A.TRANSFORMASI A.TRANSFORMASI LINEAR
Kita semua telah mengenal bahwa untuk membandingkan dua himpunan, kita dapat menggunakan apa yang kita sebut dengan fungsi/pemetaan/transformasi. Jika dua himpunan yang kita bandingkan bukan sekedar himpunan tetapi mempunyai struktur khusus, seperti misalnya ruang vektor, maka sangat wajar jika kita menginginkan bahwa alat pembanding tersebut mengawetkan operasi di kedua ruang vektor. vektor. Pemetaan atau transformasi yang seperti ini kita namakan transformasi linear. Formalnya transformasi linear didefinisikan sbb. :
Definisi :
isalkan isalkan ! dan dan " suatu ruang ruang vektor vektor atas bilanga bilangan n real. # : !
" pemetaan pemetaan.. # dikatakan dikatakan
pemetaan linear atau transformasi linear jika untuk setiap u,v ! dan $
%
berlaku :
# & u'v ( ) #&u( ' #&v( # &$u (
) $ #&u(
Khusus untuk ! ) ", pemetaan linear # : !
.............................&*( ! disebut operator linear.
Catatan :
Perlu kita garis bawahi bahwa operasi pada bagian kiri persamaan &*( merupakan operasi di ruang vektor !, sedangkan operasi pada bagian kanan persamaan &*( merupakan oper operasi asi di ". Jadi Jadi peme pemeta taan an line linear ar adal adalah ah peme pemeta taan an yang yang meng mengaw awet etka kan n opera operasi si di daerahdomain menjadi operasi di daerah kodomain. Contoh 1 :
Periksalah apakah F : % +
% merupakan pemetaan linear jika diketahui
F -&,y( ) & , 'y, 'y, 0y ( Jawab : 1mbil sebarang u, v
+
%
dan 2 %, maka :
u ) & *,y* ( sehingga F&u( ) & *, *'y*, *0y* ( v ) & +,y+ ( sehingga F&u( ) & +, +'y+, +0y+ ( F &u'v( ) F & *'+, y*'y+ ( ) & *'+, *'+'y*'y+, *'+0y*0y+ ( ) & *, *'y*, *0y* ( ' & +, +'y+, +0y+ ( ) F&u( ' F&v(
F &2u(
) F &2* ' 2y*( ) & 2*, 2*'2y*, 2*02y* ( ) 2 & *, *'y*, *0y* ( ) 2 F&u(
Karena syarat0syarat pemetaan linear dipenuhi, maka F pemetaan linear. Contoh 2 :
#njukkan bahwa # : ++&%( #
% yang didefinisikan sebagai
)
bukan pemetaan linear 3 Jawab : 1kan ditunjukkan bahwa ada 1, 4
++&%(
sedemikian hingga # &1'4( 5 #&1( ' #&4(
isalkan diambil : 1)
dan 4 )
aka #&1( ) 6 dan #&4( ) +7 8elanjutnya # &1'4( ) #
) 96 5 #&1( ' #&4(
Jadi # bukan pemetaan linear. Jika # : !
" suatu pemetaan linear, maka untuk sebarang vektor u*, u+
!
dan
sebarang skalar *, + %, berlaku : # & *u* ' +u+ ( ) # &*u* ( ' # &+u+ ( ) * #&u*( ' + #&u+( 8eara umum jika u *, u+, ..., u n adalah vektor0vektor di ! dan *, +, ..., n skalar0skalar, maka berlaku : # & *u* ' +u+ ' ... ' nvn ( ) * #&u*( ' + #&u+( ' ... ' n #&un( 4eberapa sifat lain yang dimiliki oleh suatu pemetaan linear diperlihatkan dalam teorema berikut ini: Teorema :
Jika # : "
; suatu pemetaan linear, maka :
*. #&7( ) 7 +. #&0v( ) 0 #&v( untuk semua v " . #&u0v( ) #&u( < #&v( untuk semua v
"
4ukti : 1mbil sebarang u,v ", maka : *. #&7( ) # &7.v( ) 7. #&v( ) 7 +. #&0v( ) # &0*.v( ) 0* #&v( ) 0#&v( . #&u0v( ) # & u ' &0v( ( ) #&u( ' #&0v( ) #&u( ' &0#&v(( ) #&u( < #&v( =ontoh berikut menunjukkan bagaimana menari aturan pengaitan dalam pemetaan linear. Jika diketahui semua bayangan vektor0vektor basis untuk ruang vektor domainnya. Contoh 3 :
>iketahui 8 ) ? v *, v+, v @ adalah basis untuk % dengan v* ) &*,*,*( , v+ ) &*,*,7 ( , v ) &*,7,7(. # : %
% + adalah pemetaan linear yang didefinisikan sebagai #&v *( ) &*,7( ,
#&v+( ) &+,0*(, #&v( ) &9,(. =arilah # &,y,A( dan gunakan hasilnya untuk menghitung # &+,0,6( 3 Jawab : 1mbil sebarang &,y,A(
% .
