PENULISAN PERSAMAAN REAKSI MENGGUNAKAN INVERS MATRIKS
Latar belakang Penulisan persamaan reaksi yang telah dikembangkan selama ini menggunakan subtitusi secara aljabar. Cara ini dapat digunakan untuk menentukan koefisien reaksi dari reaksi yang belum setimbang dengan reaktan dan produk yang sudah ditetapkan. Berdasarkan jurnal Chemical Education 1995 telah dikembangkan penulisan persaman reaksi menggunakan invers matriks. Cara ini reaksi yang akan ditetukan persamaannya dituliskan dalam bentuk matriks selanjutnya dicari inversnya kemudian dari invers matriks akan dapat ditentukan koefisien reaksinya sekaligus reaktan dan produknya. Teori invers matriks Sebelum membahas tentang invers matriks perlu diketahui apa matriks itu, berdasarkan definisi matriks adalah barisan bilangan atau fungsi yang diletakkan dalam kurung. Pada penulisannya bagian horisontal disebut sebagai baris sedang bagian yng vertikal disebut kolom atau lebih singkatnya matriks terdiri dari bris dan kolom.
⎡2 4 0 ⎤ ⎢6 7 − 9 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 1 4 ⎥⎦ ⎡a c ⎤ ⎢b d ⎥ ⎣ ⎦
⎡2 3 ⎤ ⎢5 − 7 ⎥ ⎣ ⎦
[a1
a2
a3 ]
⎡ e x x 2 + x + 5⎤ ⎥ ⎢ 3 x + 1 ⎦ ⎣2 x
Invers matriks adalah suatu matriks yang apabila dikalikan dengan matriks asalnya akan menghasilkan matriks satuan atau matriks identitas. identitas. Hal ini hanya berlaku untuk untuk matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolom ( matriks bujur sangkar). -1
A.A
-1
= I atau A A = I
Suatu matriks hanya akan mempunyai satu invers, kemudian invers matriks tersebut apabila dikalikan dengan matriks asalnya sama dengan martriks identitas. Matriks identitas adalah matriks yang mempunyai entri pada diagonalnya samadengan 1 diluar diagonal entrinya 0. Berikut beberapa matriks identitas.
⎡1 0 0⎤ ⎡1 0⎤ ⎢ ⎥ dan sebagainya. adalah matriks identitas I 2 = ⎢ I 3 = 0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
1
Contoh:
⎡3 5⎤ B = ⎢ ⎥. dan. inversnya .adalah. A ,. dim ana. 1 2 ⎣ ⎦ ⎡ 2 − 5⎤ ⎥ , maka ⎣− 1 3 ⎦
A = ⎢
B. A = I
⎡3 5⎤ ⎡ 2 − 5⎤ ⎡1 0⎤ ⎢1 2⎥ ⎢− 1 3 ⎥ = ⎢0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A. B = I
⎡ 2 − 5⎤ ⎡3 5⎤ ⎡1 0⎤ ⎢− 1 3 ⎥ ⎢1 2⎥ = ⎢0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Cara mencari invers matriks diantaranya dengan a.Subtitusi Gauss b.Adjoin matriks Cara mencari invers matriks dengan subtitusi Gauss atau subtitusi antar baris yaitu dengan memasangkan matriks yang akan dicari inversnya dengan matriks identitas. [ A/I ] kemudian melalui operasi antar baris pada matriks seehingga dapat mengubah kedudukan matriks identitas yang semula berada disebelah kanan dapat berubah -1 disebelah kiri [ I/ A ] adapun yang berada disebelah kanan adalah matriks inversnya. Ambilah matriks A akan dicari inversnya menggunakan subtitusi Gauss.
⎡ 3 2⎤ ⎥ ⎣2 1⎦
A = ⎢
⎡ 3 2⎤ ⎥ dengan mengandengkan matriks A dengan matriks I kemudian 2 1 ⎣ ⎦
A = ⎢
-1
mengoperasikan antar baris sampai akhirnya diperoleh matriks A disebelah kanan.
