PEMBAHASAN
KOMPOSISI TRANSFORMASI T RANSFORMASI BESERTA BESERTA SIFAT SIFAT KOMPOSISI TRANSFORMASINYA
A. Penger Pengertia tian n Komposis Komposisii Trans Transfor formas masii Komp Kompos osisi isi tran transfo sform rmasi asi adala adalah h trans transfo form rmasi asi yang yang dipe dipero role leh h dari dari
gabu gabung ngan an dua dua tran transfo sform rmasi asi atau atau lebih, lebih, sehin sehingg ggaa meng mengha hasil silka kan n bent bentuk uk transformasi yang lebih kompleks. Penyelesaian Penyelesaian masalah komposisi komposisi transformasi transformasi dapat dilakukan dilakukan dengan dua cara yaitu dengan cara pemetaan dan dengan cara matriks. 1. Peny Penyel eles esaia aian n komp kompos osisi isi tran transfo sform rmasi asi deng dengan an cara cara peme pemeta taan an dila dilaku kuka kan n secara bertahap berturut-turut terhadap titik yang ditransformasikan. Misal titi titik k A ditr ditran ansf sfor orma masi sika kan n
pert pertam amaa
oleh oleh T1
dila dilanj njut utka kan n
oleh oleh T,
bayangannya diperoleh dengan cara mencari bayangan A terhadap T 1 terleb terlebih ih dahulu dahulu,, misalk misalkan an bayang bayangann annya ya adalah adalah A!, kemudi kemudian an mencari mencari bayangan A! oleh transformasi T sehingga menghasilkan bayangan A". Titik A" ini merupakan bayangan dari titik A yang ditransformasikan oleh T1 dilanjutkan oleh transformasi T. #alam bentuk pemetaan ditulis seperti berikut ini $ T1 A �� � A % �T � � A& . Penyelesaian Penyelesaian komposisi komposisi transfor transformasi masi dengan dengan cara cara matriks matriks yaitu yaitu bayangan bayangan hasil hasil dua dua trans transfo form rmasi asi atau atau lebih lebih lebi lebih h dapa dapatt dipe dipero role leh h deng dengan an cara cara langsung langsung harus mencari bayangan bayangan hasil ransformasi ransformasi satu per satu. 'entuk 'entuk pemetaan di atas jika dituliskan dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut $
( A &) = ( T oT1 ) ( A ) #engan T1 dan T berturut-turut merupakan matriks transformasi T 1 dan matriks transformasi T. Perhatikan bah(a penulisan secara matriks urutan penulisannya berbeda dengan cara pemetaan. Transformasi kedua, yaitu T dituliskan pertama dan transformasi pertama, yaitu T1 dituliskan kedua. )ngat, penulisan ini tidak boleh terbalik karena dalam komposisi tidak ada
|1 Komposisi Transformasi Transformasi|
sifat komutatif, kecuali komposisi dua translasi. Karena translasi dalam bentuk matriks menggunakan operasi penjumlahan. B. Sifat-Sifat Komposisi Transformasi *ifat-sifat komposisi transformasi yaitu sebagai berikut $ 1. Komposisi #ua Translasi Komposisi dua translasi yaitu jika titik P+,y ditranslasikan berurutan oleh
�a T 1 = � dilanjutkan oleh T b �
=
a � � , Maka bayangannya ditentukan $ b �
#alam bentuk pemetaan dituliskan sebagai berikut $ a �� T1 = �� b ��
�c � T =� � �d �
P ( x, y ) ���� P % ( x + a , y + b ) ���� P & ( x + a + c, y + b + d ) #alam bentuk matriks dapat dinyatakan sebagai berikut $ x & � � c � �� a � �x � �x + a + c + �� +� � = � � �= � � y & d b y � � � � �� � � �y + b + d
