MANUAL DE ESTADÍSTICA BÁSICA PARA ESTUDIANTES DE MEDICINA

MANUAL DE ESTADÍSTICA BÁSICA PARA ESTUDIANTES DE MEDICINA

Alfonso S. González Cervera Departamento de Atención a la Salud Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco agcerver@ correo.xoc.uam .m x

CONTENIDO .

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Simbología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii CAPÍTULO 1: ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Variables y Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Bases de Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Distribuciones de Frecuencias y Construcción de Cuadros . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4. Construcción de Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ejemplo 1.1: Una Base de Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ejemplo 1.2: Errores en la Construcción de Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CAPÍTULO 2: MEDIDAS DE RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medidas de Tendencia Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Media aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Media Ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 2.1: Obtención de la Moda (Mo) y de la Mediana (Md) . . . . . . . . Ejemplo 2.2: Obtención de una Media Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 2.3: Media Ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medidas de Dispersión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Varianza (F2 , s2 ) y Desviación Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 2.4: Obtención e Interpretación de la Desviación Estándar (s) . . . Razones y Proporciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Variables Cualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 2.5: Obtención de una Proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 22 22 22 23 23 24 26 28 30 32 32 32 35 37 37 39

CAPÍTULO 3: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Concepto de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Distribución Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Distribución Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Aproximación de la Distribución Binomial a la Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 3.1: Determinación del área bajo la curva (probabilidad) . . . . . . . Ejemplo 3.2: Aproximación de la Distribución Binomial a la Normal . . . . .

41 41 43 46 52 59 63

CAPÍTULO 4: MUESTREO Y DISTRIBUCIONES DE MUESTRAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1. Población y Muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2. Distribuciones Muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3. Intervalos de Confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Ejemplo 4.1: Obtención de un Intervalo de Confianza para la Verdadera Media en una Población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ejemplo 4.2: Obtención de un Intervalo de Confianza para la Verdadera Proporción en una Población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 CAPÍTULO 5: CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA UNA SOLA MUESTRA . . . . . . . . . . 5.1. Una Sola Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Una Sola Proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 5.1: Contraste de Hipótesis para Una Sola Media . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 5.2: Contraste de Hipótesis para Una Sola Proporción . . . . . . . . .

76 76 79 80 83

CAPÍTULO 6: CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS GRANDES . . . . . 86 6.1. Medias de Dos Muestras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.2. Proporciones de Dos Muestras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Ejemplo 6.1: Contraste de Hipótesis para las Medias de Dos Muestras . . . . 90 Ejemplo 6.2: Contraste de Hipótesis para las Proporciones de Dos Muestras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 CAPÍTULO 7: DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.1. Muestras Pareadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.2. Muestras no Pareadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Ejemplo 7.1: Contraste de Hipótesis para Dos Medias de Muestras Pequeñas Pareadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Ejemplo 7.2: Contraste de Hipótesis para Dos Medias de Muestras No Pareadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 CAPÍTULO 8: PRUEBA DE P 2 (JI AL CUADRADO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Ejemplo 8.1: Obtención de Ji al Cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 CAPÍTULO 9: REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 9.1: Regresión Lineal y Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113 113 114 120 126

i INTRODUCCIÓN . El aprendizaje de la estadística es indispensable para todo estudiante de medicina, pues en la actualidad es imposible mantenerse actualizado en cualquier campo de la profesión sin la lectura o la consulta de artículos de investigación médica. Pero tampoco es posible entender lo que estos artículos se preguntan o afirman sin conocer el lenguaje, al menos el más sencillo, que se utiliza para el análisis de los resultados y para la interpretación de la información. En medicina, este lenguaje está dado básicamente por la epidemiología y por la estadística. La epidemiología proporciona las herramientas necesarias para entender los procedimientos útiles y necesarios (los métodos) que permiten llevar a cabo investigaciones en el área de la salud, mientras que la estadística provee las técnicas que se requieren para analizar los resultados de esas investigaciones. De estas últimas se ocupa el presente manual. La estadística, sin embargo, no se limita (ni mucho menos) a las técnicas de análisis que aquí se presentan. Estas son sólo las más elementales, son las que constituyen la base para poder posteriormente avanzar sobre las más complejas. Pero no se pueden abordar estas últimas sin el conocimiento y manejo adecuado de las primeras. Desafortunadamente, la gran mayoría de los libros de estadística para estudiantes de medicina (o como se les llama comúnmente, de bioestadística) no son muy estimulantes para el aprendizaje pues, en su afán por exponer de la manera más formal los fundamentos de las técnicas, se vuelven innecesariamente complejos y confusos para los que desean o necesitan una introducción a este campo. Este manual tiene como objetivo facilitar el aprendizaje, pero debe tomarse en cuenta que, por el tratamiento preliminar que se da a sus fundamentos, no debe verse como un sustituto de la lectura y del estudio de algún libro de estadística.

ii SIMBOLOGÍA . Caracteres latinos: a: valor de la intersección de una línea de regresión en una muestra (capítulo 9). b: valor de la pendiente de una línea de regresión en una muestra (o coeficiente de regresión; capítulo 9). EE : error estándar (o de muestreo o aleatorio o experimental; capítulos 4 al 7). gl : grados de libertad (usualmente, pero no siempre, n - 1). Ho : hipótesis nula (capítulos 5 al 9). n: número total de observaciones (casos) en una muestra. n - 1 : grados de libertad (gl). p: proporción en una muestra (capítulo 2). p(x) : probabilidad de que ocurra un suceso x (capítulo 3). p<, p>, p=:probabilidad de equivocarse al rechazar la hipótesis nula (capítulos 5 al 8). r: coeficiente de correlación de Pearson (capítulo 9); también se utiliza para señalar el número de observaciones con la característica buscada (capítulo 2). 2 r : coeficiente de determinación (capítulo 9). s: desviación estándar en una muestra (capítulo 2). 2 s : varianza en una muestra (capítulo 2). xG : media aritmética de una muestra de la variable x (capítulo 2). yG : media aritmética de una muestra de la variable y.

Caracteres griegos: ":

valor de la intersección de una línea de regresión en una población (capítulo 9).

$ :

valor de la pendiente (o coeficiente de regresión) de una línea de regresión en una población (capítulo 9). media aritmética de la variable x en la población(capítulo 2). proporción en una población (capítulo 2). suma. desviación estándar en una población (capítulo 2). varianza en una población (capítulo 2). Ji al Cuadrado (capítulo 8).

:: B: E: F: F2 : P2 :

1

CAPÍTULO 1: ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN 1.1. VARIABLES Y CONSTANTES . Cuando se lleva a cabo una investigación, uno de los aspectos que en primer lugar se toma en cuenta es el tipo de datos recolectados, pues ello define el diseño de la base de datos, los análisis que puedan llevarse a cabo y las formas de presentación. En primer lugar, podemos advertir que existen cantidades (o magnitudes) cuyos valores siempre permanecen fijos, mientras que otras pueden tomar distintos valores. Por ejemplo, si observamos el diámetro de la pupila, podremos apreciar que se modifica de acuerdo a la cantidad de luz que llega al ojo; sin embargo, la relación entre la circunferencia de la pupila y su diámetro permanece constante, no importando que se trate de un círculo grande o pequeño (la circunferencia siempre es 3.1416 veces la longitud del diámetro, aproximadamente, o sea el número B). De esta manera, el diámetro (una cantidad que se modifica) es una variable; por otro lado, la relación entre la circunferencia y el diámetro (que siempre es la misma) es una constante. Existen distintos tipos de constantes: las numéricas (como la mencionada arriba o el número e, igual a 2.718281828 aproximadamente, base de los logaritmos naturales), las físicas (constante de Boltzmann, k; constante de Planck, h) o las químicas (número o constante de Avogadro, NA; constante de los gases, R; constante de equilibrio, KC). La estadística, sin embargo, tiene que ver casi siempre con variables más que con constantes. Las variables y las constantes son generalmente representadas por símbolos, con el objeto de poderlas escribir rápida y concisamente al manipular fórmulas o reglas de computación. Por lo regular se utilizan letras. Se acostumbra usar las del final del abecedario (por ejemplo, x, y, z) para las variables, y las del inicio (por ejemplo, a, b, c) para las constantes. Otras letras, como i, j o k, se usan para procesos de conteo repetitivo; mientras que la letra n se usa para representar el número total de repeticiones u observaciones. Sin embargo, éstas son convenciones que pueden estar sujetas a cambios, dependiendo del tema o del autor, por lo que es aconsejable que siempre se aclare el significado de cada símbolo, especialmente cuando se trata de uno nuevo o se le da una denotación distinta a la usual. En este manual se procurará utilizar la simbología más común (ver la sección de Símbolos Utilizados). Las variables también pueden clasificarse en distintas clases. En los libros de estadística podrán encontrarse clasificaciones diferentes, pero todas, excepto por lo que aquí mencionaremos, pueden reducirse a dos categorías: variables cualitativas y variables cuantitativas. Además,

2 como se verá en los siguientes temas, es esta distinción la que más nos interesa para el análisis estadístico. Las variables cualitativas, como su nombre lo expresa, son aquéllas que se refieren a una cualidad, es decir, a una característica o atributo, a la calidad de algo. Estos atributos son mutuamente excluyentes. El sexo, el lugar de nacimiento, la presencia de un síntoma, son ejemplo de ello: se pertenece a un sexo o a otro, se puede nacer en un lugar o en otro, se tiene o no un síntoma, pero no se puede tener ambas condiciones a la vez (son mutuamente excluyentes). En realidad, en contraste con la definición de variable que se dio anteriormente, estas no manifiestan una cantidad o magnitud, su variabilidad está en términos de la presencia o ausencia de una característica. Las variables cuantitativas son aquellas cuya magnitud puede expresarse en una escala numérica y son de dos tipos: las continuas y las discontinuas. Variables discontinuas son las que se refieren a magnitudes que únicamente pueden tomar valores enteros en una escala: el número de embarazos, el número de leucocitos, el número de pacientes tratados. Estas variables también se conocen como "discretas", término inapropiado en español, producto de una pésima traducción del inglés. Las variables continuas son las que pueden tomar cualquier valor entre dos puntos de una escala continua. Como es conocido por cualquier persona que haya cursado la escuela secundaria, la cantidad de valores que puede haber entre estos dos puntos es infinita, y la precisión con que se pueda medir la variable dependerá del instrumento de medición. Ejemplos de estas son: la talla (longitud), la edad (tiempo), la presión, los volúmenes. Las variables pueden expresarse, de acuerdo con su naturaleza, en diferentes escalas: - escalas cardinales: o nominales, son aquellas en las que los números sirven sólo para identificación de las distintas categorías. Por ejemplo, es usual que los datos cualitativos obtenidos sean codificados con números para su más fácil manejo, particularmente cuando se crean bases de datos por medios electrónicos. Así, los individuos del sexo masculino pueden ser identificados con el número 1, mientras que a los del sexo femenino se les puede asignar el número 2; a los que no tienen ningún síntoma de un padecimiento estudiado se les puede asignar el número 0 (cero), a quienes presentan un síntoma el número 1, a quienes presentan más síntomas el número 2. Como se ve, esto es arbitrario, y lo mismo daría si se invirtiera el orden o si se asignara cualquier otro número. Estas escalas se utilizan para variables cualitativas. - escalas ordinales: son aquellas que expresan un orden, como su nombre lo indica, pero en las que los distintos puntos no tienen relación con una magnitud determinada. Por ejemplo, la escala de Mohs, que establece la dureza de los minerales (de acuerdo con su capacidad para rayar a otros) y que va del 1 al 10, correspondiendo el 1 al mineral más suave (talco) y el 10 al más duro (diamante); en el ámbito médico se usan para señalar de manera subjetiva ciertos hechos (intensidad del dolor, gravedad del paciente). Otras escalas muy utilizadas en medicina son: la de la puntuación APGAR, la de Glasgow para los estados de coma o la del cáncer cérvico-uterino. La característi-

3 ca de estas escalas es que la magnitud entre un intervalo y el siguiente de la escala no es por necesidad la misma. Por ejemplo, en la escala de Mohs, la dureza de un mineral colocado en el punto 4, no necesariamente es el doble de la de otro colocado en el punto 2, simplemente indica que el primero es más duro que el segundo. Estas escalas se utilizan preferentemente para variables cualitativas. - escalas de intervalos: estas tienen la característica de que la distancia entre dos puntos de una escala expresa una magnitud dada. Por ejemplo, la distancia que hay entre los 10º y los 15º centígrados, es la misma que hay entre los 30º y los 35º. - escalas de razones: es similar a la de intervalos, pero esta tiene un cero absoluto. Se puede ver la diferencia entre una y otra si tomamos en cuenta, por ejemplo, que el contenido de calor de un cuerpo a 40º centígrados no es el doble del de un cuerpo a 20º centígrados, pues el cero en esta escala no es absoluto (no indica ausencia de calor), mientras que si se mide la temperatura en grados Kelvin, sí se puede decir que un cuerpo a 40º K contiene el doble de calor que otro a 20º K. Estas dos últimas escalas se utilizan para las variables cuantitativas. Gráfica 1.1. Escalas ordinales para identificar el nivel de dolor.

Debe señalarse que algunos autores utilizan la clasificación de las escalas para referirse a las variables; algunos otros usan denominaciones distintas a las de arriba. Sin embargo, lo más común es emplear la terminología que aquí presentamos, además de ser la más clara.

4 Adicionalmente, es conveniente señalar que las variables cuantitativas pueden ser tratadas como si fueran cualitativas; esto es, en ocasiones ciertos niveles de una variable pueden ser asociados a atributos o cualidades. Por ejemplo, si tomamos la presión arterial sistólica (variable continua) de una persona, podemos clasificarla como hipotensa, normotensa o hipertensa (variable cualitativa). Asimismo, podrán encontrarse en distintos libros otras categorías de variables. Una muy común es la de variable aleatoria. Esta se refiere a que existen magnitudes variables cuyos cambios están dados al azar (por ejemplo, si medimos en repetidas ocasiones y bajo las mismas condiciones, los niveles de hemoglobina de un individuo sano, estos variarán de una ocasión a otra sin un orden predeterminado). Por otro lado, hay otras magnitudes que pueden variar pero con un orden preestablecido; por ejemplo, la posición de las manecillas de un reloj es variable, pero sus cambios no están sujetos al azar. Existen también las variables conocidas como dependientes e independientes (ver capítulo 9), las cuales pertenecen a la categoría de las aleatorias. 1.2. Bases de Datos. Una base de datos consiste en una colección organizada de observaciones (casos) y de variables (información sobre cada caso), de tal forma que sirva de partida para su inspección y análisis. Una vez que los datos de una investigación se han recolectado, por ejemplo, en un cuestionario, en una historia clínica o en algún otro tipo de registro, se concentran ya sea sobre papel o, más comúnmente en la actualidad, en medios electrónicos. Para esta última opción existen diferentes formas de hacerlo: - utilizando programas especiales para la "captura" (según la terminología más común) de los datos, como dBase ©, Paradox ©, FoxPro © o Access © entre otros; - en hojas (o "cuadernos") de cálculo como Excel © o Quattro Pro ©; - o bien en programas especiales para análisis estadístico como SPSS ©. La ventaja que supone el primer tipo de programas es que, con diferencias entre ellos, permiten un mayor control o "validación", de la captura, lo que reduce las oportunidades de errores; los otros permiten realizar análisis directos de la información, ya sean numéricos, tabulares o gráficos. Por lo regular, las bases creadas en los dos primeros tipos de programas deben ser "exportadas" a los especializados en estadística para llevar a cabo dichos análisis o al menos hacerlos con mayor facilidad. Esto no representa mayor problema, pues prácticamente todos los distintos formatos de archivos son intercambiables. Esto último depende de las versiones de los programas en que hayan sido creados y de otras limitaciones particulares que no cabe describir aquí.

5 Lo más importante es saber que el diseño acertado de la base de datos es fundamental para su utilización fácil y ágil y que dependerá en buena parte del programa que se piense utilizar (véase el ejemplo 1.1). 1.3. Distribuciones de Frecuencias y Construcción de Cuadros. Una vez que se ha creado la base de datos (como en el ejemplo 1.1) lo que se desea es examinarla para descubrir las características que posee en términos de la magnitud que alcanzan las distintas variables o de sus tendencias. En dicho ejemplo, esta inspección no sería difícil, pues contiene pocas observaciones (28) y la totalidad de la información podría apreciarse en una sola ojeada. Aún así, cuando se vaya realizar el análisis y la discusión de los resultados, siempre será conveniente que los datos se presenten en forma resumida para facilitar la exposición de los hallazgos y de las ideas que resulten de ellos; esto se vuelve más imperioso conforme el número de observaciones crece. Previamente a la popularización de los recursos electrónicos con que ahora contamos, la cual se dio sobre todo durante los últimos 30 años del siglo XX, primero con las calculadoras que incluyeron funciones estadísticas y luego con las computadoras personales, la construcción idónea de una distribución de frecuencias era un asunto de la mayor importancia, especialmente cuando el número de observaciones era grande y las variables eran continuas. Esta importancia radicaba en el hecho de que, no habiendo otros recursos más sofisticados para el común de los investigadores que la regla de cálculo o el ábaco, aún los análisis más sencillos podían entrañar una gran dificultad y una enorme paciencia. Para contender con estos obstáculos se idearon técnicas que, trabajando con datos resumidos (el término técnico es "agregados"), permitían llevar a cabo los análisis requeridos. Estas técnicas se basaban en la construcción de distribuciones de frecuencias con un determinado número de intervalos de valores y una amplitud conveniente de tales intervalos. Actualmente, a no ser que uno se encuentre en la miseria tecnológica, estas técnicas han dejado de tener utilidad, pero aún se pueden encontrar en algunos libros de estadística, por si acaso. Este manual no los abordará. En nuestros días la importancia de una distribución de frecuencias radica más en la presentación de los resultados que en el análisis mismo, pues este se lleva a cabo con cada una de las observaciones tomadas individualmente. En otras palabras, la distribución de frecuencias se realiza con la finalidad de construir un cuadro que ayude a comunicar los hallazgos del estudio realizado y que facilite el entendimiento de los argumentos expuestos. Para cumplir con este objetivo es conveniente considerar las siguientes ideas: 1.

TÍTULO. Todo cuadro debe tener un título que diga el "qué" (de qué se trata, a qué tema se refiere), el "dónde" (país, institución, comunidad en donde se obtuvo la información) y el "cuándo" (fecha, año); los dos últimos aspectos son menos importantes cuando se presentan resultados de experimentos realizados en un laboratorio, pero son esenciales en los trabajos de campo. Es nuestra la obligación librar al lector de la necesidad de recurrir al cuerpo del texto para conocer esta

6

2.

3. 4.

5.

6.

