Manual Ecuatii Diferentiale Teorie Si Ex. Rezolvate

GAVRIIL PĂLTINEANU

PAVEL MATEI

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU

APLICAŢII

Bucureşti 2007

Referent ştiinţific: prof. univ. dr. ILEANA TOMA Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti

PREFAŢĂ Teoria ecuaţiilor diferenţiale şi a ecuaţiilor cu derivate parţiale reprezintă un domeniu fundamental al matematicii cu numeroase aplicaţii în diferite domenii ale ştiinţei şi tehnicii, precum: mecanică, astronomie, termodinamică, optică, elasticitate, chimie, biologie etc. Necesitatea creării acestei teorii a început odată cu apariţia calculului diferenţial şi integral şi provine din faptul că numeroase fenomene şi procese din natură se modelează matematic prin ecuaţii diferenţiale sau prin ecuaţii cu derivate parţiale. Iată câteva dintre aceste procese: mişcarea unui punct material într-un câmp conservativ, vibraţiile unui sistem oscilant, căderea liberă a corpurilor, deplasarea unei membrane elastice sub acţiunea unei încărcări continue, propagarea căldurii într-o bară, dezintegrarea radioactivă, creşterea populaţiei, diverse reacţii chimice etc. Primele contribuţii notabile în teoria ecuaţiilor diferenţiale aparţin creatorilor analizei matematice Isaac Newton (1642-1727) şi G. M. Leibniz (1646-1716). Pornind de la studiul problemelor de dinamică a punctului material, Newton a G JG G dv , relaţie care reprezintă o ecuaţie descoperit legea a doua a mecanicii: F = m ⋅ a = m ⋅ dt diferenţială. Combinând această lege cu legea gravitaţiei, el a calculat orbitele planetelor şi a unor comete. Leibniz a fost condus la studiul ecuaţiilor diferenţiale de o problemă de geometrie, aşa numita problemă inversă a tangentelor, care constă în determinarea unei curbe plecând de la unele proprietăţi ale tangentei la curbă. Leibniz este cel care a introdus termenul de ecuaţie diferenţială. Lista matematicienilor care şi-au adus contribuţia la dezvoltarea teoriei ecuaţiilor diferenţiale continuă cu fraţii Johann şi Daniel Bernoulli, Euler, Laplace, Lagrange, Cauchy, Fourier, Poincaré, Picard, Liapunov, Voltera etc.

6

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII

L. Euler a dat o primă definiţie clară a ecuaţiei diferenţiale, explicând şi în ce constă rezolvarea unei astfel de ecuaţii. După L. Euler, o ecuaţie diferenţială este o relaţie între x, y şi p =

dy şi rezolvarea ei constă în găsirea unei relaţii între x şi y care nu-l mai conţine pe p. dx

Dintre numeroasele rezultate obţinute de Euler în domeniul ecuaţiilor diferenţiale, amintim metoda de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale de ordinul n cu coeficienţi constanţi, cu numeroase aplicaţii în mecanică şi fizică. Problema existenţei şi unicităţii soluţiei unei ecuaţii diferenţiale a fost formulată şi rezolvată pentru prima oară de Cauchy şi ulterior simplificată de Lipschitz. Metoda aproximaţiilor succesive aparţine lui Picard,iar forma sa abstractă lui Stefan Banach. Lucrarea de faţă conţine un minimum de cunoştinţe de bază din domeniul ecuaţiilor diferenţiale şi al ecuaţiilor cu derivate parţiale, care nu pot să lipsească din cultura matematică a unui inginer constructor. Sunt prezentate următoarele capitole: Ecuaţii diferenţiale, Sisteme de ecuaţii diferenţiale, Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi, Serii Fourier, Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea, Elemente de calcul variaţional. Am încercat să iniţiem pe cititori în procesul de modelare a proceselor de evoluţie prin ecuaţii diferenţiale sau ecuaţii cu derivate parţiale, în studiul existenţei şi unicităţii soluţiei unei asemenea ecuaţii, în însuşirea algoritmilor de calcul a soluţiei precum şi în interpretarea rezultatelor. În cadrul fiecărui capitol sunt prezentate exemple rezolvate integral, care contribuie la o bună înţelegere a teoriei. Am fost preocupaţi tot timpul pentru a păstra un echilibru între rigoare şi accesibilitate. Cartea se adresează în special studenţilor Universităţii Tehnice de Construcţii Bucureşti, dar în egală măsură şi altor categorii de studenţi din universităţi tehnice, precum şi unor specialişti din cercetare şi proiectare. Mulţumim referentului ştiinţific, doamna prof. univ. dr. Ileana Toma, pentru observaţiile şi aprecierile făcute în urma citirii manuscrisului. Autorii

CAPITOLUL 1

ECUAŢII DIFERENŢIALE

1.1. Noţiuni generale. Exemple. Teorema de existenţă şi unicitate Prin ecuaţie diferenţială ordinară de ordinul n se înţelege orice relaţie de forma: F ( x, y, y ' , y ' ' ,..., y ( n ) ) = 0 ,

(1)

unde x este variabila independentă, y = y (x ) este funcţia necunoscută, y ' , y ' ' , ..., y (n ) sunt derivatele funcţiei y şi F este o funcţie reală continuă definită pe un domeniu Ω ⊂ Dacă F ∈C

(1)

(Ω) (1) şi derivata parţială

n+1

.

∂F ≠ 0 pe Ω , atunci din teorema funcţiilor ∂y ( n )

implicite rezultă că, local, ecuaţia (1) se poate pune sub forma y ( n ) = f ( x, y, y ',..., y ( n −1) ) .

(2)

Ecuaţia diferenţială (2) se numeşte forma normală a ecuaţiei (1). Prin soluţie a ecuaţiei (1) [respectiv (2)] pe intervalul I ⊂

ϕ:I →

, de clasă C

(n)

, se înţelege orice funcţie

( I ) (2) , care verifică ecuaţia

F ( x, ϕ ( x), ϕ '( x),..., ϕ ( n ) ( x)) = 0 , ∀x ∈ I respectiv

ϕ ( n ) ( x) = f ( x, ϕ '( x),..., ϕ ( n −1) ( x)) , ∀x ∈ I . Evident, se presupune că pentru orice x ∈ I , punctul ( x, ϕ ( x), ϕ '( x),..., ϕ ( n ) ( x)) ∈ Ω . Graficul unei soluţii a ecuaţiei diferenţiale (1) se mai numeşte şi curbă integrală a acestei ecuaţii diferenţiale. Cea mai simplă ecuaţie diferenţială se întâlneşte la calculul integral şi constă în aflarea (1)

F este de clasă C

(2)

ϕ este de clasă C

(1)

pe Ω , dacă F şi derivatele sale parţiale de ordinul întâi sunt continue pe Ω .

(n)

pe I , dacă

ϕ şi derivatele sale ϕ ' , ϕ '' ,..., ϕ ( n ) sunt continue pe I.

8


primitivei unei funcţii. Într-adevăr, fiind dată funcţia continuă f : I ⊂

→

, dacă notăm cu

y primitiva sa, atunci obţinem ecuaţia diferenţială: y ' = f ( x) , x ∈ I .

(3)

Soluţia ecuaţiei diferenţiale (3) este y ( x) = F ( x) + C ,

(4)

unde F este o primitivă a lui f pe I. Constatăm că soluţia căutată nu este unică, ci există o infinitate de soluţii ale ecuaţiei (3). Soluţia (4) a ecuaţiei (3), care depinde de o constantă arbitrară C, se numeşte soluţia generală. Fiecare soluţie particulară se obţine din soluţia generală dacă dăm constantei C o valoare numerică concretă. Numeroase probleme din ştiinţă şi tehnică se modelează matematic prin ecuaţii diferenţiale. Exemplul 1.1.1. Să studiem căderea liberă a unui punct material, sub acţiunea forţei gravitaţionale. Alegem ca axă Oy dreapta verticală pe care se mişcă (cade) punctul; originea este la suprafaţa pământului, iar sensul pozitiv îl alegem în sus. Notăm cu y(t) coordonata punctului M la momentul t. Aşadar, variabila independentă este timpul t, iar funcţia necunoscută este y = y (t ) . De la mecanică ştim că acceleraţia este y ''(t ) ; pe de altă parte, se ştie că acceleraţia gravitaţională este constantă, se notează cu g şi este aproximativ egală cu 9,81 m / s 2 . Cum acceleraţia gravitaţională este orientată în jos, în sistemul de coordonate ales, va avea semnul

− . Egalând cele două acceleraţii ale punctului, obţinem ecuaţia diferenţială: y ''(t ) = − g .

(5)

După prima integrare, obţinem: y '(t ) = − gt + C1 ,

(6)

iar după a doua integrare: y (t ) = g

t2 + C1 t + C2 . 2

(7)

Expresia (7) reprezintă soluţia generală a ecuaţiei (5) şi conţine două constante arbitrare C1 şi C2 . Din (6), pentru t = 0 , deducem:

9

1. Ecuaţii diferenţiale

C1 = y '(0) = v0 - viteza iniţială a punctului. Procedând asemănător în (7), obţinem: C2 = y (0) = y0 - poziţia iniţială a punctului. Cu aceste notaţii, obţinem soluţia particulară y (t ) = − g

t2 + v0t + y0 . 2

(8)

Aşadar, dacă cunoaştem poziţia iniţială y0 a punctului şi viteza sa iniţială v0 , din (8) putem calcula poziţia punctului material în cădere liberă la fiecare moment t. Exemplul 1.1.2. Se ştie că viteza de descompunere a radiului este direct proporţională cu cantitatea de radiu existentă. Să presupunem că în momentul t = 0 , avem R0 grame de radiu. Să notăm cu R (t ) cantitatea (în grame) de radiu existentă (rămasă) la momentul t > 0 şi cu c ( c > 0 ) coeficientul de proporţionalitate. Suntem conduşi la ecuaţia diferenţială R '(t ) = −cR (t ) .

(9)

Se verifică, prin derivare, că soluţia acestei ecuaţii diferenţiale este R (t ) = R0 e − ct .

(10)

Exemplul 1.1.3. Să studiem oscilaţiile mici ale unui pendul (fig. 1). Notăm cu y(t) unghiul format de pendul cu axa verticală la momentul t, cu l lungimea pendulului şi cu g acceleraţia gravitaţională. Asupra punctului material P

M

de masă m acţionează forţa gravitaţională F , de mărime F = mg , care se descompune în componentele F1 şi

y

F2 , de mărimi F1 = mg cos ϕ şi F2 = mg sin ϕ . Presupunând firul inextensibil, acţiunea forţei F se reduce la componenta F2 . Observăm că F2 este

P

Fig. 1 O

F2

y

F1

orientată spre origine şi este tangentă la arcul de cerc OP . Lungimea arcului OP este egală cu ly(t), de unde deducem că acceleraţia unghiulară va fi ly ''(t ) . Din

F

legea a doua a lui Newton, rezultă că:

10


ml ⋅ y ''(t ) = − F2 = −mg sin y (t ) . Deoarece pentru oscilaţii mici (adică valori mici ale lui y), putem aproxima sin y ≈ y , mai departe obţinem ecuaţia y ''(t ) +

g y (t ) = 0 . l

(11)

Se poate arăta că, soluţia generală a acestei ecuaţii diferenţiale este

y (t ) = A cos(

g t + ϕ) , l

(12)

unde A şi ϕ sunt nişte constante arbitrare. Exemplul 1.1.4. Să analizăm mişcarea unui punct material de masă m care se deplasează pe axa Ox sub acţiunea unei forţe elastice F orientată spre origine. Dacă notăm cu x(t) distanţa de la punctul material la origine, la momentul t > 0 , atunci, din legea a doua a lui Newton, rezultă că: mx (t ) = F .

Pe de altă parte, F fiind o forţă elastică, este de forma F = −ω 2 x(t ) . Obţinem astfel ecuaţia diferenţială a oscilatorului armonic: mx(t ) + ω 2 x(t ) = 0 .

(13)

Soluţia generală este de forma x(t ) = A cos(ω t + ϕ ) , A ≥ 0 ,

unde A şi ϕ sunt nişte constante arbitrare. În ipoteza suplimentară a existenţei unei forţe de frecare proporţională cu viteza, de forma − k ⋅ x(t ) şi a unei forţe exterioare f(t) aplicată punctului material, se obţine o ecuaţie diferenţială mai complicată şi anume: mx(t ) + kx(t ) + ω 2 x(t ) = f (t ) .

(14)

Exemplul 1.1.5. Să studiem geometria unei oglinzi care are proprietatea că reflectă razele luminoase provenite de la o sursă punctuală O, sub forma unui fascicol paralel cu o direcţie dată.

11


Alegem punctul O ca origine a axelor de coordonate, axa Ox dreapta paralelă cu fascicolul şi dreapta Oy perpendiculară pe Ox (fig. 2). Fie y = y ( x ) , curba de intersecţie dintre corpul oglinzii şi planul xOy. Fie P(x,y) un punct de pe curbă, fie T punctul de intersecţie dintre tangenta în P la curbă şi axa Ox şi fie PR perpendiculara pe tangentă în punctul P. Cum PQ este paralelă cu Ox rezultă că unghiul de incidenţă

ωi

OTP = α . Ţinând seama că

este egal cu unghiul de reflexie

ωr , deducem că

xOP = 2α . Aşadar, panta dreptei OP este

θ = OPT = 900 − ωi = 900 − ωr = α , deci tg 2α =

QPT ' =

2tgα y . Pe de altă parte, panta dreptei PT, este tgα = y '( x) . Cum tg 2α = , rezultă 1 − tg 2α x

ecuaţia diferenţială 2y ' y = , 2 1− y ' x

y T’

P(x,y)

θ

care se mai scrie sub forma:

y=y(x) M[0,y(ω)]

α

2 x = y(

Q

ωr ωi

Derivând această ecuaţie în raport

R

2α

α O

T

1 − y ') . y'

x

cu y şi ţinând seama că

dx 1 = , dy y '

obţinem: Fig. 2

şi mai departe 1 dy ' 1 + y'= − (1 + 2 ) y' dy y' sau

1 + y '2 dy ' 1 + y '2 = −y⋅ ⋅ . y' dy y '2 Simplificând cu y ' şi cu 1 + y '2 , rezultă: 1= − deci

y dy ' , y ' dy

2⋅

1 1 1 dy ' dy ' ) = − y '+ y ( − 2 ⋅ − y' y' y ' dy dy

12


dy ' dy = . y' y

(15)

După o primă integrare, obţinem

ln y ' = ln y + ln C1 , C1 > 0 , sau yy ' = C1 respectiv yy ' = −C1 . După încă o integrare, rezultă

y2 = C1 x + C2 , deci 2

y 2 = 2C1 x + 2C2 .

(16)

Aşadar, am obţinut o familie de parabole. Fie M punctul de intersecţie al curbei y = y ( x ) cu axa Oy. Deoarece triunghiul OMT este dreptunghic isoscel, rezultă că α = 450 , deci y '(0) = 1 . Dacă în (16) facem x = 0 , obţinem C2 =

y 2 (0) . 2

(17)

Pe de altă parte, derivând (16), rezultă yy ' = C1 . C12 Cum y '(0) = 1 , rezultă y (0) = C1 şi mai departe C2 = . Prin urmare, soluţia 2 generală a ecuaţiei (15) este y 2 = 2C1 x + C12 ,

(18)

care reprezintă din punct de vedere geometric o familie de parabole simetrice faţă de axa Ox. Focarul acestor parabole coincide cu originea O a axelor de coordonate. Dacă fixăm C1 şi rotim parabola în jurul axei Ox, obţinem paraboloidul de rotaţie y 2 + z 2 = 2C1 ( x +

C1 ). 2

Aşadar, oglinda are forma unui paraboloid de rotaţie. Aşa cum am văzut şi în exemplele prezentate, o ecuaţie diferenţială poate avea o infinitate de soluţii. Fie ecuaţia diferenţială de ordinul întâi sub formă normală: y ' = f ( x, y )

unde f este o funcţie continuă definită pe mulţimea deschisă D ⊂

(19) 2

.

13


Pentru a izola o anumită soluţie a ecuaţiei (19), se impune o condiţie iniţială şi anume: pentru x = x0 , soluţia să ia valoarea y0 . Din punct de vedere geometric, aceasta revine la găsirea curbei integrale care trece prin punctul M 0 ( x0 , y0 ) ∈ D . Definiţia 1.1.1. Se numeşte problema Cauchy pentru ecuaţia diferenţială (19) şi punctul M 0 ( x0 , y0 ) ∈ D , problema care constă în determinarea unei soluţii y = ϕ ( x ) , x ∈ I , a ecuaţiei diferenţiale (19), care verifică condiţia iniţială: ϕ ( x0 ) = y0 .

(20)

Lema 1.1.1. Rezolvarea problemei Cauchy (19) - (20) este echivalentă cu rezolvarea ecuaţiei integrale: x

y( x) = y0 + ∫ f [t, y(t )] dt , x ∈ I . x0

(21)

Demonstraţie. Într-adevăr, dacă y = ϕ ( x) , x ∈ I , este soluţie pentru problema Cauchy (19) - (20), atunci ϕ ′(t ) = f [t,ϕ (t )] , ∀ t ∈ I şi ϕ ( x0 ) = y0 .

Integrând prima identitate, obţinem: x

x

x0

x0

ϕ ( x) − ϕ ( x0 ) = ∫ ϕ ′(t )d t = ∫ f [t,ϕ (t )] d t , ∀x ∈ I . x

Cum ϕ ( x0 ) = y0 , rezultă că ϕ ( x) = y0 + ∫ f [t,ϕ (t)] d t , ∀ x ∈ I , deci y = ϕ ( x) , x ∈ I , este x0

soluţie pentru ecuaţia integrală (21). Reciproc, dacă y = ϕ ( x) , x ∈ I , este soluţie pentru ecuaţia integrală (21), atunci x

ϕ ( x) = y0 + ∫ f [t,ϕ (t)] d t , ∀ x ∈ I . x0

Evident ϕ ( x0 ) = y0 . Pe de altă parte, prin derivare obţinem: ϕ ′( x) = f [ x,ϕ ( x)] , ∀ x ∈ I ,

deci y = ϕ ( x) , x ∈ I , este soluţie pentru problema Cauchy (19) - (20). ■

14


Definiţia 1.1.2. O funcţie f : D ⊂

2

se numeşte lipschitziană în raport cu y, în

→

domeniul D, dacă există o constantă L ≥ 0 astfel încât f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) ≤ L y1 − y2 , oricare ar fi punctele ( x, y1 ) şi ( x, y2 ) din D.

Observaţia 1.1.2. Dacă mulţimea D ⊂

2

este deschisă şi convexă, f ∈C

(1)

(D) şi

∂f ∂y

este mărginită pe D, atunci f este lipschitziană în raport cu y pe D. Într-adevăr, fie M > 0 astfel încât ∂f ( x, y ) < M , ∀ ( x, y ) ∈ D . ∂y

Din teorema lui Lagrange, rezultă: f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) =

∂f ( x, ξ )( y1 − y2 ) , ∂y

unde ( x, ξ ) este un punct interior pe segmentul de dreaptă inclus în D, de capete ( x, y1 ) şi

( x, y2 ) . Aşadar, avem: f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) ≤ M y1 − y2 , ∀ ( x, y1 ) şi ( x, y2 ) din D,

deci f este lipschitziană pe D. Teorema 1.1.1. (Teorema de existenţă şi unicitate) Fie f o funcţie reală continuă, definită pe dreptunghiul D = [ x0 − a, x0 + a] × [ y0 − b, y0 + b] ,

a > 0 , b > 0 . Dacă f este lipschitziană în raport cu y, pe D , atunci există o soluţie unică y = ϕ ( x) , x ∈ I ⊂ ( x0 − a, x0 + a ) , pentru problema Cauchy y′ = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D , y ( x0 ) = y0 .

Demonstraţie. Pentru început, vom arăta că există o soluţie a problemei Cauchy. Conform Lemei 1.1.1, aceasta revine la a arăta că există o soluţie a ecuaţiei integrale (21). Demonstraţia se bazează pe metoda aproximaţiilor succesive a lui Picard, care nu numai că stabileşte existenţa soluţiei, dar ne dă şi un procedeu de construcţie (aproximativ) a acestei soluţii. Cum f este continuă pe mulţimea compactă D , rezultă că f este mărginită pe D . Fie

15


M > 0 astfel încât f ( x, y ) < M , ∀ ( x, y ) ∈ D . Dacă notăm cu L constanta lui Lipschitz pe D , atunci, pentru orice două puncte ( x, y1 ) şi ( x, y2 ) din D , avem: f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) ≤ M y1 − y2 .

(22)

Fixăm

un

⎧ b α⎫ h = min ⎨a, , ⎬ ⎩ M L⎭

număr

α ∈ (0,1) ,

şi cu I intervalul

notăm

cu

[ x0 − h, x0 + h] .

Evident, I ⊂ ( x0 − a, x0 + a) . Definim prima aproximaţie

y1 = y1 ( x) , x ∈ I ,

astfel: x

y1 ( x) = y0 + ∫ f (t , y0 )dt , x ∈ I .

Fig. 3

x0

Deoarece f este continuă, rezultă că y1 este continuă pe I. Pe de altă parte, pentru orice x ∈ I , avem x

y1( x) − y0 ≤

∫

x0

f (t, y0 )) dt ≤ M

x

∫ dt = M

x − x0 ≤ Mh ≤ M ⋅

x0

b =b. M

Aşadar, y1 : I → [ y0 − b, y0 + b] , deci (t , y1 (t )) ∈ D , ∀t ∈ I . Construim aproximaţia a doua y2 = y2 ( x ) astfel: x

y2 ( x) = y0 + ∫ f (t , y1 (t ))dt , x ∈ I . x0

Din continuitatea funcţiilor f şi y1 , rezultă continuitatea lui y2 . Observăm că x

y2 ( x) − y0 ≤

∫ f (t, y1(t))) dt ≤ M

x − x0 ≤ Mh ≤ b ,

x0

deci y2 ( x) ∈ [ y0 − b, y0 + b] , ∀x ∈ I sau (t , y2 (t )) ∈ D , ∀x ∈ I . În general, definim aproximaţia de ordinul n, astfel: x

yn ( x) = y0 + ∫ f (t , yn −1 (t ))dt , x ∈ I x0

(23)

16


şi constatăm că yn este o funcţie continuă pe I cu valori în intervalul [ y0 − b, y0 + b] , deci

(t , y2 (t )) ∈ D , ∀x ∈ I . Procedeul continuă nedefinit. Şirul de funcţii yn : I → [ y0 − b, y0 + b] , n ∈

*

, definit prin formula (23), poartă

numele de şirul aproximaţiilor succesive. Considerăm următoarea serie de funcţii pe I: y0 + ( y1 − y0 ) + ... + ( yn − yn −1 ) + ...

(24)

şi observăm că şirul sumelor sale parţiale ( sn ) n este chiar ( yn )n , sn ( x) = yn ( x) , ∀x ∈ I . Dacă vom arăta că seria (24) este uniform convergentă pe I, va rezulta că şirul ( yn )n este uniform convergent pe I. Folosind ipoteza că funcţia f este lipschitziană pe D în raport cu y, avem: x

∫

y2 ( x) − y1( x) =

x0

f (t, y1(t ) ) − f (t, y0 (t ) ) dt ≤ L

∫

∫

y1(t ) − y0 dt ≤

x0

2

x

≤ LM

x

x0

x − x0 LM 2 t − x0 dt = LM ≤ h . 2 2!

Aşadar, avem: LM 2 x − x0 , ∀x ∈ I . 2!

y2 ( x) − y1 ( x) ≤

(25)

Folosind din nou faptul că f este lipschitziană şi ţinând seama de (25), rezultă: x

∫

y3( x) − y2 ( x) =

x0

≤

f (t, y2 (t )) − f (t, y1(t )) dt ≤ L

L2 M 2!

x

∫

x0

2

t − x0 dt =

x

∫

y2 (t ) − y1(t ) dt ≤

x0

L2 M 3 x − x0 , 3.2!

deci: y3 ( x) − y2 ( x) ≤

L2 M 3 x − x0 , ∀x ∈ I . 3!

(26)

În general, avem: yn ( x) − yn −1 ( x) ≤

Ln −1M Ln −1M n n x − x0 ≤ h , ∀x ∈ I . n! n!

(27)

17


M ⋅ Ln −1 n h este convergentă, aşa cum rezultă din Observăm că seria numerică ∑ n! n =1 ∞

criteriul raportului: un +1 M ⋅ Ln n +1 n! Lh = lim h ⋅ = lim = 0 < 1. n n − 1 n →∞ u n →∞ ( n + 1)! n →∞ n + 1 M ⋅L h n

lim

Conform (27), seria de funcţii (24) este majorată pe intervalul I de o serie numerică convergentă, deci seria (24) este uniform convergentă pe I, conform criteriului lui Weierstrass. Aşadar, am demonstrat că şirul aproximaţiilor succesive (23) este uniform convergent u pe intervalul I. Notăm cu ϕ limita acestui şir. Cum yn ⎯⎯ → ϕ şi yn sunt funcţii continue pe I

I, rezultă că ϕ este, de asemenea, continuă pe I. Pe de altă parte, avem: x

∫ f (t, yn−1(t)) − f (t,ϕ (t)) dt

x

≤L

x0

≤ L ⋅ yn − ϕ

∫

yn −1(t) − ϕ (t) dt ≤

x0

∞

⋅ x − x0 ≤ Lh ⋅ yn − ϕ ∞ ,

(28)

unde am notat cu

yn − ϕ

∞

= sup{ yn−1 ( x) − ϕ ( x) ; x ∈ I } .

u Faptul că yn ⎯⎯ → ϕ revine la a spune că I

lim yn − ϕ n →∞

∞

= 0.

Din această observaţie şi din (28) deducem că x

lim ∫ f (t , yn −1 (t ))dt = n →∞

x0

x

∫ f (t ,ϕ (t ))dt , ∀x ∈ I .

x0

În sfârşit, trecând la limită în (23), obţinem: x

ϕ ( x) = y0 + ∫ f (t , ϕ (t ))dt , ∀x ∈ I , x0

deci ϕ este soluţie pentru ecuaţia integrală (21) şi cu aceasta am dovedit existenţa soluţiei problemei Cauchy. Pentru a demonstra unicitatea acestei soluţii, să presupunem ar mai exista o soluţie ψ astfel incât

18

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII x

ψ ( x) = y0 + ∫ f (t ,ψ (t ))dt , ∀x ∈ I . x0

În continuare, pentru orice x ∈ I , avem: ϕ ( x) −ψ ( x) ≤

x

∫ f (t,ϕ (t)) − f (t,ψ (t)) dt

≤

ϕ (t ) −ψ (t ) dt ≤ L ϕ −ψ

∞

x0 x

∫

≤L

x0

⋅h.

Ţinând seama de definiţia lui h, deducem

ϕ −ψ

= sup{ ϕ ( x) −ψ ( x) ; x ∈ I } ≤ L ϕ −ψ

α

= α ⋅ ϕ −ψ

∞

Cum α ∈ (0,1) , această inegalitate nu este posibilă decât dacă ϕ −ψ

∞

∞

∞

⋅

L

ϕ ≡ ψ şi cu aceasta unicitatea este dovedită. ■ Exemplul 1.1.6. Să se rezolve problema Cauchy ⎡ 1 1 ⎤ ⎡ 1 3⎤ y′ = y , ( x, y ) ∈ D = ⎢− , ⎥ × ⎢ , ⎥ , ⎣ 2 2⎦ ⎣2 2⎦ y(0) = 1 .

Avem f ( x, y ) = y , ( x, y ) ∈ D , x0 = 0 , y0 = 1 , a = b = ⎛1 1 1⎞

1

1

1 3 , M = şi L = 1. 2 2

⎡ 1 1⎤

Dacă alegem α = , atunci h = min ⎜ , , ⎟ = , deci I = ⎢− , ⎥ . 2 ⎝2 3 2⎠ 3 ⎣ 3 3⎦ Şirul aproximaţiilor succesive arată astfel: x

y1( x) = 1 + ∫ 1dt = 1 + x , 0

x

y2 ( x) = 1 + ∫ (1 + t ) d t = 1 + x + 0

x2 , 2

x⎛ t2 ⎞ x 2 x3 y3( x) = 1 + ∫ ⎜1 + t + ⎟ dt = 1 + x + + , 0⎜ 2⎟ 2! 3! ⎝ ⎠

............................................ yn ( x) = 1 + x +

x2 xn , x∈I , +… + 2! n!

............................................

.

= 0 , deci dacă

19

1. Ecuaţii diferenţiale ∞

Cum e = ∑ x

n =0

xn , ∀x ∈ n!

, convergenţa seriei este uniformă şi ( yn )n este şirul sumelor

u parţiale ale seriei, rezultă că yn ⎯⎯ →ϕ , unde ϕ ( x ) = e x , x ∈ . I

Observaţia 1.1.2. În exemplul precedent am putut afla limita şirului aproximaţiilor succesive. De regulă, acest lucru nu este posibil şi de aceea se aproximează limita acestui şir cu aproximaţia de ordinul n, adică cu funcţia yn definită în (23). Exemplul 1.1.7. Să se rezolve problema Cauchy y′ = x 2 + y 2 , ( x, y ) ∈ D = (−1,1) × (−1,1) ,

y(0) = 0 . 1

⎛ 1 1⎞

1

Avem a = b = 1 , x0 = y0 = 0 , M = 2 . Dacă alegem α = , atunci h = min ⎜1, , ⎟ = , deci 2 ⎝ 2 2⎠ 2 ⎡ 1 1⎤ I = ⎢− , ⎥ . Şirul aproximaţiilor succesive arată astfel: ⎣ 2 2⎦ x

y1( x) = ∫ t 2 d t = 0

x3 , 3

x⎛ t6 ⎞ x3 x7 y2 ( x) = ∫ ⎜ t 2 + ⎟ dt = + , 0⎜ 9⎟ 3 63 ⎝ ⎠

y3 ( x) = 1 + ∫

x

0

2 ⎡ 3 7 11 15 ⎛ t3 t7 ⎞ ⎤ 2 ⎢t + ⎜ + ⎥ dt = x + x + 2x + x , x ∈ I ,... ⎟ ⎜ 3 63 ⎟ ⎥ 3 63 2079 59535 ⎢ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣

Putem aproxima soluţia problemei Cauchy cu y3 , deci ϕ ( x) ≈

x3 x 7 2 x11 x15 ⎡ 1 1⎤ , x ∈ ⎢− , ⎥ . + + + 3 63 2079 59535 ⎣ 2 2⎦

În continuare, vom evalua eroarea care se face în metoda aproximaţiilor succesive. Teorema 1.1.2. În condiţiile şi cu notaţiile Teoremei 1.1.1, avem:

M ⋅ Ln h n +1 Lh ϕ ( x ) − yn ( x ) ≤ e , ∀x ∈ I , (n + 1)! unde ϕ este soluţia exactă a problemei Cauchy, iar yn este aproximanta de ordinul n.

20


Demonstraţie. Din (27) deducem: yn + p ( x) − yn ( x) = ( yn − yn +1 ) + ( yn +1 − yn + 2 ) + ... + ( yn + p −1 − yn + p ) ≤

MLn h n +1 MLn +1h n + 2 MLn + p −1h n + p ≤ + + ... + = (n + 1)! (n + 2)! (n + p)!

=

⎞ MLn h n +1 ⎛ Lh ( Lh)2 ( Lh) p −1 1 ... + + + + ⎜ ⎟< (n + 1)! ⎝ n + 2 (n + 2)(n + 3) (n + 2)...(n + p) ⎠

MLn h n +1 ⎛ Lh ( Lh) 2 ( Lh) p −1 ( Lh) p ⎞ = + + ... + + ⎜1 + ⎟. (n + 1)! ⎝ 1! 2! ( p − 1)! p! ⎠ Aşadar, avem:

y n + p ( x ) − yn ( x ) <

MLn h n +1 ⎛ Lh ( Lh)2 ( Lh) p −1 ( Lh) p 1 ... + + + + + ⎜ (n + 1)! ⎝ 1! 2! ( p − 1)! p!

⎞ ⎟ , ∀x ∈ I . ⎠

Trecând la limită după p ( p → ∞ ) în ultima inegalitate, obţinem:

ϕ ( x ) − yn ( x ) ≤

M ⋅ Ln h n +1 Lh e , ∀x ∈ I . ■ (n + 1)!

Definiţia 1.1.3. Fie ecuaţia diferenţială y ' = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ Ω ⊂

2

.

(29)

Presupunem, în plus, că în domeniul Ω sunt îndeplinite condiţiile teoremei de existenţă şi unicitate. Prin soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale (29) în domeniul Ω , se înţelege o familie de soluţii y = ϕ ( x, C ) , x ∈ I , unde C este o constantă arbitrară, cu proprietăţile: a) ( x, ϕ ( x, C )) ∈ Ω , ∀x ∈ I , ∀C ; b)

∂ϕ = f [ x, ϕ ( x, C )] , ∀x ∈ I , ∀C ; ∂x

c) Pentru orice punct ( x0 , y0 ) ∈ Ω , există o constantă C0 unică astfel încât

ϕ ( x0 , C0 ) = y0 . Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y ' = 1 , ( x, y ) ∈

Exemplul 1.1.8. y = x + C , x∈

2

, este

, unde C este o constantă reală oarecare. Într-adevăr, în acest caz,

f ( x, y ) = 1 , ∀( x, y ) ∈

2

şi este evident că sunt îndeplinite condiţiile de existenţă şi unicitate

21


din Teorema 1.1.1. Pe de altă parte, avem ( x + C ) ' = 1 şi ∀( x0 , y0 ) ∈

2

există o constantă

unică C0 = y0 − x0 astfel încât y0 = x0 + C0 . Definiţia 1.1.4. Prin soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale (29) se înţelege o soluţie a sa obţinută din soluţia generală a ecuaţiei (29), prin particularizarea constantei C. În exemplul 1.1.8, pentru C1 = 0 , C2 = 1 , C3 = −1 etc, obţinem soluţiile particulare y1 = x , y2 = x + 1 , y3 = x − 1 etc. Observaţia 1.1.3.

Teorema 1.1.1 are un caracter local, în sensul că, dacă într-o

vecinătate a punctului M ( x0 , y0 ) , funcţia f este continuă şi lipschitziană în raport cu y (în particular, are derivata parţială în raport cu y mărginită), atunci problema Cauchy admite o singură soluţie a cărei curbă integrală trece prin punctul M. Observaţia 1.1.4. De regulă, soluţia generală nu se obţine sub formă explicită din Definiţia 1.1.3, ci trebuie gândită ca soluţia implicită y = ϕ ( x, C ) , definită de ecuaţia Φ ( x, y , C ) = 0 obţinută prin integrarea ecuaţiei diferenţiale (29). Ecuaţia Φ ( x, y , C ) = 0 se

mai numeşte şi integrala generală (sau completă) a ecuaţiei diferenţiale (29). Ecuaţia Φ ( x, y, C0 ) = 0 , obţinută prin particularizarea constantei C, se mai numeşte şi integrală particulară. Definiţia 1.1.5. Se numeşte soluţie singulară a unei ecuaţii diferenţiale, o soluţie a acestei ecuaţii care are proprietatea că, în orice punct al curbei sale integrale, nu sunt satisfăcute condiţiile de unicitate. Aceasta revine la a spune că pentru orice punct ( x0 , y0 ) al curbei integrale a acestei soluţii, există o altă soluţie a ecuaţiei diferenţiale, a cărei curbă integrală trece prin acest punct şi este diferită de aceasta. Din Definiţia 1.1.5 deducem că soluţiile singulare se caută în punctele unde nu sunt satisfăcute condiţiile Teoremei 1.1.1. Dacă f este continuă, atunci

22


soluţiile singulare trebuie căutate în punctele unde f nu este lipschitziană, de exemplu, în punctele unde

∂f nu este mărginită. ∂y

Exemplul 1.1.9. Fie ecuaţia diferenţială 2

y′ = 3 y 3 , ( x , y ) ∈

2

.

(30)

2

Avem f ( x, y) = 3 y 3 , ∀( x, y ) ∈ rezultă că

2

. Evident, f este continuă pe

2

. Cum

1 − ∂f = 2y 3 , ∂y

∂f nu este mărginit pe axa Ox ( y = 0 ). Pe de altă parte, este evident că y = 0 este ∂y

o soluţie a ecuaţiei (30). Aşadar, y = 0 este o soluţie singulară a ecuaţiei (30). Fie Ω =

2

\{( x, 0); x ∈ } . Soluţia generală a ecuaţiei (30) în Ω este y = ( x + C )3 , cum

se verifică imediat. Fie (a, 0) un punct oarecare de pe axa Ox. y

O

x

Fig. 4

Prin acest punct trece soluţia singulară y = 0 şi soluţia particulară y = ( x − a)3 , x ∈ . Din punct de vedere geometric, curba integrală a soluţiei singulare este înfăşurătoarea familiei de curbe integrale ale soluţiei generale.

1.2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi de forme particulare

23


1.2.1. Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile

O ecuaţie diferenţială cu variabile separabile este o ecuaţie de forma: f1( x) ⋅ g1( y) ⋅ y′ + f 2 ( x) ⋅ g 2 ( y) = 0 ,

(1)

23


unde f1, f 2 : I ⊂ \ → \ sunt funcţii continue, f1 ≠ 0 pe I, iar g1, g 2 : J ⊂ \ → \ sunt funcţii continue, g 2 ≠ 0 pe J, I şi J fiind intervale. Împărţind cu f1( x) ⋅ g 2 ( y) , se separă variabilele şi ecuaţia devine: g1( y) f ( x) dy = − 2 dx . g 2 ( y) f1( x)

(2)

Integrând în ambii membri, obţinem: g1( y)

∫ g 2 ( y) dy = −∫

f 2 ( x) dx + C , C ∈ \ . f1( x)

Se obţine astfel soluţia generală sub formă implicită a ecuaţiei diferenţiale. Explicitând în raport cu y (dacă este posibil), se obţine o expresie de forma y = h( x, C ) , C ∈ \ , care este soluţia generală sub formă explicită a ecuaţiei diferenţiale (1). Exemplul 1.2.1. Să se găsească soluţia ecuaţiei diferenţiale

(1 + x ) yy′ + x (1 + y ) = 0 , 2

2

care îndeplineşte condiţia iniţială y(1) = 2 . Ecuaţia se pune sub forma echivalentă y

y 1+ y

2

dy = −

x 1+ x2

dx . Integrând, obţinem:

x

∫ 1 + y 2 dy = −∫ 1 + x 2 dx , deci 1 1 1 ln 1 + y 2 = − ln 1 + x 2 + ln C , C > 0 , 2 2 2

(

)

1+ y2 =

C

(

)

sau 1 + x2

, C >0.

Din condiţia iniţială y(1) = 2 , obţinem C = 10 şi mai departe y = ± soluţia căutată este y=

9 − x2 1 + x2

, x ∈ (–3,3).

9 − x2 1 + x2

. Evident,

24


Exemplul 1.2.2. Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale xy ' = y , x > 0 , y > 0.

Se observă că ecuaţia diferenţială dată se poate scrie sub forma echivalentă: dy dx = . y x Integrând în ambii membri, se obţine: ln y = ln x + ln C , C ∈ \ *+

sau y = Cx , C ∈ \ *+ . Observăm că, deşi calculele sunt făcute în domeniul D = (0, ∞) × (0, ∞ ) , funcţia y = Cx , C ∈ \ , verifică ecuaţia diferenţială pe \ 2 . Aşadar, soluţia generală a ecuaţiei

diferenţiale date, este y = Cx , C ∈ \ .

1.2.2. Ecuaţii diferenţiale omogene

Sunt ecuaţii diferenţiale de forma ⎛ y⎞ y′ = f ⎜ ⎟ , ⎝x⎠

(3)

unde f este o funcţie continuă pe un interval I, 0 ∉ I . Dacă notăm cu u =

y şi considerăm u = u(x) noua funcţie necunoscută, rezultă x

y( x) = xu( x) şi y′ = u + x ⋅ u′ . În urma acestei schimbări de funcţie necunoscută, ecuaţia (3)

devine o ecuaţie cu variabile separabile, anume: u + x ⋅ u′ = f (u) .

Cazul f (u) = u se reduce la o ecuaţie cu variabile separabile şi se rezolvă ca mai sus. Putem deci presupune că f (u) ≠ u . Separând variabilele obţinem: du dx = f (u) − u x

şi mai departe du

∫ f (u) − u = ln x + ln C , C ∈ \

*

.

25


Exemplul 1.2.3. Să se găsească soluţia ecuaţiei diferenţiale 2

y′ =

y ⎛ y⎞ + , x ≠ 0, x ⎜⎝ x ⎟⎠

care îndeplineşte condiţia iniţială y(2) = 1 . Notând cu u =

y , obţinem u + xu′ = u + u 2 sau xu ' = u 2 . Presupunem, în continuare, x

y ≠ 0 . Ecuaţia diferenţială xu ' = u 2 se scrie sub forma −

du u

2

=

dx . Integrând, rezultă x

1 = ln x + ln C , C ∈ \ * . u

x y

şi mai departe − = ln C x , x ≠ 0 . Din această relaţie se obţin soluţiile corespunzătoare diferitelor condiţii iniţiale. Impunând condiţia y (2) = 1 , se obţine C = −

1 , care conduce la 2e 2

x = −2 − ln 2 + ln x , x ≠ 0 . Deoarece ne interesează cazul x ∈ (0, ∞ ) , rezultă că soluţia care y

îndeplineşte condiţia iniţială y(2) = 1 este y =

(

)

x , x ∈ 0,2e2 . 2 + ln 2 − ln x

1.2.3. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi

Ecuaţiile diferenţiale liniare neomogene, de ordinul întâi, sunt ecuaţii de forma: y ′ + P( x ) y = Q ( x ) ,

(4)

unde P şi Q sunt funcţii continue pe un interval I. Ecuaţia liniară omogenă asociată este y′ + P( x) y = 0 .

(5)

Observăm că ecuaţia omogenă (5) este o ecuaţie cu variabile separabile. Separând variabilele şi integrând, obţinem: dy = − P( x)dx , y ≠ 0 , y ln y = −∫ P( x)dx + ln C , C ∈ \ *

şi mai departe

26

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII − P( x)dx y =Ce ∫ , C ∈ \* ,

care este echivalentă cu − P( x)dx , C ∈ \* . y =Ce ∫

Deşi această soluţie s-a obţinut în ipoteza y ≠ 0 , care presupune C ≠ 0, observăm că ecuaţia (5) admite şi soluţia y = 0 care s-a pierdut la împărţirea cu y. Aşadar − P( x)dx , C ∈\ , y =Ce ∫

(6)

reprezintă soluţia generală a ecuaţiei omogene (5). Pentru a obţine soluţia generală a ecuaţiei neomogene (4) folosim metoda variaţiei constantei a lui Lagrange şi anume: căutăm soluţia ecuaţiei neomogene (4) de forma − P( x ) dx y = ϕ ( x) e ∫ ,

unde ϕ este o funcţie de clasă C

(7) (1)

pe intervalul I. Pentru determinarea funcţiei ϕ punem

condiţia ca (7) să fie soluţie pentru ecuaţia (4) şi obţinem: − P( x ) dx − P( x ) dx − P( x) dx ϕ ′( x) e ∫ = Q( x ) . − ϕ ( x)P( x) e ∫ + P( x)ϕ ( x) e ∫

Efectuând calculele, rezultă ϕ ′( x) = Q( x) e ∫

P( x ) dx

şi mai departe ϕ ( x ) = ∫ Q( x ) e ∫

P( x ) dx

dx + C .

Înlocuind în (7) obţinem soluţia generală a ecuaţiei neomogene (4) şi anume: − P( x ) dx ⎛ ∫ P( x) dxdx ⎞ y =e ∫ ⎜ C + ∫ Q( x) e ⎟ ⎝ ⎠

(8)

Exemplul 1.2.4. Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y′ + y sin x = − sin x cos x .

Folosim formula (8) cu P( x) = sin x şi Q( x) = − sin x cos x . Înlocuind în (8), obţinem:

(

)

(

)

y = ecos x C − ∫ sin x cos x e − cos xdx = ecos x C − e − cos x cos x − e − cos x ,

deci y = C ecos x − cos x − 1 .

27


1.2.4. Ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli

Sunt ecuaţii diferenţiale de forma: y′ + P( x) y = Q( x) yα , α ∈ \ \ {0,1} .

(9)

Presupunem că P şi Q sunt funcţii continue pe un interval I. Împărţind cu yα , pentru y ≠ 0 , obţinem: y −α y′ + P( x) y1−α = Q( x) .

Dacă facem schimbarea de funcţie y1−α = z , unde z = z( x) este noua funcţie necunoscută, rezultă (1 − α ) y −α ⋅ y′ = z′ şi mai departe z′ + P( x ) z = Q ( x ) . 1−α

(10)

Ecuaţia diferenţială (10) este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi şi se rezolvă ca în secţiunea 1.2.3. Exemplul 1.2.5. Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y′ −

y 1 4 = y ln x , x ∈ (0,∞). 3x 3

Împărţind cu y 4 , pentru y ≠ 0, rezultă y −4 ⋅ y′ −

1 −3 1 y = ln x . Dacă notăm cu z = y −3 , 3x 3

atunci z′ = −3 y −4 y′ şi ecuaţia devine: 1 z′ + z = − ln x . x

Aceasta este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi, cu P( x) =

1 şi Q( x) = − ln x . x

Folosind formula (8) obţinem:

(

) 1x (C − ∫ x ln x dx )

z = e − ln x C − ∫ ln x eln x dx =

şi mai departe z =

C x x C x x + − ⋅ ln x . Aşadar avem: y −3 = + − ⋅ ln x , x > 0, y ≠ 0. x 4 2 x 4 2

Diferite soluţii particulare se obţin precizând condiţiile iniţiale.

28


1.2.5. Ecuaţii diferenţiale de tip Riccati Sunt ecuaţii diferenţiale de forma y′ = P( x) y 2 + Q( x) y + R( x)

(11)

unde P, Q şi R sunt funcţii continue pe un interval I. În general, o ecuaţie de acest tip nu se poate integra prin cuadraturi. Astfel, încă din 1841, J. Liouville a demonstrat că există ecuaţii diferenţiale de tip Riccati care nu sunt „integrabile prin cuadraturi”, adică soluţiile lor nu pot fi exprimate ca primitive ale unor funcţii continue. De exemplu, ecuaţia Riccati foarte simplă: y ' = x2 + y2 , nu este integrabilă prin cuadraturi. Cel mai simplu şi mai cunoscut caz de integrabilitate a ecuaţiei Riccati este acela când se cunoaşte o soluţie particulară a acestei ecuaţii. Dacă se cunoaşte o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale (11), anume y p : J ⊂ I → \ , atunci efectuând schimbarea de funcţie y = yp +

1 , ecuaţia diferenţială se reduce la o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi. z

Într-adevăr, derivând şi înlocuind în ecuaţia (11) obţinem: y′p −

z′

y 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ = P( x) ⎜ y 2p + 2 p + 2 ⎟ + Q( x) ⎜ y p + ⎟ + R( x) . z z ⎠ z⎠ z ⎝ ⎝ 2

Ţinând seama că y p verifică ecuaţia (11), deci că y′p = P( x) ⋅ y 2p + Q( x) ⋅ y p + R( x) ,

rezultă z′ + ⎡⎣2 y p P( x) + Q( x)⎦⎤ z = −P( x) .

(12)

Se observă că ecuaţia diferenţială (12) este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi. Observaţia 1.2.2. Se poate arăta că, orice ecuaţie diferenţială de tip Riccati de forma y ' = Ay 2 +

B C y+ 2 , x x

unde A, B, C ∈ \ satisfac condiţia ( B + 1) 2 − 4 AC ≥ 0 , admite o soluţie particulară de forma y p ( x) =

c , c∈\ . x

29


Exemplul 1.2.6. Să se integreze următoarea ecuaţie diferenţială de tip Riccati: 1 2 y′ = − y 2 − 2 , x ∈ (0,∞). 3 3x

Ţinând seama de observaţia 1.2.2, se constată că y = 1 x

ţiei date. Facem schimbarea de funcţie y = + −

1 x

2

−

1 este o relaţie particulară a ecuax

1 şi obţinem: z

z′

1⎛ 1 2 1 ⎞ 2 = − ⎜ 2 + + 2 ⎟− 2 . 3⎝ x xz z ⎠ 3x z 2

Rezultă următoarea ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi: z′ −

2 1 z= , 3x 3

a cărei soluţie generală este z

2 = Cx 3

+ x.

Soluţia generală a ecuaţiei Riccati este: y=

1 1 + , x ∈ (0,∞). 2 x Cx 3+x

1.2.6. Ecuaţii diferenţiale de tip Clairaut

Sunt ecuaţii diferenţiale de forma: y = xy′ + ϕ ( y′) ,

unde ϕ este o funcţie de clasă C

(13) (1)

pe un interval J.

Notând y′ = p ecuaţia devine y = x ⋅ p + ϕ ( p) . Derivând în raport cu x obţinem: p = p + x

dp dp + ϕ ′( p) , deci dx dx

dp

[ x + ϕ ′( p)] dx = 0 . Dacă

dp = 0 , rezultă p = C şi mai departe dx

y = C x + ϕ (C ) .

(14)

Familia de soluţii (14) reprezintă soluţia generală a ecuaţiei (13). Din punct de vedere geometric, curbele integrale corespunzătoare acestei soluţii sunt drepte. Pe de altă parte, din x + ϕ ′( p) = 0 , obţinem soluţia singulară (sub formă parametrică):

30


⎧ x = −ϕ ′( p) . ⎨ ⎩ y = − pϕ ′( p) + ϕ ( p)

(15)

Curba integrală corespunzătoare soluţiei singulare (15) este înfăşurătoarea familiei de drepte (14). Exemplul 1.2.7. Să se integreze ecuaţia diferenţială de tip Clairaut y = xy′ −

y′2 . 2

Soluţia generală este y = C x −

C2 , C ∈ R. 2

Soluţia singulară sub formă parametrică este: ⎧x = p ⎪ ⎨ p2 . ⎪y = ⎩ 2 x2 Eliminând pe p între cele două ecuaţii parametrice, obţinem y = , adică o parabolă, 2 2 C care este înfăşurătoarea familiei de drepte y = C x − , C ∈ R (fig. 1). 2

C = −1

C =1 x2 y= 2

C=0

Fig. 1 1.2.7. Ecuaţii cu diferenţiale exacte. Factor integrant

Sunt ecuaţii diferenţiale de forma: P ( x, y ) + Q ( x, y ) y′ = 0 ,

(16)

31


unde P şi Q sunt funcţii de clasă C

(1)

pe dreptunghiul D = ( a, b ) × ( c, d ) , Q ≠ 0 pe D şi

∂P ∂Q = pe D. ∂y ∂x

Fie ( x0, y0 ) ∈ D un punct oarecare fixat şi fie F : D → R, definită astfel: x

y

x0

y0

F ( x, y ) = ∫ P (t, y0 ) dt + ∫ Q ( x, t ) dt , ( x, y ) ∈ D .

