ano, durante 6 meses? R: S = $ 1.086,40 2)

Um capital $ 30.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 0,99% ao mês, durante um biênio, produzirá o montante de ..... R: S = $ 37.128,00

3)

Qual é o valor dos juros simples produzidos por um capital de $ 1.000,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, durante 21 dias? R: J = $ 35,00


12


4)

Um determinado banco paga juros compostos de 6% ao trimestre. Se uma pessoa necessitar dispor de $ 6.000,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar hoje nesse banco? R: P = $ 2.981,82

5)

Um banco publica em suas agências o seguinte anú ncio: “Aplique $ 1000,00 hoje e receba $ 1.900,00 ao final de 6 meses”. Determinar as taxas semestral e mensal de

juros compostos oferecidas por este banco. R: i = 90% a.s. e 11,29% a.m. 6)

Uma aplicação de $ 6.700,00, efetuada à taxa de juros compostos de 36% ao ano, durante 7 meses, produzirá juros no valor de ...... R: J = $ 1.316,27

7)

Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada num empréstimo de $ 64.000,00, que deverá ser quitado no prazo de 117 dias, por $ 79.600,00? R: i = 5,75% a.m.

8)

Uma aplicação de $ 3.800,00 proporcionou um rendimento de $ 2.400,00 no final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros compostos dessa operação. R: i = 0,24% a.d.; i = 7,32% a.m.; i = 23,59% a.t.; e i = 133,33% a.a.

9)

Quanto uma pessoa resgatará ao final de 93 dias se aplicar $ 2.000,00 à taxa de 150% ao ano (Juros Compostos)? R: S = $ 2.534,14

10) Determinar o montante produzido por uma aplicação de $ 200.000,00, admitindo os seguintes prazos e taxas compostas: a) i = 5% a.m., durante 2 anos b) i = 12% a.t., durante 1 ano e meio R: a) S = $ 645.020,00 e b) S = $ 394.764,54


13


2.2 – Taxas Nominais Forma de apresentação: 72% a.a.c.c.m (ao ano com capitalização mensal) Sempre que nos deparamos com uma taxa nominal, faz-se necessário se calcular a taxa efetiva, ou seja, devemos determinar qual a verdadeira taxa que está por trás da taxa nominal.

2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva Calcula-se a taxa efetiva por meio de dois passos: 1) Calcular a taxa efetiva do menor período utilizando a formula de equivalência de taxas de juros simples: i if K  k 2) Calcular a taxa efetiva do maior período utilizando a formula de equivalência de taxas de juros compostos:

if

 1  if k k  1

Resolução da taxa efetiva da taxa nominal 72% a.a.c.c.m.: Passo 1  if K 

0,72 12

 0,06 ao mês

Passo 2  if  1  0,06  1  101,22% ao ano. 12

2.2.2 – Exercícios resolvidos sobre Taxas Nominais 1)

Determinar o valor dos juros produzidos por um capital de $ 15.000,00, aplicado às taxa de 48% a.a.c.c.m., durante 2 anos. J = ? i = 48% a.a.c.c.m.

P = 15.000,00 n = 2 anos

Cálcul o da taxa efetiva: 1º passo:

if k



calcular a taxa efetiva do menor período utilizando a fórmula de equivalência de taxas de juros simples

i k



if k




0,48 12



if k



0,04 a.m. Obs.: k = ano/mês = 12

14

Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Listas de Exercícios 2º passo:

if  (1

calcular a taxa efetiva do maior período utilizando a fórmula de equivalência de taxas de juros compostos



if k )k



1



if  (1



12

0,04)



1



if  0,601032212 a.a.

Cálcul o dos Jur os: 

J

 15.000,00 [ (1  0,601032212 ) 2  1 ]

J

 15.000,00 1,563304166

P [

(1 

)n  1 ]

J

i

J = 23.449,56 Resolução pela HP 12-C (de forma integrada): 0,48 ENTER 12 ÷. 1 +. 12

 2 

1 -. 15000 x.

2) Caso você aplique $ 3.000,00, às taxa de 6,78% a.m.c.c.d., por 7 meses, quanto resgatará ao final do período? P = 3.000,00 n = 7 meses

i = 6,78% a.m.c.c.d. S=?


if k




i k

2º passo:

if  (1



if k

0,0678



30



if k



0,00226 a.m. Obs.: k = mês/dia = 12




if k )k



1



if  (1



0,00226)30



1



if  0,070069395 a.m.

Cálcul o do M ontante:

 P (1  i)n S  3.000,00 (1  0,070069395)7 S  3.000,00 . 1,606510621 S

S = $ 4.819,53 Resolução pela HP 12-C (de forma integrada): 0,0678 ENTER 30 ÷ . 1 +. 30


 7 

3000 x.

15


3) O Banco Alfa opera com uma taxa de 15% a.t.c.c.m. Se você efetuar um empréstimo de $ 5.000,00 nesse banco, quanto desembolsará ao final de 2 anos para liquidar a dívida? i = 15% a.t.c.c.m n = 2 anos = 8 trimestres

P = 5.000,00 S=?


i



if k


k

2º passo:

if  (1

if k



0,15



3





if k

0,05 a.m. Obs.: k = trimestre/mês = 3






k

if k )

1

if  (1





0,05)

3



1



if  0,157623 a.t .

Cálcul o do M ontante:

S



P (1



i)n



S



5.000,00 (1



0,157625)8



S



5.000,00 . 3,225099944

S = 16.125,50 Resolução pela HP 12-C (de forma integrada): 0,15 ENTER 3 ÷. 1 +. 3

 8 

5000 x.

4) Dada a taxa de juros 120% a.a.c.c.m., quais são as taxas efetivas mensal e anual?

Cálculo das taxas efetivas: 1º passo:

if k



if k




i k

if  (1



if k

1,2



12



if k



0,1 a.m. Obs.: k = ano/mês = 12

10% a.m.

2º passo:

if






if k )

k



1



if  (1



12

0,1)



1



if  2,138428377 a.a.

213,84% a.a.


16


3 – Desconto Desconto é uma operação inversa à Capitalização, ou seja, corresponde a trazermos um valor do futuro para a data presente, descontando os juros que estão embutidos nesse valor. O Desconto corresponde ao abatimento obtido por se saldar uma dívida antes do vencimento.

Conceitos básicos: 





Valor de face: valor de um titulo na data de sua emissão. Valor nominal: valor de um titulo na data de seu vencimento. Valor atual: valor de um titulo em uma data intermediaria entre a de emissão e a de vencimento.

Obs.: Titulo – denominação genérica para qualquer tipo de dívida (Nota Promissória, Duplicata, etc.). Tipos de Desconto Existem dois tipos de descontos: Racional e Comercial. Ambos podem ser utilizados tanto em juros simples quanto em juros compostos. O Desconto Racional corresponde à verdadeira operação de Desconto. O Desconto Comercial nada mais é do que uma variação do Desconto Racional adotada pelo Mercado.

Racional (por dentro)

Simples

Comercial (por fora)

Composto

Desconto:

Quanto ao Desconto Comercial, na prática, o mesmo é utilizado somente sob o regime de juros simples.

Simbologia utilizada nas operações de desconto: N - Valor Nominal Dr - Valor do Desconto Racional Simples

Vr - Valor Atual Racional Simples Dc - Valor do Desconto Comercial Simples

Vc - Valor Atual Comercial Simples Professor Aldery Silveira Jr.

Drc - Valor do Desconto Racional Composto

Vrc - Valor Atual Racional Composto i - Taxa de Desconto n - Número de períodos que faltam para o vencimento da dívida 17


3.1 – Desconto Racional Simples Neste tipo de Desconto, a taxa é aplicada sobre o Valor Atual, sobre o número de períodos que faltam para o vencimento da dívida.

3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples

1)

N  VR 1 i.n



2) N = Vr + Dr 3) DR



VR



N 1

 i.n

Vr = N – Dr



i

N VR

1

n



n

N VR

1 i

.

Dr = N – Vr

N.i.n . 1  i.n

Exemplo: N = 10.000,00 n = 3 meses Vr = ?

I = 10% ao mês Dr = ?

10.000.0,1.3  Dr = 2.307,69. 1  0,1.3 Vr = 10.000,00 – 2.307,69 DR



Vr = 7.692,31 Exercícios resolvidos (1) Caso você desconte um título de R$ 35.000,00 15 dias antes do vencimento, a uma taxa de 5,5% a.m., qual será a importância recebida? N = 35.000,00 n = 15 dias = 0,5 mês

V R



V R



i = 5,5% a.m. = 0,05 a.m. Vr = ?

N 1



i. n

35.000,00 1



0,055 . 0,5

Vr = 34.063,25 Professor Aldery Silveira Jr.

18


(2) Um título foi descontado à taxa de 2% a.m. Sabendo-se que o valor nominal era $ 7.414,00 e o valor descontado racional $ 6.740,00, qual o prazo da antecipação? N = 7.414,00 Vr = 6.740,00 N n



V R



i = 2,% a.m. = 0,02 a.m. n=? 7.414,00

1 

i

n



6.740,00 R



1

0,02

n = 5 meses

(3) Uma promissória com valor nominal de $ 275.820,00 e vencimento para 75 dias foi descontada á taxa de 90% a.a. Qual o valor do desconto racional dessa operação? N = 275.820,00 n = 75 dias = 2,5 meses D R



D R



i = 90% a.a. = 0,9 a.a. Dr = ?

 0,075

a.m.

N . i . n 1



i . n

275.820,00 . 0,075 . 2,5 1



0,075 . 2,5

Dr = 43.550,52

3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples 1)

Marta descontou um Título no valor de $ 15.000,00, 1 mês e 15 dias antes do vencimento, considerando que a taxa cobrada foi de 4,5% a.m. Qual o valor do desconto racional simples? R: Dr = $ 948,48

2)

Desconta-se racionalmente uma Nota Promissória 9 meses antes do vencimento, a uma taxa de 5,8% a.m. Sabendo que o valor descontado foi $ 5.250,00, qual era o valor nominal dessa Nota Promissória? R: N = $ 7.990,50

3)

Uma Nota Promissória com valor nominal de $ 25.000,00 foi descontada 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de 4% a.m. Qual o valor do desconto racional simples? R: Dr = $ 2.678,57


19


4)

Paulo, ao resgatar um Título com valor nominal de $ 50.000,00 sob o critério de desconto racional simples, desembolsou a quantia de $ 32.000,00. Considerando que a operação foi efetuada com base em uma taxa de 23% a.a., calcule o período de antecipação. R: n = 2 anos, 5 meses e 10 dias

5)

Qual o valor a ser pago hoje por uma Duplicata de $ 58.000,00, com vencimento para 60 dias, se for descontada sob o critério de desconto racional simples, a uma taxa de 3% a.m.? R: Vr = $ 54.716,98

6)

Ao descontar um título com valor nominal de $ 1.200,00, com vencimento para 16 de outubro, Manuel obteve o valor de $ 1.110,00, em 1º de setembro do mesmo ano. Qual foi a taxa mensal de desconto racional simples utilizada pelo banco? R: i = 5,41% a.m.

7)

Uma Nota Promissória foi descontada 1 ano antes do vencimento, a uma taxa de 20% ao ano. Usando o desconto racional simples e sabendo-se que valor atual foi de $ 30.000,00, qual seria o seu valor nominal? R: N = $ 36.000,00

8)

Uma dívida de $ 10.000,00 será saldada 2 meses antes de seu vencimento. Qual será o valor do desconto racional simples, se a taxa de juros for de 16% a.m.? R: Dr = $ 2.424,24

9)

Quanto devo pagar por um Título com valor nominal de $ 10.000,00, com vencimento para daqui a 60 dias, se desejo ter uma taxa de retorno de 24% ao ano? (desconto racional simples) R: Vr = $ 9.615,38

10) Antecipando 3 meses um Título com valor nominal de $ 600,00, obtenho um desconto de $ 41,86. Qual é a taxa de desconto racional simples mensal dessa operação? R: i = 2,5 % a.m. 11) Ao descontar um Título no valor de $ 46.800,00, a uma taxa de 6,7% a.m., 6 meses de antes do vencimento, o valor do desconto racional simples será .... R: Dr = $ 13.419,11 12) Quanto devo pagar por uma Promissória com valor nominal de $ 24.000,00, com vencimento para 9 meses, se pretendo obter um rendimento de 12% a.t? R: Vr = $ 17.647,06 13) Uma Duplicata foi descontada a uma taxa de 4,5% a.m., 210 dias antes do vencimento. Sabendo que o valor atual racional foi $ 19.452,48, calcule o valor nominal dessa Duplicata. R: N = $ 25.580,01 14) Em uma operação de desconto racional simples, com uma taxa de 12% a.m., o valor atual de um Título é igual à metade do seu valor nominal. Qual o tempo necessário para que isso ocorra? R: n = 8 meses e 10 dias Professor Aldery Silveira Jr.

20


15) Calcular o valor do desconto racional simples de um título com valor nominal de $ 10.900,00, descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa 3% a.m. R: Dr = $ 900,00 16) Se um Título for resgatado três meses antes do vencimento por $ 53.409,00, à taxa de desconto racional simples de 84% a.a., qual é o valor nominal desse Título? R: N = $ 64.624,89 17) Uma Nota Promissória foi descontada racionalmente com 78 dias de antecipação por $ 3.652,00, à taxa de juros simples de 4% a.m. Qual o valor do desconto auferido nessa operação? R: Dr = $ 379,80 18) Marina possui um CDB de $ 1.300,00, com vencimento para daqui a 3 meses. A fim de comprar um notebook que está em promoção para pagamento à vista, ela pretende descontar esse Título hoje. Considerando o critério de desconto racional simples e taxa de 1,5% a.m., qual será o valor de resgate desse CDB? R: Vr = $ 1.244,02 19) Diego resgatou um Título de $ 1.150,00, a uma taxa de desconto racional simples de 2% a.m., tendo recebido a importância de $ 1.045,45. Quanto foi o período de antecipação dessa operação? R: n = 5 meses 20) Se uma dívida de $ 6.462,20 for quitada 60 dias antes do prazo estabelecido, à taxa de juros de 60% a.a., qual será o valor do desconto racional simples? R: Dr = $ 587,47


21


3.2 – Desconto Comercial Simples Neste tipo de Desconto, a taxa de juros é aplicada sobre o Valor Nominal, vezes o número de períodos que falta para o vencimento da dívida.