7.

información pues, por una parte lo que queremos es facilitar la comunicación y si el cuadro no lo hace, el lector no tiene ningún compromiso para hacer esfuerzos adicionales sólo para enterarse de lo que queremos decir (a menos que seamos personas realmente importantes) y, por otra parte, el lector experimentado lo primero que ve (después del resumen, si lo hay, y de las conclusiones) son los cuadros. Si no nos importa lo que el lector pueda pensar o sentir respecto a lo que escribimos, mejor no escribamos. COLUMNAS y FILAS. Todas deben tener sus propios títulos. No es conveniente presentar cuadros demasiado complejos, es decir, con muchas filas y columnas, pues ello no propicia la comunicación; pero si juzgamos necesario hacerlo, resulta mejor colocar el cuadro en un anexo o apéndice, para no interrumpir nuestro discurso y a la vez permitir que quien tenga interés pueda analizar nuestros hallazgos más a fondo. TOTALES. Aunque no siempre son pertinentes, donde sí lo sean debe presentarse los totales de filas y de columnas. FRECUENCIAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS. Siempre debe presentarse las frecuencias absolutas (el conteo de las observaciones que pertenecen a cada categoría o a cada intervalo de valores) y las relativas (los porcentajes que estos conteos constituyen sobre el total de las categorías o de los intervalos; este total es, por supuesto, 100 por ciento). El mostrar las frecuencias relativas facilita al lector apreciar la contribución de cada categoría o intervalo y le permite, dado el caso, establecer rápidamente comparaciones con los resultados de otros estudios, sin obligarlo a realizar operaciones tediosas. Por su parte, las frecuencias absolutas deben aparecer para ponderar la importancia de las relativas ya que, por ejemplo, no es igual considerar un valor de 10 por ciento basado en 10 observaciones que uno basado en 500 observaciones. Debe sospecharse siempre de la importancia de los porcentajes de un cuadro en el que no se muestran las frecuencias absolutas. CLAVES y ABREVIATURAS. Es muy frecuente que en los títulos de filas y de columnas no se cuente con el espacio suficiente para colocar todo el texto necesario, por lo que se debe recurrir a claves o a abreviaturas. Todas ellas, como cualquiera otra aclaración que sea necesaria o conveniente, deben ir suficientemente explicadas al pie del cuadro. SIGLAS. En ocasiones los autores piensan en términos de su círculo profesional más estrecho y utilizan siglas que, fuera de ese círculo, no son reconocidas o pueden ser confundidas; por ejemplo, un lector fuera de México, aunque sea hispanohablante, no tiene ninguna obligación de saber qué significa IMSS (Instituto Mexicano del Seguro Social) por más que en el país resulte obvio. El uso de siglas debe seguir la misma regla que el de claves y abreviaturas. FUENTE. Al pie del cuadro y cuando los datos no son originales de quien escribe el trabajo en cuestión, debe ponerse la fuente (referencia bibliográfica, electrónica o en internet) de donde se obtuvieron, ya sean los datos crudos o el cuadro mismo. Cuando el cuadro es resultado del estudio y se está presentando en el apartado o capítulo de "resultados" no debe colocarse ninguna "fuente", pues resulta más que evidente lo que se está mostrando, de manera que cuando se ponen cosas como "Fuente: el propio estudio" estamos mostrando que tenemos una idea muy tosca de lo que es la

7 comunicación de hallazgos. Por otro lado, los cuadros cuyos datos no son producto del estudio que se está presentando, nunca van en "resultados" sino en los apartados de antecedentes, discusión o conclusiones. 1.4. Construcción de Gráficas. Cuando deseamos comunicar nuestros resultados y los fundamentos de nuestras conclusiones, siempre recordamos el refrán que afirma que "una imagen dice más que mil palabras" lo cual, como todo en la sabiduría popular, muchas veces no es cierto. Debemos tomar en cuenta que si bien una presentación gráfica de nuestros datos puede ayudar a comunicar sus características generales, especialmente cuando se ejercen comparaciones, los análisis definitivos son numéricos y no pueden ser sustituidos por una figura, aún cuando ésta sea bien hecha y atractiva, por lo que siempre será preferible examinar un cuadro. Sólo en ocasiones muy particulares las gráficas son insustituibles para guiar el análisis numérico (véase el capítulo 9). Por otro lado, los recursos electrónicos actuales han conducido al manoseo de las representaciones gráficas y, lo que es peor, de las representaciones incorrectas, pues con excesiva frecuencia se ignoran los principios fundamentales de su construcción idónea, indispensables para dar una impresión correcta de los hallazgos de un estudio y para orientar los análisis y las conclusiones. Debemos recordar que una gráfica está basada en lo que se conoce como sistema rectangular cartesiano el cual consiste en un marco de referencia con dos líneas rectas, llamadas ejes, una horizontal y otra vertical que se cruzan, formando un ángulo recto en un punto llamado origen. Al eje horizontal se le conoce como eje de las abscisas o eje de las x y al vertical como eje de las ordenadas o eje de las y. Usualmente, al origen se le asocia el valor 0 (cero) y los valores de x son positivos a la derecha del origen y negativos a la izquierda, mientras que los valores de y son positivos hacia arriba del origen y negativos hacia abajo (gráfica 1.2).

8 Gráfica 1.2. Sistema rectangular cartesiano.

Existen excepciones a lo anterior, por ejemplo, el sistema oblicuo cartesiano en el que los ejes no se cruzan en ángulo recto o aquéllas en que los valores de y, positivos o negativos, se invierten respecto a lo dicho arriba, pero su uso es muy poco frecuente. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes: el primero, donde los valores de x y de y son positivos; el segundo, donde los valores de x son negativos y los de y positivos (se numeran en sentido contrario a las manecillas del reloj); el tercero, en donde x y y tienen valores negativos; y el cuarto, en donde x es positiva y y es negativa. De esta forma, cualquier par de valores (x,y), conocidos como coordenadas, puede ser ubicado en el sistema cartesiano. Lo más común, pero no siempre, es que se representen únicamente los valores positivos de ambos ejes, es decir, el primer cuadrante. Para una correcta representación gráfica, hay que tomar en cuenta dos principios básicos: que los ejes deben ser proporcionales en tamaño, siendo el de las x ligeramente mayor que el de las y en una relación de 3 a 2, es decir, por cada 3 cm del eje de las x el de las y medirá 2 cm o, en todo caso podrán ser iguales (1 a 1); y que el eje de las y deberá iniciar siempre en cero. Cuando no se cumplen estas dos condiciones, la impresión visual que se ofrezca será engañosa (véase el ejemplo 1.2). Por otro lado, así como hay dos categorías básicas de variables existen dos clases de gráficas que se les asocian. Para las variables cualitativas, las gráficas de barras y, para las cuantitativas, los histogramas o bien su equivalente, los polígonos de frecuencias.

9 Cuando se desea hacer una representación gráfica de una variable cualitativa, hay que tomar en cuenta que sus categorías no son numéricas y que, en consecuencia, su representación visual no corresponde a lo dicho respecto al sistema cartesiano ya que no existe ningún eje de las x y únicamente se habrán de representar las frecuencias (absolutas o relativas) de cada categoría. Estas son las gráficas de barras una muestra de las cuales se presenta enseguida con los datos del ejemplo 1.1:

Nótese que las categorías, representadas en sentido horizontal, no corresponden a ningún eje cartesiano, pues son cualitativas y que bien se podría invertir el orden en que se presentan sin que por ello se alterara la representación visual correcta. Aquí lo único importante es la altura que alcanzan las barras, pues ello nos indica su frecuencia. Por lo tanto, no tenemos preocupaciones por la proporción de los ejes (no existen). Debido a lo anterior, estos mismos datos se pueden representar, correctamente, de otras formas; por ejemplo, en sentido horizontal:

Las barras pueden estar alejadas unas de las otras, como arriba, o juntas:

10

El ancho de las barras no importa, sólo su longitud:

Lo que se debe buscar en estos casos es obtener una representación agradable a la vista, por ejemplo:

11

Otra forma de representar este tipo de información es por medio de las gráficas de pastel (también llamadas de sectores) que, aunque comúnmente no se consideran apropiadas para un trabajo científico o académico, pueden resultar muy demostrativas:

Lo que resulta por completo inaceptable es la utilización de las llamadas gráficas en tercera dimensión:

12 Estas gráficas han alcanzado gran popularidad por la facilidad con que se pueden construir y por lo atractivas que parecen ser. En un trabajo científico o académico, o en cualquier trabajo medianamente serio, se debe prescindir de ellas siempre pues si uno las examina con cuidado, se puede dar cuenta de que: a. no son en tercera dimensión (es sólo apariencia); b. no aportan más información. A esto se le conoce técnicamente como tinta sin datos; c. confunden, obstaculizando su lectura. En resumen, únicamente una persona inexperta y mal entrenada utiliza este tipo de gráficas. Finalmente, otra manera informal de presentar las frecuencias de variables cualitativas es por medio de pictogramas en los cuales las barras son sustituidas por figuras alusivas al tema que, apiladas o de distinto tamaño, ilustran las frecuencias o valores:

Esta forma de representación no es propia de un escrito científico o académico, aunque es muy popular en folletos o en diarios. Por su parte, las gráficas de las variables cuantitativas deben cumplir con los requisitos del eje de las y con inicio en 0 y de la proporcionalidad de los ejes (véase el ejemplo 1.2). Los histogramas son una representación por medio de rectángulos, que algunas personas confunden con las barras. Aquí, la diferencia está en que la base del rectángulo corresponde exactamente a la amplitud de los intervalos que se hayan definido para la variable en cuestión y su altura a la frecuencia; de esta forma el área total definida por todos los rectángulos representa la función de la frecuencia y del valor de la variable. Los rectángulos deben estar contiguos unos a los otros, particularmente en las variables continuas (pero también se acostumbra representar así a las discontinuas):

13

Los mismos datos pueden representarse como un polígono de frecuencias en donde los puntos medios de los rectángulos (que corresponden a los puntos medios de los intervalos) se unen con líneas rectas:

Una forma de representación gráfica muy común, aunque poco utilizada por los novatos, es la gráfica semilogarítmica. Esta consiste en transformar el eje de las y, usualmente en escala aritmética, a una escala logarítmica lo que puede tener ventajas para el análisis visual de ciertos fenómenos. Por ejemplo, podemos tener la siguiente serie de datos: 10000 5000 1000 500 100

14 50 10 5 1 0.5 En este cuadro observamos que las magnitudes van desde muy grandes (10,000) hasta muy pequeñas (0.5). Una gráfica con escala aritmética resultaría en lo siguiente:

Puede advertirse que los valores menores (a partir de 100) no se observan ya, pareciera que a partir del valor 5000 el fenómeno cambia pero que sus cambios son muy pequeños y que, desde el valor 500 estos cambios son imperceptibles; que en realidad se mantiene constante. Sin embargo el fenómeno, cualquiera que este sea, continúa modificándose. Si el eje de las y es transformado a escala logarítmica, la gráfica resultante sería la siguiente:

En ésta vemos que la representación de los datos del cuadro anterior es completa, desde los mayores hasta el menor y que el fenómeno sigue modificándose con la misma tendencia independientemente de las magnitudes. De hecho, se observa que las modificaciones son tan importantes, proporcionalmente hablando, cuando los cambios van de 10,000 a 5,000

15 (disminución de 50 por ciento), como cuando van de 1 a 0.5 (también una disminución del 50 por ciento). La escala logarítmica aparecería como sigue:

También podrán encontrarse gráficas logarítmicas, en las que los dos ejes se transforman o, más raramente, gráficas semilogarítmicas en el eje de las x. Actualmente resulta fácil obtener otros muchos tipos de gráficas haciendo uso correcto de los recursos electrónicos. Estos otros tipos no se verán aquí, excepto por las gráficas de correlación que se tratarán en el capítulo 9. Ahora observe la siguiente gráfica que representa los valores de la tasa de mortalidad infantil para cada estado de la República Mexicana en 1999. En el eje horizontal se encuentran los nombres abreviados de los estados:

16

Ahora diga: - si esta es la forma adecuada de presentar la información; - si la información es clara; - y si, en todo caso, debería presentarse de otra manera.

17 Ejemplo 1.1: Una Base de Datos. La siguiente es una base de datos en papel, con 28 observaciones (adultos sanos): ID

ED AD

SEXO

ERITRO CITO S

H EM O G LO BIN A

PLA Q UETA S

G LU CO SA

CO LESTERO L TO TA L

8

31

fem enino

4.85

14.8

297

82

155

10

35

fem enino

5.25

15.2

263

87

196

23

24

fem enino

4.86

15.0

297

84

155

34

30

fem enino

4.79

15.1

245

80

192

41

23

fem enino

4.76

14.8

272

80

136

53

29

fem enino

4.49

14.8

.

89

207

54

22

fem enino

4.41

13.2

263

77

211

60

23

fem enino

4.58

13.8

236

84

138

70

24

fem enino

4.10

13.3

194

81

147

74

22

fem enino

4.24

13.1

235

79

173

78

29

fem enino

4.44

13.5

214

71

134

103

31

fem enino

4.40

14.1

.

103

179

105

23

fem enino

5.15

13.8

.

90

180

106

16

fem enino

4.92

14.2

308

72

70

107

31

fem enino

5.05

15.1

312

68

214

110

34

fem enino

4.99

15.6

227

84

166

113

27

fem enino

4.11

13.0

278

78

227

114

.

fem enino

4.65

13.9

278

88

183

115

24

fem enino

4.48

12.0

312

73

120

118

28

fem enino

4.75

14.7

183

91

151

30

24

m asculino

5.66

17.8

308

.

.

86

26

m asculino

5.84

16.9

209

88

129

87

21

m asculino

5.33

16.4

332

83

129

130

31

m asculino

5.42

15.9

254

81

112

133

22

m asculino

5.18

15.7

343

83

177

153

22

m asculino

5.49

17.2

175

86

176

155

24

m asculino

4.83

16.2

179

91

128

ID es la clave de identificación. ED AD en años cum plidos. ER ITR O CITO S por 10 6 . H EMO G LO BINA en g/dl. PLA Q UETAS por 10 3 . G LUCO SA en m g/dl. CO LESTERO L TO TAL en m g/dl.

18 Ejemplo 1.2: Errores en la Construcción de Gráficas. INFORMACIÓN

Se desea construir una gráfica a partir de los siguientes datos: Tasas ajustadas de mortalidad masculina (15 años de edad y más) por causas directamente atribuibles al consumo de alcohol (México, 1979 - 1993).

PROCEDIMIENTO

1. : Uso de programas de cómputo. Lo más común es recurrir a programas como Excel ©, creando una hoja de cálculo a partir de la cual se hace la gráfica. 2. : Proporción de los ejes. En este programa (como en la gran mayoría de ellos), el procedimiento por omisión daría por resultado la siguiente gráfica:

19

En una primera inspección de la gráfica se podría decir que la proporción de los ejes está bien guardada y que, por lo tanto, la impresión visual que nos da esta representación es correcta. A partir de lo anterior, se puede hacer una serie de consideraciones y, tal vez, obtener algunas conclusiones. Una gráfica igual se puede obtener al utilizar un paquete de cómputo especializado en análisis estadístico como SPSS ©. 3. : Eje de las y. Debe observarse que en la gráfica anterior el eje de las y no se inicia en 0 (cero), sino en 40. Esto implica que si llevásemos el eje hasta cero, la proporción se perdería por completo, quedando algo como lo siguiente:

Sería difícil afirmar que una gráfica así está bien proporcionada. 4. Valores por omisión.

20 Para una representación idónea de esta serie de valores, es necesario instruir al programa que se esté utilizando (en este caso, que el eje de las y se inicie en 0) para que nos construya una gráfica correcta, que sería la siguiente:

La impresión visual resultante es muy distinta, y las consideraciones y conclusiones que se pueden hacer a partir de ella también lo serán.

21

CAPÍTULO 2: MEDIDAS DE RESUMEN GENERALIDADES . Aunque los datos se hayan organizado en cuadros y gráficas, generalmente se desea tener alguna medida única que describa el conjunto, sin tener que recurrir al análisis de cada una de sus categorías o de sus intervalos por separado y que además permita la comparación rápida entre distintas colecciones de datos. Para tales fines están las llamadas medidas de resumen cuya utilidad es precisamente reducir la información y presentarla en una sola expresión numérica. Estas medidas pueden ser de dos clases: aquellas que muestran el valor alrededor del cual los datos tienden a agruparse, conocidas como medidas de tendencia central; y las que muestran el grado en que esos datos se diferencian unos de otros o en relación con algún punto de referencia, conocidas como medidas de dispersión. Las medidas de resumen corresponden a lo que en la ciencia se conoce como los principios de unidad y de diversidad. Estos principios establecen que todas las entidades existentes, aunque distintas entre sí, al final forman parte de un mismo proceso, es decir, que si bien la materia puede expresarse de distintas maneras, su estructura fundamental, en todos los casos, es la misma. Con las medidas de tendencia central pretendemos acercarnos, inicialmente de una manera muy simple, a la indagación del principio de la unidad. Por el otro lado, si bien todo lo existente es parte de un mismo proceso, cada entidad tiene sus propias y muy características particularidades que la hacen diferente a todas las demás. Con las medidas de dispersión se intenta el estudio de este principio. De ahí que la descripción de un fenómeno, desde el punto de vista estadístico, nunca esté completa si no se habla de estas dos clases de medidas: tendencia central y dispersión. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL . 2.1. Moda. No existe un símbolo universalmente aceptado para la moda, si acaso se le puede representar por Mo. La moda es una medida de tendencia central que se define como el valor o la característica de una distribución que ocurre con más frecuencia, es decir, corresponde a lo que la palabra significa en el lenguaje común: lo que predomina o se usa de manera más generalizada. Como puede advertirse, se trata de una medida descriptiva muy simple que no se utiliza en análisis estadísticos más avanzados pues no permite conocer nada acerca de los datos no contenidos en ella, sólo del valor más frecuente.

22 Cuando en una distribución dos valores o características son igualmente los más frecuentes, se dice que es una distribución bimodal. De la misma forma, puede hablarse de distribuciones multimodales. La moda se utiliza preferentemente para la descripción de observaciones correspondientes a escalas cardinales, por ejemplo, los números de identificación o clasificación de personas por categorías. Puede ser útil también para variables discontinuas (véase el ejemplo 2.1). 2.2. Mediana. No existe un símbolo universalmente aceptado pero puede utilizarse Md. La mediana es el valor que toma la observación central en una serie ordenada de datos (de mayor a menor o viceversa) y que deja el mismo número de casos a cada lado de ella; es decir, el 50 por ciento de las observaciones tendrá un valor menor que la mediana y el otro 50 por ciento un valor mayor, por lo que también se le conoce como percentil 50. La mediana se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

L

Mediana = valor que toma la ½ (n +1)ésima observación

NÓTESE que el valor de la mediana no es el resultante de aplicar la fórmula ½ (n+1), pues esta nos da sólo el número de la observación que queda a la mitad de la distribución; el valor que tiene esta observación es el de la mediana (véase el ejemplo 2.1). Si n es número par, la mediana se define como la media aritmética (el "promedio") de las dos observaciones centrales. Se le utiliza para variables cuantitativas, particularmente en caso de distribuciones asimétricas y para escalas ordinales. Su gran desventaja, igual que la moda, es que no toma en cuenta la información del resto de las observaciones, sólo la central o las dos centrales. 2.3. Media aritmética (µ, 0). La media aritmética es lo que en el lenguaje común se conoce como "promedio", aunque de acuerdo a la terminología técnica, también la moda y la mediana son promedios, por lo que es impropio que en un escrito técnico se utilice la palabra "promedio" para referirse a la media aritmética. Existen otras medias: la armónica y la geométrica, las cuales son de uso menos frecuente; por eso, cuando simplemente se habla de la "media" se entiende que se hace referencia a la media aritmética. Los símbolos utilizados para representar a la media aritmética son la letra µ (my o mu minúscula del alfabeto griego) para los datos que corresponden a una población completa y

23 con el símbolo 0 (se pronuncia "equis barra") para los datos de una muestra (véase el capítulo 4). En lo sucesivo, todos los símbolos que utilicen letras griegas se referirán a los valores de toda la población, mientras que las letras latinas corresponderán a los de una muestra. La única excepción la constituye la letra E (sigma mayúscula), que indica una suma. La media aritmética se obtiene de acuerdo a la siguiente fórmula:

Donde µ es la media aritmética para los valores de la variable x; Exi es la suma de los valores de las observaciones, desde la primera (i = 1) hasta la última (i = n); n es el número total de observaciones. La fórmula se lee: la suma de los valores de las xi desde la x1 hasta la última (n); dividida por el número total de observaciones. Por supuesto que en el caso de una muestra, habrá que sustituir el valor de µ por el de 0:

L La media es la medida de tendencia central más utilizada porque toma en cuenta la información de todas y cada una de las observaciones (xi). Es la medida de tendencia central preferida para describir las distribuciones simétricas, y en escalas de intervalos y de razones (véase el ejemplo 2.2). 2.4. Media Ponderada. En ocasiones se desea obtener la media de varias medias (0 p, media ponderada, media de medias o gran media); esto puede suceder cuando no se cuenta con los datos originales, es decir, desagregados. Muchas veces se piensa que sumando las medias (E0 i) y dividiéndolas entre el número total de ellas (n0 ), bastaría para obtener la media ponderada (0 p). Sin embargo, este procedimiento

24 puede seguirse únicamente cuando el número de observaciones (ni) en que está basada cada una de las medias parciales es igual. Si este número ni es distinto para las medias parciales, entonces se necesita ponderar:

L0

E0 ini ______ = P En

donde 0 P es la media ponderada. E0 ini es la suma de los productos de cada media por su correspondiente número de observaciones. En es la suma de las observaciones de todos los grupos. Así, una media de elevada magnitud, pero obtenida con pocas observaciones, verá disminuido su valor relativo. De igual manera, una media pequeña obtenida de un gran número de datos, incrementará su valor relativo (véase el ejemplo 2.3).

