Invers Matriks

Jika A, B matriks matriks bujur sangkar dan berlaku b erlaku AB = BA = I , dengan dengan I matriks identitas, identitas, maka dika dikata taka kan n bahw bahwaa A da at diba dibali lik k atau atau mempunyai invers, dan B adalah matriks invers dari dari A . Notasi A-1

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

159

Catatan : Tidak semua matriks bujur sangkar mempunyai invers. Matriks bujur sangkar

bujur

sangkar

(determinannya

yg ≠

non

singular

0).

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

160

Misal diberikan matriks A dan B

e a

an a wa

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

161

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

162

a b  Misalkan  A =  . Matriks A dapat dibalikkan  c d  atau mempunyai invers jika ad-bc ≠ 0, dan  d − b  A = ad-bc − c a   d − b 1 =   det( A) − c a  -1

1

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

163

Tentukan invers dari matriks

− 2 P= 2

  3

−1

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

164

Invers

suatu

matriks

dapat

dihitung

dengan

menggunakan eliminasi Gauss–Jordan terhadap matriks diperbesar [ A | I ]  dimana ukuran I sama dengan ukuran  A. Jika A mempunyai invers maka matriks eselon baris

tereduksinya akan berbentuk [ I | A-1 ]. Jika setelah melakukan eliminasi Gauss–Jordan tidak diperoleh bentuk [ I | A-1 ]

maka disimpulkan bahwa matriks

tersebut tidak memiliki invers.

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

165

Akan dicari invers dari matriks

− 2 P= 2 [ P | I ] = 

−

  3

−1

−

2

1 12 =  2 3

 0 1

3 −

1 2

0

−

1 2

0

 1

b2 �  2 b1

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

166

1 12 =  0 2 1 12 =  0 1 1 0 =  0 1

1

− 2

1 1 2

− 1 2

0

 1

1

×2

0 b1 � � b2 1 2

 

 1 1  2 2  3 −  4 Jadi, P -1 =  1  2 −

3 4

−

1 4

− 1 2

1 4

  

Indrawani/Alin/II/2008

167

Akan dicari invers dari matriks

 12  [B | I ] = − 3   15

−3

7

1

0

0

1

−2

0

1

0

−3

7

  0 0 1

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

168

− 3  = 12   15

1

−2

0

1

0

 1 0 0 −3 −7  −3 7 0 0 1

− 3 1  0 1 =   0 2

−2

0

1

0

 1 4 0 −1  0 5 1 −3

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

169

− 3 1 0 1 =   0 0

−2

0

1

0

−1

1

4

0

− 3 1  0 1 =   0 0

  0 3 7 −1  1  −1 − 2 −3

  1 −1 −2 −3 0

4

7

−2

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

170

− 3 0  = 0 1  0 0 1 0 0  1 0 = 0  0 0 1

  0 3 7 −1  −1 − 2 −3 1  0

1

−

1 3

3 2

0

−1

× (−

1 3

)

× ( −1)

  7 −1  3 − 1 0

1 3

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

171

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

172

Menghitung Invers matriks dengan Adjoin. Adjoin matriks : transpos dari matriks kofaktor. Kofaktor unsur aij, ditulis dengan Cij = (-1)i+jMij. Adjoin matriks A adalah matriks :

C 11 C 21 C  C  22  12  M M  C 1n C 2 n

K K O K

C n1  C n 2  M   C nn 

dengan Cij kofaktor unsur aij.

173

Bila A mempunyai invers maka :

A

-1

=

adjoin A Det (A)

Contoh : Misal diberikan matriks A ;

1 2 3   1 4 3

Determinan matriks A dapat dicari menggunakan metode Sarrus atau reduksi baris, diperoleh det(A) = -2 Indrawani/Alin/II/2008

174

C11=(-1)1+1.M11 = (1)(9-16)=-7 C12=(-1)1+2.M12 = (-1)(3-4) = 1 C13=(-1)1+3.M13 = (1)(4-3) = 1 C21=(-1)2+1.M21 = (-1)(6-12) = 6 = - 2+2. = = C23=(-1)2+3.M23 = (-1)(4-2) = -2 C31=(-1)3+1.M31 = (1)(8-9) = -1 C32=(-1)3+2.M32 = (-1)(4-3) = -1 C33=(-1)3+3.M33 = (1)(3-2) = 1 Indrawani/Alin/II/2008

175

− 7  Adjoin A = 1   1 A

-1

1

=

det( A) 7

 2  1 = −  2 − 1  2

−3

0 1

  0 −1  −2 1  6

−1

( Adjoin A ) 1

2  1 

 2  1 − 2  Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

176

Carilah invers matriks (jika ada) dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan dan matriks adjoin.

Siti Rahmah N/ Matematika Dasar

177