Matriks Invers Ordo 3x3

Aljabar Linear 

Matr Ma trik ikss Inv Inver erss Ord Ordo o3×3 Oleh : Kelompok IV (Kelas A) STMIK DIPANEGARA MAKASSAR 2013

Bentuk Umum



Matriks yang terdiri dari 3 barris dan 3 ko ba kollom mer eru upa paka kan n bentuk umum dari matriks ordo 3 x 3.

a a  a

11

A=

21

31

a

a

a

a

12

a

22

32

13

a

23

33

   

Rumus Matriks Invers

Keterangan  :

 − =

1 ||

.  



A−1= Invers dari matriks A



adj A= matriks Adjoin dari A



|A|= determinan dari matriks A

Determinan Matriks (Cara Koofaktor) Determinan dari sebuah matriks dapat diperoleh mela me lalu luii mi mino norr da dan n ko kofa fakt ktor  or  matri mat riks ks ter terseb sebut. ut. a a  a

11

A=

21

31

a

a

a

a

12

22

a

32

13

23

a

33

   

Pada matriks berorde 3 × 3, maka minor elemen aij dinotasikan dengan Mij, di dide defi fini nisi sika kan n se seba baga gaii determinan dari sub matriks A berorde 2 x 2 setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian Mij dengan (-1)i+j dan da n di ditu tuliliss de deng ngan an Cij.

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

 a11  A = a21 a31

a

12

a

22

a

32

  a 23   a 33 



a

13





Maka minor dari elemen a 11 adalah

 a11 a  21 a31

a

12

a

22

a

32

  a sehi hing ngga ga M11 = 23  se  a 33 

Seda Se dangk ngkan an ko kofa fakt ktor or el elem emen en

a

13

a a

22

32

a a

23

33

aij = Cij = (-1)i + j Mij

Maka koofaktor elemen a11 dari matriks tersebut adalah  C11 = (-1)1 +1 M11 = (-1)2  

 

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)  a11  A = a21 a31

a

12

a a

22

32



  a 23   a 33  a

13

 C32 = (-1)3 +2 M32 = (-1)5  

Minor dari elemen a32 adalah

 a11 a  21 a31

a

12

a

22

a

32

  a sehi hing ngga ga M32 = 23  se  a 33 

Maka koofaktor elemen a11 dari matriks tersebut adalah

a

13

a

a

a

a

11

21

13

23

 

Determinan Matriks (Cara Koofaktor) Nilai determinan matriks A berordo 3 dapat ditentukan dengan menggunakan ekspansi determinan : 

Ekspansi (penjabaran) kofaktor sepanjang baris ke-i :



Ekspansi (penjabaran) kofaktor sepanjang kolom ke- j j :

1. det A = | A | = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 (baris ke-1)

1. det A = | A | = a11 C11 + a21 C21 + a31 C31 (kolom ke-1)

2. det A = | A | = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23 (baris ke-2)

2. det A = | A | = a12 C12 + a22 C22 + a32 C32 (kolom ke-2)

3. det A = | A | = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 (baris ke-3)

3. det A = | A | = a13 C13 + a23 C23 + a33 C33 (kolom ke-3)

Determinan Matriks (Cara Koofaktor) Contoh Soal :

Tentukan nilai determinan dari matriks A dengan cara koofaktor  1 A = 3 1

2 1 4

1  1 2 2

Determinan Matriks (Cara Koofaktor) Penyelesaian : 1 A = 3 1

2 1 4

1  1 2 2



a22



 =

 



a21



 =



  = 1



2 4

1 2 +

2 4

1 2

= (-1)(-4  –  (-4)) = 0

 Nilai Determinan

1 1

  = 1

+

1 1



1 2

= (1)(-2  –  1) = -3



a23



 =



  = 1



1 2

1 1

2 4 +

1 1

= (-1)(4  –  (-2)) = -6

2 4

| A | = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23 = (3)(0) + (1)(-3) + (2)(-6)

