Model Matematik Sistem Dinamik
Dalam Dalam penela penelaaha ahan n siste sistem m kontrol kontrol dihara diharapka pkan n pembaca pembaca dapat dapat membua membuatt model model sistem dinamika dan menganalisis karakteristik dinamika. Model matematika dan sistem dinamika didefinisikan sebagai sejumlah persamaan yang menggambarkan dinamika dan sistem secara tepat, atau paling tidak, cukup baik. Perhatikan bahwa model matematika tidak unik untuk sistem tertentu yang diberikan. Sebuah sistem dapat digambarkan dalam ban banya yak k cara cara yang yang berb berbed edaa dan dan kare karena na itu itu mung mungki kin n memp mempun unya yaii bany banyak ak mode modell matematika, tergantung pada perspektif seseorang. Dinami Dinamika ka banyak banyak sistem sistem,, apakah apakah sistem sistem terseb tersebut ut mekani mekanika, ka, listr listrik, ik, panas, panas, ekono ekonomi mi,, biol biolog ogi, i, dan dan sete seteru rusn snya ya,, mung mungki kin n dije dijela lask skan an dalam dalam bent bentuk uk persa persama maan an diferensial. Persamaan diferensial demikian dapat diperoleh dengan menggunakan hukum fisika fisika yang yang mengen mengendal dalika ikan n sistem sistem terten tertentu, tu, misalr misalriya iya,, hukum hukum Newton Newton untuk untuk sistem sistem mekanika dan hukum Kirchoff untuk sistem listrik. Tanggapan sistem dinamika terhadap masukan (atau fungsi gaya) dapat diperoleh jika persamaan yang terlibat diselesaikan. Langka Langkah h pertam pertamaa dalam dalam aniali anialisis sis sistem sistem dinami dinamik k adalah adalah menuru menurunka nkan n model model matematikanya. Harus selalu diingat bahwa menurunkan model matematika yang layak adalah bagian yang paling penting dalam analisis secara keseluruhan. Model Model matemat matematika ika mungki mungkin n mengam mengambil bil banyak banyak bentuk bentuk yang yang berbed berbeda-b a-beda eda.. Tergantung dari sistem tertentu, satu model matematika mungkin lebih cocok daripada model model mate matema mati tika ka yang yang lain lain.. Misa Misaln lnya ya,, pada pada masa masala lah h kont kontro roll optim optimum um,, lebi lebih h menguntungkan menggunakan gambaran tempat kedudukan. Di lain pihak. untuk analisis tanggap tanggapan an transi transien en atau atau tangga tanggapan pan frekuen frekuensi si dari dari sistem sistem masukan masukan tungga tunggal, l, keluar keluaran an tunggal, linear, waktu tidak berubah, gambaran fungsi alih lebih baik dan mudah dari yang lain. Sekali model matematika dari sistem diperoleh, berbagai macam alat bantu analisis dan komputer dapat digunakan untuk tujuan analisis sintesis. Selanjutnya akan dibahas cara mendapatkan model matematik dari sistem fisik. Istilah model matematik diartikan sebagai hubungan matematik yang menghubungkan keluaran sistem ke masukannya. Mungkin salah satu model yang paling sederhana dari sistem sistem fisik fisik adalah adalah hukum hukum Ohm (lebih (lebih tepat tepat dikata dikatakan kan sebagal sebagal model Ohm) Ohm) yang yang diterapkan pada fenomena resistansi elektrik. Model ini adalah:
v(t) = i(t)R
(1)