(17)

Propoziţia 1.2.7. În condiţiile de mai sus, orice funcţie implicită y = ϕ ( x) , definită de ecuaţia F ( x, y ) = C , C ∈ R, este soluţie pentru ecuaţia diferenţială (16) şi orice soluţie a ecuaţiei (16) este de această formă.

Demonstraţie. Pentru început vom arăta că

∂F ∂F = P şi = Q . Într-adevăr, ţinând ∂y ∂x

seama de formula de derivare a integralei cu parametru şi de ipoteza

∂P ∂Q = , rezultă ∂x ∂y

y ∂Q y ∂P ∂F x, t ) dt = P ( x, y0 ) + ∫ = P ( x, y0 ) + ∫ ( ( x, t ) dt = y y ∂x 0 ∂x 0 ∂t

= P ( x, y0 ) + P ( x, y ) − P ( x, y0 ) = P ( x, y ) .

De asemenea, avem

∂F = Q ( x, y ) . Aşadar, funcţia F definită în (17) are proprietatea că ∂y

∂F ∂F = P şi = Q . Cu alte cuvinte, forma diferenţială ω = P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy este exactă. ∂y ∂x

Fie ecuaţia F ( x, y ) = C , ( x, y ) ∈ D.

Deoarece

(18)

∂F = Q ≠ 0 pe D, rezultă că în vecinătatea oricărui punct din D ecuaţia (18) ∂y

defineşte o funcţie implicită y = ϕ ( x) , x ∈ I. Deoarece F [ x,ϕ ( x)] = 0 , ∀ x ∈ I, derivând obţinem

∂F ∂F x,ϕ ( x)] + [ [ x,ϕ ( x)] ⋅ϕ ′( x) = 0 , ∀ x ∈ I. ∂x ∂y

Ţinând seama că

∂F ∂F = P şi = Q , deducem că ∂y ∂x

P [ x,ϕ ( x)] + Q [ x,ϕ ( x)] ⋅ϕ ′( x) = 0 , ∀ x ∈ I,

32


deci y = ϕ ( x) , x ∈ I este soluţie pentru ecuaţia (16). Reciproc, fie y = ϕ ( x) , x ∈ I, o soluţie a ecuaţiei (16). Atunci, ∀ x ∈ I, avem

( x,ϕ ( x)) ∈ D şi P [ x,ϕ ( x)] + Q [ x,ϕ ( x)] ⋅ϕ ′( x) = 0 . Deoarece

∂F ∂F = P şi = Q , rezultă ∂y ∂x

∂F ∂F [ x,ϕ ( x)] + ∂y [ x,ϕ ( x)] ⋅ϕ ′( x) = 0 , ∀ x ∈ I, ∂x

ceea ce este echivalent cu d ( F ( x,ϕ ( x))) = 0 , ∀ x ∈ I. dx

Din ultima relaţie deducem că F [ x,ϕ ( x)] = C , ∀ x ∈ I, deci y = ϕ ( x) , x ∈ I, este o funcţie implicită definită de ecuaţia (18). ■ Exemplul 1.2.8. Să se afle soluţiile ecuaţiei diferenţiale

(3x 2 − y ) + (3 y 2 − x ) y′ = 0 , ( x, y ) ∈ \2 \ { (3a 2, a ); a ∈ \} . Avem P ( x, y ) = 3x 2 − y , Q ( x, y ) = 3 y 2 − x , F ( x, y ) = ∫

x x0

∂Q ∂P = = −1 . ∂x ∂y

(3t 2 − y0 ) dt + ∫ yy0 (3t 2 − x ) dt = x3 + y 3 − xy + x0 y0 − x03 − y03 .

Aşadar, orice soluţie a ecuaţiei date este de forma y = ϕ ( x), x ∈ I , unde ϕ este o funcţie implicită definită de ecuaţia x 3 + y 3 − xy = K .

Observaţia 1.2.3. Dacă

∂P ∂Q ≠ , atunci se caută un factor integrant. Prin factor ∂y ∂x

integrant se înţelege o funcţie μ = μ ( x, y ) , μ ∈C

(1)

(D) , μ ≠ 0 pe D, cu proprietatea

∂ ∂ ⎡⎣ μ ( x, y ) Q ( x, y )⎤⎦ = ⎡⎣ μ ( x, y ) P ( x, y )⎤⎦ , ( x, y ) ∈ D . ∂x ∂y

(19)

Aşadar, să considerăm ecuaţia diferenţială P ( x, y ) + Q ( x, y ) y′ = 0 , Q ≠ 0 pe D şi

∂Q ∂P ≠ . ∂x ∂y

(20)

33


Dacă reuşim să găsim un factor μ = μ ( x, y ) şi înmulţim ecuaţia (20) cu acest factor integrant, obţinem ecuaţia echivalentă μ ( x, y ) P ( x, y ) + μ ( x, y ) Q ( x, y ) y′ = 0 , care este de tipul (16) şi a cărei soluţie se află în conformitate cu Propoziţia 1.2.7. Determinarea factorului integrant se face prin încercări. Să căutăm pentru început un factor integrant de forma μ = μ ( x) (care depinde numai de x). Din (19) rezultă μ ′( x)Q ( x, y ) + μ ( x)

∂Q ∂P = μ ( x) ∂x ∂y

şi mai departe ∂P

−

∂Q

μ′( x) ∂y ∂x = . μ ( x) Q

(21)

∂P ∂Q − ∂y ∂x Pentru ca egalitatea (21) să fie posibilă trebuie ca expresia să depindă numai Q

de x. ∂P ∂Q − ∂y ∂x Aşadar, ecuaţia (20) admite factor integrant μ = μ ( x) , dacă depinde numai de Q

x. Să notăm cu ∂P ∂Q − ∂y ∂x ϕ ( x) = . Q

Atunci

μ′( x) = ϕ ( x) şi integrând obţinem ln μ ( x) = ∫ ϕ ( x)dx + C . μ ( x)

Putem alege factorul integrant μ ( x) = e ∫

ϕ ( x )dx

.

Exemplul 1.2.9. Determinând un factor integrant, să se găsească soluţia ecuaţiei diferenţiale

(1 − x y ) + x 2

2

( y − x ) y′ = 0 , x ≠ 0, x ≠ y.

∂P ∂Q − ∂ Q ∂ P 2 ∂y ∂x Avem P = 1 − x 2 y , Q = x 2 ( y − x ) , = 2 xy − 3x 2 ≠ = −x2 , = − . Rezultă că x ∂x ∂y Q 2 − ∫ dx μ ( x) = e x

=

1 x2

. Amplificând ecuaţia dată cu acest factor integrant, obţinem

34


⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 − y ⎟ + ( y − x ) y′ = 0 . ⎝x ⎠

Fie P1 =

1 2

x −y

şi Q1 = y − x . Observăm că

∂P1 ∂Q1 = = −1 . Atunci ∂y ∂x

x ⎛ 1 y y2 1 ⎞ F ( x, y ) = ∫ ⎜ 2 − y0 ⎟ d t + ∫ (t − x ) d t = − − xy + K . x0 t y0 2 x ⎝ ⎠

Soluţia ecuaţiei va fi orice funcţie implicită y = ϕ ( x) , x ∈ I , definită de ecuaţia y2 1 − − xy = C . 2 x

În mod analog, se arată că ecuaţia (20) cu P ≠ 0, admite un factor integrant depinzând ∂Q ∂P − ∂x ∂y numai de y ( μ = μ ( y) ), dacă expresia depinde numai de y. P

Exemplul 1.2.10. Determinând un factor integrant, să se găsească soluţia ecuaţiei diferenţiale

(

)

y 2 ( 2 x − 3 y ) + 7 − 3xy 2 y′ = 0 , y ≠ 0 , 2 x ≠ 3 y , 7 ≠ 3xy 2 .

Avem succesiv P = y 2 ( 2x − 3 y ) , Q = 7 − 3xy 2 , ∂Q

−

∂Q ∂P = −3 y 2 ; = 4 xy − 9 y 2 , ∂x ∂y

∂P

μ ′( y ) ∂x ∂y 2 1 = = − ; μ ( y) = 2 . y P μ( y) y

Înmulţind ecuaţia dată cu

1 y

2

Fie P1 ( x, y ) = 2 x − 3 y , Q1 ( x, y ) = F ( x, y ) = ∫

x x0

⎛ 7

⎞ − 3x ⎟ y ′ = 0 . ⎝y ⎠

, obţinem ecuaţia echivalentă 2 x − 3 y + ⎜

7 ∂Q1 ∂P1 − 3x . Evident = = −3 . Atunci 2 ∂x ∂y y y

( 2t − 3 y0 ) dt + ∫ y

7 ⎛7 ⎞ 2 ⎜ 2 − 3x ⎟ dt = x − 3xy − y + C . ⎠

0⎝t

Orice funcţie implicită y = ϕ ( x), x ∈ I , definită de ecuaţia x 2 − 3xy − pentru ecuaţia dată.

2

7 = K este soluţie y

35


Dacă ecuaţia nu admite factori integranţi de forma μ = μ ( x) sau μ = μ ( y) se caută ⎛x⎞ ⎝ ⎠

factori integranţi de forme mai complicate μ = μ ( xy ) , μ = μ (ax + by ) , μ = μ ⎜ ⎟ etc. y

1.3. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n O ecuaţie diferenţială liniară neomogenă de ordinul n este o ecuaţie de forma: a0 ( x) y (n) + a1( x) y (n −1) + ... + an −1( x) y '+ an ( x) y = f ( x),

unde a0, a1,..., an ,

x∈I ,

(1)

f sunt funcţii continue pe intervalul I ⊂ R şi a0 ( x) ≠ 0, ∀x ∈ I .

Ecuaţia diferenţială omogenă asociată ecuaţiei (1) este: a0 ( x) y (n) + a1( x) y (n −1) + ... + an ( x) y = 0, x ∈ I ,

(2)

Definiţia 1.3.1. Spunem că o funcţie ϕ : I → R este de clasă C ( p) pe intervalul I, dacă ϕ admite derivate până la ordinul p inclusiv şi acestea sunt continue pe I. Vom folosi notaţia ϕ∈C ( p) (I ) . De exemplu, ϕ ∈C (0) (I ) , dacă ϕ este continuă pe I, ϕ ∈C (1) ( I ) dacă există ϕ ' şi este continuă pe I etc. Este evident că C ( p) ( I ) este un subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial al funcţiilor reale definite pe I, pe care îl vom nota F ( I , ) .

Definiţia 1.3.2.

Se numeşte soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1) orice funcţie

ϕ ∈C (n) (I ) care verifică ecuaţia, adică: a0 ( x)ϕ(n) + a1( x)ϕ(n −1) + ... + an −1( x)ϕ '+ an ( x)ϕ = f ( x),

x∈I .

d Dacă notăm cu D operatorul de derivare ⎛⎜ D = ⎞⎟ , cu D p , p ∈ N* operatorul de dx ⎠ ⎝ derivare de ordinul p, D p = D D ... D = p ori

dp dx p

,

36


(

)

cu D 0 operatorul identitate D 0 (ϕ) = ϕ, ∀ϕ∈C (n) (I ) şi cu n

L( D) =

∑ ak ( x)D k = a0 ( x)D n + a1( x)D n −1 + ... + an −1( x)D + an ( x)D0,

k =0

x∈I ,

atunci ecuaţiile (1) şi (2) se scriu pe scurt astfel: L( D)( y) = f ( x),

x∈I ,

(1’)

respectiv L( D)( y) = 0,

x∈I .

(2’)

Propoziţia 1.3.1. Mulţimea S a soluţiilor ecuaţiei omogene (2) este un subspaţiu vectorial al spaţiului de funcţii F ( I , R) . Demonstraţie. Vom arăta că ∀y, z ∈ S şi ∀λ, μ ∈ R , rezultă că λy + μz ∈ S . Pentru început reamintim că operatorul de derivare D este liniar, adică are proprietatea: D(λy + μz) = λD( y) + μD( z), ∀y, z ∈C (n) (I ), ∀λ, μ ∈ R . Într-adevăr,

D(λy + μz) = =λ

d ( λy + μz ) = (λy + μz) ' = λy '+ μz ' = dx

dy dz +μ = λD( y) + μD( z) . dx dx

Observăm că operatorul de derivare de ordinul p este, de asemenea, liniar. Într-adevăr, de exemplu: D 2 (λx + μy) = ( D D)(λx + μy) = D [ D(λx + μy) ] = D ( λD( x) + μD( y) ] =

= λD [ D( x) ] + μD [ D( y) ] = λD 2 ( x) + μD 2 ( y) etc.

În sfârşit, observăm că operatorul L( D) este liniar, n

L( D)(λy + μz) = n

∑

k =0

n

(

)

ak ( x)D k ( λy + μz ) = ∑ ak ( x) λD k ( y) + μD k ( z) = k =0

n

= λ ∑ ak ( x)D ( y) + μ ∑ ak ( x) D k ( z) = λL(D)( y) + μL(D)( z) k =0

k

k =0

Dacă y, z ∈ S , atunci L( D)( y) = 0 şi L( D)( z) = 0 . În continuare, avem: L( D)(λy + μz ) = λL( D)( y) + μL( D)( z ) = 0, ∀λ, μ ∈ R ,

37


deci λy + μz ∈ S . ■ În spaţii de funcţii există un aparat specific pentru studiul liniar dependenţei (independenţei). Acest aparat se bazează pe noţiunea de wronskian. Definiţia 1.3.3. Fie f1, f 2,..., f n : I → R , n funcţii de clasă C (n−1) pe intervalul I. Se numeşte wronskian al acestor funcţii, următoarea funcţie:

f1( x) f1'( x) W ( x) = W [ f1,..., f n ] ( x) = ... (n −1) ( x) f1

... f n ( x) ... f n' ( x) . ... ... ... f n(n −1) ( x)

Propoziţia 1.3.2. Fie fi ∈C (n −1) ( I ), i = 1, n . Dacă f1,..., f n sunt liniar dependente pe

I, atunci W [ f1,..., f n ] ( x) = 0, ∀x ∈ I . Demonstraţie. Prin ipoteză există n numere λ1, λ 2,..., λ n , nu toate nule, astfel încât λ1 f1( x) + ... + λ n f n ( x) = 0, ∀x ∈ I .

(3)

Derivând succesiv relaţia (3) de (n − 1) ori obţinem:

⎧λ1 f1( x) ⎪⎪λ f '( x) 1 1 ⎨............ ⎪ (n −1) ( x) ⎪⎩λ1 f1

+ + ... +

... ... ... ...

+ + ... +

λ n f n ( x) λ n f1'( x) ............. λ1 f1(n −1) ( x)

= = ... =

0 0 ... 0, ∀x ∈ I .

(4)

Am obţinut astfel sistemul (4), care este un sistem (algebric) liniar şi omogen în necunoscutele λ1,..., λ n . Deoarece sistemul admite soluţie nebanală, rezultă că determinantul coeficienţilor este 0. Aşadar avem: f1( x) f1'( x) W ( x) = ... (n −1) f1 ( x)

... f n ( x) ... f n' ( x) = 0, ∀x ∈ I . ■ ... ... ... f n(n −1) ( x)

Propoziţia 1.3.3. Fie g , f1,..., f n ∈C (n) ( I ) . Dacă

(i) W [ f1,..., f n ] ( x) ≠ 0, ∀x ∈ I ;

38


(ii) W [ g , f1,..., f n ] ( x) = 0, ∀x ∈ I , atunci g este o combinaţie liniară de f1,..., f n , deci există C1,..., Cn ∈ R , astfel încât

g ( x) = C1 f1( x) + ... + C n f n ( x), ∀x ∈ I . Demonstraţie. Prezentăm demonstraţia în cazul particular n = 2 . Prin ipoteză, avem:

g ( x) g '( x) g ''( x)

f1( x) f 2 ( x) f1'( x) f 2' ( x) = 0, ∀x ∈ I . f1''( x) f 2''( x)

(5)

Cum coloanele 2 şi 3 ale acestui determinant sunt liniar independente (deoarece, prin ipoteză, W [ f1, f 2 ] ( x) ≠ 0, ∀x ∈ I ), rezultă că prima coloană este o combinaţie liniară de acestea. Aşadar, ∀x ∈ I , există λ1( x), λ 2 ( x) ∈ R , astfel încât

⎧ g ( x) = λ1( x) f1( x) + λ 2 ( x) f 2 ( x) ⎪ ' ' ⎨ g '( x) = λ1( x) f1 ( x) + λ 2 ( x) f 2 ( x) . ⎪⎩ g ''( x) = λ1( x) f1''( x) + λ 2 ( x) f 2''( x)

(6)

Ţinând seama că f1, f 2, g ∈C (2) (I ) şi că W [ f1, f 2 ] ≠ 0 pe I, din (6) deducem că λ1 şi

λ2 sunt funcţii derivabile pe I. Derivând prima relaţie din (6) obţinem: g '( x) = λ1' ( x) f1( x) + λ '2 ( x) f 2 ( x) + λ1( x) f1'( x) + λ 2 ( x) f 2' ( x) . Pe de altă parte, ţinând seama de a doua relaţie din (6), deducem: λ1' ( x) f1( x) + λ '2 f 2 ( x) = 0 .

(7)

În mod analog, derivând a doua relaţie din (6) şi ţinând seama de a treia relaţie, deducem: λ1' ( x) f1'( x) + λ '2 f 2' ( x) = 0 .

(8)

Am obţinut un sistem liniar şi omogen de două ecuaţii (ecuaţiile (7) şi (8)) în necunoscutele λ1' ( x) şi λ '2 ( x) . Cum, prin ipoteză, determinantul coeficienţilor f1( x) f 2 ( x) = W [ f1, f 2 ] ( x) f1'( x) f 2' ( x)

39


este nenul, rezultă că sistemul admite numai soluţia banală. Aşadar, λ1' ( x) = 0, λ '2 ( x) = 0,

∀x ∈ I , de unde rezultă că λ1( x) = C1, λ 2 ( x) = C2, ∀x ∈ I . Conform primei relaţii din (6) avem:

g ( x) = C1 f1( x) + C2 f 2 ( x), ∀x ∈ I . ■ Teorema 1.3.1. (Liouville) Fie y1, y2,..., yn ∈ S n soluţii particulare ale ecuaţiei

omogene (2), fie x0 ∈ I fixat şi fie W [ x] = W [ y1,..., yn ]( x) . Atunci x

W ( x) = W ( x0 )e

−∫

x0

a1(t ) dt a0 (t )

.

Demonstraţie. Prezentăm demonstraţia în cazul particular n = 2 . Fie y1 , y2 două soluţii particulare ale ecuaţiei omogene a0 ( x) y ''+ a1( x) y '+ a2 ( x) y = 0 . Atunci avem:

a ( x) ' a2 ( x) yi'' = − 1 y − y , i = 1, 2, x ∈ I . a0 ( x) i a0 ( x) i

(9)

y y Pe de altă parte, derivând wronskianul W ( x) = 1' 2' , obţinem: y1 y2

y y y y dW y1' y2' = ' ' + 1'' 2'' = 1'' 2'' . dx y1 y2 y1 y2 y1 y2 Ţinând seama de (9) şi de proprietăţile determinanţilor, rezultă:

y1 dW a a = − 1 y1' − 2 y1 dx a0 a0

y2 a ( x) a1 ' a2 =− 1 ⋅ − y2 − y2 a0 ( x) a0 a0

y1 y2 y1' y2'

sau

dW a ( x) = − 1 W ( x) . dx a0 ( x)

(10)

Se verifică imediat, prin derivare, că ecuaţia diferenţială (10) admite soluţia x

W ( x) = Ce

−∫

x0

a1(t ) dt a0 (t )

,

unde C este o constantă oarecare. În particular, pentru x = x0 , rezultă că C = W ( x0 ) , deci

40

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII x

W ( x) = W ( x0 ) e

−∫

x0

a1(t ) dt a0 (t )

.■

Definiţia 1.3.4. Se numeşte sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă (2),

orice set de n soluţii particulare y1,..., yn ∈ S , cu proprietatea că există x0 ∈ I , astfel încât W [ y1,..., yn ]( x0 ) ≠ 0 . Corolarul 1.3.1. Dacă y1,..., yn ∈ S este un sistem fundamental de soluţii, atunci

y1,..., yn sunt liniar independente pe I. Demonstraţie. Fie x0 ∈ I , astfel încât W ( x0 ) ≠ 0 . Din Teorema Liouville rezultă că W ( x) ≠ 0 , ∀x ∈ I , iar din Propoziţia 1.3.2, rezultă că y1,..., yn sunt liniar independente pe I. ■

Teorema 1.3.2. Orice sistem fundamental de soluţii din S este o bază în spaţiul

vectorial S. Demonstraţie. Fie y1,..., yn ∈ S un sistem fundamental de soluţii. Conform Corolarului 1.3.1, sunt liniar independente. Rămâne să arătăm că y1,..., yn este un sistem de generatori pentru S. Deoarece y1,..., yn sunt soluţii pentru (2), rezultă: ⎧ a0 ( x) y (n) + a1( x) y (n −1) +... + an −1( x) y1' + an ( x) y1 = 0 1 1 ⎪ ⎨............... ... .................. ........ ................ ... ............ ... ... . ⎪ a0 ( x) yn(n) + a1( x) yn(n −1) +... + an −1( x) yn' + an ( x) yn = 0 ⎩

(11)

Fie y ∈ S oarecare. Atunci y verifică ecuaţia (2), deci a0 ( x) y (n) + a1( x) y (n −1) + ... + an −1( x) y '+ an ( x) y = 0 .

(12)

Am obţinut un sistem liniar şi omogen de (n + 1) ecuaţii (ecuaţiile (11) şi (12)), în necunoscutele a0 ( x),..., an ( x). Cum sistemul admite soluţie nebanală (a0 ( x) ≠ 0, ∀x ∈ I ) , rezultă că determinantul coeficienţilor este 0. Aşadar, avem:

41


y (n) y1(n) ...... yn(n)

y (n −1) y1(n −1) .......... yn(n −1)

... ... ... ...

y' y1' ... yn'

y y1 = 0, ∀x ∈ I . ... yn

(13)

Egalitatea (13) este echivalentă cu W [ y, y1,..., yn ]( x) = 0, ∀x ∈ I . Pe de altă parte, din Propoziţia 1.3.2, rezultă că W [ y1,..., yn ]( x) ≠ 0 , ∀x ∈ I . Constatăm că sunt îndeplinite condiţiile Propoziţiei 1.3.3, deci există C1,..., Cn ∈ R , astfel încât y = C1 y1 + ... + Cn yn . Mai mult, rezultă dimR S = n . ■ Observaţia 1.3.1.

Din Teorema 1.3.2, rezultă că dacă y1,..., yn este un sistem

fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă (2), atunci orice altă soluţie a ecuaţiei (2) este de forma y = C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn ,

(14)

unde Ci , i = 1, n sunt constante arbitrare. Formula (14) reprezintă soluţia generală a ecuaţiei (2). Aşadar, pentru a găsi soluţia generală a ecuaţiei omogene (2) este suficient să găsim un sistem fundamental de soluţii particulare ale acesteia. În general, determinarea unui sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă este dificilă pentru ecuaţii cu coeficienţi variabili. Acest lucru este posibil însă în cazul ecuaţiilor cu coeficienţi constanţi, de care ne vom ocupa în continuare. Fie ecuaţia a0 y (n) + a1 y (n −1) + ... + an −1 y '+ an y = 0 ,

(15)

unde ai , i = 1, n sunt constante reale, a0 ≠ 0 . Căutăm soluţii ale ecuaţiei (15) de forma y = erx ,

(16)

unde r este o constantă reală ce urmează să fie determinată. Punând condiţia ca funcţia dată de (16) să verifice ecuaţia (15), rezultă:

(

)

erx a0r n + a1r n −1 + ... + an −1r + an = 0 . Se obţine astfel ecuaţia algebrică (17), care se numeşte ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei diferenţiale (2),

42


a0r n + a1r n −1 + ... + an −1r + an = 0 .

(17)

Aşadar, am redus problema rezolvării ecuaţiei diferenţiale (15) la problema rezolvării ecuaţiei algebrice (17). Distingem următoarele cazuri: Cazul 1. Ecuaţia caracteristică (17) are rădăcini reale şi distincte. Fie r1, r2,..., rn ∈ R, rădăcinile ecuaţiei (17), ri ≠ r j , dacă i ≠ j . Atunci y1 = er1x , y2 = er2 x ,..., yn = e rn x vor fi soluţii particulare ale ecuaţiei omogene (15). Calculând wronskianul lor, obţinem: er1x r1x W ( x) = r1e ........ r1n −1er1x

... ... ... ...

ern x 1 rn x r rne = e( r1 + r2 +...+ rn ) x ...1 ......... r1n −1 rnn −1ern x

= e( r1 +...rn ) x

∏

1≤ j < i ≤ n

... ... ... ...

1 rn ... = rnn −1

(ri − r j ) ≠ 0 .

Rezultă că aceste soluţii formează un sistem fundamental de soluţii, deci soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (2) este y = C1e r1x + C2e r2 x + ... + Cne rn x .

Exemplul 1.3.1. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y '''− 2 y ''− 5 y '+ 6 y = 0 .

Ecuaţia caracteristică este r 3 − 2r 2 − 5r + 6 = 0 şi are rădăcinile r1 = −2, r2 = 1, r3 = 3 . Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este y = C1e−2 x + C2e x + C3e3x .

Cazul 2. Ecuaţia caracteristică admite o rădăcină multiplă de ordin m ≤ n . Fie, de exemplu r0 această rădăcină. Vom arăta că în acest caz ecuaţia diferenţială (15) va admite următoarele soluţii particulare: y1 = er0 x ,

y2 = xer0 x ,..., ym = x m −1er0 x .

Pentru început, demonstrăm următoarea lemă:

43


(

)(

)

k Lema 1.3.1. Pentru orice g ∈C (k ) ( I ) avem D − rD0 erx g ( x) = erx g (k ) ( x) , unde

D=

d este operatorul de derivare şi D 0 este operatorul identitate. dx Demonstraţie. Demonstraţia se face prin inducţie matematică. Pentru k = 1 avem:

( D − rD0 )( erx g(x) ) = rerx g(x) + erx g '(x) − rerx g(x) = erx g '(x) . Presupunem afirmaţia adevărată pentru orice p < k şi o demonstrăm pentru p + 1 . p +1

( D − rD0 ) ( erx g(x) ) = ( D − rD0 ) ⎡⎢⎣( D − rD0 ) ⎤⎥⎦ ( erx g(x) ) =

(

)(

p

)

= D − rD0 erx g ( p) ( x) = rerx g ( p) ( x) + erx g ( p +1) ( x) − rerx g ( p) ( x) = = erx g ( p +1) ( x) . Cu aceasta lema este demonstrată. ■ Fie acum r0 o rădăcină multiplă de ordinul m pentru ecuaţia caracteristică (17) şi fie F (r ) = a0r n + ... + an −1r + an , membrul stâng al ecuaţiei (17). Atunci F (r ) = F1(r ) ⋅ (r − r0 ) m ,

unde F1 este o funcţie polinomială de gradul n − m . Acestei descompuneri a polinomului caracteristic F (r ) îi corespunde următoarea descompunere a operatorului diferenţial L( D) :

L(D) = L1(D)

( D − r0D0 )

m

.

Din Lema 1.3.1., pentru k < m avem:

(

)

(

) (

)

m k rx ⎤ L(D) x k er0 x = L1(D) ⎡⎢ D − r0 D 0 x e 0 ⎥ = L1(D) ⎡er0 x ⋅ ( x k )(m) ⎤ = 0 . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Rezultă că y = x k er0 x este soluţie pentru ecuaţia diferenţială (15), ∀k < m . Observaţia 1.3.2. Orice set de funcţii de forma erx , xerx ,..., x perx este liniar indepen-

dent pe R . Într-adevăr, orice combinaţie liniară nulă a acestor funcţii nu este posibilă decât dacă toţi coeficienţii combinaţiei sunt nuli. Exemplul 1.3.2. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y ''+ 4 y '+ 4 y = 0 .

44


Ecuaţia caracteristică este r 2 + 4r + 4 = 0 şi are rădăcina dublă r1 = r2 = −2 . Ecuaţia admite soluţiile particulare: y1 = e−2 x şi y2 = xe−2 x , care sunt liniar independente, deci formează o bază. Soluţia generală este: y = C1e−2 x + C2 xe−2 x . Cazul 3. Ecuaţia caracteristică admite rădăcina complexă r = α + iβ, β ≠ 0 . În acest caz, vom arăta că ecuaţia diferenţială admite soluţiile particulare y1 = eαx cos βx şi y2 = eαx sin βx . Verificăm afirmaţia în cazul particular n = 2 . Presupunem că

ecuaţia

a0r 2 + a1r + a2 = 0

admite

rădăcina

r0 = α + iβ, β ≠ 0 .

Atunci

avem

a0 (α + iβ) 2 + a1(α + iβ) + a2 = 0 , de unde deducem că:

⎧a0 (α 2 − β2 ) + a1α + a2 = 0 ⎪ . ⎨ ⎪⎩2a0αβ + a1β = 0

(18)

Fie y1 = eαx cos βx . Atunci y1' = eαx (α cos βx − β sin βx) şi y1'' = eαx (α 2 cos βx − 2αβ sin βx − β2 cos βx) . În continuare, avem:

(

)

a0 y1'' + a1y1' + a2 y1 = eαx ⎡ a0 α 2 cos βx − 2αβ sin βx − β2 cos βx + ⎣ +a1 ( α cos βx − β sin βx ) + a2 cos βx] =

( (

)

)

= eαx[ a0 α 2 − β2 + a1α + a2 cos βx − ( 2a0αβ + a1β ) sin βx] = 0 , în virtutea relaţiilor (18). Aşadar, dacă α + iβ este rădăcină pentru ecuaţia caracteristică, atunci y1 = eαx cos βx este soluţie pentru ecuaţia diferenţială (15). Analog se arată că y2 = eαx sin βx este soluţie pentru ecuaţia diferenţială (15). Pe de altă parte, este evident că aceste soluţii y1 = eαx cos βx , y2 = eαx sin βx sunt liniar independente. Aşadar, în cazul particular n = 2 , soluţia generală este: y = C1eαx cos βx + C2eαx sin βx .

45


În cazul când α + iβ este rădăcină dublă pentru ecuaţia caracteristică, ecuaţia diferenţială admite soluţiile particulare eαx cos βx , xeαx cos βx , eαx sin β x , xeαx sin β x etc. Exemplul 1.3.3. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y ''+ 2 y '+ 5 = 0 .

Ecuaţia caracteristică este r 2 + 2r + 5 = 0 şi are rădăcinile r1,2 = −1 ± 2 i . Avem α = −1 , β = 2 . Ecuaţia diferenţială admite soluţiile particulare y1 = e− x cos 2 x şi y2 = e− x sin 2 x .

Soluţia generală este: y = C1e− x cos 2x + C2e− x sin 2x . Se poate întâmpla ca la o ecuaţie să întâlnim toate cele trei cazuri studiate anterior. Exemplul 1.3.4. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale

y v‫ ׀׀‬− y v − 2 y‫׀‬v − 5 y‫ ׀׀׀‬− 4 y‫ ׀׀‬− 3 y‫ ׀‬− 2 y = 0 . Ecuaţia caracteristică este: r 7 − r 5 − 2r 4 − 5r 3 − 4r 2 − 3r − 2 = 0 şi are rădăcinile

r1 = r2 = −1 ; r3 = 2 ; r4 = r5 = i ; r6 = r7 = −i . Ecuaţia diferenţială admite următoarele soluţii particulare: y1 = e− x ; y2 = xe− x ; y3 = e 2 x ; y4 = cos x ; y5 = x cos x ; y6 = sin x ; y7 = x sin x . Aceste soluţii sunt liniar independente şi soluţia generală este: y = C1e− x + C2 xe− x + C3e2 x + C4 cos x + C5 x cos x + C6 sin x + C7 x sin x .

În continuare ne ocupăm de ecuaţia neomogenă (1). Propoziţia 1.3.4. Fie y p o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (1). Atunci,

orice soluţie a ecuaţiei neomogene (1) este de forma y = y1 + y p , unde y1 este o soluţie a ecuaţiei omogene (2). Demonstraţie. Fie S spaţiul vectorial al soluţiilor ecuaţiei omogene (2) şi fie S mulţimea soluţiilor ecuaţiei neomogene (1). Atragem atenţia că S

nu este un spaţiu

46


vectorial, pentru că nu este închis la sumă. ( y1, y2 ∈ S i y1 + y2 ∈ S ) . Dacă y p ∈S şi

y1 ∈ S , atunci L(D)( y0 + y p ) = L(D)( y0 ) + L(D)( y p ) = 0 + f ( x) = f ( x) , deci y = y0 + y p ∈S . Pe de altă parte, fie y ∈ S şi z = y − y p . Atunci

L(D)( z) = L(D)( y) − L(D)( y p ) = f ( x) − f ( x) = 0 , deci z ∈ S . Prin urmare y = z + y p , unde z ∈ S . ■

Corolarul 1.3.2. Soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1) este de forma

y = y0 + y p , unde y0 este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene (2) şi y p este o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale neomogene (1). Afirmaţia rezultă din Propoziţia 1.3.4 şi din observaţia că, dacă y0 este soluţia generală a ecuaţiei (2), atunci y0 depinde de n constante arbitrare, deci şi y va avea această proprietate. ■ Din Corolarul 1.3.2, rezultă că este suficient să cunoaştem o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene pentru a afla soluţia generală a sa. În cele ce urmează, vom arăta că, dacă se cunoaşte soluţia generală a ecuaţiei omogene (2), atunci, folosind metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange, se poate afla soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1). Pentru simplificarea scrierii, să presupunem că n = 2. Fie y1, y2 un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei omogene (2). Atunci, soluţia generală a ecuaţiei omogene este y0 = C1 y1 + C2 y2 .

(19)

Căutăm soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1) de forma y = ϕ1( x) y1 + ϕ 2 ( x) y2 .

Derivând, obţinem y′ = ϕ1( x) y1′ + ϕ 2 ( x) y2′ + ϕ1′( x) y1 + ϕ 2′ ( x) y2 .

(20)

47


Impunem condiţia ϕ1′( x) y1 + ϕ 2′ ( x) y2 = 0 .

(21)

Ţinând seama de (21), rezultă că y′ = ϕ1( x) y1′ + ϕ 2 ( x) y′2

(22)

şi mai departe că y′′ = ϕ1( x) y1′′ + ϕ 2 ( x) y2′′ + ϕ1′( x) y1′ + ϕ 2′ ( x) y′2 .

(23)

În sfârşit, punând condiţia ca funcţia definită în (20) să verifice ecuaţia a0 ( x) y′′ + a1( x) y′ + a2 ( x) y = f ( x)

şi ţinând seama de (22) şi (23), rezultă: a0 ( x) [ϕ1( x) y1′′ + ϕ2 ( x) y′′2 + ϕ1′( x) y1′ + ϕ2′ ( x) y′2 ] + a1( x) [ϕ1( x) y1′ + ϕ2 ( x) y′2 ] + +a2 ( x) [ϕ1( x) y1 + ϕ2 ( x) y2 ] = f ( x)

În continuare, avem: ϕ1( x) [a0 ( x) y1′′ + a1( x) y1′ + a2 ( x) y1] + ϕ2 ( x) [a0 ( x) y′′2 + a1( x) y′2 + a2 ( x) y2 ] + +a0 ( x) [ϕ1′( x) y1′ + ϕ2′ ( x) y′2 ] = f ( x).

Ţinând seama că y1 şi y2 sunt soluţii pentru ecuaţia omogenă, rezultă că a0( x) [ϕ1′( x) y1′ + ϕ 2′ ( x) y2′ ] = f ( x) ,

deci că ϕ1′( x) y1′ + ϕ 2′ ( x) y′2 =

f ( x) . a0( x)

(24)

Prin urmare, căutând soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1) de forma (20), rezultă că funcţiile ϕ1 şi ϕ 2 satisfac condiţiile (21) şi (24), anume: ⎧ϕ1′( x) y1 + ϕ 2′ ( x) y2 = 0 ⎪ f ( x) . ⎨ ⎪ϕ1′( x) y1′ + ϕ 2′ ( x) y2′ = a ( x) 0 ⎩

(25)

Cum determinantul coeficienţilor sistemului liniar (25) este chiar wronskianul funcţiilor y1 , y2 şi este diferit de zero prin ipoteză, rezultă că sistemul (25) are soluţie unică. Fie

ϕ1′( x) = g1( x) şi ϕ 2′ ( x) = g 2 ( x) soluţia unică a sistemului (25). Mai departe avem:

ϕ1( x) = ∫ g1( x)dx + C1 şi ϕ 2 ( x) = ∫ g 2 ( x)dx + C2 .

(26)

Înlocuind (26) în (20), obţinem soluţia generală a ecuaţiei neomogene: y = C1 y1 + C2 y2 + y1∫ g1( x) dx + y2 ∫ g 2 ( x) dx = y0 + y p ,

(27)

48


unde y0 = C1 y1 + C2 y2 este soluţia generală a ecuaţiei omogene, iar y p = y1∫ g1( x) dx + y2 ∫ g 2 ( x) dx

este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Observaţia 1.3.3. În cazul general, metoda variaţiei constantelor constă în următoarele:

fie y1, y2 ,…, yn un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei omogene (2). Atunci, soluţia generală a ecuaţiei (2) este y = C1 y1 + … + Cn yn . Căutăm soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1) de forma y = ϕ1( x) y1 + … + ϕ n ( x) yn ,

(28)

unde ϕ ′1,ϕ2′ ,…,ϕn′ verifică sistemul ⎧ϕ1′( x) y1 + … + ϕ n′ ( x) yn = 0 ⎪ϕ ′( x) y′ + … + ϕ ′ ( x) y′ = 0 . ⎪ 1 1 n n ⎨ ⎪ϕ1′( x) y (n −1) + … + ϕ n′ ( x) yn(n −1) = f ( x) 1 a0 ( x) ⎪⎩

(29)

Rezolvând sistemul (29) (care are soluţie unică) şi integrând, obţinem funcţiile ϕ1,…,ϕ n şi deci soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1). În concluzie, dacă cunoaştem un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă, atunci folosind metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange putem să aflăm soluţia generală a ecuaţiei neomogene. În cele ce urmează, vom arăta cum se poate afla o astfel de soluţie particulară în cazul când membrul drept este de forma f ( x) = eλx ( P1( x) cos μx + P2 ( x) sin μx ) ,

unde P1 şi P2 sunt funcţii polinomiale. Se disting două cazuri: Cazul 1. (fără rezonanţă) Dacă λ + iμ nu este rădăcină pentru ecuaţia caracteristică (17), se caută o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene de forma y p = eλx ( Q1( x) cos μx + Q2 ( x) sin μx ) , unde Q1 şi Q2 sunt funcţii polinomiale de acelaşi grad,

grad Q1 = grad Q2 = max( grad P1, grad P2 ) .

(30)

49


Determinarea polinoamelor Q1 şi Q2 se face punând condiţia ca funcţia y p , dată de (30), să verifice ecuaţia neomogenă. Cazul 2. (cu rezonanţă) Dacă λ + iμ este soluţie pentru ecuaţia caracteristică (17) şi are ordinul de multiplicitate m, atunci se caută y p de forma y p = x meλx [Q1( x) cos μx + Q2 ( x) sin μx ] şi se procedează în continuare ca în cazul 1. Exemplul 1.3.5. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y ''− 5 y '+ 6 y = 2e− x .

Ecuaţia diferenţială omogenă asociată ecuaţiei date este y ''− 5 y '+ 6 y = 0 şi are ecuaţia caracteristică r 2 − 5r + 6 = 0 . Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt r1 = 2, r2 = 3 , deci soluţia generală a ecuaţiei omogene este y0 = C1e 2 x + C2e3x . Membrul drept este de forma (19), cu λ = −1, μ = 0, P1( x) = 2, P2 ( x) = 0 . Observăm că λ + iμ = −1 nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, deci suntem în cazul 1 (fără rezonanţă).

Alegem y p = ae− x şi punem condiţia să verifice ecuaţia neomogenă dată. Avem y 'p = −ae− x , y ''p = ae− x şi mai departe 2e− x = y ''p − 5 y 'p + 6 y p = e− x (a + 5a + 6a) = 12ae− x . Rezultă a =

1 1 , deci y p = e− x . Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale neomogene 6 6

date este

1 y = C1e2x + C2e3x − e− x . 6 Exemplul 1.3.6. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y ''− 5 y '+ 6 y = 5e3x .

În acest caz, λ = 3 , μ = 0 , P1 = 5 , P2 = 0 . Cum λ + i μ = 3 este soluţie a ecuaţiei caracteristice, suntem în cazul 2, cu rezonanţă. Căutăm y p de forma y p = axe3x . Mai departe, avem:

50


y 'p = a(1 + 3x)e3x ,

y ''p = a(6 + 9 x)e3x ,

5e3x = y ''− 5 y 'p + 6 y p = ae3x (6 + 9 x − 5 − 15x + 6 x) = ae3x . Rezultă că a = 5, y p = 5xe3x , deci y = C1e2 x + C2e3x + 5xe3x este soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale neomogene dată. Exemplul 1.3.7. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y ''− 5 y '+ 6 y = 4 cos 2 x .

Avem λ = 0, μ = 2, P1 = 4, P2 = 0, λ + iμ = 2i nu este soluţie pentru ecuaţia caracteristică. Căutăm y p de forma y p = a cos 2x + b sin 2x . Derivând obţinem: y 'p = −2a sin 2 x + 2b cos 2x,

y ''p = −4a cos 2 x − 4b sin 2 x .

Punând condiţia ca y p să verifice ecuaţia neomogenă, obţinem: 4 cos 2 x = (−4a cos 2 x − 4b sin 2 x) − 5(−2a sin 2 x + 2b cos 2 x) + 6(a cos 2 x + b sin 2 x) .

În continuare, avem: (2a − 10b) cos 2 x + (10a + 2b) sin 2 x = 4 cos 2 x .

{

1 5 Se obţine sistemul 2a − 10b = 4 , care are soluţia a = , b = − . 10a + 2b = 0 13 13 Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale date este:

y = C1e2x + C2e3x +

1 5 cos 2 x − sin 3x . 13 13

Exemplul 1.3.8. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y ''+ y = 3sin x .

Ecuaţia diferenţială omogenă asociată ecuaţiei diferenţiale date este y ''+ y = 0 şi are ecuaţia caracteristică r 2 + 1 = 0 , care are rădăcinile complexe r1,2 = ±i . Avem α = 0 , β = 1 , de unde rezultă că soluţia generală a ecuaţiei omogene este y0 = C1 cos x + C2 sin x . Deoarece

λ = 0 , μ = 1 şi λ + i μ = i este rădăcină pentru ecuaţia caracteristică, suntem în cazul 2, cu rezonanţă. Alegem y p = x ( a cos x + b sin x ) . Punând condiţia ca y p să verifice ecuaţia neomogenă obţinem a = − neomogene este

3 3 şi b = 0 . Aşadar, y p = − x cos x şi soluţia generală a ecuaţiei 2 2


51

y = C1 cos x + C2 sin x −

3 x cos x . 2

1.4. Ecuaţii diferenţiale de tip Euler Prezentăm acum ecuaţiile diferenţiale de tip Euler, care sunt ecuaţii cu coeficienţi variabili. Vom arăta că dacă facem schimbarea de variabilă x = e t , aceste ecuaţii devin ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi. O ecuaţie diferenţială de tip Euler este de forma: a0 x n y (n) + a1x n −1 y (n −1) + … + an −1xy′ + an y = f ( x) ,

(1)

unde ai ∈ , i = 0, n , sunt constante. Dacă facem schimbarea de variabilă x = et

(2)

( ) z′(t ) = y′ ( e ) ⋅ e

şi notăm cu z(t) = y e t , atunci avem: t

t

( )

, deci y′ e t = e−t z(t) .

Derivând, în continuare, obţinem:

( )

( )

( )

z′′(t) = y′′ e t ⋅ e2t + y′ e t ⋅ e t = y′′ e t ⋅ e2t + z′(t) ,

deci

( )

y′′ e t = e−2t ( z′′(t) − z′(t)) ,

( )

( )

( )

z′′′(t) = y′′′ e t ⋅ e3t + y′′ e t ⋅ 2e 2t + z′′(t ) = y′′′ e t ⋅ e3t + 2 ( z′′(t) − z′(t)) + z′′(t )

Aşadar, avem

( )

y′′′ e t = e−3t ( z′′′(t ) − 3z′′(t ) + 2z′(t) ) etc.

În general

( )

(

)

y (k ) e t = e−kt z (k ) (t) + b1z (k −1) (t) + … + bk z′(t ) .

(3)

Înlocuind (3) în (1), obţinem o ecuaţie cu coeficienţi constanţi în necunoscuta z = z(t ) . Exemplul 1.4.1. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale x 2 ⋅ y′′ − x ⋅ y′ + y = ln x , x > 0 .

(4)


52

În urma schimbării de variabilă x = e t , ecuaţia devine e2t ⋅ e−2t ( z′′ − z′) − e t ⋅ e −t ⋅ z′ + z = t

sau z′′ − 2z′ + z = t .

(5)

Ecuaţia omogenă z′′ − 2z′ + z = 0 are ecuaţia caracteristică r 2 − 2r + 1 = 0 , care admite rădăcina dublă r1 = r2 = t . În consecinţă, soluţia generală a ecuaţiei omogene este: z0 = C1 e t + C2 te t .

(6)

Deoarece nu avem rezonanţă, căutăm o soluţie particulară a membrului drept de forma: y p = at + b .

(7)

Punând condiţia ca y p să verifice ecuaţia neomogenă (5), rezultă a = 1, b = 2, deci yp = t + 2 .

Soluţia generală a ecuaţiei neomogene (5) este z = C1e t + C2 te t + t + 2 . Înlocuind t = ln x, obţinem soluţia generală a ecuaţiei (8): y = C1x + C2 x ln x + ln x + 2 .

1.5. Studiul vibraţiilor unui sistem oscilant cu un singur grad de libertate Considerăm un sistem oscilant cu un singur grad de libertate format dintr-o masă m şi un element elastic (un arc) ca în figura 1.

k

m

x(t)

f(t)

Fig. 1 Presupunem că asupra masei m, redusă la un punct material, acţionează o forţă perturbatoare F (t ) , care determină o deplasare pe orizontală notată cu x(t ) . În orice moment t al mişcării, punctul material se află în echilibru sub acţiunea următoarelor forţe: forţa elastică Fe , forţa de inerţie Fi = m ⋅ x(t ) şi forţa perturbatoare F (t ) (fig. 2). Aşadar, avem:


53 Fi + Fe = F (t ) .

F (t )

Fe Fi Fig. 2

Pentru deplasări mici, forţa elastică este proporţională cu deplasarea (legea lui Hooke). Deci Fe = k ⋅ x(t ) , unde k este coeficientul de rigiditate şi se defineşte ca fiind forţa necesară pentru a produce o deplasare unitară pe direcţia acestei forţe. Inversul coeficientului de rigiditate δ =

1 se k

numeşte flexibilitatea elementului elastic. Se obţine astfel următoarea ecuaţie diferenţială: m ⋅ x (t ) + k ⋅ x (t ) = F (t ) .

Dacă presupunem, în plus, că există şi o forţă de frecare Ff , proporţională cu viteza de deplasare, F f = c ⋅ x (t ) , atunci ecuaţia devine m ⋅ x (t ) + c ⋅ x (t ) + k ⋅ x ( t ) = F ( t ) .

(1)

Constanta c se numeşte coeficientul de amortizare vâscoasă. În continuare, notăm cu ω pulsaţia proprie a vibraţiei, care se defineşte prin ω = şi cu ν fracţiunea de amortizare critică, definită prin ν =

k m

c . 2mω

Cu aceste notaţii ecuaţia (1) devine x(t ) + 2ν ω x(t ) + ω 2 x(t ) =

F (t ) . m

(2)

Ecuaţia (2) este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul doi, cu coeficienţi constanţi, neomogenă. Ecuaţia omogenă asociată este x(t ) + 2νω x(t ) + ω 2 x(t ) = 0 şi modelează cazul vibraţiilor libere cu amortizare vâscoasă. Ecuaţia caracteristică este r 2 + 2νω r + ω 2 = 0

(3)


54 şi admite soluţiile

r1,2 = −νω ± iω 1 −ν 2 . Dacă notăm cu ω * = ω 1 −ν 2 , atunci soluţia generală a ecuaţiei omogene (3), care corespunde vibraţiilor libere, se notează cu xL (t ) şi este

(

)

xL (t ) = e −ν ω t C1 sin ω *t + C2 cos ω *t .

Ecuaţia neomogenă (2) modelează cazul vibraţiilor forţate cu amortizare vâscoasă. În continuare, vom presupune că forţa perturbatoare F (t ) este de forma F (t ) =

F0 sin θ t , m

unde F0 este o constantă. Ecuaţia neomogenă devine x(t ) + 2νω x(t ) + ω 2 x (t ) =

F0 ⋅ sin θ t . m

(4)

Căutăm soluţia particulară a ecuaţiei neomogene, xF (t ) (corespunzătoare vibraţiilor forţate), de forma xF (t ) = A sin θ t + B cos θ t .

