TUGAS KELOMPOK
MATEMATIKA DISKRIT BAB 5 GRAF PLANAR
Dewi Apriliana
0401513046
Elisae! "i#a$a Pri%an&ini
040151304'
An&%$ Tia Sap(!ra
0401513053
PR)GRAM PAS*ASAR+ANA PR)GRAM ST,DI PENDIDIKAN MATEMATIKA ,NI-ERSITAS NEGERI SEMARANG .014
Ba 5 Gra/ Planar 51Gra/ PLanar &an Gra/ Bi&an
Graf 'idang adalah graf (ang digambar#an pada bidang datar )di #!rta$ papan t"li$ dll* !d!mi#ian r"pa !hingga !tiap paang ii b!rt!m" han(a pada imp"l a#hirn(a )%i#a m!r!#a b!rt!m" ama !#ali*. Graf Planar adalah graf (ang iomorfi# d!ngan graf bidang$ (ait" dapat digambar #!mbali !bagai graf bidang.
Contoh Graf Planar
Gambar 5.1: Lima graf planar Pada gambar di ata !m"a m!r"pa#an Graf Planar$ t!tapi graf bidang$ #ar!na !dang#an
G4
G1
G1
dapat di gambar#an #!mbali m!n%adi
dapat di gambar#an #!mbali m!n%adi
G5
dan
G2
G4
dan
Tida#
G3
.
Tida# !m"a graf adalah Planar.Unt"# m!lihat ini$ p!rl" dibi&ara#an t!ntang t!or!ma "tama dalam mat!mati#a. S!b"ah #"r+a ,ordan pada bidang adalah #"r+a #ontin" (ang tida# m!motong dirin(a !ndiri d!ngan aal dan a#hirn(a b!rt!m".
S!bagai &ontoh$ pada Gambar 5.- #"r+a m!motong dirin(a !ndiri$
C 2
c1
dan
b"#an #"r+a ,ordan #ar!na
b"#anlah #"r+a ,ordan #ar!na aal dan t!rminaln(a tida#
t!pat$ (ait" d"a titi# a#hir tida# b!rt!m"$
Gambar 5.-:
C 1
c2
C 3
adalah #"r+a ,ordan.
b"#an #"r+a %ordan t!tapi
c3
#"r+a %ordan.
Gambar 5.: S!b"ah #"r+a ,ordan . ,i#a J adalah #"r+a ,ordan pada bidang ma#a bagian dari bidang (ang t!rt"t"p ol!h J di!b"t int!rior J dan dilambang#an d!ngan int J $ di#!&"ali#an "nt"# int J titi#2titi# (ang b!nar2b!nar b!rada di J . 3!mi#ian p"la bagian dari bidang (ang t!rl!ta# di l"ar J di!b"t !#t!rior J dan dilambang#an d!ngan !0t J .
T!or!ma #"r+a ,ordan m!n(ata#an bah/a %i#a J adalah #"r+a ,ordan$ %i#a x adalah titi# di int J dan y adalah titi# dalam !0t J ma#a !tiap gari )l"r" ata" m!l!ng#"ng* (ang m!ngh"b"ng#an x #! y har" b!rt!m" J pada b!b!rapa titi#$ (ait" har" m!n(!b!rang J . T!or!ma ini han(alah int"itif$ diil"trai#an dalam Gambar di ba/ah ini.
Gambar 5.
'!nt"# lain dari t!or!ma ini bah/a %i#a
x 1 , x 2
adalah d"a titi# di int J ma#a
dapat dit!m"#an gari )l"r" ata" m!l!ng#"ng* h"b"ngan
x 1
#!
x 2 C 4
!p!n"hn(a dalam int J . S!b"ah il"trai ini dib!ri#an d!ngan #"r+a
(ang t!rl!ta# Gambar 5.$
d!ngan d"a titi# digab"ng d!ngan !b"ah gari int!rnal. S!#arang dig"na#an T!or!ma K"r+a ,ordan "nt"# m!mb"#ti#an bah/a ada graf nonplanar. Te2rea 51
K 5
graf lengkap pada lima simpul, adalah nonplanar
B(!i:4ngatlah bah/a alah at" &ara (ang biaa dig"na#an m!nggambar
K 5
!p!rti gambar di ba/ah ini.