3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples 1)

Dc  N.i.n



N

Dc i.n

2)

N  Vc  Dc



Vc

 N  Dc

3)

Vc  N1 i.n

4)

Dc

 Dr 1 i.n



Vc N 1  i.n



Dr 

Dc N.n



i 



Dc  N  Vc .

 

i

Vc N n



n 

1

Dc N.i

 

n

Vc N i

1

Dc 1  i.n

Exemplo: N = 10.000,00 n = 3 meses Vc = ?

i= 10% a.m. Dc = ?

Dc = 10.000,00. 0,1. 3 = 3.000,00. Vc = 10.000,00 – 3.000,00 = 7.000,00. Vc = 7.000,00

Exercícios resolvidos (1) Qual o valor atual comercial recebido pelo detentor de um titulo de $ 4.000,00, descontados três meses antes do vencimento, a uma taxa de 7% a.m. Calcule a taxa efetiva de desconto comercial dessa operação. N = 4.000,00 n = 3 meses

VC V C

i = 7% a.m. = 0,07 a.m. Vc = ?

 N (1  i . n)  4.000,00 (1  0,07 . 3)

Vc = 3.160,00


22


(2) Uma duplicata de $ 180.000,00 foi descontada 4 meses antes de seu vencimento. Considerando uma taxa de desconto simples de 60% ao semestre, calcule o valor do desconto e o valor recebido pelo detentor da duplicata. N = 180.000,00 n = 4 meses Vc = ?

i



i k

DC



0,6



ik



k

i = 60% a.s. = 0,6 a.s. Dc = ?

N . i . n



6 

DC

ik = 0,1 a.m.



180.000,00 . 0,1 . 4

Dc = 72.000,00



V C

N



DC



VC = 180.000,00 – 72.000,00

Vc = 108.000,00

(3) Um título a vencer em 120 dias, no valor de $ 13.000,00 foi descontado por $ 11.400,00. Calcular a taxa anual de desconto comercial simples e a taxa efetiva de desconto. n = 120 dias Vc = 11.400,00 if = ?

N = 13.000,00 ia = ?

Obs.: ao se calcular a taxa, a mesma sairá em dia, pois o tempo está em dia. Como o exercício pede a taxa anual, há necessidade de se calcular a taxa anual equivalente à taxa diária.



V C



N

i



i

 ik . k



1  i

n



11.400,00 13.000,00



 i

120

ia = 0,001025641 . 360 = 0,0369230769 a.a.

N i f

i





V C

 ik . k

13.000,00

1 

n 

i f

1



11.400,00 120





= 0,001025641 ao dia

i = 36,92% a.a.

1 

if = 0,001169591 ao dia

0,001169591 x 360 = 0,421052631 a.a.




I f = 43,11% a.a .

23


3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples A taxa de Comercial Simples é uma taxa nominal, e, como tal, deve ser calculada a taxa efetiva, que é obtida utilizando-se a seguinte fórmula?

N i f



VC

 1 n

Exemplo: Um título no valor de R$ 10.000,00 foi descontado 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de 10% a.m., tendo o detentor do mesmo recebido a importância de R$ 7.000,00. Sabendo-se que esse título foi descontado sob o critério de desconto comercial simples, calcular a taxa de juros efetiva dessa operação; N = 10.000,00 Vc = 7.000,00 If = ? N i f



V C



i = 10% a.m. n = 3 meses

10.000

1

n



if 

7.000 3

1

if = 14,29% a.m.

3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples 1)

Uma Duplicata com valor nominal de $ 12.000,00 foi descontada 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de 17,17% ao ano. Qual foi o valor do desconto comercial simples? R: Dc = $ 343,40

2)

Uma Duplicata no valor nominal de $ 25.000,00 foi liquidada 12 meses antes do seu vencimento. Foi pago por ela a importância de $ 18.960,00. Calcule a taxa de desconto comercial simples da operação e a taxa efetiva que vigorou na transação. R: i = 2,01% a.m.; if = 2,65% a.m.

3)

André decide descontar um Título três meses antes do vencimento. Sabendo que o valor do título é $ 4.500,00 e que a taxa de desconto é de 1,5% a.m., qual o valor do desconto comercial? R: Dc = $ 202,50


24


4)

Qual o valor atual comercial de uma Duplicata com valor nominal de $ 5.000,00, que foi descontada 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto simples de 1,5% a.m.? R: Vc = $ 4.775,00

5)

Um Título foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa de 24% a.a. Sabendo que o valor atual comercial apurado foi de $ 17.860,00, qual era o valor nominal desse Título? R: N = $ 19.000,00

6)

Uma Duplicata com valor nominal de $ 45.000,00 é descontada 6 meses antes do vencimento, à taxa de 30% a.a. Qual o valor de desconto comercial? R: Dc = $ 6.750,00

7)

O valor nominal de um Título é $ 35.000,00. Caso este Título seja descontado 1 mês antes do vencimento, a uma taxa de 3% a.t., qual será o valor do desconto comercial simples? R: Dc = $ 350,00

8)

Um título no valor nominal de $ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de $ 1.800,00, três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto. R: i = 3%.

9)

Uma Duplicata de valor nominal de $ 20.000,00 foi resgatada por $ 19.250,00. Se a taxa de desconto comercial simples era de 90% a.a., quanto tempo restava para o vencimento dessa Duplicata? R: n = 15 dias

10) Qual o valor atual comercial recebido pelo detentor de um Título no valor de $ 4.000,00, descontado 7 meses antes do vencimento, a uma taxa de 6,5% a.m. Qual foi a taxa efetiva de desconto comercial aplicada na operação? R: Vc = $ 2.180,00; if = 11,93% a.m. 11) Um Título com valor nominal de $ 6.000,00 foi descontado 5 meses antes do vencimento, a uma taxa de 5% a.m. Qual o valor do desconto comercial simples e qual o valor do recebido pelo detentor do título? R: Vc: $ 4.500,00; Dc = $ 1.500,00 12) Ao quitar uma dívida, obteve-se um desconto comercial simples. O valor nominal era de $ 15.000 e a taxa de desconto de 2,75% ao mês. A antecipação foi de 9 meses. Qual o valor pago pela dívida? R: Vc = $ 11.287,50 13) Uma nota promissória de $ 22.000,00 é descontada 6 meses antes do vencimento, à uma taxa de desconto comercial simples de 1,6% a.m. Calcule o valor atual da nota. R: Vc = $ 19.888,00 14) Calcule o valor atual comercial simples recebido por Diego pelo seu título no valor de $ 5.000,00, descontado 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de 8, 5% a.m. Calcule também a taxa efetiva de desconto comercial dessa operação? R: Vc: $ 3.725,00 e If = 11,41% a.m. Professor Aldery Silveira Jr.

25


15) Em uma operação de desconto comercial simples de um título com valor nominal de $ 250,00, o desconto auferido foi de $ 25,00. Considerando que a taxa utilizada foi de 10% ao mês, qual foi o tempo de antecipação? R: n = 1 mês. 16) Uma duplicata com valor nominal de R$ 35.000,00 foi descontada 8 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 24% a.a, determine o valor recebido pelo detentor do título. R: Vc =$ 29.400,00 17) Por quanto tempo devo antecipar o pagamento de um título de $ 1.100,00 para obter um desconto comercial de $ 300,00, a uma taxa de 3,5% ao mês? R: n = 7m e 24d 18) Qual o valor atual comercial recebido por um título de $ 900,00 descontado 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 1,5% ao mês? R: Vc = $ 873,00 19) Qual taxa de juros devo descontar um título de $ 15.000,00 para obter um desconto comercial de $ 1.500,00, descontado 3 meses antes do vencimento? R: i = 3,33% a.m. 20) Uma duplicata de $ 250.000,00 foi resgatada por $ 215.000,00, antes do seu vencimento. Calcular o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 3,5 % ao mês. R: n = 4 meses


26


3.3 – Desconto Racional Composto O princípio do Desconto Racional Composto é o mesmo do Desconto Racional Simples, sendo que agora os juros utilizados são os compostos. Na prática, em se tratando de operações com juros compostos, utiliza-se apenas o Desconto Racional.

3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto A única diferença do Desconto Racional Composto em relação ao Desconto Racional Simples diz respeito apenas ao regime de juros, o princípio é o mesmo.

N

1) N  Vrc1  i

 Vrc



2) N  Vrc  Drc

 Vrc

 N  Drc

n



3) D RC  N 1 



 1  i n  1

ou

1  i

n

 i

N      1  Vrc  n

 Drc

N Vrc n Log1  i Log

1



 N  Vrc

DRC  N [1  (1  i)n ]

Exemplo: N = 10.000,00 n = 3 meses Vrc =? Drc

i = 10% a.m. Drc = ?

 1   10.000,00 1  3   1,1 



 

Drc  10.000,00 1 

1  1,331



Drc = $ 2.486,85.

Vrc = $ 7.513,15 Exercícios resolvidos: . (1) Qual o valor do desconto racional composto de um titulo de $ 8.000,00 descontado dois meses antes do vencimento a taxa de 5,5% a.m. N = 8.000,00 n = 2 meses

D RC





N 1 



i = 5,5% a.m. = 0,055 a.m. Drc = ?

   i)n  1

(1

 D RC





8.000,00 1 



   0,055) 2  1

(1

Drc = 812,38 Resolução pela HP 12C: 8000 CHS FV 2 n 5,5 i PV . CHS 8000 +. f 2.


27


(2) Um titulo com valor nominal de $ 15.000,00 foi descontado antes do vencimento, tendo o detentor desse titulo recebido $ 13.870,00. Considerando uma taxa de 42% a.a., determine o período de antecipação (juros compostos). N = 15.000,00 Vrc = 13.870,00 Log n



Log (1

i = 42% a.a. = 0,42 a.a. n=?

N

Log

V RC





i)

n



15.000,00

13.870,00 Log (1  0,42)

n = 0,223357855 ano Transformando o resultado em números inteiros: 0,223357855 x 12 = 2,680294254 meses 0,680294254 x 30 = 20,40882762

n = 2 meses e 20 dias Resolução pela H 12C: 15000 ENTER 13870 ÷ g LN 1,42 g . LN ÷ 12 X 2 - 30 X . f 0.

(3) Caso desconte um titulo de $ 5.000,00 três meses antes do vencimento e receba $ 4.380,00 qual é a taxa de juros compostos dessa operação? N = 5.000,00 Vrc = 4.380,00

i



N n

V RC



n = 3 meses i=?

1



i



5.000,00 3

4.380,00



1

i = 0,045117828 a.m.

i – 4,51% a.m. Resolução pela H 12C: 5000 ENTER 4380 ÷ 3 1/x




1 -. 100 X f 2.

28


3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto 1)

Quanto deverá ser o valor do desconto racional composto de um Título cujo valor nominal de $ 29.500,00, que será descontado 8 meses antes do vencimento, a uma taxa de 6,8% a.m.? R: Drc = $ 12.071,82

2)

O valor de certo Título no vencimento é de $ 175.000,00. O detentor do mesmo, desejando saldar algumas dívidas, resolveu antecipá-lo, recebendo um valor de $ 144.000,00, sendo utilizada, para tanto, uma taxa de desconto racional composto de 5,5% a.m. Qual foi o período de antecipação? R: n = 3 meses e 19 dias

3)

Carlos Alberto deseja antecipar o pagamento de um empréstimo no valor de $ 15.000,00, que vencerá daqui a 10 meses, tendo negociado com o credor o pagamento de $ 13.685,00 para liquidar a dívida. Qual foi a taxa de desconto racional composto acordada nessa operação? R: i = 0,92% a.m.

4)

Um Título cujo valor nominal era de $ 55.000,00 foi antecipado em 3 meses, utilizandose uma taxa de desconto racional composta de 6,35% a.m. Pergunta-se: qual o valor líquido que foi recebido pelo dono do Título? R: Vrc = $ 45.724,63

5)

Um Titulo com valor nominal de $ 8.000,00, vencível em 3 meses, foi descontado à taxa de 4,5% a.m. Calcule o valor do desconto racional composto. R: Drc = $ 989.63

6)

Qual o valor do desconto racional de um título cujo valor nominal é $ 13.000,00, caso ele seja resgatado 4 meses antes do vencimento, a uma taxa composta de 4,2% a.m.? R: Drc = 1.972,62

7)

Que desconto racional deve-se exigir na compra de um Título com valor nominal de $ 25.000,00, vencível em 3 meses, se a taxa de juro composto for de 5% a.m.? R: Drc = $ 3.404,06

8)

Um Titulo com valor nominal de $ 18.000,00 foi descontado 5 meses antes de seu vencimento, obtendo-se um desconto de $ 500,00. Qual foi a taxa de desconto racional composto utilizada nessa operação? R: i = 0,57% a.m.

9)

A Mascavo S.A. está trocando seus ativos financeiros por títulos da dívida pública. Nesta semana comprou um Título com valor nominal de $ 138.503.39, que tem prazo de maturação de 180 dias. Calcule o valor de compra deste Título sabendo que o Governo brasileiro está adotando a taxa Selic de 14,5% a.a. como indexador de referência. R: Vrc = $ 129.436.77

10) Desconta-se racionalmente uma Nota Promissória 6 meses antes do vencimento. Sabendo que o valor nominal da mesma era de $ 79.500,00 e o valor do desconto racional foi de $ 8.750,00. Qual foi a taxa de juro composto empregada nessa operação? R: i = 1,96% a.m. Professor Aldery Silveira Jr.

29


11) Qual é o valor do desconto racional composto sofrido por um Título com valor nominal de $ 6.688,78, descontado 55 dias antes do vencimento, à t axa de 6% a.a.? R: Drc = $ 59,28 12) Um Título com valor nominal de $ 8.996,68 foi descontado 5 meses antes do vencimento, a uma taxa composta de 2,5% a m. Calcule o valor líquido recebido pelo detentor do Título, tendo em vista que a operação foi realizada sob o critério de Desconto Racional Composto. R: Vrc = $ 7.951,75 13) Uma dívida com valor de $ 8.560,00 foi descontada 5 meses antes do vencimento sob o critério de Desconto Racional Composto. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 1,5% a.m., qual foi o valor do desconto obtido? R: Drc = $ 614,09 14) Tenho uma divida de $ 50.000,00 e pretendo liquidá-la 5 meses antes de vencimento, a uma taxa de juros compostos de 5% a.m. Considerando o desconto racional composto, quanto deverei pagar por essa dívida? R: Vrc = $ 39.176,31 15) Bruna pretende descontar um título de $ 10.000 8 meses antes do vencimento. Se ela receber $ 7.500,00. Qual será a taxa de juros compostos dessa operação? R: i = 3,66% a.m.


