MAKALAH PEMODELAN SISTEM PEMODELAN MATEMATIS
(Studi Kasus Pada Lubricant Oil Division)
Disusun oleh: Dewinda Prameta Suci 16916205
MAGISTER TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA YOGYAKARTA 2017
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
Dalam sebuah perusahaan minyak multi nasional besar, terdapat proyek yang berkaitan dengan operasi Lubricating Oil Division (LOD) atau divisi minyak pelumas. LOD bertanggung jawab memproduksi sekitar 400 jenis minyak pelumas untuk keperluan otomotif dan industri. Selain itu LOD juga bertanggung jawab menyimpan produk campuran di gudang LOD untuk penjualan akhir kepada lebih dari 1000 pelanggan antara lain pelanggan grosir, pengecer, dan organisasi industri besar atau industri pemerintahan. Produksi minyak pelumas pada LOD dilakukan dalam jumlah yang bervariasi mulai dari 400 liter sampai dengan 100.000 liter tergantung dari jenis produk, volume penjualan, dan jenis pelanggan. Produk-produk tersebut dijual dalam berbagai ukuran antara lain dengan menggunakan drum sebanyak 200 liter, dan dengan kaleng sebesar 5, 1, dan ½ liter. Dari banyak produk yang dikemas dalam wadah dan ukuran tertentu, LOD memiliki 804 jenis produk yang berbeda. Untuk pelanggan yang dikategorikan sebagai pelanggan besar, produk yang dipesan diproduksi secara khusus dan langsung dikirimkan
kepada
pelanggan.
Sementara
untuk
pelanggan
yang
dikategorikan sebagai pelanggan kecil, pesanan dipenuhi dari stok yang tersimpan di gudang. Karena persediaan di gudang dijual, penambahan stok dijadwalkan ketika penjualan stok produk kepada pelanggan kecil sudah menghabiskan persediaan di gudang. Auditor internal perusahaan melaporkan kepada Vice-President Finance bahwa rata-rata perputaran persediaan (stock material turn over ) yang dicapai LOD untuk produk mereka adalah 12 kali per tahun. Pencapaian tersebut jauh di bawah dari target perusahaan yaitu 24 kali per tahun. Perputaran persediaan ( stock turnover ) sama dengan rasio penjualan atas nilai barang/produk dalam persediaan. Hal tersebut mengakibatkan peningkatan jumlah rata-rata persediaan yang juga menimbulkan biaya penyimpanan yang berlebihan.
2
Berdasarkan permasalahan di atas, perlu dilakukan analisis masalah dengan berbagai pendekatan untuk mendapatkan solusi optimal. Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan LOD adalah menggunakan pemodelan matematis. Model matematis menurut Daellenbach (1994) adalah model yang mengungkapkan secara kuantitatif hubungan antar berbagai komponen, seperti yang didefinisikan dalam sistem yang relevan untuk masalah yang diidentifikasi.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas dapat ditarik rumusan masalah sebagai berikut: “Bagaimana model matematis yang dibentuk untuk meminimalisir total biaya
operasional pada permasalahan LOD dengan tetap mempertahankan atau bahkan memperbaiki tingkat layanan pada pelanggan?”
3
BAB II PEMBAHASAN
2.1. Model Matematis
Model matematis menurut Daellenbach (1994) adalah model yang mengungkapkan secara kuantitatif hubungan antar berbagai komponen, seperti yang didefinisikan dalam sistem yang relevan untuk masalah yang diidentifikasi. Sementara menurut Ristono (2011), model matematis menyatakan hubungan kuantitatif antara berbagai komponen dalam sistem yang relevan untuk masalah yang diidentifikasi dalam tahap perumusan.
2.2. Model Matematis untuk LOD
Sebelum melakukan pemodelan matematis, perlu ditentukan beberapa terminologi pada kasus LOD yang diidentifikasi berdasarkan influence diagram pada Gambar 2.1. sebagai berikut.