Gambar 5.5 3ia"mi#an bah/a
K 5
adalah planar dan a#an di t"n%"##an #ontradi#i d!ngan
a"mi ini. Mial G m!n%adi graf bidang (ang !"ai
v1 , v 2 , v3 , v4 , v5
Gol!h
m!mb!nt"# #"r+a ,ordan di bidang. Kar!na di int C ata" !0t C . 3ianggap bah/a
v4
v 4 v3
v4
v4
v1 v2 v3 v1
di G. K!m"dian C
tida# t!rl!ta# di C ma#a har" t!rl!ta#
adalah int C . K!m"dian )K!m"ng#inan lainn(a$
adalah dalam !0t C $ m!mili#i arg"m!n (ang ama.* ii
m!mbagi intC m!n%adi tiga /ila(ah int
C 1 , C 2 ,
dan m!n"n%"##an imp"l dari
.Kar!na G l!ng#ap$ !tiap paangan imp"l (ang b!rb!da
b!rgab"ng d!ngan !b"ah ii.Mial C adalahi#l"
bah/a
K 5
dan
C 3
adalah i#l"
t"r"t.P!rhati#an gambar di ba/ah ini.
C 1 ,
int
v 1 v 2 v 4 v1 , v 2 v 3 v 4 v 2
C 2
dan int
dan
v 4 v1 , v4 v2 C 3
v1 v3 v4 v1
dan
di mana b!rt"r"t2
Gambar 5. Titi# int
C 2
v5
$ int
(ang t!ria har" t!rl!ta# pada alah at" dari !mpat /ila(ah int
C 3
dan !0t C . ,i#a
v5 ∈
v 4 v5
K"r+a ,ordan m!mb!ritah" bah/a ii ini b!rarti bah/a ii
v3 v1
v 4 v5
!0t C #!m"dian$ #ar!na
int C $ T!or!ma
har" m!lal"iC di b!b!rapa titi#. 6am"n
v1 v2 , v2 v3
har" m!n(!b!rang alah at" dari tiga ii
dan
(ang m!mb!nt"# C . 4ni b!rt!ntangan a"mi bah/a G adalah grafbidang.
K!m"ng#inan (ang t!ria adalah bah/a
C 2
v 4∈
C 1 ,
$ int
C 3
V 3
m!r"pa#an alah at" dari int
C 1,
int
.
3ianggap bah/a S!#arang
v5
V 5 pada
∫ C
1
$ d"a #a" lainn(a (ang dip!rla#"#an ama.
C 1 =v 1 v 2 v 4 v 1
adalah di bagian l"ar C"r+! ,ordan dib!ri#an i#l"
.
( ∫ C ) ke v ( diextC )
3!ngan T!or!ma K"r+a ,ordan ii b!rgab"ng d!ngan titi# V 5 di har" m!n(!b!rang #"r+a
v 1 v 2 v 4 v1
C 1
1
3
1
dan har" m!n(!b!rangi alah at" dari tiga ii
.!#ali lagi b!rt!ntangan d!ngan a"mi bah/a G adalah bidang.#ontradi#i
a#hir ini m!n"n%"##an bah/a a"mi a/al har" alah. Ol!h #ar!na it"
K 5
tida# planar.
4ngat bah/a &ara (ang biaa dari gambar K 3.3 !p!rti (ang dit"n%"##an pada Gambar 5.7. 4ni %"ga adalah nonplanar .
Gambar 5.7 Te2rea 5.Graf bipartit lengkap K 3,3 adalah nonplanar.
5. F)RM,LA S!b"ahE,LER graf bidang G m!mbagibidang m!n%adi b!b!rapa /ila(ah (ang maing 2 maing di!b"t 8m"#a8)fa&!* G. L!bih t!patn(a$ %i#a x adalah titi# pada bidang (ang tida# diG$ (ait" b"#an imp"l dari G ata" titi# di b!b!rapa iiG$ ma#a did!finii#an m"#a Gm!ngand"ng x (ang m!r"pa#an himp"nan !m"a titi# pada bidang (ang dapat dih"b"ng#an dari x m!n%adi gari )l"r" ata" m!l!ng#"ng* (ang tida# m!n(!b!rang ii G ata" m!lal"i imp"l dari G.