25 Ejemplo 2.1: Obtención de la Moda (Mo) y de la Mediana (Md). INFORMACIÓN

En un estudio realizado en una clínica prenatal, se obtuvieron los antecedentes sobre la edad y la paridad de 54 mujeres embarazadas. Los resultados son los siguientes: Número de Partos

Número de Mujeres

por ciento

0

29

53.7

1

17

31.5

2

3

5.6

3

2

3.7

4

2

3.7

5

1

1.8

Total

54

100

Obtenga la moda y la mediana de esta distribución. PROCEDIMIENTO

1. Obtenga la Moda: como la mayor cantidad de mujeres tiene una paridad igual a cero (29 mujeres, o 53.7 por ciento del total), entonces Mo = 0 partos porque cero es el valor que se presenta con mayor frecuencia. 2. Obtenga la Mediana: se dijo que la mediana es el valor que toma la observación que deja la mitad de los casos por encima de ella y la mitad por debajo, y que para saber cuál es esa observación se utiliza la fórmula: ½ (n + 1)ésima

26 donde n es el total de observaciones, en este caso n = 54 que es par, por lo cual se encontrarán dos observaciones centrales, la número 27 y la número 28 (al aplicar la fórmula tendríamos 27.5), en estos casos se debe tomar el valor "promedio" de las dos observaciones centrales. Como en el ejemplo ambas observaciones tienen valor igual a cero partos, entonces: Md = 0 partos

27 Ejemplo 2.2: Obtención de una Media Aritmética (0). INFORMACIÓN

En un estudio acerca de la absorción de hierro, se midieron los niveles de hemoglobina (mg/100 ml) en 19 voluntarios; los resultados son los siguientes: CASO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Hb (mg/100 ml) 14.4 17.4 15.5 16.3 13.9 13.9 14.5 14.7 15.0 15.7

CASO 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Hb (mg/100 ml) 13.1 13.4 13.8 12.7 15.4 14.7 13.9 14.2 16.5

Obtenga el valor de 0 para estos datos. PROCEDIMIENTO

1. Obtenga los Datos Básicos: como la fórmula para calcular la media aritmética es 0 = Exi / n lo que se requiere es el número total de observaciones y la suma de todos los valores observados de hemoglobina: n = 19 voluntarios Ex= 279 mg/100ml 2. Obtenga el Valor de la Media: simplemente se sustituyen los valores de la fórmula referida: 0 = Exi / n = 279/19

28 = 14.68 mg de Hb /100 ml por persona

29 Ejemplo 2.3: Media Ponderada. INFORMACIÓN

En este ejemplo se muestra cómo la ponderación de una media de medias, obtenida a partir de diferentes medias parciales arroja resultados totalmente distintos a los que se obtienen cuando no se sigue el procedimiento correcto. El autor del artículo no ponderó las medias y finalmente llegó a conclusiones erróneas. El cuadro se reproduce parcialmente: Estudio de índices de caries en piezas temporales antes de la vacunación y 10 meses después (Datos para el grupo vacunado) Edad en Años Cumplidos

Número de Niños

Noviembre de 1969

Septiembre de 1970

ceoD

ceoS

ceoD

ceoS

3

7

0

0

0

0

4

55

3.5

6.1

4.56

7.87

5

74

4.71

5.99

5.34

7.19

6

37

4

6.9

4.32

7.85

Total

173

3.05

4.74

3.55

5.72

3.98

5.98

4.66

7.26

Media Ponderada ceo: cariadas, extraídas, obturadas. D: pieza dentaria. S: superficie dentaria.

PROCEDIMIENTO

1. El autor cometió un error: simplemente sumó las medias parciales correspondientes a cada grupo de edad, por ejemplo (véase la columna de noviembre 1969, promedio de ceoD): 0 + 3.5 + 4.71 + 4 = 12.21

30 y luego dividió entre 4, que es el número de las medias parciales, sin tomar en consideración que cada una de estas estaba basada en un distinto número de observaciones: 12.21 / 4 = 3.05 obteniendo una media de medias incorrecta. Lo mismo puede observarse en las otras columnas. 2. El procedimiento correcto debió haber sido: primero multiplicar cada media parcial por su frecuencia (por el número de niños estudiados en cada grupo de edad) y luego dividir entre el total de niños, por ejemplo: [(7*0) + (55*3.5) + (74*4.71) + (37*4)] / 173 = 3.98 Obsérvese cómo los resultados correctos (medias ponderadas) difieren sustancialmente de los que el autor obtuvo.

31 MEDIDAS DE DISPERSIÓN . 2.3. RANGO . Es una medida de dispersión que consiste en obtener la diferencia entre los valores de las dos observaciones extremas de una distribución, es decir la de mayor valor con respecto a la de menor valor:

L Rango = x

máx

- xmín

y es una medida poco utilizada, porque no toma en cuenta la variabilidad que puede haber en las observaciones dentro de los dos extremos, es decir, se pierde información; además, es común que estos valores extremos sean los menos estables, esto es, que se modifiquen fácilmente, pues el rango tiende a aumentar conforme aumenta el número de observaciones. 2.4. VARIANZA (F 2, s2) Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR (F, s). La varianza es una medida de dispersión que toma en cuenta los valores de todas y cada una de las observaciones (xi). Por este motivo es la medida de dispersión de más amplio uso en la estadística. Una varianza grande significa simplemente una variabilidad mayor entre los valores de las observaciones, se puede decir entonces que se trata de un conjunto de valores heterogéneos; por el contrario, cuando una varianza es pequeña, se puede decir que los valores tienden a ser homogéneos, cercanos entre sí. La varianza se obtiene de acuerdo a la siguiente fórmula:

Ya que generalmente se trabaja con muestras, la forma más común de expresarla es:

L donde s² es la varianza. E(x-0)2 es la suma de todas las diferencias entre cada observación y la media; cada diferencia se eleva al cuadrado y luego se hace la suma. n-1 el número total de las observaciones, menos una (lo que se conoce en estadística como grados de libertad).

32 El que cada diferencia de las observaciones con respecto a la media se eleve al cuadrado, responde al hecho de que habrá observaciones mayores que la media (la diferencia será de signo positivo) y habrá otras menores que ella (la diferencia será de signo negativo); si se hace la suma de ellas, E(x-0), ésta será siempre igual a cero. Por lo tanto, al elevarlas al cuadrado, se cancelan los signos negativos y puede hacerse la suma. Los grados de libertad (n-1) se utilizan particularmente para el caso de muestras pequeñas (donde el total de las observaciones, n, es menor que 30), pero como pueden ser utilizados también en muestras grandes (n > 30) sin afectar mayormente el resultado, casi siempre es esta expresión la que se usa. Si la principal ventaja de la varianza es que toma en cuenta la información provista por todas y cada una de las observaciones y que claramente puede entenderse como un "promedio" (la media aritmética) de las desviaciones respecto a la media, su desventaja es que las unidades en que se expresa son las unidades originales elevadas al cuadrado (por ejemplo kg²), lo que dificulta su interpretación en términos del problema real estudiado. Esta cuestión puede resolverse sencillamente obteniendo la raíz cuadrada de la varianza:

L Esto es la desviación estándar, la cual nos permite interpretar fácilmente la magnitud de la variabilidad en términos de las unidades originales (por ejemplo kg). La desviación estándar se puede interpretar de la siguiente manera: a) se trata en realidad de un promedio de las desviaciones de las observaciones con respecto a su media. b) su magnitud está en términos de las unidades en que se mide la variable (kg, cm, m² o lo que sea). c) el intervalo definido por: 0 ± 1s incluye al 68% de las observaciones, 0 ± 2s incluye al 95% de las observaciones, 0 ± 3s incluye al 99% de las observaciones. Estos valores corresponden a la "distribución normal" (ver el capítulo 3), son aproximados, se observan con mayor exactitud en muestras grandes y se discutirán en próximos temas. Existe una fórmula equivalente para obtener la varianza o la desviación estándar, la cual puede utilizarse en caso de no contar con ningún instrumento electrónico (al menos con una

33 calculadora con funciones estadísticas), además de otra para datos agrupados. No se presentan aquí, pues cada día pierden más su utilidad.

34 Ejemplo 2.4: Obtención e Interpretación de la Desviación Estándar (s). INFORMACIÓN

Se utilizarán los mismos datos del ejemplo 2.2: CASO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Hb (mg/100 ml) 14.4 17.4 15.5 16.3 13.9 13.9 14.5 14.7 15.0 15.7

CASO 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Hb (mg/100 ml) 13.1 13.4 13.8 12.7 15.4 14.7 13.9 14.2 16.5

PROCEDIMIENTO

1. Identifique y obtenga los datos necesarios: n = 19 (total de individuos observados). 0 = 14.68 mg/100 ml (del ejemplo 2.2) E(x - 0)i2 =23.56 2. Obtenga la desviación estándar: s =/[E(x - 0)i2 / (n-1)] = /[23.56 / 18] = /1.31 = 1.14 mg de Hb /100 ml 3. Obtenga el intervalo: si el intervalo medido por 0 ± 1s incluye al 68% de las observaciones, entonces se tendría que: 14.68 ± 1.14

35 define un intervalo que está entre 13.54 mg/100 ml (como límite inferior, que resulta de restar una desviación estándar a la media) y 15.82 mg/100 ml (límite superior, que resulta de sumar una desviación estándar a la media). Con esto, se puede esperar que trece observaciones (68%), de un total de diecinueve, caigan dentro del intervalo y siete fuera de él. Al revisar los datos se puede verificar que el resultado es el predicho.

36 RAZONES Y PROPORCIONES . 2.5. VARIABLES CUALITATIVAS. Las medidas descritas anteriormente son aplicables sólo a variables cuantitativas. Cuando se trata de las cualitativas, lo que interesa es conocer la frecuencia con que se presenta cierta característica en relación con el total de observaciones (n), esto es la proporción (B, p):

Lp=r/n En donde n es el número total de observaciones y r es el número de observaciones con la característica de interés. Nótese que si se multiplica p por 100, lo que se obtiene es simplemente un porcentaje. Para el caso de estas variables, el valor de la varianza se obtiene por:

y el de la desviación estándar por:

L Por supuesto que las fórmulas correspondientes para p son:

y

L

37 Puede verse que si r es el número de observaciones con la característica buscada y n es el total de observaciones, entonces r no puede ser mayor que n, por lo que p nunca podrá ser mayor que 1 ni menor que 0, es decir, no puede haber más del 100 por ciento de observaciones ni menos que el 0 por ciento con la característica buscada. Por esto mismo, aunque todas las proporciones pueden representarse como porcentajes, no todos los porcentajes son proporciones. Existe una proporción complementaria de p, la cual se denomina q, y que representa la proporción de observaciones que no tienen la característica buscada y entonces p + q = 1 (la proporción de las observaciones que tienen la característica buscada, más la proporción de las que no la tienen es igual al 100 por ciento; ejemplo 2.5).

38 Ejemplo 2.5: Obtención de una Proporción. INFORMACIÓN

Los datos corresponden al ejemplo 2.1. PROCEDIMIENTO

Si se desea obtener, por ejemplo, la proporción de mujeres con paridad igual a 1, entonces: 1. Identifique los datos necesarios: n = 54 mujeres (el total estudiado). r = 17 mujeres con paridad igual a 1. 2. Obtenga p y q: Proporción de mujeres con paridad igual a 1: p = r/n = 17/54 = 0.3148 ó 31.48% Proporción de mujeres con paridad distinta a 1: q=1-p = 1 - 0.3148 = 0.6852 ó 68.52% Nótese que p+q=1 esto es 0.3148 + 0.6852 = 1 ó 100%

39

CAPÍTULO 3: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (BINOMIAL Y NORMAL) 3.1. CONCEPTO DE PROBABILIDAD . "El estudio de la teoría de la probabilidad puede convertirse en una de las experiencias más desesperantes... Hay muchas razones para ello, sobre todo si se intenta establecer una base filosófica y matemática para los enunciados de la probabilidad...".1 Este problema es el que, con mucha frecuencia aleja, particularmente a quienes no buscan ser especialistas en el campo, del estudio de la estadística. En nuestro caso, la veremos de manera intuitiva (como se dice en la jerga matemática, para distinguirlo del análisis formal) y muy elemental, pero que proporcione los elementos indispensables para entender las bases estadísticas. Una definición sencilla de probabilidad puede ser: la proporción de veces que un suceso (o un resultado) ocurre en una larga serie de observaciones. El primer elemento de esta definición plantea a la probabilidad como una proporción (p) que, como tal, no puede tomar valores menores que 0 ni mayores que 1 (véase el capítulo 2; a esto se le conoce como el Axioma 1 de Kolmogorov). Siendo la probabilidad de que un resultado no ocurra (q): q = (1 - p) La suma de todos los resultados posibles es la probabilidad total, igual a 1 (o 100%; Axioma 2 de Kolmogorov): p+q=1 Si descomponemos la probabilidad total (1) en las probabilidades de cada resultado posible (y si estos son mutuamente excluyentes), estamos hablando de una distribución de probabilidades (por ejemplo, la probabilidad de que en un grupo de individuos encontremos algunos con presión sistólica mayor que 140 mmHg, más la probabilidad de que encontremos individuos con presión sistólica entre 90 mmHg y 140 mmHg, más la probabilidad de encontrar individuos con presión menor que 90 mmHg es igual a 1; Axioma 3 de Kolmogorov). Finalmente, como el concepto de probabilidad se refiere a una larga serie de observaciones, no puede definirse para un caso particular, aunque este sea un error en el que se incurre 1

Duncan RC et al. (1980). Bioestadística. Ed. Interamericana. México.

40 comúnmente, tanto en la vida diaria como en asuntos especializados (por ejemplo, en el consejo genético o en el pronóstico de una enfermedad para un paciente). También se confunde con el concepto de riesgo; pero si recordamos que este último puede atribuirse a un individuo, al igual que a una pluralidad de individuos, entonces se puede hacer la distinción. Por ejemplo, podemos decir que una mujer de 45 años de edad que se embaraza tiene, ella como individuo, un mayor riesgo de que su hijo resulte con síndrome de Down que una mujer de 25 años de edad que se embaraza; pero no podemos decir que tiene una probabilidad dada, ella como individuo, de tener un hijo con el síndrome, pues esta sólo se aplica a un conjunto de mujeres con las mismas características. Debe considerarse que la frecuencia con que se presente un resultado tiende a variar, tanto con cada serie de observaciones (de una serie a otra), como dentro de una misma serie conforme aumenta el número de las observaciones. Pero al incrementase el número de series (de pruebas o de experimentos) la probabilidad tiende a estabilizarse. El cálculo de la probabilidad, basado en esta idea de la observación de frecuencias, no siempre es posible o deseable dado que requiere de pruebas repetidas de un mismo fenómeno. Por ello, se desarrollaron distintos modelos matemáticos para estimar la probabilidad. Cuando la probabilidad no puede ser derivada de modelos matemáticos, se recurre a las facilidades que brindan los actuales recursos electrónicos, llevando a cabo experimentos simulados, los cuales pueden repetirse en múltiples ocasiones. Estas simulaciones producen resultados aleatorios, por lo que se les conoce como "simulaciones Monte Carlo", nombre tomado del famoso casino en Mónaco. Esta simulación, en su forma más simple está ejemplificada por el uso de los números aleatorios, como se verá en el capítulo 4. Dentro de las probabilidades, tenemos dos tipos: las condicionales y las independientes. Su distinción es importante, ya que las reglas para su cálculo y su importancia para el análisis estadístico son distintas en cada caso. La probabilidad condicional es aquella en la que se define la probabilidad de que ocurra un resultado B dado que un resultado A ya ha ocurrido. Por ejemplo, si en una muestra de 27 pacientes, de los cuales 7 son hombres (ejemplo 1.1), la probabilidad de que el primero escogido sea hombre es de 7/27 o 0.26, pero la probabilidad de que el segundo también sea hombre es de 6/26 o 0.23 siendo la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que en esta muestra el segundo seleccionado sea hombre, dado que el primero fue hombre? Por su parte, en la probabilidad independiente, la distribución de probabilidades de una variable es la misma para todos los valores de otra variable. Por ejemplo, la probabilidad de padecer psoriasis es independiente del sexo de los pacientes. Este es el tipo de probabilidad con el que se trabajará en este manual.

41 3.2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL . Si en una población de familias, cada una de ellas con dos hijos, estudiáramos la probabilidad de que esos hijos fueran de uno u otro sexo, podríamos encontrar los siguientes casos posibles: 1er Hijo

2º Hijo

m

m

m

f

f

m

f m: masculino f: femenino

f

donde la probabilidad de que un hijo cualquiera sea del sexo masculino es p(m) = 0.5 (aunque esto no es totalmente cierto, pues se sabe que nacen más hombres que mujeres, en una razón aproximada de 103 a 105 hombres por cada 100 mujeres y que mueren más hombres que mujeres, pero se tomará así con fines de ilustración del tema), y en consecuencia, la probabilidad de que sea del sexo femenino es p(f) = 0.5. De esa distribución se puede construir una distribución de probabilidades en la que: - la probabilidad de que los dos hijos sean varones es de ¼ (1 de los 4 posibles resultados), o sea 0.25; - de que ambas sean mujeres es también de ¼ (o 0.25); y - de que sean de distinto sexo, sin importar el orden, es de ½ (o 0.5). Lo que hace un total de 1 (o 100 por ciento, la probabilidad total): 1er Hijo

2º Hijo

m

m

¼

m

f

¼

f

m

¼

f

f Total

Probabilidad ¼

0.25

½

0.5

¼

¼

0.25

1

1

1

Nótese que dentro de una familia en particular, el sexo de los hijos no necesariamente es independiente, es decir, existen familias en las que predominan los hijos hombres y otras en

42 las que predominan las hijas mujeres. Pero en la población de familias (en una larga serie de observaciones) se verá una tendencia al equilibrio. La probabilidad de que ambos sean varones, p(m,m), resulta de multiplicar la probabilidad de cada uno: p(m,m) = p(m) * p(m) = 0.5 * 0.5 = 0.25 y lo mismo cabe para los otros casos, por lo que la distribución de probabilidad sería: p(m)p(m) + p(m)p(f) + p(f)p(m) + p(f)p(f) es decir: p(m)² + 2p(m)p(f) + p(f)² = 1 y si representamos a p(m) como p y a p(f) como q entonces: p² + 2pq + q² = 1 lo que es igual a: (p + q)2 = 1 Si se tratase de familias cada una con tres hijos, tendríamos la siguiente distribución: 1er Hijo

2º Hijo

3er Hijo

m

m

m

37468

m

m

f

37468

m

f

m

37468

f

m

m

37468

m

f

f

37468

f

m

f

37468

f

f

m

37468

f

f

f

37468

Probabilidad 37468

0.125

37470

0.375

37470

0.375

37468

0.125

43 Total

1

1

1

donde tendríamos: p(m)3 + 3p(m)²p(f) + 3p(m)p(f)² + p(f)3 = 1 es decir: p3 + 3p²q + 3pq² + q3 = 1 lo que es igual a: (p + q)3 = 1 De esta manera, podríamos seguir definiendo las probabilidades de ocurrencia para cualquier fenómeno (variables cualitativas y variables discontinuas) de cualquier magnitud. Se debe notar que cualquier expresión del binomio (p + q) es siempre igual a 1, esto es: ( P + Q) = 1 N

lo que representa la probabilidad total. Cuando el valor de n crece, esta forma de cálculo resulta, por supuesto, inapropiada puesto que el número de resultados posibles es cada vez más grande. En tales circunstancias se utiliza el siguiente modelo:

L Donde p(r) es la probabilidad de que se presenten r resultados con la característica de interés. n! es el factorial de n. B es la probabilidad previamente definida. Así, por ejemplo, la probabilidad de que en familias de 3 hijos (n = 3), encontremos familias en que 2 de ellos sean del sexo masculino (r = 2), sin importar el orden en que se presentan, siendo que la probabilidad de que un hijo cualquiera sea del sexo masculino es de 0.5 (B = 0.5), es: n! = 3! = 3*2*1 = 6

44 r! = 2! = 2*1 = 2 (n-r)! = (3-2)! = 1! = 1 6 p(m,m,f) = _____ 52 * 0.53-2 2 * 1 0. p(m,m,f) = 3 * 0.25 * 0.5 = 0.375 el mismo resultado que observamos en el cuadro arriba. Esta distribución de probabilidades, propuesta alrededor del siglo XVII, originalmente fue ideada para dar cuenta de sucesos como eran las oportunidades de tener éxito en los juegos de azar; de aquí viene la tan arraigada costumbre de que en muchos libros de estadística se le ilustre con ejemplos de ésa clase (juegos de dados, de baraja, etc.). En realidad, sus fundamentos matemáticos son mucho más complejos que lo presentado aquí, pero consideramos que con esto se puede tener una idea suficiente para los propósitos de este manual. 3.3. DISTRIBUCIÓN NORMAL . La distribución normal (originalmente desarrollada por Abraham de Moivre (1667 - 1754) y publicada por él mismo en 1733) es una distribución de probabilidades que se desarrolló con propósitos menos triviales que la binomial. En realidad, es un modelo matemático de algunas distribuciones encontradas en la observación de distintos fenómenos; es entonces un modelo inductivo. Como todo modelo, constituye una representación idealizada de la realidad, por lo que en la práctica no encontraremos nunca un grupo de observaciones que lo sigan exactamente, pero si lo observado es de alguna manera parecido a lo teórico, entonces se justifica su utilización (véase la gráfica 3.1).