Gambar 2.1. Influence diagram for LOD stock replenishment system
Beberapa terminologi tersebut antara lain: a. Variabel keputusan dari permasalahan LOD adalah ukuran dari pengisian kembali yang dijalankan atau tingkatan penggalan untuk menggolongkan pesanan pelanggan dikategorikan sebagai pelanggan besar atau kecil. Keduanya dapat mengasumsikan nilai integer manapun dari produk yang ditentukan (jumlah kontainer, misalnya drum).
4
b. Fungsi obyektif dari permasalahan LOD adalah total biaya tahunan dari kebijakan produksi/inventori untuk produk yang ditangani LOD c. Parameter dari permasalahan LOD adalah nilai produk atau biaya susunan produksi. d. Constraints atau batasan yang digunakan dalam permasalahan LOD adalah jumlah luas lantai gudang yang tersedia untuk menyimpan semua produk dibatasi sebesar 2000 m2 sehingga solusi apapun yang memerlukan luas gudang lebih dari itu tidak layak atau feasible. 2.2.1. Model Matematis LOD: Pendekatan Pertama
Untuk pendekatan pertama pada model matematis LOD hanya digunakan satu variabel keputusan yaitu ukuran pengisian persediaan. 1. Lingkaran 6 pada gambar 2.1. menunjukkan ada input 2 variabel pada sistem ini yaitu berasal dari volume permintaan tahunan yang dipenuhi dari persediaan (variabel sistem, lingkaran 5) dan ukuran pengisian
persediaan
(variabel
keputusan).
Dalam
bahasa
matematika, jumlah pengisian ulang persediaan tahunan (annual number of stock replenishment ) adalah fungsi dari permintaan
tahunan yang dipenuhi dari persediaan (annual demand met from stock ). Dapat dinotasikan sebagai berikut:
D1
: annual demand met from stock
Q
: stock replenishment size
f (D1,Q)
: annual number of stock replenishment
Fungsi dari jumlah pengisian persediaan tahunan (annual number of stock replenishment ) dapat diperoleh sebagai berikut: f (D1,Q) =
D1
2. Lingkaran 5 pada gambar 2.1. yaitu volume permintaan tahunan yang dipenuhi dari persediaan merupakan konsekuensi dari pola pesanan dari pelanggan kecil (lingkaran 2). Titik penggalan yang berubah diasumsikan sama dengan jumlah semua pesanan pelanggan kecil
5
kurang dari titik penggalan (cut off ) L. Sehingga merupakan fungsi dari L. 3. Lingkaran 12 pada gambar 2.1. adalah fungsi dari jumlah pengisian persediaan tahunan (lingkaran 6) dan biaya penyiapan produksi per batch, s: Annual set up cost for stock replenishment =
s × Q
4. Lingkaran 7 pada gambar 2.1. menunjukkan tingkat persediaan ratarata sebagai fungsi pola pesanan dari pelanggan kecil (lingkaran 2) dan ukuran penambahan persediaan. Untuk mengetahui bentuk kuantitatif dari rata-rata persediaan, data numeris kasus LOD dapat dilihat pada tabel 2.1. sebagai berikut. Tabel 2.1. Data Permintaan untuk Produk Y
Day Order (in drum)
Total order
1 10 8 5 23
2 8 8 1 17
3 0
4 6 5 2 13
0
5 4 3
6 1
7
1
7 9 8 1 18
8 6 5 11
9 10 6 6 22
10 6 3 1 10
11 1
12 5 3
1
8
Data di atas kemudian dijadikan sebagai acuan untuk dibuat dalam tabel perencanaan pengendalian persediaan sebagai berikut. Tabel 2.2.Perencanaan Pengendalian Persediaan
Day Beginning stock Plush replenishment Equals availables Less withdrawal Equals ending stock
1 60 60 23 37
2 37 37 17 20
3 20 20 0 20
4 20 20 13 7
5 7 7 7 0
6 0 60 60 1 59
7 59 59 18 41
8 41 41 11 30
9 30 30 22 8
10 8 8 10 -2
11 -2 60 58 1 57
12 57 57 8 49
Diasumsikan bahwa untuk Beginning stock ( stock awalan) sebesar 60 drum, menjadi patokan persediaan untuk periode berikutnya yaitu periode 1, begitu seterusnya setiap persediaan akhir akan menjadi
6
persediaan awal pada periode berikutnya. Contoh untuk persediaan akhir untuk periode 1 sebesar 37, maka persediaan awal untuk periode 2 sebesar 37. Kemudian ketika tingkat persediaan mencapai nol yaitu pada periode
5, maka dilakukan
pengisian
kembali (plush
replenishment ) persediaan sebanyak 60 drum. Gambaran atau pola
dari perilaku persediaan tersebut bisa digambarkan pada gambar 2.2. dan gambar 2.3. sebagai berikut.