Pada persamaan ini, v(t) adalah tegangan dalam besaran volt, i(t) adalah arus dalam besaran ampere, dan R adalah resistensi dalam besaran Ohm. Jika resistansi dihubungkan dengan sumber tegangan yang diketahui, tegangan akan menjadi masukan sistem dan arus adalah keluaran sistem (atau tanggapan). Di dalam kamus IEEE (1) model matematik dari sebuah sistem didefinisikan sebagai kumpulan persamaan yang digunakan untuk mewakili sistem fisik. Haruslah dimengerti bahwa tidak ada model matematik yamg pasti dari suatu sistem fisik . Dapat ditingkatkan ketepatan suatu model dengan cara meningkatkan kerumitan persamaan persamaan, tetapi tidak pernah dapat dicapai kepastian. Kita umumnya berusaha keras untuk mengembangkan sebuah model supaya dapat menyelesaikan persoalan tanpa membuat model yang terlalu rumit. Telah dinyatakan hahwa pembahasan model sistemsistem fisik melibatkan antara 80% -90% dari usaha yang diperlukan di dalam analisis dan perancangan sistem kendali/kontrol. Dalam menganalisis dan merancang, kita selalu bekerja dengan model matematik dari sistem fisik yang terlibat. Model dapat atau tidak dapat mewakili dengan tepat karaktenistik sistem fisik yang sebenarnya. Model dapat dengan tepat mewakili sistem fisik untuk masukan spesifik yang pasti, tetapi dapat menjadi kurang tepat untuk masukan spesitik yang berbeda. Hal ini digambarkan dengan sebuah contoh. Contoh. Suatu resistor karbon biasa l-Ώ,2-W. Karena itu dianggap sebagai sistem fisik. Jika
diberikan tegangan konstan (dc) scbesar 1 V ke dalam resistor, Model
matematik memperlihatkan bahwa arus 1 A akan mengalir. Jika secara fisik kita menghubungkan resistor melalui catu daya dc 1-V. arus 1 A akan mengalir melalui resistor bergantung dan resistansi murni dari resistor, karakteristik catu daya dan lainnya. Jika daya yang dibuang di dalam resistansi adalah: p (t ) =
v 2 (t ) R
(2)
maka ada daya sebesar 1 W yang dibuang di dalam resistor. Sekarang anggaplah bahwa kita memiliki percobaan yang sama dengan sumber tegangan 10 V. Model matematik akan menyatakan bahwa arus 10 A akan mengalir melalui resistansi,
dan daya sebesar 100 W akan dibuang di dalam resistansi. Tetapi, karena resistor fisik hanya dapat menerima daya 2 W, resistor akan gagal jika dihubungkan dengan catu daya 10 V, yang menyebabkan tidak ada arus, atau bergantung dari karakteriistik catu daya, sekering mungkin terbakar. Pada banyak kejadian, besamya arus tidak akan tepat 10 A seperti yang diduga oleh model. Jadi karakteristik resistor 1-W dapat berubah. bergantung dari sinyal masukan (tegangan) yang diberikan pada peralatan. Sistem Linear. Sistem dinamakan linear jika berlaku prinsip-prinsip superposisi.
Prinsip superposisi menyatakan bahwa tanggapan yang dihasilkan dengan mengaplikasi dua fungsi gaya berbeda secara bersamaan adalah jumlah dari dua tanggapan terhadap aplikasi fungsi tadi secara sendiri-sendiri. Jadi untuk sistem linear, tanggapan terhadap beberapa masukan dapat dihitung dengan mengerjakan masukan satu per satu dan menjumlahkan hasilnya. Prinsip inilah yang memungkinkan membangun penyelesaian yang rumit untuk persamaan differensial linear dan penyelesaian sederhana. Sistem waktu tidak berubah linear dan sistem ber ubah linear . Persamaan
diferensial adalah linear jika koefisien tetap atau hanya fungsi dari variabel bebas. Sistem dinamik yang terdiri dari komponen parameter bulat (“lumped”), waktu tidak berubah linear mungkin dijelaskan dengan persamaan differensial waktu tidak berubah linear (koefisien tetap). Sistem demikian dinamakan sistem waktu tidak berubah linear (atau koefisien tetap linear ). Sistem yang digambarkan dengan persamaan diferensial yang koefisiennya merupakan fungsi waktu dinamakan sistem waktu berubah linear. Contoh sistem kontrol waktu berubah adalah sistem kontrol pesawat ruang angkasa. (Massa pesawat angkasa berubah karena pemakaian bahan bakar). Sistem tak linear. Suatu sistem dikatakan tak linear jika prinsip superposisi tidak
