II. Transformasi Linier Dr. Muhafz Muhafzan an Dept. of Math. UNAND
November 2011
Transformasi Linier Definisi 1 Misalkan V dan W merupakan ruang vektor atas suatu lapangan F. Suatu fungsi τ : V → W dikatakan suatu transformasi linier jika τ (ru + sv) = rτ (u) + sτ (v)
untuk semua skalar r, s ∈ F dan semua vektor u, v ∈ V . Himpunan semua transformasi linier dari V ke W dinotasikan dengan L (V , W ) . Suatu transformasi linier dari V ke V disebut suatu operator linier pada V . Himpunan semua operator linier pada V dinotasika dinotasikan n dengan L (V ) . Suatu operator linier pada ruang vektor riil disebut operator riil dan suatu operator linier pada ruang vektor kompleks disebut operator kompleks.
Suatu transformasi linier dari V ke lapangan F disebut suatu fungsional linier pada V . Himpunan semua fungsional linier pada V dinotasikan dengan V ∗ , dan disebut ruang dual dari V .
Definisi 2 Istilah berikut juga sering digunakan: 1
Homomophisma digunakan untuk transformasi linier
2
Endomorphisma digunakan untuk operator linier
3
Monomorphisma (embedding) digunakan untuk transformasi linier injektif
4
Epimorphisma digunakan untuk transformasi linier surjektif
5
Isomorphisma digunakan untuk transformasi linier bijektif
6
Automorphisma digunakan untuk operator linier bijektif.
Contoh 3 1
Misalkan A adalah suatu matriks m × n pada lapangan F. Maka fungsi τ A : F n → F m yang didefinisikan oleh τ A v = Av
merupakan suatu transformasi linier dari F n ke F m . 2
Operator integral τ : F [x] → F [x] yang didefinisikan oleh ∞
τ (f ) =
f (x) dx
0
merupakan suatu operator linier pada F [x] .
Definisi 4 Misalkan F adalah suatu lapangan. Suatu aljabar A pada F adalah suatu himpunan tak kosong A bersama dengan tiga operasi, yaitu penjumlahan (dinyatakan dengan +) perkalian (dinyatakan dengan juxtaposition) perkalian skalar (dinotasikan dengan juxtaposition) sedemikian sehingga sifat-sifat berikut berlaku: 1 2 3
A adalah ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian A adalah ring dengan operasi penjumlahan dan perkalian jika r ∈ F dan a, b ∈A maka r (ab) = (ra) b = a (rb) .
Definisi 4 Misalkan F adalah suatu lapangan. Suatu aljabar A pada F adalah suatu himpunan tak kosong A bersama dengan tiga operasi, yaitu penjumlahan (dinyatakan dengan +) perkalian (dinyatakan dengan juxtaposition) perkalian skalar (dinotasikan dengan juxtaposition) sedemikian sehingga sifat-sifat berikut berlaku: 1 2 3
A adalah ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian A adalah ring dengan operasi penjumlahan dan perkalian jika r ∈ F dan a, b ∈A maka r (ab) = (ra) b = a (rb) .
Definisi 4 Misalkan F adalah suatu lapangan. Suatu aljabar A pada F adalah suatu himpunan tak kosong A bersama dengan tiga operasi, yaitu penjumlahan (dinyatakan dengan +) perkalian (dinyatakan dengan juxtaposition) perkalian skalar (dinotasikan dengan juxtaposition) sedemikian sehingga sifat-sifat berikut berlaku: 1 2 3
A adalah ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian A adalah ring dengan operasi penjumlahan dan perkalian jika r ∈ F dan a, b ∈A maka r (ab) = (ra) b = a (rb) .
Teorema 5 1
Himpunan L (V, W ) adalah suatu ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar.
2
Jika σ ∈ L (U, V ) dan τ ∈ L (V, W ) , maka komposisi τ σ ∈ L (U, W ) .