Gambar 2.2. Perilaku Persediaan dari Waktu ke Waktu
Gambar 2.3. Perilaku Persediaan dari Waktu ke Waktu
7
Dari kedua gambar di atas dapat diketahui bahwa rata-rata tingkat persediaan (average stock level ) sama dengan ketinggian segitiga sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.
= +2 = +02 =0,5 = × =0,5 ℎ = + ℎ$ / ℎ =0,5 ℎ ℎ = × ℎ = ℎ + = × =
5. Siklus 8
6. Siklus 13
7. Siklus 11
8. Siklus 14
Dari hasil yang telah diperoleh, maka total biaya tahunan yang relevan untuk operasi LOD berdasarkan pendekatan pertama adalah sebagai berikut.
= + + ′ ℎ ℎ + =0,5+ + ℎ +
..........................................................................(1)
8
A. Penerapan Solusi T(Q)
Solusi T(Q) diterapkan ke salah satu produk dengan volume tinggi dari LOD yaitu produk Y. Data produk Y ditunjukkan pada tabel 2.3. berikut. Data pada tabel tersebut merupakan data 1266 pesanan pelanggan yang diterima lebih dari satu tahun. Titik cut off produksi khusus dari L = 12. Tabel 2.3. Frekuensi Pesanan Pelanggan untuk Produk Y
Order size
Number of orders
Cumulative number
1 2 3 4 5 6 8 9
134 356 95 186 34 112 91 15
134 490 585 771 805 917 1008 1023
10 12 15 16 20 24 36 48
56 85 12 48 23 19 5 2
1079 1164 1176 1224 1247 1259 1264 1266
Total cumulative number
4140
Tabel di atas menunjukkan hanya pesanan pelanggan ≤ 11 yang dipasok dari persediaan. Sementara pesanan pelanggan ≥ 12 adalah
permintaan yang dipenuhi dengan produksi yang dijalankan secara khusus. Secara tersirat volume permintaan tahunan yang dipenuhi dari persediaan adalah 4.140 drum. Selanjutnya perhitungan total biaya LOD dapat dilihat sesuai tabel 2.4. berikut.
9
Tabel 2.4. Lembar Kerja Model T(Q) LOD FIRST MODEL FOR STOCK CONTROL Decision variable : Stock replenishment size INPUT DATA Demand met from stock
4140 Drums/years
Product value
$320 /Drum
Production setup cost
$18 /Production run
Production handling cost
$1.1 /Drum via Storage $0.18 /Dollar invested per year
Investment holding cost Computation of T(Q) Size of replenish ment
Number of replenishment per year
Annual setup cost
Average stock level
Annual holding cost
Annual handling cost
Product value of demand
Total relevant cost
4140
1
$18
2070
$119232
$4554
$1324800
$119250
2070
2
$36
1035
$59616
$4554
$1324800
$59652
1035
4
$72
517.5
$29808
$4554
$1324800
$29880
500
8.3
$149
250
$14400
$4554
$1324800
$14549
250
16.6
$298
125
$7200
$4554
$1324800
$7498
125
33.1
$596
62.5
$3600
$4554
$1324800
$4196
60
69
$1242
30
$1728
$4554
$1324800
$2970
51
81.2
$1461
25.5
$1468.8
$4554
$1324800
$2930
50
82.8
$1490
25
$1440
$4554
$1324800
$2930
40
103.5
$1863
20
$1152
$4554
$1324800
$3015
30
138
$2484
15
$864
$4554
$1324800
$3348
20
207
$3726
10
$576
$4554
$1324800
$4302
10
414
$7452
5
$288
$4554
$1324800
$7740
5
828
$14904
2.5
$144
$4554
$1324800
$15048
Berdasarkan tabel di atas dapat dilihat bahwa nilai annual handling cost dan product value of demand adalah konstan sehingga persamaan
1 dapat disederhanakan sebagai berikut.