Gráfica 3.1. Como características generales de la distribución normal, podemos señalar las siguientes: a) Es una distribución de probabilidades de una variable continua, que generalmente se representa por la letra x. En la escala de medición de este tipo de variables, resulta inútil señalar la probabilidad para un punto preciso de la escala (por ejemplo, la probabilidad de

45 encontrar individuos con una talla de exactamente 172 cm en una población dada, es prácticamente nula, ya que el número de valores posibles entre dos puntos de una escala continua es infinito), más bien se habla de la probabilidad referida a un intervalo de esa escala (por ejemplo, la probabilidad de encontrar individuos con una talla entre 170 y 174 cm). b) La curva de la distribución normal tiene forma de campana, con altura máxima en el valor correspondiente a µ (véase la gráfica 3.2). c) La curva de la distribución normal es simétrica alrededor de µ y por lo tanto, la media aritmética la divide en dos partes iguales. Por esa misma razón, en la curva normal la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor (véase la gráfica 3.2). d) Siendo una distribución de probabilidades, el área total bajo la curva representa a la probabilidad total (la cual es igual a 1), por lo que la media, al dividir la distribución en dos partes iguales, deja dos áreas con valor de 0.5 a cada lado de ella. Sin embargo la curva es asintótica, por lo cual nunca se puede determinar la probabilidad absoluta (véase la gráfica 3.2).

Gráfica 3.2. e) La probabilidad (área bajo la curva) entre los límites del intervalo definido por: µ ± 1F contiene al 0.68 (68 por ciento) del área bajo la curva; µ ± 1.96F contiene al 0.95 (95 por ciento) del área bajo la curva; y µ ± 2.58F contiene al 0.99 (99 por ciento) de área bajo la curva (véase la gráfica 3.3).

46

Gráfica 3.3. Estos valores han sido definidos a través de cálculo integral. Debe recordarse que en el capítulo anterior se dieron unos valores aproximados, que pueden ser utilizados en estimaciones rápidas, sin embargo, los que ahora mostramos son los que se usan para la presentación de resultados y su análisis. f) La curva de distribución normal está determinada por dos valores: µ y F (véase la gráfica 3.4). La media define el lugar que ocupa una distribución en la escala, es decir, al modificarse la media se modifica la posición de la distribución en la escala, por ello también se le conoce como medida de posición; mientras que la desviación estándar determina el grado de apuntamiento, llamado curtosis, que tenga una distribución.

Gráfica 3.4.

47 Aquí se puede ver que al variar la F, el grado de apuntamiento o curtosis se modifica: si la F es pequeña, como en F 1, quiere decir que los valores de las observaciones tienden a parecerse entre sí (son homogéneos y están cerca de la media) y la curva se vuelve muy apuntada, es decir, leptocúrtica; pero si los valores son muy distintos entre sí (heterogéneos, alejados de la media), como con F 3, la curva se aplana y se vuelve platocúrtica. La curva normal (F 2) queda enmedio de las otras dos y se le conoce como mesocúrtica. Además, se observa que las tres distribuciones son muy distintas unas de las otras, aun cuando tienen la misma media, por lo que podemos concluir que para la correcta descripción de una distribución siempre deberán referirse tanto las medidas de tendencia central como las de dispersión. Para saber si la aplicación de la distribución normal es adecuada para una distribución observada, se necesita conocer la curtosis y el sesgo (grado de asimetría) de esta última. En la actualidad, con los programas de computadora disponibles, es fácil obtener estas mediciones y determinar si lo observado se aleja o no de manera considerable de una distribución normal. Diferencias importantes impiden que se lleven a cabo análisis más avanzados, como se verá en capítulos posteriores. g) La distribución normal está descrita por:

L Donde y es el valor que toma el eje de las ordenadas. n: número de observaciones B: 3.14159... exp: es el número e (2.71828...), base de los logaritmos naturales (ln) elevado a la potencia señalada. x: valor de una observación sobre el eje de las abscisas. µ: media aritmética de la distribución. F 2: varianza de la distribución. En siglos anteriores, este modelo debía ser aplicado para "normalizar" las observaciones y obtener los valores de la probabilidad (área bajo la curva) para la observación de un suceso. En un inicio (siglo XVIII), esto resultaba ser un problema de considerable magnitud, pues para cada tamaño de muestra (n) y para cada valor de la variable (x) había que realizar las operaciones necesarias; y si por acaso se modificaba, aunque fuera un poco, el tamaño de la muestra o alguno de los valores, lo hecho anteriormente ya no era útil (en la actualidad los medios electrónicos lo han resuelto por completo). Se pensó entonces en construir una distribución modelo que pudiera ser aplicada en todos los casos: esta es la distribución normal estándar, en la cual se trata de determinar la distribución de una variable imaginaria,

48 identificada como z, en lugar de la variable observada x, y que siempre tiene una µ = 0 y una F = 1. Con esto se simplificó considerablemente el modelo anterior, y se pudo definir la probabilidad bajo la curva para cada valor de z (véase la tabla 1 del Apéndice). El razonamiento de lo anterior consiste en lo siguiente: a) Se imaginaron una distribución normal en la cual la media (µ) siempre es igual a 0, y la desviación estándar es igual a 1. La media sería 0 porque, habiendo valores de la variable mayores que ella, las diferencias de aquéllos con respecto a ésta resultarían positivas, mientras que las diferencias de los valores menores que la media serían negativas; así, la media estaría en el origen de los ejes, cuyo valor es 0. Por otro lado, una desviación estándar igual a 1 simplificaría cualquier operación. b) En el modelo de la distribución normal arriba descrito, hicieron las sustituciones correspondientes (como F = 1, entonces también F 2 = 1, por lo que no tenía caso conservarla en la ecuación; como la µ = 0, también se omitió).

c) Pero como los valores de n podían cambiar, el problema persistía, por lo que pensaron en algún valor que pudiera ser de aplicación general. Este valor era el área total bajo la curva, la probabilidad total, es decir, 1.

d) Pero como ya no se trataba de la distribución de una variable observada, sino de una distribución imaginaria, ya no se estaba hablando de la variable x, por lo que le dieron otro nombre: z.

L e) Una vez hecho lo anterior, se determinó el área bajo la curva para distintos intervalos de la distribución de esta variable imaginaria z (véase la tabla 1 del Apéndice). f) Ahora que ya se tenía una distribución (distribución normal estándar, de naturaleza teórica), cuyas áreas bajo la curva (probabilidades), para distintos intervalos, eran conocidas, sólo restaba aplicarla a cualquier distribución empírica, observada. Pero la pregunta es ¿cómo se puede lograr esto? g) Hay que tomar en cuenta que la variable z está expresada en unidades de desviación estándar, pues si F = 1, entonces cuando z = 1= F. En otras palabras, z expresa el alejamiento, la diferencia con respecto a µ en unidades de desviación estándar. Por

49 consiguiente, si tomamos la diferencia de alguna observación x con respecto a µ, y si esta diferencia la relacionamos con F podremos ver qué distancia hay de x respecto a µ en unidades de F , es decir, en valores de z.

L Así, se hizo el trabajo una única vez y para siempre: la probabilidad entre dos valores observados (x1, x2) puede encontrarse por la probabilidad entre z1 y z2 (véase el ejemplo 3.1). No es extraño que se desconozcan los valores de µ y de F por lo que en su lugar deberán usarse los de la muestra. 3.4. APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA NORMAL . En el caso de la distribución de probabilidades en cuanto al sexo de los hijos en familias de dos o tres, se obtuvieron los siguientes resultados (inciso 3.2), donde p(m=r) es la probabilidad de tener r hijos del sexo masculino: n=2 p=0.5

p

p(m=0)

0.25

p(m=1)

0.5

p(m=2)

0.25

Total

1

n=3 p=0.5

p

p(m=0)

0.125

p(m=1)

0.375

p(m=2)

0.375

p(m=3)

0.125

Total

1

Si esto se representa en histogramas, en la primera situación se observarían tres rectángulos y en la segunda cuatro. Sin embargo, el área total contenida en ellos es la misma: 1, o sea la probabilidad total:

50

Si tomásemos familias con cinco hijos, el número de rectángulos (de posibles resultados) será mayor (y cada vez mas estrechos) pero contienen, al sumarlos, la misma probabilidad total: n=5 p=0.5

p

p(m=0)

0.0313

p(m=1)

0.15625

p(m=2)

0.3125

p(m=3)

0.3125

p(m=4)

0.15625

p(m=5)

0.0313

Total

1

51 Con familias de 8, la distribución de probabilidades tendría aún una mayor cantidad de rectángulos, cada vez más estrechos, pues la probabilidad total, siempre igual a 1, debe distribuírse en cada ocasión en una mayor cantidad de resultados posibles: n=8 p=0.5

p

p(m=0)

0.004

p(m=1)

0.0313

p(m=2)

0.10937

p(m=3)

0.21875

p(m=4)

0.27344

p(m=5)

0.21875

p(m=6)

0.10937

p(m=7)

0.0313

p(m=8)

0.004

Total

1

En otros fenómenos el número de posibles sucesos (n) puede ser más grande. Si la cantidad de ocurrencias posibles es grande, la distribución binomial va tomando una forma parecida a la distribución normal, entre mayor sea n más semejante será aquella a esta, pero nunca llegará a ser continua. Sin embargo, podemos aplicar lo que sabemos de la normal a la binomial.

52

Las probabilidades extremas no se observan en la gráfica por ser muy pequeñas. Debido a esta característica de la distribución binomial, y para evitar el cálculo complejo de probabilidades que suponía, antes del uso generalizado de los instrumentos electrónicos, se ha utilizado lo que se conoce como aproximación de la distribución binomial a la normal, a través de la cual se obtiene la puntuación z para conocer la probabilidad de un suceso binomial, donde:

Nótese que r hace las veces de x, y nB las de la media, mientras que el denominador es la desviación estándar (véase el capítulo 2). Después de lo cual, usando la tabla 1 del Apéndice podemos encontrar la probabilidad correspondiente. Sin embargo, es necesario echar mano de lo que se conoce como corrección por continuidad, dado que estamos tratando una variable cualitativa, o una discontinua, con un modelo para variables continuas pues, de no hacerlo, las estimaciones tendrán un considerable margen de error:

L en ocasiones, en lugar de B se utiliza el valor de p (cuando tratamos con muestras).

53 Como ejemplo de la aproximación, véase que si se utiliza la distribución binomial en el caso de las familias con 8 hijos, la probabilidad de que 6 o más sean varones es igual a 0.14452 (usando la distribución binomial), si obtenemos el valor de z, entonces: Z

= [(6-0.5) - (8*0.5)] / /(8*0.5*0.5) = 1.06

lo que de acuerdo a la tabla 1, significa que el área bajo la curva por encima del valor de z = 1.06, es igual a 0.1446, lo que resulta prácticamente igual a lo obtenido con la distribución binomial. En la actualidad, con los medios electrónicos disponibles, este tipo de conversiones no son necesarias para el cálculo de probabilidades, pero es conveniente tenerlas en mente porque se utilizan para análisis que posteriormente se abordarán y que no permite hacer la distribución binomial. Dos requisitos son indispensables para aplicar esta aproximación: a) El número de observaciones (n) debe ser grande. b) La proporción estudiada debe estar cercana a 0.5, ya que de no ser así la distribución binomial deja de ser simétrica y se aleja de la normal. Véase el caso cuando p = 0.3: n=7 p=0.3

p

p(7)

0.00022

p(6)

0.00357

p(5)

0.025

p(4)

0.09724

p(3)

0.22689

p(2)

0.31765

p(1)

0.24706

p(0)

0.08235

Total

1

En este caso, la probabilidad de que cuatro o más individuos tengan la característica buscada sería igual a 0.1260, de acuerdo a la distribución binomial. Mientras que si utilizamos la aproximación, tendremos que z = 1.15, y la probabilidad resultante es igual a 0.1251, con un cierto margen de error, debido a que la distribución pierde la simetría (está sesgada), que puede ser importante de acuerdo al problema de que se trate en la realidad, pero que será mayor conforme p se aleja de 0.5.

54 En la gráfica siguiente se tienen cuatro distribuciones, basadas en distintas probabilidades (0.1, 0.5, 0.7 y 0.9). Puede verse que cuando p = 0.5, la distribución es simétrica, pero al modificarse la probabilidad, las distribuciones empiezan a presentar un sesgo, el cual es mayor conforme la probabilidad se aleja más de 0.5 (si la probabilidad es menor que 0.5, el sesgo se hace positivo, si es mayor, el sesgo es negativo).

Las probabilidades extremas no se observan en la gráfica por ser demasiado pequeñas.

55 Ejemplo 3.1: Determinación del área bajo la curva (probabilidad). INFORMACIÓN

En un grupo de pacientes que habían sufrido infarto al miocardio se encontró, después de su recuperación y de un tratamiento especial seguido durante 3 años, que su presión sistólica media era de 136.0 mmHg, con una desviación estándar de 23.6 mmHg. ¿Qué proporción de estos pacientes esperaría encontrar con a) una presión sistólica menor que 120 mmHg? b) una presión sistólica mayor que 160 mmHg? c) una presión sistólica menor que 145 mmHg? d) una presión sistólica entre 100 y 110 mmHg? e) ¿Por encima de qué nivel de presión sistólica estaría el 2.3% de pacientes con presión mas alta? PROCEDIMIENTO

1. Identifique los datos básicos: 0 = 136.0 mmHg s = 23.6 mmHg 2. Encuentre las áreas pedidas: para esto, hay que convertir los valores de la variable observada (x) en valores de la variable z. a) En este caso x = 120, por lo que z = (120 - 136) / 23.6 = -16 / 23.6 = -0.68 b) En este caso x = 150, por lo que z = (160 - 136) / 23.6 = 24 / 23.6 = 1.02

56 N.B.: el signo negativo o positivo de z indica solamente el lado de la curva en el cual se está trabajando; si es negativo, el valor se encuentra a la izquierda de la media (el valor en cuestión es menor que la media), si es positivo, a la derecha (es mayor que la media). Como la curva es simétrica, la tabla 1 del apéndice únicamente muestra los valores positivos. 3. Encuentre el Área Bajo la Curva que está entre el Valor de y de z: en la primera columna de la tabla 1 del apéndice se muestran, encabezados por la letra z , los valores enteros y el primer decimal, las otras columnas (0 a 9) corresponden al segundo decimal de z (generalmente, z sólo para dos decimales. a) si z = -0.68, se busca en la primera columna de la tabla el valor 0.6, en esa fila se busca el valor correspondiente a la columna encabezada por el número 8 (segundo decimal de z. La tabla nos muestra que el área bajo la curva que está entre µ = 0 y z = 0.68 equivale a 0.2518 (o al 25.18% del total del área bajo la curva).

Gráfica A Sin embargo, lo que interesa es el área que se encuentra por debajo de z = -0.68, es decir, la proporción de los pacientes con una presión sistólica menor que 120 mmHg:

Gráfica B

57 Entonces, si se sabe que el área a cada lado de la media es igual a 0.5 (o al 50%):

Gráfica C simplemente se resta a este último valor el área obtenida en la tabla: área buscada = 0.5 - 0.2518 = 0.2482 La respuesta es que la proporción de individuos que se espera encontrar con una presión sistólica menor que 120 mmHg es 0.2482 o 24.82%. b) Si z = 1.02, el procedimiento que se sigue es el mismo. Se busca en la tabla la fila donde z = 1.0 y luego el valor indicado en esa misma fila para la columna encabezada por el número 2. La tabla indica que el valor del área bajo la curva entre µ = 0 y z = 1.02 es 0.3461:

Gráfica D Pero lo que interesa es el valor del área por encima de z = 1.02, es decir, la proporción de los pacientes con una presión sistólica mayor que 160 mmHg:

58

Gráfica E y al igual que anteriormente: z = 0.5 - 0.3461 = 0.1539 La respuesta es que la proporción de pacientes que se puede esperar encontrar con una presión sistólica mayor que 160 mmHg es 0.1539 o 15.39%. c) Encuentre las respuestas a las otras preguntas. En la última, note que se debe proceder en sentido inverso (primero, encontrar el valor de z y después el de x, que es la interrogante.

Ejemplo 3.2: Aproximación de la Distribución Binomial a la Normal. INFORMACIÓN

En 65 pacientes tratados con warfarina (anticoagulante que se utiliza para prevenir tromboembolias), se produjeron hemorragias graves. En 24 de ellos, estas fueron gastrointestinales. Suponiendo que esta proporción pueda tomarse como referencia para otros casos, ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra de 100 pacientes con hemorragia grave debida al tratamiento con warfarina, sufran de hemorragia gastrointestinal?

PROCEDIMIENTO

1. Identifique la información básica: n = 100 pacientes tratados con warfarina y que sufren hemorragias graves

59 r = 40 pacientes de los anteriores que sufren hemorragia gastrointestinal B = 24/65 = 0.3692, proporción obtenida en el estudio mencionado, y que se toma como referencia 2. Obtenga el valor correspondiente de z: z = [(r-0.5) - (nB)] / /[nB (1-B)] por lo tanto z = (40-0.5)(100*0.3692) / /[100*0.3692*0.6308] = 2.58 / /23.289 = 2.58 / 4.8259 = 0.53 3. Busque la correspondiente área bajo la curva: En la tabla 1, tenemos que el valor del área desde la media hasta z = 0.53 es: 0.2019. Como el área que se pide es la que queda por encima de este valor, entonces: 1 - 0.2019 = 0.7981, por lo que se concluye que de estos 100 pacientes, se puede esperar que 79.81 por ciento tengan hemorragia grave gastrointestinal.