Contoh$ "nt"# titi# x di graph G1 dari Gambar 5.9$ m"#a (ang m!ngand"ng x ditampil#an !bagai /ila(ah b!rtiti#. 3alam &ontoh ini %!la m"#a G1 m!ngand"ng titi# y adalah m"#a (ang ama !p!rti (ang m!ngand"ng x. al ini dibatai ol!h i#l" v2 v4 v 3 v6 v5 v4 . M"#a G m!ngand"ng titi# z tida# dibatai ol!h i#l" apap"n. al 1
ini di!b"t m"#a !#t!rior G1
Gambar 5.9: S!b"ah graf bidang d!ngan !mpat m"#a S!tiap graf bidang m!mili#i t!pat at" m"#a !#t!rior. S!tiap m"#a (ang lain dibatai ol!h %alan t!rt"t"p dalam graf dan di!b"t m"#a int!rior. S!bagai &ontoh lain$ pada Gambar 5.1; m!mili#i graf G2 d!ngan !mbilan m"#a f 1 , … , f 9 f 6 .3iini adalah m"#a !#t!rior.
Gambar 5.1;: S!b"ah graf bidang d!ngan !mbilan m"#a ,"mlah m"#a graf bidangG dilambang#an d!ngan
f { G }
ata" han(a d!ngan f .
3!ngan d!mi#ian$ "nt"# di ata$ f (G1 ) < $ f (G2 ) < 9. A#ibat !lan%"tn(a$ dib!ri#an r"m" !d!rhana (ang m!n"n%"##an h"b"ngan antara %"mlah imp"l$ ii$ dan m"#a dalam graf bidang t!rh"b"ng.
Te2rea 53 F2r(la E(ler7 Misalkan G graf bidang terhubung, dan misalkan n,e, dan f masing-masing menunjukkan jumlah simpul, sisi dan muka G. Kemudian
n-e + f = 2. Bukti .
Bukti Pertama . 3alam b"#ti ini m!ngg"na#an ind"#i pada f $ %"mlah m"#a pada G.,i#a f = 1ma#a G han(a m!mili#i at" m"#a$ m"#a !#t!rior. ,i#a G m!ngand"ng b!b!rapa C i#l" #!m"dian di /ila(ah (ang dibatai ol!h bidang C $ ada !tida#n(a at" m"#a dibatai dari G, m"ng#in #ar!na G han(a m!mili#i m"#a !#t!rior$ (ang ta# t!rbata. ,adi G tida# m!mili#i i#l".Ol!h #ar!na it"$ #ar!na G t!rh"b"ng$ it" adalah poon. K!m"dian$ d!nganT!or!ma -.$ %"mlah e ii G adalah n 2 1. Kar!nan(a n-e + f = n-)n-l* + l = dan ini m!mb"#ti#an t!or!ma dalam #a" #!ti#a f = 1. S!#arang anggaplah bah/a f = 1 dan t!or!ma t!r!b"t b!nar "nt"# !m"a grafbidang t!rh"b"ng d!ngan #"rang dari f m"#a. Kar!na f = 1$G b"#anlah pohon $d!ngan T!or!ma -.>$G m!mili#i k ii (ang tida# %!mbatan. K!m"dian "bgraf G - k maih t!rh"b"ng dan #ar!na !tiap "bgraf dari graf bidang %!la grafbidang$ G - k %"ga grafbidang. S!lain it"$ #ar!na k ii har" m!n%adi bagian dari i#l" )lihat T!or!ma -.7*$ m!miah#an d"a m"#a G dari (ang lain dan !lan%"tn(a di G - k d"a m"#a b!rgab"ng "nt"# m!mb!nt"# at" m"#aG - k . 4ni diil"trai#an pada Gambar 5.11.
Gambar 5.11.3"a m"#a b!rgab"ng #!ti#a "%"ng i#l" dihap". 3!ngan d!mi#ian$ p!mialan %"mlah
imp"l$
ii
dan
n ( G− k ) , e ( G − k ) =e −1 dan
n ( G−k ) , e (G −k ) dan
m"#a
maing2maing
f ( G −k ) m!n"n%"##an
dari
G− k $
dimili#i
f ( G− k )= f −1 . S!lain it"$ d!ngan a"mi ind"#i$
f − #ar!na G k m!mili#i #"rang dari m"#a$ dimili#i
n ( G−k ) −e ( G −k ) + f ( G −k ) = 2 dan %"ga n − ( e −1 )+ ( f −1 )=2 (ang m!mb!ri#an
n −e + f = 2 , !p!rti (ang
dip!rl"#an. Ol!h #ar!na it"$ d!ngan ind"#i$ a#ibatn(a adalah b!nar "nt"# !m"a grafbidang t!rh"b"ng.