dapat diterapkan. Jadi, untuk sitem tak linear, tanggapan terhadap dua masukan tidak dapat dihitung dengan mengukur satu masukan pada suatu waktu tertentu dan menambahkan hasilnya. Contoh persamaan diferensial tak linear adalah :
(3) Walaupun beberapa hubungan sistem fisik biasanya diwakili persamaan linear, dalam kebanyakan kasus sebenarnya hubungan tersebut tidak benar benar linear, pada kenyataannya, pengamatan yang teliti dari sistem fisik, sistem linear akan benar-benar linear hanya apabila berada pada daerah operasi yang terbatas. Dalam praktek, banyak sistem elektromekanika, hidrolika, pneumatika dan sebagainya meliputi hubungan tak linear antar variabel-variabel. Sebagai contoh, keluaran dari suatu komponen mungkin bercampur untuk sinyal masukan yang besar. (Daerah mati untuk suatu komponen adalah daerah dengan variasi masukan dengan komponen tidak peka). Hukum kuadrat ketaklinearan mungkin terjadi untuk beberapa komponen. Sebagai contoh, peredam yang digunakan pada sistem fisik mungkin linear untuk operasi kecepatan rendah tetapi menjadi tak linear pada kecepatan tinggi, dan gaya redaman mungkin menjadi sebanding dengan kuadrat dari kecepatan kerja. Beberapa contoh kurva karakteristik ketidaklinearan ditunjukkan pada Gambar 4.1.
Ketaklinearan Jenuh
Ketaklinearan daerah mati
Hukum kuadrat ketaklinearan
Gambar 4.1. Kurva karakteristik untk berbagai ketaklinearan
Beberapa sistem kontrol yang penting adalah nonlinear untuk setiap ukuran sinyal. Sebagai contoh, pada sistem kontrol dua posi (on-off). aksi pengontrolan adalah “on” atau “off” dan tidak terdapat huhungan yang linear antara masukan dan keluaran kontroler.
Prosedur untuk menemukan penyelesaian masalah yang melibatkan sistem nonlinier umumnya sangat rumit. Karena kesulitan matematika yang ada pada sistem nonlinear, seringkali dirasakan perlu membuat sistem linear yang ekivalen yang berlaku untuk jangka operasi yang terbatas. Sekali sistem nonlinear didekati dengan model matematika linear, maka sejumlah alat bantu nonlinear dapat diterapkan untuk tujuan analisis dan desain. Linearisasi sistem nonlinear. Pada rekayasa kontrol operasi normal dan sistem
dapat di sekitar titik keseimbangan, dan sinyal dapat dianggap sebagai sinyal kecil di sekitar titik keseimbangan tersebut (perlu diketahui bahwa terdapat banyak kekecualian dalam kasus seperti ini). Namun jika sistem beroperasi di sekitar titik keseimbangan dan jika sinyal yang terlibat adalah sinyal kecil, maka mungkin untuk mendekati sistem nonlinear tersebut dengan sistem linear. Sistem linear yang demikian adalah ekivalen dengan sistem nonlinier tersebut di dalam batas jangka operasi tertentu. Model yang dilinearisasi demikian (model waktu tidak berubah linear) sangat penting dalam rekayasa kontrol. Sistem Listrik
Sistem listrik terdiri dari komponen-komponen yang bersifat resistif, kapa.sitif, dan induktif. Komponen-komponen dasar tersebut adalah tahanan [R] kapasitor [C] dan induktor [L]. Sebuah rangkaian listrik diberikan pada Gambar 4.2
Gambar 4.2. Rangkaian seri R-L
Menurut Hukum Kirchoff, persamaan rangkaian adalah:
(4) dan ini adalah persamaan differensial linear yang tidak homogen orde-1 dengan variabel bebas t dan variabel tidak bebas i; sedang v adalah fungsi masukan. Bentuk persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
(5)
Solusi persamaan homogen adalah solusi untuk V [t] = 0, sehngga menurut persamaan [5] fungsi komplementer adalah: (6)
jika V/L = konstan, maka solusi khusus adalah: , sehingga solusi umum menjadi :