60

CAPÍTULO 4: MUESTREO Y DISTRIBUCIONES DE MUESTRAS 4.1. POBLACIÓN Y MUESTRA . En estadística, la población es un agregado o conjunto de observaciones que poseen ciertas características en común, definidas de acuerdo a los intereses de una investigación. Este concepto de población se diferencia del que se tiene en la epidemiología o en la demografía, en las cuales se habla de conjuntos de personas. En el lenguaje estadístico, la población puede ser referida a individuos, pero también a agregados de ellos (por ejemplo, una población de familias o una población de localidades), o a agregados de características (por ejemplo, una población de presiones arteriales o una población de retinas). Cuando la investigación incluye el estudio de toda la población se habla de un censo; si únicamente se escoge una parte (n) se hace referencia a una muestra. El objetivo de esta última no es, como en ocasiones se cree, conocer lo que sucede en la muestra misma, sino obtener información que posteriormente pueda ser generalizada a la población de la cual esa muestra procede. Esto se conoce como estadística inferencial. Debido a que al tomar una muestra se estudia sólo parte de la población, las conclusiones que de ella se obtengan siempre tendrán un grado de error; entonces, ¿por qué llevar a cabo un muestreo y no un censo?: a) porque con frecuencia se trabaja con poblaciones infinitas y por lo tanto no es posible llevar a cabo un censo, puesto que la población siempre estará cambiando y en consecuencia no se podrá determinar el número total de sus elementos. Ejemplo de ellas es el grupo de pacientes que requiere de un tratamiento particular, porque siempre habrá aquellos que dejen de necesitar el tratamiento (ya sea porque se curaron o porque fallecieron) y otros que ingresan al grupo porque han adquirido la enfermedad; b) porque al trabajar con una población finita (aquella en la cual el número de elementos puede ser definido) esta resulta demasiado grande o bien se desea ahorrar trabajo, tiempo y costos. c) o bien, aunque en ocasiones se está en capacidad para levantar un censo y se cuenta con los recursos suficientes, al tomar una muestra parte de esos recursos puede ser mejor aprovechada en la indagación de otros problemas o en ahondar en ciertos aspectos del asunto central. En cualquier caso, al tomar una muestra tenemos las siguientes: a) Ventajas: ahorro en trabajo, tiempo y costos; capacidad para entrenar a un número conveniente de observadores bien calificados que recaben los datos de manera más confiable. b) Desventajas: se pierde precisión. En realidad lo que hacemos es reemplazar una afirmación absoluta con respecto a la población por una aproximación (el término estadístico es estimación).

61 Al obtener una muestra, se desea conocer una de dos cosas: a) el valor medio (µ) de alguna medida, o b) la proporción (B) de la población con alguna característica. Pero, como se dijo arriba, ya que sólo se ha estudiado a una parte de la población y no a toda ella, las estimaciones tendrán un grado de error. En otras palabras, nunca se podrá esperar que las estimaciones muestrales sean iguales a los valores reales, o parámetros, en la población (0 = / µ; p = / B), si acaso serán aproximadamente iguales. De hecho, si los valores obtenidos a partir de una muestra fuesen los mismos que los de la población, no lo sabríamos, pues desconocemos estos últimos, lo cual es el motivo del estudio. Es importante reconocer que al tomar una muestra pueden existir dos tipos de errores: a) El error aleatorio (error de muestreo, error experimental) que surge debido al hecho mismo de que estamos observando precisamente a una parte de la población y no al total. Este tipo de error tiene dos importantes características: conforme aumenta el tamaño de la muestra (n), el error disminuye (en un censo no hay error de muestreo); y además puede ser medido. b) El error no aleatorio (error sistemático), que se debe a la introducción de sesgos en la selección de la muestra, el cual constituye un descuido o una tendencia por parte del observador, aunque también se puede deber al sujeto observado. Este tipo de error no disminuye al aumentar el tamaño de la muestra (no desaparece ni aun cuando se levanta un censo) y no puede ser medido. Dadas las características de ambos tipos de error, es importante reducir el primero y saber evitar el segundo. Ello dependerá de la forma en que las unidades muestrales sean seleccionadas. Aquí se tratarán únicamente los aspectos relacionados con el error de muestreo, los errores sistemáticos son motivo de estudio metodológico más que estadístico. Una de las preocupaciones más frecuentes cuando se toma una muestra, es que esta sea representativa de la población de la cual procede, esto es, que de alguna manera refleje adecuadamente las características de la población. Algunos autores prefieren no referirse a este término por las dificultades implícitas que plantea. En todo caso la única manera de "asegurar la representatividad" consiste en la toma de una muestra aleatoria. Es decir, lo importante en el muestreo es la forma en que se ha llevado a cabo. La selección aleatoria se basa en que cada una de las unidades muestrales tiene la misma oportunidad de ser elegida. Para ello, antiguamente se utilizaban las tablas de números aleatorios que aún contienen los libros de estadística (véase la tabla 2 del Apéndice); actualmente es fácil auxiliarse de distintos recursos electrónicos como son las calculadoras científicas de bolsillo o distintos programas de cómputo.

62 El uso de esta tabla es sencillo: en primer lugar se decide la cantidad de dígitos que han de formar los números que se seleccionarán; por ejemplo, si la población de la cual se ha de extraer la muestra está constituida por 500 elementos, se requiere de tres dígitos, por lo que se numerarán desde 001 hasta 500; se decide de antemano el sentido en el que se ha de leer la tabla (de izquierda a derecha, de derecha a izquierda, de abajo hacia arriba, o cualquier combinación que se desee); se escoge al azar el punto de inicio en la tabla y se procede a seleccionar los números. Con instrumentos del tipo de las calculadoras científicas de bolsillo se siguen los mismos principios. Por lo general, estas calculadoras tienen una tecla ("random" o algo similar) que produce números en el formato de tres decimales. Tales números son "semialeatorios" pues son producidos a partir de un número "semilla". De cualquier forma, es necesario definir de antemano cómo habrán de ser utilizados los resultados. Algunos programas de cómputo, como Excel ©, pueden producir números aleatorios con una amplia variedad de controles por parte del usuario. Como alternativa a la selección aleatoria existe la selección regulada, donde el investigador escoge unidades muestrales típicas del fenómeno estudiado. Este tipo de muestra, aunque en ocasiones proporciona resultados más precisos en el estudio de ciertos fenómenos (por ejemplo, alguna enfermedad) tiene la desventaja de que no permite medir el error de muestreo, no permite hacer estudios comparativos y está sujeta a la posibilidad de sesgos muy importantes. Otro tipo de selección es la sistemática, en donde se toman las unidades muestrales que se encuentran a cada determinado número de elementos que integran el universo (por ejemplo, cada tercer paciente). Esto puede hacerse únicamente si el número de elementos seleccionados es grande y la homogeneidad entre ellos no es importante para el estudio. Además, se puede "aleatorizar" al dejar al azar el número que resulte como punto de partida. En lo subsecuente se supone que se hablará siempre de muestras aleatorias las cuales, además, pueden ser de diferentes tipos: simples, estratificadas, proporcionales, etc. Aquí se supondrá que hablamos siempre de las muestras aleatorias simples. 4.2. DISTRIBUCIONES MUESTRALES . Cuando se toma una muestra aleatoria de tamaño n y calculamos su media 0, se sabe que debido al error de muestreo ésta será diferente de la verdadera media µ. Entonces, interesa saber qué tan diferente es; en otras palabras, interesa conocer cuál es la magnitud del error de estimación. Por supuesto nunca se podrá conocer exactamente dado que se ignora el valor de µ (pues si se conociese no tendría objeto hacer la investigación). Suponiendo que se toman muchas muestras (i muestras) todas del mismo tamaño n y de la misma población, se pueden obtener entonces sus respectivas medias 0 i. Si estas resultan ser similares entre sí, se puede decir que el error de muestreo es pequeño. Si las 0 i difieren

63 ampliamente, el error sería grande. ¿De qué depende entonces la magnitud del error? Fundamentalmente de dos aspectos: a) Como se vio anteriormente, el error de muestreo será menor conforme el tamaño de la muestra aumente, de tal manera que en un censo completo no existe error de muestreo. b) Pero además, dependerá de la variabilidad (dispersión) de los valores en la población estudiada. Una población heterogénea (con F 2 grande) dará un error de muestreo mayor que una población homogénea (con F 2 pequeña); esto es resultado de que, en el primer caso, los valores seleccionados para la muestra tenderán a estar más cercanos a µ. De esta manera, el error de muestreo será el resultado de la relación entre dos factores: el tamaño de la muestra y la variabilidad de las observaciones, y esto se puede expresar como sigue:

En esta relación se puede ver que el resultado aumenta si aumenta la varianza y disminuye si aumenta el tamaño de la muestra. Si, de acuerdo a la suposición de párrafos anteriores, se obtuviesen diferentes medias 0 i (todas con el mismo tamaño) y se observase su distribución, se podrían advertir las siguientes características: a) La distribución de las 0 i tiende a ser normal aún cuando la distribución de la variable original que está bajo estudio no lo sea (teorema del límite central; gráfica 4.1). b) La media de la distribución de las 0 i es la misma que la media de la variable original en la población, o sea µ (gráfica 4.1). c) La varianza de la distribución de las 0 i es F 2/n. d) La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, y se le denomina error estándar de la media (EE0):

o más comúnmente:

L EE0 = el cual representa la magnitud del error de muestreo.

64

Gráfica 4.1. Nótese que si n aumenta el EE0 disminuye y si F aumenta el EE0 aumenta y viceversa. Por lo general, como el valor de F se desconoce, deberá ser substituido por el valor de la muestra (s):

L EE0 = Por último, si la distribución de las 0 i tiende a ser una distribución normal, entonces podemos aplicar las propiedades de ésta a la distribución de las medias muestrales. Esto significa que el intervalo definido por: µ ± 1.96 EE0 incluye al 95% de las medias muestrales similar al intervalo definido por: µ ± 1.96 F que incluye al 95% de las observaciones (véase el capítulo 3; gráfica 4.2).

Gráfica 4.2.

65 Se puede definir el intervalo correspondiente para el 99 por ciento: µ ± 2.58 EE0 incluye al 99% de las medias muestrales Para el caso de las variables binomiales tenemos que:

o más comúnmente:

L Por lo general, como los valores de B se desconocen, deberán ser sustituídos por el valor de la muestra (p):

L 4.3. INTERVALOS DE CONFIANZA . Una vez conocida la magnitud del error de muestreo, queda por responder a la pregunta sobre qué tan buen estimador resulta la media de la muestra 0, de la media de la población µ, cuyo valor nos es desconocido. Anteriormente se vio que en una distribución de medias muestrales (0 i) el 95 por ciento de ellas caerían dentro del intervalo: µ ± 1.96 EE0 es decir, existe el 95 por ciento de probabilidad de que el error de estimación no sea numéricamente mayor que 1.96 EE0 o, dicho en otras palabras, confiamos en que la única media observada 0, forme parte de ese conjunto de medias 0 i que tienen como media a µ y como medida de dispersión al EE0. En la estimación o inferencia científicas se trabaja con este concepto probabilístico en el que siempre habrá un grado de incertidumbre pues, en nuestro ejemplo, un 5 por ciento de las medias 0 i caerá por fuera del intervalo 1.96 EE0. Podemos construir un intervalo dentro del cual caiga el 99 por ciento de las medias 0 i, o el 99.9 por ciento, o cualquier otro, pero nunca podremos definir un intervalo tal en que la certeza de nuestras afirmaciones sea absoluta (recuérdese que la distribución normal es asintótica). Sin embargo, el problema usual no es el anterior, ya que por lo regular no tomamos muchas muestras de la misma población. Se pretende que, a través de una sola muestra, podamos

66 estimar el valor que tiene µ, la cual permanece desconocida y que es el motivo de la investigación. Para lo anterior, dicho en palabras coloquiales, la inferencia científica juega a la lotería, pero en sentido contrario: en la lotería, el jugador desea, o confía, que el número comprado salga premiado con el premio principal, es decir, busca obtener, por medio del azar, el resultado menos probable; en la inferencia estadística se desea que la única media 0 forme parte del conjunto de medias 0 i que caen dentro del intervalo, por ejemplo, del 95 por ciento (µ ± 1.96 EE0), en otras palabras, se confía en que no se obtendrá el primer premio, en que el error de estimación no será mayor que 1.96 EE0, y que por lo tanto, el intervalo definido por:

L 0 ± 1.96 EE0 tenga en realidad una probabilidad del 95 por ciento de contener el valor de µ. Este intervalo es llamado intervalo de confianza al nivel del 95 por ciento para la verdadera media de la población y es una medida de la precisión con que 0 estima el valor de µ. Nótese que es el intervalo de confianza el que tiene una probabilidad dada de incluir el valor de µ y que no es µ la que tiene esa probabilidad de caer dentro del intervalo. Entre más amplio resulte el intervalo al mismo nivel de confianza (por ejemplo 95 por ciento), menor será la precisión con que se está estimando el parámetro de la población y viceversa. Un intervalo muy amplio será de menor utilidad práctica que uno estrecho. El mismo razonamiento se sigue para las variables binomiales, donde el intervalo de confianza del 95 por ciento para la verdadera proporción de la población (B) es:

L p ± 1.96 EEp Por supuesto, se pueden definir otros intervalos a distintos niveles de confianza: 0 ± 2.58 EE0 p ± 2.58 EEp que son los intervalos correspondientes al nivel de confianza del 99 por ciento. Por supuesto, el intervalo del 99 por ciento será más amplio que el del 95 por ciento, con un mismo error estándar, debido al simple hecho de que se abarca un área mayor bajo la curva (no a que sea menos exacto). Estos dos intervalos son los más usados en la investigación, pero ello es arbitrario y se puede utilizar cualquier otro.

67 Es por medio de estos intervalos que se puede estimar el valor desconocido de un parámetro de la población (µ o B) por medio de una muestra, con una cierta probabilidad de acertar y, en consecuencia, con una cierta probabilidad de equivocarse (que siempre existirá y que en ocasiones puede hacerse real, por pequeña que nos parezca; ¡hay quienes obtienen el primer premio de la lotería!; véanse los ejemplos 4.1 y 4.2).

68 Ejemplo 4.1: Obtención de un Intervalo de Confianza para la Verdadera Media en una Población. INFORMACIÓN

En un estudio realizado en una comunidad rural de México, se tomó una muestra de 127 individuos, a quienes se les midió el nivel de colesterol sérico. Los resultados arrojaron una media (0 ) igual a 250.16 mg/100 ml y una desviación estándar (S) igual a 48.29 mg/100 ml. Suponiendo que esta muestra fue correctamente tomada y que es representativa de la población de la cual se obtuvo, ¿cuál sería el intervalo de confianza del 95 por ciento para estimar la verdadera media de la población?

PROCEDIMIENTO

1. Defina los datos básicos: n = 127 individuos 0 = 250.16 mg/100 ml por individuo s = 48.29 mg/100 ml 2. Obtenga el error estándar: EE0 = s/%n = 48.29/%127 = 48.29/11.269 = 4.29 mg/100 ml 3. Obtenga el intervalo de confianza del 95 por ciento: 0 ± 1.96 EE0 250.16 ± (1.96 * 4.29) 250.16 ± 8.41 es decir, de 241.75 mg/100ml a 258.57 mg/100ml INTERPRETACIÓN

69 Con un 95 por ciento de probabilidades de acertar, se puede afirmar que el valor de la verdadera media de colesterol sérico, en la población de la cual fue tomada esta muestra, se encuentra entre 241.75 y 258.57 mg/100ml.

70 Ejemplo 4.2: Obtención de un Intervalo de Confianza para la Verdadera Proporción en una Población. INFORMACIÓN

La infección por virus de hepatitis B (VHB) puede tener diferentes consecuencias, como son la hepatitis aguda, la hepatitis activa crónica, la cirrosis y el carcinoma hepatocelular primario. En los adultos esta infección es responsable de una gran parte de tales enfermedades. En un estudio realizado en Argentina, fueron examinadas 276 personas con hepatitis crónica, de las cuales 174 resultaron positivas al VHB; en otro estudio, llevado a cabo en Chile fueron examinadas 48 personas con carcinoma hepatocelular, de las cuales 34 resultaron positivas para el VHB. Suponiendo que estas fueron muestras seleccionadas al azar, determine: a) el intervalo de confianza del 95por ciento para la verdadera proporción (B) de pacientes con hepatitis crónica VHB positivos en Argentina. b) el intervalo de confianza del 95por ciento para la verdadera proporción (B) de pacientes con carcinoma hepatocelular VHB positivos en Chile.

PROCEDIMIENTO

Para el problema (a): 1. Defina los datos básicos: n = 276 pacientes con hepatitis crónica r = 174 pacientes con hepatitis crónica VHB positivos 2. Obtenga la proporción de la muestra: p=r/n = 174 / 276 = 0.6304 3. Obtenga el error estándar: EEp = %[p(1-p) / n] = %[0.6304*0.3696 / 276]

71 = 0.0291 4. Obtenga el Intervalo de Confianza del 95 por ciento: p ± 1.96 EEp 0.6304 ± (1.96 * 0.0291) 0.6304 ± 0.057 esto es, de 0.5734 hasta 0.6874. INTERPRETACIÓN

Con un 95 por ciento de probabilidad de acertar (o de confianza), se puede afirmar que la verdadera proporción de pacientes con hepatitis crónica que son VHB positivos se encuentra entre 0.5734 y 0.6874, es decir, entre el 57.34 por ciento y el 68.74 por ciento. Esto será válido solamente para la población de la cual fue extraída la muestra y en el caso de que esta realmente haya sido obtenida por métodos aleatorios. Obtenga el intervalo de confianza del 99 por ciento. Obtenga los resultados para el problema (b).

72

CAPÍTULO 5: CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA UNA SOLA MUESTRA 5.1. UNA SOLA MEDIA . En ocasiones, al tomar una sola muestra, interesa saber si los resultados obtenidos (0) proceden de una población de la que µ es conocida. Esta situación es común cuando tratamos de ver si, por ejemplo, los enfermos de un padecimiento se diferencian de la población sana (de la cual se supone se conoce su verdadera media) en cuanto a, por ejemplo, un resultado de laboratorio. Por supuesto, en estricto sentido, una población de este tipo sería infinita y en realidad no podríamos llegar a conocer su verdadera media. En la realidad, es difícil decir que se conoce F, por lo que hay que utilizar el valor de la desviación estándar de la muestra (s). En primer lugar, siempre se pone a prueba una afirmación que se denomina hipótesis nula (Ho) la cual establece que la media 0 en realidad procede de la población con media µ, y que toda diferencia observada se debe al error de muestreo y no a una verdadera diferencia (es decir, en este caso la hipótesis nula nos diría que la medición que estamos tomando en los enfermos tiene la misma media que la de la población sana). En otras palabras, la Ho establece la nulidad de las diferencias entre las dos medias y esto es algo que requiere ser probado. A la prueba que se hace para verificar lo anterior se le llama contraste de hipótesis o prueba de hipótesis. Una forma de abordar el problema es a través del establecimiento de intervalos de confianza. Si se sabe que el intervalo definido por: µ ± 1.96 incluirá al 95 por ciento de las medias 0 i (todas del mismo tamaño n; véase el capítulo 4), entonces la probabilidad de que la 0 observada caiga dentro de ese intervalo es igual a 0.95; si en algún caso no es así, se dice que se ha encontrado una diferencia significativa al nivel de significancia del 0.05 o 5 por ciento, lo cual se expresa como: p < 0.05 donde p se interpreta siempre como la probabilidad de equivocarse al rechazar la hipótesis nula. Es decir, en este caso se rechazaría la Ho con una probabilidad de error menor que 0.05 o 5 por ciento. Esto quiere decir que se ha encontrado evidencia de que existe una diferencia entre 0 y µ.