Bukti Ke!ua. Kali inidig"na#an ind"#i pada %"mlah e dari ii G. ,i#a e = " ma#a G har" m!mili#i han(a at" imp"l $ (ait" n < 1 dan at" m"#a$ m"#a !#t!rior$ (ait" f =1. d!mi#ian
n −e + f =1 −0 + 1= 2 dan !hingga hailn(a b!nar "nt"# e = ". M!#ip"n tida# p!rl" "nt"# m!la#"#an hal ini$ !#arang dilihat #a" #!ti#a e = 1. K!m"dian %"mlah imp"l dari G adalah 1 ata" -$ #!m"ng#inan p!rtama t!r%adi #!ti#a ii adalah #oop. K!m"ng#inan #!d"a m!nimb"l#an d"a m"#a dan at" m"#a maing2maing$ !p!rti (ang dit"n%"##an pada Gambar 5.1-.
Gambar 5.1-: Graf bidang t!rh"b"ng d!ngan at" ii S!hingga$
n − e + f =
{
1−1 + 2, dalam kasusloop 2− 1+ 1, dalam kasus bukanloop
}=
2,
!p!rti (ang dip!r(arat#an
S!#arang dianggap bah/a hailn(a adalah b!nar "nt"# !tiap graf G bidang t!rh"b"ng d!ngan e-1.Sii )"nt"# ! ≥ 1*. Mial ditambah#an at" k ii bar" "nt"# G "nt"# m!mb!nt"# "p!rgraph t!rh"b"ng dari G (ang dilambang#an d!ngan G + k . Ada tiga &ara "nt"# m!la#"#an hal ini: )4* k adalah loop$ dalam hal ini t!lah di&ipta#an m"#a bar" )dibatai ol!h loop*$nam"n %"mlah imp"l t!tap tida# b!r"bah$ ata" )44* k t!rh"b"ng d!ngan d"a imp"l (ang b!rb!da dari G$ dalam hal ini alah at" m"#a G dibagi m!n%adi d"a$ !hingga !#ali lagi %"mlah m"#a t!lah m!ning#at !b!ar 1$ t!tapi %"mlah imp"l t!tap tida# b!r"bah$ ata" )444* k adalah #!%adian d!ngan han(a at" imp"ldari G di mana #a" lain imp"l har" ditambah#an$ m!ning#at#an %"mlah imp"l d!ngan at"$ t!tapi m!n(ia#an %"mlah m"#a tida# b!r"bah. S!#arang mial#an
'
'
'
n , e dan
f m!n"n%"##an %"mlah imp"l$ ii dan m"#a di
G dan n, e !an f m!n"n%"##an %"mlah imp"l$ ii dan m"#a diG + k. K!m"dian dalam #a" )i*$ n −e + f = n − ( e + 1 ) + ( f + 1 ) =n − e + f , '
'
'
'
'
'
dalam #a" )ii*$ n −e + f = n − ( e + 1 ) + ( f + 1 ) =n − e + f , '
'
'
'
'
'
n dalam #a" )iii*$ n − e + f =(¿¿ ' + 1 )−( e + 1 ) + f =n − e + f , '
'
'
'
'
¿
' ' ' − + = 3an d!ngan a"mi ind"#i$ n − e + f = 2 ,adi$ dalam !tiap #a"$ n e f 2 .