2
⎡ 3 2 1 0⎤ ⎢ ⎥ baris ke dua dikalikan dengan − 1 kemudian hasi ln ya dijumlahkan 2 1 0 1 ⎣ ⎦ dengan baris pertama
⎡1 1 1 − 1⎤ ⎢ ⎥ baris pertama dikalikan dengan − 2 kemudian hasi ln ya 2 1 0 1 ⎣ ⎦ dijumlahkan dengan baris ke dua
⎡1 1 1 − 1⎤ ⎢ ⎥ baris ke dua dikalikan dengan 1 hasi ln ya dijumlahkan − − 0 1 2 3 ⎣ ⎦ dengan baris pertama
⎡1 0 − 1 2⎤ ⎢ ⎥ baris ke dua dikalikan dengan − 1 − − 0 1 2 3 ⎣ ⎦ ⎡1 0 − 1 2 ⎤ ⎡− 1 2 ⎤ −1 sehingga matriks invesnya A = ⎢ ⎥ ⎢ 2 − 3⎥ ⎣ ⎦ ⎣0 1 2 − 3⎦ sebagai cek A. A −1 = A −1 A harus sama dengan I ⎡− 1 2 ⎤ ⎡3 2⎤ ⎡1 0⎤ ⎢ 2 − 3⎥ ⎢2 1⎥ = ⎢0 1⎥ atau ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡3 2⎤ ⎡− 1 2 ⎤ ⎡1 0⎤ ⎢2 1⎥ ⎢ 2 − 3⎥ = ⎢0 1⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Sebenarnya untuk mencari invers matriks ukuran 2 x 2 dapat dengan mudah menggunakan persamaan yang sudah dikenal, tetapi persamaan ini hanya terbatas untuk matriks 2 x 2. Persamaan ini tidak dapat diterapkan untuk mencari invers dari matriks yang ukurannya lebih besar dari 2 x 2.
3
⎡a b ⎤ ⎥, maka. c d ⎣ ⎦
A = ⎢
A − = 1
⎡ d − b ⎤ ⎢ ⎥ ad − bc ⎣− c a ⎦ 1
contohnya :
⎡1 2⎤ A = ⎢ ⎥, maka.. 1 3 ⎣ ⎦ A − = 1
⎡ 3 − 2⎤ 1 ⎡ 3 − 2 ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ 3 − 2 ⎣− 1 1 ⎦ 1 ⎣− 1 1 ⎦ 1
⎡ 3 − 2⎤ ⎥ ⎣− 1 1 ⎦
A −1 = ⎢
Seperti telah dikatakan diatas untuk matriks ukuran lebih besar 2 x 2 inversnya dapat dicari dengan cara subtitusi Gauss atau dengan adjoin matriks.
⎡1 2 1 ⎤ ⎢ ⎥ A = 2 5 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣3 3 8⎥⎦ ⎡1 2 1 1 0 0⎤ ⎥ ⎢ 2 5 0 0 1 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 3 8 0 0 1⎥⎦ ⎡1 2 1 1 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 5 0 0 1 0⎥ ⎢⎣0 − 3 5 − 3 0 1⎥⎦ ⎡1 2 1 1 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 1 − 2 − 2 1 0⎥ ⎢⎣0 − 3 5 − 3 0 1⎥⎦
4
⎡1 2 1 1 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 1 − 2 − 2 1 0⎥ ⎢⎣0 0 − 1 − 9 3 1⎥⎦ ⎡1 2 1 1 0 0⎤ ⎢ ⎥ 0 1 2 2 1 0 − − ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 9 − 3 − 1⎥⎦ ⎡1 2 1 1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 0 1 0 16 5 2 − − ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 9 − 3 − 1 ⎥⎦ ⎡1 2 0 − 8 3 1 ⎤ ⎥ ⎢ − − 0 1 0 16 5 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 9 − 3 − 1 ⎥⎦ ⎡1 0 0 − 40 13 5 ⎤ ⎢ ⎥ − − 0 1 0 16 5 2 ⎢ ⎥ sehinggga ⎢⎣0 0 1 9 − 3 − 1⎥⎦ ⎡ − 40 13 5 ⎤ ⎢ ⎥ 5 −2 A −1 = 16 − ⎢ ⎥ ⎢⎣ 9 − 3 − 1⎥⎦ Adapun mencari invers matriks melalui adjoin beberapa langkah harus dilalui diantarannya mencari minor setelah minor untuk setiap entri didapatkan, dicari kofaktor untuk setiap entri dan dapat disusun matriks kofaktor. Matriks adjoin dapat diperoleh dari transpose matriks kofaktor selanjutnya dibagi determinan maka akan diperoleh invers matriks. Mij = minor entri aij adalah determinant sub matrik dimana baris ke i kolom ke j dihilangkan. Cij = kofaktor dari entri matriks baris ke i kolom ke j