73 Si la 0 cae dentro de ese intervalo, entonces no se puede rechazar la Ho a ese nivel de significancia, puesto que su valor está dentro del intervalo en el que caería la mayoría de las 0 i que tienen como verdadera media a µ, y se expresa como: p > 0.05 lo que indica que la probabilidad de equivocarse al rechazar la Ho es mayor que 0.05 o que el 5 por ciento. Es decir, que no se ha encontrado evidencia de alguna diferencia significativa y que la observada entre 0 y µ se debe sólo al error de muestreo. Debe tenerse presente que una Ho nunca se acepta, pues un resultado negativo nunca es evidencia de nada, es decir, el hecho de que no se observe una diferencia significativa no quiere decir que esta no exista. Si se desean otros niveles de significancia, se pueden construir los intervalos respectivos, como por ejemplo: µ ± 2.58 para el nivel de significancia del 0.01 o 1 por ciento, y los resultados se expresan como: p < 0.01 o bien como: p > 0.01 según sea el caso de que se trate de una diferencia significativa o no, respectivamente. Sin embargo, este procedimiento puede resultar tedioso si hay que comparar la 0 con varios niveles de significancia (por ejemplo, si resulta significativa al nivel de 0.05 y se desea ver si también lo es al nivel de 0.01), pues en cada caso se deberá construir el intervalo de confianza respectivo. Una manera más sencilla de hacer la prueba o contraste consiste en obtener la puntuación z para la diferencia de las medias, donde:

L y si el resultado es numéricamente mayor que 1.96 (sin importar el signo), entonces la diferencia entre 0 y µ es significativa (p < 0.05), como anteriormente. Al mismo tiempo, y sin

74 necesidad de hacer ninguna otra operación, se puede ver si z es mayor que 2.58 y si es así, la diferencia también será significativa al nivel de 0.01 (p < 0.01). La interpretación que se puede hacer es igual a lo dicho con respecto a los intervalos de confianza, cuando z es menor que 1.96 o 2.58 entonces: p > 0.05 o p > 0.01. En el caso de que z sea mayor que 1.96 pero menor que 2.58, entonces: 0.01 < p < 0.05 lo que quiere decir que se ha encontrado diferencia significativa al nivel del 5 por ciento pero no al nivel del 1 por ciento. En la actualidad con los medios electrónicos al alcance, es común encontrar la probabilidad exacta en expresiones como: p = 0.038 que equivaldría a 0.01 < p < 0.05. Es necesario aclarar que los niveles de significancia del 1 por ciento, 5 por ciento o cualquier otro son arbitrarios y dependerán del problema estudiado y de las preferencias del investigador establecidas de antemano en el protocolo de investigación. Por otro lado, debe tenerse en cuenta que "significativo" en estadística, indica que la diferencia no es fácilmente explicada por el azar, esto es, por el error de muestreo, y que entonces debería ser explicada de otras maneras (por ejemplo, a través de la influencia de alguna variable que se esté estudiando). Además, es importante recordar siempre que una diferencia estadísticamente significativa no necesariamente implica una diferencia importante en términos del fenómeno real estudiado, y que existe la posibilidad de error en las conclusiones (rechazar una Ho cuando en realidad no hay diferencia, o no rechazarla cuando sí la hay). La decisión final acerca de la importancia que puede tener una diferencia dada, dependerá de criterios distintos a los puramente estadísticos (véase el ejemplo 5.1). Debemos insistir en que nuestras conclusiones, basadas en principios probabilísticos, siempre contienen la posibilidad de resultar erróneas. 5.2. UNA SOLA PROPORCIÓN . En el caso de las proporciones, la comparación que se hace es la siguiente:

L

75 o su equivalente:

L las dos fórmulas dan los mismos resultados los cuales, de acuerdo a la magnitud de z, se interpretan de la misma manera que para el caso de las medias (véase el ejemplo 5.2).

76 Ejemplo 5.1: Contraste de Hipótesis para Una Sola Media INFORMACIÓN

La infección por microorganismos provoca una compleja respuesta en el hospedero, la cual puede incluir alteraciones en el metabolismo intermedio. Entre otras cosas, se puede producir una disminución en los procesos de remoción de lipoproteínas circulantes, a la vez que un incremento en la síntesis hepática de lípidos. Se piensa que estas alteraciones son producidas por las citoquinas liberadas durante la respuesta inmune. Por estos motivos, se ha sugerido que puede existir una asociación entre el síndrome de inmunodeficiencia adquirida (SIDA) y los niveles elevados de triglicéridos en la sangre. En un estudio en el que se analizaron estos niveles, en 32 pacientes con SIDA, se encontró una media de 231 mg/dl. Si en la población normal el nivel promedio es de 91 mg/dl, con una desviación estándar de 41.23 mg/dl, ¿existe evidencia de que la hipertrigliceridemia puede considerarse como una manifestación del SIDA?

PROCEDIMIENTO

1. Identifique la información básica: µ = 91 mg/dl F = 41.23 mg/dl 0 = 231 mg/dl n = 32 pacientes 2. Establezca la hipótesis nula: En este caso, la Ho podría plantearse como: la diferencia observada entre la media de triglicéridos en los pacientes con SIDA, y la de la población sana se debe únicamente al error de muestreo y no al hecho de que aquéllos estén enfermos. 3. Obtenga el error estándar: EE0 = F / %n = 41.23 / %32 = 7.2885 4. Obtenga el valor de z:

77 z = (0 - µ) / EE0 = (231-91) / 7.2885 = 19.21 INTERPRETACIÓN

Ya que el valor de z es numéricamente mucho mayor que los niveles críticos de 1.96 y de 2.58, se puede rechazar la hipótesis nula al nivel de significancia del 1 por ciento o inclusive de 0.1 por ciento: p < 0.001 (en realidad, p = 5.58 *10-52). Esto quiere decir que los niveles de triglicéridos en sangre son significativamente más altos en los pacientes con SIDA, comparados con la población sana; o en otras palabras, que los pacientes con SIDA pertenecen a una población cuyos niveles de triglicéridos son más altos que los de la población sana. Pero muchas veces interesa saber si esta diferencia, estadísticamente significativa, es también importante en términos clínicos o biológicos. Para ello se debe obtener el intervalo de confianza para la verdadera diferencia entre 0 y µ, puesto que la diferencia observada está basada en los resultados obtenidos de una muestra y no puede considerarse como la verdadera:

L (0 - µ) ± (1.96)(EE0) Para lo cual se sustituyen los correspondientes valores: (231 - 91) ± (1.96)(7.2885) 140 ± 14.29 Es decir, el intervalo de confianza para la verdadera diferencia está entre 125.7 y 154.3 mg/dl. En otras palabras, con un nivel de confianza del 95 por ciento, podemos afirmar que los niveles de triglicñéridos en la sangre son más altos en los pacientes con SIDA, comparados con las personas sanas, en al menos 125.7 mg/dl y hasta 154.3 mg/dl.

78 Ejemplo 5.2: Contraste de Hipótesis para Una Sola Proporción. INFORMACIÓN

En un estudio para verificar la teoría de que la resistencia a la dieldrina (0.4 por ciento con exposición de una hora) es debida a un solo gene dominante en Anopheles farauti, homocigotos resistentes (RR) fueron cruzados con homocigotos susceptibles (rr) para producir una población de heterocigotos (F1). Los mosquitos F1 fueron nuevamente cruzados con una cepa de homocigotos susceptibles. De acuerdo con la teoría de la determinación unigénica, el porcentaje de la progenie de este último entrecruzamiento que podría ser susceptible a la dieldrina es de 50 por ciento. De 465 mosquitos de esta progenie, 264 (56.77 por ciento) murieron. ¿Es este porcentaje significativamente diferente al porcentaje que predice el modelo genético?

PROCEDIMIENTO

1. Identifique la información básica: B = 0.5 (proporción predicha por la teoría) n = 465 (mosquitos estudiados) r = 264 (mosquitos muertos) p = 0.5677 (proporción observada) 2. Establezca la hipótesis nula: La Ho podría plantearse de la siguiente manera: la diferencia en el porcentaje de mosquitos muertos entre el experimento realizado y lo predicho por la teoría, se debe solamente al error de muestreo; es decir, la teoría de que la resistencia a la dieldrina se debe a un único gene dominante, es cierta. 3. Obtenga el error estándar: EEp = %[B(1-B) / n] = %[0.5*0.5 / 465] = 0.0232 4. Obtenga el valor de z: z = (p - B) / EEp

79 = (0.5677-0.5) / 0.0232 = 2.919 o de acuerdo a la otra fórmula z = (r - nB) / %[nB(1-B)] = 264-232.5 / 10.78 = 2.92 INTERPRETACIÓN

Ya que el valor de z es mayor que 1.96 se puede rechazar la hipótesis nula p < 0.05 e inclusive puede hacerse al nivel de significancia del 1 por ciento p < 0.01 (en realidad p = 0.0035). Por este motivo se puede afirmar que existe evidencia para rechazar la hipótesis de que la resistencia a la dieldrina se debe a un único gene dominante, y que por lo tanto, debe buscarse alguna otra explicación al fenómeno. Al haber encontrado una diferencia significativa entre la proporción esperada por la teoría y la observada, resulta de interés estimar la verdadera magnitud de esa diferencia. Para tal caso se puede construir un intervalo de confianza (95 por ciento, 99 por ciento o cualquier otro) para la verdadera diferencia. El intervalo de confianza del 95 por ciento es:

L (p - B) ± 1.96 EEp 0.0677 ± (1.96 * 0.0232) 0.0677 ± 0.0455 lo que quiere decir que la magnitud de la verdadera diferencia entre las proporciones esperada y observada, con un 95 por ciento de probabilidad de acertar, está entre 0.0222 y 0.1332 o

80 que el porcentaje de mosquitos muertos observado debe ser mayor que el esperado por la teoría entre 2.22 y 13.32 puntos porcentuales.

81

CAPÍTULO 6: CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS GRANDES Tal vez una de las técnicas estadísticas más comunes utilizadas en la investigación médica sea la comparación de los resultados de dos muestras, por ejemplo, al comparar el efecto que dos tratamientos distintos pueden tener sobre sendos grupos de individuos con características similares. Al hacer esto, se puede determinar si los niveles medios de algún indicador se modifican de manera más favorable con uno de los tratamientos o si estos tienen efectos similares, o bien si es mayor la proporción de individuos que presentan alguna mejoría, o son curados, con un tratamiento en comparación con el otro. En este capítulo se muestra el procedimiento que se sigue en casos donde se tienen dos muestras cuyo tamaño es grande, y lo que se desea es contrastar la hipótesis nula de que son iguales entre sí.

6.1. MEDIAS DE DOS MUESTRAS. Supongamos que existen dos poblaciones, una con µ1, F1 y la otra con µ2, F2. Si se toman muestras de tamaño n1 y n2 de estas dos poblaciones (no se requiere que estas muestras sean del mismo tamaño), se calcula la diferencia de sus medias (01 - 02) y se repite el procedimiento i veces, se puede encontrar que: a) la media de la distribución de las diferencias (01 - 02)i es (µ1 - µ 2), es decir, la diferencia de las medias de las respectivas poblaciones). b) la varianza de la distribución de las diferencias es la suma de las varianzas individuales, es decir: varianza (01 - 02) = varianza(01) + varianza(02) = F12/n1 + F22/n2 Siendo el error estándar de la diferencia de las medias, EE(01-02):

L EE(0 -0 ) = 1

2

En el caso de una sola muestra ponemos a prueba la Ho que afirma que la 0 procede en realidad de una población con media µ y que toda diferencia observada se debe al error de muestreo. La respuesta se obtuvo calculando (capítulo 5):

En el presente caso, ya que se cuenta con dos muestras, la Ho establece que las medias 0 1 y 0 2 han sido tomadas de poblaciones cuyas medias µ1 y µ2 son iguales, es decir: µ1 = µ2, o bien µ1 - µ 2 = 0

82 y que la diferencia observada entre 0 1 y 0 2 es debida únicamente al error de muestreo. Para probar (contrastar) la hipótesis nula, de nuevo se calcula z, pero ahora se sustituyen los valores de 0 por (0 1 - 0 2) y de µ por (µ1 - µ2), y el error estándar de la media EE0 por el error estándar de la diferencia de las medias EE(0 1-0 2):

lo cual, de acuerdo a la Ho queda como sigue:

donde el valor cero expresa lo afirmado por la Ho. Debido a que F² generalmente permanece desconocida y a que se trata de muestras grandes (en donde s² tiende a parecerse a F²), entonces se utilizan los valores muestrales s21 y s22 como estimadores, quedando la fórmula que se utilizará como:

L El valor de z que se obtenga se interpreta de la misma manera que en el caso de una sola media, generalmente a los niveles críticos del 5 por ciento y del 1 por ciento. Debe tenerse presente que si primero se obtuvo el valor de z con una sola media muestral para estimar el valor de la verdadera media de la población (capítulo 4) y luego se obtuvo para el valor de z para ver la verdadera diferencia entre 0 y µ (capítulo 5), ahora se calcula z para indagar la verdadera diferencia entre dos medias de las muestras, 0 1 y 0 2. Finalmente, resulta importante estimar la magnitud de la verdadera diferencia (si es que se ha encontrado una diferencia significativa) entre las dos muestras estudiadas. Esto se puede hacer construyendo un intervalo de confianza para la verdadera diferencia, por ejemplo: (0 1-0 2) ± 1.96 EE(0 1-0 2) o cualquier intervalo a otros niveles de confianza (véase el ejemplo 6.1). 6.2. PROPORCIONES DE DOS MUESTRAS.

83 En el caso de las variables binomiales, frecuentemente interesa saber si la proporción de individuos con una característica dada difiere en dos grupos que se comparan. La Ho dice que las proporciones, B 1 y B 2, de las poblaciones de las cuales proceden las muestras, son iguales: B 1 = B 2, o bien B1 - B 2 = 0 Por ello, de las dos muestras se pretende obtener la mejor estimación de B que sea posible, esto es, una proporción combinada (pc), donde:

L Con la cual se puede calcular el error estándar de la diferencia de las proporciones EE(p1-p2), que originalmente sería:

pero que al sustituir B por la estimación pc, se tiene:

y ya simplificado:

L EE(p -p ) = 1

2

Con cuyo valor se puede proceder a obtener el valor de z para la diferencia de las proporciones:

L Y de la misma manera que para la diferencia de medias, se puede obtener el intervalo de confianza para la verdadera diferencia de las proporciones:

84 (p1-p2) ± 1.96 EE(p1-p2) (véase el ejemplo 6.2).

85 Ejemplo 6.1: Contraste de Hipótesis para las Medias de Dos Muestras. INFORMACIÓN

En un estudio de la edad a la menarquia en mujeres de EUA, se obtuvo la siguiente distribución por edades en una muestra de dos generaciones de mujeres, una con edades entre 21 y 30 años y la otra con edades entre 31 y 40 años en el momento del estudio. Se pretende probar la hipótesis de que no hay diferencia en la edad promedio a la menarquia entre ambos grupos de mujeres.

Edad a la Menarquia

Mujeres de 31-40 años 21-30 años

10 11 12 13 14 15 16 17 18 TOTAL

0 2 8 14 27 5 8 1 1 16

3 11 28 23 12 1 0 0 0 78

PROCEDIMIENTO

1. Identifique y obtenga los datos básicos: n1 = 66 mujeres de 31-40 años n2 = 78 mujeres de 21-31 años 0 1 = 13.88 años de edad a la menarquia 0 2 = 12.42 años de edad a la menarquia 2 2 s1 = 1.93 s2 = 1.17 2. Obtenga el error estándar de la diferencia de las medias: EE(0 1-0 2) = %[s21/n1 + s22/n2] = %[1.93/66 + 1.17/78] = %0.0442

86 = 0.2103 3. Obtenga el valor de z para la diferencia de las medias: z = (0 1-0 2) / EE(0 1-0 2) = (13.88-12.42) / 0.2103 = 6.94 INTERPRETACIÓN

Como z es mayor que el valor crítico de 1.96, y aún mucho mayor que 2.58, la diferencia entre las medias resulta altamente significativa: p < 0.001 -6 (en realidad, p = 0.1099 * 10 ). Esto quiere decir que existe evidencia de que la edad promedio a la menarquia ha variado (ha disminuido, de acuerdo a las medias muestrales) significativamente entre una y otra generación. 4. Obtenga el intervalo de confianza del 95 por ciento para la verdadera diferencia entre las medias: Ya que se encontró una diferencia altamente significativa entre las dos medias de las muestras, interesa saber cuál puede es la magnitud del cambio: (0 1-0 2) ± 1.96 EE(0 1-0 2) (13.88-12.42) ± (1.96 * 0.2103) 1.46 ± 0.4122 lo que da un intervalo que se encuentra entre 1.05 y 1.87 años de diferencia en la edad a la menarquía. INTERPRETACIÓN: con un 95 por ciento de probabilidades de acertar, se puede afirmar que la edad a la menarquia se ha reducido entre 1.05 y 1.87 años en promedio para las mujeres de la generación más joven.

87 Ejemplo 6.2: Contraste de Hipótesis para las Proporciones de Dos Muestras. INFORMACIÓN

La mayoría de las mujeres que voluntariamente se someten a esterilización quirúrgica dicen no arrepentirse de su elección. No obstante, entre el 1 por ciento y el 3 por ciento solicitan más tarde la recanalización quirúrgica de las trompas, lo cual se puede lograr con métodos modernos, aunque complejos y costosos. El porcentaje de éxitos varía entre el 50 por ciento y el 70 por ciento, dependiendo, entre otras cosas, del método de esterilización que se haya seguido. En un estudio se vio que de 299 mujeres recanalizadas después de la esterilización por medio de la ligadura de Pomeroy, 176 lograron tener un embarazo a término; en comparación, de 258 mujeres recanalizadas después de la esterilización con electrocoagulación, 111 lograron tener un embarazo a término. Para ver si existe una diferencia significativa entre ambos grupos de mujeres, respecto al porcentaje que logra tener un embarazo a término después de la recanalización: a) establezca la hipótesis nula. b) obtenga el porcentaje de mujeres que lograron un embarazo a término en uno y otro casos. c) realice el contraste de hipótesis para ver si existe una diferencia entre ambos porcentajes. d) obtenga el intervalo de confianza para la verdadera diferencia, en caso de que esta sea significativa.

PROCEDIMIENTO

1. Establezca la hipótesis nula: Una forma de plantear la hipótesis nula podría ser: los resultados de la recanalización quirúrgica en mujeres que han sido esterilizadas por la ligadura de Pomeroy y en las que lo han sido por electrocoagulación, en realidad son iguales, cualquier diferencia observada se debe al error de muestreo. 2. Obtenga los porcentajes de embarazos: GRUPO A (LIGADURA DE POMEROY) GRUPO B (ELECTROCOAGULACION) n1 = 299 mujeres recanalizadas n2 = 258 r1 = 176 mujeres con embarazo a término r2 = 111

88 p1 = 176/299 = 0.5886 o 58.86%

p2 = 111/258 = 0.4302 o 43.02%

3. Obtenga la Proporción Combinada: pc = (r1+r2) / (n1+n2) = (176+111) / (299+258) = 0.5153 4. Obtenga el error estándar de la diferencia de las proporciones:

EE(p1-p2) = /[pc(1-pc)(1/n1 + 1/n2) = /[0.5153(1-0.5153)(1/299 + 1/258) = 0.0425 5. Obtenga el valor de z para la diferencia de las proporciones: z = (p1-p2) / EE(p1-p2) = (0.5886-0.4302)/0.0425 = 3.73 INTERPRETACIÓN

Como z es numéricamente mayor que el valor crítico de 2.58, se puede afirmar que existe una diferencia significativa entre ambos grupos de pacientes en cuanto al éxito de la recanalización, el cual es mayor para las mujeres que siguieron la esterilización por medio de la ligadura de Pomeroy: p < 0.001 (en realidad, P = 0.00019). 6. Obtenga el intervalo de confianza del 95 por ciento para la verdadera diferencia entre las proporciones:

89 Debido a que se encontró una diferencia significativa, es conveniente obtener este intervalo, con el objetivo de determinar cuál puede ser la magnitud de la verdadera diferencia: (p1-p2) ± 1.96 EE(p1-p2) (0.5886-0.4302) ± (1.96 * 0.0425) 0.1584 ± 0.0833 es decir, la verdadera diferencia se encuentra entre 0.0751 y 0.2417. INTERPRETACIÓN: con un 95 por ciento de probabilidad de acertar, se puede afirmar que la verdadera proporción de éxitos en la recanalización es mayor entre 7.51 y 24.17 puntos porcentuales para las pacientes que fueron esterilizadas por medio de la ligadura de Pomeroy, comparadas con las que se sometieron a la electrocoagulación.

