Ecuaţii exponenţiale cu parametru T. 5(12) BAC 2009.Pentrui ce valori reale ale parametrului m ecuaţia x + 1
5 ∙3
− m =10 ( 2− m ∙ 3 x )
Ecuaţia at! se scrie " # . $e iscut! ca%ul Pentru m =−1,5
nu are soluţii. x
x
5 ∙ 3 ∙ 3− m=20−10 ∙ m ∙ 3
15 + 10 m =0
& aic!
m =−1,5
x
3 ∙ 0=18,5
ecuaţia evine
sau
3 ( 15 + 10 m )=20 + m x
.
& care nu are soluţii & eci
m =−1,5
satis'ace
coniţia itemului. Pentrum ≠ −1,5
ecuaţia se scrie
x
3
=
20 + m 15 + 10 m
.
20 + m ≤ 0 15 + 10 m
Ecuaţia at! nu va avea soluţii ac!
La răspuns fnal se ataşează şi
⟺
m=−1,5
m ∈ [ −20 ; −1,5 )
Răspuns:
m ∈ [−20 ; −1,5 ]
#temul 2) manual & clasa a * & pa+.1 $! se resolve resolve ,n - i s! se iscute iscute up! parametrul a & x −2
3∙4
a ∈ R
& ecuaţia"
+ 27 −a =a ∙ 4 x −2 x −2
3∙4
-e%olvare"
+ 27 −a =a ∙ 4 x −2 ⟺ 4 x −2 ∙ ( 3− a )=a −27 x − 2
#. Pentru
a =3
##.Pentru
a ≠ 3,ecuaţ 3, ecuaţia ia capătă capătă forma
/n coniţia
4
ecuaţia evine
a− 27 ≤0 3 −a
& aic!
∙ 0 =−24
x − 2
4
=
& care nu are soluţii.
a −27 3 −a
a ∈ (− ∞ ; 3 ) ∪ [ 27 ; + ∞ )
ecuaţia nu are soluţii.
1
a− 27 >0 3 −a
/n coniţia x =2 + log 4
& aic!
{
ecuaţia
x − 2
4
=
a −27 are soluţia 3 −a
a −27 3 −a
-!spuns" $ ¿ ∅ pentru S = log 4
a ∈ ( 3 ; 27 )
16 ( a−27 ) 3− a
a ∈ ( −∞ ; 3 ] ∪ [ 27 ; ∞ )
pentru
a ∈ ( 3 ; 27 )
.
BAC 2014,profl real Pentrui ce valori reale ale parametrului a ecuaţia ( 3 x −a )( x −2 ) =0 x −1
are o soluţie.
{[
{[
x x 3 − a= 0 3 =a ( 3 x −a )( x −2 ) =0 ⟺ x −2 =0 ⟺ x =2 x −1
Ecuaţia
x
3
=a
x ≠ 1
x ≠ 1
Ecuaţia iniţial! va avea o soluţie c,n ecuaţia aic! c,n -!spuns"
a≤0
nu treuie s! ai! soluţii & aic!
a =9
i c,n
a =3
x
3
=a
. va avea soluţia
x =2
&
.
a ∈ ( −∞ ; 0 ] ∪ { 3 ; 9 }
1 Pentru ce valori ale parametrului real m ecuaţia
x
9
−( m + 3 ) ∙ 3 x + m+ 2 =0
amite o
sin+ur! soluţie x
9
−( m + 3 ) ∙ 3 x + m+ 2 =0 (1 )
$e notea%! etoa #.
x
3
=t , t > 0 2
. Ecuaţia evine
∆ = m + 6 m + 9− 4 m − 8 = ( m + 1 )
t − ( m + 3 ) ∙ t + m+ 2 =0 2
(2).
2
$E A3A4#EA6 APA-TE CA74
∆ =0 2
m+ 1=0
Pentru x =0
& aic!
8 o soluţie& eci
m=−1 m=−1
t 1 =t 2=
m +3 =1 2
.-evenin la notaţia
x
3
=1
&
satis'ace coniţia itemului.
(‼ ! m=−1 se vainclude nrăspuns ) m≠ −1
Pentru t 1 =
ecuaţia va avea ou! soluţii"
m + 3 − m −1 m +3 +m +1 =1, t 2= =m + 2 2 2
-evenim la notaţii" x #. 3 =1 cu soluţia x =0 . x
"
3
=m+ 2
() x
9
Pentru ca ecuaţia
−( m + 3 ) ∙ 3 x + m+ 2 =0 m+ 2
treuie s! ai! soluţii & eci
s! ai! o sin+ur! soluţie &ecuaţia () nu
≤0
& e une
m≤ − 2
.