3 4
Jika τ ∈ L (V, W ) adalah bijeksi maka τ −1 ∈ L (W, V ) . Ruang vektor L (V ) adalah suatu aljabar, dimana perkalian merupakan komposisi fungsi. Pemetaan identitas i ∈ L (V ) adalah identitas perkalian dan pemetaan nol 0 ∈ L (V ) merupakan identitas penjumlahan.
Teorema 5 1
Himpunan L (V, W ) adalah suatu ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar.
2
Jika σ ∈ L (U, V ) dan τ ∈ L (V, W ) , maka komposisi τ σ ∈ L (U, W ) .
3 4
Jika τ ∈ L (V, W ) adalah bijeksi maka τ −1 ∈ L (W, V ) . Ruang vektor L (V ) adalah suatu aljabar, dimana perkalian merupakan komposisi fungsi. Pemetaan identitas i ∈ L (V ) adalah identitas perkalian dan pemetaan nol 0 ∈ L (V ) merupakan identitas penjumlahan.
Teorema 5 1
Himpunan L (V, W ) adalah suatu ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar.
2
Jika σ ∈ L (U, V ) dan τ ∈ L (V, W ) , maka komposisi τ σ ∈ L (U, W ) .
3 4
Jika τ ∈ L (V, W ) adalah bijeksi maka τ −1 ∈ L (W, V ) . Ruang vektor L (V ) adalah suatu aljabar, dimana perkalian merupakan komposisi fungsi. Pemetaan identitas i ∈ L (V ) adalah identitas perkalian dan pemetaan nol 0 ∈ L (V ) merupakan identitas penjumlahan.
Teorema 5 1
Himpunan L (V, W ) adalah suatu ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar.
2
Jika σ ∈ L (U, V ) dan τ ∈ L (V, W ) , maka komposisi τ σ ∈ L (U, W ) .
3 4
Jika τ ∈ L (V, W ) adalah bijeksi maka τ −1 ∈ L (W, V ) . Ruang vektor L (V ) adalah suatu aljabar, dimana perkalian merupakan komposisi fungsi. Pemetaan identitas i ∈ L (V ) adalah identitas perkalian dan pemetaan nol 0 ∈ L (V ) merupakan identitas penjumlahan.
Bukti. 3). Misalkan τ ∈ L (V, W ) adalah bijeksi, maka pemetaan τ −1 : W → V terdefinisi dengan baik (well defined) w1 , w2
∈ W ⇒ ∃v1 , v2 ∈ V w1 = τ (v1 ) dan w2 = τ (v2 ) , (karena τ ∈ L (V, W ) adalah bijeksi).
Akibatnya τ −1 (rw1 + sw2 ) = τ −1 (rτ (v1 ) + sτ (v2 ))
= τ −1 (τ (rv1 + sv2 )) = rv1 + sv2 = rτ −1 (w1 ) + sτ −1 (w2 ) , ∀r, s ∈ F yang menunjukkan bahwa τ −1 adalah transformasi linier.
Kernel dan Image dari Suatu Transformasi Linier Definisi 6 Misalkan τ ∈ L (V, W ) . Himpunan ker(τ ) = {v ∈ V |τ (v) = 0} disebut kernel (inti) dari τ dan himpunan im (τ ) = {τ (v) |v ∈ V } disebut image (peta) dari τ . Dimensi dari ker(τ ) disebut nullity dari τ dan dinyatakan dengan null (τ ) . Dimensi dari im (τ ) disebut rank dari τ dan dinyatakan dengan rk (τ ) . Tunjukkan bahwa ker(τ ) adalah subruang dari V dan im(τ ) adalah subruang dari W.
Teorema 7 Misalkan τ ∈ L (V, W ) . Maka 1
τ surjektif jika dan hanya jika im(τ ) = W
2
τ injektif jika dan hanya jika ker(τ ) = {0} .