S!#arang !tiap graf bidang t!rh"b"ng d!ngan eii adalah b!nt"# G + k $ "nt"# b!b!rapa −1 ii dan k ii bar".Ol!h #ar!na it"$ d!ngan ind"#i graf bidang t!rh"b"ng G d!ngan e bah/a r"m" b!nar "nt"# !m"a graf bidang. K2nse(ensi 54 Misalkan G adalah graf bidang dengan n simpul , e sisi , f muka , dan k komponen terhubung . aa
n −e + f = k + 1 K2nse(ensi 55 Misal G 1 dan G 2 adalah 2 graf bidang yang keduanya digambarkan untuk Graf planar G yang sama.Maka f G 1 ! " fG 2 !, yaitu, G 1 dan G 2 memiliki jumlah muka yang sama. Bukti Mial n(G1 ), n(G 2 ) m!n"n%"##an %"mlah imp"l dan e(G1 ), e(G 2 ) %"mlah ii$maing 2maing dalam G1 , G 2. K!m"dian$ #ar!na G1 danG2 #!d"an(a iomorfi #! Gdimili#in(G1 ) = n(G2 ) dan e(G1 ) = e(G2 ). M!ngg"na#an ?orm"la E"l!r didapat#an
f(G1 ) = e(G1 ) - n (G1 ) + 2 = e (G2 ) - n (G2 ) + 2 = f (G2 ), T!or!ma b!ri#"tn(a m!mb!ritah"#an bah/a graf planar !d!rhana tida# dapat m!mili#i @t!rlal" ban(a#@ ii.3alam b"#ti dig"na#an d!finii b!ri#"t.
Mial$ φ
!b"ah m"#a dari graf bidang G. did!finii#an d!ra%at dari φ $
P!rhati#an bah/a d) φ * ≥ "nt"# !tiap
φ m"#a int!rior dari graf bidang
!d!rhana. Te2rea 56 Misalkan G graf planar sederhana dengan n simpul dan e sisi , dimana n ≥ e ≤ 3 n− 6 3 aa B(!i:3!ngan m!nggambar "lang G$ dia"mi#an bah/a G adalah grafbidang )(ang b!rb!da dari planar*. P!rtama2tama dimial#an G t!rh"b"ng$ ,i#a n < $ artin(a$ m!mili#i tiga imp"l$ #!m"dian$ #ar!na G!d!rhana$ G m!mili#i paling ban(a# tiga ii$ (ait"$ e ≤ 3 . 3!ngan d!mi#ian
e
≤ (3 x 3) - $ = 3n - $,
!hingga hailn(a adalah b!nar dalam #a" ini.
,adi !#arang bia dia"mi#an bah/a n . ,i#a G adalah pohon ma#a e = n - 1 dan !t!r"n(a$ #ar!na n $ didapat#an e %3n - $ . ,i#a G tida# pohon$ #ar!na t!rh"b"ng$ har" m!ngand"ng i#l". S!lan%"tn(a ada i#l" di G pada !tiap ii (ang t!rl!ta# pada bata m"#a !#t!rior G. K!m"dian$ #ar!na G adalah !d!rhana$ dimili#i ! ) φ * "nt"#
φ m"#a G.
m"#a maing2maing
b=
∑ d (φ ) φϵ Φ
di mana Φ m!n"n%"##an himp"nan !m"a m"#aG. K!m"dian$ #ar!na maing2maing m"#a m!mili#i !tida#n(a tiga ii pada batan(a$ dimili#i
b ≥ 3 f )3i mana f adalah %"mlah m"#aG*. 6am"n$ #!ti#adiimp"l#an "nt"# m!ndapat#an&$ maing2maing ii G dihit"ng !#ali ata" d"a #ali )d"a #ali #!ti#a t!r%adi !p!rti !b"ah ii m!mbtai d"a m"#a* dan !bagain(a
b ≤ 2e 3!ngan d!mi#ian 3f
3f
S!&ara #h""
≤ 2e
≤ b ≤2 e .
dan !bagain(a
−f ≥−2 e / 3 . S!#arang$ d!ngan
t!or!ma E"l!r$n = e - f B - dan !t!r"n(a
n ≥ e−
2e 3
e
+2 = + 2 3
3 n ≥ e + 6 yaitu 3 n − 6
,adi
$
S!#arang anggaplah G (ang tida# t!rh"b"ng. Mial G1 ,, ... , Gt #ompon!n (ang t!rh"b"ng dan "nt"# !tiap i, 1 i t$ mial ni !an e i M!n"n%"##an %"mlah imp"l dan maing2 Gi Gi maing ii dalam K!m"dian$ #ar!na maing2maing adalah graf planar$ dimili#i$ dari arg"m!n di ata$ bah/a t
t
n dane =∑ e dan sebaainya ∑ = =
n=
i
i
i
i
1
t
e≤
1
t
( 3 n −6 ) = 3 ∑ n − 6 t ≤ 3 n −6 ∑ = = i
i 1
i
i 1
e i ≤ 3 ni −6
"nt"# setiap i , 1 ≤ i ≤ t S!lain it".
