COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU
Recapitulare pentru bacalaureat.
DREAPTA ÎN PLAN
1.
A( x A , y A )
2
2
AB x B xA yB yA - distanţa dintre două puncte A si B sau lungimea
B( x B , yB )
segmentului AB A( x A , yA ) x x y yB x M A B , yM A 2. coordonatele mijlocului segmentului segmentului [ AB] B( x B , yB ) 2 2 3. ax by c 0 ,a, b, c R - ecuaţia generală a dreptei 4. y mx n, m, n R - ecuaţia explicită a dreptei 5. y y A m ( x xA ) - ecuaţia dreptei determinată de un punct A( x A , yA ) 6.
x x A x B xA
y yA
yB yA
- ecuaţia dreptei determinată de doua puncte A( x A , yA )
x
y
1
7. x A
yA
1 0 - ecuaţia dreptei prin doua puncte A( x A , yA )
x B
yB
1
8. m
y B y A x B xA
xA
yA
1
9. B( x B , yB ) A, B si C coliniare xB
yB
10
xC
C ( xC , yC )
10. A ABC
11.
2
şi B( x B , yB )
şi B( x B , yB ) sub formă de determinant
- panta dreptei AB
A( x A , yA )
1
şi panta m
yC 1
x A
yA
1
xB
yB
1 - aria triunghiului ABC
xC
yC 1
d1 : a1 x b1 y c1 0 d2 : a2 x b2 y c2 0
d1 d2 m1 m2 ; d1 d 2 m1 m2 1
12. Distanţa de la un punct A( x A , yA )
la o dreaptă d : ax ax by c 0, d A, d
axA by A c a 2 b2
PROFESOR CONSTANTIN CIOFU
COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU
Exerciții rezolvate
consideră punctele A 1;1 ; B 2; 3 ; C 0; 2 . a) Reprezentați punctele A, B și C în reperul cartezian xOy; b) Calculați perimetrul ABC ; c) Determinați coordonatele mijloacelor segmentelor AB , AC și BC ; d) Determinați coordonatele simetricului punctului A față de originea sistemului de axe xOy; e) Scrieți ecuația dreptei ce trece prin punctele A și C; f) Scrieți ecuația dreptei ce trece prin A și este paralelă cu dreapta (BC); g) Scrieți ecuația înălțimii din B; h) Scrieți ecuația mediatoarei corespunzătoare segmentului AB ;
1. În reperul cartezian xOy se
i) Determinați m
astfel încât punctele A, B si D m; 3 să fie coliniare;
j) Calculați aria ABC ; k ) Determinați distanța de la punctul B la dreapta d : 3x 2 y 1 0 . Rezolvare. b) P ABC AB AC BC 2
2
2
2
2
2
2
2
2
AB
x A xB y A yB 1 2 1 3
AC
x A xC y A yC 1 0 1 2
BC
x B xC yB yC 2 0 3 2
2
2
2
25 5 2
PABC 5 2 29
29
x A xB 1 2 1 x M 1 2 2 2 c) Fie M-mijlocul lui AB M ; 1 2 y y A yB 1 3 1 M 2 2 x A xC 1 0 1 x N 1 3 2 2 2 Fie N-mijlocul lui AC N ; 2 2 y y A yC 1 2 3 N 2 2 2 x B xC 2 0 x 1 P 1 2 2 P 1; Fie P-mijlocul lui BC 2 y y B yC 3 2 1 P 2 2 2
d) Fie S simetricul punctului A față de originea O x A xS 1 xS x 0 xS 3 O 2 2 N 3; 1 y y y 1 S S y A 0 yS 1 O 2 2 x x A y yA x 1 y 1 AC : AC : x y 2 0 e) AC : xC xA yC y A 0 1 2 1
f) Notăm dreapta ce trece prin A și este paralelă cu BC cu d A d A
BC md A mBC
yC yB xC xB
5 2
PROFESOR CONSTANTIN CIOFU
COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU 5
d A : y yA md x xA d A : y 1 x 1 dA : 2 y 5 x 3 0 A
2
1
g) Fie BB AC m BB mAC 1 mBB
m AC
1
BB : y y B mBB x xB BB : y 3 1 x 2 BB : x y 5 0 1 h) M ; 1 este mijlocul segmentului AB 2 4 1 d AB : y y M mAB x xM d AB : y 1 x d AB : 6 y 6 8 x 4 3 2
d : 8x 6 y 2 0
AB
1
x A
yA
1
i) A, B si D coliniare x B
yB
1 0 2
x D
yD
1
j) A ABC
1 2
1
1
d ,d 2
k) d B, d
m
1
3 1 7 AABC
0
2
ax B byB c a b 2
1
1
3 1 0 4m 8 0 m 2 3 1