5
⎡ 3 1 4⎤ ⎢ ⎥ A = 2 5 6 ⎢ ⎥ ⎢⎣1 4 8 ⎥⎦ M 11 = M 12 = M 23 =
5
6
4
8
2
6
1
8
3
1
1
4
= 16 = 10 dan seterusnya . adalah min or
sedang Cij = (− 1)
i + j
. Mij
Cij = kofaktor baris ke kolom ke j sehingga 1+1
C 11 = (− 1)
. M 11
C 11 = M 11 C 11 = 16 C 21 = − M 21 C 21 = −10 C 23 = − M 23 dan seterusnya adalah kofaktor . Adapun det er min ant matriks det ( A) = A = 3
5
6
4
8
−1
2
6
1
8
+4
2
5
1
4
∑a
ij
. c ij pada sepanjang baris atau kolom.
= 3. 16 − 1. 10 + 4. 3 = 48 − 10 + 12 = 50
6
C adalah matriks kofaktor dari
Cij
⎡ c11 c1n ⎤ ⎢ ⎥ C = ⎢ ⎥ ⎢⎣c n1 c nn ⎥⎦ ⎡ 16 − 10 3 ⎤ ⎢ ⎥ C = 8 20 − 11 ⎢ ⎥ ⎢⎣− 14 − 10 13 ⎥⎦ Transposis i dari matri kofaktor adalah adj ( A).
⎡ c11
c n1 ⎤
⎣ c1n
c nn ⎦
T C = ⎢
⎥
= adj ( A)
8 − 14⎤ ⎡ 16 ⎥ T ⎢ adj ( A) = C − 10 20 − 10 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 − 11 13 ⎥⎦
Apabila A dikalikan adj ( A) maka :
8 − 14⎤ ⎡3 1 4⎤ ⎡ 16 ⎢ ⎥⎢ ⎥ A adj ( A) = 2 5 6 − 10 20 − 10 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣1 4 8⎥⎦ ⎢⎣ 3 − 11 13 ⎥⎦
⎡50 0 0 ⎤ = ⎢⎢ 0 50 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 50⎥⎦
Dari kedua hal yaitu A adj (A) dan det A dapat ditulis:
0 0 ⎤ ⎡det A ⎢ 0 ⎥ det A 0 A adj ( A ) = ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 det A⎥⎦
Adikalikan dengan adj (A) dapat ditulis juga sebagai : A adj (A) = det (A) . I -1
Karena I = A . A
maka
7
-1
A adj (A) = det (A) A . A adj (A) = det (A). A A − =
1
1
A −1 =
det ( A )
-1
adj ( A )
adj A
det ( A )
sehingga invers matriks dari A dapat ditulis menjadi
⎡−8 ⎢ 25 ⎢ −1 −1 A = ⎢ ⎢ 5 ⎢ 3 ⎢⎣ 50
4 25 2 5 − 11 50
− 7⎤ 25 ⎥ −1 ⎥ ⎥ 5 ⎥ 13 ⎥ 50 ⎥⎦
Penggunaan invers matriks dalam penulisan persamaan reaksi
Terapan invers matriks pada penulisan persamaan reaksi yang belum setimbang ambilah contoh untuk reaksi: Cl2
+
H2
HCl
Untuk reaksi tersebut belum setibang antara produk dan reaktannya untuk itu dicari koefisien reaksi secara aljabar, ambilah koefisien a untuk Cl 2 ; b untuk H2 dan c untuk HCl.Dari pemisalan itu dapat ditulis persamaan: 2 a = c 2 b = c apabila c diambil sama dengan 1 maka : 2 a = 1 1 a= dan 2 1
b=
1 2
sehingga persamaan reaksinya
1 Cl 2 + H 2 → HCl 2 2
atau
Cl2
2 HCl
+
H2
8
Adapun dengan menggunakan invers matriks reaksi tersebut dapat disusun dengan tabel berikut:
Cl2
H2
HCl
Cl
2
0
1
H
0
2
1
0
0
1
Secara matriks dapat ditulis menjadi :
⎡2 0 1⎤ ⎢ ⎥ A = 0 2 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
dari penulisan matriks perlu ditambahkan baris terakhir yang berupa elemen matriks baris terakhir dari matriks identitas, hal ini dilakukan untuk memperoleh matriks bujur sangkar. Selanjutnya untuk memperoleh invers matriks diselesaikan dengan subtitusi Gauss.