K2nse(ensi 58 jika G adalah graf planar sederhana maka G memiliki simpul # ≤ &. dengan derajat kurang dari $, yaitu, ada sebuah # di %G! dengan d #! B(!i:,i#a G han(a m!mili#i at" imp"l$ imp"l ini har" m!mili#i d!ra%at ;. ,i#a G han(a m!mili#i d"a imp"l ma#a #!d"an(a har" m!mili#i d!ra%atpaling ban(a# 1.3!ngan d!mi#ian dapat did"ga bah/a n ' $ (ait"$ bah/a G !tida#n(a m!mili#i tiga imp"l.
S!#arang %i#a d!ra%at "nt"# !tiap imp"l dari Gadalah !tida#n(a !nam dimili#i
∑
d (v )≥ 6 n
v ∈V ( G)
6am"n$ d!ngan T!or!ma 1.1
∑ d ( v ) =2 e !
v ∈V
,adi -e n dan ! n.#ar!na 4ni tida#
m"ng#in$ m!n"r"t t!or!ma di ata$ ! n 2 . Kontradi#i ini m!n"n%"##an bah/a G har" m!mili#i !tida#n(a at" imp"ldari d!ra%at (ang #"rang dari ama d!ngan . K2nse(ensi 59 K & adalah nonplanar. B(!i 3i ini n < 5 dan
e=
5 x 4 2
=10 !hingga
3n
−6 =9 . , adi
e ≥ 3 n− 6 dan
!bagain(a$ d!ngan t!or!ma it"$ G < K 5 tida# planar. K2nse(ensi 5' K 3,3a!a#a nonp#anar. B(!i Kar!na K 3,3 adalah bipartit tida# m!ngand"ng i#l" gan%il )dari T!or!ma 1.* dan
!hingga tida# ada i#l" (ang pan%angn(a tiga. Ol!h #ar!na it"$ !tiap m"#a dari gambar bidang K 3,3$ %i#a !p!rti it" ada$ har" m!mili#i !tida#n(a !mpat ii bata. ,adi$ d!ngan m!ngg"na#an arg"m!n p!mb"#tian T!or!ma 5.$ didapat#an &' f dan #!m"dian %i#a f -e$ (ait"$ - f e < 9. al ini m!mb!ri#an f 9D-. 6am"n$ d!ngan ?orm"la E"l!r$ f = --n + e = - 2 B 9 < 5 , !b"ah #ontradi#i. 56 D,AL DARI GRAF BIDANG
*ia#kan G raf &i!an. !i!efiniikan ua# !ari G !enan raf G !i&anun e&aai &erikut.ntuk main-main f muka pa!a G ter!apat impu# yan euai f !ari G !an etiap ii e pa!a G a!a ii e yan euai !i G eperti /ika ii e ter!apat !i per&ataan !ari !ua muka f !an kemu!ian ea&unan ii!enan impu# yan euai f !an !i G. (Jika e a!a#a ii /em&atan maka !iper#akukan eo#a-o#a ter/a!i !ua ka#i pa!a &ata muka f !i mana itu ter#etak !an kemu!ian ii e yan euai a!a#a ke/a!ian #oop !enan f titik !i G)
T!rn(ata G ganda dari graf bidang G %"ga planar.3it"n%"##an m!ngapa d!mi#ian adalah dapat digambar#anG !bagai grafbidang. 3ib!ri#an gambar bidang dari G$ t!mpat#an imp"l f dariGdi dalam m"#a (ang !"ai f . ,i#a eii t!rl!ta# di p!rbataan d"a m"#a f dan pada G$ b!rgab"ng d!ngan d"a imp"l f dan ol!h ii e m!nggambar#an !hingga m!lintai ii e t!pat at" #ali dan tida# ada m!lintai ii lain dari G. )Pro!d"r ini maih m!m"ng#in#an %i#a e adalah ii %!mbatan.* dig"na#an pro!d"r ini pada Gambar 5.5. ,i#a ii eadalah loop dalam G ma#a ii han(a pada bata "m"m dari d"a m"#a$ alah at"n(a$ #ata#anlah f $ t!rl!ta# dalam /ila(ah bidang(ang di#!lilingi ol!h e d!ngan lainn(a$ #ata#anlah $ t!rl!ta# di l"ar da!rahini. M"#a f tida# m"ng#in at"2at"n(a m"#a t!rt"t"p ol!h e t!tapi$ %!la dari d!finii G$ !tiap lintaan dari imp"l $ !"ai d!ngan m"#a$ #! imp"l har" m!ngg"na#an ii e .,adi e adalah !b"ah %!mbatan di G. S!bali#n(a$ %i#a iie adalah %!mbatan di G$ b!rgab"ng d!ngan imp"l f dan $ ma#a e adalah at"2at"n(a %alan di Gdari f "nt"# f #! . 4ni b!rarti$ dari d!finii G$ bah/a eii dalam G har" m!n(!rta#an alah at" f m"#a dan dan %"gae har" loop. Unt"# m!ring#a$ eii adalah loop dalam G %i#a dan han(a %i#a e adalah !b"ah %!mbatan di G.