(7)
Jika pada t = 0, i = 0 [ saat saklar S belum dihubungkan] , maka : 0 = C +
V R
atau C = −
V
R
atau
(8)
Dalam persamaan ini τ =
L R
disebut konstanta waktu [time constant], dimana L adalah
Henry dan satuan R adalah Ohm. Sistem Mekanis
Sebuah sistem mekanis yang terdiri dari sebuah massa [m], sebuah pegas [dinyatakan oleh konstanta elastisitas k] dan peredam [dashpot] yang menyatakan gesekan mekanis terhadap massa. Gambar 4.3
Gambar 4.3 : Massa, pegas dan redaman
Gesekan mekanis ini dapat dinyatakan sebagai fungsi kecepatan dengan B adalah koefisien gesekan. Dengan demikian gaya gesekan adalah F g = Bv
Jika benda massa m ditarik oleh gaya F dengan arah seperti pada gambar 4.3 maka persamaan gerak untuk sistem menurut hukum Newton II dapat dituliskan sebagai berikut: F = ma
(9)
di mana F adalah resultante dan semua gaya yang bekerja pada m. Persamaan (9) dapat juga dituliskan sebagai F a – F p – F g = ma atau F a – kx – Bv = ma atau ma + Bv + kx = F a
(10)
di mana x adalah perpindahan massa m setiap saat. Selanjutnya karena v
=
dx dt
dan a
=
dv dt
2
=
d x 2
dt
, maka persamaan (10) dapat juga
dituliskan: 2
m
d x dt
2
+
B
dx dt
+
kx
F a
=
(11) Dari bentuk (9), persamaan tersebut adalah persamaan differensial linear orde dua yang tidak homogen dengan t sebagai variabel bebas, x sebagai variabel tidak bebas dan Fa sebagai fungsi masukan. Solusi umum persamaan (9) ini bergantung pada bentuk Fa. Bentuk Fa yang paling umum adalah fungsi tangga (step function), konstanta atau fungsi sinus. Sistem Hidrolik
Proses pengisian tangki melalui pipa-pipa/saluran air adalah salah satu contoh dari sistem ini, dimana pengaturan-pengaturan aliran ke dalam tangki dapat dilakukan melalui keran, lobang-lobang yang dapat diatur dan sebagainya. Dalam menganalisis sistem cairan ini dapat diberikan anggapan-anggapan sebagai berikut: - tangki dianggap mengandung cairan yang permukaannya bebas. - pipa penghubung dipenuhi seluruhnya oleh cairan. - percepatan cairan diabaikan. Keadaan ini ditunjukkan pada Gambar 4.4
. Gambar 4.4. Sistem hidrolik
dengan, qi = debit cairan masuk ke dalam tangki qo = debit cairan keluar h = tinggi permukaan cairan di dalam tangki (“head” cairan) Tinggi cairan (head ) menghasilkan suatu tekanan yang menimbulkan aliran cairan dari tangki dan keadaan ini merupakan kebalikan daripada sifat pipa hambatan-hambatan lain terhadap aliran. Untuk suatu tangki yang mengeluarkan cairan karena tekanan “head”-nya, tahanan hidraulik didefinisikan sebagai peubahan “head” yang diperlukan agar menyebabkan perubahan aliran. Secara matematis dituliskan sebagai berikut: R
=
dh dq 0
(12)
sek di mana, R = tahanan hidraulik 2 ft
h = head (ft) ft 3 q = laju aliran sek
Resistansi dan kapasitansi sistem permukaan zat cair. Tinjau aliran dalam pipa pendek yang dihubungkan pada dua tangki. Resistansi untuk aliran zat cair dalam pipa atau hambatan didefinisikan
sebagai perubahan dalam
perbedaan
tinggi (perbedaan
permukaan zat cair dalam dua tangki) yang diperlukan untuk membuat satu satuan perubahan laju aliran, yaitu: R =
perubahan perbedaan permukaan , m perubahan laju aliran , m 3 / sec
Karena hubungan antara laju aliran dan perbedaan tinggi terjadi untuk aliran laminar dan aliran turbulen, maka akan ditinjau kedua kasus sebagai berikut. Tinjau sistem permukaan zat cair pada Gambar.4.5(a). Bila aliran pada hambatan adalah laminar, maka hubungan antara laju aliran keadaan tunak dan tinggi permukaan (kepala) pada keadaan tunak diberikan oleh: Q = KH
(13)