(5)

Punând condiţia ca soluţia (5) să verifice ecuaţia diferenţială (4), obţinem

− Aθ 2 sin θ t − Bθ 2 cos θ t + 2νω ( Aθ cos θ t − Bθ sin θ t ) + +ω 2 ( A sin θ t + B cos θ t ) =

F0 sin θ t . m

Identificând coeficienţii lui sin θ t şi cos θ t din cei doi membri, obţinem sistemul F0 ⎧ 2 2 ⎪(ω − θ ) A − 2νωθ B = m , ⎨ ⎪⎩ 2νωθ A + (ω 2 − θ 2 ) B = 0

care admite soluţia

A=

F ω2 −θ 2 F −2νωθ ⋅ 0 şi B = 2 ⋅ 0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (ω − θ ) + 4ν ω θ m (ω − θ ) + 4ν ω θ m

(6)

Soluţia generală a ecuaţiei neomogene (4) este x(t ) = xL (t ) + xF (t ) = e −ν ω t ( C1 sin ω *t + C2 cos ω *t ) + A sin θ t + B cos θ t . Derivând (7), rezultă

(7)


55

x(t ) = −νω e −ν

ωt

( C sin ω t + C *

1

2

)

(

)

cos ω *t + e −ν ω t ω *C1 cos ω *t − ω *C2 sin ω *t +

+ Aθ cos θ t − Bθ sin θ t . Vom determina soluţiile vibraţiilor stabilizate (staţionare), care corespund condiţiilor iniţiale ⎧ x(0) = 0 . ⎨ ⎩ x(0) = 0

(8)

Din condiţiile (8), deducem C2 = − B şi

C1 = −

θ νω A− * B . * ω ω

(9)

Ţinând seama de (6) şi (9), obţinem 2 ⎤ ⎞ θ ⎪⎧ −ν ω t ⎡ θ ⎛ 2 ⎛ θ ⎞ * * + − ν ω ν + ω x(t ) = e 2 1 sin t 2 cos t ⎢ ⎥+ ⎜ ⎟ ⎨ ⎜ ⎟ * ⎜ ⎟ 2 2 2⎤ ω ω ω ⎡⎛ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎦ ⎞ ⎪ ⎠ ⎣ ⎝ ⎛θ ⎞ ⎛θ ⎞ ⎩ mω 2 ⎢⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ + 4ν 2 ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎜ ⎝ ω ⎠ ⎠⎟ ⎝ω ⎠ ⎥ ⎣⎝ ⎦

F0

⎡⎛ ⎛ θ ⎞ 2 ⎞ ⎤ ⎫⎪ θ + ⎢⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟ sin θ t − 2ν cos θ t ⎥ ⎬ . ω ⎢⎣⎜⎝ ⎝ ω ⎠ ⎟⎠ ⎥⎦ ⎪⎭

(10)

Fie ⎤ θ ⎡ θ ⎛θ ⎞ α = * ⎢ 2ν 2 + ⎜ ⎟ − 1⎥ şi β = 2ν . ω ⎢⎣ ω ⎝ω ⎠ ⎥⎦ 2

(11)

Observăm că expresia α sin ω *t + β cos ω *t se poate prelucra astfel:

α sin ω *t + β cos ω *t = α (sin ω *t + Fie ϕ = arctg

β cos ω *t ) . α

β β , deci tgϕ = . Atunci avem: α α

α sin ω *t + β cos ω *t = α (sin ω *t + tgϕ cos ω *t ) = =

α cos ϕ

(sin ω *t cos ϕ + sin ϕ cos ω *t ) =

Pe de altă parte

1 α2 + β2 2 ϕ = 1 + tg = , α2 cos 2 ϕ de unde deducem că

α cos ϕ

sin(ω *t + ϕ ) .


56

α sin ω *t + β cos ω *t = α 2 + β 2 sin(ω *t + ϕ ) .

(12)

Ţinând seama de (11), rezultă 2 2 2⎤ ⎡⎛ ⎞ θ ⎛ ⎞ 2⎛θ ⎞ ⎥ ⎢ α +β = 2 ν 1 − + 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . ω (1 −ν 2 ) ⎢⎜⎝ ⎜⎝ ω ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ω ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2

θ2

2

(13)

2

θ ⎛θ ⎞ Dacă notăm cu γ = 1 − ⎜ ⎟ şi cu δ = −2ν , atunci ω ⎝ω ⎠ 2

2 ⎡ ⎛ θ ⎞2 ⎤ 2⎛θ ⎞ γ + δ = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + 4ν ⎜ ⎟ ⎝ω ⎠ ⎣⎢ ⎝ ω ⎠ ⎦⎥ 2

2

(14)

şi aşa cum am arătat mai sus, avem

γ sin θ t + δ cos θ t = γ 2 + δ 2 sin(θ t +ψ ) ,

(15)

unde

ψ = arctg

δ . γ

Ţinând seama de (12), (13), (14), (15) în expresia soluţiei generale (10), rezultă x(t ) =

3

F0 e −ν ω t mθ 2

F ⎛θ ⎞ * μ sin(ω *t + ϕ ) + 0 2 ⋅ 2 ⎜ω ⎟ mθ 1 −ν ⎝ ⎠

2

⎛θ ⎞ ⋅ ⎜ ⎟ μ * sin(θ t +ψ ) , ⎝ω ⎠

(16)

unde

μ* =

1 ⎛ ⎛θ ⎞ ⎜⎜1 − ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ω ⎠

2

2

⎞ 2⎛θ ⎞ ⎟⎟ + 4ν ⎜ ⎟ ⎝ω ⎠ ⎠

(17) 2

reprezintă coeficientul dinamic sau factorul de amplificare. În sfârşit, dacă notăm cu λ =

F0 , atunci soluţia căutată este mθ 2

x(t ) = xL (t ) + xF (t ) ,

unde

xL (t ) =

⎛θ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ω ⎠

λ 1 −ν

2

2

3

2 ⎛ ⎛ θ ⎞2 ⎞ 2⎛θ ⎞ ν 1 4 − + ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎝ω ⎠ ⎝ ⎝ω ⎠ ⎠

⋅ e −ν ω t ⋅ sin(ω 1 −ν 2 t + ϕ ) ,


57

ϕ = arctg

2ν 1 −ν 2 2

⎛θ ⎞ 2ν + ⎜ ⎟ − 1 ⎝ω ⎠

,

2

iar

xF (t ) = λ ⋅

⎛θ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ω ⎠ ⎛ ⎛θ ⎞ ⎜⎜1 − ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ω ⎠

ψ = arctg

2

2ν

2

2

⎞ 2⎛θ ⎞ ⎟⎟ + 4ν ⎜ ⎟ ⎝ω ⎠ ⎠

θ ω

2

⎛θ ⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎝ω ⎠

2

⋅ sin(θ t + ψ ) ,

.

Analizând soluţia obţinută, constatăm că primul termen, xL (t ) , care modelează vibraţiile libere, este de forma xL (t ) = Ae −ν

ωt

sin(ω *t + ϕ ) ,

Fig. 3


58

soluţie care exprimă o mişcare armonică cu pulsaţia ω * şi amplitudinea Ae −ν

ω t

şi care

descreşte exponenţial în timp. O asemenea mişcare se mai numeşte şi cvasiarmonică şi este reprezentată grafic în figura 3. Soluţia ecuaţiei neomogene, care corespunde vibraţiilor forţate, xF (t ) = B sin(θ t +ψ ) , exprimă o mişcare armonică (sinusoidală) de pulsaţie θ şi amplitudine B (figura 4).

Fig. 4 Când acţiunea forţei perturbatoare este de lungă durată, vibraţia totală, x(t ) = xL (t ) + xF (t ) , se reduce la vibraţia forţată xF (t ) , deoarece xL (t ) tinde la 0, datorită factorului e −ν ω t . În această situaţie, care interesează din punct de vedere practic, mişcarea capătă un caracter staţionar. Graficul soluţiei x(t ) , care se obţine prin însumarea graficelor din figurile 3 şi 4, arată ca în figura 5.


59

Fig. 5 În cazul lipsei forţei de amortizare vâscoasă (ν = 0 ), avem xF (t ) =

F0 ⎡ ⎛ θ ⎞2 ⎤ mω ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎢ ⎝ ω ⎠ ⎦⎥

⋅ sin(θ t +ψ ) .

2

Observăm că dacă θ = ω , situaţie care corespunde cazului de rezonanţă, xF (t ) devine infinit. Această situaţie este ipotetică, deoarece, în realitate, sistemul are întotdeauna o amortizare internă, care limitează mărimea deplasărilor. Să revenim la cazul general când ν ≠ 0 . Analizând amplitudinea soluţiei în acest caz, observăm că în zona rezonanţei (θ ≅ ω ) , deplasările nu mai devin infinite, dar, în această zonă, amplitudinea are valori maximale. Un grafic al factorului de amplificare μ * în funcţie de raportul valori ale frecvenţei este prezentat în figura 6.

θ şi pentru diferite ω


60

Fig. 6

1.6. Metode numerice. Metoda Euler După cum este cunoscut, aflarea soluţiei exacte a problemei Cauchy pentru o ecuaţie diferenţială nu este posibilă decît în anumite cazuri. De exemplu, determinarea soluţiei exacte a ecuaţiei diferenţiale aparent simplă y ' = x 2 + y 2 , y (0) = 1 , nu este posibilă. Se justifică astfel necesitatea recurgerii la metode numerice (aproximative) pentru rezolvarea problemei Cauchy. Metodele numerice constau în alegerea unor noduri echidistante xk , k ∈

, şi determinarea unor valori aproximative yk ale soluţiei exacte y = y ( x ) în

aceste noduri, deci yk ≈ y ( xk ) . În cele ce urmează, prezentăm cea mai simplă metodă directă de rezolvare a problemei Cauchy şi anume metoda lui Euler.


61

Fie problema Cauchy

⎧ y ' = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D = [ x0 − a, x0 + a] × [ y0 − b, y0 + b] . ⎨ ⎩ y ( x0 ) = y0 Presupunem că f ∈C

(1)

( D ) , deci f este continuă,

∂f este continuă şi deci mărginită ∂y

pe D. În aceste condiţii, f este lipschitziană în raport cu y pe D, deci sunt îndeplinite condiţiile teoremei de existenţă şi unicitate. Aşadar, problema Cauchy considerată are o soluţie unică y = y ( x ) , x ∈ I ⊂ [ x0 − a, x0 + a ] , cu proprietăţile: y '( x ) = f ( x, y ( x )) , ∀x ∈ I ,

y ( x0 ) = y0 . Deoarece y '( x0 ) = f ( x0 , y0 ) , rezultă că ecuaţia tangentei în punctul M 0 ( x0 , y0 ) la curba integrală a acestei soluţii, este: y = y0 + f ( x0 , y0 )( x − x0 ) . Considerăm nodurile echidistante xk = x0 + kh , h > 0 , k = 1, n , xk ∈ I , şi notăm cu y1 = y0 + f ( x0 , y0 )( x1 − x0 ) (vezi figura 1). y

y = y0 + f (x0 , y0 )( x − x0 )

y = y1 + f ( x1 , y1 )( x − x1 ) y1

y = y(x) soluţia exactă

y0

O

y( x1 )

y1

x0

y2

x1

x

Fig. 1

62


Aproximăm soluţia exactă y = y ( x ) a problemei Cauchy considerate, în punctul x1 , cu soluţia aproximativă y1 . Aşadar y ( x1 ) ≈ y0 + f ( x0 , y0 )( x1 − x0 ) = y0 + f ( x0 , y0 ) ⋅ h . În continuare, considerăm dreapta y = y1 + f ( x1 , y1 )( x − x1 ) şi aproximăm soluţia exactă y = y ( x ) a problemei Cauchy, în punctul x2 , cu y2 = y1 + f ( x1 , y1 )( x2 − x1 ) , deci y ( x2 ) ≈ y1 + f ( x1 , y1 ) ⋅ h etc. Se obţine următorul algoritm:

⎧ yk = yk −1 + h ⋅ f ( xk −1 , yk −1 ) , k ≥1. ⎨ ⎩ y0 = y ( x0 ) Pentru estimarea erorii, folosim formula Taylor. Presupunând că f ∈C

(1) (2)

( D) , avem:

y ( xk ) = y ( xk −1 + h) = y ( xk −1 ) + y '( xk −1 ) ⋅ h + o( h 2 ) .

Cum y '( xk −1 ) = f ( xk −1 , yk −1 ) , rezultă că y ( xk ) = y ( xk −1 ) + h ⋅ f ( xk −1 , yk −1 ) + o( h 2 ) .

(2)

Din (1) şi (2) deducem că: y ( xk ) − yk = y ( xk −1 ) − yk −1 + o( h 2 ) .

Prin urmare, eroarea la pasul k se obţine din eroarea la pasul precedent, k − 1 , la care se adaugă un infinit mic de ordinul 2 ( o( h 2 ) ).

Exemplul 1.6.1. Fie problema Cauchy y 1 ⎧ 2 y ' = y − − ⎪⎪ x 4x2 . ⎨ 1 ⎪ y (1) = ⎪⎩ 2 Să se determine soluţia aproximativă în punctul x = 2 , în doi paşi. În acest caz, avem: f ( x, y ) = y 2 −

y 1 − 2, x 4x

x0 = 1 , y0 = 0,5 , n = 2 , h = 0,5 , x1 = 1,5 , x2 = 2 , y1 = y0 + h ⋅ f ( x0 , y0 ) = 0, 25 ,


63 y2 = y1 + h ⋅ f ( x1 , y1 ) = 0,14236 .

Aşadar y (2) ≈ 0,14236 . Pe de altă parte, observăm că ecuaţia diferenţială considerată este o ecuaţie de tip Riccati, care admite soluţia particulară y p = iniţială y (1) =

1 . Cum această soluţie satisface condiţia 2x

1 1 , rezultă că y = este soluţia exactă a problemei Cauchy considerate. 2 2x

Valoarea soluţiei exacte în punctul 2, este y (2) =

1 = 0, 25 . Se obţine o eroare destul 4

de mare y (2) − y2 ≅ 0,1 . Dacă foloseam mai mulţi paşi, deci alegeam un pas h mai mic, obţineam o eroare mai mică, deci mai bună. Exemplul 1.6.2. Fie problema Cauchy ⎧y' = y − x . ⎨ ⎩ y (0) = 2 Să se determine soluţia aproximativă în punctul x = 0,5 , în cinci paşi. În acest caz, avem: f ( x, y ) = y − x , x0 = 0 , y0 = 2 , n = 5 , h = 0,1 , x1 = 0,1 , x2 = 0, 2 , x3 = 0,3 , x4 = 0, 4 , x5 = 0,5 y1 = 2, 2 , y2 = 2, 41 , y3 = 2, 631 , y4 = 2,8641 , y5 = 3,1105 . Ecuaţia diferenţială este liniară şi are soluţia exactă y = e x + x + 1 , deci y ( x5 ) = y (0,5) = 3,1487 şi y ( x5 ) − y5 ≅ 0, 03 .

Metoda Euler este o metodă foarte simplă, dar, aşa cum am văzut, prezintă o anumită lipsă de acurateţe. O metodă mai precisă este metoda Runge-Kutta. Fără a intra în detalii, prezentăm algoritmul Runge-Kutta de ordinul 4: h ⎧ ⎪ yk = yk −1 + ( g1 + 2 g 2 + 2 g3 + g 4 ), k ≥ 1, 6 ⎨ ⎪⎩ y0 = y ( x0 )

unde


64 ⎧ g1 = ⎪ ⎪ g2 = ⎪ ⎨ ⎪g = ⎪ 3 ⎪g = ⎩ 4

f ( xk −1 , yk −1 ) h h f ( xk −1 + , yk −1 + g1 ) 2 2 . h h f ( xk −1 + , yk −1 + g 2 ) 2 2 f ( xk −1 + h, yk −1 + hg 3 )

Exemplul 1.6.3.

Pentru comparaţie, considerăm aceeaşi problemă Cauchy ca în

Exemplul 1.6.1. Folosim aceleaşi notaţii ca acolo. Obţinem succesiv: g1 = −0,5 , g 2 = −0,31937 , g3 = −0,31959 , g 4 = −0, 22218 , h y1 = y0 + [ g1 + 2( g 2 + g3 ) + g 4 ] = 0,33332 . 6

Pentru calculul lui y2 , avem g1 = f ( x1 , y1 ) = −0, 22222 , g 2 = −0,1632 , g3 = −0,16322 , g 4 = −0,125 , y2 = 0, 24999 . Eroarea y (2) − y2 = 0, 25 − 0, 24999 = 10−5 este mult mai mică decât în cazul metodei Euler.

CAPITOLUL 2

SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

2.1. Sisteme de ecuaţii diferenţiale. Teorema de existenţă şi unicitate Prin sistem de n ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi sub formă normală, se înţelege un sistem de forma: ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = f1 ( x, y1,…, yn ) , ⎨ dy ⎪ n = f n ( x, y1,…, yn ) ⎪⎩ dxn

(1)

unde f1,…, f n sunt funcţii continue definite pe o mulţime deschisă D ⊂

n +1

.

Definiţia 2.1.1. Se numeşte soluţie a sistemului (1) orice set de n-funcţii y1 = ϕ 1( x),…, yn = ϕ n ( x) , x ∈ I ( I ⊂

interval deschis), ϕi ∈C

(1)

( I ) , i = 1, n , cu proprietatea

⎧ dϕ 1( x) ⎪⎪ dx = f1 ⎡⎣ x,ϕ 1( x),…,ϕ n ( x)⎤⎦ ⎨ dϕ ( x) ⎪ n = f n ⎡⎣ x,ϕ 1( x),…,ϕ n ( x)⎤⎦ , ∀ x ∈ I . ⎩⎪ dx

(Se subînţelege că am presupus că ( x,ϕ 1( x),…,ϕ n ( x) ) ∈ D , ∀ x ∈ I ). În general, un sistem de ecuaţii diferenţiale admite o infinitate de soluţii. Pentru a selecta o anumită soluţie se impun condiţii iniţiale. Definiţia 2.1.2. Fie M 0 ( x0, y10,…, yn0 ) un punct oarecare din D fixat. Se numeşte problema Cauchy pentru sistemul (1), problema determinării unei soluţii a acestui sistem, y1 = ϕ 1( x),…, yn = ϕ n ( x) , x ∈ I , care verifică condiţia iniţială:

66


ϕ 1( x0 ) = y10,…,ϕ n ( x0 ) = yn0 .

(2)

y = ( y1,…, yn ) ,

Dacă adoptăm scrierea vectorială:

f = ( f1,…, f n ) ,

ϕ = (ϕ 1,…,ϕ n ) ,

y0 = ( y10,…, yn0 ) , sistemul (1) se scrie y′ = f ( x, y ) ,

(1')

iar problema Cauchy constă în determinarea unei funcţii vectoriale ϕ : I →

n

, ϕ ∈C

(1)

( I ) , cu

proprietăţile:

( x,ϕ ( x)) ∈ D , ∀ x ∈ I, ϕ′( x) = f ( x,ϕ ( x)) , ∀ x ∈ I, ϕ ( x0 ) = y0 . Definiţia 2.1.3. O funcţie f : D →

n +1

(2')

se numeşte lipschitziană pe D, în raport cu y1 ,

..., yn , dacă există o constantă L > 0 astfel încât n

f ( x, y1,…, yn ) − f ( x, z1,…, zn ) ≤ L∑ y j − z j , j =1

oricare ar fi punctele ( x, y1,…, yn ) şi ( x, z1,…, zn ) din D.

Observaţia 2.1.1. Dacă D este o mulţime deschisă şi convexă, f ∈C

(1)

(D) şi există

M > 0 astfel încât ∂f ( x, y1,…, yn ) ≤ M , ∀ ( x, y1,…, yn ) ∈ D şi ∀ i = 1, n , ∂xi

atunci f este lipschitziană pe D. Într-adevăr, din teorema creşterilor finite a lui Lagrange, rezultă că oricare ar fi P ( x, y1,…, yn ) ∈ D şi oricare ar fi Q ( x, z1,…, zn ) ∈ D există un punct ( x,ξ1,…,ξn ) pe segmentul

de dreaptă deschis, de capete P şi Q, astfel încât n

∂f ( x,ξ1,…,ξn ) ( y j − z j ) . j =1 ∂x j

f ( x, y1,…, yn ) − f ( x, z1,…, zn ) = ∑

În continuare, avem: n

f ( x, y1,…, yn ) − f ( x, z1,…, zn ) ≤ ∑

j =1

∂f ( x,ξ1,…,ξn ) ∂x j n

≤ M ∑ (yj − zj) , j =1

(yj − zj) ≤

67

2. Sisteme de ecuaţii diferenţiale

deci f este lipschitziană pe D. Teorema 2.1.1. (Teorema de existenţă şi unicitate pentru sisteme de ecuaţii diferenţiale) Fie M 0 ( x0, y10,…, yn0 ) ∈

n +1

, a, bi > 0 , i = 1, n şi D = ( x0 − a, x0 + a ) × Δ , unde

n

Δ = ∏ ( y j0 − b j , y j 0 + b j ) = ( y10 − b1, y10 + b1 ) ×…× ( yn0 − bn , yn0 + bn ) . j =1

Dacă fi : D →

este continuă şi lipschitziană pe D , în raport cu y1 ,..., yn , oricare ar

fi i = 1, n , atunci există o soluţie unică a sistemului (1): y1 = ϕ1( x),…, yn = ϕ n ( x) , x ∈ I ⊂ ( x0 − a, x0 + a ) ,

cu proprietatea: ϕ1 ( x0 ) = y10,…,ϕ n ( x0 ) = yn0 .

(Cu alte cuvinte, în condiţiile precizate, problema Cauchy (1) - (2) are soluţie unică).

Demonstraţie. Pentru fiecare i = 1, n , funcţia fi este continuă pe mulţimea compactă D , deci este mărginită pe D . Fie M i > 0 marginea superioară a funcţiei f i pe D şi fie M = max {M 1,…, M n} . Fie de asemenea L = max{L1 ,..., Ln } , unde Li > 0 este constanta

Lipschitz a funcţiei fi pe D , i = 1, n . Fie, de asemenea, α ∈ (0,1) oarecare şi fie b α ⎞ ⎛ b1 h = min ⎜ a, ,…, n , ⎟ . M nL ⎠ ⎝ M

Notăm cu I = ( x0 − h, x0 + h ) . Evident, I ⊂ ( x0 − a, x0 + a ) . Procedând ca în demonstraţia Lemei 1.1.1, se arată că rezolvarea problemei Cauchy (1)-(2) este echivalentă cu rezolvarea următorului sistem de ecuaţii integrale: ⎧ y ( x) = y + x f [t, y (t),…, y (t )] d t 10 ∫ 1 1 n x0 ⎪⎪ 1 . ⎨ x ⎪ yn ( x) = yn0 + ∫ f n [t, y1(t ),…, yn (t )] d t , x ∈ I x0 ⎪⎩

(3)

Rezultă că dacă arătăm că sistemul (3) are soluţie unică, atunci teorema este demonstrată. Pentru început, vom arăta că există o soluţie a problemei Cauchy sau, echivalent, vom arăta că există o soluţie a sistemului de ecuaţii integrale (3). Demonstraţia se bazează pe

68


metoda aproximaţiilor succesive, utilizată la demonstrarea teoremei de existenţă a soluţiei pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi. Definim prima aproximaţie y1(1) = y1(1) ( x ) , y2(1) = y2(1) ( x ) ,..., yn(1) = yn(1) ( x ) , x ∈ I , astfel: x ⎧ (1) ⎪ y1 ( x) = y10 + ∫ f1 (t , y10 , y20 ,..., yn 0 )dt x0 ⎪ ⎪ x ⎪⎪ y (1) ( x) = y + f (t , y , y ,..., y )dt 2 20 ∫ 2 10 20 n0 , x ∈ I . ⎨ x0 ⎪ ⎪............................................................. x ⎪ ⎪ yn(1) ( x) = yn 0 + ∫ f n (t , y10 , y20 ,..., yn 0 )dt ⎪⎩ x0

Deoarece funcţiile fi , i = 1, n , sunt continue, rezultă că yi(1) , i = 1, n , sunt continue pe I. Pe de altă parte, pentru orice i = 1, n şi pentru orice x ∈ I , avem yi(1) ( x) − yi0 ≤

x

∫

x0

fi (t, y10 , y20 ,..., yn0 ) dt ≤ M

= M x − x0 ≤ Mh ≤ M ⋅

x

∫ dt =

x0

bi = bi . M

(4)

Aşadar, yi(1) : I → [ yi 0 − bi , yi 0 + bi ] , deci (t , y1(1) (t ),..., yn(1) (t )) ∈ D , ∀t ∈ I . Construim aproximaţia a doua y1(2) = y1(2) ( x ) , y2(2) = y2(2) ( x ) ,..., yn(2) = yn(2) ( x ) , x ∈ I , astfel: x ⎧ (2) (1) (1) y ( x ) = y + ⎪ 1 10 ∫x f1 (t , y1 (t ),..., yn (t ))dt ⎪ 0 ⎪ x ⎪⎪ y (2) ( x) = y + f (t , y (1) (t ),..., y (1) (t ))dt n 2 20 ∫ 2 1 , x ∈ I. ⎨ x0 ⎪ ⎪ ............................................................. x ⎪ ⎪ yn(2) ( x) = yn 0 + ∫ f n (t , y1(1) (t ),..., yn(1) (t ))dt ⎪⎩ x0

Din continuitatea funcţiilor fi , i = 1, n , precum şi din continuitatea funcţiilor yi(1) , i = 1, n , rezultă continuitatea funcţiilor yi(2) , i = 1, n .

Pe de altă parte, se observă că pentru orice i = 1, n şi pentru orice x ∈ I , avem

69


yi(2) ( x) − yi0 ≤

x

∫

fi (t, y1(1) (t ),..., yn(1) (t )) dt ≤ M

x0

x

∫ dt =

x0

= M x − x0 ≤ Mh ≤ M ⋅

bi = bi . M

Aşadar, yi(2) : I → [ yi 0 − bi , yi 0 + bi ] , deci (t , y1(2) (t ),..., yn(2) (t )) ∈ D , ∀t ∈ I . În general, definim aproximaţia de ordinul m: y1( m ) = y1( m ) ( x ) , y2( m ) = y2( m ) ( x ) ,..., yn( m ) = yn( m ) ( x ) , x ∈ I ,

astfel: x ⎧ (m) ( m −1) ( m −1) y ( x ) = y + ⎪ 1 10 ∫x f1 (t , y1 (t ),..., yn (t ))dt ⎪ 0 ⎪ x ⎪⎪ y ( m ) ( x) = y + f (t , y ( m −1) (t ),..., y ( m −1) (t ))dt n 2 20 ∫ 2 1 , x ∈ I. ⎨ x0 ⎪ ⎪ ............................................................. x ⎪ (m) ⎪ yn ( x) = yn 0 + ∫ f n (t , y1( m −1) (t ),..., yn( m −1) (t ))dt ⎪⎩ x0

şi constatăm că

yi( m ) , i = 1, n , sunt funcţii continue pe I cu valori în intervalele

[ yi 0 − bi , yi 0 + bi ] , i = 1, n , deci (t , y1( m ) (t ),..., yn( m ) (t )) ∈ D , ∀t ∈ I . Procedeul continuă nedefinit. Pentru fiecare i = 1, n , considerăm următoarea serie de funcţii pe I: yi 0 + ( yi(1) − yi 0 ) + ... + ( yi( m ) − yi( m −1) ) + ...

(5)

şi observăm că şirul sumelor sale parţiale este: si( m ) ( x ) = yi( m ) ( x) , ∀x ∈ I .

Dacă vom arăta că seria (5) este uniform convergentă pe I, va rezulta că şirul ( yi( m ) ) m este uniform convergent pe I. Folosind ipoteza că funcţia fi este lipschitziană pe D în raport cu y1 ,..., yn şi ţinând seama de (4), avem: yi(2) ( x) − yi(1) ( x) =

x

∫

x0

(

)

fi t, y1(1) (t),..., yn(1) (t) − fi (t, yi0 ,..., yn0 ) dt ≤

70

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII n

≤ L∑

x

∫

y (1) j (t ) − y j 0 dt ≤ LnM

j =1 x0

2

x

∫

t − x0 dt = LnM

x0

x − x0 nLM 2 h . ≤ 2 2!

Aşadar, avem: yi(2) ( x) − yi(1) ( x) ≤

nLM 2 x − x0 , ∀x ∈ I , i = 1, n . 2!

(6)

Folosind din nou faptul că f este lipschitziană şi ţinând seama de (6), rezultă: x

∫

yi(3) ( x) − yi(2) ( x) =

x0

n

≤ L⋅∑

x

∫

j =1 x0

y (2) j (t ) −

(

) (

)

fi t, y1(2) (t ),..., yn(2) (t ) − fi t, y1(1) (t ),..., yn(1) (t ) dt ≤

y (1) j (t )

L2n 2 M dt ≤ 2!

x

∫ t − x0

x0

2

3

L2n 2 M x − x0 n 2 L2 M 3 h , dt = ≤ 2! 3 3!

deci: yi(3) ( x) − yi(2) ( x)

L2n 2 M 3 ≤ x − x0 3!

În general, avem: yi( m ) ( x) − yi( m −1) ( x) ≤ Observăm că seria numerică

n m −1 Lm −1M n m −1 Ln −1M m m x − x0 ≤ h , ∀x ∈ I . m! m!

(7)

M ⋅ n m −1 Lm−1 m h este convergentă, aşa cum rezultă din ∑ m! m =1 ∞

criteriul raportului: um +1 M ⋅ n m Lm m +1 m! nLh = lim = lim = 0 <1. h ⋅ m m m − 1 − 1 m →∞ u n →∞ ( m + 1)! m →∞ m + 1 M ⋅n L h m lim

Conform (7), seria de funcţii (5) este majorată pe intervalul I de o serie numerică convergentă, deci seria (5) este uniform convergentă pe I, conform criteriului lui Weierstrass. Aşadar, am demonstrat că pentru fiecare i = 1, n , şirul aproximaţiilor

(y )

(m) i m

este

u uniform convergent pe intervalul I. Notăm cu ϕ i limita acestui şir. Cum yi( m ) ⎯⎯ → ϕi şi yi( m ) I

sunt funcţii continue pe I, rezultă că ϕ i este, de asemenea, continuă pe I. Dacă notăm cu yi( m ) − ϕi

∞

{

u atunci faptul că yi( m ) ⎯⎯ → ϕi revine la a spune că I

lim yi( m ) − ϕi

m →∞

}

= sup yi( m ) (t ) − ϕi (t ) ; t ∈ I ,

∞

= 0.

71


Pe de altă parte, avem: x

∫

x0

(

x

∫

≤

x

)

fi t, y1(m−1) (t ),..., yn(m−1) (t ) dt − ∫ fi (t,ϕ1(t ),...,ϕn (t )) dt ≤

x0

(

)

fi t, y1(m−1) (t ),..., yn(m−1) (t ) − fi (t,ϕ1(t ),...,ϕn (t ) ) dt ≤ x

≤L

x0

n

∫∑

y

( m −1) j

x0 j =1

n

(t ) − ϕ j (t ) dt ≤ L∑ y

x

( m −1) j

−ϕ j

j =1

∞

⋅ ∫ dt ≤ x0

n

≤ Lh ⋅ ∑ y (jm −1) − ϕ j j =1

∞

.

(8)

Deoarece membrul drept tinde la 0 când m → ∞ , deducem că x

lim

m →∞

∫ (

)

fi t , y1( m −1) (t ),..., yn( m −1) (t ) dt =

x0

x

∫ f ( t ,ϕ (t ),..., ϕ (t ) ) dt . n

1

i

x0

Ţinând seama de acest fapt, când trecem la limită în relaţia x

(m) i

y

( x) = yi 0 + ∫ f 2 (t , y1( m −1) (t ),..., yn( m −1) (t ))dt , ∀x ∈ I , x0

rezultă că x

ϕi ( x) = yi0 + ∫ fi (t,ϕ1(t),...,ϕn (t )) dt , ∀x ∈ I , ∀i = 1, n . x0

Aşadar, funcţiile ϕ1 ,..., ϕ n sunt soluţii ale sistemului de ecuaţii integrale (3), deci sunt soluţii ale problemei Cauchy pentru sistemul de ecuaţii diferenţiale considerat. Pentru a demonstra unicitatea, să presupunem că ar mai exista o soluţie ψ 1 ,...,ψ n , cu proprietăţile x

ψ i ( x) = yi0 + ∫ fi (t,ψ 1(t),...,ψ n (t )) dt , ∀x ∈ I , ∀i = 1, n . x0

Pentru orice x ∈ I , avem

ϕi ( x ) −ψ i ( x ) =

x

∫

x0

x

fi (t,ϕ1(t),...,ϕn (t) ) dt − ∫ fi (t,ψ 1(t ),...,ψ n (t )) dt ≤ x0

x

≤

∫ fi (t,ϕ1(t),...,ϕn (t)) − fi (t,ψ 1(t),...,ψ n (t)) dt

x0

≤

72


≤ Lh ⋅ ∑ ϕ j −ψ j j =1

∞

≤ L⋅

α

n

nL

⋅ ∑ ϕ j −ψ j j =1

∞

<

1 n ⋅ ∑ ϕ j −ψ j n j =1

∞

.

În continuare, avem

ϕi − ψ i

∞

= sup { ϕi ( x) −ψ i ( x) ; x ∈ I } <

1 n ∑ ϕ j −ψ j n j =1

∞

şi mai departe n

∑ ϕ −ψ i

i =1

i ∞

1 n < n ⋅ ⋅ ∑ ϕ j −ψ j n j =1

n

∞

= ∑ ϕi − ψ i i =1

∞

,

ceea ce reprezintă o contradicţie. Aşadar, ϕi = ψ i , ∀i = 1, n , şi cu aceasta teorema este demonstrată. ■ Definiţia 2.1.4. Prin ecuaţie diferenţială de ordinul n, sub formă normală, înţelegem o ecuaţie diferenţială de forma:

(

)

y (n) = f x, y, y′,…, y (n −1) ,

(9)

unde f este o funcţie continuă definită pe o mulţime deschisă D ⊂

n +1

, y = y( x) este funcţia

necunoscută, iar y (k ) este derivata de ordinul k a lui y, k = 1, n − 1 . Prin soluţie a ecuaţiei (9) se înţelege orice funcţie y = ϕ ( x) , x ∈ I , ϕ ∈C

(n −1)

(I ) , cu

proprietăţile:

( x,ϕ ( x),ϕ ′( x),…,ϕ

(n −1)

)

( x) ∈ D , ∀ x ∈ I

şi y (n) ( x) = f ⎡ x,ϕ ( x),ϕ ′( x),…,ϕ (n −1) ( x)⎤ , ∀ x ∈ I . ⎣ ⎦

Fie M 0 ( x0, y0, y10,…, yn −1,0 ) ∈ D un punct oarecare fixat. Problema Cauchy pentru ecuaţia diferenţială (4) şi punctul M 0 constă în determinarea unei soluţii y = ϕ ( x) , x ∈ I , a ecuaţiei (4) care îndeplineşte condiţiile: ϕ ( x0 ) = y0 , ϕ ′( x0 ) = y10,…,ϕ (n −1) ( x0 ) = yn −1, 0 .

Teorema 2.1.2. Fie n −1

D = ( x0 − a, x0 + a ) × ( y0 − b0, y0 + b0 ) × ∏ ( y j0 − b j , y j0 + b j ) j =1

(10)


73

un paralelipiped cu centrul în M 0 ( x0, y0, y10,…, yn −1,0 ) ∈ D . Presupunem că f : D →

este

continuă şi lipschitziană în raport cu toate argumentele, mai puţin x. În aceste condiţii, problema Cauchy (9) - (10) are soluţie unică. Demonstraţie. Dacă introducem notaţiile: y1 = y′ , y2 = y′′,…, yn −1 = y (n −1) ,

(11)

atunci ecuaţia (9) se înlocuieşte cu următorul sistem de ecuaţii diferenţiale: ⎧ dy ⎪ dx = y1 ⎪ ⎪ dy1 = y 2 ⎪ dx . ⎨ dy 2 n − ⎪ = yn −1 ⎪ dx ⎪ dy ⎪ n −1 = f ( x, y, y1,…, yn −1 ) ⎩ dx

(12)

Cum sistemul (12) verifică condiţiile din Teorema 2.1.1, rezultă că există o soluţie unică a sistemului (12): y = ϕ ( x) , y1 = ϕ1( x),…, yn −1 = ϕ n −1( x) , x ∈ I ,

(13)

care verifică condiţia iniţială ϕ ( x0 ) = y0 , ϕ1 ( x0 ) = y10,…,ϕ n −1 ( x0 ) = yn −1,0 .

(14)

Dacă ţinem seama de notaţiile (11) şi de faptul că (13) este soluţie pentru sistemul (12) obţinem: ϕ (n) ( x) = f ⎡⎣ x,ϕ ( x),ϕ ′( x),…,ϕ (n −1) ( x)⎤⎦ , ∀ x ∈ I , deci y = ϕ ( x) , x ∈ I este soluţie pentru ecuaţia (9). Pe de altă parte din (11) şi (14) rezultă că ϕ ( x0 ) = y0 , ϕ ′ ( x0 ) = y10 , ..., ϕ (n−1) ( x0 ) = yn −1,0 . Aşadar, y = ϕ ( x) , x ∈ I este soluţie unică pentru problema Cauchy

(9)+(10). ■ Exemplul 2.1.1. Să se rezolve următoarea problemă Cauchy y′′ + y = x , y(0) = 1 , y′(0) = 3 .

Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale y′′ + y = x este y = C1 cos x + C2 sin x + x . Din condiţiile iniţiale y(0) = 1 , y′(0) = 3 , rezultă C1 = 1 şi C2 = 2 . Soluţia problemei Cauchy este y = cos x + 2sin x + x .

74


2.2. Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi Un sistem de ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi este de forma următoare: ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = a11( x) y1 + … + a1n ( x) yn + bn ( x) , ⎨ dy ⎪ n = an1( x) y1 + … + ann ( x) yn + bn ( x) ⎪⎩ dxn

(1)

unde aij şi bi sunt funcţii continue definite pe un interval I = (a, b) ⊂ R. Sistemul omogen asociat sistemului (1) este: ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = a11( x) y1 + … + a1n ( x) yn . ⎨ dy ⎪ n = an1( x) y1 + … + ann ( x) yn ⎪⎩ dxn

(2)

Dacă introducem notaţiile vectoriale: ⎛ y1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a11…a1n ⎞ ⎜ ⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ , Y =⎜ ⎟, A=⎜ ⎜ an1…ann ⎟⎟ ⎜y ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠

sistemul (1) devine dY = AY + b , dx

(1')

iar sistemul (2) se mai poate scrie sub forma dY = AY . dx

(2')

Observaţia 2.2.1. Dacă notăm cu f i ( x) = ai1( x) y1 + … + ain ( x) yn + bi ( x) , ∀ x ∈ I , ∀ i = 1, n , atunci

∂fi = aij ( x) . Fie x0 ∈ ( a, b ) = I şi fie J ⊂ I un interval închis care conţine punctul x0 . ∂y j

Deoarece funcţiile aij şi bi sunt continue pe I, rezultă că aceste funcţii sunt mărginite pe J. Din Observaţia 2.1.1 rezultă că funcţiile fi sunt lipschitziene în raport cu y1,…, yn pe domeniul

J×

n

.

( x0, y10,…, yn0 ) ∈ J ×

Rezultă n

că

pe

o

vecinătate

suficient

de

mică

a

punctului

, Teorema 2.1.1 de existenţă şi unicitate este valabilă. De fapt, se poate

demonstra mai mult, că oricare ar fi a < x0 < b şi oricare ar fi y0 = ( y10,…, yn0 ) ∈

n

, există o

75


soluţie unică a sistemului liniar (1) y1 = ϕ1( x),…, yn = ϕ n ( x) , x ∈ I , care verifică condiţia iniţială ϕ1 ( x0 ) = y10,…,ϕ n ( x0 ) = yn0 .

În continuare vom studia sistemul omogen (2). Propoziţia 2.2.1. Dacă Y1 şi Y2 sunt soluţii ale sistemului omogen (2), atunci ∀α1 ,

α 2 ∈ , rezultă că α1Y1 + α 2Y2 este, de asemenea, soluţie a sistemului omogen (2). Demonstraţie. Deoarece operaţia de derivare este liniară rezultă: d dY dY α1Y1 + α 2Y2 ) = α1 1 + α 2 2 = α1 AY1 + α 2 AY2 = A (α1Y1 + α 2Y2 ) . ■ ( dx dx dx

Dacă notăm cu S mulţimea soluţiilor sistemului omogen (2) din Propoziţia 2.2.1, rezultă că S este un spaţiu vectorial real. ⎛ y11 ⎞ ⎛ y1n ⎞ ⎜ ⎟ Definiţia 2.2.1. Fie Y = ⎜ ⎟ ,…, Yn = ⎜⎜ ⎟⎟ n soluţii particulare ale sistemului omogen ⎜y ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ n1 ⎠ ⎝ nn ⎠

(2). Se numeşte wronskian al acestor soluţii, următorul determinant: W ( x) = W [Y1,…,Yn ] ( x) =

y11( x) … yn1( x) …

y1n ( x) , x∈I . ynn ( x)

Propoziţia 2.2.2. Dacă Y1,…,Yn sunt n soluţii particulare ale sistemului (2), liniar dependente pe I, atunci W ( x) = 0, ∀ x ∈ I . Demonstraţie. Prin ipoteză, există α1,…,α n ∈ , nu toate nule, astfel încât α1Y1( x) + … + α nYn ( x) = 0 , ∀ x ∈ I ,

relaţie echivalentă cu: ⎧⎪α1 y11( x) + … + α n y1n ( x) = 0 . ⎨α y ( x) + … + α y ( x) = 0 , ∀ x∈I n nn ⎪⎩ 1 n1

(3)

76


Deoarece (3) este un sistem (algebric) liniar şi omogen, care admite soluţie nebanală, rezultă că determinantul coeficienţilor este zero. Dar, determinantul coeficienţilor este chiar wronskianul soluţiilor Y1,…,Yn . Aşadar, W (Y1,…,Yn ) ( x) = 0 , ∀ x ∈ I . ■ Teorema 2.2.1. (Liouville) Fie Y1,… , Yn , n soluţii particulare ale sistemului omogen (2) şi fie x0 ∈ I oarecare fixat. Atunci, ∀ x ∈ I, avem: x

W ( x) = W ( x0 ) e

∫ x0 [a11(t ) +…+ ann (t )]d t

.

(4)

Demonstraţie. Pentru simplificarea scrierii, considerăm cazul particular n = 2. Fie deci ⎛ y11 ⎞ ⎛ y12 ⎞ Y1 = ⎜ ⎟ şi y2 = ⎜ ⎟ soluţii particulare pentru (2). Wronskianul acestor soluţii este: ⎝ y21 ⎠ ⎝ y22 ⎠

W ( x) =

y11 y21

y12 , y22

x∈I .

Deoarece Y1 şi Y2 sunt soluţii pentru sistemul (2), avem: ⎧ dy11 ⎪⎪ dx = a11 y11 + a12 y21 ⎨ ⎪ dy21 = a y + a y 21 11 22 21 ⎪⎩ dx

⎧ dy12 = a11 y12 + a12 y22 ⎪⎪ şi ⎨ dx . ⎪ dy22 = a y + a y 21 12 22 22 ⎪⎩ dx

(5)

Ţinând seama de modul de derivare al unui determinant, de identităţile (5) şi de proprietăţile determinanţilor, rezultă: dy11 dW = dx dx y21

dy12 y11 dx + dy21 y22 dx

y11

y12

+

y12

dy22 = dx

a11 y11 + a22 y21 a21 y12 + a22 y22

= ( a11 + a22 )

y11 y21

=

a11 y11 + a12 y21 a11 y12 + a12 y22 y21

y22

a11 y11 a11 y12 y21

y22

+

y11

y12

a22 y21 a22 y22

+

=

y12 . y22

Aşadar, avem dW = [a11( x) + a22 ( x)] W ( x) , x ∈ I . dx

(6)

Observăm că (6) este o ecuaţie diferenţială liniară şi omogenă, de ordinul întâi. Soluţia sa generală este

77

2. Sisteme de ecuaţii diferenţiale x

W ( x) = C ⋅ e

∫ x0 [a11(t ) + a22(t )]d t

, x∈I ,

unde C ∈ R este o constantă arbitrară. Deoarece W ( x0 ) = C , rezultă: x

W ( x) = W ( x0 ) e

∫ x0 [a11(t )+ a22(t )]d t

, x∈I . ■

Definiţia 2.2.2. Se numeşte sistem fundamental de soluţii ale sistemului omogen (2), orice set de n soluţii particulare ale acestui sistem, Y1,… , Yn , cu proprietatea că există x0 ∈ I , astfel încât W [Y1,… , Yn ] ( x0 ) ≠ 0 . Corolarul 2.2.1. Dacă Y1,… , Yn este un sistem fundamental de soluţii pentru sistemul omogen (2), atunci W [Y1,…, Yn ] ( x) ≠ 0 , ∀ x ∈ I . Afirmaţia rezultă din Teorema Liouville. ■ Observaţia 2.2.2. Din Propoziţia 2.2.2 şi Corolarul 2.2.1, rezultă că dacă Y1,… , Yn este un sistem fundamental de soluţii pentru sistemul omogen (2), atunci Y1,… , Yn sunt liniar independente pe intervalul I. Teorema 2.2.2. Dacă Y1,… , Yn este un sistem fundamental de soluţii pentru sistemul omogen (2), atunci oricare ar fi Y soluţie a acestui sistem, există C1,… , Cn ∈

astfel încât Y = C1Y1 + … + CnYn .

Demonstraţie. ⎛ y11 ⎞ ⎛ y1n ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Fie Y1 = ⎜ ⎟ ,…, Yn = ⎜ ⎟ , Y = ⎜⎜ ⎟⎟ şi x0 ∈ I oarecare, fixat. ⎜y ⎟ ⎜y ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ n1 ⎠ ⎝ nn ⎠ ⎝ n⎠

78


Considerăm următorul sistem

⎧ α1 y11 ( x0 ) + ... + α n y1n ( x0 ) = y1 ( x0 ) ⎪ ⎨ ..................................................... . ⎪α y ( x ) + ... + α y ( x ) = y ( x ) n nn 0 0 n ⎩ 1 n1 0

(7)

Deoarece determinantul coeficienţilor sistemului (7) este chiar wronskianul soluţiilor Y1,… , Yn şi acesta este diferit de zero prin ipoteză, rezultă că sistemul (7) admite soluţie unică.

Fie (C1, C2 ,… , Cn ) soluţia unică a sistemului (7) şi fie Z = C1Y1 + … + CnYn . Din Propoziţia 2.2.1, rezultă că Z este soluţie pentru sistemul omogen (2). Pe de altă parte, observăm că Z ( x0 ) = Y ( x0 ) . Din Teorema de existenţă şi unicitate rezultă că Z = Y, deci Y = C1Y1 + … + CnYn . ■

Observaţia 2.2.3. Din Teorema 2.2.2, rezultă că, dacă cunoaştem n soluţii particulare

ale sistemului omogen (2), Y1,… , Yn şi acestea formează un sistem fundamental de soluţii, atunci soluţia generală a sistemului omogen este: Y = C1Y1 + … + CnYn ,

(8)

unde C1,… , Cn sunt constante arbitrare. În continuare, prezentăm metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange pentru rezolvarea sistemelor neomogene. Pentru simplificarea scrierii, considerăm cazul particular n = 2. Fie deci, următorul sistem neomogen ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = a11 y1 + a12 y2 + b1 . ⎨ ⎪ dy2 = a y + a y + b 21 1 22 2 2 ⎪⎩ dx

(9)

⎛ y11 ⎞ ⎛y ⎞ şi Y2 = ⎜ 12 ⎟ un sistem fundamental de soluţii pentru ⎟ ⎝ y21 ⎠ ⎝ y22 ⎠

Fie, de asemenea, Y1 = ⎜

sistemul omogen asociat. Atunci avem: ⎧ dy11 ⎪⎪ dx = a11 y11 + a12 y21 ⎨ ⎪ dy21 = a21 y11 + a22 y21 ⎪⎩ dx

⎧ dy12 = a11 y12 + a12 y22 ⎪⎪ şi ⎨ dx . ⎪ dy22 = a21 y12 + a22 y22 ⎪⎩ dx

Din Observaţia 2.2.3, deducem că soluţia generală a sistemului omogen este

(10)

79


⎧ y10 = C1 y11 + C2 y12 ⎨ ⎩ y20 = C1 y21 + C2 y22 ,

.

C1, C2 ∈

(11)

Căutăm soluţia sistemului neomogen (9) de forma ⎧ y1 = ϕ1( x) y11 + ϕ 2 ( x) y12 . ⎨ ⎩ y2 = ϕ1( x) y21 + ϕ 2 ( x) y22

(12)

Punând condiţia ca (12) să verifice sistemul (9), obţinem: ′ + ϕ 2 y12 ′ = a11 (ϕ 1y11 + ϕ 2 y12 ) + a12 (ϕ 1y21 + ϕ 2 y22 ) + b1 ⎧⎪ϕ ′1 y11 + ϕ 2′ y12 + ϕ 1 y11 . ⎨ ⎪⎩ϕ ′1 y21 + ϕ 2′ y22 + ϕ 1 y′21 + ϕ 2 y′22 = a12 (ϕ 1y11 + ϕ 2 y12 ) + a22 (ϕ 1y21 + ϕ 2 y22 ) + b2

Ţinând seama de identităţile (10), rezultă ⎧⎪ϕ ′1( x) y11 + ϕ 2′ ( x) y12 = b1( x) ⎨ ⎪⎩ϕ ′1( x) y21 + ϕ 2′ ( x) y22 = b2 ( x) ,

x ∈ I.