30


4 – Equivalência de Capitais Diferidos Definição: Um conjunto de capitais diferidos no tempo (um ou mais capitais) é considerado equivalente a outro conjunto de capitais também diferidos se, e somente se, for descontado para uma mesma data focal e em idênticas condições e produzir o mesmo valor.  

Data focal: data base de comparação dos valores diferidos. Idênticas condições: mesmo critério de desconto e mesma taxa de juros.

4.1 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional Simples Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda, com o valor de $ 10.000,00 com vencimento para três meses estão sendo negociadas por duas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses e a segunda para ser paga a seis meses. Considerando o critério de desconto racional simples, e data focal três e taxa de 5% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento.

Resolução:

5.000,00 10.000,00 |---------------|----------------|---------------|----------------|----------------|---------------| 0 1 2 4 5 6 3 7.000,00 X

Obs.: Usar a fórmula de Valor Nominal (ou Montante) Usar a fórmula de Valor Atual (ou Capital)

5.000,001  0,05.3  10.000,00 

7.000,00 X  1  0,05.1 1  0,05.3

5.750,00+10.000,00 = 6.666,67+0,869565217X X=9.083,33/0,869565217

X = 10.445,83


31


4.2 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Comercial Simples Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda, com o valor de $ 10.000,00 com vencimento para três meses estão sendo negociadas por duas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses e a segunda para ser paga a seis meses. Considerando o critério de desconto comercial simples, e data focal três e taxa de 5% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento.

Resolução:

5.000,00 10.000,00 |---------------|----------------|---------------|----------------|----------------|---------------| 3 0 1 2 4 5 6 7.000,00 X

5.000,00 / 1 - 0,05.3 + 10.000,00 = 7.000,00 (1 - 0,05.1) + X (1 - 0,05.3) 5.882,35 + 10.000,00 – 6.650,00 = 0,85X X = 9.232,35/0,85

X = 10.861,59 Suponha que você deva $ 3.000,00 para pagamento daqui a cinco meses e queira renegociar essa divida para pagar em três pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro pagamento a trinta dias. Com desconto comercial simples e data focal três, calcule o valor dos pagamentos. Taxa de 3% ao mês.

Resolução: 3.000,00 |---------------|--------------|--------------|----------------|---------------| 3 0 1 2 4 5 X X X

3.000,001  0,03.2  X 

X X .  1  0,03.1 1  0,03.2

2.820,00 = X + 1,030927835X + 1,06382978X  X 

2.820,00 3,094757622

X = 911,22 Professor Aldery Silveira Jr.

32



33


Refazer o exercício anterior considerando a data focal zero e desconto racional simples 3.000,00 |---------------|---------------|---------------|---------------|---------------| 1 2 3 4 5 0 X X X

1 1  1   X        1  0,03.5 1 0 , 03 . 1 1 0 , 03 . 2 1 0 , 03 . 3   3.000,00

X = 921,25

4.3 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Juros Simples 1)

Márcia tem duas dívidas, sendo uma de $ 3.500,00 com vencimento para 5 meses e outra de $ 1.500,00 com vencimento para hoje. Ela pretende renegociar essas dívidas para liquidá-las em um único pagamento com vencimento para daqui a 4 meses. Qual o valor dessa nova dívida, considerando o critério de desconto racional simples, data focal quatro e taxa de 4% a.m.? R: $ 5.105,38

2)

De acordo com o exercício anterior, qual seria o valor do novo pagamento, caso fosse utilizado o critério de desconto comercial simples? Qual é a opção mais vantajosa para Márcia? R: $ 5.145,71; é mais vantajosa a 1ª opção.

3)

Caso você deva $ 15.000,00 para pagar daqui 10 meses e queira renegociar tal dívida para pagar em 3 prestações iguais, vencíveis nos meses 5, 6 e 7, qual seria o valor das prestações, se for adotado o critério de desconto racional simples, uma taxa de 3,5% a.m. e data focal sete? R: $ 4.371,87

4)

Caso a data focal do exercício anterior fosse a zero, qual seria o valor dos pagamentos? R: $ 4.478,98

5)

João tem uma dívida de $ 4.500,00 que vence no próximo mês, mas decide renegociá-la para pagar em duas prestações iguais e seguidas, sendo a primeira com vencimento em 3 meses. Qual o valor das prestações, se adotado o critério de desconto comercial simples, taxa de 2% a.m. e data focal quatro? R: $ 2.369,44


34


6)

Uma loja de instrumentos musicais vende um violão Eagle por $ 1.899,00 à vista. Como opção, esse bem pode ser pago em duas parcelas mensais e iguais, vencíveis em 3 e 4 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 24% a.a., qual será o valor dos pagamentos, considerando data focal zero e critério de desconto racional simples? R: $ 1.015,88

7)

Pedro tem que pagar uma dívida daqui a 6 meses no valor de $ 4.000,00. Caso queira renegociar essa dívida para pagar em 3 parcelas mensais e iguais, com a primeira vencendo daqui a trinta dias, qual será o valor das parcelas se for considerando o critério de desconto comercial simples, taxa de 4% ao mês e data focal 6? R: $ 1.118,31

8)

Ao vender seu carro, João propôs uma entrada de $ 8.000,00 e outra parcela de $ 6.000,00 para 6 meses. O comprador propôs a seguinte alternativa: o pagamento de uma parcela em 3 meses no valor de $ 7.000,00 e o restante em 10 meses. Considerando uma taxa de juros de 2,25% a.m., qual o valor do segundo pagamento? (Data focal 6 e critério desconto racional simples) R: $ 8.292,18

9)

Juliana deseja substituir 3 títulos de $ 10.000,00, $ 20.000,00 e $ 30.000,00, com vencimentos respectivamente para 3, 6 e 9 meses, por um único titulo com vencimento para daqui a 1 ano. Qual será o valor desse novo titulo, uma vez que seja adotada uma taxa de 3% a.m., data focal 1 ano e critério de desconto comercial simples? R: $ 71.055,91

10) Uma moto custa $ 6.000,00 à vista, porém, após um acordo feito entre o comprador e o vendedor, ficou acertado que o pagamento seria feito em 3 parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira daqui a 3 meses. Calcule o valor das parcelas sabendo que a taxa de juros é de 3% a.m., a data focal é a zero e o critério desconto racional. R: $ 2.350,83 11) Uma televisão é vendida por $ 700,00 à vista ou duas parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira 3 meses após a compra. Considerando o critério desconto racional simples, taxa de 2% a.m. e data focal zero, calcule o valor dos pagamentos. R: i = 381,21 12) Dois títulos: um de $ 15.000,00, com vencimento para hoje e outro de $ 70.000,00, com vencimento para 6 meses serão substituídos um por um único título com vencimento para 3 meses. Considerando o critério de desconto comercial simples, taxa de 84% a.a. e data focal 3, calcule o valor desse novo título. R: $ 74.287,34 13) E uma concessionária de veículos, um determinado carro custa $15.000,00 à vista, mas na necessidade de limpar o estoque essa concessionária fez um super promoção: oferecendo o carro paga pagamento em 3 parcelas mensais e iguais, com a 1ª para 30 dias e reduziu os juros pela metade, cobrando agora só 2% a.m. Qual o valor das parcelas, uma vez que para o cálculo será adotado o critério de desconto racional simples e data focal zero? R: $ 5.198,72 14) Uma empresa possuía duas dívidas junto a um determinado banco: $ 900,00 e Professor Aldery Silveira Jr.

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$ 1.200,00, com vencimento para daqui a 5 e a 8 meses, respectivamente. O gerente do banco propôs transformar as duas dívidas em uma só, com vencimento para 10 meses, adotando-se, para tanto, uma taxa de 4% a.m., critério de desconto comercial simples e data focal zero. Calcule o valor da nova dívida. R: $ 2.560,00 15) Ricardo comprou uma maquina fotográfica que custava $ 1.800,00 à vista para ser paga em 4 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira prestação daqui 3 meses, qual o valor dos pagamentos, uma vez que foi adotado o critério de desconto racional simples, taxa de 2% a.m. e data focal 6? R: $ 489,32 16) Tenho uma divida de $ 3.000,00 para pagamento daqui a 4 meses e quero renegociar essa divida para ser paga em 3 pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro pagamento pra daqui trinta dias. Qual o valor das parcelas, sabendo que a data focal é 3, desconto comercial simples e taxa de 3% ao mês. R: $ 940,30 17) Rosane possui um titulo no valor de $ 900,00, vencendo para daqui a 60 dias e outra no valor de $ 700,00, vencendo para daqui a 90 dias. Necessitando de dinheiro, Rosane desconta os dois títulos em uma financeira, tendo a operação sido efetuada sob o critério de desconto racional simples, taxa de 3,5% a.m. e data focal zero. Calcule o valor recebido pela mesma. R: $ 1.474,60 18) Uma determinada motocicleta custa $ 6.000,00 à vista. Quero comprá-la em 3 pagamentos mensais e iguais com vencimento do primeiro pagamento para daqui 60 dias, com taxa de 3,75% a.m. Calcule o valor desses pagamentos considerando o critério de desconto comercial simples e data focal 2. R: $ 2.246,40 19) Possuo uma divida no valor de $ 3.000,00 para pagamento daqui a três meses. No entanto, quero quitá-la hoje. Considerando o critério de desconto racional simples, taxa de 2,5% a.m. e data focal zero, quanto deverei? R: $ 2.790,70


36


4.4 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional Composto Em juros compostos, a determinação da data focal deixa de ter importância, pois qualquer data focal que venha a ser utilizada leva o resultado da operação ao mesmo valor. Um determinado bem custa $ 5.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bem a prazo, para pagamento em três vezes iguais, vencendo o primeiro um mês após a compra, qual será o valor dos pagamentos se for considerado o critér io de Desconto Racional Composto e taxa de 3% ao mês? 5.000 |-------------|--------------|--------------| 0 1 2 3 X X X

5.000,00 

X



X

1,03 1,03

2



X

1,03

3

 X 

5.000,00 2,828611355

X = 1.767,65 Exeercícios resolvidos: (1) Caso você deva pagar $ 15.000,00 daqui a 6 meses e $ 8.000,00 em 12 meses, e queira renegociar essas dívidas para pagar $ 5.000,00 hoje e o restante em 3 meses, qual será o valor do pagamento, se for considerado uma taxa de 37% ao ano e critério de desconto racional composto? Obs.: 1) Como a taxa está em ano, sugere-se transformar o tempo para ano 2) Resolver o exercício utilizando a data 0,25 ano como Data Focal:

15.000,00 8.000,00 |-------------------|--------------------|------------------------------------------| 0 0,25 0,5 1 5.000,00 X

15.000

 0, 25

1,37

8.000

1,37

0, 75

 5.000.1,370,25  X

X  13.864,72  6.317,56  5.409,41 Professor Aldery Silveira Jr.



X = 14.772,87 37


(2) Três dividas, a 1ª no valor de $ 3.000,00, a 2ª de $ 7.000,00 e a 3ª de $ 20.000,00, com vencimentos para 15 dias, 5 meses e 11 meses, respectivamente, estão sendo renegociadas para serem pagas hoje. Qual o valor desse pagamento se for usado taxa de 45% ao ano e critério de desconto racional composto? Obs.: 1) Como a taxa está em ano e o tempo em mês, sugere-se transformar a taxa para

mês, por meio da equivalência de taxas 2) Resolver o do exercício utilizando a data Zero como Data Focal:

3.000,00 7.000,00 20.000,00 |--------------|----------------------------|---------------------------------------------------| 0 0,5 5 11 X ik



k

ik



0,031447989 a.m.

1



i

3.000



1





ik



7.000

12

1





0,45



1

20.000

1,0314479890,5 1,0314479895 1,03144798911

 X

X  13.864,72  6.834,86  5.409,41

X = 23.176,78

4.5 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Juros Compostos 1)

Carlos possui duas dívidas, uma no valor de R$ 1.000,00 que vence hoje e outra no valor de R$ 1.500,00 que vence em três meses. Estas dívidas estão sendo negociadas por outras duas, sendo a primeira para daqui a 2 meses, no valor de R$ 750,00 e a segunda a ser paga daqui a 5 meses. Sabendo que taxa é de 2% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento utilizando o critério de desconto racional composto. R: $ 1.868,77

2)

Uma máquina de lavar roupa custa R$ 7.000,00 a vista. Caso o cliente queira adquirir esse bem a prazo, para pagamento em três parcelas mensais e iguais, vencendo o primeiro em um mês após a compra. Qual será o valor das parcelas considerando a taxa de 3% ao mês e o critério de desconto racional composto? R: R$ 2.474,71


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3)

Suponha que você tenha uma divida de $10.000,00 com vencimento para daqui a 8 meses, porém você quer negociá-la para pagar $ 7.000,00 hoje e o restante daqui a dois meses. Qual será o valor do segundo pagamento se for considerado a taxa mensal de 2,5% ao mês e o critério do desconto racional composto? R: $ 1.268,59

4)

João aplicou $ 30.000,00 em um banco que rende juros de 37% ao ano, pretendo assim retirar o montante em 9 meses. Entretanto decorrido 2 meses ele retirou $ 5.000,00. Qual o valor retirado por ele no fim de 9 meses? R: $ 31.981,42

5)

João Deve $ 35.000,00 para daqui um ano, porém recebeu um dinheiro de uma causa na justiça e propôs o refinanciamento de sua divida, comprometendo a liquidá-la em 3 parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira hoje. Quanto será o valor das parcelas se a taxa de juros composto cobrada é de 20% ao ano? R $ 10.168,58

6)

Uma divida de $ 7.350,00 para 12 meses e outra de $ 8.000,00 para 24 meses foi transformada em 4 parcelas iguais semestrais, vencendo a primeira daqui a 6 meses. Qual é o valor das parcelas, se a taxa de juros considerada é de 34% ao ano? R: $ 3.535,33

7)

Henrique deseja comprar uma moto de $ 13.000,00. Ele dispõe de $ 7.000,00 para pagar a vista e pretende financiar o restante em 3 pagamentos iguais e trimestrais, com o primeiro pagamento para daqui a 90 dias. Considerando uma taxa trimestral de 4%, qual será o valor das prestações? R: $ 2.162,09

8)

Uma televisão está sendo vendida por $ 6.500,00 à vista ou pode ser adquirida com uma entrada de $ 2.000,00 mais 3 parcelas mensais, com a primeira vencimento para 60 dias. Sabe-se ainda que a taxa de juros anual é de 17%. Qual é o valor das prestações? R: $ 1.559,96

9)

Uma loja especializada em bicicletas anunciou que vende uma super bicicleta de corrida por $ 1.000,00 à vista ou em dois pagamentos mensais, sendo o primeiro para 3 meses e o segundo para 4 meses. Considerando uma taxa de 14% a.a., calcule o valor dos pagamentos. R: $ 519,47

10) Uma loja de Móveis tinha uma dívida com seus fornecedores e decidiu negociá-la. Substituiu 3 dívidas de $ 5.000,00, $ 2.000,00 e $ 3.000,00 com prazo de vencimento de 30, 60 e 90 dias, respectivamente, por um único título vencível em 180 dias. Qual é o valor desse título, sabendo que a taxa é de 25% a.a.? R: $ 10.813,73 11) Uma dívida de $ 20.000 para ser paga em 1 ano e outra no valor de $ 30.000 para ser paga em 2 anos foram refinanciadas para serem pagas em 4 parcelas iguais e semestrais, sendo que a 1ª será para daqui 6 meses. Considerando uma taxa de 20% a.a., qual será o valor das parcelas? R: $ 11.713,72 Professor Aldery Silveira Jr.