dengan Q = laju aliran zat cair, m3/sec K = koefisien, m2/sec H = permukaan zat cair pada keadaan tunak, m
Kecepatan aliran
Kemiringan =
a
2 H
Q
=
h q
b
Gambar 4.5 (a) Sistem permukaan zat cair, (b) kurva laju aliran versus permukaan zat cair
Perhatikan bahwa hukum untuk aliran laminar ini analog dengan hukum Coulomb yang menyatakan bahwa arus berbanding lurus dengan beda potensial. Untuk aliran laminar, resistansi R diperoleh:
(14) Resistansi aliran laminar adalah konstan dan analog dengan resistansi listrik. Bila aliran yang melalui penghambat turbulen, maka laju aliran keadaan tunak diberikan oleh
(15)
dengan Q = laju aliran zat cair, m3/sec K = koefisien, m2,5/sec H = permukaan zat cair pada keadaan tunak, m Resistansi R t aliran turbulen diperoleh
Dengan bentuk persamaan (11) diperoleh
sehingga
Jadi,
(16)
Nilai resistansi R t aliran turbulen tergantung pada laju aliran dan permukaan zat cair. Nilai R t kecil, mungkiri dapat dikatakan konstan bila perubahan permukaan zat cair dan laju aliran kecil. Dengan menggunakan resistansi aliran turbulen, huhungan antara Q dan H diberikan oleh
(17) Linearisasi akan sahih bila perubahan tinggi permukaan zat cair dan laju aliran pada keadaan tunak cukup kecil.
Sistem Elektromekanik Generator Arus Searah
Diasumsikan bahwa generator dc dijalankan oleh sumber energi yang disebut penggerak utama, yang berkapasitas cukup sehinngga beban elektrik pada generator tidak mempengaruhi kecepatan generator. Selanjutnva diasumsikan bahwa generator berputar pada kecepatan konstan. Diagram rangkaian generator diberikan pada Gambar 3.6. Persarnaan untuk rangkaian medan adalah
(18) dengan ketergantungan fungsional dari variabel-variabel terhadap waktu diabaikan agar mudah. Pada persamaan ini, e f adalah tegangan medan yang diberikan dan dianggap sebagai masukan sistem. Arus medan adalah i j, resistansi kumparan medan adalah R f dan induktansi kumparan medan adalah L f Persamaan untuk rangkaian armatur adalah
(19) dengan e g adalah tegangan yang dibangkitkan oleh rangkaian armatur, ia adalah arus armatur, ea adalah tegangan di teminal armatur, dan Ra dan La rnasing-masing adalah resistansi dan induktansi armatur. Persamaan yang menghubungkan tegangan yang dibangkitkan e g ke fluks medan, Ф adalah
(20)
Gambar 4.6. Generator DC
Pada persamaan ini, K adalah parameter yang ditentukan oleh struktur fisik generator dan dθ/dt adalah kecepatan sudut armatur. Karena dθ/dt telah diasumsikan konstan dan karena
fluks f berbanding langsung dengan arus medan i f , tegangan yang dihangkitkan. dari Persamaan (20) dapat dituliskan sebagai e g = K g i f
(21)
Motor Servo
Servomotor arus searah (DC). Terdapat banyak jenis motor yang digunakan dalam industri, Motor DC yang digunakan dalam sistem servo dinamakan servomotor dc. Pada servomotor dc, rotor inersia dibuat sangat kecil, yang menghasilkan motor dengan rasio torsi-terhadap-inersia sangat tinggi yang tersedia secara komersial. Beberapa servomotor dc mempunyai konstanta waktu yang luar biasa kecilnya. Servomotor dc dengan tingkat daya yang rendah digunakan pada peralatan yang berkaitan dengan komputer dan instrumentasi seperti misalnya disk drive, tape drive, dan pengolah kata (“word processor”). Servomotor dc dengan tingkat daya menengah dan tinggi digunakan pada sistem robot, mesin pemintal yang dikontrol secara numerik, dan seterusnya. Pada servomotor dc, kumparan medan dapat dihubungkan secara seri dengan jangkar magnit (“armature”) atau kumparan medan tersebut dapat dipisah dari jangkar magnetnya (ini berarti, medan magnet