(13)

Deoarece determinantul coeficienţilor este chiar wronskianul soluţiei Y1 , Y2 şi acesta este diferit de zero pe I, rezultă că sistemul (13) are soluţie unică. Fie ϕ ′1( x) = g 1( x) şi ϕ 2′ ( x) = g 2 ( x) , x ∈ I , soluţia unică a sistemului (13). Integrând, obţinem: ⎧ϕ 1( x) = ∫ g1( x) dx + C1 ⎪ . ⎨ ⎪⎩ϕ 2 ( x) = ∫ g 2 ( x) dx + C2

(14)

În sfârşit, înlocuind (14) în (12), obţinem soluţia generală a sistemului neomogen (9), anume: ⎧ y1 = C1 y11 + C2 y12 + y11 ∫ g1( x) dx + y12 ∫ g 2 ( x) dx ⎪ . ⎨ ⎪⎩ y2 = C1 y21 + C2 y22 + y21 ∫ g1( x) dx + y22 ∫ g2 ( x) dx

(15)

Dacă notăm cu ⎧ y1 p = y11 ∫ g1( x) dx + y12 ∫ g 2 ( x) dx ⎪ ⎨ ⎪⎩ y2 p = y21 ∫ g1( x) dx + y22 ∫ g 2 ( x) dx

şi cu ⎛ y1 p ⎞ ⎛ y10 ⎞ , Yp = ⎜ ⎟ , Y0 = ⎜ ⎟ ⎝ y20 ⎠ ⎝ y2 p ⎠

atunci soluţia generală a sistemului neomogen (9) este de forma Y = Y0 + Y p ,

(15')

80


unde Y0 este soluţia generală a sistemului omogen, iar Y p este o soluţie particulară a sistemului neomogen. Observaţia 2.2.4. În principiu, rezolvarea sistemului neomogen este întotdeauna posi-

bilă dacă se cunoaşte un sistem fundamental de soluţii pentru sistemul omogen. Într-adevăr, fie Y1,… , Yn un sistem fundamental de soluţii pentru sistemul omogen. Atunci (16)

Y0 = C1Y1 + … + CnYn

este soluţia generală a sistemului omogen. Căutăm soluţia generală a sistemului neomogen de forma: Y = ϕ1( x)Y1 + … + ϕ n ( x)Yn .

(17)

Funcţiile ϕ1,… , ϕ n se determină după cum urmează. Se consideră sistemul: ⎧⎪ϕ ′1( x) y11 + … + ϕ n′ ( x) y1n = b1( x) ⎨ϕ ′ ( x) y + … + ϕ ′ ( x) y = b ( x) . n1 n nn n ⎪⎩ 1

(18)

Sistemul (18) are soluţie unică. Fie ϕ ′1( x) = g1( x),…,ϕn′ ( x) = g n ( x) soluţia acestui sistem. Integrând, găsim: ϕ 1( x) = ∫ g1( x) dx + C1,…,ϕn ( x) = ∫ g n ( x) dx + Cn .

(19)

Înlocuind (19) în (17) se obţine soluţia generală a sistemului neomogen. Din păcate, pentru sisteme cu coeficienţi variabili este dificil de aflat un sistem fundamental de soluţii pentru sistemul omogen. Acest lucru este posibil în cazul sistemelor cu coeficienţi constanţi. În continuare, vom studia astfel de sisteme. Fie sistemul: dY = AY , dx

(20)

⎛ a11 … a1n ⎞

unde A = ⎜⎜ ⎟⎟ este o matrice constantă ( aij , i, j = 1, n , sunt constante reale). ⎝ an1 … ann ⎠ Reamintim că, prin definiţie, derivata unei matrice ale cărei elemente sunt funcţii derivabile, este matricea formată cu derivatele acestor elemente. Aşadar, ⎛ f11( x) … ⎜⎜ ⎝ f n1( x) …

dacă fij : I →

′ ( x) … f1n ( x) ⎞′ def ⎛ f 11 ⎟⎟ = ⎜⎜ ′ f nn ( x) ⎠ ⎝ f n1( x) …

sunt derivabile, ∀ i, j = 1, n .

f 1′ n ( x) ⎞ ⎟, x∈I , f ′nn ( x) ⎟⎠

81


În particular, ( Ax )′ = A . Prin inducţie matematică se demonstrează imediat că ⎡( Ax )k ⎤′ = k ⋅ A ( Ax )k −1 , k ≥ 1 , k ∈ ⎣ ⎦ ∞

Cum e Ax = ∑

k =0

( Ax )k , k!

x∈

şi convergenţa este uniformă (Vezi [7], 3.6.1), rezultă că

′ ∞ k ⋅ A ⋅ ( Ax ) e Ax = ∑ k! k =1

( )

.

k −1

( Ax )k −1 = Ae Ax . k =1 ( k − 1)! ∞

= A∑

Aşadar, avem

(e )′ = Ae Ax

Ax

, x∈ .

(21)

Teorema 2.2.2. Soluţia generală a sistemului (20) este: Y = e AxC ,

(22)

⎛ C1 ⎞ unde C = ⎜⎜ ⎟⎟ este un vector constant oarecare ( Ci ∈ ⎜C ⎟ ⎝ n⎠

Demonstraţie. Din (21), rezultă imediat că

, i = 1, n ).

dY = Ae AxC . Înlocuind în (20), obţinem dx

identitatea Ae AxC = Ae Ax ⋅ C , deci (22) este soluţie pentru (20). ■ Exemplul 2.2.1. Să se rezolve sistemul de ecuaţii diferenţiale ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = −2 y1 + y2 + 2 x + 3 . ⎨ ⎪ dy2 = −4 y + 3 y + 4x − 1 1 2 ⎪⎩ dx

(23)

Sistemul omogen asociat este: ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = −2 y1 + y2 . ⎨ ⎪ dy2 = −4 y + 3 y 1 2 ⎪⎩ dx

(24)

82


Conform Teoremei 2.2.2, soluţia generală a sistemului (24) este Y = e AxC , unde ⎛ C1 ⎞ ⎛ −2 1 ⎞ A=⎜ ⎟ şi C = ⎜ ⎟ . ⎝ C2 ⎠ ⎝ −4 3 ⎠

Matricea e Ax se calculează uşor, dacă matricea A se poate aduce la forma diagonală. În cazul nostru acest lucru este posibil. Într-adevăr, valorile proprii ale matricei A sunt λ 1 = 2 , λ 2 = −1 .

Cum λ 1 ≠ λ 2 , există o bază formată din vectori proprii. O astfel de bază este v1 = (1, 4) , v2 = (1,1) .

Matricea de trecere de la baza canonică la această nouă bază este: 13⎞ ⎛ 1 1⎞ −1 ⎛ −1 3 T =⎜ ⎟ , iar T = ⎜ ⎟. ⎝ 4 1⎠ ⎝ 4 3 −1 3 ⎠ ⎛2

0⎞

În raport cu noua bază, matricea A are forma diagonală D = ⎜ ⎟ . Din proprietăţile ⎝ 0 −1⎠ funcţiei A → e A (vezi [7], 3.6.2) rezultă că ⎛ e2x e Dx = ⎜ ⎜ 0 ⎝

0 ⎞ ⎟ e− x ⎟⎠

şi 2x ⎛ 1 1⎞ ⎛ e e Ax = T ⋅ e DxT −1 = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 4 1⎠ ⎜⎝ 0

⎛ 1 2x 4 − x ⎜−3e + 3e =⎜ ⎜ − 4 e2 x + 4 e− x ⎜ 3 ⎝ 3

0 ⎞ ⎛ −1 3 1 3 ⎞ ⎟⎜ ⎟= e − x ⎟⎠ ⎝ 4 3 −1 3 ⎠

1 2x 1 −x ⎞ e − e ⎟ 3 3 ⎟. 4 2x 1 − x ⎟ e − e ⎟ 3 3 ⎠

Soluţia generală a sistemului omogen (24) este: ⎛ C1 2 x 4 ⎞ 2x 1 −x 1 e C e C e − + + − C2e− x ⎟ 1 2 ⎜ ⎛ y10 ⎞ Ax ⎛ C1 ⎞ 3 3 3 3 Y0 = ⎜ ⎟. ⎟=e ⎜ ⎟=⎜ ⎝ y20 ⎠ ⎝ C2 ⎠ ⎜ − 4 C e 2 x + 4 C e − x + 4 C e 2 x − 1 C e − x ⎟ ⎜ ⎟ 3 1 3 2 3 2 ⎠ ⎝ 3 1

Dacă introducem notaţiile K1 = ⎧⎪ y10 = K1e 2 x + K 2e − x . ⎨ −x 2x ⎪⎩ y20 = 4K1e + K 2e

C2 − C1 4C − C , K 2 = 1 2 , rezultă 3 3

(25)


83

((25) reprezintă soluţia generală a sistemului omogen (24)). Pentru a găsi soluţia sistemului neomogen, folosim metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange. Căutăm soluţia sistemului neomogen de forma: ⎧⎪ y1 = ϕ1( x) e 2 x + ϕ2 ( x) e − x . ⎨ −x 2x ⎪⎩ y2 = 4ϕ1( x) e + ϕ2 ( x)e

(26)

Funcţiile ϕ ′1 şi ϕ ′2 verifică sistemul: 2x −x ⎪⎧ϕ ′1( x) e + ϕ ′2 ( x) e = 2 x + 3 ⎨ 2x −x ⎪⎩4ϕ ′1( x) e + ϕ ′2 ( x)e = 4 x − 1.

Rezolvând acest sistem, obţinem: ϕ ′1( x) =

2 x − 4 −2 x 4 x + 13 x e , ϕ ′2 ( x) = e 3 3

ϕ 1( x) =

−2 x + 3 −2 x 4x + 9 x e + C1 , ϕ 2 ( x) = e + C2 . 6 3

şi mai departe: (27)

Înlocuind (27) în (26), rezultă soluţia generală a sistemului (23): 7 ⎧ 2x −x ⎪ y1 = C1 e + C2 e + x + 2 ⎨ 2 x − x ⎪ y = 4C e + C e + 5 . 1 2 ⎩ 2

Observaţia 2.2.5 La acelaşi rezultat se ajunge şi dacă se foloseşte metoda eliminării,

pe care o vom descrie în continuare. Se derivează una din ecuaţiile sistemului (23), de exemplu, prima şi se elimină y2 şi y′2 din ecuaţiile sistemului şi din ecuaţia derivată, obţinându-se în final o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul doi, cu coeficienţi constanţi în necunoscuta y1 . Să reluăm, folosind metoda eliminării, rezolvarea sistemului (23): ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = −2 y1 + y2 + 2x + 3 ⎨ ⎪ dy2 = −4 y + 3 y + 4 x − 1 . 1 2 ⎪⎩ dx

Derivând prima ecuaţie, obţinem: d 2 y1 dx

2

= −2

d y1 dy2 + +2. dx dx

(28)

84


Din prima ecuaţie a sistemului, deducem că y2 =

dy1 + 2 y1 − 2 x − 3 . dx

(29)

Ţinând seama de a doua ecuaţie a sistemului, rezultă dy2 ⎛ dy ⎞ = −4 y1 + 3 ⎜ 1 + 2 y1 − 2 x − 3 ⎟ + 4 x − 1 dx ⎝ dx ⎠

şi mai departe dy2 dy = 2 y1 + 3 1 − 2 x − 10 . dx dx

(30)

Înlocuind (30) în (28), obţinem următoarea ecuaţie diferenţială de ordinul doi: y′′1 − y′1 − 2 y1 = −2x − 8 .

(31)

Ecuaţia omogenă asociată este y′′1 − y′1 − 2 y1 = 0 , iar ecuaţia sa caracteristică este r 2 − r − 2 = 0 . Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt r1 = 2 , r2 = −1 , deci soluţia generală a

ecuaţiei omogene este y10 = C1e 2 x + C2e − x . Căutăm o soluţie a ecuaţiei neomogene (31) de forma membrului drept (pentru că nu avem rezonanţă): y1p = ax + b .

(32) 7 2

Punând condiţia ca (32) să verifice ecuaţia (31), obţinem a = 1, b = . Aşadar, soluţia generală a ecuaţiei (31) este y1 = C1e 2 x + C2e − x + x +

7 . 2

(33)

Înlocuind (33) în (29) rezultă că: y2 = 4C1e 2 x + C2e − x + 5 . În consecinţă, soluţia sistemului (23) este: 7 ⎧ 2x −x ⎪ y1 = C1 e + C2 e + x + 2 ⎨ ⎪ y = 4C e2 x + C e − x + 5 , 1 2 ⎩ 2

aceeaşi soluţie ca şi cea obţinută cu metoda matriceală. Observaţia 2.2.6. Metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor liniare omogene cu

coeficienţi constanţi se aplică şi în cazul când matricea A nu se poate diagonaliza, folosinduse în acest caz pentru calculul matricei e Ax forma canonică Jordan a lui A. Pentru detalii vezi [2].

CAPITOLUL 3

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

3.1. Sisteme autonome de ecuaţii diferenţiale Prin sistem autonom de ecuaţii diferenţiale, se înţelege un sistem de forma: ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = f1 ( y1,… , yn ) , ⎨ dy ⎪ n = f n ( y1,… , yn ) ⎪⎩ dx

(1)

unde fi sunt funcţii continue pe o mulţime deschisă D ⊂

n

. Se observă că în cazul

sistemelor autonome, variabila independentă x nu apare printre argumentele funcţiilor fi . Definiţia 3.1.1. O funcţie ψ : D →

se numeşte integrală primă pentru sistemul (1),

dacă: a) ψ ∈C

(1)

( D) ;

b) ψ nu este o funcţie constantă pe D ; c) Pentru orice soluţie y1 = ϕ 1( x),… , yn = ϕn ( x) , x ∈ I , a sistemului (1), există o constantă c∈

, care depinde de această soluţie, astfel încât ψ ⎡⎣ϕ 1(t ),…,ϕn (t )⎤⎦ = c , ∀ t ∈ I .

Exemplul 3.1.1. Fie sistemul autonom de ecuaţii diferenţiale ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = y2 , ( y1 , y2 ) ∈ ⎨ dy 2 ⎪ = − y1 ⎪⎩ dx

2

.

(2)

Folosind metoda eliminării se obţine imediat soluţia generală a sistemului (2), anume:

86


⎧ y1 = C1 cos x + C2 sin x . ⎨ ⎩ y2 = −C1 sin x + C2 cos x

Observăm că funcţia ψ :

2

→

(3)

, definită prin ψ ( y1, y2 ) = y12 + y22 , ∀ ( y1, y2 ) ∈

2

, este o

integrală primă pentru sistemul (2). Într-adevăr, ψ [C1 cos x + C2 sin x, − C1 sin x + C2 cos x] = C12 + C22 = constant .

Teorema 3.1.1. ψ ∈C

(1)

Dacă fi sunt continue şi lipschitziene pe D, atunci o funcţie

( D) este integrală primă pentru sistemul (1) dacă şi numai dacă:

f1 ( y )

∂ψ ∂ψ y ) +… + fn ( y) ( ( y ) = 0 , ∀ y = ( y1,…, yn ) ∈ D . ∂y1 ∂yn

Demonstraţie. Necesitatea. Fie x0 ∈

(4)

şi y0 = ( y10 ,…, yn0 ) ∈ D oarecare fixat. Din Teo-

rema de existenţă şi unicitate pentru sisteme, rezultă că există o soluţie unică a sistemului (1), y1 = ϕ 1( x),… , yn = ϕn ( x) , x ∈ I , cu proprietatea ϕ 1 ( x0 ) = y10 ,… , ϕ n ( x0 ) = yn0 .

Dacă ψ : D →

este integrală primă pentru (1), atunci

ψ ⎡⎣ϕ 1( x),…,ϕn ( x)⎤⎦ = C , ∀ x ∈ I .

Derivând (5), rezultă: dϕ ( x) ∂ψ ∂ψ dϕ ( x) ⎡ϕ ( x),… ,ϕn ( x)⎤⎦ ⋅ 1 + … + ⎡ϕ ( x),… ,ϕ n ( x)⎤⎦ ⋅ n = 0 , ∀ x∈I . dx ∂y1 ⎣ 1 ∂yn ⎣ 1 dx

Ţinând seama că ϕ 1,…,ϕn verifică sistemul (1), mai departe, avem: ∂ψ ⎡ϕ ( x),… ,ϕn ( x)⎤⎦ ⋅ f1 ⎡⎣ϕ 1( x),… ,ϕn ( x)⎤⎦ + … ∂y1 ⎣ 1 +

∂ψ ⎡ϕ ( x),… ,ϕn ( x)⎤⎦ ⋅ f n ⎡⎣ϕ 1( x),… ,ϕn ( x)⎤⎦ = 0 , ∀ x ∈ I . ∂yn ⎣ 1

În particular, pentru x = x0 , rezultă ∂ψ ∂ψ ( y ) f ( y ) + … + ∂y ( y0 ) f n ( y0 ) = 0 . ∂y1 0 1 0 n

Cum y0 ∈ D a fost arbitrar, rezultă că ψ verifică (4) pe D. Suficienţa. Fie y1 = ϕ 1( x),…, yn = ϕn ( x) , x ∈ I , o soluţie oarecare a sistemului (1).

(5)

87

3. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi

Atunci (ϕ 1( x),…,ϕn ( x) ) ∈ D , ∀ x ∈ I şi ∂ϕ 1 ∂ϕ = f1 ⎡⎣ϕ 1( x),… , ϕ n ( x)⎤⎦ ,… , n = f n ⎡⎣ϕ 1( x),… , ϕ n ( x)⎤⎦ , ∀ x ∈ I . ∂x ∂x (1)

Dacă ψ ∈C

( D) verifică (4) pentru ∀y ∈ D, atunci avem:

dϕ ∂ψ ∂ψ dϕ ⎡ϕ 1( x),… , ϕn ( x)⎦⎤ ⋅ 1 + … + ⎡ϕ ( x),… , ϕn ( x)⎦⎤ ⋅ n = 0 , ∀ x ∈ I , ⎣ dx ∂y1 ∂yn ⎣ 1 dx

relaţie echivalentă cu d ψ ⎡ϕ ( x),… ,ϕ n ( x)⎤⎦ = 0 , ∀ x ∈ I , dx ⎣ 1

de unde rezultă că ψ ⎡⎣ϕ 1( x),… , ϕ n ( x)⎤⎦ = c , ∀ x ∈ I .

Aşadar, ψ este integrală primă pentru sistemul (1). ■ Teorema 3.1.2. n

∑ fi 2 ( y ) ≠ 0 , ∀ i =1

Presupunem că fi : D ⊂

n

sunt continue, lipschitziene şi

→

y ∈ D. Atunci, sistemul (1) admite cel mult ( n − 1) integrale prime indepen-

dente. Demonstraţie. Presupunem ψ 1,ψ 2 ,… ,ψ n sunt integrale prime pentru sistemul (1). Din Teorema 3.1.1, rezultă: ∂ψ 1 ⎧ ∂ψ 1 ⎪ ∂y ( y ) f1 ( y ) + … + ∂y ( y ) f n ( y ) = 0 n ⎪ 1 , ∀y ∈ D. ⎨ ∂ψ ∂ ψ n ⎪ n ( y ) f1 ( y ) + … + y f y 0 = ( ) n( ) ∂yn ⎪⎩ ∂y1

Am

obţinut

un

sistem

(algebric)

liniar

şi

(6)

omogen

în

necunoscutele

f1 ( y ) , f 2 ( y ) ,… , f n ( y ) . Deoarece sistemul admite soluţii nebanale, rezultă că determinantul

coeficienţilor este zero. Aşadar, avem: ∂ψ 1 ∂ψ ( y ) … ∂y 1 ( y ) ∂y1 n = 0 , ∀y ∈ D. ∂ψ n ∂ψ n … y y ( ) ( ) ∂y1 ∂yn

■

88


Observaţia 3.1.1. În condiţiile Teoremei 3.1.2, se poate arăta că sistemul (1) admite (n–1) integrale prime independente funcţional pe D. Ţinând seama şi de Teorema 3.1.2, rezultă că sistemul (1) admite (n–1) integrale prime independente şi (n–1) este numărul maxim de integrale prime independente ale sistemului (1). În continuare, vom presupune că funcţiile fi satisfac condiţiile din Teorema 3.1.2. Sistemul (1) se poate pune sub forma simetrică echivalentă: y′1 y′2 y′n = 1. = =… = f1 ( y1,… , yn ) f 2 ( y1,… , yn ) f n ( y1,… , yn )

(7)

Prin combinaţie integrabilă a sistemului (6), se înţelege o ecuaţie diferenţială, consecinţă a sistemului (7), uşor de integrat. Metoda combinaţiilor integrabile este folosită pentru aflarea integralelor prime ale sistemului. Exemplul 3.1.2. Să se afle două integrale prime independente ale sistemului autonom y′1 y′2 y′3 . = = y2 − y3 y3 − y1 y1 − y2

(8)

Din proprietăţile unui şir de rapoarte egale deducem y′1 + y′2 y′3 . = y2 − y1 y1 − y2

După

simplificare

rezultă

d (y + y + y ) = 0 , dx 1 2 3

deci

y1 + y2 + y3 = C1 .

Funcţia

ψ 1 ( y1, y2 , y3 ) = y1 + y2 + y3 este integrală primă pentru (8). Pentru a obţine o altă integrală primă

facem următoarea combinaţie integrabilă: amplificăm succesiv primul raport cu y1 , al doilea cu y2 , al treilea cu y3 şi folosind proprietăţile şirurilor de rapoarte egale, rezultă: y1 y′1 + y2 y′2 y3 y′3 . = y2 y3 − y1 y3 y1 y3 − y2 y3

După ce simplificăm, obţinem

d 2 y + y22 + y32 = 0 , deci y12 + y22 + y32 = C2 . Funcţia dx 1

(

)

ψ 2 ( y1, y2, y3 ) = y12 + y22 + y32 este o altă integrală primă pentru sistemul (8).

89


3.2. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi liniare şi omogene Prin ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi liniară se înţelege o ecuaţie de forma: P1 ( x1,… , xn )

∂u ∂u + … + Pn ( x1,… , xn ) =0, ∂x1 ∂xn

unde Pi sunt funcţii continue şi lipschitziene pe o mulţime deschisă D ⊂

(1) n

şi

n

∑ Pi2 (x) ≠ 0 , i =1

∀ x = ( x1,… , xn ) ∈ D . Funcţia u = u ( x1,… , xn ) este funcţia necunoscută. Definiţia 3.2.1. Se numeşte soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale (1) orice funcţie ϕ definită pe o submulţime deschisă D1 ⊂ D , ϕ ∈C P1( x)

(1)

( D1) , cu proprietatea:

∂ϕ ∂ϕ ( x) + … + Pn ( x) ( x) = 0 , ∀ x = ( x1,… , xn ) ∈ D1 . ∂x1 ∂xn

Ecuaţiei cu derivate parţiale (1) i se asociază sistemul simetric următor: x1′ x′ x′ = 2 = … = n = 1. P1( x) P2 ( x) Pn ( x)

(2)

Observaţia 3.2.1. Din Teorema 3.1.1 rezultă că orice integrală primă a sistemului (2) este soluţie pentru ecuaţia cu derivate parţiale (1). Mai general, are loc următoarea teoremă. Teorema 3.2.1. Fie ψ 1,… ,ψ k integrale prime pentru sistemul (2) şi fie Φ o funcţie de clasă C

(1)

definită pe mulţimea deschisă Ω ⊂

k

. Atunci, funcţia u ( x) = Φ [ψ 1( x),…,ψ k ( x)] ,

x ∈ D1 ⊂ D , este soluţie pentru ecuaţia cu derivate parţiale (1).

(Se subînţelege că se presupune că (ψ 1( x),… ,ψ k ( x)) ∈ Ω , ∀ x ∈ D 1 ). Demonstraţie. Pentru orice x ∈ D 1 , avem:

90


∂ψ 1 ∂φ ∂ψ k ⎧ ∂u ∂φ ⎪ ∂x = ∂y ( y ) ⋅ ∂x ( x) + … + ∂y ( y ) ⋅ ∂x ( x) k 1 1 1 ⎪ 1 . ⎨ ∂u ∂φ ψ φ ψ ∂ ∂ ∂ k 1 ⎪ = ( y ) ⋅ ∂x ( x) + … + ∂y ( y ) ⋅ ∂x ( x) , y = (ψ 1( x),…,ψ k ( x)) ∈ Ω ⎪⎩ ∂xn ∂y1 n k n

(3)

Ţinând seama de (3) şi de Observaţia 3.2.1, deducem: n

∂u

∂φ

⎡

∂ψ

∂ψ

⎤

∑ Pi ( x) ⋅ ∂ xi = ∂y1 ( y ) ⋅ ⎢ P1( x) ⋅ ∂x11 (x) + … + Pn ( x) ⋅ ∂xn1 ( x)⎥ + … ⎣

i =1

+

⎦

∂φ ∂ψ ∂ψ ⎡ ⎤ y ) ⋅ ⎢ P1( x) ⋅ k ( x) + … + Pn ( x) ⋅ k ( x)⎥ = 0 , ∀ x ∈ D1 . ( ∂yk ∂x1 ∂xn ⎣ ⎦

Aşadar, u = Φ [ψ 1( x),…,ψ k ( x)] , x ∈ D1 , este soluţie a ecuaţiei (1), ∀ k ∈

∗

. ■

Următoarea teoremă ne arată că orice soluţie a ecuaţiei (1) este de această formă. Teorema 3.2.2. Fie ψ 1,… ,ψ n −1 , ( n − 1) integrale prime independente ale sistemului (2) şi fie u = ϕ ( x1,…, xn ) , x = ( x1,… , xn ) ∈ D1 ⊂ D , o soluţie oarecare a ecuaţiei (1). Atunci, există o funcţie Φ de clasă C

(1)

pe o mulţime deschisă Ω ⊂

n −1

astfel încât (ψ 1( x),…,ψ n −1( x) ) ∈Ω ,

∀ x ∈ D1 şi ϕ ( x) = Φ [ψ 1( x),…,ψ n −1( x)] , ∀ x ∈ D1 .

Demonstraţie. Deoarece ϕ,ψ 1,… ,ψ n −1 sunt soluţii pentru (1), rezultă: ⎧ ∂ϕ ∂ϕ ( x) + … + Pn ( x) ( x) = 0 ⎪ P1( x) ∂x1 ∂xn ⎪ ⎪⎪ ∂ψ 1 ∂ψ . ( x) + … + Pn ( x) 1 ( x) = 0 ⎨ P1( x) ∂x1 ∂xn ⎪ ⎪ ∂ψ n −1 ∂ψ ( x) + … + Pn ( x) n −1 ( x) = 0 , ∀ x ∈ D1 ⎪ P1( x) ∂x1 ∂xn ⎪⎩

Deoarece

n

(4)

∑ Pi2 (x) ≠ 0 , ∀ x ∈ D1 , rezultă că sistemul liniar şi omogen (4) admite soluţii i =1

nebanale pentru orice x ∈ D1 , deci determinantul coeficienţilor este zero:

91


∂ϕ ( x) ∂x1 ∂ψ 1 ( x) ∂x1

∂ϕ ( x) ∂xn ∂ψ 1 … ( x) = 0 , ∀ x ∈ D1 . ∂xn ∂ψ n −1 ∂ψ n −1 ( x) … ( x) ∂x1 ∂xn …

Cum prin ipoteză, funcţiile ψ 1,… ,ψ n −1 sunt independente funcţional, rezultă că: ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ( x) … ( x) ⎟ ⎜ ∂xn ⎜ ∂x1 ⎟ ⎜ ∂ψ 1 ⎟ ∂ψ 1 rang ⎜ ( x) … ( x) ⎟ = n − 1 , ∀ x ∈ D1 . ∂xn ⎜ ∂x1 ⎟ ⎜ ∂ψ n −1 ∂ψ n −1 ⎟ ( x) … ( x) ⎟ ⎜⎜ ⎟ ∂xn ⎝ ∂x1 ⎠

Din Teorema 4.11.2 din [7], rezultă că ϕ depinde funcţional de ψ 1,… ,ψ n −1 pe D1 , deci că există Φ ∈ C 1 ( Ω) , Ω ⊂

n −1

astfel încât

ϕ ( x) = Φ [ψ 1( x),…,ψ n −1( x)] , ∀ x ∈ D1 .

■

Exemplul 3.2.1. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei cu derivate parţiale x

∂u ∂u x2 + y 2 ∂ u +y + ⋅ = 0. ∂x ∂y z ∂z

Sistemul simetric asociat este: x' y' = = x y

Din

zz ' x2 + y2

.

x′ y′ y y = deducem = C1 , deci ψ 1 ( x, y, z ) = este o integrală primă. Pentru a obţine x y x x

o a doua integrală primă procedăm astfel: amplificăm primul raport cu x, al doilea raport cu y şi folosim proprietăţile şirurilor de rapoarte egale. Rezultă xx′ + yy′ 2

x +y

2

=

zz′ 2

x + y2

şi mai departe xx′ + yy′ x2 + y 2

egalitate echivalentă cu

= zz′ ,

92


(

2

x +y

2

Integrând rezultă

)

′

⎛ z 2 ⎞′ =⎜ ⎟ . ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠

x2 + y 2 −

z2 z2 = C2 , deci ψ 2 ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − , este integrală primă. 2 2

⎛y Soluţia generală a ecuaţiei va fi: u ( x, y, z ) = Φ ⎜ , ⎜x ⎝

x2 + y 2 −

z2 ⎞ ⎟ , unde Φ ∈C 2⎟ ⎠

(1)

( ) 2

este o funcţie arbitrară, iar xyz ≠ 0 .

Definiţia 3.2.2.

Fie a ∈

şi A ⊂

n −1

o mulţime deschisă cu proprietatea

( x1,…, xn−1, a ) ∈ D , ∀ ( x1,…, xn−1 ) ∈ A . Fie, de asemenea, g : A → R o funcţie de clasă C

(1)

.

Problema Cauchy pentru ecuaţia (1) şi funcţia g constă în determinarea unei soluţii u = u ( x1,… , xn ) a ecuaţiei (1), care satisface următoarea condiţie pe mulţimea A: u ( x1,… , xn −1, a ) = g ( x1,…, xn−1 ) .

(5)

În cazul n = 2 , problema Cauchy are o interpretare geometrică simplă: să se găsească suprafaţa z = z ( x, y ) [soluţie a ecuaţiei P ( x, y )

∂z ∂z + Q ( x, y ) = 0 ] care trece prin curba y = a , ∂x ∂y

z = g ( x) .

Teorema 3.2.3.

Dacă există

( n − 1) integrale prime independente ale sistemului

simetric asociat (2), atunci problema Cauchy (1)-(5) are o soluţie unică u : D1 →

Demonstraţie. Fie a ∈ R, g ∈C

( x1,…, xn−1, a ) ∈ D ,

(1)

( A) , A ⊂

n −1

, D1 ⊂ D .

deschisă cu proprietatea că

∀ ( x1,… , xn −1 ) ∈ A .

Fie ϕ1,… ,ϕ n −1 , ( n − 1) integrale prime, independente funcţional pe D. Rezultă că D (ϕ1,… ,ϕn −1 ) ( x ,…, xn−1, a ) ≠ 0 , ∀ ( x1,…, xn−1 ) ∈ A . D ( x1,… , xn −1 ) 1

Fie F : A ⊂

n −1

→

n−1

definită astfel:

F ( x1,…, xn−1 ) = (ϕ1 ( x1,…, xn−1, a ) ,…,ϕn−1 ( x1,…, xn−1, a )) , ( x1,… , xn−1 ) ∈ A .

93


Din Teorema de inversiune locală (Teorema 4.8.2 din [7]), rezultă că, pentru orice punct M ( x1,… , xn −1 ) ∈ A , există o vecinătate deschisă A 1 a punctului M, A 1 ⊂ A şi o vecinătate

deschisă B1 a punctului F(M), astfel încât F : A 1 → B1 este difeomorfism. Fie F −1 = (ω 1,…, ωn −1 ) : B1 → A 1 , inversa funcţiei F : A 1 → B1 . Definim u( x) = g ⎡⎣ω1 (ϕ1( x),…,ϕn−1( x)) ,…, ωn−1 (ϕ1( x),…,ϕn−1( x) )⎤⎦ ,

(6)

∀ x = ( x1,…, xn −1, xn ) ∈ D , cu proprietatea că ( x1,… , xn −1 ) ∈ A 1 . Din Teorema 3.2.1, rezultă că, funcţia definită în (6) este soluţie pentru (1). Pe de altă

(

)

parte, observăm că u ( x1,… , xn −1, a ) = g ⎡ F −1 F ( x1,… , xn −1 )⎤ = g ( x1,… , xn−1 ) , oricare ar fi ⎣ ⎦

( x1,… , xn −1 ) ∈ A 1 , deci funcţia definită în (5) este soluţia problemei Cauchy (1)-(5). Unicitatea rezultă din unicitatea funcţiilor ω 1,…, ωn −1 .

■

Exemplul 3.2.2. Să se rezolve problema Cauchy ∂z ⎧ ∂z −x = 0, x > 0 ⎪y ∂y ⎨ ∂x ⎪ y = 0, z = x . ⎩

Sistemul simetric este

dx dy sau xx′ + yy′ = 0 , de unde rezultă integrala primă = y −x

(

)

x 2 + y 2 = c . Soluţia generală este z = φ x 2 + y 2 , unde φ este o funcţie arbitrară de clasă C 2

(2)

pe

. Din relaţiile x 2 + y 2 = c , y = 0 , z = x deducem x = c şi mai departe z = x 2 + y 2 . Aşadar, soluţia problemei Cauchy este z = x 2 + y 2 , x > 0.

3.3. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare O ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniară este de forma: P1 ( x1,… , xn , u )

∂u ∂u + … + Pn ( x1,… , xn , u ) = Pn +1 ( x1,… , xn , u ) , ∂ x1 ∂ xn

(1)

94


unde Pi sunt funcţii continue şi lipschitziene pe o mulţime deschisă D ⊂

n +1

şi

n +1

∑ Pi2 ≠ 0

pe

i =1

D. Căutăm soluţia ecuaţiei (1) sub forma funcţiei implicite u = u ( x1,… , xn ) , definită de ecuaţia V ( x1,…, xn , u ) = 0 , unde V este o funcţie de clasă C

(1)

pe D şi

∂V ≠ 0 pe D. ∂u

Din Teorema funcţiilor implicite, rezultă că ∂V ∂u ∂x = − i , i = 1, n . ∂V ∂ xi ∂u

(2)

Înlocuind (2) în (1), rezultă: P1 ( x1,… , xn , u )

∂V ∂V ∂V + … + Pn ( x1,… , xn , u ) + Pn +1 ( x1,… , xn , u ) =0. ∂ x1 ∂ xn ∂u

(3)

Am obţinut astfel o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi liniară. Soluţia ecuaţiei (3) este de forma V = φ ⎡⎣ϕ 1 ( x1,…, xn , u ) ,…,ϕ n ( x1,…, xn , u )⎤⎦ , ( x1,…, xn , u ) ∈Ω , unde ϕ1,… , ϕ n sunt n integrale prime independente ale sistemului

x1′ x′ u′ =… = n = . P1 Pn Pn +1

Exemplul 3.3.2. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei 2y

∂z ∂z + 3x 2 + 6x 2 y = 0 ∂x ∂y

şi apoi să se rezolve problema Cauchy x = 0, y 2 = 2 z . Sistemul simetric ataşat este: x′ y′ z′ = 2= =1. 2 y 3x −6x 2 y

Din 3x 2 x′ = 2 yy′ , deducem x3 − y 2 = C1 . Din 3x 2 x′ = −z′ , deducem x3 + z = C2 . Soluţia generală a ecuaţiei este funcţia z = z ( x, y ) , definită implicit de ecuaţia

(

)

φ x3 − y 2 , x3 + z = 0 , unde φ ∈C

(1)

( ) 2

este o funcţie arbitrară. Pentru a rezolva problema

Cauchy eliminăm variabilele x, y, z între relaţiile:


⎧ x3 − y 2 = C1 ⎪ ⎪ x 3 + z = C2 ⎨ ⎪x = 0 ⎪ 2 ⎩ y = 2z

şi obţinem C1 + 2 C2 = 0 . Înlocuind C1 şi C2 cu expresiile din membrul stâng, obţinem: x3 − y 2 + 2 x3 + 2 z = 0 .

Rezultă că z =

1 2 y − 3x3 este soluţia problemei Cauchy. 2

(

)

95

CAPITOLUL 4

SERII FOURIER. TRANSFORMATA FOURIER

4.1. Serii trigonometrice. Serii Fourier Fie funcţia f :[ a, b] → \ . Reamintim că punctul x0 ∈ [a, b] se numeşte punct de discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x0 − 0) şi f ( x0 + 0) există şi sunt finite. Definiţia 4.1.1. Funcţia f :[ a, b] → \ se numeşte

y

continuă pe porţiuni dacă este continuă pe [a, b] , cu excepţia unui număr finit de puncte de discontinuitate de prima speţă (fig. 1). O

a

b

O astfel de funcţie este integrabilă.

x

Fig.1 Reamintim că funcţia f : \ → \ este periodică de perioadă T , dacă f ( x + T ) = f ( x) , ∀x ∈ \ .

Lema 4.1.1. Fie f : \ → \ o funcţie periodică de perioadă 2π . Atunci a + 2π

∫

f ( x ) dx =

π

∫ f ( x ) dx .

−π

a

Demonstraţie. Pentru aceasta este suficient să observăm că π

∫π

−

a

f ( x ) dx =

∫π

−

f ( x ) dx +

a + 2π

∫ a

f ( x ) dx +

π

∫ πf ( x)dx .

a+2

Cu schimbarea de variabilă x = t − 2π , obţinem

97

4. Serii Fourier. Transformata Fourier π

∫

−π

a

∫ f (t )dt = − ∫π f (t )dt ,

f ( x ) dx =

a + 2π

−

a

deci a

∫

f ( x ) dx +

−π

π

∫ f ( x ) dx = 0 ,

a + 2π

de unde rezultă lema. ■ În general, dacă f are perioada T , atunci a +T

∫ a

T

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx . 0

Definiţia 4.1.2. Fie (α n ) n≥0 , ( β n ) n≥1 două şiruri de numere reale. Seria de funcţii

α0 2

∞

+ ∑ (α n cos nx + β n sin nx )

(1)

n =1

se numeşte serie trigonometrică de coeficienţi α n , n ≥ 0 , β n , n ≥ 0 . Sumele parţiale ale unei astfel de serii de funcţii

α0 2

n

+ ∑ (α k cos kx + β k sin kx) k =1

se numesc polinoame trigonometrice. Definiţia 4.1.3. Fie funcţia f : \ → \ , periodică de perioadă 2π , continuă pe porţiuni pe orice interval compact şi fie

a0 =

1

π

π

∫

f ( x)dx , a n =

−π

1

π

π

∫

f ( x) cos nxdx , bn =

−π

1

π

π

∫ f ( x) sin nxdx , n ≥ 1 .

−π

Atunci seria trigonometrică ∞ a0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) 2 n =1

se numeşte seria Fourier ataşată funcţiei f , iar coeficienţii a n , bn se numesc coeficienţii Fourier ai funcţiei f .

(2)

98


Definiţia 4.1.4. Funcţia f :[ a, b] → \ se numeşte continuu diferenţiabilă pe porţiuni (sau netedă pe porţiuni) pe [a, b] dacă este derivabilă pe [a, b] cu excepţia unui număr finit de puncte şi f ′ este continuă pe [a, b] cu excepţia acestor puncte în care are limite laterale finite. Teorema 4.1.1. (Dirichlet). Fie f : \ → \ o funcţie periodică de perioadă 2π , continuu diferenţiabilă pe porţiuni pe orice interval compact [ a, b] ⊂ \ . Atunci seria Fourier (2) este convergentă pe \ şi avem ∞ a0 f ( x − 0 ) + f ( x + 0) , ∀x ∈ \ , + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) = 2 n =1 2

unde

an =

π

1

π

∫π f ( x) cos nxdx , n ∈ ` ,

−

bn =

1

π

π

∫π f ( x) sin nxdx , n ∈ `

*

.

−

Observaţia 4.1.1. Dacă, în plus, f este continuă pe \ , avem f ( x) =

∞ a0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) , ∀x ∈ \ . 2 n =1

( f se dezvoltă în serie Fourier pe \ ).

Observaţia 4.1.2. Dacă funcţia f este pară, atunci bn = 0 , n ∈ `* . Dacă funcţia f este impară, atunci a n = 0 , n ∈ ` . Exemplul 4.1.1. Să se dezvolte în serie Fourier pe intervalul [−π , π ] funcţia f ( x) = x 2 . Fie f * : \ → \ , funcţia obţinută prin prelungirea prin periodicitate, cu perioada

T = 2π , a funcţiei f . Deoarece funcţia este pară, coeficienţii bn sunt nuli. Vom calcula coeficienţii a n . Avem: π

2 ∫ x dx =

−π

2π 3 , 3

99

4. Serii Fourier. Transformata Fourier π

sin nx ∫−π x cos nxdx = x n 2

2⎛ cos nx = − ⎜− x ⎜ n⎝ n În consecinţă a 0 =

x2 =

π

2

π2 3

− −π

π −π

∞

2 x sin nxdx = n −∫∞

π ⎞ 4π (−1) n 1 + ∫ cos nxdx ⎟ = , n ≥ 1. ⎟ n −π n2 ⎠

(−1) n 2π 2 , a n = 4 ⋅ 2 , bn = 0 , n ≥ 1 , deci 3 n

(−1) n ⋅ cos nx , ∀x ∈ [ −π , π ] . 2 n =1 n ∞

+ 4⋅∑

În particular, pentru x = π obţinem o identitate cunoscută, datorată lui Euler:

π2 1 = . ∑ 2 6 n =1 n ∞

Teorema 4.1.2. (Fejér). Fie f : \ → \ o funcţie continuă, periodică de perioadă

2π , sn =

n a0 + ∑ ( a k cos kx + bk sin kx) , n ∈ ` 2 k =1

şi sumele Fejér de ordinul n ,

σn =

s 0 + s1 + ... + s n −1 , n ∈ `* . n

Atunci şirul de funcţii (σ n ) n converge uniform la f pe \ . Teorema 4.1.3. (Weierstrass). Fie f : \ → \ o funcţie continuă, periodică de perioadă 2π . Atunci pentru orice ε > 0 există un polinom trigonometric Tε astfel încât

f − Tε < ε .

Demonstraţie. Fie mε ∈ ` * astfel încât σ p − f < ε , pentru orice p ≥ mε . Putem alege Tε = σ mε , unde σ mε este dat de Teorema lui Fejér. ■

100


Teorema 4.1.4. (Weierstrass). Dacă funcţia f :[ a, b] → \ este continuă, atunci pentru orice ε > 0 există un polinom algebric Pε astfel încât f − Pε < ε . Demonstraţie. Pentru început, fie f :[0, 2π ] → \ o funcţie continuă care satisface f (0) = f ( 2π ) şi f * prelungirea prin periodicitate pe \ a funcţiei f . Conform Teoremei

4.1.3, pentru orice ε > 0 există un polinom trigonometric Tε astfel încât f − Tε <

Tε =

α0 2

ε 2

, cu

p

+ ∑ (α k cos kx + β k sin kx) . k =1

Dezvoltând în serie funcţiile cos şi sin , rezultă că există un rang mε astfel încât mε

Tε − ∑ a k x k < k =1

ε

.

2

mε

Notând Pε ( x) = ∑ a k x k , rezultă că k =1

f − Pε < ε . Să presupunem acum că funcţia f nu mai satisface condiţia f (0) = f ( 2π ) , deci f (0) ≠ f ( 2π ) . Considerăm funcţia continuă g :[0, 2π ] → \ ,

g ( x) = f ( x) +

f (0) − f (2π ) x. 2π

Atunci g (0) = f (0) , g ( 2π ) = f (0) , deci g (0) = g ( 2π ) . Conform celor de mai sus, pentru orice ε > 0 există un polinom Pε astfel încât g − Pε < ε , adică f ( x) +

f (0) − f (2π ) x − Pε ( x) < ε , ∀x ∈ [0,2π ] . 2π

Notând Qε ( x) = Pε ( x ) −

f (0) − f (2π ) x , rezultă că 2π

f − Qε < ε . În sfârşit, fie f :[ a, b] → \ o funcţie continuă şi h : [0,2π ] → [ a, b] ,

h(t ) = a +

b−a t. 2π

101

4. Serii Fourier. Transformata Fourier

Evident, h este un homeomorfism. Considerăm funcţia g :[0, 2π ] → \ , g (t ) = f ( h(t )) , ∀t ∈ [0,2π ] . Ţinând seama de cele de mai sus, rezultă că pentru orice ε > 0

există un polinom Pε astfel încât g − Pε < ε , adică

f (h(t )) − Pε (t ) < ε , ∀t ∈ [0,2π ] . În consecinţă, f ( x) − Pε ( h −1 ( x )) < ε , ∀x ∈ [ a, b] .

Notând Qε = Pε D h −1 , rezultă că

f − Qε < ε . ■

4.2. Serii Fourier generalizate Fie ( H , < ⋅,⋅ >) un spaţiu prehilbertian real şi fie {e1 , e2 ,..., en ,...} un sistem ortonormal de elemente din H . Aşadar avem: ⎧1, dacă i = j . < ei , e j >= δ ij = ⎨ ⎩0, dacă i ≠ j Fie x ∈ H oarecare. Coeficienţii Fourier (generalizaţi) ai lui x în raport cu sistemul ortonormal {e1 , e2 ,..., en ,...} se definesc astfel:

ξ n =< x, en > , n ∈ `* ,

(1)

iar seria ∞

∑ξ

e ,

(2)

n n

n =1

se numeşte seria Fourier ataşată lui x în raport cu sistemul ortonormal {e1 , e2 ,..., en ,...} .

n

n

i =1

i =1

x − ∑ ξ i ei ≤ x − ∑ ci ei , ∀ci ∈ \ , 1 ≤ i ≤ n .

Teorema 4.2.1.

Demonstraţie. Într-adevăr: n

x − ∑ c i ei i =1

2

n

n

i =1

j =1

=< x − ∑ ci ei , x − ∑ c j e j >=

102


n

i =1

i =1

n

n

i =1

i =1

= x − 2∑ ciξ i + ∑ ci2 = x + ∑ (ci − ξ i ) 2 − ∑ ξ i2 . 2

2

Aşadar, avem n

x − ∑ c i ei

2

2

i =1

n

n

i =1

i =1

= x + ∑ (ci − ξ i ) 2 − ∑ ξ i2 .

(3)

Evident această expresie este minimă dacă ci = ξ i , 1 ≤ i ≤ n . Rezultă că n

n

i =1

i =1

x − ∑ ξ i ei ≤ x − ∑ ci ei , ∀ci ∈ \ , 1 ≤ i ≤ n . ■

Corolarul 4.2.1. Dacă ξ n , n ∈ `* , sunt coeficienţii Fourier ai lui x în raport cu sistemul ortonormal {e1 , e2 ,..., en ,...} , atunci are loc inegalitatea lui Bessel: ∞

∑ξ

2 i

2

≤ x .

(4)

i =1

Demonstraţie. Din (3) rezultă că n

0 ≤ x − ∑ ξ i ei

2

i =1

n

≤ x − ∑ ξ i2 , 2

i =1

deci n

∑ξ

2 i

2

≤ x .

i =1

Făcând n → ∞ , se obţine (4). ■ Definiţia 4.2.1. Sistemul ortonormal {en }n≥1 se numeşte închis dacă Sp ({en }n≥1 ) este dens în H , deci dacă pentru orice x ∈ H şi orice ε > 0 există c1 , c2 ,..., cn ∈ \ astfel încât n

x − ∑ c i ei < ε . i =1

Teorema 4.2.2. Dacă sistemul ortonormal {en }n≥1 este închis atunci are loc identitatea lui Parseval: x

2

∞

= ∑ ξ i2 . i =1

(5)

103


Demonstraţie. Este suficient să arătăm că x

2

∞

≤ ∑ ξ i2 .

(6)

i =1

Fie ε > 0 . Atunci există c1 , c2 ,..., cn ∈ \ , astfel încât n

x − ∑ c i ei < ε . i =1

Din (3) obţinem 2

n

ε > x − ∑ ci ei 2

2

i =1

n

n

i =1

i =1

n

= x + ∑ (ci − ξ i ) 2 − ∑ ξ i2 ≥ x − ∑ ξ i2 . 2

i =1

Aşadar n

∑ξ

2 i

2

+ε2 > x .

i =1

Cum ε este arbitrar, făcând n → ∞ , rezultă (6). ■ Definiţia 4.2.2. Un sistem ortonormal {en }n≥1 se numeşte complet (total) dacă orice

x ∈ H care satisface ξ i =< x, ei >= 0 , pentru orice i ∈ `* , coincide cu elementul nul din H , deci x = 0 H . Teorema 4.2.3. Orice sistem ortonormal închis este complet. Demonstraţie. Deoarece ξ i = 0 , ∀i ∈ `* , din egalitatea lui Parseval rezultă că x = 0 H . ■ Afirmaţia reciprocă nu este adevărată în general. Se poate arăta că într-un spaţiu Hilbert cele două noţiuni coincid. ~ Fie [ a, b] ⊂ \ . Vom nota cu C ([a, b]) spaţiul vectorial al funcţiilor continue pe

porţiuni pe [a, b] care satisfac 1 ⋅ [ f ( x − 0) + f ( x + 0)] , ∀x ∈ [ a, b] . 2 ~ ~ Evident C ([ a, b]) ⊂ C ([ a, b]) . Pe C ([a, b]) definim următorul produs scalar

f ( x) =

104

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII b

< f , g >=

~

∫ f ( x) g ( x)dx , ∀f , g ∈ C ([a, b]) . a

~ Într-adevăr, se verifică uşor că dacă f , g , f 1 , f 2 ∈ C ([a, b]) , atunci:

< f1 + f 2 , g >=< f1 , g > + < f 2 , g > , < αf , g >= α < f , g > , ∀α ∈ \ , < f , g >=< g , f > , < f , f >≥ 0 .

Vom arăta acum că din < f , f >= 0 , rezultă că f ≡ 0 . Să presupunem că b

∫f

2

( x)dx = 0 .

a

Fie Δ : a = x0 < x1 < ... < xi −1 < xi < ... < x n = b o diviziune a intervalului [a, b] , astfel încât funcţia f este continuă pe intervalul ( xi −1 , xi ) . Considerăm funcţiile gi :[ xi −1 , xi ] → \ , 1 ≤ i ≤ n ,

⎧ f ( xi −1 + 0), dacă x = xi −1 , ⎪ ⎪⎪ g i ( x) = ⎨ f ( x), dacă x ∈ ( xi −1 , xi ), ⎪ ⎪ ⎪⎩ f ( xi − 0), dacă x = xi . xi

Funcţia g i este continuă pe [ xi −1 , xi ] şi 0 =

∫

xi −1

xi

f 2 ( x)dx = ∫ g i2 ( x)dx . În consecinţă xi −1

g i ( x) = 0 , ∀x ∈ [ xi −1 , xi ] , deci f ( x ) = 0 , ∀x ∈ ( xi −1 , xi ) , f ( xi −1 + 0) = 0 , f ( xi − 0) = 0 . Atunci pentru orice i, 1 ≤ i ≤ n − 1 , f ( xi ) =

1 ⋅ [ f ( xi − 0) + f ( xi + 0)] = 0 . 2

Prin urmare f ( x ) = 0 , ∀x ∈ [ a, b] . ~ În concluzie, C ([a, b]) este un spaţiu prehilbertian. ~ Fie acum spaţiul prehilbertian H = C ([ −π , π ]) Să considerăm în acest spaţiu şirul de

funcţii trigonometrice 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,..., cos nx, sin nx,... .