Karena 8 basis untuk % , maka &,y,A(
sebagai kombinasi linear dari 8 sehingga diperoleh : &,y,A( ) *&*,*,*( ' +&*,*,7( ' &*,7,7( Kita dapatkan * ) A, + ) y < A, ) < y, sehingga &,y,A( ) A&*,*,*( ' &y0A(&*,*,7( ' &0y(&*,7,7( ) Av* ' &y0A(v+ ' &0y(v #&,y,A( ) A#&v *( ' &y0A(#&v+( ' &0y(#&v( ) A&*,7( ' &y0A(&+,0*( ' &0y(&9,( ) & 90+y0A, 09y'A ( #&+,0,6( ) & B, + ( Contoh 4 :
=arilah pemetaan linear # : P+
P+ untuk mana #&*( ) *', #&( ) 0+,
#&+( ) 9'+0+. Citunglah #& +0+'+(3 Jawab: 1mbil sebarang p P+ dengan p ) a7 ' a* ' a++ Karena ? *, , + @ merupakan basis standart dari P +, maka : #&p(
) # &a7 ' a* ' a++ ( ) a7 #&*( ' a* #&( ' a+ #& +(
% dapat
dinyatakan
) a7 &*'( ' a * &0+( ' a+ &9'+0+( ) & a7'a*'9a+ ( ' & a7'+a+ ( ' & 0a *0a+ (+ #&+0+'+( ) D ' D < E + Karakteristik dari pemetaan linear dari % m ke % n ditunjukkan dalam teorema berikut : Teorema :
isalkan # : % m
% n. # pemetaan linear jika dan hanya jika ada 1 nm sedemikian sehingga
#&u( ) 1&u( untuk setiap u % m. !"ti :
>iketahui # pemetaan linear 1mbil sebarang % m, dan basis standart untuk % m yaitu ? e *, e+, ..., em @, maka
)
) *e* ' +e+ ' ... ' mem
#&( ) # & *e* ' +e+ ' ... ' mem ( Karena # pemetaan linear maka diperoleh : #&(
) * #&e*( ' + #&e+( ' ... ' m #&em(
) & #&e*( #&e+( ... #&em( (
aka ditemukan 1 ) & #&e *( #&e+( ... #&e m( (. Karena #&ei(
n
% ,
maka 1 berordo nm,
Jadi ada 1nm sehingga #&( ) 1&( untuk setiap % m.
>iketahui ada matriks nm & sebut 1( sehingga #&u( ) 1&u( untuk setiap u % m.
1mbil sebarang ,y % m dan $ %, maka : #& 'y ( ) 1 & 'y ( ) 1 ' 1y ) #&( ' #&y( #&$(
) 1&$( ) $ 1&( ) $ #&(
Jadi # pemetaan linear. Catatan :
atriks 1 yang berkaitan dengan pemetaan linear # seperti yang disebutkan dalam teorema di atas disebut matri"s transformasi !nt!" #emetaan $inear T. Contoh % :
isalkan # : % 9 % pementaan linear yang didefinisikan oleh #&p,,r,s( ) & Ep'+0r's, 'r, 0p (. =arilah matriks transformasinya dan gunakan hasilnya untuk menemukan #& *,,+,0* ( 3 Jawab :
9
isalkan )
% ,
maka diperoleh :
#&( )
)
Jadi matiks transformasinya adalah : 1 )
#
)
dan
)
Jadi #&*,,+,0*( ) &*7,6,0*(
. &ERNEL DAN 'AN(&A)AN Definisi :
isalkan # : " ; suatu pemetaan linear. Kernel # atau Gnti &#( ditulis ker&#( didefinisikan sebagai : ker&#( ) ? v " ⎪ #&v( ) 7 @ 8edangkan %ange # atau Peta # ditulis %&#( didefinisikan sebagai : %&#( ) ? w ; ⎪ w ) #&v( untuk suatu v " @
Jika #1 : % m
% n adalah pemetaan linear oleh matriks transformasi 1nm, maka
ker( adalah ruang pemeahan dari 1 ) 7.
Teorema :
Jika # : "
;
suatu pemetaan linear, maka kernel # adalah sub ruang dari " dan range #
adalah sub ruang dari ;. !"ti :
#elah dibuktikan bahwa #&7( ) 7, maka 7
ker&#(
sehingga ker&#( tidak kosong.
8elanjutnya ambil sebarang v*, v+ ker&#(, maka #&v*( ) 7 dan #&v+( ) 7, sehingga #& v*'v+ ( ) #&v*( ' #&v+( ) 7 ' 7 ) 7 Jadi v*'v+ ker&#( # & $v* ( ) $ #&v*( ) $ .7 ) 7 Jadi $v* ker&#(. Jadi ker&#( sub ruang dari ". #erbukti. #elah dibuktikan bahwa #&7( ) 7, maka 7 8elanjutnya ambil sebarang , y
%&#(
%&#(
dan 2
sehingga %&#( tidak kosong.