Bukti. 1 Pernyatan serupa dengan definisi surjektif. 2 (⇐) Misalkan τ ∈ L (V, W ) dan ker(τ ) = {0} , maka τ (u) = τ (v) ⇒ τ (u) − τ (v) = 0 ⇒τ (u − v) = 0 ⇒ u − v ∈ ker(τ ) ⇒ u − v = 0 ⇒ u = v,
yang menunjukkan bahwa τ injektif. (⇒) Misalkan τ injektif, maka τ (u) = τ (v) ⇒ u = v. Karena τ ∈ L (V, W ) , maka τ (u) = τ (v) ⇒ τ (u) − τ (v) = 0 ⇒τ (u − v) = 0 ⇒ u − v ∈ ker(τ ) ⇒ 0 ∈ ker(τ ) , karena
Sehingga ker(τ ) = {0} .
u
= v.
Teorema 7 Misalkan τ ∈ L (V, W ) . Maka 1
τ surjektif jika dan hanya jika im(τ ) = W
2
τ injektif jika dan hanya jika ker(τ ) = {0} .
Bukti. 1 Pernyatan serupa dengan definisi surjektif. 2 (⇐) Misalkan τ ∈ L (V, W ) dan ker(τ ) = {0} , maka τ (u) = τ (v) ⇒ τ (u) − τ (v) = 0 ⇒τ (u − v) = 0 ⇒ u − v ∈ ker(τ ) ⇒ u − v = 0 ⇒ u = v,
yang menunjukkan bahwa τ injektif. (⇒) Misalkan τ injektif, maka τ (u) = τ (v) ⇒ u = v. Karena τ ∈ L (V, W ) , maka τ (u) = τ (v) ⇒ τ (u) − τ (v) = 0 ⇒τ (u − v) = 0 ⇒ u − v ∈ ker(τ ) ⇒ 0 ∈ ker(τ ) , karena
Sehingga ker(τ ) = {0} .
u
= v.
Teorema 7 Misalkan τ ∈ L (V, W ) . Maka 1
τ surjektif jika dan hanya jika im(τ ) = W
2
τ injektif jika dan hanya jika ker(τ ) = {0} .
Bukti. 1 Pernyatan serupa dengan definisi surjektif. 2 (⇐) Misalkan τ ∈ L (V, W ) dan ker(τ ) = {0} , maka τ (u) = τ (v) ⇒ τ (u) − τ (v) = 0 ⇒τ (u − v) = 0 ⇒ u − v ∈ ker(τ ) ⇒ u − v = 0 ⇒ u = v,
yang menunjukkan bahwa τ injektif. (⇒) Misalkan τ injektif, maka τ (u) = τ (v) ⇒ u = v. Karena τ ∈ L (V, W ) , maka τ (u) = τ (v) ⇒ τ (u) − τ (v) = 0 ⇒τ (u − v) = 0 ⇒ u − v ∈ ker(τ ) ⇒ 0 ∈ ker(τ ) , karena
Sehingga ker(τ ) = {0} .
u
= v.
Teorema 7 Misalkan τ ∈ L (V, W ) . Maka 1
τ surjektif jika dan hanya jika im(τ ) = W
2
τ injektif jika dan hanya jika ker(τ ) = {0} .
Bukti. 1 Pernyatan serupa dengan definisi surjektif. 2 (⇐) Misalkan τ ∈ L (V, W ) dan ker(τ ) = {0} , maka τ (u) = τ (v) ⇒ τ (u) − τ (v) = 0 ⇒τ (u − v) = 0 ⇒ u − v ∈ ker(τ ) ⇒ u − v = 0 ⇒ u = v,
yang menunjukkan bahwa τ injektif. (⇒) Misalkan τ injektif, maka τ (u) = τ (v) ⇒ u = v. Karena τ ∈ L (V, W ) , maka τ (u) = τ (v) ⇒ τ (u) − τ (v) = 0 ⇒τ (u − v) = 0 ⇒ u − v ∈ ker(τ ) ⇒ 0 ∈ ker(τ ) , karena
Sehingga ker(τ ) = {0} .
u
= v.
Isomorfisma Definisi 8 Suatu transformasi linier bijektif τ : V → W disebut isomorfisma dari V ke W. Bila isomorfisma dari V ke W ada, maka V dan W dikatakan isomorfik, dan ditulis V ≈ W.