(7)

105


Se deduc cu uşurinţă următoarele formule importante: π

∫ 1 ⋅ dx = 2π ,

(8)

−π

π

∫π cos mx dx = 0 , m ∈ ` , *

(9)

−

π

∫π sin mx dx = 0 , m ∈ ` , *

(10)

−

π

⎧ 0, dacă m ≠ n , m, n ∈ ` * , dacă m = n

(11)

⎧ 0, dacă m ≠ n , m, n ∈ ` * , dacă m = n

(12)

∫π cos mx ⋅ cos nx dx = ⎨⎩π ,

−

π

∫π sin mx ⋅ sin nx dx = ⎨⎩π ,

−

π

∫π sin mx ⋅ cos nx dx = 0 , m, n ∈ `

*

.

(13)

−

Să dovedim, de exemplu, (11). Dacă m ≠ n , atunci din egalitatea cos mx ⋅ cos nx =

1 ⋅ [cos( m + n) x + cos( m − n) x ] , 2

rezultă că π π ⎤ 1 ⎡ 1 1 ∫−π cos mx ⋅ cos nx dx = 2 ⋅ ⎢⎢ m + n ⋅ sin(m + n) x −π − m − n ⋅ sin(m − n) x −π ⎥⎥ = 0 . ⎣ ⎦ π

De asemenea π

2 ∫ cos mx dx =

−π

π

π

1 1 1 ⋅ ∫ (1 + cos 2mx)dx = ⋅ ( x + ⋅ sin 2mx) = π . 2 −π 2 2m −π

Din egalităţile (8)-(13), rezultă că şirul (7) este un sistem ortogonal. Pe de altă parte, cum f = < f , f > , din aceste egalităţi rezultă că 1 = 2π , cos nx = sin nx = π , n ∈ `* . În consecinţă, sistemul de funcţii 1 2π

,

1

π

cos x,

1

π

sin x,

1

π

este un sistem ortonormal de funcţii.

cos 2 x,

1

π

sin 2 x,...,

1

π

cos nx,

1

π

sin nx,... .

(14)

106


Fie a n , bn , coeficienţii Fourier din Teorema lui Dirichlet. Notăm cu c0 , c1 , d1 , c 2 , d 2 ,..., c n , d n ,... , coeficienţii Fourier generalizaţi în raport cu sistemul ortonormal (14). Atunci:

1

c0 =< f , c n =< f , d n =< f ,

2π 1

π 1

π

>=

1 2π

π

∫π f ( x)dx =

−

1

cos nx >= sin nx >=

π 1

π

π 2

⋅ a0 ,

π

∫π f ( x) cos nxdx =

π ⋅ a n , n ∈ `* ,

−

π

∫π f ( x) sin nxdx =

π ⋅ bn , n ∈ `* .

−

Inegalitatea lui Bessel devine

π 2

∞

π

n =1

−

a 02 + π ∑ (a n2 + bn2 ) ≤

∫π f

2

( x)dx

sau π

1 1 2 ∞ 2 a 0 + ∑ (a n + bn2 ) ≤ ∫ f 2 ( x)dx . π −π 2 n =1

(15)

Se poate arăta că sistemul trigonometric (14) este închis. Rezultă că are loc egalitatea lui Parseval, adică π

1 1 2 ∞ 2 a 0 + ∑ (a n + bn2 ) = ∫ f 2 ( x)dx . π −π 2 n =1

Exemplul 4.2.1. În cazul funcţiei f : [ −π , π ] → R , f ( x ) =

Fourier sunt a0 = 1 , an =

(−1) n n , bn = ( −1) n +1 ⋅ , n ∈ `* . 2 2 1+ n 1+ n

Pe de altă parte π

∫

−π

f 2 ( x)dx =

π 2 ⋅ chπ . 2shπ

Din egalitatea lui Parseval obţinem

π chπ 1 ∞ 1 , +∑ = 2 2 n =1 1 + n 2 shπ

(16)

π 2 shπ

⋅ e x , coeficienţii

107


de unde rezultă că ∞

1

∑1+ n n =1

2

=

π chπ − shπ . 2 shπ

4.3. Serii Fourier pentru funcţii periodice de perioadă T = 2l Fie f : \ → \ o funcţie periodică de perioadă 2l , continuă pe porţiuni, h : \ → \ , h (t ) =

l

π

t şi g : \ → \ , g = f D h . Funcţia g este periodică de perioadă 2π .

Într-adevăr l ⎛l ⎞ g (t + 2π ) = f (h(t + 2π ) ) = f ⎜ t + 2l ⎟ = f ( t ) = g (t ) , ∀t ∈ \ . π ⎝π ⎠

Dacă f este continuu diferenţiabilă pe porţiuni pe orice interval compact din \ , atunci şi g are această proprietate. Dacă, în plus, f este continuă, din Teorema lui Dirichlet rezultă că g (t ) =

∞ a0 + ∑ (a n cos nt + bn sin nt ) , ∀t ∈ \ , 2 n =1

unde

an = Cum t =

π l

1

π

π

∫ g (t ) cos nt dt , n ∈ ` ,

−π

bn =

1

π

π

∫π g (t ) sin nt dt , n ∈ `

*

.

−

x , obţinem

f ( x) =

∞ a0 nπ nπ + ∑ (a n cos x + bn sin x) , ∀x ∈ \ , l l 2 n =1

unde l

l

1 nπ 1 nπ x dx , n ∈ ` , bn = ⋅ ∫ f ( x) sin x dx , n ∈ `* . a n = ⋅ ∫ f ( x) cos l l l −l l −l Exemplul 4.3.1. Să se dezvolte în serie Fourier pe intervalul (−l , l ) funcţia f ( x ) = x .

Funcţia fiind impară, rezultă că a n = 0 , n ∈ ` . Prin calcul, obţinem

108


bn =

2l ( −1) n +1 . nπ

Atunci

x=

(−1) n +1 nπ ⋅ sin x , x ∈ ( −l , l ) . l π n =1 n

2l

∞

⋅∑

4.4. Forma complexă a seriilor Fourier Fie dezvoltarea în serie Fourier a funcţiei f : f ( x) =

Fie ω =

π l

∞ a0 nπ nπ + ∑ (a n cos x + bn sin x) , ∀x ∈ \ . l l 2 n =1

. Din formulele lui Euler

cos nω x =

einω x + e−inω x , 2

sin nω x =

einω x − e −inω x , 2i

rezultă

f ( x) =

a0 ∞ ⎛ einω x + e−inω x −ieinω x + ie−inω x + ∑ ⎜ an ⋅ + bn ⋅ 2 n =1 ⎝ 2 2 =

a0 ∞ an + ibn − inω x ∞ an − ibn inω x +∑ ⋅e +∑ ⋅e . 2 n =1 2 2 n =1

Dacă notăm c0 = f ( x) =

⎞ ⎟= ⎠

a0 a − ibn a + ibn , c− n = n , cn = n , obţinem 2 2 2

∞

∑ce n

− inω x

.

n =−∞

Ţinând seama de expresia coeficienţilor Fourier a n , bn , rezultă că l

cn =

l

1 1 f ( x)(cos nω x + i sin nω x)dx = ∫ f ( x)einω x dx . ∫ 2l −l 2l − l

Aşadar l

1 cn = ∫ f ( x) einω x dx . 2l − l

109


4.5. Formula integrală a lui Fourier. Transformata Fourier

Definiţia 4.4.1. O funcţie f : \ → ^ se numeşte absolut integrabilă dacă

∞

∫

f ( x) dx

−∞

este convergentă. Notăm cu L1 (\) spaţiul vectorial al funcţiilor absolut integrabile pe \ . Funcţiile periodice care îndeplinesc condiţiile Dirichlet şi satisfac în plus condiţia 1 f ( x) = [ f ( x − 0) + f ( x + 0)] , ∀x ∈ \ , 2

se dezvoltă în serie Fourier, adică f ( x) =

∞

∑ce n

− inω x

n =−∞

⎛1 l ⎞ = ∑ ⎜ ∫ f (t )einωt dt ⎟e − inω x . n =−∞ ⎝ 2l − l ⎠ ∞

Funcţiile f care nu sunt periodice dar satisfac anumite condiţii se pot reprezenta ca o integrală dublă. Teorema 4.5.1. (Formula integrală a lui Fourier)

Fie f : \ → ^ cu proprietăţile: (i)

f ∈ L1 (\) ;

(ii) f este continuu diferenţiabilă pe porţiuni pe orice interval compact [ a, b] ⊂ \ ; 1 (iii) f ( x) = [ f ( x − 0) + f ( x + 0)] , ∀x ∈ \ . 2

Atunci 1 f ( x) = 2π

∞

∞

−∞

−∞

∫ du ∫

f (t )eiu ( x −t ) dt .

Definiţia 4.5.1. Fie f ∈ L1 (\) , continuu diferenţiabilă pe porţiuni pe orice interval

compact din \ . Se numeşte transformata Fourier a funcţiei f , funcţia F : \ → ^ definită astfel:

110

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII ∞

1 F (u ) = 2π

∫

f ( x)e − iux dx .

−∞

Folosim şi notaţia F ( f ) = F .

2

Exemplul 4.5.1. Să se afle transformata Fourier a funcţiei f : \ → \ , f ( x) = e − ax ,

a > 0. Transformata Fourier a funcţiei date va fi: ∞

1 2π

F (u ) =

∫e

− ax 2

e − iux dx .

−∞

Pentru calculul integralei derivăm în raport cu parametrul u . Avem: ∞

1 2π

F ′(u ) =

∫ (−ix)e

− ax 2

e − iux dx .

−∞

Integrând prin părţi, obţinem F ′(u ) =

∞

i 2a 2π

=

∫ (e

− ax 2

)′e − iux dx =

−∞

⎛ − iux − ax2 ⎜e ⋅e 2a 2π ⎝ i

∞ ⎞ 2 + i ∫ ue − iux ⋅ e − ax dx ⎟ , −∞ −∞ ⎠

∞

deci ∞

2 −u u ⋅ ∫ e − ax ⋅ e − iux dx = − ⋅ F (u ) . F ′(u ) = 2a 2a 2π −∞

Atunci F (u ) = C ⋅ e

Dar C = F (0) =

−

u

∫ 2 a du

1 2π

= C ⋅e

∞

− ax ∫ e dx .

−∞

Notând t = aπ , obţinem

2

−

u2 4a

.

111


F ( 0) = ∞

Dar

∫e

−t 2

∞

1

∫e

2 aπ

−t 2

dt .

−∞

dt = π , deci F (0) =

−∞

1 2a

.

În final, rezultă 1

F (u ) =

Dacă a =

2a

⋅e

−

u2 4a

.

1 , obţinem 2

F (u ) = e

−

u2 2

.

Dacă f satisface condiţiile Teoremei 4.5.1, atunci f ( x) =

∞

1 2π

∫

−∞

∞

du ∫ f (t ) eiu ( x −t ) dt = −∞

1 2π

⎛ 1 ∫−∞ ⎜⎝ 2π ∞

∞

∫e

− iut

−∞

⎞ f (t )dt ⎟ eiux du ⎠

sau ∞

1 f ( x) = 2π

∫e

iux

F (u )du .

−∞

Aceasta este formula transformatei Fourier inversă.

Exemplul 4.5.2. Fie f : \ → \ , f ( x) = e

−a x

, a > 0 . Transformata Fourier a acestei

funcţii va fi

F (u ) =

2

a , π a + u2 ⋅

2

iar transformata Fourier inversă va fi

e

−a x

∞

Obţinem astfel următoarea identitate:

e

−a x

∞

1 2 a 2a cos ux du = du . = ⋅ ∫ eiux ⋅ ⋅ 2 2 π a +u π ∫0 a 2 + u 2 2π −∞

=

2a

π

∞

cos ux du , ∀x ∈ \ . 2 + u2

∫a 0

112


Fie f o funcţie care satisface ipotezele Teoremei 4.5.1 şi care, în plus, este pară. Din formula integrală Fourier, rezultă: 1 f ( x) = 2π

∞

∞

−∞

−∞

∫ du ∫ e

iu ( x − t )

f (t )dt =

∞ ⎛∞ ⎞ ∫−∞ dt ⎜⎝ −∞∫ f (t ) cos u ( x − t )du + i−∞∫ f (t ) sin u ( x − t )du ⎟⎠ . ∞

1 = 2π

Ţinând seama că integrantul din ultima integrală este o funcţie impară şi folosind în continuare acest argument, obţinem 1 f ( x) = 2π

∞

∞

−∞

−∞

∫ du ∫

1 = 2π

f (t ) ( cos ux cos ut + sin ux sin ut ) dt =

∞

∞

−∞

−∞

2

∞

∞

0

0

∫ du ∫ f (t ) cos ux cos utdt = π ∫ cos uxdu ∫ f (t ) cos utdt .

Transformata Fourier prin cosinus se defineşte astfel

Fc (u ) =

2

π

∞

⋅ ∫ f (t ) cos utdt . 0

Dacă funcţia f este impară, se poate defini transformata Fourier prin sinus astfel

Fs (u ) =

2

π

∞

⋅ ∫ f (t ) sin utdt . 0

Dacă funcţia f este pară, avem

f ( x) =

2

π

∞

⋅ ∫ Fc (u ) cos uxdu , 0

iar dacă funcţia f este impară, avem

f ( x) =

2

π

∞

⋅ ∫ Fs (u ) sin uxdu . 0

Exemplul 4.5.3. Să se determine transformata Fourier prin cosinus a funcţiei ⎧ sin x ⎪ x , dacă x ≠ 0 ⎪ . f : \ → \ , f ( x) = ⎨ ⎪ 1, dacă x = 0 ⎪ ⎩

113


Prin calcul direct, obţinem

Fc (u ) =

∞

=

1

⋅∫

1 2π

∞

⎡ sin(1 + u )t sin(1 − u )t ⎤ ⋅∫⎢ + ⎥ dt = t t 2π 0 ⎣ ⎦

sin t ⋅ cos utdt = π 0 t 2

∞

⋅ [1 + sgn(1 − u )] ⋅ ∫ 0

sin t dt . t

În mod asemănător ∞

∞

1 2 sin 2t 1 sin y Fc (±1) = dt = dy . ⋅∫ ⋅∫ 2 π 0 t 2π 0 y ∞

Dar

∫ 0

π sin t dt = , deci t 2 ⎧ π , dacă u < 1 ⎪ ⎪ 2 ⎪⎪ 1 π 1 π ⋅ ⋅ [1 + sgn(1 − u )] = ⎨ Fc (u ) = , dacă u = 1 . 2π 2 ⎪2 2 ⎪ 0, dacă u > 1 ⎪ ⎪⎩

Dacă f :[0, ∞ ) → ^ , atunci f se poate prelungi la o funcţie pară (impară) pe \ . În acest caz, se poate vorbi atât de transformata Fourier prin cosinus cât şi de transformata Fourier prin sinus ale funcţiei f .

Exemplul 4.5.4. Să se determine transformatele Fourier prin cosinus şi sinus ale

funcţiei f : \ → \ , f ( x) = e − x , x ≥ 0 .

Funcţia f : \ → \ , f ( x) = e

−x

, este prelungirea prin paritate a funcţiei f , iar funcţia

~ −x f : \ → \ , f ( x) = e sgn x , este prelungirea prin imparitate a funcţiei f . Fc (u ) =

2

π

∞

⋅ ∫ e −t cos utdt = 0

2

1 , π 1+ u2 ⋅

Atunci:

114


Fs (u ) =

2

π

∞

⋅ ∫ e −t sin utdt = 0

2

u . π 1+ u2 ⋅

Transformata Fourier inversă conduce la egalităţile:

2

∞

cos ux du = e − x , x ∈ [0, ∞ ) , 2 π 0 1+ u 2

⋅∫ ∞

u sin ux du = e − x , x ∈ [0, ∞ ) . 2 π 0 1+ u ⋅∫

4.6. Proprietăţile transformatei Fourier Fie f , g ∈ L1 (\ ) , două funcţii continuu diferenţiabile pe porţiuni pe orice interval compact din \ . Transformata Fourier are următoarele proprietăţi: 1) Liniaritatea F (αf + βg ) = αF ( f ) + βF ( g ) , α , β ∈ ^ .

2) Mărginirea F (u ) ≤

1 2π

⋅

∞

∫

f (t ) dt < ∞ .

−∞

3) Fie h > 0 şi f h ( x) = f ( x − h) . Atunci F ( f h )(u ) = e − iuh ⋅ F ( f )(u ) .

Într-adevăr,

[F ( f h )] (u ) =

∞

∞

1 1 ⋅ ∫ e − iut f h (t )dt = ⋅ ∫ e − iut f (t − h)dt . 2π −∞ 2π −∞

Dacă notăm t − h = x , rezultă

[F ( f h )] (u ) =

∞

1 ⋅ ∫ e − iuh e − iux f ( x)dx =e − iuh ⋅ F (u ) . 2π −∞

115


4) Fie g h ( x) = eihx ⋅ f ( x) . Atunci F ( g h )(u ) = F (u − h) ,

unde F este transformata Fourier a funcţiei f .

5) Dacă lim f ( x) = 0 , atunci x →∞

F

( f ) (u ) = (iu) (k )

Într-adevăr, cum F (u ) = G (u ) =

k

F (u ) .

1 2π

∞

∫

f (t )e − iut dt , obţinem

−∞

∞

1 ⋅ ∫ e − iut ⋅ f ′(t )dt . 2π −∞

Integrând prin părţi, rezultă G (u ) =

1 2π

∞ ⎛ ⎞ ∞ ⋅ ⎜ e − iut f (t ) + iu ∫ e − iut f (t )dt ⎟ = iuF (u ) . −∞ −∞ ⎝ ⎠

Aşadar

F

( f ′) (u) = G(u ) = iuF (u) .

6) Convoluţia a două funcţii se defineşte astfel: ∞

( f * g )(t ) = ∫ f ( x) g (t − x)dx , t ∈ \ . −∞

Atunci F ( f * g ) = 2π ⋅ F ( f ) ⋅ F ( g ) .

Într-adevăr, notând cu F1 =F ( f ) şi cu F2 = F ( g ) , avem: F1 (u ) ⋅ F2 (u ) =

∞

∞

1 ⋅ ∫ e − iux f ( x) dx ⋅ ∫ e − iuy g ( y ) dy . 2π −∞ −∞

Fie t = x + y . Atunci ∞

∞

1 F1 (u ) ⋅ F2 (u ) = ⋅ ∫ dx ∫ e − iut f ( x) g (t − x) dt = 2π −∞ −∞

116


=

∞ ⎛∞ ⎞ 1 1 ⋅ ⋅ ∫ e − iut ⎜ ∫ f ( x) g (t − x)dt ⎟ dx = 2π 2π −∞ ⎝ −∞ ⎠

=

1 2π

F ( f * g )(u ) .

Prin urmare F ( f * g )(u ) = F1 (u ) ⋅ F2 (u ) ⋅ 2π .

CAPITOLUL 5

ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA

5.1. Clasificarea ecuaţiilor cu derivate parţiale cvasiliniare de ordinul al doilea Formularea matematică a unor probleme fizice conduce la ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea. Multe astfel de ecuaţii întâlnite în fizică şi tehnică sunt ecuaţii liniare în raport cu funcţia necunoscută şi derivatele parţiale ale acesteia sau pot fi aduse la această formă în urma unor aproximaţii convenabile. În acest capitol ne vom ocupa de ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea pentru funcţii de două variabile. Definiţia 5.1.1. Fie Ω ⊂ \ 2 o mulţime deschisă. Se numeşte ecuaţie cvasiliniară de ordinul al doilea o ecuaţie cu derivate parţiale de forma A( x, y ) ⋅

⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ⎞ + 2 B ( x , y ) ⋅ + C ( x , y ) ⋅ + D⎜⎜ x, y, u , , ⎟⎟ = 0 , 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y ⎠ ∂x ∂y ⎝

(1)

unde ( x, y ) ∈ Ω , A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 pe Ω , A, B, C sunt funcţii continue pe Ω , iar funcţia D este continuă pe Ω . Necunoscuta este funcţia u ∈C (2) (Ω) . Vom începe cu clasificarea acestor ecuaţii. În acest scop vom determina formulele de transformare a coeficienţilor ecuaţiei (1) la o schimbare a variabilelor independente x, y . Fie Ω, Ω1 ⊂ \ 2 mulţimi deschise şi fie F : Ω → Ω1 , definită astfel:

F ( x, y ) = (ξ ( x, y ),η ( x, y ) ) , ∀( x, y ) ∈ Ω , cu proprietăţile: a) F este bijectivă;

118


b) F ∈C (1) (Ω) ; ∂ξ ∂x c) det J F ( x, y ) = ∂η ∂x

∂ξ ∂y ( x , y ) ≠ 0 , ∀( x , y ) ∈ Ω . ∂η ∂y

Fie acum funcţia v = u D F −1 : Ω1 → \ . Atunci u = v D F , deci

u ( x, y ) = v(ξ ( x, y ),η ( x, y ) ) .

(2)

Cu această schimbare de variabile, ecuaţia (1) se va transforma într-o nouă ecuaţie cu derivate parţiale pentru funcţia v . Reamintim formulele de derivare a funcţiilor compuse învăţate la cursul de Analiză matematică: ∂u ∂v ∂ξ ∂v ∂η = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂u ∂v ∂ξ ∂v ∂η , = ⋅ + ⋅ ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y

∂ 2u ∂ 2 v = ∂x 2 ∂ξ 2

2

∂ 2 v ∂ξ ∂η ∂ 2 v ⎛ ∂ξ ⎞ ⋅⎜ ⎟ + 2 ⋅ ⋅ + ∂ξ ∂η ∂x ∂x ∂η 2 ⎝ ∂x ⎠

2

∂v ∂ 2ξ ∂v ∂ 2η ⎛ ∂η ⎞ ⋅⎜ ⎟ + ⋅ + ⋅ , ∂ξ ∂x 2 ∂η ∂x 2 ⎝ ∂x ⎠

∂v ∂ 2η ∂ 2u ∂ 2 v ∂ξ ∂ξ ∂ 2 v ⎛ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ⎞ ∂ 2 v ∂η ∂η ∂v ∂ 2ξ ⎜ ⎟ ⋅ + ⋅ + ⋅ , = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂x∂y ∂ξ 2 ∂x ∂y ∂ξ ∂η ⎜⎝ ∂x ∂y ∂y ∂x ⎟⎠ ∂η 2 ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂y ∂ 2u ∂ 2 v = ∂y 2 ∂ξ 2

2

⎛ ∂ξ ⎞ ∂ 2 v ∂ξ ∂η ∂ 2 v ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ + 2 ⋅ ⋅ + ∂ξ ∂η ∂y ∂y ∂η 2 ⎝ ∂y ⎠

2

⎛ ∂η ⎞ ∂v ∂ 2ξ ∂v ∂ 2η ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ + ⋅ + ⋅ . ∂ξ ∂y 2 ∂η ∂y 2 ⎝ ∂y ⎠

Înlocuind în (1), obţinem A* (ξ ,η ) ⋅

∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v ∂v ∂v * * B C + 2 ( ξ , η ) ⋅ + ( ξ , η ) ⋅ + D * (ξ ,η , v, , ) = 0 , 2 2 ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η

(3)

unde 2

2

⎛ ∂ξ ⎞ ∂ξ ∂ξ ⎛ ∂ξ ⎞ A = A ⋅ ⎜ ⎟ + 2B ⋅ ⋅ + C ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ , ∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ *

B* = A ⋅

⎛ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ⎞ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ⎟⎟ + C ⋅ ⋅ + B ⋅ ⎜⎜ ⋅ + ⋅ ⋅ , ∂x ∂x ∂y ∂y ⎝ ∂x ∂y ∂y ∂x ⎠ 2

Se constată că

(5)

2

⎛ ∂η ⎞ ∂η ∂η ⎛ ∂η ⎞ C = A ⋅ ⎜ ⎟ + 2B ⋅ ⋅ + C ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ . ∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ *

(4)

(6)

119

5. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea

∂ξ ∂x ( B * ) 2 − A* ⋅ C * = ( B 2 − AC ) ⋅ ∂η ∂x

∂ξ ∂y ∂η ∂y

2

.

Aşadar, în urma schimbării de variabile, expresiile B 2 − A ⋅ C şi ( B* ) 2 − A* ⋅ C * păstrează acelaşi semn sau sunt în acelaşi timp nule. În consecinţă, ecuaţiile cu derivate parţiale de ordinul al doilea cvasiliniare se clasifică în modul următor. Dacă B 2 − A ⋅ C > 0 , ecuaţia se numeşte de tip hiperbolic, dacă

Definiţia 5.1.2.

B 2 − A ⋅ C = 0 , ecuaţia se numeşte de tip parabolic, iar dacă B 2 − A ⋅ C < 0 , ecuaţia se

numeşte de tip eliptic. Menţionăm că terminologia aceasta este pur convenţională. Subliniem că această clasificare depinde de punctul ( x, y ) , deoarece semnul expresiei B 2 − A ⋅ C depinde de punctul ( x, y ) ∈ Ω . Prin urmare, ecuaţia (1) poate să nu aibă acelaşi tip

pe întreg domeniul Ω . Exemplul 5.1.1. Ecuaţia lui Tricomi ∂2u ∂ 2u y⋅ 2 + 2 = 0, ∂x ∂y este de tip mixt. Dacă y < 0 ecuaţia este de tip hiperbolic, dacă y > 0 este de tip eliptic, iar dacă y = 0 ecuaţia este de tip parabolic. Această ecuaţie apare în aerodinamică. Domeniul hiperbolic ( y < 0) corespunde mişcării subsonice, iar domeniul eliptic ( y > 0) descrie mişcarea supersonică. Definiţia 5.1.3. Se numeşte curbă caracteristică a ecuaţiei (1), orice curbă plană de clasă C

(1)

, nesingulară, Γ ⊂ Ω , de ecuaţie ϕ ( x, y ) = 0 , care satisface ecuaţia 2

2

⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ∂ϕ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎟⎟ = 0 . A⋅⎜ ⋅ + C ⋅ ⎜⎜ ⎟ + 2B ⋅ ∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

(7)

120


Fie M 0 ( x0 , y0 ) un punct fixat al curbei caracteristice Γ . Curba fiind nesingulară, putem presupune că

∂ϕ ( x0 , y0 ) ≠ 0 . Conform teoremei funcţiilor implicite, în vecinătatea ∂y

punctului M 0 , curba are ecuaţia y = y ( x ) . Din relaţia ϕ ( x, y ( x)) = 0 , rezultă că ∂ϕ ∂ϕ + ⋅ y ′( x) = 0 , ∂x ∂y

(8)

deci ∂ϕ ∂ϕ =− ⋅ y′( x) . ∂x ∂y Înlocuind în (7), obţinem A ⋅ y ′2 ( x) − 2 B ⋅ y ′( x) + C = 0 .

(9)

Aceasta este ecuaţia diferenţială a curbelor caracteristice ale ecuaţiei (1). Observaţia 5.1.1. Coeficienţii A, B, C ai ecuaţiei (1) nu sunt simultan nuli. Putem presupune că A ≠ 0 . Într-adevăr, dacă A = 0 şi C ≠ 0 , schimbând x cu y obţinem o ecuaţie în care A ≠ 0 . Dacă A = C = 0 , atunci B ≠ 0 , schimbarea de variabile x ′ = x + y , y ′ = x − y conducându-ne la o ecuaţie cu A ≠ 0 . De fapt, în acest ultim caz, după cum se va vedea ulterior, ecuaţia (1) are deja forma canonică, deci nu mai este necesară nici o schimbare de variabile. Aşadar, ecuaţia (9) este o ecuaţie de gradul al doilea în y ′( x) . Fie y ′( x ) = λ ( x, y )

(10)

o soluţie a ecuaţiei (9) şi ϕ ( x, y ) = C soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (10). În ipoteza că

∂ϕ ≠ 0 , avem ∂y

∂ϕ y′( x) = − ∂x = λ ( x, y ) . ∂ϕ ∂y Ţinând seama că λ verifică ecuaţia (9), deducem că 2

2

⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ∂ϕ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎟⎟ = 0 , A⋅⎜ ⋅ + C ⋅ ⎜⎜ ⎟ + 2B ⋅ ∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠


121

deci ϕ ( x, y ) = C este o curbă caracteristică a ecuaţiei (1). 5.1.1. Ecuaţii de tip hiperbolic

În acest caz, din ecuaţia (8) rezultă B + B 2 − AC y′ = A

(11)

şi

y′ =

B − B 2 − AC . A

(12)

Fie curbele caracteristice ϕ1 ( x, y ) = C1 şi ϕ 2 ( x, y ) = C2 , soluţii ale ecuaţiilor diferenţiale (11) respectiv (12). Cu schimbarea de variabilă

⎧ξ = ϕ1 ( x, y ) , ⎨ ⎩η = ϕ 2 ( x, y ) rezultă că A* = C * = 0 , deci ecuaţia (3) devine

∂2v ∂v ∂v + D* (ξ ,η , v, , ) = 0 , 2 B (ξ ,η ) ⋅ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η *

care se mai scrie sub forma

∂2v ∂v ∂v + D** (ξ ,η , v, , ) = 0 . ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η

(13)

Aceasta este forma canonică a ecuaţiilor cu derivate parţiale de tip hiperbolic. Exemplul 5.1.1.1. Să se reducă la forma canonică următoarea ecuaţie cu derivate

parţiale 2 ∂2u 2 ∂ u x ⋅ 2 − y ⋅ 2 =0. ∂x ∂y 2

În acest caz A( x, y ) = x 2 , B ( x, y ) = 0 , C ( x, y ) = − y 2 . Avem B 2 − A ⋅ C = x 2 y 2 > 0 , deci ecuaţia este de tip hiperbolic în orice domeniu care nu intersectează axele de coordonate. Conform (9), ecuaţia diferenţială a curbelor caracteristice este x 2 y ′2 ( x ) − y 2 = 0 .

122


Rezolvând această ecuaţie, obţinem y ′ =

xy = C1 ,

y y şi y ′ = − , care prin integrare dau x x

y = C2 . Facem schimbarea de variabile x

⎧ξ = xy ⎪ y . ⎨ η = ⎪⎩ x

Obţinem y ∂v ∂u ∂v , = y⋅ + (− 2 ) ⋅ ∂x ∂ξ ∂η x

∂u ∂v 1 ∂v , = x⋅ + ⋅ ∂y ∂ξ x ∂η

2 ∂2u y2 ∂2v y 2 ∂ 2 v 2 y ∂v 2 ∂ v , = y ⋅ − 2 ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂x 2 ∂ξ 2 x 2 ∂ξ ∂η x 4 ∂η 2 x3 ∂ξ 2 ∂2u ∂2v 1 ∂2v 2 ∂ v . = x ⋅ + 2 ⋅ + ⋅ ∂ξ ∂η x 2 ∂η 2 ∂y 2 ∂ξ 2

În consecinţă, forma canonică a ecuaţiei este

∂2v 1 ∂v − ⋅ = 0. ∂ξ∂η 2ξ ∂η Exemplul 5.1.1.2. Să se afle soluţia ecuaţiei cu derivate parţiale

∂2u ∂2u ∂2u + 2⋅ − 3⋅ 2 = 0 , ∂x∂y ∂x 2 ∂y care satisface condiţiile u ( x, 0) = 3x 2 ,

∂u ( x, 0) = 0 . ∂y

Mai întâi, determinăm forma canonică a ecuaţiei cu derivate parţiale. Conform (9), ecuaţia diferenţială a curbelor caracteristice este y′2 ( x) − 2 y′( x) − 3 = 0 , de unde obţinem y′ = 3 , y′ = −1 . Integrând, rezultă 3x − y = C1 , x + y = C2 . Facem schimbarea de variabile ⎧ξ = 3x − y . ⎨ ⎩η = x + y

Obţinem

123


∂u ∂v ∂v , =3 + ∂x ∂ξ ∂η

∂u ∂v ∂v , =− + ∂y ∂ξ ∂η

∂ 2u ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v =9 2 +6 + , ∂x 2 ∂ξ ∂ξ ∂η ∂η 2

∂ 2u ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v = −3 2 + 2 + ∂x∂y ∂ξ ∂ξ ∂η ∂η 2

∂ 2u ∂ 2 v ∂ 2v ∂ 2v 2 = − + . ∂y 2 ∂ξ 2 ∂ξ ∂η ∂η 2 Atunci, forma canonică a ecuaţiei este

∂ 2v =0, ∂ξ∂η sau ∂ ⎛ ∂v ⎞ ⎜ ⎟=0. ∂ξ ⎝ ∂η ⎠ Rezultă că

∂v = ψ 1 (η ) . Prin integrare, obţinem că v (ξ ,η ) = ϕ (ξ ) + ψ (η ) , deci soluţia ∂η

generală a ecuaţiei cu derivate parţiale dată este u ( x, y ) = ϕ (3 x − y ) + ψ ( x + y ) .

Condiţia u ( x, 0) = 3x 2

conduce la egalitatea ϕ (3x) +ψ ( x) = 3x 2 , iar condiţia

∂u ( x, 0) = 0 conduce la egalitatea −ϕ ′(3 x ) + ψ ′( x ) = 0 . Din această ultimă egalitate, obţinem ∂y 1 9 3 − ϕ (3 x) + ψ ( x) = C . Cum ϕ (3x) +ψ ( x) = 3x 2 , prin scădere rezultă că ϕ (3 x) = x 2 − C , 3 4 4

deci ϕ ( x) =

1 2 3 3 3 x − C . Totodată ψ ( x) = x 2 + C . În consecinţă, soluţia ecuaţiei cu derivate 4 4 4 4

parţiale, cu condiţiile specificate, este u ( x, y ) = ϕ (3x − y ) +ψ ( x + y ) = 3 x 2 + y 2 . 5.1.2. Ecuaţii de tip parabolic

În acest caz AC = B 2 . Ecuaţia (8) are o singură soluţie y′ =

B . A

124


Obţinem o singură familie de curbe caracteristice ϕ ( x, y ) = C , care va satisface ecuaţia A⋅

∂ϕ ∂ϕ + B⋅ =0. ∂x ∂y

(14)

Dacă B ≠ 0 (altfel, ecuaţia (1) are deja forma canonică), înmulţim ecuaţia (14) cu C , ţinem seama că AC = B 2 şi împărţim cu B . Obţinem, astfel, ecuaţia echivalentă B⋅

∂ϕ ∂ϕ +C⋅ = 0. ∂x ∂y

(15)

În continuare, facem schimbarea de variabile ⎧ξ = ϕ ( x, y ) , ⎨ ⎩η = h( x, y )

unde h este arbitrar astfel încât

(16) D(ξ ,η ) ≠ 0 . Alegem funcţia h cât mai simplă, de regulă D ( x, y )

η = x sau η = y . Folosind (14) şi ţinând seama că AC = B 2 , rezultă că ϕ satisface (7), deci A* = 0 , conform (4). Pe de altă parte, din (14), (15) şi (16) deducem că

B* = ( A ⋅

∂ξ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ ∂η + B⋅ )⋅ + (B ⋅ + C ⋅ )⋅ =0 . ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y

Aşadar, în cazul parabolic, ecuaţia (3) devine

C * (ξ ,η ) ⋅

∂ 2v ∂v ∂v + D* (ξ ,η , v, , ) = 0 2 ∂η ∂ξ ∂η

sau încă

∂ 2v ∂v ∂v + D(ξ ,η , v, , ) = 0 . 2 ∂η ∂ξ ∂η

(17)

Aceasta este forma canonică a ecuaţiilor cu derivate parţiale de tip parabolic. Exemplul 5.1.2.1. Să se reducă la forma canonică şi să se găsească soluţia generală a

ecuaţiei cu derivate parţiale x2 ⋅

2 ∂2u ∂2u ∂u ∂u 2 ∂ u − 2 xy ⋅ + y ⋅ + x⋅ + y⋅ = 0. 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

Cum B 2 − A ⋅ C = 0 , ecuaţia este de tip parabolic. Din ecuaţia caracteristicilor rezultă y ′( x) = −

y , care prin integrare conduce la ln xy = C . În urma schimbării de variabile x

125


⎧ξ = xy , ⎨ ⎩η = y

obţinem ∂u ∂v ∂v , = y⋅ + 0⋅ ∂x ∂ξ ∂η

∂u ∂v ∂v , = x⋅ + 1⋅ ∂y ∂ξ ∂η

∂2u ∂2v ∂2v ∂v = xy ⋅ 2 + y ⋅ + ∂x∂y ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ 2 ∂2u ∂2v ∂2v 2 ∂ v x 2 x . = ⋅ + ⋅ + ∂ξ ∂η ∂η 2 ∂y 2 ∂ξ 2

Forma canonică a ecuaţiei este ∂ 2 v 1 ∂v + ⋅ = 0. ∂η 2 η ∂η Această ecuaţie se mai scrie sub forma ∂ ⎛ ∂v ⎞ ⎜η ⋅ ⎟ = 0, ∂η ⎝ ∂η ⎠ de unde rezultă că

η⋅

∂v = ϕ (ξ ) ∂η

sau ∂v 1 = ⋅ ϕ (ξ ) . ∂η η Prin integrare obţinem v (ξ ,η ) = ϕ (ξ ) ⋅ ln η + ψ (ξ ) .

Prin urmare, soluţia generală a ecuaţiei este u ( x, y ) = ϕ ( xy ) ⋅ ln y + ψ ( xy ) .

5.1.3. Ecuaţii de tip eliptic

Suntem în cazul B 2 − A ⋅ C < 0 . Din (9) obţinem

′ = y1,2

B AC − B 2 ±i A A

şi mai departe, prin integrare:

2 ∂2u 2 ∂ v , = y ⋅ ∂x 2 ∂ξ 2

126


⎧ϕ1 ( x, y ) + iϕ2 ( x, y ) = C1 . ⎨ ⎩ϕ1 ( x, y ) − iϕ2 ( x, y ) = C2 Vom face schimbarea de variabile

⎧α = ϕ1 ( x, y ) + iϕ2 ( x, y ) . ⎨ ⎩ β = ϕ1 ( x, y ) − iϕ2 ( x, y ) Ca şi în cazul hiperbolic, calculul formal conduce la

∂ 2v ∂v ∂v + D** (α , β , v, , ) = 0. ∂α ∂β ∂α ∂β

(18)

Considerăm o nouă schimbare de variabile 1 ⎧ ⎪⎪ ξ = 2 (α + β ) . ⎨ ⎪η = 1 (α − β ) ⎪⎩ 2i Fie G (α , β ) = (ξ (α , β ),η (α , β ) ) , ∀(α , β ) ∈Ω1 şi w = v D G −1 . Atunci

v(α , β ) = w (ξ (α , β ),η (α , β ) ) , deci ∂v 1 ∂w 1 ∂w = ⋅ + ⋅ ∂α 2 ∂ξ 2i ∂η ∂v 1 ∂w 1 ∂w = ⋅ − ⋅ ∂β 2 ∂ξ 2i ∂η

∂ 2v 1 ⎛ ∂2w ∂2w ⎞ = ⋅⎜ 2 + 2 ⎟ . ∂α ∂β 4 ⎝ ∂ξ ∂η ⎠

(19)

Înlocuind (19) în (18), deducem că forma canonică a ecuaţiei (1) în cazul eliptic este ∂2w ∂2w ⎛ ∂w ∂w ⎞ + 2 + D ⎜ ξ ,η , w, , ⎟=0. 2 ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ⎠ ⎝

(20)

Exemplul 5.1.3.1. Să se reducă la forma canonică următoarea ecuaţie cu derivate parţiale ∂2u ∂2u ∂ 2 u ∂u ∂u + 4 ⋅ + 5 ⋅ + + 2⋅ = 0. 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

127


Observăm că B 2 − A ⋅ C = −1 , deci ecuaţia este de tip eliptic. Din ecuaţia caracteristicilor rezultă y ′( x ) = 2 + i , care prin integrare conduce la y ( x ) = (2 + i) x + C . Facem schimbarea de variabile ⎧ξ = 2 x − y . ⎨ ⎩η = x Atunci ∂u ∂w ∂w =2 + , ∂x ∂ξ ∂η

∂u ∂w =− , ∂y ∂ξ

∂ 2u ∂2w ∂2w ∂2w 4 4 = + + , ∂x 2 ∂ξ 2 ∂ξ ∂η ∂η 2

∂ 2u ∂2w ∂2w = −2 2 − , ∂x∂y ∂ξ ∂ξ ∂η

∂ 2u ∂ 2 w = . ∂y 2 ∂ξ 2

Înlocuind în ecuaţia cu derivate parţială dată, rezultă că forma canonică a acestei ecuaţii este

∂ 2 w ∂ 2 w ∂w + + = 0. ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η

5.2. Ecuaţia coardei vibrante Ecuaţia coardei vibrante este o ecuaţie de tip hiperbolic, reprezentativă pentru această clasă de ecuaţii. În teoria elasticităţii prin coardă se înţelege un fir flexibil tensionat. Vom considera vibraţiile (oscilaţiile) mici transversale ale coardei în planul xOu , în jurul poziţiei de echilibru, care coincide cu axa Ox . În figura 1 este reprezentat graficul coardei la momentul t. u

T(x,t) M ϕ

O

x

T(x+Δx,t) N ϕ + Δϕ

x+Δx

Fig. 1

x

128


Vom nota cu u ( x, t ) abaterea relativă a unui punct al coardei faţă de poziţia de JG echilibru în punctul x la momentul t . Datorită flexibilităţii, tensiunea T ( x, t ) în punctul x la momentul t are aceeaşi direcţie cu tangenta la coardă în punctul x . Deoarece vibraţiile sunt mici, conform legii lui Hooke, putem presupune că mărimea tensiunii va rămâne constantă, JG independentă de t şi x , deci T ( x, t ) = T . Să considerăm acum un element al coardei, corespunzător intervalului [ x, x + Δx] . Fie M = u ( x, t ) , N = u ( x + Δx, t ) . De asemenea, fie F ( x, t ) ⋅ Δx proiecţia pe axa Ox a forţei externe care acţionează la momentul t asupra

intervalului [ x, x + Δx] . Dacă ρ ( x ) este densitatea liniară de masă, masa elementului MN al coardei este ρ ( x ) ⋅ Δx . Vom presupune coarda omogenă, adică densitatea este constantă, deci

ρ ( x ) = ρ = const. . Să notăm cu ϕ şi ϕ + Δϕ unghiurile făcute de tangentele la coardă în punctele M respectiv N , cu axa Ox . Deoarece vibraţiile sunt presupuse „mici”, rezultă că

ϕ este „mic”, deci putem aproxima sin ϕ tgϕ =

∂u ( x, t ) . ∂x

(1)

Asupra intervalului [ x, x + Δx] acţionează o forţă datorită tensiunii şi forţa externă. Conform legii a doua a lui Newton, suma acestor forţe este egală cu produsul dintre masă şi acceleraţie. Proiecţia acestei relaţii vectoriale pe axa Ou este ∂ 2u T ⋅ sin(ϕ + Δϕ ) − T ⋅ sin ϕ + F ( x, t ) ⋅ Δx = ρ ⋅ Δx ⋅ 2 ( x, t ) . ∂t

(2)

Ţinând seama de (1), rezultă că

T ⋅ sin(ϕ + Δϕ ) − T ⋅ sin ϕ T ⋅ ( tg (ϕ + Δϕ ) − tgϕ ) = ∂u ∂ 2u ⎛ ∂u ⎞ = T ⋅ ⎜ ( x + Δx, t ) − ( x, t ) ⎟ T ⋅ 2 ( x, t ) ⋅ Δx . ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠

(3)

Înlocuind (3) în (2) şi simplificând cu Δx , deducem

ρ⋅

∂ 2u ∂ 2u = T ⋅ + F ( x, t ) . ∂t 2 ∂x 2

(4)

Aceasta este ecuaţia micilor vibraţii transversale ale coardei. Dacă F = 0 , vibraţiile sunt libere, iar în cazul F ≠ 0 vibraţiile sunt forţate. Notând a 2 =

T

ρ

şi f ( x, t ) =

F ( x, t )

ρ

, ecuaţia (4) se mai poate scrie sub forma

5. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea 2 ∂ 2u 2 ∂ u = a ⋅ 2 + f ( x, t ) . ∂t 2 ∂x

129 (5)

Ecuaţia (5) se întâlneşte şi în probleme de propagarea undelor (acustice, optice, electromagnetice) când constanta a 2 are alte semnificaţii fizice. De aceea, ecuaţia (5) se mai numeşte şi ecuaţia unidimensională a undelor. 5.2.1. Ecuaţia coardei vibrante infinite libere Prin coardă infinită se înţelege o coardă foarte lungă astfel încât vibraţiile la capete nu influenţează sau influenţează puţin comportarea punctelor dintr-o porţiune a coardei depărtată de extremităţi. În absenţa unor forţe exterioare coardei, funcţia ( x, t ) 6 u ( x, t ) verifică ecuaţia 2 ∂ 2u 2 ∂ u = a ⋅ , ∂t 2 ∂x 2

(1)

cu condiţiile iniţiale ⎧ u ( x, 0) = f ( x) ⎪ , ∀x ∈ \ . ⎨ ∂u = ( , 0) ( ) x g x ⎪⎩ ∂t

(2)

Condiţiile iniţiale (2) indică starea în care se află coarda la momentul iniţial, precum şi viteza fiecărui punct al coardei la acelaşi moment. Vom presupune că funcţia f este de clasă C (2) , iar funcţia g este de clasă C (1) pe \ .

Se pune problema determinării funcţiei u : \ × [0, ∞ ) → \ , care verifică ecuaţia (1) şi condiţiile iniţiale (2). O astfel de problemă se numeşte problemă Cauchy sau problemă cu condiţii iniţiale. Vom aduce mai întâi ecuaţia (1) la forma canonică. Ecuaţia diferenţială a curbelor caracteristice este 2

⎛ dx ⎞ 2 ⎜ ⎟ −a =0, d t ⎝ ⎠

care conduce la ecuaţiile diferenţiale dx =a, dt

dx = −a . dt

Soluţiile generale ale acestor ecuaţii sunt, respectiv,

x − at = C1 ,

x + at = C2 .

130


Facem schimbarea de variabile ⎧ξ = x − at . ⎨ ⎩η = x + at Obţinem: ∂u ∂v ∂v = −a ⋅ + a⋅ , ∂t ∂ξ ∂η ∂u ∂v ∂v = + , ∂x ∂ξ ∂η 2 2 ∂ 2u ∂ 2v 2 ∂ v 2 2 ∂ v = a ⋅ 2 − 2a ⋅ +a ⋅ 2 , ∂t 2 ∂ξ ∂ξ ∂η ∂η

∂ 2u ∂ 2 v ∂ 2v ∂ 2v 2 = + + . ∂x 2 ∂ξ 2 ∂ξ ∂η ∂η 2 Înlocuind în ecuaţia (1), rezultă forma canonică a acestei ecuaţii:

∂ 2v = 0, ∂ξ ∂η care se mai scrie sub forma ∂ ⎛ ∂v ⎞ ⎜ ⎟=0. ∂ξ ⎝ ∂η ⎠ Integrând de două ori, obţinem succesiv ∂v = ψ (η ) , ∂η v (ξ ,η ) = Φ (ξ ) + Ψ (η ) ,

unde Φ şi Ψ sunt funcţii arbitrare de o variabilă, de clasă C (2) . Soluţia generală a ecuaţiei (1) este u ( x, t ) = Φ ( x − at ) + Ψ ( x + at ) .