⎡ 2 0 1 1 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 2 1 0 1 0⎥ ⎢⎣0 0 1 0 0 1⎥⎦ ⎡2 0 1 1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ − 0 2 0 0 1 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 0 0 1 ⎥⎦
9
⎡2 0 1 1 ⎢ ⎢0 1 0 0 ⎢0 0 1 0 ⎣
0 1
⎡2 0 0 1 ⎢ ⎢0 1 0 0 ⎢0 0 1 0 ⎣
0 1
⎡1 0 0 1 ⎢ ⎢0 1 0 0 ⎢0 0 1 0 ⎣
0 1
⎡1 ⎢2 ⎢ -1 A = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣
2 0
0 ⎤ 1⎥
− ⎥ 2⎥ 1 ⎦
−1⎤ 1⎥ − ⎥ 2 2⎥ 0 1 ⎦
−1⎤ 1⎥ − ⎥ Sehingga diperoleh invers matriks 2 2⎥ 0 1 ⎦
1⎤ − ⎥ 2 1 1⎥ − ⎥ 2 2⎥ 0 1 ⎥ ⎥⎦ 0
Entri matriks invers pada kolom paling kanan adalah koefisien dari reaksi yang dimaksudkan artinya 1 1 − untuk Cl 2 dan − untuk H 2 serta 1 untuk HCl atau secara matematika dapat 2 2 dituliskan sebagai 1 ⎛ 1 ⎞ − Cl 2 + ⎜ − ⎟ H 2 + 1 HCl = 0 atau 2 ⎝ 2 ⎠ 1 2 1 2
Cl 2 +
1
Cl 2 +
1
Cl2
+
2
2
H 2 = HCl atau sec ara kimia dapat ditulis
H 2 → HCl
H2
2 HCl
10
Contoh lain: Fe2+
Fe3+
e
Fe
1
1
0
Muatan
2
3
-1
e
0
0
1
Dari tabel tersebut dapat dituliskan dengan matriks berikut:
⎡1 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ A = 2 3 − 1 ⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ kemudian dengan menggunakan cara adjoin atau dengan cara subtitusi Gauss diperoleh invers matriks:
⎡ 3 1 − 1⎤ ⎥ ⎢ 1 A − = − 2 1 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ entri invers matriks pada kolom terakhir merupakan koefisien dari reaksi yang dimaksudkan, secara matematika dapat ditulis: -1 Fe2+ +
1 Fe3+
+
1e = 0
secara kimia dapat dituliskan menjadi :
Fe3+
+
e ⇔ Fe2+
Penulisan matriks dari reaksi reduksi Feri menjadi fero dapat ditulis dengan beberapa cara yang berbeda diantaranya: 3+
2+
Fe
Fe
e
Fe
1
1
0
e
0
0
1
Muatan
3
2
-1
Dari tabel tersebut dapat dituliskan dengan matriks berikut:
11
⎡1 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ A = 0 0 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣3 2 − 1⎥⎦ kemudian dengan menggunakan cara adjoin atau dengan cara subtitusi Gauss diperoleh invers matriks:
⎡− 2 1 1 ⎤ ⎢ ⎥ A −1 = 3 − 1 − 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 1 0 ⎥⎦ entri invers matriks pada kolom ke dua merupakan koefisien dari reaksi yang dimaksudkan, secara matematika dapat ditulis: 3+
1 Fe
2+
+ (-1 ) Fe
+
1e = 0
secara kimia akan sama saja dengan reaksi diatas .