=0,5 +
.......................................................................(2)
10
Gambar 2.4. Grafik Biaya
Grafik di atas dihasilkan dari lembar kerja T(Q) kolom 1, 3, 5, dan 8. Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa biaya penangguhan tahunan meningkat secara linear dengan Q, sementara biaya set up tahunan menurun secara nonlinear karena Q meningkat. Grafik menunjukkan bahwa biaya minimum yang relevan terjadi ketika annual holding cost sama dengan annual set up cost . Dengan demikian dapat ditemukan persamaan sederhana untuk nilai optimal Q sebagai berikut.
0,5 = = 0,5
= ,√
Atau
............................................................................................(3)
Persamaan 3 dikenal sebagai persamaan Economic Order Quantity (EOQ). Adapun contoh perhitungan model matematis solusi T(Q)
11
apabila diketahui input data seperti pada lembar kerja pada tabel 2.4. adalah sebagai berikut. Annual setup cost
= Number of r’plenishment/year x production setup cost = 1 x $18 = $18
Average stock level
= 0,5 x size of replenishment = 0,5 x 4140 = 2070
Annual holding cost = Average stock level x Prod value x Invest holding cost = 2070 x $320 x $0,18 = $119232
Annual handlng cost
Product value of demand
Total relevant cost
= Demand met from stock x Product handling cost = 4140 x $1,10 = $4554
= Demand met from stock x Product Value = 4140 x $320 = $1324800
= Annual setup cost + Annual holding cost = $18 + $119232 = $119250
Sehingga dapat diperoleh hasil sebagai berikut
= 2414018 3200,18 =50,87 ≈51 Maka akan diperleh minimum total relevant cost amount :
=0,5513200,18 +18 (414051)=$2930 2.2.2. Model Matematis LOD: Pendekatan Kedua
Model matematis LOD pendekatan kedua dilakukan pemodelan dengan menentukan nilai optimal Q dan juga menghitung total biaya yang terkait 12
dengan kombinasi L dan Q yang sesuai. Biaya terendah dari total biaya tersebut (mencakup biaya yang dihubungkan dengan produksi khusus untuk pelanggan besar) dapat digunakan untuk mengidentifikasi nilai L dan Q yang optimal secara keseluruhan. Pada gambar 2.1. menunjukkan bahwa ada dua tambahan biaya yang terkait dengan L, yaitu biaya annual setup for special production runs pada lingkaran 10 dan biaya annual handling for big cust pada lingkaran 9.
1. Lingkaran 9
ℎ ℎ = + .
Annual handling cost for big cust = D2H2
D2 bergantung pada titik cut off L. Ini sama dengan jumlah semua order pelanggan yang ≥ L.
2. Lingkaran 10
= × . ℎ . =
Dimana N dinotasikan sebagai jumlah produksi khusus tahunan untuk pesanan Npelanggan besar. N ≥ L. N juga fungsi dari L. D 2 dan
N dapat ditentukan dengan mudah untuk berbagai produk dari tabel frekuensi untuk order pelanggan. Dengan demikian, total relevant cost
untuk T(L,Q) adalah sebagai
berikut.