(3)

Funcţiile u1 ( x, t ) = Φ( x − at ) şi u2 ( x, t ) = Ψ ( x + at ) reprezintă mişcări ale coardei, care pot fi descrise ca unde care se deplasează spre stânga şi respectiv spre dreapta cu viteza

a. Soluţia generală a ecuaţiei (1) este superpoziţia acestor unde. Ecuaţia (1) nu determină mişcarea coardei în mod univoc. Din acest motiv am adăugat condiţiile iniţiale. Aşadar, vom determina funcţiile Φ şi Ψ astfel încât funcţia u să verifice condiţiile iniţiale (2). Deoarece

131


u ( x, 0) = Φ ( x ) + Ψ ( x)

∂u ( x, 0) = − a ⋅ Φ′( x) + a ⋅ Ψ ′( x) , ∂t

din (2) rezultă că Φ ( x) + Ψ ( x) = f ( x) ⎧ . ⎨ ⎩ − a ⋅ Φ′( x) + a ⋅ Ψ ′( x) = g ( x) Dacă x0 ∈ \ este un punct arbitrar fixat, din a doua egalitate rezultă: x

1 Φ ( x) − Ψ ( x) = − ⋅ ∫ g ( z )dz + C . a x0 Se obţine astfel sistemul: ⎧Φ ( x ) + Ψ ( x ) = f ( x ) ⎪ x 1 ⎨ ( ) ( ) Φ x − Ψ x = − ⋅ ∫ g ( z )dz + C ⎪ a x 0 ⎩

,

a cărui soluţie este x

Φ( x) =

1 1 C ⋅ f ( x) − ⋅ ∫ g ( z )dz + , 2 2 2a x0

Ψ ( x) =

1 1 C ⋅ f ( x) + ⋅ ∫ g ( z )dz − . 2 2a x0 2

x

Prin urmare u ( x, t ) = Φ ( x − at ) + Ψ ( x + at ) = 1 1 + ⋅ f ( x + at ) + ⋅ 2 2a

1 1 ⋅ f ( x − at ) − ⋅ 2 2a

x − at

∫

g ( z )dz +

x0

x + at

∫

g ( z ) dz .

x0

Aşadar, soluţia ecuaţiei (1) cu condiţiile iniţiale (2) este: x + at

1 1 u ( x, t ) = ⋅ [ f ( x − at ) + f ( x + at )] + ⋅ ∫ g ( z )dz . 2 2a x − at

(4)

Formula (4) care rezolvă problema (1)-(2) se numeşte formula lui D′Alembert, iar metoda folosită se numeşte metoda schimbării variabilelor. Observaţia 5.2.1. Să considerăm cazul particular al coardei nelimitată în ambele sensuri, satisfăcând condiţiile iniţiale:

132


u ( x, 0) = f ( x) , ∀x ∈ \ ,

unde f ( x ) ≠ 0 , dacă x ∈ [α , β ] , f ( x ) = 0 , dacă x ∉ [α , β ] (fig. 2) şi ∂u ( x, 0) = 0 , ∀x ∈ \ . ∂t

Presupunem că funcţia f este derivabilă de două ori pe \ . Procedând ca mai sus, soluţia problemei este u ( x, t ) =

1 ⋅ [ f ( x − at ) + f ( x + at )] . 2

Această formulă se poate interpreta în modul următor. La un moment t , graficele funcţiilor f ( x − at ) şi f ( x + at ) se obţin din graficul funcţiei f prin translaţii în direcţia axei Ox , prima în sensul axei Ox , a doua în sens opus. f ( x)

u ( x, t )

α − at

α

O

β

f ( x − at ) ≠ 0 ,

α + at

β + at

x

x

Fig. 3

Fig. 2 Aşadar,

β − at O

dacă

α + at ≤ x ≤ β + at

şi

f ( x + at ) ≠ 0 ,

dacă

α − at ≤ x ≤ β − at , deci graficul funcţiei u ( x, t ) este cel din fig. 3. Să presupunem că un observator este plasat la momentul t = 0 în punctul x0 şi se deplasează pe axa Ox în sensul pozitiv cu viteza a , adică abscisa lui la momentul t va fi x = x0 + at sau x − at = x0 . Pentru acest observator contribuţia termenului f ( x − at ) în deplasarea u a coardei rămâne mereu aceeaşi şi anume egală cu f ( x0 ) ; avem deci o propagare a deplasării, care se numeşte propagarea undei directe. În acelaşi mod se arată că termenul f ( x + at ) corespunde unei propagări în sensul opus pe Ox , cu aceeaşi viteză a , care corespunde undei inverse. Prin urmare, vibraţiile transversale ale coardei apar ca rezultante ale unor propagări de unde, una directă şi una inversă cu aceeaşi viteză a .


133

5.2.2. Coarda vibrantă liberă cu capete fixe Problema matematică la care conduce studiul vibraţiilor libere ale unei coarde finite, de lungime l , cu capete fixe, se poate formula în modul următor. Să se determine soluţia ecuaţiei cu derivate parţiale 2 ∂ 2u 2 ∂ u =a ⋅ 2 ∂t 2 ∂x

(1)

cu condiţiile la limită u (0, t ) = u (l , t ) = 0 , ∀t ∈ [0, ∞ )

(2)

şi condiţiile iniţiale u ( x, 0) = f ( x) ,

∂u ( x, 0) = g ( x) , ∀x ∈ [0, l ] . ∂t

(3)

Conform condiţiilor la limită (2), capetele coardei sunt fixe. Condiţiile iniţiale (3) indică starea în care se află coarda la momentul iniţial de timp, precum şi viteza fiecărui punct al coardei la acelaşi moment. Funcţiile f şi g sunt date şi sunt presupuse nenule şi de clasă C (1) pe [0, l ] . Din (2) şi (3) rezultă că funcţiile f şi g trebuie să satisfacă egalităţile

f (0) = f (l ) = 0 , g (0) = g (l ) = 0 .

Pentru rezolvarea problemei enunţate vom folosi metoda separării variabilelor a lui Fourier. Această metodă este însoţită de principiul suprapunerii efectelor. Pentru început căutăm soluţii ale ecuaţiei (1) de forma u ( x , t ) = X ( x ) ⋅ T (t ) .

(4)

Ţinând seama de (2), rezultă: ⎧ X (0) ⋅ T (t ) = 0 , ⎨ ⎩ X (l ) ⋅ T (t ) = 0 pentru orice t > 0 . Atunci X (0) = X (l ) = 0 ,

(5)

deoarece în caz contrar ar rezulta T (t ) = 0 , pentru orice t > 0 , deci u ( x, t ) ≡ 0 , ceea ce contravine condiţiilor iniţiale. Punând condiţia ca funcţia u dată de (4) să verifice ecuaţia (1), obţinem X ( x) ⋅ T ′′(t ) = a 2 ⋅ X ′′( x) ⋅ T (t ) , ∀x ∈ [0, l ] , ∀t ∈ [0, ∞ ) .

134


sau X ′′( x) 1 T ′′(t ) = ⋅ , ∀x ∈ [0, l ] , ∀t ∈ [0, ∞ ) . X ( x) a 2 T (t ) O funcţie de t coincide cu o funcţie de x numai dacă ambele sunt egale cu o aceeaşi constantă reală, pe care o vom nota cu λ . Aşadar X ′′( x) 1 T ′′(t ) = ⋅ =λ. X ( x) a 2 T (t ) Obţinem astfel două ecuaţii diferenţiale: X ′′( x ) − λ ⋅ X ( x ) = 0 ,

(6)

T ′′(t ) − λ a 2 ⋅ T (t ) = 0 .

(7)

Vom arăta că ecuaţia (6) are soluţii nenule numai dacă λ < 0 . Într-adevăr, ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale (6) este r 2 − λ = 0 . Dacă λ > 0 , această ecuaţie are rădăcinile r1 = λ şi r2 = − λ , deci soluţia generală a ecuaţiei (6) va fi

X ( x) = C1 ⋅ e x

λ

+ C2 ⋅ e− x

λ

.

Condiţiile (5) conduc la C1 = C2 = 0 , deci X ( x) = 0 , ∀x ∈ (0, l ) . În consecinţă, u ( x, t ) = 0 , o astfel de soluţie neavând sens fizic. Dacă λ = 0 , atunci X ( x) = C1 ⋅ x + C2 . Din

nou, folosind condiţiile (5) rezultă că u ( x, t ) = 0 , soluţie neacceptabilă. Prin urmare, rezultă că λ < 0 . Fie λ = − μ 2 , μ > 0 . Soluţia generală a ecuaţiei (6) va fi

X ( x) = C1 ⋅ cos μ x + C2 ⋅ sin μ x .

(8)

Din (5) obţinem C1 = X (0) = 0 şi C2 ⋅ sin μl = X (l ) = 0 . Cum C2 ≠ 0 , pentru că altfel am ajunge din nou la soluţia nulă, deducem că sin μ l = 0 , deci μ l = nπ , n ∈ `* . În final, rezultă că ecuaţia (6) are o infinitate de soluţii X n ( x) = Cn ⋅ sin

Înlocuind μ =

nπ x , n ∈ `* . l

nπ în ecuaţia (7), obţinem soluţia generală: l

Tn (t ) = Dn ⋅ cos n

πa l

+ En ⋅ sin n

unde Dn şi Fn sunt constante arbitrare.

πa l

, n ∈ `* ,

135


În sfârşit, dacă notăm An = Cn ⋅ Dn , Bn = Cn ⋅ En , obţinem soluţia ecuaţiei (1) cu condiţiile la limită (2) :

πa πa ⎞ π ⎛ un ( x, t ) = X n ( x) ⋅ Tn (t ) = ⎜ An ⋅ cos n t + Bn ⋅ sin n t ⎟ ⋅ sin n x , n ∈ `* . l l ⎠ l ⎝ Aplicăm principiul suprapunerii efectelor care afirmă că, dacă seria

∞

∑ u ( x, t ) n

este

n =1

∞

convergentă, atunci suma sa u ( x, t ) = ∑ un ( x, t ) este, de asemenea, soluţie pentru problema n =1

(1)-(2). Vom presupune, în plus, că această serie este şi derivabilă termen cu termen de două ori în raport cu x respectiv t . Conform principiului suprapunerii efectelor, rezultă că funcţia ∞ πa πa ⎞ π ⎛ u ( x, t ) = ∑ ⎜ An ⋅ cos n t + Bn ⋅ sin n t ⎟ ⋅ sin n x l l ⎠ l n =1 ⎝

(9)

satisface ecuaţia (1) şi condiţiile la limită (2). Rămâne să determinăm constantele An şi Bn din condiţiile iniţiale (3). Din aceste condiţii rezultă că ∞

f ( x) = u ( x, 0) = ∑ An ⋅ sin n n =1

π l

x.

Prelungind prin imparitate funcţia f :[0, l ] → \ pe intervalul [−l , 0] şi dezvoltând această prelungire în serie de sinuşi, obţinem l

2 π An = ⋅ ∫ f ( x)sin n x dx , n ∈ `* . l 0 l Pe de altă parte ∂u πa ∞ ⎛ πa πa ⎞ π ⋅ ∑ n ⎜ − An ⋅ sin n ( x, t ) = t + Bn ⋅ cos n t ⎟ ⋅ sin n x , ∂t l n =1 ⎝ l l ⎠ l

deci, folosind (3), rezultă că g ( x) =

∂u πa ∞ π ⋅ ∑ nBn ⋅ sin n x . ( x, 0) = ∂t l n =1 l

Procedând ca şi în cazul funcţiei f , găsim

πa

l

2 π ⋅ Bn = ⋅ ∫ g ( x)sin n x dx , n ∈ `* , n l l 0 l deci

(10)

136


Bn =

l

2 nπ a

⋅ ∫ g ( x)sin n 0

π l

Se poate arăta că, dacă f , g ∈C

x dx , n ∈ `* . (2)

(11)

, atunci seria (13) în care coeficienţii An şi Bn au

expresiile (10) şi (11), este uniform convergentă pe [0, l ] , deci derivabilă termen cu termen pe acest interval. Aşadar, soluţia problemei (1)-(3) este furnizată de (9), unde An şi Bn daţi de (10) respectiv (11). Mai mult se poate demonstra unicitatea soluţiei. Observaţia 5.2.2. Fiecare termen al seriei (9), adică funcţia

πa πa ⎞ π ⎛ un ( x, t ) = ⎜ An ⋅ cos n t + Bn ⋅ sin n t ⎟ ⋅ sin n x , n ∈ `* , l l ⎠ l ⎝ descrie una din mişcările simple posibile ale coardei fixate în punctele 0 şi l , numite oscilaţii proprii ale coardei. Fie ωn = n

πa l

. Oscilaţia unui punct al coardei în mişcarea descrisă de un

are perioada principală Tn =

2π

ωn

=

2l , na

deci este independentă de x , fiind aceeaşi pentru toate punctele coardei. Amplitudinea acestei oscilaţii este An2 + Bn2 ⋅ sin n

π l

x

şi este variabilă, depinzând de x . Amplitudinea maximă se realizează când sin n Astfel de puncte există. De exemplu, dacă n = 1 , x = etc. Amplitudinea maximă

π l

x = ±1 .

l l 3l l ; dacă n = 2 , x = , , 4 2 4 2

An2 + Bn2 se numeşte amplitudinea vibraţiei coardei. Înălţimea

sunetului este cu atât mai mare cu cât perioada este mai mică, iar intensitatea sunetului este direct proporţională cu amplitudinea. Fiecare vibraţie a coardei corespunde unui ton simplu. Sunetul emis de o coardă vibrantă este o suprapunere de tonuri simple. Tonul fundamental este tonul de intensitate maximă, deci cel care are amplitudinea maximă şi acesta este tonul care corespunde soluţiei u1 ( x, t ) . Celelalte tonuri de intensitate mai mică şi de înălţime mai mare se suprapun peste tonul fundamental creând ceea ce numim timbrul sunetului.

137


Exemplul 5.2.2.1. Să se determine soluţia ecuaţiei 2 ∂ 2u 2 ∂ u a = ⋅ ∂t 2 ∂x 2


şi condiţiile iniţiale u ( x, 0) = hx (l − x ) ,

∂u ( x, 0) = 0 , ∀x ∈ [0, l ] . ∂t

Ţinând seama de (13), soluţia problemei este ∞ πa πa ⎞ π ⎛ u ( x, t ) = ∑ ⎜ An ⋅ cos n t + Bn ⋅ sin n t ⎟ ⋅ sin n x . l l ⎠ l n =1 ⎝

În acest caz, în condiţia (3) avem g ( x ) = 0 , deci Bn = 0 , ∀n ∈ ` * . Atunci ∞

u ( x, t ) = ∑ An ⋅ cos n

πa l

n =1

t ⋅ sin n

π l

x,

deci ∞

hx(l − x) = u ( x, 0) = ∑ An ⋅ sin n n =1

π l

x.

În consecinţă, l

2 π An = ⋅ ∫ hx(l − x)sin n x dx . l 0 l Obţinem A2 m = 0 , ∀m ∈ ` *

A2 m +1 =

8l 2 h , ∀m ∈ ` . π 3 (2m + 1)3

Aşadar, soluţia ecuaţiei este

u ( x, t ) =

8l 2 h

π

3

1 πa π ⋅ cos(2m + 1) t ⋅ sin(2m + 1) x . 3 l l m = 0 (2m + 1) ∞

⋅∑

5.2.3. Ecuaţia neomogenă a coardei vibrante

138


Această ecuaţie descrie micile vibraţii forţate (întreţinute). 2 ∂ 2u 2 ∂ u = a ⋅ + F ( x, t ) ∂t 2 ∂x 2

(1)


(2)

şi condiţiile iniţiale u ( x, 0) = f ( x) ,

∂u ( x, 0) = g ( x) , ∀x ∈ [0, l ] . ∂t

(3)

Căutăm o soluţie a ecuaţiei (1) de forma u ( x , t ) = v ( x , t ) + w( x , t ) ,

(4)

unde funcţia v satisface ecuaţia cu derivate parţiale omogenă 2 ∂ 2v 2 ∂ v =a ⋅ 2 , ∂t 2 ∂x

(5)

cu condiţiile la limită v (0, t ) = v(l , t ) = 0 , ∀t ∈ [0, ∞ )

(6)

şi condiţiile iniţiale v ( x, 0) = f ( x ) ,

∂v ( x, 0) = g ( x) , ∀x ∈ [0, l ] , ∂t

(7)

iar funcţia w satisface ecuaţia cu derivate parţiale 2 ∂2w 2 ∂ w = a ⋅ + F ( x, t ) ∂t 2 ∂x 2

(8)

cu condiţiile la limită w(0, t ) = w(l , t ) = 0 , ∀t ∈ [0, ∞ )

(9)

şi condiţiile iniţiale w( x, 0) = 0 ,

∂w ( x, 0) = 0 , ∀x ∈ [0, l ] . ∂t

(10)

Determinarea soluţiei problemei (1)-(3) se reduce la determinarea funcţiilor v şi w , satisfăcând (5)-(7) respectiv (8)-(10). Într-adevăr 2 2 ∂ 2u ∂ 2 (v + w) ∂ 2 v ∂ 2 w 2 ∂ v 2 ∂ w = = + = a + a + F ( x, t ) = ∂t 2 ∂t 2 ∂t 2 ∂t 2 ∂x 2 ∂x 2

= a2

2 ∂ 2 (v + w) 2 ∂ u + F ( x , t ) = a + F ( x, t ) ∂t 2 ∂x 2


139

şi u (0, t ) = v (0, t ) + w(0, t ) = 0 , u (l , t ) = v (l , t ) + w(l , t ) = 0 , u ( x, 0) = v ( x, 0) + w( x, 0) = f ( x)

∂u ∂v ∂w ( x, 0) = ( x, 0) + ( x, 0) = g ( x ) . ∂t ∂t ∂t

Din secţiunea 5.2.2, avem ∞ πa πa ⎞ π ⎛ v( x, t ) = ∑ ⎜ An ⋅ cos n t + Bn ⋅ sin n t ⎟ ⋅ sin n x , l l ⎠ l n =1 ⎝

(11)

unde l

2 π An = ⋅ ∫ f ( x)sin n x dx , n ∈ `* . l 0 l Bn =

l

2 nπ a

⋅ ∫ g ( x)sin n

π

0

x dx , n ∈ `* .

l

(12)

(13)

Pentru a rezolva problema (8)-(10), căutăm soluţii de forma ∞

w( x, t ) = ∑ Tn (t ) ⋅ sin n

π

n =1

x.

l

(14)

Observăm că w dat de (14) satisface condiţiile la limită (9). Punem condiţia ca w dat de (14) să satisfacă ecuaţia (8). Obţinem ∞

∑ Tn′′(t ) ⋅ sin n n =1

⎛ n 2π 2 ⎞ π x = a ∑ Tn (t ) ⋅ ⎜ − 2 ⎟ sin n x + F ( x, t ) , l l n =1 ⎝ l ⎠

π

2

∞

care se mai scrie 2 2 ⎡ ⎤ π 2 n π ′′ ( ) T t a Tn (t ) ⎥ ⋅ sin n x = F ( x, t ) . + ∑ ⎢ n 2 l l n =1 ⎣ ⎦ ∞

(15)

Presupunem că funcţia F ( x, t ) se poate dezvolta în serie Fourier de sinuşi pe intervalul [0, l ] , deci că ∞

F ( x, t ) = ∑ ϕ n (t ) ⋅ sin n

π

n =1

l

x,

(16)

x dx , n ∈ ` * .

(17)

unde

2 l

l

ϕn (t ) = ⋅ ∫ F ( x, t )sin n 0

π l

140


Din (15), (16) şi (17), rezultă că funcţiile Tn trebuie să satisfacă ecuaţiile diferenţiale Tn′′(t ) + a 2

n 2π 2 Tn (t ) = ϕ n (t ) , ∀n ∈ ` * . 2 l

(18)

Pe de altă parte, din condiţia w( x, 0) = 0 , obţinem că

π

∞

∑ T (0) sin n l n

x=0,

n =1

relaţie care implică Tn (0) = 0 , ∀n ∈ ` * . Pe de altă parte, din condiţia

π l

∞

⋅ ∑ n Tn′(0) ⋅ cos n n =1

(19) ∂w ( x, 0) = 0 rezultă că ∂t

π l

x=0,

deci Tn′(0) = 0 , ∀n ∈ ` * .

(20)

Prin urmare, funcţiile Tn se obţin în mod unic ca soluţii ale ecuaţiilor diferenţiale cu coeficienţi constanţi (18), cu condiţiile iniţiale (19) şi (20). Cu funcţiile Tn astfel determinate, se obţine soluţia w dată de (14). Exemplul 5.2.3.1. În cazul particular F ( x, t ) = A sin ωt , ecuaţia (8) devine 2 ∂ 2u 2 ∂ u = a ⋅ + A sin ωt . ∂t 2 ∂x 2

Conform (17): l

2 π ϕn (t ) = ∫ A sin ωt ⋅ sin n x dx = l 0 l 2 A sin ωt ⎛ l = ⋅⎜ − l ⎝ nπ

l

π 2A ⎞ ⋅ [1 − (−1) n ] ⋅ sin ωt . ⎟ cos n x = l n π ⎠ o

Prin urmare

⎧ 0, dacă n = 2k , k ∈ `* ⎪ ϕn (t ) = ⎨ 4 A sin ωt . ⎪ (2k + 1)π , dacă n = 2k + 1, k ∈ ` ⎩ Fie k ∈ `* . Ţinând seama de (18) vom avea


T2′′k (t ) +

4a 2π 2 2 ⋅ k ⋅ T2 k (t ) = 0 , dacă n = 2k . l2

141

(21)

Ecuaţia caracteristică este 4a 2π 2 2 r + 2 ⋅k = 0 . l 2

În consecinţă, soluţia ecuaţiei diferenţiale (21) este T2 k (t ) = α 2 k cos k

2π a 2π a t + β 2 k sin k t , k ∈ `* . l l

Din (19) rezultă că α 2 k = 0 , ∀k ∈ ` * . Atunci T2 k (t ) = β 2 k sin k

2π t , ∀k ∈ ` * . l

Ţinând seama de (20) rezultă că β 2 k = 0 , ∀k ∈ ` * . Atunci T2 k (t ) = 0 , ∀k ∈ ` * . Dacă n = 2k +1 , ecuaţiile (33) devin

T2′′k +1 (t ) + (2k + 1)2

a 2π 2 4A T2 k +1 (t ) = sin ωt , ∀k ∈ ` . 2 l (2k + 1)π

(22)

Soluţia ecuaţiei (22) va fi de forma T2 k +1 (t ) = TGO (t ) + TP (t ) , unde TGO este soluţia generală a ecuaţiei omogene corespunzătoare ecuaţiei (22), adică T2′′k +1 (t ) + (2k + 1) 2

a 2π 2 T2 k +1 (t ) = 0 , l2

iar TP este o soluţie particulară a ecuaţiei (22). Este clar că TGO (t ) = γ 2 k +1 ⋅ cos(2k + 1)

aπ aπ t + δ 2 k +1 ⋅ sin(2k + 1) t. l l

Căutăm soluţia particulară a ecuaţiei neomogene de forma

TP (t ) = λ ⋅ sin ωt + μ cos ωt . Derivând de două ori şi introducând în (22), ajungem la 2 2 2 2 ⎛ ⎛ ⎞ 4A 2 a π 2⎞ 2 a π − ω ⎟ ⋅ λ ⋅ sin ωt + ⎜ (2k + 1) − ω 2 ⎟ ⋅ μ ⋅ cos ωt = sin ωt , ⎜ (2k + 1) 2 2 l l (2k + 1)π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

de unde obţinem

142


⎛ 2 (2k + 1) 2 π 2 ⎞ 4A −ω2 ⎟ ⋅λ = , ⎜a 2 l (2k + 1)π ⎝ ⎠ ⎛ 2 (2k + 1) 2 π 2 ⎞ −ω2 ⎟ ⋅ μ = 0 , ⎜a 2 l ⎝ ⎠ deci

μ =0 şi

λ=

4A ⎛ ⎞ a 2π 2 (2k + 1)π ⎜ (2k + 1) 2 2 − ω 2 ⎟ l ⎝ ⎠

.

În consecinţă,

TP (t ) =

4A ⎛ ⎞ a 2π 2 (2k + 1)π ⎜ (2k + 1) 2 2 − ω 2 ⎟ l ⎝ ⎠

sin ωt ,

deci T2 k +1 (t ) = γ 2 k +1 ⋅ cos(2k + 1) +

aπ aπ t + δ 2 k +1 ⋅ sin(2k + 1) t+ l l

4A ⎛ ⎞ a 2π 2 (2k + 1)π ⎜ (2k + 1) 2 2 − ω 2 ⎟ l ⎝ ⎠

sin ωt , ∀k ∈ ` .

Din (18) rezultă că

γ 2 k +1 = 0 , ∀k ∈ ` , iar din (19) rezultă că

δ 2 k +1 ⋅ (2k + 1)

aπ t+ l

4 Aω ⎛ ⎞ a 2π 2 (2k + 1)π ⎜ (2k + 1) 2 2 − ω 2 ⎟ l ⎝ ⎠

=0,


143

deci

δ 2 k +1 = −

4 Aωl

.

2 2 ⎛ ⎞ 2 a π a (2k + 1) π ⎜ (2k + 1) −ω2 ⎟ 2 l ⎝ ⎠ 2

2

Conform (14) soluţia problemei considerate va fi

w( x, t ) =

+

−4 Aωl ∞ ⋅∑ aπ 2 k =0 4 A sin ωt

π

1 ⎛ ⎞ a 2π 2 (2k + 1) 2 ⎜ (2k + 1) 2 2 − ω 2 ⎟ l ⎝ ⎠ ∞

⋅∑ k =0

⋅ sin(2k + 1)

1 ⎛ ⎞ a 2π 2 (2k + 1) ⎜ (2k + 1) 2 2 − ω 2 ⎟ l ⎝ ⎠

aπ π t ⋅ sin(2k + 1) x + l l

⋅ sin(2k + 1)

π l

x.

5.3. Ecuaţia propagării căldurii Ecuaţia propagării căldurii este o ecuaţie de tip parabolic. Deşi este o ecuaţie relativ simplă, este întâlnită şi în studiul altor fenomene. În planul xOu , considerăm o bară rectilinie, omogenă şi izotropă, conducătoare de căldură, situată pe axa Ox . Notăm cu u ( x, t ) temperatura într-un punct M ( x, 0) al barei la momentul t . Fie ρ densitatea barei, c căldura specifică a barei, k coeficientul de conducţie termică. În virtutea ipotezelor fizice, aceste mărimi sunt constante, nu depind de x . Fie, de asemenea, F ( x, t ) intensitatea sursei termice în punctul M la momentul t . Calculând bilanţul termic corespunzător în intervalul de timp [t , t + Δt ] şi ţinând seama de legea lui Fourier, se poate arăta că funcţia u satisface ecuaţia k⋅

∂ 2u ∂u + F − cρ ⋅ = 0, 2 ∂x ∂t

care se mai poate scrie sub forma ∂u ∂ 2u = a 2 ⋅ 2 + f ( x, t ) , ∂t ∂x unde a =

k > 0 şi cρ

f ( x, t ) =

F ( x, t ) . Cazul cρ

f ( x, t ) = 0 indică lipsa surselor, ecuaţia

corespunzătoare fiind stabilită de Fourier în 1822. Ca şi în cazul ecuaţiei undelor, pentru

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII

144

descrierea completă a procesului de propagare a căldurii trebuie să fie date distribuţia iniţială a temperaturii în bară (condiţia iniţială) şi regimul termic la capetele barei (condiţii la limită). 5.3.1. Propagarea căldurii într-o bară infinită Considerăm o bară infinită omogenă, izolată termic, identificată cu axa Ox , care are la momentul iniţial t = 0 temperatura ϕ ( x ) . Fie u ( x, t ) temperatura barei în punctul de abscisă x la momentul t > 0 . Problema matematică constă în determinarea funcţiei u care satisface ecuaţia ∂u ∂ 2u = a2 ⋅ 2 , ∂t ∂x

(1)

cu condiţia iniţială u ( x, 0) = ϕ ( x ) , ∀x ∈ \ .

(2)

Problema (1), (2) se numeşte problema lui Cauchy pentru ecuaţia căldurii. Vom admite că ∂u ( x, t ) = 0 . x →∞ ∂x

lim u ( x, t ) = 0 , lim x →∞

(3)

Aceste ipoteze nu contravin fenomenului fizic. Pentru rezolvarea problemei de mai sus vom folosi transformata Fourier. Presupunem că funcţiile u şi ϕ sunt suficient de netede pentru a admite transformată Fourier. Fie v(ω , t ) transformata Fourier a funcţiei u = u ( x, t ) şi Φ (ω ) transformata Fourier a funcţiei ϕ = ϕ ( x ) , deci ∞

1 ⋅ ∫ u ( x , t ) e − iω x dx , 2π −∞

v(ω , t ) = Φ (ω ) =

∞

1 ⋅ ∫ ϕ ( x ) e − iω x dx . 2π −∞

Folosind formula de derivare a integralei cu parametri, rezultă ∂v (ω , t ) = ∂t

1 2π

∞

∂u ( x, t )e − iω x dx . ∂t −∞

∫

Pe de altă parte, integrând de două ori prin părţi şi folosind (3), obţinem succesiv


145

∞ ∞ ⎛ e− iω x ⎞ 1 ∂u − iω x ⎜ ⎟= u ( x, t ) + ( x , t ) e d x ∫−∞ ∂x ⎜ -iω ⎟ i ω −∞ ⎝ ⎠

1 v(ω , t ) = 2π

∞ ∞ ⎞ 1 1 ⎛ e− iω x ∂u 1 ∂ 2u − iω x ⎜ ⎟= ( , ) d x t e x = ⋅ ( x, t ) + ∫−∞ ∂x 2 ⎟ i ω 2π iω ⎜⎝ -iω ∂x −∞ ⎠ ∞

1 1 ∂ 2u ( x , t ) e − iω x dx . 2 ∫ 2 2π (−ω ) −∞ ∂x

=

Aşadar, avem relaţiile ∞

1 2π

∂ 2u − iω x 2 ∫−∞ ∂x 2 ( x, t )e dx = −ω ⋅ v( x, t ) ,

1 2π

∞

∂u ∂v ( x , t ) e − iω x dx = ( x , t ) ∂t ∂t −∞

∫

Având în vedere că u verifică ecuaţia (1), rezultă că

1 0= 2π

∞

2 ⎛ ∂u ∂v 2 ∂ u ⎞ − iω x 2 2 ∫−∞ ⎜⎝ ∂t − a ∂x 2 ⎟⎠ e dx = ∂t + a ω ⋅ v .

Am obţinut astfel o ecuaţie diferenţială, a cărei soluţie generală este 2

2

v(ω , t ) = Ce− a ω t . Cum v(ω , 0) =

1 2π

∞

∫ ϕ ( x )e

− iω x

dx = Φ (ω ) ,

−∞

rezultă că 2

2

v(ω , t ) = Φ(ω ) ⋅ e− a ω t .

(4) 2

Pe de altă parte, am stabilit în cap. 4, §4.5, că transformata Fourier a funcţiei e −α x ,

α > 0 , este

ω2

ω2

− 2 2 2 2 1 − 4α 1 e . Notând α = 2 , rezultă că e− a ω t = e 4α , deci e − a ω t este 4a t 2α x2

1 − 4 a 2t e transformata Fourier a funcţiei f ( x, t ) = . a 2t Atunci

2

2

2π ⋅ Φ(ω ) ⋅ e− a ω t este transformata Fourier a produsului de convoluţie ∞

− 1 (ϕ * f )( x, t ) = ∫ ϕ (ξ ) ⋅ e a 2t −∞

( x −ξ )2 4 a 2t

dξ .


146 Rezultă că

1 1 u ( x, t ) = ⋅ 2π a 2t

∞

∫ ϕ (ξ ) ⋅ e

−

( x −ξ )2 4 a 2t

dξ .

−∞

În consecinţă, u ( x, t ) =

∞

1 2a π t

∫ ϕ (ξ ) ⋅ e

−

( x −ξ )2 4 a 2t

dξ ,

(5)

−∞

formulă cunoscută sub numele formula integrală Poisson. Să considerăm acum cazul ⎧1 ⎪ , dacă x − x0 < ε , ϕ ( x) = ⎨ 2ε ⎪ 0, dacă x − x0 ≥ ε ⎩

deci ϕ se anulează în afara intervalului ( x0 − ε , x0 + ε ) , iar în interiorul acestui interval temperatura are valoare constantă. Distribuţia temperaturii în bară la momentul t este dată de formula lui Poisson, care în cazul de faţă devine

u ( x, t ) =

x0 +ε

1 2a π t

∫ε

x0 −

1 − ⋅e 2ε

( x −ξ )2 4 a 2t

dξ .

Folosind formula de medie, rezultă că există ξ ∈ ( x0 − ε , x0 + ε ) astfel încât

1

1 − u ( x, t ) = e 2a π t 2ε

( x −ξ )2 4 a 2t

⋅ 2ε .

Atunci

lim u ( x, t ) = ε →0

1 2a π t

e

−

( x − x0 )2 4 a 2t

= G ( x, t , x0 ) .

Pe de altă parte, observăm că

⎧ 0, dacă x ≠ x0 lim ϕ ( x) = δ ( x) = ⎨ , ε →0 ⎩∞, dacă x = x0 unde δ este funcţia generalizată a lui Dirac. Din punct de vedere fizic, această situaţie corespunde unei surse instantanee de căldură în punctul x0 . Temperatura într-un punct oarecare al barei, la momentul t , este dată de


G ( x, t , x0 ) =

1 2a π t

e

−

147

( x − x0 )2 4 a 2t

,

În fig. 4, reprezentăm grafic funcţia G pentru câteva valori ale lui t (0 < t1 < t2 < t3 ) .

t3 t2 t1 x0

O

x

Fig. 4 Această expresie dă distribuţia temperaturii în bară, când la momentul iniţial apare în punctul x0 o sursă instantanee de căldură. Vom putea spune că formula lui Poisson dă efectul total al distribuţiei iniţiale de temperatură definită de funcţia ϕ , efect care rezultă din însumarea acţiunilor unor surse instantanee de căldură răspândite pe toată bara. Exemplul 5.3.1.1. Să presupunem acum că

⎧c, dacă x ∈ [ x1 , x2 ] . ⎩0, dacă x ∉ [ x1 , x2 ]

ϕ ( x) = ⎨

Din formula lui Poisson obţinem

u ( x, t ) =

1 2a

x2

c⋅e πt ∫

−

( x −ξ )2 4 a 2t

Făcând schimbarea de variabilă x − x2 2a t

c

u ( x, t ) =

dξ .

x1

π

∫

x −ξ = μ , rezultă că 2a t

2

e − μ dμ .

(6)

x − x1 2a t

Această soluţie se poate exprima cu ajutorul funcţiei lui Laplace. Reamintim că funcţia lui Laplace se defineşte astfel

L( x) =

2

π

x

⋅ ∫ e− t dt , x ∈ \ . 0

2


148

Se verifică imediat că funcţia L este impară, L(0) = 0 şi L (∞ ) = 1 . Această funcţie este mult utilizată în Teoria Probabilităţilor şi, de aceea, este tabelată. Cu ajutorul funcţiei lui Laplace, soluţia (6) se scrie

u ( x, t ) =

c ⎡ ⎛ x − x2 ⎞ ⎛ x − x1 ⎞ ⎤ − L⎜ ⎢L ⎜ ⎟⎥ . ⎟ 2 ⎣ ⎝ 2a t ⎠ ⎝ 2a t ⎠ ⎦ 5.3.2. Propagarea căldurii în bara finită

Problema matematică la care conduce studiul propagării căldurii în bara finită, se poate formula în modul următor. Să se determine soluţia ecuaţiei cu derivate parţiale ∂u ∂ 2u = a2 ⋅ 2 ∂t ∂x

(1)


(2)

şi condiţia iniţială u ( x, 0) = ϕ ( x ) , ∀x ∈ [0, l ] .

(3)

Conform condiţiilor la limită (2), temperatura în capetele barei este nulă, iar condiţia iniţială (3) indică faptul că, la momentul iniţial de timp, temperatura barei se exprimă prin funcţia ϕ . Vom presupune că funcţia ϕ este nenulă şi continuă pe intervalul [0, l ] . Din (2) şi (3) rezultă că funcţia ϕ trebuie să satisfacă egalitatea

ϕ (0) = 0 . Ca şi în cazul coardei vibrante finite, vom folosi metoda separării variabilelor a lui Fourier, însoţită de principiul suprapunerii efectelor. Căutăm soluţii ale ecuaţiei (1) de forma u ( x , t ) = X ( x ) ⋅ T (t ) .

Din condiţiile la limită (2) deducem ⎧ X (0) ⋅ T (t ) = 0 , ⎨ ⎩ X (l ) ⋅ T (t ) = 0

(4)


149

pentru orice t > 0 . Atunci X (0) = X (l ) = 0 ,

(5)

deoarece în caz contrar ar rezulta T (t ) = 0 , pentru orice t > 0 , deci u ( x, t ) ≡ 0 , ceea ce contravine condiţiilor iniţiale. Punând condiţia ca funcţia u dată de (4) să verifice ecuaţia (1), obţinem X ( x) ⋅ T ′(t ) = a 2 ⋅ X ′′( x) ⋅ T (t ) , ∀x ∈ [0, l ] , ∀t ∈ [0, ∞ ) . sau X ′′( x) 1 T ′(t ) = ⋅ , ∀x ∈ [0, l ] , ∀t ∈ [0, ∞ ) . X ( x) a 2 T (t ) Atunci X ′′( x) 1 T ′(t ) = ⋅ =μ, X ( x) a 2 T (t ) unde μ este o constantă reală. Obţinem astfel două ecuaţii diferenţiale: X ′′( x ) − μ ⋅ X ( x ) = 0 ,

(6)

T ′(t ) − μ a 2 ⋅ T (t ) = 0 .

(7)

Vom arăta că ecuaţia (7) are soluţii nenule numai dacă μ < 0 . Într-adevăr, soluţia generală a acestei ecuaţii este 2

T (t ) = Ce μ a t . Dacă μ > 0 , atunci T (t ) → ∞ , când t → ∞ , deci, pornind cu o anumită distribuţie a temperaturii în bară, când t creşte valoarea absolută a temperaturii ar putea depăşi orice valoare pozitivă, fapt inacceptabil din punct de vedere fizic. Pentru μ = 0 , T s-ar reduce la o constantă, adică temperatura ar rămâne aceeaşi în orice punct al barei, fapt de asemenea inacceptabil. Prin urmare, μ = −λ 2 < 0 şi soluţia generală a ecuaţiei (7) devine 2 2

T (t ) = Ce−λ a t .

(8)

Pe de altă parte, în acest caz, ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale (6) este r 2 + λ 2 = 0 , deci soluţia generală a acestei ecuaţii va fi X ( x ) = C ⋅ cos λ x + D ⋅ sin λ x .

(9)


150

Din (5) deducem C = X (0) = 0 şi D ⋅ sin λl = X (l ) = 0 . Cum D ≠ 0 , pentru că altfel am ajunge la soluţia nulă, rezultă că sin λl = 0 , deci λl = nπ , n ∈ `* . În final, rezultă că ecuaţia (6), cu condiţiile la limită (5), are o infinitate de soluţii X n ( x) = Dn ⋅ sin

nπ x , n ∈ `* . l

Pentru fiecare n ∈ `* , soluţia corespunzătoare a ecuaţiei (7) este T (t ) = Cn ⋅ e

− n2

π 2a2 l2

t

.

Notând An = Cn ⋅ Dn , rezultă că funcţiile de forma (4) care verifică ecuaţia (1) şi condiţiile la limită (2) sunt un ( x, t ) = X n ( x) ⋅ Tn (t ) = An ⋅ e

− n2

π 2a2 l2

t

⋅ sin n

π l

x , n ∈ `* .

Aplicând principiul suprapunerii efectelor rezultă că ∞

u ( x, t ) = ∑ An ⋅ e

− n2

π 2a2 l2

t

⋅ sin n

π

n =1

l

x

(10)

este soluţia ecuaţiei (1) cu condiţiile la limită (2). Rămâne să determinăm constantele An din condiţia iniţială (3). Din această condiţie rezultă că ∞

ϕ ( x) = u ( x, 0) = ∑ An ⋅ sin n n =1

π l

x.

Prelungind prin imparitate funcţia ϕ :[0, l ] → \ pe intervalul [ −l , 0] şi dezvoltând această prelungire în serie de sinuşi, obţinem l

2 π An = ⋅ ∫ ϕ ( x)sin n x dx , n ∈ `* . l 0 l

(11)

Aşadar, soluţia problemei (1)-(3) este furnizată de (10), unde coeficienţii An sunt daţi de (11). 5.3.3. Bara neomogenă Problema matematică care guvernează fenomenul este descrisă de ecuaţia ∂u ∂ 2u = a 2 ⋅ 2 + F ( x, t ) ∂t ∂x

(1)


151


(2)

şi condiţia iniţială u ( x, 0) = f ( x) , ∀x ∈ [0, l ] .

(3)

Căutăm o soluţie a ecuaţiei (1) de forma u ( x , t ) = v ( x , t ) + w( x , t ) ,

(4)

unde funcţia v satisface ecuaţia cu derivate parţiale omogenă ∂v ∂ 2v = a2 ⋅ 2 , ∂t ∂x

(5)

cu condiţiile la limită v (0, t ) = v(l , t ) = 0 , ∀t ∈ [0, ∞ )

(6)

şi condiţia iniţială v ( x, 0) = f ( x ) , ∀x ∈ [0, l ] ,

(7)

iar funcţia w satisface ecuaţia cu derivate parţiale ∂w ∂2w = a 2 ⋅ 2 + F ( x, t ) ∂t ∂x

(8)

cu condiţiile la limită w(0, t ) = w(l , t ) = 0 , ∀t ∈ [0, ∞ )

(9)

şi condiţia iniţială w( x, 0) = 0 , ∀x ∈ [0, l ] .

(10)

Determinarea soluţiei problemei (1)-(3) este rezolvată o dată cu determinarea funcţiilor v şi w , satisfăcând (5)-(7) respectiv (8)-(10). Într-adevăr ∂u ∂ (v + w) ∂v ∂w ∂ 2v ∂2w = = + = a 2 2 + a 2 2 + F ( x, t ) = ∂t ∂t ∂t ∂t ∂x ∂x = a2

2 ∂ 2 (v + w) 2 ∂ u + F ( x , t ) = a + F ( x, t ) ∂t 2 ∂x 2

şi u (0, t ) = v (0, t ) + w(0, t ) = 0 , u (l , t ) = v (l , t ) + w(l , t ) = 0 ,


152

u ( x, 0) = v ( x, 0) + w( x, 0) = f ( x ) .

Din secţiunea anterioară, avem ∞

v( x, t ) = ∑ An ⋅ e

− n2

π 2a2 l2

t

⋅ sin n

n =1

π l

x,

(11)

unde l

2 π An = ⋅ ∫ f ( x) sin n x dx , n ∈ `* . l 0 l

(12)

Pentru a rezolva problema (8)-(10), căutăm soluţii de forma ∞

w( x, t ) = ∑ Tn (t ) ⋅ sin n

π

n =1

x.

l

(13)

Observăm că w dat de (13) satisface condiţiile la limită (9). Punând condiţia ca w dat de (13) să satisfacă ecuaţia (8), obţinem: ∞

∑ Tn′(t ) ⋅ sin n n =1

⎛ n 2π 2 ⎞ π x = a ∑ Tn (t ) ⋅ ⎜ − 2 ⎟ sin n x + F ( x, t ) , l l n =1 ⎝ l ⎠

π

2

∞

care se mai scrie 2 2 ⎡ ⎤ π 2 n π ′ T t a Tn (t ) ⎥ ⋅ sin n x = F ( x, t ) . ( ) + ∑ ⎢ n 2 l l n =1 ⎣ ⎦ ∞

(14)

Presupunem că funcţia F ( x, t ) se poate dezvolta în serie Fourier de sinuşi pe intervalul [0, l ] , deci că ∞

F ( x, t ) = ∑ ϕ n (t ) ⋅ sin n

π

n =1

l

x,

(15)

x dx , n ∈ ` * .

(16)

unde

2 l

l

ϕn (t ) = ⋅ ∫ F ( x, t )sin n 0

π l

Din (14), (15) şi (16), rezultă că funcţiile Tn trebuie să satisfacă ecuaţiile diferenţiale de ordinul întâi Tn′(t ) + a 2 care admit soluţiile

n 2π 2 Tn (t ) = ϕ n (t ) , ∀n ∈ ` * , 2 l

(17)

5. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea t

Tn (t ) = e

⎛ a 2 n 2π 2 ⎞ − ⎜⎜ ⎟ dτ l 2 ⎟⎠ 0⎝

∫

153

a 2 n 2π 2 ⎛ ⎞ t dτ ∫ ⎜ C + ϕ (τ )e 0 l 2 dτ ⎟ , n ∈ `* , ⎜⎜ n ∫ n ⎟⎟ 0 ⎝ ⎠ t

(18)

constantele Cn urmând a fi determinate. Pe de altă parte, din condiţia w( x, 0) = 0 , rezultă că

π

∞

∑ T (0) sin n l n

x=0

n =1

şi mai departe că: Tn (0) = 0 , ∀n ∈ ` * .

(19)

În consecinţă, ţinând seama de (18), deducem că Cn = 0 , ∀n ∈ ` * , deci t

Tn (t ) = ∫ ϕ n (τ )e

−

a 2 n 2π 2 l2

( t −τ )

dτ , n ∈ `* .

0

Conform (13), avem a nπ ⎛t − 2 w( x, t ) = ∑ ⎜ ∫ ϕn (τ )e l ⎜ n =1 0 ⎝ 2 2

∞

2

( t −τ )

⎞ nπ x dτ ⎟ sin . ⎟ l ⎠

(20)

5.4. Ecuaţii de tip eliptic Ecuaţiile de tip eliptic descriu procese staţionare (în care funcţia necunoscută nu depinde de timp). Ecuaţia lui Laplace în plan este

Δu =

∂ 2u ∂ 2u + =0, ∂x 2 ∂y 2

(1)

iar ecuaţia lui Laplace în spaţiu este

Δu =

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = 0, ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

necunoscuta fiind funcţia u . Dacă intervin forţe externe, acţiunea acestora fiind descrisă de o funcţie f , procesele fizice corespunzătoare sunt descrise de ecuaţia lui Poisson

154


Δu = f .

(2)

Din câte s-a observat în cazul ecuaţiilor de tip hiperbolic şi parabolic, pentru descrierea completă a unui proces fizic este necesar ca, în afară de ecuaţia acestui proces, să specificăm condiţii suplimentare: condiţii iniţiale şi condiţii la limită (pe frontiera domeniului). Din punct de vedere matematic, această necesitate decurge din faptul că soluţiile acestor ecuaţii nu sunt unice. Astfel, chiar şi în cazul ecuaţiilor diferenţiale ordinare de ordinul n , soluţia generală depinde de n constante arbitrare. În cazul ecuaţiilor cu derivate parţiale soluţia va depinde, în general, de funcţii arbitrare (a se vedea, de exemplu, soluţia generală a ecuaţiilor de tip hiperbolic). Din această cauză, pentru a pune în evidenţă soluţia care descrie procesul fizic real, sunt necesare condiţii suplimentare. Pentru ecuaţiile de tip eliptic aceste condiţii suplimentare sunt condiţiile pe frontieră, problema corespunzătoare numindu-se problemă la limită. În cele ce urmează ne vom ocupa de ecuaţia lui Laplace în plan. Putem considera două tipuri de domenii: mărginite şi nemărginite. În ambele cazuri vom presupune că frontiera este formată dintr-o curbă netedă pe porţiuni. Problema la limită pentru ecuaţia eliptică se numeşte interioară dacă funcţia căutată trebuie să fie definită într-un domeniu mărginit şi exterioară dacă funcţia căutată trebuie să fie definită într-un domeniu nemărginit. Fie G ⊂ \ 2 un domeniu mărginit a cărui frontieră C este o curbă netedă pe porţiuni. Deşi sunt valabile pentru ecuaţia lui Laplace în general, noi vom prezenta tipurile de probleme la limită pentru această ecuaţie în plan. Acestea sunt: Problema Dirichlet interioară. Această problemă constă în determinarea unei funcţii u ∈C 2 (G ) ∩ C 1 (G ) , armonică în G (deci care verifică ecuaţia (1)), dacă se cunosc valorile acesteia pe frontiera C a domeniului:

uC = f ,

(3)

unde f este o funcţie dată, continuă pe C . Problema Neumann interioară constă în determinarea unei funcţii u ∈C 2 (G ) ∩ C 1 (G ) , armonică în G , astfel încât

∂u =g, ∂n C

(4)


unde

155

∂u este derivata după normala exterioară la curba C , iar g este o funcţie dată, ∂n

continuă pe C . Problema mixtă constă în determinarea unei funcţii u ∈C 2 (G ) ∩ C 1 (G ) , armonică în

G , astfel încât

α ⋅u +

∂u = h, ∂n C

(5)

α şi h fiind funcţii date, continue pe C , α ≥ 0 . Vom stabili acum o formulă integrală utilă în cele ce urmează. Fie v ∈C 2 (G ) ∩ C 1 (G ) . Atunci

⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂u ∂v ∂u ∂v v v v ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎜ 2 + 2 ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ⎠ ⎝ ∂x =

∂u ∂v ∂u ∂v ⋅ + ⋅ + v ⋅ Δu . ∂x ∂x ∂y ∂y

Integrând pe G , obţinem

⎡∂ ⎛

∂u ⎞

∂ ⎛

∂u ⎞ ⎤

⎛

∂u ∂v ⎞

∂u ∂v

∫∫ ⎣⎢ ∂x ⎝⎜ v ⋅ ∂x ⎠⎟ + ∂y ⎝⎜ v ⋅ ∂y ⎠⎟⎦⎥ dxdy = ∫∫ ⎝⎜ v ⋅ Δu + ∂x ⋅ ∂x + ∂y ⋅ ∂y ⎠⎟ dxdy . G

G

Din formula lui Green-Riemann rezultă ⎛

∂u ∂v

∂u ∂v ⎞

∂u

∂u

∫∫ ⎜⎝ v ⋅ Δu + ∂x ⋅ ∂x + ∂y ⋅ ∂y ⎟⎠ dxdy = v∫ (−v) ⋅ ∂y dx + v ⋅ ∂x dy , G

(6)

C

cunoscută sub numele de formula integrală Green. În continuare, vom studia probleme la limită standard pentru ecuaţia lui Laplace în plan. 5.4.1. Problema lui Dirichlet interioară pentru disc Fie

G = {( x, y ) ∈ \ 2 ; x 2 + y 2 < r 2 } şi

C = {( x, y ) ∈ \ 2 ; x 2 + y 2 = r 2 } ,

frontiera

orientată pozitiv a domeniului G . Problema Dirichlet interioară pentru ecuaţia lui Laplace constă în a determina funcţia continuă u : G → \ care satisface ecuaţia


156

∂ 2u ∂ 2u + = 0 , ∀( x, y ) ∈ G , ∂x 2 ∂y 2

(7)

cu condiţia la frontieră

uC = f ,

(8)

unde f este o funcţie dată, continuă pe C .