Contoh 9 Misalkan V adalah suatu ruang vektor atas lapangan F dan dim(V ) = n. Misalkan B = {v1 , v2 , · · · , vn } adalah basis untuk V. Maka pemetaan φB : V → F n dengan v → [v]B , merupakan suatu isomorfisma. Sehingga, sebarang ruang vektor berdimensi n isomorfik dengan F n .
Bukti. Harus dibuktikan bahwa:
φB (v) = [v]B adalah pemetaan well defined φB adalah transformasi linier φB adalah bijektif
Isomorfisma Definisi 8 Suatu transformasi linier bijektif τ : V → W disebut isomorfisma dari V ke W. Bila isomorfisma dari V ke W ada, maka V dan W dikatakan isomorfik, dan ditulis V ≈ W.
Contoh 9 Misalkan V adalah suatu ruang vektor atas lapangan F dan dim(V ) = n. Misalkan B = {v1 , v2 , · · · , vn } adalah basis untuk V. Maka pemetaan φB : V → F n dengan v → [v]B , merupakan suatu isomorfisma. Sehingga, sebarang ruang vektor berdimensi n isomorfik dengan F n .
Bukti. Harus dibuktikan bahwa:
φB (v) = [v]B adalah pemetaan well defined φB adalah transformasi linier φB adalah bijektif
Isomorfisma Definisi 8 Suatu transformasi linier bijektif τ : V → W disebut isomorfisma dari V ke W. Bila isomorfisma dari V ke W ada, maka V dan W dikatakan isomorfik, dan ditulis V ≈ W.
Contoh 9 Misalkan V adalah suatu ruang vektor atas lapangan F dan dim(V ) = n. Misalkan B = {v1 , v2 , · · · , vn } adalah basis untuk V. Maka pemetaan φB : V → F n dengan v → [v]B , merupakan suatu isomorfisma. Sehingga, sebarang ruang vektor berdimensi n isomorfik dengan F n .
Bukti. Harus dibuktikan bahwa:
φB (v) = [v]B adalah pemetaan well defined φB adalah transformasi linier φB adalah bijektif
Isomorfisma Definisi 8 Suatu transformasi linier bijektif τ : V → W disebut isomorfisma dari V ke W. Bila isomorfisma dari V ke W ada, maka V dan W dikatakan isomorfik, dan ditulis V ≈ W.
Contoh 9 Misalkan V adalah suatu ruang vektor atas lapangan F dan dim(V ) = n. Misalkan B = {v1 , v2 , · · · , vn } adalah basis untuk V. Maka pemetaan φB : V → F n dengan v → [v]B , merupakan suatu isomorfisma. Sehingga, sebarang ruang vektor berdimensi n isomorfik dengan F n .
Bukti. Harus dibuktikan bahwa:
φB (v) = [v]B adalah pemetaan well defined φB adalah transformasi linier φB adalah bijektif
Akan dibuktikan bahwa φB (v) = [v]B adalah pemetaan well defined. n
Karena setiap
v
∈V dapat ditulis secara tunggal sebagai
v
=
i=1
maka
v
dipetakan secara tunggal kepada
n
φB (v) = φB
αi vi
i=1
=
α1 α2
.. .
αn
α1 α2
.. .
αn
∈ F n , yaitu
= [v]B ∈ F n
yang menunjukkan bahwa φB adalah well defined.
αi vi ,
Akan dibuktikan bahwa φB (v) = [v]B adalah pemetaan well defined. n
Karena setiap
v
∈V dapat ditulis secara tunggal sebagai
v
=
i=1
maka
v
dipetakan secara tunggal kepada
n
φB (v) = φB
αi vi
i=1
=
α1 α2
.. .
αn
α1 α2
.. .
αn
∈ F n , yaitu
= [v]B ∈ F n
yang menunjukkan bahwa φB adalah well defined.
αi vi ,
Akan dibuktikan bahwa φB adalah transformasi linier.
Misalkan v, w ∈V dan r, s ∈ F, maka
n
φB (rv + sw)
=
φB
r
αi vi + s
i=1
(rαi + sβ i ) vi
i=1
= r
β i vi
i=1
n
= φB
n
α1 α2
.. .