ontoh soal $ Tentukanlah peta titik A +,/ yang ditranslasi oleh T 1 0
dan dilanjutkan
oleh T 0 a(ab $ #engan cara pemetaan $ T1 T #engan cara matriks $ 3� � � � + 3 + 2 x & � �2 � � �
+ �� =� � �= � �+ � � & 4 / / + + -4 y � � � � �� �� �
11� x & � � � = � & � �3 � y � � � �
adi, bayangan titik A"+11,3
. Komposisi Translasi dan Pencerminan
Komposisi Transformasi| 2
Komposisi translasi dan pencerminan yaitu jika titik P+,y ditranslasikan a �k � T = � lalu dicerminkan M = � b m � �
l n
maka bayangannya ditentukan $
x & � �k l �� �a � �x � � = � �+ � � � �� �� y & m n � �� �� �b � �y � 'ila titik P+,y dicerminkan M kemudian ditranslasikan T maka bayangannya $ x & � � a � �k �
l� �x
� � �� � � � y & � � b�� m n� � �y =
+
ontoh soal $ Tentukan bayangan garis g $ y = 3 x - 4 oleh pencerminan terhadap garis -1 � y = x dan dilanjutkan translasi T = � 5 �
a(ab $ 1 6 � Matriks refleksi terhadap garis y = x $ � 6 1 � x & � � -1 � � 6 1� � �x + � �= � � � � � y & � � � � 1 6� � �y x & � � -1 � � y� � = + � � � � � � y & � � � � x� � x & � � -1 + y � � = � �� � y & � � + x � � y � �x &+ 1 � � � �= �y &- � x �� � � 'ayangan garis g $ y = 3x - 4 adalah g’ $ y = 3 x - 4
( x &+ 1)
=
3 ( y &- )
-
4
x &+ 1 = 3 y &- 2 - 4 x &- 3 y &+ 11 = 6
� x - 3 y + 11 = 6 adi bayangan garis g adalah x - 3 y + 11 = 6 3. Komposisi Translasi dan 7otasi
Komposisi Transformasi| 3
Komposisi translasi dan rotasi yaitu bila titik P+,y ditranslasikan a p � � T = � lalu dirotasikan R = � b � �r
q s
maka bayangannya ditentukan $
x & � �p q �� �a � �x � � = +�� � � � �� �� y & r s b � �� �� � � �y � 'ila titik P+,y dirotasikan 7 kemudian ditranslasikan T maka bayangannya $ x & � � a � �p �
� � �� � y & � � b � �r � =
+
q� �x
� �
s� �y
ontoh soal $ *uatu titik P+-3,1 dipetakan oleh rotasi dengan pusat 8 sejauh 96o, 4 � dilanjutkan dengan translasi T = � . Tentukan koordinat bayangan titik P 3 � tersebut 5 a(ab $ 6 � Matriks rotasi +8,96o 0 � 1 � x & � �� 3 � 6 � = + � � �� � y & � �� 4 � 1 �
-
1
-
6
1� -3 �
� �
6� �1
x & � �� 3 � -1 � � = + � � �� � � y & � �� 4 � -3 � � x & � �� � = � � �� y & � �� 1 � adi koordinat bayangan titik P"+,1
4. Komposisi Translasi dan #ilatasi Komposisi translasi dan dilatasi yaitu bila titik P+,y ditranslasikan a � T = � b �
lalu
didilatasikan
D[ O ,k ]
=
k 6 � � 6 k �
maka
bayangannya
ditentukan $ x & � � k 6 �� �a � �x � �
� �+ � � � �= � �� y & 6 k � �� �� �b � �y �
Komposisi Transformasi| 4
'ila titik P+,y didilatasikan # kemudian ditranslasikan T maka bayangannya $ x & � � a�� k �
6� �x
� � ��� � � 6 k� y & � � b�� � �y =
+
ontoh soal $ 1 � Titik P+3, ditranslasikan oleh T = � lalu didilatasikan dengan faktor 2 � 1
skala
yang berpusat +6,6. Tentukan koordinat bayangan titik P
tersebut 5 a(ab $
�1 1 � #ilatasi dengan pusat 8+6,6 skala $ � � �6 � �1 � 6 �� x & � � 1 �� 3 � �� = + �� � �� � � �� y & � � 1 ��� 2 � � � �6 �� � �
�1 x & � � � � �= � y & � � � �6 � x & � � � � �= � 4 y & � � �
6 1
�
6� 4 ��
� �� � �
1� :� �
adi bayangan dari titik P"+,4 /. Komposisi #ua Penceriman Komposisi dua pencerminan
M 1
=
�k l �m n �
lalu
dicerminkan M
ditentukan $ x & � �p q � � �k
l� �x
s� m �
n� �y
� �� y & � �r � =
� �
yaitu
bila titik
=
p q � �r s �
P+,y dicerminkan
maka
bayangannya
� �
'ila titik P+,y dicerminkan M kemudian dicerminkan M1 maka bayangannya $
Komposisi Transformasi| 5
x & � �k l � � �p q � �x = � � � � � � �y y & � � m n� � �r s � � ontoh soal $ *uatu titik A+3, - dicerminkan ke sumbu x kemudian dicerminkan ke garis y = x . Tentukan koordinat bayangannya 5 a(ab $ 1 6 � Matriks 7efleksi terhadap sumbu x $ � 6 -1 � 1 6 � Matriks refleksi terhadap garis y = x $ � 6 1 � 1 6� 1 x & � � � � = � �� � � 6 1� 6 y & � � � � =
6 � � 1 �
=
�� �� 3 ��
6� �3
� �
1� - �
-
1� �3 �
-
� � �
6� - � �
adi A"+,3
2. Komposisi Pencerminan dan 7otasi Komposisi pencerminan dan rotasi yaitu bila titik P+,y dicerminkan
�k M = � m �
l n
lalu
dirotasikan
ditentukan $ x & � �p q � � �k
l� �x
s� m �
n� �y
� �� y & � �r � =
� �
p � R = � �r
q s
maka
bayangannya
� �
'ila titik P+,y dirotasikan 7 kemudian dicerminkan M maka bayangannya $ x & � �k l � � �p
� �� � �r y & � � m n� � � =
q� �x
� �
s� �y
ontoh soal $ #iketahui garis g dengan persamaan y = 3 x + bayangan garis g oleh
pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi terhadap 8 sebesar
p
radian adalah ;. . Komposisi Transformasi| 6
a(ab $ 1 � Matriks refleksi terhadap sumbu x $ � 6 � 6 � 7otasi pusat +6,6 sebesar 96 o $ � 1 � 6 x & � � � � �= � 1 y & � � �
1� 1 �
6 1
-
1
-
6
6� �x
-
� � 6� 6 �
� �
1� �y
-
6 1� x & � � � �x � � �= � � �� 1 6� y & � � � �y � x & � �y � � � & �= � � y � �x � �
'ayangan garis g $ y = 3 x + y = 3x + x & = 3 y &+ 3 y &- x &+ = 6
� 3 y - x + = 6 adi, bayangan garis g $ y = 3x + adalah 3 y - x + = 6 <. Komposisi Pencerminan dan #ilatasi Komposisi pencerminan dan dilatasi yaitu bila titik P+,y dicerminkan p � M = � �r
q s
lalu didilatasikan D[ O,k ]
ditentukan $ x & � � k 6� � �p
� �= � � � 6 k� y & � � � �r
=
k 6 � � 6 k �
maka bayangannya
q� �x
� �
s� �y
'ila titik P+,y didilatasikan # kemudian dicerminkan M maka bayangannya $ x & � �p q � k � �
� �� y & � �r � =
� �
6� �x
� �
6 k� s� � �y
ontoh soal $ *uatu parabola P $ y = x - 3x + dicerminkan ke garis y = - x kemudian didilatasikan berpusat di 8 dengan skala . Tentukan persamaan bayangannya 5 a(ab $ �6 Matriks refleksi terhadap garis y = - x $ � -1 �
1
-
6
Komposisi Transformasi| 7
�1 x & y � � � � �= � x � � 1 � y & � �
x & � � 6� � �6 -1 � �x = � � � � � � �y y & � � 6 � 6� -1 � � � x & � �6 - � � �x � � �= � � �� - y & � � 6 � � �y � - y x & � � � = � � �- x y & � � � 'ayangan parabola P $ y = x
-
3x + adalah $
y = x - 3x +
�1 � �1 � �1 � y & �- 3 � y &� - x & � = � + � � � � � � � -
1
x & =
1
y & +
3
y &+
x & = - y & - 3 y &- 4
� x = - y - 3 y - 4 :. Komposisi #ua 7otasi Komposisi dua rotasi yaitu rotasi R[ 6, a] dilanjutkan dengan rotasi R[ 6,b] =kui>alen
R[ 6, a ]
=
dengan
�k l � m n �
rotasi
R[ 6,a
+
b]
.