Vom arăta că dacă problema (7)-(8) admite o soluţie, atunci această soluţie este unică. Într-adevăr, dacă problema ar admite două soluţii u1 , u2 şi v = u1 − u2 , rezultă că

Δv = 0 şi v C = 0 . Făcând u = v în formula integrală Green (6), obţinem ⎡⎛ ∂v ⎞ 2 ⎛ ∂v ⎞ 2 ⎤ ∫∫G ⎢⎢⎜⎝ ∂x ⎟⎠ + ⎝⎜ ∂y ⎠⎟ ⎥⎥dxdy = 0 . ⎣ ⎦ Prin urmare, 2

2

⎞ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂v ⎜ ( x, y ) ⎟ + ⎜ ( x, y ) ⎟ = 0 , ∀( x, y ) ∈ G , ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ deci ∂v ∂v ( x, y ) = 0 , ∀( x, y ) ∈ G . ( x, y ) = 0 , ∂y ∂x În consecinţă, funcţia v este constantă şi cum se anulează pe C , rezultă că v = 0 , deci u1 = u2 pe G . Soluţia fiind unică, nu contează metoda folosită pentru obţinerea soluţiei. Vom folosi metoda separării variabilelor (Fourier). Din cauza simetriei centrale faţă de origine a problemei, vom trece la coordonate polare în plan. Fie ρ şi θ coordonatele polare ale punctului ( x, y ) , deci

⎧ x = ρ cos θ . ⎨ ⎩ y = ρ sin θ În urma acestei schimbări de variabile, ecuaţia (7) devine

ρ2 ⋅

∂ 2u ∂u ∂ 2u + ⋅ + = 0. ρ ∂ρ 2 ∂ρ ∂θ 2

(9)


157

Problema (7)-(8) se reformulează astfel: să se determine funcţia u ( ρ , θ ) , u :[0, r ] × \ → \ , care satisface ecuaţia (9) şi condiţia la frontieră

u ( ρ , θ ) ρ = r = f (θ ) ,

(10)

unde funcţia f : \ → \ este continuă, nenulă, periodică de perioadă 2π şi este presupusă cunoscută. De remarcat că, dacă f ≡ 0 atunci problema corespunzătoare admite soluţia u ≡ 0 . Acesta este motivul pentru care putem presupune că funcţia f este nenulă. Conform metodei separării variabilelor, căutăm soluţii ale ecuaţiei (9) de forma u ( ρ , θ ) = R ( ρ ) ⋅ T (θ ) ,

(11)

unde funcţiile R şi T sunt de clasă C 2 . În plus, funcţia T este presupusă periodică de perioadă 2π . Punând condiţia ca funcţia u dată de (11) să verifice ecuaţia (9), obţinem

ρ 2 ⋅ R′′( ρ ) ⋅ T (θ ) + ρ ⋅ R′( ρ ) ⋅ T (θ ) = − R( ρ ) ⋅ T ′′(θ ) sau

ρ 2 ⋅ R′′( ρ ) + ρ ⋅ R′( ρ ) T ′′(θ ) =− =k, R( ρ ) T (θ )

(12)

unde k este o constantă. Din (6) rezultă următoarele ecuaţii diferenţiale: T ′′(t ) + k ⋅ T (t ) = 0 ,

(13)

ρ 2 ⋅ R′′( ρ ) + ρ ⋅ R′( ρ ) − k ⋅ R( ρ ) = 0 ,

(14)

Când constanta este −λ 2 , λ > 0 , (13) devine T ′′(t ) − λ 2 ⋅ T (t ) = 0 . Soluţia generală a acestei ecuaţii diferenţiale este T (θ ) = C1 ⋅ eλθ + C2 ⋅ e − λθ ,

C1 şi C2 fiind constante. Această soluţie este periodică numai dacă C1 = C2 = 0 , adică doar dacă T ≡ 0 , ceea ce ar însemna că funcţia f este nulă, ceea ce contravine ipotezei. Prin urmare constanta în (12) nu poate fi negativă. Dacă k = 0 , din (13) va rezulta că T (θ ) = C1 ⋅θ + C2 , care este periodică numai dacă

C1 = 0 . Aşadar, în acest caz, avem soluţia T0 (θ ) = C0 .

(15)

158


Totodată, ecuaţia (14) se mai scrie sub forma ( ρ ⋅ R′( ρ ) )′ = 0 , de unde ρ ⋅ R′( ρ ) = C , deci R ( ρ ) = C ⋅ ln ρ + D . Cum ln ρ nu are sens în 0 , rezultă că C = 0 , deci putem pune R0 ( ρ ) = F0 (constant).

(16)

Notând A0 = C0 F0 , soluţia de forma (11) a ecuaţiei (9), pentru k = 0 , este u0 ( ρ , θ ) = A0 .

(17)

Când constanta este k = λ 2 , λ > 0 , din (13) obţinem T ′′(t ) + λ 2 ⋅ T (t ) = 0 , a cărei soluţie generală este

T (θ ) = C1 ⋅ cos λθ + C2 ⋅ sin λθ , C1 şi C2 fiind constante. Din condiţia de periodicitate rezultă că trebuie să avem T (θ + 2π ) = T (θ ) ,

deci λ (θ + 2π ) = λθ + 2nπ , n ∈ `* . În consecinţă, λ = n , n ∈ `* . Atunci Tn (θ ) = Cn ⋅ cos nθ + Dn ⋅ sin nθ , n ∈ `* .

(18)

Fie n ∈ `* fixat. Ţinând seama de (14) şi cum k = n 2 , obţinem că funcţia Rn ( ρ ) trebuie să verifice următoarea ecuaţie diferenţială de tip Euler

ρ 2 ⋅ Rn′′( ρ ) + ρ ⋅ Rn′ ( ρ ) − n 2 Rn ( ρ ) = 0 .

(19)

Pentru a găsi soluţia acestei ecuaţii, facem schimbarea de variabilă ρ = eϕ . Atunci: Rn′ ( ρ ) = e −ϕ

dRn dϕ

şi

⎛ d 2 Rn dRn ⎞ Rn′′( ρ ) = e−2ϕ ⎜ − ⎟. 2 dϕ ⎠ ⎝ dϕ Înlocuind în (19), obţinem ecuaţia diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi

d 2 Rn − n 2 Rn = 0 . 2 dϕ Ecuaţia caracteristică a acestei ecuaţii diferenţiale este r 2 − n 2 = 0 şi are soluţiile

r1 = n , r2 = −n , deci soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale cu coeficienţi constanţi este Rn (ϕ ) = Fn e nϕ + En e − nϕ .

Prin urmare, soluţia generală a ecuaţiei (19) este


159

Rn ( ρ ) = Fn ρ n + En ρ − n ,

unde En şi Fn sunt constante arbitrare. Dacă En ≠ 0 , rezultă că Rn ( ρ ) → ±∞ când ρ → 0 , deci funcţia un ( ρ ,θ ) ar tinde la infinit spre centrul cercului, ceea ce contrazice faptul că funcţia un ( ρ ,θ ) = Rn ( ρ ) ⋅ Tn (θ ) este continuă. În consecinţă, En = 0 , deci Rn ( ρ ) = Fn ⋅ ρ n .

(20)

Notând An = Cn Fn , Bn = Dn Fn , n ∈ `* , obţinem soluţiile un ( ρ , θ ) = ( An cos nθ + Bn sin nθ ) ⋅ ρ n , n ∈ `* .

(21)

Conform “principiului suprapunerii efectelor”, în ipoteza convergenţei, seria ∞

∑ u ( ρ ,θ ) n

va fi soluţia problemei Dirichlet. Vom presupune că această serie este

n =0

convergentă şi este derivabilă termen cu termen de două ori în raport cu ρ respectiv θ . Fie deci: ∞

u ( ρ , θ ) = A0 + ∑ ( An cos nθ + Bn sin nθ ) ⋅ ρ n .

(22)

n =1

Este uşor de văzut că această funcţie verifică ecuaţia (9). Condiţia la frontieră (10) va fi satisfăcută dacă şi numai dacă ∞

A0 + ∑ ( An cos nθ + Bn sin nθ ) ⋅ r n = f (θ ) . n =1

Prin ipoteză, f se poate dezvolta în serie Fourier pe intervalul [0, 2π ] , deci

A0 =

2π

1 ⋅ f (ϕ )dϕ , 2π ∫0

r n ⋅ An =

1

π

2π

⋅ ∫ f (ϕ ) cos nϕ dϕ , 0

(23)

r n ⋅ Bn =

1

π

2π

⋅ ∫ f (ϕ ) sinnϕ dϕ . 0

Atunci 2π

1 1 An = ⋅ n ⋅ ∫ f (ϕ ) cos nϕ dϕ , π r 0

2π

1 1 Bn = ⋅ n ⋅ ∫ f (ϕ ) sinnϕ dϕ . π r 0

(24)

Prin urmare, soluţia problemei (9)-(10) este dată de (22), unde coeficienţii An , n ∈ ` , Bn , n ∈ `* sunt daţi de (23) respectiv (24).


160

În cele ce urmează vom scrie soluţia (22) sub o altă formă, utilizată frecvent în aplicaţii. Ţinând seama de formulele (22)-(24) u ( ρ ,θ ) =

=

1

π 1

π

2π

∫ 0

2π

∫ 0

⎡ 1 ∞ ⎛ ρ ⎞n ⎤ ⎢ + ∑ ⎜ ⎟ (cos nϕ cos nθ + sin nϕ sin nθ ) ⎥ ⋅ f (ϕ )dϕ = ⎣⎢ 2 n =1 ⎝ r ⎠ ⎦⎥ ⎡ 1 ∞ ⎛ ρ ⎞n ⎤ ⎢ + ∑ ⎜ ⎟ ⋅ cos n(ϕ − θ ) ⎥ ⋅ f (ϕ )dϕ . ⎢⎣ 2 n =1 ⎝ r ⎠ ⎥⎦

(25)

Pentru a prelucra această formulă, să remarcăm că ar trebui găsită o formulă pentru calculul sumei seriei

∞

∑ a n cos nα , cu a < 1 . Această serie este partea reală a seriei n =1

∞

∑a e α n in

n =1

care este o serie geometrică cu raţia q = aeiα , unde q < 1 . În consecinţă ∞

∑a e

n inα

n =1

aeiα a cos α − a + i sin α = = − iα = a⋅ iα 1- ae e −a (cos α − a) 2 + sin 2 α

Prin urmare, ∞

∑ a n cos nα = n =1

a cos α − a 2 , 1 − 2a cos α + a 2

deci n

ρ r cos(ϕ − θ ) − ρ 2 ⎛ρ⎞ . ∑ ⎜ ⎟ ⋅ cos n(ϕ − θ ) = 2 r − 2 ρ r cos(ϕ − θ ) + ρ 2 n =1 ⎝ r ⎠ ∞

Înlocuind în (25), obţinem că formula (22) se scrie sub forma

u ( ρ ,θ ) =

1 2π

2π

∫ 0

r2 − ρ2 ⋅ f (ϕ )dϕ , r 2 − 2 ρ r cos(ϕ − θ ) + ρ 2

(26)

formulă cunoscută sub numele de formula lui Poisson. Exemplul 5.4.1. Fie domeniul G = {( x, y ) ∈ \ 2 ; x 2 + y 2 < 9} a cărui frontieră orientată pozitiv este C = {( x, y ) ∈ \ 2 ; x 2 + y 2 = 9} . Să se găsească soluţia u a problemei Dirichlet interioare pentru ecuaţia lui Laplace cu condiţia la frontieră u (3, θ ) = cos θ + 2 sin θ .

Folosim formulele (22)-(24). Obţinem


161

2π

1 A0 = ⋅ (cos ϕ + 2sin ϕ )dϕ = 0 , 2π ∫0 2π

An =

1 1 ⋅ ⋅ (cos ϕ + 2sin ϕ ) cos nϕ dϕ , π 3n ∫0

Bn =

1 1 ⋅ ⋅ (cos ϕ + 2sin ϕ ) sinnϕ dϕ . π 3n ∫0

2π

Dacă n ≠ 1 , atunci An = 0 , Bn = 0 . De asemenea, A1 =

1 2 , B1 = . Ţinând seama de 3 3

(22), rezultă că u ( ρ ,θ ) =

1 2 ρ cos θ + ρ sin θ , 3 3

u ( x, y ) =

x + 2y . 3

deci

5.4.2. Problema lui Dirichlet pentru semiplan Fie G semiplanul superior, deci G = {( x, y ) ∈ \ 2 ; y > 0} . Problema Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace, în semiplanul superior, constă în a determina funcţia mărginită, de clasă C 2 , u : G → \ , care satisface ecuaţia

∂ 2u ∂ 2u + = 0 , ∀( x, y ) ∈ G , ∂x 2 ∂y 2

(1)

cu condiţia la frontieră u ( x, 0) = g ( x ) , x ∈ \ ,

(2)

unde g este o funcţie dată, nenulă, continuă şi mărginită pe axa Ox . Vom folosi metoda separării variabilelor (Fourier). Conform metodei separării variabilelor, căutăm soluţii ale ecuaţiei (1) de forma u ( x, y ) = X ( x ) ⋅ Y ( y ) ,

(3)

unde X şi Y sunt funcţii de clasă C (2) . Punând condiţia ca funcţia u dată de (3) să verifice ecuaţia (1), obţinem X ''( x ) ⋅ Y ( y ) + X ( x ) ⋅ Y ''( y ) = 0


162 sau

X ''( x) Y ''( y ) =− =k, X ( x) Y ( y)

(4)

unde k este o constantă. Din (4) rezultă următoarele ecuaţii diferenţiale: X ''( x ) − k ⋅ X ( x ) = 0 ,

(5)

Y ''( y ) + k ⋅ Y ( y ) = 0 ,

(6)

Când constanta este k = λ 2 , λ > 0 , (5) devine X ''( x) − λ 2 ⋅ X ( x) = 0 . Ecuaţia caracteristică a acestei ecuaţii diferenţiale este r 2 − λ 2 = 0 şi are soluţiile r1 = λ , r2 = −λ , deci, soluţia generală a acestei ecuaţii diferenţiale este X λ ( x ) = C (λ ) ⋅ e λ x + D (λ ) ⋅ e − λ x , C (λ ) şi D (λ ) fiind constante. Dacă C (λ ) ≠ 0 , rezultă că X λ ( x) → ±∞ când x → ∞ , deci

funcţia uλ ( x, y ) = X λ ( x) ⋅ Yλ ( y ) , λ > 0 , ar tinde la infinit când x → ∞ , ceea ce contrazice faptul că funcţia uλ este mărginită. Prin urmare, C (λ ) = 0 . Dacă D (λ ) ≠ 0 , rezultă că X λ ( x) → ±∞ când x → −∞ , deci funcţia uλ ar tinde la infinit când x → −∞ , ceea ce contrazice faptul că funcţia uλ este mărginită. În consecinţă, D (λ ) = 0 , deci uλ ( x, y ) = 0 , pentru orice ( x, y ) . Această funcţie nu satisface (2), deci constanta în (5) nu poate fi strict pozitivă. Când k = 0 , din (5) şi (6) rezultă că X 0 ( x) = C1 ⋅ x + C2 şi Y0 ( y ) = C3 ⋅ y + C4 . Când

x → ±∞ , rezultă că X 0 ( x) → ±∞ , deci funcţia u0 ( x, y ) = X 0 ( x) ⋅ Y0 ( y ) nu este mărginită, situaţie neconvenabilă. Când constanta este k = −λ 2 , λ > 0 , din (5) obţinem X ''( x) + λ 2 ⋅ X ( x) = 0 , a cărei soluţie generală este X λ ( x) = C (λ ) ⋅ cos λ x + D(λ ) ⋅ sin λ x , C (λ ) şi D (λ ) fiind constante.

Ecuaţia (6) devine Y ''( y ) − λ 2 ⋅ Y ( y ) = 0


163

şi are soluţia generală Yλ ( y ) = F (λ ) ⋅ e λ y + E (λ ) ⋅ e − λ y ,

unde E (λ ) şi F (λ ) sunt constante arbitrare. Dacă F (λ ) ≠ 0 , rezultă că Yλ ( y ) → ±∞ când y → ∞ , deci funcţia uλ ( x, y ) = X λ ( x) ⋅ Yλ ( y ) ar tinde la infinit când y → ∞ , ceea ce contrazice faptul că funcţia uλ este mărginită. În consecinţă, F (λ ) = 0 , deci Y ( y; λ ) = E ( λ ) ⋅ e − λ y .

(7)

Notând A(λ ) = C (λ ) E (λ ) , B (λ ) = D (λ ) E (λ ) , λ > 0 , obţinem soluţiile uλ ( x, y ) = [ A(λ ) ⋅ cos λ x + B (λ ) ⋅ sin λ x ) ⋅ e − λ y , λ > 0 .

(8)

Conform „principiului suprapunerii efectelor”, suma unor astfel de funcţii şi, de asemenea, integrala în raport cu parametrul λ va fi soluţie a ecuaţiei (1): ∞

u ( x, y ) = ∫ [ A(λ ) cos λ x + B(λ )sin λ x] e− λ y d λ .

(9)

0

Într-adevăr, folosind teorema de derivare a integralelor cu parametru, obţinem succesiv ∞

∂u = λ ∫ [− A(λ )sin λ x + B(λ ) cos λ x] e− λ y d λ , ∂x 0 ∞

∂ 2u = −λ 2 ∫ [ A(λ ) cos λ x + B(λ )sin λ x] e− λ y d λ , 2 ∂x 0 ∞

∂u = −λ ∫ [ A(λ ) cos λ x + B(λ ) sin λ x] e− λ y d λ , ∂y 0 ∞

∂ 2u = λ 2 ∫ [ A(λ ) cos λ x + B(λ ) sin λ x] e− λ y d λ , ∂y 2 0 deci

∂ 2u ∂ 2u + =0. ∂x 2 ∂y 2 Funcţiile A(λ ) şi B (λ ) se vor determina din condiţia (2):


164

∞

u ( x, 0) = ∫ [ A(λ ) cos λ x + B(λ )sin λ x]d λ = g ( x) , x ∈ \ .

(10)

0

Pe de altă parte, ţinând seama de formula integrală a lui Fourier şi de formulele lui Euler, rezultă +∞

1 2π

g ( x) =

∫

−∞

+∞

d λ ∫ g (t )eiλ ( x −t ) dt = −∞

⎡ +∞ ⎤ λ x − t + i λ x − t d λ cos ( ) sin ( ) [ ] ⎢ ⎥ g (t )dt . ∫ ∫ −∞ ⎣ −∞ ⎦ +∞

1 = 2π

Deoarece funcţia λ 6 sin λ ( x − t ) este impară, rezultă că

+∞

∫ sin λ ( x − t )d λ = 0 .

−∞

De asemenea, deoarece funcţia λ 6 cos λ ( x − t ) este pară, rezultă că +∞

+∞

−∞

0

∫ cos λ ( x − t )d λ = 2 ∫ cos λ ( x − t )d λ .

Aşadar, avem g ( x) =

⎛ +∞ ⎞ g ( t ) ⎜ ∫ cos λ ( x − t ) d λ ⎟ dt = ∫ π −∞ ⎝0 ⎠ 1

+∞

∞ ⎡⎛ 1 +∞ ⎞ ⎛1 = ∫ ⎢⎜ ∫ g (t ) cos λ t dt ⎟ ⋅ cos λ x + ⎜ 0 ⎢ ⎠ ⎝π ⎣⎝ π −∞

+∞

−∞

Comparând formulele (10) şi (11), deducem că A(λ ) =

1

π

+∞

∫

g (t ) cos λ t dt , B (λ ) =

−∞

1

π

+∞

∫ g (t ) sin λt dt .

−∞

Înlocuind aceste funcţii în (9), se obţine u ( x, y ) =

=

1

π

∞

∫e 0

−λ y

⎡ +∞ ⎤ ⎢ ∫ g (t ) cos λ (t − x)dt ⎥ d λ = ⎣ −∞ ⎦

⎡∞ −λ y ⎤ ( ) g t ⎢ ∫ e cos λ (t − x)d λ ⎥ dt . ∫ π −∞ ⎣0 ⎦ 1

+∞

Dar +∞

∫e 0

deci

−α x

cos β x dx =

β α +β2 2

, α >0,

⎞

⎤

∫ g (t ) sin λt dt ⎟⎠ ⋅ sin λ x ⎥⎥d λ . ⎦

(11)

5. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea ∞

∫e

−λ y

cos λ (t − x)d λ =

0

165

y . y + (t − x)2 2

În consecinţă, soluţia problemei la limită (1), (2), este u ( x, y ) =

1

π

+∞

∫ g (t ) y

2

−∞

y dt . + (t − x) 2

(12)

Se poate arăta că, dacă funcţia g este continuă şi mărginită pe \ , atunci, soluţia problemei Dirichlet pentru semiplanul superior dată de (12) este unică în clasa funcţiilor mărginite. Exemplul 5.4.2. Să se determine soluţia problemei Dirichlet pentru semiplanul superior, ale cărei valori pe axa Ox sunt date de u ( x, 0) =

1 . x +1 2

Folosind formula (12), soluţia problemei Dirichlet pentru semiplanul superior este, în acest caz: u ( x, y ) =

1

π

+∞

∫ (t

−∞

2

y dt . + 1)[ y + (t − x) 2 ]

(13)

2

Pentru calculul acestei integrale, descompunem integrandul în fracţii simple: y At + B Ct + D = 2 + 2 , 2 (t + 1)[ y + (t − x) ] t + 1 y + (t − x) 2 2

(14)

2

unde

B=

y ( x 2 + y 2 − 1) −2 xy ,C= 2 , 2 2 2 2 ( x + y − 1) + 4 x ( x + y 2 − 1) 2 + 4 x 2 y (3 x 2 − y 2 + 1) D= 2 . ( x + y 2 − 1) 2 + 4 x 2

Funcţia t 6 +∞

∫

−∞

t , t ∈ \ , este impară, deci 2 t +1

(15)

+∞

∫t

−∞

2

t dt = 0 . Atunci +1

At + B +∞ dt = B ⋅ arctgt −∞ = B ⋅ π . 2 t +1

De asemenea, cu substituţia t = u + x , obţinem +∞

∫

−∞

+∞

+∞

Ct + D Cu + Cx + D du dt = ∫ du = (Cx + D ) ∫ 2 = 2 2 2 2 2 y + (t − x) u y u y + + −∞ −∞

166


Cx + D u = arctg y y

Din (13) şi (14), rezultă u ( x, y ) = B +

Cx + D . y

+∞

= −∞

Cx + D ⋅π . y


166

Ţinând seama de (15), obţinem

u ( x, y ) =

y ( x 2 + y 2 − 1) x2 − y 2 + 1 + , ( x 2 + y 2 − 1)2 + 4 x 2 ( x 2 + y 2 − 1) 2 + 4 x 2

care după simplificare devine y +1 . x + ( y + 1) 2

u ( x, y ) =

2

5.5. Metode numerice pentru ecuaţii cu derivate parţiale. Metoda reţelelor De regulă, găsirea soluţiilor exacte ale problemelor la limită pentru ecuaţii cu derivate parţiale nu este posibilă şi de aceea se folosesc metode numerice pentru aproximarea acestor soluţii. Înainte de a prezenta cea mai simplă metodă numerică de rezolvare a unei probleme la limită pentru o ecuaţie cu derivate parţiale, cunoscută sub numele de metoda reţelelor sau metoda diferenţelor finite, vom face câteva consideraţii privind derivarea numerică. Este cunoscut faptul că, cea mai utilizată metodă de aproximare a unei funcţii este polinomul de interpolare al lui Lagrange. Fie f :[ a, b] → \ o funcţie oarecare şi fie x0 , x1 , ..., xn , ( n + 1) noduri distincte din intervalul [a, b] . Există un polinom de gradul n, unic, care interpolează funcţia f în nodurile xi , i = 0, n , adică ia aceleaşi valori ca funcţia f în nodurile xi , i = 0, n . Dacă notăm cu Pn ( x) = Pn ( x; x0 , x1 ,..., xn ) acest polinom, atunci avem f ( xi ) = Pn ( xi ) , i = 0, n .

Se verifică imediat că următorul polinom de gradul n, cunoscut ca polinomul de interpolare al lui Lagrange: n

Pn ( x) = ∑ i =0

( x − x0 )( x − x1 )...( x − xi −1 )( x − xi +1 )...( x − xn ) f ( xi ) , ( xi − x0 )( xi − x1 )...( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )...( xi − xn )

are proprietatea că Pn ( xi ) = f ( xi ) , ∀i = 0, n . Mai mult, dacă presupunem că ar mai exista un polinom Qn ( x) cu proprietatea că Qn ( xi ) = f ( xi ) , ∀i = 0, n , atunci polinomul R ( x) = Pn ( x) − Qn ( x) s-ar anula în ( n + 1) puncte distincte (nodurile x0 , x1 , ..., xn ).

167


y Pn f

O

x0

x1

xn

xi

x

Fig. 1 Cum gradul polinomului R este mai mic sau egal cu n, rezultă că R este polinomul identic zero, Qn = Pn . Aşadar, am arătat că polinomul Lagrange Pn ( x) = Pn ( x; x0 , x1 ,..., xn ) este unic determinat. Calea cea mai firească de abordare a derivării numerice este de a aproxima derivata funcţiei cu derivata polinomului Lagrange Pn , care interpolează funcţia f în nodurile xi ,

i = 0, n . Dacă n = 1 , atunci avem două noduri: x0 şi x0 + h , deci

P1 ( x) = P1 ( x; x0 , x1 ) = P1' ( x) =

x − x0 x − x1 f ( x0 ) + f ( x1 ) , x0 − x1 x1 − x0

f ( x0 ) f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ( x1 ) . + = x0 − x1 x1 − x0 h

Prin urmare, aproximăm derivata

f '( x0 ) ≈

f ( x0 + h) − f ( x0 ) . h

(1)

Se poate arăta că eroarea este dată de relaţia

f '( x0 ) −

f ( x0 + h) − f ( x0 ) h = − f ''(ξ x0 ) , unde ξ x0 ∈ ( x0 , x1 ) . h 2

Dacă n = 2 , atunci avem trei noduri: x0 , x0 + h , x0 + 2h , deci P2 ( x) = P2 ( x; x0 , x1 , x2 ) =

( x − x1 )( x − x2 ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 )

f ( x0 ) +


168

+

( x − x0 )( x − x2 ) f ( x ) + ( x − x0 )( x − x1 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) 1 ( x2 − x0 )( x2 − x1 )

f ( x2 ) .

În continuare, avem: P2' ( x0 ) =

+

2 x0 − ( x1 + x2 )

( x0 − x1 )( x0 − x2 ) 2 x0 − ( x0 + x1 )

( x2 − x0 )( x2 − x1 ) =

f ( x0 ) +

2 x0 − ( x0 + x2 )

( x1 − x0 )( x1 − x2 )

f ( x2 ) =

f ( x1 ) +

−3 f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) − = + 2h h 2h

−3 f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) − f ( x2 ) . 2h

Aşadar, în cazul n = 2 , avem f '( x0 ) ≈

−3 f ( x0 ) + 4 f ( x0 + h) − f ( x0 + 2h) . 2h

(2)

Eroare de aproximare a derivatei este f '( x0 ) − Pn' ( x0 ) =

h2 f ''(ξ x0 ) , unde ξ x0 ∈ ( x0 , x2 ) . 3

Pe de altă parte, în cazul n = 2 , putem aproxima şi derivata de ordinul al doilea şi obţinem: f ''( x0 ) ≈ P2" ( x0 ) =

f ( x2 ) − 2 f ( x1 ) + f ( x0 ) , h2

(3)

iar eroarea este f ''( x0 ) − P2'' ( x0 ) = −

h 2 ( IV ) f (ξ x0 ) , ξ x0 ∈ ( x0 , x2 ) . 12

Revenind la problema rezolvării numerice a unei probleme la limită pentru o ecuaţie cu derivate parţiale într-un domeniu G ⊂ \ 2 , metoda reţelelor constă în următoarele: se consideră o reţea de drepte paralele cu axele de coordonate: x = xi = a + ih , i = 1, m şi y = y j = b + jh , j = 1, n , care acoperă domeniul G. Punctele M ij ( xi , y j ) se numesc nodurile reţelei, iar h se numeşte pasul reţelei. Dacă se notează cu uij soluţia problemei la limită în nodul M ij , atunci, prin discretizarea ecuaţiei cu derivate parţiale şi a condiţiilor la limită în nodurile M ij , se obţine un

169


sistem de ecuaţii liniare în necunoscutele uij . Rezolvând acest sistem, obţinem soluţiile aproximative ale problemei la limită, în nodurile reţelei. Vom ilustra cele afirmate pe exemplele următoare. a) Fie G un dreptunghi ABCD cu laturile paralele cu axele de coordonate AB = 5 ,

AD = 4 . Se cere să se determine o funcţie u ∈C

(2)

(G ) ∩C

(1)

(G ) care este soluţia ecuaţiei lui

Poisson: ∂ 2u ∂ 2u + = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ G ∂x 2 ∂y 2

(4)

şi verifică următoarele condiţii la limită: u AB = u CD = 0 ,

(5)

∂u ∂x

(6)

= 0, AD

∂u +u = 0. ∂x BC

(7)

Interpretarea fizică este următoarea: o membrană elastică are marginile AB şi CD fixe, marginea AD liberă, iar marginea BC este rezemată elastic. Funcţia căutată u = u ( x, y ) reprezintă deplasarea membranei faţă de poziţia de echilibru sub acţiunea unei încărcări continue f = f ( x, y ) , care este aplicată perpendicular pe membrană. Considerăm o reţea pătratică formată din 18 noduri, de pas h = 1 , ca în figura de mai jos.

D 1 2 3 A

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13 14 15

16 17 18

C

B

Fig. 2 Deoarece u = 0 pe AB şi CD, nodurile de pe aceste laturi nu prezintă interes şi de aceea nu le-am mai considerat. Vom nota cu u1 , u2 , ..., u18 respectiv cu f1 , f 2 , ..., f18 valorile funcţiei u = u ( x, y ) respectiv ale funcţiei f = f ( x, y ) în nodurile reţelei.


170

∂ 2u ∂ 2u şi Pentru discretizarea ecuaţiei (4), trebuie să aproximăm derivatele în ∂y 2 ∂x 2

nodurile reţelei. Ne propunem să arătăm cum se procedează pentru aceasta, analizând un nod interior, de exemplu nodul 11. Conform (3), vom avea ⎛ ∂ 2u ⎞ u8 − 2u11 + u14 ⎜ 2⎟ = h2 ⎝ ∂x ⎠11

şi ⎛ ∂ 2u ⎞ u10 − 2u11 + u12 . ⎜ 2⎟ = h2 ⎝ ∂y ⎠11

Înlocuind în ecuaţia (4), obţinem: u8 − 2u11 + u14 + u10 − 2u11 + u12 = f11 h2 şi mai departe 4u11 − u8 − u14 − u10 − u12 + h 2 f11 = 0 .

(9)

În fiecare din cele 12 noduri interioare vom obţine câte o ecuaţie de tipul (9). Modul de alcătuire al ecuaţiei (9) se numeşte de tip cruce şi este pus în evidenţă de figura 3. -1

4u + h 2 f -1

-1

-1 Fig. 1 În cazul nodului 4, care este un nod interior, ecuaţia corespunzătoare va fi 4u4 − u5 − u7 − u4 + h 2 f 4 = 0 ,

(10)

deoarece u CD = 0 . Aşadar, celor 12 noduri interioare le corespund 12 ecuaţii liniare de tipul (9) sau (10), în necunoscutele u1 , u2 , ..., u18 .

171


Pentru a discretiza condiţiile la limită de pe laturile AD şi BC, trebuie să aproximăm derivata

∂u . Pentrua avea o diversitate a procedeelor de discretizare, vom folosi pentru apro∂x

ximarea derivatei

∂u formula (2). De exemplu, în nodul 1 vom avea ∂x

∂u −3u1 + 4u4 − u7 . ≈ ∂x 2h Cum

∂u ∂x

= 0 , obţinem ecuaţia liniară AC

−3u1 + 4u4 − u7 = 0 .

(11)

Ecuaţii asemănătoare se obţin pentru nodurile 2 şi 3. Deoarece pe latura BC condiţia la limită este

∂u + u = 0 , în nodul 16 obţinem ∂x

−3u16 + 4u13 − u10 + u16 = 0 2h şi mai departe −3u16 + 4u13 − u10 + 2hu16 = 0 .

(12)

Ecuaţii asemănătoare se obţin pentru nodurile 17 şi 18. În final, se obţine un sistem de 18 ecuaţii liniare cu 18 necunoscute: u1 , u2 , ..., u18 . Rezolvând acest sistem se obţin valorile aproximative ale funcţiei u în nodurile reţelei. b) Vom aplica metoda diferenţelor finite în cazul ecuaţiei propagării căldurii într-o bară omogenă mărginită. Se cere să se determine funcţia u ( x, t ) , care este soluţie a ecuaţiei propagării căldurii ∂u ∂ 2u = a 2 2 , ( x, t ) ∈ [0,5] × [0, 4] , ∂t ∂x

(13)

şi satisface condiţia iniţială u ( x, 0) = x(5 − x)

(14)

şi condiţiile la limită u (0, t ) = 0 , u (5, t ) = 0 .

(15)

Divizăm intervalul [0,5] în 5 părţi egale, prin punctele xn = nh , n = 0,5 , h = 1 ; apoi divizăm segmentul [0, 4] în 4 părţi egale, prin punctele tm = mk , m = 0, 4 , k = 1 . Precizăm că, în general, nu este obligatoriu ca h = k . Se obţine o reţea similară celei din figura 2.


172

Notăm ui , j = u ( xi , t j ) , i = 0,5 , j = 0, 4 . Pentru aproximarea derivatei parţiale derivatei parţiale

∂u folosim formula (1), iar pentru aproximarea ∂t

∂ 2u folosim formula (3), deci ∂x 2

ui , j +1 − ui , j ⎛ ∂u ⎞ , ⎜ ⎟ ≈ k ⎝ ∂t ⎠ij

ui +1, j − 2ui , j + ui −1, j ⎛ ∂ 2u ⎞ . ⎜ 2⎟ ≈ h2 ⎝ ∂x ⎠ij În consecinţă, ţinând seama de (13), rezultă ui , j +1 − ui , j k

= a2

ui +1, j − 2ui , j + ui −1, j h2

, i = 1, 4 , j = 1,3 .

(16)

Din condiţiile la limită (15) avem u0, j = u5, j = 0 , j = 0, 4 , iar din condiţia iniţială (14) ui ,0 = xi (5 − xi ) , i = 1, 4 . Cunoscând aceste valori şi luând j = 0 în (16), se calculează valorile ui ,1 , i = 1, 4 , deci valorile în nodurile aflate pe dreapta t = k . Apoi, considerând j = 1 în (16), se calculează valorile ui ,2 , i = 1, 4 , adică valorile în nodurile aflate pe dreapta t = 2k etc.

CAPITOLUL 6

ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL

6.1. Introducere Calculul variaţional se ocupă cu studiul extremelor pentru o clasă specială de funcţii numite funcţionale. Aceste funcţionale sunt definite pe submulţimi ale unor spaţii de funcţii obişnuite. Din punct de vedere istoric, contribuţii decisive la dezvoltarea calculului variaţional au adus Euler (1744), dar mai ales Lagrange (1760) care a dat metodele generale ale disciplinei şi le-a aplicat în mecanică. Vom începe cu prezentarea unor probleme clasice ale calculului variaţional. Curba de cea mai rapidă coborâre (problema brachistocronei). Problema a fost formulată de Johann Bernoulli în 1696. De rezolvarea acestei probleme s-au ocupat fraţii Johann şi Jacob Bernoulli, Newton, Leibniz, l’Hospital. Originea termenului brachistocronă se află în limba greacă (brakhistos = cel mai scurt, khronos = timp). Prin brachistocronă se înţelege traiectoria pe care un corp care se deplasează între două puncte date, sub acţiunea gravitaţiei, realizează cel mai scurt timp. Aşadar, dintre toate curbele aflate într-un plan vertical şi trecând prin punctele fixe O (0, 0) şi P ( a, b) , cu P mai jos decât O , să se determine acea curbă pentru care timpul de coborâre din O în P a unui punct material greu fără frecare, să fie minim. O (0,0)

x

Pentru rezolvare, vom orienta axa Oy pe verticală în jos ca în fig. 1.

M(x,y) P(a,b)

Fie y = y ( x ) , x ∈ [0, a ] , y (0) = 0 , y (a ) = b , a, b > 0 , curba căutată. Fie v viteza de deplasare a punctului material,

y

Fig. 1

deci v = 2 g y =

ds , unde ds este lungimea arcului OM . dt

174


ds . 2g y

Atunci dt =

Prin urmare, dacă T este timpul necesar pentru ca punctul material să ajungă în punctul P , vom avea

T=

∫

p OP

a 1 + y ′2 ( x ) ds =∫ dx . 2 g y 0 2 g y ( x)

Problema suprafeţei de rotaţie de arie minimă constă în determinarea unei curbe y = y ( x ) , x ∈ [ a, b] , y (a ) = c , y (b) = d , cu proprietatea că aria suprafeţei de rotaţie a

graficului în jurul axei Ox este minimă (fig. 2).

y

După cum se cunoaşte, expresia acestei arii este

N(b,d)

b

M(a,c)

A = 2π ∫ y ( x) 1 + y′2 ( x)dx . a

O

Echilibrul unei membrane deformate.

a

b

x

O membrană elastică în stare de repaus are forma domeniului D ⊂ xOy (fig. 3). Fie C frontiera lui D . Deformăm conturul C al Fig. 2

membranei în direcţia perpendiculară pe planul xOy

şi

notăm

cu

deplasarea

u ( x, y )

z

(deformaţia) unui punct oarecare M ( x, y ) ∈ D (deformarea conturului atrage după sine şi deplasarea

punctelor

din

P

interiorul

membranei). Se cere să se determine poziţia de echilibru

a

membranei

când

O

cunoaştem

deformarea conturului ei. Aria membranei deformate va fi

∫∫

1 + u x2 + u y2 dxdy .

D

Dacă deplasările sunt mici,

y M

x

Fig. 3

D

175

6. Elemente de calcul variaţional

aproximăm această arie cu

⎛

1

∫∫ ⎜⎝1 + 2 (u

2 x

D

⎞ + u y2 ) ⎟ dxdy . ⎠

Rezultă că variaţia ariei suprafeţei deformate este 1 (u x2 + u y2 ) dxdy . 2 ∫∫ D

Se admite că energia potenţială a membranei deformate este proporţională cu creşterea ariei sale. Prin urmare energia potenţială de deformaţie E este E=

μ

(u 2 ∫∫

2 x

+ u y2 ) dxdy ,

(1)

D

unde μ este o constantă care exprimă calităţile elastice ale membranei. Presupunem că se cunosc deplasările punctelor de pe contur, deci că

u C = ϕ ( x, y) ,

(2)

ϕ fiind o funcţie cunoscută. Poziţia de echilibru se realizează când energia potenţială este minimă. Se obţine astfel următoarea problemă variaţională. Dintre toate funcţiile u ∈C (1) ( D ) care satisfac condiţia (2), să se determine acea funcţie pentru care integrala (1) devine minimă.

6.2. Extreme ale funcţionalelor. Variaţia întâi a unei funcţionale Teorema lui Fermat Pentru început, reamintim câteva noţiuni învăţate la cursul de Analiză matematică. Fie X un spaţiu vectorial real.

Definiţia 6.2.1. Se numeşte normă pe X o funcţie

⋅ : X → \ + , cu proprietăţile:

1) x = 0 ⇔ x = 0 X ; 2) λ x = λ x , ∀λ ∈ \ , ∀x ∈ X ; 3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X . (inegalitatea triunghiului) Spaţiul vectorial X înzestrat cu o normă se numeşte spaţiu vectorial normat.

176


Exemplul 6.2.1. Fie a, b ∈ \ , a < b , I = [ a, b] un interval şi n ∈ `* . Spaţiul vectorial real C

(n)

( I ; \ ) al funcţiilor y : I → \ de clasă C

(n)

, înzestrat cu norma

y = sup y ( x) + sup y′( x) + ... + sup y ( n ) ( x) , x∈I

x∈I

(1)

x∈I

este un spaţiu vectorial normat. De asemenea, spaţiul vectorial real C

γ : I → \ 2 , γ ( x) = ( ( y ( x), z ( x) ) , unde y, z ∈C

(1)

(1)

( I ; \ 2 ) al funcţiilor

( I ; \) , înzestrat cu norma

γ = sup y 2 ( x) + z 2 ( x) + sup y′2 ( x) + z ′2 ( x) , x∈I

(2)

x∈I

este un spaţiu vectorial normat. Exemplul 6.2.2. Fie D ⊂ \ 2 un domeniu mărginit de o curbă închisă, netedă pe porţiuni. Spaţiul C

(1)

( D; \) este spaţiu vectorial normat în raport cu norma

z = sup z ( x, y ) + sup ( x , y )∈D

( x , y )∈D

∂z ∂z ( x, y ) + sup ( x, y ) , ∀z ∈C ∂x ( x , y )∈D ∂y

(1)

( D; \ ) .

(3)

Definiţia 6.2.2. Fie X un spaţiu vectorial normat, y0 ∈ X şi r > 0 . Se numeşte bila deschisă cu centrul în z 0 şi de rază r mulţimea B ( y0 , r ) = { y ∈ X ; y − y0 < r} . Mulţimea A ⊂ X se numeşte deschisă dacă ∀y ∈ A , există r > 0 astfel încât B ( y , r ) ⊂ A .

Definiţia 6.2.3. Fie ( yn ) n ⊂ X . Şirul ( yn )n converge la y ∈ X şi se notează yn → y dacă şi numai dacă lim yn − y = 0 . Şirul ( yn )n se numeşte şir fundamental sau şir Cauchy n →∞

dacă şi numai dacă lim ym − yn = 0 . Un spaţiu vectorial normat, în care orice şir Cauchy m , n →∞

este convergent se numeşte spaţiu complet sau spaţiu Banach. Observaţia 6.2.1. Reamintim că pe spaţiul C ([ a, b]; \ ) , al funcţiilor continue pe [a, b] , se poate defini norma Cebâşev:

g

C

= sup{ g ( x) ; x ∈ [a, b]} , ∀g ∈C ([a, b]; \ ) .

Mai mult, spaţiul C ([ a, b]; \ ) înzestrat cu norma Cebâşev este un spaţiu Banach.

177


Rezultatul se extinde şi pentru spaţiul funcţiilor continue pe o mulţime compactă K ⊂ \ n cu valori în \ m . Cu aceste precizări, norma (1) se mai scrie:

y = y

C

+ y′ C + ... + y ( n ) . C

De asemenea, normele (2) şi (3) devin

γ = γ

C

+ γ′ C

z = z

C

+

respectiv ∂z ∂x

+ C

∂z ∂y

. C

Este uşor de observat că spaţiile vectoriale normate din exemplele 1) şi 2) sunt spaţii Banach. Fie X un spaţiu vectorial normat. În cele ce urmează, prin funcţională pe X înţelegem orice funcţie F : X → \ . Problemele clasice ale calculului variaţional prezentate secţiunea 6.1, ne sugerează să considerăm următoarele funcţionale. Exemplul 6.2.3. Fie X =C

(1)

([0, a ]; \) . În cazul problemei brachistocronei, definim

pe X funcţionala-timp T : X → \ , a

T ( y) = ∫

1 + y ′2 ( x )

0

y ( x)

dx , ∀ y ∈ X .

De asemenea, în cazul problemei suprafeţei de rotaţie de arie minimă, pe X =C

(1)

([a, b]; \) putem defini funcţionala-arie A : X → \ , b

A ( y ) = ∫ y ( x) 1 + y′2 ( x)dx , ∀y ∈ X . a

Mai general, pe X =C

(1)

([a, b]; \) putem considera funcţionale de tipul

b

F ( y ) = ∫ F ( x, y( x), y′( x))dx , a

unde F este o funcţie continuă pe un domeniu Ω ⊂ \ 3 , iar y este o funcţie oarecare de clasă

C

(1)

pe [a, b] , cu proprietatea că ( x, y ( x ), y ′( x )) ∈ Ω , ∀x ∈ [ a, b] .

178


Exemplul 6.2.4.

Problema echilibrului unei membrane deformate care ocupă

domeniul mărginit D ⊂ \ 2 , ne conduce la considerarea funcţionalei-energie

E (u ) = ∫∫ (u x2 + u y2 ) dxdy , D

cunoscută sub numele de integrala energiei sau integrala Dirichlet a funcţiei u : D → \ . Mai general, pe X =C

(1)

( D; \) putem considera funcţionale de tipul

b

F ( z ) = ∫ F ( x, y, z ( x, y ), a

unde

F

∂z ∂z ( x, y ), ( x, y ))dxdy , ∂x ∂y

este o funcţie continuă de cinci variabile reale, definită pe mulţimea

{( x, y, z ( x, y ),

∂z ∂z ( x, y ), ( x, y )) ∈ \ 5 ;( x, y ) ∈ D} , z fiind o funcţie de clasă C ∂x ∂y

(1)

pe

domeniul D . Definiţia 6.2.4. Fie X un spaţiu vectorial normat, A ⊂ X şi F : A → \ o funcţională. Un element y0 ∈ A se numeşte punct de minim local (respectiv maxim local) pentru F , dacă există r > 0 astfel încât pentru orice y ∈ A care satisface y − y0 < r , rezultă F ( y ) ≥ F ( y0 ) (respectiv F ( y ) ≤ F ( y0 ) ). Un punct de minim local sau de maxim local se numeşte punct de extrem local. Dacă inegalităţile de mai sus au loc pentru orice y ∈ A , atunci se poate vorbi de punct de minim global (respectiv maxim global) sau extrem global. În continuare, fie X un spaţiu vectorial normat, A ⊂ X o mulţime deschisă,

F : A → \ o funcţională, y0 ∈ A şi h ∈ X , h ≠ 0 X , un element fixat. Mulţimea A fiind r >0

deschisă, există

astfel încât

B ( y0 , r ) ⊂ A . Dacă

t ∈ \ , atunci elementul

y = y0 + th ∈ B( y0 , r ) dacă şi numai dacă y − y0 < r , deci dacă şi numai dacă t <

r . În h

consecinţă, putem defini funcţia reală ⎛

ϕ h : ⎜⎜ − ⎝

r r ⎞ , ⎟ → \ , ϕh (t ) = F ( y0 + th) . h h ⎟⎠

(4)

179


Definiţia 6.2.5. Fie X un spaţiu vectorial normat, A ⊂ X o mulţime deschisă,

F : A → \ şi y0 ∈ A . Se spune că F

admite variaţia întâi în y0 pe direcţia unui vector

nenul h ∈ X , dacă funcţia ϕ h dată de (4) este derivabilă în punctul t = 0 . În acest caz, ϕh′ (0) se numeşte variaţia întâi a lui F

în y0 pe direcţia lui h şi se notează cu δ hF ( y0 ) .

Vectorul h se numeşte variaţie a argumentului funcţionalei F . Un punct y0 ∈ A cu proprietatea că δ hF ( y0 ) = 0 , ∀h ∈ X , se numeşte punct critic (staţionar) al funcţionalei

F . Prin urmare

δ hF ( y0 ) = lim

ϕ h (t ) − ϕ h (0)

t →0

t

= lim t →0

F ( y0 + th) −F ( y0 ) t

.

(5)

Dacă h = 0 , atunci punem δ hF ( y0 ) = 0 .

Observaţia 6.2.2. În particular, fie X = \ n , h ∈ \ n , h ≠ 0 şi s =

h versorul lui h . h

Atunci

δ hF ( y0 ) = unde

dF ( y0 ) , ds

dF ( y0 ) este derivata lui F ds

după direcţia lui s în y0 . Aşadar, noţiunea de variaţie

întâi este o extindere a conceptului de derivată după o direcţie. Ca şi în cazul funcţiilor reale următoarea teoremă furnizează o condiţie necesară de extrem. Teorema 6.2.1. (Teorema lui Fermat). Fie X un spaţiu vectorial normat, A ⊂ X o mulţime deschisă şi F : A → \ o funcţională. Dacă y0 ∈ A este un punct de extrem local pentru F

şi dacă F

admite variaţia întâi în y0 pe orice direcţie, atunci y0 este punct

critic al lui F , adică

δ hF ( y0 ) = 0 , ∀h ∈ X .

(6)

180


Demonstraţie. Egalitatea (6) este evidentă pentru h = 0 X . Să presupunem acum că

h ≠ 0 X şi că y0 este punct de minim local, în cazul în care y0 este punct de maxim local raţionamentul fiind similar. Conform definiţiei, există r > 0 astfel încât pentru orice y ∈ A ∩ B ( y0 , r ) are loc F ( y ) ≥ F ( y0 ) . Mulţimea A fiind deschisă, putem alege r > 0 suficient de mic astfel încât B ( y0 , r ) ⊂ A . Aşadar, pentru orice y ∈ B( y0 , r ) avem

F ( y ) ≥ F ( y0 ) . Deoarece pentru t <

r , y = y0 + th ∈ B( y0 , r ) , rezultă că pentru orice h

⎛ r r ⎞ t ∈ ⎜ − , ⎟ are loc inegalitatea F ( y0 + th) ≥ F ( y0 ) care, ţinând seama de (4), se mai ⎜ h h ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ r r ⎞ poate scrie sub forma ϕ h (t ) ≥ ϕ h (0) , ∀t ∈ ⎜ − , ⎟ . Conform teoremei clasice a lui Fermat ⎜ h h ⎟ ⎝ ⎠

pentru funcţii de o variabilă reală, rezultă că ϕ h′ (0) = 0 sau, echivalent, δ hF ( y0 ) = 0 . ■ În cele ce urmează, vom aborda problema determinării punctelor critice (staţionare) pentru funcţionale concrete. b

6.3. Funcţionale de tipul F ( y ) = ∫ F ( x, y, y′)dx a

Fie D ⊂ \3 o mulţime deschisă , F : D → \ o funcţie de clasă C

(1)

şi I = [ a, b] ⊂ \ .

De asemenea, fie

D = { y ∈C

(1)

( I ; \)

( x, y ( x), y′( x) ) ∈ D,

∀x ∈ I } ,

Considerăm funcţionala F : D → \ , b

F ( y ) = ∫ F ( x, y, y′)dx , ∀y ∈ D .

(1)

a

Această funcţională depinde de F . Lema 6.3.1. Mulţimea D este deschisă în spaţiul Banach C

(1)

( I ; \) .