αn
+s
=
rα1 + sβ 1 rα2 + sβ 2
.. . rαn + sβ n
β 1 β 2
.. .
β n
= r [v]B + s [w]B ,
yang menunjukkan bahwa φB adalah suatu transformasi linier.
Akan dibuktikan bahwa φB adalah transformasi linier.
Misalkan v, w ∈V dan r, s ∈ F, maka
n
φB (rv + sw)
=
φB
r
αi vi + s
i=1
(rαi + sβ i ) vi
i=1
= r
β i vi
i=1
n
= φB
n
α1 α2
.. .
αn
+s
=
rα1 + sβ 1 rα2 + sβ 2
.. . rαn + sβ n
β 1 β 2
.. .
β n
= r [v]B + s [w]B ,
yang menunjukkan bahwa φB adalah suatu transformasi linier.
Akan dibuktikan bahwa φB adalah bijektif.
Akan ditunjukkan bahwa φB adalah injektif, yaitu dengan menunjukkan bahwa ker(φB ) = {0} . φB (v) = φB (w)
⇒ φB (v − w) = 0
n
⇒ φB
αi vi −
i=1 n
⇒ φB n
⇒
i=1
=0
i=1
=0
i=1
(αi − β i ) vi ∈ ker(φB )
n
Akan ditunjukkan
β i vi
(αi − β i ) vi
i=1
n
(αi − β i ) vi = 0
(1)
Akan dibuktikan bahwa φB adalah bijektif.
Akan ditunjukkan bahwa φB adalah injektif, yaitu dengan menunjukkan bahwa ker(φB ) = {0} . φB (v) = φB (w)
⇒ φB (v − w) = 0
n
⇒ φB
αi vi −
i=1 n
⇒ φB n
⇒
i=1
=0
i=1
=0
i=1
(αi − β i ) vi ∈ ker(φB )
n
Akan ditunjukkan
β i vi
(αi − β i ) vi
i=1
n
(αi − β i ) vi = 0
(1)
Dari (1), n
φB
i=1
(αi − β i ) vi
=0 ⇒
α1 − β 1 α2 − β 2
0 0 .. .
= .. . 0 αn − β n ⇒ αi − β i = 0, i = 1, 2, . . . , n ⇒ (αi − β i ) vi = 0, i = 1, 2, . . . , n n
⇒
(αi − β i ) vi = 0
i=1
⇒ ⇒
−w=0 v =w v
Jadi φB (v) = φB (w) ⇒ v = w yang menunjukkan bahwa φB adalah injektif
Akan dibuktikan bahwa φB adalah surjektif.
Misalkan
α
=
α1
n
sehingga
x
=
i=1
α2
...
αn
T
∈ F n . Pilih
x
∈V sedemikian
n
αi vi , maka φB (x) = φB
menunjukkan bahwa φB adalah surjektif.
αi vi
= α, yang
i=1
Karena φB adalah injektif dan surjektif, maka φB adalah bijektif.
Akan dibuktikan bahwa φB adalah surjektif.
Misalkan
α
=
α1
n
sehingga
x
=
i=1
α2
...
αn
T
∈ F n . Pilih
x
∈V sedemikian
n
αi vi , maka φB (x) = φB
menunjukkan bahwa φB adalah surjektif.
αi vi
= α, yang
i=1
Karena φB adalah injektif dan surjektif, maka φB adalah bijektif.
Akan dibuktikan bahwa φB adalah surjektif.
Misalkan
α
=
α1
n
sehingga
x
=
i=1
α2
...
αn
T
∈ F n . Pilih
x
∈V sedemikian
n
αi vi , maka φB (x) = φB
menunjukkan bahwa φB adalah surjektif.
αi vi
= α, yang
i=1
Karena φB adalah injektif dan surjektif, maka φB adalah bijektif.
Bila dua ruang vektor adalah isomorfik maka secara linier keduanya berprilaku sama.
Teorema 10 (buktikan!) Misalkan τ ∈ L (V, W ) adalah suatu isomorfisma, S ⊆ V dan τ (S ) = {τ (s) |s ∈ S } .