-!spuns" m ∈ (−∞; −2 ] ∪ {−1 } . etoa ##. Ecuaţia (1) va avea o soluţie c,n " a)"Ecuaţia (2) va avea o soluţie po%itiv! ,adică∆= 0 . 2
2
∆ =m + 6 m+ 9− 4 m−8 =( m+ 1 ) deundem =−1 ,iart =1
eci
, m =−1
satis'ace coniţia.
) Ecuaţia (2) va avea ou! soluţii " una po%itiv! i alta nene+ativ! "
{
( m + 1)2 > 0 t 1 t 2 ≤ 0
{
m ≠− 1 m+ 2 ≤ 0
⟺
-!spuns 'inal"
⟺
m≤ −2
m ∈ (− ∞; −2 ] ∪ {−1 }
:reapta parametrilor " T10(11) ;ie
# = { x ∨ x ∈ R ,m ∙ e − ( 3 m− 1 ) e + 2 m −1= 0 } " 2 x
x
:e a'lat valorile reale ale lui m & ,nc,t
card # =2
m∙ e −( 3 m− 1 ) e + 2 m−1=0 ( 1) x
2 x
$e notea%!
x
e =t , t > 0
. Ecuaţia evine
mt − ( 3 m −1 ) ∙t + 2 m−1=0 2
(2). 3
¿
#.Pentru m
0 ecuaţia evine
t =1
. -evenim la notaţii
x
:e
=1
are o soluţie x
¿0
&eci m ¿ 0 nu satis'ace coniţia itemului . ##. Pentru m≠ 0 ecuaţia este e +raul ## cu ∆ =(3 m− 1 ) − 4 m ( 2 m−1 ) =(m−1 ) 2
2
t 1 =
3 m − 1 + m −1 2 m − 1 = , 2m m
t 2 =
3 m−1 −m+ 1 =1 2m
-evenim la notaţii "
x
e =
2 m− 1 ( 1 ) $i e x =1 (2 ) m
x =0
Ecuaţia (2) are soluţia
Pentru ca ecuaţia iniţial! s! ai! 2 soluţii & ecuaţia (1) treuie s! ai! soluţii & aic!
(
2 m−1 > 0 ⟺ m ∈ (− ∞ ; 9 ) ∪ 1 ; + ∞ ) 2 m
Atenţie<<<< -!spuns"
2 m−1 ≠1 m
m ∈ (− ∞; 9 ) ∪
& aic!
(
m≠ 1
1 ; 1 ) ∪ ( 1 ; ∞ ) 2 x
. A'laţi mulţimea valorilor parametrului real a& pentru care ecuaţia
( 1) 3
+ =2a 3 5− a
are
soluţii ne+ative. :=A"
a≠5
x
1 :in repre%entarea +ra'ic! a 'uncţiei f ( x )=( 3 ) re%ult!
( )
2 a+ 3 3 a −2 2 >1 ⟺ > 0 ⟺ a ∈ ; 5 5 −a 5 −a 3
-!spuns"
a∈
( ) 2 ;5 3
4
Teste Bac 2005& itemul 1>.C.Pentru care valori ale parametrului real a ecuaţia x
25
+ ( a− 4 ) ∙ 5 x −2 a2 + a + 3=0 x
5
$e notea%! 2
∆ =(3 a−2 )
=t > 0
. Ecuaţia evine t 1 =
& iar
-evenim la notaţii"
nu are soluţii
x
5
− a + 4 + 3 a− 2 2
=a + 1
i
x
5
t + ( a− 4 ) ∙t − 2 a + a + 3= 0 2
=a + 1
2
t 2 =
(1)&
=−2 a + 3
− a + 4 −3 a + 2 2
=−2 a + 3
(2)
.
Ecuaţia iniţial! nu va avea soluţii c,n amele ecuaţii nu au soluţii & aic!
{
a+ 1≤ 0 −2 a + 3 ≤ 0 ,
sistem ce nu are soluţii -!spuns" 3u sunt aa valori. #temul 1. in && Cule+ere e proleme i exerciţii? e =. #avorsc@i $! se re%olve i s! se iscute up! valorile parametrului real m ecuaţia ( m −1 ) ∙ 4 x −( 5 m−4 ) ∙ 2 x + 4 m =0
#. Pentru ##. Pentru
m=1
ecuaţia evine
m≠ 1
x
2
=4
x =2
cu soluţia
ecuaţia este e +raul ##.