Gambar 5.5: S!b"ah graf bidang dan d"aln(a T!r%adin(a iiparall!l padaG m"dah di%!la#an.S!b"ah pi#iran !%!na# har" m!(a#in#an bah/a$ m!ngingat d"a m"#a f dan padaG$ ma#a ada k ii paral!l antara f dan di G %i#a dan han(a %i#a f dan m!mili#i k ii pada bata "m"m m!r!#a. M"ng#in diadari bah/a t!lah did!finii#an d"al dari grafbidang b"#an graf planar. Alaan ini adalah bah/a b!rb!dan(abidang gambar
G1 ¿
(ang ama dapat m!n(!bab#an non2iomorfi# d"al
G1
G2
dan ¿
dan
G2
.
dari graf planar G
Te2rea 516 Misalkan G menjadi graf bidang terhubung dengan n simpul, e sisi danf fakta.misalkan n', e' dan f ' menunjukkan jumlah simpul-simpul, sisi dan muka masing-masing dari G'. Kemudian n' " f, e' " e dan f' " n. B(!in$aFang p!rtama d"a p!ramaan m!ngi#"ti dari d!finii G.Fang #!tiga #!m"dian m!ngi#"ti dari ?orm"la E"l!r #ar!na #!d"a G dan G (ang t!rh"b"ng grafbidang.
S!#arang anggaplah bah/am"#a φ dari graf bidangG$ !"ai d!ngan titi# 0 dari ¿
G$ dimili#i
e1
¿
$ ...$
en
!bagai ii batan(a. K!m"dian$ d!ngan #ontr"#i dari G$
maing2maing e iim!lintai ii (ang !"ai
ei
dari G$ !p!rti (ang diil"trai#an
pada Gambar 5.5$ ii ini !m"a #!%adian d!ngan imp"l0. Ol!h #ar!na it"$
φ
m!ngand"ng 0titi#. Kar!na G adalah grafbidang$ %"ga dapat dibang"n d"al dari G$ (ang di!b"t d"al ganda G dan dilambang#an d!ngan G.3ari p!mbahaan paragraf !b!l"mn(a$ hail b!ri#"t ini m"ng#in tida# m!ng!%"t#an. Te2rea 518 Misalkan G menjadi graf bidang terhubung.Kemudian G isomorfis ke G'' bisa dilakukan dual. B(!i S!p!rti (ang t!rlihat di ata$ !tiap m"#a
φ dari d"alG m!ngand"ng !tida#n(a
at" titi# dari G$ (ait" (ang !"ai titi# 0. S!b!narn(a ini adalah at"2at"n(a titi# dari G (ang m!ngand"ng
φ #ar!na$ m!n"r"t T!or!ma 5.1$ %"mlah m"#a dari Gadalah ama
d!ngan %"mlah imp"l dari G. Ol!h #ar!na it"$ dalam p!mbang"nan d"al ganda G$ dapat m!milih titi# 0 m!n%adi titi# di G !"ai d!ngan iomorfima dib"t"h#an.
φ m"#a dariG. Pilihan ini m!mb!ri