Maka: 1
S span (membangun) V jika dan hanya jika τ (S ) membangun W
2
S bebas linier di V jika dan hanya jika τ (S ) bebas linier di W
3
S adalah basis untuk V jika dan hanya jika τ (S ) adalah basis untuk W.
Suatu isomorfisma dapat dikarakteristikkan sebagai suatu transformasi linier τ : V → W yang memetakan suatu basis untuk V kepada suatu basis untuk W.
Bila dua ruang vektor adalah isomorfik maka secara linier keduanya berprilaku sama.
Teorema 10 (buktikan!) Misalkan τ ∈ L (V, W ) adalah suatu isomorfisma, S ⊆ V dan τ (S ) = {τ (s) |s ∈ S } .
Maka: 1
S span (membangun) V jika dan hanya jika τ (S ) membangun W
2
S bebas linier di V jika dan hanya jika τ (S ) bebas linier di W
3
S adalah basis untuk V jika dan hanya jika τ (S ) adalah basis untuk W.
Suatu isomorfisma dapat dikarakteristikkan sebagai suatu transformasi linier τ : V → W yang memetakan suatu basis untuk V kepada suatu basis untuk W.
Bila dua ruang vektor adalah isomorfik maka secara linier keduanya berprilaku sama.
Teorema 10 (buktikan!) Misalkan τ ∈ L (V, W ) adalah suatu isomorfisma, S ⊆ V dan τ (S ) = {τ (s) |s ∈ S } .
Maka: 1
S span (membangun) V jika dan hanya jika τ (S ) membangun W
2
S bebas linier di V jika dan hanya jika τ (S ) bebas linier di W
3
S adalah basis untuk V jika dan hanya jika τ (S ) adalah basis untuk W.
Suatu isomorfisma dapat dikarakteristikkan sebagai suatu transformasi linier τ : V → W yang memetakan suatu basis untuk V kepada suatu basis untuk W.
Bila dua ruang vektor adalah isomorfik maka secara linier keduanya berprilaku sama.
Teorema 10 (buktikan!) Misalkan τ ∈ L (V, W ) adalah suatu isomorfisma, S ⊆ V dan τ (S ) = {τ (s) |s ∈ S } .
Maka: 1
S span (membangun) V jika dan hanya jika τ (S ) membangun W
2
S bebas linier di V jika dan hanya jika τ (S ) bebas linier di W
3
S adalah basis untuk V jika dan hanya jika τ (S ) adalah basis untuk W.
Suatu isomorfisma dapat dikarakteristikkan sebagai suatu transformasi linier τ : V → W yang memetakan suatu basis untuk V kepada suatu basis untuk W.
Bila dua ruang vektor adalah isomorfik maka secara linier keduanya berprilaku sama.
Teorema 10 (buktikan!) Misalkan τ ∈ L (V, W ) adalah suatu isomorfisma, S ⊆ V dan τ (S ) = {τ (s) |s ∈ S } .
Maka: 1
S span (membangun) V jika dan hanya jika τ (S ) membangun W
2
S bebas linier di V jika dan hanya jika τ (S ) bebas linier di W
3
S adalah basis untuk V jika dan hanya jika τ (S ) adalah basis untuk W.
Suatu isomorfisma dapat dikarakteristikkan sebagai suatu transformasi linier τ : V → W yang memetakan suatu basis untuk V kepada suatu basis untuk W.
Bila dua ruang vektor adalah isomorfik maka secara linier keduanya berprilaku sama.
Teorema 10 (buktikan!) Misalkan τ ∈ L (V, W ) adalah suatu isomorfisma, S ⊆ V dan τ (S ) = {τ (s) |s ∈ S } .
Maka: 1
S span (membangun) V jika dan hanya jika τ (S ) membangun W
2
S bebas linier di V jika dan hanya jika τ (S ) bebas linier di W
3
S adalah basis untuk V jika dan hanya jika τ (S ) adalah basis untuk W.
Suatu isomorfisma dapat dikarakteristikkan sebagai suatu transformasi linier τ : V → W yang memetakan suatu basis untuk V kepada suatu basis untuk W.