Fe3+
+
e ⇔ Fe2+
Dari penulisan persamaan reaksi kimia menggunakan invers matriks tampak antara produk dan reaktan baru diketahui setelah invers matriks diperoleh. Untuk reaksi reduksi oksidasi yang agak kompleks dapat juga ditentukan persamaan reaksinya. Ambilah contoh reaksi reduksi Cr(VI) menjadi Cr(III) berdasarkan tabel berikut:
Cr e H Muatan O
2-
e 0 1 0 -1 0
Cr2O7 2 0 0 -2 7
+
H 0 0 1 1 0
H2O 0 0 2 0 1
3+
Cr 1 0 0 3 0
Dengan matriks ditulis : 2 ⎡0 ⎢1 0 ⎢ A = ⎢ 0 0 ⎢ ⎢− 1 − 2 ⎢⎣ 0 7
0
0
1⎤
0
0
0
⎥ ⎥ 1 2 0⎥ ⎥ 1 0 3⎥ 0 1 0⎥⎦
dapat diperoleh inversnya
12
1 ⎡0 ⎢−1 1 ⎢2 6 ⎢ 7 ⎢− 7 −1 A = ⎢ 3 ⎢ 7 −7 ⎢2 6 ⎢ −1 ⎢2 3 ⎣
0 ⎤ 1 ⎥
0 −1
0 1
6 −4
6 7
3 ⎥ 8 ⎥
3 7
3 −7
3 ⎥ − 4⎥
6 1
6 −1
3 ⎥ − 2⎥
3
3
3 ⎦
⎥
⎥
sehingga koefisien reaksi dari tabel tersebut diambil dari entri invers matriks kolom ke 2 adalah: 1
1e +
6
7
Cr2O72- +
H+ -
3
7 6
H2O -
1 3
Cr3+ = 0
6 e + Cr2O72- + 14 H+ - 7 H2O - 2 Cr3+ = 0 Persamaan reaksinya dapat ditulis: 2-
Cr2O7
+ 14 H
+
+ 6e
⇔ 7 H2O + 2 Cr3+
Untuk reaksi lebih kompleks lainnya ambilah reaksi oksidasi CH 3COOH oleh KMnO4 Bedasarkan ion-ionnya dapat ditabelkan sebagai berikut: MnO4Mn 1 C 0 H 0 O 4 Muatan -1 0
CH3COOH 0 2 4 2 0 0
CO2 0 1 0 2 0 0
H2O 0 0 2 1 0 0
H+ 0 0 1 0 1 0
Mn2+ 1 0 0 0 2 1
Dengan matriks dituliskan :
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 A = ⎢ ⎢4 ⎢− 1 ⎢ ⎢⎣ 0
0
0
0
0
1⎤
2
1
0
0
0
4
0
2
1
2
2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 2⎥ ⎥ 1⎥⎦
13
⎡ 1 ⎢ 7 ⎢ 8 ⎢− 7 ⎢ −1 A = ⎢ 4 ⎢− 9 ⎢ 4 ⎢ 1 ⎢ ⎣⎢ 0
−1⎤ 0 0 − 1 − 1 − 5⎥ 2 8 4 8 8 ⎥ −1 1 1 5 ⎥ ⎥ 0 4 2 4 4 ⎥ − 1 11 ⎥ 1 1 −1 4 2 4 4 ⎥ − 3⎥ 0 0 0 1 ⎥ 0 0 0 0 1 ⎦⎥ 0 1
0 1
dari hasil invers matriks koefisien persamaan reaksi diambil pada kolom terakhir sehingga dapat ditulis: -1 MnO4- + (
−5 8
) CH3COOH + (
5 4
) CO2 + (
11 4
) H2O + (-3) H+ + 1 Mn2+ = 0
secara kimia -
8 MnO4 + 5 CH3COOH + 24 H
+
⇔ 22 H2O + 10 CO2 + Mn2+
dari beberapa penulisan persamaan reaksi dapat dikatakan invers matriks dapat diterapkan untuk menentukan koefisien reaksi dengan syarat matriksnya harus bujur sangkar. Namun kadang-kadang untuk matriks bujur sangkar tidak mempunyai invers, sehingga subtitusi secara aljabar masih diperlukan. Pembahasan
Penulisan persamaan reaksi secara umum dapat dicari menggunakan invers matriks sehingga dapat dirancang reaksi kimia yang terdiri dari reaktan dan produk sesuai dengan yang diharapkan. Persamaan reaksi dapat ditulis menggunakan entri invers matriks pada kolom terakhir. Penulis telah mengembangkan teori itu menjadi agak lebih luas, bedanya dengan teori yang sudah ada. Penulisan persamaan reaksi selalu menggunakan entri invers matriks pada kolom terakhir dan menambah satu baris terakhir matriks identitas untuk mendapatkan matriks bujur sangkar. Pada teori yang telah dikembangkan