181


Demonstraţie. Fie y0 ∈ D oarecare. Cum funcţia vectorială x → ( x, y0 ( x ), y0′ ( x )) : I → D ⊂ \ 3

este continuă, rezultă că mulţimea K = {( x, y0 ( x), y0′ ( x)); x ∈ I } ⊂ D este compactă. Fie

r = d ( x, C D) = inf{d ( M , N ); M ∈ K , N ∈ C D} . Deoarece K ∩ C D = ∅ , K este compactă şi

C D este închisă, rezultă că r > 0 (vezi [8], Teorema 5.2.1, pag. 100). Vom arăta că r r B ( y0 ; ) ⊂ D , de unde va rezulta că D este o mulţime deschisă. Fie y ∈ B ( y0 ; ) . Atunci 2 2 y − y0 = sup y ( x) − y0 ( x) + sup y′( x) − y0′ ( x) < x∈I

x∈I

r . 2

În particular, avem y ( x) − y0 ( x) + y′( x) − y0′ ( x) <

r , ∀x ∈ I . 2

(2)

Fie x ∈ I oarecare fixat, M ( x, y0 ( x), y0′ ( x)) ∈ K şi P ( x, y ( x ), y ′( x )) . Avem d ( M , P ) = ( y ( x) − y0 ( x)) 2 + ( y′( x) − y0′ ( x)) 2 ≤ y ( x) − y0 ( x) + y ′( x) − y0′ ( x) <

Cum d ( P, K ) ≤ d ( P, M ) , rezultă că d ( P, K ) <

r . 2

r . Din această ultimă inegalitate 2

deducem că P ∈ D , pentru că, în caz contrar, P ∈C D şi d ( P, K ) ≥ d (C D, K ) = r , ceea ce este absurd. r În definitiv, am arătat că dacă y ∈ B ( y0 ; ) , atunci ( x, y ( x ), y ′( x )) ∈ D , ∀x ∈ I , deci 2 y ∈ D . Cu aceasta, lema este demonstrată. ■

Ne punem problema determinării funcţiilor din D

care realizează un extrem al

funcţionalei (1) pe această mulţime. Conform teoremei lui Fermat, dacă y0 ∈ D realizează un extrem al funcţionalei (1) pe D , atunci, în mod necesar

δ hF ( y0 ) = 0 , ∀h ∈C

(1)

( I ; \) .

În practică se pune problema determinării punctelor de extrem ale funcţionalei (1) cu capete fixe. În acest caz, fie c, d ∈ \ numere date şi

A = { y ∈D

y (a) = c, y (b) = d } ,

182


cunoscută sub numele de mulţimea funcţiilor admisibile ale problemei. Este uşor de constatat că, dacă se cunoaşte o funcţie y0 ∈A , atunci orice altă funcţie y ∈A y = y0 + h , unde h( a ) = h(b) = 0 . Prin urmare, dacă y0 ∈A

este de forma

realizează un extrem al

funcţionalei (1) pe mulţimea funcţiilor admisibile, atunci, în mod necesar

δ hF ( y0 ) = 0 , ∀h ∈C

(1)

( I ; \ ) , h ( a ) = h (b ) = 0 .

Pentru rezolvarea problemelor de extrem pentru funcţionala (1) este util următorul rezultat. Lema 6.3.2.

(Lema fundamentală a calculului variaţional). (Lagrange).

Fie

f :[ a, b] → \ o funcţie continuă cu proprietatea că pentru orice funcţie h :[ a, b] → \ , de

clasă C

(1)

pe [a, b] , cu h( a ) = h(b) = 0 , satisface condiţia b

∫ f ( x)h( x)dx = 0 .

(3)

a

Atunci f ( x ) = 0 , pentru orice x ∈ [ a, b] . Demonstraţie. Funcţia f fiind continuă, este suficient să arătăm că f ( x ) = 0 , pentru orice x ∈ ( a, b) . Presupunem, prin absurd, că f nu este identic nulă pe (a, b) , deci există c ∈ ( a, b) astfel încât f (c ) ≠ 0 . Fără micşorarea generalităţii, putem presupune că f (c ) > 0 .

Funcţia f fiind continuă în punctul c , pentru orice ε > 0 există δ = δ (ε ) > 0 suficient de mic, astfel încât J = [c − δ , c + δ ] ⊂ ( a, b) şi pentru orice x ∈ J , avem f ( x) − f (c) ≤ ε . Altfel spus, pentru orice x ∈ J au loc inegalităţile f (c) − ε ≤ f ( x ) ≤ f (c ) + ε . În particular, pentru

ε=

1 f (c) rezultă că există un interval corespunzător J = [c − δ , c + δ ] astfel încât pentru 2

orice x ∈ J avem f ( x) ≥

1 f (c) . Fie funcţia 2

⎧ ( x − c + δ )2 ( x − c − δ ) 2 , dacă x ∈ J h( x ) = ⎨ . dacă x ∉ J ⎩0, Se verifică uşor că funcţia h satisface condiţiile din enunţul lemei. În plus, folosind teorema de medie, rezultă că

183

6. Elemente de calcul variaţional b

c +δ

a

c−

c +δ

1 f ( x)h( x)dx ≥ f (c) ∫ h( x)dx = f (c)h(ξ )δ > 0 , 2 c −δ

∫ f ( x)h( x)dx = ∫δ

unde ξ ∈ (c − δ , c + δ ) , ceea ce contrazice (3). ■ Observaţia 6.3.1. Lema lui Lagrange rămâne valabilă dacă funcţia h din enunţul lemei este o funcţie de clasă C derivatele

sale

până

la

(k )

, k ≥ 1 , pe [a, b] , care se anulează în a şi b împreună cu

k −1

ordinul

inclusiv.

Este

suficient

să

luăm

h( x) = ( x − c + δ ) 2 k ( x − c − δ ) 2 k , dacă x ∈ J . Lema 6.3.3.

(Du-Bois-Raymond).

Fie f :[ a, b] → \ o funcţie continuă cu

proprietatea că pentru orice funcţie h :[ a, b] → \ , de clasă C

(1)

pe [a, b] , cu

h( a ) = h(b) = 0 , satisface condiţia b

∫ f ( x)h′( x)dx = 0 .

(4)

a

Atunci funcţia f este constantă pe intervalul [a, b] .

Demonstraţie. Fie x

h :[ a, b] → \ , h( x) = ∫ ( f (t ) − c)dt , a

unde c este o constantă care se determină din condiţia h(b) = 0 , deci b

c=

1 f ( x)dx . b − a ∫a

Este clar că funcţia h astfel construită este de clasă C

(1)

pe [a, b] , satisface condiţiile

h( a ) = h(b) = 0 şi h′( x ) = f ( x) − c . Atunci b

∫ ( f ( x) − c ) a

2

b

dx = ∫ ( f ( x) − c ) h′( x)dx = a

b

b

a

a

= ∫ f ( x)h′( x)dx − c ∫ h′( x)dx = 0 − c[h(b) − h(a)] = 0 . Integrantul fiind pozitiv şi funcţia f continuă, rezultă că f ( x ) = c , ∀x ∈ [ a, b]. ■

184


Corolarul 6.3.1. Dacă P, Q :[ a, b] → \ sunt funcţii continue care satisfac b

∫ [ P( x)h( x) + Q( x)h′( x)]dx = 0 a

pentru orice funcţie h de clasă C

(1)

pe [a, b] , cu h( a ) = h(b) = 0 , atunci funcţia Q este

derivabilă şi Q′( x) = P ( x ) , ∀x ∈ [ a, b] .

x

f ( x) = ∫ P(t )dt . Această funcţie este

Fie funcţia f :[ a, b] → \ ,

Demonstraţie.

a

derivabilă şi f ′( x) = P ( x) , ∀x ∈ [ a, b] . Conform ipotezei, pentru orice funcţie h de clasă

C

(1)

pe [a, b] , cu h( a ) = h(b) = 0 , avem b

∫ [ f ′( x)h( x) + Q( x)h′( x)]dx = 0 , a

de unde, integrând prin părţi, obţinem b

b

b

a

a

a

∫ Q( x)h′( x)dx = −∫ f ′( x)h( x)dx = ∫ f ( x)h′( x)dx . În consecinţă b

∫ [Q( x) − f ( x)]h′( x)dx = 0 . a

Conform Lemei 6.3.3, rezultă că funcţia Q − f

este constantă pe [a, b] , deci

Q′( x ) = f ′( x ) = P ( x ) , ∀x ∈ [ a, b] . ■

Teorema 6.3.1. (Teorema lui Euler). Fie D ⊂ \ 3 o mulţime deschisă, F : D → \ o funcţie de clasă C

(1)

, I = [ a, b] ⊂ \ şi D = { y ∈C

(1)

( I ; \)

( x, y ( x), y′( x) ) ∈ D,

∀x ∈ I } .

Fie, de asemenea, funcţionala F : D → \ , b

F ( y ) = ∫ F ( x, y, y′)dx , ∀y ∈ D . a

Dacă funcţia funcţionalei

F

y0 ∈A = { y ∈D pe

mulţimea

y (a) = c, y (b) = d } realizează un extrem al funcţiilor

admisibile

A ,

atunci

funcţia

185


x6

∂F ( x, y0 ( x), y0′ ( x)) este de clasă C ∂y′

(1)

pe [a, b] şi funcţia y0 verifică ecuaţia

diferenţială ∂F d ⎛ ∂F ⎞ = ⎜ ⎟. ∂y dx ⎝ ∂y′ ⎠

(5)

Demonstraţie. Fie h o funcţie de clasă C

(1)

pe [a, b] , care satisface condiţiile la

⎛ r r ⎞ limită h( a ) = 0 , h(b) = 0 şi funcţia ϕ h : ⎜ − , ⎟ → \ , ϕh (t ) = F ( y0 + th) . Variaţia întâi ⎜ h h ⎟ ⎝ ⎠

a funcţionalei F

este δ hF ( y0 ) = ϕ h′ (0) , deci

δ hF ( y0 ) =

b ⎞ d⎛ ⎜ ∫ F ( x, y0 ( x) + th( x), y0′ ( x) + th′( x) )dx ⎟ dt ⎝ a ⎠

= t =0

b ⎡d ⎤ = ∫ ⎢ ( F ( x, y0 ( x) + th( x), y0′ ( x) + th′( x) ) ) ⎥dx = dt t =0 ⎦ a⎣ b ⎡ ∂F ⎤ ∂F x, y0 ( x), y0′ ( x) ) ⋅ h′( x) ⎥dx . = ∫ ⎢ ( x, y0 ( x), y0′ ( x) ) ⋅ h( x) + ( ∂y ∂y′ ⎦ a ⎣

Conform teoremei lui Fermat, δ hF ( y0 ) = 0 , pentru orice funcţie h de clasă C

(1)

pe

[a, b] , care satisface h( a ) = 0 , h(b) = 0 , deci b

⎡ ∂F

⎤

∂F

∫ ⎢⎣ ∂y ( x, y ( x), y′ ( x) ) ⋅ h( x) + ∂y′ ( x, y ( x), y′ ( x) ) ⋅ h′( x)⎥⎦dx = 0 . 0

0

0

0

a

Concluzia teoremei rezultă din Corolarul 6.3.1. ■ Aşadar, teorema lui Euler ne dă o condiţie necesară de extrem, cu care problema poate fi complet rezolvată în multe cazuri. Problema condiţiilor suficiente de extrem depăşeşte cadrul acestui curs şi nu o vom aborda. Ecuaţia diferenţială (5) se numeşte ecuaţia lui Euler-Lagrange asociată funcţionalei

F . Soluţiile ecuaţiei diferenţiale (5) se numesc extremale. Ele sunt susceptibile de a fi puncte de minim pentru funcţionala F .

186

ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CUDERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII

Observaţia 6.3.2. Dacă funcţia F ∈C

(2)

( D) , derivând în raport cu x termenul drept

al ecuaţiei (4), aceasta devine

∂2 F ∂2 F ∂ 2 F ∂F ′′ ′ y + y + − = 0. ∂y′2 ∂y∂y′ ∂x∂y′ ∂y

∂2 F Rezultă că, dacă nu este identic nulă, atunci ecuaţia diferenţială (4) este o ecuaţie ∂y′2 diferenţială de ordinul al doilea, deci soluţia sa generală depinde de două constante arbitrare. Aceste constante se determină folosind condiţia suplimentară a problemei: curba căutată trebuie să treacă prin două puncte date. Exemplul 6.3.1. Să se determine extremalele funcţionalei 2

F ( y ) = ∫ ( x 2 y′2 + 12 y 2 )dx , 1

care satisfac condiţiile la limită y (1) = 1 , y (2) = 8 .

În acest caz F ( x, y, y′) = x 2 y′2 + 12 y 2 ,

∂F ∂F = 24 y , = 2 x 2 y′ . ′ ∂y ∂y

În consecinţă, ecuaţia Euler-Lagrange va fi 24 y −

d (2 x 2 y′) = 0 sau 24 y − 4 xy′ − 2 x 2 y′′ = 0 . dx

Se ajunge astfel la ecuaţia diferenţială de tip Euler x 2 y′′ + 2 xy′ − 12 y = 0 . Facem schimbarea de variabilă x = et şi ţinem seama că y′ = e − t

dy , dt

⎛ d 2 y dy ⎞ y′′ = e−2t ⎜ 2 − ⎟ . Atunci, ecuaţia diferenţială Euler se transformă în ecuaţia liniară cu dt ⎠ ⎝ dt coeficienţi constanţi d 2 y dy + − 12 y = 0 , dt 2 dt

187


care are soluţia y (t ) = C1e3t + C2 e −4t . Prin urmare soluţia ecuaţiei diferenţiale Euler este y ( x) = C1 x 3 +

C2 . Din condiţiile la limită obţinem C1 = 1 , C2 = 0 . Aşadar, extremala căutată x4

este y ( x) = x 3 .

∂2 F ≡ 0 . Atunci funcţia F este de forma Observaţia 6.3.3. Să presupunem că ∂y′2 F ( x, y , y ′) = P ( x, y ) + Q ( x, y ) y ′ .

Ecuaţia lui Euler devine ∂P ∂Q ∂Q ∂Q + y′ − − y′ = 0 , ∂y ∂y ∂x ∂y adică ∂P ∂Q = . ∂y ∂x

(6)

Dacă această relaţie este satisfăcută identic, atunci expresia de sub semnul integralei [ P ( x, y ) + Q ( x, y ) y′]dx = P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy

va fi o diferenţială totală exactă, deci valoarea integralei depinde numai de capetele curbei, nu şi de drumul de integrare. În acest caz problema variaţională nu are sens. Dacă relaţia (6) nu este satisfăcută identic, atunci ea defineşte o curbă bine determinată, care, în general, nu va trece prin punctele date. În acest caz, problema variaţională nu are soluţie. În anumite cazuri particulare, relaţia (6) poate să dea soluţia problemei de extrem pentru funcţionala corespunzătoare. Exemplul 6.3.2. Să se determine extremalele funcţionalei 2

F ( y ) = ∫ (3 x − y ) ydx , 1

care satisfac condiţiile la limită y (1) = 1 , y (2) = 8 .

În acest caz F ( x, y, y′) = 3 xy − y 2 , iar ecuaţia lui Euler devine 3 x − 2 y = 0 . Prin urmare, y ( x ) =

∂F = 0 , adică ∂y

3 x , care, în mod evident, nu satisface condiţiile la limită. 2

188


Cazuri particulare ale ecuaţiei lui Euler 1) Funcţia F nu depinde de y .

În acest caz

∂F = 0 şi ecuaţia lui Euler devine ∂y

d ⎛ ∂F ⎞ ⎜ ⎟ = 0, dx ⎝ ∂y′ ⎠ deci ∂F =C ∂y′

(7)

este o integrală primă pentru ecuaţia lui Euler. Exemplul 6.3.3. Să se determine extremalele funcţionalei 2

F ( y ) = ∫ y′(1 + x 2 y′)dx , 1

care satisfac condiţiile la limită y (1) = 3 , y (2) = 5 . În acest caz F ( x, y, y′) = y′(1 + x 2 y′) , deci F nu depinde de y . Conform celor de mai sus, extremalele funcţionalei satisfac ecuaţia (6), adică 1 + 2x 2 y′ = C . Atunci y ′ = unde, prin integrare, găsim familia de hiperbole y =

C −1 , de 2x2

C1 + C2 . Constantele C1 şi C2 se x

determină din condiţiile la limită. Obţinem sistemul C1 + C2 = 3 , soluţiile C1 = −4 , C2 = 7 . Extremala căutată este y ( x) = 7 −

1 C1 + C2 = 5 , care are 2

4 . x

2) Funcţia F nu depinde de x . În acest caz vom arăta că F − y′

∂F =C ∂y′

(8)

189


este o integrală primă pentru ecuaţia lui Euler. Într-adevăr, deoarece F = F ( y , y ′) şi ţinând seama de ecuaţia lui Euler, obţinem succesiv: d ⎛ ∂F ⎞ ∂F ∂F ∂F d ⎛ ∂F ⎞ y′ + y′′ − y′′ − y′ ⎜ ⎜ F − y′ ′ ⎟ = ⎟= dx ⎝ ∂y ⎠ ∂y ∂y′ ∂y′ dx ⎝ ∂y′ ⎠

⎛ ∂F d ⎛ ∂F ⎞ ⎞ = y′ ⎜ − ⎜ ⎟⎟ = 0, ⎝ ∂y dx ⎝ ∂y′ ⎠ ⎠ de unde rezultă (8). Exemplul 6.3.4. Să se rezolve problema brachistocronei. Altfel spus, să se determine extremalele funcţionalei a

T ( y) = ∫ 0

1 + y ′2 ( x ) y ( x)

dx ,

care satisfac condiţiile la limită y (0) = 0 , y (a ) = b .

În acest caz F ( x, y, y′) = F ( y, y′) =

obţinem

1 + y ′2 y

y ′2

−

y 1 + y ′2

1 + y ′2 y

. Deoarece

= C , care se mai scrie

∂F = ∂y′

1 y 1 + y ′2

k . 1 + y ′2

Punând y ′ = ctgt , rezultă că y = k sin 2 t = dx =

k (1 − cos 2t ) . Atunci 2

dy k sin 2t = = 2k sin 2 tdt = k (1 − cos 2t )dt . y′ ctgt

Prin urmare x=

k (2t − sin 2t ) + k1 . 2

Aşadar, obţinem curbele sub formă parametrică

y 1 + y ′2

, din (8)

= C . Notând k =

rezultă că y=

y′

1 , C2

190


k ⎧ ⎪⎪ x = 2 (2t − sin 2t ) + k1 ⎨ ⎪ y = k (1 − cos 2t ) ⎪⎩ 2

(9)

constantele k şi k1 fiind arbitrare şi se determină din condiţiile la limită. Ecuaţiile (9) reprezintă o familie de cicloide generate prin rostogolirea unui cerc de rază

k pe axa reală. 2

Punctele de întoarcere vor fi puncte de pe axa reală de abscise x = k1 + 2nπ k , n ∈ ] . Cum, prin ipoteză, curba căutată trece prin origine, va rezulta k1 = 0 . Constanta k se determină din condiţia y (a ) = b .

b

6.4. Funcţionale de tipul F ( y, z ) = ∫ F ( x, y, z, y′, z′)dx a

Fie D ⊂ \5 o mulţime deschisă , F : D → \ o funcţie de clasă C

(1)

şi I = [ a, b] ⊂ \ .

De asemenea, fie

D = {( y, z ) ∈C

(1)

( I ; \2 )

( x, y( x), z( x), y′( x), z′( x) ) ∈ D, ∀x ∈ I } ,

y1 , y2 , z1 , z 2 ∈ \ numere date şi

A = {( y, z ) ∈D

y (a) = y1 , y (b) = y2 , z (a) = z1 , z (b) = z2 } .

Considerăm funcţionala F :A → \ , b

F ( y, z ) = ∫ F ( x, y, z , y′, z′)dx .

(1)

a

Această funcţională depinde de F . Mulţimea A

se numeşte mulţimea funcţiilor

admisibile. Teorema 6.4.1. Dacă ( y, z ) ∈C mulţimea

funcţiilor

admisibile,

(1)

( I ; \ 2 ) realizează extremumul funcţionalei (1) pe

atunci

funcţiile

x6

∂F ( x, y ( x), y′( x), z ( x), z′( x)) , ∂y′

191


x6

∂F ( x, y ( x), y′( x), z ( x), z ′( x)) sunt de clasă C ∂z ′

(1)

, iar funcţiile y şi z verifică sistemul de

ecuaţii diferenţiale

⎧ ∂F d ⎛ ∂F ⎞ = ⎜ ⎪ ⎟ ⎪ ∂y dx ⎝ ∂y′ ⎠ . ⎨ ⎪ ∂F = d ⎛ ∂F ⎞ ⎜ ⎟ ⎩⎪ ∂z dx ⎝ ∂z ′ ⎠ Demonstraţie. Fie ( g , h) ∈C

(2)

(1)

( I ; \ 2 ) care satisface condiţiile la limită g ( a ) = 0 ,

g (b) = 0 , h( a ) = 0 , h(b) = 0 şi funcţia

⎛

ϕ( g ,h ) : ⎜⎜ − ⎝

r r , ( g , h) ( g , h)

⎞ ⎟⎟ → \ , ⎠

ϕ( g ,h ) (t ) = F ( y + tg , z + th) .

Variaţia întâi a funcţionalei (1) este δ ( g ,h )F ( y , z ) = ϕ(′g , h ) (0) , deci

δ ( g ,h )F ( y, z ) =

b ⎞ d⎛ ⎜ ∫ F ( x, y ( x) + tg ( x), y′( x) + tg ′( x), z ( x) + th( x), z ′( x) + th′( x) )dx ⎟ dt ⎝ a ⎠

= t =0

⎡d ⎤ = ∫ ⎢ ( F ( x, y ( x) + tg ( x), y′( x) + tg ′( x), z ( x) + th( x), z′( x) + th′( x) ) ) ⎥dx = dt t =0 ⎦ a ⎣ b

⎡ ∂F ⎤ ∂F x, y ( x), y′( x), z ( x), z′( x) ) ⋅ g ′( x) ⎥dx + = ∫ ⎢ ( x, y ( x), y′( x), z ( x), z ′( x) ) ⋅ g ( x) + ( ∂y ∂y′ ⎦ a ⎣ b

b

∂F ⎡ ∂F + ∫ ⎢ ( x, y ( x), y′( x), z ( x), z ′( x) ) ⋅ h( x) + ( x, y( x), y′( x), z ( x), z′( x) ) ⋅ h′( x) ⎤⎥dx . ′ ∂z ∂z ⎦ a ⎣

(3)

Conform teoremei lui Fermat, δ ( g ,h )F ( y , z ) = 0 , pentru orice funcţii g şi h de clasă

C

(1)

pe [a, b] , care satisfac g ( a ) = 0 , g (b) = 0 , h( a ) = 0 , h(b) = 0 . În particular, scriind δ ( g ,h )F ( y , z ) = 0 pentru ( g , 0) respectiv (0, h) şi ţinând seama

de (3), obţinem: b

⎡ ∂F

∂F

⎤

⎡ ∂F

∂F

⎤

∫ ⎢⎣ ∂y ( x, y( x), y′( x), z ( x), z′( x) ) ⋅ g ( x) + ∂y′ ( x, y( x), y′( x), z( x), z′( x) ) ⋅ g ′( x) ⎥⎦dx = 0 , a

b

∫ ⎢⎣ ∂z ( x, y( x), y′( x), z ( x), z′( x) ) ⋅ h( x) + ∂z′ ( x, y( x), y′( x), z( x), z′( x) ) ⋅ h′( x) ⎥⎦dx = 0 . a

192


Concluzia teoremei rezultă din Corolarul 1. ■ Aşadar, Teorema 6.4.1 dă condiţii necesare de extrem. Sistemul de ecuaţii diferenţiale (2) se numeşte sistemul Euler-Lagrange asociat funcţionalei (1). Curbele y şi z care satisfac sistemul (2) se numesc curbe extremale sau, simplu, extremale ale funcţionalei (1). Observaţia 6.4.1. 1) Dacă funcţia F nu depinde explicit de y sau z , atunci sistemul

(2) admite, în mod evident, integralele prime ∂F ∂F = C respectiv = C′ . ∂y′ ∂z ′ 2) Dacă funcţia F nu depinde explicit de x , atunci sistemul (2) admite integrala primă F − y′

∂F ∂F − z′ =C. ∂y′ ∂z ′

Într-adevăr, d ⎛ ∂F ∂F ⎞ ∂F ∂F ∂F ∂F y′ + z′ + y′′ + z ′′ − ⎜ F − y′ ′ − z ′ ′ ⎟ = dx ⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂y ∂z ∂y′ ∂z′ − y′′

∂F d ⎛ ∂F ⎞ ∂F d ⎛ ∂F ⎞ − y′ ⎜ − z′′ − z′ ⎜ ⎟ ⎟ = 0, dx ⎝ ∂y′ ⎠ dx ⎝ ∂z′ ⎠ ∂y′ ∂z′

deoarece y şi z care satisfac sistemul Euler-Lagrange.

Exemplul 6.4.1. Să se determine extremalele funcţionalei π

F ( y, z ) = ∫ (2 yz − 2 y 2 + y′2 − z ′2 )dx , 0

care satisfac condiţiile la limită y (0) = 0 , y (π ) = 1 , z (0) = 0 , z (π ) = 1 . Deoarece F ( x, y, z, y′, z ′) = 2 yz − 2 y 2 + y′2 − z′2 , sistemul Euler-Lagrange devine:

193


⎧ ∂F d ⎛ ∂F ⎞ − ⎜ ⎪ ⎟ = 2 z − 4 y − 2 y′′ = 0 ⎪ ∂y dx ⎝ ∂y′ ⎠ . ⎨ F d F ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎪ − = 2 y − 2 z′′ = 0 ⎪⎩ ∂z dx ⎝⎜ ∂z ′ ⎠⎟ Din sistemul y′′ + 2 y − z = 0 , z ′′ + y = 0 , eliminând pe z , obţinem ecuaţia diferenţială y IV + 2 y′′ + y = 0 , a cărei soluţie generală este y ( x) = C1 cos x + C2 sin x + x(C3 cos x + C4 sin x) . Din condiţiile y (0) = 0 , y (π ) = 1 , obţinem C1 = 0 şi C3 = − y ( x) = C2 sin x + C4 x sin x −

x

π

1

π

. În consecinţă

cos x .

Din prima ecuaţie a sistemului rezultă că z ( x) = C2 sin x + C4 (2 cos x + x sin x) +

1

π

(2sin x − x cos x) .

Folosind condiţiile z (0) = 0 , z (π ) = 1 , obţinem C4 = 0 şi C2 arbitrar. În concluzie, curbele extremale căutate sunt: y ( x) = C2 sin x − z ( x) = C2 sin x +

x

π 1

π

cos x , (2sin x − x cos x) .

b

6.5. Funcţionale de tipul F ( y ) = ∫ F ( x, y, y′, y′′,..., y ( n ) )dx a

Procedând ca în secţiunea 6.3, vom aborda probleme ale calculului variaţional, în care funcţia de sub semnul integrală depinde nu numai de derivata de ordinul întâi, ci şi de derivatele de ordin superior. Probleme de acest tip apar des în teoria elasticităţii. Prezentăm, pe scurt, un exemplu. Să se determine forma axei unei grinzi încovoiate, cu anumite condiţii la extremităţi. Această problemă revine la găsirea extremumului energiei potenţiale a sistemului. Dar energia potenţială a unei grinzi încovoiate depinde de curbură. Prin urmare, în această problemă se caută curbele extremale în cazul în care funcţia de sub semnul integrală depinde de derivatele de ordinul întâi şi de ordinul al doilea ale funcţiei necunoscute.

194


Fie I = [ a, b] ⊂ \ , n ∈ `* şi fie C y : I → \ de clasă C

(n)

(n)

( I ; \ ) spaţiul vectorial real al funcţiilor

, înzestrat cu norma

y = sup y ( x) + sup y′( x) + ... + sup y ( n ) ( x) . x∈I

x∈I

x∈I

Dacă F :[a, b] × \ n +1 → \ este o funcţie dată, de clasă C

F :C

(n)

(1)

, considerăm funcţionala

( I ; \) → \ , b

F ( y ) = ∫ F ( x, y, y′, y′′,..., y ( n ) )dx .

(1)

a

Problema pe care o vom aborda se enunţă în modul următor. Dintre toate curbele y ∈C

(n)

( I ; \) , care verifică condiţiile la limită:

y (a) = c1 , y′(a) = c2 ,…, y ( n −1) (a ) = cn , y(b) = d1 , y′(b) = d 2 ,…, y ( n −1) (b) = d n ,

(2)

să se determine acea curbă de-a lungul căreia funcţionala (1) realizează un extremum. Se constată uşor că, dacă se cunoaşte o funcţie y0 ∈C la limită (2), atunci orice altă funcţie y ∈C

(n)

(n)

( I ; \ ) care verifică condiţiile

( I ; \) care verifică, de asemenea, condiţiile la

limită (2), este de forma y = y0 + h , unde h ∈C

(n)

( I ; \ ) satisface condiţiile la limită:

h( a ) = 0 , h′( a ) = 0 ,…, h( n −1) (a) = 0 , h(b) = 0 , h′(b) = 0 ,…, h( n −1) (b) = 0 .

Prin urmare, dacă y0 ∈C mulţimea funcţiilor din C

(n)

(n)

(3)

( I ; \ ) realizează un extrem al funcţionalei (1) pe

( I ; \ ) care satisfac condiţiile la limită (2), atunci, în mod necesar

δ hF ( y0 ) = 0 , pentru orice h ∈C

(n)

( I ; \ ) care satisface condiţiile la limită (3).

Teorema 6.5.1.

y ∈C

C

(n)

(2 n )

Fie F :[a, b] × \ n +1 → \ o funcţie de clasă C

( n +1)

. Dacă funcţia

( I ; \) realizează un extrem al funcţionalei (1) pe mulţimea funcţiilor din

( I ; \ ) , care satisfac condiţiile la limită (2), atunci funcţia y verifică ecuaţia diferenţială n ∂F d ⎛ ∂F ⎞ d 2 ⎛ ∂F ⎞ n −1 d ⎛ ∂F ⎞ ... ( 1) = ⎜ − + + − ⎟. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ dx n ⎝ ∂y ( n ) ⎠ ∂y dx ⎝ ∂y′ ⎠ dx 2 ⎝ ∂y′′ ⎠

(4)

195


Demonstraţie. y ∈C

(n)

Vom arăta că funcţionala (1) admite variaţia întâi în orice punct

( I ; \) , după direcţia oricărui h ∈C

(n)

( I ; \ ) . Într-adevăr

b ⎞ d⎛ δ hF ( y ) = ⎜ ∫ F ( x, y + th, y′ + th′,..., y ( n ) + th( n ) )dx ⎟ dt ⎝ a ⎠

= t =0

⎡ ∂F ⎤ ∂F ∂F ∂F = ∫ ⎢ ⋅h + ⋅ h′ + ⋅ h′′ + ... + ( n ) ⋅ h( n ) ⎥dx . ∂y ∂y′ ∂y′′ ∂y ⎦ a ⎣ b

Să presupunem acum că funcţia h satisface condiţiile la limită (3). Integrând prin părţi, pentru orice k , 1 ≤ k ≤ n , obţinem b d ⎛ ∂F ⎞ ( k −1) ∂F (k ) ∫a ∂y ( k ) ⋅ h dx = −∫a dx ⎜⎝ ∂y (k ) ⎟⎠ ⋅ h dx = b

b d 2 ⎛ ∂F ⎞ ( k − 2) dk k h x ⋅ = = − d ... ( 1) ⎜ ⎟ ∫a dxk dx 2 ⎝ ∂y ( k ) ⎠ a

b

=∫

⎛ ∂F ⎞ ⎜ ( k ) ⎟ ⋅ h dx . ⎝ ∂y ⎠

În consecinţă, avem b

⎡ ∂F

δ hF ( y ) = ∫ ⎢ a

⎣ ∂y

−

n ⎤ d ⎛ ∂F ⎞ n d ⎛ ∂F ⎞ + + − ⋅ h dx . ... ( 1) ⎜ ′⎟ n ⎜ (n) ⎟⎥ dx ⎝ ∂y ⎠ dx ⎝ ∂y ⎠ ⎦

Deoarece δ hF ( y ) = 0 pentru orice funcţie h de clasă C

(n)

pe [a, b] , care satisface

h( a ) = 0 , h(b) = 0 , din lema fundamentală a calculului variaţional rezultă că funcţia y

satisface ecuaţia diferenţială (4). ■ Prin urmare Teorema lui 6.5.1 dă o condiţie necesară de extrem. Ecuaţia diferenţială (4) se numeşte ecuaţia Euler-Poisson asociată funcţionalei (1). Soluţiile acestei ecuaţii se numesc curbe extremale sau, simplu, extremale ale funcţionalei (1). Exemplul 6.5.1. Să se determine extremalele funcţionalei 1

F ( y ) = ∫ (2 yy′ − 2 y 2 − y ′2 + y ′′2 )dx , 0

care satisfac condiţiile la limită y (0) = 1 , y ′(0) = 0 , y (1) = ch1 , y ′(0) = sh1 .

196


În acest caz F ( x, y, y′, y′′) = 2 yy′ − 2 y 2 − y′2 + y′′2 ,

∂F = 2 y′ − 4 y , ∂y


196

∂F ∂F = 2 y − 2 y′ , = 2 y′′ . În consecinţă, ecuaţia Euler-Poisson asociată funcţionalei este ∂y′ ∂y′′ 2 y′ − 4 y −

d d2 ′ (2 y − 2 y ) + 2 (2 y′′) = 0 sau y IV + y′′ − 2 y = 0 . Ecuaţia caracteristică a acestei dx dx

ecuaţii diferenţiale este r 4 + r 2 − 2 = 0 şi are rădăcinile r1 = 1 , r2 = −1 , r3 = i 2 , r4 = −i 2 . Atunci soluţia generală a ecuaţiei Euler-Poisson va fi

y ( x) = C1e x + C2e− x + C3 cos 2 x + C4 sin 2 x . Ţinând seama de condiţiile la limită, este util să scriem această soluţie generală folosind funcţiile hiperbolice. Deoarece e x = chx + shx şi e − x = chx − shx , atunci, notând

k1 = C1 + C2 , k2 = C1 − C2 , rezultă că soluţia generală a ecuaţiei Euler-Poisson se poate scrie sub forma

y ( x) = k1chx + k2shx + C3 cos 2 x + C4 sin 2 x . Folosind condiţiile la limită, ajungem la sistemul algebric liniar k1 + C3 = 0 , k2 + 2C4 = 0 , k1ch1 + k2sh1 + C3 cos 2 + C4 sin 2 = ch1 , k1sh1 + k2 ch1 − 2C3 sin 2 + + 2C4 cos 2 = sh1 . Rezolvând acest sistem, obţinem k1 = 1 , k2 = 0 , C3 = 0 , C4 = 0 . Prin

urmare, extremala căutată este y ( x ) = chx .

6.6. Funcţionale de tipul F (u ) = ∫∫ F ( x, y, u, D

Fie D ⊂ porţiuni C , U ⊂

2 5

∂u ∂u , )dxdy ∂x ∂y

un domeniu mărginit, a cărui frontieră este curba închisă, netedă pe o mulţime deschisă şi F : U → ⎛

∂u

o funcţie de clasă C 1 . Fie ∂u

⎞

D = {u ∈C 1 ( D; ) ⎜ x, y, u ( x, y ), ( x, y ), ( x, y ) ⎟ ∈ U , ∀( x, y ) ∈ D} . ∂x ∂y ⎝

⎠

Considerăm funcţionala F : D → b

F (u ) = ∫ F ( x, y, u ( x, y ), a

,

∂u ∂u ( x, y ), ( x, y ))dxdy , ∂x ∂y

(1)

Se poate demonstra că mulţimea D este o submulţime deschisă a spaţiului normat

C 1 ( D; ) . Dacă g este o funcţie dată pe curba C , fie


197

A = {u ∈D ; u C = g} . Este clar că, dacă funcţia u0 ∈A

este cunoscută, atunci orice altă funcţie u ∈A

este de forma u = u0 + h , unde h C = 0 . Ne punem problema determinării punctelor de extrem ale funcţionalei (1) pe mulţimea

A . Pentru rezolvarea acestei probleme sunt utile următoarele rezultate. Lema 6.6.1. Fie f : D → h de clasă C

1

o funcţie continuă cu proprietatea că pentru orice funcţie

pe o mulţime deschisă ce conţine D , cu h C = 0 , satisface condiţia

∫∫ f ( x, y)h( x, y)dxdy = 0 .

(2)

D

Atunci f ( x, y ) = 0 , pentru orice ( x, y ) ∈ D . Demonstraţie. Funcţia f fiind continuă, este suficient să arătăm că f ( x, y ) = 0 , pentru orice x ∈ D . Presupunem, prin absurd, că f nu este identic nulă pe D , deci există ( a, b) ∈ D astfel încât f ( a, b) ≠ 0 . Fără micşorarea generalităţii, presupunem că f ( a, b) > 0 .

Funcţia f fiind continuă în punctul (a, b) , pentru orice ε > 0 există r > 0 suficient de mic, astfel încât V = B ( ( a , b ); r ) ⊂ D şi pentru orice ( x, y ) ∈ V , avem f ( x, y) − f (a, b) < ε . Altfel spus, pentru orice ( x, y ) ∈ V au loc inegalităţile f ( a, b) − ε < f ( x, y ) < f ( a, b) + ε . În particular, pentru ε =

1 f ( a, b) rezultă că există o bilă corespunzătoare V = B ( ( a, b); r ) 2

astfel încât pentru orice x ∈V avem f ( x, y ) >

(

1 f ( a, b) . Fie funcţia 2

)

⎧⎪ ( x − a)2 + ( z − b) 2 − r 2 2 , dacă x ∈V h ( x, y ) = ⎨ . x ∉ V 0, dacă ⎪⎩ Se verifică uşor că funcţia h satisface condiţiile din enunţul lemei. În plus, folosind teorema de medie pentru integrala dublă, rezultă că

∫∫ f ( x, y)h( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x, y)h( x, y)dxdy > D

V

>

1 1 f (a, b) ∫∫ h( x, y )dxdy = f (a, b)h( x , y ) ⋅ π r 2 > 0 , 2 2 V


198

unde ( x , y ) ∈ V , ceea ce contrazice (2). ■ Corolarul 6.6.1. Dacă P : D → funcţii de clasă C

1

este o funcţie continuă, iar Q şi R sunt două

pe o mulţime deschisă care conţine D , care satisfac ∂h

∂h

∫∫ [ P( x, y)h( x, y) + Q( x, y) ∂x ( x, y) + R( x, y ) ∂y ( x, y )]dxdy = 0

(3)

D

pentru orice funcţie h de clasă C P ( x, y ) =

1

pe o mulţime deschisă ce conţine D , cu h C = 0 , atunci

∂Q ∂R ( x, y ) + ( x, y ) , ∀( x, y ) ∈ D . ∂x ∂y

Demonstraţie. Deoarece Q

∂h ∂h ∂ ∂ ∂Q ∂R +R = (Qh) + ( Rh) − h− h, ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

rezultă că ∂h

∂h

∂

∂

∂Q

∂R

∫∫ [Q ∂x + R ∂y ]dxdy = ∫∫ [ ∂x (Qh) + ∂y ( Rh)]dxdy − ∫∫ [ ∂x h + ∂y h]dxdy . D

D

D

Conform formulei Green-Riemann şi ţinând seama că h C = 0 , rezultă

∂

∂

∫∫ [ ∂x (Qh) + ∂y ( Rh)]dxdy = ∫ (− Rh)dx + (Qh)dy = 0 . D

C

Aşadar ∂h

∂h

∂Q

∂R

∫∫ [Q ∂x + R ∂y ]dxdy = −∫∫ [ ∂x h + ∂y h]dxdy . D

D

Înlocuind în (3), obţinem ∂Q

∂R

∫∫ [ P( x, y ) − ∂x ( x, y ) − ∂y ( x, y )]h( x, y)dxdy = 0 , D

pentru funcţie h de clasă C 1 , care satisface h C = 0 . Corolarul rezultă din Lema 6.6.1. ■ Teorema 6.6.1. Dacă funcţia u ∈A

realizează un extrem al funcţionalei (1) pe

mulţimea funcţiilor admisibile, atunci funcţia u verifică ecuaţia cu derivate parţiale ∂F ∂ ⎛ ∂F ⎞ ∂ ⎛ ∂F − ⎜ ⎟− ⎜ ∂u ∂x ⎝ ∂u x ⎠ ∂y ⎜⎝ ∂u y

⎞ ⎟⎟ = 0 , ⎠

(4)


unde u x =

199

∂u ∂u , uy = . ∂y ∂x

Demonstraţie. Fie h o funcţie de clasă C 1 , care satisface h C = 0 şi funcţia ⎛

ϕ h : ⎜⎜ − ⎝

r r ⎞ , ⎟→ h h ⎟⎠

ϕh (t ) = F (u + th) .

,

Variaţia

întâi

a

funcţionalei

(1)

este

δ hF (u ) = ϕ h′ (0) , deci

δ hF (u ) =

⎞ ⎛ ∂u ∂h ∂u ∂h ⎞ d⎛ ⎜ ∫∫ F ⎜ x, y, u + th, + t , + t ⎟dxdy ⎟ ∂x ∂x ∂y ∂y ⎠ dt ⎝ D ⎝ ⎠

= ∫∫ D

d ⎡ ⎛ ∂u ∂h ∂u ∂h ⎞ ⎤ ⎢ F ⎜ x, y, u + th, + t , + t ⎟ ⎥ dt ⎣ ⎝ ∂x ∂x ∂y ∂y ⎠ ⎦

= t =0

dxdy = t =0

⎡ ∂F ∂F ∂h ∂F ∂h ⎤ = ∫∫ ⎢ + h+ ⎥dxdy . ∂u x ∂x ∂u y ∂y ⎥⎦ ⎢ ∂u D ⎣

Deoarece δ hF (u ) = 0 pentru orice funcţie h de clasă C

1

care satisface h C = 0 ,

obţinem că ⎡ ∂F

∂F ∂h ∂F ∂h ⎤ 1 + ⎥dxdy = 0 , ∀h ∈C , h C = 0 . ∂u y ∂y ⎥⎦ x ∂x

∫∫ ⎢⎢ ∂u h + ∂u D

⎣

Teorema rezultă din Corolarul 6.6.1. ■ Şi în acest caz, Teorema 6.6.1 dă o condiţie necesară de extrem. Ecuaţia cu derivate parţiale (4) se numeşte ecuaţia Euler-Ostrogradski asociată funcţionalei (1). Soluţiile acestei ecuaţii se numesc suprafeţe extremale sau, simplu, extremale ale funcţionalei (1). Exemplul 6.6.1. Fie D ⊂

2

un domeniu mărginit, a cărui frontieră este curba

închisă, netedă pe porţiuni C şi f : D →

o funcţie continuă dată. Să se determine

extremalele funcţionalei

F (u ) = ∫∫ (u x2 + u y2 + 2 fu ) dxdy , D

care satisfac u C = g , g fiind o funcţie dată pe curba C .

(5)


200

Deoarece F ( x, y, u, u x , u y ) = u x2 + u y2 + 2 fu , avem

∂F ∂F ∂F = 2u y , = 2u x , =2f , ∂u x ∂u ∂u y deci ecuaţia Euler-Ostrogradski este 2f −

∂ ∂ (2u x ) − (2u y ) = 0 , ∂x ∂y

adică

∂ 2u ∂ 2u + = f. ∂x 2 ∂y 2 Prin urmare, problema determinării extremalelor funcţionalei (5) conduce la rezolvarea problemei Dirichlet ⎧⎪ Δu = f . ⎨ ⎪⎩u C = g

6.7. Extreme condiţionate ale funcţionalelor Fie X un spaţiu normat şi F , G : X →

două funcţionale care admit variaţia întâi în

orice punct din X. Se numeşte extrem al lui F condiţionat de G, orice punct de extrem local al lui F care satisface legătura G ( y ) = C , y ∈ X , C fiind o constantă dată. Teorema 6.7.1. Fie y0 un punct de extrem al lui F condiţionat de G, care nu este punct critic pentru G. Atunci, există λ ∈

astfel încât y0 să fie punct critic pentru

funcţionala F + λG . Demonstraţie. Deoarece y0 nu este punct critic pentru G, există l ∈ X astfel încât

δ l G ( y0 ) ≠ 0 . Fie h ∈ X arbitrar. Considerăm funcţiile f , g :

2

→

date de

f (t , s ) = F ( y0 + th + sl ) , g (t , s ) = G ( y0 + th + sl ) − C . Dacă y0 este punct de extrem al lui F condiţionat de G, rezultă că (0, 0) este punct de extrem local al lui f, cu legătura g (t , s ) = 0 . În plus,


201

G ( y0 + sl ) − G ( y0 ) ∂g g (0, s ) − g (0, 0) (0, 0) = lim = lim = δ l G ( y0 ) ≠ 0 . s →0 s →0 ∂s s s

Conform metodei multiplicatorilor lui Lagrange pentru extreme cu legături, există

λ∈

astfel încât (0, 0) este punct critic al funcţiei ϕ = f + λ g . Aşadar ∂ϕ ∂ϕ (0, 0) = 0 , (0, 0) = 0 . ∂t ∂s

În consecinţă,

δ h ( F + λ G )( y0 ) = lim t →0

= lim t →0

F ( y0 + th) − F ( y0 ) G ( y0 + th) − G ( y0 ) + λ lim = t →0 t t

f (t , 0) − f (0, 0) g (t , 0) − g (0, 0) ∂ϕ + λ lim = (0, 0) = 0 . t → 0 ∂t t t

Prin urmare, y0 este punct critic pentru funcţionala F + λG . ■ Exemplul 6.7.1. Să se găsească curba plană situată în semiplanul superior, care trece prin punctele A(−1, 0) şi B (1, 0) , de lungime l > 2 , astfel încât aria cuprinsă între această curbă şi segmentul [ AB ] să fie maximă. Dacă y = y ( x ) , x ∈ [ −1,1] , este ecuaţia curbei căutate, atunci aria determinată de această curbă şi axa Ox , va fi 1

F ( y) =

∫ ydx .

(1)

−1

Condiţia ca lungimea arcului de curbă să fie l, este 1

G( y) =

∫

1 + y '2 dx = l .

(2)

−1

Fie C0 1 ([ −1,1]; ) spaţiul Banach al funcţiilor y :[−1,1] →

, de clasă C 1 , care

satisfac condiţiile y (−1) = 0 , y (1) = 0 . Aşadar, F , G :C0 1 ([ −1,1]; ) →

, sunt date de (1)

respectiv (2). Problema revine la a găsi funcţia y ∈C0 1 ([ −1,1]; ) , maxim local al funcţionalei F, care satisface condiţia G ( y ) = l . Conform teoremei 6.7, există λ ∈ critic al funcţionalei H = F + λG ,

∫(y+λ 1

H ( y) =

−1

)

1 + y '2 dx .

astfel încât y este punct


202

Ecuaţia lui Euler corespunzătoare funcţionalei H, este:

d ⎛ λy' ⎜ dx ⎜ 1 + y '2 ⎝

⎞ ⎟ = 1, ⎟ ⎠

deci

λy'

= x + C1 .

1 + y '2

Rezolvînd în raport cu y ' , găsim y'= ±

x + C1

λ − ( x + C1 ) 2 2

.

Integrând, obţinem

y + C2 = ∓ λ 2 − ( x + C1 )2 sau, prin ridicare la pătrat, ( x + C1 ) 2 + ( y + C2 ) 2 = λ 2 , C1 , C2 = const.

(3)

Prin urmare, curbele căutate sunt cercuri de rază λ şi cu centrul în punctul (−C1 , −C2 ) . Punând condiţiile ca aceste cercuri să treacă prin puntele A şi B şi ca lungimea curbei să fie l, se ajunge la

⎧(−1 + C1 )2 + C22 = λ 2 , ⎨ 2 2 2 ⎩ (1 + C1 ) + C2 = λ deci C1 = 0 , C2 = ± λ 2 − 1 . Ecuaţia (3) devine x 2 + ( y ± λ 2 − 1) 2 = λ 2 , deci y ( x) = ± λ 2 − x 2 ∓ λ 2 − 1 şi

x

y '( x) = ∓

λ − x2 2

.

Condiţia (2) conduce la 1

l=

∫

−1

sau

λ λ 2 − x2

dx = 2λ arcsin

1

λ


1

λ

= sin

Notând t =

l . 2λ

203 (4)

l , se constată că această ecuaţie devine 2

sin t =

2 t. l

Panta tangentei în t = 0 la graficul funcţiei y = sin t este 1, în timp ce dreapta de 2 2 ecuaţie y = t are panta m = < 1 , deci graficele celor două funcţii au cel puţin un punct de l l

intersecţie diferit de origine. Prin urmare, ecuaţia (4), transcendentă în λ , are o soluţie λ = λ0 şi C2 = λ02 − 1 .

BIBLIOGRAFIE [1]

BARBU, V., Ecuaţii diferenţiale, Editura Junimea, Iaşi, 1985.

[2]

BRÂNZĂNESCU, V., STĂNĂŞILĂ, O., Matematici speciale. Teorie. Exemple. Aplicaţii, Editura ALL, Bucureşti, 1994.

[3]

BURGOV, I.S., NIKOLSKI, S.M., Ecuaţii diferenţiale. Integrale improprii. Serii. Funcţii complexe. Editura Nauka, Moscova, 1985 (în lb. rusă).

[4] IFRIM, M., Analiza dinamică a structurilor şi inginerie seismică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1973. [5] LAVRENTIEV, M.A., LIUSTERNIK, L.A., Curs de calcul variaţional. Editura Tehnică, Bucureşti, 1955. [6] PĂLTINEANU, G., MATEI, P., Matematici speciale, Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2004. [7] PĂLTINEANU, G., Analiză matematică. Calcul diferenţial. Editura AGIR, Bucureşti, 2002. [8] PĂLTINEANU, G., Analiză matematică. Calcul integral. Editura AGIR, Bucureşti, 2004. [9] PĂLTINEANU, G., MATEI, P., TRANDAFIR, R., Bazele analizei numerice, Editura Printech, Bucureşti, 2001. [10] PETROVSCHI, I. G., Prelegeri asupra teoriei ecuaţiilor diferenţiale ordinare, Editura Tehnică, Bucureşti, 1952. [11] PONTRIAGHIN, L.S., Ecuaţii diferenţiale ordinare, Editura Nauka, Moscova, 1974 (în lb. rusă). [12] REDHEFFER, R., Differential equations, Theory and applications, Jones and Bartlett Publishers, Boston, 1991. [13] KRASNOV, M., KISELEV, A., MAKARENKO, G., SHIKIN, E., Mathematical Analysis for Engineers, vol. 2, Mir Publishers, Moscow, 1990. [14] STEPANOV, V.V., Curs de ecuaţii diferenţiale, Editura Tehnică, Bucureşti, 1955. [15] SOARE, M., TEODORESCU, P.P., TOMA, I., Ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în mecanica construcţiilor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1999. [16] ŞABAC, I., Matematici speciale, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.

Manual Ecuatii Diferentiale Teorie Si Ex. Rezolvate

Recommend Documents