∆ =(5 m− 4 ) − 4 ∙ 4 m ( m− 1 ) = 9 m −24 m+ 16 =( 3 m−4 ) 2
2
2
$unt posiile ou! ca%uri" 1 5 m−4 + 3 m− 4 ¿ 2 ¿ x = =4 2 ( m −1 )
x =2
cu soluţia
2 5 m −4 −3 m + 4 m ¿ 2¿ = = 2 ( m−1 ) m− 1 x
-!spuns" Pentru iar pentru
va avea soluţia
m ∈ [ 0 ; 1 ] ecuaţia are soluţia
m ∈ (− ∞; 0 ) ∪ ( 1 ; ∞ )
{
S = 2 ; log 2
x =log 2
S = {2 } 1
m−1
m m−1
pentru
m ∈ ( −∞ ; 0 ) ∪ ( 1 ; ∞ )
}
#temul 15. in && Cule+ere e proleme i exerciţii? e =. #avorsc@i Pentru 'iecare valoare a parametrului real a& s! se re%olve ecuaţia 5
| x|
144
−2 ∙ 12| x|+a =0
(1)
| x|
12
3ot,n
=t , o%ţimem ecuaţiat 2−2 t + a= 0 ( 2 ) cu ∆= 4 −4 a
&eoarece| x|' 0, t ' 1. Pentru∆ <¿
∆ =0 , adică a=1
Pentru x =0
0& aic! 4 − 4 a < 0 &
a>1
ecuaţia nu are soluţii . t =1
ecuaţia (2) are o soluţie
& iar ecuaţia
| x|
12
=1
are soluţia
. ∆ > 0, a < 1
Pentru
ecuaţia (2) are 2 soluţii"
:eoarece iniţial s8a '!cut oservaţia c! -evenin la notaţii -!spuns"Pentru
| x|
12
a>1
=1 + √ 1−a
t'1
& re%ult! c!
cu soluţiile
[
t 2 =1−√ 1−a
i t 2
nu poate 'i .
x 1= log 12( 1 + √ 1− a )
x 2=− log 12( 1 + √ 1− a)
ecuaţia nu are soluţii
a =1 ecuaţia are o soluţie
pentru
t 1 =1+ √ 1 −a
$ ¿ {0 } ;
pentru a < 1 ecuaţiaare S= {( log12(1 + √ 1− a )} Analo+ este itemul 2a) manual clasa a*8a . $! se re%olve ,n - i s! se iscute up! parametrul a8real& ecuaţia" | x +1|
−2 ∙ 25| x +1|+ a= 0
625
#temul 1. in && Cule+ere e proleme i exerciţii? e =. #avorsc@i $! se a'le valorile reale ale parametrului a& pentru care ecuaţia 9 9
−| x− 2|
− 4 ∙ 3−| x −2|−a =0
are soluţii. $! se a'le soluţiile.
−| x− 2|
(1)
− 4 ∙ 3−| x −2|−a =0
3ot,n
−| x −2|
3
=t , o%ţimemecuaţiat 2− 4 t −a =0 ( 2 ) cu ∆ =16 + 4 a
&eoarece| x −2|' 0, −| x −2|≤ 0,0 < t ≤1. Pentru∆ <¿
0& aic!
16 + 4 a < 0
&
a <−4
ecuaţia nu are soluţii .
6
Pentru
∆ =0 ,adicăa=−4
ecuaţia
3
Pentru
∆ > 0, a >−4
−| x − 2|
=2
ecuaţia (2) are o soluţie
notaţii
ecuaţia (2) are 2 soluţii"
[
va satis'ace coniţia
t≤1
0
&
t 1 =2+ √ 4 + a
t 2 =2−√ 4 + a
i
& re%ult! c!
t 1
{
2−√ 4 + a > 0 2 −√ 4 + a ≤ 1
nu poate 'i .
{
a< 0 a '− 3
⟺
-evenin la
2 − √ 4 + a
−| x − 2|
=2 −√ 4 + a
3
& eci
nu are soluţii.