%,
maka ) #&a( dan y ) #&b( untuk suatu a,
b ". aka: ' y ) #&a( ' #&b( ) # & a'b ( Karena a, b " maka a'b ", sehingga # & a'b ( ) ' y
%&#(.
8elanjutnya 2 ) 2 #&a( ) # & 2a ( Karena 2a ", maka # & 2a ( ) 2 %&#( Jadi %&#( sub ruang dari ;. #erbukti. Definisi :
Jika # : "
; suatu pemetaan linear, maka dimensi dari kernel # disebut n!$itas*T+ dan
dimensi dari %ange # disebut ran"*T+ Cubungan antara nulitas dan rank suatu pemetaan linear ditunjukkan dalam teorema berikut ini : Teorema :
Jika # : "
;
suatu pemetaan linear dari ruang vektor " berdimensi n ke suatu ruang
vektor ;, maka nulitas&#( ' rank&#( ) n 4ukti :
isalkan nulitas&#( ) r dan ? v *, v+, ..., v r @ basiss untuk ker&#(. aka ? v*, v+, ..., v r @ bebas linear. enurut teorema perluasan basis, maka ada n0r vektor yaitu v r'*, vr'+, ..., vn sedemikian hingga ? v *, v+, ..., vr , vr'*, vr'+, ..., vn @ merupakan basis untuk ". 1kan dibuktikan bahwa n0r vektor dalam himpunan 8 ) ? #&v r'*(, #&vr'+(, ..., #&v n( @ merupakan basis untuk %&#(. Jelas bahwa 8
%&#(
1kan ditunjukkan bahwa 8 membangun %&#(. 1mbil sebarang b
"
%&#(,
maka ada v
b ) #&v(. Karena ? v *, v+, ..., v r , vr'*, vr'+, ..., v n @ basis untk ", maka v dapat dinyatakan
sebagai : v ) *v* ' +v+ ' ... ' r vr ' r'*vr'* ' ... ' nvn Karena v*, v+, ..., vr ker&#( maka #&v*( ) 7, #&v+( ) 7, ..., #&v r ( ) 7. 8ehingga kita peroleh : b ) #&v( ) r'* #&vr'*( ' r'+ #&vr'+( ' ... ' n #&vn( Jadi 8 membangun %&#( 8elanjutnya akan ditunjukkan 8 bebas linear. Pandang persamaan berikut : r'* #&vr'*( ' r'+ #&vr'+( ' ... ' n #&vn( ) 7 ................... &*( Karena # pemetaan linear maka &*( dapat ditulis : # &r'* vr'* ' r'+ vr'+ ' ... ' n vn ( ) 7 Cal ini menunjukkan bahwa r'* vr'* ' r'+ vr'+ ' ... ' n vn ker&#(. Karena ? v*, v+, ..., v r @ basis untuk ker&#(, maka r'* vr'* ' r'+ vr'+ ' ... ' n vn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v *, v+, ..., vr sbb. : r'* vr'* ' r'+ vr'+ ' ... ' n vn ) *v* ' +v+ ' ... ' r vr untuk suatu *, +, ..., r %. aka diperoleh : *v* ' +v+ ' ... ' r vr 0 r'* vr'* 0 r'+ vr'+ 0 ... 0 n vn ) 7 Karena ? v*, v+, ..., vr , vr'*, vr'+, ..., vn @ bebas kinear, maka * ) + ) ... ) n ) 7. 8eara khusus ditemukan r'* ) r'+ ) ... ) n ) 7, sehingga 8 bebas linear. Jadi 8 basis untuk %&#( dengan rank&#( ) n0r. 8ehingga ditemukan : Hulitas&#( ' %ank&#( ) r ' &n0r( ) n. #erbukti. Contoh :
>iketahui # : % % 9 adalah pemetaan linear dengan matriks transformasi
1)
.
#entukan : *. Ker&#(, basis untuk ker&#( dan nulitas&#( 3 +. %&#(, basis untuk %&#( dan rank&#( 3 Jawab :
*. isalkan ker&#( dengan ) 1 ) 7
) 7
>engan I4 diperoleh penyelesaian sbb. : * ) 7, + ) t, ) 7 dengan t %. aka :
Ker&#( )
Karena & 7,*,7 ( membangun dan bebas linear maka basis untuk ker&#( adalah ? & 7,*,7 ( @. 8ehingga nulitas&#( ) * +. >engan melakukan perkalian langsung antara matriks 1 dengan vektor diperoleh :
%&#( )
!ntuk menari basis untuk %&#( sama dengan menari basis untk ruang kolom dari matriks 1. Jadi dengan I4 diperoleh :
aka basis untuk %&#( adalah & *,*,+,7 (, & 0*,*,+,* (
8ehingga rank&#( ) +