ℎ = + ′ ℎ + + ,= []+ [ℎ]+ [0,5 + /]+ [ℎ] ..............................(4)
Naik turunnya biaya annual handling untuk pelanggan kecil tergantung pada titik cut off L. Berbeda dengan model EOQ sederhana, biaya ini
13
dipengaruhi oleh salah satu variabel keputusan dan menjadi bagian dari total biaya relevan. Tabel 2.5. Lembar Kerja Model T(L,Q) LOD SECOND MODEL FOR STOCK CONTROL Decision variables: Stock replenishment size Special production run cutoff size INPUT DATA 7132 drums/year Total demand $320 /drum Product value $18,00 /production run Production setup cost $1,10 /drum via storage Product handling cost $0,45 /drum by special production run $0,18 /dollar invested per year Investment holding cost COMPUTATION OF T(L,Q) (base period: one year) Demand Number Setup Corresp Demand by of Cost Total Cutoff Corresp. Relevant from Special special special handling point EOQ EOQ stock prod prod. prod cost Cost runs Runs runs 1 0 7132 1266 $22788 $3209 0,0 $0 2 154 6998 1132 $20376 $3297 9,2 $527 3 846 6286 776 $13968 $3759 23,0 $1324 4 1131 6001 681 $12258 $3945 26,6 $1531 5 1875 5257 495 $8910 $4428 34,2 $1972 6 2045 5087 461 $8298 $4539 35,8 $2059 8 2717 4415 349 $6282 $4975 41,2 $2374 9 3445 3687 258 $4644 $5449 46,4 $2673 10 3580 3552 243 $4374 $5536 47,3 $2725 12 4140 2992 187 $3366 $5900 50,9 $2930 15 5160 1972 102 $1836 $6563 56,8 $3271 16 5340 1792 90 $1620 $6680 57,8 $3328 20 6108 1024 42 $756 $7180 61,8 $3559 24 6568 564 19 $342 $7479 64,1 $3690 36 6856 276 7 $126 $7666 65,5 $3770 48 7036 96 2 $36 $7783 66,3 $3820 49 7132 0 0 $0 $7645 66,8 $3846
14
CUSTOMER DEMAND DATA
Total relevant cost
$25997 $24200 $19052 $17734 $15310 $14896 $13631 $12765 $12635 $12196 $11670 $11628 $11494 $11511 $11562 $11638 $11691
Cust order size
0 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 20 24 36 48 49
Number
Cumula tive Number
0 134 356 95 185 34 112 91 15 56 85 12 48 23 12 5 2 0
0 134 490 585 771 805 917 1008 1023 1079 1164 1176 1224 1247 1259 1264 1266 1266
Gambar 2.5. Grafik Biaya Total Model T(L,Q)
A. Penerapan Solusi T(L,Q)
Tabel 2.5. menunjukkan bahwa nilai produk tahunan tetap konstan untuk semua kombinasi L dan T sehingga nilai produk tahunan tersebut bukan biaya yang relevan untuk model yang lebih lengkap ini. Kebijakan optimal yang diambil adalah memenuhi semua order pelanggan dengan cutoff L ≥ 20 dengan menjadwalkan produksi secara khusus, memasok order pelanggan dengan cutoff < 20 dan menjadwalkan pengisian persediaan Q =60. Hal ini terjadi setiap hari ketiga. Volume permintaan yang dipasok dari persediaan adalah 6108 drum sedangkan sisanya 1024 dipasok oleh produk khusus. Gambar 2.5. menunjukkan total biaya yang relevan sebagai fungsi dari L. Penyesuaian kecil terhadap nilai optimal L dan Q akan menyebabkan kenaikan biaya yang diabaikan di atas total biaya minimum yang relevan. Contoh perhitungan cutoff L=12 dan Q=80 adalah sebagai berikut
15
=12,=80 =18187+0,452992+0,5803200,18+ 184140 80 +1,104140 =$12502
16
BAB III KESIMPULAN
Dari pembahasan pemodelan matematis dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut. a. Dari hasil perhitungan model matematis LOD 1, nilai EOQ yang diperoleh adalah 51. Ukuran tersebut tidak tepat karena drum disimpan dalam pallet yang masing-masing pallet berisi 4 drum sehingga penambahan harus berkelipatan 4 dari hasil yang didapatkan yaitu 52. b. Model matematis LOD 1 tidak menangkap semua aspek yang ada dalam sistem LOD sehingga model ini dikembangkan dengan menggunakan dua variabel keputusan yaitu model T(L,Q) c. Model matematis LOD 2 memberikan keseimbangan terbaik antara kesederhanaan dengan kelengkapan.
17
DAFTAR PUSTAKA
Daellenbach, Hans G., 1994. Systems and Decision Making a Management Science Approach. New York: John Wiley & Sons Ltd.
Ristono, Agus. 2011. Pemodelan Sistem. Yogyakarta: Graha Ilmu.
18