:eoarece iniţial s8a '!cut oservaţia c! t 2 =2−√ 4 + a
t =2 care nusatisface condiţiei t ≤ 1
x1 =2+ log 3 ( 2− √ 4 + a)
x 2= 2−log 3 ( 2 −√ 4 + a )
⟺
(¿) −| x −2|= log3 ¿
cu soluţiile
pentru −3 ≤ a < 0
-!spuns" Pentru −3 ≤ a < 0 ecuaţia are soluţiile
{
S = 2 ( log 3 ( 2 −√ 4 + a )
}
Pentru celelalte valori ale lui a ecuaţia nu are soluţii. 4a re%olvarea ecuaţiilor exponenţiale cu parametru se aplic! uneori a'irmaţia"
f ( t ) =a t + %t + c 2
#)
f ( t )= a t + %t + c 2
##)
###)
f ( t )=a t + %t + c 2
are ou! soluţii po%itive ac!"
are ou! soluţii ne+ative ac!"
{
∆ >0 t 1 + t 2> 0 t 1 t 2 > 0
{
∆ >0 t 1 + t 2< 0 t 1 t 2 > 0
are ou! soluţii e semn contrar ac!"
⟺
⟺
{
{ {
∆> 0 −% > 0 a c >0 a ∆>0 −% <0 a c >0 a
∆ >0 t 1 t 2 < 0
Testul 10.#temul nr 1.(pro'il umanistic)Teste la matematic! BAC 2005 Pentru care valori ale parametrului real a ecuaţia x
36
+ ( a−1 ) ∙ 6 x + a −a2 =0
are ou! soluţii reale istincte 7
x
36
+ ( a−1 ) ∙ 6 x + a −a2 =0
t + ( a−1 ) ∙t + a −a = 0 2
2
2
x
6
(1). 3ot!m
=t
& une
t > 0
. Ecuaţia evine"
(2). 2
2
∆ = a − 2 a + 1− 4 a + 4 a = 5 a − 6 a + 1
37 E$TE P6T-AT PE-;ECT ( e a'lat
t 1 , t 2
e
'oarte complicat ,n continuare) . Ecuaţia (1)va avea ou! soluţii reale istincte ,n ca%ul c,n ecuaţia (2) va avea ou! soluţii po%itive "
{
∆ >0 t 1 + t 2> 0 t 1 t 2 > 0
(
{
∆> 0 −% >0 a c >0 a
⟺
{
∆ >0 t 1 + t 2> 0 t 1 t 2 > 0
{
(
⟺
)
1 ∪ ( 1 ; + ∞) 5 a< 1 a ∈(0 ; 1)
a ∈ −∞ ;
2
−6 a + 1 > 0 −a + 1 > 0 2 a −a > 0
5a
⟺
)
⟺
( )
a∈ 0;
1 5
( )
a∈ 0;
-!spuns"
1 5
BAC 2005.Pentru ce valori ale parametrului reala& ecuaţia
a ( 2 +2 x
− x
)=5 (1 ) amite o
sin+ur! soluţie. x
2
:eoarece 3ot!m
x
2
+ 2− x > 0
= t > 0
& re%ult! c!
. Ecuaţia evine
a >0
. 2
a t −5 t + a =0
(2) cu coniţia
a >0
.
Ecuaţia (1) are o soluţie c,n ecuaţia (2) are o soluţie po%itiv! sau ou! soluţii" una po%itiv! i alta nepo%itiv! . ∆ =25− 4 a
2
∆ =0 pentrua =
5 2
i
a=
−5 2
8
Pentru
a=
5 2
ecuaţia (2) are soluţia
t =¿
1. -evenin la ecuaţia
x
2
=1
& cu soluţia
x =0 a=
−5 2
nu satisfacecondiţia a > 0
Ecuaţi (2) va avea o soluţie po%itiv! i una nepo%itiv! c!n
{
∆> 0 t 1 t 2 ≤ 0
> { ⟺
∆ 0 1≤0
care
nu are soluţii Răspuns: ecuaţia are o soluţie pentru
a=
5 2
!"#$A %RA&'C( $! R!#L*AR! A +R#BL!!L#R
C,te soluţii are ecuaţia
| x|
3 ∙|2−| x||=1
1
Ecuaţia ata se mai scrie" |2−| x||= 3| x| sau $e repre%int! +ra'icele 'uncţiilor
) =|2−| x||
1 | x| |2−| x||=( 3 )
i
1 | x| ) =( ) 3
. ,n acela plan e cooronate.
ra'icele 'uncţiilor se intersectea%! ,n puncte.
9