90

CAPÍTULO 7: DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT El contraste de hipótesis para la media de una sola muestra implica el cálculo de:

cuyo resultado se compara con los niveles críticos de 1.96 o de 2.58 (o alguno otro que se desee). Sin embargo, F generalmente permanece desconocida, por lo que se utiliza s como su estimador. Si el tamaño de la muestra es grande (n > 30) entonces s se aproxima al valor de F, pero si el tamaño de la muestra es pequeño (n < 30) se introduce una fuente adicional de error en los cálculos pues en estas circunstancias s tiende a ser menor que F, por lo que se subestima el error de muestreo por lo que la probabilidad de equivocarse al decir que se ha encontrado una diferencia significativa es mayor que lo dicho en los capítulos anteriores. Debido a esto, se deben hacer modificaciones apropiadas introduciendo lo que se conoce como Teoría de Muestras Pequeñas, o más apropiadamente Teoría Exacta de Muestreo, ya que sus resultados son válidos también para muestras grandes. Esta es la Distribución t de Student. En este caso, al introducir el valor s basado en una muestra pequeña, se obtiene una nueva estimación:

L que es por completo análoga a z. Sin embargo, el valor observado de t deberá compararse con valores críticos más estrictos y ya no con los valores de z (que son 1.96 al nivel de significancia de 0.05 o 2.58 al nivel de significancia de 0.01) pues estos incluirán una área menor bajo la curva y, por lo tanto, la probabilidad de errar, al utilizarlos, será mayor. Los valores con los que se compare t no son fijos, y dependerán de qué tan buen estimador sea s de F, lo que está en relación con el tamaño de la muestra, es decir, con los grados de libertad (n-1). Para poder aplicar esta distribución se deben cubrir los siguientes supuestos básicos: a) Las observaciones son independientes. b) Las muestras han sido tomadas de poblaciones que se distribuyen normalmente. c) Las varianzas son iguales. Para esto se recurre a algunas pruebas como la F de Snedecor para el contraste de las varianzas.

91 En el caso de que de que no se cumplan estos requisitos se deberá utilizar las pruebas conocidas como no paramétricas. Tampoco se utiliza la prueba de t para contrastar proporciones obtenidas con muestras pequeñas. La interpretación de los niveles de significancia para la prueba de t es igual que en el caso de z, aunque los valores críticos con los que se le compara, como ya se dijo, varían de acuerdo al tamaño de la muestra. La prueba de t es muy útil en los estudios clínicos pues con frecuencia no es posible tener un grupo grande de pacientes para realizar las investigaciones, y por lo tanto, el observador se ve obligado a trabajar con muestras pequeñas (esto es particularmente cierto en estudios de casos y testigos sobre enfermedades de baja frecuencia). 7.1. MUESTRAS PAREADAS . En muchas ocasiones, al efectuar un estudio médico se desea establecer una comparación entre dos grupos de individuos (comparar dos tratamientos, comparar casos y testigos, etcétera) y se recurre al pareamiento de los casos de uno y otro grupo. En tal situación:

y la Ho que utilizamos será que la diferencia de las medias de las poblaciones (µ1-µ2) de donde proceden las muestras, es cero: µ1 = µ 2 µ1 - µ 2 = 0 De tal manera que:

L donde n es el número de pares de observaciones y sd es la desviación estándar de las diferencias entre cada par. Nótese que en estos estudios a cada caso del primer grupo le corresponde un caso en particular del segundo grupo, pues están organizados por pares: x11, x12 (observación 1 del grupo 1, observación 1 del grupo 2) x21, x22 x31, x32 . .

92 . xn1, xn2 por lo que se puede obtener la diferencia para cada uno de los pares de observaciones (di = xi1 - xi2), a partir de las cuales se calcula la media de las diferencias, Gd, y su desviación estándar, sd, es decir, cada par es tratado como si fuera una única observación. El resultado se compara con el valor de t en la tabla de la distribución teórica de acuerdo al nivel de significancia elegido y a los grados de libertad (tabla 3 del Apéndice; véase el ejemplo 7.1). Si el valor absoluto (sin tomar en cuenta el signo) de t observada es menor que el de la tabla, al nivel de significancia elegido, no se puede rechazar la Ho (se dice que no se observó diferencia significativa); si, por el contrario, es mayor que el de la tabla, se rechaza la Ho, de manera análoga a como se haría con z. Cuando llega a encontrarse una diferencia significativa, será conveniente obtener el intervalo de confianza para estimar la magnitud de la verdadera diferencia. Esto se hace obteniendo el intervalo de confianza respectivo:

L (0 -0 ) ± t 1

2

",gl

EE(0 1-0 2)

donde t es el valor de t en la distribución teórica. " es cierto nivel de significancia (0.05, 0.01, etc.). gl son los grados de libertad (n pares - 1). 7.2. MUESTRAS NO PAREADAS . Cuando las muestras no son pareadas (se les llama independientes), en las que sus tamaños pueden ser iguales o distintos entre sí, se establece la Ho siguiente: las dos muestras han sido tomadas de poblaciones distribuidas normalmente, cuyas µ1 y µ2 son en realidad iguales y cuyas varianzas también son iguales: µ1 = µ 2 µ1 - µ 2 = 0 F 21 = F 22 Esto quiere decir que se puede hablar de una sola varianza verdadera. Entonces s21 y s22 son estimaciones separadas de una misma varianza F 2 resultaría mejor, particularmente si se trata de muestras pequeñas, obtener una sola estimación, la cual se puede llamar varianza ponderada:

93

o más comúnmente:

L Con este valor de la varianza ponderada se puede calcular el error estándar de la diferencia de las medias:

o más comúnmente:

L Finalmente, se obtiene el valor de t:

L En caso de que se haya encontrado una diferencia significativa, se puede obtener el intervalo de confianza para estimar la verdadera diferencia de las medias: (0 1-0 2) ± t",gl EE(0 1-0 2) donde t es el valor de t en la distribución teórica. " es cierto nivel de significancia. gl son los grados de libertad (en este caso [n1 + n2 - 2]; véase el ejemplo 7.2).

94 Ejemplo 7.1: Contraste de Hipótesis para Dos Medias de Muestras Pequeñas Pareadas. INFORMACIÓN

En un estudio para evaluar la eficacia de dos drogas en el tratamiento de la angina de pecho, 12 pacientes fueron estudiados. Durante un período se les administró nifedipina (20 mg cuatro veces al día) y posteriormente propanolol (80 mg cuatro veces al día). A través de electrocardiografía ambulatoria, se detectaron los episodios de aplanamiento del segmento S-T, indicativo de episodios de angina de pecho. Los resultados son los siguientes: Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nifedipina 26 3.5 0 8 0 0 2.5 3.5 4 1 0.5 0

Propanolol 6.5 1 0 0 0.5 0 0.5 0 0 4.5 0.5 0

¿Existe evidencia de que los tratamientos difieren significativamente en la prevención de episodios de angina de pecho?

PROCEDIMIENTO

1. Obtenga los datos básicos: 0 1 = 4.08 episodios 0 2 = 1.12 episodios s1 = 7.48 s2 = 2.08 n = 12 pacientes 2. Obtenga la desviación estándar de las diferencias:

95 Esto se logra simplemente restando los valores de la segunda columna de los datos a los de la primera, y obteniendo la desviación estándar de estas diferencias por los procedimientos comunes: PACIENTE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

NIFEDIPINA 26 3.5 0 8 0 0 2.5 3.5 4 1 0.5 0

PROPANOLOL 6.5 1 0 0 0.5 0 0.5 0 0 4.5 0.5 0

DIFERENCIA 19.5 2.5 0 8 -0.5 0 2 3.5 4 -3.5 0 0

En este caso: sd es igual a 5.96 3. Obtenga el error estándar para la diferencia de las medias: EE(0 1-0 2) = sd / /n = 5.96 / /12 = 5.96 / 3.46 = 1.72 4. Obtenga el valor de t para la diferencia de las medias: t = [(0 1-0 2) - 0] / (sd//n) = (4.08 - 1.12) / 1.72 = 1.72 5. Compare el valor de t observada (1.72) con el valor de t11,0.05 en la tabla 3 (es decir, el valor de t en la distribución teórica con 11 grados de libertad, al nivel de significancia del 5%), el cual es igual a 2.20.

96 INTERPRETACIÓN

Dado que el valor de t observada es menor que el de la distribución teórica, no se ha encontrado evidencia de que los medicamentos difieran entre sí por lo que se refiere a la prevención de episodios de angina de pecho. Por este motivo, no se hace necesario buscar el intervalo de confianza para la verdadera diferencia.

97 Ejemplo 7.2: Contraste de Hipótesis para Dos Medias de Muestras No Pareadas. INFORMACIÓN

En un estudio se midió la dosis diaria descargada (µg) cuando se implantaban 2 o 3 gránulos biodegradables de noretindrona (NET), pues ello es importante para correlacionarlo con la eficacia anticonceptiva. En un grupo de 8 mujeres a quienes se les implantaron 2 gránulos, la liberación media diaria de NET fue de 111 µg, con una desviación estándar de 20 µg; en otro grupo de 12 mujeres a quienes se les implantaron 3 gránulos, la liberación media diaria fue de 150 µg y la desviación estándar de 7 µg. ¿Sugieren estos datos que la descarga media diaria difiere entre los dos grupos de mujeres?

PROCEDIMIENTO

1. Obtenga los datos básicos: Grupo A (2 gránulos) Grupo B (3 gránulos) n1 = 8 mujeres n2 = 12 mujeres 0 1 = 111 µg 0 2 = 150 µg s1 = 20 µg s2 = 7 µg 2 s1 = 400 s22 = 49 2. Obtenga la varianza ponderada: s2p = [(n1-1) s211 + (n2-1)s22] / (n1+n2-2) = [8*400 + 12*49] / 18 = 210.44 por lo que la desviación estándar ponderada es sp = 14.51 µg 3. Obtenga el error estándar para la diferencia de las medias: EE(0 1-0 2) = sp /[1/n1 + 1/n2]

98 = 14.51 * /[1/8 + 1/12] = 6.6229 4. Obtenga el Valor de t para la Diferencia de las Medias t = (0 1-0 2) / EE(0 1-0 2) = (111-150) / 6.6229 = -5.889 5. Compare el valor de la t observada (-5.889) con el valor de t18,0.001 en la tabla 3 (es decir, el valor de t en la distribución teórica con 18 grados de libertad, al nivel de significancia del 0.1%), el cual es igual a 3.922. INTERPRETACIÓN

Dado que el valor de t observada es muy grande, se puede concluir que existe evidencia de que la liberación media diaria de NET difiere significativamente entre los dos grupos de mujeres (p < 0.001). 6. Obtenga el Intervalo de confianza del 95 por ciento para la verdadera diferencia: (0 1-0 2) ±

99

CAPÍTULO 8: PRUEBA DE P2 (JI AL CUADRADO) En las pruebas de contraste de hipótesis de la distribución t de Student con muestras pequeñas, los supuestos básicos consisten en que las variables estudiadas pertenecen a poblaciones cuyos valores se distribuyen normalmente y en las que sus varianzas son iguales. En otros casos, tal vez se necesite comparar dos proporciones, pero no se cumplen los requisitos necesarios para aplicar la aproximación de la distribución binomial a la normal (n grande y p no muy alejada de 0.5; véase el capítulo 3). Debido a que se establecen tales condiciones, las anteriores se conocen como pruebas paramétricas. Sin embargo, no siempre se tiene la información necesaria para sostener tales afirmaciones, o bien se sabe que en realidad no se cumple con ellas. En tales situaciones, es conveniente recurrir a otro tipo de pruebas que no requieren de estos supuestos. Estas son las que se conocen como pruebas no paramétricas entre las cuales tal vez la más utilizada sea la de P² (Ji al cuadrado). La característica de esta prueba es que se utiliza para frecuencias absolutas. Generalmente se aplica a variables cualitativas o a variables discontinuas, pero de igual manera puede utilizarse con variables continuas haciendo las conversiones necesarias a categorías o a intervalos. La prueba de P² se utiliza con distintos propósitos: a) Para comprobar si una distribución difiere de otra que es conocida de antemano. b) Para determinar si las respuestas de dos o más grupos difieren frente a un tratamiento. Es decir, se pretende ver si las variables son independientes entre sí (contraste de independencia). c) Para indagar si una distribución observada sigue una cierta distribución. Esta es lo que se conoce como la bondad del ajuste. Como se puede ver, el sentido general de la prueba es comparar dos frecuencias, comúnmente, una observada con una esperada. El cálculo e interpretación en todos los casos son iguales, en lo único que difieren es en la manera de obtener las frecuencias esperadas, así, las frecuencias esperadas en el primer caso, están dadas por una distribución, teórica o empírica, que se conoce previamente. En el segundo caso se podrán comparar las frecuencias de los distintos grupos. Lo más común, sin embargo, es que se recurra al tercer caso, en donde se ignora la distribución de frecuencias esperadas y debe recurrirse a un procedimiento, ya establecido, para obtenerlas. Una característica del análisis con P² consiste en que es posible comparar dos o más proporciones (aún cuando lo que se utilice sean las frecuencias absolutas, el efecto es el

100 mismo), lo que representa una gran ventaja sobre el análisis con la aproximación a la distribución normal, en donde sólo se pueden comparar dos proporciones. La Ho en este caso establece que las diferencias que se encuentran entre las frecuencias observadas y las esperadas se deben al error de muestreo. La manera de llevar a cabo el análisis consiste en organizar los datos en una tabla de contingencia (en el sentido de eventualidad; este tipo de tablas son aquellas cuyos subtotales de las filas suman exactamente lo mismo que los subtotales de las columnas), en las cuales se ordenan las observaciones de acuerdo a las categorías de dos variables. Las tablas de contingencia más sencillas son aquellas que tienen dos filas y dos columnas: Variable 1

Variable 2

categoría 1

categoría 2

Total

categoría 1

a

b

a+b

categoría 2

c

d

c+d

Total

a+c

b+d

Gran Total = a+b+c+d

Una vez que se ordenan las observaciones, se debe obtener las frecuencias esperadas. En general, las frecuencias esperadas para cada casilla se obtienen de la siguiente manera: E = (tf*tc)/gt donde tf es el total de la fila correspondiente a la casilla tc es el total de la columna correspondiente a la misma casilla. gt es el gran total, es decir, la suma de todos los subtotales de las filas (o de las columnas). Por ejemplo, la frecuencia esperada para la casilla "a" (Ea) es: Ea = ((a+b) * (a+c)) / (a+b+c+d) Este procedimiento se repite para cada casilla. El sentido de este procedimiento consiste en lo siguiente: la relación (a+b)/gt, por ejemplo, nos señala la probabilidad, en una serie de observaciones, de pertenecer a la categoría 1 de la variable 2, independientemente de los efectos de la variable 1. La relación (a+c)/gt es la probabilidad, en la misma serie de observaciones, de pertenecer a la categoría 1 de la variable 1, independientemente de los efectos de la variable 2. Esto es, se han obtenido las probabilidades de dos sucesos independientes entre sí. Si se multiplican estas dos probabilidades, entonces se obtendrá la probabilidad de que se dé el suceso de la casilla "a" si los efectos de las variables 1 y 2 fuesen

101 independientes y, si a su vez se multiplica esta probabilidad por el gran total, se obtiene la frecuencia que se esperaría en la casilla "a" en el caso de que los efectos de ambas variables fueran independientes entre sí. La fórmula general para el contraste de hipótesis es:

L donde O son las frecuencias observadas. E son las frecuencias esperadas. Nótese que: Las diferencias entre las frecuencias observadas y las esperadas en cada casilla se elevan al cuadrado, (O-E)2, de ahí que el nombre de la prueba sea P 2, pues de otra manera, E(OE)= 0. Entre menores sean las diferencias (entre más parecidas sean las frecuencias observadas respecto a las esperadas) menor es el valor de P 2, lo que implicaría que las variables no están asociadas (hipótesis nula), y viceversa. Los valores críticos con los que se compara el resultado dependerán de los grados de libertad: gl = (número de columnas - 1)(número de filas - 1) por lo que para tablas de contingencia de 2*2 los grados de libertad serán siempre 1. Para obtener los valores correspondientes de la distribución teórica de P², se utiliza la tabla 4 del Apéndice. Si la diferencia entre las frecuencias observadas y las esperadas es grande, entonces P² también será grande, lo cual señalará una diferencia significativa, si P² = 0, entonces la distribución observada y la esperada concuerdan exactamente. El análisis no debe incluir casillas con frecuencias esperadas menores que 3 (algunos autores sugieren el valor de 5 como mínimo; este es el criterio que se toma en SPSS©). Como P² es una variable continua, al momento de usar esta distribución para variables discontinuas o cualitativas es conveniente hacer la corrección por continuidad necesaria (corrección de Yates):

L

102 donde |O-E| es el valor absoluto de la diferencia, es decir, el valor numérico independiente del signo (véase el ejemplo 8.1).

103 Ejemplo 8.1: Obtención de Ji al Cuadrado. INFORMACIÓN

En un estudio realizado en una comunidad rural, a un grupo de niños que tenían coproparasitoscópico (CPS) positivo para Ascaris se le dividió en dos: uno sujeto a tratamiento trimestral con levamisol durante un año, y el otro con placebo. Al final se vió que de 22 niños bajo tratamiento, 15 permanecieron con CPS negativo, y que de los 32 con placebo 20 resultaron con CPS positivo para Ascaris. Realice una prueba de P² para determinar si los niños con tratamiento evolucionaron mejor que los niños con placebo.

PROCEDIMIENTO

1. Identifique la información básica: Total de niños bajo tratamiento: 22 Niños bajo tratamiento que al final resultaron negativos: 15 Niños bajo tratamiento que al final resultaron positivos: 7 Total de niños con placebo: 32 Niños con placebo que al final resultaron negativos: 12 Niños con placebo que al final resultaron positivos: 20 Gran total: 54 2. Construya el cuadro de contingencia: Distribución de Niños con CPS Inicialmente Positivo de Acuerdo al Grupo Asignado

CPS Final

Levamisol

Placebo

Total

Positivo

7

20

27

Negativo

15

12

27

Total

22

32

54

104 3. Establezca la hipótesis nula: Una manera de plantear la hipótesis nula puede ser: el número de niños que al final del estudio resultaron positivos para Ascaris, en ambos grupos, en realidad no difiere respecto al número que se podría esperar si el tratamiento y el placebo tuvieran el mismo efecto, toda diferencia observada se debe al error de muestreo. 4. Obtenga las frecuencias esperadas (E) para cada casilla: E = (total de la fila * total de la columna) / gran total Distribución de Niños con CPS Inicialmente Positivo de Acuerdo al Grupo Asignado

CPS Final

Levamisol

Placebo

Total

Positivo

a

b

27

Negativo

c

d

27

Total

22

32

54

a) Nótese que los subtotales de las filas y de las columnas, y el gran total, son iguales a los observados. b) Casilla a: (27 * 22) / 54 = 594 / 54 = 11 c) Casilla b: (27 * 32) / 54 = 864 / 54 = 16 (o simplemente, ya que se conocen los valores de la casilla "a" y del subtotal de la fila: 27 - 11 = 16) d) Casilla c: (22 * 27) / 54 = 594 / 54 = 11 ( o simplemente, 22 - 11 = 11) e) Casilla d: (32 * 27) / 54 = 864 / 54 = 16 5. Obtenga el valor de P²: P² = E(O-E)2/E = (7-11)²/11 + (15-11)²/11 + (20-16)²/16 + (12-16)²/16 = 16/11 + 16/11 + 16/16 + 16/16 = 1.45 + 1.45 + 1+1 = 4.9 6. Compare el valor obtenido con el de la distribución teórica:

105 En la tabla 4 del apéndice, busque por ejemplo el valor de P²1,0.05, es decir, con un grado de libertad, pues se trata de una tabla de contingencia de 2*2, al nivel de significancia del 5 por ciento. Este valor es igual a 3.841. INTERPRETACIÓN

Como el valor de P² observada (4.9) es mayor que el de la distribución teórica, se rechaza la hipótesis nula al nivel del 5 por ciento de significancia, y se puede afirmar que existe evidencia de que el grupo de niños sujeto a tratamiento evolucionó distinto al grupo sujeto a placebo. De hecho, se puede observar que el porcentaje de niños sujetos a tratamiento y que al final resultó negativo es mayor que el correspondiente en el grupo con placebo, p < 0.05. 7. ¿Qué sucede al nivel de significancia del 1 por ciento? 8. Realice el análisis con la corrección de yates.