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12) Um comerciante tem uma dívida de $ 14.500,00, vencendo em 5 meses e quer pagar esta dívida parceladamente. Ele conseguiu junto ao banco o parcelamento em 3 vezes iguais, a juros de 2,3% ao mês, vencendo a primeira em um mês. Qual o valor das prestações? R: $ 4.513,83 13) Determine o valor nominal de um titulo com vencimento para 5 meses que substituirá outros dois no valor de $ 500,00 cada, vencendo em 30 e 60 dias, à taxa de 3% a.m. R: $ 1.109,12 14) Faltam 3 prestações mensais e iguais de $ 700,00 para quitar um financiamento de um imóvel, vencendo a 1ª em 30 dias,. Quero pagá-las uma única prestação daqui a 60 dias. Considerando uma taxa mensal de 4%, qual o valor desse pagamento? R: $ 2.101,08 15) Duas dívidas, a primeira no valor de $ 500,00 com vencimento para hoje, e a segunda, com valor de $ 700,00 com vencimento para três meses, estão sendo negociadas por duas outras dívidas: a primeira no valor de $ 400,00, com vencimento para 4 meses e a segunda com vencimento para 6 meses. Considerando o critério de desconto racional composto e taxa de 5,2% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento. R: $ 1.050,04 16) Suponha que você deve $ 12.000,00 para daqui a 6 meses e queira renegociar essa dívida para pagar em três pagamentos bimestrais e iguais, vencendo o primeiro daqui a 60 dias. Considerando uma taxa de 7% ao mês, calcule o valor dos pagamentos. R: $ 3.472,53 17) Um título com valor nominal de $ 75.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título? R: $ 70.694,69 18) Um comerciante, devedor de um título de $ 400.000,00, com vencimento para 3 anos, deseja substituir essa dívida por dois pagamentos anuais e iguais: um para daqui a 1 ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo-se que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. R: $ 119.047,62 19) Uma televisão de plasma que custa $ 7.000,00 pode ser adquirida em 5 prestações mensais iguais, sendo a primeira na data da compra. Qual o valor de cada uma dessas prestações se for adotada uma taxa composta de 10% a.m.? R: $ 1.678,70 20) Um empresário possui dois títulos a pagar com valores de $ 50.000,00 e $ 70.000,00, vencíveis em 3 e 7 meses, respectivamente, a partir da data presente. Sem liquidez para quitar os débitos em suas datas, negocia com a Instituição bancária que estipula juros compostos de 3% a.m. - para substituição das dívidas por duas outras de igual valor a vencerem em 9 e 12 meses. Determinar o valor de cada débito nesta nova situação. R: $ 69.950,76 Professor Aldery Silveira Jr.

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5 – Rendas (Série de Pagamentos ou Anuidade) Há varias formas de pagamento de um bem: como o pagamento no ato da compra, não existindo uma diferença temporal entre o pagamento e o recebimento da mercadoria e, conseqüentemente, a incidência de juros, sendo, neste caso, chamado de pagamento à vista. Outra forma de pagamento é a que há hiato temporal entre o recebimento da mercadoria e o pagamento, havendo assim o pagamento de juros por essa diferença de tempo, já que o valor do dinheiro não é o mesmo no tempo, sendo essa forma chamada de pagamento no futuro. Outra forma é o pagamento parcelado. O pagamento parcelado possui uma grande variedade de tipos, podendo ser efetuado em varias parcelas seqüencialmente, ou existindo um período de carência para o início dos pagamentos, ou ser pagas em períodos não seqüenciais, etc., dependendo do acordo ajustado entre as partes: o devedor e o credor. O que não diferencia em todos os tipos de Rendas é que sempre haverá a incidência de juros, proporcional ao tempo e/ou ao número das parcelas.

Pagamento à vista:

Pagamento no futuro: S S = P(1 +i) |-------------------------------| 0 n

P |-------------------------------| 0 n

n

Pagamento parcelado (Rendas ou Série de Pagamentos ou Anuidade): S R R R P R R R |------|-----|------|------|------|-----| 0 1 2 3 4 5 6

Onde: P = Valor Atual R = Valor dos Termos S = Montante

Qualquer série de pagamento é uma Renda.

R Variáveis de uma Renda e suas relações P

S

Existem dois tipos de Rendas:  

Rendas Certas ou Determinísticas, que são estudadas pela Matemática Financeira. Rendas Aleatórias ou Probabilísticas, que são estudadas pela Matemática Atuarial.

O nosso curso abordará apenas as Rendas Determinísticas. Professor Aldery Silveira Jr.

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Classificação das Rendas Postecipadas Imediatas Periódicas Temporárias Certas

Rendas

Constantes

Antecipadas Diferidas

Não Periódicas Variáveis

Perpétuas Aleatórias

Temporárias Perpetuas

 possuem

Periódicas Não-periódicas

 os

Constantes Variáveis

 o

Imediatas Diferidas

 os

Postecipadas Antecipadas

início e fim  não possui um fim, é ad perpetum pagamentos ou recebimentos ocorrem em todos os períodos  os pagamentos ou recebimentos não ocorrem em todos os períodos valor de todos os termos são iguais em  o valor de todos os termos não são iguais pagamentos ocorrem a partir do 1º período.  há uma carência para o início dos pagamentos.  os

pagamentos ocorrem no final dos períodos.  os pagamentos ocorrem no início dos períodos.

Inicialmente, serão estudadas as Rendas constantes do Modelo Básico, que são as Rendas que apresentam as seguintes características: Renda  certa  temporária  periódica  constante  imediata  postecipada

Simbologia Nas operações com Rendas (ou Anuidades) será utilizada a seguinte simbologia:

R – P – S – i – n –

Termos da Renda Valor Atual. Montante. Taxa de Juros. Número de Termos.

Informações importantes:   

As operações com Rendas utilizam juros compostos. O montante de uma Renda (S) fica na “altura” do último termo. O Valor Atual (P) de uma Renda corresponde à soma dos Valores Atuais de seus Termos


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5.1 – Rendas do Modelo Básico:

P R R R R R R R ...... R |--------|--------|--------|---------|--------|--------|--------|--------| 0 1 2 3 4 5 6 8 ....... n P = soma dos valores atuais da Renda. P

R R  1 i 1  i2



R

1  i

R

 3

1  i N

5.1.1 – Fórmulas

 1  i n  1 1) P  R.  n i i    1 .  

 1  i n  1  3) S  R. i  

 1  i n .i  2) R  P .  n i   1 1    

4) R  S .



  n  1 i  1     i

Obs.: estas fórmulas são válidas somente para as Rendas do Modelo Básico. Exercícios resolvidos (1) Um determinado bem custa $ 10.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bem a prazo, para pagamento em 24 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um mês após a compra, qual será o valor do pagamento com taxa de 3% ao mês. P = 10.000,00 n = 24

i = 3% a.m. R=?

 1  0,0324 .0,03  R  10.000,00   24  1  0,03  1 

R = 590,47 Resolução com a Calculadora HP 12C: 10000 CHS PV 24 n 3 i PMT .


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(2) Caso você queira dispor de $ 10.000,00 daqui a seis meses, quanto deverá depositar mensalmente em uma instituição financeira que pague juros de 2% ao mês par que no ultimo deposito obtenha a quantia desejada? S = 10.000,00 i = 2% a.m.

R

n=6 R=?

  0,02  10.000,00  6  1  0,02  1

R = 1.585,26 Resolução pela HP 12C: 10000 CHS FV 6 n 2 i PMT .

(3) Um determinado bem esta sendo vendido por nove prestações de $ 500,00 reais, vencendo a primeira um mês após a compra. Considerando um taxa de 2,5% ao mês, determine o valor à vista desse bem. R = 500,00 i = 2,5% a.m.

 (1  i)n  1 PR   n  (1  i) . i 

n=9 P=? 

P  500,00

 (1  0,025)9  1    9  (1  0,025) . 0,025 

P = 500,00 x 7,970865531

P = 3.985,43 Resolução pela HP 12-C: 500 CHS PMT 9 n 2,5 i PV. (4) Caso você efetue 24 depósitos mensais e iguais de $ 300,00 em uma instituição que pague juros de 1,5% ao mês, quanto disporá por ocasião do ultimo deposito? R = 300,00 i = 1,5 a.m.

S  R

 (1  i) n  1   i  

n = 24 S=?

S  300,00

 (1  0,015) 24  1   0,015  

S = 300,00 x 28,6335208

S = 8.590,06 Resolução pela HP 12-C: 300 CHS PMT 24 n. 1,5 i. FV.


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5.1.2 – Exercícios sobre Rendas do Modelo Básico 1)

Um bem custa $ 15.000,00 à vista. Caso a aquisição desse bem seja feita a prazo, para pagamento em 6 prestações mensais e iguais, a uma taxa de 1,5% a.m., qual será o valor das parcelas? R: R = $ 2.632,87

2)

Quanto deverei depositar mensalmente para que, ao final de 3 anos, disponha de $ 50.000,00, considerando que a instituição financeira pague juros de 0,5% a.m.? R: R = $ 1.271,10

3)

Lílian comprou um carro para ser pago em 60 prestações de $ 550,00, com taxa de 1,0% a.m., qual o valor à vista do carro? R: P = $ 24.725,27

4)

Qual o valor das parcelas de um bem que custa $ 25.000,00 à vista e que será vendido em 12 pagamentos iguais e mensais, cuja taxa de juros é de 1,5% a.m.? R: R = $ 2.291,99

5)

Se efetuo um empréstimo de $ 3.500,00, à taxa de juros de 2% a.m., para ser liquidado em 8 pagamentos mensais e iguais, qual será o valor das prestações? R: R = $ 477,78

6)

Ivan pretende levantar um empréstimo de $ 15.000,00. Se a taxa de juros de mercado for 3,5% a.m. e o mesmo deseja pagá-lo em 24 parcelas mensais e iguais, qual será o valor das prestações? R: R = $ 934,10

7)

Danilo decidiu fazer uma viagem daqui 1 ano e meio e, para tanto, deseja dispor de $ 10.000,00 na data da viagem. Para tanto, pretende efetuar depósitos mensais e iguais numa instituição financeira que paga juros de 1% a.m. Qual será o valor dos depósitos para que, por ocasião do 18º depósito o mesmo disponha da importância desejada? R: R = $ 509,82

8) Um carro é vendido em 36 parcelas mensais e iguais de $ 599,00. Sabendo que a taxa utilizada 1,5% a.m., qual é valor do carro à vista? R: P = $ 16.568,75 9)

Fernando depositará mensalmente $ 450,00, durante 6 meses, em um banco que paga juros de 3% a.m. Qual o montante que poderá ser sacado por Fernando por ocasião do último depósito? R: S = $ 2.910,78

10) Quanto terei que depositar, mensalmente, em uma instituição que paga juros de 2,5% a.m. para que, ao final de 8 meses, eu possua $ 10.000,00? R: R = $ 1.144,67 11) Ana comprou uma casa de $ 80.000,00 financiada em 36 prestações mensais e iguais. Calcule o valor das prestações, considerando uma taxa de 1,5% a.m? R: R = $ 2.892,19 Professor Aldery Silveira Jr.

45


12) Comprei um carro financiado em 24 prestações mensais de $ 800,00. Qual o seu valor à vista, sabendo que foi usada uma taxa de 2% a.m? R: P = $ 15.131,14 13) Roberto precisou fazer uma cirurgia que custava $ 3.000,00 à vista. Para pagá-la, fez um empréstimo desse valor, a uma taxa de 0,5% a.m., para quitá-lo em 12 parcelas mensais e iguais. Qual o valor das parcelas? R: R = $ 258,20 14) Um computador custa, atualmente, $ 3.500,00. Paulo decide comprá-lo, e financia o objeto desejado em 10 prestações iguais e mensais, sendo que a 1ª parcela deverá ser paga daqui a 1 mês. Sabendo que a taxa de juro é de 5,5% a.m., quanto Paulo terá que desembolsar mensalmente? R: R = $ 464,34 15) Getulio se propôs a fazer uma poupança para viajar após sua formatura. Para tanto, efetuou 18 meses depósitos mensais e iguais de $ 200,00 em uma caderneta de poupança que paga juros de 0,5% a.m. Qual a importância disponível por ocasião do último depósito? R: $ 3.757,16 16) Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente durante 15 meses num fundo de investimentos que rende 1,8% a.m., para que no instante do último depósito tenha um montante de $ 60.000,00? R: R = $ 3.519,95 17) Marta efetuou 12 depósitos bimestrais e iguais no valor de $ 500,00 em uma instituição que paga juros de 3% a.b. Quanto ela terá no momento do último depósito? R: $ 7.096,01 18) Qual é a prestação mensal de um carro cujo preço à vista é $ 50.000,00, se for financiado em 24 prestações mensais e iguais, à taxa de 3,5% a.m.? R: R = $ 3.113,65 19) Um financiamento de $ 100.000,00 foi concedido a uma empresa, para ser pago em 4 prestações semestrais iguais, à juros de 20% a.s. Qual é o valor das prestações? R: R = $ 38.628,90 20) Qual é o preço à vista de um carro que está sendo vendido por 12 prestações mensais e iguais de $ 5.000,00, considerando que a taxa contratada foi de 2% a.m.? R: P = $ 52.876,71


46


5.2 – Rendas não constante do Modelo Básico Para se resolver qualquer tipo de operação envolvendo Renda não constante do Modelo Básico, tem-se que, necessariamente, transformá-la em Renda do Modelo Básico e aplicar as fórmulas correspondentes.