tidak harus menggunakan entri invers matriks pada kolom terakhir tetapi menggunakan salah satu kolom, hal ini tergantung dari penulisan matriks bujur sangkar yang akan dicari inversnya.demikian juga tidak selalu menambahkan satu baris terakhir dari matriks identitas untuk mendapatkan matriks bujur sangkar. Jelasnya dapat dilihat pada reaksi reduksi Fe 3+ menjadi Fe2+. Penulisan persamaan reaksi menggunakan invers matriks secara matematika boleh jadi ada tetapi secara reaksi kimia yang sebenarnya belum tentu dapat dijalankan karena beberapa faktor yang mempengaruhi reaksi perlu diperhatikan. Hal penting dalam reaksi kimia adalah Δ G. Perbedaan energi bebas Gibbs reaksi ( Δ G) dapat beharga Δ G < 0 untuk reaksi spontan Δ G = 0 untuk reaksi dalam kesetimbangan dan Δ G > 0 untuk tidak terjadi reaksi kimia. Pada reaksi yang tidak dapat dituliskan dengan matriks bujur sangkar cara invers matriks tidak dapat diterapkan karena hanya matriks bujur sangkar saja yang mempunyai invers, kadang-kadang juga dijumpai tidak mempunyai invers walaupun
14
matriksnya sudah bujur sangkar. Untuk itu dapat digunakan lagi subtitusi secara aljabbar untuk menuliskan persamaan reaksinya. Simpulan
1.Penulisan persamaan reaksi menggunakan invers matriks dapat diterapkan untuk reaksi kimia yang apabila ditulis dengan matriks menghasilkan matriks bujur angkar. 2. Penulisan persamaan reaksi menggunakan invers matriks secara otomatis diketahui antara reaktan dan produk. Saran
Perlu dikembangkan cara penulisan persamaan reaksi kimia secara matematik sehingga dapat berlaku untuk semua jenis reaksi. Daftar Pustaka
Hirst. D.M, 1976, Mathematics for Chemists, ed I, The Macmillan Press LTD, London Irwin Krizig, 1989, Advanced Mathematicfor Physicist and Engineering, ed IV, John Wiley & Sons Inc, New York. Journal Chemical Education, 1995.
15
ABSTRAK
PENULISAN PERSAMAAN REAKSI MENGGUNAKAN INVERS MATRIKS
Oleh Pirim Setiarso Jurusan Kimia FMIPA Universitas Negeri Surabaya Penulisan persamaan reaksi yang telah diketahui selama ini menggunakan subtitusi secara aljabar. Penulisan reaksi kimia menggunakan invers matriks menggunakan entri pada kolom terakhir dan harus menambahkan satu baris terakhir matriks identitas untuk mendapatkan matriks bujur sangkar. Telah dikembangkan teori penulisan persamaan reaksi menggunakan invers matriks. Teori ini tidak harus menambahkan baris terakhir matriks identitas untuk mendapatkan matriks bujur sangkar dan tidak harus menggunakan entri kolom terakhir pda matriks invers akan tetapi menggunakan salah satu kolom tergantung dari cara penulisanya. Apabila suatu reaksi tidak dapat dituliskan dengan matriks bujur sangkar maka cara ini tidak dapat diterapkan, dan dapat digunakan subtitusi secara aljabar.
16