9. ¿Cuál es su conclusión final?

106

CAPÍTULO 9: REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN 9.1. INTRODUCCIÓN . Un frecuente interés durante las investigaciones consiste en tratar de determinar si dos sucesos están relacionados entre sí, de tal manera que al conocer lo que sucede con el primero, se pueda prever o predecir lo que acontezca con el segundo. Lo anterior se identifica generalmente con el estudio de la causalidad, pero los procedimientos estadísticos, por su propia naturaleza, no pueden dar respuesta a esta cuestión, aunque son útiles para aproximarse a ella. La afirmación de la existencia de una relación causa - efecto entre dos sucesos requiere de un conocimiento profundo de los mecanismos y de los procesos que intervienen, y de una base teórica firme que los explique y sistematice. De hecho, en las ciencias médicas el establecimiento de las relaciones causa - efecto, por ejemplo el atribuir a un factor el desarrollo o aparición de una enfermedad, no siempre requiere de algún modelo matemático, más bien necesita del conocimiento detallado de la fisiopatología. La estadística contribuye dando a conocer el grado y el sentido de la asociación entre sucesos, pero no puede decir mucho acerca de su validez o de su veracidad. Tal vez el procedimiento más utilizado para indagar la asociación entre dos sucesos (identificados por variables) es el modelo de regresión lineal. Este modelo de análisis, en su formulación más simple, pretende determinar hasta qué punto los cambios en el valor de una variable (llamada independiente) influyen en los cambios observados en los valores de la otra variable (llamada dependiente). En ocasiones se entiende que la primera es la causa de los cambios en la segunda, reconocida como el efecto, pero esta es una interpretación errónea en tanto el análisis estadístico no se acompañe de un análisis teórico que soporte la existencia de tal relación. El modelo de regresión lineal fue desarrollado en el siglo XIX por F. Galton, fundador de la eugenesia, a partir de sus observaciones sobre un fenómeno hereditario: la relación de estaturas entre padres e hijos. Pudo ver que aunque los padres de estatura alta tendían a tener hijos altos y los de estatura baja hijos bajos, la distribución de estaturas de una generación a otra no cambiaba. Galton explicó este fenómeno por la tendencia de la estatura promedio a desplazarse hacia la media poblacional, es decir, a sufrir una regresión. Así, los padres con estatura promedio alta tenían hijos con estatura promedio menor que ellos, y los padres con estatura promedio baja tenían hijos con estatura promedio mayor que ellos. Cuando solamente se toma el valor de una variable independiente para explicar los cambios en la variable dependiente, se habla de regresión lineal simple, y cuando se utilizan dos o más variables independientes, se habla de regresión lineal múltiple. Ambos modelos pertenecen a un sistema más amplio de análisis matemático que se conoce como curvas de ajuste o de aproximación, el cual incluye relaciones no lineales y que no serán tratadas aquí.

107 Con el término "lineal" nos estamos refiriendo a aquellas relaciones cuyo ajuste se hace por medio de una línea recta, la cual tiene las siguientes características: • Es el tipo más sencillo de linea de aproximación. La relación funcional más simple entre dos variables es la igualdad: y = x; es decir, si x = 0 entonces y = 0, si x = 1 entonces y = 1, etcétera (esto se conoce como recta a través del origen puesto que cruza a éste en un ángulo de 45 grados). • Las propiedades comunes de todas las ecuaciones de lineas rectas son: contienen valores solamente de x y de y; no hay productos ni cocientes de x ni de y; no hay potencias mayores de x ni de y (x = x1). • La ecuación de una linea recta es y = a+bx. • Dados dos puntos (dos coordenadas x, y) se pueden encontrar los valores de a y de b; o bien, conocidas a y b, se puede trazar la línea. • El cambio en los valores de y (y2-y1) está relacionado con el cambio en los valores de x (x2-x1) de la siguiente manera: (y2-y1) = b(x2-x1) por lo que

•

De aquí se deduce que b representa la magnitud del cambio en y por cada unidad de cambio en x. Esto es, los cambios son proporcionales; por ejemplo, si b = 2, entonces y se modifica el doble de lo que se modifica x. De aquí, para cualquier valor conocido de x y de y se puede obtener a = y-bx. Las constantes (dentro de la ecuación) a y b son llamadas respectivamente "intersección" (es el valor que toma y cuando x = 0, es decir, el punto del eje de las ordenadas en donde la línea recta cruza) y "pendiente" (la inclinación de la línea, entre más alejado esté su valor de cero, ya sea positivo o negativo, mayor será su inclinación). Cuando b=0 tenemos el caso en que para cualquier valor de x, y siempre tendrá el mismo valor (constante).

9.2. REGRESIÓN LINEAL . Comúnmente en las investigaciones se mide más de una variable en el mismo caso, ya que se encuentra o se sospecha que existe alguna relación entre ellas. El objetivo es saber cómo la respuesta (variable dependiente) cambia con el estímulo (variable independiente). Si la variable independiente es x y la dependiente es y, entonces, como para cada caso existe un par de observaciones, se tiene en total n coordenadas: (x1, y1) (x2, y2) . . . (xn, yn)

108 El primer paso para tratar de ver si existe relación entre las dos variables es construir una gráfica de correlación (de dispersión o de nube de puntos) y si los puntos (definidos por los valores de las coordenadas, es decir, por cada par de valores x, y) caen cercanos a una línea recta, se puede asumir que entre las variables existe una relación lineal (véase la gráfica 9.1) y se puede trazar a ojo una línea que siga la tendencia general de las coordenadas (método libre de ajuste). Aquí es cuando la representación gráfica se vuelve indispensable para el análisis estadístico. Sin embargo, esta forma de llevar a cabo el análisis es muy subjetiva, lo cual significa que diferentes observadores podrían obtener diferentes líneas de ajuste, en particular por el hecho de que en la realidad las coordenadas prácticamente nunca coinciden todas sobre una sola línea.

Gráfica 9.1. La regresión lineal es un método objetivo para ajustar esta línea recta a través de un conjunto de puntos. Se le denomina objetivo porque cualquier persona que realice el análisis siguiendo el procedimiento establecido, y utilizando los mismos datos, llegará a idénticos resultados. La línea recta resultante del análisis de regresión se conoce como línea de regresión o de ajuste óptimo. Esta línea es una recta respecto de la cual la suma de los cuadrados de las diferencias entre ella y las coordenadas observadas es mínima, por lo que se le conoce también como recta de los mínimos cuadrados. Es decir, cuando d12 +d22 + ... +dn2 es mínima con respecto a la línea de regresión, siendo las d2i los valores de las diferencias al cuadrado entre las coordenadas observadas y la línea (véase la gráfica 9.2).

109

Gráfica 9.2. El trazado de la línea recta puede lograrse a través de la siguiente ecuación:

donde " y $ son las dos constantes de la ecuación (ver arriba); x es la variable independiente, continua, que se ubica en el eje de las abscisas; y es la variable dependiente, continua, que se ubica en el eje de las ordenadas. De la misma manera que arriba se refirió, se puede ver que cuando x = 0, entonces y = ", lo que quiere decir que " es el punto en que la línea cruza el eje de las y, por lo que se le llama intersección. Por supuesto, si x = y, entonces " = 0. Por su parte, $ representa la magnitud del cambio promedio en el valor de y por cada unidad de x. Entre más alejado de cero esté el valor de $ (positivo o negativo) mayor será la inclinación de la línea de regresión; mientras que entre más cercano sea a cero, la línea de regresión se acercará más a la horizontal. Por este motivo, a $ se le conoce como la pendiente. Cuando, para cualquier valor de x, y toma siempre el mismo valor, se dice que es una relación constante, y $ será igual a cero. En una muestra, los valores de " y de $, que son los valores poblacionales, permanecen por lo general desconocidos, por lo que se estiman con los valores muestrales a y b. Para calcular estas estimaciones se tiene que (las siguientes ecuaciones se han obtenido por cálculo diferencial y no de la manera simple relatada arriba para la línea recta):

110

L y que

L o lo que es lo mismo: donde yG es la media de los valores de la variable y; xG es la media de los valores de la variable x; E(x-xG )2 es simplemente el denominador de la varianza de la variable x. También se representa como Sxx; E(x-xG )(y-y G ) es la varianza conjunta de x y de y; a esto se le conoce como covarianza. Nótese que, en este caso, las diferencias de x y de y con respecto a sus medias no se elevan al cuadrado, pues al multiplicarse entre ellas su suma no necesariamente es igual a cero (podría llegar a serlo, pero ello no impide el análisis), y además puede tener un resultado con signo positivo o negativo. También se representa como Sxy. Estas ecuaciones son las que permiten obtener la línea recta en la que la suma de las distancias, elevadas al cuadrado, de las coordenadas observadas con respecto a la recta es mínima. Una vez conocidas estas constantes, es posible trazar la recta de ajuste óptimo: a) Se escogen dos puntos, cada uno con un valor determinado de x (x1 y x2), para los cuales se obtienen los valores correspondientes de y (y1 y y2). b) Se marcan las coordenadas de los puntos anteriores en la gráfica y se unen. c) Se verifica que la línea trazada cruce la coordenada correspondiente a las medias (x G, yG ). En décadas anteriores, llevar a cabo un análisis de regresión lineal podía constituir toda una hazaña, particularmente si el número de observaciones era grande. En la actualidad, con los recursos electrónicos disponibles, todos estos procedimientos se realizan de manera fácil y rápida. Con este procedimiento, además se puede "predecir" el valor que tomará y para cualquier valor de x: yp = a + bx donde yp es la y predicha por el modelo.

111 Sin embargo, hay que tomar en cuenta que se trabaja con una muestra, y será necesario, como siempre, estimar la magnitud del error de muestreo, pues tal y predicha, por caer sobre la línea, es únicamente el valor medio de todas las y que se podría esperar observar para el valor de x particular dado en la ecuación:

L donde EEy,x se conoce como el error estándar de la regresión de y sobre x; sy,x es la desviación estándar de la regresión de y sobre x:

.

Se puede advertir de la ecuación del error estándar que éste varía para cada valor de x, haciéndose mayor conforme x se aleja de su media y viceversa. Con dicho error de muestreo se puede calcular un intervalo de confianza (95 por ciento, 99 por ciento o cualquier otro que se desee) para estimar los valores de y que se podrían observar para un determinado valor de x. Estos intervalos se calculan utilizando la distribución t de Student:

Como se observa en la gráfica anterior, al calcular los intervalos a partir de todos los valores de x, lo que se obtiene es una franja de confianza. Por otro lado, siendo la constante b de gran importancia para el modelo obtenido (no en vano se le conoce también como coeficiente de regresión), vale la pena estimar cuál puede ser el valor de este parámetro en la población ($), pues b es un valor obtenido a partir de una muestra. Interesa, en particular, estimar si $ = 0 (hipótesis nula) pues, de ser así, no podríamos afirmar que existe una asociación entre las dos variables que estamos analizando. Para ello, debemos obtener el error estándar de b:

112

que es en todo similar a EEy,x excepto por la unidad dentro de la raíz cuadrada. Con ello se puede obtener también una franja de confianza para la verdadera línea de regresión a cualquier nivel de confianza (95%, 99%, o algún otro que se desee). De igual manera, se utiliza la distribución t de Student:

Gráfica 9.4. Con este mismo error estándar se puede hacer el contraste de hipótesis para determinar si b es significativamente diferente de cero:

donde b es el valor estimado de $ a partir de la muestra; t es el valor en la distribución t de Student al nivel " de significancia (0.5, 0.01 o el que se desee) y con gl grados de libertad (n-2). Así, cuando el intervalo incluye el valor cero, no se puede rechazar la hipótesis nula de que $ = 0, es decir, no se ha encontrado asociación lineal entre las variables, aunque siempre debe advertirse que puede haber otro tipo de asociación, la cual se puede sospechar al observar la gráfica de dispersión (de nuevo, la representación gráfica inicial es indispensable para este análisis). Si el intervalo no incluye el valor cero, entonces se rechaza la hipótesis nula y se puede afirmar que la pendiente es significativa (que y cambia significativamente conforme cambia x). Dado que para calcular estos errores y sus respectivas franjas de confianza se requiere de cálculos muy tediosos (hay que repetir los cálculos para cada valor de x que se desee), se

113 asume que el estudiante tendrá acceso a programas de cómputo estadísticos que harán más feliz su vida. 9.3. CORRELACIÓN . Pero aún cuando b sea significativa y de gran magnitud, queda por medir la fuerza de la asociación, es decir, el grado de relación entre las dos variables estudiadas. Si la variable dependiente tiende a incrementar su valor conforme lo hace la independiente (si el coeficiente de regresión b es positivo), entonces se habla de una correlación positiva (lo que en el lenguaje común se conoce como "directamente proporcional"):

Gráfica 9.5. Si, además de lo anterior, todas las coordenadas llegaran a corresponder a la ecuación (si todas cayeran sobre la línea de regresión) se dice que existe una correlación perfecta positiva:

Gráfica 9.6.

114 Por otro lado, si el valor de la variable dependiente tiende a disminuir cuando el de la independiente aumenta, se tratará de una correlación negativa (en el lenguaje común se le conoce como "inversamente proporcional"):

Gráfica 9.7. De la misma manera que anteriormente, si todas las coordenadas caen sobre la línea recta, se habla de una correlación perfecta negativa:

Gráfica 9.8. Si el cambio en y cuando cambia x no muestra ninguna tendencia, entonces podemos decir que las variables no están correlacionadas:

115

Gráfica 9.9. Pueden existir, sin embargo, relaciones no lineales:

Gráfica 9.10. Al hacer la representación gráfica, habrá ocasiones en donde las coordenadas se dispersen en mayor grado alrededor de la linea de regresión, o en donde se acerquen mucho a ella. En el primer caso, diremos que la fuerza de asociación es menor que en el segundo:

116

Gráfica 9.11. La manera de medir esta fuerza de asociación es por medio del coeficiente de correlación r de Pearson (no confundir con el coeficiente de regresión, b):

cuyas propiedades son: a) el signo de r es el mismo signo que el de la pendiente (véase que el numerador es el mismo); b) r sólo toma valores entre -1 y +1 y su valor no tiene ninguna magnitud en términos de las unidades de medida de x o de y; c) si r = 1 o r = -1, entonces se habla de una correlación perfecta; d) si r es igual o muy cercana a cero se puede decir que no hay correlación, pero se debe estar pendiente siempre de la posibilidad de una correlación no lineal; e) una correlación alta (cercana a ±1) no necesariamente indica una relación de dependencia entre las variables, pues puede haber correlaciones falsas. Debe recordarse que la correlación es asociación estadística, no necesariamente relación causal. El coeficiente r de Pearson es también un estimador del verdadero coeficiente de correlación de la población (D), por lo que se le somete a pruebas de hipótesis, en las que la hipótesis nula es que D = 0. Para ello, se utiliza también la distribución t de Student:

117 El resultado se contrasta con la distribución t al nivel de significancia deseado y con n-2 grados de libertad. Finalmente, es común recurrir a otro coeficiente que en ocasiones sirve como resumen de todo el análisis. Este se llama coeficiente de determinación y es simplemente r2 el cual se interpreta como la proporción o porcentaje en el que la variación de la variable dependiente puede ser atribuido a la variación en la variable independiente. Como proporción sólo toma valores entre 0 y 1 (entre 0 y 100 por ciento). Es decir, entre más alto es el valor de r2 podemos afirmar que la relación entre una y otra variables es más estrecha (ejemplo 9.1).

118 Ejemplo 9.1: Regresión Lineal y Correlación. INFORMACIÓN

En un estudio realizado por el Instituto para el Desarrollo de los Recursos (EUA), se midieron entre otras cosas el porcentaje de niños con diarrea tratados por medio de la terapia de rehidratación oral (TRO) y los niveles de mortalidad infantil (tasa por 1000 nacidos vivos: TMI) en diferentes países. Esto formó parte del Programa de Encuestas Demográficas y de Salud. Algunos resultados se presentan enseguida: TRO (%)1

TMI (x1000)2

Burundi

30

75

Liberia

7

144

Mali

2

108

Senegal

2

86

Marruecos

15

73

Sri Lanka

29

25

Tailandia

37

35

Túnez

20

50

Brasil

9

76

Colombia

42

33

Rep. Dominicana

38

68

El Salvador

26

71

Perú

4

76

País

Trinidad y Tobago 53 26 : por ciento de niños con diarrea tratados con terapia de rehidratación oral (TRO). 2 : tasa de mortalidad infantil (TMI) por 1000 nacidos vivos.

1

Utilizando el análisis de regresión lineal, determine si existe una relación entre el porcentaje de niños con diarrea tratados con TRO y el nivel de la tasa de mortalidad infantil. Por supuesto, siempre será mejor hacer este tipo de análisis en con computadora o, al menos, con una calculadora científica con funciones para regresión lineal. En este ejemplo sólo se ilustran los pasos generales.

119 PROCEDIMIENTO

1. Distinga la variable dependiente de la independiente: a) variable independiente (x): porcentaje de niños con diarrea tratados con TRO. b) variable dependiente (y): tasa de mortalidad infantil por 1000 nacidos vivos. 2. Construya la gráfica de dispersión: Vea si los puntos presentan alguna tendencia. Con fines de comparación posterior, trace una línea a ojo. 3. Obtenga los datos básicos: xG = 22.4286 yG = 67.5714 E(x-xG )2 = 3539.4286 E(x-xG )(y-y G ) = -5274.4286 E(y-yG )2 = 14159.4286 4. Obtenga los valores de a y de b: b = -5274.43 / 3539.43 = -1.49 a = 67.57 - (-1.49) 22.43 = 100.99 5. Trace la linea de regresión: Primero, obtenga los valores predichos de y en dos coordenadas (x1,y1) y (x2,y2) que no se encuentren muy cercanas entre sí y compare esta linea con la que trazó a ojo. Por ejemplo: si x1 = 10 por ciento de ninños con diarrea tratados con TRO, entonces y1 = a+bx = 100.99 + (-1.49)(10) = 86.09 (TMI predicha por el modelo para el valor de x); y si x2 = 60, entonces y2 = a+bx = 100.99 + (-1.49)(60) = 11.58 Compruebe que la línea de regresión trazada cruza por la coordenada (xG ,y G ). 6. Obtenga el valor del coeficiente de correlación: r = E(x-xG )(y-y G ) / (E(x-xG )2 E(y-yG )2) = -5274.43 / (3539.43)(14159.43) = -0.7451 7. Obtenga el valor del coeficiente de determinación: r2 = (-0.7451)2 = 0.5552 INTERPRETACIÓN

120 a) Si bien el gráfico de correlación no muestra uniformidad total en la tendencia de los puntos, esto es algo que cabe esperar en todos los casos, más aún cuando son pocas las observaciones, como en este ejemplo. A pesar de todo, la tendencia es clara en el sentido de que conforme aumenta el porcentaje de niños con diarrea tratados con TRO, disminuye la TMI; por lo tanto, pareciera ser que el modelo de regresión lineal es aplicable en este caso (en realidad, harían falta otros análisis para afirmar esto con mayor certeza, pero estos no se verán en el manual). b) El valor de a = 100.99 indica que la TMI en promedio, tendría este nivel si el porcentaje de niños con diarrea tratados con TRO fuera igual a 0. El valor de b = -1.49 indica que por cada punto porcentual de aumento en los niños con diarrea tratados con TRO, la TMI se reduciría en promedio en 1.5 defunciones por cada 1000 nacidos vivos. c) El valor del coeficiente de correlación r = -0.7451, es alto y negativo, lo que indica una fuerte asociación entre las dos variables. Ello no significa, sin embargo, que necesariamente exista una relación de causalidad, esta debería establecerse, en todo caso, a través de la explicación de cómo la TRO puede modificar la TMI y hasta qué punto. Además, otros muchos factores entran en juego para determinar el nivel de la mortalidad infantil. d) El coeficiente de determinación r2 = 0.5551 nos indica que el 55.5 por ciento de la variación (de los cambios) en la TMI pueden ser atribuidos a la variación en el porcentaje de niños con diarrea tratados con TRO.