5.2.1 – Fórmulas As fórmulas a serem utilizadas são as mesmas de Rendas do Modelo Básico

Exercícios resolvidos: (1) O preço à vista de um carro é $ 80.000. A revendedora exige 30% como entrada, financiando o saldo em 36 prestações mensais e iguais, com 6 meses de carência. Sabendo-se que a taxa de juros é 3,5% a.m., qual é o valor das prestações? Valor à vista = 80.000,00 Entrada = 24.000,00 Valor a financiar = 56.000,00 P = 56.000,00 n = 36 i = 3,5% a.m. R=?

R  56.000,00 (1  0,035)

5

 (1  0,035) 36 .0,035  1  0,035) 36  1   

R = 56.000,00 x 1,187686306 x 0,049284163

R = 3.277,91 Resolução pela HP 12-C: 56000 CHS PV 5 n 3,5 i FV . CHS PV 36 n 0 FV PMT

(2) Uma pessoa abriu uma conta em uma instituição financeira e depositou $ 1.000. Em seguida, efetuou uma série de 24 depósitos mensais de $ 300, sendo que o primeiro foi feito 4 meses após a abertura da conta. Supondo-se que não seja efetuada nenhuma retirada, e considerando que a instituição financeira paga juros compostos de 2% a.m. sobre o saldo devedor, quanto essa pessoa terá disponível após 5 anos da abertura da conta? 1º depósito = 1.000,00 n = 60 meses I = 2% a.m. R = 300,00 n = 24, com 4 meses de carência para o 1º depósito, após a abertura da conta S = ? (ao final de 5 anos após a abertura da conta)


47


S  1.000,00 (1  0,02)

60

 300,00

 (1  0,02) 24  1   0,02  

(1  0,02)33

S = (1.000,00 x 3.281030788) + (300,00 x 30,42186245 x 1,922231404) S = 3.281.03 + 17.543,34

S = 20.824,39 Resolução pela HP 12-C – 2 passos, conforme demonstrado abaixo: 1) 1000 CHS PV 60 n 2 i FV = 3.281,03 2) 300. CHS PMT 24 n 2 i 0 PV FV CHS PV 0 PMT 33 n FV . 3281,03 +.

5.2.2 – Exercícios sobre Rendas não constantes do Modelo Básico 1)

O preço a vista de uma casa é $ 70.000,00. No entanto, o banco exige 20% de entrada. O restante será financiado em 60 parcelas iguais e mensais com 4 meses de carência para pagamento da 1ª parcela, a uma taxa de 2,5% a.m. Qual será o valor das parcelas? R: R = $ 1.951,10.

2)

Uma pessoa vai receber 10 parcelas mensais e iguais de $ 250,00 com uma carência de 4 meses para recebimento da primeira parcela. Qual é o valor atual desta série de pagamentos, se a taxa considerada for de 2% a.m.? R: P = $ 2.116,11.

3)

Um fogão foi financiado em 5 parcelas mensais e iguais de $ 125,00, sendo a primeira parcela paga no ato da compra, como entrada. Considerando que a. loja “Só Fogões” opera com uma taxa de 1,5% a.m., qual é o preço do fogão a vista? R: P = $ 606,80.

4)

João efetuou uma compra cujo pagamento deveria ser efetuado em 4 parcelas trimestrais de $ 2.500,00, a taxa de juros seria de 2% a.m., vencendo a 1ª daqui a 3 meses. Caso João queira pagar essa compra em 12 parcelas mensais e iguais, vencendo o 1º pagamento em 1 mês, qual será o valor das parcelas? R: R = $ 816,89

5) Carlos comprou um aparelho de som que foi pago da seguinte maneira: 3 parcelas mensais e iguais de $ 200,00, vencendo a 1ª daqui a um mês e duas parcelas de $ 500,00, a serem pagas no 5º e no 6º mês. Considerando a taxa de juros foi de 3%, calcule o valor do aparelho à vista. R: P = $ 1.415,77 6) Um carro é vendido da seguinte forma: uma entrada de $ 3.500,00, mais 4 parcelas mensais e iguais de $ 2.500,00, vencendo a 1ª daqui a 1 mês e outras 2 parcelas Professor Aldery Silveira Jr.

48


mensais e iguais de $ 3.000,00, com vencimentos para os meses 6 e 7, a partir da data da compra. Se a taxa de juros for de 2% a.m., qual o valor do carro a vista. R: P = $ 18.294.92 7) Calcule o valor presente do seguinte fluxo de caixa, realizados a fim de cada mês: 1º mês $ 20.000,00 e do 2º ao 5º mês $ 40.000,00, considerando uma taxa de juros de 3% a.m. R: P = $ 163.770,81 8) O preço a vista de um bem é $ 80.000,00. Pretendo comprá-lo a prazo, dando uma entrada de $ 24.000,00 e o restante financiar em 36 prestações com o primeiro pagamento para daqui a 6 meses. Considerando uma taxa de 3,5% a.m., calcule o valor das prestações. R: R = $ 3.277,91 9) Um veículo foi comprado para ser pago em 3 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira somente no final do terceiro mês após a compra. Sabendo que o veículo a vista é $ 17.850,00 e que a taxa de juros utilizada pela loja é 7% a.m., qual o é o valor das prestações? R: R = 7.787,35 10) Ao dar entrada de $ 60.000,00 em uma Hilux, Lucas se responsabilizou em pagar mensalmente parcelas de $ 1.380,00 por 60 meses, com a primeira parcela vencendo ao final de 2 meses após a compra. Qual o valor à vista da Hilux considerando, considerando que a operação foi efetuada à taxa de 2% a.m.? R: P = $ 107.029,43 11) Simpson efetuou um empréstimo em uma instituição financeira para pagar em 10 prestações de $ 1.700,00, com uma carência de 5 meses para pagamento da primeira parcela, Sendo a taxa utilizada de 5% a.m., qual o valor do empréstimo? R: P = $ 10.800,00 12) Eduardo comprou uma motocicleta que custa $ 10.000,00. A aquisição foi efetuada em 18 pagamentos mensais e iguais, com uma carência de 4 meses para começar a pagar. O valor da taxa acertada foi de 2,8% a.m. Calcule o valor das mensalidades? R: R = $ 776,59 13) Rivaldo adquiriu um aparelho eletrônico para pagar da seguinte forma: 6 pagamentos iguais de $ 75,00, sendo os 3 primeiros pagamentos para o 3º, 4º e 5º mês e as outras 3 para o 8º, 9º e 10º mês, a partir de hoje. A taxa de juro utilizada foi de 2,5% a.m. Qual era o valor à vista do aparelho? R: P = $ 384,08 14) Danilo foi a um feirão de carros usados e se interessou por um que custava $ 9.500,00 à vista. Sem possui o dinheiro para adquiri-lo nesta forma de pagamento e após longa conversa com o vendedor, fica acordado o seguinte: daqui a 2 meses ele pagaria $ 3.000,00 e, 3 meses após esse pagamento, ele pagaria mais 5 pagamentos iguais e subseqüentes. Sabendo que foi adotada uma taxa de 2% a.m., qual será o valor das parcelas? R: R = $ 1.519,46 Professor Aldery Silveira Jr.

49


15) Igor decidiu comprar um carro 0 km que custa $ 24,990,00 à vista. Ele possui $ 12.000,00 para dar de entrada e se compromete a pagar 24 parcelas iguais e mensais com uma carência de 6 meses. Sabendo que a taxa de juros ajustada foi de 2% a.m., qual será o valor das parcelas? R: R = $ 758,28 16) Maria adquiriu um aparelho eletrônico para pagar em oito prestações, sendo que as três primeiras seriam no valor de $ 120,00, as três seguintes no valor de $ 100,00 e as restantes no valor de $ 80,00. Considerando uma taxa de 1,5% a.m., calcule o valor à vista desse aparelho. R: P = $ 771,06 17) Se uma TV esta sendo vendida em 12 prestações mensais, sendo as seis primeiras no valor de $ 150,00 e as restantes no valor de $ 200,00. Considerando uma taxa de 1,0% a.m., calcule o valor à vista dessa TV. R: P = $ 1.961,24 18) Se eu fizer um depósito hoje de $ 1.000,00 em uma instituição financeira e a partir do 6º após o primeiro depósito efetuar 12 depósitos mensais de $ 250,00, qual o valor que eu terei ao por ocasião do último depósito, sabendo que a taxa de juro adotada pela instituição financeira é de 1% a.m.? R: S = $ 4.354,93 19) Em uma renegociação de dívidas, ficou acertado que seria pago 10 prestações mensais e iguais de $ 300,00, com uma carência de 6 meses para o pagamento da primeira parcela. Qual o valor atual dessa dívida, considerando que a operação foi efetuada a uma taxa de juros de 2,5% a.m.? R: P = $ 2.320,66 20) O preço à vista de um computador é $ 2.500,00. A vendedora exige uma entrada de $ 200,00 e financia o saldo em 12 prestações pensais e iguais, a juros de 2,5% a.m., com 2 meses de carência para o pagamento da primeira parcela. Qual o valor dessas prestações? R: R = $ 229,83


50


6 – Uso de Tabela Financeira As Tabelas Financeiras possibilitam uma forma alternativa de se obter os resultados solicitados pela Matemática Financeira. Alguns podem considerar mais fácil o cálculo por meio da Tabela Financeiro e outros não, mas o que importa é que pelo método convencional (fórmulas normais) ou pelo uso de Tabela Financeiras, o resultado é o mesmo, apenas o canal é diferente. Observação: as siglas a serem utilizadas nas operações com Tabelas Financeiras possuem as seguintes definições:

     

FPS  fator de P para S, ou seja, cálculo de S (montante) a parti r de P (valor atual). FSP  fator de S para P (cálculo de P partindo de S). FRP  fator de R para P (cálculo de P partindo de R). FPR fator de P para R (cálculo de R, partindo de P). FRS  fator de R para S (cálculo de S, partindo de R). FSR fator de S para R (cálculo de R, partindo de S).

Na Tabela, as colunas representam os fatores e as linhas o número de períodos (n). Por exemplo, para um FSP (5%,8), identifica-se a Tabela relativa à taxa de juros de 5%; nessa Tabela, localiza-se a coluna FSP e, por último, a linha 8, onde acha-se o fator desejado.

Formulas Convencionais

1)

S  P1  i

2)

P  S1  i

Formulas Tabeladas 

S = P.FPS (i, n)



P = S.FSP (i, n)

 1  in  1 3) P  R.  n  1  i .i 



P = R.FRP (i, n)

 1  in .i  4) R  P.  n     1 i 1  



R = P.FPR (i, n)

 1  in  1 5) S  R.  i  



S = R.FRS (i, n)



R = S.FSR (i, n)

6)

n

n



  n  1  i  1

R  S.

i


As fórmulas 1 e 2 são utilizadas nas operações de Capitalização composta e Desconto Racional composto.

51


Exemplo:

R = 5.000,00.FRP(3%,9) R = 5.000,00 . 0,12843 R = 642,15

P = 5.000,00 i = 3% a.m. n=9 R =? Exercícios resolvidos

(1) calcule o valor atual (P) dos valores abaixo, com i = 5%. P

500

500

500

500

0

1

2

3

4

1000 5

1000

1000

1000

1000

7

8

9

400

400

400

400

6

7

8

9

6

P = 500,00 . FRP(5%, 4) + 1.000,00 . FRP(5%, 5) . FSP(5%,4) P = 500,00 . 3,545950504 + 1.000,00 . 4,329476671 . 0,822702475 P = 1.772,98 + 3.561,87

P = 334,85

5.000

300

300

300

0

1

2

3

4

5

P = 5.000,00 + 300,00 . FRP(5%, 3) + 400,00 . FRP(5%, 4) . FSP(5%,5) P = 5.000,00 + 300,00 . 2,723248029 + 400,00 . 3,545950504 . 0,783526166 P = 5.000,00 + 816,97 + 1.111,34

P = 6.928,31

(2) calcule as prestações (R) das rendas abaixo, com i = 3%

(P) 15.000 0

1


2

3

R

R

R

R

R

R

4

5

6

7

8

9

52

Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Listas de Exercícios R = 1.500,00 . FPS(3%, 3) . FPR(3%,6) R = 1.500,00 . 1,092727000 . 0,184597500 R = 1.500,00 . 302,57

R = 302,57

R

R

R

R

R

R

R

0

1

2

3

4

5

6

(S) 10.000 7

8

9

R = 10.000,00 . FSP(3%, 3) . FSR(3%, 7) R = 10.000,00 . 0,915141659 . 0,130506354

R = 1.194,32

6.1 – Exercícios com a utilização de Tabelas Financeiras 1)

Qual é o montante de uma aplicação de $ 2.550,00, a uma taxa de 1,5% a.m. durante cinco meses? R: S = 2.747,07

2)

Uma pessoa receberá 10 prestações iguais e mensais de $ 1.000,00, mas decide optar por receber apenas uma prestação ao final do período. Qual será esse valor, considerando uma taxa de juros compostos de 3% a.m.? R: S = $ 11.463,87

3)

Qual o valor das parcelas de um bem que custa $ 25.000,00 à vista e que será parcelado em 12 vezes iguais e mensais, cuja taxa de juros é de 1,5% a.m.? (juros compostos) R: R = $ 2.291,99

4)

Qual o valor do desconto racional composto de um título de $ 12.000,00 que foi descontado 7 meses antes do vencimento, cuja taxa era de 2% a.m.? R: Drc = $ 1.553,28.