lalu dirotasikan R[ 6,b]
'ila
=
titik
p q � � �r s
P+,y
dirotasikan
maka bayangannya
ditentukan $ x & � �p q � � �k
� �= � y & � �r �
l� �x � � � � s� m n� � �y
ontoh soal $ *uatu titik P +2, -: diputar ?16 o dengan pusat 8 kemudian diputar ?6 o lagi. Tentukan koordinat bayangan titik P tersebut 5 a(ab $ 70
ekui>alen dengan rotasi 0 0 0
Komposisi Transformasi| 8
0
1 � 3 x &� � � � �= � y &� � 1 � �
1 � �2 � �� 1 -: � 3� �
x &� � 4 � = � � y &� 3 � ��
+
3 3
-
4 3
-
adi P"
9. Komposisi 7otasi dan #ilatasi Komposisi rotasi dan dilatasi yaitu bila titik P+,y dirotasikan
R[ 6,a ]
=
p q � �r s �
lalu didilatasikan D[ O ,k ]
ditentukan $ x & � � k 6� � �p
� �� � � 6 k� y & � � � �r =
'ila
=
k 6 � � 6 k �
maka bayangannya
q� �x
� �
s� �y
titik P+,y didilatasikan # kemudian dirotasikan 7 maka
bayangannya $ x & � �p q � k � �
� �� y & � �r � =
� �
6� �x
� �
6 k� s� � �y ontoh soal $
*uatu garis g$ y 0 @ 3 dirotasikan 7
kemudian didilatasikan
berpusat di 8 dengan skala . Tentukan persamaan bayangannya 5 a(ab $ 6 -1 � 7otasi pusat 7 $� 1 6 � � #ilatasi dengan pusat 8+6,6 skala $ � 6 �
6
Komposisi Transformasi| 9
6� 6 -1� x &� � x � � � = � � � � � � � 6 � 1 6� y &� � y � � � x &� � 6 - � x � � = � � � y &� 6� y � � � �� - y � x &� � � = � � � � y &� � x � � �1 � x & � y �� � = � � �� x 1 �� � y & � � �
'ayangan garis g! $ y 0 @ 3 y = x - 3 -
�1 � x % = � y % �- 3 � �
1 1
x % = y %- 3 x % = - y %+ 2 -
� x = - y + 2 adi, bayangan garis g$ y 0 @ 3 adalah x = - y + 2 16. Komposisi #ua #ilatasi Komposisi dua dilatasi yaitu bila titik P+,y didilatasikan D[ O ,k ]
k 6 � � 6 k �
m 6 � maka bayangannya ditentukan $ � 6 m � 6� �x � �y atau seperti didilatasikan D [ O , km ] k� �
lalu didilatasikan D[ O ,m]
x & � � m 6� k � � = � � � � � y & � �6 m � � �6
=
=
ontoh *oal $ Tentukan persamaan bayangan garis lurus
yang
didilatasikan berpusat di 8 dengan skala kemudian didilatasikan lagi yang berpusat di 8 dengan faktor skala 4 5 a(ab $
Komposisi Transformasi| 10
� #ilatasi dengan pusat 8+6,6 skala $ � 6 �
6
4 � #ilatasi dengan pusat 8+6,6 skala 4 $ � 6 �
6
4
4 6� 6� x & � � � � �x � �= � � � � � 6 4� 6 � y & � � � � �y : 6� x & � � � �x � � & �= � � �� 6 :� y � � � �y � :x � x & � � � � �= � � :y � y & � � �
�1 � x & x � �: � � � �= � � 1 � y � � � � y & � �: � adi bayangan dari kur>a
adalah $
y = x -
�1 � y & = � x & � - : : � � 1 1
y & =
x &- : : y & = x &- 12
� y = x - 12 adi, bayangan garis
adalah
C. ati!an 1. #iketahui T 1 adalah transformasi rotasi pusat 8 dan sudut putar 96 o. T
adalah transformasi pencerminan terhadap garis y = - x bila koordinat bayangan titik A oleh transformasi T oT 1 adalah A &+:, -2- . Tentukanlah koordinat titik A 5 a(ab $