dihasilkan oleh rangkaian yang terpisah). Dalam kasus terakhir, bila medan dibangkitkan secara terpisah, maka fluks magnetik tidak tergantung pada arus jangkar magnet. Pada beberapa servomotor dc, medan magnet dihasilkan oleh magnet permanen dan karenanya fluks magnetik konstan. Servomotor dc seperti demikian dinamakan servomotor dc magnet permanen. Servomotor dc dengan medan yang dibangkitkan secara terpisah, dan juga servomotor dc magnet permanen dapat dikontrol oleh arus jangkar magnet. Skema untuk mengontrol keluaran servomotor dc dengan arus jangkar magnet demikian dinamakan kontrol jangkar magnet servomotor dc. Pada kasus yang arus jangkar magnetnya dibuat konstan dan kecepatan dikontrol oleh tegangan medan, motor dc tersebut dinamakan motor dc dikontrol medan. (Beberapa sistem kontrol kecepatan menggunakan motor dc dikontrol medan). Kebutuhan akan arus jangkar magnet yang konstan merupakan kekurangan yang serius. (Pemberian sumber arus yang konstan jauh lebih sukar daripada pemberian sumber tegangan yang konstan). Konstanta waktu dari motor dc dikontrol medan umumnya besar dibandingkan dengan konstanta waktu motor dc dikontrol jangkar magnet yang sebanding.
Servomotor dc mungkin juga digerakkan oleh kontroler gerakan elektronik’. yang seringkali dinamakan servodriver disebut kombinasi motor penggerak. Servodriver mengatur gerakan servomotor dc dan beroperasi dalam berbagai macam mode. Beberapa cirinya adalah penggerakan posisi titik ke titik, profil kecepatan, dan percepatan yang dapat diprogram. Penggunaan kontroler gerakan elektronik yang menggunakan driver dimodulasi lebar pulsa (“pu1se with modulated driver”) untuk mengontrol servomotor dc, sering kali digunakan dalam sistem kontrol robot, sistem kontrol numerik, dan sistem kontrol posisi dan / atau kecepatan lainnya. Selanjutnya dibuat model motor servo. Diagram rangkaian motor servo diberikan pada Gambar 4.7. Pada gambar ini ea(t) adalah tegangan armatur, yang dianggap sebagai masukan sistem. Resistansi dan induktansi rangkaian armatur adalah R m dan Lm Tegangan em(t) adalah tegangan yang timbul pada kumparan armatur karena adanya pergerakan pada kumparan di dalam medan magnetik motor dan biasanya disebut sebagai EMF balik. Sehingga dapat kita tuliskan bahwa
(22) dengan K adalah parameter motor, Ф adalah fluks medan dan θ adalah sudut poros motor; Jadi dθ/dt adalah kecepatan sudut poros. Kita sumsikan bahwa fluks Ф konstan; sehingga
(23)
Gambar 4.7. Motor servo
Sistem Analogi
Sistem yang dapat digambarkan dengan model matematika yang sama, tetapi berbeda secara fisik dinamakan sistem yang analogi (analogous system). Jadi sistem yang analogi dijelaskan dengan persamaan diferensial atau integrodiferensial atau sejumlah persamaan. Konsep sistem yang analogi sangat berguna dalam praktek karena alasan sebagai berikut: 1. Dapat diterapkan secara langsung terhadap sistem yang analogi di bidang apapun yang lain. 2. Karena sistem yang satu mungkin lebih mudah ditangani dalam percobaan daripada yang lain, maka daripada mempelajari dan membangun sistem mekanika (atau sistem hidrolika atau pneumatik), dapat dibangun dan ditelaah analogi listriknya, karena sistem listrik atau elektronika umumnya jauh lebih mudah dikerjakan dengan percobaan. Bagian ini menyajikan analogi antara sistem listrik dengan mekanika. Namun konsep sistem yang analogi berlaku untuk sistem jenis lain dan analogi di antara sistem mekanika, listrik, hidrolika, pneumatik, thermal, dan sistem lainnya dapat ditentukan. Analogi listrik-mekanika.