5)

Quanto se deve depositar mensalmente para que ao final de 3 anos possua $ 50.000,00, considerando que a instituição financeira pague 0,5% a.m? R: R = $ 1.271,09

6)

Lílian comprou um carro em 60 prestações de $ 550,00, com taxa de 1,0% a.m, qual o valor à vista do carro? R: P = $ 24.725,27


53


7)

Um bem custa $ 15.000,00 à vista. Caso tal bem fosse adquirido parcelado em 6 prestações mensais e iguais e considerada uma taxa de 1,5% a.m, qual seria o valor das parcelas? R: R = $ 2.632,87

8)

Qual será o valor atual de um título de $ 150.000,00 se esse for resgatado 90 dias antes do prazo previsto, a uma taxa composta de 4% a.m.? R: $ 133.349,46 9) Uma dívida com valor nominal de $ 1.000.000,00 e vencimento daqui a 3 anos deve ser liquidada hoje. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, qual é o valor atual dessa dívida? R: Vrc = $ 751.314,80 10) Ao final de 2 anos, qual o valor a ser retirado, se for apliquei $ 20.000,00 a uma taxa de 3,5% a. m.? R: S = 45.666,57 11) Se efetuo um empréstimo de $ 3.500,00 a uma taxa de juros de 2% e desejo pagá-lo em 8 pagamentos mensais e iguais, qual será o valor das prestações? R: R = $ 477,80 12) Preciso dispor de $ 10.000,00 daqui a 12 meses para viajar com a família. Quanto devo aplicar mensalmente, a partir deste mês, em uma instituição financeira que pague juros de 1,5% a.m. para que eu tenha essa importância por ocasião do último depósito (12º depósito)? R: R = $ 766,80 13) Um carro é vendido em 36 parcelas mensais e iguais de $ 599,00. Sabendo que é utilizada uma taxa de 1,5% a.m., qual seria o valor do carro à vista? R: P = $ 16.568,75 14) Fernando pretende depositar mensalmente $ 450,00, durante 6 meses, em um banco que paga juros de 3% a.m. Qual o montante que Fernando disporá por ocasião do último depósito? R: S = $ 2.910,78 15) Quanto terei que depositar mensalmente, em uma instituição que paga juros de 2,5% a.m., para que, ao final de 8 depósito, possua $ 10.000,00? R: R = $ 1.144,67 16) João depositou $ 5.000,00 em um banco que rende juros de 2% a.m. Após 6 meses, ele decide retirar seu dinheiro em 12 parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira 30 dias após. Considerando a mesma taxa de juros para todo o período, qual o valor das parcelas que serão sacadas? R: R = $ 532,48 17) Ana comprou uma casa de $ 80.000,00 para ser financiada em 36 prestações mensais e iguais. Qual será o valor de cada prestação, sabendo que será cobrada uma taxa de juros de 1,5% a.m.? R: R = $ 2.892,19 Professor Aldery Silveira Jr.

54


18) Comprei um carro financiado em 24 prestações mensais de $ 800,00. Qual o seu valor à vista, sabendo que foi usada uma taxa de 2% a.m.? R: P = $ 15.131,14 19) Marta, necessitando de dinheiro, desconta um titulo de $ 25.000,00 3 meses do vencimento, a uma taxa e 2% a.m. Qual o valor do desconto racional composto dessa operação? R: Drc = $ 1.441,94

6.2 – Interpolação A interpolação é um método utilizado para se calcular um Fator que não consta na Tabela Financeira. Consiste em usar dois Fatores existentes para se chegar ao Fator desejado. P = 3.000,00 i = 2,7% a.a n=6 S=? Como na Tabela Financeira em uso não consta a taxa 2,7%, encontra-se o Fator correspondente a essa taxa por meio da interpolação, adotando-se os seguintes procedimentos: 1) Buscam-se na Tabela os Fatores correspondestes às taxas mais próximas da taxa em questão. No caso, os Fatores de P para S das taxas 2,5% e 3%; 2) Em seguida, ordena-se as taxas em ordem crescente ou decrescente, apondo ao lado de cada taxa o correspondente Fator. No caso da taxa que não consta na Tabela, o Fator referente à mesma será a incógnita da questão; e 3) Procede-se à interpolação, conforme demonstrado abaixo> 2,5 ---- 1,159693418 2,7 ---- X 3,0 ---- 1,194052297 2,5  2,7 2,5  3



1,159693418  X 1,159693418  1,194052297



 0,2 1,159693418  X   X  1,17343697 0 , 5 0 , 034358879  

S = P.FPS(2,7%, 6)  S = 3.000,00 x 1,17343697




S = 3.520,31

55


7 – Inflação Inflação é a aumento generalizado dos preços. A inflação desvaloriza o dinheiro no tempo, já que diminui o seu poder de compra, por isso, torna-se necessário fazer uma correção monetária, a fim de recuperar o poder de compra de um determinado valor. Taxa de mercado  i

Taxa de juros

r

Taxa de juro real



Taxa de inflação

 j

7.1 – Fórmulas i  1  r 1  j  1

1 i  1 r 1 j

r 

1 i 1 1  j

j 

1 i 1 1  r

Exemplo: Caso você efetue um empréstimo de $ 10.000,00, à taxa de 3% ao mês e, por ocasião de pagamento, constate que a inflação de período (um ano) foi de 34%, qual terá sido a taxa de juros real dessa operação? P = $ 10.000,00 i = 3% a.m. n = 12 S  10.000,001,03

12

i = 42,5761% j = 34%a.a r=?

 14.257,61  i  n r 

S P

1  i 

1  0,425761

14.257,61 10.000,00

1

 i

= 0,42571

r = 6,4% a.a

1  0,34

Exercícios resolvidos: (1) Por um empréstimo de $ 15.000,00, deve-se pagar $ 19.000,00 em 1 ano. Se a inflação ao final do período for 37%, qual será a taxa de juro real dessa operação? P = 15.000,00 n = 1 ano r=?


S = 19.000,00 j = 37% a.a.

56

Matemática Financeira – Apontamentos de Aulas e Listas de Exercícios Obs.: para se calcular a taxa real (r), há necessidade de primeiramente se calcular a taxa de juros (i).

i



i



n

S P

S P





1

1

 como

i





n = 1, o radical desaparece

19.000,00 15.000,00



1

i = 0,2666666667 a.a. r 

1 i 1 1  j



r 

1  0,2666666667 1  0,37

1



r = – 0,075425791 a.a.

r = – 7,54% a.a.

(2) Se eu aplicar $ 3.000,00 e resgatar $ 3.700,00 ao final de 1 ano, qual terá sido a taxa real de juros, se nesse período for constatado as seguintes taxas de inflação: 1º trimestre 3,4%; 2º trimestre 3,11%; 3º trimestre 2,75%; 4º trimestre 3,37%? P = 3.000,00 n = 1 ano j2ºtrim = 3,11% j4ºtrim = 3,37%

i



3.700,00 3.000,00



S = 3.700,00 j1ºtrim = 3,4% j3ºtrim = 2,75% r=?

1



i = 0,233333333 a.a.

j = (1,034).(1,0311).(1,0275).(0,0337) – 1

r 

1 i 1  j

1



r 

1  0,233333333 1  0,132394295



1

j = 0,132394295 a.a.



r = 0,089137713 a.a.

r = 8,91% a.a.


57


7.2 – Exercícios sobre Inflação 1)

Uma aplicação de $ 5.000,00 rendeu juros de $ 1.500,00 no prazo de um ano. Sabendose que neste período a taxa de inflação foi de 25%, pergunta-se: qual foi a taxa de juro real obtida pelo aplicador? R: r = 4% a.a.

2)

Um indivíduo aplicou $ 540.000,00 por três meses. No mesmo período, a inflação foi de 20%. Qual valor do resgate para que a taxa real seja nula? R: S = $ 648.000,00

3)

Marta aplicou $ 10.000,00 e após 2 anos recebeu $ 3.600,00 de juros. Considerando que a inflação média durante o período de aplicação foi de 20% a.a., qual foi a taxa de juros real anual obtida pelo aplicador? R: r = – 2,82% a.a.

4)

Uma aplicação de $ 10.000,00 rendeu $ 2.000,00 em juros, durante 1 ano. Calcule a taxa de juros real da aplicação sabendo que a inflação do período foi 15%. R: r = 4,3% a.a.

5)

Pedro aplicou $ 1.000,00 em CDB pelo período de 2 anos e, ao final do período, obteve o montante de $ 1.322,5. Qual a taxa de correção monetária anual sabendo que o CDB rende juros reais de 10% a.a. R: j = 4,5% a.a.

6)

Se a taxa de mercado for 25% a.a., qual será a taxa de juros real se a taxa de inflação for de 19% a.a.? R: r = 5,04% a.a.

7)

Marcos aplicou $ 30.000,00 em um fundo de investimentos e, após 2 anos, resgatou o montante de $ 38.500,00. Considerando que a inflação do período foi de 11% a.a., qual foi a taxa de juro real anual da aplicação? R: r = 2,05% a.a.

8)

Um grupo de investidores aplicou, por um período de 24 meses, um capital de $ 10.000,00, tendo resgatado o montante de $ 16.500,00. A inflação do período foi estimada em 3,6% a.m. Qual a taxa real de juros mensal dessa operação? R: r = – 1,44% a.m.

9)

Uma aplicação de $ 3.200,00 proporcionou o resgate do montante de $ 5.100,00 num período de 8 meses, a uma taxa de juros real de 2% a.m. Pergunta-se: qual foi a taxa de inflação mensal desse período? R: j = 3,92% a.m.

10) Um investimento de $ 15.000,00 rendeu um juro no valor de $ 3.600,00, após 3 anos. Qual a taxa de inflação anual do período, se a taxa real de juros foi de 15% a.a.? R: j = – 6,58% a.a. 11) Se a taxa de juro real operada por uma determinada financeira é de 2% a.m., Qual deverá ser a taxa de juro cobrada pela mesma se a inflação estimada para os próximos meses for de 1% a.m.? R: i = 3,02% a.m. Professor Aldery Silveira Jr.

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12) Carlos viajou para a Europa para fazer seu Curso de Mestrado. Entretanto, antes de viajar fez uma aplicação de $ 4.500,00 e obteve juros de $ 6.300,00 num prazo de 2 anos. Carlos ficou curioso para saber qual o rendimento real anual dessa aplicação depois que soube que a taxa de inflação dos 2 anos foi 17%. Calcule a taxa de juro real anual dessa operação. R: r = 43,22% a.a. 13) Thiago aplicou $ 2.300,00 numa caderneta de poupança e após 6 meses percebe juros no valor de $ 700,00. Considerando que a taxa de juro real foi de 1,75% a.m., qual a taxa de inflação mensal desse período? R: j = 2,73% a.m. 14) Uma casa esta sendo vendida por $ 73.000,00 à vista ou parcelada em 60 pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro pagamento 1 mês após a compra. Considerando que o proprietário deseja juros reais de 8,5% a.a. e que a taxa de inflação anual prevista para os próximos anos seja de 15% a.a., calcule o valor das prestações. R: R = 2.030,30 15) A taxa de juros para aplicação de curto e médio prazos em um banco é de 40% a.a. Que remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 30% a.a? R: r = 7,69% a.a. 16) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% a.a. de juros reais, caso a taxa nominal seja de 25% a.a.? R: I = 11,61%a.a. 17) Por um capital de $ 6.000,00 aplicado por 2 anos, o investidor recebeu $ 5.179,35 de juros. Qual é a taxa de juros real ganha, se a inflação for de 30% a.a.? R: r = 5% a.a. 18) Carla recebeu seu FGTS e emprestou o valor recebido a uma taxa de 10% a.a. Qual deverá ser a taxa de inflação para que ela obtenha uma taxa real de juro de 4% a.a.? R: j = 5,77% a.a. 19) Uma aplicação de $ 4.000,00 rendeu juros de $ 500,00 em 1 ano. Sabendo-se que nesse período a taxa de inflação foi de 10%, qual foi a taxa de juros real obtida pelo aplicador? R: r = 2,27% a.a. 20) O capital de $ 850,00 esteve depositado durante 6 meses em uma instituição financeira que opera a uma taxa de juros reais de 2,5% ao semestre. Sabendo que a correção monetária semestral foi de 3,4% qual foi o montante auferido no final do período? R: S = $ 900,87


59


8 – Sistemas de Amortização de Divida São utilizados para financiamento de longo prazo. Normalmente com taxa de juros reais, sendo os pagamentos corrigidos monetariamente nas datas dos vencimentos, pela inflação acumulada do período (taxa pós-fixada). Os juros são calculados sobre o saldo devedor, o que caracteriza a operação como juros compostos.

Principais Sistemas de Amortização: Sistema Hamburguês (Sistema de Amortização Constante – SAC) Sistema Francês Tabela Price

  

8.1 – Sistema de Amortização Constante – SAC

 Rk  a  j  Fórmulas: 1) a K 

P n

Onde: k = período a = amortização J = Juros R = Prestação SD = Saldo Devedor

2) RK  a  jK 3) SDK 4) jK

 SDK 1  a

 r .SDk 1

Exemplo: P = $ 20.000,00; n = 5 pagamentos anuais; r = 10% ao ano

aK



20.000,00 5

 4.000,00

PLANILHA k

SD K

a K

J K

R K

0 1 2 3 4 5

20.000,00 16.000,00 12.000,00 8.000,00 4.000,00 -----

---4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00

---2.000,00 1.600,00 1.200,00 800,00 400,00

---6.000,00 5.600,00 5.200,00 4.800,00 4.400,00


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8.2 – Sistema Francês CR

 a  j 

Fórmulas:

 1  r n .r  1) R  P.  n     1 r 1  

3) SDK  SDK 1  a r.SDK1 4) jK 

2) ak  R k  jk

Exemplo:

P = $ 20.000,00; n = 5 pagamentos anuais; r = 10% ao ano

 1  0,15 .i  R  20.000.   5.275,95 5  1  0,1  1

PLANILHA k

SD K

a K

J K

R K

0 1 2 3 4 5

20.000,00 16.724,05 13.120,51 9.156,1 4.796,32 -----

----3.275,95 3.603,54 3.963,90 4.360,26 4.796,32

----2.000,00 1.672,41 1.312,06 915,66 479,63

----5.275,95 5.275,95 5.275,95 5.275,95 5.275,95

8.3 – Tabela Price Corresponde ao Sistema Francês, todavia com as seguintes alterações: 1) A taxa de juro é dada em ano, porém com capitalização mensal. 2) As amortizações são mensais.