= -15

Determinan Matriks (Cara Sarrus)

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

11

det A =

21

31

12

13

22

23

32

33

11

21

31

12

22

32

Du –  Ds  Ds = |A| |A| = ( a11

a

22

a

33

a

12

a

23

a

31

a

13

a

21

a

32

)+(

a

31

a

22

a

13

a

32

a

23

a

11

a

33

a

21

a

12

)

Determinan Matriks (Cara Sarrus)

Contoh Soal :

1 Tentukan nilai determinan dari matriks A = 3 1

2 1 4

1  1 2 2

Determinan Matriks (Cara Sarrus)

Penyelesaian:



1 A = 3 1

2 1 4

1  1 1 2 3 2 1

2 1 4

= {(1)(1)(-2) + (2)(2)(-1) + (-1)(3)(4)}  –  {(-1)(1)(-1) + (4)(2)(1) + (-2)(3)(2)} = {(-2) + (-4) + (-12)}  –  { 1 + 8 + (-12)} = (-18) + (-3) |A| = -15

Adjoin Matriks (Terpisah/Minor)



 Jika matriks A =  

  

   dan matriks kofaktornya adalah   

  

  maka 

adjoin matriks A adalah transpos dari matriks kofaktor itu, sehingga diperoleh:

C11 =

(-1)1 +1

M11 =

(-1)2

 

 

 Adj A =  

  

  

Adjoin Matriks (Terpisah/Minor) Contoh Soal :

Tentukan adjoin dari matriks 1 A= 3 1

2 1 4

1  1 10 2 dengan matriks kofaktor (C) 0 5 2

4 3 5

13 6 6 5 5

Adjoin Matriks (Terpisah/Minor)

Penyelesaian:

10 matriks kofaktor (C) 0 5

4 3 5

10  Adj A = Ct = 4 13

5 5 5

0 3 6

13 6 6 5 5

Adjoin Matriks (Gabungan)

Adjoin dari sebuah matriks juga dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :

Adj A =

           

     

           

     

           

     

Adjoin Matriks (Gabungan)

Contoh Soal :

Tentukan adjoin dari matriks 1 2 1 1 A= 3 1 2 1 4 2

Adjoin Matriks (Gabungan)

Penyelesaian:

1 4

2   2 3 2 Adj A = (1) 1 2 3 1   1 4 10 = 4 13

0 3 6

5 5 5 5

1 2 1 1   1 2 1 2 (1) 1 4 (1)

2 4

2 1

1 2 1 1 (1) 3 2 1 2 3 1

Contoh Soal

1 Matriks A = 3 1

2 1 4

1  1 10 2 dengan det A = -15, dan adj A = 4 2 13

Tentukan invers dari matriks A!

0 3 6

5 5 5 5

Contoh Soal

1 Matriks A = 3 1

2 1 4

1  1 10 2 dengan det A = -15, dan adj A = 4 2 13

Tentukan invers dari matriks A!

0 3 6

5 5 5 5

Contoh Soal Penyelesaian:

− =

1 |A|

. adj A

10 . 4 A-1 = − 13 



det A =|A| = -15

0









 

 

 









10 adj A = 4 13

0 3 6

5 5 5 5

=  

0 3 6  

5 5 5 5

KELOMPOK IV (KELAS A) 1. (122 (122020) 020) FITR FITRII RAHA RAHAYU YU PASASIH 2. (1 (122 2201 017) 7) PUTR PUTRII CAMANI CAMANI 3. (12 (12202 2026) 6) ELM ELMIRA IRA SAB SABBAN BAN 4. (1 (122 2201 018) 8) YU YULI LI AN ANTI TI 5. (12 (12233 2330) 0) KEZ KEZIA IA IMA IMANUE NUELA  LA  6. (122348) NOVITA SAPAN 7. (122 (122350) 350) SITI MUNA MUNAW WAROH AZIS

SEKIAN Terima Kasih 