7 2
3 2 2 3 1
2
3 2 2
1
2
11
11 13 13
13
2. Se consideră punctele A 1; 2 , B 1;3 si C m,1 . Determinați m
. pentru care ABC este
dreptunghic în A. Rezolvare. Metoda 1
A 1; 2
AB 29
B 1;3 A 1; 2 C m;1
2
AC 1 m 9
B 1;3 C m;1
BC 2 AB2 AC 2 1 2m m 2 4 29 1 2m m 2 9
2
BC 1 m 4
4m 34 m
34 4
m
17 2
Metoda 2
m AB m AC
y B y A x B x A yC y A xC x A
5 2
5
3
AB AC m AB mAC 1
3
2 m 1
1 2 2m 15 m
17 2
m 1
3. Să se determine numărul real m
pentru care punctul A 1; se află pe dreapta de ecuaţie 2 1
2 x 3 y m 3 0 Rezolvare
PROFESOR CONSTANTIN CIOFU
COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU 1 A 1; este situat pe dreapta dată dacă coordonatele sale verifică ecuați a dreptei. 2 x 1
1 3 13 1 2 1 3 m 3 0 m 5 m 2 2 2 y 2
4. Aflati numărul real m,
ştiind că lungimea segmentului determinat de punctele A 1; 2 și B m; 1
este egală cu 3. Rezolvare. A 1; 2 B m; 1
2
2
AB 1 m 9 m2 2m 10 3 m2 2m 10 9 m2 2m 1 0
m1 m2 1 5. Determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor de ecuații
d1 : x 3 y 1 0 și
d2 : 2 x y 7 0 . Rezolvare. Fie P d1 d 2
Coordonatele punctului de intersecție al celor 2 drepte sunt date de soluțiile sistemului determinat de cele 2 ecuații. x 3 y 1 0 2 x 6 y 2 0 5 y 5 0 y 1 y 1 P 3; 1 x y x y x y x x 2 7 0 2 7 0 2 7 0 2 1 7 0 3
PROFESOR CONSTANTIN CIOFU
COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU 1. Se da triunghiul de varfuri A(-2, 3), B(-1, -1), C(1, 4). Sa se gaseasca : a. ecuatia dreptei AC. b. ecuatia paralelei prin B la AC. c. ecuatia mediatoarei segmentului BC. d. ecuatia medianei din C. e. ecuatia inaltimii din C . 2.
Se consideră punctele A(1,1),B(2,3) şi C(3,m). Aflati numărul real m pentru care A, B şi C sunt
coliniare. 3. Se consideră punctele A(-1,-1), B(1,1) şi C(0,-2). Aratati că triunghiul ABC este dreptunghic în A. 4. Să se determine ecuaţia dreptei care conţine punctul A(1,1)
şi este paralelă cu dreapta 4x+2y+5=0.
5. Să se calculeze lungimea segmentului determinat de punctele A(2,3) şi 6. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin
B(5, -1).
punctele A(2, -1) şi B(1,-2).
Să se determine numărul real m pentru care punctul A(2,3) se află pe dreapta de ecuaţie
7.
2 x 4 y 3m 1 0 . 8.
Aflati numărul real a, ştiind că lungimea segmentului determinat de punctele A( -1,2) şi B(1-a,1+a),
este egală cu 2 9. Să se determine coordonatele simetricului punctului A(2,- 4) faţă de B(1, -2) 10.
Calculati distanţa de la punctul O(0,0) la punctul de intersecţie al dreptelor d1 : 2 x y 2 0 și
d2 : x 3 y 8 0
11.
Se consideră punctele A(1,a), B(2, -1), C(3,2) şi D(1,-2). Să se determine numărul real a, ştiind că
dreptele AB şi CD sunt paralele. 12. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera triunghiului ABC determinat de dreptele de ecuatii AB : x 2y 4 0, BC : 3x y 2 0 și AC : x 3y 4 0 . Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC. 13. Se considera dreptele de ecuatii d1 : 2x 5y 7 0 si d 2 : 4x 10y 9 0. a) Sa se arate ca dreptele sunt paralele. b) Sa se calculeze coordonatele punctelor de intersectie ale celor dou ă drepte cu dreapta (d 3): x+y+1=0.
PROFESOR CONSTANTIN CIOFU