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8.4 – Exercícios sobre Sistemas Amortização de Dívidas 1) O preço à vista de uma casa é $ 100.000,00. Se essa casa for adquirida para ser liquidada pelo SAC, em 5 prestações anuais, a juros reais de 10% a.a., qual será o valor da terceira prestação? R: R = $ 26.000,00 2) Qual é o valor das prestações, no sistema Francês, de um empréstimo de $ 18.000,00, sendo amortizado em 5 prestações anuais, com taxa real de 9% a.a. R: R = $ 4.627,66 3) Um empréstimo no valor de $ 2.000.000,00 é concedido à taxa de juros reais de 10% a.a., para ser reembolsado em 5 anos por meio de prestações anuais, sendo a primeira vencível ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. Qual o valor da última prestação? R: R = $ 440.000,00 4) Montar uma planilha de um financiamento efetuado pelo SAC relativo aos dados indicados a seguir: P = $ 64.000,00; n = 8 pagamentos anuais; e r = 12% a.a. R: Última prestação: $ 8.960,00 5) Um empréstimo de $ 30.000,00 será amortizado pelo Sistema Francês em 8 parcelas anuais, a uma taxa real de juro de 5% a.a. Qual o valor do saldo ao final do 3° ano? R: SD = $ 20.095,95 6) Qual será o valor da 4ª prestação de um financiamento de $ 20.000,00, com juros reais de 10% a.a., em 4 prestações anuais, segundo o sistema SAC? R: R = $ 5.500,00 7) Montar as planilhas do Sistema Francês do financiamento abaixo: P = $ 70.000,00 n = 7 pagamentos anuais r = 7% ao ano. R: a7 = 12.138,99 8) Um empréstimo no valor de $ 10.000,00 será amortizado pela Tabela Price, em de 12 prestações mensais, a uma taxa de juro real de 15% a.a. Indique o valor da 4ª amortização. R: a4 = $ 807,11 9) Monte a planilha de um financiamento de $ 30.000,00, efetuado pelo SAC, a ser amortizados em 4 parcelas anuais, a juros reais de 12% a.a. R: R4 = 8.400,00 10) Construa a planilha do financiamento efetuado pelo Sistema Francês, de acordo com os dados apresentados a seguir: P = $ 40.000,00; n = 5 pagamentos anuais; r = 15% a.a. R: a5 = 10.376,00


62


9 – Empréstimos com Correção Monetária Correção Monetária corresponde à recuperação do poder de compra da moeda em função da desvalorização provocada pela inflação, por essa razão, a Correção Monetária equivale justamente à taxa de inflação: CM = j.P Atualização Monetária corresponde ao capital inicial, adicionada à Correção Monetária, e é calculada pela seguinte fórmula: AM = (1 + j).P

Exemplo 1: P= $ 1.000,00 n = 1 ano j = 7% ao ano Correção Monetária = 0,07 . 1.000,00 = $ 70,00 Atualização Monetária = (1 + 0,07) . 1.000,00 = $ 1.070,00

Exemplo 2: P = $ 1.000,00 n = 3 anos Taxas anuais de inflação: ano 1 = 8,5%; ano 2 = 9,3%; ano 3 = 7,5%. AM = (1,085)(1,093)(1,075) .1.000,00 = $ 1.274,85.

9.1 – Planilha de Atualização Monetária Exemplo: P = $ 20.000,00 r = 10% ao ano n = 5 prestações anuais As prestações desse empréstimo são:

R-1 = $ 6.000,00 R-2 = $ 5.600,00 R-3 = $ 5.200,00 R-4 = $ 4.800,00 R-5 = $ 4.400,00

Atualizar monetariamente as prestações desse empréstimo, considerando as taxas anuais de inflação: ano 1: 8,37%; ano 2: 7,82%; ano 3: 9,43%; ano 4: 10,25%; ano 5: 11,36%

Planilha de Atualização ANO

INFLAÇÃO

FATOR DE ATUALIZAÇÃO

FATOR DE ATUALIZAÇÃO ACUMULADO

PRESTAÇÃO NOMINAL

PRESTAÇÃO ATUALIZADA

1 2 3 4 5

8,37% 7,82% 9,43% 10,25% 11,36%

1,0837 1,0782 1,0943 1,1025 1,1136

1,083700000 1,168445340 1,278629736 1,409689289 1,569829986

6.000,00 5.600,00 5.200,00 4.800,00 4.400,00

6.502,20 6.543,29 6.648,87 6.766,51 6.907,25

Obs.: o fator de atualização acumulado corresponde ao fator do período anterior multiplicado pelo fator do período atual. Professor Aldery Silveira Jr.

63


9.2 – Exercícios sobre Empréstimo com Correção Monetária 1)

João, querendo comprar um carro, pegou um empréstimo de $ 18.000,00, por um ano. A taxa de real contratada foi de 12% ao ano. Qual seria o valor do pagamento final desse empréstimo se a inflação do período for de 7,5%? R: S atualizado = $ 21.672,00

2)

Qual é a atualização monetária de um capital de $ 2.136,00, ao final de 4 anos, considerando uma taxa média de inflação de 7,5% a.a? R: AM = $ 2.852,57

3)

Qual será a correção monetária de um capital de $ 11.500,00, ao final de um ano, se a inflação desse período for 7,1%? R: CM = $ 816,50

4)

Pedro resolveu comprar um carro no valor de $ 40.000,00 para pagamento em 8 prestações anuais, a uma taxa real de 16% a.a. O financiamento foi efetuado pelo SAC, sendo as prestações atualizadas monetariamente pela inflação do período. Calcule o valor atualizado da 8ª prestação, considerando as seguintes taxas anuais de inflação: j1 =2%, j2 = 2,5%, j3= 3,0%, j4 = 3,5%%, j5 = 4%%, j6 = 4,2%, j7 = 4,8%, j8 = 5%? R: R 8 atualizado = $ 7.708,70

5)

Uma pessoa faz uma compra no valor de R$ 1.500,00, à taxa de juro real de 14,4% a.a., com correção monetária, para ser pago daqui a 2 anos. Determine o valor a ser pago para saldar a dívida, se as taxas anuais de inflação for: j1 = 4,2%; j2 =3.75%. R: S atualizado = $ 2.122,26

6)

Calcule a correção monetária e a atualização monetária de $ 5000,00, após 1 ano, cuja inflação do período foi 12%. R: CM = $ 600,00; AM = $ 5.600,00

7)

Após construir a planilha de financiamento pelo SAC relativa ao financiamento indicado abaixo, atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes taxas de inflação: j1 = 7%, j2 = 9% j3 = 11% j4 = 12% j5 = 15%. P = $ 20.000,00 r = 10% a.a. n = 5 pagamentos anuais R: Valor da última prestação $ 7.336,72

8)

Construa a planilha de amortização pelo Sistema Francês e a Planilha de Atualização Monetária do financiamento indicado abaixo, considerando as seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 13,2%; j2 = 5,67%; j3 = 8,12%; j4 = 11,5% e j5 = 4,5%. P = $ 20.000,00 n = 5 pagamentos anuais r = 10 % a.a. R: R5 = $ 7.950,53

9)

Elaborar a Planilha de amortização do seguinte financiamento e atualizar monetariamente as prestações, considerando as taxas anuais de inflação indicadas P = $ 40.000,00 n = 4 prestações anuais pelo SAC


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r = 10% a.a. j1: 10%; j2: 10,25%; j3: 10,59%; e j4: 11,47%. R: Prestação no ano 4 = $ 16.445,15 10) Considerando os dados abaixo, construa a Planilha de amortização pelo SAC. Posteriormente, atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes taxas anuais de inflação indicadas a seguir: P= 36.000,00 r = 10% a.a. n = 6 parcelas anuais j1 = 5%, j2 = 6,75%, j3 = 8,5%, j4 = 10,25%, j5 = 11,15% e j6 = 12,5%. R: Última prestação = $ 11.065,51 11) Construa a Planilha de financiamento do empréstimo indicado abaixo, pelo SAC, e atualize monetariamente as prestações pelas taxas de inflação indicadas: P = 87.500,00 r = 7,5% n=5 j1 = 1%, j2 = 2%, j3 = 3%, j4 = 4% e j5=5% R: R5 $ 21.798,57 12) Atualize monetariamente as prestações relacionadas abaixo, considerando as taxas anuais de inflação indicadas logo a seguir: Ano 1: R = $ 22.500,00 Ano 2: R = $ 20.000,00 Ano 3: R = $ 17.500,00 Ano 4: R = $ 15.000,00 Ano 5: R = $ 12.500,00 j1 = 11,50%; j2 = 10,95%; j3 = 10,23%; j4 = 9,89%; j5 = 8,75%. R: R5 = $ 20.370,40 13) Atualize monetariamente as seguintes prestações: R1 = $ 7.000,00 R2 = $ 5.500,00 R3 = $ 2.300,00 Inflações anuais: j1 = 7,0%, j2 = 5,5% e j3 = 5,0%. R: R3 = $ 2.726,17 14) Um carro de $ 20.000,00 foi comprado para pagamento em cinco prestações, a uma taxa real de 8% a.a. O financiamento foi efetuado pelo SAC, sendo as prestações atualizadas monetariamente pela inflação. Calcule o valor atualizado da 5ª prestação, considerando as seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 1%, j2 = 1,5%, j3 = 3,7%, j4 = 4,8% e j5 = 6,4% R: 5ª prestação = $ 5.120,98.

15) Atualize monetariamente as seguintes prestações, considerando as taxas anuais de inflação indicadas a seguir: R1 = 16.000,00 R2 = 20.000,00 R3 = 30.000,00 R4 = 12.000,00 J1 = 15%; j2 = 12%; j3 = 13%; e j4 = 18% R: Prestação do ano 4 = $ 20.609,03 Professor Aldery Silveira Jr.

65


16) Considerando os dados abaixo, construa a Planilha de financiamento pelo SAC e atualize monetariamente as prestações pelas seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 7%, j2 = 8%, j3 = 9%, j4= 10%. P = 20.000,00 r = 7% a.a. n = 4 parcelas R: Última prestação $ 7.412,77 17) Considerando os dados abaixo construa a Planilha de financiamento pelo Sistema Francês e atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes taxas anuais de inflação: j1=1,53% ; j2= 1,43% ; j3=1,17% ; j4= 1,52% P= $ 31.547,08 n = 4 prestações anuais r = 10% a.a. R: Última prestação $ 10.526,46 18) Atualize monetariamente as seguintes prestações, considerando as taxas anuais de inflação indicadas: R1 = $ 4.000,00 R2 = $ 5.500,00 R3 = $ 2.300,00 j1 = 5%; j2 = 8%; e 3j = 6,5%. R) R3 atualizado = $ 2.777,73 19) Qual o valor da correção monetária do capital de $ 45.000,00, após 1 ano, considerando uma inflação anual de 5%? R: CM = $ 2.250,00 20) Montar a Planilha do financiamento indicado abaixo pelo Sistema Francês e atualizar monetariamente as prestações pelas taxas anuais de inflação indicadas: P = $ 15.000,00 n = 6 pagamentos anuais r = 8,5% a.a. j1 = 6,5%, j2 = 5,34%, j3 = 7,32%, j4 = 4,98%, j5 = 5,67% e j6 = 3,45%. R: Última prestação = $ 4.551,46


66


10 – Engenharia Econômica Corresponde a um conjunto de técnicas utilizadas na analise econômico-financeira de alternativas de investimentos. O Presente curso se aterá apenas à análise da parte financeira das alternativas de investimentos.

Tipos de Alternativas de Investimentos  Alternativas

Mutuamente Exclusivas: possuem o mesmo objetivo – a escolha de uma implica necessariamente na rejeição das demais.

 Alternativas

Independentes: possuem objetivos diferentes – a escolha de uma não implica na rejeição das demais.

No presente curso, estudar-se-á apenas as alternativas Mutuamente Exclusivas.

Quesitos a serem observados no processo de análise  Alternativa

Comparativa ( I0) – alternativa de investimento que o Investidor dispõe e que servirá de parâmetro para a análise das demais.

 Custo

de oportunidade – o que o investidor deixa de ganhar por optar por outra alternativa de investimento.



Vida útil do investimento – tempo de maturação do investimento.

Critérios de análise  Aceitação:

deve-se, em princípio, aceitar todas as alternativas que sejam mais atrativas que o I . 0

 Seleção:

dentre as alternativas aceitas, selecionar a melhor.

Principais Métodos de Análise a) Métodos Simplificados  

Método da Taxa Média de Retorno (Método Contábil). Método dos Períodos de Pay Back .

b) Método Baseados no Desconto de Fluxo de Caixa  

Método do Valor Atual. (Valor Presente Líquido) Método da Taxa Interna de Retorno - TIR


67


Análise de Alternativas de Investimento:

Apresenta-se, a seguir, um exemplo de duas alternativas de investimentos, onde constam os desembolsos iniciais e as entradas líquidas de caixa de cada uma das alternativas, a partir das quais serão efetuadas as análises financeiras pelos métodos supracitados: Ano

Alternativa A

Alternativa B

0 1 2 3 4 5 6

-120.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00

-145.000,00 90.000,00 45.000,00 40.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00

10.1 – Análise pelo Método da Taxa Média de Retorno Consiste em calcular a media anual das entradas liquidas de caixa, dividir pelo investimento inicial e multiplicar por 100, obtendo-se, assim, a Taxa Média percentual de Retorno de cada uma das alternativas em análise. Em seguida, compara-se o resultado encontrado com o I0 (investimento inicial) e aplica-se os critérios de aceitação e seleção. TMRA = (40.000,00 / 120.000,00) x 100 = 33,33% a.a. TMRB = 90.000,00 + 45.000,00 + 40.000,00 + 25.000,00 + 25.000,00 + 25.000,00 / 6) / 145.000,00 x 100 = 28,74% a.a. Considerando um I0 = 20% ao ano, tem-se:

Critério de Aceitação: aceitam-se ambas, já que TMR A/B > 20% a.a. Critério de Seleção: seleciona-se a de maior TMR, no caso em analise, a Alternativa A.