Sistem mekanika dapat ditelaah melalui penggunaan analogi listriknya, yang mungkin lebih mudah dikonstruksi daripada model sistem mekanika yang berkaitan.
Terdapat dua analogi listrik untuk sistem mekanika: analogi tegangan gaya dan analogi arus-gaya. Analogi gaya-tegangan.
Tinjau sistem mekanik pada Gambar 4.8 (a) dan sistem listrik pada Gambar 4.8(b).
(a)
(b)
Gambar 4.8. Sistem listrik dan mekanika yang analog
Persamaan sistem adalah
(23) persamaan sistem selanjutnya
Dalam suku muatan listrik q persamaan terakhir menjadi
(24)
Tabel 4.1. Analogi gaya-tegangan Sistem Mekanik
Sistem Listrik
Gaya р (torsi T) Massa m (momen inersia J) Koefisien gesekan b Tetapan pegas k Perpindahan x ( perpindahan sudut θ) Kecepatan x (kecepatan sudut θ
Tegangan e Induktansi L Tahanan R Kapasitansi bolak-balik, 1/C Muatan q Arus i
Analogi gaya-arus.
Analogi lain antara sistem mekanik dan listrik didasarkan pada analogi gaya-arus. Tinjau sistem mekanik pada Gambar 4.9(a). Persamaan sistem dapat diperoleh sebagai
(25)
(a)
(b) Gambar 4.9. Sistem mekanik dan listrik analog
Perhatikan sistem listrik pada Gambar 2.2 (b). Dengan menerapkan hukum Kirchhoff untuk arus memberikan i L + i R + iC = iS
(26)
dengan
persamaan (26) dapat ditulis dengan
(27) Perhatikan bahwa fluks magnetik gandeng Ψ direlasikan dengan e oleh persamaan berikut:
dalam bentuk Ψ persamaan (27) dapat ditulis sebagai berikut:
(28)
Dengan membandingkan Persamaan (26) dan (28), diperoleh bahwa dua sistem tersebut adalah analogi. Beberapa besaran yang analog diberikan pada Tabel 4.2. Di sini analog tersebut disebut analogi gaya arus (atau analogi massa-kapasitas). Perlu diingat bahwa analog antara dua sistem mungkin salah atau tidak berlaku lagi jika daerah operasinya diperluas terlalu jauh. Dengan kata lain, karena persamaan diferensial, yang analognya didasarkan, hanya merupakan pendekatan karakteristik dinamika dan sistem fisik dalam daerah operasi tertentu, maka analogi tadi dapat tidak berlaku lagi jika daerah operasi salah satu sistem itu sangat luas. Namun, jika daerah operasi sistem mekanika yang diberikan luas, mungkin dapat dibagi menjadi dua atau lebih subdaerah, dan sistem listrik yang analog dapat dibuat untuk masing-masing subdaerah. Faktanya, analog tidak terbatas pada sistem listrik dan sistem mekanika saja, berlaku juga untuk sebarang sistem sesuai dengan persamaan diferensialnya, atau fungsi alih, dalam bentuk yang identik. Tabel 4.2.. Arus-gaya Sistem Mekanik
Sistem Listrik
Gaya р (torsi T) Massa m (momen inersia J) Koefisien gesekan b Tetapan pegas k Perpindahan x ( perpindahan sudut θ) Kecepatan x (kecepatan sudut θ )
Arus i Kapasitansi C Tahanan bolak-balik, 1/R Induktansi bolak-balik, 1/L Fluks magnetik gandeng Ψ Tegangan e