�6 Matriks refleksi terhadap garis y = - x $ � -1 � 6 � 7otasi pusat +6,6 sebesar 96 o $ � 1 �
1
-
6
1
-
6
Komposisi Transformasi| 11
( A &) = ( T oT1 ) ( A) �: � �6 � �= � -2 � � -1 �
1� 6 �
-
� �
6� 1 �
-
1� x �
� �
6� y �
6� x � -1 �: � � � = � �� � �� 6 1� y � -2 � � � � - x � �: � � = � �� � y � -2 � � � Maka $ x 0 -: , y 0 -2 adi, koordinat titik A+-:,2
. Tentukanlah Persamaan bayangan lingkaran x + y
=
4 bila dicerminkan
terhadap garis x 0 dan dilanjutkan dengan translasi +-3,4 5 a(ab $ -1 6� x - h � � h � )ngat, matriks refleksi terhadap garis x 0 h $ �
�6 �
� �
+ � �
1� 6 � y � �
'ayangannya adalah +2h-x, y -1 6� x - � � � � + Maka, Matriks refleksi terhadap garis x = $ � � � �� 6 �6 1 � � y � � #an bayangannya adalah x & � � a � �k l � � �x �
� �= � �+ � � �y � y & b m n� � � �� � �� -3 � � -1 x & � � 6� � � �x - � �� = +� + � �� � � � � � �� y & � �4 � � 6 � �6 1 � � y � �� -3 � � x & � � 4- x � = + � � � �� y & � �4 � � y � x & � � 1- x � � = � � �+ � y & � � 4 y� � x & = 1 - x � x = 1 - x & y & = 4 + y � y = -4 + y &
adi persamaan lingkarannya adalah $
Komposisi Transformasi| 12
x
+
y
( 1 - x &) -
=
4
+
( -4 + y & )
=
4
x &+ x & + 12 - : y &+ y &
=
4
x & + y & - x &- : y &+ 1 + 12 - 4 = 6 x & + y & - x &- : y &+ 13 = 6
� x + y - x - : y + 13 = 6 3. Tentukan bayangan kur>a y = 3x - 9 x jika dirotasi dengan pusat 8+6,6
sejauh 96o dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat 8+6,6 dan factor skala 3 5 a(ab $ 6 � 7otasi pusat +6,6 sebesar 96 o $ � 1 �
1
-
6
3 6 � #ilatasi dengan pusat 8+6,6 skala 3 $ � 6 3 � 3 6� 6 -1� x & � � � � �x = � &� � � � � � 6 3� 1 6� y � � � � �y 6 x & � � � = � �� 3 y & � � �
3� �x �
-
� ��
6 � �y �
x & � � -3 y � � = � �� � y & � �3x � �
�1 � - x & y � � 3 � � � � �= � 1 x � � � y & � � � �3 � adi bayangan dari kur>a y = 3x - 9 x adalah $ y = 3x - 9 x
1 � �1 � � - x & = 3 -9 � y &� � y &� 3 �3 � �3 � 1
x & = -3 y &+ 3 y & x & = 3 y & - 3 y &
� x = 3 y - 3 y
Komposisi Transformasi| 13
4. #iketahui kur>a y = x
+
3 x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu x
dilanjutkan dengan dilatasi pusat 8 dan faktor skala /. Tentukanlah bayangan kur>a tersebut 5 a(ab $ 1 � Matriks refleksi terhadap sumbu x $ � 6 �
6 1
-
/ 6 � #ilatasi dengan pusat 8+6,6 skala / $ � 6 / � x & � � k 6� � �p q � �x = � �� � � � � y & � � 6 k� � �r s � �y x & � � / 6� 1 � � = � �� � � y & � � 6 /� 6 � � x & � � / � = � �� y & � � 6 �
6� �x
� �
1� �y
-
6 � �x �
� ��
/� �y �
-
x & � �/x � � � �= � � y & � � -/ y � �
�1 � x & � x � �/ � = � �� � y � � 1 � � - y & � � �/ � 'ayangan kur>a $ y = x
+
3 x + 3 adalah $
y = x + 3x + 3
� 1 � �1 � �1 � - y & = +3 � � � x & �+ 3 � x & � � / � �/ � �/ � -
1 /
y & =
1 /
x & +
3 /
x &+ 3
/ y & = x & + 1/ x &+
-
x & + 1/ x &+ / y &+ = 6
� x + 1/ x + / y + = 6 adi bayangan kur>a y = x
+
3 x + 3 adalah x + 1/x + / y + = 6
/. Tentukan bayangan titik '+4, jika dirotasi sejauh 16 o dilanjutkan rotasi sejauh /6o terhadap pusat +6,6 5 a(ab $ 7 0 ekui>alen dengan rotasi 0
Komposisi Transformasi| 14
0
R[ O ,26 �]
x & � � cos 26 - sin 26 � � �x = � �� � � y & � � sin 26 cos 26 � � �y 1 �1 � 3� � x & � 4 � �� =� � �� =� � y & � �1 1 � � �� � 3 � � � x & � � - 3 � � � � �= � � y & 1+ 3 � � �� � 1 �1 3 � 1 0� 1 1 � � 3 � 1 0 'ayangan titik P +2,-: adalah P 1 � 3 x &� � � � �= � y &� � 1 � � =
� 4 � 3 �
1 � �2 � �� 1 -: � 3� � -
+
3 3
-
4 3
adi P"
". Ta#e$ Ma%am-Ma%am Transformasi &an Matri'sn(a N
Transform
o
asi
1
Translasi
�a � b �
7efleksi terhadap
Notasi
Matri's
�a P ( x, y ) ���� P % ( x + a, y + b � �b a �� T 1 =�� b ��
P ( x, y ) �� � P % ( x, - y )
1 � � 6 �
6 -
1
Komposisi Transformasi| 15
sumbu x 3
7efleksi
P ( x, y ) �� � P % ( - x, y )
6 -1 � �6 1 �
P ( x, y ) �� � P % ( - x, - y )
-1 � � �6
terhadap sumbu y 4
7efleksi terhadap titik
6 -
1
pusat
+6,6 /
7efleksi
-1 P ( x, y ) �� � P %( a - x, b - y ) �
�6 �
terhadap titik
6� x - a � � a �
� �
�+ �
1� y - b � � b �
-
pusat
+a,b 2
7efleksi
P ( x, y ) �� � P % ( y, x )
6 1 � � 1 6 �
P ( x, y ) �� � P % ( - y, - x )
�6 � -1 �
terhadap garis y = x <
7efleksi terhadap
-
1
6
garis y = -x :
7efleksi
P ( x, y ) �� � P % ( h - x, y )
-1 6� x - h � � h � � + �6 1 � � y � � 6 � � � ��
P ( x, y ) �� � P % ( x, k - y )
1 � � 6 �
terhadap garis x = h 9
7efleksi terhadap
6� � x � �6 -
� �
+ � �
1� y - k � � k �
garis y = k 16
7otasi
P ( x, y ) �� � P %+ x %, y %-
terhadap
x % = x cos q - y sin q
titik
cos q � �sin q �
-
sin q
cos q
pusat y % = x sin q + y cosq
8+6,6
Komposisi Transformasi| 16
7+6, berla(anan arah jarum jam 11
7otasi
cos q x - a = ( x - a ) cos q - ( y - b ) sin �
terhadap
( y - b )
titik
-
�
=
( x - a) sin q + ( y - b ) c �sin q
sin q � x - a � �
� �
�+
cos q � y - b � �
pusat
8+a,b
7+6, berla(anan arah jarum jam 1
7otasi
+8, P ( x, y ) �� � P % ( - y, x )
96o 13
7otasi
7otasi
7otasi
7otasi -<6o
6
+8, P ( x, y ) �� � P % ( - x, - y )
-1 � � �6
6 -
+8, P ( x, y ) �� � P % ( y, - x )
�6 1 � 6 -1 �
+8, P ( x, y ) �� � P % ( - y, x )
6 � � 1 �
<6o 12
1
�6 1 � -1 6 �
1:6o 1/
-
+8, P ( x, y ) �� � P % ( y, - x )
-96o 14
6 � � 1 �
-
1
1
6
1< 1:
Komposisi Transformasi| 17
Komposisi Transformasi| 18
Komposisi Transformasi| 19