10.2 – Análise pelo Método dos Períodos de Pay

Back

Consiste em calcular os períodos de retornos das alternativas em analise, comparar com e aplicar os critérios de aceitação e seleção.

I0

Pay -A = 3 anos Pay -B = 2 anos e 3 meses.

= 4 anos:

I0

Critérios de Aceitação: aceitar ambas, pois possuem pay pack < 4 anos Critérios de Seleção: selecionar a de menor pay back , no caso, a Alternativa B


68


10.3 – Análise pelo Método do Valor Atual Consiste em calcular o Valor Atual de todas as alternativas em analise, utilizando para tal uma taxa de juros que o investidor tenha garantido ( I0), e aplicar os critérios de aceitação e seleção. = 20% VAA (20%) = - 120.000,00 + 40.000,00 FRP(20%,6) = 13.020,40 VAB (20%) = - 145.000,00 + 90.000,00 FSP(20%,1) + 45.000,00 FSP(20%,2) + 40.000,00 FSP(20%,3) + 25.000,00 FRP(20%,3).FSP(20%, 3) = -145.000,00 +7 5.000,00 + 31.249,98+23.148,00 + 30.475,50 = = 14.873,48 I0

Critérios de Aceitação: aceitar ambas, pois as duas possuem VA > 0 Critérios de Seleção: selecionar a Alternativa B, pois esta Alternativa apresenta o maior valor atual (ou maior Valor Presente Líquido).

10.4 – Análise pelo Método da Taxa interna de Retorno Consiste em calcular a TIR de cada uma das alternativas em análise, comparar com aplicar os critérios de aceitação e seleção.

I0

e

A TIR de uma alternativa de investimento é a taxa que iguala as entradas líquidas de caixa ao investimento inicial na data zero, conforme demonstrado a baixo: TIRA TIRB

- 120.000,00 + 40.000,00 FRP( i,6) = 0  120.000,00 = 40.000,00 FRP(i,6) 

-145.000,00 + 90.000,00 FSP(i,1) + 45.000,00 FSP(i,2) + 40.000,00 FSP(i,3) + 25.000,00 FRP(i,3).FSP(i,3) = 0  145.000,00 = 90.000,00 FSP(i,1) + 45.000,00 FSP(i,2) + 40.000,00 FSP(i,3) + 25.000,00 FRP(i,3).FSP(i,3)

Para se calcular a TIR de uma alternativa de investimento, existem três formas distintas:   

Por meio de uma calculadora financeira, que dá esse resultado imediatamente; ou Por meio de tentativa e erro, que consiste em um método bastante trabalhoso; ou Por meio da interpolação, que será demonstrado a seguir:

Para se conseguir a TIR por meio da interpolação, primeiro deve-se estimar duas taxas aleatoriamente. Em seguida, calcula-se o valor atual de cada uma das alternativas em análise com as taxas estimadas e interpola-se os resultados, com o intuito de se obter o Valor Presente Líquido = ZERO. Vide demonstração abaixo:

Taxas estimadas: 20% e 25% ao ano. Cálculo da TIR da Alternativa “A”

VAA (20%)

– 120.000,00 + 40.000,00 FRP( 20%,,6) = VPL

120.000,00 + 40.000,00 . 3,32551 = 13.020,40 Professor Aldery Silveira Jr.

69


VAA (25%) 20% TIR 25%

  

– 120.000,00 + 40.000,00 FRP( 25%,,6) = VPL 120.000,00 + 40.000,00 . 2,95142 = – 1.943,20

13.020,40 0 – 1.943,20

Resolvendo, temos: – 1.943,20) (20 - TIR / 20 – 25) = 13.020,40 – 0 / 13.020,40 – ( – TIR = 24,29%

TIRA = 24,29% ao ano Cálculo da TI R da Alternativa “B” VAB (20%)  – 145.000,00 + 90.000,00 FSP(20%, 1) + 45.000,00 FSP(20%, 2) + 40.000,00 FSP(20%, 3) + 25.000,00 FRP(20%, 3).FSP(20%, 3) = 14.873,86 VAB (25%)  – 145.000,00 + 90.000,00 FSP(25%, 1) + 45.000,00 FSP(25%, 2) + 40.000,00 FSP(25%, 3) + 25.000,00 FRP(25%, 3).FSP(25%, 3) = 1.265,60

Interpolando os valores encontrados, temos: 20%  14.873,86 (20 - 25 / 20 – TIR) = 14.873,86 – 1.265,60 / 14.873,86 – 0 25%  1.265,60 TIR = 25,51% TIR  0 TIRB = 25,51% ao ano Aplicando os critérios de Aceitação Aceitação e Seleção: I0 = 20% ao ano.

Critério de Aceitação: aceitar ambas, pois apresentam TIR > 20% ao ano Critério de Seleção: selecionar a Alternativa B (possui a maior TIR).

10.5 – Exercícios sobre Engenharia Econômica 1)

Considerando as seguintes seguintes opções opções de investimento investimento representadas representadas na tabela tabela abaixo, abaixo, responda os quesitos que se seguem:

Alternativas Ano 0 A - 30.000,00 B - 70.000.00 C - 100.000,00

Ano 1 8.000,00 30.000,00 35.000,00

Ano 2 10.000,00 48.000,00 40.000,00

Ano 3 20.000,00 18.000,00 50.000,00

a) Qual os paybacks das alternativas A e B? R: Pay A = 2 anos e 7 meses; Pay B = 1 ano e 10 meses b) Calcule a taxa média de retorno da alternativa B. R: TMR B = 45,71% c) Calcule o payback da da alternativa C e considerando como I0 um payback de 3 anos, indique qual é a melhor alternativa alte rnativa entre as 3 apresentadas R: Pay C = 2 anos e 6 meses – é a melhor alternativa: alternativa B Professor Aldery Silveira Jr.

70


d) Qual a taxa média de retorno da alternativa A? R: TMR A = 42,22% e) Considerando como I0 uma TMR de 38% a.a., entre a alternativa A e B, qual é a mais vantajosa? R: Alternativa B. 2)

Calcule o payback dos investimentos investimentos a seguir e diga qual o melhor deles considerando considerando como I0 4 anos.

Ano 0 1 2 3 4 5

Investimento X -10.000,00 2.000,00 4.000,00 3.000,00 1.000,00 500,00

Investimento Y -12.000,00 4.000,00 1.500,00 3.500,00 2.000,00 1.000,00

Investimento Z -16.000,00 4.000,00 7.000,00 5.000,00 3.000,00 4.000,00

R: Payx = 4 anos; Payy = 5 anos e Payz = 3 anos. Logo, o melhor dos 3 é o investimento Z 3)

Analise as alternativas de investimento investimento abaixo abaixo pelo método método da taxa média de de retorno e aplique os critérios de aceitação e seleção, considerando como I0 TMR = 15% a.a.

Ano 0 1 2 3 4 5

Investimento X - 45.000,00 15.000,00 20.000,00 10.000,00 8.000,00 5000,00

Investimento Y - 36.000,00 14.000,00 16.500,00 5.500,00 12.000,00 11.000,00

Investimento Z - 64.000,00 20.000,00 10.000,00 34.000,00 12.000,00 15.000,00

R: Critério de aceitação: aceitam-se as três alternativas pois possuem TMR > 15%. Critério de seleção: seleciona-se a alternativa Y, pois possui a maior TMR (32,7% a.a.) 4)

Calcule os paybacks das alternativas de investimentos abaixo e aplique os critérios de aceitação e seleção, considerando um I0 de 3 anos:

Ano 0 1 2 3 4 5

Investimento X -40.000,00 15.000,00 10.000,00 5.000,00 8.000,00 2000,00

Investimento Y -36.000,00 14.000,00 6.500,00 5.500,00 12.000,00 11.000,00

Investimento Z -64.000,00 20.000,00 20.000,00 24.000,00 12.000,00 15.000,00

R: Payx = 5 anos, Payy = 3ª e 10m e Payz = 3 anos. Logo a melhor das 3 é o investimento Z Professor Aldery Silveira Jr.

71


5)

Das alternativas de investimento investimento abaixo, qual é a melhor, melhor, considerando considerando como I0 uma TMR de 21% a.a.?

Ano 0 1 2 3 4 5

Investimento Y - 78.000,00 28.000,00 16.000,00 34.000,00 18.000,00 21.000,00

Investimento Z - 74.000,00 10.000,00 15.000,00 28.000,00 17.000,00 24.000,00

R: Critério de aceitação: aceitar ambas as alternativas, pois possuem TMR > 21%. Critério de seleção: Selecionar a de maior TMR, ou seja, a alternativa Y, com TMR = 30% a.a. 6)

Com base nas alternativas alternativas de de investimentos investimentos indicadas indicadas abaixo, abaixo, responda responda os quesitos quesitos que se seguem:

Alternativas A B C

Ano 0 - 45.000,00 - 35.000,00 - 25.000,00

Ano 1 25.000,00 5.000,00 2.000,00

Ano 2 10.000,00 5.000,00 30.000,00

Ano 3 40.000,00 60.000,00 10.000,00

a) A taxa media de retorno da alternativa A. R: 55,55% b) O valor atual da alternativa B e C, tendo como I0 20% a.a. Aplicar os critérios de aceitação e seleção. R: Aceitar ambas e selecionar a alternativa B 7)

Hernandes, como como investidor investidor audacioso, audacioso, estava a procura procura de novos investimentos e teve teve uma proposta de uma empresa no ramo de hidrelétrica que estava prestes a construir uma barragem. Hernandes almejava por retorno do investimento em 02 anos. Verifique se tal proposta seria viável pelo método dos períodos de payback .

Anos 0 1 2 3 4 5

Investimento Valores Saldo Projetado - 3.000,00 - 3.000,00 900,00 - 2.100,00 1.000,00 - 1.100,00 2.000,00 900,00 2.500,00 3.400,00 3.000,00 6.400,00

R: P a y b a c k = = 2 anos, 6 meses e 18 dias. Não é viável tendo em vista que o tempo de retorno do investimento é maior que o tempo esperado pelo investidor.


72


8)

Apresentam-se, a seguir, os fluxos de caixa de três projetos de investimentos. Determine a melhor alternativa pelos seguintes metidos de análise: taxa média de retorno, períodos de payback e valor atual, considerando as seguintes alternativas comparativas ( I0): TMR = 30% a.a.; payback = 4 anos; e VA = 20% a.a.

Alternativas ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 ano 4 ano 5 A - 50.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 12.000,00 B - 60.000,00 9.000,00 16.000,00 19.000,00 24.000,00 26.000,00 C - 70.000,00 10.000,00 18.000,00 20.000,00 24.000,00 27.000,00 a) Taxas Médias de Retorno. R: TMRA = 24%; TMRB = 31,33%; TMRC = 28,28% b) Paybacks.

R: 4 anos e 2 meses; B = 3 anos e 8 meses; C = 4 anos

c) Valores Atuais. R: VA(A) = - $ 14.112,65; VA(B) = - $ 8.370,63; VA(C) = - $ 15.167,82 9)

Uma determinada empresa dispõe das duas alternativas abaixo para investimento imediato, no entanto, deverá descartar a menos lucrativa. Indique a alternativa a ser descartada, utilizando, para tanto, o método da TIR e I0 de 15% ao ano:

Projeto A B

Ano 0 - 250.000 - 260.000

Ano 01 78.000 82.000

Ano 02 78.000 49.000

Ano 03 78.000 82.500

Ano 04 78.000 85.000

Ano 05 78.000 88.000

R: a alternativa a ser descartada é a B, pois apresenta uma TIR de 14,21% a.a., inferior ao I0 e inferior à TIR do Projeto A. 10) Considerando os fluxos de caixa das alternativas de investimento abaixo, responda os quesitos que se seguem:

Alternativa A B

Ano 0 - 30.000,00 - 30.000,00

Ano 1 18.500,00 18.000,00

Ano 2 14.200,00 14.500,00

Ano 3 10.000,00 9.800,00

a) Qual é a taxa média de retorno das alternativas A e B? R: TMRA=47,44%; TMRB=47% b) Quais são os paybacks de A e de B? R: PayA= 1 ano e 10 meses ; PayB= 1 ano e 10 meses c) Quais são os valores atuais das alternativas A e B? ( I0 =15% a.a.) R: VAA=3.399,36; VAB=3.059,92 d) Quais são as TIR das alternativas A e B? ( I0 = 20% a.a.) R: TIRA = 22,59% a.a. e TIRB = 21,81% a.a. Professor Aldery Silveira Jr.

73


11) Calcule os valores atuais (VPL) das alternativas abaixo, considerando um I0 de 10% a.a. e aplique os critérios de aceitação e seleção:

Ano 0 1 2 3

Alternativa A - 25.000,00 9.000,00 15.000,00 21.000,00

Alternativa B - 35.000,00 15.000,00 22.000,00 25.000,00

Alternativa C - 45.000,00 21.000,00 25.000,00 27.000,00

R: A = $ 11.355,11; B = $ 15.601,04; C = $ 15.037,57. Aceitam-se as três e seleciona-se a alternativa B. 12) Considerando como I0 uma taxa de 11% a.a., calcule o valor atual das alternativas Alfa e Gama apresentadas a seguir:

Alternativa Alfa Gama

Ano o Ano 1 Ano 2 Ano 3 -105.000,00 70.000,00 20.000,00 38.000,00 -360.000,00 120.000,00 120.000,00 120.000,00

R: VA Alfa = $ 2.080,78 e VA Gama = $ - 66.754,23 13) Calcule o valor atual dos seguintes alternativas de investimentos, considerando I0 = 20% a.a.

Anos 0 1 2 3 4

Alternativa A - 120.000,00 70.000,00 40.000,00 40.000,00 40.000,00

Alternativa B - 130.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00 60.000,00

R: VAA = $ 8.549,38; VAB = $ 25.324,07 14) Uma loja oferece um microcomputador com duas alternativas para o pagamento. Alternativa 1: $ 1.000,00 de entrada, mais duas parcelas mensais de $ 3.000,00 cada uma. Alternativa 2: Sem entrada, 4 parcelas mensais de $ 1.250,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a compra, mais uma quinta parcela de $ 2.000,00. Considerando I0 = 2% a.m., indique a melhor alternativa, considerando o método de análise do Valor Atual? R: Alternativa 2


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Manual de Matematica Financeira

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